2020年湖南省岳阳一中高考数学二模试卷1 (含答案解析)

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湖南省岳阳市2020届高三教学质量检测(二)数学(文)试题 Word版含答案

岳阳市2020届高三教学质量检测试卷（二）数学（文科）分值：150分时量：120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效． 1．已知复数(1)(3)z i i =+-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（） A ．2B ．2iC ．4D ．4i2．已知集合{|10}A x x =+≤，{|}B x x a =≥，若A B R ⋃=，则实数a 的值可以为（） A ．2B ．1C ．0D ．2-3．命题:2p m =，命题:q 直线(1)120m x y m --+-=与直线230mx y m +-=垂直，则p 是q 成立的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若424log 3,log 7,0.7a b c ===，则实数,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．c b a >>5．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（） A ．42B ．21C ．7D ．36．已知向量1||1,2a b m ⎛⎫== ⎪⎝⎭r r，若()()a b a b +⊥-r r r r ，则实数m 的值为（）A ．12 BC ．12± D．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BC 的中点，则异面直线DE 与11A B 所成角的正切值为（） A．2B．3C．2D8．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A ．5B ．4C ．3D ．29．设F 为抛物线22y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r，则||||||FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r（）A ．9B ．6C ．4D ．310．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文：弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实及黄实，利用2×勾×股+（股-勾）24=⨯朱实+黄实=弦实，化简得：勾2+股2=弦2．设勾股中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A ．866B ．500C ．300D ．13411．已知函数3()f x x x =-，则曲线()y f x =过点(1,0)的切线条数为（） A ．3B ．2C ．1D ．012．关于函()cos |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 的图象关于y 轴对称；②()f x 在[],ππ-有3个零点； ③()f x 的最小值为2；④()f x 在区间,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．在ABC △中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若60A =︒，2a bc =，则sin sin B C =_________．14．已知实数x ，y 满足3,220,1.x y x y y +≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则目标函数31z x y =+-的最大值为_________15．直三棱柱111ABC A B C -的顶点都在同一球面上，若2AB AC ==，13AA =，90BAC ∠=︒，则此球的表面积等于________．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点(0,0),(4,0),(4,0),(0,2),(0,2),(4,2)O M N P Q H --．线段OM 上的动点A 满足((0,1))OA OM λλ=∈u u u r u u u u r ；线段HN 上的动点B 满足HB HN λ=u u u r u u u r．直线PA 与直线QB 交于点L ，设直线PA 的斜率为k ，直线QB 的斜率为k '，则k k '⋅的值为_________；当λ变化时，动点L 一定在_________（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．如图，在三棱锥P ABC -中，PAC △为正三角形，M 为棱PA 的中点，AB AC ⊥，12AC BC =，平面PAB ⊥平面PAC ．（1）求证：AB ⊥平面PAC ；（2）若2AC =，求三棱锥P BMC -的体积．18．等差数列{}n a 的公差为2，2a 、4a 、8a 分别等于等比数列{}n b 的第2项、第3项、第4项．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足12112n n nc c cb a a a ++++=L ，求数列{}nc 的前2020项的和． 19．新型冠状病毒肺炎疫情爆发以来，疫情防控牵挂着所有人的心某市积极响应上级部门的号召，通过沿街电子屏、微信公众号等各种渠道对此次战“疫”进行了持续、深入的宣传，帮助全体市民深入了解新冠病毒，增强战胜疫情的信心．为了检验大家对新冠病毒及防控知识的了解程度，该市推出了相关知识问卷，随机抽取了年龄在15~75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制频率分布直方图如图所示，把年龄落在区间[15,35)和[35,75]内的人分别称为“青少年人和中老年人”经统计“青少年人”和中老年人的人数之比为19∶21．其中“青少年人”中有40人对防控的相关知识了解全面，“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和不够全面的人数之比是2∶1．（1）求图中a ，b 的值；（2）现采用分层抽样在[25,35)和[45,55)中随机抽取8名市民，从8人中任选2人，求2人中至少有1人是“中老年人”的概率是多少？（3）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并根据此统计结果判断：能否有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加全面了解防控的相关知识？附表及公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右点分别是1F 、2F ，P 是椭圆上一点，I 为12PF F △的内切圆圆心，11222PIF IF F PIF S S S =-△△△，且12PF F △的周长为6．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点(0,1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若23()OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r．求四边形OAPB 面积的最大值．21．已知函数()ln xe f x x x x=--．（1）求()f x 的最大值；（2）若1()1xf x x e bx x ⎛⎫++-≥ ⎪⎝⎭恒成立，求实数b 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在新中国成立70周年国庆阅兵典礼中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线．如图，在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为1sin (02,0)ρθθπρ=-≤<>，M 为该曲线上的任意一点．（1）当3||2OM =时，求M 点的极坐标；（2）将射线OM 绕原点O 逆时针旋转2π与该曲线相交于点N ，求||MN 的最大值．23．[选修4-5：不等式选讲] 函数21()(1)4f x x =+．（1）证明：()|()2|2f x f x +-≥；（2）若存在x ∈R ，且1x ≠-，使得21()14()f x m m f x +≤--成立，求m 的取值范围．岳阳市2020届高三教学质量检测试卷（二）数学（文科）参考答案与评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效． 1．【答案】A【解析】因为(1)(3)42z i i i =+-=+，所以z 的虚部为2． 2．【答案】D【解析】∵{|1}A x x =≤-，{|}B x x a =≥，且A B R ⋃=，∴1a ≤-，∴a 的值可为2-． 3．【答案】A【解析】若两直线垂直，则(1)(1)20m m -⨯+-⨯=，解得2m =或1-，所以p 是q 的充分不必要条件． 4．【答案】A【解析】依题意，由对数函数的性质可得244log 3log 9log 7a b ==>=，由指数函数的性质及对数的性质，可得4440.70.71log 4log 7c b =<==<=，故a b c >>． 5．【答案】B【解析】∵6353a a a +-=，∴43a =，∵74721S a ==． 6【答案】D【解析】∵()()a b a b +⊥-r r r r ，∴()()0a b a b +⋅-=r r r r ，即22||||0a b -=r r ，将||1a =r和2221||2b m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭r 代入，得出234m =，所以32m =±． 7．【答案】C【解析】11A B CD ∥，则CDE ∠就是异面直线DE 与11A B 所成角（或其补角），设正方体棱长为1，E 为1BC 的中点，就是1B C 与1BC 的交点，则2CE =，由正方体知DC CE ⊥，∴2tan 2CE CDE CD ∠==． 8．【答案】B【解析】模拟执行循环结构的程序框图，可得：6,1n i ==，第1次循环：3,2n i ==；第2次循环：4,3n i ==；第3次循环：2,4n i ==，此时满足判断框的条件，输出4i =． 9．【答案】D【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 抛物线焦点坐标1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程：12x =-， ∵0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r ，∴点F 是ABC △重心，则1231233,02x x x y y y ++=++=．而1111||22FA x x ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，2211||22FB x x ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，3311||22FC x x ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭∴()123123111333||||||3222222FA FB FC x x x x x x ++=+++++=+++=+=． 10．【答案】D【解析】如图，设勾为a ，∴弦为2a ，则图中大四边形的面积为24a ，小四边形的面积为2221)(4a a -=-，则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的1=-．∴落在黄色图形内的图钉数大约为10001134⎛-≈ ⎝⎭．11．【答案】B【解析】设切点坐标()3000,P x x x -，由3()f x x x =-，得2()31f x x '=-，∴切线斜率2031k x =-，所以过()2000,P x x x -的切线方程为()()32000031y x x x x x -+=--，即()2200312y x x x =--，∵切线过点(1,0)，故32002310x x -+=，令()30200231h x x x =-+，则()200066h x x x '=-，由()00h x '=，解得00x =或01x =，当0(,0)x ∈-∞，(2,)+∞时，()00h x '>；当0(0,2)x ∈时，()00h x '<，所以()0h x 的极大值极小值分别为(0)10h =>，(1)0h =，故其图像与x 轴交点2个，也就是切线条数为2． 12．【答案】C【解析】()cos |||sin |cos |||sin |()f x x x x x f x -=-+-=+=，则函数()f x 为R 上的偶函数，故①正确；当[0,]x π∈时，()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令()04f x x k ππ=⇒=-，则()f x 在区间[0,]π的零点只有一个，所以()f x 在[],ππ-有2个零点，故②错误；()f x 在[0,]π的最小值为：52()2sin2142f ππ⎛⎫==⨯-=- ⎪⎝⎭，因为函数(2)cos |2||sin(2)|cos |||sin |()f x x x x x f x πππ+=+++=+=，所以函数()f x 的周期为2π由对称性以及周期性可知，函数()f x 的最小值为：1-，故③错误；当[0,]x π∈时，5,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数sin y x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，即()f x 在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故④正确．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 13．【答案】34【解析】因为60A =︒，2a bc =，所以2sin sin sin A B C =，所以233sin sin 4B C ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 14．【答案】6【解析】作出可行域，如图所示：由图可知最优解为(2,1)M ，所以max 32116z =⨯+-=．15．【答案】17π【解析】如图，取BC ，11B C 的中点1O ，2O ，由条件可知，1O ，2O 是ABC △和111A B C △的外接圆的圆心，连接12O O ，取12O O 的中点O ，连接OB ，O 是直三棱柱111ABC A B C -外接球的球心，222222BC =+=，∴12O B =，2211917242OB O B OO =+=+=，∴172R =， ∴此球的表面积等于2417S R ππ==．16．【答案】14；双曲线【解析】∵((0,1))OA OM λλ=∈u u u r u u u u r ；∴(4,0)A λ-，又(0,2)P -，∴2142k λλ=-=-； ∵HB HN λ=u u u r u u u r ．∴(4,22)B λ-，∴22(2)402k λλ---'==--， ∴14kk '=．设(,)L x y ，则20y k x +=-，20y k x -'=-，∴22224y y y kk x x x +--'=⋅=， ∴22414y x -=，即221416y x -=．故答案为14，双曲线．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．17．【解析】（1）∵PAC △为等边三角形，且M 为PA 的中点，∴CM PA ⊥． ∵平面PAB ⊥平面PAC ，平面PAB ⋂平面PAC PA =，CM ⊂平面PAC ， ∴CM ⊥平面PAB ，∵AB ⊂平面PAB ，∴AB CM ⊥，又AB AC ⊥，CM AC C ⋂=，AC 、CM ⊂平面PAC ， ∴AB ⊥平面PAC ；（2）∵AB AC ⊥，且2AC =，24BC AC ==， ∴2223AB BC AC =-=．又PAC △是边长为2的等边三角形，且M 为PA 的中点，则CM PA ⊥，且sin 603CM PC =︒=，∴PMC △的面积为11313222PMC S PM CM =⋅=⨯⨯=△．因此，三棱锥P BMC -的体积为113231332P BMC B PMC PMC V V S AB --==⋅=⨯⨯=△18．【解析】（1）依题意得：324b b b 2=，所以()()()21116214a a a +=++，所以22111112361628a a a a ++=++，解得12a =． ∴2n a n =．设等比数列{}n b 的公比为q ，所以3422824b a q b a ====，又224b a ==，∴2422n n n b -=⨯=．（2）由（1）知，2n a n =，2nn b =．因为11211212n n n n nc c c ca a a a +--++⋯++= ①当2n …时，1211212n n n c c ca a a --+++=L ② 由①-②得，2n nnc a =，即12n n c n +=⋅，又当1n =时，31122c a b ==不满足上式， ∴18,1,2, 2.n n n c n n +=⎧=⎨⋅≥⎩数列{}n c 的前2020项的和34202120208223220202S =+⨯+⨯++⨯L2342021412223220202=+⨯+⨯+⨯++⨯L设2342020202120201222322019220202T =⨯+⨯+⨯++⨯+⨯L ③，则34520212022202021222322019220202T =⨯+⨯+⨯++⨯+⨯L ④，由③-④得：234202120222020222220202T -=++++-⨯L()2202020222122020212-=-⨯-2022420192=--⨯所以20222020201924T =⨯+，所以2022202020204201928S T =+=⨯+．19．【解析】（1）由题意得19(0.03)104021(0.02)1040b a ⎧+⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯=⎪⎩，解得0.03250.0175a b =⎧⎨=⎩（2）由题意得在[25,35)中抽取6人，记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，在[45,55)中抽取2人，记为1，2．则从8人中任取2人的全部基本事件（共28种）列举如下：,,,,,1,2,,,,,1,2,,,,1,2,AB AC AD AE AF A A BC BD BE BF B B CD CE CF C C DE ， ,1,2,,1,2,1,2,12DF D D EF E E F F记2人中至少有1个是“中老年人”的概率是P ，则1328P =．（3）22⨯列联表如下：22200(40355570)12.15710.8289510511090K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加非常全面了解防控的相关知识． 20．【解析】（1）∵11222PIF IF F PIF S S S =-△△△，∴12122PF PF F F +=，即2a c =① 又∵12PF F △的周长为6∴1212|6PF PF F F ++=，即226a c +=②由①②可得2,1a c ==，则b =22143x y += （2）设直线AB 的方程为1y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩联立消y 可得，()2234880kx kx ++-=，1221220834834k x x k x x k ⎧⎪∆>⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪⋅=⎪+⎩ ∵23()OP OA OB=+u u u r u u u r u u u r，∴3OAB OAPB S S =△四边形∴1223234OAPBS x x k=-==+四边形1t =≥ ∴2212t k -=，∴21212OAPB S t t t==++四边形，又∵12y t t=+在区间[1,)+∞上单调递增，∴3y ≥，∴OAPB S ≤四边形OAPB 的面积最大值为21．【解析】（1）()ln xe f x x x x=--，定义域(0,)+∞，()22(1)1(1)()1xx x x e e x f x x x x---'=--=，由1xe x x ≥+>，()f x 在(0,1]增，在(1,)+∞减，max ()(1)1f x f e ==- （2）1()1xf x x e bx x ⎛⎫++-≥ ⎪⎝⎭ln 1x x xe e x x xe bx x x⇔-+-++-≥ln 10x x x xe bx ⇔-++--≥min ln 1ln 1x x xe x xxe x x b b x x ⎛⎫--+--+⇔≥⇔≥ ⎪⎝⎭，令ln 1()x xe x x x x ϕ--+=，2ln ()x x e xx xϕ+'=令2()ln xh x x e x =+，()h x 在(0,)+∞单调递增，0,()x h x →→-∞，(1)0h e =>()h x 在(0,1)存在零点0x ，即()02000ln 0x h x x e x =+=01ln 2000000ln 1ln 0ln x x x x x e x x e e x x ⎛⎫⎛⎫+=⇔=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于xy xe =在(0,)+∞单调递增，故0001lnln x x x ==-，即001x e x = ()x ϕ在()00,x 减，在()0,x +∞增，000000min00ln 111()2x x e x x x x x x x ϕ--++-+===所以2b ≤22．【选修4-4：坐标系与参数方程】【解析】（1）有3||2OM =，即31sin 2θ-=，1sin 2=-，02θπ≤<，0ρ>， ∴76πθ=或116π∴M 点的极坐标为37,26π⎛⎫⎪⎝⎭或311,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）设射线OM 的极角为θ，()1,M ρθ，2,2N πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，02θπ≤<即|MN ====1≤=+∴||MN 的最大值为1 23．【选修4-5：不等式选讲】【解析】（1）（法1）∵21()(1)04f x x =+≥， ∴()|()2||()||2()|()[2()]||2|2f x f x f x f x f x f x +-=+-≥+-==．（法2）∵21()(1)04f x x =+≥， ∴当()2f x ≥时，()|()2|2()22f x f x f x +-=-≥；当0()2f x ≤<时，()|()2|()2()2f x f x f x f x +-=+-=．综上，()|()2|2f x f x +-≥．（2）当1x ≠-时，21()(1)04f x x =+>，所以1()14()y f x f x =+≥=，当且仅当1()4()f x f x =，1x =±因为存在x R ∈，1x ≠-，使得21()14()f x m m f x +≤--成立，所以211m m --≥，所以1m ≤-02m ≤≤或1m ≥+。

2020届湖南省岳阳市高三第二次模拟数学(文)试题(带答案解析)

