┃试卷合集4套┃2020年广东省佛山市数学高二下期末质量检测模拟试题
广东省佛山市2020年高二(下)数学期末教学质量检测试题含解析
广东省佛山市2020年高二(下)数学期末教学质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的12，男生喜欢抖音的人数占男生人数的16，女生喜欢抖音的人数占女生人数23若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则男生至少有（ ）人．A ．12B ．6C ．11D ．18【答案】A 【解析】 【分析】由题，设男生人数x ，然后列联表，求得观测值，可得x 的范围，再利用人数比为整数，可得结果. 【详解】设男生人数为x ，则女生人数为2x， 则列联表如下：若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则2 3.841K >即2235()326636 3.841822x x x x x x K x x x x ⨯-⨯==>⨯⨯⨯ 解得10.24x > 又因为,,,236x x x为整数，所以男生至少有12人故选A 【点睛】本题是一道关于独立性检验的题目，总体方法是运用列联表进行分析求解，属于中档题.2．某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，销售价为8元，每天售出的第20个及之后的半价出售.该商场统计了近10天这种商品的销量，如图所示，设x(个)为每天商品的销量，y(元)为该商场每天销售这种商品的利润.从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】分别计算每个销量对应的利润，选出日利润不少于96元的天数，再利用排列组合公式求解. 【详解】 当时： 当时：当时： 当时：日利润不少于96元共有5天，2天日利润是97元 故故答案选A 【点睛】本题考查了频率直方图，概率的计算，意在考查学生的计算能力.3．已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB u u u v 在CD uuu v方向上的投影为（ ） A ．322B 315C ．322-D ．315【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】(2,1)AB =u u u r ，(5,5)CD =u u u r ，向量AB u u u v 在CD uuu v 方向上的投影为2AB CD CD⋅==u u u r u u u ru u u r ，故选A ． 4．已知复数122iz i-=-（为虚数单位），则z =（ ） A ．15B ．35C ．45D ．1【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出结果. 【详解】解：()()()()122124343222555i i i i z i i i i -+--====---+，则1z ==. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的运算法则，模的计算公式，考查计算能力，属于基础题.5．已知双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，若双曲线C 10y --=平行，则双曲线C 的离心率为( )A ．2B C D ．3【答案】A 【解析】分析：根据双曲线C 10y --=平行，利用斜率相等列出,a b 的关系式，即可求解双曲线的离心率.详解：双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，若双曲线C 10y --=平行，可得ab，即2222222a b c a ==-，可得2232c a =，∴离心率2e =，故选A.点睛：本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.6．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件,A B中恰有一个发生的概率是（）A．310B．12C．35D．57【答案】B【解析】【分析】由相互独立事件同时发生的概率得：事件A，B中恰有一个发生的概率是1115126262⨯+⨯=，得解．【详解】记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则11(),(),26P A P B==∴事件A，B中恰有一个发生的概率是1115126262⨯+⨯=.故选：B．【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查运算求解能力，求解时注意识别概率模型.7．如图，由函数()xf x e e=-的图象，直线2x=及x轴所围成的阴影部分面积等于（）A．22e e-B．221e e--C．22e e-D．221e e-+【答案】A【解析】【分析】【详解】试题分析：因为，()xf x e e=-=0时，x=1，所以，由函数()xf x e e=-的图象，直线2x=及x轴所围成的阴影部分面积等于122()[]1x xe e dx e ex⎰-=-=22e e-，故选A．考点：本题主要考查定积分的几何意义及定积分的计算． 点评：简单题，图中阴影面积，是函数在区间[1,2]的定积分．8．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是 A ．球 B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：球的三视图都是圆，如果是同一点出发的三条侧棱两两垂直，并且长度相等的三棱锥（一条侧棱与底面垂直时）的三视图是全等的等腰直角三角形，正方体的三视图可以都是正方形，但圆柱的三视图中有两个视图是矩形，有一个是圆，所以圆柱不满足条件，故选D. 考点：三视图9．设3(2)()(1)(2)x a x f x f x x -⎧+≤=⎨->⎩，若8(3)9f =-，则实数a 是（ ）A ．1B ．-1C ．19D ．0【答案】B 【解析】 【分析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案. 【详解】()()()2833123,9f f f a -=-==+=-解得a=-1, 故选B 【点睛】本题考查分段函数函数值的计算，解决策略:(1)在求分段函数的值f(x 0)时，一定要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2) 求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则. 10．由2，3，5，0组成的没有重复数字的四位偶数的个数是（ ） A ．12 B ．10C ．8D ．14【答案】B 【解析】 【分析】根据个位是0和2分成两种情况进行分类讨论，由此计算出所有可能的没有重复数字的四位偶数的个数. 【详解】当0在个位数上时，有336A =个；当2在个位数上时，首位从5，3中选1，有两种选择，剩余两个数在中间排列有2种方式，所以有224⨯=个所以共有10个． 故选：B 【点睛】本小题主要考查简单排列组合的计算，属于基础题. 11．在极坐标系中，设圆:4cos C ρθ=与直线:()4l R πθρ=∈交于A B ，两点，则以线段AB 为直径的圆的极坐标方程为（ ） A ．22sin()4πρθ=+B ．22sin()4πρθ=-C ．22cos()4πρθ=+ D ．22cos()4πρθ=--【答案】A 【解析】试题分析：以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意，得圆C 的直角坐标方程2240x y x +-=，直线l 的直角坐标方程y x =．由2240{x y x y x +-==，解得0{0x y ==或22x y =⎧⎨=⎩，所以()()0022A B ，，，，从而以AB 为直径的圆的直角坐标方程为()()22112x y -+-=，即2222x y x y +=+．将其化为极坐标方程为：()22cos sin 0ρρθθ-+=，即()2cos sin 22sin 4πρθθθ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭故选A ． 考点：简单曲线的极坐标方程． 12．设，则在点处的切线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 曲线在点处的切线的斜率为.【详解】，.【点睛】本题考查函数求导及导数的几何意义，属于基础题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．对具有线性相关关系的变量,x y ，有一组观测数据(,)i i x y （1,2,3,,10i =L ），其回归直线方程是3ˆ2ˆybx =+，且121012103()30x x x y y y +++=+++=L L ，则b =______. 【答案】16-【解析】 【分析】由题意求得样本中心点，代入回归直线方程即可求出b 的值 【详解】由已知，()12101210330x x x y y y L L +++=+++=()12101310x x x x ∴=⨯+++=L ()12101110y y y y L =⨯+++=代入回归直线方程可得：3132b =+解得16b =-故答案为16-【点睛】本题考查了线性回归方程，求出横坐标和纵坐标的平均数，写出样本中心点，将其代入线性回归方程即可求出结果14．在等差数列{}n a 中，47a =，2818a a +=，则公差d =__________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可得5a ，从而54d a a =-． 【详解】因为2818a a +=，故59a =，所以54972d a a =-=-=，填2． 【点睛】一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a +=+； （2）()1,1,2,,2k n k n n a a S k n +-+==L 且()2121n n S n a -=- ；（3）2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （4）232,,,n n n n n S S S S S --L 为等差数列. 15．已知i 是虚数单位，若复数12z i =-，则||z =____【解析】分析：根据复数模的公式直接求解．详解：12i z =-，所以z =点睛：复数a bi z =+，模的计算公式z =．16．若将函数6()f x x =表示为260126()(1)(1)...(1)f x a a x a x a x =+++++++，其中126,,..,a a a 为实数，则3a 等于 _______. 【答案】-20. 【解析】 【分析】把函数f （x ）＝x 6 ＝[﹣1+（1+x ）]6 按照二项式定理展开，结合已知条件，求得a 3的值． 【详解】∵函数f （x ）＝x 6 ＝[﹣1+（1+x ）]6＝116C -•（1+x ）26C +•（1+x ）236C -•（1+x ）366C ++L •（1+x ）6，又f （x ）＝a 0+a 1（1+x ）+a 2（1+x ）2+…a 6（1+x ）6，其中a 0，a 1，a 2，…，a 6为实数，则a 336C =-=-20，故答案为-20. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．求证：11m m m n n n C C C -++=.【答案】见解析. 【解析】分析：直接利用组合数的公式计算证明.()()()1!!!!1!1!m m n n n n C C m n m m n m -+=+---+详解：=()()!1!!1!n n m n m m n m -++-+=()()!1!1!n n m n m +-+=()()1!!1!n m n m +⎡⎤+-⎣⎦=1mn C +.点睛：（1）本题主要考查组合数的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 组合数公式：mnC =m n m m A A =(1)(1)12n n n m mL L --+⨯⨯⨯=()n m n m ⋅-！！！(n ∈·N ，m N ∈，且m n ≤)这里两个公式前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算 18．已知函数11()(,0)f x b a b R a x a x a=++∈≠-+且. （1）判断()y f x =的图象是否是中心对称图形？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由； （2）设()(1)g x b x =+，试讨论()()y f x g x =-的零点个数情况.【答案】（1）()y f x =的图象是中心对称图形，对称中心为：()0,b ；（2）当0b >或22b a<-时，有3个零点；当220b a -≤≤时，有1个零点 【解析】 【分析】（1）设()()h x f x b =-，通过奇偶性的定义可求得()h x 为奇函数，关于原点对称，从而可得()f x 的对称中心，得到结论；（2）()()0y f x g x =-=，可知0x =为一个解，从而将问题转化为222b x a =-解的个数的讨论，即22222a bx a b b+=+=的解的个数；根据b 的范围，分别讨论不同范围情况下方程解的个数，从而得到零点个数，综合得到结果. 【详解】（1） 设()()11h x f x b x a x a=-=+-+ ()h x ∴定义域为：{}x x a ≠± ()()1111h x h x x a a x x a x a ⎛⎫-=+=-+=- ⎪---+-⎝⎭Q()h x ∴为奇函数，图象关于()0,0对称()y f x ∴=的图象是中心对称图形，对称中心为：()0,b（2）令()()110y f x g x bx x a x a=-=+-=-+ ()()20x b x a x a ⎡⎤∴-=⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦，可知0x =为其中一个解，即0x =为一个零点只需讨论222b x a=-的解的个数即可 ①当0b =时，222b x a =-无解 ()()y f x g x ∴=-有且仅有0x =一个零点②当0b >时 ，2220x a b =+> x ∴=222b x a =-的解()()y f x g x ∴=-有x =0x =共3个零点 ③当0b <时，22222a bx a b b+=+=（i ）若220a b +<，即22b a <-时，220a bb+>x ∴=222b x a =-的解()()y f x g x ∴=-有x =0x =共3个零点 （ii ）若220a b +=，即22b a =-时，222b x a=-的解为：0x = ()()y f x g x ∴=-有且仅有0x =一个零点（iii ）若220a b +>，即220b a -<<时，220a bb+<，方程222b x a =-无解 ()()y f x g x ∴=-有且仅有0x =一个零点综上所述：当0b >或22b a <-时，有3个零点；当220b a-≤≤时，有1个零点 【点睛】本题考查函数对称性的判断、函数零点个数的讨论.解决本题中零点个数问题的关键是能够将问题转化为方程222b x a=-根的个数的讨论，从而根据b 的不同范围得到方程根的个数，进而得到零点个数，属于较难题.19．已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>经过点⎫⎪⎪⎝⎭（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()2,0M 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，F 为椭圆C 的左焦点，若5FA FB ⋅=u u u v u u u v，求直线l 的方程.【答案】（1）22132x y +=；（2）20x y --=或20x y +-= 【解析】 【分析】（1）由椭圆的离心率可得a =，b ==，从而使椭圆方程只含一个未知数c ，把点的坐标代入方程后，求得1c =，进而得到椭圆的方程为22132x y +=；（2）因为直线过定点()2,0M ，所以只要求出直线的斜率即可，此时需对直线的斜率分等于0和不等于0两种情况进行讨论，当斜率不为0时，设直线l 的方程为2x my =+，点()11,A x y 、()22,B x y ，利用5FA FB ⋅=u u u v u u u v得到关于m 的方程，并求得1m =±.【详解】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，则3c a =，∴a =，b ==，所以，椭圆C 的方程为2222132x y c c+=，将点⎫⎪⎪⎝⎭的坐标代入椭圆C的方程得22221132c c⎛⎫⎪⎝⎭+=， 解得1c =，则b ==a ==因此，椭圆C 的方程为22132x y +=.（2）①当直线l 斜率为0时，l与椭圆交于(A，B ，而()1,0F -.此时25FA FB ⋅=-≠u u u r u u u r，故不符合题意.②当直线l 斜率不为0时，设直线l 的方程为2x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程代入椭圆的方程，并化简得()2223820m y my +++=，()()22264422224210m m m ∆=-⨯⨯+=->，解得2m <-或2m >，由韦达定理可得122823m y y m -+=+，122223y y m =+， ()()11111,3,FA x y my y =+=+u u u r ，同理可得()223,FB m y y =+u u u r，所以()()()()21212121233139FA FB my my y y m y y m y y ⋅=+++=++++=u u u r u u u r()22222124952323m m m m +-+=++，即22429523m m -+=+ 解得：1m =±，符合题意因此，直线l 的方程为20x y --=或20x y +-=. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法、直线与椭圆的位置关系并与向量进行交会，求解过程中要始终领会设而不求的思想，即利用坐标运算解决几何问题，考查运算求解能力. 20．已知函数3211()32xf x xe x x ax =+--,31()()3g x f x x =-. （Ⅰ）若0x =是函数()g x 的一个极值点，求实数a 的值及()g x 在[2,0]-内的最小值； （Ⅱ）当2a =时，求证：函数()f x 存在唯一的极小值点0x ，且010()03f x -<<. 【答案】（Ⅰ）min 221,()ag x e==-；（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知条件的导函数，以及(0)0g '=，从而求出实数a 的值，利用导数求出函数()g x 在[2,0]-内的单调性，从而得到()g x 在[2,0]-内的最小值（Ⅱ）由题可得()(1)(2)x f x x e x =+-'+,令()2xh x e x =+-，要证函数()f x 存在唯一的极小值点0x ，即证()20xh x e x =+-=只有唯一根，利用导数求出()2xh x e x =+-的单调区间与值域即可，且由零点定理可知002x <<，由0()0h x =，可得00=2xe x -+，代入()f x 中，利用导数求出()f x 在()0,2内的最值即可证明010()03f x -<<。
2019-2020学年广东省佛山市数学高二下期末学业水平测试试题含解析
A．踢足球B．打篮球C．打羽毛球D．打乒乓球
【答案】A
【解析】分析：由题意结合所给的逻辑关系进行推理论证即可.
故选：C.
【点睛】
本题考查均值与方差的计算公式，考查方差的含义．属于基础题．
4．某市交通部门为了提高某个十字路口通行效率，在此路口增加禁止调头标识（即车辆只能左转、右转、直行），则该十字路口的行车路线共有（）
A．24种B．16种C．12种D．10种
【答案】C
【解析】
【分析】
根据每个路口有 种行车路线，一个十字路口有 个路口，利用分步乘法计数原理即可求解.
3．已知数据 ，2的平均值为2，方差为1，则数据 相对于原数据( )
A．一样稳定B．变得比较稳定
C．变得比较不稳定D．稳定性不可以判断
【答案】C
【解析】
【分析】
根据均值定义列式计算可得 的和，从而得它们的均值，再由方差公式可得 ，从而得方差．然后判断．
【详解】
由题可得： 平均值为2，
由 ， ，
所以变得不稳定.
本题考查平面向量的加法、减法和数乘运算，属于基础题.
6．已知集合 ， ，若图中的阴影部分C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简集合 ，注意 ，由题意可知， ，确定 即可
【详解】
或 ，图中的阴影部分为空集，
或 ，即 或
又 ， ，故选D
【点睛】
考查维恩图的识别、对数计算、列举法及集合的关系
【详解】
每个路口有 种行车路线，一个十字路口有 个路口，
故该十字路口行车路线共有 （种）
故选：C
【点睛】
本题考查了分布乘法计数原理，属于基础题.
