2019届中考数学专题复习圆_直线与圆的位置关系专题训练201903111149
(word完整版)2019年全国中考数学真题分类汇编40：直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系一、选择题1.（2019年重庆市）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O 交于点D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【考点】切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余、三角形的外角性质【解答】解：∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵∠C＝50°，∴∠ABC＝40°，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABC＝40°，∴∠AOD＝∠ODB+∠ABC＝80°；故选：C．2. （2019年云南省）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（）A.4B.6.25C.7.5D.9【考点】切线的性质、勾股定理、正方形的判定【解答】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB 2+AC 2=BC 2，∴△ABC为直角三角形，且∠A=90°，∵⊙O为△ABC内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF ，∴四边形AEOF 为正方形，设⊙O的半径为r ，∴OE=OF=r，∴S 四边形AEOF =r ²，连接AO ，BO ，CO ，∴S △ABC =S △AOB +S △AOC +S △BOC ，∴AC AB BC AC AB ⋅=++21)(21，∴r=2，∴S 四边形AEOF =r ²=4，故选A 3.（2019年广西贺州市）如图，在△ABC 中，O 是AB 边上的点，以O 为圆心，OB 为半径的⊙O 与AC 相切于点D ，BD 平分∠ABC ，AD ＝OD ，AB ＝12，CD 的长是（ ）A ．2B ．2C ．3D ．4【考点】切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐角三角函数的定义【解答】解：∵⊙O 与AC 相切于点D ，∴AC ⊥OD ，∴∠ADO ＝90°，∵AD ＝OD ， ∴tan A ＝＝，∴∠A ＝30°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠OBD ＝∠CBD ，∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ，∴∠ODB ＝∠CBD ，∴OD ∥BC ，∴∠C ＝∠ADO ＝90°，∴∠ABC ＝60°，BC ＝AB ＝6，AC ＝BC ＝6， ∴∠CBD ＝30°，∴CD ＝BC ＝×6＝2；故选：A ．4.（2019年乐山市）如图5，抛物线4412-=x y 与x 轴交于A 、B 两点，P 是以点C （0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连结OQ .则线段OQ 的最大值是（ ）()A 3 ()B 241 ()C 27 ()D 4 【考点】切线的性质、二次函数的性质、勾股定理【解答】因为抛物线4412-=x y 与x 轴交于A 、B 两点，所以A （-4,0），B （4,0），即OA=4.又因为P 在圆C 上，且半径为2，即CP=2,OC=3，Q 是AP 上的中点.所以当AP 与圆C 相切时OQ 最大。
2019届中考数学专题复习圆_直线与圆的位置关系专题训练201903111149
圆—直线与圆的位置关系1. 已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是( )2. 已知，⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为( )A.0个B.1个C.2个D.无法确定3.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA.PB，切点分别为A.B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB 的长是( )A.4B.8C.4 3D.8 34.如图，点P在⊙O外，PA.PB分别与⊙O相切于A.B两点，∠P＝50°，则∠AOB等于( )A.150°B.130°C.155°D.135°5.直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为5，则半径r的取值范围是( )A. r＞5B. r＝5C.0＜r＜5D.0＜r≤56.如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2.若∠OBA＝30°，则OB的长为( )A.4 3B.4C.2 3D.27. 如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA.CD是⊙O的切线，A.D为切点，连接BD.AD，若∠ACD＝30°，则∠DBA的大小是( )A.15°B.30°C.60°D.75°8. 已知，⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为( )A.0个B.1个C.2个D.无法确定9. 已知直线l与⊙O相切，若圆心O到直线l的距离是5，则⊙O的半径是.10. 已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是4cm，则直线l与⊙O的位置关系是.11. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝4cm.以点C为圆心，以3cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是.12. 已知⊙O的半径是5，圆心O到直线AB的距离为2，则⊙O上有且只有个点到直线AB的距离为3.13. ⊙O的半径为R，圆心O到直线l的距离为d.若D.R是方程x2－8x＋16＝0的两个实数根，则直线l 和圆O的位置关系是.14. 如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可知：(1)当d＝3时，m＝；(2)当m＝2时，d的取值范围是.15. 如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A.B两点，PC切半圆于点C.已知PC＝3，PB＝1，该半圆的半径为.16. 如图，在直角坐标系中，点O′的坐标为(2,0)，⊙O′与x轴相交于原点和点A，又B.C.E三点的坐标分别为(－1,0)，(0,3)，(0，b)，且0＜b＜3.(1)求点A的坐标和经过B.C两点的直线的解析式；(2)当点E在线段OC上移动时，直线BE与⊙O有哪几种位置关系？求出每种位置关系时b的取值范围.17. 如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD.(1)求证：BD平分∠ABH；(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离.18. 如图，等腰△OAB中，OA＝OB，以点O为圆心作圆与底边AB相切于点C.求证：AC＝BC.19. 如图，PA.PB是⊙O的切线，A.B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°.(1)求∠BAC的度数；(2)当OA＝2时，求AB的长.20. 如图，⊙O经过菱形的三个顶点A.C.D，且与AB相切于点A.(1)求证：BC 为⊙O 的切线；(2)求∠B 的度数.参考答案：1—8 BCBBA BDC9. 510. 相离11. 相交12. 313. 相切14. (1) 1(2) 1＜d ＜315. 416. 解：(1)A(4,0)，y ＝3x ＋3；(2)直线BE 与⊙O′有三种位置关系，即直线BE 与⊙O′相切时，b ＝255；直线BE 与⊙O′相交时，0＜b ＜255；直线BE 与⊙O′相离时，255＜b ＜3. 17. 解：(1)证明：连接OD.∵EF 是⊙O 的切线，∴OD ⊥EF.又∵BH ⊥EF ，∴OD ∥BH.∴∠ODB ＝∠DBH.而OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD.∴∠OBD ＝∠DBH ，∴BD 平分∠ABH ；(2)过点O作OG⊥BC于点G，则BG＝CG＝4.在Rt△OBG中，OG＝OB2－BG2＝62－42＝2 5.所以圆心O 到BC的距离为2 5.18. 解：连结OC，∵AB切⊙O于点C，∴OC⊥AB.∵OA＝OB，∴AC＝BC.19. 解：(1)∵PA.PB是⊙O的切线，∴AP＝BP，∵∠P＝60°，∴∠PAB＝60°，∵AC是⊙O的直径，∴∠PAC＝90°，∴∠BAC＝90°－60°＝30°；(2)连接OP，则在Rt△AOP中，OA＝2，∠APO＝30°，∴OP＝4，由勾股定理得：AP＝23，∵AP＝BP，∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形，∴AB＝AP＝2 3.20. 解：(1)证明：如图，连接AO、CO、BO，∵AB是⊙O的切线，∴OA⊥AB.∴∠BAO＝90°.∵四边形ABCD 是菱形，∴AB＝BC.∵AO＝CO，BO＝BO，∴△BAO≌△BCO.∴∠BAO＝∠BCO＝90°，即OC⊥BC.∴BC为⊙O 的切线；(2)由圆周角定理可得∠AOC＝2∠D.由菱形的性质可得∠B＝∠D，∴∠AOC＝2∠B.在四边形ABCO中，∠B ＋∠AOC＝360°－∠BCO－∠BAO＝180°，∴∠B＝60°.。
2019届中考数学复习 专题33 直线与圆的位置关系试题(A卷,含解析).doc
2019届中考数学复习 专题33 直线与圆的位置关系试题（A 卷，含解析）一、选择题1. (浙江衢州，9，3分)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A ＝30°，则sin ∠E 的值为( ) A.12B.2C.2D.3【答案】A.【逐步提示】要求sin ∠E 的值，可寻求直角三角形，或求得∠E 的大小即可，于是由EC 是⊙O 的切线，此时可连接OC ，得到OE ⊥CE ，即△ECO 是直角三角形，且∠ECO ＝90°，又由OA ＝OC ，∠A ＝30°，得到∠EOC ＝60°，从而有∠E ＝30°，进而求解.【解析】连接OC ，∵EC 是⊙O 的切线，∴OE ⊥CE ，即△ECO 是直角三角形，且∠ECO ＝90°，又∵OA ＝OC ，∠A ＝30°，∴∠EOC ＝60°，即∠E ＝30°，∴sin ∠E ＝sin ∠30°＝12，故选择A . 【解后反思】利用圆的切线性质求得∠E 的大小是求解问题的关键. 【关键词】圆的切线、锐角三角函数(浙江台州，10，4分)如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是( ) A ．6 B ．1132 C ．9 D ．332【答案】C【逐步提示】第一步：不在圆上的一个点和圆上的一个点，求最长距离、最短距离的方法都是把不在圆上的那个点和圆心相连接画直线，那么与圆会有两个交点，如图1，PB 的长度就是最短离，PC 的长度就是最长距离.本题中P 、Q 都是动点，通过观察可以判断当P 与B 重合，如图2的位置，PQ 最长，如图3，过点O ，作OP⊥BC 时，PQ 最短.第二步：在图2中，先求出OB 的长度，作OM⊥AC，利用中位线的性质，求出OM 的长度，就求出了圆的半径,由PQ ＝OB ＋OQ 即可算出PQ 的最长长度；在图3中，连接OC ，由等腰三角形三线合一，可以求出BP 的长度，再由勾股定理求出OP 的长度，由PQ ＝OP –OQ 即可算出PQ 的最短长度；把两者相加，就求出了PQ 长的最大值与最小值的和.第10题图1【解析】 如图2，当P 与B 重合时，作射线PO 交半圆于点Q ，则PQ 最长， 作OM⊥AC，∵△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6， ∴△ABC 是直角三角形，且∠C＝90°， ∴OM// BC∵O 是AB 中点， ∴OM＝3，OB ＝5， ∴最长PQ ＝8，如图3，作OP⊥BC，PQ 最短 连接OC ，∵Rt△ABC，O 是AB 中点，AB ＝10， ∴OC＝OB ＝5， ∴132BP BC == ∴4OP =， ∴最短PQ ＝OP –OQ ＝4–3＝1， ∴8＋1＝9. 故答案为C .【解后反思】构图能力很重要，只有熟练掌握不在圆上的一个点和圆上的一个点，求最长距离、最短距离的方法，才能想到怎么去画图，这是解这一题的基础，把图想好了，下面的解题都不难了. 【关键词】点和圆的位置关系 ；中位线；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；二、填空题1. （ 山东泰安，22，3分）如图，半径为3的⊙O 与Rt △AOB 的斜边AB 切于点D ，交OB 于点C ，连接CD 交直线OA 于点E ，若∠B ＝30°，则线段AE 的长为 .图3(P )图2图3(P )图2【逐步提示】本题考查了切线的性质及解直角三角形，解题的关键是利用切线的性质构造直角三角形求解．连接OD ，因为AB 切⊙O 于D ，所以OD ⊥AB ，又知道半径为3，∠B ＝30 °，所以∠DOC ＝60 °，OB ＝2OD ，所以△COD 为等边三角形，∠OCD ＝60 °，然后在Rt △AOB 中利用tan30°＝OAOB求出OA ，在Rt △COE 中利用tan60°＝OEOC求出OE ，OE －OA 即为AE ． 【详细解答】解：连接OD ，∵AB 切⊙O 于D ，∴OD ⊥AB ，∵∠B ＝30 °，OD ＝3，∴OB ＝2OD ＝6，∠DOC ＝60 °，∵OD ＝OC ，∴△COD 为等边三角形，∴∠OCD ＝60 °， 在Rt △AOB ，tan B ＝OA OB6OA ，∴OA＝，在Rt △COE 中，tan ∠OCE ＝OE OC， 3OE＝，∴OE＝AE ＝OE －OA＝【解后反思】解答本题时易出现以下错误：利用特殊角的锐角三角函数值计算时出现错误，一定要熟记特殊角的第22题图第22题图2. （山东淄博，17，4分）如图，⊙O 的半径为2，圆心O 到直线l 的距离为4．有一内角为60°的菱形，当菱形的一边在直线l 上，另有两边所在的直线恰好与⊙O 相切，此时菱形的边长为.【答案】【逐步提示】本题考查切线的性质，菱形，解直角三角形，解题关键是掌握相关图形的性质，并能灵活添加辅助线. 先画出符合题意的图形，再添加辅助线求解即可. 过点O 作直线l 的垂线，交AD 于E ，交BC 于F ，过点A 作AG ⊥l 于G . 根据题意求出EF 的长，得到AG 的长，最后利用三角函数计算即可．