6.备课资料(1.3.2 球的体积和表面积)
高一数学：1.3.2《球的体积和表面积》教案新人教版
第三课时 1.3.2 球的体积和表面积 教学要求：了解球的表面积和体积计算公式；能运用柱锥台球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关实际问题. 教学重点：运用公式解决问题.教学难点：运用公式解决问题.教学过程：一、复习准备：提问：柱、锥、台的体积计算公式？圆柱、圆锥的侧面积、表面积计算公式？二、讲授新课：1. 教学球的表面积及体积计算公式：① 讨论：大小变化的球，其体积、表面积与谁有关？② 给出公式：24R S π=球面，334R V π=球（R 为球的半径） →讨论：公式的特点；球面是否可展开为一个平面图形？（证明的基本思想是：“分割→求体积和→求极限→求得结果”，以后的学习中再证明球的公式）③练习：一个气球的半径扩大2倍，那么它的表面积、体积分别扩大多少倍？ ④出示例1：圆柱的底面直径与高都等于球的直径.（1） 求球的体积与圆柱体积之比；（2） 证明球的表面积等于圆柱的侧面积.讨论：圆柱与球的位置关系？（相切） → 几何量之间的关系（设球半径R ，则…） → 师生共练 → 小结：公式的运用. → 变式：球的内切圆柱的体积2. 体积公式的实际应用：① 课本练习P28面2、3题②出示例2：一种空心钢球的质量是142g ，外径是5.0cm ，求它的内径. （钢密度7.9g/cm3） 讨论：如何求空心钢球的体积？→ 列式计算 → 小结：体积应用问题.③有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放入一个半径为R 的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器中水的深度.三、巩固练习：（因时间而定）1. 如果球的体积是V球，它的外切圆柱的体积是V圆柱，外切等边圆锥的体积是V圆锥，求这三个几何体体积之比.2. 如图，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积。
五、作业《习案》第七课时。
课件8：§1.3 第2课时 球的体积和表面积
球面上的动点．若三棱锥 O－ABC 体积的最大值为 36，则球 O
的表面积为( )
A．36π
B．64π
C．144π
D．256π
【解析】 如图，设球的半径为 R， 因为∠AOB＝90°，所以 S△AOB＝12R2. 因为 VO－ABC＝VC－AOB，而△AOB 面积为定值， 所以当点 C 到平面 AOB 的距离最大时，VO－ABC 最大， 所以当 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时， 体积 VO－ABC 最大为13×12R2×R＝36，所以 R＝6. 所以球 O 的表面积 S＝4πR2＝4π×62＝144π.故选 C. 【答案】 C
2．已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体
的所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
49
7
A. 9 π
B.3π
28
28
C. 3 π D. 9 π
解析：由三视图，知该几何体是一个正三棱柱，其底面是边长为 2
的正三角形，侧棱长是 2，三棱柱的两个底面中心连线的中点与三
棱柱的顶点的连线就是其外接球的半径，设其外接球的半径为 r，则
【题型探究】
类型一 球的体积与表面积 [例 1] 若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相 等，求圆锥侧面积与球面面积之比．
解 设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l，球的半径为 R，
则由题意得 13πr2·h＝43πR3 r＝2R
，∴13π(2R)2·h＝43πR3，
∴R＝h，r＝2h，∴l＝ r2＋h2＝ 5h，
跟踪训练 2 某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )
A．72π
B．48π
C．30π
D．24π
1、3、2球的体积和表面积教案
解：设截面圆心为 O ，连结 O A ，设球半径为 R ， 则 O A
2 3 3 2
2
2
2 3 3
，
2 2
在 R t O O A 中， O A ∴R ∴S
2
O A O O
4 3
，
C
( 2 3 3
4 R
2
O O'
A'
C' O
则作轴截面如图， A A 1 4 ， A C 又∵ 4 R ∴ AC ∴S
表
2a
，
A C
2
3 2 4
2
，∴ R
2
9，
AC CC 8 2
，∴ a ．
8，
64 2 32 14 576
例 4. 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的 ；
4 3
，内切球的体积
答案：1. 3
，
4 3
5 球 O1、O2、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶 点都在球 O3 的表面上，求三个球的表面积之比． 分析： 球的表面积之比事实上就是半径之比的平方， 故只需找到球半径 之间的关系即可． 解：设正方体棱长为 a，则三个球的半径依次为 、
2 a
2
,
S圆 柱 侧
.
四、补充练习： 1．三个球的半径之比为 1 : 2 : 3 ，那么最大的球的体积是其余两个球 的体积和的 倍；
4
2.若球的大圆面积扩大为原来的 4 倍，则球的体积比原来增加 倍； 3.把半径分别为 3，4，5 的三个铁球，熔成一个大球，则大球半 径是 ； 4.正方体全面积是 2 4 ，它的外接球的体积是 是 ． 2. 7 3. 6 4.
