2018届吉林省实验中学高三上学期第三次模拟考试文科数学试题 及答案 精品

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤= ，则A.()01，B.(]02，C.()1,2D.(]12， 2.若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 A.－4 B.－45C.4D.453.如果0a b <<,那么下列不等式成立的是 A ．11ab<B ．2ab b <C ．2ab a -<-D ．11ab-<-4.设,,a b c分别是,,ABC A B C ∆∠∠∠中所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ⋅--=与sin sin 0bx B y C +⋅+=的位置关系是A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直5.直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是A.[0，π)B.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦∪3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦∪,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭6.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为A. 83π B. 163π C. 4π D. 8π7.已知三条不重合的直线,,m n l 和两个不重合的平面,αβ，下列命题正确的是A ．若//m n ，n α⊂，则//m αB ．若αβ⊥，m αβ= ，且n m ⊥，则n α⊥C ．若l n ⊥，m n ⊥，则//l mD ．若l α⊥，m β⊥，且l m ⊥，则αβ⊥ 8.在同一个坐标系中画出函数x a y =，ax y sin =的部分图像，其中0>a 且1≠a ，C D 9. 若不等式0log 42<-x x a 对任意恒成立，则实数a 的取值范围为A. )1,2561( B.)1,2561[C.2561,0( D.]2561,0(10. 程序框图如图所示，该程序运行后 输出的S 的值是A. 13B.3-C.21- D. 211.已知数列{}na 的前n 项和为nS ,11a =，当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2015S 的值为A ．2018B ．2013C ．1008D ．100712.若函数22()sin 6sin cos 3cos (0)f x x x x x ωωωωω=--+>的最小正周期为2π，若对任意x R ∈,都有()1()1f x f α-≤-，则tan α的值为A.32- B.23-C.32D. 23第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分。

13.若实数x ，y满足204,5x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩则z x y =+的最大值为_____ 14.当点(,)x y 在直线32x y +=上移动时,3273x y z =++的最小值是 .15.已知向量AB 与AC 的夹角为120,且||3AB = ,||2AC = ,若AP AB AC λ=+ ,且AP BC ⊥,则实数λ的值为__________. 16.设函数)(x f 与)(x g 是定义在同一区间],[b a 上的两个函数，若对任意的],[b a x ∈，都有k x g x f ≤-)()()0(>k ，则称)(x f 与)(x g 在],[b a 上是“k 度和谐函数”，],[b a 称为“k 度密切区间”.设函数x x f ln )(=与xmx x g 1)(-=在],1[e e 上是“e 度和谐函数”,则m 的取值范围是____________三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）已知圆C 的圆心C 在第一象限，且在直线30x y -=上，该圆与x 轴相切，且被直线x y -=截得的弦长为，直线:250l kx y k --+=与圆C 相交.（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）求出直线l 所过的定点；当直线l 被圆所截得的弦长最短时，求直线l 的方程及最短的弦长。