【详细解答】解：过点O 作直线l 的垂线，交AD 于E ，交BC 于F ，过点A 作AG ⊥l 于G ， 由题意得，EF =2+4=6.∵四边形AGFE 为矩形，∴AG =EF =6. 在Rt △ABG 中，AB =sin AG B=．故填.【解后反思】本题考查切线的性质和菱形的性质，根据题意正确画出图形、灵活运用解直角三角形的知识是解题的关键．【关键词】切线的性质，菱形，解直角三角形.3. （ 四川泸州，16，3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A （1,0），B （1-a,0）,C(1+a ，0)(a ＞0)，点P 在以D （4,4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a 的最大值是_______.【答案】6 【逐步提示】连接AD 并延长交⊙D 与点P ，则此时a 的值最大.然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，以及勾股定理的知识求出AP 的长，从而求出a 的最大值. 【详细解答】解：如图：连接AD 并延长交⊙D 与点P ，过点D 作DE ⊥x 轴，则DE=4，AE=3，所以AD=5，所以AP=6，又因为点A 是BC 的中点，且∠BPC=90°所以AP=AC=AB=6,所以OC=7,又因为点C （1+a ，0），所以1+a=7，所以a=6，故答案为6.【解后反思】确定出点P在什么位置时a的值最大是解决本题的关键.由于直接三角形斜边的中线等于斜边的一半，所以当AP最大时，a的值最大，从而确定出点P的位置.【关键词】直角三角形斜边的中线等于斜边的一般；勾股定理；直线和圆的位置关系三、解答题1.．（山东东营，21，8分）如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD=∠ACB．(1)求证：AB是圆的切线；(2)若点E是BC上一点，已知BE=4，tan∠AEB=53，AB∶BC=2∶3，求圆的直径．【逐步提示】(1)由圆周角定理的推论得出∠ACB+∠DBC=90°，再由∠ABD=∠ACB，等量代换得出AB⊥BC，即AB 是圆的切线．(2)在Rt△AEB中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再由AB∶BC=2∶3，求出BC的长，即圆的直径．【详细解答】解：（1）证明：∵BC是直径，∴∠BDC=90º，∴∠ACB+∠DBC=90º，又∵∠ABD=∠ACB，∴∠ABD+∠DBC=90º，∴AB⊥BC，…………………………………………3分又∵点B在圆上，∴AB是圆的切线. ……………………………………………..4分（2）解：在Rt△AEB中，tan∠AEB=53，∴53ABBE=，即AB=53BE=53×4=203，……………………………………………………6分在Rt△ABC中，23ABBC=，∴BC=332010223AB=⨯=, …………………………………7分∴圆的直径为10. …………………………………………………………………………….8分【解后反思】解决与圆有关的问题，要充分关注与圆有关的条件带来的结论．常见的有以下几种：【关键词】切线的判定；锐角三角函数2. （山东菏泽，21，10分）如图，直角△ABC 内接于⊙O ，点D 是直角△ABC 斜边AB 上的一点，过点D 作AB 的垂线交AC 于E ，过点C 作∠ECP ＝∠AED ，CP 交DE 的延长线于点P ，连结PO 交⊙O 于点F ． （1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）若PC ＝3，PF ＝1，求AB 的长．【逐步提示】（1）由于点C 在⊙O 上，故连结OC ，只需证明OC ⊥PC ，这可通过角的等量转换，借助∠A ＋∠AED =90°得到；（2）在Rt △OCP 中利用勾股定理先求半径OC 的长，进而可得直径AB 的长． 【详细解答】解：（1）证明：如图，连结OC ．∵直角△ABC 内接于⊙O ，∴圆心O 是斜边AB 的中点． ∵OA =OC ，∴∠A =∠OCA ．∵PD ⊥AB ，∴∠A ＋∠AED =90°．又∵∠ECP =∠AED ，∴∠A ＋∠ECP =90°，∴∠OCA ＋∠ECP =90°，即∠OCP =90°． ∴OC ⊥PC ，∴PC 是⊙O 的切线．（2）解：设⊙O 的半径为r ，由（1）得OC ⊥PC ，在Rt △OCP 中，根据勾股定理，得 OC 2＋PC 2=OP 2，即r 2＋32=( r ＋1)2，解得r =4． ∴直径AB 的长为8． 【解后反思】（1）判定圆的切线的方法有：①直线与圆只有一个公共点；②若已知直线与圆有公共点，则连结过该点的半径，证明这条半径与直线垂直；③若题意没有说明直线与圆有公共点，那么过圆心作该直线的垂线段，证明它等于半径．（2）相似三角形、勾股定理，等腰三角形，特殊四边形，锐角三角形函数等知识常融于圆中进行综合应用，证BB明角或线段相等以及求值问题，因此，遇到该类问题，多注意探究图形里面所蕴含的相似三角形与直角三角形，利用方程思想，联想相关知识则助于解证思路的沟通．【关键词】切线的判定与性质；勾股定理；等腰三角形的性质；解一元一次方程；方程思想3. (山东威海，22，9)(9分)如图，在△BCE中，点A是边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，F为OC与⊙O的交点，连接AF.(1)求证：CB是⊙O的切线；(2)若∠ECB=60°，AB=6，求图中阴影部分的面积.第22题图第22题图【逐步提示】(1)连接OD，可证得∠CBO=∠CDO=90°，则OB⊥BC，从而说明CB是⊙O的切线；(2)OD、AF交于点G，把图中阴影部分的面积通过“割”、“补”，使其转化规则图形。
2019-2020年中考数学专题复习训练 直线和圆的位置关系
B CA第3题图2（第6题）2019-2020年中考数学专题复习训练 直线和圆的位置关系一、选择题1．如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D 是⊙C上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是( )A ．2 B ．1 C ．22-D ．22．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为A ．2B ．3 CD ．第1题 第2题3．如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC = 4 cm ，以点C 为圆心，以2 cm 的长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是（ ）． A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．相切或相交 4．下列命题中，真命题是( )A ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B ．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形C ．圆的切线垂直于经过切点的半径D ．垂直于同一直线的两条直线互相垂直5．如图，在AABC 中，AB=BC=2，以AB 为直径的⊙0与BC 相切于点B ，则AC 等于( ) A ．2 B．3 c ．22 D ．236．如图，直线l 1∥l 2，⊙O 与l 1和l 2分别相切于点A 和点B ．点M 和点N 分别是l 1和l 2上的动点，MN 沿l 1和l 2平移．⊙O 的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误．．的是（ ）． （A）3MN =（B ）若MN 与⊙O 相切，则AM =（C ）若∠MON ＝90°，则MN 与⊙O 相切 （D ）l 1和l 2的距离为27．如图，PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等于（）A.60°B.90°C.120°D.150°8．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形C．圆的切线垂直于经过切点的半径D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直9．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、3为半径的圆，一定（）A.与x轴相切，与y轴相切B.与x轴相切，与y轴相C.与x轴相交，与y轴相切D.与x轴相交，与y轴相10．如图，⊙O的圆心到直线l的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线l向右（垂直于l 的方向）平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是（）A．1 cm，B．2 cm，C．4cm，D．2 cm或4cm二、填空题1．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点，若两圆的半径分别为3cm和5cm，则AB的长为 cm。
2019年全国各地中考数学试题分类汇编之专题31 点直线与圆的位置关系(含解析)
点直线与圆的位置关系一.选择题1. （2019•江苏苏州•3分）如图，AB 为O ⊙的切线，切点为A ，连接AO BO 、，BO 与O ⊙交于点C ，延长BO 与O ⊙交于点D ，连接AD ，若36ABO ∠=o ，则ADC ∠的度数为（）A ．54oB ．36oC ．32oD ．27oD【分析】主要考察圆的切线性质、三角形的内角和等，中等偏易题型【解答】切线性质得到90BAO ∠=o903654AOB ∴∠=-=o o oOD OA =QOAD ODA ∴∠=∠AOB OAD ODA ∠=∠+∠Q27ADC ADO ∴∠=∠=o故选D2. （2019•湖北天门•3分）如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，弦AD ∥OC ，直线CD 交BA 的延长线于点E ，连接B D ．下列结论：①CD 是⊙O 的切线；②CO ⊥DB ；③△EDA ∽△EBD ；④ED •BC ＝BO•BE ．其中正确结论的个数有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【分析】由切线的性质得∠CBO ＝90°，首先连接OD ，易证得△COD ≌△COB （SAS ），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO ＝90°，即可证得直线CD 是⊙O 的切线，根据全等三角形的性质得到CD ＝CB ，根据线段垂直平分线的判定定理得到即CO ⊥DB ，故②正确；根据余角的性质得到∠ADE ＝∠BDO ，等量代换得到∠EDA ＝∠DBE ，根据相似三角形的判定定理得到△EDA∽△EBD，故③正确；根据相似三角形的性质得到，于是得到ED•BC＝BO•BE，故④正确．【解答】解：连结DO．∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∴∠CBO＝90°，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠CO D．又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠CO B．在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO＝90°．又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；故①正确，∵△COD≌△COB，∴CD＝CB，∵OD＝OB，∴CO垂直平分DB，即CO⊥DB，故②正确；∵AB为⊙O的直径，DC为⊙O的切线，∴∠EDO＝∠ADB＝90°，∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠ADE＝∠BDO，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠EDA＝∠DBE，∵∠E＝∠E，∴△EDA∽△EBD，故③正确；∵∠EDO＝∠EBC＝90°，∠E＝∠E，∴△EOD∽△ECB，∴，∵OD＝OB，∴ED•BC＝BO•BE，故④正确；故选：A．【点评】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键．3.（2019▪黑龙江哈尔滨▪3分）如图，P A.PB分别与⊙O相切于A.B两点，点C为⊙O上一点，连接A C.BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（）A．60°B．75°C．70°D．65°【分析】先利用切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．【解答】解：连接O A.OB，∵P A.PB分别与⊙O相切于A.B两点，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣50°＝130°，∴∠ACB＝∠AOB＝×130°＝65°．故选：D．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．二.填空题1 （2019•江苏连云港•3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是3．【分析】先判断出最大时，BE最大，再用相似三角形的性质求出BG，HG，CH，进而判断出HM最大时，BE最大，而点M在⊙C上时，HM最大，即可HP'，即可得出结论．【解答】解：如图，过点P作PE∥BD交AB的延长线于E，∴∠AEP＝∠ABD，△APE∽△ATB，∴，∵AB＝4，∴AE＝AB+BE＝4+BE，∴，∴BE最大时，最大，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，过点C作CH⊥BD于H，交PE于M，并延长交AB于G，∵BD是⊙C的切线，∴∠GME＝90°，在Rt△BCD中，BD＝＝5，∵∠BHC＝∠BCD＝90°，∠CBH＝∠DBC，∴△BHC∽△BCD，∴，∴，∴BH＝，CH＝，∵∠BHG＝∠BAD＝90°，∠GBH＝∠DBA，∴△BHG∽△BAD，∴＝，∴，∴HG＝，BG＝，在Rt△GME中，GM＝EG•sin∠AEP＝EG×＝EG，而BE＝GE﹣BG＝GE﹣，∴GE最大时，BE最大，∴GM最大时，BE最大，∵GM＝HG+HM＝+HM，即：HM最大时，BE最大，延长MC交⊙C于P'，此时，HM最大＝HP'＝2CH＝，∴GP'＝HP'+HG＝，过点P'作P'F∥BD交AB的延长线于F，∴BE最大时，点E落在点F处，即：BE最大＝BF，在Rt△GP'F中，FG＝＝＝＝，∴BF＝FG﹣BG＝8，∴最大值为1+＝3，故答案为：3．【点评】此题主要考查了矩形的性质，圆的切线的性质，相似三角形的性质，构造出相似三角形是解本题的关键．