概率 (2)
概率2
概率一、知识梳理（一）基本概念：（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件；（2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数nA 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例f (A)=A n n为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值A n n，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率（二）、概率的基本性质1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A∩B 为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1－P(B)。
2、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A 发生B 不发生；（2）事件B 发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
12.2等可能条件下的概率(2)
根据等可能 条件下的概 率的特点才 能 用 树 状 图，列出所 有可能的结 果，可以通 过树状图， 帮助学生计 算出所要求 的概率. 交流、讨论
的试验十次.并在小组内交流试验的结果. （1）通过试 验探索让学 生体会试验 （正、反） 结果的有限 开始 （反、正） 性，并培养 学生动手操 （反、反） 作和思考的 问题 1 你能只通过一次试验，列出所有可能的结果吗？ 能力. 2）指 （ 问题 2 小明的说法公平吗？为什么？ 应怎样更正游戏规则才公平？ 导学生会画 例 2：一只不透明的袋中装有 1 个白球，1 红球和 1 个黄球，这些球除颜色 树状图，理 外都相同，搅匀后从中任意摸出 1 个球，记下颜色放回搅匀，再从中任意 解树状图的 摸出 1 个球，两次都摸出红球的概率是多少？ 作用. 问题：你能提出什么样的问题？还能提出什么问题？ 问题 1 引导 说明：主要是训练学生能将所有等可能性的结果表示出来，并与以下的例 学生利用树 题相联系. 状图列出所 问题： 一只不透明的袋中装有 1 个白球， 个红球， 2 这些球除颜色外都相同， 有可能的结 搅匀后从中任意摸出 1 个球，记下颜色放回搅匀，再从中任意摸出 1 个球， 果，并让学 两次都摸出红球的概率是多少？ 生说明这些 说明：经过学生练习讨论和交流，得出摸出红球和白球的结果不是等可能 结果的等可 的.掌握将非等可能的结果转化为等可能的结果，并提醒学生注意画树状图 能性， 计算 2 的方向可以改变. 次正面朝上 四、课堂练习：课本 P162～163 练习题 第 1、2、3 的概率. 题 问题 2 目的 五、小结与思考 是让学生根 (一)小结 本节课你有什么收获？ 据概率等制 (二)思考：有四条线段,长度分别是 2cm,3cm,4cm,5cm, 制订游戏规 从 中 任 取 三 条 , 能 构 成 三 角 形 的 概 率 是 ( )A.25%; 则，能把概 B.50% C.75%; D.100% 率知识应用 六、中考链接：某电脑公司现有 A，B，C 三种型号的 于实际. 甲品牌电脑和 D， 两种型号的乙品牌电脑． E 希望中学 举例说明生 要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑． 活中哪些事 (1) 写出所有选购方案(利用树状图或列表方法表示） ； 情是用概率 (2) 如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同， 那么 A 型号电脑被选中的 来解决的. 概率是多少？ 生活中，我 (3) 现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共 36 台(价格如图所示)，恰好用 们碰到难以 了 10 万元人民币，其中甲品牌电脑为 A 型号电脑，求购买的 A 型号电脑有 决断的事情 几台． 时，人们通 七、布置作业 常用概率知 课本 P163～164 习题 12.2 第 4、5、6、7 题 识来决断 (1) AD,AE, 课外作业《数学补充题》P99 12.2 等可能条件下的概率(一)(2) BD,BE,CDCE
概率论 2概率的统计定义、古典概型
个。
• 例８ 从1~100的一百个整数中任取一数，试求取到的整数能被 ６或８整除的概率。
几何概率( Geometric Probability)
将古典概率中的有限性推广到无限性，而保留等可
能性，就得到几何概率。
特点
有一个可度量的几何图形S 试验E看成在S中随机地投掷一点
事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中
投掷两颗骰子,试计算两颗骰子的点数之 和在4和10之间的概率. 解：设A表示点数之和在4和10之间
1 2 5 P( A) 1 2 2 36 36 6
求
P A B, P A B, P A B
设 P A 0.4,
P AB P A B P A AB 0.2
A B 0.4 0.7 0.2 0.9
0.4 0.3 0.2 0.5
古典概率 (Classical Probability)
考察如下几个试验：
抛两枚均匀的硬币，观察它们出现的正反面的情况。 掷骰子一颗，观察其点数。 掷一颗骰子并抛一枚硬币，观察骰子的点数和硬币的 正反面情况。
(2) 事件A,B有包含关系
解 (1) 由于 AB , 因此 A B A, B A B P( A B) P( A) 0.3 P( B A) P( B) 0.6
(2) 由已知条件和性质3,推得必定有
A B
P( A B) P() 0
P( B A) P( B) P( A) 0.3
它们都具备如下特点： （1）每次试验中，所有可能的结果只有有限多个。 （2）每次试验中，每一种可能的结果发生的可能性相同。 满足这些条件的数学模型称作古典概率。
概率第二章
0 1 1 1 η ~ 2 2
(1)求ξ和η的联合分布列 (1)求 (2)问 (2)问ξ和η是否独立？为什么？ 是否独立？为什么？
19
§2.3
随机变量函数的分布列
一、随机变量的函数 问题：已知随机变量ξ的分布， f(ξ 问题：已知随机变量ξ的分布，令η=f(ξ), 的分布。 求η的分布。 定理1 设ξ是(Ω，F，P)的一个随机变量，f(x)是一个 P)的一个随机变量 f(x)是一个 的一个随机变量， 定理1 可测函数， f(ξ 也是( P)上的的一个随机量 上的的一个随机量. 可测函数，则η=f(ξ)也是(Ω，F，P)上的的一个随机量.
