14数学全国教师17(文)
专题17 三角函数概念与诱导公式 (教师版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】知识点一：三角函数基本概念1．角的概念(1)任意角：①高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题17三角函数概念与诱导公式定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{}Z k k S ∈+︒⋅==，αββ360．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．(4)象限角的集合表示方法：2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．(2)角度制和弧度制的互化：rad 180π=︒,rad 1801π=︒,π︒=180rad 1．(3)扇形的弧长公式：r l ⋅=α，扇形的面积公式：22121r lr S ⋅==α．3．任意角的三角函数(1)定义：任意角α的终边与单位圆交于点)(y x P ，时，则y =αsin ，x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα．(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P )(y x P ，是角α终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O 的距离为r ，则r y =αsin ，r x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号αsin R ＋＋－－αcos R＋－－＋αtan }2|{Z k k ∈+≠，ππαα＋－＋－记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦．4．三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T ．三角函数线有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线知识点二：同角三角函数基本关系1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：1cos sin 22=+αα．(2)商数关系：)2(tan cos sin ππααααk +≠=；知识点三：三角函数诱导公式公式一二三四五六角)(2Z k k ∈+απαπ+α-απ-απ-2απ+2正弦αsin αsin -αsin -αsin αcos αcos 余弦αcos αcos -αcos αcos -αsin αsin -正切αtan αtan αtan -αtan -口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作2n πα⋅±；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断2n πα⋅±所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当n 为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n 为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．【方法技巧与总结】1．利用1cos sin 22=+αα可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用αααtan cos sin =可以实现角α的弦切互化．2．“ααααααcos sin cos sin cos sin -+，，”方程思想知一求二．222(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2ααααααα+=++=+222(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2ααααααα-=+-=-22(sin cos )(sin cos )2αααα++-=【题型归纳目录】题型一：终边相同的角的集合的表示与区别题型二：等分角的象限问题题型三：弧长与扇形面积公式的计算题型四：三角函数定义题题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值题型六：同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的题型七：诱导求值与变形【典例例题】题型一：终边相同的角的集合的表示与区别例1．（2022·全国·高三专题练习）与角94π的终边相同的角的表达式中，正确的是（）A ．245k π+ ，k Z ∈B ．93604k π⋅+，k Z ∈C ．360315k ⋅- ，k Z ∈D ．54k ππ+，k Z ∈【答案】C 【解析】【分析】要写出与94π的终边相同的角，只要在该角上加2π的整数倍即可．【详解】首先角度制与弧度制不能混用，所以选项AB 错误；又与94π的终边相同的角可以写成92()4k k Z ππ+∈，所以C 正确．故选：C ．例2．（2022·全国·高三专题练习）若角α的终边在直线y x =-上，则角α的取值集合为（）A ．2,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z B ．32,4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．3,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z D ．,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z 【答案】D 【解析】【分析】根据若,αβ终边相同，则2,k k Z βπα=+∈求解.【详解】解：，由图知，角α的取值集合为:()32,2,4421,2,44,4k k Z k k Z k k Z k k Z k k Z ππααπααπππααπααππααπ⎧⎫⎧⎫=+∈⋃=-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎧⎫==+-∈⋃=-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭故选：D.【点睛】本题主要考查终边相同的角，还考查了集合的运算能力，属于基础题.例3．（2022·上海市嘉定区第二中学高一阶段练习）设集合{}{}|45180,|135180,A k k Z k k Z αααα==︒+⋅︒∈⋃=︒+⋅︒∈，集合{}|4590,B k k Z ββ==︒+⋅︒∈，则（）A ．AB =∅ B ．A BC ．B AD ．A B=【答案】D 【解析】【分析】考虑A 中角的终边的位置，再考虑B 中角的终边的位置，从而可得两个集合的关系.【详解】.45180,k k Z α=︒+⋅︒∈表示终边在直线y x =上的角，135180,k k Z α=︒+⋅︒∈表示终边在直线y x =-上的角，而4590,k k Z β=︒+⋅︒∈表示终边在四条射线上的角，四条射线分别是射线,0;,0;,0;,0y x x y x x y x x y x x =≥=-≤=≤=-≥，它们构成直线y x =、直线y x =-，故A B =.故选：D.【点睛】本题考查终边相同的角，注意180k α⋅︒+的终边与α的终边的关系是重合或互为反向延长线，而90k α⋅︒+的终边与α的终边的关系是重合或互为反向延长线或相互垂直，本题属于中档题.（多选题）例4．（2022·全国·高三专题练习）如果角α与角45γ+︒的终边相同，角β与45γ-︒的终边相同，那么αβ-的可能值为（）A ．90︒B ．360︒C ．450︒D ．2330︒【答案】AC 【解析】根据终边相同可得角与角之间的关系，从而可得αβ-的代数形式，故可得正确的选项.【详解】因为角α与角45γ+︒的终边相同，故45360k γα ，其中k Z ∈，同理145360k βγ=-︒+⋅︒，其中1k Z ∈，故90360n αβ-=︒+⋅︒，其中n Z ∈，当0n =或1n =时，90αβ-=︒或450αβ-=︒，故AC 正确，令36090360n ︒=︒+⋅︒，此方程无整数解n ；令903060233n =︒+⋅︒︒即569n =，此方程无整数解n ；故BD 错误.故选：AC.（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是（）A ．90αβ+=︒B ．180αβ+=︒C ．()36090k k αβ+=⋅︒+︒∈ZD ．()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z 【答案】BD 【解析】【分析】根据α和β的终边关于y 轴对称时()180360k k αβ+=︒+︒∈Z ，逐一判断正误即可.【详解】根据α和β的终边关于y 轴对称时()180360k k αβ+=︒+︒∈Z 可知，选项B 中，180αβ+=︒符合题意；选项D 中，()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z 符合题意；选项AC 中，可取0,90αβ=︒=︒时显然可见α和β的终边不关于y 轴对称.故选：BD.例6．（2022·全国·高三专题练习）写出两个与113π-终边相同的角___________．【答案】3π，53π-(其他正确答案也可)【解析】【分析】利用终边相同的角的定义求解.【详解】设α是与113π-终边相同的角，则112,3k k Z παπ=-∈，令1k =，得53πα=-，令2k =，得3πα=，故答案为：3π，53π-(其他正确答案也可)【方法技巧与总结】（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决．（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．题型二：等分角的象限问题例7．（2022·浙江·高三专题练习）若18045,k k Z α=⋅+∈ ，则α的终边在（）A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限【答案】A 【解析】【分析】分21,k n n Z =+∈和2,k n n =∈Z 讨论可得角的终边所在的象限.【详解】解：因为18045,k k Z α=⋅+∈ ，所以当21,k n n Z =+∈时，218018045360225,n n n Z α=⋅++=⋅+∈ ，其终边在第三象限；当2,k n n =∈Z 时，21804536045,n n n Z α=⋅+=⋅+∈ ，其终边在第一象限.综上，α的终边在第一、三象限.故选：A.例8．（2022·全国·高三专题练习（理））角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】【分析】由题意知，222k k ππαπ<<+，k Z ∈，即可得3α的范围，讨论3k n =、31k n =+、32k n =+()n Z ∈对应3α的终边位置即可.【详解】∵角α的终边在第一象限，∴222k k ππαπ<<+，k Z ∈，则223363k k παππ<<+，k Z ∈，当3()k n n Z =∈时，此时3α的终边落在第一象限，当31()k n n Z =+∈时，此时3α的终边落在第二象限，当32()k n n Z =+∈时，此时3α的终边落在第三象限，综上，角α的终边不可能落在第四象限，故选：D.