2020届湖南省岳阳市高三第二次模拟考试数学(文)试题第I 卷（选择题)一、单选题1．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用22()4⨯⨯+=⨯+=勾股股勾朱实黄实弦实-，化简，得222+=勾股弦.设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（） A ．134 B ．866B ．C ．300D ．5002．若2log 3a =，5log 7b =，40.7c =，则实数a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>3．已知复数(1)(3)(z i i i =+-为虚数单位），则z 的虚部为（） A ．2B ．2iC ．4D ．4i4．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）5．已知平面向量,a b r r 满足||1a =r ，1(,)2b m =r ，若()()a b a b +⊥-r rr r ，则实数m 等于（）A ．12±B ．12C ．±D 6．（文科）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BC 的中点，则异面直线DE 与11A B 所成角的正切值为（）A B C ．2D7．已知函数()3f x x x =-，则曲线()y f x =过点()1,0的切线条数为（） A ．3B ．2C ．1D ．08．设F 为抛物线22y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=u u u v u u u v u u u v v，则FA FB FC ++=u u u v u u u v u u u v （） A ．9B ．6C ．4D ．39．已知集合{}10A x x =+≤，{|}B x x a =≥，若A B R =U ，则实数a 的值可以为（） A ．2B ．1C ．0D ．2-10．关于函数()f x cos x sinx =+有下述四个结论：①()f x 的图象关于y 轴对称；②()f x 在[]ππ-，有3个零点；③()f x 的最小值为；④()f x 在区间4ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减. 其中所有正确结论的编号是（） A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④11．命题p :2m =,命题q :直线()1120m x y m --+-=与直线230mx y m +-=垂直,则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（）第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、解答题13．等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等比数列{}n b 的第2项，第3项，第4项.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足12112n n nc c c b a a a ++++=L ,求数列{}n c 的前2020项的和． 14．已知函数()ln xe f x x x x=--.（1）求()f x 的最大值；（2）若1()()1xf x x e bx x++-≥恒成立，求实数b 的取值范围. 15．函数()()211.4f x x =+ （1）证明：()()22f x f x +-≥；（2）若存在x R ∈，且1x ≠-，使得()()2114f x m m f x +≤--成立，求m 取值范围.16．已知椭圆C :22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 是椭圆上一点，I 为12PF F ∆的内切圆圆心，11222PIF IF F PIF S S S ∆∆∆=-，且12PF F ∆的周长为6. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点()0,1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若()23OP OA OB =+u u u v u u u v u u u v，求四边形OAPB 面积的最大值.17．在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为1sin ρθ=-（02,0θπρ≤<>），M 为该曲线上的任意一点.（1）当32OM =时，求M 点的极坐标；（2）将射线OM 绕原点O 逆时针旋转2π与该曲线相交于点N ，求MN 的最大值. 18．新型冠状病毒肺炎疫情爆发以来，疫情防控牵挂着所有人的心. 某市积极响应上级部门的号召，通过沿街电子屏、微信公众号等各种渠道对此战“疫”进行了持续、深入的悬窗，帮助全体市民深入了解新冠状病毒，增强战胜疫情的信心. 为了检验大家对新冠状病毒及防控知识的了解程度，该市推出了相关的知识问卷，随机抽取了年龄在15~75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制频率分布直方图如图所示，把年龄落在区间[)1535，和[]3575，内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”. 经统计“青少年人”和“中老年人”的人数比为19:21. 其中“青少年人”中有40人对防控的相关知识了解全面，“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和不够全面的人数之比是2:1.（1）求图中a b ，的值；（2）现采取分层抽样在[)2535，和[)4555，中随机抽取8名市民，从8人中任选2人，求2人中至少有1人是“中老年人”的概率是多少？（3）根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并根据统计结果判断：能够有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加了解防控的相关知识？附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中.n a b c d =+++19．如图，在三棱锥P ABC -中，PAC ∆为正三角形，M 为棱PA 的中点，AB AC ⊥，12AC BC =，平面PAB ⊥平面PAC ．（1）求证：AB ⊥平面PAC ；（2）若2AC =，求三棱锥P BMC -的体积．三、填空题20．直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若2AB AC ==，13AA =，BAC ∠=90°，则此球的表面积等于______． 21．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()()()()()()00?4040020242O M N P Q H --，，，，，，，，，，，.线段OM 上的动点 A满足()()01OA OM λλ=∈u u u r u u u u r ，；线段HN 上的动点B 满足 HB HN λ=u u u r u u u r.直线PA 与直线QB 交于点L ，设直线PA 的斜率为k ，直线QB 的斜率为k '，则k k '⋅的值为________；当λ变化时，动点L 一定在________(填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个)上.22．已知实数x ，y 满足3,220,1.x y x y y +≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则目标函数31z x y =+-的最大值为________．23．在 ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若60A =o ，a bc =2，则sinBsinC =_______.参考答案1．A 【解析】分析：设三角形的直角边分别为1，利用几何概型得出图钉落在小正方形内的概率即可得出结论.解析：设三角形的直角边分别为12，故而大正方形的面积为4，小正方形的面积为)214=-∴=.∴落在黄色图形内的图钉数大约为210001342⨯≈.故选：A.点睛：应用几何概型求概率的方法建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可； (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型． 2．D 【解析】【分析】先判断出,a b 大于1，而c 小于1，得到最小为c .然后利用对数的运算和性质，比较,a b 两个数的大小. 【详解】2255log 3log 21,log 7log 51a b =>==>=，而400.71<<，故c 是最小的.由于542221log 7log 7log 7log log 32<==<，即52log 7log 3<，即b a <，故选D.本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于中档题. 3．A 【解析】【分析】对复数z 进行乘法运算，并计算得到42z i =+，从而得到虚部为2. 【详解】因为(1)(3)42z i i i =+-=+，所以z 的虚部为2. 【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部的概念，计算过程要注意21i =-. 4．B 【解析】【分析】模拟执行循环结构的程序得到n 与i 的值，计算得到2n =时满足判断框的条件，退出循环，输出结果，即可得到答案. 【详解】模拟执行循环结构的程序框图，可得：6,1n i ==，第1次循环：3,2n i ==；第2次循环：4,3n i ==；第3次循环：2,4n i ==，此时满足判断框的条件，输出4i =. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中根据给定的程序框图，根据判断框的条件推出循环，逐项准确计算输出结果是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 5．C 【解析】由向量垂直推出数量积关系，列出方程代入||1a =r 即可得解.【详解】因为()()a b a b +⊥-r rr r ，所以()()0a b a b +⋅-=r r r r ，得22||||0a b -=r r ，又2221||2b m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭r ，而||1a =r ，代入22||||0a b -=r r ，得234m =，所以2m =±，故选：C. 【点睛】本题考查由向量的垂直关系求参数，属于基础题. 6．C 【解析】【分析】由11//A B CD ，则CDE ∠就是异面直线DE 与11A B 所成角（或其补角），在三角形中求解即得．【详解】正方体中，11//A B CD ，则CDE ∠就是异面直线DE 与11A B 所成角（或其补角），设正方体棱长为1，E 为1BC 的中点，就是1B C 与1BC的交点，则2CE =，由正方体知DC CE ⊥，∴tan CE CDE CD ∠==故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题关键是作出异面直线所成的角． 7．B 【解析】【分析】设出切点坐标3000(,)P x x x -,利用导数求出过切点的切线方程，代入点()1,0，再利用导数求解关于0x 的方程的解的个数，即可求解. 【详解】设切点坐标3000(,)P x x x -,由()3f x x x =-，得2()31x f x '=-，∴切线斜率2031k x =-，所以过3000(,)P x x x -的切线方程为320000(31)()y x x x x x -+=--，即2300(31)2yx x x =--，Q 切线过点()1,0，故32002310x x -+=，令()32000231h x x x =-+,则()200066h x x x '=-，由()00h x '=，解得00x =或01x =，当0(,0),(2,)x ∈-∞+∞时，()00h x '>，当0(0,2)x ∈时，()00h x '<，所以()0h x 的极大值极小值分别为 h (0)10=>，(1)0h =，故其图像与x 轴交点2个，也就是切线条数为2. 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了函数零点个数的判断，属于中档题. 8．D 【解析】【分析】先设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，再依据0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r，判断点F 是ABC ∆重心，进而可求123x x x ++的值．最后根据抛物线的定义求得答案．【详解】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y抛物线焦点坐标1(,0)2F ，准线方程：12x =-，Q 0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r， ∴点F 是ABC ∆重心，则12332x x x ++=，1230y y y ++=. 而1111||()22FA x x =--=+2211||()22FB x x =--=+3311||()22FC x x =--=+123123111333||||||()3222222FA FB FC x x x x x x ∴++=+++++=+++=+=，故选：D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质．解本题的关键是判断出F 点为三角形的重心． 9．D 【解析】【分析】由题意可得{|1}A x x =≤-，根据A B R =U ，即可得出1a ≤-，从而求出结果．【详解】{|},1{|}A x x B x x a =≤-=≥Q ，且A B R =U ，1a ∴≤-，∴a 的值可以为2-．故选：D ．【点睛】考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算． 10．C 【解析】【分析】证明函数()f x 的奇偶性判断①；根据函数())4f x x π+=，[]0,x π∈的零点以及单调性判断②④；根据单调性、周期性以及对称性判断③. 【详解】()()f x cos x sin x co i f x s x s nx =-+=-=-+，则函数()f x 为R 上的偶函数，故①正确；当[]0,x π∈时，()cos )4f x x sinx x π+=+=()0f x =⇒4x k ππ+=，即4x k ππ=-，则()f x 在区间[]0,π的零点只有一个，所以()f x 在[]ππ-，有2个零点，故②错误；当[]0,x π∈时，5,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数y sinx =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减即函数()f x 在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故④正确；所以()f x 在[]0,π的最小值为：()5142f ππ⎛==-=- ⎝⎭因为函数()()22i )2s n (f f x cos x sin x x x x cos πππ+=+=+=++，所以函数()f x 的周期为2π由对称性以及周期性可知，函数()f x 的最小值为：1-，故③错误；故选：C 【点睛】本题主要考查了函数的零点个数、正弦型函数的单调性和周期性、在给定区间的正弦型函数的最值，属于较难题. 11．A 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】Q 由直线()1120m x y m --+-=与直线230mx y m +-=垂直∴ 可得(1)20m m --=,即220m m --=,解得1m =-或2m =.故:由直线()1120m x y m --+-=与直线230mx y m +-=垂直不能推出:2m =∴命题p 是命题q 不必要条件Q 由2m =时直线分别是: 100x y --=,30x y +-=,此时两条直线垂直.故命题p 能推出命题q∴ 命题p 是命题q 充分条件综上所述,p 是q 充分不必要条件. 故选:A. 【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题. 12．B 【解析】【分析】利用等差数列的性质求出4a 的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出7S 的值.【详解】由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=，()1747772732122a a a S +⨯∴===⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题.13．（1）2n a n =，2nn b =；（2）2022201928⨯+.【解析】【分析】(1)根据题意同时利用等差、等比数列的通项公式即可求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求出数列{}n c 的通项公式，再利用错位相减法即可求得数列{}n c 的前2020项的和. 【详解】(1)依题意得: 2324b b b =，所以2111(6)(2)(14)a a a +=++ ，所以22111112361628,a a a a ++=++解得1 2.a = 2.n a n ∴=设等比数列{}n b 的公比为q ，所以342282,4b a q b a ==== 又2224,422.n n n b a b -==∴=⨯= (2)由（1）知，2,2.n n n a n b == 因为11121212n n n n nc c c c a a a a +--++⋅⋅⋅⋅++= ① 当2n ≥时,1121212n n n c c c a a a --++⋅⋅⋅+= ② 由①-②得，2n nnc a =，即12n n c n +=⋅，又当1n =时，31122c a b ==不满足上式，18,12,2n n n c n n +=⎧∴=⎨⋅≥⎩ . 数列{}n c 的前2020项的和34202120208223220202S =+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯2342021412223220202=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯设2342020202120201222322019220202T =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ③，则34520212022202021222322019220202T =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ④，由③-④得：234202120222020222220202T -=+++⋅⋅⋅+-⨯2202020222(12)2020212-=-⨯-2022420192=--⨯ ，所以20222020201924T =⨯+，所以2020S =202220204201928T +=⨯+. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.是中档题.14．（1）max ()1f x e =-；（2）2b ≤ 【解析】（1）求出导函数，研究单调性，从而得到()f x 的最大值；（2）原问题等价于min e ln 1(),x x x xb x--+≥构造新函数求最小值即可.【详解】(1)()ln xe f x x x x=--，定义域(0,)+∞，221(1)(1)()()1x x e x x x e f x x x x---'=--=，由1x e x x ≥+>，()f x 在(0,1]增，在(1,)+∞减，max ()(1)1f x f e ==-(2)1()()e 1x f x x bx x ++-≥e e ln e 1x x xx x x bx x x⇔-+-++-≥ln e 10x x x x bx ⇔-++--≥e ln 1xx x xb x --+⇔≥min e ln 1(),x x x x b x--+⇔≥令e ln 1()x x x x x x ϕ--+=，2ln ()x x e xx xϕ+'=令2()ln xh x x e x =+，()h x 在(0,)+∞单调递增，0,()x h x →→-∞，(1)0h e =>()h x 在(0,1)存在零点0x ，即02000()ln 0x h x x e x =+=001ln 2000000ln 1ln 0(ln )()x x x x x e x x e e x x +=⇔=-=，由于xy xe =在(0,)+∞单调递增，故0001lnln ,x x x ==-即001x e x = ()x ϕ在0(0,)x 减，在0(,)x +∞增，000000min00e ln 111()2x x x x x x x x x ϕ--++-+===所以2b ≤. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最大值和最小值问题，以及对于不等式恒成立问题，解决不等式恒成立问题的常用方法是转化为最值恒成立． 15．（1）证明见详解；（2）1m ≤02m ≤≤或1m ≥+【解析】（1）()()()()22()2()2f x f x f x f x f x f x +-=+-≥+-=（2）首先用基本不等式得到()()114y f x f x =+≥=，然后解出不等式211m m --≥即可【详解】（1）因为()()21014f x x +≥=所以()()()()22()2()2f x f x f x f x f x f x +-=+-≥+-= （2）当1x ≠-时()()21014f x x +>=所以()()114y f x f x =+≥=当且仅当()()14f x f x =即1x =±因为存在x ∈R ，且1x ≠-，使得()()2114f x m m f x +≤--成立所以211m m --≥所以211m m --≥或211m m --≤-解得：1m ≤-02m ≤≤或1m ≥【点睛】1.要熟练掌握绝对值的三角不等式，即a b a b a b -≤±≤+2.应用基本不等式求最值时要满足“一正二定三相等”.16．（1）22143x y +=；（2）【解析】【分析】（1）因为11222PIF IF F PIF S S S ∆∆∆=-，所以1122||2||||=-PF F F PF ，结合12PF F ∆的周长为6，可算得,a c ，从而可得到本题答案；（2）设直线AB 的方程为+1y kx =，与椭圆方程联立消y ，利用韦达定理，写出1212,x x x x +的表达式，又因为()23OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，所以=3OAB OAPB S S ∆四边形，从而可得到四边形OAPB S 的表达式，逐步化简，求其最大值. 【详解】（1）∵11222PIF IF F PIF S S S ∆∆∆=-，∴1212||||2||PF PF F F +=，即2a c =① 又∵12PF F ∆的周长为6 ∴1212|||||6PF PF F F ++=，即226a c +=②由①②可得2a =，1c =，则b =∴椭圆方程为22143x y +=（2）设直线AB 的方程为+1y kx =，()11,A x y ，()22,B x y ，则由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩联立消y可得，()2234880k x kx ++-=，12212208348·34k x x k x x k ⎧⎪∆>⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩∵()23OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，∴=3OAB OAPB S S ∆四边形∴1223=||234四边形-==+OAPBS x xk 1t =≥ ∴2212t k -=，∴2OAPB S t t==+四边形又∵12y t t =+在区间[1,)+∞上单调递增，∴3y≥，∴OAPB S ≤四边形∴四边形OAPB 的面积最大值为【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线以及向量的综合应用，直线方程与椭圆方程联立消y ，利用韦达定理是解决本题的关键. 17．（1）点M 的极坐标为37,26π⎛⎫⎪⎝⎭或311,26π⎛⎫⎪⎝⎭（21【解析】【分析】（1）令31sin 2θ=-，由此求得θ的值，进而求得点M 的极坐标. （2）设出,M N 两点的极坐标，利用勾股定理求得MN 的表达式，利用三角函数最值的求法，求得MN 的最大值. 【详解】（1）设点M 在极坐标系中的坐标3,2θ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由1sin ρθ=-，得31sin 2θ=-，1sin 2θ=- ∵02θπ≤< ∴76θπ=或116πθ=，所以点M 的极坐标为37,26π⎛⎫⎪⎝⎭或311,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）由题意可设()1,M ρθ，2,2N πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 由1sin ρθ=-，得11sin ρθ=-，21sin 1cos 2πρθθ⎛⎫=-+=-⎪⎝⎭.==M N==故54πθ=时，MN 1. 【点睛】本小题主要考查极坐标的求法，考查极坐标下两点间距离的计算以及距离最值的求法，属于中档题.18．（1）0.0325a =，0.0175b =；（2）1328；（3）列联表见详解，有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加了解防控的相关知识【解析】【分析】（1）由“青少年人”和“中老年人”的人数比为19:21，求出a b ，（2）用古典概型的概率计算公式求出2人中至少有1人是“中老年人”的概率（3）用公式求2K ，比较得结果. 【详解】（1）由题意得()()190.031040210.021040b a ⎧+⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯=⎪⎩，解得0.03250.0175a b =⎧⎨=⎩ （2）由题意得在[)2535，中抽取6人，在[)4555，中抽取2人从8人中任选2人，记事件A 表示的是2人中至少有1人是“中老年人”则()112622281328C C C P A C +== （3）由题意可得2×2列联表如下：所以()2295105110200403905557012.15710.828K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加了解防控的相关知识【点睛】本题考查是统计与概率的相关知识，属于基础题. 19．（1）见解析；（2）1. 【解析】【分析】（1）由三线合一的性质得出CM PA ⊥，再利用平面与平面垂直的性质定理可得出CM ⊥平面PAB ，可得出AB CM ⊥，再由AB AC ⊥，结合直线与平面垂直的判定定理可得出AB ⊥平面PAC ；（2）由（1）知AB ⊥平面PAC ，则三棱锥B PMC -的高为AB ，计算出PMC ∆的面积和AB ，再利用锥体的体积公式可计算出三棱锥B PMC -的体积，即为三棱锥P BMC -的体积.【详解】（1）PAC ∆Q 为等边三角形，且M 为PA 的中点，CM PA ∴⊥.Q 平面PAB ⊥平面PAC ，平面PAB ⋂平面PAC PA =，CM ⊂平面PAC ，CM ∴⊥平面PAB ，AB ⊂Q 平面PAB ，AB CM ∴⊥.又AB AC ⊥，CM AC C =I ，AC 、CM ⊂平面PAC ，AB ∴⊥平面PAC ；（2）AB AC ⊥Q ，且2AC =，24BC AC ==，AB ∴=又PAC ∆是边长为2的等边三角形，且M 为PA 的中点，则CM PA ⊥，且sin 60CM PC ==o ，PMC ∆的面积为11122PMC S PM CM ∆=⋅=⨯=.因此，三棱锥P BMC -的体积为111332P BMC B PMC PMC V V S AB --∆==⋅=⨯=. 【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，同时也考查了三棱锥体积的计算，解题时要充分利用题中的线面垂直或面面垂直条件寻找三棱锥的高，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 20．17π【解析】【分析】首先根据几何体的特征找到球的球心，再求半径和球的表面积.【详解】如图，取11,BC B C 的中点12,O O ，由条件可知，1O ，2O 是ABC ∆和111A B C ∆的外接圆的圆心，连接12O O ，取12O O 的中点O ,连接OB ，O 是直三棱柱111ABC A B C -外接球的球心，BC==1O B ∴=OB===，∴R=,∴此球的表面积等于2417S Rππ==.故答案为：17π【点睛】本题考查三棱柱外接球的表面积，意在考查空间想象能力，数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型.21．14双曲线【解析】【分析】根据向量关系得到A、B的坐标，然后即可得到1,22k kλλ-'==-，然后用k表示出直线PA与QB的方程，然后联立直线PA与QB的方程，消去k后即可得到答案【详解】由()()01OA OMλλ=∈u u u r u u u u r，得点()4,0Aλ-设()00,B x y，则()004,2HB x y=--u u u r，()0,2HN=-u u u r由HB HNλ=u u u r u u u r得04022xyλ-=⎧⎨-=-⎩，即0422xyλ=⎧⎨=-⎩所以点()4,22Bλ-所以1,22k k λλ-'==-，所以14k k '⋅= 所以直线:2PA y kx =-，直线1:24QB y x k =+ 联立直线PA 与QB 的方程，消去k 后得221416y x -= 所以点L 一定在双曲线上故答案为：14，双曲线【点睛】本题考查的是向量的坐标运算及用消去法求动点的轨迹方程，属于中档题. 22．6【解析】【分析】作出可行域，比较斜率找到最优解，代入最优解的坐标即可得到答案.【详解】作出可行域，如图所示：由图可知最优解为(2,1)M ，所以max 32116z =⨯+-=.故答案：6【点睛】本题考查了线性规划求目标函数的最值，根据斜率的关系，找到最优解是解题关键.23．34【解析】【分析】利用正弦定理即得求解.【详解】因为60A =o ，a bc =2，所以2sin sin sin A B C =,所以2324sinBsinC ==. 故答案为：34【点睛】本题主要考查正弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