引例3 引例 掷一枚硬币 ， Ω = {ω1,ω2} 引例4 掷一枚硬币 ， 10件产品，5件次品任取 件，其 引例 件产品， 件次品任取3件 件产品 件次品任取 中的次品数ξ=0。 中的次品数ξ=0。1，2，3
1
定义1 ,P）是概率空间, 是定义在Ω 定义1：设（ Ω, F,P）是概率空间, ξ=ξ(ω)是定义在Ω 上的实值函数， 上的实值函数，如果 ∀x∈ R 有：{ω ξ (ω) < x}∈ F ∈ 则称ξ 随机变量。 则称ξ为随机变量。 定义2 离散型随机变量） 定义2：（离散型随机变量）
x1
x2
p2
x2 L p2 L
L
L
P p1
x1 p 1
或：
3
假设有10种同种电器元件，其中有2只废品， 10种同种电器元件 例5 假设有10种同种电器元件，其中有2只废品，装配仪 器时，从这批元件任取一只，如果是废品，扔掉再取， 器时，从这批元件任取一只，如果是废品，扔掉再取， 直到取出正品， 表示取出正品之前已取出的废品个 取出正品之前已取出的废品个， 直到取出正品，令ξ表示取出正品之前已取出的废品个， 数求ξ的分布列。 数求ξ的分布列。 例6 n=5的Bernoulli试验中 试验中， P(A)=p， 表示5 在n=5的Bernoulli试验中，设P(A)=p，令ξ表示5次
概率论 第2
X的概率密度为：fX ( x)
1
e
(
x μ )2 2σ2
,
x
2πσ
Y的分布函数为：
FY
( y) P(
X
P(Y y) σy μ)
P( X μ σ
σy μ
y) 1 (
e 2πσ
x μ)2 2σ2
dx
于是Y的概率密度为： fY ( y) FY( y)
1
e
(
σy
μ 2σ2
μ
)2
一般地，有如下求离散型随机变量函数分布律的方法：
设X的分布律为：
X P
x1 p1
x2 xi p2 pi
Y 则Y g( X )的分布律为： P
g( x1 ) p1
g( x2 ) p2
g( xi ) pi
.
注：若g( xi )有相同的, 则把相应的pi相加, 即
P(Y y) pi g( xi ) y
h(
y)],
α
y 其它.
β,
(1)
当g x严格单调递增时,同理可得Y = g X 的概率密度
fY
(
y)
f
X
[h(
y )] 0,
h(
y),
α y β, 其它.
(2)
说 明 ：将(1)和(2)统一起来，就得到Y =g(X )的
概率密度的统一表达式
fY
( y)
f X [h( y)] 0,
(σy
μ)
2πσ
1 2π
y2
e2
,
故
Y
X ～N (0,
1).
方法二：利用公式法 Y X μ 是X的单调递增函数, 则 σ
《概率论》 第二章 基本定理
方法二
按乘法法则
1 1 A3 A2 3 P ( AB ) 2 A5 10
1 A3 3 P ( A) 1 , A5 5
P ( AB ) 3/10 1 由乘法法则 P ( B A) P ( A) 3/5 2
注 条件概率的计算方法： (1) 若问题比较简单，可根据实际意义，直接由定 义求P(B|A)； (2) 当问题比较复杂时，可在原样本空间中先求出 P(AB)和P(A)，再由乘法公式求出P(B|A).
1 2 2 1 207 C4 C 46 276 C C 4 46 ， P ( A1 ) ， P ( A ) 3 2 3 980 C 50 19600 C 50
C 43 P ( A3 ) 3 C 50
4 . 19600
故 P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )
定理2 若A，B为任意两事件，则
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB ).
推广 三个事件和的情况
P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A1 A2 ) P ( A2 A3 ) P ( A1 A3 ) P ( A1 A2 A3 ).
例如 同时抛掷一大一小两枚硬币，设事件 A={大硬币正面}，B={小硬币正面} 则基本事件共有4种情况： {大正,小正},{大正,小反},{大反,小正},{大反,小反}
2 1 2 1 , P(B)= , 于是 P(A)= 4 2 4 2 1 P(AB)= 4
有P(AB) = P(A)P(B) ，可见， A、B相互独立.