2（2019•山东省济宁市•3分）如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O 与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC＝，AC＝3．则图中阴影部分的面积是．【考点】圆的切线【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，再证明BD＝BC，进而由AD＝AB﹣BD可求出AD的长度；利用特殊角的锐角三角函数可求出∠A的度数，则圆心角∠DOA的度数可求出，在直角三角形ODA中求出OD的长，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．【解答】解：在Rt△ABC中，∵BC＝，AC＝3．∴AB＝＝2，∵BC⊥OC，∴BC是圆的切线，∵⊙O与斜边AB相切于点D，∴BD＝BC，∴AD＝AB﹣BD＝2﹣＝；在Rt△ABC中，∵sinA＝＝＝，∴∠A＝30°，∵⊙O与斜边AB相切于点D，∴OD⊥AB，∴∠AOD＝90°﹣∠A＝60°，∵＝tanA＝tan30°，∴＝，∴OD＝1，∴S阴影＝＝．故答案是：．【点评】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键．3.（2019▪广西池河▪3分）如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝76°．【分析】由切线的性质得出P A＝PB，P A⊥OA，得出∠P AB＝∠PBA，∠OAP＝90°，由已知得出∠PBA＝∠P AB＝90°﹣∠OAB＝52°，再由三角形内角和定理即可得出结果．【解答】解：∵P A，PB是⊙O的切线，∴P A＝PB，P A⊥OA，∴∠P AB＝∠PBA，∠OAP＝90°，∴∠PBA＝∠P AB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°，∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°；故答案为：76．【点评】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；利用切线的性质来解答问题时，解此类问题的一般思路是利用直角来解决问题．4. （2019•湖南岳阳•4分）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A.B两点分别作PE的垂线A C.BD，垂足分别为C.D，连接AM，则下列结论正确的是①②④．（写出所有正确结论的序号）①AM平分∠CAB；②AM2＝AC•AB；③若AB＝4，∠APE＝30°，则的长为；④若AC＝3，BD＝1，则有CM＝DM＝．【分析】连接OM，可证OM∥AC，得出∠CAM＝∠AMO，由OA＝OM可得∠OAM＝∠AMO，故①正确；证明△ACM∽△AMB，则可得出②正确；求出∠MOP＝60°，OB＝2，则用弧长公式可求出的长为，故③错误；由BD∥AC可得PB＝，则PB＝OB＝OA，得出∠OPM＝30°，则PM＝2，可得出CM＝DM＝DP＝，故④正确．【解答】解：连接OM，∵PE为⊙O的切线，∴OM⊥PC，∵AC⊥PC，∴OM∥AC，∴∠CAM＝∠AMO，∵OA＝OM，∠OAM＝∠AMO，∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确；∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，∴△ACM∽△AMB，∴，∴AM2＝AC•AB，故②正确；∵∠APE＝30°，∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝4，∴OB＝2，∴的长为，故③错误；∵BD⊥PC，AC⊥PC，∴BD∥AC，∴，∴PB＝，∴，BD＝，∴PB＝OB＝OA，∴在Rt△OMP中，OM＝＝2，∴∠OPM＝30°，∴PM＝2，∴CM＝DM＝DP＝，故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查圆知识的综合应用，涉及切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质、弧长公式、含30度直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题．三.解答题1. （2019•湖南长沙•10分）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．【分析】（1）令y＝0，可得ax（x+6）＝0，则A点坐标可求出；（2）①连接PC，连接PB延长交x轴于点M，由切线的性质可证得∠ECD＝∠COE，则CE＝DE；②设OE＝m，由CE2＝OE•AE，可得，由∠CAE＝∠OBE可得，则，综合整理代入可求出的值．【解答】解：（1）令ax2+6ax＝0，ax（x+6）＝0，∴A（﹣6，0）；（2）①证明：如图，连接PC，连接PB延长交x轴于点M，∵⊙P过O、A.B三点，B为顶点，∴PM⊥OA，∠PBC+∠BOM＝90°，又∵PC＝PB，∴∠PCB＝∠PBC，∵CE为切线，∴∠PCB+∠ECD＝90°，又∵∠BDP＝∠CDE，∴∠ECD＝∠COE，∴CE＝DE．②解：设OE＝m，即E（m，0），由切割线定理得：CE2＝OE•AE，∴（m﹣t）2＝m•（m+6），∴①，∵∠CAE＝∠CBD，∠CAE＝∠OBE，∠CBO＝∠EBO，由角平分线定理：，即：，∴②，由①②得，整理得：t2+18t+36＝0，∴t2＝﹣18t﹣36，∴．【点评】本题是二次函数与圆的综合问题，涉及二次函数图象与x轴的交点坐标、切线的性质、等腰三角形的判定、切割线定理等知识．把圆的知识镶嵌其中，会灵活运用圆的性质进行计算是解题的关键．2. （2019•湖南邵阳•8分）如图1，已知⊙O外一点P向⊙O作切线P A，点A为切点，连接PO并延长交⊙O于点B，连接AO并延长交⊙O于点C，过点C作CD⊥PB，分别交PB 于点E，交⊙O于点D，连接A D．（1）求证：△APO～△DCA；（2）如图2，当AD＝AO时①求∠P的度数；②连接AB，在⊙O上是否存在点Q使得四边形APQB是菱形．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由切线性质和直径AC可得∠P AO＝∠CDA＝90°，由PB∥AD可得∠POD ＝∠CAD，即可得：△APO～△DCA；（2）①连接OD，由AD＝OA＝OD可得△OAD是等边三角形，由此可得∠POA＝60°，∠P＝30°；②作BQ⊥AC交⊙O于Q，可证ABQP为菱形，求可转化为求．【解答】解：（1）证明：如图1，∵P A切⊙O于点A，AC是⊙O的直径，∴∠P AO＝∠CDA＝90°∵CD⊥PB∴∠CEP＝90°∴∠CEP＝∠CDA∴PB∥AD∴∠POA＝∠CAO∴△APO～△DCA（2）如图2，连接OD，①∵AD＝AO，OD＝AO∴△OAD是等边三角形∴∠OAD＝60°∵PB∥AD∴∠POA＝∠OAD＝60°∵∠P AO＝90°∴∠P＝90°﹣∠POA＝90°﹣60°＝30°②存在．如图2，过点B作BQ⊥AC交⊙O于Q，连接PQ，BC，CQ，由①得：∠POA＝60°，∠P AO＝90°∴∠BOC＝∠POA＝60°∵OB＝OC∴∠ACB＝60°∴∠BQC＝∠BAC＝30°∵BQ⊥AC，∴CQ＝BC∵BC＝OB＝OA∴△CBQ≌△OBA（AAS）∴BQ＝AB∵∠OBA＝∠OP A＝30°∴AB＝AP∴BQ＝AP∵P A⊥AC∴BQ∥AP∴四边形ABQP是平行四边形∵AB＝AP∴四边形ABQP是菱形∴PQ＝AB∴＝＝tan∠ACB＝tan60°＝【点评】本题是有关圆的综合题，难度不大；主要考查了切线性质，圆周角与圆心角，等边三角形性质，特殊角三角函数值，菱形性质等．3. （2019•湖南湘西州•12分）如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的直径，与AB相交于点C，过点D作EF∥AB，分别交C A.CB的延长线于点E.F，连接B D．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求证：BD2＝AC•BF．【分析】（1）根据圆的对称性即可求出答案．（2）先证明△BCD∽△BDF，利用相似三角形的性质可知：，利用BC＝AC即可求证BD2＝AC•BF．【解答】解：（1）∵AC＝BC，CD是圆的直径，∴由圆的对称性可知：∠ACD＝∠BCD，∴CD⊥AB，∵AB∥EF，∴∠CDF＝∠CGB＝90°，∵OD是圆的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）∵∠BDF+∠CDB＝∠CDB+∠C＝90°，∴∠BDF＝∠CDB，∴△BCD∽△BDF，∴，∴BD2＝BC•BD，∵BC＝AC，∴BD2＝AC•BF．【点评】本题考查相似三角形，涉及圆的对称性，垂径定理，相似三角形的判定与性质，需要学生灵活运用所学知识．4. （2019•广东•7分）如题24-1图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD=∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF=AC，连接AF．（1）求证：ED=EC；（2）求证：AF是⊙O的切线；（3）如题24-2图，若点G是△ACD的内心，BC·BE=25，求BG的长．【答案】（1）证明：∵AB=AC ∴∠B==∠ACB∵∠BCD=∠ACB∴∠B=∠BCD∵⌒AC=⌒AC∴∠B=∠D∴∠BCD=∠D∴ED=EC（2）证明：连接AO并延长交⊙O于点G，连接CG 由（1）得∠B=∠BCD∴AB∥DF∵AB=AC，CF=AC∴AB=CF∴四边形ABCF是平行四边形∴∠CAF=∠ACB∵AG为直径∴∠ACG=90°，即∠G+∠GAC=90°∵∠G=∠B，∠B=∠ACB∴∠ACB+∠GAC=90°∴∠CAF +∠GAC =90°即∠OAF =90°∵点A 在⊙O 上∴AF 是⊙O 的切线（3）解：连接AG∵∠BCD =∠ACB ，∠BCD =∠1∴∠1=∠ACB∵∠B =∠B∴△ABE ∽△CBA ∴BCAB AB BE ∵BC ·BE =25∴AB 2=25∴AB =5∵点G 是△ACD 的内心∴∠2=∠3∵∠BGA =∠3+∠BCA =∠3+∠BCD =∠3+∠1=∠3+∠2=∠BAG∴BG =AB =5【考点】圆的综合应用，等弧等弦等角的转换，切线的证明，垂径定理的逆应用，内心的概念，相似三角形的应用，外角的应用，等量代换的意识5 （2019•甘肃•8分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：∠A ＝∠ADE ；（2）若AD ＝8，DE ＝5，求BC 的长．【分析】（1）只要证明∠A+∠B＝90°，∠ADE+∠B＝90°即可解决问题；（2）首先证明AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，可得x2+62＝（x+8）2﹣102，解方程即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE+∠BDO＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A．（2）解：连接C D．∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE，∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED＝EC，∴AE＝EC，∵DE＝5，∴AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，∴x2+62＝（x+8）2﹣102，解得x＝，∴BC＝＝．【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6. （2019•广东深圳•9分）已知在平面直角坐标系中，点A （3，0），B （-3，0），C （-3，8），以线段BC 为直径作圆，圆心为E ，直线AC 交⊙E 于点D ，连接O D.（1）求证：直线OD 是⊙E 的切线；（2）点F 为x 轴上任意一动点，连接CF 交⊙E 于点G ，连接BG ：①当tan ∠ACF =71时，求所有F 点的坐标 （直接写出）； ②求CFBG 的最大值. 【考点】圆、切线证明、三角形相似，三角函数，二次函数最值问题等【答案】7. （2019•广西贵港•8分）如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE．（1）求证：AE是半圆O的切线；（2）若P A＝2，PC＝4，求AE的长．【分析】（1）根据已知条件推出△ABO∽△OCE，根据相似三角形的性质得到∠BAO＝∠OAE，过O作OF⊥AE于F，根据全等三角形的性质得到OF＝OB，于是得到AE是半圆O的切线；（2）根据切割线定理得到AF＝＝2，求得AB＝AF＝2，根据勾股定理得到BC＝＝2，AO＝＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD中，∠ABO＝∠OCE＝90°，∵OE⊥OA，∴∠AOE＝90°，∴∠BAO+∠AOB＝∠AOB+∠COE＝90°，∴∠BAO＝∠COE，∴△ABO∽△OCE，∴＝，∵OB＝OC，∴，∵∠ABO＝∠AOE＝90°，∴△ABO∽△AOE，∴∠BAO＝∠OAE，过O作OF⊥AE于F，∴∠ABO＝∠AFO＝90°，在△ABO与△AFO中，，∴△ABO≌△AFO（AAS），∴OF＝OB，∴AE是半圆O的切线；（2）解：∵AF是⊙O的切线，AC是⊙O的割线，∴AF2＝AP•AC，∴AF＝＝2，∴AB＝AF＝2，∵AC＝6，∴BC＝＝2，∴AO＝＝3，∵△ABO∽△AOE，∴，∴＝，∴AE＝．【点评】本题考查了切线的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．8. （2019•山东省滨州市•13分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）求证：BC2＝4CF•AC；（3）若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．【考点】圆的切线【分析】（1）如图所示，连接OD，证明∠CDF+∠ODB＝90°，即可求解；（2）证明△CFD∽△CDA，则CD2＝CF•AC，即BC2＝4CF•AC；（3）S阴影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE即可求解．