湖南省岳阳市岳阳县一中2020届高三市一模模拟卷二理科数学

岳阳县一中2020届高三市一模模拟试题(二)数学(理科)总分:150分时量:120分钟一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置. 1.若复数z 满足(2)55(z i i i +=+为虚数单位),则z 为( )A. 35i +B. 35i -C. 35i -+D. 35i -- 2.已知集合{|2},{|2}x x A x y B y y ====,则A B =I ( )A. [0,)+∞B. (0,)+∞C. RD. ∅3.设某大学的女生体重y (单位:kg )与身高x (单位:cm )具有线性相关关系,根据一组样本数据(,i x )(1,2,,)i y i n =L ,用最小二乘法建立的回归直线方程为$0.8585.71y x =-,则下列结论中不正确的是( )A. y 与x 具有正的线性相关关系B. 回归直线方程过样本点的中心(,)x yC. 若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD. 若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重为58.79kg4.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若2019201312018,620192013S S a =--=,则2019S =( ) A. 2019 B. 2018 C. 1 D. 05.已知217()ln ,()(0)22f x xg x x mx m ==++<,直线l 与函数(),()f x g x 的图象都相切,且与()f x 图象的切点为(1,(1))f ,则m 的值为( )A. 1-B. 3-C. 4-D. 2-6.在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点,O E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD交于点F ,若,AC BD ==a b u u u r u u u r ,则AF u u u r等于( )A.1142+a b B. 2133+a b C. 1124+a b D. 1233+a b 7.如图,在正方体ABCD -1111A B C D 中,E 为棱1BB 的中点,用过点 1,,A E C 的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的侧视图为( )8.已知F 为抛物线28y x =的焦点,过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于,A B 两点, 则||FA FB -的值为( )C A B DD 11A. B. 8C. D. 16 9.函数()sin f x x =在区间(0,10)π上可以找到n 个不同的数12,,n x x x L ,使得1212()()()n nf x f x f x x x x ===L 成立,则n 的最大值等于( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 1110.从混有5张假钞的20张一百元钞票中任意抽取2张,将其中一张在验钞机上检验发现是假钞,则这两张都是假钞的概率为( )A.217 B. 215 C. 15 D. 31011.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ,以线段12F F 为直径为圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ,若12||||2MF MF b -=,该双曲线的离心率为e ,则2e =( )A. 2B.12C. 32+D. 12.已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1,点M 在线段BC 上(点M 异于,B C 两点),点N 为线段1CC 的中点,若平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为四边形,则线段BM 的取值范围为( )A. 1(0,]3B. 1(0,]2C. 1[,1)2D. 12[,]23二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡中对应题号后横线上.13.若变量,x y 满足约束条件2,1,1,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则2x y +的最大值为 .14.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题:“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(即百分比)为“衰分比”.今共有粮38石,按甲、乙、丙的顺序进行“衰分”,已知甲分得18石,则“衰分比”为15.若3(ax 的展开式中含2x项的系数为,则22a x dx -⎰的值为 16.函数()2)f x x π≤≤的值域为 .三、解答题:本大题共7小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必考题:共60分17.(本小题满分12分)已知(2cos ,1),(,cos )x x y x =+=a b ,且//a b . (Ⅰ)将y 表示成x 的函数()f x ,并求()f x 的最小正周期;(Ⅱ)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若9()3,2f B BC BA =⋅=u u u r u u u r,且3a c +=,求边长b .18.(本小题满分12分)如图,平面ABEF ⊥平面ABC ,四边形ABEF 为矩形,,AC BC O =为AB 的中点,OF EC ⊥. (Ⅰ)求证:OE FC ⊥;(Ⅱ)若FC 与平面ABC 所成的角为30o ,求钝二面角F CE B --的余弦值.19.(本小题满分12分)已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的椭圆G 与x 轴交于A 、C 两点,与y 轴交于B 、D 两点,且A 点的坐标为(—2,0),四边形ABCD 的面积为4. (Ⅰ)求椭圆G 的方程;(Ⅱ)过x 轴上一点M (1,0)作一条不垂直于y 轴的直线l ,交椭圆G 于E 、F 点,是否存在直线l ,使得AEF ∆,说明理由.20.(本小题满分12分)岳阳市某县乡村中学教师流失现象非常严重,为了乡村孩子们能接受良好教育,该县教体局今年要为两所乡村中学招聘储备未来三年的教师,现在每招聘一名教师需要1万元,若三年后教师严重短缺时再招聘,由于各种因素,则每招聘一名教师需要3万元,已知现在该县乡村中学无多余教师,为决策应招聘多少名乡村中学教师,该县教体局搜集并整理了其中50表示两所乡村中学过去三年共流失的教师数,n 表示今年这两所乡村中学招聘的教师数.为保障该县乡村中学孩子们教育不受影响,若未来三年内教师有短缺,则第四年马上招聘短缺的教师.(Ⅰ)求X 的分布列;(Ⅱ)若要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值;(Ⅲ)以两所乡村中学未来四年内招聘教师所需费用的期望值为决策依据,在15n =与16n =之中选一种,应选用哪种? 21.(本小题满分12分)A C O EB F已知函数21()(1)ln 2f x ax a x x =-++. (Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;(Ⅱ)若对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞<,都有2121()()1f x f x x x -≥--恒成立,求a 的取值范围; (Ⅲ)当0a >时,若()f x 在区间[1,]e 上的最小值为2-,求a 的值.(二)选考题:共10分.请考生在第22～23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分) 选修4-4: 坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,点M ,以坐标原点为极点,x 轴为非负半轴为极轴,取相同的单位长度,建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为cos()4πρθ-=点A 为直线l 与极轴的交点,若以A 点为圆心的圆经过点M . (Ⅰ).求圆A 的直角坐标方程;(Ⅱ).若直线l '的参数方程为1,(,x ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数),直线l '与圆A 交于,P Q 两点,求||PQ 的值.23.(本小题满分10分) 选修4-5: 不等式选讲已知0x R ∃∈,使|1||2|x x t ---≥成立. (Ⅰ)求满足条件的实数t 的集合T ;(Ⅱ)若1,1,m n >>对t T ∀∈,不等式33log log m n t ⋅≥恒成立,求mn 的最小值.模拟卷(二)参考答案一、选择题 1.B. 2.B. 3.D. 4.D. 5.D. 6.B. 7.C. 8.C. 9.C. 10. A. 11.D. 12. B.二、填空题 13. 53. 14.13. 15.73,3或. 16.11[,]22y ∈-.三、解答题17.【解】(Ⅰ)由//a b 得,22cos cos 0x x x y +-=,…………………………………2分即22cos cos 1cos222sin(2)16y x x x x x x π=+=++=++所以()2sin(2)16f x x π=++,……………………………………………………………4分又22||2T πππω===,所以()f x 的最小正周期为π.……………………………………6分 (Ⅱ)由()3f B =得2sin(2)136B π++=,即sin(2)16B π+=, 又22666B ππππ<+<+,所以262B ππ+=,即6B π=.…………………………………8分又由92BC BA ⋅=u u u r u u u r 知9cos 2ac B =,所以ac =分由余弦定理知22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+,即22(3233b =-⨯+=,所以b =分 18.【解】(Ⅰ) 证明:由平面ABEF ⊥平面ABC且,AC BC O =为AB 中点,所以OC AB ⊥, 所以OC ⊥面ABEF ,故OF OC ⊥,又已知OF EC ⊥OF ⊥面OEC ;也所以OE OF ⊥OE OC ⊥, 且OC OF O =I 所以OE FC ⊥分 (Ⅱ)由平面ABEF ⊥平面ABC 且矩形ABEF 中,AF AB ⊥,ABC ,取EF 的中点D ,连结OD , 易知OD ⊥面ABC ,如图以O 为原点,以OC OB OD 、、分别为x y z 、、轴建立空间坐标系,设1AF =,则2AB=,由FC 与平面ABC 所成的角为30o ,即30ACF ∠=o ,所以2,AC FC OC ===则(0,1,1),(0,1,1),(0,1,0)F E C B -,从而((0,2,0)CE EF ==-u u u r u u u r,设平面FCE 的法向量为1(,,)x y z =n ,则由110,0CE EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u u ur,得0,20y z y ⎧++=⎪⎨-=⎪⎩,得0y =,令1,x =得z =,故1=n , 同理可得平面BEC的一个法向量为=n ,13=-,即求.…………………………………12分19.【解】(Ⅰ)因为A 点坐标为(2,0)-,故4AC =,又因为四边形ABCD 为菱形,故其面积为14,2AC BD =⨯⨯故2BD =.所以椭圆G 是焦点在x 轴上的椭圆,且长半轴长为2,短半轴长为1.所以椭圆G 的方程为2214x y +=20.【解】(Ⅰ)依题依题每所中学流失教师数6,7,8,9的概率分别为510105，，，, 又X 的所有可能取值为12,13,14,15,16,17,18,19,且两所中学教师流失是相互独立事件,于是由事件的相互独立性知211133(12)(,(13)252551025P X P X =====⨯⋅=; 222313211313(14)(2,(15)2(2()1051010051050P X P X ==+⋅⋅===+=;233121313(16)(2,(17)21010510010525P X P X ==+⋅⋅===⋅⋅=,211(18)()525P X ===. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当14n =时,(14)0.52525100100P X ≤=++=<;当15n =时,371363(15)0.510050100P X ≤=+=>,所以n 的最小值为15.…………………7分 (Ⅲ)设ξ表示两所乡村中学未来四年内在招聘教师上所需的费用,①当15n =时,可知15X ≤时,15ξ=;16X =时,18ξ=;17X =时,21ξ=; 18X =时,24ξ=;于是ξ的分布列为于是1()1518212416.711001002525100E ξ=⋅+⋅+⋅+⋅==;②当16n =时,同理可得ξ分布列为:于是2()16192216.6252525100E ξ=⋅+⋅+⋅==;由于12()()E E ξξ>,故应选16n =.……………………………………………………12分21.【解】(Ⅰ)当1a =时,211()ln 2,()22f x x x x f x x x'=+-=+-所以3(1)0,(1)2k f f '===-,所以切线方程为32y =-..…………………………………3分(Ⅱ)由对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞<,都有2121()()1f x f x x x -≥--恒成立等价于21121122()()()()f x f x x x f x x f x x -≥-⇔+≤+,等价于21()()ln 2g x f x x ax ax x =+=-+在(0,)+∞上递增(()g x 不可能为常量函数)则211()0ax ax g x ax a x x-+'=-+=≥在(0,)+∞恒成立,于是210ax ax -+≥对(0,)+∞恒成立, ①当0a =时,10≥显然成立;②当0a ≠时,由二次函数图象知,有0a >,又102x =>对,所以只须240a a ∆=-≤,得04a <≤;综上①②得04a ≤≤..………………………………………………………………………7分(Ⅲ)由21()ln (1)2f x x ax a x =+-+的定义域为(0,)+∞,又21(1)1(1)(1)()(1),0,0ax a x ax x f x ax a x a x x x-++--'=+-+==>>,令()0f x '=时,得1211,x x a==;①当1a =时,2(1)()0x f x x-'=≥,则()f x 在定义域上递增,所以min 1()(1)122f x f a ==--=-,得2a =,舍去;②当1a >时,则11a <,可知当1x >时,()0f x '>,则()f x 递增,同理①可得2a =,符合;③当01a <<时,11a >;当11x a <<,()0f x '<,()f x 递减,当1x a>时,()0f x '>,()f x 递增,1)当1e a ≥,即10a e<≤时,()f x 在[1,]e 上最小值21()1(1)12f e ae a e =+-+=-,解得26202ea e e-=<-,舍去; 2)当11e a <<,即11a e<<时,()f x 在[1,]e 上最小值为11()ln 122f a a a =---=-,即1ln 12a a +=,令2211121()ln ,()222a h a a h a a a a a -'=+=-=, 易知当112a e <<时,()0h a '<,()h a 递减,当112a <<时,()0,()h a h a '>递增;所以1()max{(),(1)}h a h h e ≤.又11()11,(1)122e h h e =-+<=<,所以()1h a <恒成立.所以1ln 12a a +=在1(,1)e上无解. 综上①②③知,2a =为所求. ………………………………………………………………12分22.【解】(Ⅰ)由直线l :cos()4πρθ-=,cos sin 2ρθρθ+= 代入得:20l x y +-=,令0y =时,得(2,0)A ,易知圆A 的半径为2r AM ==,也即22:(2)4A x y -+=e .(Ⅱ)设直线l '与A e 交点,P Q 对参数分别为12,t t ,则由t 的几何意义知12||||PQ t t =-,也即||PQ 而将l '方程代入A e 中有230t -=,0∆>恒成立,故12123t t t t +==-,代入上式得||PQ ==即求.23.【解】(Ⅰ)由绝对值三角不等式||1||2|||(1)(2)|1x x x x ---≤---=, 当(1)(2)0x x --≥,即1,x ≤或2x ≥时取等号,得1|1||2|1x x -≤---≤,依题0x R ∃∈,使|1||2|x x t ---≥成立,则只需1t ≤,即有{|1}T t t =≤.………………5分 (Ⅱ)由t T ∀∈,不等式33log log m n t ⋅≥恒成立,则33log log 1m n ⋅≥, 而1,1,m n >>则33log 0,log 0m n >>,于是由2233333log log log log log ()24m n mnm n +⋅≤=,得2333log log log mn m n ≥4⋅≥4⨯1, 得3log 2mn ≥,即9mn ≥,当且仅当33log log m n =,且33log log 1m n ⋅=时取等号,于是得3m n ==时,mn 有最小值9. ……………………………………………………10分。

湖南省岳阳市岳阳一中2020届高三一模理科数学试卷(附答案)

岳阳县一中2020届高三市一模模拟试题(二)数学(理科)总分:150分时量:120分钟一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置. 1.若复数z 满足(2)55(z i i i +=+为虚数单位),则z 为( )A. 35i +B. 35i -C. 35i -+D. 35i -- 2.已知集合{|2},{|2}x x A x y B y y ====,则A B =I ( )A. [0,)+∞B. (0,)+∞C. RD. ∅3.设某大学的女生体重y (单位:kg )与身高x (单位:cm )具有线性相关关系,根据一组样本数据(,i x )(1,2,,)i y i n =L ,用最小二乘法建立的回归直线方程为$0.8585.71y x =-,则下列结论中不正确的是( )A. y 与x 具有正的线性相关关系B. 回归直线方程过样本点的中心(,)x yC. 若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD. 若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重为58.79kg4.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若2019201312018,620192013S S a =--=,则2019S =( ) A. 2019 B. 2018 C. 1 D. 05.已知217()ln ,()(0)22f x xg x x mx m ==++<,直线l 与函数(),()f x g x 的图象都相切,且与()f x 图象的切点为(1,(1))f ,则m 的值为( )A. 1-B. 3-C. 4-D. 2-6.在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点,O E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD交于点F ,若,AC BD ==a b u u u r u u u r ,则AF u u u r等于( )A.1142+a b B. 2133+a b C. 1124+a b D. 1233+a b 7.如图,在正方体ABCD -1111A B C D 中,E 为棱1BB 的中点,用过点 1,,A E C 的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的侧视图为( )8.已知F 为抛物线28y x =的焦点,过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于,A B 两点, 则||FA FB -的值为( )C A B DD 11A. B. 8C. D. 16 9.函数()sin f x x =在区间(0,10)π上可以找到n 个不同的数12,,n x x x L ,使得1212()()()n nf x f x f x x x x ===L 成立,则n 的最大值等于( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 1110.从混有5张假钞的20张一百元钞票中任意抽取2张,将其中一张在验钞机上检验发现是假钞,则这两张都是假钞的概率为( )A.217 B. 215 C. 15 D. 31011.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ,以线段12F F 为直径为圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ,若12||||2MF MF b -=,该双曲线的离心率为e ,则2e =( )A. 2B.12C. 32+D. 12.已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1,点M 在线段BC 上(点M 异于,B C 两点),点N 为线段1CC 的中点,若平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为四边形,则线段BM 的取值范围为( )A. 1(0,]3B. 1(0,]2C. 1[,1)2D. 12[,]23二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡中对应题号后横线上.13.若变量,x y 满足约束条件2,1,1,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则2x y +的最大值为 .14.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题:“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(即百分比)为“衰分比”.今共有粮38石,按甲、乙、丙的顺序进行“衰分”,已知甲分得18石,则“衰分比”为15.若3(ax 的展开式中含2x项的系数为,则22a x dx -⎰的值为 16.函数()2)f x x π≤≤的值域为 .三、解答题:本大题共7小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必考题:共60分17.(本小题满分12分)已知(2cos ,1),(,cos )x x y x =+=a b ,且//a b . (Ⅰ)将y 表示成x 的函数()f x ,并求()f x 的最小正周期;(Ⅱ)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若9()3,2f B BC BA =⋅=u u u r u u u r,且3a c +=,求边长b .18.(本小题满分12分)如图,平面ABEF ⊥平面ABC ,四边形ABEF 为矩形,,AC BC O =为AB 的中点,OF EC ⊥. (Ⅰ)求证:OE FC ⊥;(Ⅱ)若FC 与平面ABC 所成的角为30o ,求钝二面角F CE B --的余弦值.19.(本小题满分12分)已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的椭圆G 与x 轴交于A 、C 两点,与y 轴交于B 、D 两点,且A 点的坐标为(—2,0),四边形ABCD 的面积为4. (Ⅰ)求椭圆G 的方程;(Ⅱ)过x 轴上一点M (1,0)作一条不垂直于y 轴的直线l ,交椭圆G 于E 、F 点,是否存在直线l ,使得AEF ∆,说明理由.20.(本小题满分12分)岳阳市某县乡村中学教师流失现象非常严重,为了乡村孩子们能接受良好教育,该县教体局今年要为两所乡村中学招聘储备未来三年的教师,现在每招聘一名教师需要1万元,若三年后教师严重短缺时再招聘,由于各种因素,则每招聘一名教师需要3万元,已知现在该县乡村中学无多余教师,为决策应招聘多少名乡村中学教师,该县教体局搜集并整理了其中50表示两所乡村中学过去三年共流失的教师数,n 表示今年这两所乡村中学招聘的教师数.为保障该县乡村中学孩子们教育不受影响,若未来三年内教师有短缺,则第四年马上招聘短缺的教师.(Ⅰ)求X 的分布列;(Ⅱ)若要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值;(Ⅲ)以两所乡村中学未来四年内招聘教师所需费用的期望值为决策依据,在15n =与16n =之中选一种,应选用哪种? 21.(本小题满分12分)A C O EB F已知函数21()(1)ln 2f x ax a x x =-++. (Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;(Ⅱ)若对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞<,都有2121()()1f x f x x x -≥--恒成立,求a 的取值范围; (Ⅲ)当0a >时,若()f x 在区间[1,]e 上的最小值为2-,求a 的值.(二)选考题:共10分.请考生在第22～23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分) 选修4-4: 坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,点M ,以坐标原点为极点,x 轴为非负半轴为极轴,取相同的单位长度,建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为cos()4πρθ-=点A 为直线l 与极轴的交点,若以A 点为圆心的圆经过点M . (Ⅰ).求圆A 的直角坐标方程;(Ⅱ).若直线l '的参数方程为1,(,x ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数),直线l '与圆A 交于,P Q 两点,求||PQ 的值.23.(本小题满分10分) 选修4-5: 不等式选讲已知0x R ∃∈,使|1||2|x x t ---≥成立. (Ⅰ)求满足条件的实数t 的集合T ;(Ⅱ)若1,1,m n >>对t T ∀∈,不等式33log log m n t ⋅≥恒成立,求mn 的最小值.模拟卷(二)参考答案一、选择题 1.B. 2.B. 3.D. 4.D. 5.D. 6.B. 7.C. 8.C. 9.C. 10. A. 11.D. 12. B.二、填空题 13. 53. 14.13. 15.73,3或. 16.11[,]22y ∈-.三、解答题17.【解】(Ⅰ)由//a b 得,22cos cos 0x x x y +-=,…………………………………2分即22cos cos 1cos222sin(2)16y x x x x x x π=+=++=++所以()2sin(2)16f x x π=++,……………………………………………………………4分又22||2T πππω===,所以()f x 的最小正周期为π.……………………………………6分 (Ⅱ)由()3f B =得2sin(2)136B π++=,即sin(2)16B π+=, 又22666B ππππ<+<+,所以262B ππ+=,即6B π=.…………………………………8分又由92BC BA ⋅=u u u r u u u r知9cos 2ac B =,所以ac =分由余弦定理知22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+,即22(3233b =-⨯+=,所以b =分 18.【解】(Ⅰ) 证明:由平面ABEF ⊥平面ABC且,AC BC O =为AB 中点,所以OC AB ⊥, 所以OC ⊥面ABEF ,故OF OC ⊥,又已知OF EC ⊥OF ⊥面OEC ;也所以OE OF ⊥OE OC ⊥, 且OC OF O =I 所以面所以OE FC ⊥分 (Ⅱ)由平面ABEF ⊥平面ABC 且矩形ABEF 中,AF AB ⊥,ABC ,取EF 的中点D ,连结OD , 易知OD ⊥面ABC ,如图以O 为原点,以OC OB OD 、、分别为x y z 、、轴建立空间坐标系,设1AF =,则2AB=,由FC 与平面ABC 所成的角为30o ,即30ACF ∠=o ,所以2,AC FC OC ===则(0,1,1),(0,1,1),(0,1,0)F E C B -,从而((0,2,0)CE EF ==-u u u r u u u r,设平面FCE 的法向量为1(,,)x y z =n ,则由110,0CE EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u u ur ,得0,20y z y ⎧++=⎪⎨-=⎪⎩,得0y =,令1,x =得z =,故1=n , 同理可得平面BEC 的一个法向量为2=n ,3=-,即求.…………………………………12分19.【解】(Ⅰ)因为A 点坐标为(2,0)-,故4AC =,又因为四边形ABCD 为菱形,故其面积为14,2AC BD =⨯⨯故2BD =.所以椭圆G 是焦点在x 轴上的椭圆,且长半轴长为2,短半轴长为1.所以椭圆G 的方程为2214x y +=20.【解】(Ⅰ)依题依题每所中学流失教师数6,7,8,9的概率分别为510105，，，, 又X 的所有可能取值为12,13,14,15,16,17,18,19,且两所中学教师流失是相互独立事件,于是由事件的相互独立性知211133(12)(,(13)252551025P X P X =====⨯⋅=; 222313211313(14)(2,(15)2(2()1051010051050P X P X ==+⋅⋅===+=;233121313(16)(2,(17)21010510010525P X P X ==+⋅⋅===⋅⋅=,211(18)()525P X ===.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当14n =时,132137(14)0.52525100100P X ≤=++=<; 当15n =时,371363(15)0.510050100P X ≤=+=>,所以n 的最小值为15.…………………7分(Ⅲ)设ξ表示两所乡村中学未来四年内在招聘教师上所需的费用,①当15n =时,可知15X ≤时,15ξ=;16X =时,18ξ=;17X =时,21ξ=;时,;于是的分布列为于是1()1518212416.711001002525100E ξ=⋅+⋅+⋅+⋅==;②当16n =时,同理可得分布列为:于是2()16192216.6252525100E ξ=⋅+⋅+⋅==;由于12()()E E ξξ>,故应选16n =.……………………………………………………12分21.【解】(Ⅰ)当1a =时,211()ln 2,()22f x x x x f x x x'=+-=+-所以3(1)0,(1)2k f f '===-,所以切线方程为32y =-..…………………………………3分(Ⅱ)由对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞<,都有2121()()1f x f x x x -≥--恒成立等价于21121122()()()()f x f x x x f x x f x x -≥-⇔+≤+,等价于21()()ln 2g x f x x ax ax x =+=-+在(0,)+∞上递增(()g x 不可能为常量函数)则211()0ax ax g x ax a x x-+'=-+=≥在(0,)+∞恒成立,于是210ax ax -+≥对(0,)+∞恒成立, ①当0a =时,10≥显然成立;②当0a ≠时,由二次函数图象知,有0a >,又102x =>对,所以只须240a a ∆=-≤,得04a <≤;综上①②得04a ≤≤..………………………………………………………………………7分(Ⅲ)由21()ln (1)2f x x ax a x =+-+的定义域为(0,)+∞,又21(1)1(1)(1)()(1),0,0ax a x ax x f x ax a x a x x x-++--'=+-+==>>,令()0f x '=时,得1211,x x a==; ①当1a =时,2(1)()0x f x x-'=≥,则()f x 在定义域上递增,所以min 1()(1)122f x f a ==--=-,得2a =,舍去;②当1a >时,则11a <,可知当1x >时,()0f x '>,则()f x 递增,同理①可得2a =,符合;③当01a <<时,11a >;当11x a <<,()0f x '<,()f x 递减,当1x a>时,()0f x '>,()f x 递增,1)当1e a ≥,即10a e<≤时,()f x 在[1,]e 上最小值21()1(1)12f e ae a e =+-+=-,解得26202ea e e -=<-,舍去;2)当11e a <<,即11a e<<时,()f x 在[1,]e 上最小值为11()ln 122f a a a =---=-,即1ln 12a a +=,令2211121()ln ,()222a h a a h a a a a a -'=+=-=, 易知当112a e <<时,()0h a '<,()h a 递减,当112a <<时,()0,()h a h a '>递增;所以1()max{(),(1)}h a h h e ≤.又11()11,(1)122e h h e =-+<=<,所以()1h a <恒成立.所以1ln 12a a +=在1(,1)e上无解. 综上①②③知,2a =为所求. ………………………………………………………………12分22.【解】(Ⅰ)由直线l :cos()4πρθ-=,cos sin 2ρθρθ+= 代入得:20l x y +-=,令0y =时,得(2,0)A ,易知圆A 的半径为2r AM ==,也即22:(2)4A x y -+=e .(Ⅱ)设直线l '与A e 交点,P Q 对参数分别为12,t t ,则由t 的几何意义知12||||PQ t t =-,也即||PQ 而将l '方程代入A e 中有230t -=,0∆>恒成立,故12123t t t t +==-,代入上式得||PQ ==即求.23.【解】(Ⅰ)由绝对值三角不等式||1||2|||(1)(2)|1x x x x ---≤---=, 当(1)(2)0x x --≥,即1,x ≤或2x ≥时取等号,得1|1||2|1x x -≤---≤,依题0x R ∃∈,使|1||2|x x t ---≥成立,则只需1t ≤,即有{|1}T t t =≤.………………5分 (Ⅱ)由t T ∀∈,不等式33log log m n t ⋅≥恒成立,则33log log 1m n ⋅≥, 而1,1,m n >>则33log 0,log 0m n >>,于是由2233333log log log log log ()24m n mnm n +⋅≤=,得2333log log log mn m n ≥4⋅≥4⨯1, 得3log 2mn ≥,即9mn ≥,当且仅当33log log m n =,且33log log 1m n ⋅=时取等号,于是得3m n ==时,mn 有最小值9. ……………………………………………………10分。