《概率论与数理统计(二)》复习题
《概率论与数理统计（二）》复习题一、单项选择题1.设A,B 为随机事件，则事件“A ,B 至少有一个发生”可表示为 A.AB B.AB C.A BD.A B2.设随机变量2~(,)X N μσ，Φ()x 为标准正态分布函数，则{}P X x >= A.Φ(x ) B.1-Φ(x ) C.Φx μσ-⎛⎫⎪⎝⎭D.1-Φx μσ-⎛⎫ ⎪⎝⎭3.设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ,则X ~A.211(,)N μσB.221()N μσC.212(,)N μσD.222(,)N μσ4.设随机事件A 与B 互不相容，且()0P A >，()0P B >，则A. ()1()P A P B =-B. ()()()P AB P A P B =C. ()1P A B =D. ()1P AB =5.设随机变量~(,)X B n p ，且()E X =2.4，()D X =1.44，则A. n =4, p =0.6B. n =6, p =0.4C. n =8, p =0.3D. n =24, p =0.16.设随机变量2~(,)X N μσ，Y 服从参数为(0)λλ>的指数分布，则下列结论中不正确．．．的是 A.1()E X Y μλ+= B.221()D X Y σλ+=+C.1(),()E X E Y μλ==D.221(),()D X D Y σλ==7.设总体X 服从[0,θ]上的均匀分布（参数θ未知），12,,,n x x x 为来自X 的样本，则下列随机变量中是统计量的为 A. 11ni i x n =∑B. 11ni i x n θ=-∑C. 11()ni i x E X n =-∑D. 2111()n i x D X n =-∑8.设12,,,n x x x 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，其中μ未知，x 为样本均值，则2σ的无偏估计量为 A. 11()1ni i x n μ=--∑2 B. 11()ni i x n μ=-∑2C. 11()1ni i x x n =--∑ 2 D.11()ni i x x n =-∑ 29．设A,B 为B 为随机事件，且A B ⊂，则AB 等于A.ABB.BC.AD.A10．设A ，B 为随机事件，则()P A B -=A.()()P A P B -B.()()P A P AB -C.()()()P A P B P AB -+D.()()()P A P B P AB +-11．设随机变量X 的概率密度为1,3<x<6,()30,f x ⎧⎪=⎨⎪⎩其他，则{}3<4=P X ≤A.{}1<2P X ≤B.{}4<5P X ≤C.{}3<5P X ≤D.{}2<7P X ≤12．已知随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则X 的分布函数为A.e ,0,()0, 0.x x F x x λλ-⎧>=⎨≤⎩B.1e ,0,()0, 0.x x F x x λλ-⎧->=⎨≤⎩C.1e ,0,()0, 0.x x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩D.1e ,0,()0, 0.x x F x x λ-⎧+>=⎨≤⎩13．设随机变量X 的分布函数为F(x)，则A.()1F -∞=B.(0)0F =C.()0F +∞=D.()1F +∞=14．设随机变量X 与Y 相互独立，它们的概率密度分别为(),()X Y f x f y ，则(X ，Y )的概率密度为 A.[]1()()2X Y f x f y + B.()()X Y f x f y +C.1()()2X Y f x f y D.()()X Y f x f y15．设随机变量~(,)X B n p ，且() 2.4,() 1.44E X D X ==，则参数n,p 的值分别为 A.4和0.6 B.6和0.4 C.8和0.3D.3和0.816．设随机变量X 的方差D(X)存在，且D(X)>0，令Y X =-，则X γρ= A.1- B.0 C.1 D.2二、填空题1. 一口袋中装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这2只球恰为一红一黑的概率是____________.2. 设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A ）=______________.3. 设A,B,C 为三个随机事件,P(A)=P(B)=P(C)=41,P(AB)=P(AC)=P(BC)=61,P(ABC)=0,则P(A B C)=___________. 4. 设X 为连续随机变量，c 为一个常数，则P ｛X ＝c ｝＝_____________.5. 已知连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<=.2,1;20),1(31;0,31)(≥≤x x x x e x F x设X 的概率密度为f(x)，则当x<0,f(x)= _______________.6. 已知随机变量X 的分布函数为F X (x),则随机变量Y=3X+2的分布函F Y (y)=_________.7. 设随机变量X ～N （2，4），则P ｛X≤2｝＝____________.8. 设随机变量X 的概率密度为f(x)=+∞<<-∞-x ex ,2122π，则E(X+1)=___________.9. 设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～N （0，5），Y ～X 2（5），则随机变量YX Z =服从自由度为5的_______________分布。
概率2
一、单选题1．投掷3枚均匀的硬币,至少有一枚正面向上的概率是()A．38B．12C．38D．782．甲、乙、丙三位同学独立地解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为111,,234，则有人能够解决这个问题的概率为（）A．34B．13C．14D．1243．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为16，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件A BU（B表示事件B的对立事件）发生的概率为()A．13B．12C．23D．564．下列结论错误的是A．一个事件的概率可能等于0B．对立事件一定是互斥事件C．P（A）+P（A）=1D．A、B为两个随机事件，则P（A∪B）=P（A）+P（B）5．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”（）A．是对立事件B．是不可能事件C．是互斥但不对立事件D．不是互斥事件6．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局),在某次排球比赛中,甲队在每局比赛中获胜的概率都相等,均为23,前2局中乙队以2:0领先,则最后乙队获胜的概率是( )A．49B．1927C．1127D．40817．某小组有5名男生和4名女生，从中任选4名同学参加“教师节”演讲比赛，则下列每对事件是对立事件的是（）A ．恰有2名男生与恰有4名男生B ．至少有3名男生与全是男生C ．至少有1名男生与全是女生D ．至少有1名男生与至少有1名女生8．若随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，且分别为()2P A a =-，()45P B a =-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．5,24⎛⎫⎪⎝⎭B ．53,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．53,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．54,43⎛⎤⎥⎝⎦9．设事件A ，B ，已知()15P A =， ()13P B =，()815P A B =U ，则A ，B 之间的关系一定为( ) A ．两个任意事件B ．互斥事件C ．