必修二1.3.2球的表面积和体积
1、在太空中存在着多颗星球，科学家为了比较各个 星球的大小，需要计算它们的表面积和体积，但是星 球的形状不同于柱体、椎体、台体，而是近似于球体， 那么如何进行计算呢？
2、球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表 示球的体积和表面积？
1、球的体积函数，即：
4 定理：半径是 R的球的体积为： V R 3 3
2、球的表面积：
设球的半径为R，它的表面积由半径R唯一确 定，即它的表面积S也是以R为自变量的函数，即：
定 理： 半 径是R 的 球的 表面 积为 ： S 4 R 2
球的表面积等于球的大圆面积的4倍
练习
长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，若 它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积 是—— 分析：长方体内接于球，则由球和 长方体都是中心对称图形可知，它们 中心重合，则长方体对角线与球的直 径相等。
3 1 : 4 . 4、若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______
五、课堂小结 1、熟练掌握球的体积、表面积公式：
4 3 ①V R 3 2 ②S 4R
2、了解球的体积、表面积的一个应用
六、布置作业
点金训练： 自我测评与课内巩固
3 ___ 3 ，表面积 2、正方体的内切球和外接球的体积比为1: ___ 之比为 1:3
四、巩固深化
1、若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 ___ 2 倍. 2、若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来 的_4 _倍.
1: 2 2 3、若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______
略解： Rt D B 1 D 1 D 中 : (2 R )2 3 2 + 2R= 5 2 \ S 4 R 50
1.3.2球的体积和表面积
三、 正方体的外接球
2R
3a
球直径等于正方体的（体）对角线
正方体的内切球, 棱切球,外接球 三个球心合一 半径之比为： 1: 2 : 3
§2长方体与球
一、长方体的外接球
长方体的（体）对角线等于球直径
设长方体的长、宽、高 分别为 a、b、c，则 l a b c 2R
2 2 2
[答案] (1)B
(2)B (3) 2
3
• (1)已知球的表面积为64π，求它的体积． • (2)木星的表面积约为地球表面积的120倍， 木星的体积约是地球体积的多少倍？ • [分析] 借助公式，求出球的半径，再根 据表面积或体积公式求解．
[解析] (1)∵S 球＝4πR ＝64π， ∴R2＝16，即 R＝4. 4 3 4 256 3 ∴V 球＝3πR ＝3π×4 ＝ 3 π. (2)设木星和地球的半径分别为 r、R. 依题意，有 4πr ＝120×4πR ，解得 r＝2 30R. 4 3 4 3 π r π 2 30 R V木 3 3 所以 ＝4 ＝ 4 ＝240 30. V地 3 3 π R π R 3 3 故木星的体积约是地球体积是 240 30倍．
[解析] 由三视图知，此几何体是一个半径为 1 的半球和 一个棱长为 2 的正方体组成， (1)S＝S 半球＋S 正方体表面积－S 圆 1 2 2 ＝2×4π×1 ＋6×2×2－π×1 ＝24＋π(m2) (2)V＝V 半球＋V 正方体 1 4 3 3 ＝2×3π×1 ＋2 2 3 ＝8＋3π(m )
2 2 S2＝4πr2＝2πa .
(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面 3 得截面， 如图(3)所示， 有 2r3＝ 3a， 所以 r3＝ 2 a， 所以 S3＝4πr2 3 ＝3πa . 综上可得 S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.