2020年湖南省岳阳市高考数学二模试卷(二)(有答案解析)

每分钟跳绳个
数
[155，165）
[165，175）
[175，185）
[185，+∞）
得分
17
18
19
20
（1）现从样本的 100 名学生中，任意选取 2 人，求两人得分之和不大于 35 分的概率；（2）若该校初三年级所有学生的跳绳个数 X 服从正态分布 N（μ，σ2），用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差 S2≈169（各组数据用中点值代替）．根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加 10 个，现利用所得正态分布模型：
B. 6
C. 8
D. 10
5. 将多项式 a6x6+a5x5+…+a1x+a0 分解因式得（x-2）（x+2）5，则 a5=（）
A. 8
B. 10
C. 12
D. 1
6. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何
体的三视图，其侧视图中的曲线为圆周，则该几何体的体积
为（）
A. 16π B. 64-16π
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1.答案：D
-------- 答案与解析 --------
解析：【分析】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先分别求出集合 M，N，由此能求出 M∩N．【解答】解：∵集合 M={x|log2x＜2}={x|0＜x＜4}， N={-1，0，1，2}， ∴M∩N={1，2}．故选：D．
函数 f（x）与 g（x）互为“n 度零点函数“，若 f（x）=32-x-1 与 g（x）=x2-aex 互为

湖南省岳阳市2020届高三教学质量检测(二)数学(文)试题附答案+全解全析

岳阳市2020届高三教学质量检测试卷（二）文科数学分值：150分时量：120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．已知复数(1)(3)z i i =+-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A ．2B ．2iC ．4D ．4i2．已知集合{|10}A x x =+≤，{|}B x x a =≥，若A B R ⋃=，则实数a 的值可以为（）A ．2B ．1C ．0D ．2-3．命题:2p m =，命题:q 直线(1)120m x y m --+-=与直线230mx y m +-=垂直，则p 是q 成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．若424log 3,log 7,0.7a b c ===，则实数,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．c b a >>5．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（）A ．42B ．21C ．7D ．36．已知向量1||1,2a b m ⎛⎫== ⎪⎝⎭r r ，若()()a b a b +⊥-r r r r ，则实数m 的值为（） A ．12 B．2 C ．12± D．2±7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BC 的中点，则异面直线DE 与11A B 所成角的正切值为（）A．2B．3 C．2 D8．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A ．5B ．4C ．3D ．2 9．设F 为抛物线22y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则||||||FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r （）A ．9B ．6C ．4D ．310．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文：弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实及黄实，利用2×勾×股+（股-勾）24=⨯朱实+黄实=弦实，化简得：勾2+股2=弦2．设勾股中勾股比为1:，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A ．866B ．500C ．300D ．134 11．已知函数3()f x x x =-，则曲线()y f x =过点(1,0)的切线条数为（）A ．3B ．2C ．1D ．012．关于函()cos |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①()f x 的图象关于y 轴对称；②()f x 在[],ππ-有3个零点；③()f x 的最小值为；④()f x 在区间,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④。

2020年湖南省岳阳市高考数学二模试卷（一）（有答案解析）

2020年湖南省岳阳市⾼考数学⼆模试卷（⼀）（有答案解析）2020年湖南省岳阳市⾼考数学⼆模试卷（⼀）⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1.复数z=（-3-4i）i在复平⾯内对应的点位于（）A. 第⼀象限B. 第⼆象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合M={x|log2x＜2}，N={-1，0，1，2}，则M∩N=（）A. {-1，0，1，2}B. {-1，1，2}C. {0，1，2}D. {1，2}3.等差数列{a n}满⾜7a3+a13-2a5=30，则a4=（）A. -5B. 0C. 5D. 104.已知f（x）为R上的奇函数，g（x）=f（x）+2，g（-2）=3，则f（2）=（）A. -1B. 0C. 1D. 25.已知抛物线y2=-4x的准线l经过双曲线=1（a＞0，b＞0）的⼀个焦点F，且该双曲线的⼀条渐近线过点P（1，-2），则该双曲线的标准⽅程为（）A. =1B. x2=1C.D.6.下列命题说法正确的是（）A. 若p∧q是真命题，则￢p可能是真命题B. 命题“?x0∈R，sin x0+cos x0＜1”的否定是“?x∈R，sin x+cos x≥1”C. “a＞5且b＞-5”是“a+b＞0”的充要条件D. “a=-1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+5=0平⾏”的必要不充分条件7.已知在四⾯体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=4,EF⊥AB，则EF与CD所成的⾓为( )A. 90°B. 45°C. 60°D. 30°8.已知向量=（4，-7），=（3，-4），则在⽅向上的投影为（）A. 2B. -2C. -2D. 29.阅读如下程序框图，运⾏相应的程序，则程序运⾏后输出i的结果为（）A. 7B. 8C. 9D. 1010.如图，⽹格纸上⼩正⽅形的边长为1，粗实线画出的是某⼏何体的三视图，其侧视图中的曲线为圆周，则该⼏何体的体积为（）A. 16πB. 64-16πC. 64-D. 64-11.四⾊猜想是世界三⼤数学猜想之⼀，1976年被美国数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四⾊定理其内容是：“任意⼀张平⾯地图只⽤四种颜⾊就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜⾊”⽤数学语⾔表⽰为“将平⾯任意地细分为不相重叠的区域，每⼀个区域总可以⽤1，2，3，4四个数字之⼀标记，⽽不会使相邻的两个区域得到相同的数字”如图，⽹格纸上⼩正⽅形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别标有数字1，2，3，4的四⾊地图符合四⾊定理，区域A和区域B标记的数字丢失若在该四⾊地图上随机取⼀点，则恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最⼤的是（）12.已知f（x）是定义在（-π，0）∪（0，π）上的偶函数，f′（x）为f（x）的导函数，且f（）=0，当x∈（0，π）时，不等式f′（x）?sin x-f（x）?cos x＞0恒成⽴，若a=-2f（-），b=2f（），c=（），则a，b，c的⼤⼩关系是（）A. c＜b＜aB. b＜a＜cC. a＜c＜bD. b＜c＜a⼆、解答题（本⼤题共11⼩题，共102.0分）13.函数f（x）=sin x+cos x的图象可由函数g（x）=2sin x的图象向左⾄少平移______个单位长度得到．14.岳阳市某⾼中⽂学社计划招⼊⼥⽣x⼈，男⽣y⼈，若x，y满⾜约束条件，则该社团今年计划招⼊学⽣⼈数最多为______．15.已知数列{a n}，若a1+2a2+…+na n=2n，则数列{a n a n+1}前n项和为______．16.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意⼀点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最⼤值为______．17.在△ABC中，⾓A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．（Ⅰ）求⾓A的值；（Ⅱ）若△ABC的⾯积为，且，求△ABC的周长．18.在平⾏四边形ABCD中，AB=3，BC=2，过A点作CD的垂线交CD的延长线于点E，AE=．连结EB，交AD于点F，如图1，将△ADE沿AD折起，使得点E到达点P的位置，如图2．（1）证明：直线AD⊥平⾯BFP（2）若G为PB的中点，H为CD的中点，且平⾯ADP⊥平⾯ABCD，求三棱锥G-BCH的体积．19.⼤型综艺节⽬《最强⼤脑》中，有⼀个游戏叫做盲拧魔⽅，就是玩家先观察魔⽅状态并进⾏记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔⽅，盲拧在外⼈看来很神奇，其实原理是⼗分简单的，要学会盲拧也是很容易的．根据调查显⽰，是否喜欢盲拧魔⽅与性别有关．为了验证这个结论，某兴趣⼩组随机抽取了50名魔⽅爱好者进⾏调查，得到的情况如表（1）所⽰，并邀请其中20名男⽣参加盲拧三阶魔⽅⽐赛，其完成情况如表（2）所⽰：表（1）喜欢盲拧不喜欢盲拧总计男2330⼥11表（2）成功完成时间（分钟）[0，10）[10，20）[20，30）[30，40]⼈数10442（1）将表（1）补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢官拧与性别有关？（2）现从表（2）中成功完成时间在[20，30）和[30，40]这两组内的6名男⽣中任意抽取2⼈对他们的盲拧情况进⾏视频记录，求2⼈成功完成时间恰好在同⼀组内的概率．附参考公式及数据：K2=，其中n=a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820.已知椭圆的右焦点F与抛物线y2=8x焦点重合，且椭圆的离⼼率为，过x轴正半轴⼀点（m，0）且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆的标准⽅程；（2）是否存在实数m使以线段AB为直径的圆经过点F，若存在，求出实数m的值；若不存在说明理由．21.已知函数的图象在点处的切线斜率为0．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上没有零点，求实数m的取值范围．22.已知曲线C的参数⽅程为（α为参数），以直⾓坐标系原点为极点，x轴⾮负半轴为极轴并取相同的单位长度建⽴极坐标系．（1）求曲线C的极坐标⽅程并说明其表⽰什么轨迹；（2）若直线l的极坐标⽅程为sinθ-2cosθ=，求曲线C上的点到直线l的最⼤距离．23.已知函数f（x）=|x+m|+|2x-n|，m，n∈（0，+∞）．（1）若m=2，n=3，求不等式f（x）＞5的解集；（2）若f（x）≥1恒成⽴，求2m+n的最⼩值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：z=（-3-4i）i=4-3i．z在复平⾯内对应的点为（4，-3），位于第四象限．故选：D．直接利⽤复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表⽰法及其⼏何意义，是基础题．2.答案：D解析：【分析】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．先分别求出集合M，N，由此能求出M∩N．【解答】解：∵集合M={x|log2x＜2}={x|0＜x＜4}，N={-1，0，1，2}，∴M∩N={1，2}．故选：D．3.答案：C解析：【分析】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于中档题．利⽤通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵7a3+a13-2a5=30，∴7（a1+2d）+（a1+12d）-2（a1+4d）=30，化为：a1+3d=5．则a4=5．故选：C．4.答案：A解析：解：根据题意，g（x）=f（x）+2，则g（-2）=f（-2）+2=3，则有f（-2）=1，⼜由f（x）为奇函数，则f（2）=-f（-2）=-1；故选：A．根据题意，由函数的解析式可得g（-2）=f（-2）+2=3，变形可得f（-2）的值，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应⽤，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．5.答案：B解析：解：抛物线y2=-4x的准线l：x=，可得c=，即a2+b2=5，由题意可得=2，解得a=1，b=2，则双曲线的⽅程为x2-=1，故选：B．求得抛物线的准线⽅程可得双曲线的c，由双曲线的渐近线⽅程可得a，b的关系，解⽅程可得a，b，进⽽得到所求双曲线⽅程．本题考查双曲线的⽅程和性质，考查⽅程思想和运算能⼒，属于基础题．6.答案：B解析：解：当p真q假时，A错误；存在的否定是任意，⼩于的否定是⼤于，所以命题“?x0∈R，sin x0+cos x0＜1”的否定是“?x∈R，sin x+cos x≥1”，B正确．故选：B．当p真q假时，A错误；存在的否定是任意，⼩于的否定是⼤于．本题考查了命题的真假判断与应⽤，属中档题．7.答案：D解析：解：设G为AD的中点，连接GF，GE，则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中位线．∴GF∥AB，且GF=AB=1，GE∥CD，且GE=CD=2，则EF与CD所成⾓的度数等于EF与GE所成⾓的度数⼜EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF则△GEF为直⾓三⾓形，GF=1，GE=2，∠GFE=90°∴在直⾓△GEF中，sin∠GEF=∴∠GEF=30°．故选D．设G为AD的中点，连接GF，GE，由三⾓形中位线定理可得GF∥AB，GE∥CD，则∠GFE 即为EF与CD所成的⾓，结合AB=2，CD=4，EF⊥AB，在△GEF中，利⽤三⾓函数即可得到答案．本题考查的知识点是异⾯直线及其所成的⾓，其中利⽤三⾓形中位线定理，得到GF∥AB，GE∥CD，进⽽得到∠GFE即为EF与CD所成的⾓，是解答本题的关键8.答案：B解析：解：在⽅向上的投影为：===-2．故选：B．根据⽅向投影的公式可得．本题考查了平⾯向量数量积的性质以及运算，属基础题．9.答案：C解析：解：第⼀次执⾏循环体后，S=lg，不满⾜退出循环的条件，i=3；再次执⾏循环体后，S=，不满⾜退出循环的条件，i=5；再次执⾏循环体后，S=，不满⾜退出循环的条件，i=7；再次执⾏循环体后，S=，不满⾜退出循环的条件，i=9；再次执⾏循环体后，S=，满⾜退出循环的条件，故输出的i值为9，故选：C．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利⽤循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运⾏过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采⽤模拟循环的⽅法解答．10.答案：B解析：解：由题意可知：⼏何体是棱长为4的正⽅体去掉⼀个半径为4的圆柱的⼏何体，如图：⼏何体的体积为：=64-16π．故选：B．判断⼏何体的形状，利⽤三视图的数据，求解⼏何体的体积即可．本题考查三视图求解⼏何体的体积，判断⼏何体的形状是解题的关键．11.答案：C解析：解：当区域A标记的数字是2，区域B标记的数字是1时，恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值最⼤，此时所在的⼩⽅格个数n=5×6=30，标记为1的区域中⼩⽅格的个数m=10，∴恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最⼤的是P=．故选：C．当区域A标记的数字是2，区域B标记的数字是1时，恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值最⼤．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．12.答案：D解析：解：∵f（x）是在（-π，0）∪（0，π）上的偶函数，∴是奇函数，且在（0，π）上递增，∵f（）=0，∴x∈（0，）时，＜0，x∈（，π）时，＞0，那么=-2f（-）＞0，=2f（）＜=f（）＜0，∴b＜c＜a，故选：D．利⽤函数的奇偶性和单调性可得．本题考查了函数恒成⽴问题，属中档题．13.答案：解析：解：函数f（x）=sin x+cos x=2sin（x+）的图象可由函数g（x）=2sin x的图象向左⾄少平移个单位长度得到，故答案为：．先利⽤两⾓和的正弦公式化简f（x）得解析式，再利⽤函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查两⾓和的正弦公式，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．14.答案：13解析：解：画出约束条件表⽰的平⾯区域，如图所⽰；要求招⼊的⼈数最多，即z=x+y取得最⼤值，⽬标函数化为y=-x+z；在可⾏域内任意取x，y且为正整数使得⽬标函数代表的斜率为定值-1，截距最⼤时的直线为过，求得A（6，7），此时⽬标函数取得最⼤值为：z=6+7=13．故答案为：13．由题意画出约束条件表⽰的可⾏域，找出⽬标函数z=x+y对应的最优解，计算可⾏域内使得z取得最⼤时的最优解．本题考查了线性规划的应⽤问题，也考查了数形结合的求解问题，是基础题．15.答案：解析：解：数列{a n}，若a1+2a2+…+na n=2n，①当n≥2时，a1+2a2+…+（n-1）a n-1=2（n-1），②①-②得：na n=2n-2n+2=2，整理得：，当n=1时，a1=2，符合通项故：，所以：，则：，=，=故答案为：⾸先利⽤递推关系式求出数列的通项公式，进⼀步利⽤裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应⽤，裂项相消法在求和中的应⽤，主要考查学⽣的运算能⼒和转化能⼒，属于基础题型．16.答案：解析：解：由题意可知，F（），设点P（）（y0＞0），可得M（），则．当且仅当时等号成⽴．∴直线OM的斜率的最⼤值为．故答案为：．由题意可知，F（），设点P（）（y0＞0），写出直线OM的斜率，变形后利⽤基本不等式求最⼤值．本题考查抛物线的简单性质，考查计算能⼒，是中档题．17.答案：解：（Ⅰ）由正弦定理：，⼜由已知，所以，，因为A∈（0，π），所以．（Ⅱ）由正弦定理得，，则bc=12，△ABC中，由余弦定理，，所以△ABC的周长为．解析：（Ⅰ）由已知等式结合正弦定理得tan A，再结合A∈（0，π）得出A；（Ⅱ）由正弦定理结合余弦定理得b+c，从⽽得结果．本题考查了正弦定理和余弦定理的应⽤，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于中档题．18.答案：（1）证明：如图1，在Rt△BAE中，AB=3，AE=，∴∠AEB=60°，在Rt△AED中，AD=2，∴∠DAE=30°，则BE⊥AD．如图2，PF⊥AD，BF⊥AD，PF∩BF=F，∴AD⊥平⾯BFP；（2）解：∵平⾯ADP⊥平⾯ABCDA，且平⾯ADP∩平⾯ABCD=AD，PF?平⾯ADP，PF⊥AD，∴PF⊥平⾯ABCD，取BF的中点O，连接OG，则OG∥PF，∴OG⊥平⾯ABCD，即OG为三棱锥G-BCH的⾼．∵OG=，∴V三棱锥G-BCH==．解析：（1）图1中，在Rt△BAE中，由已知可得∠AEB=60°，进⼀步得到BE⊥AD．图2中，可得PF⊥AD，BF⊥AD，由线⾯垂直的判定得AD⊥平⾯BFP；（2）由平⾯ADP⊥平⾯ABCDA，结合⾯⾯垂直的性质得PF⊥平⾯ABCD，取BF的中点O，连接OG，则OG∥PF，可得OG⊥平⾯ABCD，即OG为三棱锥G-BCH的⾼．然后由棱锥体积公式求解．本题考查直线与平⾯垂直的判定，考查空间想象能⼒与思维能⼒，训练了多⾯体体积的求法，是中档题．喜欢盲拧不喜欢盲拧总计男23730⼥91120总计321850由表中数据计算K2=≈5.223＞5.024，所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢盲拧与性别有关；……………（4分）（II）从成功完成时间在[20，30）和[30，40]这两组内的6名男⽣中任意抽取2⼈，基本事件总数为=15（种），这2⼈恰好在同⼀组内的基本事件为+=6+1=7，故所求的概率为P=．……………（12分）解析：（Ⅰ）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；本题考查了列联表与独⽴性检验的应⽤问题，也考查了古典概型的概率问题，是中档题．20.答案：解：（1）∵抛物线y2=8x的焦点是（2，0），∴F（2，0），∴c=2，⼜∵椭圆的离⼼率为，即，∴，则b2=a2-c2=2故椭圆的⽅程为；……………………………………（4分）（2）由题意得直线l的⽅程为，由，消去y得2x2-2mx+m2-6=0，由△=4m2-8（m2-6）＞0，解得．⼜m＞0，∴．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=m，．∴．………（6分）∵，，……………………………………………（7分）∴=．………………（10分）若存在m使以线段AB为直径的圆经过点F，则必有，即，………………………（11分）解得m=0或m=3．⼜，∴m=3．即存在m=3使以线段AB为直径的圆经过点F．……………………………………（12分）解析：（1）由抛物线y2=8x得焦点坐标，结合已知条件及椭圆的离⼼率可求出c，a的值，由b2=a2-c2，求出b，则椭圆的⽅程可求；（2）由题意得直线l的⽅程为，联⽴，消去y得2x2-2mx+m2-6=0，由△＞0，解得m的范围，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=m，，求出y1?y2，由，，求出，若存在m使以线段AB为直径的圆经过点F，则必有，求出实数m的值即可．本题考查了椭圆的标准⽅程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为⽅程联⽴得到根与系数的关系、数量积运算，考查了推理能⼒和计算能⼒，是中档题．21.答案：解：（Ⅰ）的定义域为（0，+∞），．令f'（x）＞0，得，令f'（x）＜0，得，故函数f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是．（Ⅱ），由，得，设，所以g（x）在（0，x0]上是减函数，在[x0，+∞）上为增函数．因为g（x）在区间（1，+∞）上没有零点，所以g（x）＞0在（1，+∞）上恒成⽴，由g（x）＞0，得，令，则=．当x＞1时，y'＜0，所以在（1，+∞）上单调递减；所以当x=1时，y max=-1，故，即m∈[-2，+∞）．解析：（Ⅰ）求出函数的定义域，求出．利⽤切线的斜率为0，求出a，利⽤导函数的符号，求函数f（x）的单调递增区间，单调递减区间．（Ⅱ）求出，求解极值点，利⽤函数的单调性，结合g（x）在区间（1，+∞）上没有零点，推出g（x）＞0在（1，+∞）上恒成⽴，得，令，利⽤导函数的单调性，求出最值，然后推出m的范围．本题考查函数的导数的综合应⽤，函数的单调性以及函数的极值以及最值的求法，构造法的应⽤，考查分析问题解决问题的能⼒．22.答案：解：（1）曲线C的参数⽅程为（α为参数），转换为直⾓坐标⽅程为：（x-3）2+（y-1）2=4．所以：该曲线是以（3，1）为圆⼼，2为半径的圆．转换为极坐标⽅程为：ρ2-6ρcosθ-2ρsinθ+6=0．（2）直线l的极坐标⽅程为sinθ-2cosθ=，转换为直⾓坐标⽅程为：2x-y+1=0．则：圆⼼（3，1）到直线的距离d=，所以：曲线C上的点到直线的距最⼤距离．解析：（1）直接利⽤转换关系式，把参数⽅程直⾓坐标⽅程和极坐标⽅程之间进⾏转换．（2）利⽤⼀元⼆次⽅程根和系数关系的应⽤求出结果．本题考查的知识要点：参数⽅程直⾓坐标⽅程和极坐标⽅程之间的转换，⼀元⼆次⽅程根和系数关系的应⽤，主要考查学⽣的运算能⼒和转化能⼒，属于基础题型．23.答案：解：（1）若m=2，n=3，f（x）=|x+2|+|2x-3|，②当-2＜x＜时，由f（x）＞5得x+2-2x+3＞5，即x＜0，此时-2＜x＜0，③当x≥时，由f（x）＞5得x+2+2x-3＞5，即x＞2，此时x＞2，综上x＞2或x＜0，即不等式的解集为（-∞，0）∪（2，+∞）．（2）f（x）=|x+m|+|2x-n|=|x+m|+|x-|+||x-|≥|x+m|+|x-|≥|x+m-x+|=|m+|=m+，若f（x）≥1恒成⽴则m+≥1，即2m+n≥2，即2m+n的最⼩值为2．解析：（1）结合绝对值的应⽤，讨论x的取值范围进⾏求解不等式即可．（2）求出函数f（x）的最值，将不等式恒等式转化为最值问题进⾏求解即可．本题主要考查绝对值不等式的应⽤，结合绝对值的应⽤，将绝对值函数表⽰为分段函数性质是解决本题的关键．。