非互斥事件D ．对立事件10．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为（ ） A ．0.45 B ．0.67 C ．0.64D ．0.3211．一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是男孩，则这时另一个小孩是女孩的概率是（ ） A ．23B ．13C ．12D ．3512．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830.则在吹东风的条件下下雨的概率为( ) A ．911 B ．811 C ．25 D ．8913．设某动物由出生算起活到20岁的概率为45，活到25岁的概率为25，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．3514．流星穿过大气层落在地面上的概率为0.002，流星数为10的流星群穿过大气层有4个落在地面上的概率为()A．3.32×10－5B．3.32×10－9C．6.64×10－5D．6.64×10－915．如果某一批玉米种子中,每粒发芽的概率均为23,那么播下5粒这样的种子,恰有2粒不发芽的概率是（）A．80243B．8081C．163243D．16372916．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，在已知第一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是（）A．14B．34C．12D．1817．为考察某种药物预防疾病的效果,科研人员进行了动物试验,结果如下表:在服药的前提下,未患病的概率为()A．35B．37C．911D．111518．小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是()A．19B．29C．13D．4919．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球．那么在第4次取球之后停止的概率为()A．315445C CCB．13454()99C⨯⨯C．354()99⨯D．3154⨯20．将一枚质地均匀的硬币连续投掷4次，则出现正面的次数多于反面次数的概率为A．14B．38C．12D．51621．某校举办一场篮球投篮选拔比赛，比赛的规则如下：每个选手先后在二分区、三分区和中场跳球区三个区域各投一球，只有当前一次球投进后才能投下一次，三次全投进就算胜出，否则即被淘汰.已知某选手在二分区投中球的概率为45，在三分区投中球的概率为35，在中场跳球区投中球的概率为25，且在各位置投球是否投进互不影响，则该选手被淘汰的概率为（）A．825B．1325C．101125D．7612522．抛掷3枚质地均匀的硬币,若A={既有正面向上又有反面向上},B={至多有1枚反面向上},则A与B( )A．是互斥事件B．是对立事件C．是相互独立事件D．不是相互独立事件23．甲、乙两人投球的命中率分别为12，23，甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为（）.A．12B．25C．35D．5624．已知甲盒中有20个螺杆，其中A型16个，B型4个；乙盒中有24个螺母，其中A型18个，B型6个.现从甲、乙两盒中各任取一个，记事件A：“甲盒中抽得A型螺杆”，B：“乙盒中抽得B型螺母”，则事件A与B（）A．互斥B．对立C．相互独立D．不相互独立25．设某项试验成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于()A．0 B．12C．13D．2326．若1()9P AB=,2()3P A=,1()3P B=,则事件A与B的关系是( )A．事件A与B互斥B．事件A与B对立C．事件A与B相互独立D．事件A与B相互斥又独立27．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分).甲组：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83乙组：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A；“抽出的学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B，则P(AB)，P(A|B)的值分别是（）A．14，59B．14，49C．15，59D．15，4928．在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续抛掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为（）A．14B．89C．116D．53229．袋内有3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,用A表示“第一次摸得白球”,如果“第二次摸得白球”记为B,“第二次摸得黑球”记为C,那么事件A与B,A与C间的关系是( ) A．A与B,A与C均相互独立B．A与B相互独立,A与C互斥C．A与B,A与C均互斥D．A与B互斥,A与C相互独立30．若事件A,B发生的概率都大于零,则( )A．如果A,B是互斥事件,那么A与B是互斥事件B．如果A,B不是相互独立事件,那么它们一定是互斥事件C．如果A,B是相互独立事件,那么它们一定不是互斥事件D．如果A B+是必然事件,那么它们一定是对立事件参考答案1．D 【解析】 【分析】由题意，“至少有一枚正面向上”的对立事件为“三枚均为反面向上”，根据对立事件的概率，即可求解. 【详解】由题意，“至少有一枚正面向上”的对立事件为“三枚均为反面向上”, 其概率为311()28=,所以“至少有一枚正面向上”的概率为17188-=，故选D. 【点睛】本题主要考查了对立事件的概率的应用，其中解答中找出“至少有一枚正面向上”的对立事件为“三枚均为反面向上”，利用对立事件的概率计算求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】可先求得没有人能解决这个问题的概率, 再根据对立事件的性质求得有人能够解决这个问题的概率即可. 【详解】“没有人能解决这个问题”的概率为11111112344⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以“有人能解决这个问题”的概率为13144-= 故选:A 【点睛】本题考查了对立事件概率的性质及简单应用,属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】由题意知试验发生包含的所有事件是6，事件A 和事件B 是互斥事件，看出事件A 和事件B 包含的基本事件数，根据互斥事件和古典概型概率公式得到结果． 【详解】解：Q 事件B 表示“小于5的点数出现”，B ∴的对立事件是“大于或等于5的点数出现”，∴表示事件是出现点数为5和6． Q 事件A 表示“小于5的偶数点出现”，它包含的事件是出现点数为2和4，()2163P A ∴==，()4263P B == ()()211133P B P B ∴=-=-=()()()112333P A P B P A B ∴+=+==U ．故选：C ． 【点睛】本题考查互斥事件和对立事件的概率，分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的事件，属于基础题． 4．D 【解析】 【分析】分析每一个选项的答案，可得事件的概率范围是[0,1]；对立事件一定是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件；由对立事件的性质得：P （A ）+P （A ）=1得出答案. 【详解】在A 中，事件的概率范围是[0,1]，可得一个事件的概率可能等于0，故A 正确； 在B 中，对立事件一定是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件，故B 正确； 在C 中，由对立事件的性质得：P （A ）+P （A ）=1，故C 正确；在D 中，A 、B 为两个随机事件，则P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）-()P A B ⋂，故D 错 故选D 【点睛】本题主要考查了概率的基本性质，属于基础题.5．