高中数学必修2教案-6.示范教案(1.3.2 球的体积和表面积)
1.3.2 球的体积和表面积整体设计教学分析本节教材直接给出了球的表面积和体积公式，并用两个例题来说明其应用.值得注意的是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上，这是高考的重点. 三维目标掌握球的表面积和体积公式，并能应用其解决有关问题，提高学生解决问题的能力，培养转化与化归的数学思想方法. 重点难点教学重点：球的表面积和体积公式的应用. 教学难点：关于球的组合体的计算. 课时安排 约1课时教学过程导入新课思路1.位于香港栈桥回澜阁西部、西陵峡路东端海滨，有一座新异奇秀的半球形建筑.由香港好世界饮食服务（中国）有限公司等三方合资兴建，1996年9月正式开业，既是岛城饮食服务业的“特一级”店，又是新增加的一处景点.酒店的总建筑面积11 380平方米，现酒店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店，那么，需要多少面积的这种化学材料呢？思路2.球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？教师引出课题：球的体积和表面积. 推进新课 新知探究球的半径为R ，它的体积和表面积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R ，那么S=4πR 2,V=334R .注意：球的体积和表面积公式的证明以后证明. 应用示例思路1例1 如图1所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：图1（1）球的体积等于圆柱体积的32； （2）球的表面积等于圆柱的侧面积.活动：学生思考圆柱和球的结构特征，并展开空间想象.教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形.证明：（1）设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R. 则有V 球=334R π，V 圆柱=πR 2·2R=2πR 3，所以V 球=圆柱V 32.（2）因为S 球=4πR 2，S 圆柱侧=2πR·2R=4πR 2，所以S 球=S 圆柱侧.点评：本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算.解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征. 变式训练1.如图2(1)所示，表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积.图2解：设球的半径为R ，正四棱柱底面边长为a,则轴截面如图2（2），所以AA′=14,AC=a 2,又∵4πR 2=324π,∴R=9. ∴AC=28''22=-CC AC .∴a=8.∴S 表=64×2+32×14=576,即这个正四棱柱的表面积为576.2有一种空心钢球，质量为142 g,测得外径（直径）等于5 cm ，求它的内径（钢的密度为7.9 g/cm 3，精确到0.1 cm ）.解：设空心球内径（直径）为2x cm,则钢球质量为7.9·［3334)25(34x ππ-∙］=142, ∴x 3=14.349.73142)25(3⨯⨯⨯-≈11.3,∴x≈2.24,∴直径2x≈4.5.答：空心钢球的内径约为4.5 cm.例2 如图3所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m 、高为3 m 的圆柱形物体，上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.1）?图3活动：学生思考和讨论如何计算鲜花的朵数.鲜花的朵数等于此几何体的表面积（不含下底面）与每朵鲜花占用的面积.几何体的表面积等于圆柱的侧面积再加上半球的表面积. 解：圆柱形物体的侧面面积S 1≈3.1×1×3=9.3(m 2),半球形物体的表面积为S 2≈2×3.1×(21)2≈1.6(m 2), 所以S 1+S 2≈9.3+1.6=10.9(m 2). 10.9×150≈1 635(朵).答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花.点评：本题主要考查球和圆柱的组合体的应用，以及解决实际问题的能力. 变式训练有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R 的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？分析：转化为求水的体积.画出轴截面，充分利用轴截面中的直角三角形来解决. 解：作出圆锥和球的轴截面图如图4所示，图4圆锥底面半径r=R R330tan =︒,圆锥母线l=2r=R 32，圆锥高为h=r 3=3R ， ∴V 水=334332πππ=-R h r ·3R 2·3R 333534R R ππ=-，球取出后，水形成一个圆台，下底面半径r=R 3,设上底面半径为r′， 则高h′=(r -r′)tan60°=)'3(3r R -, ∴'3353h R ππ=(r 2+r′2+rr′),∴5R 3=)3'3')('3(322R Rr r r R ++-, ∴5R 3=)'33(333r R -，解得r′=6331634R R =, ∴h′=(3123-)R.答：容器中水的高度为(3123-)R.思路2例1 （2006广东高考，12）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________.活动：学生思考长方体和球的结构特征.教师可以借助于信息技术画出图形. 分析：画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以球的半径R=233，则该球的表面积为S=4πR 2=27π. 答案：27π点评：本题主要考查简单的组合体和球的表面积.球的表面积和体积都是半径R 的函数.对于和球有关的问题，通常可以在轴截面中建立关系.画出轴截面是正确解题的关键. 变式训练1.（2006全国高考卷Ⅰ，理7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）A.16πB.20πC.24πD.32π分析：由V=Sh ，得S=4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以，球的半径为R=642221222=++，所以球的表面积为S=4πR 2=24π. 答案：C2.（2005湖南数学竞赛，13）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积为_____________.分析：把正四面体补成正方体的内接正四面体，此时正方体的棱长为a 22，于是球的半径为a 42，V=3242a π. 答案：3242a π 3.（2007天津高考，理12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为___________.