例9．（2022·全国·高三专题练习）θ是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是（）A ．sin2θB ．cos2θC ．sin 2θD ．cos 2θ【答案】C 【解析】表示出第二象限角的范围，求出2θ和2θ所在象限，确定函数值的符号．【详解】因为θ是第二象限角，所以22,2k k k Z ππθππ+<<+∈，则4242,k k k Z ππθππ+<<+∈，所以2θ为第三或第四象限角或终边在y 轴负半轴上，，所以sin 2θ<0.而,422k k k Z πθπππ+<<+∈，2θ是第一象限或第三象限角，正弦余弦值不一定是负数．故选：C ．例10．（2022·全国·高三专题练习）已知角α第二象限角，且cos cos22αα=-，则角2α是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】C 【解析】【分析】由α是第二象限角，知2α在第一象限或在第三象限，再由coscos22αα=-，知cos02α≤，由此能判断出2α所在象限．【详解】因为角α第二象限角,所以()90360180360Z k k k α+⋅<<+⋅∈，所以()4518090180Z 2k k k α+⋅<<+⋅∈，当k 是偶数时，设()2Z k n n =∈，则()4536090360Z 2n n n α+⋅<<+⋅∈，此时2α为第一象限角；当k 是奇数时，设()21Z k n n =+∈，则()225360270360Z 2n n n α+⋅<<+⋅∈，此时2α为第三象限角.；综上所述：2α为第一象限角或第三象限角，因为coscos22αα=-，所以cos02α≤，所以2α为第三象限角．故选：C ．【方法技巧与总结】先从α的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）nα的象限分布图示．题型三：弧长与扇形面积公式的计算例11．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 及其所对弦AB 围成的图形．若弧田的弦AB 长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧AB 长为_______，弧田的面积为_________．【答案】2sin1;211sin 1tan1-.【解析】【分析】（1）利用弧长公式解决，那么需要算出半径和圆心角；（2）用扇形的面积减去三角形的面积即可.【详解】由题意可知：111,,sin1sin1tan1tan1======AC BC BC AC AO OC ，所以弧AB 长122sin1sin1=⨯=，弧田的面积22111111222sin12tan1sin 1tan1⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭扇形AOB AOB S S ，故答案为：2sin1；211sin 1tan1-.例12．（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出 AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CDs AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（）A B C D 【答案】B 【解析】【分析】连接OC ，分别求出,,AB OC CD ，再根据题中公式即可得出答案.【详解】解：如图，连接OC ，因为C 是AB 的中点，所以OC AB ⊥，又CD AB ⊥，所以,,O C D 三点共线，即2OD OA OB ===，又60AOB ∠=︒，所以2AB OA OB ===，则OC =2CD =所以()22222CD s AB OA =+=+=故选：B.例13．（2022·全国·高三专题练习）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为r 的圆面中剪下扇形OAB ，使剪下扇形OAB，再从扇形OAB 中剪下扇环形ABDC 制作扇面，使扇环形ABDC 的面积与扇形OAB.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（）ABCD2-【答案】D 【解析】【分析】记扇形OAB 的圆心角为α，扇形OAB 的面积为1S ，扇环形ABDC 的面积为2S ，圆的面积为S ，根据扇形面积公式，弧长公式，以及题中条件，即可计算出结果.【详解】记扇形OAB 的圆心角为α，扇形OAB 的面积为1S ，扇环形ABDC 的面积为2S ，圆的面积为S ，由题意可得，2112S r α=，21S S =2S r π=，所以()122124S Srαππ==，因为剪下扇形OAB ，所以22r r r παπ-=(3απ=，所以()()()2113244S S απππ====.故选：D.例14．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为O ，墙壁截面ABCD 为矩形，且1AD =，则扇形OAD 的面积是__________.【答案】6π##16π【解析】【分析】计算AOD ∠，再利用扇形的面积公式求解.【详解】由题意可知，圆O 的半径为1，即1OA OD ==，又1AD =，所以OAD △为正三角形，∴3AOD π∠=，所以扇形OAD 的面积是221112236S r AOD ππ=⨯⨯∠=⨯⨯=.故答案为：6π例15．（2022·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC 的面积S 为22225cm π，若2BD DA =，则当该纸叠扇的周长C 最小时，BD 的长度为___________cm .【答案】10π【解析】【分析】设扇形ABC 的半径为r cm ，弧长为l cm ，根据扇形ABC 的面积S 为22225cm π，由212252rl π=得到rl ，然后由纸叠扇的周长2C r l =+，利用基本不等式求解.【详解】解：设扇形ABC 的半径为r cm ，弧长为l cm ，则扇形面积12S rl =.由题意得212252rl π=，所以2450rl π=.所以纸叠扇的周长260C r l π=+≥==，当且仅当22,450,r l rl π=⎧⎨=⎩即15r π=，30l π=时，等号成立，所以()15BD DA cm π+=.又2BD DA =，所以()1152BD BD cm π+=，所以()3152BD cm π=，故()10BD cm π=.故答案为：10π例16．（2022·全国·高三专题练习）已知扇形的周长为4cm ，当它的半径为________cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________cm 2.【答案】121【解析】【详解】24l r +=，则()21142222S lr r r r r ==-=-+，则1,2r l ==时，面积最大为1，此时圆心角2lrα ，所以答案为1；2；1.【方法技巧与总结】（1）熟记弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2（弧度制(0,2]απ∈）（2）掌握简单三角形，特别是直角三角形的解法题型四：三角函数定义题例17．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知角θ的终边过点()1,1A -，则sin()6πθ-=（）ABCD【答案】D 【解析】【分析】由任意三角形的定义求出sin ,cos θθ，由两角差的正弦公式代入即可求出sin()6πθ-.【详解】因为角θ的终边过点()1,1A -，由任意三角形的定义知：sin θθ==sin()sin cos cos sin 666πππθθθ-=-=故选：D.例18．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知角α的终边经过点(-，则()tan sin 232πααπ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭（）A ．32B ．34-C．D【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数的定义、诱导公式、二倍角公式以及弦化切可求得所求代数式的值.【详解】依题意，由三角函数的定义可知tan α=()22sin cos 2sin cos 2tan sin 23sin 22sin sin cos cos 2παπαααααπαπαααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭++-=-=-- ⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭22212sin cos 2tan tan sin cos tan 1ααααααα=--===++故选：D.例19．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边上一点()sin 3,cos3P ，若02απ≤≤，则α=（）A ．3B ．32π-C ．532π-D ．32π-【答案】C【分析】根据三角函数的定义求出tan α，结合诱导公式即可得解，注意角所在的象限.【详解】解：因为角α的终边上一点()sin 3,cos3P ，所以cos31tan 0sin 3tan 3α==<，又cos 30,sin 30<>，所以α为第四象限角，所以23,Z 2k k παπ=+-∈，又因02απ≤≤，所以532πα=-.故选：C.例20．（2022·北京·二模）已知角α的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】A 【解析】【分析】根据终边上的点确定角的正余弦值，再由二倍角正弦公式求sin 2α.【详解】由题设43sin ,cos 55αα==-，而4324sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯⨯-=-.故选：A【方法技巧与总结】（1）任意角的正弦、余弦、正切的定义；题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值例21．（2022·全国·高三专题练习）如果cos 0θ<，且tan 0θ<，则sin cos cos θθθ-+的化简为_____.【答案】sin θ【解析】【分析】由cos 0θ<，且tan 0θ<，得到θ是第二象限角，由此能化简sin cos cos θθθ-+．解：∵cos 0θ<，且tan 0θ<，∴θ是第二象限角，∴sin cos cos sin cos cos sin θθθθθθθ-+=-+=．故答案为：sin θ．例22．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据sin cos 0αα⋅<可知α是第二或第四象限角；根据第二或第四象限角正余弦的符号可确定结果.【详解】sin cos 0αα⋅< ，α 是第二或第四象限角；当α是第二象限角时，cos 0α<，sin 0α>，满足cos sin 0αα-<；当α是第四象限角时，cos 0α>，sin 0α<，则cos sin 0αα->，不合题意；综上所述：α是第二象限角.故选：B.例23．（2022·浙江·模拟预测）已知R θ∈，则“cos 0θ>”是“角θ为第一或第四象限角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要【答案】B 【解析】【分析】利用定义法进行判断.