18.（本小题满分12分）已知首项都是1的数列{},{}n n a b （*0,n b n N ≠∈）满足113n nn n na b b a b ++=+．（Ⅰ）令n n na cb =，求数列{}nc 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，且23264b b b =⋅，求数列{}n a 的前n 项和n S ．19.（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是直角梯形, 平面PAB ⊥平面,ABCD R 、S 分别是棱AB 、PC 的中点,//,,AD BC AD AB ⊥,PA PB ⊥222,AB BC AD PA ====（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面;PBC （Ⅱ）求证：//RS 平面PAD（III ）若点Q 在线段AB 上,且CD ⊥平面,PDQ 求三棱锥Q PCD -的体积.20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个顶点坐标为B （0，1），且点12P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在C 上. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 交于M ，N 且4OM ON k k k +=， 求证：2m 为定值.PCDBAQRS21.（本小题满分12分） 已知函数()()ecos ,sin xf x xg x x x =⋅=⋅，其中e 为自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）若对任意π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()()f x g x m +≥恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）试探究当ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，方程()()0f x g x -=解的个数，并说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22.（本小题满分10分）选修4-1 ：几何证明选讲如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于B 、C 两点，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于点E ，F 为CE 上一点，且DE 2= EF·EC . （Ⅰ）求证：CE·EB = EF·EP；（Ⅱ）若CE:BE = 3:2，DE = 3，EF = 2，求PA 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为1(12x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设(M -,直线l 与圆C 相交于点,A B ,求||||MA MB .24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设,,a b c都是正实数，求证：（Ⅰ）++≥a b c（Ⅱ）222++++≥a b c a b c abc()()918.（Ⅰ）113n nn na ab b ++-=-------3分，即13,n n c c +-=-------4分 又11c =------5分32n c n =------6分（Ⅱ）45214,4q q q q =⋅=,10,02n a q q >∴>∴= --------7分11()2n n b -=-------8分11(32)()2n n a n -=-⋅-------9分118(34)()2n n S n -=-+⋅-------12分19.（Ⅰ）证明：PAB ABCD AB ⊥ 平面平面且相交于直线，,,,,..,AD ABCD AD AB AD PAB PB PABPB AD PB PD AD PD D PB PAD PB PBC PAD PBC⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥=∴⊥⊂⊥ 而平面平面又平面又平面平面故平面平面 （Ⅱ）,,PB T RT ST 取中点连接、//,//.RT PA ST BC,.,.PB PA PB BC PB RT PB ST ⊥⊥∴⊥⊥且=,.,.,//.RT ST T PB RST PB PAD RST PAD RS RST RS PAD ⊥⊥∴⊂ 又则平面又平面平面平面且平面故平面（III ）,.CD PDQ PQ CD ⊥∴⊥ 平面,,.1,,2,15.241-324-PQ AD CD AD D PQ ABCD PQ AB AQ PQ DQ CD CD QD CQD S CD DQ P CDQ V S PQ Q PCD ⊥⋂=∴⊥⊥==∴==⊥∴∆=⋅==⋅⋅=又平面则由已知又是面积则三棱锥的体积为故三棱锥 4分代入并整理得2242422OM ONkm k k k k m +=-=- 可得212m = --------10分经验证满足2221m k <+…………………11分 ∴212m = (12)分21.解：（Ⅰ）依题意得，()00e cos01f ==， ····· 1分()e cos e sin ,x x f x x x '=-················ 2分 (0)1f '= ··················· 3分 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =+． · 4分 （Ⅱ）等价于对任意π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，min[()()]m f x g x -≤． ·· 5分 设()()()h x f x g x =-，π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．则()()()ecos e sin sin cos e cos e 1sin x x x x h x x x x x x x x x '=---=--+ 因为π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()()e cos 0,e 1sin 0x x x x x -+≥≤， 所以()0h x '…，故()h x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增， ······ 6分 因此当π2x =-时，函数()h x 取得最小值22h ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭； ·· 7分 所以2m -π≤，即实数m 的取值范围是π,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． ··· 8分 （Ⅲ）设()()()H x f x g x =-，ππ[,]22x ∈-． ①当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，由（Ⅱ）知，函数()H x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增， 故函数()H x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦至多只有一个零点， 又()010,022H H ⎛⎫=>-=-< ⎪⎝⎭ππ，而且函数()H x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是连续不断的，因此，函数()H x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有一个零点． ·· 9分 ②当π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()f x g x >恒成立．证明如下： 设π()e ,[0,]4x x x x ϕ=-∈，则()e 10x x '=-ϕ≥，所以()x ϕ在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()(0)1x ϕϕ>=，所以e 0x x >>， 又π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos sin 0x x >≥，所以e cos sin x x x x ⋅>，即()()f x g x >． 故函数()H x 在π0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦上没有零点． ········ 10分 ③当ππ,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()e (cos sin )sin cos 0x H x x x x x x '=---<，所以函数()H x 在ππ,42⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，故函数()H x 在ππ,42⎛⎤ ⎥⎝⎦至多只有一个零点，又π4ππππ())0,()04422H e H =->=-<，而且函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是连续不断的，因此，函数()H x 在ππ,42⎛⎤ ⎥⎝⎦上有且只有一个零点． ·· 11分 综上所述，ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，方程()()0f x g x -=有两个解． 12分24.（I）5分 (Ⅱ)10分。