2019-2020学年佛山市名校数学高二第二学期期末检测试题含解析
2019-2020学年佛山市名校数学高二第二学期期末检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．曲线22:21x xy y Γ-+=的图像（ ） A ．关于x 轴对称B ．关于原点对称,但不关于直线y x =对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y x =对称，关于直线-y x =对称2．已知变量,X Y ，由它们的样本数据计算得到2K 的观测值 4.328k ≈，2K 的部分临界值表如下：20()P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.0050k2.7063.841 5.024 6.635 7.879以下判断正确的是（ ）A ．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量,X Y 有关系B ．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量,X Y 没有关系C ．有97.5%的把握说变量,X Y 有关系D ．有97.5%的把握说变量,X Y 没有关系 3．不等式|3|1x+<的解集是（ ） A ．{| 2 }x x >- B ．{|4}x x <-C ．{|4 2 }x <x <--D ．{| 4 x x <-或2}x >-4．若直线1x =的倾斜角为α，则α（ ） A ．等于0 B ．等于C ．等于D ．不存在5．在等比数列中，，公比为，前项和为，若数列也是等比数列，则等于A ．B ．C ．D ．6．某科研机构为了研究中年人秃头是否与患有心脏病有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表所示： 有心脏病 无心脏病 秃发20300 不秃发 5450根据表中数据得()2277520450530015.96825750320455K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由210.828K ≥断定秃发与患有心脏病有关，那么这种判断出错的可能性为（ ） 附表：()20P k k > 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828A ．0.1B ．0.05C ．0.01D ．0.0017．已知点(0,1)M -在抛物线2:2(0)C x py p =>的准线上，F 为C 的焦点，过M 点的直线与C 相切于点N ，则FMN ∆的面积为（ ） A ．1B ．2C ．12D ．48．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．400，40B ．200，10C ．400，80D ．200，209．函数的单调减区间是( )A ．B ．C ．D ．10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()20f =，当0x >时，()()0xf x f x ->'，则不等式()0xf x >的解集是( ) A ．()(),22,-∞-+∞U B ．()2,2-C ．()()2,02,-+∞UD ．以上都不正确11．若正项等比数列{}n a 满足313S =，241a a =，3log n n b a =，则数列{}n b 的前20项和是( ) A ．25-B ．25C ．150-D ．15012．若0.22.1a =，0.40.6b =；lg 0.6c =，则实数a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >>D ．b a c >>二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．在()61x +的展开式中，含3x 项的系数为______．14．如图所示，在平面四边形ABCD 中，1AB =，2CB =，ACD ∆为正三角形，则BCD ∆面积的最大值为__________．15．若复数323ia i-+是纯虚数，则实数a = _________________ ． 16．计算546101011C C C +-的结果为__________.三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()f x =|x a |-.（I ）当1a =时，求不等式()2f x ≥的解集；（II ）若不等式()3f x ≤的解集为{|15}x x -≤≤，求实数a 的值.18．为迎接新中国成立70周年，学校布置一椭圆形花坛，如图所示，O 是其中心，AB 是椭圆的长轴，C 是短轴的一个端点.现欲铺设灌溉管道，拟在AB 上选两点E ，F ，使OE OF =，沿CE 、CF 、FA 铺设管道，设CFO θ∠=，若20m OA =，10m OC =，（1）求管道长度u 关于角的函数及cos θ的取值范围； （2）求管道长度u 的最小值.19．（6分）在二项式12312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中。
2019-2020学年广东省佛山市数学高二下期末学业水平测试试题含解析
2019-2020学年广东省佛山市数学高二(下)期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知函数()(ln )()xe f x k x x k R x=-+∈，如果函数()f x 在定义域为(0, +∞)只有一个极值点，则实数k 的取值范围是 A ．(]0,1 B ．(],1-∞C ．(],e -∞D ．[),e +∞2．若函数，，且有三个零点，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．3．用反证法证明：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理数根，那么a 、b 、c 中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ） A ．假设a 、b 、c 都是偶数 B ．假设a 、b 、c 都不是偶数 C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数 D ．假设a 、b 、c 至多有两个偶数4．若12i +是关于x 的实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，则（ ） A ．2b =，5c = B ．2b =-，5c = C ．2b =-，5c =-D ．2b =，1c =-5．设x ∈R ，则“28x <”是21x -<”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．从5种主料中选2种，8种辅料中选3种来烹饪一道菜，烹饪方式有5种，那么最多可以烹饪出不同的菜的种数为 A ．18B ．200C ．2800D ．336007．若实数x y ，满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．()()511x x -+展开式中2x 项的系数是 A ．4 B ．5 C ．8D ．129．如图所示，在一个边长为2.的正方形AOBC 内，曲2y x =和曲线y x =(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ）A ．12B ．14C ．13D ．1610．64个直径都为4a 的球，记它们的体积之和为V 甲，表面积之和为S 甲；一个直径为a 的球，记其体积为V 乙，表面积为S 乙，则（）A ．V 甲>V 乙且S 甲>S 乙B ．V 甲<V 乙且S 甲<S 乙C ．V 甲=V 乙且S 甲>S 乙D ．V 甲=V 乙且S 甲=S 乙11．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是（ ） A ．()2,4 B ．()2,4- C ．()4,2-D ．()4,212．给出以下命题，其中真命题的个数是( )①若“p ⌝或q ”是假命题，则“p 且q ⌝”是真命题 ②命题“若a b 5+≠，则a 2≠或b 3≠”为真命题③已知空间任意一点O 和不共线的三点,,A B C ，若111OP OA OB OC 632=++u u u r u u u r u u u r u u u r，则,,,P A B C 四点共面； ④直线()y k x 3=-与双曲线22x y 145-=交于,A B 两点，若AB 5=，则这样的直线有3条；A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．在1，2，3，…，80这八十个数中，随机抽取一个数作为数a ，将a 分别除以3，5，7后所得余数按顺序拼凑成一个具有三位数字的数b ，例如，22a =时，121;33b a ==时，035b =．若140b =，则a =_____.14．如图，在三角形ABC ∆中，D 为BC 边上一点，AD AB ⊥ 且BD 2CD =，1tan 5CAD ∠=，则tan B 为______.15．椭圆2214y x +=绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为___________．16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3577,13,a a S ===_____；三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知直线l 经过点P （1，1），倾斜角6πα=．（1）写出直线l 的参数方程；（2）设l 与圆224x y += 相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．18．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos (0)ρθρ=>.M 为曲线1C 上的动点，点P 在射线OM 上，且满足||||20OM OP ⋅=. （Ⅰ）求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设2C 与x 轴交于点D ，过点D 且倾斜角为56π的直线l 与1C 相交于,A B 两点，求||||DA DB ⋅的值.19．（6分）已知函数()12f x x a x a =-+-+. (1)若(2)0f ≥，求实数a 的取值范围；(2)若存在x ∈R 使得不等式()0f x ＜成立，求实数a 的取值范围. 20．（6分）已知函数关系式：()sin()f x A t ωϕ=+0,0,22A ππωϕ⎛⎫>>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示：（1）求A ，ω，ϕ的值； （2）设函数()()4g x f x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，求()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间． 21．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos 83πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点M 在1C 上，点N 在2C 上，求MN 的最小值及此时M 的直角坐标.22．（8分）已知函数32()3f x x ax x =--在1x =处取到极值.（1）求实数a 的值，并求出函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在[1,2]-上的最大值与最小值及相应的x 的值.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】分析：求函数()f x 的导函数，并化简整理，结合函数()f x 在定义域为(0, +∞)只有一个极值点进行讨论即可.详解：函数()f x 的定义域为(0, +∞)∴()()()22111x x x x e kx xe e f x k x x x ---⎛⎫=-+= ⎪⎝'⎭①当0k ≤时，0x e kx ->恒成立，令()'0fx >，则1x >，即()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减， 则()f x 在1x =处取得极小值，符合题意； ②当0k >时，1x =Q 时()'0fx =，又函数()f x 在定义域为(0, +∞)只有一个极值点，∴()f x 在1x =处取得极值.从而0x e kx ->或0x e kx -<恒成立， 构造函数()(),xh x e g x kx ==，()x h x e '=，设()g x kx =与()xh x e =相切的切点为()00,x x e，则切线方程为()000x x y ee x x -=-，因为切线过原点，则()00000xx e e x -=-，解得01x=，则切点为()1,e 此时k e =. 由图可知：要使0x e kx ->恒成立，则k e ≤. 综上所述：(],k e ∈-∞. 故选：C.点睛：导函数的零点并不一定就是原函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点． 2．A 【解析】 【分析】 先作的图象与直线的图象在同一直角坐标系中的位置图象，再结合函数与方程的综合应用即可得解． 【详解】 设，则，则在为增函数，在为减函数，则的图象与直线的图象在同一直角坐标系中的位置如图所示，由图可知，当有三个零点，则的取值范围为：，故选：．【点睛】本题考查了作图能力及函数与方程的综合应用，属于中档题． 3．B 【解析】 【分析】根据反证法的概念，可知假设应是所证命题的否定，即可求解，得到答案。
广东省佛山市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题(解析版)
2023~2024学年下学期佛山市普通高中教学质量检测高二数学2024.7本试卷共4页，19小题.满分150分.考试用时120分钟 注意事项：1.答卷前，考生务必要填涂答题卡上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.6(2)x −的展开式中3x 的系数是（）A.20B.20− C.160D.160−【答案】D 【解析】【分析】由题得展开式的通项公式为()6162kk k k T C x −+=−，故当3k =即可得3x 的系数.【详解】根据二项式定理展开式的通项公式得：()()6616622kkk kk k k T C x C x −−+=−=−，故令63k −=得3k =，所以6(2)x −的展开式中3x 的系数是()3361026C =−−.故选：D2.甲、乙两校各有3名教师报名支教，现从这6名教师中随机派2名教师，则被派出的2名教师来自同一所学校的概率为（）A.15 B.25C.12D.35【答案】B 【解析】【分析】利用古典概型概率公式结合组合数求解即可.【详解】从6名教师中选两名共有2615C =种选法，而2名教师来自同一所学校共有232C 6×=种选法，且设所求概率为P ， 故得62155P ==，故B 正确. 故选：B3. 函数()32616f x x x =−+，[]0,5x ∈的最小值为（ ） A. 16− B. 9− C. 9 D. 16【答案】A 【解析】【分析】利用求导判断函数()f x 在给定区间上的单调性，即得函数最小值.【详解】由()32616f x x x =−+可得，()2312f x x x −′=，由()0f x ′=解得，0x =或4x =， 因[]0,5x ∈，当04x <<时，()0f x ′<，()f x 单调递减； 当45x <<时，()0f x ′>，()f x 单调递增.故4x =时，min ()(4)64961616f x f ==−+=−. 故选：A.4. 若将文盲定义为0，半文盲定义为1，小学定义为2，初中定义为3，职中定义为4，高中定义为5，大专定义为6，大学本科定义为7，硕士及以上学历定义为8，根据调查，某发达地区教育级别与月均纯收入（单位：万元）的关系如下表： 学历 初中 职中 高中 大专 本科 教育级别 3 4 5 6 7 月均纯收入0.400.550.701.151.20由回归分析，回归直线方程的斜率0.22b= ，可预测该地区具有硕士及以上学历的月平均纯收入为（ ） A. 1.40万元 B. 1.42万元 C. 1.44万元 D. 1.46万元【答案】D 【解析】【分析】求出样本中心(),x y ，根据回归直线过样本中心点即可求得回归方程，再将8x =带入回归方程即可得解.【详解】由题可设回归直线方程为 0.22y bxa x a =+=+ ， 又345670.40.550.7 1.15 1.205,0.855x y ++++++++====， 所以 0.80.2250.3a a =×+⇒=−，故0.220.3y x −，所以当8x =时， 0.2280.3 1.46y =×−=.故选：D.5. 某小组5人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中抽取一张，则恰有1人抽到自己写的贺年卡的不同分配方式有（ ） A. 9种 B. 11种C. 44种D. 45种【答案】D 【解析】【分析】用树状图罗列4人抽到的贺年卡均不为自己的情况有几种即可得到5人中恰有1人抽到自己写的贺年卡的不同分配方式.【详解】除抽到自己的人，其它4人各写一张贺年卡集中起来，再每人从中抽取一张， 标记这4人为B 、C 、D 、E b 、c 、d 、e ， 则4人均未抽到自己的贺年卡情况如下列树状图所以：由树状图可知，这4人均未抽到自己贺卡情况下抽到的贺年卡情况共有9种，所以5人各写一张贺年卡，集中起来再每人从中抽取一张，恰有1人抽到自己写的贺年卡的不同分配方式有5945×=种. 故选：D .6. 给定两个随机事件,A B ，且()0P A >，()0P B >，则()()||P A B P A B =的充要条件是（ ） A. ()1|2P A B =B. ()1|2P A B =C. ()()()P AB P A P B =D. ()()()|P AB P A P B =+ 【答案】C 【解析】【分析】利用条件概率公式和对立事件的概率公式化简即可推理得到.【详解】因()()()()|,|()()P AB P AB P A B P A B P B P B ==,则由()()||P A B P A B =可得，()()()()()1()()P AB P AB P A P AB P B P B P B −==−, 去分母得：()(1())()(()())P AB P BP B P A P AB −=−，即：()()()P AB P B P A =， 即()()||P A B P A B =是()()()P AB P A P B =的充分条件；由()()()P AB P B P A =可得，()()()()()()()P AB P AB P B P B P A P AB P B −=−， 即()(1())()(()())P AB P BP B P A P AB −=−，因()0P A >，()0P B >， 若()1P B =，则B =Ω,必有()()||P A B P A B =；当()1P B <时，可得()()()()()1()()P AB P A P AB P AB P B P B P B −==−，即得()()||P A B P A B =， 故()()||P A B P A B =是()()()P AB P A P B =的必要条件. 即()()||P A B P A B =的充要条件是()()()P AB P A P B =. 故选：C . 7. 若11ea b <<<，则（ ） A. a b a b b b a a <<< B. a a b b b a b a <<< C. b a b a a a b b <<< D. b b a a a b a b <<<【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数的性质结合1()ln (1)efx x x x =<<的单调性分析判断. 【详解】因为1(1)ex y a a =<<在R 上递减，且11e a b <<<， 所以1e a b a a a a >>>，因为1(1)e xy b b =<<在R 上递减，且11ea b <<<， 所以1ea b b b b b >>>，令1()ln (1)efx x x x =<<，则()ln 1f x x ′=+， 因为11ex <<，所以()0f x ′>， 所以()f x 在1,1e上递增， 因为11ea b <<<，所以()()f a f b <， 所以ln ln a a b b <，所以ln ln a b a b <， 所以a b a b <， 所以b a b a a a b b <<<. 故选：C8. 佛山第一峰位于高明区皂幕山，其海拔最高达到804.5米.要登上皂幕山的最高峰，一共需要走6666级阶梯.小明和小吉同时从第1级阶梯出发登峰，假设他们在前30分钟中，每分钟走50级阶梯，由于体力有限，小明每隔30分钟，其每分钟走的阶梯数减少5级，而小吉每隔30分钟，其速度降低10%，直到登上最高峰，则（ ）（参考数据：40.90.66≈，50.90.59≈，60.90.53≈，70.90.48≈） A. 小明到达最高峰的时间比小吉早超过30分钟 B. 小吉到达最高峰的时间比小明早超过30分钟C. 小明到达最高峰的时间比小吉早，但差距不超过30分钟D. 小吉到达最高峰的时间比小明早，但差距不超过30分钟 【答案】D 【解析】【分析】由题意可知小明和小吉每30分钟走的级数分别形成一列等差数列和一列等比数列，根据题中数据分别求出两列数列的通项公式及其前n 项和公式即可计算估计小明和小吉登上最高峰所需的时间，进而得解.【详解】记第n 个30分钟小明和小吉走的级数分别为n a 、n b ，则由题意可知111500,1500a b ==，且1150n n a a −−=−，10.9n n b b −=， 故数列{}n a 是以1500为首项，150−为公差的等差数列，且{}n b 是以1500为首项，0.9为公比的等比数列，所以()()150015016501150n a n n =+×=−+−−且115000.9n n b −=×， 所以数列{}n a 和{}n b 前n 项和分别为：()()[]121500150165075157522n n n a a n n S n n ++−+===−+，()()150010.91500010.910.9n n n T −==−−，所以257551575560006666S =−×+×=<，267561575667506666S =−×+×=>， 而615061650750a =−×+=，故第6个30分钟小明每分钟走的级数为7502530=， 所以小明登上最高峰所需时间为666530176.64176.625×+=≈分； 因为()()5515000150006150666610.5910.9T =≈=−−<，()()661500010.91500010.5370506666T =−≈−=>，而5615000.9885b =×≈，故第6个30分钟小吉每分钟走的级数为88529.530=， 所以小吉登上最高峰所需时间为66666150530167.5176.629.5−×+≈<分，且176.6167.59.1−=分，所以小吉到达最高峰的时间比小明早，但差距不超过30分钟. 故选：D .【点睛】思路点睛：依据题意先分别表示小明和小吉第n 个30分钟走的级数表达式，进而分别得出两人前n 个30分钟走的级数总和表达式，从而依据两个表达式即可计算估计小明和小吉登上最高峰所需的时间，进而得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 在平面直角坐标系xOy 中，过点P 有且只有一条直线与曲线ln y x =相切，则点P 的坐标可以是（ ） A. ()0,1 B. ()1,0C. ()2,0D. ()1,1【答案】AB 【解析】【分析】设切点，利用导数的几何意义求得过切点的切线方程，对选项逐一检验对应的方程的根的情况，对于只有一个实根时，即切点唯一，则有且只有一条切线. 【详解】设切点为00(,ln )x x ，由ln y x =求导得，1y x′=，即切线斜率为01x ，则切线方程为：0001ln ()y x x x x −=−（*）. 对于A ，把点(0,1)代入（*）得，0ln 2x =，解得20e x =，即切点只有一个，故切线只有一条，故A 正确；对于B ，把点 ()1,0代入（*）得，000ln 10x x x −+=， 令()ln 1f x x x x =−+，则()ln f x x ′=， 当01x <<时，()0f x ′<，()f x 单调递减；当1x >时，()0f x ′>，()f x 单调递增.又(1)0f =，即方程000ln 10x x x −+=有且只有一个根01x =， 由题意知，此时切线有且只有一条，故B 正确；对于C ，把点()2,0代入（*）得，000ln 20x x x −+=， 令()ln 2f x x x x =−+，则()ln f x x ′=， 当01x <<时，()0f x ′<，()f x 单调递减；当1x >时，()0f x ′>，()f x 单调递增. 又(1)1f =，即()1f x ≥在(0,)+∞上恒成立，故方程000ln 20x x x −+=在(0,)+∞上无实数解，故C 错误； 对于D ，把点()1,1代入（*）得，000ln 210x x x −+=， 令()ln 21f x x x x =−+，则()ln 1f x x ′=−， 当0e x <<时，()0f x ′<，()f x 单调递减；当e x >时，()0f x ′>，()f x 单调递增. 