【解答】解：（1）如图所示，连接OD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，而OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABC＝∠C，∵DF⊥AC，∴∠CDF+∠C＝90°，∴∠CDF+∠ODB＝90°，∴∠ODF＝90°，∴直线DF是⊙O的切线；（2）连接AD，则AD⊥BC，则AB＝AC，则DB＝DC＝，∵∠CDF+∠C＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∴∠CDF＝∠DCA，而∠DFC＝∠ADC＝90°，∴△CFD∽△CDA，∴CD2＝CF•AC，即BC2＝4CF•AC；（3）连接OE，∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，∴∠OAE＝30°＝∠OEA，∴∠AOE＝120°，S△OAE＝AE×OEsin∠OEA＝×2×OE×cos∠OEA×OEsin∠OEA＝4，S阴影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE＝×π×42﹣4＝﹣4．【点评】本题为圆的综合题，涉及到解直角三角形、三角形相似、等腰三角形的性质等，难度不大．9. （2019•山东省德州市•12分）如图，∠BPD＝120°，点A.C分别在射线P B.PD上，∠P AC＝30°，AC＝2．（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A.C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；（3）求所得的劣弧与线段P A.PC围成的封闭图形的面积．【考点】圆的切线【分析】（1）过A.C分别作P B.PD的垂线，它们相交于O，然后以OA为半径作⊙O即可；（2）写出已知、求证，然后进行证明；连接OP，先证明Rt△P AO≌Rt△PCO，然后根据切线的判定方法判断P B.PC为⊙O的切线；（3）先证明△OAC为等边三角形得到OA＝AC＝2，∠AOC＝60°，再计算出AP＝2，然后根据扇形的面积公式，利用劣弧AC与线段P A.PC围成的封闭图形的面积进行计算．【解答】解：（1）如图，（2）已知：如图，∠BPD＝120°，点A.C分别在射线P B.PD上，∠P AC＝30°，AC＝2，过A.C分别作P B.PD的垂线，它们相交于O，以OA为半径作⊙O，OA⊥PB，求证：P B.PC为⊙O的切线；证明：∵∠BPD＝120°，P AC＝30°，∴∠PCA＝30°，∴P A＝PC，连接OP，∵OA⊥P A，PC⊥OC，∴∠P AO＝∠PCO＝90°，∵OP＝OP，∴Rt△P AO≌Rt△PCO（HL）∴OA＝OC，∴P B.PC为⊙O的切线；（3）∵∠OAP＝∠OCP＝90°﹣30°＝60°，∴△OAC为等边三角形，∴OA＝AC＝2，∠AOC＝60°，∵OP平分∠APC，∴∠APO＝60°，∴AP＝×2＝2，∴劣弧AC与线段P A.PC围成的封闭图形的面积＝S四边形APCO﹣S扇＝2××2×2﹣＝4﹣2π．形AOC【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和扇形面积公式．10. （2019•湖北武汉•8分）已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D.C两点．（1）如图1，求证：AB2＝4AD•BC；（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接O C.OD，证明△AOD∽△BCO，得出＝，即可得出结论；（2）连接OD，OC，证明△COD≌△CFD得出∠CDO＝∠CDF，求出∠BOE＝120°，由直角三角形的性质得出BC＝3，OB＝，图中阴影部分的面积＝2S△OBC﹣S扇形OBE，即可得出结果．【解答】（1）证明：连接O C.OD，如图1所示：∵AM和BN是它的两条切线，∴AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN，∴∠ADE+∠BCE＝180°∵DC切⊙O于E，∴∠ODE＝∠ADE，∠OCE＝∠BCE，∴∠ODE+∠OCE＝90°，∴∠DOC＝90°，∴∠AOD+∠COB＝90°，∵∠AOD+∠ADO＝90°，∴∠AOD＝∠OCB，∵∠OAD＝∠OBC＝90°，∴△AOD∽△BCO，∴＝，∴OA2＝AD•BC，∴（AB）2＝AD•BC，∴AB2＝4AD•BC；（2）解：连接OD，OC，如图2所示：∵∠ADE＝2∠OFC，∴∠ADO＝∠OFC，∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，∴∠OFC＝∠FOC，∴CF＝OC，∴CD垂直平分OF，∴OD＝DF，在△COD和△CFD中，，∴△COD≌△CFD（SSS），∴∠CDO＝∠CDF，∵∠ODA+∠CDO+∠CDF＝180°，∴∠ODA＝60°＝∠BOC，∴∠BOE＝120°，在Rt△DAO，AD＝OA，Rt△BOC中，BC＝OB，∴AD：BC＝1：3，∵AD＝1，∴BC＝3，OB＝，∴图中阴影部分的面积＝2S△OBC﹣S扇形OBE＝2×××3﹣＝3﹣π．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、全等三角形的判定与性质、扇形面积公式、直角三角形的性质等知识；证明三角形相似和三角形全等是解题的关键．1 1主要学习( 2019甘肃省兰州市)通过对下面数学模型的研究学习，解决第27题、第28题【模型呈现】如右图，在Rt△ABC中，∠ACB＝900，将斜边AB绕点A顺时针旋转900得到AD，过点D 作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE，BC＝AE.我们把这个数学模型称为“K型”推理过程如下：【模型应用】27.（本题10分）如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝900，BC＝2.将斜边AB绕点A顺时针旋转一定角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE＝∠ABC，DE＝1，连接DO交⊙O于点F.（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）连接FC交AB于点G，连接FB，求证：FG2＝GO•G B.【答案】答案见解析．【考点】三角形相似，圆切线证明.【考察能力】推理论证能力，运算求解能力【难度】较难【解析】（1）证明：∵∠DAE＝∠ABC且∠ABC+∠CAB＝900，∴∠EAD+∠CAB＝900，∴∠DAB＝900，∵AO为⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线.（2）证明：由（1）知∠DAB＝900，∵AC＝1，BC＝2∴AB＝5，由模型可知，△AED≌△BCA，∴AD＝5，∴AO ＝25， ∴DO ＝25， ∵AD AE ＝DO AD ＝AODE ＝552， ∴△AED ∽△DAO∴∠EAD ＝∠ADO∴AE ∥DO∴∠ACF ＝∠CFO ＝∠ABF∵∠FGO ＝∠BGF ，∴△FGO ∽△BGF ∴BG FG ＝FGGO ∴FG 2＝GO •G B.12．(2019甘肃省陇南市)（10分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，点D 在BC 边上，⊙D 经过点A 和点B 且与BC 边相交于点E ．（1）求证：AC 是⊙D 的切线；（2）若CE ＝2，求⊙D 的半径．【分析】（1）连接AD ，根据等腰三角形的性质得到∠B ＝∠C ＝30°，∠BAD ＝∠B ＝30°，求得∠ADC ＝60°，根据三角形的内角和得到∠DAC ＝180°﹣60°﹣30°＝90°，于是得到AC 是⊙D 的切线；（2）连接AE ，推出△ADE 是等边三角形，得到AE ＝DE ，∠AED ＝60°，求得∠EAC ＝∠AED ﹣∠C ＝30°，得到AE ＝CE ＝2，于是得到结论． 【解答】（1）证明：连接AD ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝30°，∵AD ＝BD ，∴∠BAD ＝∠B ＝30°，∴∠ADC＝60°，∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AC是⊙D的切线；（2）解：连接AE，∵AD＝DE，∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝DE，∠AED＝60°，∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，∴∠EAC＝∠C，∴AE＝CE＝2，∴⊙D的半径AD＝2．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13. (2019甘肃省天水市)如图，A B.AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，P C.AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长．【答案】解：（1）连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC，在△OAP和△OCP中，∵错误！未找到引用源。
专题9.4直线与圆、圆与圆的位置关系(练)(原卷版).pdf
A． 7 B．6
C． 5
D．4
16．（广东省韶关一中 2019 届模拟）设圆 C1，C2 都和两坐标轴相切，且都过点 (4,1) ，则两圆心的
距离 |C1C2|等于 (
)
A． 4 B.4 2
C． 8 D． 8 2 17．（广东省惠州一中 2019 届模拟）已知圆 C：( x－ 3)2＋ (y－ 1)2＝ 1 和两点 A(－ t,0)， B(t,0)( t＞ 0)，若圆 C 上存在点 P，使得∠ APB＝90°，则实数 t 的最小值为 ( )
A ．内切
B ．相交
C．外切
D ．相离
3．（黑龙江省鸡西一中 2019 届期中）已知直线 l ：y＝ kx＋ 2(k∈ R) ，圆 M ： (x－ 1)2＋ y2＝ 6，圆 N：
x2＋( y＋ 1)2＝ 9，则直线 l ( )
A ．必与圆 M 相切，不可能与圆 N 相交 B．必与圆 M 相交，不可能与圆 N 相切
C．必与圆 M 相切，不可能与圆 N 相切
D ．必与圆 M 相交，不可能与圆 N 相离 4．（吉林省吉林一中 2019 届期末）已知圆 C 与直线 y＝ x 及 x－ y－4＝ 0 都相切，圆心在直线 y＝ － x 上，则圆 C 的方程为 ( ) A ． (x＋ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 2 B． (x＋ 1)2＋ (y＋ 1)2＝ 2 C． (x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 2 D ． (x－ 1)2＋ (y＋ 1)2＝ 2 5．（湖北省随州一中 2019 届期中）若直线 l： y＝ kx＋1 被圆 C： x2＋ y2－ 2x－ 3＝ 0 截得的弦最短， 则直线 l 的方程是 ( )
B ．相切
C．相交
D ．以上都有可能
12．（ 河南八市 2019 届质检）过点 (3,1)作圆 (x－ 1)2＋y2＝ r2的切线有且只有一条， 则该切线的方程为 ( )
2019年中考数学专项训练 直线和圆的位置关系.doc
2019年中考数学专项训练直线和圆的位置关系一、选择题1．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（）A．B．2﹣2 C．2﹣D．﹣22．将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB=，则四边形AB1ED的内切圆半径为（）A．B．C．D．3．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（）A．CD+DF=4 B．CD﹣DF=2﹣3 C．BC+AB=2+4 D．BC﹣AB=2二、填空题4．边长为1的正三角形的内切圆半径为．5．如图，△ABC的内心在x轴上，点B的坐标是（2，0），点C的坐标是（0，﹣2），点A的坐标是（﹣3，b），反比例函数y=（x＜0）的图象经过点A，则k= ．6．一般地，如果在一次实验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“实验结果落在D中的某个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率P A=．如图，现在等边△ABC内射入一个点，则该点落在△ABC内切圆中的概率是．7．如图，在边长为2的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为．三、解答题8．如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接DC，DA，OA，OC，四边形OADC为平行四边形．（1）求证：△BOC≌△CDA；（2）若AB=2，求阴影部分的面积．9．如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=9，BC=6．求PC的长．10．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E是⊙O上一点，D是AM上一点，连接DE 并延长交BN于点C，且OD∥BE，OF∥BN．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）求证：OF=CD．11．如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．（1）求证：CT为⊙O的切线；（2）若⊙O半径为2，CT=，求AD的长．12．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C．（1）证明PA是⊙O的切线；（2）求点B的坐标．13．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．14．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）15．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2．求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线．16．如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD 为半径作⊙O．（1）求证：⊙O与CB相切于点E；（2）如图2，若⊙O过点H，且AC=5，AB=6，连接EH，求△BHE的面积和tan∠BHE的值．。
2019中考数学专题复习之直线与圆有关的位置关系专题训练