【详解】充分性：当cos 0θ>时，不妨取cos 1,0θθ==时轴线角不成立.故充分性不满足；必要性：角θ为第一或第四象限角，则cos 0θ>，显然成立.故选：B.例24．（2022·重庆·高三开学考试）若tan 0θ>，则下列三角函数值为正值的是（）A ．sin θB ．cos θC ．sin 2θD ．cos 2θ【答案】C 【解析】【分析】结合诱导公式、二倍角公式判断出正确选项.【详解】sin tan 0sin cos 0sin 22sin cos 0cos θθθθθθθθ=>⇒⋅>⇒=>，所以C 选项正确.当5π4θ=时，5ππtan 0,sin 0,cos 0,cos 2coscos 022θθθθ><<===，所以ABD 选项错误.故选：C例25．（2022·全国·高三专题练习（理））我们知道，在直角坐标系中，角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角．已知点()cos ,tan P αα在第三象限，则角α的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】【分析】本题首先可以根据题意得出cos 0α<、tan 0α<，然后得出sin 0α>，即可得出结果.【详解】因为点()cos ,tan P αα在第三象限，所以cos 0α<，tan 0α<，则sin 0α>，角α的终边在第二象限，故选：B.例26．（2022·全国·高三专题练习（理））已知sin 0,cos 0αα><，则（）A ．sin 20α>B ．cos20α<C ．tan02α>D ．sin2α<【答案】C 【解析】【分析】由条件得到角α所在的象限，从而得到2α所在的象限，这样就可以得到答案.【详解】由sin 0,cos 0αα><知，α为第二象限角，所以2α为第一或第三象限角，所以tan02α>．故选：C.例27．（2022·江西南昌·三模（文））若角α的终边不在坐标轴上，且sin 2cos 2αα+=，则tan α=()A ．43B ．34C ．23D ．32【答案】A 【解析】【分析】结合易知条件和同角三角函数的平方关系即可求出cos α，从而求出sin α，根据sin tan cos ααα=即可求得结果．【详解】22sin cos 13cos 5sin 2cos 2ααααα⎧+=⇒=⎨+=⎩或cos 1α=，∵α的终边不在坐标轴上，∴3cos 5α=，∴34sin 2255α=-⨯=，∴sin 4tan cos 3ααα==．故选：A ．例28．（2022·全国·高三专题练习（理））若α是第二象限角，则下列不等式正确的是（）A ．()cos 0α->B ．tan02α>C ．sin 20α>D ．()sin 0α->【答案】B 【解析】【分析】根据α是第二象限角，分别求出四个选项中角所在的象限，再判断三角函数的符号，即可求解.【详解】对于A ：因为()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()ππ2π2πZ 2k k k α--<-<--∈，所以α-是第三象限角，所以()cos 0α-<，故选项A 不正确；对于B ：因为()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()ππππZ 422k k k α+<<+∈，当()2Z k n n =∈时，()ππ2π2πZ 422n n n α+<<+∈，此时2α是第一象限角，当()21Z k n n =+∈时，()5π3π2π2πZ 422n n n α+<<+∈，此时2α是第三象限角，所以2α是第一或第三象限角，所以tan02α>，故选项B 正确；对于C ：因为()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()π4π22π4πZ k k k α+<<+∈，所以2α是第三或第四象限角或终边落在y 轴非正半轴，所以sin 20α<，故选项C 不正确；对于D ：因为()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()ππ2π2πZ 2k k k α--<-<--∈，所以α-是第三象限角，所以()sin 0α-<，故选项D 不正确；故选：B.【方法技巧与总结】正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；．余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；．正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负．题型六：同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的例29．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））若tan 2θ=-，则2sin 2cos 1θθ+的值为___________.【答案】23-【解析】【分析】利用二倍角公式和同角三角函数平方关系可构造正余弦齐次式，分子分母同除2cos θ，代入tan θ即可得到结果.【详解】2222sin 22sin cos 2tan 42cos 12cos sin 2tan 243θθθθθθθθ===-=-++++.故答案为：23-.例30．（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知tan 3α=，则22sin 22sin cos2cos -=-αααα___________．【答案】43【解析】【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数齐次式关系求解即可.【详解】解：22222222sin 22sin 2sin cos 2sin 2tan 2tan 23234cos2cos sin tan 33---⨯-⨯====----ααααααααααα．故答案为：43例31．（2022·广东惠州·一模）已知tan 2α=，32παπ<<，则cos sin αα-=（）A B ．C D ．【答案】A 【解析】【分析】由sin tan 2cos ααα==及22sin cos 1αα+=解出sin α与cos α即可求解.【详解】因为sin tan 2cos ααα==，且22sin cos 1αα+=，32παπ<<，所以sin α=cos α=，所以cos sin αα⎛-== ⎝⎭.故选：A.例32．（2022·全国·模拟预测）已知0πA <<，1sin cos 5A A +=，则1sin 21cos 2AA-=+（）A ．132B ．118C ．4918D ．4932【答案】C 【解析】【分析】结合同角的平方关系以及二倍角公式即可求出结果.【详解】由1sin cos 5A A +=及22sin cos 1A A +=，解得4sin 5A =，3cos 5A =-或4cos 5A =，3sin 5A =-.因为sin 0A >，所以4sin 5A =，3cos 5A =-，所以24sin 22sin cos 25A A A ==-，227cos 2cos sin 25A A A =-=-，所以2411sin 2492571cos 218125A A +-==+-，故选：C.例33．（2022·海南·模拟预测）已知角α为第二象限角，tan 3α=-，则cos α=（）A．BC．D【答案】A 【解析】【分析】由角所在的象限及同角三角函数的平方关系、商数关系求cos α即可.【详解】因为α是第二象限角，所以sin 0α>，cos 0α<，由sin tan 3cos ααα==-，22sin cos 1αα+=，可得：cos α=故选：A.例34．（2022·全国·高三专题练习）已知(,22ππα∈-，且212sin 5cos 9αα-=，则cos 2=α（）A ．13B ．79-C ．34-D ．18【答案】B 【解析】【分析】利用同角公式化正弦为余弦，求出cos α的值，再利用二倍角的余弦公式求解即得.【详解】依题意，原等式化为：212(1cos )5cos 9αα--=，整理得：(4cos 3)(3cos 1)0αα+-=，因(,)22ππα∈-，则cos 0α>，解得：1cos 3α=，所以2217cos 22cos 12139αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭.故选：B例35．（2022·全国·高三阶段练习（理））若sin cos 2sin cos θθθθ+=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．65D ．25【答案】C 【解析】【分析】由已知得sin 3cos θθ=，从而sin ,cos θθ同号，即sin cos 0>θθ，然后由平方关系求得22cos ,sin θθ，进而求得sin cos θθ，求值式应用二倍角公式和平方关系变形后可得结论．【详解】因为sin cos 2sin cos θθθθ+=-，所以sin 3cos θθ=，所以sin ,cos θθ同号，即sin cos 0>θθ，22222sin cos 9cos cos 10cos 1θθθθθ+=+==，21cos 10θ=，从而29sin 10θ=，229sin cos 100θθ=，所以3sin cos 10θθ=，22sin (1sin 2)sin (sin cos 2sin cos )sin (sin cos )sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++2936sin sin cos 10105θθθ=+=+=．故选：C ．例36．（2022·广东广州·三模）已知sin cos x x +=()0,πx ∈，则cos2x 的值为（）A ．12B C ．12-D ．【答案】D 【解析】【分析】将sin cos x x +=2sin x cos x =-12<0,结合sin cos x x +=求出x 的范围，再利用22cos 2sin 21x x +=求解即可.【详解】解：将sin cos x x +=2sin x cos x =-12<0,所以π(,π)2x ∈，又因为sin cos x x +=０，所以π3π(,24x ∈，2x 3π(π,)2∈,又因为sin2x =-12,所以cos2x 故选：D.例37．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知1sin cos 5θθ+=-，(0,)θπ∈，则sin cos θθ-=（）A ．15B ．15-C ．75D ．75-【答案】C 【解析】【分析】利用平方关系，结合同角三角函数关系式，即可求解.【详解】()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=，242sin cos 025θθ=-<，()0,θπ∈ ，,2πθπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，sin cos θθ>，()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=，所以7sin cos 5θθ-=.故选：C例38．（2022·山西晋中·模拟预测（理））若tan 1θ=-，则()cos 1sin 2sin cos θθθθ--等于（）A ．12B ．2C ．1-D ．13-【答案】C 【解析】【分析】化简原式为2tan 1tan 1θθ-+即得解.