又()10f e e<=−，因22221114()22110f e e e e=−×−×+=−>， 222()22110f e e e =−+=>，由零点存在定理知，()f x 在21(,)e e和2(e,e )上各有一个零点， 即方程000ln 210x x x −+=在(0,)+∞上有两个实根，故切线有两条，故D 错误.故选：AB.10. 已知数列{}()*n a n ∈N 的前n 项和为nS，则下列选项中，能使{}n a 为等差数列的条件有（ ）A. ()()11n S n n =+−B. n n S a =C. 对*,m n ∀∈N ，有()2n m a a n m =+− D *43,21,41,2nk n k a k k n k −=− ∈−=N 【答案】BCD 【解析】【分析】对A 、B ：利用n a 与n S 的关系计算后，结合等差数列定义即可得；对C ：利用赋值法构造1n n a a −−即可得；对D ：借助分段函数性质计算即可得.【详解】对A ：()()1111110a S ==+−=，当2n ≥时，()12n S n n −=−， 则()()()111221n n n S S a n n n n n −−==+−−−=−，即2413a =-=，3615a =−=，则322123a a a a −=≠−=，故{}n a 不为等差数列，故A 错误； 对B ：当2n ≥时，11n n S a −−=，则11n n n n n S a a a −−−==−， 即10n a −=，即对任意的*n ∈N ，有0n a =，此时10n n a a −−=， 即数列{}n a 是以0为首项，0为公差的等差数列，故B 正确；对C ：令1m n =−，则对*n ∀∈N ，有12n n a a −=+， 故数列{}n a 是以2为公差的等差数列，故C 正确；对D ：()()*2211,2143,21,221,241,2n k n k k n k a k k n k k n k −−=−−=− ==∈−=−=N ， 则21na n =−，故数列{}n a 是以2为公差的等差数列，故D 正确. 故选：BCD.11. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人.下列说法正确的是（ ）.A. 已知第2次传球后球在甲手中，则球是由乙传给甲的概率为13 B. 已知第2次传球后球在丙手中，则球是由丁传给丙的概率为13C. 第n 次传球后球回到甲手中的不同传球方式共有()13314nn +⋅−种D. 第n 次传球后球在乙手中的概率为11143n−−【答案】ACD 【解析】【分析】AB 选项，列表，列举法求出相应的概率；C 选项，设第n 次传球后球回到甲手中的不同传球方式有n a 种，则10a =，结合（1）中表格可得113n n n a a −−=−，变形后得到134n na −为公比为13−的等比数列，首项为11144a −=−，得到通项公式；D 选项，设第n 次传球后球在乙，手中的概率n p ，则()1113nn p p −=−，其中113p =，变形得到14n p−为公比为13−的等比数列，首项为1113412−=，得到通项公式.【详解】选项AB ，可通过列表得到，表格如下：A 选项，由题意得，第2次传球后球在甲手中的情况有3种， 其中乙传给甲的情况占其中1种，故概率为13，A 正确； B 选项，由题意得，第2次传球后球在丙手中的情况有2种， 其中是丁传给丙的情况占其中1种，故概率为12，B 错误； C 选项，设第n 次传球后球回到甲手中的不同传球方式有n a 种，则10a =，结合（1）中表格可得113n n n a a −−=−， 故11113333n n n n a a −−=−⋅+，设111333n n n n a a m m −− +=−⋅+ ， 即11143333n n n n a a m −−=−⋅−，故4133m −=，解得14m =−，故1111134334n n nn a a −− −=−⋅−， 故134n na −为公比为13−的等比数列，首项为11144a −=−， 故11113443n n n a −−=−⋅− ，故()11113344313314nn n n n n a −=⋅−⋅+⋅−⋅=− ，第n 次传球后球回到甲手中的不同传球方式共有()13314nn +⋅−，C 正确；D 选项，设第n 次传球后球在乙，手中的概率n p ，则()1113n n p p −=−，其中113p =， 设()113n n p t p t −−=−−， 故11433n n p p t −=−+，所以4133t =，解得14t =， 故1111434n n p p −−=−−， 故14n p−为公比为13−的等比数列，首项为1113412−=，故11114123n n p −−=×−，故113nn p−−，D 正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：由递推公式求解通项公式，根据递推公式的特点选择合适的方法，（1）若()1n n a a f n +−=，采用累加法； （2）若()1n na f n a +=，采用累乘法； （3）若()11n n a pa q p +=+≠，可利用构造111n n q q a p a p p + +=+ −−进行求解； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题对一空得3分，全对得5分.12. 某厂家生产的产品质量指标服从正态分布()2171,N σ.质量指标介于162至180之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到99.73%，则需调整生产工艺，使得σ至多为______.（若()2,X Nµσ ，则()30.9973P X µσ−<=）【解析】【分析】根据题意结合正态分布的性质可得1713162σ−≥，1713180σ+≤，从而出σ的最大值. 【详解】因为产品质量指标服从正态分布()2171,N σ，()30.9973P X µσ−<=， 且质量指标介于162至180之间的产品为良品，良品率达到99.73%， 所以1713162σ−≥，1713180σ+≤， 解得3σ≤， 所以σ至多为3， 故答案为：313. 数列{}n a 满足11a =，且()*11n na a n n +=++∈N ，则数列1{}na 的前2024项和为______. 【答案】40482025【解析】【分析】由11n n a a n +=++运用迭代法求出(1)2n n n a +=，则12112()(1)1na n n n n ==−++，利用裂项相消法即可求得1{}na 的前2024项和. 【详解】由11n n a a n +=++可得11n n a a n +−=+，则112211()()()n n n n n a a a a a a a a −−−=−+−++−+ (1)12(1)2n n n n +=+++−+=， 则12112()(1)1na n n n n ==−++， 故数列1{}n a 的前2024项和为111112(1)2()2()22320242025−+−++− 140482(1)20252025=−=. 故答案为：40482025. 14. 已知()f x 是定义域为()(),00,∞−+∞ 偶函数，当0x >时，有()()()'22e 2−=−+x xfx f x x ，且()1e 2f =−，则()f x =__________；不等式()3e 10f x >−的解集为______________. 【答案】 ①. 2e 1−−x x ②. ()(),33,−∞−+∞的【分析】通过观察发现()()'2e e 2e x x x x x −=−，然后构造函数()()e x g x f x =−，又因为()()22xg x g x −′=，构造函数()()2g x h x x=，可求得()f x ；根据()f x 在()0,∞+上单调递增且()33e 9f =−，又因为()f x 是定义域为()(),00,∞∞−∪+的偶函数，得()()3f x f >，从而可得3x >，即可求解.【详解】()()'2e e 2ex xxx x −=− ，()()()22e 2x xf x f x x ∴−=−+′移项化简得()()()22e 2x xf x f x x −−−=′， 即()()'e 2e 2x x xf x f x −−−= ，设()()e x g x f x =−，则()()22xg x g x −′=， 设()()2g x h x x=，则()()()3322xg x g x h x x x−==′′， 又2312x x′−= ，()21,h x c x =−+其中c 为常数，即()22e 1xf x c x x −=−+， ()2e 1x f x cx ∴=+−，又()1e 2f =− ，()1e 1e 2f c ∴=+−=−，解得1c =−，所以当0x >时，()2e 1xf x x =−−，又 ()f x 是定义域为()(),00,∞∞−∪+的偶函数，()()2e1xf x f x x ∴==−−.当0x >时，()2e 1xf x x =−−，则()e 2xf x x =′−，令()e 2xx x ϕ=−，则()e 2xx ϕ′=−，当ln 2x <时，()0x ϕ′<，()x ϕ单调递减； 当ln 2x >时，()0x ϕ′>，()x ϕ单调递增；所以()()ln 222ln 20x ϕϕ>=−>，即()0f x ′>， 所以()f x 在()0,∞+上单调递增，()3233e 31e 10f −−−，所以由()3e 10f x >−可得()()3fx f >，即3x >，解得3x <−或3x >，所以不等式()3e 10f x >−的解集为()(),33,∞∞−−∪+.故答案为：2e 1x x −−；()(),33,∞∞−−∪+【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用构造函数法，结合求得()2e 1xf x x =−−，从而得解.四、解答题：本题共5小题.共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 某工厂制造甲、乙、丙三件产品，制造过程必须先后经过两道工序.当第一道工序完成并合格后方可进入第二道工序，两道工序过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一道工序后，甲、乙、丙三件合格的概率依次为45，3423，经过第二道工序后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为34，45，910.（1）求第一道工序完成后至少有一件产品合格的概率；（2）若前后两道工序均合格的产品为合格产品，记合格产品的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望.【答案】（1）5960（2）答案见解析 【解析】【分析】（1）利用对立事件求概率即可；（2）由已知确定随机变量ξ的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求期望.【小问1详解】分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ，2A ，3A ，则14()5P A =，23()4P A =，32()3P A =，设E 表示第一次烧制后至少有一件合格， 123E A A A =，所以()1231111591()115436060P E P A A A =−⋅⋅=−××=−= 即第一次烧制后至少有一件产品合格的概率为5960. 【小问2详解】设甲、乙、丙经第二次烧制后合格为事件123,,B B B ，分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件12,,C C 3C ，则13()4P B =，24()5P B ，39()10P B ，111222333,,,C A B C A B C A B === 11111433()()()()545P C P A B P A P B ===×=，22222343()()()()455P C P A B P A P B ===×=， 33333293()()()()3105P C P A B P A P B ===×=所以()32805125P ξ ===， 21133236(1)C ()55125P ξ ==××=， 2233254(2)C ()55125P ξ==××=，333327C ()515(3)2P ξ===×． 所以ξ的分布列如下：于是期望8542259012312512512512512536275E ξ=×+×+×+×== 16. 已知数列{}()*n a n ∈N前n 项和为nS，11a =，2332a a =+，且当2n ≥时，1132n n n S S S +−=−. （1）证明：{}n a 是等比数列，并求出{}n a 的通项公式； （2）设()2log 4n n b a =，数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）证明见解析；12n n a −=（2）2n n T n =⋅【解析】【分析】（1）借助n a 与n S 的关系结合等比数列的定义与通项公式计算即可得； （2）借助错位相减法求和即可得. 【小问1详解】由当2n ≥时，1132n n n S S S +−=−，即()112n n n n S S S S +−−=−， 即12n n a a +=，则322a a =，又2332a a =+，则有22a =，34a =， 又11a =，则212a a =，则对任意*n ∈N ，都有12n n a a +=，的故数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，则12n n a −=；小问2详解】由12n n a −=，则()122log 4log 21n n n b a n +===+，则()112n n n a b n −=+⋅，故()012122324212n n T n −=⋅+⋅+⋅+++⋅ ，()123222324212n n T n =⋅+⋅+⋅+++⋅ ， 则()012122222212n n n n n T T T n −−=−=⋅++++−+⋅()()()121221222212212n nn n n n n n −−=+−+⋅=−+−+⋅=−⋅−，即2nn T n =⋅.17. 高考招生制度改革后，我省实行“3+1+2”模式，“3”为语文、数学、外语3门统一科目，“1”为考生在物理、历史两门科目中选择1门作为首选科目，“2”为考生在思想政治、地理、化学、生物学4门科目中选择2门作为再选科目.有人认为高考选考科目的确定与性别有关，为此，某教育机构随机调查了一所学校的n 名学生，其中男生占调查人数的12，已知男生有910的人选了物理，而女生有710的人选物理.（1）完成下列22×列联表： 物理 历史 总计 男生 女生总计n（2）若在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可认为“性别与选科有关”，那么本次被调查的人数至少有多少？（3）从物理类考生和历史类考生中各抽取1人，若抽取的2人性别恰好相同，求这2人是女生的概率. 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ−=++++【α0.05 0.0100050.001αχ3.841 6.635 7.879 10.828【答案】（1）列联表见解析 （2）120 （3）710【解析】【分析】（1）根据题意求出列联表中的数据即可； （2）根据卡方公式得216nχ=，则 6.63516n ≥，解出即可； （3）事件A 表示“2人性别恰好相同”，事件B 表示“2人性别相同且是女生”，根据条件概率的计算方法即可得到答案. 【小问1详解】依题意得，被调查的男生人数为2n，其中有920n 的男生选物理； 被调查的女生人数为2n，其中有720n 的女生选物理； 则22×列联表如下：【小问2详解】由列联表数据，得22937202020204162255n n n n n n n n n n χ ⋅−⋅==⋅⋅⋅. 要使在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可认为“性别与选科有关”， 则6.63516n≥，解得106.16n ≥，又*n ∈N 且*920n ∈N ，所以120n ≥，即本次被调查的人数至少是120. 【小问3详解】.设事件A 表示“2人性别恰好相同”，事件B 表示“2人性别相同且是女生”；事件A 包含的基本事件数为297330()20202020400n n n n n n A =⋅+⋅=， 事件AB 含的基本事件数为27321()2020400n n n n AB =⋅=， 所求的条件概率为2221()7400()30()10400n n AB P B A n n A ===∣. 18. 已知函数()ln 1f x x x =+，()sin g x x =. （1）求曲线()y f x =在点()1,1处的切线方程；（2）证明：函数()()()hx f x g x =−在区间()0,1内有且只有一个极值点；（3）证明：()()f x g x >.【答案】（1）y x =；（2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求导得()ln 1f x x ′=+，再求出(1)1,(1)1f f ′==，从而得到切线方程；（2）求导得()ln 1cos h x x x ′=+−，利用隐零点法即可证明； （3）令()ln 1F x x x x =+−，则()ln F x x ′=，得到()(1)0F x F ≥=，再令()sin G x x x =−，同样求导得()(0)0G x G >=，则()()ln 1sin 0F x G x x x x +=+−>，则原不等式即证明. 【小问1详解】()f x 的定义域为(0,)+∞，且()ln 1f x x ′=+.因为(1)1,(1)1f f ′==，所以曲线()y f x =在点(1,1)处的切线方程为y x =.【小问2详解】()ln 1cos h x x x ′=+−.当(0,1)x ∈时，因为ln y x =和1cos y x =−都是增函数，所以()ln 1cos h x x x ′=+−是增函数.又因为11cos 0,(1)1cos10e eh h =−=−′′， 所以01,1e x ∃∈，使得()00h x ′=.当()00,x x ∈时，()0h x ′<：当()0,1x x ∈时，()0h x ′>. 于是，()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,1x 上单调递增.因此，()h x 在区间(0,1)内有且只有一个极小值点0x ，无极大值点. 【小问3详解】令()ln 1F x x x x =+−，则()ln F x x ′=. 当(0,1)x ∈时，()0F x ′<：当(1,)x ∈+∞时，()0F x ′>. 于是，()F x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.因此，()(1)0F x F ≥=. 令()sin G x x x =−，则()1cos 0G x x ′=−≥， 当且仅当2π()xk k ∈Z 时取等号.于是，()sin G x x x =−是增函数因此，当0x >时，()(0)0G x G >=.综上，()()ln 1sin 0F x G x x x x +=+−>，即()()f x g x >. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是构造两函数()ln 1F x x x x =+−和()sin G x x x =−得到()(1)0F x F ≥=，()(0)0G x G >=，再相加即可得到原题不等式.19. 已知函数()()()()1e 10x f x x a a =−−−>，证明：（1）()f x 在(),0∞−上单调递减，在()1,+∞上单调递增； （2）若()f x 的两个零点为1x ，()212x x x <，则 （i ）121x x +<； （ii ）21e1e 1a x x −<+−.【答案】（1）证明见解析； （2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求导得()e 1x f x x ′=−，再次求导研究导函数的单调性，从而得到导函数的范围，即可判断原函数的单调性；（2）（i ）根据零点存在性定理得到120,1x x <>，构造函数()()(1)F x f x f x =−−，再次求导，利用同构思想得到()()()2111f x f x f x =<−，则211x x <−；（ii ）令()()hx f x x =+，求导得其单调性，则得到1x a −<，21e 1ax <+−，两不等式相加即可. 【小问1详解】()e 1x f x x ′=−，令()e 1x x x ϕ=−， 则()e 1(1)e xxx x x ϕ−+′，()01x x ϕ<⇔<−′，()01x x ϕ>⇔>−′，所以()f x ′在(,1)−∞−上单调递减，在(1,)−+∞上单调递增.当0x <时，()(0)10f x f ′′<=−<； 当1x >时，()(1)e 10f x f ′′>=−>.故()f x 在(,0)−∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.【小问2详解】（i ）(0)(1)0f f a ==−<，当01x ≤≤时，()0f x a ≤−<， 故()f x 在[]0,1内没有零点.当,()0x f x →−∞>；当x →+∞时，()0f x >，根据函数零点存在定理，()f x 在区间(,0)−∞和(1,)+∞内各有一个零点. 因此，120,1x x <>. 令()()(1)F x f x f x =−−，则1()()(1)e (1)e 2x x F x f x f x x x −′′′=+−=+−−，令()e x G x x =，则()(1)e x G x x ′=+，()01G x x ′<⇔<−，()01G x x ′>⇔>−，故()G x 在(,1)−∞−上单调递减，在(1,)−+∞上单调递增，min 1()(1)eG x G =−=−.因此，当0x <时，111,()e 20ex F x ′−>>−+−>， 即()F x 在(,0)−∞上单调递增.于是()1(0)0F x F <=，即()()()2111f x f x f x =<−.又因为()f x 在(1,)+∞上单调递增，故211x x <−，即121x x +<.（ii ）令()()hx f x x =+，则()e x h x x ′=.当0x <时，()0h x ′<，故()h x 在(,0)−∞上单调递减，()(0)h x h a >=−，即()f x x a +>−. 因此，()111f x x x a +=>−，即1x a −<①.当1x >时，()()(e 1)(1)(1)e e xf x x x a a −−−=−−−>−， 故()()()222(e 1)1(e 1)1f x x x a −−−=−−−>−，即21e 1ax <+−②， 根据不等式的同向可加性①+②得21e11e 1e 1a a x x a −<++=+−−. 【点睛】关键点点睛：本题第二问第一小问的关键是构造函数()()(1)F x f x f x =−−，再利用同构思想得到()()()2111f x f x f x =<−，最后根据()f x 的单调性得到211x x <−即可.。
(4份试卷汇总)22019-2020学年广东省佛山市数学高二下期末学业水平测试模拟试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．已知函数 在 处的导数为l，则 （ ）
A．1B． C．3D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据导数的定义可得到， ，然后把原式等价变形可得结果.
【详解】
因为 ，且函数 在 处的导数为l，所以 ，故选B.
因为 ，所以数据 平均数、标准差、中位数分别为 ，即平均数、标准差、中位数与原来不一定相同，
故选：D
【点睛】
本题考查数据变化对平均数、标准差、中位数的影响规律，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．已知随机变量 ， 的分布列如下表所示，则（ ）
1
2
3
1
2
3
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
8．已知直线 与双曲线 分别交于点 ，若 两点在 轴上的射影恰好是双曲线 的两个焦点，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．4D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由直线 与双曲线 联立，可知x= 为其根，整理可得.
【详解】
解：由 ．
， 两点在 轴上的射影恰好是双曲线 的两个焦点， ．
．
故选： ．ห้องสมุดไป่ตู้
【点睛】
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算法则，以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题.向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式 ；二是向量的平方等于向量模的平方 .
