八年级数学期末难题压轴题

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26．（本题满分10分）

已知：在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在

矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE =2.

（1）如图①，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积；（5分）

（2）如图②，当四边形EFGH 为菱形，且BF = a 时，求△GFC 的面积（用含a

的代数式表示）；（5分）

D

(第26题图1) D C A B

E (第26题图2)

F

H

G

26．解：（1）如图①，过点G作于M.…………………………………………（1分）

在正方形EFGH中，

. …………………………………………………………（1分）

又∵，

∴⊿AH E≌⊿BEF…………………………………………………………（1分）同理可证：⊿MFG≌⊿BEF. …………………………………………………………（1分）∴GM=BF=AE=2.

∴FC=BC-BF=10.…………………………………………………………（1分）（2）如图②，过点G作于M.连接HF.…………………………………………（1分）

…………………………………………………（1分）

又

∴⊿AHE≌⊿MFG.………………………………………………………（1分）

∴GM=AE=2.……………………………………………………………（1分）

…………………………………………（1

如图，直线与轴相交于点，与直线相交于点.

(1) 求点的坐标.

(2) 请判断△的形状并说明理由.

(3) 动点从原点出发，以每秒1个单位的速度沿着的路线向点匀

速运动（不与点、重合），过点分别作轴于，轴于.

设运动秒时，矩形与△重叠部分的面积为.求与之间的函数关系式.

解：（1）解得：………………………1′

∴点P的坐标为（2，）………………………1′

（2）当时，∴点A的坐标为（4，0）………………………1′∵……………1′

∴

∴是等边三角形………………………1′

x

y

y=x

A

Q P

O

（3）当0＜≤4时， ………………………1′

………………………1′

当4＜＜8时， ………………………1′

………………………1′

25、（本题8分）已知直角坐标平面上点A ，P 是函数图像上一点，PQ ⊥AP 交y 轴正半轴于点Q （如图）. （1）试证明：AP =PQ ；

（2）设点P 的横坐标为a ，点Q 的纵坐标为b ，那么b 关于a 的函数关系式是_______； （3）当时，求点P 的坐标.

证：（1）过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、T，

∵点P在函数的图像上，

∴PH=PT，PH⊥PT，---------------------------------------------------（1分）

又∵AP⊥PQ，

∴∠APH =∠QPT，又∠PHA =∠PTQ，

∴⊿PHA≌⊿PTQ, ------------------------------------------------------（1分）∴AP=PQ. ---------------------------------------------------------------（1分）

(2). -------------------------------------------------------------（2分）

（3）由（1）、（2）知，，

，------------（1分）∴，

解得，--------------------------------------------------------（1分）

所以点P的坐标是与.---（1分）

]

26．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）

已知点E是正方形ABCD外的一点，EA=ED，线段BE与对角线AC相交于点F，

（1）如图1，当BF=EF时，线段AF与DE之间有怎样的数量关系？并证明；

（2）如图2，当△EAD为等边三角形时，写出线段AF、BF、EF之间的一个

数量关系，并证明．

（第26题）

图1 图2

26．（1）解：AF=，…………………………………………………………………

（1 分）

证明如下：联结BD交AC于点O，…………………………………………………（1 分）

∵四边形ABCD是正方形，∴BO=DO，

∵BF=EF，∴OF=DE，OF//DE．………………………………………

（1分）

∵BD⊥AC，∴∠DEO=∠AOB =90º，…………………………………（1分）

∵∠ODA=∠OAD=，EA=ED，

∴∠EAD=∠EDA=45º，∴∠OAD=∠OED=∠AOD=90º，

∴四边形AODE是正方形．………………………………………………（1 分）

∴OA=DE，∴OF=AO，∴AF=．………………………

（1 分）

（2）解：AF+BF=EF、AF+EF=2BF等（只要其中一个，BF=AF、EF= AF、BF=（EF也认为正确）．…………………………（1 分）

AF+BF=EF的证明方法一：

联结BD交AC于O，在FE上截取FG=BF，联结DG．

与第（1）同理可证∠GDA=45º，……………………………………………（1 分）

∵四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，∴∠GDE=60º–45º=15º．

∵AB=AD=AE，∠BAE=∠BAC+∠DAE=90º+60º=150º，