2020年岳阳高考数学试题及解析发布

xx首先须为自己定位平行志愿是按照考生的分数、遵循志愿依次投档，因此考生需要预测自己在所有考生中的名次，对实力进行初步定位。

具体定位的方法包括：名次定位法。

根据自己在区县模拟考试中的成绩，类推自己在整个考生中的位置。

首先确定自己重点考虑填报的批次，其次考虑在这一批次中，自己能被哪些学校录取。

比例定位法。

根据自己在所在中学的排名(平时成绩+多次模拟考试成绩)，对照往年该校相同情况考生报考学校情况，决定自己所填报的志愿。

虽然2011年与去年相比，考生数减少，但是，总体录取比例并没有多大变化，因此，各校被各批次录取的学生比例与往年大致相当，学校往年的各批次录取比例，对于确定今年的报考重点，同样具有参考价值。

另外，往年与自己相同情况考生被录取的学校，也可以作为自己填报学校的参照。

选择考虑学校特色高考学校选择对未来学业与职业发展的影响，包括办学理念影响、办学条件影响、办学特色影响和服务措施影响。

熊丙奇认为，学生在选择学校时，必须考虑个人成才目标、职业发展理想，是否与学校的人才培养目标和人才培养理念一致，否则，就会导致未来的学业发展难以适应学校的培养要求。

考生在填报志愿前，要仔细分析学校的办学理念与特色，学校历史与传统、学校毕业校友、学校发展定位等等都是不可忽视的因素。

此外，考生还应关注分析大学的投入和产出，还要具体分析服务措施影响的指标：学费、生活费、奖学金、助学金、助学贷款、勤工助学等等。

选择专业慎之又慎高考专业选择对学生未来学业和职业发展的影响至关重要。

因此，考试选择时须慎之又慎。

考生首先要关心这所大学有哪些热门专业，自己是否能进入这所学校的热门专业，这对学生的学习定位有很大影响。

同时，考生在选择专业时，还要充分考虑自己的兴趣爱好。

一个学生有无强烈的专业兴趣，自己所读专业是否是自己感兴趣的，这对大学学业发展也有很大影响。

在高考中，有的学生为了上一所更好的学校，而放弃自己感兴趣的专业，等到上了大学，却对所学专业毫无兴趣，产生厌学情绪，这就是典型的专业兴趣影响。

2020年湖南省岳阳市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)

5.答案：B
解析：解：抛物线 y2=-4 x 的准线 l：x= ，可得 c= ，即 a2+b2=5，
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由题意可得 =2，
解得 a=1，b=2，
则双曲线的方程为 x2- =1，
故选：B．求得抛物线的准线方程可得双曲线的 c，由双曲线的渐近线方程可得 a，b 的关系，解方程可得 a，b，进而得到所求双曲线方程．本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为 d， ∵7a3+a13-2a5=30， ∴7（a1+2d）+（a1+12d）-2（a1+4d）=30，化为：a1+3d=5．则 a4=5．故选：C．
4.答案：A
解析：解：根据题意，g（x）=f（x）+2，则 g（-2）=f（-2）+2=3，则有 f（-2）=1，又由 f（x）为奇函数，则 f（2）=-f（-2）=-1；故选：A．根据题意，由函数的解析式可得 g（-2）=f（-2）+2=3，变形可得 f（-2）的值，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．
A. {-1，0，1，2} B. {-1，1，2}
C. {0，1，2}
D. {1，2}
3. 等差数列{an}满足 7a3+a13-2a5=30，则 a4=（）
A. -5
B. 0
C. 5
D. 10
4. 已知 f（x）为 R 上的奇函数，g（x）=f（x）+2，g（-2）=3，则 f（2）=（）
A. -1
（2）现从表（2）中成功完成时间在[20，30）和[30，40]这两组内的 6 名男生中任

2020年湖南省岳阳市高考(问卷)数学二模测试试卷解析版(问卷)

2020年高考数学二模试卷（文科）一、选择题1．已知复数z＝（1+i）（3﹣i）（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．2B．2i C．4D．4i2．已知集合A＝{x|x+1≤0}，B＝{x|x≥a}，若A∪B＝R，则实数a的值可以为（）A．2B．1C．0D．﹣23．命题p：m＝2，命题q：直线（m﹣1）x﹣y+m﹣12＝0与直线mx+2y﹣3m＝0垂直，则p是命题q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若a＝log23，b＝log47，c＝0.74，则实数a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a5．已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a6+a3﹣a5＝3，则S7＝（）A．42B．21C．7D．36．已知向量，，若，则实数m的值为（）A．B．C．D．7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC1的中点，则异面直线DE与A1B1所成角的正切值为（）A．B．C．D．8．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．5B．4C．3D．29．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若++＝，则||+||+||为（）A．9B．6C．4D．310．三国时期吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2＝4×朱实+黄实＝弦实，化简，得勾2+股2＝弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉颗数大约为（）（参考数据≈1.732，≈1.414）A．130B．134C．138D．14211．已知函数f（x）＝x3﹣x，则曲线y＝f（x）过点（1，0）的切线的条数为（）A．3B．2C．1D．012．关于函数f（x）＝cos|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）的图象关于y轴对称；②f（x）在[﹣π，π]有3个零点；③f（x）的最小值为；④f（x）在区间单调递减．其中所有正确结论的编号是（）A．①②B．①③C．①④D．③④二、填空题13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝60°，a2＝bc，则sin B sin C ＝．14．已知实数x，y满足，则目标函数z＝3x+y﹣1的最大值为．15．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝2，AA1＝3，∠BAC＝90°，则此球的表面积等于．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点O（0，0），M（﹣4，0），N（4，0），P （0，﹣2），Q（0，2），H（4，2）．线段OM上的动点A满足；线段HN上的动点B满足．直线PA与直线QB交于点L，设直线PA的斜率记为k，直线QB的斜率记为k'，则k•k'的值为；当λ变化时，动点L一定在（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上．三、解答题：共70分．解答题应该写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～19为必考题，每个试卷考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAC为正三角形，M为棱PA的中点，AB⊥AC，AC ＝BC，平面PAB⊥平面PAC．（1）求证：AB⊥平面PAC；（2）若AC＝2，求三棱锥P﹣BMC的体积．18．等差数列{a n}的公差为2，a2，a4，a8分别等于等比数列{b n}的第2项，第3项，第4项．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足，求数列{c n}的前2020项的和．19．某市积极响应上级部门的号召，通过沿街电子屏、微信公众号等各种渠道对此战“疫”进行了持续、深入的悬窗，帮助全体市民深入了解病毒，增强战胜疫情的信心．为了检验大家对病毒及防控知识的了解程度，该市推出了相关的知识问卷，随机抽取了年龄在15～75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制频率分布直方图如图所示，把年龄落在区间[15，35）和[35，75]内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”．经统计“青少年人”和“中老年人”的人数比为19：21．其中“青少年人”中有40人对防控的相关知识了解全面，“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和不够全面的人数之比是2：1．（1）求图中a，b的值；（2）现采取分层抽样在[25，35）和[45，55）中随机抽取8名市民，从8人中任选2人，求2人中至少有1人是“中老年人”的概率是多少？（3）根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并根据统计结果判断：能否有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加了解防控的相关知识？了解全面了解不全面合计青少年人中老年人合计附表及公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆上的一点，I为△PF1F2的内切圆圆心，S＝2S﹣S，且△PF1F2的周长为6．（1）求椭圆C的方程．（2）已知过点（0，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，若2＝3（+），求四边形OAPB面积的最大值．21．已知函数f（x）＝x﹣lnx﹣．（1）求f（x）的最大值；（2）若﹣bx≥1恒成立，求实数b的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情．在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线．如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为ρ＝1﹣sinθ（p＝1﹣sinθ，ρ＞0），M 为该曲线上的任意一点．（1）当时，求M点的极坐标；（2）将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N，求|MN|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．函数f（x）＝（x+1）2．（1）证明：f（x）+|f（x）﹣2|≥2；（2）若存在x∈R，且x≠﹣1，使得+f（x）≤|m2﹣m﹣1|成立，求m取值范围．参考答案一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．已知复数z＝（1+i）（3﹣i）（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．2B．2i C．4D．4i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z＝（1+i）（3﹣i）＝3+1﹣i+3i＝4+2i，∴z的虚部为2，故选：A．2．已知集合A＝{x|x+1≤0}，B＝{x|x≥a}，若A∪B＝R，则实数a的值可以为（）A．2B．1C．0D．﹣2【分析】可以求出A＝{x|x≤﹣1}，根据A∪B＝R即可得出a≤﹣1，从而得出a的值可以为﹣2．解：∵A＝{x|x≤﹣1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，∴a≤﹣1，∴a的值可以为﹣2．故选：D．3．命题p：m＝2，命题q：直线（m﹣1）x﹣y+m﹣12＝0与直线mx+2y﹣3m＝0垂直，则p是命题q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先根据垂直求出参数，然后判断充要性．解：∵直线（m﹣1）x﹣y+m﹣12＝0与直线mx+2y﹣3m＝0垂直，∴（m﹣1）m+（﹣1）×2＝0，解之得m＝﹣1，m＝2，∴m＝2是m＝﹣1，m＝2的充分不必要条件，故选：A．4．若a＝log23，b＝log47，c＝0.74，则实数a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a【分析】容易得出，而，且0.74＜1，从而得出a，b，c的大小关系．解：，0.74＜1；∴a＞b＞c．故选：A．5．已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a6+a3﹣a5＝3，则S7＝（）A．42B．21C．7D．3【分析】利用等差数列通项公式求出a1+3d＝3，再由S7＝＝7（a1+3d），能求出结果．解：∵数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a6+a3﹣a5＝3，∴a1+5d+a1+2d﹣a1﹣4d＝a1+3d＝3，∴S7＝＝7（a1+3d）＝21．故选：B．6．已知向量，，若，则实数m的值为（）A．B．C．D．【分析】根据条件即可求出，而根据即可得出，从而求出m的值．解：；∵；∴＝；∴解得．故选：D．7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC1的中点，则异面直线DE与A1B1所成角的正切值为（）A．B．C．D．【分析】如图所示，由DC∥A1B1，DC⊥B1C．可得：∠EDC为异面直线DE与A1B1所成角．利用直角三角形的边角关系即可得出．解：如图所示，∵DC∥A1B1，DC⊥B1C．∴∠EDC为异面直线DE与A1B1所成角．∴tan∠EDC＝＝＝．故选：C．8．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．5B．4C．3D．2【分析】直接利用程序框图的循环结构的应用求出结果．解：根据程序框图，在执行循环前：n＝6，i＝1，执行第一次循环：n＝3，i＝2．执行第二次循环时，n＝4，i＝3，由于执行第三次循环时，n＝2，故输出：i＝4，故选：B．9．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若++＝，则||+||+||为（）A．9B．6C．4D．3【分析】由++＝可得F为三角形ABC的重心，由三角形的重心公式可得A，B，C的横坐标之和，再由抛物线的性质，大焦点的距离等于到准线的距离，可得所求的结果．解：因为++＝，所以可得F为三角形ABC的重心，所以＝x F 由抛物线的方程可得准线方程为：x＝﹣，焦点坐标F（，0），所以x A+x B+x C＝由抛物线的性质可得，||+||+||为A，B，C到准线的距离之和，所以||+||+||＝x A+x B+x C+3×＝+＝3，故选：D．10．三国时期吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2＝4×朱实+黄实＝弦实，化简，得勾2+股2＝弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉颗数大约为（）（参考数据≈1.732，≈1.414）A．130B．134C．138D．142【分析】设勾为a，则股为，弦为2a，求出大的正方形的面积及小的正方形面积，再求出图钉落在黄色图形内的概率，乘以1000得答案．解：如图，设勾为a，则股为，∴弦为2a，则图中大四边形的面积为4a2，小四边形的面积为＝（）a2，则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为．∴落在黄色图形内的图钉数大约为1000≈134．故选：B．11．已知函数f（x）＝x3﹣x，则曲线y＝f（x）过点（1，0）的切线的条数为（）A．3B．2C．1D．0【分析】设出切点坐标，求出曲线在切点处的切线方程，代入点（1，0），求解切点的横坐标，进而可得切线方程，则答案可求．解：设切点为（，x0，y0），f（x）＝x3﹣x的导数为f′（x）＝3x2﹣1，则有切线的斜率为3x02﹣1，切线的方程为y﹣+x0＝（3x02﹣1）（x﹣x0），代入（1，0），可得﹣+x0＝（3x02﹣1）（1﹣x0），整理并解得：x0＝1或，则过点（1，0）的切线方程为y＝2x﹣2或y＝﹣x+，共两条．故选：B．12．关于函数f（x）＝cos|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）的图象关于y轴对称；②f（x）在[﹣π，π]有3个零点；③f（x）的最小值为；④f（x）在区间单调递减．其中所有正确结论的编号是（）A．①②B．①③C．①④D．③④【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用和关系式的恒等变换的应用求出结果．解：关于函数f（x）＝cos|x|+|sin x|有下述四个结论：对于①由于x∈R，且f（﹣x）＝f（x），所以函数为偶函数，故f（x）的图象关于y轴对称；故正确．②由于函数f（x）为偶函数，所以当x＝时，函数的值为0，所以在[﹣π，π]有2个零点；故错误．③函数f（x）在x＝π时，函数的最小值﹣1；故错误．④由于，所以x+，则f（x）＝cos|x|+|sin x|＝在区间单调递减．故正确．故选：C．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．请将你的答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝60°，a2＝bc，则sin B sin C ＝．【分析】由已知利用正弦定理，特殊角的三角函数值即可求解．解：∵A＝60°，a2＝bc，∴由正弦定理可得sin B sin C＝sin2A＝（）2＝．故答案为：．．14．已知实数x，y满足，则目标函数z＝3x+y﹣1的最大值为6．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z＝2x+y 过点（2，1）时，z最大值即可．解：先实数x，y满足，画出可行域，然后平移直线0＝3x+y，当直线z＝3x+y﹣1过点（2，1）时，z最大值为6．故答案为：6．15．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝2，AA1＝3，∠BAC＝90°，则此球的表面积等于17π．【分析】设球的半径为R，球心为O，利用勾股定理即可得出R2，可得球的表面积．解：设球点半径为R，球心为O，则R2＝+＝．∴此球的表面积＝4πR2＝17π．故答案为：17π．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点O（0，0），M（﹣4，0），N（4，0），P （0，﹣2），Q（0，2），H（4，2）．线段OM上的动点A满足；线段HN上的动点B满足．直线PA与直线QB交于点L，设直线PA的斜率记为k，直线QB的斜率记为k'，则k•k'的值为；当λ变化时，动点L一定在双曲线（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上．【分析】根据向量关系得到A，B的坐标，再根据斜率公式可得kk′＝；设P（x，y），根据斜率公式可得P点轨迹方程．解：∵；∴A（﹣4λ，0），又P（0，﹣2），∴k＝＝﹣；∵．∴B（4，2﹣2λ），∴k′＝＝﹣，∴kk′＝，设L（x，y），则k＝，k′＝，∴kk′＝•＝，∴＝，即﹣＝1．故答案为：，﹣＝1．三、解答题：共70分．解答题应该写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～19为必考题，每个试卷考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAC为正三角形，M为棱PA的中点，AB⊥AC，AC ＝BC，平面PAB⊥平面PAC．（1）求证：AB⊥平面PAC；（2）若AC＝2，求三棱锥P﹣BMC的体积．【分析】（1）由已知证明CM⊥AB，结合AB⊥AC，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAC；（2）由已知求得AB，再由等积法求三棱锥P﹣BMC的体积．【解答】（1）证明：在正三角形PAC中，∵M为棱PA的中点，∴CM⊥PA，∵平面PAB⊥平面PAC，平面PAB∩平面PAC＝PA，CM⊂平面PAC，∴CM⊥平面PAB，得CM⊥AB，又AB⊥AC，AC∩CM＝C，∴AB⊥平面PAC；（2）解：在Rt△BAC中，∵AC＝2，AC＝BC，∴BC＝4，则AB＝．，∴．18．等差数列{a n}的公差为2，a2，a4，a8分别等于等比数列{b n}的第2项，第3项，第4项．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足，求数列{c n}的前2020项的和．【分析】（1）由已知结合等比数列的性质及等差数列的通项公式求得a1＝2．则a n可求．设等比数列{b n}的公比为q，求得q与b2，则{b n}的通项公式可求；（2）由（1）知，．代入得，即可求得数列{c n}d的通项公式；数列{c n}的前2020项的和＝4+1×22+2×23+3×24+ (2020)22021．然后利用错位相减法求解．解：（1）依题意得：，∴，∴，解得a1＝2．∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n．设等比数列{b n}的公比为q，∴，又b2＝a2＝4，∴；（2）由（1）知，．∵，①当n≥2时，，②由①﹣②得，，即，又当n＝1时，不满足上式，∴；数列{c n}的前2020项的和＝4+1×22+2×23+3×24+…+2020×22021．设，③则，④由③﹣④得：＝＝﹣4﹣2019×22022．∴，∴S2020＝．19．某市积极响应上级部门的号召，通过沿街电子屏、微信公众号等各种渠道对此战“疫”进行了持续、深入的悬窗，帮助全体市民深入了解病毒，增强战胜疫情的信心．为了检验大家对病毒及防控知识的了解程度，该市推出了相关的知识问卷，随机抽取了年龄在15～75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制频率分布直方图如图所示，把年龄落在区间[15，35）和[35，75]内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”．经统计“青少年人”和“中老年人”的人数比为19：21．其中“青少年人”中有40人对防控的相关知识了解全面，“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和不够全面的人数之比是2：1．（1）求图中a，b的值；（2）现采取分层抽样在[25，35）和[45，55）中随机抽取8名市民，从8人中任选2人，求2人中至少有1人是“中老年人”的概率是多少？（3）根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并根据统计结果判断：能否有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加了解防控的相关知识？了解全面了解不全面合计青少年人中老年人合计附表及公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【分析】（1）由频率分布直方图以及“青少年人”和“中老年人”的人数比为19：21，列出关于a和b的方程组，解之即可；（2）根据频率分布直方图中的数据算出8人中属于“中老年人”的人数，然后结合对立事件的概率求解即可；（3）先补充完整2×2列联表，然后根据K2的公式计算即可．解：（1）由频率分布直方图可知，（a+0.03+b+0.01+0.005+0.005）×10＝1即a+b＝0.05①，因为“青少年人”和“中老年人”的人数比为19：21，所以②，由①②解得，a＝0.0325，b＝0.0175．（2）年龄处于[25，35）和[45，55）的人数比为，所以随机抽取的8人中，处于[45，55）年龄段的人数为人，即8人中有2人是“中老年人”，故所求的概率为．（3）200人中属于“青少年人”的人数为200×（0.0175+0.03）×10＝95人，属于”中老年人“的人数为200﹣95＝105人，又因为“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和不够全面的人数之比是2：1，所以了解全面的有，了解不全面的有105﹣70＝35人，补充完成的2×2列联表如下所示，了解全了解不合计面全面青少年405595人中老年7035105人合计11090200所以＞10.828．故能够有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加了解防控的相关知识．20．已知椭圆C ：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆上的一点，I为△PF1F2的内切圆圆心，S＝2S﹣S，且△PF1F2的周长为6．（1）求椭圆C的方程．（2）已知过点（0，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，若2＝3（+），求四边形OAPB面积的最大值．【分析】（1）因为S＝2S﹣S，所以|PF1|+|PF2|＝2|F1F2|，即a＝2c①，结合△PF1F2的周长为6，可算得a，c，b，进而得出答案．（2）设直线AB的方程为y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆方程消y可得，（3+4k2）x2+8kx﹣8＝0，利用韦达定理得，因为2＝3（），所以S四边形OAPB＝3S△OAB，从而可得S四边形OAPB面积表达式，逐步化简，求其最大值．解：（1）因为S＝2S﹣S，所以|PF1|+|PF2|＝2|F1F2|，即a＝2c①，又因为△PF1F2的周长为6，所以|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝6，即2a+2c＝6②，由①②可得a＝2，c＝1，则b ＝，所以椭圆的方程为．（2）设直线AB的方程为y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），则由，联立消y可得，（3+4k2）x2+8kx﹣8＝0，，因为2＝3（），所以S四边形OAPB＝3S△OAB，所以S四边形OAPB＝|x1﹣x2|＝＝，令，所以k2＝，所以S四边形OAPB＝＝，又因为y＝2t+在区间[1，+∞）上单调递增，所以y≥3，所以S四边形OAPB≤2．所以四边形OAPB的面积最大值为2．21．已知函数f（x）＝x﹣lnx﹣．（1）求f（x）的最大值；（2）若﹣bx≥1恒成立，求实数b的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，判断函数的单调性，求解函数的最值即可．（2）⇔，令，，令h（x）＝x2e x+lnx，h（x）在（0，+∞）单调递增，h（x）在（0，1）存在零点x0，即，推出φ（x）在（0，x0）减，在（x0，+∞）增，求出最小值得到b≤2．解：（1），定义域（0，+∞），，由e x≥x+1＞x，f（x）在（0，1]增，在（1，+∞）减，f（x）max＝f（1）＝1﹣e．（2）⇔﹣lnx+x+xe x﹣bx﹣1≥0，令，，令h（x）＝x2e x+lnx，h（x）在（0，+∞）单调递增，x→0，h（x）→﹣∞，h（1）＝e＞0h（x）在（0，1）存在零点x0，即，，由于y＝xe x在（0，+∞）单调递增，故，即，φ（x）在（0，x0）减，在（x0，+∞）增，，所以b≤2．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情．在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线．如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为ρ＝1﹣sinθ（p＝1﹣sinθ，ρ＞0），M 为该曲线上的任意一点．（1）当时，求M点的极坐标；（2）将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N，求|MN|的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．解：（1）设点M在极坐标系中的坐标，由ρ＝1﹣sinθ，得，，∵0≤θ＜2π，∴或所以点M的极坐标为或（1）由题意可设M（ρ1，θ），．由ρ＝1﹣sinθ，得ρ1＝1﹣sinθ，．＝＝＝故时，|MN|的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．函数f（x）＝（x+1）2．（1）证明：f（x）+|f（x）﹣2|≥2；（2）若存在x∈R，且x≠﹣1，使得+f（x）≤|m2﹣m﹣1|成立，求m取值范围．【分析】（1）由函数f（x）＝（x+1）2≥0，能证明f（x）+|f（x）﹣2|＝|f（x）|+|f （x）﹣2|≥2．（2）+f（x）≥2＝1，从而|m2﹣m﹣1|≥1，由此能求出m取值范围．解：（1）证明：∵函数f（x）＝（x+1）2．∴f（x）≥0，∴f（x）+|f（x）﹣2|＝|f（x）|+|f（x）﹣2|≥|f（x）﹣[f（x）﹣2]|＝2．∴f（x）+|f（x）﹣2|≥2．（2）解：∵存在x∈R，且x≠﹣1，使得+f（x）≤|m2﹣m﹣1|成立，f（x）＞0，∴+f（x）≥2＝1，当且只当，即f（x）＝时等号成立，∴|m2﹣m﹣1|≥1，∴m2﹣m﹣1≥1或m2﹣m﹣1≤﹣1，解得m取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[0，1]∪[2，+∞）．。