分析：长方体的对角线为14321222=++，则球的半径为214,则球的表面积为4π(214)2=14π. 答案：14π例2 图5是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？图5活动：学生思考杯里的水将下降的原因，通过交流和讨论得出解题思路.因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20 cm 的圆，它的体积正好等于圆锥形铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度.解：因为圆锥形铅锤的体积为2)26(31⨯⨯π×20=60π（cm 3）， 设水面下降的高度为x ，则小圆柱的体积为x 2)220(π=100πx （ cm 3）. 所以有60π=100πx ，解此方程得x=0.6（ cm ）. 答：杯里的水下降了0.6 cm.点评：本题主要考查几何体的体积问题，以及应用体积解决实际问题的能力.明确几何体的形状及相应的体积公式是解决这类问题的关键.解实际应用题的关键是建立数学模型.本题的数学模型是下降的水的体积等于取出的圆锥形铅锤的体积.明确其体积公式中的相关量是列出方程的关键. 变式训练1.一个空心钢球，外直径为12 cm ，壁厚0.2 cm ，问它在水中能浮起来吗？（钢的密度为7.9 g/cm 3）和它一样尺寸的空心铅球呢？（铅的密度为11.4 g/cm 3）分析：本题的关键在于如何判断球浮起和沉没，因此很自然要先算出空心钢球的体积，而空心钢球的体积相当于是里、外球的体积之差，根据球的体积公式很容易得到空心钢球的体积，从而算出空心钢球的质量，然后把它与水的质量相比较即可得出结论，同理可以判断铅球会沉没.解：空心钢球的体积为V 钢=348.53463433πππ=⨯-⨯×20.888≈87.45(cm 3)， ∴钢的质量为m 钢=87.45×7.9=690.86(g). ∵水的体积为V 水=34π×63=904.32(cm 3)， ∴水的质量为m 水=904.32×1=904.32(g)＞m 钢. ∴钢球能浮起来，而铅球的质量为m 铅=87.45×11.4=996.93(g)＞m 水. ∴同样大小的铅球会沉没.答：钢球能浮起来，同样大小的铅球会沉没.2.（2006全国高中数学联赛试题第一试，10）底面半径为1 cm 的圆柱形容器里放有四个半径为21cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水___________cm 3.分析：设四个实心铁球的球心为O 1、O 2、O 3、O 4，其中O 1、O 2为下层两球的球心，A 、B 、C 、D 分别为四个球心在底面的射影，则ABCD 是一个边长为22cm 的正方形，所以注水高为(1+22) cm.故应注水π(1+22)-4×)2231()21(343+=ππ cm 3. 答案：（31+22）π 知能训练1.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ） A.1倍 B.2倍 C.59倍 D.47倍分析：根据球的表面积等于其大圆面积的4倍，可设最小的一个半径为r ，则另两个为2r 、3r ，所以各球的表面积分别为4πr 2、16πr 2、36πr 2，5916436222=+r r r πππ（倍）.答案：C2.（2006安徽高考，理9）表面积为32的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ ） A.32π B.3πC.32πD.322π 分析：此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形，所以由8×32432=a 知，a=1，则此球的直径为2.答案：A3.（2007北京西城抽样，文11）若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9π，则球的表面积是____________. 分析：画出球的轴截面，则球心与截面圆心的连线、截面的半径、球的半径构成直角三角形，又由题意得截面圆的半径是3，则球的半径为2234+=5，所以球的表面积是4π×52=100π. 答案：100π4.某街心花园有许多钢球（钢的密度是7.9 g/cm 3）,每个钢球重145 kg,并且外径等于50 cm,试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的.如果是空心的，请你计算出它的内径（π取3.14,结果精确到1 cm ）.解：由于外径为50 cm 的钢球的质量为7.9×3)250(34⨯π≈516 792(g), 街心花园中钢球的质量为145 000 g,而145 000＜516 792,所以钢球是空心的.设球的内径是2x cm ，那么球的质量为7.9·［3334)250(34x ππ-∙］=145 000, 解得x 3≈11 240.98,x≈22.4,2x≈45(cm).答：钢球是空心的，其内径约为45 cm.5.（2007海南高考，文11）已知三棱锥S —ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC=r 2,则球的体积与三棱锥体积之比是（ ） A.π B.2π C.3π D.4π 分析：由题意得SO=r 为三棱锥的高，△ABC 是等腰直角三角形，所以其面积是21×2r×r=r 2,所以三棱锥体积是33132r r r =⨯⨯，又球的体积为343r π，则球的体积与三棱锥体积之比是4π.答案：D点评：面积和体积往往涉及空间距离，而新课标对空间距离不作要求，因此在高考试题中其难度很低，属于容易题，2007年新课标高考试题就体现了这一点.高考试题中通常考查球、三棱锥、四棱锥、长方体、正方体等这些简单几何体或它们的组合体的面积或体积的计算.我们应高度重视这方面的应用.拓展提升问题：如图6，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A—BEFD与三棱锥A—EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）图6A.S1＜S2B.S1＞S2C.S1=S2D.S1,S2的大小关系不能确定探究：如图7，连OA、OB、OC、OD，则V A—BEFD=V O—ABD＋V O—ABE＋V O—BEFD+V O—ADF，V A—EFC=V O—AFC＋V O—AEC＋V O—EFC，又V A—BEFD=V A—EFC，而每个小三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S△ABD＋S△ABE＋S BEFD+S△ADF=S△AFC＋S△AEC＋S△EFC，又面AEF是公共面，故选C.图7答案：C课堂小结本节课学习了：1.球的表面积和体积.2.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积.3.空间几何体的表面积与体积的规律总结：（1）表面积是各个面的面积之和，求多面体表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积.