【详解】解：原式()222cos sin 2sin cos cos cos (sin cos )=sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ-⋅+-=--22cos (sin cos )sin cos θθθθθ-=+2tan 12=1tan 12θθ--==-+.故选：C例39．（2022·湖北·模拟预测）已知()cos 3cos 02πααπ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，则3sin sin sin 2ααπα-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．35B ．35C ．310D ．310-【答案】D 【解析】【分析】根据题意求出tan α，再将原式化简为：32sin sin tan tan 1sin 2αααπαα-=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，求解即可.【详解】因为()cos 3cos 02πααπ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，所以sin 3cos 0αα--=，所以tan 3α=-()232sin 1sin sin sin tan 3sin cos cos tan 110sin 2αααααααπααα--====-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故选：D.【方法技巧与总结】（1）若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值．（2）若无象限条件，一般“弦化切”．题型七：诱导求值与变形例40．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．13-C ．79D ．79-【答案】D 【解析】【分析】由三角函数的二倍角的余弦公式，结合诱导公式，即可求得答案.【详解】由题意得：2222πππππ27cos 22cos 12cos 12sin 113326699αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=---=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：D ．例41．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））若1sin ,63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭则2cos 3a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．13-C ．79D ．79-【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式计算可得；【详解】解：因为1sin 63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以21cos cos sin 32663ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B.例42．（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））()tan 165-︒=（）A ．2-B ．2-+C ．2D ．2【答案】C 【解析】【分析】先利用诱导公式可得()tan 165tan15-︒=︒，在运用正切两角差公式()tan15tan 4530︒=︒-︒计算．【详解】()()()tan 165tan 18015tan15tan 4530-︒=-︒+︒=︒=︒-︒1tan 45tan 3021tan 45tan 30︒-︒===+︒︒故选：C ．例43．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知2cos sin 022a ππα⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()tan -=πα（）A ．2B ．—2C ．12D ．12-【答案】C 【解析】【分析】根据诱导公式五、六可得2sin cos 0αα+=，由同角三角函数的关系可得1tan 2α=-，结合诱导公式二计算即可.【详解】由已知得2sin cos 0αα+=，12sin cos tan 2ααα∴=-∴=-，，∴1tan()tan 2παα-=-=.故选：C【方法技巧与总结】（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与2π整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数．（2）通过2,,2πππ±±±等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．（3）2,,2παβππ±=±±±等可利用诱导公式把,αβ的三角函数化【过关测试】一、单选题1．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（理））中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上､下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲池，1AA 垂直于底面，13AA =，底面扇环所对的圆心角为2π，弧AD 长度是弧BC 长度的3倍，2CD =，则该曲池的体积为（）A ．92πB ．5πC ．112πD ．6π【答案】D 【解析】【分析】利用柱体体积公式求体积.【详解】不妨设弧AD 所在圆的半径为R ，弧BC 所在圆的半径为r ，由弧AD 长度为弧BC 长度的3倍可知3R r =，22CD R r r =-==，所以1r =，3R =.故该曲池的体积22()364V R r ππ=⨯-⨯=.故选：D.2．（2022·海南中学高三阶段练习）二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示李节变迁的24个特定节令．如图，每个节气对应地球在黄道上运动15︒所到达的一个位置．根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（）A ．π3-B ．π2C ．5π12D ．π3【答案】B【解析】【分析】根据条件得到运行度数为6×15°，化为弧度即可得解.【详解】根据题意，立春是立冬后的第六个节气，故从立冬到立春相应于地球在黄道上逆时针运行了61590︒⨯=︒，所以从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为π2.故选：B3．（2022·河北·模拟预测）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角等于23π的扇形，则该圆锥的体积为（）A B ．1627πC D ．1681π【答案】C 【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则由题意可得2223r ππ=⨯，从而可求出半径r ，再求出h ，进而可求出其体积【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则由题意可得2223r ππ=⨯，解得23r =，所以h ===所以圆锥的体积为22112333V r h ππ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭故选：C4．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知角θ的大小如图所示，则1sin 2cos 2θθ+=（）A ．5-B ．5C ．15-D ．15【答案】A 【解析】【分析】由图中的信息可知tan 54πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，化简1sin 2cos 2θθ+即可.【详解】由图可知，tan 54πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()()()22222cos sin 1sin 2sin cos 2sin cos cos sin cos 2cos sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθθθθθθθ+++++===--+-tantan 1tan 4tan 51tan 41tan tan 4πθθπθπθθ++⎛⎫===+=- ⎪-⎝⎭-；故选：A.5．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））tan195︒=（）A．2-B．2-+C ．2D ．2【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式及两角差的正切公式计算可得；【详解】解：()()tan195tan 18015tan15tan 4530︒=︒+︒=︒=︒-︒tan 45tan 301tan 45tan 30︒-︒=+︒︒12==故选：C6．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）若21sin2512sin αα+=-，则tan α=（）A ．23-B ．32-C ．23D ．32【答案】C 【解析】【分析】通过“1”的替换，齐次化，然后得到关于tan α的方程，解方程即可【详解】22221sin 2(cos sin )cos sin 1tan 512sin cos sin cos sin 1tan αααααααααααα++++====----,解得2tan 3α=故选：C7．（2022·四川成都·模拟预测（文））已知向量(3cos 2,sin )a αα= ，(2,cos 5sin )b αα=+ ，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若a b ⊥ ，则tan α=（）A ．2B ．-2C ．3D ．34【答案】C 【解析】【分析】由a b ⊥可得向量的数量积等于0，化简可得6cos 2sin (cos 5sin )0αααα++=，结合二倍角公式以及同角的三角函数关系式化为226tan tan n 10ta ααα-++=，可求得答案.【详解】由题意a b ⊥可得0a b ⋅= ，即6cos 2sin (cos 5sin )0αααα++=，即2226(cos sin )sin cos 5sin 0ααααα-++=，故22226cos sin sin c sin os 0cos αααααα-++=，即226tan tan n 10ta ααα-++=，由于π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 3,tan 2αα==-（舍去），故选：C8．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m =2sin18︒）．A ．4B 1+C ．2D 1【答案】A 【解析】【分析】根据2sin18m ︒=，结合三角函数的基本关系式，诱导公式和倍角公式，即可求解.【详解】根据题意，可得2sin182cos72m =︒=︒，4sin144cos54︒==︒()4sin 90544cos544cos54cos54︒+︒︒===︒︒.故选：A ．