4．某电子元件生产厂家新引进一条产品质量检测线，现对检测线进行上线的检测试验：从装有 个正品和 个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出 个，再将电子元件放回.重复 次这样的试验，那么“取出的 个电子元件中有 个正品， 个次品”的结果恰好发生 次的概率是（）
广东省佛山市南海区2020届下学期高二期末学业水平测试数学(理科)试卷及答案word
南海区2020届高二学业水平测试数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足()12z i i =+，则z 的虚部为（ ） A .1B .2C .iD .2i2.用反证法证明：若整系数一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有有理数根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数，用反证法证明时，下列假设正确的是（ ） A .假设,,a b c 都是偶数 B .假设,,a b c 都不是偶数 C .假设,,a b c 至多有一个偶数D .假设,,a b c 至多有两个偶数3.一工厂生产某种产品的生产量x （单位：吨）与利润y （单位：万元）的部分数据如下表所示：从所得的散点图分析可知，y 与x 线性相关，且回归方程为 1.23y x a ∧=+.则a =（ ）A . 2.15-B . 1.15-C .0.08D .2.154.===…，=,m n 均为正实数），根据以上等式，可推测,m n 的值，则m n +等于（ ） A .40B .41C .42D .435.甲射击时命中目标的概率为0.75，乙射击时命中目标的概率为23，现甲乙两人各自射击同一目标一次，则该目标被击中的概率为（ ） A .12B .1C .56D .11126.定积分22x e dx =⎰（ ）A .2eB .1e -C .22e -D .1122e - 7.甲、乙、丙三位志愿者安排在周一至周五的五天中参加某项志愿活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ）A .20种B .30种C .40种D .60种8.()32x x y ++的展开式中，33x y 的系数为（ ） A .10B .20C .30D .609.一台机器在一天内发生故障的概率为0.1，若这台机器一周5个工作日不发生故障，可获利4万元； 发生1次故障获利为0万元；发生2次或2次以上故障要亏损1万元.这台机器一周5个工作日内可能获利的数学期望是（ ）万元.（已知40.906561=，5090.5905=） A .3.4736B .3C .2.2805D .1.23110.已知函数()3231f x ax x =-+若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围为（ ）A .()2,+∞B .(),2-∞-C .()1,+∞D .(),1-∞-11.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（ ） A .乙、丁可以知道自己的成绩 B .乙可以知道四人的成绩 C .乙、丁可以知道对方的成绩D .丁可以知道四人的成绩12.已知函数()f x 的定义域为()0,+∞，且满足()()0f x xf x '+>（()f x '是()f x 的导函数），则不等式2111()()()x f x f x --<+的解集为（ ）A .(),2-∞B .()1,+∞C .()1,2-D .(1,2)第二卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在()61x +的展开式中，含3x 项的系数为__________. 14.复数112ii+-（i 为虚数单位）的共轭复数是____________. 15.已知函数2y x =与函数()0y kx k =>的图像所围成的面积为323，则实数k 的值为__________. 16.某校高二年级学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）X 服从正态分布()2110,10N ，从中抽取一个同学的数学成绩ξ，记该同学的成绩90110ξ<≤为事件A ，记该同学的成绩80110ξ<≤为事件B ，则在A 事件发生的条件下B 事件发生的概率()|P B A =_____________.（结果用分数表示） 附参考数据：()0.68P X μσμσ-<+=„，(22)0.95P X μσμσ-<+=„，(33)0.99P X μσμσ-<+=„三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.已知函数()322f x x bx cx =+++的图像在点()()1,1f 处的切线方程为410x y --=.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[0,2]上的最大值.18.约定乒乓球比赛无平局且实行5局3胜制.甲、乙二人进行乒乓球比赛，甲每局取胜的概率为()01p p <<.（1）试求甲赢得比赛的概率；（2）当0.5p =时，胜者获得奖金800元.在第一局比赛甲获胜后，因特殊原因要终止比赛.试问应当如何分配奖金最恰当？19.为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100/km h 的有40人，不超过100/km h 的有15人.在45名女性驾驶员中，平均车速超过100/km h 的有20人，不超过100/km h 的有25人.（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100/km h 与性别有关.（结果保留小数点后三位）（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取10辆，若每次抽取的结果是相互独立的，问这10辆车中平均有多少辆车中驾驶员为男性且车速超过100/km h ？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++为样本容量）20.某保险公司拟推出某种意外伤害险，每位参保人交付50元参保费，出险时可获得2万元的赔付，已知一年中的出险率为0.15%，现有6000人参保.（1）求保险公司获利在[6,12)（单位：万元）范围内的概率；（结果保留小数点后三位） （2）求保险公司亏本的概率.（结果保留小数点后三位） 附：660000000()0.00150.9985kt tt t P k C-==⨯⨯∑21.已知()1ln x e f x x-=.（1）求证：10x x e x e -+≥恒成立； （2）试求()f x 的单调区间；（3）若11a =，()1n n a f a +=，且0n a >，其中*n N ∈，求证：1n n a a +>恒成立.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 40y +-=，曲线2C :cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）曲线3C ：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t >，02πα<<）分别交1C ，2C 于,A B 两点，当α取何值时，||||OB OA 取得最大值. 23.【选修4-5：不等式选讲】已知不等式|21||21|4x x ++-<的解集为M . （1）求集合M ；（2）设实数a M ∈，b M ∉，证明：||1||||ab a b +≤+.参考答案一、选择题二、填空题13.20 14.i - 15.4 16.2795三、解答题17.解：（1）()232f x x bx c '=++由已知可得324(1)124(1)10b c f b c f ++=⎧⎪=+++⎨⎪--=⎩解得1b =，1c =- 故()322f x x x x =+-+.（2）∵2()321(1)(31)f x x x x x '=+-=+- 由()0f x '>得1x <-或13x >，由()0f x '<得113x -<< ∴()f x 在1[0,)3上单调递减，在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增而()02f =，()212f =∴函数()f x 在区间[]0,2上的最大值为1218.解：（1）甲赢得比赛包括三种情况：第3局甲全胜；前三局甲胜2局输1局，第4局胜；前4局甲胜2局输2局，第5局胜.记甲赢得比赛为事件A ，则()332222232334()(1)(1)61510P A C p C p p p C p p p p p p =+-+-=-+（2）如果比赛正常进行，则甲赢得比赛有三种情况：第2，3局全胜；第2，3局胜1局输1局，第4局胜；第2，3，4局胜1场输2局，第5局胜，此时甲赢得比赛的概率为2122311111111112222222216P C C ⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭则甲获得奖金X 的分布列为则甲获得奖金的期望为80055016⨯=元 ∴最恰当的奖金分配为：甲获得550元，乙获得250元 19.解：（1）根据列联表中数据，计算随机变量2K 的观测值2100(40251520)8.24960405545k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ ∵8.2497.879>∴有99.5%的把握认为平均车速超过100/km h 与性别有关. （2）记这10辆车中驾驶员为男性且车速超过100/km h 的车辆数为X ，根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100/km h 的车辆的频率为4021005=，利用频率估计它的概率为25. 由已知可知X 服从二项分布，即210,5X ⎛⎫ ⎪⎝⎭:， 所以驾驶员为男性且超过100/km h 的车辆数X 的均值()21045E X =⨯=（辆）. ∴在随机抽取的10辆车中平均有4辆车中驾驶员为男性且车速超过100/km h .20.解：每个人在一年内是否遭遇意外伤害可以看成是一次随机试验，把遭遇意外伤害看作成功，则成功概率为0.0015.6000人参保可以看成是6000次独立重复试验，用X 表示一年内这6000人中遭遇意外伤害的人数，则()6000,0.0015X B :（1）由题意知，保险公司每年的保费收入为30万元，若获利6万元，则有12人出险； 若获利12万元，则有9人出险.当遭遇意外伤害人数(9,12]X ∈时，保险公司获利在[6,12)（单位：万元）范围内 ∴(912)(12)(9)0.8760.5870.289P X P X P X <≤=≤-≤=-= ∴保险公司获利在[6,12)（单位：万元）范围内的概率为0.289 （2）当遭遇意外伤害的人数15X >时，保险公司亏本 ∴(15)1(15)10.9780.022P X P X >=-≤=-=∴保险公司亏本的概率为0.02221.（1）证明：令()1xxg x e x e =-+，则()xg x e x '=由()0g x '>得0x >，由()0g x '<得0x < ∴()g x 在(),0-∞递减，在()0,+∞递增， ∴()()00g x g ≥=，即10x x e x e -+≥恒成立（2）解：由10x e x->得0x >或0x <， ∴()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞因为()()()21111x xx x x xe x e x e x ef x e x x e ---+'=⋅=-- 由（1）可知当0x ≠时，10x x e x e -+>恒成立，且()10x x e -> ∴()0f x '>.∴()f x 单调递增区间为(),0-∞，()0,+∞，无单调递减区间. （3）证法一：∵()1n n a f a +=，∴要证1n n a a +>，即证()n n a f a >令1()()ln (0)x e h x f x x x x x -=-=->， 则()()11()()1111x x x x xe x e e xh x f x x e x e ''-+-++=-=-=-- 令()1(0)xT x e x x =-++>，则()1xT x e '=-+∵0x >，∴()0T x '<，∴()T x 在()0,+∞单调递减 ∴()()00T x T <=，∴()0h x '<∴()h x 在()0,+∞单调递减，∴()()0h x h < 又0x →，()0h x →，∴()0h x <，则()f x x <， ∴()n n a f a >，即1n n a a +>. 证法二：数学归纳法①当1n =时，11a =，()21(1)ln(1)a f a f e ===- ∵1e e -<，∴()ln 11e -<，即21a a <成立②假设当()*n k k N =∈时结论成立，即1k k a a +<成立 由（2）知()f x 在()0,+∞上单调递增 ∴()()1k k f a f a +<，又()12k k f a a ++=，()1k k f a a +=，∴21k k a a ++< ∴当1n k =+时结论成立 综合①②，∴1n n a a +>恒成立22.解：（1）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，1Ccos sin 40θρθ+-=， 2C 的普通方程为()2211x y +-=，即2220x y y +-=， 2C 对应的极坐标方程为2sin ρθ=.（2）曲线3C 的极坐标方程为0,02πθαρα⎛⎫=><<⎪⎝⎭设()1,A ρα，()2,B ρα，则1ρ=，22sin ρα=，所以21||112sin sin )2cos 21)||44OB OA ραααααρ==⨯+=-+ 12sin 2146πα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 又02πα<<，52666πππα-<-<， 所以当262ππα-=，即3πα=时，||||OB OA 取得最大值3423.（1）解：当12x <-时，不等式化为：21124x x --+-<，解得112x -<<- 当1122x -≤≤时，不等式化为：21214x x +-+<，解得1122x -≤≤当12x >时，不等式化为：21214x x ++-<，解得112x << 综上可知，{}|11M x x =-<<.（2）证法一：因为a M ∈，b M ∉，所以||1a <，||1b ≥. 而||1(||||)||1||||ab a b ab a b +-+=+--(||1)(||1)0a b =--≤所以||1||||ab a b +≤+.证法二：要证||1||||ab a b +≤+，只需证：||||1||||0a b a b +--≤ 只需证：(||1)(||1)0a b --≤，因为a M ∈，b M ∉，所以||1a <，||1b ≥，所以(||1)(||1)0a b --≤成立，所以||1||||ab a b +≤+成立.。
佛山市名校2020年高二第二学期数学期末考试试题含解析
佛山市名校2020年高二第二学期数学期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= A ．2B ．3C ．2D ．3 2．已知复数z 满足112i i z +=--，则z =（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．53．复数(1)(2)z i i =--（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 的虚部是（ ）A ．3iB ．3i -C ．3D ．3-4．下列命题中，假命题是（ ）A ．2不是有理数B ． 3.14π≠C ．方程210x +=没有实数根D ．等腰三角形不可能有120︒的角 5．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )A ．B ．C ．D ． 6．8名学生和2位教师站成一排合影，2位教师不相邻的排法种数为（ ）A ．8289P PB ．8289PC C ．8287P PD ．8287P C 7．设a=log 20.3，b=10lg0.3，c=100.3，则A ．a<b<cB ．b<c<aC ．c<a<bD ．c<b<a 8．已知03cos 2⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰m x dx ππ，则()23-+m x y z 的展开式中，2-m x yz 项的系数等于（ ） A ．180B ．-180C ．-90D ．15 9．曲线1y x x =-上一点74,4P ⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程是（ ）． A ．51680x y ++= B ．51680x y -+=C ．51680x y +-=D ．51680x y --=10．已知圆，平面区域，若圆心，且圆C 与x 轴相切，A ．B ．C ．D ． 11．已知()()21cos f x x x =+-，则不等式()ln 11f x -<的解集为（ ）A ．()0,eB ．()1,+∞C ．()e,+∞D ．()1,e12．如果1cos()2A π+=-，那么sin()2A π+的值是（ ） A ．12- B ．32 C ．32- D ．12二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．执行如图所示的程序框图.则输出的实数m 的值为______．14．直线:1l y kx =+与圆2222240+-+--=x y ax a a 恒有交点，则实数a 的取值范围是 .15．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,AB AC AA === ,E F 分别是,BA 11A C 的中点.设D 是线段11B C 上的（包括两个端点．．．．．．）动点，当直线BD 与EF 所成角的余弦值为10，则线段BD 的长为_______．16．已知函数()22ln ,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩，若方程()10f x kx +-=有四个不相等的实根，则实数k 的取17．用适当方法证明：已知：0a >，0b >≥ 18．已知函数()f x ax b =+，分别在下列条件下，求函数图象经过第二、三、四象限的概率.（1）设,{2,1,1,2}a b ∈--且a b ¹；（2）实数,a b 满足条件11,1 1.a b -⎧⎨-⎩剟剟19．（6分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合. （1）求抛物线C 的方程及焦点到准线的距离；（2）若直线112y x =+与C 交于()11,A x y 、()22,B x y 两点，求12y y 的值. 20．（6分）已知函数221()45216x x g x +=-⋅+，函数224()log log (4)4x f x x =⋅，记集合{|()0}A x g x =≤. （I ）求集合A ；（II ）当x A ∈时，求函数()f x 的值域.21．（6分）已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为22cos c C. （1）求证：tan sin sin C A B =；（2）若6C π=，求()cos A B -的值.22．（8分）设函数()|1||2|f x x x =-++的最小值为m .（1）求实数 m 的值；（2）已知2a >2b >，且满足2a b m +=+，求证：14922a b +≥--.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．D【解析】【分析】【详解】由余弦定理得， 解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理 【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！2．C【解析】【分析】【详解】1i 22i 1iz +=+=+-Q ，5z ∴= C. 3．C 【解析】分析：求出复数z ，得到z ，即可得到答案.详解：()()1213,13,z i i i z i =--=-∴=+故z 的共轭复数z 的虚部是3.故选C.点睛：本题考查复数的乘法运算，复数的共轭复数等，属基础题.4．D【解析】【分析】根据命题真假的定义，对各选项逐一判定即可．【详解】解：A . 2为无理数，故A 正确，B ． 3.1415926π=⋯，故B 正确，C ．因为40∆=-<，即方程210x +=没有实根，故C 正确，D ．等腰三角形可能以120︒为顶角，30°为底角，故D 错误，本题考查命题真假的判断，属于基础题．5．D【解析】【分析】【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.详解：因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.6．A【解析】【分析】本题选用“插空法”，先让8名学生排列，再2位教师教师再8名学生之间的9个位置排列.【详解】P种，先将8名学生排成一排的排法有88再把2位教师插入8名学生之间的9个位置（包含头尾的位置），P种排法，共有29P P种.故2位教师不相邻的排法种数为8289故选A.【点睛】本题考查排列组合和计数原理，此题也可用间接法.特殊排列组合常用的方法有：1、插空法，2、捆绑法.【分析】求出三个数值的范围，即可比较大小.【详解】2log 0.30a =<，lg0.3100.3b ==，0.3101c =>，a ，b ，c 的大小关系是：a b c <<.故选：A.【点睛】对数函数值大小的比较一般有三种方法：①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．②中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”．③图象法，根据图象观察得出大小关系．8．B【解析】分析：利用定积分的运算求得m 的值，再根据乘方的几何意义，分类讨论，求得x m ﹣2yz 项的系数． 详解：03cos 2m x dx ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰0π⎰3sinxdx=﹣3cosx 0|π=﹣3（cosπ﹣cos0）=6， 则（x ﹣2y+3z ）m =（x ﹣2y+3z ）6 ，x m ﹣2yz=x 4yz ．而（x ﹣2y+3z ）6表示6个因式（x ﹣2y+3z ）的乘积，故其中一个因式取﹣2y ，另一个因式取3z ，剩余的4个因式都取x ，即可得到含x m ﹣2yz=x 4yz 的项，∴x m ﹣2yz=x 4yz 项的系数等于()11465423180.C C C -⋅⋅=- 故选：B ．点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等。
2020年佛山市名校数学高二(下)期末监测试题含解析
2020年佛山市名校数学高二(下)期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同．现了解到以下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步；可以判断丙参加的比赛项目是（ ） A ．跑步比赛 B ．跳远比赛C ．铅球比赛D ．无法判断【答案】A 【解析】分析：由（1），（3），（4）可知，乙参加了铅球，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，即可得出结论.详解：由（1），（3），（4）可知，乙参加了铅球，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中； 再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，所以丙最高，参加了跑步比赛. 故选：A.点睛：本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力. 2．若集合{}213A x x =-<，2103x B xx ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭，则A B I 等于（ ）A ．()11,2,32⎛⎫--⎪⎝⎭U B ．()2,3 C ．1,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】D 【解析】分析：先解绝对值不等式得集合A ，再解分式不等式得集合B ，最后根据交集定义求结果. 详解：因为213x -<，所以3213,12x x -<-<-<< 因为2103x x +<-，所以12x <-或x>3, 因此11,2A B ⎛⎫⋂=-- ⎪⎝⎭， 选D.点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 3．设,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则以下结论错误的是（ ） A ．若αβP ，m α⊂，则m βPB ．若,,m m n αβαβ⋂=P P ，则m n PC ．若,,,m n m n ααββ⊂⊂P P ，则αβPD ．若,m m αβ⊥P ，则αβ⊥ 【答案】C 【解析】试题分析：选项A 可由面面平行的性质可以得到；B 选项，可由线面平行的性质定理和判定定理，通过论证即可得到；C 选项，,,,m n m n ααββ⊂⊂P P ，缺少条件和相交，故不能证明面面平行，C 错误；D 选项，,m m αβ⊥P ，过作平面，，由线面平行的性质可得，，，.D 正确.考点：直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.4．若直线:10(0,0)l ax by a b ++=>>把圆()()22:4116C x y +++=分成面积相等的两部分，则当ab 取得最大值时，坐标原点到直线l 的距离是（ ） A ．4 B ．17 C ．2 D 817【答案】D【解析】依题意可知直线过圆心()4,1--，代入直线方程得1144,16a b ab ab =+≥≤，当且仅当142b a ==2281717a b=+. 5．设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=（ ） A ．1 B 2C 3D ．2【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，1(1)(1)1(1)(1)i i i z i i i i ---===++-，所以1z =，故选A. 考点：复数的运算与复数的模.6． “所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”上述推理（ ） A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．结论错误 D ．正确【答案】D 【解析】分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论．详解：∵所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故某奇数是3的倍数， 大前提：所有9的倍数都是3的倍数， 小前提：某奇数是9的倍数， 结论：故某奇数是3的倍数， ∴这个推理是正确的， 故选D ．点睛：该题考查的是有关演绎推理的定义问题，在解决问题的过程中，需要先分清大前提、小前提和结论分别是什么，之后结合定义以及对应的结论的正确性得出结果. 7．若0k m n ≤≤≤，且m ，n ，k ∈N ，则CC mn m k n k n k --==∑（ ）A ．2m n+B ．C 2n mmC ．2C n mnD ．2C m mn【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，运用组合数的阶乘可得：n m k m kn k n n m C C C C --=，再由二项式系数的性质，可得所要求的和.【详解】()()()()()()()()!!!!!!!!!!!!!!!!n m k n k n m kn mn k n n C C n m m k k n k n m m k k n m C C m n m k m k ---=⋅=-⋅-⋅--⋅-⋅=⋅=⋅-⋅-则()0102mmn m k m k m mm m n knn m n m m m n k k CC C C C C C C C --====⋅+++=∑∑L 故选：D 【点睛】本题考查了组合数的计算以及二项式系数的性质，属于一般题.8．将两颗骰子各掷一次，设事件A =“两个点数不相同”， B =“至少出现一个6点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．1011B ．511C ．518D ．536解：由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36-6=30至少出现一个6点的情况分二类，给两个骰子编号，1号与2号，若1号是出现6点，2号没有6点共五种2号是6点，一号不是6点有五种，若1号是出现6点，2号也是6点，有1种，故至少出现一个6点的情况是11种∴=10119．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似公式3169d V ≈人们还用过一些类似的近似公式,根据 3.14159π≈L 判断,下列近似公式中最精确的一个是（ ） A ．3169d V ≈B ．32111d V ≈C ．3300157d V ≈D ．32d V ≈【答案】B 【解析】 【分析】利用球体的体积公式得333443326d d V R πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，得出d 的表达式，再将π的近似值代入可得出d 的最精确的表达式. 【详解】由球体的体积公式得333443326d d V R πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，36V d π=Q ，6 1.9099π≈，16 1.77789≈，21 1.909111≈，300 1.9082157≈，2111与6π最为接近，故选C.【点睛】本题考查球体的体积公式，解题的关键在于理解题中定义，考查分析问题和理解问题的能力，属于中等题． 10．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是异面直线且m n ⊥，则下列条件能推出αβ⊥的是（ ） A ．//m α，//n β B ．m α⊥，//n β C ．//m α，n β⊥ D ．m α⊥，n β⊥ 【答案】D 【解析】分析：根据线面垂直的判定定理求解即可.详解：A. //m α，//n β，此时α，β两平面可以平行，故错误；B. m α⊥，//n β，此时α，β两平面可以平行，故错误；C. //m α，n β⊥，此时α，β两平面仍可以平行，故错误，故综合的选D.点睛：考查线面垂直的判定，对答案对角度，多立体的想象摆放图形是解题关键，属于中档题.11．已知点P(x ，y)的坐标满足条件11350x y x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩那么点P 到直线3x －4y －13＝0的距离的最小值为( ) A ．2 B ．1C ．95D ．115【答案】A 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，由点到直线的距离公式求得点P 到直线34130x y --=的最小值，即可求解． 【详解】由约束条件11350x y x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩作出可行域，如图所示，由图可知，当P 与(1,0)A 重合时，点P 到直线34130x y --=的距离最小为2223(4)d ==+-．故选：A ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．12．已知函数()()21,12,1x x f x f x x ⎧->-⎪=⎨+≤-⎪⎩，则()3f -=（ ）A ．78-B ．12-C ．1D ．7【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由函数的解析式可得()3(1)(1).f f f -=-=，又由1(1)211f =-= 即得到答案。