2020年湖南省高三二模理科数学试卷(含答案和解析)

20. 分别过椭圆
左、右焦点、的动直线、相交于点，与椭圆
分别交于、与、不同四点，直线、、、的斜率分别为、、、，且满
4
足
，已知当与轴重合时，
，
．
（ 1 ）求椭圆的方程．（ 2 ）是否存在定点，，使得说明理由．
为定值？若存在，求出、点坐标，若不存在，
是纯虚数，则复数
在复平面内对应的点位于（）．
6. 湖面上飘着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个半径为球前，球面上的点到冰面的最大距离为（）． A. B. C. D.
，深
的空穴，则取出该
7. 已知函数 A. 的最小正周期为，且在 B. 的最小正周期为，且在 C. 的最小正周期为，且在 D. 的最小正周期为，且在
（ 1 ）求数列（2）设
的通项公式．，求数列
的前项和．
【答案】
（1）
．
（2）
．
解析: （ 1 ）由
，两边平方并整理得：
∴
，又
，∴
当
时，
由① ②得
，∴
，
又因为
，所以
，
∴数列的首项为，公差为等差数列，∴
（2）
，
∴
，
．
① ②
．
两式相减得
，
∴
．
11
19. 如图，在梯形
中，
，
形，平面
平面
，
2
由命题的否定的定义可知正确．
5. 若复数 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】 B
解析:
， ∴ 故选．

湖南省岳阳市2020届高三教学质量检测(二)数学(文科)(含答案)

（1）求图中 a ,b 的值；
（2）现采用分层抽样在[25,35)和[45,55) 中随机抽取 8 名市民,从 8 人中任选 2 人, 求 2 人中至少有 1 人是“中老年人”的概率是多少 ? （3）根据已知条件,完成下面的 2×2 列联表，并根据此统计结果判断:能否有 99.9% 的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加全面了解防控的相关知识?
岳阳市 2020 届高三教学质量检测试卷（二) 数学（文科）
分值：150 分时量：120 分钟
第 I 卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效。
1．已知复数 z = (1+ i)(3 − i)(i 为虚数单位）,则 z 的虚部为
正切值为
A． 6 2
B． 6 3
C． 2 2
文科数学第 1页共 6 页
D． 2
8．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是
A．5
B．4
C．3
D．2
9．设 F 为抛物线 y2 = 2x 的焦点， A, B, C 为该抛物线上三
点，若
uuur FA
+
uuur FB
+
uuur FC
=
r 0
，则
|
uuur FA
|
+
|
uuur FB
|
+
|
uuur FC
|=
A．9 C．4
B．6 D．3
10. 三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是