C【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件、不可能事件的概念，选出正确选项.【详解】显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件.故选：C.【点睛】本小题主要考查互斥事件和对立事件的辨析，考查不可能事件的概念，属于基础题.6．B【解析】【分析】最后乙队获胜的概率含3种情况：第三局乙胜，第三局甲胜第四局乙胜，第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜，由此能求出最后乙队获胜的概率．【详解】最后乙队获胜事件含3种情况:第三局乙胜，其概率为13；第三局甲胜，第四局乙胜，其概率为212 339⨯=；第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜2214 3327⎛⎫⨯=⎪⎝⎭；故最后乙队获胜的概率12419392727P=++=，故选：B.【点睛】本题主要考查概率的求法，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用，属于中档题．7．C【解析】【分析】根据对立事件和互斥事件的概念对选项逐一分析，由此选出正确选项.“恰有2名男生”与“恰有4名男生”是互斥事件，但不是对立事件，排除A 项；“至少有3名男生”与“全是男生”可以同时发生，不是互斥事件，排除B 项；“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，且必有一个发生，是对立事件，C 项正确；“至少有1名男生”与“至少有1名女生”可以同时发生，不互斥，排除D 项． 故选：C. 【点睛】本小题主要考查对立事件和互斥事件概念的理解和辨析，属于基础题. 8．D 【解析】 【分析】由随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，知0()10()1()()1P A P B P A P B <<⎧⎪<<⎨⎪+⎩…，由此能求出实数a 的取值范围． 【详解】解：Q 随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0， 且分别为()2P A a =-，()45P B a =-，∴0()10()1()()1P A P B P A P B <<⎧⎪<<⎨⎪+⎩…，即021*******a a a <-<⎧⎪<-<⎨⎪-⎩…，解得5443a <…，即54,43a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 故选：D ． 【点睛】本题考查互斥事件的概率的应用，属于基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 9．B 【解析】 【分析】由题意先求()()P A P B +，然后检验()P A B +与()P A B U 是否相等，从而可判断是否满【详解】 解：()15P A =Q ，()13P B =， ()()1183515P A P B ∴+=+=又()815P A B =U ()()()P A B P A P B ∴=+UA ∴．B 为互相斥事件故选：B ． 【点睛】本题主要考查了互斥事件的概率公式的简单应用，属于基础题. 10．D 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式先求出事件“从口袋中摸出一个红球”的概率，再根据互斥事件的概率加法公式求出“从口袋中摸出一个白球或红球”的概率，即可由对立事件的概率公式求出摸出黑球的概率． 【详解】设“摸出一个红球”为事件A ，“摸出一个白球”为事件B ，“摸出一个黑球”为事件C ，显然事件A ，B ，C 都互斥，且C 与A ＋B 对立． 因为P （A ）＝45100＝0.45，P （B ）＝0.23， 所以P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）＝0.45＋0.23＝0.68， P （C ）＝1－P （A ＋B ）＝1－0.68＝0.32. 故选：D ． 【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，互斥事件的概率加法公式以及对立事件的概率公式的应用，属于基础题． 11．A 【解析】一个家庭的两个孩子有四种可能：()()()(){},,,+++--+--。
《概率论与数理统计(二)》 复习题
概率论与数理统计（二）复习题之一一、单项选择题1. 设A ，B 是互不相容事件，则=+)(B A P【 】A. )(1A P -B. )(1B P -C. )()(1B P A P --D. )()(B P A P ⋅2. 某种规格的电子元件正常使用200小时的概率是0.8，正常使用250小时的概率为0.6，现有一个该种元件已经正常使用了200小时，则能够使用250小时的概率为【 】A. 0.48B. 0.6C. 0.8D. 0.753. 设随机变量ξ的分布律为22()0123!kP k k e k ξ===⋅⋅⋅⋅，，，，，，则(2)D ξ=【 】A. 2B. 4C. 6D. 84. 设12n X X X ⋅⋅⋅，，，是取自总体2~X N μσ（，）的样本，则对任意0>ε，下列各式成立的是【 】A. {}22n P X n σμεε-<≥B. {}221P X n σμεε--≥≥C. {}22P X n σμεε-≥≤D. {}22P X n n σμεε-≥≤5. 设随机变量X Y （，）的联合分布为则X Y （，）的协方差covX Y =（，）【 】A. 0B. 1C.81D. 81-6. 设随机变量X Y ，同分布，概率密度为 2120()0x x f x θθ⎧<<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩其他，， 若[]1(2)E C X Y θ+=，则C 的值为【 】A.21B.31 C. 221θD. θ327. 123X X X ，，都服从[02]，上的均匀分布，则123(32)E X X X -+=【 】A. 1B. 3C. 4D. 28. 随机变量Y X +=ξ与Y X -=η不相关的充分必要条件为【 】A. ()()E X E Y =B. 2222()()()()E X E X E Y E Y -=-C. 22()()E X E Y =D. 2222()()()()E X E X E Y E Y +=+9. 某生产线的产品合格率为0.85，使用某种仪器作产品的抽样检测，仪器检查结果的正确率为0.90，现任取一件产品经仪器检查为合格，而该件产品确实合格的概率为 【 】A. 0.85B. 1C. 0.98D. 0.9410. 设总体2~X N μσ（，），统计假设为0H ：0μμ=对1H ：0μμ≠，若用t 检验法，则在显著水平α的拒绝域为【 】A. 12(1)t tn α--＜ B. 12(1)t tn α-≥-C. 1(1)t t n α-≥-D. 1(1)t t n α---＜ 二、填空题11. 将3人以相同的概率分配到4间房的每一间中，则恰好3间房中各有1人的概率是________。
概率的定义和基本性质(二)
概率的定义和基本性质（二）引言概述：概率是概率论研究的基本概念，也是统计学中重要的概念之一。
它用来描述事件发生的可能性大小，并在统计推断和决策制定中起着关键作用。
本文将进一步介绍概率的定义和基本性质，以帮助读者更好地理解和应用概率理论。
正文内容：一、概率的定义1. 频率定义：概率是基于大量实验的观察结果，通过事件发生的频率来估计其发生的可能性。
2. 古典定义：概率是基于等可能性假设，通过事件发生的总数与样本空间的大小之比来估计其发生的可能性。
3. 主观定义：概率是基于个人主观判断和经验，通过主观分配可能性大小来估计事件发生的可能性。
二、概率的基本性质1. 非负性：概率值始终大于等于0，表示事件发生的可能性不会是负数。
2. 零和性：对于必然事件，其概率值为1，表示该事件一定会发生。
3. 互斥性：对于两个互斥事件，其概率值之和为1，表示这两个事件有且只能发生一个。