2019-2020学年佛山市名校数学高二第二学期期末检测试题含解析
2019-2020学年佛山市名校数学高二第二学期期末检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．()52112x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式的常数项为（） A ．112 B ．48 C ．-112 D ．-48【答案】D 【解析】 【分析】把51(2)x -按照二项式定理展开，可得()52112x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式的常数项．【详解】 由于()()52205142332455555111111121()2()4()8()1632x x C C C C C x x x x x x ⎛⎫⎛⎫---⋅-⋅+⋅-⋅+⋅- ⎪⎭= ⎪⎝⎝⎭故展开式的常数项为3583248C -+=-，故选D ．【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查了二项式展开式，属于基础题.2．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，'(1)()0x f x -<，设(0)a f =，1)2(b f =，(3)c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】x ∈（-∞，1）时，x-1＜0，由（x-1）•f'（x ）＜0，知f'（x ）＞0， 所以（-∞，1）上f （x ）是增函数． ∵f （x ）=f （2-x ）， ∴f （3）=f （2-3）=f （-1） 所以f （-1）＜（0）＜1()2f ， 因此c ＜a ＜b ． 故选B ．A ．若,,则B ．若，，，则C ．若,,则D ．若,,则【答案】C 【解析】 【分析】结合空间中点线面的位置关系，对选项逐个分析即可选出答案. 【详解】 对于选项A ，当,，有可能平行，也有可能相交，故A 错误； 对于选项B ，当，，，有可能平行，也可能相交或者异面，故B 错误；对于选项C ，当,,根据线面垂直的判定定理可以得到，故C 正确；对于选项D ，当,,则或者，故D 错误；故答案为选项C. 【点睛】本题考查了空间中直线与平面的位置关系，考查了学生的空间想象能力，属于基础题. 4．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A ．//,,αβm αnβ烫，则//m nB ．//,//m m n α，则//n αC ．,//,m n m αβα⊥⊥，则//n βD ．,//m m n α⊥，则n α⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理依次判断各个选项即可. 【详解】两平行平面内的直线的位置关系为：平行或异面，可知A 错误；//m α且//m n ，此时//n α或n α⊂，可知B 错误；αβ⊥，//m n ，m α⊥，此时n β⊥或n β⊂，可知C 错误；两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条必垂直于该平面，D 正确. 本题正确选项：D本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查学生对于定理的掌握程度，属于基础题. 5．盒子里共有7个除了颜色外完全相同的球，其中有4个红球3个白球，从盒子中任取3个球，则恰好取到2个红球1个白球的概率为（ ）． A ．2435B ．1835C ．1235D ．635【答案】B 【解析】由题意得所求概率为214337C C 6318C 3535P ⋅⨯===．选B ． 6．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下根据上表可得回归方程$9.49.1y x =+，则实数a 的值为（ ） A ．37.3 B ．38C ．39D ．39.5【答案】C 【解析】 【分析】求出(),x y ，代入回归方程，即可得到实数a 的值。
2020年佛山市名校数学高二第二学期期末监测试题含解析
2020年佛山市名校数学高二第二学期期末监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，若()50E X =，()30D X =，则n ，p 分别等于（ ） A ．100n =，35p = B ．100n =，25p = C ．125n =，25p = D ．125n =，35p = 【答案】C 【解析】分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．详解：随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()50E X =，()30D X =，可得50,30np npq =⎧⎨=⎩32,1,125.55q p q n =∴=-==故选：C ．点睛：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力．2．已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,A B 两点，且OA OB OA OB +=-（其中O 为坐标原点），则实数a 的值为A ．2 BC ．2或2-D 或【答案】C 【解析】分析：利用OA ⊥OB ，OA=OB ，可得出三角形AOB 为等腰直角三角形，由圆的标准方程得到圆心坐标与半径R ，可得出AB ，求出AB 的长，圆心到直线y=﹣x+a 的距离为AB 的一半，利用点到直线的距离公式列出关于a 的方程，求出方程的解即可得到实数a 的值． 详解：∵OA ⊥OB ，OA=OB ， ∴△AOB 为等腰直角三角形， 又圆心坐标为（0，0），半径R=1， ∴=∴圆心到直线y=﹣x+a 的距离d=12∴|a|=1， ∴a=±1． 故答案为C ．离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.3．在平面直角坐标系中,方程1x ya b+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( )A ．1x y z a b c ++=B ．1x y z ab bc ca++= C ．1xy yz zx ab bc ca++= D ．1ax by cz ++=【答案】A 【解析】 【分析】平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是1x y za b c++=. 【详解】由类比推理得：若平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为,,a b c ，则该平面的方程为：1x y za b c++=，故选A . 【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令0,0x y ==，看z 是否为c .4．已知P 为双曲线：22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，A 为其左顶点，F 为其右焦点，满足||||AF PF =，3PFA π∠=，则点F 到直线PA 的距离为（ ）A B ．72C D ．152【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得APF 为等边三角形，求出点P 的坐标，然后代入双曲线中化简，然后求出a 即可 【详解】由题意可得(),0A a -，(),0F c 由||||AF PF =，PFA π∠=可得APF 为等边三角形所以有)2c a P a c ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，代入双曲线方程可得()()22223144c a a c a b -+-= 结合222b c a =-化简可得22340c ac a --=，可解得4c a =因为c =a =所以点F 到直线PA 的距离为)15222a c +=⋅= 故选：D 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，双曲线的方程及化简运算能力，属于中档题.5．已知实数a b c d 、、、成等差数列,且曲线()ln 2y x x =+-取得极大值的点坐标为(),b c ,则a d +等于（ ） A ．-1 B ．0C ．1D ．2【答案】B 【解析】 由题意得1()12f x x '=-+，1()10,()ln(2)2f b f b b b c b =-==+-=+'，解得1,1,b c =-=由于是等差数列，所以0a d b c +=+=，选B. 6．已知函数f （x ）＝2x －1，()2cos 2,0?2,0a x x g x x a x +≥⎧=⎨+<⎩（a ∈R ），若对任意x 1∈[1，＋∞），总存在x 2∈R ，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．[]1,1,22⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．371,,224⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】对a 分a=0,a ＜0和a ＞0讨论，a ＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a 的取值范围. 【详解】当a=0时，函数f （x ）＝2x －1的值域为[1,+∞），函数()g x 的值域为[0,++∞），满足题意. 当a ＜0时，y=22(0)x a x +<的值域为（2a,+∞）, y=()cos 20a x x +≥的值域为[a+2,-a+2],由题得2a ＜1，即a ＜12，即a ＜0. 当a ＞0时，y=22(0)x a x +<的值域为（2a,+∞）,y=()cos 20a x x +≥的值域为[-a+2,a+2],当a≥23时，-a+2≤2a,由题得21,1222a a a a -+≤⎧∴≤≤⎨+≥⎩. 当0＜a ＜23时，-a+2＞2a ，由题得2a ＜1，所以a ＜12.所以0＜a ＜12. 综合得a 的范围为a ＜12或1≤a≤2，故选C . 【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7．函数ln xy x=的最大值为（ ） A ．1e - B ．1C ．2eD ．103【答案】A 【解析】 【分析】由题意求得导数21ln xy x -'=，得到函数单调性，即可求解函数的最大值，得到答案. 【详解】由题意，可得21ln x y x -'=，当(0,)x e ∈时，0y '>，则函数ln xy x=单调递增；当(,)x e ∈+∞时，0y '<，则函数ln xy x =单调递减，所以函数的最大值为()1max ln ey f e e e-===，故选A. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的最值问题，其中解答中求得函数的导数，得出函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．我们正处于一个大数据飞速发展的时代，对于大数据人才的需求也越来越大，其岗位大致可分为四类：数据开发、数据分析、数据挖掘、数据产品.以北京为例，2018年这几类工作岗位的薪资（单位：万元/月）情况如下表所示.由表中数据可得各类岗位的薪资水平高低情况为A ．数据挖掘>数据开发>数据产品>数据分析B ．数据挖掘>数据产品>数据开发>数据分析C ．数据挖掘>数据开发>数据分析>数据产品D ．数据挖掘>数据产品>数据分析>数据开发 【答案】B 【解析】 【分析】根据表格中的数据计算出各类岗位的平均薪资，比较大小后得出结论。
★试卷3套汇总★广东省佛山市2020年高二数学下学期期末学业水平测试试题
基础练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列命题中真命题的个数是（ ） ①若p q ∧是假命题，则p 、q 都是假命题；②命题“x ∀∈R ，3210x x -+≤”的否定是“0x ∃∈R ，320010x x -+>”③若p ：1x >，q :11x<，则p 是q 的充分不必要条件. A ．0B ．1C ．2D ．32．已知集合{}A x x a =<，{}12B x x =<<，且()A B =RR ，则实数a 的取值范围为（ ）．A ．{}2a a ≤ B ．{}1a a < C ．{}2a a ≥D ．{}2a a >3．空气质量指数AQI 是一种反映和评价空气质量的方法，AQI 指数与空气质量对应如下表所示：AQI0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 300以上 空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某城市2018年12月全月的指AQI 数变化统计图．根据统计图判断，下列结论正确的是（ ） A ．整体上看，这个月的空气质量越来越差B ．整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C ．从AQI 数据看，前半月的方差大于后半月的方差D ．从AQI 数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值4．《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为（ ） A ．18B ．14C ．38D ．125．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( )A ．175B ．275C ．375D ．4756．下列说法中， 正确说法的个数是（ ）①在用22⨯列联表分析两个分类变量A 与B 之间的关系时，随机变量2K 的观测值k 越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越大②以模型kxy ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c ，k 的值分别是4e 和 0.3③已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则1a = A ．0B ．1C ．2D ．37． “直线l 垂直于平面α内无数条直线”是“直线l 垂直于平面α”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．甲、乙两名同学参加2018年高考，根据高三年级一年来的各种大、中、小型数学模拟考试总结出来的数据显示，甲、乙两人能考140分以上的概率分别为12和45，甲、乙两人是否考140分以上相互独立，则预估这两个人在2018年高考中恰有一人数学考140 分以上的概率为( ) A ．12B ．23C ．34D ．139．已知0c b a ≥≥>，且21a b c ++=，则a 的取值范围为（ ） A ．9a >B ．8a >C ．7a >D ．07a <≤10．若抛物线216x y =上一点()00,x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则0y =（ ） A ．12B 2C ．1D ．211．从5个中国人、4个美国人、3个日本人中各选一人的选法有（ ） A ．12种B ．24种C ．48种D ．60种12．函数的图象的大致形状为（ ）A． B ． C ．D ．二、填空题：本题共4小题13．()62111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为__________．(有数字填写答案) 14．计算233398log 3(2)27-⎛⎫++- ⎪⎝⎭的结果为______.15．已知命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤,若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________. 16．函数()212log 32y x x =-+的单调递增区间为__________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020年佛山市名校数学高二第二学期期末监测试题含解析
2020年佛山市名校数学高二第二学期期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知盒中装有大小形状完全相同的3个红球、2个白球、5个黑球.甲每次从中任取一球且不放回，则在他第一次拿到的是红球的前提下，第二次拿到白球的概率为（）A．310B．13C．38D．292．已知函数()22cosf x x x=-，则()0f，13f⎛⎫-⎪⎝⎭，23f⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系是（）A．()1233f f f⎛⎫⎛⎫<-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．()1233f f f⎛⎫⎛⎫-<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．()2133f f f⎛⎫⎛⎫<-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D．()2133f f f⎛⎫⎛⎫<<-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问111名不同的大学生是否爱好某项运动，利用22⨯列联表，由计算可得28.806K≈P（K2>k）1．11 1．14 1．124 1．111 1．114 1．111k 2．615 3．841 4．124 5．534 6．869 11．828参照附表，得到的正确结论是（）A．有8．4%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B．有8．4%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C．在犯错误的概率不超过1．14%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过1．14%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”4．如图是导函数()y f x'=的图象，则()y f x=的极大值点是（）A．1x B．2x C．3x D．4x5．函数f（x）是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数且f（2）=0，则使f（x）<0的x的取值范围（）A．（－∞，2）B．（2，+∞）C ．（－∞，-2）∪（2，+∞）D ．（－2，2）6．已知()xae f x x=，[]1,3x ∈且()()12122f x f x x x -<-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．28(,]e-∞B ．39[,)e+∞C ．28[,)e+∞D ．39 ,e ⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦ 7．若函数()f x ＝sinxcosx,x∈R,则函数()f x 的最小值为A ．14-B ．12-C ．D ．1-8．用反证法证明“,20x x ∀∈>R ”时，应假设（ ） A ．00,20x x ∃∈≤RB ．00,20x x ∃∈<R C ．,20x x ∀∈≤R D ．00,20x x ∃∈>R9．下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞内单调递增的函数是（ ） A ．3y x =- B ．cos y x =C ．1y x x=+D ．||y x x =10．不等式213x x -+＞0的解集是 A ．（12，+∞） B ．（4，+∞）C ．（-∞，－3）∪（4，+∞）D ．（-∞，－3）∪（12，+∞） 11．函数()11sin x x f x ee a x π--+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．20,π⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,π⎛⎤⎥⎝⎦C ．()0,2D ．(]0,2 12．高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ） A ．1800B ．3600C ．4320D ．5040二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆短轴长为____________. 14．已知5(1)(1)ax x++的展开式中2x 的系数为5，则a =__________． 15．已知a R ∈，直线1l ：22x y a +=+和直线2l ：221x y a -=-分别与圆E ：22()(1)4x a y -+-=相交于A 、C 和B 、D ，则四边形ABCD 的面积为__________．16．已知0>ω，在函数sin y x ω=与cos y x ω=的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为3，则ω值为__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）在复数范围内解方程22||0x x +=；（2）已知复数z 满足4z R z+∈，且|2|2z -=，求z 的值.18．已知121211151034.z i z i z zz z =+=-=+，，，求 19．（6分）已知()2xx ax abf x ae--+=（其中,a b ∈R 且0a ≠，e 是自然对数的底）. （1）当1a =，0b =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程； （2）当1b =时，求函数()f x 在[]0,2上的最小值； （3）若0a <且关于x 的不等式()1xf x e x-+>在()0,∞+上恒成立，求证：2ln 22b ≥-. 20．（6分）某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工作，需对该生产线进行检测，现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数14μ=，标准差2σ=，绘制如图所示的频率分布直方图，以频率值作为概率估值．（1）从该生产线加工的产品中任意抽取一件，记其数据为X ，依据以下不等式评判（P 表示对应事件的概率）①()0.6862P x μσμσ-<<+≥ ②(22)0.9544P x μσμσ-<<+≥③(33)(820)0.9974P x P x μσμσ-<<+=<<≥评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线，试判断该生产线是否需要检修；（2）将数据不在(2,2)μσμσ-+内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意抽取2件，次品数记为Y ，求Y 的分布列与数学期望EY ． 21．（6分）设1()ln +,() 4.a f x x g x ax x-==- （Ⅰ）求()()()x f x g x ϕ=+的单调区间.（Ⅱ）当1a =时，记()()()h x f x g x =⋅，是否存在整数．．λ，使得关于x 的不等式2()h x λ≥有解？若存在求出λ的最小值，若不存在，说明理由.22．（8分）如图，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，22AB BC CD ==，⊿SAD 是正三角形。
佛山市南海区2019—2020学年第二学期期末考试高二数学试题参考答案