二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的有（）A ．经过30分钟，钟表的分针转过π弧度B ．1801radπ︒=C ．若sin 0θ>，cos 0θ<，则θ为第二象限角D ．若θ为第二象限角，则2θ为第一或第三象限角【答案】CD 【解析】【分析】对于A ，利用正负角的定义判断；对于B ，利用角度与弧度的互化公式判断；对于C ，由sin 0θ>求出θ的范围，由cos 0θ<求出θ的范围，然后求交集即可；对于D ，由θ是第二象限角，可得222k k ππθππ+<<+，k Z ∈，然后求2θ的范围可得答案【详解】对于A ，经过30分钟，钟表的分针转过π-弧度，不是π弧度，所以A 错；对于B ，1︒化成弧度是rad 180π，所以B 错误；对于C ，由sin 0θ>，可得θ为第一、第二及y 轴正半轴上的角；由cos 0θ<，可得θ为第二、第三及x 轴负半轴上的角.取交集可得θ是第二象限角，故C 正确；对于D ：若θ是第二象限角，所以222k k ππθππ+<<+，则()422k k k Z πθπππ+<<+∈，当2()k n n Z 时，则22()422n n n Z πθπππ+<<+∈，所以2θ为第一象限的角，当21()k n n Z =+∈时，5322()422n n n Z πθπππ+<<+∈，所以2θ为第三象限的角，综上，2θ为第一或第三象限角，故选项D 正确.故选：CD.10．（2022·全国·高三专题练习）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形（如图）的面积为1S ，圆心角为1α，圆面中剩余部分的面积为2S ，圆心角为2α，当1S 与2S0.618≈（黄金分割比）时，折扇看上去较为美观，那么（）A ．1127.5α=︒B ．1137.5α=︒C．21)απ=D．12αα=【答案】BCD 【解析】【分析】利用扇形的面积公式以及角度制与弧度制的互化即可求解.【详解】设扇形的半径为R，由211122221212R S S R αααα===，故D 正确；由122ααπ+=，。
(2024年高考真题)2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(文) 试卷 全国甲卷(含部分解析)
2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷数学（文） 试卷养成良好的答题习惯，是决定成败的决定性因素之一。
做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。
1.集合{1,2,3,4,5,9}A =，{1}B x x A =+∈∣，则A B =( ) A.{1，2，3，4}B.{1，2，3，4}C.{1，2，3，4}D.{1，2，3，4}2.设z =，则z z ⋅=( ) A.2B.2C.2D.23.若实数x ，y 满足约束条件（略），则5z x y =-的最小值为( ) A.5B.12C.2-D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=( ) A.2-B.73C.1D.295.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( ) A.14 B.13 C.12D.236.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(0,4)(0,4)F F -、，且经过点(6,4)P -，则双曲线C 的离心率是( )A.135B.137C.2D.37.曲线6()3f x x x =+在 (0,1)-处的切线与坐标轴围成的面积为( )A.16B.2 C.12D.28.函数()2()e e sin x x f x x x -=-+-的大致图像为( ) 9.已知cos cos sin ααα=-an 4πt α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A.3B.1-C.3-D.1310.直线过圆心，直径11.已知m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面：①若m α⊥，n α⊥，则//m n ；②若m αβ=，//m n ，则//n β；③若//m α，//n α，m 与n 可能异面，也可能相交，也可能平行；④若m αβ=，n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥，以上命题是真命题的是( )A.①③B.②③C.①②③D.①③④12.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=( )A.13B.13C.2D.1313.略14.函数()sin f x x x =，在[0,π]上的最大值是_______. 15.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则a =_______. 16.曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，则a 的取值范围为_______.17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{} n S 的通项公式. 18.题干略.19.如图，己知//AB CD ，//CD EF ，2AB DE EF CF ====，4CD =，10AD BC ==，23AE =，M 为CD 的中点.（1）证明：//EM 平面BCF ； （2）求点M 到AD E 的距离. 20.已知函数()(1)ln 1f x a x x =--+. （1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点3(1,)2M 在椭圆C 上，且MF x ⊥轴.（1）求椭圆C 的方程；（2）(4,0)P ，过P 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，N 为FP 的中点，直线NB 与MF 交于Q ，证明：AQ y ⊥轴.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 的直角坐标方程；（2）直线x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线C 交于A 、B 两点，若||2AB =，求a 的值.23.[选修4-5：不等式选讲] 实数a ，b 满足3a b +≥. （1）证明：2222a b a b +>+； （2）证明：22226a b b a -+-≥.2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷数学（文）答案1.答案：A解析：因为{}1,2,3,4,5,9A =，{1}{0,1,2,3,4,8}B x x A =+∈=∣，所以{1,2,}3,4A B =，故选A. 2.答案：D解析：因为z =，所以2z z ⋅=，故选D. 3.答案：D解析：将约束条件两两联立可得3个交点：(0,1)-、3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭和1 3,2⎛⎫⎪⎝⎭，经检验都符合约束条件.代入目标函数可得：min 72z =-，故选D.4.答案：D解析：令0d =，则9371291,,99n n S a a a a ===+=，故选D.5.答案：B解析：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种可能.丙不在排头，且甲或乙在排尾的共有8种可能，81243P ==，故选B. 6.答案：C解析：12212F F ce a PF PF ===-，故选C.7. 答案：A解析：因为563y x '=+，所以3k =，31y x =-，1111236S =⨯⨯=，故选A.8.答案：B解析：选B.9. 答案：B解析：因为cos cos sin ααα=-tan 1α=，tan 1tan 141tan πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，故选B.10.答案：直径解析：直线过圆心，直径. 11. 答案：A解析：选A. 12.答案：C 解析：因为π3B =，294b ac =，所以241sin sin sin 93A C B ==.由余弦定理可得：22294b ac ac ac =+-=，即：22134a c ac +=，221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，sin sin 2A C +=，故选C.13. 答案：略解析： 14.答案：2解析：π()sin 2sin 23f x x x x ⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当5π6x =时取等号.15. 答案：64解析：因为28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，所以()()22log 1log 60a a +-=，而1a >，故2log 6a =，64a =.16. 答案：(2,1)-解析：令323(1)x x x a -=--+，则323(1)a x x x =-+-，设32()3(1)x x x x ϕ=-+-，()(35)(1)x x x ϕ+'=-，()x ϕ在(1,)+∞上递增，在（0，1）上递减.因为曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，(0)1ϕ=，(1)2ϕ=-，所以a 的取值范围为(2,1)-. 17.答案：见解析解析：（1）因为1233n n S a +=-，所以12233n n S a ++=-，两式相减可得：121233n n n a a a +++=-，即：2135n n a a ++=，所以等比数列{}n a 的公比53q =，又因为12123353S a a =-=-，所以11a =，153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）因为1233n n S a +=-，所以()133511223nn n S a +⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.18.答案：见解析解析：（1）22150(70242630) 6.635965450100χ⨯-⨯=<⨯⨯⨯，没有99%的把握；（2）p p >+. 19.答案：见解析解析：（1）由题意：//EF CM ，EF CM =，而CF 平面ADO ，EM 平面ADO ，所以//EM 平面BCF ；（2）取DM 的中点O ，连结OA ，OE ，则OA DM ⊥，OE DM ⊥，3OA =，OE =而AE =，故OA OE ⊥，AOE S =△因为2DE =，AD =AD DE ⊥，AOE S △DM 设点M 到平面ADE 的距离为h ，所以1133M ADE ADE AOE V S h S DM -=⋅=⋅△△，h ==，故点M到ADE 的距离为5. 20.答案：见解析解析：（1）()(1)ln 1f x a x x =--+，1()ax f x x-=，0x >. 若0a ≤，()0f x <，()f x 的减区间为(0,)+∞，无增区间； 若0a >时，当10x a <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为2a ≤，所以当1x >时，111e ()e (1)ln 1e 2ln 1x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++.