求旋转体的表面积时，可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系，注意球面不可展开.（2）在体积公式中出现了几何体的高，其含义是：柱体的高：从柱体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为柱体的高；锥体的高：从锥体的顶点向底面作垂线，这点和垂足间的距离称为锥体的高；台体的高：从台体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为台体的高.注意球没有高的结构特征.（3）利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题的常用手段.（4）柱体、锥体、台体和球是以后学习第二章点、直线、平面位置关系的载体，高考试题中，通常是用本模块第一章的图，考查第二章的知识.（5）与球有关的接、切问题是近几年高考的热点之一，常以选择题或填空题的形式出现，属于低档题.作业课本本节练习1、2、3.设计感想本节教学结合高考要求，主要是从组合体的角度来讨论球的表面积和体积.值得注意的是其中的题目没有涉及球的截面问题（新课标对球的截面不要求），在实际教学中，教师不要增加球的截面方面的练习题，那样会增加学生的负担.。
课件4：1.3.2 球的体积和表面积
名师指导
1．在处理与球有关的相接、相切问题时，一般要通过 作一适当的截面，将立体问题转化为平面问题解决，而 这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等． 2．几个常用结论 (1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方 体的棱长等于球的直径；
名师指导 (2)球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体 的体对角线长等于球的直径； (3)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱 的高，也等于圆柱底面圆的直径； (4)球与棱锥相切，则可利用 V 棱锥＝31S 底 h＝13S 表 R，求球 的半径 R.
()
A. 92π＋12
B. 92π＋18
C．9π＋42
D．36π＋18
题型探究 【解析】 由三视图可得这个几何体是由上面一个直径 为 3 的球，下面一个底面为正方形且边长为 3，高为 2 的长方体所构成的几何体，则其体积为： V＝V1＋V2＝43×π×323＋3×3×2＝92π＋18. 【答案】 B
【答案】 D
课堂检测
2．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在
一个球面上，则该球的表面积为( )
A．3πa2
B．6πa2
C．12πa2
D．24πa2
课堂检测
【解析】 设该球的半径为R， ∴(2R)2＝(2a)2＋a2＋a2＝6a2， 即4R2＝6a2. ∴球的表面积为S＝4πR2＝6πa2. 【答案】 B
跟踪训练
1．球的体积是332π，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
16π C. 3
64π D. 3
跟踪训练
【解析】 设球的半径为 R， 则由已知得 V＝34πR3＝323π，R＝2. ∴球的表面积 S＝4πR2＝16π. 【答案】 B
1.3.2 球的体积和表面积
1．3．2 球的体积和表面积一、知识点回顾与梳理1、球的体积和表面积公式设球的半径为R ，它的体积为343V R π=，表面积为24S R π=2、球的截面问题（1）大圆与小圆：球中过球心的截面圆称为球的大圆，而不过球心的截面圆称为球的小圆。
（2）球的截面性质：球的半径为R ，截面圆的半径为r ，球心到截面的距离为d ，则有d =。
当0d =时，截面圆过球心，截面圆面积最大，此圆叫球的大圆； 当0d R <<时，截面圆不过球心，此圆叫做小圆；二、典型例题分析与方法总结题型一：与球的体积有关的问题例1、据说伟大的阿基米德死了以后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑。
在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点在圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比。
题型二：与球的表面积有关的问题例2、过球的某一条半径的中点，作一个垂直于这条半径的截面，截面面积为248cm π，求球的表面积。
题型三：与球有关的组合体问题例3、已知圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，求圆锥侧面积与底面积之比。
变式1：一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球求（1）圆锥的侧面积；（2）圆锥内切球的体积。
变式2：圆锥的内切球半径为r，求圆锥体积的最小值。
例4、半径为R的球的内接正四面体内有一内切球，求这两球的体积比。
-的侧棱长为l，两侧棱的夹角为2α，求它的外接球的体积。
变式1：正三棱锥P ABC变式2：（05全国）将半径为1的四个完全相同的钢球完全装进一个正四面体中，求正四面体的高的最小值。
例5、正方形ABCD 的中心为O ，过O 作正方形所在平面的垂线EO ，一个半径为1的球内切于正四棱锥E ABCD ，当正四棱锥的体积最小时，正方形的边长为多少？此时体积的最小值是多少？变式：在棱长为1的正方体内，有两个球外切并且分别与正方体的面相切。
1.3.2 球的体积和表面积
题型三 与球相关的“切”“接”问题 【例3-1】 正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为6,底面边 长为4,则该球的表面积为( )
(A) 44 π 3
(B) 484 π 9
(C) 81 π 4
(D)16π
解析:如图,正四棱锥 P-ABCD 中,PE 为四棱锥的高,根据球的 相关知识可知,四棱锥的外接球的球心 O 必在正四棱锥的高线 PE 所在的直线上,因为底面边长为 4,
自我检测(教师备用)
1.一个球的大圆面积为9π ,则它的表面积和体积分别是( C )
(A)9π ,27π
(B)9π ,36π
(C)36π ,36π (D)36π ,48π
2.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为( D ) (A)R (B)2R (C)3R (D)4R
3.平面α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面α 的距离为 2 ,则此 球的体积为( B )
答案: 6 π ∶2
方法技巧 解决几何体与球相切或相接的策略: (1)要注意球心的位置,一般情况下,由于球的对称性球心在几何体的特 殊位置,比如,几何体的中心或长方体对角线的中点等. (2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径, 关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截面图,把空间问题转化为平 面问题来计算.