2019中考数学专题复习之直线与圆有关的位置关系专题训练1．⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不能确定2.如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO=26cm，PA=24cm，则⊙O的周长为（）A．18πcm B．16πcm C．20πc D．24πcm3．在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（）A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直B．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点C．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点D．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径4．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（）A．AG=BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC=∠ADC5．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC 于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（）A．2，22.5°B．3，30°C．3，22.5°D．2，30°6．如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（）A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥ACC．当PO⊥AC时，∠ACP=30°D．当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形7.如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB=30°，则∠B= 度．8.如图所示，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF=80°，则图中阴影部分的面积是．（2）若直线l经过点D（-2，-2），E（0，-3），判断直线16.如图，▱ABCD中，AB=2，以点A为圆心，AB为半径的圆交边BC于点E，连接DE、AC、AE．（1）求证：△AED≌△DCA；（2）若DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，求图中阴影部分（扇形）的面积．17.如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）求弦AC的长；（3）求图中阴影部分的面积．。
2019学年度九年级数学直线与圆的位置关系专项训练题二(附答案详解)
2019学年度九年级数学直线与圆的位置关系专项训练题二（附答案详解）1．下列四个命题中正确的是( )①与圆有公共点的直线是该圆的切线;②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线;③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线;④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线.A．①②B．②③C．③④D．①④2．如图，、、是的切线，、、是切点，分别交、于、两点，若，，则下列结论：①；②的周长为；③．正确的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个3．如图，直线与的外接圆相切于点，若，则等于（）A．B．C．D．4．⊙O的半径为R，直线l与⊙O有公共点，如果圆心到直线l的距离为d，那么d与R的大小关系是（）A．d≥R B．d≤R C．d>R D．d<R5．如图，在O中，AB是直径，AC是弦，过点C的切线与AB的延长线交于点D，若∠A=25°，则∠D的大小为（）A．25°．B．40°．C．50°．D．65°．6．若点B（a，0）在以点A（1,0）为圆心，以3为半径的圆内，则a的取值范围是（）A．-2＜a＜4 B．a＜4 C．a＞-2 D．a＞4或a＜-27．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠C的度数之比为1:2，则∠A的度数为（）A．30°B．60°C．70°D．90°8．如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（）A．0B．1C．2D．39．已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，交BC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果CD=8，CE=6，求⊙O的半径．10．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AD=12，AM=MC，求的值．11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD的外角∠DAF的平分线．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若∠D = 60°，AD = 2，射线CO与AM交于N点，请写出求ON长的思路．12．如图，已知为的直径，过上的点的切线交的延长线于点，于点且交于点，连接，，．求证：；若，，求的长．13．已知：如图，在△OAB中，OA=OB，⊙O经过AB的中点C，与OB交于点D，且与BO的延长线交于点E，连接EC，CD．（1）试判断AB与⊙O的位置关系，并加以证明；（2）若tanE=，⊙O的半径为3，求OA的长．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，DE交AC于点E，且∠A=∠ADE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD=16，DE=10，求BC的长．15．已知：PA是的切线，点B在上，连接OB，OP，连接AB交OP于点C，．如图1，求证：；如图2，OP交于点D，过点D作交AB于点E，连接OE，求证：；如图3，在的条件下，延长PO交于点N，连接AN交DF于点M，连接OM、EP，若，，求线段BE的长．16．若点到上点的最大距离是，最小距离是，则的半径是________．17．如图，是的外接圆，于，为的中点，是延长线上一点，若，则________．18．如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3．则S1___S2+S3．（填“＜”或“=”或“＞”）19．如图，已知⊙的半径为3，圆外一点满足，点为⊙上一动点，经过点的直线上有两点、，且，°，不经过点，则的最小值为_____.20．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（5，0），直线y=kx-2k+3（k≠0）与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为____．21．如图所示，O是△ABC的内心，∠BOC=100°，则∠A=______．22．⊙O的半径为R，圆心O到直线l的距离为d，R、d是方程x2－6x＋m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为____．23．如图，点是的内心，若，则________．24．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为_________．25．如图，P A，PB分别切⊙O于A，B两点，C是上的一点，∠P＝40°，则∠ACB 的度数为________．参考答案1．C【解析】①中，与圆有两个公共点的直线，是圆的割线，故错误；②中，应经过此半径的外端，故错误；③中，根据切线的判定方法，正确；④中，根据切线的判定方法，正确。
中考数学专题复习 点、直线、圆和圆的位置关系练习试题
l(a)乏公仓州月氏勿市运河学校2、与圆有关的位置关系知识回忆：一、点与圆的位置关系1．设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP=d ，点P 在圆外⇔__________；点P 在圆上⇔__________；点P 在圆内⇔__________。
2．_________________确定一个圆。
3．外接圆：经过三角形的__________可以作一个圆，并且_______画一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
外心：外接圆的圆心是三角形_________________的交点，叫做这个三角形的_______。
它到________________的距离相等。
二、直线与圆的位置关系〔切线的判定定理、性质定理、切线长定理〕 1．设⊙O 的半径为r ，圆心到直线L 的距离为d ，那么 〔1〕直线L 和⊙O 相交⇔________，如图〔a 〕所示；〔2〕直线L 和⊙O 相切⇔________，如图〔b 〕所示；〔3〕直线L 和⊙O 相离⇔________，如图〔c 〕所示。
2．切线的判定定理：经过_____________并且________________的直线是圆的切线. 3．切线的性质定理：圆的切线________________________________.4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的________________，它们的____________相等，这一点和圆心的连线________________________.图3图2QA D图4C 图1B A5．内切圆：________________________的圆叫做三角形的内切圆.内心：内切圆的圆心是________________________交点，叫做三角形的内心. 常用根本图形： 三、正多边形和圆 正多边形的中心：；正多边形的半径：_________________；正多边形的中心角：_________________； 正多边形的边心距：_________________． 常用根本图形：达标训练：1.如图1，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AO与⊙O 交于点C ，假设∠BAO=40°，那么∠OCB=( )A.40°B.50°C.65°D.75°2.如图2，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ，Q 是优弧AB 上的一点，设∠P=40°，那么∠AQB 等于〔 〕A.140°B. 40°或140°C.110°D.70°3.如图3，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°.过C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点D ，那么∠D 等于〔 〕A ．25°B ．40°C ．50°D ．65°4. 如图4，⊙O 的半径OC=5cm ，直线l ⊥OC ，垂足为H ，且l 交⊙O 于A 、B 两点，•AB=8cm ，那么l 沿OC 所在直线向上平移〔 〕时与⊙O 相切．A ．1cmB ．2 cmC ．3 cmD ．8 cm5.⊙O 的半径为6，一条弦AB 为，以3为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是〔 〕A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定6.△ABC 为⊙O 的内接三角形，假设∠AOC=140°，那么∠ABC 的度数是〔 〕 A ． 70° B ． 140°C ． 110°D ． 70°或110°7.在△ABC 中，I 是内心，∠BIC=130°，那么∠A=〔 〕A ．50°B ．65°C ．70°D ．80°8.如图5，在平面直角坐标系中，⊙M 与x 轴相切于点A 〔8,0〕，于y 轴分别交于点B 〔0,4〕与点C 〔0,16〕，那么圆心M 到坐标原点O 的距离是〔 〕A.10B.9.如图6，假设以平行四边形一边AB 为直径的圆恰好与对边CD 相切于点D ，那么∠C= .10.如图7，△ABC 的内切圆的三个切点分别是D 、E 、F ，∠A=75°，∠B=45°，那么圆心角∠EOF= . 11. 如图8，⊙O 是△ABC 的外接圆，直径AD=4，∠ABC=∠DAC ，那么AC 长为 .12.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，假设以C 为圆心，R 为半径所作的圆与斜边AB 有两个交点，那么R 的取值范围是_____。
2019年中考数学专题复习第六单元圆课时训练(二十八)直线与圆的位置关系练习
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……课时训练(二十八)直线与圆的位置关系(限时:30分钟)|夯实基础|1.若☉O的半径是5,直线l是☉O的切线,则点O到直线l的距离是()A.2.5B.3C.5D.102.[2018·宜昌]如图K28-1,直线AB是☉O的切线,C为切点,OD∥AB交☉O于点D,点E在☉O上,连接OC,EC,ED,则∠CED的度数为()图K28-1A.30°B.35°C.40°D.45°3.[2018·常州]如图K28-2,AB是☉O的直径,MN是☉O的切线,切点为N,如果∠MNB=52°,则∠NOA的度数为()图K28-2A.76°B.56°C.54°D.52°4.[2018·烟台]如图K28-3,四边形ABCD内接于☉O,点I是△ABC的内心,∠AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠CDE 的度数是()图K28-3A.56°B.62°C.68°D.78°5.[2018·重庆A卷]如图K28-4,已知AB是☉O的直径,点P在BA的延长线上,PD与☉O相切于点D,过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若☉O的半径为4,BC=6,则PA的长为()图K28-4A.4B.2C.3D.2.56.如图K28-5,AB是☉O的直径,CD是☉O的切线,切点为D,CD与AB的延长线交于点C,∠A=30°,给出下面3个结论:①AD=CD;②BD=BC;③AB=2BC.其中正确结论的个数是 ()图K28-5A.3B.2C.1D.07.[2018·益阳]如图K28-6,在圆O中,AB为直径,AD为弦,过点B的切线与AD的延长线交于点C,AD=DC,则∠C= 度.图K28-68.[2018·包头]如图K28-7,AB是☉O的直径,点C在☉O上,过点C的切线与BA的延长线交于点D,点E在上(不与点B,C重合),连接BE,CE.若∠D=40°,则∠BEC= 度.图K28-79.[2018·大庆]在△ABC中,∠C=90°,AB=10,且AC=6,则这个三角形的内切圆半径为.10.[2018·安徽]如图K28-8,菱形ABOC的边AB,AC分别与☉O相切于点D,E,若点D是AB的中点,则∠DOE= .图K28-811.