4. 加法法则：对于两个不互斥事件，其概率值之和为两个事件发生概率之和减去两个事件同时发生的概率。
5. 乘法法则：对于两个独立事件，其概率值之积为两个事件发生概率之积。
三、条件概率和独立性1. 条件概率：给定一个条件下，事件发生的概率。
表示为P(A|B)，表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
2. 乘法法则的条件形式：根据条件概率定义，可以将乘法法则扩展为条件形式。
3. 独立性：表示两个事件的发生与否相互独立，即一个事件的发生不受另一个事件的影响。
4. 独立性的判定：根据条件概率和乘法法则，可以通过计算条件概率来判断事件之间的独立性。
四、事件的关系与运算1. 事件的包含与不包含关系：一个事件发生必然导致其包含事件的发生，而不包含事件的发生则不一定导致该事件的发生。
2. 事件的并与交运算：事件的并运算表示多个事件中至少有一个事件发生的情况，交运算表示多个事件同时发生的情况。
3. 事件的补运算：事件的补运算表示不发生该事件的情况。
4. 事件的差运算：事件的差运算表示一个事件发生，而另一个事件不发生的情况。
第4节古典概率(2),几何概率,条件概率
在甲省中抽到一名 女生的概率
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说明: 说明: 是在原条件下又添加" 1) 条件概率 P ( B A)是在原条件下又添加"A 发生" 发生的可能性的大小, 发生"这个条件时 B 发生的可能性的大小, 也是概率. 即 P ( B A)也是概率. 2) P(B) 和 P ( B A)的区别 概率 P ( B A)又附加" A已发生"这样一个前 又附加" 已发生" 提条件, 提条件,因此条件概率 P ( B A) 和无条件概率 P(B) 作比较的话, 作比较的话,条件概率 P ( B A) 的样本空 的样本空间. 间要小于无条件概率 P(B)的样本空间. 一般的情况: 一般的情况:P ( B A) ≠ P ( B )
P( AB) = P( A)
在缩小的样本空间里来 进行计算. 进行计算.
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(一) 条件概率的定义 是两个事件, 设 A, B 是两个事件,且 P( A) > 0 ,称
P( AB) P(B A) = P( A)
发生的条件 为在事件 A 发生的条件下事件 B发生的条件 概率; 概率;
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例1 掷一颗均匀的骰子,设事件 A为掷出偶数点, 掷一颗均匀的骰子, 掷出偶数点, 为掷出2 事件 B 为掷出2点,求 (1) P( A); (2) P(B);
(3) P(B A);
3 1 解:(1) P( A) = = 6 2 1 (2) P(B) = 6 1 (3) P(B A) = 3
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概率(2) 4
课题：25.1 概率（2）主备：刘大勇徐世珍审核：学生姓名：第 4 课时学习目标：1、用列举法分析和解决简单古典概率问题；2、体会概率在解决现实问题时所起的作用．．一、自主学习：例1如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成7个大小相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．求下列事件的概率：（1）指针指向红色；（2）指针指向红色或黄色（3）指针不指向红色．思考：（1）将骰子做成长方体形的，或将转盘做成面积不相等的扇形，你还能用上述方法计算事件的概率吗？结合上面的问题，请回答：用p(A)=mn计算事件的概率必须满足什么条件？（2）用p(A)=mn求等可能事件的概率一般分为哪几个步骤？二、展示交流：1、（教材第134页练习3）10 件外观相同的产品中有2 件不合格．现从中任意抽取1 件进行检测，抽到不合格产品的概率为多少？为什么？2、两个相同的可以自由转动的转盘A 和B，A盘被平均分为12 份，颜色顺次为红、绿、蓝；B 盘被平均分为红、绿和蓝3 份．分别自由转动A 盘和 B 盘，A 盘停止时指针指向红色的概率与B 盘停止时指针指向红色的概率哪个大？为什么？三、合作探究：例2如图是计算机中“扫雷”游戏的画面．在一个有9×9 个方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个方格内最多只能埋藏1 颗地雷．小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现了如图所示的情况．我们把与标号3的方格相邻的方格记为A区域（画线部分），A 区域外的部分记为B 区域．数字3 表示在A区域埋藏有3 颗地雷下一步应该点击A 区域还是B区域？变形练习：如果小王在游戏开始时点击的第一个方格出现标号1，那么下一步点击哪个区域比较安全？四、点评小结：（1）在求概率时应该注意哪些问题？请举例说明．（2）说说你在生活中运用概率的意识做出决策的例子．五、达标检测 :1、、教材134页第5题。
3 概率二
第十讲概率（二）一、频率与概率（1）随机掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为多少？你是怎么得到的？（2）随机掷一枚瓶盖，盖口朝上的概率为多少？你有什么办法可以得到？n例2、为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼________练习1．（2012•大连）如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为（精确到0.1）．2．（2006年河南省）有一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃共有40个，除颜色外其它完全相同．小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（）A．6 B．16 C．18 D．243．在一个有10万人的小镇，随机调查了2000人，其中有250•人看中央电视台的早间新闻，在该镇随便问一个人，他看早间新闻的概率大约是________．4、甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（）A、从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率B、抛一枚硬币，出现正面的概率C、任意写一个整数，它能被2整除的概率D、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率5．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近_______；（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是________，•摸到黑球的概率是_______；（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？（4）解决了上面的问题，小明同学猛然顿悟，过去一个悬而未决的问题有办法了．这个问题是：在一个不透明的口袋里装有若干个白球，•在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的个数（可以借助其他工具及用品）？请你应用统计和概率的思想和方法解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法．二、 考点复习一、用公式法计算概率例1．为了防控输入性甲型H1N1流感，某市医院成立隔离治疗发热流涕病人防控小组，决定从内科5位骨干医师中（含有甲）抽调3人组成，则甲一定抽调到防控小组的概率是（ ）（A ）35（B ）25（C ）45（D ）15例2、如图，等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，E 、F 、M 、N 分别是AB 、CD 、DE 、CE 中点，AB=2CD 。
概率统计(2)
a a 解： P( x k ) N 1 N k 1 k 1 N
所以 a =1.