佛山市南海区2019—2020学年第二学期期末考试高二数学参考答案与评分标准一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分二、多选题：11. 【解析】由题意4,8x y ==，将之代入回归方程得= 1.08a -，故回归直线方程为 2.27 1.08y x =-，所以37=e =-⨯--（2.274 1.08）1，A 正确；由于20.96R ≈，所以该回归模型拟合的效果比较好，故对应的残差图中残差点应该比较均匀地分布在水平的带状区域中，B 错误；在线性回归模型中2R 表示解释变量对于预报变量的贡献率，所以C 正确；建立模型时自变量的取值范围决定了预报时模型的适用范围，通常不能超出太多，否则产生的误差较大，所以D 错误.(此题可参考选修2-3课本85页或者教参97页).12. 【解析】由图可知：()f x kx m ≤+，()f x kx m ∴-≤；由于0m <，()0f x kx ∴-<恒成立，所以方程()0F x =没有实数解，A 正确；又()()F x f x k ''=-，如图示，当()10,x x ∈，()23,x x ，()45,x x ，函数()y f x =的图像上的点的切线斜率()f x '大于直线斜率k ；当()12,x x x ∈，()34,x x ，函数()y f x =的图像上的点的切线斜率()f x '小于直线斜率k ，所以函数()y F x =有极大值点3个，极小值点2个.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13. 1y x =- 14. 70 15. 0.92 ；0.17 16. np15. 【解析】记“小明能准时到达”为事件A ，“小明乘坐火车去”为事件B ，则()0.80.950.20.80.92=+=P A ⨯⨯， AB 0.20.8B A ==0.17A 0.92P P P ⨯≈（）（）（）.16.【解析】联想二项分布的概率公式，设~B(,)X n P ， 则原式1()=()()n nk k kP X k kP X k E X np =======∑∑.四、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 【解析】(Ⅰ)根据列联表得：第一种学习方式且不超过m 的概率151.408p == …………………2分第二种学习方式且不超过m 的概率2153.408p == …………………4分 (Ⅱ)由于2240(151555)10 6.63520202020K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯， …………………8分 所以有99%的把握认为两种学习方式的效率有差异． …………………10分18.【解析】(Ⅰ)函数()32883f x x x =-+，∴()()()228222f x x x x '=-=-+……………2分 ∴函数()32883f x x x =-+的增区间为：(),2-∞-和()2,+∞ …………………4分 减区间为：()2,2- …………………6分(Ⅱ)[]0,3x ∈，由(Ⅰ)可得……………………10分∴函数()32883f x x x =-+的最大值为8，最小值为83-. ……………………12分 19.【解析】(Ⅰ)设样本中对花粉过敏的人数为X ,则~B 20,0.25X （），故 P =2=X （）221820C 0.250.75=0.067⨯⨯， …………………2分P 2=1P =0P =1X X X ≥--（）（）（）2010.75=--11920C 0.250.75=10.0030.021⨯⨯--0.976=所以样本中恰好有两人过敏的概率为0.067，至少有2人过敏的概率为0.976 ………………4分 (Ⅱ)设样本容量为n ，该样本中检测到对花粉过敏的人数为Y ，则~B ,0.25Y n （），故P 1Y ≥=（）1P =0=10.7599.9%n Y -->（）,得0.750.001n <，取对数得lg 0.753n <-，所以324.01lg 0.75n ->=， ………………8分所以抽取的样本的容量至少为25. (若答24人不得分) ………………9分（Ⅲ）由第一问可知检验的20人中不到2人过敏的概率为10.9760.024-=，此概率非常小，在正常情况下，一次实验中几乎不会发生，出现此种情况的原因有可能为：①原假设不成立，即每个人对这种花粉过敏的概率不到0.25；②检验的样本只针对大学生，没有随机性；③检验的环节出现了问题……12分 （注：学生回答其中两个原因即可得分）20.【解析】本题为开放性题，答案不唯一，只需写出符合条件的函数即可，提供以下4个函数仅供参考，写出函数)(x f 给4分，作图2分，证明)(x f 满足结论③及④每个3分．（1）22,0(),0x ax x f x x ax x ⎧-+≥=⎨+<⎩ )0(>a （2） ()()()f x ax x b x b =-+ （0a ≠且0b ≠）（3）,0(),0x a a x f x x a a x ⎧--+≥⎪=⎨+-<⎪⎩（0a >） （4） 1,22()sin ,221,22x x f x x x x x ππππππ⎧---<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩， 下面以函数()()()11f x x x x =-+为例给出证明： 证明：()()()11f x x x x =-+的定义域为R 因为对定义域的每一个x ，都有()()()()()1111()f x x x x x x x f x -=----+=--+=-，所以函数()()()11f x x x x =-+是奇函数，…………………………9分 又因为当()()()110f x x x x =-+= 显然，1230,1,1x x x ==-=所以函数)(x f 恰有3个零点．………………………………………………………………………12分 21.【解析】（Ⅰ）解：'()cos xf x e x a =++,………………1分对于2a =-，当0x <时，1,cos 1xe x <≤，………………2分 所以'()cos 20xf x e x =+-<.………………3分所以()f x 在(),0-∞上单调递减. ………………………………4分（Ⅱ）解：当0x =时，()11f x =≥，对于R ∈a ，命题成立，………………5分当0x >时，设()cos =++xg x e x a ，则'()sin xg x e x =-.………………6分 因为1,sin 1>≤xe x ，所以'()sin 11=0xg x e x =->-，()g x 在()0,+∞上单调递增. ………………7分 又(0)2=+g a ， 所以()2>+g x a .所以'()f x 在()0,+∞上单调递增，且'()2>+f x a .………………8分 ① 当2a ≥-时，'()0>f x ， 所以()f x 在()0,+∞上单调递增. 因为(0)1f =，所以()1>f x 恒成立. ………………9分 ② 当2a <-时，'(0)20f a =+<， 因为'()f x 在[0,)+∞上单调递增，又当ln(2)=-x a 时，'()2cos 2cos 0=-+++=+>f x a x a x ，………………10分 所以存在0(0,)x ∈+∞，对于0(0,)∈x x ，'()0f x <恒成立. 所以()f x 在()00,x 上单调递减，………………11分 所以当0(0,)∈x x 时，()(0)1<=f x f ，不合题意.综上，当2a ≥-时，对于0x ≥，()1f x ≥恒成立.…………………12分 22.【解析】(Ⅰ) 由题意可知ξ的所有可能取值为1k 、11k +，且()11k P p k ξ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()1111k P p k ξ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭，所以ξ的分布列为：()()()()111111111k k k E p p p k k k ξ⎛⎫⎡⎤=-++--=--+ ⎪⎣⎦⎝⎭. ……………………3分(Ⅱ)当1p =-时，()4111=1e kk E k k ξ-=-+-+，由题意得411e 1kk --+<， ∴1ln 4k k >即1ln 04k k ->. 设()1ln 4f x x x =-，()44xf x x-'=，∴当04x <<时，()0f x '>，则()f x 在4,（0）上单调递增；当4x ≥时，()0f x '>（仅当4x =时取等号），则()f x 在[)4,+∞上单调减.()12ln 2ln 202f =-=->，()28ln82ln8lne 0f =-=->，()99ln 9 2.20 2.2504f =-=-<, 所以当28x ≤≤时，()0f x >；当9x ≥时，()0f x <. 故1ln 04k k ->的解集为{2，3，4，5，6，7，8}，所以求k 的范围是{2，3，4，5，6，7，8} ……7分 （Ⅲ）由上知()41=1ek E kξ--+，k ∈{2，3，4，5，6，7，8} 设4(2()=1e8)1x g x x x --+≤≤，则24'42211e 4()=e 44x x x g x x x ----=,……………………8分 令24()=)e4(28x h x x x --≤≤，则24'44e (8)()=2ee 44x xx xx x h x x -----=，………………9分所以当28x ≤≤时，'()0h x ≥（仅当8x =时取等号），()h x 在[2,8]上单调递增，(2)=40h <），34(3)=9e 490.4740.230h --=⨯-=> 所以存在0(23)x ∈，使得0()0h x =，……………………10分 故当0(2)x x ∈，时，()0h x <，此时'()0g x <，()g x 单调递减；当0(8)x x ∈，时，()0h x >，此时'()0g x >，()g x 单调递增，所以使得()E ξ最小的k 必在2与3之间取得.……………………11分 当=2k 时()1211=1e=10.610.8922E ξ--+-+=，当=3k 时()341=1e =10.470.330.863E ξ--+-+= 所以当3k =时()E ξ最小，此时检验的工作量最小. ……………………12分。
广东省佛山市2020年高二第二学期数学期末教学质量检测试题含解析
广东省佛山市2020年高二第二学期数学期末教学质量检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设为三角形三边长，，若，则三角形的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定 【答案】B【解析】试题分析：两边除以得，，故为直角三角形.考点：1.解三角形；2.对数运算. 2．已知06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，为()()sin 2f x x ϕ=-+2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭的一个对称中心，则()f x 的对称轴可能为（ ）A ．2x π=B ．12x π=-C ．3x π=-D ．23x π=【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先确定ϕ的值，然后求解函数的对称轴即可. 【详解】由题意可知，当6x π=时，()226x k k Z πϕϕπ-+=-⨯+=∈，据此可得：()3k k Z πϕπ=+∈，令0k =可得3πϕ=，则函数的解析式为()2sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 函数的对称轴满足：()232x k k Z πππ-=+∈，解得：()5212k x k Z ππ=+∈， 令1k =-可知函数的一条对称轴为12x π=-，且很明显选项ACD 不是函数()f x 的对称轴.本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数对称轴方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．已知集合{}|1,M y y x x R ==-∈，{}2|log (1)N x y x ==-，则M N =（ ）A ．[1,1)-B ．()1,1-C ．[1,)-+∞D ．(,1)-∞【解析】分析：根据题意，求得集合,M N ，再利用集合的运算，即可求解．详解：由题意{}|1,{|1}M y y x x R x y ==-∈=≥-，{}2|log (1){|1}N x y x x x ==-=<， 所以[1,1)M N ⋂=-，故选A ．点睛：本题主要考查了集合的运算问题，其中正确求解集合,M N 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．4．已知复数z 满足()12z i i +=,则复数z 在复平面内对应点所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】把已知变形等式，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【详解】 由()12z i i +=，得()122=1255i i ii z i -+==+， ∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为2155⎛⎫⎪⎝⎭，，在第一象限． 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.5．平面内有两个定点()15,0F -和()25,0F ，动点P 满足126PF PF -=，则动点P 的轨迹方程是（ ）． A ．()2214169x y x -=≤-B ．()2213916x y x -=≤-C ．()2214169x y x -=≥D ．()2213916x y x -=≥【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件知，点P 的运动轨迹是以1F ，2F 为焦点的双曲线右支，从而写出轨迹的方程即可.解：由12126PF PF F F -=<可知，点P 的运动轨迹是以1F ，2F 为焦点的双曲线右支， ∴5c =，26a =， ∴3a =，22216b c a =-=.所以动点P 的轨迹方程是()2213916x y x -=≥.故选：D. 【点睛】本题考查双曲线的定义，求双曲线的标准方程，属于基础题.6．设集合{}2S x x =-,2{|340}T x x x =+-≤，则()R C S T ⋃= （ ）A ．[－4，－2]B ．(－∞，1]C ．[1，＋∞)D ．(－2，1]【答案】B 【解析】分析：先解不等式得出集合B ，再由集合的运算法则计算．详解：由题意{|41}T x x =-≤≤，{|2}R C S x x =≤-，∴(){|1}R C S T x x ⋃=≤． 故选B ．点睛：本题考查集合的运算，解题关键是确定集合的元素，要注意集合的代表元是什么，由代表元确定如何求集合中的元素．7．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】 【分析】设切点为()00x ,y ，则300y x =，由于直线l 经过点()1,1，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点0x 处的切线斜率，建立关于0x 的方程，从而可求方程． 【详解】若直线与曲线切于点()()000x ,y x 0≠，则32000000y 1x 1k x x 1x 1x 1--===++--， 又∵2y'3x =，∴200y'x x 3x ==，∴2002x x 10--=，解得0x 1=，01x 2=-， ∴过点()P 1,1与曲线3C :y x =相切的直线方程为3x y 20--=或3x 4y 10-+=，【点睛】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8．已知函数()()212,042ln 3,4x x x f x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎪->⎩，若方程()f x m =有三个实数根123,,x x x ，且123x x x <<，则312x x x -的取值范围为 （ ） A ．[)52ln 2,4- B ．)252ln 2,1e ⎡--⎣C ．)242ln 2,1e ⎡+-⎣ D ．[)3ln 2,52ln 2-+【答案】B 【解析】 【分析】先将方程()f x m =有三个实数根，转化为()y f x =与y m =的图象交点问题，得到m 的范围，再用m 表示()31232,0,2m x x x e m m -=+-∈，令()()32,0,2mg m e m m =+-∈，利用导数法求()g m 的取值范围即可.【详解】已知函数()()212,042ln 3,4x x x f x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎪->⎩，其图象如图所示：因为方程()f x m =有三个实数根， 所以02m <<， 令2122x x m -+=，得122x x m =， 令()ln 3x m -=，所以33mx e =+，所以()31232,0,2mx x x e m m -=+-∈，令()()32,0,2mg m e m m =+-∈，所以()2mg m e '=-，令()20mg m e '=-=，得ln 2m =，当0ln 2m <<时，()0g m '<，当n 22l m <<时，()0g m '>， 所以当ln 2m =时，()g m 取得极小值52ln 2-. 又()()204,21g g e ==-，所以()g m 的取值范围是：2[52ln 2,1)e --.即312x x x -的取值范围为2[52ln 2,1)e --. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数与方程，导数与函数的单调性、极值最值，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题. 9．若()()20nax a +≠的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a 的取值范围为（ ） A ．()[],02,3-∞ B ．()11,0,32⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦C ．[]2,3D ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】计算9n =，计算()55469C 2T ax =，()44559C 2T ax =，()66379C 2T ax =，根据系数的大小关系得到5454549954563699C 2C 2C 2C 2a a a a⎧≥⎨≥⎩，解得答案. 【详解】2512n =，9n =，()55469C 2T ax =，()44559C 2T ax =，()66379C 2T ax =，第6项的系数最大，5454549954563699C 2C 2,C 2C 2,a a a a ⎧≥∴⎨≥⎩，则23a ≤≤. 故选：C . 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.10．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABCD ．13【答案】A 【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b ，即()2223,a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率3c e a ===， 故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 11．已知某随机变量X 的概率密度函数为0,0,(),0,xx P x e x -≤⎧=⎨>⎩则随机变量X 落在区间(1,3)内在概率为( )A ．21e e+B ．231e e-C ．2e e -D ．2e e +【答案】B【解析】 【分析】求概率密度函数在（1，3）的积分，求得概率． 【详解】由随机变量X 的概率密度函数的意义得3233111d xx e P e x ee---==-=⎰，故选B ．【点睛】随机变量X 的概率密度函数在某区间上的定积分就是随机变量X 在这一区间上概率． 12．已知函数21()()xf x a e x=+在(2,)+∞有极大值点，则a 的取值范围为（ ） A ．1(,)2-+∞ B ．13(,)28--C ．3(,0)8-D ．1(,0)4-【答案】C 【解析】 分析：令'0fx，得22210ax x +-=，()2,x ∈+∞，整理得2112a x x=-，问题转化为求函数2112a x x =-在()2,+∞山过的值域问题，令1t x =，则10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可.详解：令'0f x，得22210ax x +-=，()2,x ∈+∞，整理得2112a x x=-， 令1t x =，则10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22a t t =- 令()212g t t t =-，则()g t 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， ∴()3,08g t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴3,08a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，经检验，满足题意． 故选C ．点睛：本题主要考查导数的综合应用极值和导数的关系，要求熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、把问题等价转化等是解题的关键．综合性较强，难度较大． 二、填空题：本题共4小题13．已知点P(0，1)，椭圆24x +y 2=m(m>1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m=___________时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】5 【解析】分析:先根据条件得到A,B 坐标间的关系，代入椭圆方程解得B 的纵坐标，即得B 的横坐标关于m 的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法.详解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由2AP PB =得1212122,12(1),23,x x y y y y -=-=-∴-=-因为A,B 在椭圆上,所以22221212,,44x x y m y m +=+=2222222243(23),()4424x x m y m y ∴+-=∴+-=，与22224x y m +=对应相减得222231,(109)444m y x m m +==--+≤，当且仅当5m =时取最大值. 点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.14．已知函数()222cos 1f x x x =-+，有以下结论：①若()()12f x f x =，则()12x x k k Z π-=∈； ②()f x 在区间73,84ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是增函数； ③()f x 的图象与()22cos 23g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象关于x 轴对称； ④设函数()()2h x f x x =-，当12πθ=时，()()()222h h h πθθθ-+++=-．其中正确的结论为__________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】首先化简函数解析式，逐一分析选项，得到答案. 【详解】()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭①当()()12f x f x =时，函数的周期为π，∴12,x x k k Z π=+∈，或121222266,223x x k x x k k Zππππππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⇒+=+∈ ，所以①不正确；②73,84x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，2352,6123x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦32,2ππ⎡⎤⊆--⎢⎥⎣⎦，所以是增函数，②正确； ③函数还可以化简为()22cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以()g x 与()f x 关于x 轴对称，正确； ④()2sin 226h x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当6πθ=时， ()22sin 22222sin 44126126f ππππθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+--+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()()22sin 22222sin 442sin 441261266f πππππθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=----=--+=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()2sin 22126126f ππππθ⎛⎫=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭()()()222f f f πθθθ∴-+++=-，④正确故选②③④ 【点睛】本题考查了三角函数的化简和三角函数的性质，属于中档题型. 15．下列命题中①若()00f x '=，则函数()y f x =在0x x =取得极值； ②直线5210x y -+=与函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像不相切； ③若z C ∈(C 为复数集），且221z i +-=，则22z i --的最小值是3； ④定积分24164x dx π--=⎰.正确的有__________． 【答案】②③④ 【解析】分析：①结合极值点的概念，加以判断即可；②求出导数f′（x ），由切线的斜率等于f′（x 0），根据三角函数的值域加以判断即可；③|z+2﹣2i|=1表示圆，|z ﹣2﹣2i|的几何意义两点的距离，通过连接两定点，由原定特性即可求出最小值；④令y=216x -，则x 2+y 2=16（y≥0），点（x ，y ）的轨迹表示半圆，则该积分表示该圆面积的．详解：①若()00f x '=，且0x 是变号零点，则函数()y f x =在0x x =取得极值，故选项不正确；②直线5210x y -+=与函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像不相切；直线5210x y -+=化为函数形式为5122y x =+，()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[]2cos(2)2,23f x π+∈-'=，[]52,22∉-，两者不能相切，故选项正确;③|z+2﹣2i|=1的几何意义是以A （﹣2，2）为圆心，半径为1的圆，|z ﹣2﹣2i|的几何意义是圆上一点到点B （2，2）的距离，连接AB 并延长，显然最小值为AB ﹣1=4﹣1=3，故③正确；④令x 2+y 2=16（y≥0），点（x ，y ）的轨迹表示半圆，定积分4-表示以原点为圆心，4为半径的圆面积的14，故定积分4-=11644ππ⨯⨯= ，故④正确．故答案为：②③④点睛：本题以命题的真假为载体考查函数的极值概念，导数的应用于求切线方程，以及复数的几何意义，定积分的几何意义及求法，是一道基础题．注意积分并不等于面积，解决积分问题的常见方法有：面积法，当被积函数为正时积分和面积相等，当被积函数为负时积分等于面积的相反数；应用公式直接找原函数的方法；利用被积函数的奇偶性得结果. 16．抛物线216y x =的准线方程是________. 【答案】4x =- 【解析】分析：利用抛物线()220y px p =>的准线方程为2p x =-，可得抛物线216y x =的准线方程. 详解：因为抛物线()220y px p =>的准线方程为2p x =-，所以抛物线216y x =的准线方程为4x =-，故答案为4x =-.点睛：本题考查抛物线的准线方程和简单性质，意在考查对基本性质的掌握情况，属于简单题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
广东省佛山市2020年高二下数学期末教学质量检测试题含解析