3
3
(B) 15 π 3
(D) 4 π + 15 π
3
3
解析:(1)由三视图可知,该几何体由一个球和一个圆锥组合而成,则该器物的 体积 V=V 球+V 圆锥
= 4 π+ 1 ·π× 15 33
= 4 π+ 15 π.
3
1.3.2球的表面积和体积
1. 球是怎样形成的？球的大小决定因素是什
必修2
第一章 空间几何体
栏目导引
[提示]
1.以半圆的直径所在直线为旋转轴， 半圆面旋转
一周形成的旋转体叫做球体，决定球的大小的因素是球 的半径． 4 3 2. πR . 3 3．4πR2.
工具
必修2
第一章 空间几何体
栏目导引
1．了解球的表面积和体积的计算公式． 2．会用球的体积与表面积公式解决实际问题． 3．会解决球的组合体及三视图中球的有关问题．
工具
必修2
第一章 空间几何体
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(3)此类问题的具体解题流程：
工具
必修2
第一章 空间几何体
栏目导引
3．(1)(2013· 大连高一检测)已知各顶点都在一个球面上的 正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是( A．16π C．24π B．20π D．32π )
(2)正三棱柱有一个半径为 3 cm 的内切球，则此棱柱的 体积是( ) B．54 cm3 D．18 3 cm3
发，“缺什么，找什么，要什么，求什么”，紧紧围
绕能求出球的半径的目的思考．
(3)球的表面积和体积公式中均含有π，如不加特殊说 明，结果中保留π即可．
工具
必修2
第一章 空间几何体
栏目导引
1．如果两个球的体积之比为 8∶27，那么两个球 的表面积之比为( ) A．8∶27 B．2∶3 C．4∶9 D．2∶9 4 4 3 3 解析： 3πr ∶3πR ＝8∶27， ∴r∶R＝2∶3，∴S1∶S2＝4∶9.
即(d1－d2)(d1＋d2)＝3. 又由已知条件，得 d1－d2＝3，
d1－d2＝3， d1＝2， ∴ 解得 与 d2＞0 矛盾， d1＋d2＝1， d2＝－1，
1.3.2 球的体积和表面积
1．3.2 球的体积和表面积
基础梳理
1．球的体积．
设球的半径为R，则球的体积V＝．
练习1：一个球的半径是2，它的体积为．
2．球的表面积．
设球的半径为R，则球的表面积S＝，即球的表面积等于它的大圆面积的倍．
练习2：一个球的半径是2，它的表面积是．
练习3：一个球的表面积变为原来的一半，半径是原来的倍．
练习4：一个球的体积是36π，它的表面积是π．
►思考应用
1．用一个平面去截球体，截面是什么平面图形？试在球的轴截面图形中，展示截面图与球体之间的内在联系．2．正方体的外接球和内切球的球心分别在正方体的什么位置？
典例精析
题型一求球体积和表面积
例2 一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积．
►跟踪训练
2．用与球心距离为2的平面去截球，若球的体积为36π，则所得截面圆的面积为________．
题型二球的内切、外切几何体
例3 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
点评：解决与球有关组合体问题，可通过画过球心的截面来分析．下列结论常用：
①正方体的8个顶点在同一个球面，则正方体的体对角线是球的直径；
②球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；
③球与正方体的8条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线．
题型三球的体积、表面积的综合应用。
高中数学新人教版必修2教案1.3.2球的体积和表面积
备课人授课时间课题§1.3.2 球的体积和表面积课标要求通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”.教学目标知识目标能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题.技能目标培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
情感态度价值观通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力.重点引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法. 难点推导体积和面积公式中空间想象能力的形成.教学过程及方法教学内容教学环节与活动设计（一）创设情景⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。
⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。
（二）探究新知1．球的体积：如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。
步骤：第一步：分割如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为nR，底面是“小圆片”的底面。
学生回答教学过程及方法计如图：得)1(])1(1[232nininRnRrV ii⋯⋯=--=⋅⋅≈、２ππ第二步：求和]6)2)(1(1[113321nnnRvvvv---≈++++π＝Ｖ半球第三步：化为准确的和当n→∞时，n1→0 （同学们讨论得出）所以3332)6211(RRππ=⨯-＝Ｖ半球得到定理：半径是Ｒ的球的体积334Rπ=球Ｖ练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm3)2．球的表面积：球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导。
1.3.2 球的体积和表面积
问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.