N
N
例5在上例中,
计算
P (1 X 3) .
解 P(1 X 3) P ( X 1) P ( X 2) P ( X 3)
111 3 N N
例4 商店的历史销售记录表明，某种商品每月的销 售量服从参数为 10的泊松分布。为了以95%以上的 概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商 品多少件？（没有存货） 解 设商店每月销售某种商品X件，月底的进货量为n件，
按题意要求为 PX n 0.95
X服从
由附录的泊松分布表知 10 e 10 k！
20 P X k (0.2)k (0.8)20 k ， k k 0， 1， ， 20
将计算结果列表如下：
k
PX k
k
PX k
0 1 2 3 4 5
0.012 0.058 0.137 0.205 0.218 0.175
6 7 8 9 10 ≥11
即
n k nk P X k p q ， k k 0， 1， 2， ，n,
显然 PX k 0
n k nk n P X k p q ( p q ) 1 k 0 k 0 k
n n
即PX k 满足分布律的两个条件
随机变量的分布函数
定义 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F ( x) PX x
称为X的分布函数
分布函数是一个普通的函数，其定义域是 整个实数轴。 在几何上，它表示随机变量X落在实数x左 边的概率
X
pa并b的概率公式(二)
pa并b的概率公式(二)PA与B的概率公式1. 乘法法则•公式：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)•说明：乘法法则用于计算事件A与事件B同时发生的概率。
其中P(A)为事件A发生的概率，P(B|A)为在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
2. 加法法则互斥事件•公式：P(A∪B) = P(A) + P(B)•说明：加法法则用于计算互斥事件A与B至少发生一个的概率。
当A与B为互斥事件时，其概率可以通过简单相加得到。
非互斥事件•公式：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)•说明：加法法则在事件A与事件B不互斥时的使用方式。
P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，通过减去P(A∩B)可以避免重复计算。
3. 贝叶斯定理•公式：P(A|B) = ( P(B|A) × P(A) ) / P(B)•说明：贝叶斯定理是用于计算在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
其中P(A|B)为在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B|A)为在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)为事件A发生的概率，P(B)为事件B发生的概率。
示例解释假设有一袋子中装有4个红球和6个蓝球，现从袋子中随机取出一个球。
•示例1：计算取出的球是红球且是蓝球的概率。
–P(A)为红球的概率，即4个红球中取得一个的概率，为4/10。
–P(B|A)为在已知取得一个红球的条件下，取得一个蓝球的概率，为0，因为红球与蓝球互斥。
–P(A∩B) = P(A) × P(B|A) = 4/10 × 0 = 0。
–可见，取出的球既是红球又是蓝球的概率为0。
•示例2：计算取出的球是红球或者是蓝球的概率。
–P(A)为红球的概率，即4个红球中取得一个的概率，为4/10。
–P(B)为蓝球的概率，即6个蓝球中取得一个的概率，为6/10。
–P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 4/10 + 6/10 - 0 = 10/10 = 1。
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说出下列成语或俗语反映的是必然事件、不可 能事件，还是随机事件：
地球一直运动
Hale Waihona Puke ——必然事件木柴燃烧，产生热量 ——必然事件 这两人各买1张彩票， ——随机事件 她们中奖了
——随机事件 科比投篮一次投中三分
说出下列成语或俗语反映的是必然事件、不可 能事件，还是随机事件：
①水中捞月 不可能事件
②守株待兔 随机事件
随机事件 (无法确定)
活动2：
1.抽到的序号有几 种可能的结果？ 2.抽到的序号小于6吗？
5名同学参加讲演比 赛，以抽签方式决 定每个人的出场顺
序
形状大小相同的签
3.抽到的序号会是0吗？
4.抽到的序号会是1吗？
可能发生也可能不会发生
在自然界和实际生活中，我们会遇到 各种各样的现象．
如果从结果能否预知的角度来看，可 以分为两大类：
率为
事件A包含的
P( A)
=
m n
结果数
试验包含的 结果总数
思考：必然事件的概率和
不可能事件的概率分别是多少呢？
记等可能性事件A在n次试验中发生了m次，那么有 0≤m≤n， 0≤m/n≤1 于是可得 0≤P(A) ≤1. 显然， 必然事件的概率是1， 不可能事件的概率是0.