[2018·岳阳]如图K28-9,以AB为直径的☉O与CE相切于点C,CE交AB的延长线于点E,直径AB=18,∠A=30°,弦CD⊥AB,垂足为点F,连接AC,OC,则下列结论正确的是.(写出所有正确结论的序号)①=;②扇形OBC的面积为π;③△OCF∽△OEC;④若点P为线段OA上一动点,则AP·OP有最大值20.25.图K28-912.如图K28-10,直尺、三角尺都和☉O相切,其中B,C是切点,且AB=8 cm.求☉O的直径.图K28-1013.[2018·郴州]如图K28-11,已知BC是☉O的直径,点D是BC延长线上一点,AB=AD,AE是☉O的弦,∠AEC=30°.图K28-11(1)求证:直线AD是☉O的切线;(2)若AE⊥BC,垂足为M,☉O的半径为4,求AE的长.14.[2018·遂宁]如图K28-12,过☉O外一点P作☉O的切线PA切☉O于点A,连接PO并延长,与☉O交于C,D两点,M 是半圆CD的中点,连接AM交CD于点N,连接AC,CM.图K28-12(1)求证:CM2=MN·MA;(2)若∠P=30°,PC=2,求CM的长.|拓展提升|15.[2017·北京]如图K28-13,AB是☉O的一条弦,E是AB的中点,过点E作EC⊥OA于点C,过点B作☉O的切线交CE 的延长线于点D.(1)求证:DB=DE;(2)若AB=12,BD=5,求☉O的半径.图K28-13参考答案1.C2.D[解析] ∵直线AB是☉O的切线,C为切点,∴∠OCB=90°,∵OD∥AB,∴∠COD=90°,∴∠CED=45°,故选择D.3.A[解析] ∵N为切点,∴MN⊥ON,则∠MNO=90°.∵∠MNB=52°,∴∠BNO=38°,∵ON=OB,∴∠BNO=∠B,∴∠NOA=2∠BNO=76°.4.C[解析] ∵点I是△ABC的内心,∴AI,CI分别平分∠BAC,∠ACB,∴∠AIC=90°+∠B=124°,∴∠B=68°.∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠CDE=∠B=68°,故选C.5.A[解析] 如图,连接OD.∵PC切☉O于点D,∴OD⊥PC.∵☉O的半径为4,∴PO=PA+4,PB=PA+8.∵OD⊥PC,BC⊥PD,∴OD∥BC,∴△POD∽△PBC,∴=,即=,解得PA=4.故选A.6.A[解析] 连接OD,由CD是☉O的切线,可得CD⊥OD,由∠A=30°,可以得出∠DOB=60°,进而得△ODB是等边三角形,∠C=∠BDC=30°,再结合在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半,继而得到结论①②③成立.7.45[解析] ∵AB是圆O的直径,∴∠ADB=90°.∵BC是圆O的切线,AB是圆O的直径,∴∠ABC=90°.∵AD=DC,∴BD垂直平分AC.∴AB=BC,∴△ABC为等腰直角三角形.∴∠C=45°.8.115[解析] 连接OC,AC,由CD是切线得∠OCD=90°.又因为∠D=40°可得∠COD=50°.因为OA=OC,可得∠OAC=65°.因为四边形ACEB是圆内接四边形,由圆内接四边形对角互补得到∠BEC的度数.9.2[解析] 根据三角形内切圆的圆心到三角形三边的距离相等,依据三角形的面积公式求解.在Rt△ABC 中,BC===8,设内切圆的半径是r,则AB·r+AC·r+BC·r=BC·AC,即5r+3r+4r=24,解得:r=2. 10.60°[解析]连接OA,∵四边形ABOC是菱形,∴BA=BO,∵AB与☉O相切于点D,∴OD⊥AB.∵D是AB的中点,∴OD是AB的垂直平分线,∴OA=OB,∴△AOB是等边三角形,∴∠AOD=∠AOB=30°,同理∠AOE=30°,∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°,故答案为60°.11.①③④[解析] ∵AB是☉O的直径,CD⊥AB,∴=,故①正确;∵∠A=30°,∴∠COB=60°,∴扇形OBC的面积=·π·2=π,故②错误; ∵CE是☉O的切线,∴∠OCE=90°,∴∠OCD=∠E,又∵∠EOC=∠COF,∴△OCF∽△OEC,故③正确;设AP=x,则OP=9-x,∴AP·OP=x(9-x)=-x2+9x=-x-2+,∴当x=时,AP·OP取最大值,=20.25,故④正确.故答案为①③④.12.解:如图,连接OC,OA,OB.∵AC,AB都是☉O的切线,切点分别是C,B,∴∠OBA=∠OCA=90°,∠OAC=∠OAB=∠BAC.∵∠CAD=60°,∴∠BAC=120°,∴∠OAB=×120°=60°,∴∠BOA=30°,∴OA=2AB=16 cm.由勾股定理得OB===8(cm), 即☉O的半径是8 cm,∴☉O的直径是16 cm.13.解:(1)证明:∵∠AEC=30°,∴∠B=∠AEC=30°,∵AB=AD,∴∠B=∠D=30°,连接OA,∴OA=OB,∴∠B=∠BAO=30°,∴∠AOD=60°,∴∠OAD=180°-30°-60°=90°,∴OA⊥AD,∴直线AD是☉O的切线.(2)∵∠AOC=60°,☉O的半径为4,AE⊥BC,∴sin∠AOC=,∴AM=2,∴AE=2AM=4.14.解:(1)证明:∵在☉O中,点M是半圆CD的中点,∴∠CAM=∠DCM,又∵∠M是△CMN和△AMC的公共角,∴△CMN∽△AMC,∴=,∴CM2=MN·M A.(2)连接OA,DM,∵PA是☉O的切线,∴∠PAO=90°,又∵∠P=30°,∴OA=PO=(PC+CO).设☉O的半径为r,∵PC=2,∴r=(2+r),解得r=2.又∵CD是直径,∴∠CMD=90°,∵点M是半圆CD的中点,∴CM=DM,∴△CMD是等腰直角三角形,∴在Rt△CMD中,由勾股定理得CM2+DM2=CD2,∴2CM2=(2r)2=16,∴CM2=8,∴CM=2.15.解:(1)证明:如图①,∵DC⊥OA,∴∠1+∠3=90°.∵BD为切线,∴OB⊥BD,∴∠2+∠5=90°.∵OA=OB,∴∠1=∠2.∵∠3=∠4,∴∠4=∠5,∴DE=DB.(2)如图②,作DF⊥AB于F,连接OE,∵DB=DE,∴EF=BE=3.在Rt△DEF中,EF=3,DE=BD=5,∴DF==4,∴sin∠DEF==.∵∠AOE=∠DEF,∴在Rt△AOE中,sin∠AOE==, ∵AE=6,∴AO=.即☉O的半径为.。
2019-2020初中数学九年级下册《直线与圆、圆与圆的位置关系》专项测试(含答案) (2)
浙教版初中数学九年级数学下册《直线与圆、圆与圆的位置关系》测试卷学校：__________一、选择题1．(2分)如图，等边ABC △的边长为12cm ，内切⊙O 切BC 边于D 点，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2πcmB ．32πcm C ．22πcmD 2πcm2．(2分)如图，是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是（ ） A ．内含B ．相交C ．相切D ．外离3．(2分)如图，圆与圆之间不同的位置关系有（ ） A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种4．(2分)已如果半径为R 的两个等圆⊙O 1和⊙O 2交于A 、B 两点，⊙O 1 经过⊙O 2的圆心，那么AB 的长是（ ）A B CD ．5．(2分)若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是（ ） A ．外离B ． 外切C ． 内含D ．外离或内含6．(2分)生活处处皆学问．如图，眼镜镜片所在的两圆的位置关系是（ ） A ．外离 B ．外切 C ．内含D ．内切7．(2分) 若与四边形各边都相切的圆叫做四边形的内切圆，则下面图形中一定有内切圆的是（ ） A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形8．(2分)如果一个三角形内心与外心重合，那么这个三角形是（ ） A ．任意三角形 B ．直角三角形 C ．任意等腰三角形 D ．等边三角形9．(2分)点A 到直线l 的距离为 d ，下列各种法中直线l 与圆的位置关系是相切的是（ ） A ．以A 为圆心，2d为直径画圆 B ．以A 为圆心，d 为直径画圆 C ．以A 为圆心，2d 为半径画圆 D ．以A 为圆心，2d 为直径画圆10．(2分)如图，用半径R=3cm ，r=2cm 的钢球测量口小内大的内孔的直径D ．测得钢球顶点与孔口平面的距离分别为a=4cm ，b=2cm ，则内孔直径D 的大小为（ ） A ．9cmB ．8cmC ．7cmD ．6cm11．(2分)在直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，给出以下三个结论： ①以C 为圆心，2.3为半径的圆与AB 相离；②以C 为圆心，2.4为半径的圆与AB 相切；③以C 为圆心，2.5为半径的圆与AB 相交.则上述结论中正确的个数是（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个评卷人 得分二、填空题12．(3分)如图，⊙O 的半径为4cm ，直线l ⊥OA ，垂足为O ，则直线l 沿射线OA 方向平移________cm 时与⊙O 相切．13．(3分)如图，在10×6的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位长），⊙A 的半径为1，⊙B 的半径为2，要使⊙A 与静止的⊙B 内切，那么⊙A 由图示位置需向右平移 个单位长．14．(3分)如图，已知△ABC 的一边BC 与以AC 为直径的⊙O 相切于点C ，若BC=4，AB=5，则cosB= ．15．(3分)已知两圆⊙O 1与⊙O 2的圆心距为 5，⊙O 1与⊙O 2的半径分别是方程29140x x -+=的两个根，则这两圆的位置关系为 ．16．(3分)如图，等边三角形ABC 的内切圆的面积为π9，则⊿ABC 的周长为 ． 17．(3分)已知两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm ．则大圆的半径是_______cm ．18．(3分)Rt △ABC 的斜边AB ＝6厘米，直角边AC ＝3厘米，以C 为圆心，2厘米为半径的圆和AB的位置关系是；4厘米为半径的圆和AB的位置关系是；若和AB相切，那么半径长为．19．(3分)等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，若直线BC与⊙A相切，则⊙A的半径为 .20．(3分)若⊙O半径为3，圆心到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是．21．(3分)如图，⊙0的半径为4 cm，BC是直径，若AB=10 cm，则AC= cm时，AC是⊙0的切线．22．(3分)如图所示，BC 是⊙O的直径，P 是 CB 延长线上的一点，PA 切⊙O于 A，∠APC=30°，PA=3,则PB= ．评卷人得分三、解答题23．(6分)如图，直线L与两坐标轴的交点坐标分别是A（-3，0），B（0，4），O是坐标系原点．(1）求直线L所对应的函数的表达式；(2）若以O为圆心，半径为R的圆与直线L相切，求R的值．24．(6分)ABC △中，90C ∠=°，43AC BC ==，，以点C 为圆心，以R 长为半径画圆，若⊙C 与线段AB 有两个交点，求R 的范围．25．(6分)如图，ABC △内接于⊙O ，点D 在半径OB 的延长线上，30BCD A ∠=∠=°．(1）试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2）若⊙O 的半径长为1，求由弧BC 、线段CD 和BD 所围成的阴影部分面积（结果保留π和根号）．26．(6分)如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点36B OA OP ==，，，求BAP ∠的度数．27．(6分)如图，AB 是⊙O 的直径，点 P 在BA 的延长线上，弦 CD ⊥AB 于 E ，∠POC=∠PCE.(1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若 OE ：EA=1：2，PA= 6，求⊙O 的半径； (3)求 sin ∠PCA 的值.28．(6分)如图，已知⊙O 1、⊙O 2相交于 A ，、B ，PE 切⊙O 1于 P ，PA 、PB 交⊙O 2 于 C ．D. 求证： CD ∥PE.29．(6分) 在Rt ABC ∆中，∠=C 90ο，AC =3，BC =4，若以C 为圆心，R 为半径的圆与斜边AB 只有一个公共点，求R 的取值范围.30．(6分)已知Rt △ABC 的斜边AB ＝8cm ，AC ＝4cm ，以点C 为圆心，半径分别为2cm 和4cm 画两个圆，这两个圆与AB 有怎样的位置关系？半径为多长时，AB 与⊙C 相切？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C2．D3．C4．C5．D6．A7．C8．D9．D10．C11．D二、填空题12．413．4或614．4 515．内切16．318 17．918．19．4 20．相切21．6 22．1三、解答题23．解：（1）设所求为y =k x +b ．将A （-3，0），B （0，4）的坐标代入，得⎩⎨⎧==+-.4,03b b k 解得b =4， k =34．所求为y =34x +4． (2）设切点为P ，连OP ，则OP ⊥AB ，OP=R ． Rt ∆AOB 中，OA=3，OB=4，得AB=5，因为，,5214321R ⨯⨯=⨯⨯得R=512． 24．解：90C ∠=∵°，4AC =，3BC =，5AB === 作CD AB ⊥于D ，1122ABC S AC BC CD AB ==△·· 431255AC BC CD AB ===··∴，C 点到AB 的距离为125∴当1235R <≤时，⊙C 与线段AB 有两个交点 25．解：（1）直线CD 与⊙O 相切． 理由如下：在⊙O 中，223060COB CAB ∠=∠=⨯=°°．又OB OC =∵，OBC ∴△是正三角形，60OCB ∠=∴°． 又30BCD ∠=∵°，603090OCD ∠=+=∴°°°，OC CD ⊥∴．又OC ∵是半径，∴直线CD与⊙O 相切． (2）由（1）得COD △是Rt △，60COB ∠=°．1OC =∵，CD =∴．122COD S OCCD ==△∴·． 又1π6OCB S =扇形∵，1π6COD OCB S S S =-=-=△阴影扇形∴．解：（1）直线CD 与⊙O 相切．理由如下：AC D（第21C D在O e 中，223060COB CAB ∠=∠=⨯=°°．又OB OC =∵，OBC ∴△是正三角形，60OCB ∠=∴°． 又30BCD ∠=∵°，603090OCD ∠=+=∴°°°，OC CD ⊥∴．又OC ∵是半径，∴直线CD 与⊙O 相切． (2）由（1）得COD △是Rt △，60COB ∠=°．1OC =∵，CD =∴．12COD S OC CD ==△∴·又1π6OCB S =扇形∵，1π6COD OCB S S S =-=-=△阴影扇形∴． 26．解：PA Q 为⊙O 的切线，A 为切点，90OA PA OAP ∴∠=o ⊥，∴．在OAP Rt △中，31sin 3062OA OPA OPA OP ∠===∴∠=o Q ， 90903060AOP OPA ∴∠=-∠=-=o o o o ．在OAB △中 6060AOP OA OB OAB ∠==∴∠=ooQ ，，． 906030BAP OAP OAB ∴∠=∠-∠=-=o o o ．27．(1)∵∠POC=∠PCE,∠OPC=∠CPE ，∴△OCP ∽△CEP ，∴∠OCP=∠CEP ， ∵CD ⊥AB ，∴∠OCP=∠CEP=90°，∴PC 是⊙O 的切线 (2)设 OE= x ，则EA=2x ，OC=OA==3x.∵∠COE=∠POC ，∠0EC=∠OCP ，∴△OCE ∽△OPC ，∴OC OPOE OC=，∴2OC OE OP =⋅ 即2(3)(36)x x x =+，∴x=1，∴OA=3x=3(3) ∵OC=OA ，∴∠OCA=∠OAC ，∵∠PCA+∠OCA=∠OAC+∠ACE= 90°， ∴∠PCA=∠ACE ．在 Rt △COE 中，CE =在 Rt △ACE 中AC ==∴sinAE ACE AC ∠===sin sin PCA ACE ∠=∠=． 28．作直径 PT ，连结 AT 、AB.∴∠PAT=90°，∠T+∠TPA=90°．∵PE 切⊙O 1 于点P.∴∠TPA+∠EPA=90°，∴∠EPA=∠T ，∵∠T=∠B ，∠B=∠C ，∴∠EPA=∠C ，∴CD ∥PE ．29．R =24.或34<≤R ． 30．解：∵在Rt △ABC 的斜边AB ＝8cm ，AC ＝4， ∴BC ＝3 作CD ⊥AB 于D ，由CD·AB ＝AC·BC ，得32=⋅=ABBCAC CD ． ∴以2cm 为半径，C 为圆心画圆与AB 相离；以4cm 为半径，C 为圆心画圆与AB 相交；以3为半径，C 为圆心画圆与AB 相切．。