【精校】2020年湖南省岳阳市高考二模数学文

2020年湖南省岳阳市高考二模数学文一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A={1，10，110}，B={y|y=lgx ，x ∈A}，则A ∩B=( ) A.{110} B.{10}C.{1}D.∅解析：将集合A 中的元素代入集合B 中的函数y=lgx 中，求出可对应y 的值，确定出集合B ，找出两集合的公共元素，即可求出两集合的交集.将x=1代入得：y=lg1=0；将x=10代入得：y=lg10=1；将x=110代入得：y=lg 110=-1， ∴集合B={0，-1，1}，又A={1，10，110}，则A ∩B={1}.答案：C2.已知i 是虚数单位，复数1012-i i 的虚部为( ) A.-2B.2C.-2iD.2i 解析：求复数1012-i i的虚部，首先把该复数分子分母同时乘以分母的共轭复数，化为实部加虚部乘以i 的形式，则虚部可求.()()()1012102010421212125+-+===-+--+i i i i i i i i ，所以复数1012-i i的虚部为2. 答案：B3.设x 、y 满足约束条件10103-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩x y x y x ，则z=2x-3y 的最小值是( )A.-7B.-6C.-5D.-3解析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可求最小值. 由z=2x-3y 得233-=y z x ，作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC)：平移直线233-=y z x ，由图象可知当直线233-=y z x ，过点A 时，直线233-=y z x 截距最大，此时z 最小，由310=⎧⎨-+=⎩x x y 得34=⎧⎨=⎩x y ，即A(3，4)，代入目标函数z=2x-3y ，得z=2×3-3×4=6-12=-6.∴目标函数z=2x-3y 的最小值是-6.答案：B4.若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是( )A.5B.6C.7D.8解析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出k ，从而到结论.当输入的值为n=5时，n 不满足第一判断框中的条件，n=16，k=1，n 不满足第二判断框中的条件，n 满足第一判断框中的条件，n=8，k=2，n 不满足第二判断框中的条件，n 满足第一判断框中的条件，n=4，k=3，n 不满足第二判断框中的条件，n 满足第一判断框中的条件，n=2，k=4，n 不满足第二判断框中的条件，n 满足第一判断框中的条件，n=1，k=5，n 满足第二判断框中的条件，退出循环，即输出的结果为k=5.答案：A5.已知函数f(x)=220110⎧-≤⎪⎨+⎪⎩，，＞x x x x x则函数y=f(x)+3x 的零点个数是( ) A.0B.1C.2D.3解析：画出函数y=f(x)与y=-3x 的图象，判断函数的零点个数即可.函数f(x)=220110⎧-≤⎪⎨+⎪⎩，，＞x x x x x，函数y=f(x)+3x 的零点个数，就是函数y=f(x)与y=-3x两个函数的图象的交点个数：如图：由函数的图象可知，零点个数为2个.答案：C6.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.316B.38C.14D.18 解析：设边长AB=2，求出△BCI 和平行四边形EFGH 的面积，计算对应的面积比即可.设AB=2，则BC=CD=DE=EF=1，∴112224=⨯⨯=V BCI S ， 211422==⨯=V 平行四边形BCI EFGH S S ， ∴所求的概率为 321611422+===+⨯V 平行四边形正方形BCI EFGHABCD S S P S . 答案：A7.“直线m 与平面α内无数条直线平行”是“直线m ∥平面α”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析：利用线面平行的判定定理性质定理、充分必要条件即可判断出结论.由“直线m ∥平面α”，可得“直线m 与平面α内无数条直线平行”，反之不成立. ∴“直线m 与平面α内无数条直线平行”是“直线m ∥平面α”的必要不充分条件. 答案：C8.若将函数y=sin2x 的图象向左平移6π个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为( ) A.212ππ=-k x (k ∈Z) B.22ππ=+k x (k ∈Z) C.2π=k x (k ∈Z) D.212ππ=+k x (k ∈Z)解析：利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论. 将函数y=sin2x 的图象向左平移6π个单位长度，则平移后图象对应的函数解析式为y=sin(2x+3π)，令232πππ+=+x k ，求得212ππ=+k x ，k ∈Z ，故所得图象的对称轴方程为212ππ=+k x ，k ∈Z.答案：D9.已知一个简单几何的三视图如图所示，若该几何体的体积为24π+48，则该几何体的表面积为( )A.24π+48B.24πC.48π+48D.24π解析：由题意，直观图为14圆锥与三棱锥的组合体，该几何体的体积为211119433424438432ππ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+r r r r r ，∴r=2，∴该几何体的表面积为111112242128366661024664πππ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++答案：D10.函数2ln =x xy x 的图象大致是( )A.B.C.D.解析：根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断. 当x＞0时，y=xlnx，y′=1+lnx，即0＜x＜1e时，函数y单调递减，当x＞1e，函数y单调递增，因为函数y为偶函数.答案：D11.在1和17之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当125a b取最小值时，n=( )A.4B.5C.6D.7解析：利用等差数列的性质可得a+b=18，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出. 由已知得a+b=1+17=18，则()125125125125126102181818+⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b a b a b a b b a ，当且仅当b=5a 时取等号，此时a=3，b=15，可得n=7.答案：D12.已知函数()ln 2-=x ax f x x，若有且仅有一个整数k ，使得f(k)＞1，则实数a 的取值范围是( )A.(1，3]B.[14ln 212-，16ln 312-) C.[12ln 21-，13ln 31-) D.(1e-1，e-1] 解析：由ln 21-＞x ax x ，得ln 21+＜x a x，令g(x)=ln x x ，则g ′(x)=21ln -x x ，令g ′(x)＞0，解得：0＜x ＜e ，令g ′(x)＜0，解得：x ＞e ，故g(x)在(0，e)递增，在(e ，+∞)递减，而g(2)=ln 22≈0.345，g(3)=ln 33≈0.366，故g(3)＞g(2)，故g(2)≤2a+1＜g(3)，故11114262ln 2ln 3-≤-＜a . 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在答题卡的横线上)13.若数列{a n }满足a 1=1，a 2=12，a n+12=a n ·a n+2(n ∈N*)，则数列{a n }的前n 项和S n = . 解析：利用等比数列的定义、求和公式即可得出.∵数列{a n }满足a 1=1，a 2=12，a n+12=a n ·a n+2(n ∈N*)， ∴数列{a n }是等比数列，公比2112==a q a .可得前n 项和1211121212-==-⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-nn n S . 答案：2211⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-n14.已知f(x)=f(4-x)，当x ≤2时，f(x)=e x ，f ′(3)+f(3)= .解析：由f(x)=f(4-x)可得，函数f(x)的图象关于直线x=2对称，当x ≤2时，f(x)=e x ，f ′(x)=e x ，∴f(3)=f(1)=e ，f ′(3)=-f ′(1)=-e ，故f ′(3)+f(3)=0.答案：015.已知抛物线y=ax 2(a ＞0)的准线为l ，l 与双曲线2214-=x y 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若|AB|=4，则a= .解析：抛物线y=ax 2(a ＞0)的准线l ：y=14-a，双曲线2214-=x y 的两条渐近线分别为y=12x ，y=12-x ，可得x A =12-a ，x B =12a ，可得|AB|=1122⎛-⎪⎭-⎫ ⎝a a =4，则a=14. 答案：1416.直线ax+by+c=0与圆O ：x 2+y 2=16相交于两点M 、N ，若c 2=a 2+b 2，P 为圆O 上任意一点，则uuu r g uuu r P PN M 的取值范围是 .解析：取MN 的中点A ，连接OA ，则OA ⊥MN.由点到直线的距离公式算出OA=1，从而在Rt △AON 中，得到cos ∠AON=14，得cos ∠MON=78-，最后根据向量数量积的公式即可算出uuu r uuu r g OM ON 的值，运用向量的加减运算和向量数量积的定义，可得uuu r uuu r g PM PN =2-8cos ∠AOP ，考虑uu u r OP ，uu r OA 同向和反向，可得最值，即可得到所求范围.取MN 的中点A ，连接OA ，则OA ⊥MN ，∵c 2=a 2+b 2，∴O 点到直线MN的距离1==OA ， x 2+y 2=16的半径r=4，∴Rt △AON 中，设∠AON=θ，得cos 14θ==OA ON ， 2cos cos 22cos 171881θθ∠==-=--=MON ，由此可得，cos 484147⎛⎫=∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭uuu r uuu r uuu r uuu r g g OM ON OM N ON MO ，则()()()2=--=+--uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u uuu r uu r g g g g u r uuu r PM OM OP ON OP OM ON OP OP OM ON PN 14162222o 8cos c s =-+-=-∠=-∠uu u r uu u r uu r uu r g g OP OP AO OA P OA AOP ，当uu u r OP ，uu r OA 同向时，取得最小值且为2-8=-6，当uu u r OP ，uu r OA 反向时，取得最大值且为2+8=10.则uuu r g uuu r P PN M 的取值范围是[-6，10].答案：[-6，10]三、解答题(本大题共6小题，共70分，第17~21题为必考题，每小题12分，第22、23题为选考题，有10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知函数()2sin cos =+f x x x x .(1)求函数f(x)的最小正周期.解析：(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用三角函数的周期公式即可得解.答案：(1)∵()2sin cos 2sin 212sin 23π+=+=⎛ ⎭-+⎫⎪⎝f x x x x x x x ， ∴函数f(x)的最小正周期T=22π=π.(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22⎛⎫=⎪⎝⎭A f ，a=4，b+c=5，求△ABC 的面积.解析：(2)由2⎛⎫= ⎪⎝⎭A f 求得A 的值，利用余弦定理求得bc 的值，可得△ABC 的面积S=12bc ·sinA 的值.答案：(2)∵n 232si 2π⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A f A ， ∴sin 03π⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ， ∴A-3π=0， ∴A=3π，又∵a=4，b+c=5，∴a 2=b 2+c 2-2bc ·cosA=(b+c)2-3bc=25-3bc=16，∴bc=3，∴△ABC 的面积sin 31122==⨯=g S bc A .18.某校高二奥赛班N 名学生的物理测评成绩(满分120分)分布直方图如图，已知分数在100-110的学生数有21人.(1)求总人数N 和分数在110-115分的人数n.解析：(1)求出该班总人数、分数在110-115内的学生的频率，即可得出分数在110-115内的人数.答案：(1)分数在100-110内的学生的频率为P1=(0.04+0.03)×5=0.35，所以该班总人数为N=210.35=60，分数在110-115内的学生的频率为P 2=1-(0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01)×5=0.1，分数在110-115内的人数n=60×0.1=6.(2)现准备从分数在110-115的n 名学生(女生占13)中任选2人，求其中恰好含有一名女生的概率.解析：(2)利用列举法确定基本事件的个数，即可求出其中恰好含有一名女生的概率. 答案：(2)由题意分数在110-115内有6名学生，其中女生有2名，设男生为A 1，A 2，A 3，A 4，女生为B 1，B 2，从6名学生中选出3人的基本事件为：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)共15个.其中恰好含有一名女生的基本事件为(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 2)，(A 2，B 1)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，共8个，所以所求的概率为P=815.(3)为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学生提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x(满分150分)，物理成绩y 进行分析，下面是该生7次考试的成绩.已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+$$$.若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？(参考公式：()()()121==--=-∑∑$ni ii n i i x x y y b x x ，a y bx =-$$)解析：(3)分别求出回归学生的值，代入从而求出线性回归方程，将x=130代入，从而求出y 的值.答案：(3)x =100，y =100；由于x 与y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到4970.5994==$b ，$a =100-0.5×100=50， ∴线性回归方程为$y =0.5x+50，∴当x=130时，$y =115.19.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且∠DAB=60°，EF ∥AC ，AD=2，EA=ED=EF=.(1)求证：AD ⊥BE.解析：(1)取AD 中点O ，连结EO ，BO.证明EO ⊥AD.BO ⊥AD.说明AD ⊥平面BEO ，即可证明AD ⊥BE.答案：(1)如图，取AD 中点O ，连结EO ，BO.∵EA=ED ，∴EO ⊥AD.∵四边形ABCD 为菱形，∴AB=AD ，又∠DAB=60°，∴△ABD 为等边三角形，∴BA=BD ，∴BO ⊥AD.∵BO ∩EO=O ，BO ⊂平面BEO ，EO ⊂平面BEO ，∴AD ⊥平面BEO ，∵BE ⊂平面BEO ，∴AD ⊥BE.(2)若F-BCD 的体积.解析：(2)解法一：证明EO ⊥OB ，然后证明EO ⊥平面ABCD.通过V F-BCD =V E-BCD 求解即可. 解法二：解法二：证明EO ⊥OB ，利用AD ⊥平面EOB ，以及V F-BCD =V E-BCD =V E-ABD 求解即可.答案：(2)解法一：在△EAD 中，AD=2，∴EO∵△ABD 为等边三角形，∴AB=BD=AD=2，∴.又EO 2+OB 2=BE 2，∴EO ⊥OB ， ∵AD ∩OB=O ，AD ⊂平面ABCD ，BO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥平面ABCD.又11222==⨯=V g g ABD S AD OB∴S △BCD =S △ABD 又∵EF ∥AC ，∴33311--====V g F BCD E BCD BCD V V S EO .解法二：在△EAD 中，AD=2，∴EO∵△ABD 为等边三角形，∴AB=BD=AD=2，∴又EO 2+OB 2=BE 2，∴EO ⊥OB ，所以1122===V g g EOB S EO OB . 又S △BCD =S △ABD ，EF ∥AC ，AD ⊥平面EOB ，∴11323---=====V g F BCD E BCD E ABD EOB V V V S AD . 20.如图，A ，B 是椭圆C ：2214+=x y 长轴的两个端点，P ，Q 是椭圆C 上都不与A ，B 重合的两点，记直线BQ ，AQ ，AP 的斜率分别是kBQ ，kAQ ，kAP.(1)求证：k BQ ·k AQ =14-. 解析：(1)设Q(x 1，y 1)，由题意方程求出A ，B 的坐标，代入斜率公式即可证明k BQ ·k AQ =14-. 答案：(1)证明：设Q(x 1，y 1)，由椭圆C ：2214+=x y ，得B(-2，0)，A(2，0)， ∴21211122111114224144-====-+---g g BQ AQx y y y k k x x x x .(2)若k AP =4k BQ ，求证：直线PQ 恒过定点，并求出定点坐标.解析：(2)由(1)结合k AP =4k BQ ，可得k AP ·k AQ =-1，设P(x 2，y 2)，直线PQ ：x=ty+m ，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及k AP ·k AQ =-1列式求得m 值，则可证明直线PQ 恒过定点，并求出定点坐标.答案：(2)由(1)知：14=BQ BQ k k ⇒1144=-g AP AQ k k ⇒k AP ·k AQ =-1. 设P(x 2，y 2)，直线PQ ：x=ty+m ，代入x 2+4y 2=4，得(t 2+4)y 2+2mty+m 2-4=0， ∴12224-+=+mt y y t ，212244-=+m y y t ，由k AP ·k AQ =-1得：(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2=0，∴(t 2+1)y 1y 2+(m-2)t(y 1+y 2)+(m-2)2=0，∴(t 2+1)(m 2-4)+(m-2)t(-2mt)+(m-2)2(t 2+4)=0，∴5m 2-16m+12=0，解得m=2或m=65. ∵m ≠2，∴m=65， ∴直线PQ ：x=ty+65，恒过定点(65，0).21.已知函数f(x)=ax 2+lnx+2.(1)若a ∈R ，讨论函数f(x)的单调性.解析：(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可.答案：(1) ()21212+'=+=ax f x ax x x，(x ＞0)， a ≥0时，恒有f ′(x)＞0，f(x)在(0，+∞)递增，a ＜0时，令f ′(x)＞0，即2ax 2+1＞0，解得：0＜x令f ′(x)＜0，即2ax 2+1＜0，解得：x综上，a ≥0时，f(x)在(0，+∞)递增，a ＜0时，f(x)在(0递增，在+∞)递减.(2)曲线g(x)=f(x)-ax 2与直线l 交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，两点，其中x 1＜x 2，若直线l斜率为k ，求证：x 1＜1k＜x 2. 解析：(2)问题等价于21212111ln -＜＜x x x x x x ，令t=21x x ，则t ＞1，问题转化为只需证1＜1ln -t t ＜t ，根据函数的单调性证明即可.答案：(2)证明：()()21212121ln ln --==--g x g x x x k x x x x ，要证x 1＜1k ＜x 2，即证211221ln ln --＜＜x x x x x x ，等价于21212111ln -＜＜x x x x x x ，令t=21x x ，则t ＞1，只需证1＜1ln -t t＜t ，由t ＞1知lnt ＞0，故等价于lnt ＜t-1＜tlnt ，设φ(t)=t-1-lnt ，则φ′(t)=1-1t ＞0，所以φ(t)在(1，+∞)上单增，所以φ(t)＞φ(1)=0，即t-1＞lnt 又设h(t)=tlnt-(t-1)，则h ′(t)=lnt ＞0，所以h(t)在(1，+∞)上单增，所以h(t)＞h(1)=0，即tlnt ＞t-1，故x 1＜1k＜x 2.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2cos θ，若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，且取相同的单位长度建立平面直角坐标系，则直线l的参数方程是212⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x t m y t (t 为参数).(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程.解析：(1)由x=ρcos θ，y=ρsin θ，x 2+y 2=ρ2，可得曲线C 的普通方程；运用代入法，可得直线l 的普通方程.答案：(1)由x=ρcos θ，y=ρsin θ，x 2+y 2=ρ2，曲线C 的极坐标方程是ρ=2cos θ，即为ρ2=2ρcos θ，即有x 2+y 2=2x ，即圆(x-1)2+y 2=1；由直线l的参数方程是212⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x m y t (t 为参数)，可得y-m=0.(2)设点P(m ，0)，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA|·|PB|=1，求非负实数m 的值. 解析：(2)将直线l 的参数方程代入曲线的普通方程，运用判别式大于0，韦达定理，结合参数的几何意义，解方程，即可得到所求m 的值.答案：(2)将212⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x m y t 代入圆(x-1)2+y 2=1，可得t 2(m-1)t+m 2-2m=0，由△=3(m-1)2-4(m 2-2m)＞0，可得-1＜m ＜3，由m 为非负数，可得0≤m ＜3.设t 1，t 2是方程的两根，可得t 1t 2=m 2-2m ，|PA|·|PB|=1，可得|m 2-2m|=1，解得m=1或1，由0≤m ＜3.可得m=1或.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)=|2x+2|-|2x-2|，x∈R.(1)求不等式f(x)≤3的解集.解析：(1)通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，求出不等式的解集即可.答案：(1)原不等式等价于143-⎧⎨-≤⎩＜x或1143-≤≤⎧⎨≤⎩xx或143⎧⎨≤⎩＞x，解得：x＜-1或-1≤x≤34，∴不等式f(x)≤3的解集为(-∞，34 ].(2)若方程()2+=f xa x有三个实数根，求实数a的取值范围.解析：(2)分离a，得到a=x+|x-1|-|x+1|，令h(x)=x+|x-1|-|x+1|，结合函数的图象求出a 的范围即可.答案：(2)由方程()2+=f xa x可变形为a=x+|x-1|-|x+1|，令()21111121+-⎧⎪=+--+=--≤≤⎨⎪-⎩，＜，，＞x xh x x x x x xx x，作出图象如下：于是由题意可得-1＜a＜1.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。

2019-2020学年湖南省岳阳市高三(下)第二次联考数学(文科)试题Word版含解析

2019-2020学年湖南省岳阳市高三（下）第二次联考数学（文科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|1＜x＜3}，B={x|x＞2}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜3} B．{x|1＜x＜3} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞1}2．（5分）已知复数z满足zi=1﹣i，（i为虚数单位），则|z|=（）A．1 B．2 C．3 D．3．（5分）“a≠1”是“a2≠1”的（）A．充分不必条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）从1，2，3，4这四个数中依次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2=3，S6=36，则a4=（）A．6 B．7 C．8 D．96．（5分）执行如图的程序框图，输出的S为（）A．25 B．30 C．55 D．917．（5分）已知函数的图象的两条相邻对称轴的距离是，则ω=（）A．4 B．C．1 D．28．（5分）某零件的三视图如图所示，现用一长方体原件切割成此零件，若产生的废料最少，则原件的体积为（）A．πB．2 C．4 D．89．（5分）矩形ABCD中，AD=mAB，E为BC的中点，若，则m=（）A．B．C．2 D．310．（5分）边长为2的正方形ABCD的顶点都在同一球面上，球心到平面ABCD的距离为1，则此球的表面积为（）A．3πB．5πC．12π D．20π11．（5分）抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，过直线x﹣y﹣2=0上点M作C的两条切线MA、MB（A、B 为切点），若|AF|•|BF|的最小值为8，则p=（）A．1 B．C．2 D．412．（5分）已知函数，关于a的不等式f（a）﹣ta+2t﹣2＞0的解集是（a1，a2）∪（a3，+∞），若a1a2a3＜0，则实数t的取值范围是（）A．（﹣3，4）B． C．D．（﹣3，﹣2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在题中的横线上.13．（5分）已知变量x、y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．14．（5分）在△ABC中，若，则BC= ．15．（5分）函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为2x+y﹣3=0，则f（2）+f'（2）= ．16．（5分）双曲线C：的右焦点为F，其右支上总有点P，使得|OM|=|PF|（M 为PF的中点，O为坐标原点），则C的离心率的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，a2=3，且a1、a3、a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{b n}的前n项和为S n，求S16．18．（12分）PM2.5是指大气中直径≤2.5微米的颗粒物，其浓度是监测环境空气质量的重要指标．当PM2.5日均值在0～35（单位为微米/立方米，下同）时，空气质量为优，在35～75时空气质量为良，超过75时空气质量为污染．某旅游城市2016年春节7天假期里每天的PM2.5的监测数据如茎叶图所示．（Ⅰ）以上述数据统计的相关频率作为概率，求该市某天空气质量为污染的概率；（Ⅱ）某游客在此春节假期间有2天来该市旅游，已知这2天该市空气质量均不为污染，求这2天中空气质量都为优的概率．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1=AC=2BC，∠ACB=90°．（Ⅰ）求证：AC1⊥A1B；（Ⅱ）求直线AB与平面A 1BC所成角的正切值．20．（12分）如图，已知椭圆的离心率为，且过点P（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（1，﹣1）的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N（均异于点P）．问直线PM与PN的斜率之和是否是定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=2alnx+（a+1）x2+1．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）如果对任意x1＞x2＞0，总有，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：．请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的极坐标方程是ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是（α为参数）．（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）若直线l与x、y轴交于M、N两点，点P为曲线C上任一点．求△PMN的面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=a|x﹣1|+1（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞6﹣|x+2|的解集；（Ⅱ）若函数f（x）的图象与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相交形成的劣弧不超过圆周长的．求正数a的取值范围．2019-2020学年湖南省岳阳市高三（下）第二次联考数学（文科）试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|1＜x＜3}，B={x|x＞2}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜3} B．{x|1＜x＜3} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞1}【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|1＜x＜3}，B={x|x＞2}，∴A∩B={x|2＜x＜3}，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知复数z满足zi=1﹣i，（i为虚数单位），则|z|=（）A．1 B．2 C．3 D．【分析】根据复数的代数运算法则，求出复数z，再求它的模长即可．【解答】解：∵复数z满足zi=1﹣i，（i为虚数单位），∴z==﹣i﹣1，∴|z|==．故选：D．【点评】本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题目．3．（5分）“a≠1”是“a2≠1”的（）A．充分不必条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】由a2≠1，解得a≠±1．即可判断出关系．【解答】解：由a2≠1，解得a≠±1．∴“a≠1”推不出“a2≠1”，反之由a2≠1，解得a≠1．∴“a≠1”是“a2≠1”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）从1，2，3，4这四个数中依次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是（）A．B．C．D．【分析】从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，可有种方法，其中一个数是另一个数的两倍的只有1，2；2，4．两种选法．利用古典概型的概率计算公式即可得出．【解答】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，可有种方法，其中一个数是另一个数的两倍的只有1，2；2，4这两种选法．∴其中一个数是另一个数的两倍的概率P==．故选：B．【点评】本题考查了古典概型的概率计算公式和组合的意义，属于基础题．5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2=3，S6=36，则a4=（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】由等差数列的通项公式和前n项和公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出等差数列的第4项．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2=3，S6=36，∴，解得a1=1，d=2，∴a4=a1+3d=1+2×3=7．故选：B．【点评】本题考查等差数列的第4项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6．（5分）执行如图的程序框图，输出的S为（）A．25 B．30 C．55 D．91【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件i＞5，计算输出S的值即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，i=1第一次运行循环体，S=12，i=2；第二次运行循环体，S=12+22，i=3；第三次运行循环体，S=12+22+32，i=4；第四次运行循环体，S=12+22+32+42，i=5；第五次运行循环体，S=12+22+32+42+52，i=6；此时，满足条件i＞5，程序终止运行，输出S=12+22+32+42+52=55．故选：C．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法，属于基础题．7．（5分）已知函数的图象的两条相邻对称轴的距离是，则ω=（）A．4 B．C．1 D．2【分析】由已知求得三角函数的周期，再由周期公式求得ω值．【解答】解：由函数的图象的两条相邻对称轴的距离是，得，∴T=π，则ω=．故选：D．【点评】本题考查三角函数周期的求法，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是基础题．8．（5分）某零件的三视图如图所示，现用一长方体原件切割成此零件，若产生的废料最少，则原件的体积为（）A．πB．2 C．4 D．8【分析】由三视图可知：该几何体为圆柱的一半，利用长方体的体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何题为圆柱的一半，∴原件的体积=1×2×2=4，故选：C．【点评】本题考查了圆柱与长方体的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（5分）矩形ABCD中，AD=mAB，E为BC的中点，若，则m=（）A．B．C．2 D．3【分析】根据向量的加减的几何意义和向量的数量积公式，得到•=（﹣1）||2=0，解得即可．【解答】解：∵AD=mAB，E为BC的中点，∴=+=+=+，=﹣，∵，∴•=（+）（﹣）=||2﹣||2+=（﹣1）||2=0，∴﹣1=0，解得m=或m=﹣（舍去），故选：A【点评】本题考查了向量的加减的几何意义和向量的数量积运算，以及向量垂直的条件，属于中档题．10．（5分）边长为2的正方形ABCD的顶点都在同一球面上，球心到平面ABCD的距离为1，则此球的表面积为（）A．3πB．5πC．12π D．20π【分析】由正方形边长求出对角线长，根据球心到平面ABCD的距离，正方形对角线一半，以及球的半径构成直角三角形，利用勾股定理求出球半径，即可确定出球的表面积．【解答】解：∵正方形的边长为2，∴正方形的对角线长为=2，∵球心到平面ABCD的距离为1，∴球的半径R==，则此球的表面积为S=4πR2=12π．故选：C．【点评】此题考查了球的体积和表面积，求出球的半径是解本题的关键．11．（5分）抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，过直线x﹣y﹣2=0上点M作C的两条切线MA、MB（A、B 为切点），若|AF|•|BF|的最小值为8，则p=（）A．1 B．C．2 D．4【分析】求出切线方程，再利用抛物线的定义，即可得出结论．【解答】解：设A（x1，x12），B（x2，x22），由抛物线C：x2=2py得抛物线C的方程为y=x2，∴y′=∴MA：y﹣x12=（x﹣x1）①，MB：：y﹣x22=（x﹣x2）②联立①②可得x1，x2是方程t2﹣2xt+2py=0的两个根，∴x1+x2=2x，x1x2=2py根据抛物线的定义，有|AF||BF|=|x12+||x22+|=|2x2+（﹣4﹣p）x+4+2p+|∴x=时，|AF|•|BF|的最小值为||=8，∴p=4．故选：D．【点评】本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性．12．（5分）已知函数，关于a的不等式f（a）﹣ta+2t﹣2＞0的解集是（a1，a2）∪（a3，+∞），若a1a2a3＜0，则实数t的取值范围是（）A．（﹣3，4）B． C．D．（﹣3，﹣2）【分析】由题意，a1＜0，0＜a2＜1，a3＞1，再分类讨论，结合不等式（a）﹣ta+2t﹣2＞0的解集是（a1，a2）∪（a3，+∞），求出实数t的取值范围．【解答】解：由题意，a1＜0，0＜a2＜1，a3＞1，a＜1，不等式为4a+1﹣ta+2t﹣2＞0，∴a（4﹣t）＞1﹣2t，∴4﹣t＞0，∴t＜4；a≥1，不等式为a2﹣6a+10﹣ta+2t﹣2＞0，∴f（1）=1﹣6+10﹣t+2t﹣2＞0，∴t＞﹣3，故选A．【点评】本题考查分段函数，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在题中的横线上.13．（5分）已知变量x、y满足约束条件，则z=x+y的最大值为 6 ．【分析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z=2x+y的最大值．【解答】解：由约束条件，得如图所示的三角形区域，三个顶点坐标为A（1，2），B（2，1），C（2，4）由z=x+y可得y=﹣x+z，则z表示直线y=﹣x+z在y轴上的截距，截距越大，z越大直线z=x+y过点 C（2，4）时，z取得最大值为6；故答案为：6．【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．14．（5分）在△ABC中，若，则BC= ．【分析】由tanB的值大于0，且B为三角形的内角，根据同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由C=π﹣（A+B），利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简sjnC，利用正弦定理即可求出BC的长．【解答】解：∵tanB=＞0，且B为三角形的内角，∴sinB===，cosB=．∴sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=+=，又AB=，∴根据正弦定理得：BC===．故答案为：．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及正弦定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．15．（5分）函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为2x+y﹣3=0，则f（2）+f'（2）= ﹣3 ．【分析】先将x=2代入切线方程可求出f（2），再由切点处的导数为切线斜率可求出f'（2）的值，最后相加即可．【解答】解：由已知切点在切线上，所以f（2）=﹣1，切点处的导数为切线斜率，所以f'（2）=﹣2，所以f（2）+f′（2）=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率．16．（5分）双曲线C：的右焦点为F，其右支上总有点P，使得|OM|=|PF|（M为PF的中点，O为坐标原点），则C的离心率的取值范围是（1，3] ．【分析】求出|PF|，由双曲线的第二定义可得，P到准线的距离d=≥a﹣，即可求出C的离心率的取值范围．【解答】解：设|PF|=m，则|OM|=m=，∴m=2a，由双曲线的第二定义可得，P到准线的距离d=≥a﹣，∴e≤3，∵e＞1，∴1＜e≤3，故答案为：（1，3]．【点评】本题考查C的离心率的取值范围，考查双曲线的第二定义，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，a2=3，且a1、a3、a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{b n}的前n项和为S n，求S16．【分析】（I）利用等比数列与等差数列的通项公式即可得出．（II）利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由题，即，又d≠0，∴a1=2d，又a1+d=3，联立解得a1=2，d=1．∴a n=n+1．（Ⅱ）由题得=．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）PM2.5是指大气中直径≤2.5微米的颗粒物，其浓度是监测环境空气质量的重要指标．当PM2.5日均值在0～35（单位为微米/立方米，下同）时，空气质量为优，在35～75时空气质量为良，超过75时空气质量为污染．某旅游城市2016年春节7天假期里每天的PM2.5的监测数据如茎叶图所示．（Ⅰ）以上述数据统计的相关频率作为概率，求该市某天空气质量为污染的概率；（Ⅱ）某游客在此春节假期间有2天来该市旅游，已知这2天该市空气质量均不为污染，求这2天中空气质量都为优的概率．【分析】（Ⅰ）由茎叶图数据中7天有2天超过75，由此能求出该市某天空气质量为污染的概率．（Ⅱ）由题得，有5天空气质量不为污染，其中3天优设为A1、A2、A3，2天良设为B1、B2．利用列举法能求出这2天中空气质量都为优的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题中茎叶图数据中7天有2天超过75，则该市某天空气质量为污染的概率．（5分）（Ⅱ）由题得，有5天空气质量不为污染，其中3天优设为A1、A2、A3，2天良设为B1、B2．则从这5天中随机抽取2天，共有：（A1，A2）、（A1，A3）、（A2，A3）、（A1，B1）、（A1，B2）、（A2，B1）、（A2，B2）、（A3，B1）、（A3，B2）、（B1，B2）10个基本事件．其中这2天中空气质量都为优的基本事件共有（A1，A2）、（A1，A3）、（A2，A3）3个所以这2天中空气质量都为优的概率为．（12分）【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法和茎叶图性质的合理运用．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1=AC=2BC，∠ACB=90°．（Ⅰ）求证：AC1⊥A1B；（Ⅱ）求直线AB与平面A1BC所成角的正切值．【分析】（I）先证BC⊥平面ACC1A1得BC⊥AC1，由四边形ACC1A1为正方形得出AC1⊥A1C，故而AC1⊥平面A1BC，于是AC1⊥A1B；（II）由AC1⊥平面A1BC可知∠ABO是直线AB与平面A1BC所成的角，设BC=a，利用勾股定理求出OA，OB 即可得出tan∠ABO．【解答】证明（Ⅰ）∵CC1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC1⊥BC又∠ACB=90°，即BC⊥AC，又AC∩CC1=C，∴BC⊥平面A1C1CA，又AC1⊂平面A1C1CA，∴AC1⊥BC．∵AA1=AC，∴四边形A1C1CA为正方形，∴AC1⊥A1C，又AC1∩BC=C，∴AC1⊥平面A1BC，又A1B⊂平面A1BC，∴AC1⊥A1B．解（Ⅱ）设AC1∩A1C=O，连接BO．由（Ⅰ）得AC1⊥平面A1BC，∴∠ABO是直线AB与平面A1BC所成的角．设BC=a，则AA1=AC=2a，∴，，在Rt△ABO中，，∴直线AB与平面A1BC所成角的正切值为．【点评】本题考查了线面垂直的判断与性质，线面角的计算，属于中档题．20．（12分）如图，已知椭圆的离心率为，且过点P（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（1，﹣1）的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N（均异于点P）．问直线PM与PN的斜率之和是否是定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．【分析】（Ⅰ）通过椭圆的离心率，端点值，以及椭圆的几何量法关系，求解a，b，即可求解椭圆C的方程；（Ⅱ）（1°）当直线l垂直于x轴时，解得M，N，求解直线PM与PN的斜率之和．（2°）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的斜率为k，写出直线l的方程为y+1=k（x﹣1），与椭圆C联立，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理，转化求解直线PM与PN的斜率之和化简求解即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题，又a2=b2+c2所以所以椭圆C的方程是（4分）证明（Ⅱ）（1°）当直线l垂直于x轴时，解得所以直线PM与PN的斜率之和为（6分）（2°）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的斜率为k由题直线l的方程为y+1=k（x﹣1），与椭圆C：联立得（2k2+1）x2﹣4k（k+1）x+2k（k+2）=0（*）设M（x1，y1），N（x2，y2），则（8分）所以直线PM与PN的斜率之和为==（11分）此时方程（*）亦满足△＞0综上，直线PM与PN的斜率之和为定值﹣2（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．考查计算能力．21．（12分）已知函数f（x）=2alnx+（a+1）x2+1．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）如果对任意x1＞x2＞0，总有，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）问题转化为，令g（x）=f（x）﹣x2﹣4x，又x1＞x2＞0，得到g（x）的单调性，问题转化为在（0，+∞）上恒成立，从而求出a的范围即可；（Ⅲ）求出2lnx＞﹣x2+4x﹣3，令（n＞1，n∈N*），易知x＞1，累加即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），当时，，，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f'（x）＞0，故f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以，无极大值．（3分）（Ⅱ）由题得，对任意x1＞x2＞0，x1﹣x2＞0，由，得f（x1）﹣f（x2）＞（x1+x2+4）（x1﹣x2），即，令g（x）=f（x）﹣x2﹣4x，又x1＞x2＞0，∴g（x1）＞g（x2），故函数g（x）=f（x）﹣x2﹣4x在（0，+∞）上单调递增．（5分）∴在（0，+∞）上恒成立，∴，∵x＞0，∴在（0，+∞）上恒成立，又∵（当且仅当x=1时取等号），∴不等式在（0，+∞）上恒成立的条件是a≥1，故实数a的取值范围为[1，+∞）．（7分）（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a=1时，g（x）=2lnx+x2﹣4x+1在（0，+∞）上单调递增，又g（1）=﹣2，故当x＞1时，g（x）=2lnx+x2﹣4x+1＞﹣2，即2lnx＞﹣x2+4x﹣3，令（n＞1，n∈N*），易知x＞1，∴…（10分），∴，，…，，又2ln2＞1，累加得，∴（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（2016春•湘阴县月考）已知直线l的极坐标方程是ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是（α为参数）．（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）若直线l与x、y轴交于M、N两点，点P为曲线C上任一点．求△PMN的面积的最小值．【分析】（Ⅰ）直线l的极坐标方程是ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0，利用互化公式可得：直线l的直角坐标方程．曲线C的参数方程是（α为参数），利用平方关系可得：曲线C的普通方．（Ⅱ）曲线C是以（﹣1，0）圆心，以1为半径的圆，利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线l的距离为d，|MN|=，即可得出△PMN的面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）直线l的极坐标方程是ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0，利用互化公式可得：直线l的直角坐标方程为x﹣y﹣1=0．曲线C的参数方程是（α为参数），利用平方关系可得：曲线C的普通方程为（x+1）2+y2=1．（Ⅱ）曲线C是以（﹣1，0）圆心，以1为半径的圆，圆心到直线l的距离为，又|MN|==，所以△PMN的面积的最小值是．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016春•湘阴县月考）设函数f（x）=a|x﹣1|+1（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞6﹣|x+2|的解集；（Ⅱ）若函数f（x）的图象与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相交形成的劣弧不超过圆周长的．求正数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据f（x）的图象的特点以及圆的图象，求出a的范围即可．【解答】解（Ⅰ）a=1时，不等式为|x﹣1|+|x+2|＞5，x≥1时，x﹣1+x+2＞5，解得：x＞2，﹣2＜x＜1时，1﹣x+x+2=3，不合题意，x≤﹣2时，1﹣x﹣x﹣2＞5，解得：x＜﹣3，故不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞2}；（Ⅱ）因为f（x）=a|x﹣1|+1恒过（1，1），且关于x=1对称，所以f（x）=a|x﹣1|+1的图象是以（1，1）为折点的“V”字形图象，由题与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相交形成的劣弧不超过圆周长的，所以“V”字形图象的右半支的倾斜角大于或等于60°，所以正数a的取值范围为．【点评】本题考查了绝对值不等式问题，考查函数图象以及圆的方程问题，是一道中档题．。