广东省佛山市2020年高二(下)数学期末教学质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（ ）种 A ．19B ．7C ．26D ．122．若方程2210ax x -+=在区间（-1,1）和区间（1,2）上各有一根,则实数a 的取值范围是( ) A ．31a -<< B ．314a << C ．334a -<<D ．3a <-或34a >3．若220a x dx =⎰，230b x dx =⎰，20sin c xdx =⎰，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．a c b <<4．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()40.8P ξ<=，则()04P ξ<<=( )A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.25．已知(0,)x ∈+∞有下列各式：12x x +≥，2244322x x x x x +=++≥，3327274333x x x x x x +=+++≥成立，观察上面各式，按此规律若45ax x+≥，则正数a =（ ）A ．34B ．45C ．44D ．556．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论错误的是A ．平面11D A P ⊥平面1A APB ．1APD ∠的取值范围是（0，2π] C ．11B D PC -三棱锥的体积为定值 D ．11DC D P ⊥ 7．已知函数是定义在R 上的奇函数，当时，，则( )A ．-1B ．1C ．D ．8．已知函数6,2()31,2xx x f x x +⎧=⎨->⎩，若()80f a =，则(4)f a -=（ ） A ．0B ．3C ．6D ．99．若函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠无极值点，则（ ） A ．23b ac ≤B ．23b ac ≥C ．23b ac <D ．23b ac >10．椭圆221mx ny +=与直线1x y +=相交于,A B 两点，过AB 中点M 与坐标原点连线斜率为22，则mn=（ ） A ．22B ．233C ．1D ．211．已知两个随机变量满足，且，则依次（ ）A ．， 2B ．，1C ．，1D ．，212．已知2()(ln )f x x x a a =-+,则下列结论中错误的是（ ） A ．0,0,()0a x f x ∃>∀>≥ B ．000,0,()0a x f x ∃>∃>≤． C ．0,0,()0a x f x ∀>∀>≥ D ．000,0,()0a x f x ∃>∃>≥ 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知函数11,0,()1,0,2x x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩则()f x 的最大值是______．14．已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，则111a b c++的最小值是______________． 15．若“3x >”是“x m >”的必要不充分条件，则m 的取值范围是________．16．曲线ln y x =在点()10，处的切线方程为__________. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．设数列的前n 项和为且对任意的正整数n 都有:.（1）求；（2）猜想的表达式并证明.18．已知非零向量a b ，，且a b ⊥，求证：2a b a b+≤+．19．（6分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据．x3 4 5 6 y2.5344.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+．参考公式：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑ a y bx =-20．（6分）已知平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线方程为.的参数方程为（为参数）.（1）写出曲线的直角坐标方程和的普通方程；（2）设点为曲线上的任意一点，求点到曲线距离的取值范围.21．（6分）在上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理六门学科中选择三门参加等级考试，受各因素影响，小李同学决定选择物理，并在生物和地理中至少选择一门. （1）小李同学共有多少种不同的选科方案？（2）若小吴同学已确定选择生物和地理，求小吴同学与小李同学选科方案相同的概率. 22．（8分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22222230a c b ac +-+=. （1）求cos B 的值； （2）求sin 24B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】 【分析】由题意，根据甲丙丁的支付方式进行分类，根据分类计数原理即可求出． 【详解】顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，①当甲丙丁顾客都不选微信时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人222A =种，当甲选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有112251C C +=，故有2+5=7种，②当甲丙丁顾客都不选支付宝时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人222A =种，当甲选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有112251C C +=，故有2+5=7种，③当甲丙丁顾客都不选银联卡时，若有人使用现金，则1232C A 6=,若没有人使用现金，则有2232C A 6=种，故有6+6=12种，根据分步计数原理可得共有7+7+6+6=26种， 故选C ． 【点睛】本题考查了分步计数原理和分类计数原理，考查了转化思想，属于难题. 2．B 【解析】 【分析】函数f （x ）＝221ax x -+在区间（﹣1，1）和区间（1，2）上分别存在一个零点，则()()()()110120f f f f ⎧-⎪⎨⎪⎩＜＜，解得即可． 【详解】∵函数f （x ）＝ax 2﹣2x+1在区间（﹣1，1）和区间（1，2）上分别存在一个零点，∴()()()()110120f f f f ⎧-⎪⎨⎪⎩＜＜，即()()()()3101430a a a a ⎧+-⎪⎨--⎪⎩＜＜，解得34＜a ＜1， 故选B ． 【点睛】本题考查函数零点的判断定理，理解零点判定定理的内容，将题设条件转化为关于参数的不等式组是解本题的关键．3．A【解析】分析：利用定积分，将已知,,a b c化简，即可比较大小．详解：由题意，可得223218|33a x dx x===⎰，234201|44b x dx x===⎰，22sin cos|cos21c xdx x==-=-+⎰，则23,3,12a b c<<<，所以c a b<<，故选A．点睛：本题主要考查了定积分的运算，其中根据微积分基本定理，求解,,a b c的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．4．A【解析】分析：根据随机变量服从正态分布()22,Nσ，求得其图象的对称轴2x=，再根据曲线的对称性，即可求解答案．详解：由题意，随机变量服从正态分布()22,Nσ，所以2μ=，即图象的对称轴为2x=，又由()40.8Pξ<=，则()410.80.2Pξ≥=-=，则()04Pξ<<=()140.6Pξ-≥=，故选A．点睛：本题主要考查了正态分布的应用，其中熟记正态分布的图象关于xμ=对称，利用图象的对称性求解相应的概率是解答的关键，着重考查了推理与论证能力．5．C【解析】【分析】观察上面各式,112xx+≥,22243222x xxx x+=++≥,3332734333x x xxx x+=+++≥,类比推理即可得到结果. 【详解】由题,观察上面各式可得112xx+≥,22243222x xxx x+=++≥,3332734333x x xxx x+=+++≥,则44464454444x x x x x x x+=++++≥,所以44a =, 故选:C 【点睛】本题考查类比推理,考查理解分析能力. 6．B 【解析】 【分析】根据线面位置关系进行判断． 【详解】∵11D A ⊥平面1AA P ，∴平面11D A P ⊥平面1A AP ，A 正确；若P 是1A B 上靠近1A 的一个四等分点，可证此时1D PA ∠为钝角，B 错；由于1//BP CD ，则//BP 平面11B D C ，因此11P B D C -的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，C 正确；1D P 在平面11CC D D 上的射影是直线1D C ，而11⊥D C DC ，因此11DC D P ⊥，D 正确．故选B ． 【点睛】本题考查空间线面间的位置关系，考查面面垂直、线面平行的判定，考查三垂线定理等，所用知识较多，属于中档题． 7．A 【解析】 【分析】 先求出，再利用奇函数的性质得，可得出答案。
广东省佛山市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析
广东省佛山市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知点P 为双曲线2221x y a-=上一点，则它的离心率为（）A B C D ．【答案】B 【解析】 【分析】将点P 带入求出a 的值，再利用公式c e a ==计算离心率。
【详解】 将点P 带入得21231a-=，解得23a =所以c e a ==【点睛】本题考查双曲线的离心率，属于基础题。
2．设ABC ∆是边长为2的正三角形，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，则()AB FB FC ⋅+u u u v u u u v u u u v的值为（ ） A ．1- B ．0C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】将,AB AC u u u r u u u r作为基向量，其他向量用其表示，再计算得到答案. 【详解】设ABC ∆是边长为2的正三角形，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，()()()AB FB FC AB FA AB FA AC AB AB AC AE ⋅+=⋅+++=⋅+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1(())2AB AB AC AB AC =⋅+-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 21111()1232222AB AC AB AB AC AB =⋅+=⋅+=+=u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r故答案选D【点睛】本题考查了向量的乘法，将,AB AC u u u r u u u r作为基向量是解题的关键.3．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（ ）A ．455314105322C C C A A B ．455214105233C C C A A C ．4551410522C C C AD ．45514105C C C【答案】A 【解析】 【分析】本题涉及平均分组问题，先计算出分组的方法，然后乘以33A 得出总的方法数. 【详解】先将14种计算器械分为三组，方法数有4551410522C C C A 种，再排给3个人，方法数有455314105322C C C A A 种，故选A. 【点睛】本小题主要考查简单的排列组合问题，考查平均分组要注意的地方，属于基础题.4．从混有4张假钞的10张一百元纸币中任意抽取3张，若其中一张是假币的条件下，另外两张都是真币的概率为（ ） A ．512B ．58C ．35D ．12【答案】A 【解析】分析:直接利用条件概率公式求解.详解：由条件概率公式得26291553612C P C ===.故答案为A 点睛：（1）本题主要考查条件概率，意在考查学生对条件概率的掌握水平.(2) 条件概率一般有“在A 已发生的条件下”这样的关键词，表明这个条件已经发生， 发生了才能称为条件概率.但是有时也没有，要靠自己利用条件概率的定义识别.5．分配4名工人去3个不同的居民家里检查管道，要求4名工人都分配出去，并且每名工人只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（ ） A ．34A 种 B ．3134A A 种C ．2343C A 种D ．113433C C A 种【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得，必有2名水暖工去同一居民家检查；分两步进行，①先从4名水暖工中抽取2人，②再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，由分步计数原理，计算可得答案. 【详解】解：根据题意，分配4名水暖工去3个不同的居民家里，要求4名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查；则必有2名水暖工去同一居民家检查，即要先从4名水暖工中抽取2人，有24C 种方法，再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，有33A 种情况， 由分步计数原理，可得共2343C A 种不同分配方案， 故选：C. 【点睛】本题考查排列、组合的综合应用，注意一般顺序是先分组（组合），再排列，属于中档题. 6．设命题2:,10p x R x ∀∈+>，则p ⌝为（ ）A ．200,10x R x ∃∈+> B ．2,10x R x ∀∈+≤ C ．200,10x R x ∃∈+<D ．200,10x R x ∃∈+≤【答案】D 【解析】分析：根据全称命题的否定解答.详解：由全称命题的否定得p ⌝为：200,10x R x ∃∈+≤，故答案为D.点睛：（1）本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 全称命题p ：,()x M p x ∀∈,全称命题p 的否定（p ⌝）：,()x M p x ∃∈⌝.7．设()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()(),f x g x ''分别是()(),f x g x 的导数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''+>且()60g =，则不等式()()0f x g x <的解集是（ ）A ．(6,0)(6,)-+∞UB ．(6,0)(0,6)-UC ．(,6)(0,6)-∞-UD ．(,6)(6,)-∞-+∞U【答案】C 【解析】 【分析】构造函数()()()h x f x g x =，判断函数的单调性和奇偶性，脱离f 即可求得相关解集. 【详解】根据题意，可设()()()h x f x g x =，则()h x 为奇函数，又当0x <时()()()()0f x g x f x g x ''+>，所以()h x 在R 上为增函数，且()60h -=，()()0f x g x <转化为()0h x <,当0x <时，则6x <-，当0x >，则()(6)h x h <，则06x <<，故解集是(,6)(0,6)-∞-U ，故选C. 【点睛】本题主要考查利用抽象函数的相关性质解不等式，意在考查学生的分析能力和转化能力，难度中等. 8．已知随机变量ξ~B （n ，p ），且E ξ=2.4，D ξ=1.44，则n ，p 值为（ ） A ．8，0.3 B ．6，0.4C ．12，0.2D ．5，0.6【答案】B 【解析】2.40.4(1) 1.446np p np p n ==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，选B. 9．设函数()()21,04,0x log x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()()233f f log -+=（ ）A ．9B ．11C ．13D ．15【答案】B 【解析】 【分析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案. 【详解】∵函数2log (1),0()4,0xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩， ∴()2l 23og 2(3)log 3log 44f f -+=+=2+9=1．故选B ． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题．10．已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB u u u v 在CD uuu v方向上的投影为（ ）A ．2B ．2C ．2-D ．2-【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】(2,1)AB =u u u r ，(5,5)CD =u u u r ，向量AB u u u v 在CD uuu v 方向上的投影为2AB CD CD⋅==u u u r u u u ru u u r ，故选A ． 11．有一段“三段论”，其推理是这样的：对于可导函数()f x ，若()0'0f x =，则0x x =是函数()f x 的极值点,因为函数()3f x x =满足()'00f =，所以0x =是函数()3f x x =的极值点”，结论以上推理()A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．没有错误【答案】A 【解析】 【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析其大前提的形式：“对于可导函数f （x ），如果f'（x 0）＝0，那么x ＝x 0是函数f （x ）的极值点”，不难得到结论． 【详解】对于可导函数f （x ），如果f'（x 0）＝0，且满足当x ＞x 0时和当x ＜x 0时的导函数值异号时，那么x ＝x 0是函数f （x ）的极值点，而大前提是：“对于可导函数f （x ），如果f'（x 0）＝0，那么x ＝x 0是函数f （x ）的极值点”，不是真命题，∴大前提错误， 故选A ．本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．12．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到的数据如下表所示．由表中数据求得y 关于x 的回归方程为0.6ˆ5ˆyx a =+，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线上方的概率为（ ）A ．5 B ．5 C ．5D ．无法确定【答案】B 【解析】 【分析】求出样本的中心点，计算出$a，从而求出回归直线方程，5个点中落在回归直线上方的有三个，算出概率即可。
佛山市名校2020年高二第二学期数学期末考试试题含解析
佛山市名校2020年高二第二学期数学期末考试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点,将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.则在翻折过程中，可能成立的结论的个数为( )A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.详解：对于①：因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直,则①错误；对于②：设点D在平面BCF上的射影为点P,当BP⊥CF时就有BD⊥FC, 而AD:BC:AB＝2:3:4可使条件满足,所以②正确；对于③：当点P落在BF上时, DP⊂平面BDF,从而平面BDF⊥平面BCF,所以③正确；对于④：因为点D的投影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即④错误．故选B.点睛：本题考查命题真假的判断，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.2．已知a，b，c均为正实数，则ab，bc，ca的值（）A．都大于1B．都小于1C．至多有一个不小于1D．至少有一个不小于1 【答案】D【解析】分析:对每一个选项逐一判断得解.详解：对于选项A,如果a=1,b=2,则112a b =<，所以选项A 是错误的.对于选项B,如果a=2,b=1,则21a b =>，所以选项B 是错误的.对于选项C,如果a=4,b=2,c=1,则421,2a b ==>2211b c ==>，所以选项C 是错误的.对于选项D,假设1,1,1a b cb c a<<<，则3,3a b ca b c b c a b c a ++<++≥=，显然二者矛盾，所以假设不成立，所以选项D 是正确的.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)三个数,,a b c 至少有一个不小于1的否定是 1.1, 1.a b c <<<3．用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A ．24个 B ．30个 C ．36个 D ．42个【答案】B 【解析】 【分析】利用分类计数原理，个位数字为0时有24A ；个位数字为2或4时均为1133C C ⋅，求和即可. 【详解】 由已知得：个位数字为0的偶数有24A ，个位数字为2的偶数为1133C C ⋅， 个位数字为4的偶数有1133C C ⋅，所以符合条件的偶数共有211114333330A C C C C +⋅+⋅=.故选：B 【点睛】本题考查了分类计数运算、排列、组合，属于基础题. 4．8(12)x -展开式中第5项的二项式系数为（ ） A ．56 B ．70 C ．1120 D ．-1120【答案】B 【解析】分析：直接利用二项展开式的通项公式求解即可.详解：()812x -展开式的通项公式为()()8188122,r r r rr r r T C x C x -+=-=-则()812x -展开式中第5项的二项式系数为4870.C =点睛：本题考查二项展开式的通项公式，属基础题.5．若x ，y 满足条件20402x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2【答案】A 【解析】作出约束条件20402x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩对应的平面区域（阴影部分），由z=2x ﹣y ，得y=2x ﹣z ，平移直线y=2x ﹣z ，由图象可知当直线y=2x ﹣z ， 经过点A 时，直线y=2x ﹣z 的截距最大，此时z 最小． 由 220y x y =⎧⎨-+=⎩ 解得A （0，2）．此时z 的最大值为z=2×0﹣2=﹣2， 故选A ．点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．6．在ABC ∆中，若30A =︒，2a =，3b = A ．0个 B ．1个C ．2个D ．不能确定【答案】C 【解析】 【分析】判断,sin ,a a A b ⋅的大小关系，即可得到三角形解的个数. 【详解】1sin212a A ⋅=⨯=, 1223<<,即sin a A a b ⋅<<，∴有两个三角形.故选C. 【点睛】本题考查判断三角形解的个数问题，属于简单题型.7．形状如图所示的2个游戏盘中（图①是半径为2和4的两个同心圆，O 为圆心；图②是正六边形，点P 为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球都停在阴影部分的概率是（ ）A ．116B ．18C ．16D ．14【答案】A 【解析】 【分析】先计算两个图中阴影面积占总面积的比例，再利用相互独立事件概率计算公式，可求概率. 【详解】一局游戏后，这2个盘中的小球停在阴影部分分别记为事件1A ，2A ， 由题意知，1A ，2A 相互独立，且()22121(42)34416P A ππ-==，()213P A =， 所以“一局游戏后，这2个盘中的小球都停在阴影部分”的概率为1212311()()()16316P A A P A P A ==⨯=. 故选A. 【点睛】本题考查几何概型及相互独立事件概率的求法，考查了分析解决问题的能力，属于基础题. 8．设随机变量X 的分布列为1()(1,3,5,7)4P X k k ===，则()D X =（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】分析：根据方差的定义计算即可.详解：随机变量X 的分布列为()()11,3,5,74P X k k ===，则()4,E X =则()()()()()222214143454754D X ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦ 、 故选D点睛：本题考查随机变量的数学期望和方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．9．直线0x y m -+=与圆()2212x y -+=有两个不同交点的充要条件是（ ） A ．31m -<< B ．42m -<< C ．01m << D ．1m <【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件计算圆心到直线的距离和半径进行比较，即可求出结果 【详解】圆()2212x y -+=，圆心10（，）到直线0x y m -+=，<31m ∴-<<，故选A 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，根据题意将其转化为圆心到直线的距离，然后和半径进行比较，较为基础．10．已知直线ax by c 10(b ++-=、c 0)>经过圆22x y 2y 50+--=的圆心，则41b c+的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2【答案】A 【解析】 【分析】由圆的一般方程22250x y y +--=得圆的标准方程为22(1)6x y +-=，所以圆心坐标为(0,1)，由直线10ax by c ++-=过圆心，将圆心坐标代入得1b c +=，所以41414()()59c bb c b c b c b c +=++=++≥，当且仅当4c b b c =时，即223b c ==时，等号成立，所以41b c+最小值为1 【详解】圆22x y 2y 50+--=化成标准方程，得22x (y 1)6+-=，∴圆22x y 2y 50+--=的圆心为()C 0,1，半径r 6=．直线ax by c 10++-=经过圆心C ，a 0b 1c 10∴⨯+⨯+-=，即b c 1+=，因此，()41414c b b c 5b c b c b c⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭， b 、c 0>，4c b 4c b24b c b c∴+≥⋅=，当且仅当4c b 2b c ==时等号成立．由此可得当b 2c =，即2b 3=且1c 3=时，414c b 5b c b c +=++的最小值为1． 故选A ． 【点睛】若圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->，则圆心坐标为(,)22D E--，半径22142r D E F =+- 11．已知集合2{|60}A x x x =+-<,集合1{|21}x B x -=≥,则A B ⋂= A ．[)3,2 B ．(]3,1- C ．()1,2 D ．[)1,2 【答案】D 【解析】()3,2A =-，[)1,B =+∞，则[)1,2A B ⋂=，选D .12．如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是163y x =-+，则()()55f f +'=（）A ．4B ．3C ．153D ．163【答案】A 【解析】【分析】由条件可得()3513f =，()135f '=- 【详解】因为函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是163y x =-+ 所以()3513f =，()135f '=- 所以()()55f f +'=4 故选：A 【点睛】本题考查的是导数的几何意义，较简单. 二、填空题：本题共4小题13．已知等比数列{}n a 的首项为1，且()64312a a a a +=+，则1237a a a a =__________.【答案】128 【解析】 【分析】先由等比数列的通项公式得到364312a a q a a +==+，进而得到3412a a q =⋅=，再根据等比数列的性质得到结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为()64312a a a a +=+，根据等比数列的通项公式的计算得到：364312a a q a a +==+，所以3412a a q =⋅=.由等比数列的性质得到：77123742128a a a a a ===.故答案为：128. 【点睛】这个题目考查了等比数列的通项公式的写法，以及等比数列的性质的应用，题目比较基础. 对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.14．若正实数{}n a 满足21a b +=，则12a b+的最小值为______ ． 【答案】9 【解析】 【分析】根据()12122a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式求最值. 【详解】()1212222559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 等号成立的条件是22b aa b=，即22a b =， 22210,0a b a b a b ⎧=⎪+=⎨⎪>>⎩，解得：11,33a b ==12a b∴+的最小值是9. 【点睛】本题考查了基本不等式求最值的问题，属于简单题型.基本不等式求最值，需满足“一正，二定，三相等”，这三个要素缺一不可. 15．已知随机变量()21,X N σ，且()210.4P X -<≤=，则()2P X >-=______.【答案】0.9 【解析】 【分析】根据正态分布性质计算概率． 【详解】由正态分布密度曲线知()10.5P X ≤=，又()210.4P X -<≤=，所以()20.1P X ≤-=， 所以()20.9P X >-=. 【点睛】本题考查正态分布的性质，由正态分布曲线的对称性得若()2,XN μσ，则()()P X P X μμ<=>，()()P X a P X a μμ<-=>+．16．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，则127...a a a +++=_____．【答案】2- 【解析】 【分析】令0,1x x ==分别代入等式的两边，得到两个方程，再求值. 【详解】令0x =得：01a =，令1x =得：07121...a a a a +-=+++， 712...2a a a ∴+++=-.【点睛】赋值法是求解二项式定理有关问题的常用方法.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
