ch04抽样分布、第五章抽样推断(一)

P( A) = 1− P A = 1−
()
5
3
=
125
4-9
3. 事件的独立性 对事件A与 ， 定义 对事件 与B，若p(AB)=p(B)p(A)，则称它们 ， 是统计独立的，简称相互独立。 是统计独立的，简称相互独立。 已知袋中有6只红球 只白球 只红球, 只白球。 例：已知袋中有 只红球 4只白球。从袋中有放回地 取两次球,每次都取 每次都取1球 表示第i次取到红球 次取到红球。 取两次球 每次都取 球。设 Bi表示第 次取到红球。 那么， 那么， 36 6 3 P( B B ) 3
∑ P( B ) = ∑ C
k =0 k k =0
n
pq
= ∑ ( p + q) = 1
k =0
4-14
2. 连续型随机变量的概率分布 是一实数. 设X是R.V., x 是一实数 记 是 F(x)=P(X<x)。该函数就是随机变量 的分布 。该函数就是随机变量X的分布 函数。分布函数的导数称为密度函数， 函数。分布函数的导数称为密度函数，记作 p(x )。 。 性质 (1) p(x)≥0 ∞ (2) ∫ p (x ) d x = 1 −∞ P(a≤x<b) b (3) p(a < X < b) = ∫ p(x) d x
二、随机变量
随机变量X是定义在样本空间 ={ω1,ω2,…,ωn}上 随机变量 是定义在样本空间 上 的一个函数， 的一个函数，这个函数的取值随试验的结果不同而 变化。这个函数还要求满足条件：对任意的实数x， 变化。这个函数还要求满足条件：对任意的实数 ， X<x是随机事件。如果随机变量所有可能的取值是 是随机事件。 是随机事件 有限的，或可排成一列的， 有限的，或可排成一列的，这种随机变量称为离散 型随机变量； 型随机变量；另一种情况是随机变量的取值范围是 一个区间或整个数轴， 一个区间或整个数轴，这种随机变量称为连续型随 机变量。 机变量。 1. 离散型随机变量的概率分布 设离散型随机变量X的所有可能取值为 的所有可能取值为x1, x2，…, 设离散型随机变量 的所有可能取值为 ， xn, …，相应的概率为 ，相应的概率为p(x1)，p(x2),…,p(xn),…。用 ， 。 表格统一表示出来是： 表格统一表示出来是：
4-2
在随机试验中， 在随机试验中，可能出现也可能不出现的结 称之为随机事件，简称事件。 果，称之为随机事件，简称事件。试验的结 果可能是一个简单事件，也可能是一个复杂 果可能是一个简单事件， 事件。简单事件就是不可以再分解的事件， 事件。简单事件就是不可以再分解的事件， 又称为基本事件。 又称为基本事件。复杂事件是由简单事件组 合而成的事件。基本事件还可称为样本点， 合而成的事件。基本事件还可称为样本点， 设试验有n个基本事件 个基本事件， 设试验有 个基本事件，分别记为 ωi (i=1,2,…，n)。集合 ={ω1 ,ω2 , … ,ωn}称为 ， 。 称为 样本空间， 中的元素就是样本点。 样本空间， 中的元素就是样本点。
µ = E ( X ) = ∑ x i p (x i )
性质： 性质：E αX1 + βX2 =αE X1 + βE X2 其中X1， 都是随机变量 都是随机变量， ， 是任意常数 是任意常数。 其中 ，X2都是随机变量，α，β是任意常数。
(
I
)
( )
( )
4-12
定义: 离散型随机变量X的方差为 定义 离散型随机变量 的方差为 2 2 2 σ = D ( X ) = E ( X − µ ) = ∑ (xi − µ ) p ( xi ) 方差的平方根σ称为标准差。 方差的平方根 称为标准差。 称为标准差 方差σ 或标准差σ反映随机变量 反映随机变量X相对其期望 方差 2或标准差 反映随机变量 相对其期望 值的 离散程度， 越小, 离散程度，σ2或σ越小 说明期望值的代表性 越小 越好； 越大， 越好；σ2或σ越大，说明期望值的代表性越差。 越大 说明期望值的代表性越差。 性质：对于任意的α， 性质：对于任意的 ，D(αX)=α2 D(X) 成立
4-11
X x1 x2 … xn … P p(x1) p(x2) … p(xn) … 这称为离散型随机变量X的概率分布 的概率分布。 这称为离散型随机变量 的概率分布。 性质： 性质：(1) 0≤p(xi)≤1 (i=1,2, …)； ； (2) ∑ p(xi ) = 1
i
定义: 离散型随机变量X的期望值为 定义 离散型随机变量 的期望值为
x
a
a
b
4-15
4-4
（二）概率 1. 概率的定义 概率就是指随机事件发生的可能性，或称为机率， 概率就是指随机事件发生的可能性，或称为机率， 是对随机事件发生可能性的度量。 进行n次重复试 是对随机事件发生可能性的度量。 进行 次重复试 随机事件A发生的次数是 发生的次数是m次 验，随机事件 发生的次数是 次，发生的频率是 m/n，当试验的次数 很大时，如果频率在某一数值 很大时， ，当试验的次数n很大时 p附近摆动，而且随着试验次数 的不断增加，频率 附近摆动， 的不断增加， 附近摆动 而且随着试验次数n的不断增加 的摆动幅度越来越小，则称p为事件 发生的概率， 为事件A发生的概率 的摆动幅度越来越小，则称 为事件 发生的概率， 记为： 记为：P(A)=p。在古典概型场合 即基本事件发生的 。在古典概型场合, 概率都一样的场合: 概率都一样的场合 m A包含的样本点个数 A的有利场合数 = P( A) = = 样本点总数 n 样本点总数