直线和圆、圆和圆的位置关系中考专题复习及训练试题
直线和圆、圆和圆的位置关系中考专题复习及训练[解读中考要点] 1、直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系有三种：相交、相切和相离。
如图6.2 – 1所示。
图6.2-1l相离相切 相交解读：〔1〕直线和圆相交时与圆有两个公一共点；直线和圆相切时有惟一公一共点；直线和圆相离时没有公一共点。
反之也成立。
〔2〕当直线和圆有惟一公一共点〔即直线和圆相切〕时，这条直线叫做圆的切线。
2、圆心O 到直线l 的间隔 与⊙O 的半径r 之间的关系 （1） 直线和圆相交，即d r <； （2） 直线和圆相切，即d r =； （3） 直线和圆相离，即dr >。
解读：上面的结论反过来也成立，即假设d r <，那么直线和圆相交；假设d r =，那么直线和圆相切；假设dr >，那么直线和圆相离。
这就得到判断直线和圆的位置关系的一种方法。
3、圆的切线的性质与断定方法〔1〕性质：圆的切线垂直于过切点的直径。
〔2〕断定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
解读：连圆心和切点的线段是圆的半径，这是常做的辅助线。
4、三角形的内切圆和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
解读：〔1〕因为三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，由角平分线的性质知，三角形的内心到三角形三边的间隔 都相等。
利用这个性质可以解决一些作图题。
〔2〕锐角三角形、锐角三角形、钝角三角形的内心都在三角形的内部。
5、圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系有5种：相离、外切、相交、内切、内涵。
解读：两圆相离和内含时两圆没有公一共点；两圆外切和内切时两圆有惟一公一共点；两圆相交时两圆有两个公一共点。
6、相切两圆的圆心距d 与两圆的半径,R r 之间的关系 假设两圆外切，那么dR r =+；假设两圆内切，那么d R r =-。
解读：上面结论反过来也成立。
中考数学复习题点和圆、直线和圆的位置关系试题(共12页)
点和圆、直线(zhíxiàn)和圆的位置关系一、选择题1．如图，P为圆O外一点，OP交圆O于A点，且OA=2AP．甲、乙两人想作一条通过P 点且与圆O相切的直线，其作法如下：〔甲〕以P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于B点，那么直线PB即为所求；〔乙〕作OP的中垂线，交圆O于B点，那么直线PB即为所求．对于甲、乙两人的作法，以下判断何者正确？〔〕A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确二、解答题2．如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE∥AB，过点B作直线BE ∥AD，两直线交于点E，假如∠ACD=45°，⊙O的半径是4cm〔1〕请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；〔2〕求图中阴影局部的面积〔结果用π表示〕．3．如图，四边形ABCD是平行四边形，以对角线BD为直径(zhíjìng)作⊙O，分别与BC，AD相交于点E，F．〔1〕求证：四边形BEDF为矩形；〔2〕BD2=BE•BC，试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．4．如图，点D是⊙O的直径CA延长线上的一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO．〔1〕求证：BD是⊙O的切线；〔2〕假设点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且∠ABE=105°，S△=8〔BEF﹣1〕，求△ACF的面积和CF的长．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．〔1〕求证：AC是⊙O的切线．〔2〕过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．6．如图，AB是⊙O的直径(zhíjìng)，C是⊙O上的一点，过点A作AD⊥CD于点D，交⊙O于点E，且=．〔1〕求证：CD是⊙O的切线；〔2〕假设tan∠CAB=，BC=3，求DE的长．7．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．〔1〕判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；〔2〕求证：BC2=2CD•OE；〔3〕假设cos∠BAD=，BE=，求OE的长．8．如图，BC是以AB为直径的⊙的切线，且BC=AB，连接OC交⊙O于点D，延长AD交BC于点E，F为BE上一点，且DF=FB．〔1〕求证：DF是⊙O的切线；〔2〕假设BE=2，求⊙O的半径．9．如图，在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点(zhōnɡ diǎn)，以O为圆心的圆过点C．〔1〕求证：AB与⊙O相切；〔2〕假设∠AOB=120°，AB=4，求⊙O的面积．10．如图，⊙O中，点C为的中点，∠ACB=120°，OC的延长线与AD交于点D，且∠D=∠B．〔1〕求证：AD与⊙O相切；〔2〕假设点C到弦AB的间隔为2，求弦AB的长．11．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．〔1〕求AC、AD的长；〔2〕试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．12．如图，在⊙O中，直径AB平分(píngfēn)弦CD，AB与CD相交于点E，连接AC、BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA=∠B．〔1〕求证：CF是⊙O的切线．〔2〕假设AC=4，tan∠ACD=，求⊙O的半径．13．如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O与边AB交于点D，E为的中点，连接CE 交AB于点F，AF=AC．〔1〕求证：直线AC是⊙O的切线；〔2〕假设AB=10，BC=8，求CE的长．14．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2，AE=．〔1〕求证：BC是⊙O的切线；〔2〕求⊙O的半径(bànjìng)．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD．〔1〕求证：∠A=∠BCD；〔2〕假设M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．16．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E 是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．〔1〕求证：AC是⊙O的切线；〔2〕假设∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影局部的面积．〔结果保存根号和π〕17．如图，⊙O中，FG、AC是直径(zhíjìng)，AB是弦，FG⊥AB，垂足为点P，过点C 的直线交AB的延长线于点D，交GF的延长线于点E，AB=4，⊙O的半径为．〔1〕分别求出线段AP、CB的长；〔2〕假如OE=5，求证：DE是⊙O的切线；〔3〕假如tan∠E=，求DE的长．18．如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，∠CDB=∠OBD=30°．〔1〕求证：AC是⊙O的切线；〔2〕求弦BD的长；〔3〕求图中阴影局部的面积．19．如图，点B、C、D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=2．〔1〕求证：AC是⊙O的切线；〔2〕求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影局部的面积．〔结果保存π〕20．如图，在△ABC中，以AC为直径(zhíjìng)作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D 是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F．〔1〕求证：直线EF是⊙O的切线；〔2〕假设CF=5，cos∠A=，求BE的长．21．如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E，F为DC延长线上一点，且∠CBF=∠CDB．〔1〕求证：FB为⊙O的切线；〔2〕假设AB=8，CE=2，求sin∠F．22．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D的直线交BC边于点E，∠BDE=∠A．〔1〕判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．〔2〕假设⊙O的半径R=5，tanA=，求线段CD的长．23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线(zhōngxiàn)，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．〔1〕求证：△BGD∽△DMA；〔2〕求证：直线MN是⊙O的切线．24．如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB=∠ADB．〔1〕求证：EA是⊙O的切线；〔2〕点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似；〔3〕AF=4，CF=2．在〔2〕条件下，求AE的长．25．如图，点A是⊙O上一点，OA⊥AB，且OA=1，AB=，OB交⊙O于点D，作AC⊥OB，垂足为M，并交⊙O于点C，连接BC．〔1〕求证(qiúzhèng)：BC是⊙O的切线；〔2〕过点B作BP⊥OB，交OA的延长线于点P，连接PD，求sin∠BPD的值．26．如下图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，连接DC，且AC=DC，BC=BD．〔1〕求证：DC是⊙O的切线；〔2〕作CD的平行线AE交⊙O于点E，DC=10，求圆心O到AE的间隔．27．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=1，ED=2．〔1〕求证：∠ABC=∠D；〔2〕求AB的长；〔3〕延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．28．如图，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，延长(yáncháng)CA到O，使AO=AC，以O为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连接CD．〔1〕求证：CD是⊙O的切线；〔2〕假设AB=4，求图中阴影局部的面积．29．如图，△ABC中，∠C=90°，点G是线段AC上的一动点〔点G不与A、C重合〕，以AG为直径的⊙O交AB于点D，直线EF垂直平分BD，垂足为F，EF交BC于点E，连结DE．〔1〕求证：DE是⊙O的切线；〔2〕假设cosA=，AB=8，AG=2，求BE的长；〔3〕假设cosA=，AB=8，直接写出线段BE的取值范围．30．如图，⊙O是△ABC外接圆，AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB于点H，DE与AC相交于点G，DE、BC的延长线交于点F，P是GF的中点，连接PC．〔1〕求证：PC是⊙O的切线；〔2〕假设⊙O的半径是1， =，∠ABC=45°，求OH的长．内容总结（1）点和圆、直线和圆的位置关系一、选择题1．如图，P为圆O外一点，OP交圆O于A点，且OA=2AP．甲、乙两人想作一条通过P点且与圆O相切的直线，其作法如下：〔甲〕以P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于B点，那么直线PB即为所求（2）〔2〕点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似（3）〔2〕求AB的长。
2019学年度九年级数学直线与园的位置关系关系填空题专项训练(附答案详解)