佛山市名校2020年高二下数学期末考试试题含解析
佛山市名校2020年高二(下)数学期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ） A ．3y x =B ．1ln|x |y = C ．sin y x = D ．||2x y =2．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（ ） A ．y x =±B ．2y x =±C ． 3y x =±D ．2y x =±3．下列点不在直线21222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)上的是( )A ．(－1，2)B ．(2，－1)C ．(3，－2)D ．(－3，2)4．若实数满足，则( ) A ．都小于0 B ．都大于0C ．中至少有一个大于0 D ．中至少有一个小于05．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5+a 7+a 9＝21，则S 13＝（ ） A ．36 B ．72C ．91D ．1826．若复数2(1iz i i=-是虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --7．l m n ，，为直线，,,αβγ为平面，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．若//m α，//n β，则//αβ B ．则m α⊥，n α⊥，则//m n C ．若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥ D ．则αβ⊥，l α⊆，则l β⊥8．已知0,0a b >>，直线1ax by +=过点()1,3，则113a b+的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．19．已知函数()331f x x x =--，若对于区间[]3,2-上的任意12,x x ，都有()()12f x f x t -≤，则实数tA ．20B ．18C ．3D ．010．用反证法证明命题“关于x 的方程30ax b +=至少有一个实根”时，要做的假设是（ ） A ．方程30ax b +=至多有一个实根 B ．方程30ax b +=至少有两个实根 C ．方程30ax b +=至多有两个实根D ．方程30ax b +=没有实根11．已知三个正态分布密度函数()()2221e2i i x i ix μσϕπσ--=（,1,2,3i =）的图象如图所示则（ ）A ．123123==μμμσσσ<>，B ．123123==μμμσσσ><，C ．123123μμμσσσ=<<=，D ．123123==μμμσσσ<<，12．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠︒＝，线段AD ，BD ，BC的中点分别为E ，F ，K ，连接EF ，FK ．现将ABD △绕对角线BD 旋转，令二面角A －BD －C 的平面角为α，则在旋转过程中有（）A ．EFK ∠≤αB ．EFK ∠≥αC ．EDK ∠≤αD ．EDK ∠≥α二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．要对如图所示的四个部分进行着色，要求相邻的两块不能用同一种颜色，现有五种不同的颜色可供选择，则共有_______种不同的着色方法.（用数字作答）①②④③14．已知非零向量,a b r满足4a b =r r ，且()2b a b ⊥+r r ，则a 与b r 的夹角为______.15．在()1(*)nx n N +∈的二项展开式中，若只有5x 的系数最大，则n =__________．16．在一个如图所示的6个区域栽种观赏植物，要求同一块区域中种同一种植物，相邻的两块区域中种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则不同的栽种方案的总数为____．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．某仪器配件质量采用M 值进行衡量，某研究所采用不同工艺，开发甲、乙两条生产线生产该配件，为调查两条生产线的生产质量，检验员每隔30min 分别从两条生产线上随机抽取一个配件，测量并记录其M 值，下面是甲、乙两条生产线各抽取的30个配件M 值茎叶图.经计算得301140.530i i x x ===∑甲，()3021112.330i i s x x ==-=∑甲，301139.530i i x y ===∑乙，()3021112.530i i s y y ==-=∑乙，其中,(1,2,3,,30)i i x y i =⋯分别为甲，乙两生产线抽取的第i 个配件的M 值.（1）若规定(3,3)M x s x s ∈-+的产品质量等级为合格，否则为不合格.已知产品不合格率需低于5%，生产线才能通过验收，利用样本估计总体，分析甲，乙两条生产线是否可以通过验收；（2）若规定(,)M x s x s ∈-+时，配件质量等级为优等，否则为不优等，试完成下面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“配件质量等级与生产线有关”？甲生产线 乙生产线 合计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.01 0.0010k2.7063.841 6.635 10.82818．如图,在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中, 1. 1.2,4,AC BC AC BC AA ⊥=== M 为侧面11AA CC 的对角线的交点, D E 、分别为棱,AB BC 的中点.(1)求证:平面MDE //平面11A BC ； (2)求二面角C ME D --的余弦值.19．（6分）同底的两个正三棱锥内接于半径为R 的球，它们的侧面与底面所成的角分别为12,.αα求： （1）侧面积的比； （2）体积的比；（3）角12αα+的最大值．20．（6分）已知矩阵12a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换将点()1,2P 变换成()4,5P '． （1）求矩阵M 的逆矩阵1M -； （2）求矩阵M 的特征向量．21．（6分）如图，四核锥P ABCD -中，90ABC BCD ︒∠=∠=，PAD ∆是以AD 为底的等腰直角三角形，224AB BC CD ===，E 为BC 中点，且11PE =（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求直线PE 与平面PAB 所成角的正弦值．22．（8分）已知函数()()()21ln 1f x x a x x =-+-+（其中a R ∈，且a 为常数）. （1）当4a =时，求函数()y f x =的单调区间；（2）若对于任意的()1,x ∈+∞，都有()0f x >成立，求a 的取值范围； （3）若方程()10f x a ++=在()1,2x ∈上有且只有一个实根，求a 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】根据函数单调性和奇偶性的性质分别对选项进行判断即可 【详解】对于A ，3y x =为奇函数，在区间(0,)+∞为单调增函数，不满足题意； 对于B, 1ln|x |y =为偶函数，在区间(0,)+∞上为单调递减的函数，故B 满足题意； 对于C,sin y x =为偶函数，在区间(0,)+∞上为周期函数，故C 不满足题意； 对于D, ||2x y =为偶函数，在区间(0,)+∞为单调增函数，故D 不满足题意； 故答案选B 【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质.先设直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切于点M ，根据题意，得到1//EM PF ，再由22114F E F F =，根据勾股定理求出2b a =，从而可得渐近线方程. 【详解】设直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切于点M ，因为12PF F ∆是以圆O 的直径12F F 为斜边的圆内接三角形，所以1290F PF ∠=o，又因为圆E 与直线2PF 的切点为M ，所以1//EM PF ，又22114F E F F =，所以144b PF b =⋅=， 因此22PF a b =+， 因此有222(2)4b a b c ++=，所以2b a =，因此渐近线的方程为2y x =±. 故选B 【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型. 3．D 【解析】 【分析】先求出直线l 的普通方程，再把点的坐标代入检验，满足则在直线l 上，否则不在. 【详解】直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0，因此点(－3，2)的坐标不适合方程x ＋y －1＝0. 故答案为D 【点睛】(1)本题主要考查参数方程和普通方程的互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 参数方程消参常用的方法有三种:加减消参、代入消参、恒等式消参法. 4．D【解析】假设a,b 都不小于0,即a≥0,b≥0,则a+b≥0,这与a+b<0相矛盾,因此假设错误,即a,b 中至少有一个小于0.根据等差数列的性质求出77a =,根据等差数列的前n 项和公式13713S a =可得. 【详解】因为{a n }为等差数列,所以5797321a a a a ++==, 所以77a =, 所以1131313()2a a S +=71322a ⨯=71313791a ==⨯=. 故选C . 【点睛】本题考查了等差数列的性质、等差数列的前n 项和.属于基础题. 6．D 【解析】 【分析】根据复数除法运算法则可化简复数得1z i =-+，由共轭复数定义可得结果. 【详解】()()()2121111i i i z i i i i +===-+--+Q 1z i ∴=-- 本题正确选项：D 【点睛】本题考查共轭复数的求解，关键是能够利用复数的除法运算法则化简复数，属于基础题. 7．B 【解析】 【分析】根据空间中平面和直线平行和垂直的位置关系可依次通过反例排除,,A C D ，从而得到结果. 【详解】A 选项：若//m n ，则α与β未必平行，A 错误B 选项：垂直于同一平面的两条直线互相平行，B 正确C 选项：垂直于同一平面的两个平面可能相交也可能平行，C 错误D 选项：l 可能与β平行或相交，D 错误本题正确选项：B本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相关命题的判定，通常通过反例，采用排除法的方式来得到结果，属于基础题. 8．A 【解析】 【分析】先得a+3b=1，再与113a b+相乘后，用基本不等式即可得出结果. 【详解】依题意得31a b +=，00a b ＞，＞，所以()1111331124333a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当2a 2b 3==，时取等号； 故选A 【点睛】本题考查了基本不等式及其应用，熟记基本不等式即可，属于基础题． 9．A 【解析】 【分析】对于区间[﹣3，2]上的任意x 1，x 2都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤t ，等价于对于区间[﹣3，2]上 的任意x ，都有f （x ）max ﹣f （x ）min ≤t ，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可得出 结论． 【详解】对于区间[﹣3，2]上的任意x 1，x 2都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤t ， 等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x ，都有f （x ）max ﹣f （x ）min ≤t ， ∵f （x ）=x 3﹣3x ﹣1，∴f′（x ）=3x 2﹣3=3（x ﹣1）（x +1）， ∵x ∈[﹣3，2]，∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，2]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减， ∴f （x ）max =f （2）=f （﹣1）=1，f （x ）min =f （﹣3）=﹣19， ∴f （x ）max ﹣f （x ）min =20， ∴t ≥20，∴实数t 的最小值是20， 故答案为A本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导，确定函数的最值是关键． 10．D 【解析】 【分析】结论“至少有一个”的反面是“至多有0个”即“一个也没有”． 【详解】假设是“关于x 的方程30ax b +=没有实根”． 故选：D. 【点睛】本题考查反证法．掌握命题的否定是解题关键．在有“至多”“至少”等词语时，其否定要注意．不能弄错． 11．D 【解析】 【分析】正态曲线关于x ＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果． 【详解】根据课本中对正太分布密度函数的介绍知道：当正态分布密度函数为()()2221ei i x i ix μσϕ--=，则对应的函数的图像的对称轴为：i μ，∵正态曲线关于x ＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，只能从A ，D 两个答案中选一个， ∵σ越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，第一个和第二个的σ相等 故选D ． 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题． 12．B【解析】 【分析】首先根据旋转前后的几何体，表示E FK ∠'和α，转化为在两个有公共底边的等腰三角形比较顶角的问题，还需考虑180α=o 和0α=o 两种特殊情况. 【详解】 如图，DEF ∆绕BD 旋转形成以圆O 为底面的两个圆锥，(O 为圆心，OE 为半径，O 为DF 的中点)，E FK EFE π∠=-∠''，E OE απ=-∠'，当180α≠o 且0α≠o 时，OEE ∆'与等腰FEE ∆'中，EE '为公共边，FE FE OE OE =>=''，EFE EOE ∴∠<∠'', E FK α∴∠'>.当180α=o 时，E FK α∠'=, 当0α=o 时，E FK α∠'>, 综上，E FK α∠'≥。
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2019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同),计划将其放在4个车库中（每个车库放2辆则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有（ ） A ．144种B ．108种C ．72种D ．36种2．已知12P(B|A)=,P(A)=35,则()P AB 等于( ) A ．56B ．910C ．215D ．1153．在平面内，点到直线的距离公式为，通过类比的方法，可求得在空间中，点到平面的距离为（ ） A ．B ．C ．D ．4．在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点13,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则tan2α=（ ）A ．3-B ．33-C ．33D ．35．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，且()()03P P a ξξ<=>-，则a =（ ）A ．2-B ．2C ．5D ．66．设函数f （x ）＝222,1()log (1),1x x a x f x x x ⎧--+<=⎨-+≥⎩，若函数f （x ）的最大值为﹣1，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣2）B ．[2，+∞）C ．（﹣∞，﹣1]D ．（﹣∞，﹣2]7．将函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()cos2g x x =的图象，则ϕ的最小值为（ ）A ．3π B ．6π C ．12πD ．24π8． (x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80B ．-40C ．40D ．809．己知为坐标原点，设、 分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，则（ ）A ．B ．1C ．2D ．410．若双曲线222:1y C x b-=的离心率大于2，则该双曲线的虚轴长的取值范围是（）A ．(1,2)B ．2)C ．3,)+∞D ．(22,)+∞11．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若2sin sin sin B A C =+，3cos 5B =，且6ABC S ∆=，则b =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．512．已知F 为抛物线24y x =的焦点，M 点的坐标为(4,0)，过点F 作斜率为1k 的直线与抛物线交于A 、B 两点，延长AM 、BM 交抛物线于C 、D 两点设直线CD 的斜率为2k ，则12k k =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．不等式4x x>的解集为__________． 14．设x ，y 满足约束条件1124x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪-⎩……„，则()222z x y =++的最小值为_______. 15．已知随机变量1~6,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()E X 的值为__________．16．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一抽取的学生人数为______名． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．互联网正在改变着人们的生活方式，在日常消费中手机支付正逐渐取代现金支付成为人们首选的支付方式. 某学生在暑期社会活动中针对人们生活中的支付方式进行了调查研究. 采用调查问卷的方式对100名18岁以上的成年人进行了研究，发现共有60人以手机支付作为自己的首选支付方式，在这60人中，45岁以下的占23，在仍以现金作为首选支付方式的人中，45岁及以上的有30人. （1）从以现金作为首选支付方式的40人中，任意选取3人，求这3人至少有1人的年龄低于45岁的概率；（2）某商家为了鼓励人们使用手机支付，做出以下促销活动：凡是用手机支付的消费者，商品一律打八折. 已知某商品原价50元，以上述调查的支付方式的频率作为消费者购买该商品的支付方式的概率，设销售每件商品的消费者的支付方式都是相互独立的，求销售10件该商品的销售额的数学期望. 18．设{a n }是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．19．（6分）已知点A(0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a>b>0)，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程. 20．（6分）已知函数()ln kf x x x=+，k ∈R . （1）若2k =，求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式2()3e f x x≥-恒成立，求实数k 的取值范围.21．（6分）某小组共有10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动1次的有2人、2次的有4人、3次的有4人.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（I ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；（II ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.22．（8分）已知412nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数之和为1024．（1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中的系数最大的项．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】 【分析】根据题意，分3步进行分析：①、在4种不同品牌的小车任取2个品牌的小车，②、将取出的2个品牌的小车任意的放进2个车库中，③、剩余的4辆车放进剩下的2个车库，相同品牌的不能放进同一个车库，分别分析每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分3步进行分析：①、在4种不同品牌的小车任取2个品牌的小车，有C 42种取法， ②、将取出的2个品牌的小车任意的放进2个车库中，有A 42种情况，③、剩余的4辆车放进剩下的2个车库，相同品牌的不能放进同一个车库，有1种情况， 则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有C 42A 42×1＝72种， 故选：C ．点睛：能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点： (1)完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可． (2)完成每一步有若干种方法．(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数． 2．C 【解析】分析：根据条件概率的计算公式，即可求解答案. 详解：由题意，根据条件概率的计算公式()()|()P AB P B A P A =， 则()()()122|3515P AB P B A P A =⋅=⨯=，故选C. 点睛：本题主要考查了条件概率的计算公式的应用，其中熟记条件概率的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 3．B 【解析】 【分析】类比得到在空间，点到直线的距离公式,再求解.【详解】类比得到在空间，点到直线的距离公式为，所以点到平面的距离为.故选：B 【点睛】本题主要考查类比推理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 4．D 【解析】 【分析】首先根据三角函数的定义求出tan α=，再求tan2α即可. 【详解】2tan 12α-==tan 2α==故选：D 【点睛】本题主要考查正切二倍角的计算，同时考查三角函数的定义，属于简单题. 5．C 【解析】 【分析】由题意结合正态分布的对称性得到关于a 的方程，解方程即可求得实数a 的值. 【详解】随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，则正态分布的图象关于直线1x =对称，结合(0)(3)P P a ξξ<=>-有()0312a +-=，解得：5a =.本题选择C 选项. 【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1. 6．D 【解析】 【分析】考虑x ≥1时，f （x ）递减，可得f （x ）≤﹣1，当x ＜1时，由二次函数的单调性可得f （x ）max ＝1+a ，由题意可得1+a ≤﹣1，可得a 的范围． 【详解】当x ≥1时，f （x ）＝﹣log 1（x+1）递减，可得f （x ）≤f （1）＝﹣1， 当且仅当x ＝1时，f （x ）取得最大值﹣1；当x ＜1时，f （x ）＝﹣（x+1）1+1+a ，当x ＝﹣1时，f （x ）取得最大值1+a ， 由题意可得1+a ≤﹣1，解得a ≤﹣1． 故选：D ． 【点睛】本题考查分段函数的最值求法，注意运用对数函数和二次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题． 7．C 【解析】 【分析】根据题意得到变换后的函数解析式，利用诱导公式求得结果 【详解】由题，向左平移(0)ϕϕ>不改变周期，故2ω=，∴平移得到()sin 2sin 22cos 233x x x ππϕϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫++=++= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 2+=+232k ππϕπ∴，12k πϕπ∴=+0ϕ>Q ，∴当0k =时，min 12πϕ=，故选C【点睛】本题考查函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，利用诱导公式完成正、余弦型函数的转化 8．C 【解析】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrrr T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-； 当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=. 故选C.【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. 9．C 【解析】 【分析】根据中位线性质得到得到答案.【详解】 如图所示：延长交于的平分线为，为中点在中，是中点， 为中点故答案选C 【点睛】本题考查了双曲线的性质，利用中位线性质将是解题的关键.10．C 【解析】 【分析】根据离心率大于2212b +>计算得到虚轴长的范围. 【详解】2e >⇒212b +>，3b >223b >故答案选C 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，虚轴长，意在考查学生的计算能力. 11．C 【解析】利用正弦定理可得:2b a c =+， ①由余弦定理可得：()2222316255b a cac a c ac =+-⨯=+-， ② 由cos 45B =，得414sin ,6525ABC B S ac ∆=∴=⨯=， ③ 由① ② ③得，4b =，故选C. 12．D 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程与抛物线方程可得12y y ，设()33,C x y ，()44,D x y ，则1124k y y =+，2344k y y =+，设AC ，BD 所在的直线方程可得1316y y =-，2416y y =-，由此可得12k k 的值． 【详解】设过点F 作斜率为1k 的直线方程为：()11y k x =-，联立抛物线C ：24y x =可得：21440y y k --=， 设A ，B 两点的坐标为：()11,x y ，()22,x y ， 则124y y =-，设()33,C x y ，()44,D x y ， 则()121221212414y y k y y y y -==+-，同理2344k y y =+，设AC 所在的直线方程为()4y m x =-，联立()244y m x y x⎧=-⎨=⎩，得24160my y m --=，1316y y ∴=-，同理，2416y y =-，则3411221212121616164y y k y y k y y y y y y --++-====++．故选：D ． 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．()0,2 【解析】 【分析】 由题意可化为4,0x x x>>，根据不等式性质化简即可求解. 【详解】由题意可知40xx x ⎧>⎪⎨⎪>⎩，即240x x ⎧>⎨>⎩，解得02x <<，所以不等式的解集()0,2， 故答案为：()0,2. 【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法，属于中档题. 14．92【解析】 【分析】先画出可行域，根据22(2)z x y =++表示可行域内的点到定点()0, 2-的距离的平方，即可求出最小值。