令1()e 2ln 1x g x x x -=-++，则11()e 2x g x x -'=-+.令()()h x g x '=.则121()e x h x x-'=-在(1,)+∞上递增，()(1)0h x h ''>=，所以()()h x g x '=在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ''>=，故()g x 在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g >=，即：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.21.答案：见解析解析：（1）设椭圆C 的左焦点为1F ，则12F F =，3||2MF =.因为MF x ⊥轴，所以152MF =，12||4a MF MF =+=，解得：24a =，2213b a =-=，故椭圆C 的方程为：22143x y +=； （2）解法1：设()11,A x y ，()22,B x y ，AP PB λ=，则12124101x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，即212144x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩.又由()()22112222234123412x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩可得：1212121234121111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅=+-+-，结合上式可得：25230x λλ-+=.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，则222122335252Q y y y y y x x λλλλ===-=--，故AQ y ⊥轴.解法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121244y y x x =--，即：()1221214x y x y y y -=-，所以()()()2222222211*********21213444433y x y x y x y x y x y x y y y ⎛⎫-+=-=+-+ ⎪⎝⎭()()()()212121122144y y y y y y x y x y =-+=-+，即：122121x y x y y y +=+，2112253x y y y =-.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，则21212112335252Q y y y y y x y y x ===--，故AQ y ⊥轴.22.答案：（1）221y x =+ （2）34解析：（1）因为cos 1ρρθ=+，所以22(cos 1)ρρθ=+，故C 的直角坐标方程为：222(1)x y x +=+，即221y x =+；（2）将x ty t a =⎧⎨=+⎩代入221y x =+可得：222(1)10t a t a +-+-=，12||2AB t =-==，解得：34a =. 23.答案：见解析解析：（1）因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+. （3）222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+=22222()()()()(1)6a b a b a b a b a b a b +-+≥+-+=++-≥.高考质量提升是一项系统工程，涉及到多个方面、各个维度，关键是要抓住重点、以点带面、全面突破，收到事半功倍的效果。
中小学教师工作量标准
中小学教师工作量标准前言正文对于中小学教师工作量的规定，教育部对高等学校教师的工作量规定有一个试行办法，对于普通中小学校的教师，目前还没有完全能成熟的工作量标准的规定。
但很多地方和学校进行了一定探索，形成有一定参考价值的教师工作量标准。
中小学教师工作量标准一般都是各地市根据中央编办、教育部、财政部《关于统一城乡中小学教职工编制标准的通知》（中央编办发〔2014〕72号）精神制定，每个地方有所不同。
具体标准都是根据各地市的具体情况来制定，也有些地方是根据学校实际情况来制定。
现在没有统一的全国性的规定。
一般都是按照下面的标准上下浮动一、课时计算方法：专任教师以周教学课时计算工作量，一课时按40分钟或45分钟计算；高中教师周课时数可按学年或学期平均数计算。
二、专任教师周工作量标准1、小学教师：语文数学14节；科学外语15节；体育、音乐、美术、信息技术16节；品德、综合实践和地方课程等17节。
2、初中教师：语文、数学、英语和科学12节；思想品德、历史与社会、体育14节；音乐、美术、信息技术、综合实践和地方课程等16节。
3、高中教师：10-14节；各校根据选考学考情况、以及专业特点制定各学科周课时数标准；除按周工作量标准外，亦可根据学年或学期平均数计算周工作量。
中层干部周工作量标准与专任教师有异，中层正职的周课时数为专任教师的二分之一，中层副职的周课时数为专任教师的三分之二。
以上未具体约束的老师工作量情况，应以当地教育局的政策和公立校校方安排为准。
比如下面是宁夏的标准宁夏回族自治区教育厅关于中小学教师工作量的规定省教育厅公布的义务教育学校教师工作量参考标准中，小学教师平均每周17节课，中学教师平均每周13节课。
此次公布的专任教师工作量标准为：小学语文、数学每周14至16节，英语、品德与生活(品德与社会)、科学、体育每周16至18节，其他学科每周18至20节；初中语文、数学、英语、物理、化学、生物每周10至12节，思想与品德、历史、地理每周12至14节，其他学科每周14至16节。
2024年中考数学真题(全国)(第一期)专题17 几何图形初步及相交线、平行线(40题)(原卷版)
专题17几何图形初步及相交线、平行线（40题）一、单选题1．（2024·河南·中考真题）如图，乙地在甲地的北偏东50︒方向上，则∠1的度数为（）A ．60︒B ．50︒C ．40︒D ．30︒2．（2024·陕西·中考真题）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（）A ．B ．C ．D ．3．（2024·北京·中考真题）如图，直线AB 和CD 相交于点O ，OE OC ⊥，若58AOC ∠=︒，则EOB ∠的大小为（）A ．29︒B ．32︒C ．45︒D ．58︒4．（2024·广西·中考真题）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（）A ．20︒B ．40︒C ．60︒D ．80︒5．（2024·四川内江·中考真题）如图，AB CD ∥，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，若64EFD ∠=︒，则BEF ∠的大小是（）A ．136︒B ．64︒C ．116︒D ．128︒6．（2024·湖北·中考真题）如图，直线AB CD ∥，已知1120∠=︒，则2∠=（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒7．（2024·陕西·中考真题）如图，AB DC ∥，BC DE ∥，145B ∠=︒，则D ∠的度数为（）A ．25︒B ．35︒C ．45︒D ．55︒8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含30︒角的三角尺和直尺如图放置，若150∠=︒，则2∠的度数是（）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒9．（2024·广东·中考真题）如图，一把直尺、两个含30︒的三角尺拼接在一起，则ACE ∠的度数为（）A ．120︒B ．90︒C ．60︒D ．30︒10．（2024·青海·中考真题）生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（）A．B．C．D．11．（2024·四川德阳·中考真题）走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日，在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样．则在A、B、C处依次写上的字可以是（）A．吉如意B．意吉如C．吉意如D．意如吉12．（2024·四川广安·中考真题）将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是（）A．校B．安C．平D．园13．（2024·江苏盐城·中考真题）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（）A．湿B．地C．之D．都14．（2024·江西·中考真题）如图是43 的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（）A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种15．（2024·江苏扬州·中考真题）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（）A ．三棱锥B ．圆锥C ．三棱柱D ．长方体16．（2024·河北·中考真题）如图，AD 与BC 交于点O ，ABO 和CDO 关于直线PQ 对称，点A ，B 的对称点分别是点C ，D ．下列不一定正确的是（）A ．AD BC ⊥B ．AC PQ ⊥C ．ABO CDO △≌△D ．AC BD∥17．（2024·福建·中考真题）在同一平面内，将直尺、含30︒角的三角尺和木工角尺（CD ⊥DE ）按如图方式摆放，若AB CD ，则1∠的大小为（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒18．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，AB CD ，若165∠=︒，2120∠=︒，则3∠的度数为（）A ．45︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒19．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，直线AB CD ∥，点E 在直线AB 上，射线EF 交直线CD 于点G ，则图中与AEF ∠互补的角有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个20．（2024·广东深圳·中考真题）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角150∠=︒，则反射光线与平面镜夹角4∠的度数为（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒21．（2024·吉林·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，过点B 作BE AD ∥，交CD 于点E ．若50BEC ∠=︒，则ABC ∠的度数是（）A ．50︒B ．100︒C ．130︒D ．150︒22．（2024·重庆·中考真题）如图，AB CD ∥，若1125∠=︒，则2∠的度数为（）A ．