2020年湖南省岳阳市邵阳中学高二数学理联考试卷含解析

2020年湖南省岳阳市邵阳中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 复数的实部是（）A． B．C．D ． 2参考答案：B2.参考答案：A略3. 设双曲的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为A. B. C. D.参考答案：D试题分析：设该双曲线方程为得点B（0，b），焦点为F（c，0），直线FB的斜率为由垂直直线的斜率之积等于-1，建立关于a、b、c的等式，变形整理为关于离心率e 的方程，解之即可得到该双曲线的离心率；设该双曲线方程为可得它的渐近线方程为，焦点为F（c，0），点B（0，b）是虚轴的一个端点，∴直线FB的斜率为，∵直线FB与直线互相垂直，∵双曲线的离心率e＞1，∴e=,故选：D考点：双曲线的简单性质4. 若点在函数的图象上，，则下列点也在此图象上的是（）A．B．C．D．参考答案：D略5. 设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=2asinA，则A=（）A．B．C．D．不确定参考答案：A【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A．【解答】解：∵bcosC+ccosB=2asinA，∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=2sin2A，∵sinA≠0，∴sinA=，∴由于A为锐角，可得A=．故选：A．6. 已知变量满足则的最小值是（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：C7. 已知集合，则= ( )A. B. C. D.参考答案：D8. 命题“”的否定是（A）对（B）不存在（C）对（D）参考答案：A9. 中，角所对的边，若，，，则（）A. B. C. D.参考答案：C10. 下列值等于1的定积分是（）A． B． C． D．参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若x，y满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________。

2020届湖南省岳阳市高三教学质量检测试卷（二）数学（理科）

岳阳市2020届高三教学质量检测试卷（二）数学（理科）分值：150分时量：120 分钟第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效。

1.已知复数z=(1+ i)(3-i)(i 为虚数单位)，则Z 的虚部为A.2B.2iC.4D.4i2.已知集合A={x|x+1≤0}， B={x|x≥a}，若A ∪B=R ，则实数a 的值可以为A.2B.1C.0D. -23.若a 424log 3,log 7,0.7,a b c ===则实数 A. a>b> c B.c>a>b C. b> a>c D. c>b>a4.已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353,a a a +-=则7S =A.42B.21C.7D.35.已知向量1||1,(,),2a b m ==若()(),a b a b +⊥-，则实数m 的值为 1.2A 3.2B 1.2C ± 3.2D ± 6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？"其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知1丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为A.10000 立方尺B.11000 立方尺C.12000立方尺D.13000 立方尺7. 在区间[-1,1]上随机取一个数k,使直线y=k(x+3)与圆221x y +=相交的概率为 1.2A 1.3B 2.C 2.D 8.5(21)(22)x x --的展开式中8x 的项的系数为A.120B.80C.60D.40 9. 已知'()f x 为函数f(x)(x ∈R)的导函数,满足f(1)=1,且'()1,f x <则不等式22(lg )lg f x x <的解集为1.(0,)10A 1.(0,)(10,)10B ⋃+∞ 1.(,10)10C D.(10, +∞)10.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP.该款软件主要设有“阅读文章”、“视听学习”两个学习模块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题"四个答题模块.某人在学习过程中，“阅读文章”不能放首位，四个答题板块中有且仅有三个答题板块相邻的学习方法有A.60种B.192 种C.240 种D.432种 11.已知函数13()4sin(2),[0,]63f x x x ππ=-∈，若函数F(x)= f(x)-3的所有零点依次记为123,,,,,n x x x x 且123n x x x x <<<<，则1231222n n x x x x x -+++++= 50.3A πB.21π 100.3C π D.42π 12. 已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A 在抛物线上，且 |AF|=5，过点F 的动直线l 与抛物线交于B ，C两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与x 轴的交点为M.给出下列四个命题:①在抛物线上满足条件的点A 仅有一个;②若P 是抛物线准线上一动点, 则| PA|+ |PO|的最小值为③无论过点F 的直线l 在什么位置，总有∠OMB=∠OMC ;④若点C 在抛物线准线上的射影为D ，则三点B 、O 、D 在同一条直线上.其中所有正确命题的个数为A.1B.2C.3D.4第II 卷(非选择题，共90分)二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。

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2020年湖南省岳阳一中高考数学二模试卷1
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1.已知集合A={x|1<x2<4}，B={x|x−1≥0}，则A∩B=()
A. (1,2)
B. [1,2)
C. (−1,2)
D. [−1,2)
2.已知i为虚数单位，则复数z=3+i
(1−i)i
的虚部为()
A. 1
B. 2
C. −1
D. −2
3.上午某专家的第一场报告在8:30～10:00进行，小张由于没有赶上第一趟公交，所以改乘第二
趟公交或打的前往，但也只能在上午9:30～10:10到达会场，则第一场报告他能听到时间不少于25分钟的概率是()
A. 1
8B. 1
4
C. 2
3
D. 3
4
4.等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，若a1+1，a3，a6成等比数列，则S n=()
A. n(n+1)
B. n2
C. n(n−1)
D. 2n
5.对于函数f(x)=sin(13π
2
−x)，下面说法中正确的是()
A. 是最小正周期为π的奇函数
B. 是最小正周期为π的偶函数
C. 是最小正周期为2π的奇函数
D. 是最小正周期为2π的偶函数
6.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道问题：“今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日
长七寸；瓜生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果n=()
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
7.实数a=30.4，b=log432，c=log550的大小关系为
A. c>b>a
B. b>c>a
C. a>c>b
D. b>a>c
8.函数f(x)=(3x+3−x)ln|x|的图象大致为()
A. B.
C. D.
9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. 12√3
B. 14√3
C. 16√3
D. 20√3
10.函数f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R)(ω>0,|φ|<π
2
)的部分图象如
图所示，如果x1,x2∈(π
6,2π
3
)，且f(x1)=f(x2)，则f(x1+x2)=
()
A. −1
2B. −√3
2
C. 1
2
D. √3
2
11.己知函数y=log a(x−1)+2(a>0且a≠1)恒过定点A.若直线mx+ny=2过点A，其中m，n
是正实数，则1
m +2
n
的最小值是()
A. 3+√2
B. 3+2√2
C. 9
2
D. 5
12.已知点F1、F2是双曲线x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点，若在右支上存在点A使得点F2到
直线AF1的距离为2a，则离心率e的取值范围是()
A. [√2,+∞)
B. (√2,+∞)
C. (1,√2)
D. (1,√2]
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.已知a⃗=(1,λ)，b⃗ =(2,1)，若向量2a⃗+b⃗ 与c⃗=(8,6)共线，则实数λ的值为______．
14.已知变量x，y满足约束条件{x−y+2≤0,
x≥1,
x+y−7≤0,
则y
x
的取值范围是________．
15.甲、乙、丙三个同学在看a，b，c三位运动员进行“乒乓球冠军争夺赛”(冠军唯一).赛前，对
于谁会得冠军，甲说：不是b，是c，乙说：不是b，是a，丙说：不是c，是b，比赛结果表明，他们的话有一人全对，有一人对一半错一半，有一人全错，则冠军是______．
16.若对任意的x∈[1
e ,+∞)，都有1
2
x2−alnx≥0成立，则实数a的取值范围是_______．
三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）
17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=1，b=2，cosC=3
4
.求：(Ⅰ)△ABC的面积；
(Ⅱ)sinA的值．
18.如图，四棱锥E−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
CD=2AD，EC⊥底面ABCD．
(1)求证：平面ADE⊥平面ACE；
(2)若AD=CE=2，求三棱锥C−ADE的高．
19.某组织在某市征集志愿者参加志愿活动，现随机抽出60名男生
和40名女生共100人进行调查，统计出100名市民中愿意参加
志愿活动和不愿意参加志愿活动的男女生比例情况，具体数据如
图所示．
(Ⅰ)根据条件完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握
认为愿意参与志愿活动与性别有关？
愿意不愿意总计男生
女生
总计
72队长，求抽取的2人至少有一名女生的概率．
参考数据及公式：
P(K2≥k0)0.10.050.0250.01 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 K2=2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
(n=a+b+c+d)．
20.已知椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，△AF1F2是斜边
长为2√2的等腰直角三角形．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)若直线l：y=x+m与椭圆C交于不同两点P，Q．
(ⅰ)当m=1时，求线段PQ的长度；
(ⅰ)是否存在m，使得S△OPQ=4
3
？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
21. 已知函数f(x)=2lnx −ax(a ∈R)，g(x)=m −3
x ．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若a =−1时，对任意x ∈(0,+∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数m 的取值范围．
22. 在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C 1的
极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l 的方程为{
x =1−2√5
5
t
y =1+√5
5t (t 为参数)． (Ⅰ)求曲线C 1的直角坐标方程及直线l 的普通方程；
(Ⅱ)若曲线C 2的参数方程为{x =2cosα
y =sinα
(α为参数)，曲线C 1上点P 的极坐标为(ρ,π4)，Q 为曲线C 2
上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值．
23. 已知函数f(x)=｜2x −4｜+｜x +1｜，x ∈R ．
(Ⅰ)解不等式f(x)≤9；
(Ⅱ)若方程f(x)=−x2+a在区间[0,2]有解，求实数a的取值范围．
-------- 答案与解析 --------1.答案：A
解析：解：集合A={x|1<x2<4}={x|−2<x<−1或1<x<2}，
B={x|x−1≥0}={x|x≥1}，
则A∩B={x|1<x<2}=(1,2)．
故选：A．
解不等式化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．
本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题．
2.答案：C
解析：
【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
解：∵z=3+i
(1−i)i =(3+i)(1+i)
2i
=1+2i
i
=2−i，
∴z的虚部为−1．
故选C．
3.答案：A
解析：
【分析】
本题主要考查几何概型中的长度类型，解决的关键是找到问题的分界点，分清是长度，面积，还是体积类型，再应用概率公式求解，是基础题．
由题意，小张在上午9：30～10：10之间随机到达会场，区间长度为40，第一场报告他能听到时间不少于25分钟，小张应在9：30～9：35之间到达会场，区间长度为5，由测度比为长度比得答案．【解答】
由于小张在上午9：30～10：10之间随机到达会场，区间长度为40，
若第一场报告他能听到时间不少于25分钟，
则小张应在9：30～9：35之间到达会场，区间长度为5，
所以所求概率P=5
40=1
8
．
故选A．
4.答案：A
解析：
【分析】
本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．由题意列式求得等差数列的首项，然后直接代入等差数列的前n项和公式得答案．
【解答】
解：由等差数列{a n}的公差为2，且a1+1，a3，a6成等比数列，得a32=(a1+1)a6，
即(a1+4)2=(a1+1)(a1+10)，
解得a1=2，
∴S n=2n+2n(n−1)
2
=n(n+1)．
故选A．
5.答案：D
解析：
【分析】
本题考查三角函数的诱导公式及三角函数的性质，属于基础题．
由于13π
2−x=6π+π
2
−x，可以化简为f(x)=cosx，即可去判断．
【解答】
∵f(x)=sin(13π
2−x)=sin[6π+(π
2
−x)]=sin(π
2
−x)=cosx，
∴f(−x)=cos(−x)=cosx=f(x)，
∴f(x)=sin(13π
2
−x)为偶函数，又其最小正周期T=2π，
∴f(x)=sin(13π
2
−x)是最小正周期为2π的偶函数．
故选D．
6.答案：C。