A A
O
O
C2
B2
r1 R R,
2
R 2 r2 R ( ) , n
2
2R 2 r3 R ( ) , n
2
A
球的体积
ri
O
R ( i 1) n
R
O
第i层“小圆片”下底面的 半径：
ri R R [ ( i 1)]2 , i 1,2 , n. n
球的体积
当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式． 分割 求近似和 化为准确和
下面我们就运用上述方 法导出球的体积公式
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积， 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
球的表面积
S i
o
o
球的表面积 球面被分割成n个网格，表面积分别为：
第 一 步： 分 割
S1，S2，S3 ,, Sn
O
则球的表面积：
S S1 S2 S3 Sn
设“小锥体”的体积为 Vi
Si
O
则球的体积为：
V V1 V2 V3 Vn
2 V半 球 R 3 3 4 从而V R 3 . 3
4 3 定理：半径是R的球的体积为： V R 3
球的表面积 球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图 求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法, 是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢?
h
实验：排液法测小球的体积
h
实验：排液法测小球的体积
1.3.2 球的体积与表面积
B
练习．若一个球的外切正方体的全面积 等于6，求球的体积。 1
6
A B
O1
C
C
思考练习：左图是一个奖杯的三视图(单位:cm),
画出它的直观图，并计算这个奖杯的表面积
和体积（精确到1cm）。
4 20 8
4
10 16 8
20 2
z’
y’
o'
x'
答、表面积和体积分别是：1193cm2，1067cm3
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
高中数学必修二教案：1.3.2球的体积和表面积
A B C D
3.正方体的全面积为a ,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（ ）
A.
3a π; B.2a π; C.a π2; D.a π3. 反思总结 1.知识建构
2.能力提高
3.课堂体验
课后练习 1.已知正方体外接球的体积是323
π，那么正方体的棱长等于 （ ） （A ）22 （B ）233 （C ）423
（D ）433 2.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的 倍.
3.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为 cm 3.
4.长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 。
5.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_________.
6.正方体的内切球和外接球的体积的比为 ，表面积比为 。
7.一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米
8.在球心同侧有相距9cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm 2和400πcm 2，求球的表面积。
1.3.2 球的体积和表面积
在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202， 在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72， 所以，x2＋202＝(x＋9)2＋72，解得x＝15(cm)． 即R2＝x2＋202＝252. 故S球＝4πR2＝2 500π(cm2)． 所以，球的表面积为2 500π cm2. [错因分析] 本例错误在于盲目认为平行截面在球心的同
温馨提示：这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径
R唯一确定．其中球的体积是半径R的三次函数，球的表面 积是半径R的二次函数，并且表面积为半径为R圆面积的4 倍．
新知探究
题型探究
感悟提升
互动探究
探究点 提示 旋转体如圆柱、圆锥、圆台表面都可展开成平面图 不能.
形，想一想，球的表面可展开成平面图形吗？
＋VO ABC
新知探究
题型探究
感悟提升
1 1 1 ＝ ·S 侧·r＋ ·S△ ABC·r＝ ·S 表·r＝(3 2＋2 3)r， 3 3 3 1 1 3 又 VP ABC＝ × × ×(2 6)2×1＝2 3. 3 2 2 ∴(3 2＋2 3)r＝2 3， 2 3（3 2－2 3） 2 3 得 r＝ ＝ ＝ 6－2. 18－12 3 2＋2 3 ∴S 内切球＝4π ( 6－2)2＝(40－16 6)π ， 4 8 3 V 内切球＝ π ( 6－2) ＝ (9 6－22)π . 3 3
新知探究
题型探究
感悟提升
设O1O＝x，则OO2＝(9－x)． 在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202， 在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋72. 所以x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15(cm)，不合题意，
舍去．
综上所述，球的表面积为2 500π cm2.