35︒B ．45︒C ．55︒D ．125︒23．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在ABC 中，O 是边AB 的中点．按下列要求作图：①以点B 为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO 于点D ，交BC 于点E ；②以点O 为圆心、BD 长为半径画弧，交线段OA 于点F ；③以点F 为圆心、DE 长为半径画弧，交前一条弧于点G ，点G 与点C 在直线AB 同侧；④作直线OG ，交AC 于点M ．下列结论不一定成立的是（）A ．AOM B∠=∠B ．180OMC C ∠+∠= C ．AM CM =D ．12OM AB =24．（2024·青海·中考真题）如图，一个弯曲管道AB CD ，120ABC ∠=︒，则BCD ∠的度数是（）A ．120︒B ．30︒C ．60︒D ．150︒25．（2024·吉林长春·中考真题）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则α∠的大小为（）A ．54oB ．60C ．70D ．7226．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则1∠的大小为（）A ．100︒B ．105︒C ．115︒D ．120︒27．（2024·四川达州·中考真题）如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是（）A ．热B ．爱C ．中D ．国28．（2024·四川宜宾·中考真题）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A 最远的点是（）A ．B 点B ．C 点C ．D 点D ．E 点29．（2024·四川泸州·中考真题）把一块含30︒角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若145∠=︒，则2∠=（）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．30︒30．（2024·江苏盐城·中考真题）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若155∠=︒，则2∠的度数为（）A ．25︒B ．35︒C ．45︒D ．55︒31．（2024·甘肃·中考真题）若55A ∠=︒，则A ∠的补角为（）A ．35︒B ．45︒C ．115︒D ．125︒32．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，,AD BC AB AC ⊥∥，若135.8∠= ，则B ∠的度数是（）A ．3548'︒B ．5512'︒C ．5412'︒D ．5452'︒二、填空题33．（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是．34．（2024·广西·中考真题）已知1∠与2∠为对顶角，135∠=︒，则2∠=°．35．（2024·广东广州·中考真题）如图，直线l 分别与直线a ，b 相交，a b ，若171∠=︒，则2∠的度数为．36．（2024·四川乐山·中考真题）如图，两条平行线a 、b 被第三条直线c 所截．若160∠=︒，那么2∠=．37．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，AB CD ∥，33C ∠=︒，OC OE =．则A ∠=︒．38．（2024·山东威海·中考真题）如图，在正六边形ABCDEF 中，AH FG ∥，BI AH ⊥，垂足为点I ．若20EFG ∠=︒，则ABI ∠=．39．（2024·河北·中考真题）如图，ABC 的面积为2，AD 为BC 边上的中线，点A ，1C ，2C ，3C 是线段4CC 的五等分点，点A ，1D ，2D 是线段3DD 的四等分点，点A 是线段1BB 的中点．（1）11AC D △的面积为；（2）143B C D △的面积为．三、解答题40．（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD ，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AE FB =），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．图1图2图3(1)直接写出AD AB 的值；(2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（）图4A ．B ．C ．D ．(3)卡纸型号型号Ⅰ型号Ⅱ型号Ⅲ规格（单位：cm ）3040⨯2080⨯8080⨯单价（单位：元）3520现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE ，EF 的比例，制作棱长为10cm 的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）。
全国100所名校单元测试示范卷(高三)：数学 14数学全国教师4(文)
全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(四)第四单元导数及其应用(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知f(x)=cos x,则f'()等于A. B.- C. D.-解析:f'()=-sin=-.答案:D2.已知点A是曲线y=ln x(x≥1)上的动点,在点A处的切线倾斜角为θ,则θ的取值范围是A.[0,]B.[0,]C.(0,]D.[,)解析:y'=,∵x≥1,∴y'∈(0,],由导数的几何意义及直线倾斜角的定义知0<tanθ≤,∴0<θ≤.答案:C3.已知函数f(x)=x3-的导函数为f'(x),则f'(x)的最小值为A.1B.2C.4D.8解析:f'(x)=4x2+≥4.答案:C4.若函数f(x)=x3-3x+m恰有2个不同的零点,则实数m的值为A.±2B.±1C.-2或1D.-1或2解析:f'(x)=3(x2-1),所以f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上都递增,在[-1,1]上递减,因此要使f(x)恰有2个零点,则只需f(-1)=0或f(1)=0,由此得m=±2.答案:A5.函数f(x)=x+2cos x在[0,]上取得最大值时,x的值为A.0B.C.D.解析:f(x)=(x+2cos x)'=1-2sin x,令1-2sin x=0,且x∈[0,]时,x=,当x∈[0,)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈[,]时,f'(x)≤0,函数f(x)单调递减.∴f(x)max=f().答案:B6.若a>3,则方程x3-ax2+1=0在(0,2)上恰有A.0个根B.1个根C.2个根D.3个根解析:令f(x)=x3-ax2+1,则f'(x)=3x2-2ax=3x(x-a).由f'(x)=0,得x=0或x=a(∵a>3,∴a>2),∴当0<x<2时,f'(x)<0,即f(x)在(0,2)上单调递减.又f(0)·f(2)=8-4a+1=9-4a<0,∴f(x)在(0,2)上有一个零点,即方程在(0,2)上有一实根.答案:B7.如图是二次函数f(x)=x2-bx+c的部分图象,则函数g(x)=ln x+f'(x)的零点所在的区间是A.(,)B.(,1)C.(1,2)D.(2,3)解析:由图可知,0<b<1,0<c<1,b-c=,∴<b<1,g(x)=ln x+x-b为增函数,g(1)=1-b>0,g()=-ln2+-b<0,故零点所在的区间为(,1).答案:B8.已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则不等式xf'(x)<0的解集为A.(-∞,0)∪(,2)B.(-∞,)∪(,2)C.(-∞,)∪(,+∞)D.(-∞,)∪(2,+∞)解析:由f(x)图象的单调性可得f'(x)在(-∞,)和(2,+∞)上大于0,在(,2)上小于0,∴xf'(x)<0的解集为(-∞,0)∪(,2).答案:A9.已知函数f(x)=ax2+bx+c的图象在点x=1处的切线l为直线3x-y-1=0,T n=f(n)为等差数列{a n}的前n项和,若数列{}的前n项和为S n,则S2013的值为A. B. C. D.解析:∵T n=f(n)=an2+bn+c为等差数列{a n}的前n项和,∴c=0,f(x)=ax2+bx,由题意可得∴a=1,b=1,==-,S n=(1-)+(-)+…+(-)=,∴S2013=.答案:D10.已知f(x)=-x3-ax在(-∞,-1]上递减,且g(x)=2x-在区间(1,2]上既有最大值又有最小值,则a的取值范围是A.a>-2B.a≥-3C.-3≤a<-2D.-3≤a≤-2解析:由f'(x)=-3x2-a≤0对于一切x∈(-∞,-1]恒成立,得-3x2≤a,∴a≥-3.又由g(x)在(1,2]上有最大最小值知-4≤a<-2,∴-3≤a<-2.答案:C11.偶函数f(x)在(-∞,+∞)内可导,对任意x都有f(x)=-f(-x+2),且函数f(x)在x=1处的切线与抛物线y2=4x在点(4,4)处的切线恰好垂直,则曲线y=f(x)在点(-9,f(-9))处切线的斜率为A.2B.-2C.D.-解析:由f(x)为偶函数及f(x)=-f(-x+2)知,f(x)是一个周期为4的周期函数.所以y=f(x)在x=-9处的切线与x=-1处的切线斜率相等,又根据图象对称性知x=-1处的切线斜率与x=1处的切线斜率互为相反数,求得y2=4x在点(4,4)处的切线斜率为,所以y=f(x)在x=1处的切线斜率为-2,即在x=-9处的切线斜率为2.答案:A12.为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱(如图),污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a米,高度为b米,已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比,现有制箱材料60平方米,当a、b各为()米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)?A.a=2,b=9B.a=9,b=2C.a=3,b=6D.a=6,b=3解析:经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y=(k>0为比例系数),要求y的最小值,只需求ab的最大值.-.其中a、b满足2a+4b+2ab=60,b=-(0<a<30).记u=ab=-,令u'=0得a=6.由u'=且当0<a<6时,u'>0,当6<a<30时u'<0,∴u=-在a=6时取最大值,此时b=3.从而当且仅当a=6,b=3时,y=取最小值.答案:D第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.函数f(x)=(x>0)的单调增区间为.->0得x>1,解析:由f'(x)=即函数f(x)的单调增区间为(1,+∞).答案:(1,+∞)14.已知二次函数f(x)=af'(1)x2+2f'(0)x,则a=.解析:因为f'(x)=2af'(1)x+2f'(0),由f'(0)=2f'(0),知f'(0)=0,所以f'(1)=2af'(1),且f(x)为二次函数知f'(1)≠0,所以a=.答案:15.已知函数f(x)=x3-3x+1,则过点(1,-1)的切线方程为.