第四章 抽样与抽样分布
频率、 第一节 频率、概率与概率分布 第二节 抽样分布
4-1
频率、 第一节 频率、概率与概率分布
一、随机事件与概率 （一）随机试验与事件 随机现象的特点是：在条件不变的情况下， 随机现象的特点是：在条件不变的情况下，一系列 的试验或观测会得到不同的结果， 的试验或观测会得到不同的结果，并且在试验或观 测前不能预见何种结果将出现。 测前不能预见何种结果将出现。对随机现象的试验 或观测称为随机试验，它必须满足以下的性质： 或观测称为随机试验，它必须满足以下的性质： （1）每次试验的可能结果不是唯一的； ）每次试验的可能结果不是唯一的； （2）每次试验之前不能确定何种结果会出现； ）每次试验之前不能确定何种结果会出现； （3）试验可在相同条件下重复进行。 ）试验可在相同条件下重复进行。
P ( B1 ) = P ( B2 ) = 10 = 5
P ( B2 B1 ) =
1 2
P( B1 )
=
100 = 3 5 5
，也就是说， 也就是说， B1,B2相互独立。从题目条件看，这一结论是显然的。 相互独立。从题目条件看，这一结论是显然的。
4-10
3 3 P ( B1 B2 ) = P ( B2 B1 ) P ( B1 ) = × = P ( B1 ) P ( B2 ) 因此， 因此， 5 5
4-3
例：投掷一粒均匀的六面体骰子，出现的点 投掷一粒均匀的六面体骰子， 数有可能是1、 、 、 、 、 共六种 共六种。 数有可能是 、2、3、4、5、6共六种。这六 种结果是基本结果，不可以再分解成更简单 种结果是基本结果， 的结果了， 的结果了，所以 ={1，2，3，4，5，6}为该 ， ， ， ， ， 为该 试验的样本空间。 出现点数是奇数” 试验的样本空间。“出现点数是奇数”这一 事件就不是简单事件，它是由基本事件{1}， 事件就不是简单事件，它是由基本事件 ， {3}和{5}组合而成的。我们通常用大写字母 ， 组合而成的。 和 组合而成的 我们通常用大写字母A， B，C，…来表示随机事件，例如，设A表示 来表示随机事件， ， ， 来表示随机事件 例如， 表示 出现点数是奇数” “出现点数是奇数”，则A={1，3，5}；设B ， ， ； 表示“出现点数是偶数” 表示“出现点数是偶数”，则B={2，4，6}。 ， ， 。
4-7
2. 概率的基本性质
性质1 1≥P(A)≥0。 性质 。 性质2 P( )=1。 性质 。 性质3 若事件 与事件 互不相容，即AB=Ф， 若事件A与事件 互不相容， 与事件B互不相容 性质 ， 则P(A∪B)=P(A)+P(B)。 ∪ 。 推论1 不可能事件的概率为 ，即：P(Ф)=0。 不可能事件的概率为0， 推论 。 推论2 P( A )=1-P(A), A 表示 的对立事件，即 表示A的对立事件 的对立事件， 推论 它们二者必有一事件发生但又不能同时发生。 它们二者必有一事件发生但又不能同时发生。
4-5Βιβλιοθήκη 例：设一个袋子中装有白球2个，黑球 个。(1) 设一个袋子中装有白球 个 黑球3个 从中随机摸出1只球 只球， 从中随机摸出 只球，问刚好是白球的概率有 多大？ 从中随机摸出2只球 一问2只球 只球， 多大？ (2) 从中随机摸出 只球，一问 只球 都是白球的概率有多大? 二问2只球一白一黑 都是白球的概率有多大 二问 只球一白一黑 的概率有多大? 三问2只球都是黑球的概率有 的概率有多大 三问 只球都是黑球的概率有 多大? 多大 由于摸出的任何1只球都形成一个基 解：(1) 由于摸出的任何 只球都形成一个基 本事件，所以样本点总数为n=5。用A表示摸 本事件，所以样本点总数为 。 表示摸 出的是白球事件， 由两个基本点组成， 出的是白球事件，则A由两个基本点组成，即 由两个基本点组成 A={白球，白球 ，有利场合数 白球， 白球 白球}，有利场合数m=2。因此， 。因此， 刚好摸出白球的概率为P(A)=m/n=2/5=0.4 刚好摸出白球的概率为
4-8
只黑球和1只白球 例：袋中装有4只黑球和 只白球，每次从袋中随机 袋中装有 只黑球和 只白球， 地摸出1只球 并换入1只黑球 连续进行， 只球， 只黑球。 地摸出 只球，并换入 只黑球。连续进行，问第三 次摸到黑球的概率是多少？ 次摸到黑球的概率是多少？ 解: 记A为“第三次摸到黑球”，则 为“第三次 为 第三次摸到黑球” A A 摸到白球” 先计算P( )。 摸到白球”。先计算 。 由于袋中只有1只白球 如果某一次摸到了白球， 只白球， 由于袋中只有 只白球，如果某一次摸到了白球，换 入了黑球，则袋中只有黑球了。所以相当于第一、 入了黑球，则袋中只有黑球了。所以相当于第一、 第二次都是摸到黑球，第三次摸到白球。 第二次都是摸到黑球，第三次摸到白球。注意这是 一种有放回的摸球，样本点总数为53， 一种有放回的摸球，样本点总数为 ，有利场合数 是42×1。故： 2 × 。 4 ⋅1 16 P( A )= 5 3 = 125 ， 所以 42 ⋅1 109