1.3.2 球的体积与表面积
4 V , S 4 3
【例3】一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是
4cm,求这个球的体积.
正方体的体对角线为球的直径
1 2 1 2 2 r 4 4 4 4 3 2 3 2 2 3 3 3 3 V r ( 2 3 ) 32 3 4 4
A
D1 O C1 D C
B
A1
B1
球的体积与表面积问题关键是先解决它的半径大小。
【例4】已知棱长为a的正四面体S－ABC，求其外 接球和内切球的半径。
S S
O A O0
C
O
பைடு நூலகம்
C
B
A B
【例5】已知三棱S－ABC，其中SA、SB、SC两 两垂直，且SA＝SB＝SC＝a。求其外接球的体积。
【例6】如图球O有一截面圆O1，A、B为圆O1上两点， 且∠OAO1 =450，∠OAB＝450，求∠OAB 。
o o1 B
A
球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样 展成平面图形，那么球的表面积和体积如何呢？
1.3.2 球的体积 和表面积
O
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点 的集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心， 定长叫做球的半径． 与定点距离等 于定长的点的集合 叫做球面．
C
A
R O B
2．球的表面积和体积
4 3 定理：半径是 R的 球 的 体 积 为 ： V R 3
定理：半径是 R的球的表面积为： S 4R 2
【例1】圆柱的底面直径与高都等于球的直径.
(1) 求球的体积与圆柱体积之比；
(2) 证明球的表面积等于圆柱的侧面积.
内切球的直径等于圆柱底面圆的直径
1.3.2 球的体积和表面积
答案：9
27
练习
32π 2.球的体积是 3 ，则此球的表面积是( B ) 16π 64π A．12π B．16π C. 3 D. 3
2 将两个半径为 1 的小铁球熔化成一个大球，则这个大球的半径 R 为________
练习3.
3
【例2】 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a， 顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( B ) A.π C. a2
A. 3π C．4 3π
B．2 3π 4 D.3 3π
C
熟练掌握球的体积、表面积公式：
4 3 V = R 3 S = 4R 2
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
A B B
A
O
D C C 正四面体外接球的半径
O
D
正方体外接球的半径
已知过球面上三点 A, B, C 的截面和球心的距离为球 【例3】 半径的一半，且 AB = BC = CA = 2 ，求球的表面积.
【解析】设截面圆心为 O ,连接 OA ,
设球半径为 R ， 则
A1
C 对角面
B
A
C
O
C1
B1
正方体的外接球直径是体对角线
变式
2.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它
的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 （ B ） A．25π B． 50π C． 125π D．都不对
变式
4 3 3. 表面积为 3 的正四面体的各个顶点都在同一个球面上， 则此球的体积为( A) 2 1 A. 3 π B.3π 2 2 2 C.3π D. 3 π
1.3.2 球的体积和表面积
制作一个乒乓球和一个篮球，分别需要多少材质？
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备课资料
知识拓展
利用体积法求简单多面体的内切球半径
求简单多面体的内切球的半径常用的方法是作轴截面，把空间问题转化为多边形内切圆问题，如果简单多面体是不规则的，要作轴截面就很困难，因此这种方法用起来很繁琐.我们可以利用另一种既简便又快速的方法——体积法，即把多面体进行分割，且分割成以内切球球心为公共顶点的若干个棱锥，这些棱锥的高都是内切球的半径，然后根据这些棱锥的体积之和等于多面体体积，从而求出半径.现举例说明如下：
图8
如图8，在三棱锥S —ABC 中，SA=AB=AC=1，∠BAC=90°，SA ⊥面ABC ，求三棱 锥S —ABC 的内切球的半径.
解：设内切球的球心为O ，球的半径为r,则V S —ABC =V O —SAB +V O —SAC +V O —SBC +V O —ABC . 又∵V O —SAB 、V O —SAC 、V O —SBC 、V O —ABC 的高都是r ，SA ⊥面ABC ，
∴V S —ABC =V O —SAB +V O —SAC +V O —SBC +V O —ABC =r 3
1(S △SAB +S △SAC +S △SBC +S △ABC ) =2
1131)112124*********(31
∙∙=∙∙+∙+∙∙+∙∙r . ∴r=6
33331
-=+. 点评：若一个简单n 面体有内切球，且简单n 面体的各个面的面积分别为S 1,S 2,S 3,…,S n ，简单n 面体的体积为V ，则此简单n 面体的内切球的半径为r=
n S S S S V +++3213. 用体积法求简单多面体的内切球半径的优点是不用作轴截面，对空间想象能力要求高，但并不是意味着遇到这种类型的问题都用体积法，体积法的缺点是计算量较大，而且要考虑多面体是否是规则的，因此在解题时要注意选择方法.。