P(必然事件)＝1 P(不可能事件)＝0
① P (点数为
2）=
1 6
②点数为奇数的有三种可能,即点数为1,3,5,
P(点数为奇数）=
3 6
=
1 2
③点数大于2且小于5有2种可能,即点数为3,4,
P(点数大于 2且小于 5）= 2 = 1 63
一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结
果,并且它们发生的可能性都相等,事件A
包含其中的m种结果,那么事件A发生的概
下午放学后，我开始写作业。今天作业太多 了，我不停的写啊，一直写到太阳从西边落下。
小明从盒中任意摸出一球，一定能摸 到红球吗？
小麦从盒中摸出的球一定是白球吗？ 小米从盒中摸出的球一定是红球吗？
三人每次都能摸到红球吗？
试分析:“从一堆牌中任意抽一张抽到红牌” 这一事件的发生情况?
必然发生
必然不会发生
摸球试验：袋中装有3个蓝球，2个红球， 这些球的形状、大小、质地等完全相同， 在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸 出一个球。
（1）这个球是蓝球还是红球？
（2）如果两种球都有可能被摸出，那么 摸出蓝球和摸出红球的可能性一样大吗？
随机的摸出一个球,由于蓝球 比红球多,所以摸到蓝球的可 能性比摸到红球的可能性大。
③煮熟的鸭子，飞了！
不可能事件
降水概率90%
同学们听过“天有不测风云” 这句话吧!它的原意是指刮风、下雨、 阴天、晴天这些天气状况很难预料， 后来它被引申为：世界上很多事情 具有偶然性，人们不能事先判定这 些事情是否会发生。
人们果真对这 降水概率90% 类偶然事件完全无
法把握、束手无策 吗？不是！随着对 现 中 识 律正 人 性 明 着在 ， ， 的是们的天明概 我 从 认在用大的天率们而识研它小降有的将提。究描。水很应 学 高这 叙 例 概 大用 习 对些 事 如 率 可日 一 偶规 件 ， 为 能事 的 发 的 可 重益 些 然律 发 天 下9件 深 现 发 循 要0广 概 事中 生 气 雨%发 入 许 生 的 的泛 率 件产的预（，生研多也。数。初发生可报雪就的究偶具概字本步生的能说）意可，然有率概章知规。。味能人事规这念性们件律个，
一类现象的结果总是确定的，即在 一定的条件下，它所出现的结果是可以 预知的，这类现象称为确定性现象；
另一类现象的结果是无法预知的，即 在一定的条件下，出现那种结果是无法预 先确定的，这类现象称为随机现象．
在一定条件下，有些事件必然会发生， 这样的事件称为必然事件。
在一定条件下，有些事件必然不会发生， 这样的事件称为不可能事件。
2006年10月17日 晴
早上，我迟到了。于是就急忙去学校上学， 可是在楼梯上遇到了班主任，她批评了我一顿。 我想我真不走运，她经常在办公室的啊，今天我 真倒霉。我明天不能再迟到了，不然明天早上我 将在楼梯上遇到班主任。
中午放学回家，我看了一场篮球赛，我想长 大后我会比姚明还高，我将长到100米高。看完比 赛后，我又回到学校上学。
必然事件和不可能事件统称确定性事件。
生活中也有很多事件事先无法确定它 会不会发生，在一定条件下，可能发生也可 能不发生的事件称为随机事件(不确定事 件)。
指出下列事件中的必然事件、不可 能事件、随机事件。 (1)通常加热到100℃时，水沸腾 必然事件
(2)小红在罚球线上投篮一次，未投中 随机事件
(3)掷一次骰子，向上的一面是6点 随机事件 (4)度量三角形的内角和，结果是360°不可能事件 (5)在一交通信号灯的路口，遇到红灯 随机事件 (6)某射击运动员射击一次，命中靶心 随机事件
可能发生, 也 可能不发生
地球会自转
必然事件
(地球上)太阳在东方落下
不可能事件
随机事件
明天将下雨
(1)抽到的序号小于6 (2)抽到的序号是0 (3)抽到的序号是1
确定事件
13 42 5
(1)出现的点数大于0 (2)出现的点数是7
(3)不出现确的点定数事是4件
活动1：
必然事件 (一定发生)
不可能事件 (一定不发生)
一般地，随机事件发生的可能性是 有大小的，不同的随机事件发生的可 能性的大小是不同的
概率的定义：
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其 发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生 的概率，记为P(A).
概率从数量上刻画了一个随机事 件发生的可能性大小。
试验具有两个共同特征：
(1)每一次试验中，可能出现的结果只有有限个； (2)每一次试验中，各种结果出现的可能性相等。
等可能性事件:在一次试验中各种结果出现 的可能性大小相等的事件。
等可能性事件的概率可以从事件所包含的各 种可能的结果数在全部可能的结果数中所
占的比，分析出事件发生的概率。
例1.抛掷一个骰子，观察向上的一面的点数, 求下列事件的概率:①点数为2;②点数为奇数; ③点数大于2且小于5.
解:掷一个骰子时,向上一面的点数可能为 1,2,3,4,5,6,共6种.这些点数出现的可能性相等.
0
不可能事件
事件发生的可能性越来越大 1 概率的值
事件发生的可能性越来越小 必然事件
例2.如图：袋中装有2个蓝球，3个红球， 2个黄球 这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不 到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球。 求 下列事件的概率。（1）摸出红球；（2）摸出红 球或黄球；（3） 摸到的不是红球。