2019学年度九年级数学直线与园的位置关系关系填空题专项训练（附答案详解）1．如图，在⊙O中，PD与⊙O相切于点D，与直径AB的延长线交于点P，点C是⊙O 上一点，连接BC、DC，∠APD=30°，则∠BCD=______．2．直角三角形的两条直角边长分别为和，则该三角形的内切圆的周长为________．3．如图，在中，，．为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，且与相切．则到的距离为________．4．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F，若∠ACF=64°，则∠E=______．5．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心半径为10的圆，直线y=mx-4m+3与⊙O 交于A、B两点，则弦AB的长的最小值为6．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（-2，0），B（0，2），⊙O的半径为1，点C为⊙O上一动点，过点B作BP⊥直线AC，垂足为点P，则P点纵坐标的最大值为 cm．7．如图，点A 从点()1,0出发，以每秒1个单位长的速度沿着x 轴的正方向移动，经过t 秒后，以O 、A 为顶点作菱形OABC ，使B 、C 点都在第一象限内，且60AOC ∠=︒.若以点()0,4P 为圆心， PC 为半径的圆恰好与OA 所在直线相切，则t =____.8．如图，在Rt △AOB 中，OA=OB=4，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则切线长PQ 的最小值为_____．9．如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，AC ，CD 是⊙O 的两条弦，且CD ∥AB ，若⊙O 的半径为52，CD=4，则弦AC 的长为_____．10．已知如图，的内接四边形，、的延长线交于点，切于点，，，，则________，________．11．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =2，AB =，以点A 为圆心，AD 为半径的圆与BC 相切于点E ，交AB 于点F ，则弧DF 的长为_________．12．如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 的长为半径的⊙O 与AD ，AC 分别交于点E ，F ，且∠ACB=∠DCE ，tan ∠ACB=，BC=2cm ．以下结论：①CD=cm ； ②AE=DE ； ③CE 是⊙O 的切线； ④⊙O 的面积等于cm 2．其中正确的结论有_____．（填序号）13．如图，已知⊙O 的半径为9cm ，射线PM 经过点O ，OP ＝15 cm ，射线PN 与⊙O 相切于点Q ．动点A 自P 点以25cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，同时动点B 也自P 点以2cm/s 的速度沿射线PN 方向运动，则它们从点P 出发 s 后AB 所在直线与⊙O 相切.14．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的点，20CDB ∠=，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则E ∠= ．15．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C（0，﹣1）为圆心、1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小是______．16．一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为cm．17．如图，内切于，切点分别为、、，且，若，，则的周长是________．18．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点O是边BC的中点，半圆O与△ABC相切于点D、E，则阴影部分的面积等于B19．如图在边长为2的正方形ABCD中，E，F，O分别是AB，CD，AD的中点，以O为圆心，以OE为半径画弧EF．P是 EF上的一个动点，连接OP，并延长OP交线段BC于点K，过点P作⊙O的切线，分别交射线AB于点M，交直线BC于点G．若BGBM=3，则BK= ．20．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A 于M、N两点，若点M的坐标是（﹣8，﹣4），则点N的坐标为_____．21．如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是_____cm．22．已知O为△ABC的内心，且∠BOC=130°，则∠A=________．23．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），点P是直线y=2x+2上的一动点，当以P为圆心，PO为半径的圆与△AOB的一条边所在直线相切时，点P的坐标为_____．参考答案1．30【解析】【详解】如图，连接OD，∵PD与⊙O相切于点D，与直径AB的延长线交于点P，∠APD=30°，∴∠PDO=90°，∴∠POD=60°，∴∠BCD=30°.故答案为30.2．【解析】【分析】根据勾股定理求出斜边的长，利用三角形的内切圆半径公式即可求出答案.【详解】设两条直角边为a、b，斜边为c，内切圆半径为r，∴c= =25cm，∴r==5cm，∴内切圆的周长为：=10cm，故答案为：10【点睛】本题考查求直角三角形的内切圆半径，直角三角形内切圆的半径公式为r=，（a、b为直角边，c为斜边），熟练掌握直角三角形内切圆半径公式是解题关键.3．15【解析】【分析】设与的切点为，连接、，在等腰和等腰中，可求得，由此可证得，由于与相切，所以，那么即为所求的到的距离.在中，已知了斜边的长和的正弦值，即可求出的长.【详解】连接、，则，，，，，，，因此即为所求的到的距离，，，解得：.故到的距离为.故答案为：.【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定、正弦的概念等知识的综合应用能力.4．52°．【解析】试题解析：连接OF，∵EF是⊙O切线，∴OF⊥EF，∵AB是直径，AB经过CD中点H，∴OH⊥EH，又∵∠AOF=2∠ACF=128°，在四边形EFOH中，∵∠OFE+∠OHE=180°∴∠E=180°-∠AOF=180°-128°=52°故答案为：52°5．【解析】试题分析：根据题意画出图形，因为直线y=mx-4m+3必过点D（4，3），求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（10，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．试题解析：∵直线y=mx-4m+3必过点D（4，3），∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，∵点D的坐标是（4，3），∴OD=5，∵⊙O的半径为10，∴A（10，0），∴OB=10，∴==∴BC的长的最小值为考点：1．垂径定理；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．勾股定理．6．231+【解析】试题分析：根据题意可知当C点为切点时，P点的纵坐标最大，因此可作图如下：根据题意可求得△CDO≌△OFE≌△PGE，然后根据直角三角形的性质和圆的切线的性质，可求得OD=12，，根据全等三角形的性质可求得P点的纵坐标为PG+EF=12．考点：1．切线的性质，2．全等三角形，3．勾股定理7．1【解析】试题分析：∵已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，∴经过t秒后，∴OA=1+t，∵四边形OABC是菱形，∴OC=1+t，当⊙P与OA，即与x 轴相切时，如图所示，则切点为O ，此时PC=OP ，过P 作PE ⊥OC ，∴OE=CE=12OC ，∴OE=12t +，在Rt △OPE 中，O E=OP•cos30°=12t +=t=1，故答案为：1．考点：1．切线的性质；2．坐标与图形性质；3．菱形的性质；4．解直角三角形；5．压轴题；6．动点型．视频8．【解析】如图,连接OP 、OQ ，∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ.根据勾股定理知PQ 2=OP 2﹣OQ 2，∴当PO ⊥AB 时，线段PQ 最短.此时，∵在Rt △AOB 中，OA=OB=，∴AB=OA=8. ∴OP=AB=4.又∵⊙O 的半径为1，∴PQ＝；故答案是：。
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圆—直线与圆的位置关系
1. 已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是( )
2. 已知，⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.无法确定
3.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA.PB，切点分别为A.B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB 的长是( )
A.4
B.8
C.4 3
D.8 3
4.如图，点P在⊙O外，PA.PB分别与⊙O相切于A.B两点，∠P＝50°，则∠AOB等于( )
A.150°
B.130°
C.155°
D.135°
5.直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为5，则半径r的取值范围是( )
A. r＞5
B. r＝5
C.0＜r＜5
D.0＜r≤5
6.如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2.若∠OBA＝30°，则OB的长为( )
A.4 3
B.4
C.2 3
D.2
7. 如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA.CD是⊙O的切线，A.D为切点，连接BD.AD，若∠ACD＝30°，则∠DBA的大小是( )
A.15°
B.30°
C.60°
D.75°
8. 已知，⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.无法确定
9. 已知直线l与⊙O相切，若圆心O到直线l的距离是5，则⊙O的半径是.
10. 已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是4cm，则直线l与⊙O的位置关系是.
11. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝4cm.以点C为圆心，以3cm长为半径作圆，则⊙C 与AB的位置关系是.
12. 已知⊙O的半径是5，圆心O到直线AB的距离为2，则⊙O上有且只有个点到直线AB的距离为3.
13. ⊙O的半径为R，圆心O到直线l的距离为d.若D.R是方程x2－8x＋16＝0的两个实数根，则直线l和圆O的位置关系是.
14. 如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可知：
(1)当d＝3时，m＝；
(2)当m＝2时，d的取值范围是.
15. 如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A.B两点，PC切半圆于点C.已知PC＝3，PB＝1，该半圆的半径为.
16. 如图，在直角坐标系中，点O′的坐标为(2,0)，⊙O′与x轴相交于原点和点A，又B.C.E三点的坐标分别为(－1,0)，(0,3)，(0，b)，且0＜b＜3.
(1)求点A的坐标和经过B.C两点的直线的解析式；
(2)当点E在线段OC上移动时，直线BE与⊙O有哪几种位置关系？求出每种位置关系时b的取值范围.
17. 如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD.
(1)求证：BD平分∠ABH；
(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离.
18. 如图，等腰△OAB中，OA＝OB，以点O为圆心作圆与底边AB相切于点C.求证：AC＝BC.
19. 如图，PA.PB是⊙O的切线，A.B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°.
(1)求∠BAC的度数；
(2)当OA＝2时，求AB的长.
20. 如图，⊙O经过菱形的三个顶点A.C.D，且与AB相切于点A.
(1)求证：BC为⊙O的切线；
(2)求∠B的度数.
参考答案：
1—8 BCBBA BDC
9. 5
10. 相离
11. 相交
12. 3
13. 相切
14. (1) 1
(2) 1＜d ＜3
15. 4
16. 解：(1)A(4,0)，y ＝3x ＋3；
(2)直线BE 与⊙O′有三种位置关系，即直线BE 与⊙O′相切时，b ＝255
；直线BE 与⊙O′相交时，0＜b ＜255；直线BE 与⊙O′相离时，255
＜b ＜3. 17. 解：(1)证明：连接OD.∵EF 是⊙O 的切线，∴OD ⊥EF.又∵BH ⊥EF ，∴OD ∥BH.∴∠ODB ＝∠DBH.而OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD.∴∠OBD ＝∠DBH ，∴BD 平分∠ABH ；
(2)过点O 作OG ⊥BC 于点G ，则BG ＝CG ＝4.在Rt △OBG 中，OG ＝OB2－BG2＝62－42＝2 5.所以圆心O 到BC 的距离为2 5.
18. 解：连结OC ，∵AB 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥AB.∵OA ＝OB ，∴AC ＝BC.
19. 解：(1)∵PA.PB 是⊙O 的切线，∴AP ＝BP ，∵∠P ＝60°，∴∠PAB ＝60°，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠PAC ＝90°，∴∠BAC ＝90°－60°＝30°；
(2)连接OP ，则在Rt △AOP 中，OA ＝2，∠APO ＝30°，∴OP ＝4，由勾股定理得：AP ＝23，∵AP ＝BP ，∠APB ＝60°，∴△APB 是等边三角形，∴AB ＝AP ＝2 3.
20. 解：(1)证明：如图，连接AO 、CO 、BO ，∵AB 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AB.∴∠BAO ＝90°.∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC.∵AO ＝CO ，BO ＝BO ，∴△BAO ≌△BCO.∴∠BAO ＝∠BCO ＝90°，即OC ⊥BC.∴BC 为⊙O 的切线；
(2)由圆周角定理可得∠AOC＝2∠D.由菱形的性质可得∠B＝∠D，∴∠AOC＝2∠B.在四边形ABCO中，∠B＋
∠AOC＝360°－∠BCO－∠BAO＝180°，∴∠B＝60°.。