解析:设切点为(a,a3-3a+1),则斜率k=3a2-3,切线方程为y-(a3-3a+1)=(3a2-3)(x-a).又切线过点(1,-1),所以有2a3-3a2+1=0,解得a=1或a=-,所以切线方程为y=-1或9x+4y-5=0.答案:y=-1或9x+4y-5=016.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,f(2)=0,且当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf'(x)<0成立(其中f'(x)是f(x)的导函数),则不等式xf(x)>0的解集是.解析:当x<0时,f(x)+xf'(x)<0,即(xf(x))'<0,令y=xf(x),则函数y=xf(x)在区间(-∞,0)上为减函数,又f(x)在定义域上是偶函数,∴函数y=xf(x)在定义域上是奇函数,且2f(-2)=2f(2)=0,则xf(x)>0在(-∞,0)上的解集是(-∞,-2),∴xf(x)>0的解集是(-∞,-2)∪(0,2).答案:(-∞,-2)∪(0,2)三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)已知a>0,函数f(x)=ln x-a2x2-ax,1≤x≤e,f'(2)=0,求函数f(x)的最小值.-,∴f'(2)=--=0,又∵a>0,解析:∵f'(x)=-∴4a-1=0,a=,∴f(x)=ln x-x2-x,f'(x)=--,1≤x≤e,4分∴1≤x≤2时,f'(x)>0;2≤x≤e时,f'(x)<0,f(x)在区间[1,2]上是增函数,在区间(2,e]上是减函数,∴f(x)min={f(1),f(e)}min.8分∵f(1)-f(e)=-+-=-<-=0,∴f(x)min=f(1)=-.10分18.(本小题满分12分)设f(x)=e x(ax2+3),其中a为实数.(1)当a=-1时,求f(x)的极值;(2)若f(x)为[1,2]上的单调函数,求a的取值范围.解析:(1)当a=-1时,有f(x)=e x(-x2+3),f'(x)=e x(-x2-2x+3)=-e x(x+3)(x-1),由f'(x)>0知f(x)在(-3,1)上递增,由f'(x)<0知f(x)在(-∞,-3)和(1,+∞)上都递减,所以f(x)极小值=f(-3)=-6e-3,f(x)极大值=f(1)=2e.5分(2)要使f(x)在[1,2]上递增,则f'(x)=e x(ax2+2ax+3)≥0恒成立,即ax2+2ax+3≥0恒成立,a≥(-)max=-;要使f(x)在[1,2]上递减,则f'(x)=e x(ax2+2ax+3)≤0恒成立,即ax2+2ax+3≤0恒成立,a≤(-)min=-1.综上,f(x)在[1,2]上单调,则a≤-1或a≥-.12分19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-2ln x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)对于函数图象上的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),如果在函数图象上存在点P(x0,y0)(其中x0在x1与x2之间),使得点P处的切线l平行于直线AB,则称AB存在“伴随切线”,当x0=时,又称AB存在“中值伴随切线”.试判断函数f(x)的图象上是否存在“中值伴随切线”,若存在,请求出“中值伴随切线”.解析:(1)f'(x)=-,由f'(x)>0知递增区间为(1,+∞),由f'(x)<0知递减区间为(0,1].3分(2)假设存在不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)(不妨设0<x1<x2),使得AB存在“中值伴随切线”,则--=f'(),化简得:=--,即·-=ln.设函数g(x)=ln x--,则g'(x)=-=-,当x∈(0,1)时,g'(x)>0,即g(x)在(0,1]上是增函数.又0<<1,所以g()<g(1)=0,即·->ln,与上面结论矛盾,所以在函数f的图象上是不存在不同两点A,B,使得AB存在“中值伴随切线”.12分20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x+b(a,b∈R).(1)若y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0,求f(x)在区间[-2,4]上的最大值;(2)当a≠0时,若f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围.解析:(1)f'(x)=x2-2ax+a2-1.∵(1,f(1))在x+y-3=0上,∴f(1)=2,∵(1,2)在y=f(x)的图象上,∴2=-a+a2-1+b,又f'(1)=-1,∴1-2a+a2-1=-1,∴a2-2a+1=0,解得a=1,b=,∴f(x)=x3-x2+,f'(x)=x2-2x.5分由f'(x)=0可知x=0和x=2是f(x)的极值点.∵f(0)=,f(2)=,f(-2)=-4,f(4)=8,∴f(x)在区间[-2,4]上的最大值为8.7分(2)因为函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,所以函数f'(x)在(-1,1)上存在零点.而f'(x)=0的两根为a-1,a+1,a+1-(a-1)=2,∴在区间(-1,1)上不可能有2个零点.∴f'(-1)f'(1)<0,即a2(a+2)(a-2)<0.10分∵a2>0,∴(a+2)(a-2)<0,∴-2<a<2.又∵a≠0,∴a∈(-2,0)∪(0,2).12分21.(本小题满分12分)已知函数y=f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R).(1)当a>0时,若f(x)满足y极小值=1,y极大值=,试求f(x)的解析式;(2)若x∈[0,1]时,y=f(x)图象上的任意一点处的切线斜率k满足|k|≤1,求a的取值范围.解析:(1)f'(x)=-3x2+2ax=0,得x=0或x=a.2分a>0时,x所以f(0)=b=1,f(a)=-a3+a·a2+1=,4分即a=1,b=1.故f(x)=-x3+x2+1.6分(2)由题设x∈[0,1]时,恒有|k|=|f'(x)|≤1,即-1≤-3x2+2ax≤1在x∈[0,1]上恒成立.8分当x=0时,a∈R;当x∈(0,1]时,由-3x2+2ax≥-1恒成立,即2ax≥3x2-1,a≥(3x-),所以a≥1(函数(3x-)在(0,1]上为增函数).10分另一方面,由-3x2+2ax≤1恒成立,得a≤(3x+),所以a≤(当且仅当x=时,取最值).综上所述:1≤a≤.12分22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2-ln x.(1)求函数的单调区间与最值;(2)当a=1时,函数g(x)=1-,求证:++…+<.(其中e为自然对数的底数)-(x>0),解析:(1)因为f'(x)=所以①当a≤0时,f'(x)<0恒成立,故递减区间为(0,+∞),无最值;②当a>0时,递增区间为[,+∞),递减区间为(0,),所以有最小值f()=[1+ln(2a)].5分(2)当a=1时,函数g(x)=(x>0),g'(x)=-,函数g(x)在(,+∞)上单调递减,在(0,)上单调递增,所以有g(x)=≤g()=,≤·,且有<·<·(--),取x=2,3,…,则++…+<·[(1-)+(-)+…+(--)],所以++…+<·(1-)<.12分。
全国100所名校单元测试示范卷(高三)：数学 14数学全国教师8(文)
全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(八)第八单元平面向量与解三角形(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列向量中与向量a=(2,3)垂直的是A.b=(-2,3)B.c=(2,-3)C.d=(3,-2)D.e=(-3,-2)解析:因为a·d=0,所以a⊥d.答案:C2.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若b=7,c=3,cos C=,则B等于A.B. C. D.解析:∵cos C=,∴sin C=,又∵=,∴sin B===,又∵锐角△ABC,∴B=.答案:B3.已知两个平向量a、b的夹角为π,且|a|=|b|=1,则|a-b|等于A. B.1 C.2 D.2解析:|a-b|=-=-=.答案:A4.在△ABC中,边BC上的高AD=4,则(-)·的值等于A.0B.4C.8D.12解析:因为(-)·=·=0.答案:A5.已知向量a=(1,1),b=(-1,0),若向量k a+b与向量c=(2,1)共线,则k等于A.-1B.1C.-2D.2解析:因为k a+b=(k-1,k),又因为向量k a+b与向量c=(2,1)共线,所以(k-1)×1=k×2,所以k=-1.答案:A6.以3、4、5为边长的直角三角形,各边分别增加x(x>0)个单位,得到的三角形一定是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形解析:各边分别增加x个单位后的三边分别为x+3,x+4,x+5,其最长边所对角的余弦值为-=>0,所以得到的三角形的最大内角为锐角,所以得到的三角形为锐角三角形.答案:A7.某人向正东方向走了x km后,再向右转150°,然后沿新方向走了3km,结果离出发点恰好km,那么x的值为A. B.或2C.或4D.2或4解析:设AB=x,BC=3,∠ABC=30°,AC=,则()2=x2+32-6xcos30°,∴x2-3x+6=0,∴x=或x=2.答案:B8.已知点A(1,5),B(3,9),O为坐标原点,若点C满足=α+β,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为A.2x+y-7=0B.2x-y+3=0C.x-2y+9=0D.x+2y-11=0解析:因为点C满足=α+β,其中α,β∈R,且α+β=1,所以点C的轨迹是直线AB,又因为直线AB的方程为2x-y+3=0.答案:B9.在△ABC中,若cos C=2sin Asin B-1,sin2A+sin2B=1,则此三角形为A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析:∵C=π-(A+B),∴-cos(A+B)=2sin Asin B-1,∴-cos Acos B+sin Asin B=2sin Asin B-1,∴sin Asin B+cos Acos B=1,∴cos(A-B)=1,又∵A,B∈(0,π),∴A-B=0,∴A=B.又sin2A+sin2B=1,∴A=B=,∴C=,所以△ABC是等腰直角三角形.答案:D10.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若sin(A+)=1且=,则∠C等于A. B. C.或 D.或解析:因为sin(A+)=1,所以A+=,所以A=,又因为=,所以=,所以sin B=,所以B=或,所以C=或.答案:D11.已知△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,若a2,b2,c2成等差数列,则角B的范围为A.(0,)B.(0,]C.[,)D.(,π)解析:若a2,b2,c2成等差,则b2=,∴cos B=-=-=≥=,当且仅当a=c时,“=”成立,又∵B∈(0,π),∴B∈(0,].答案:B12.已知O为坐标原点,平面向量=(1,3),=(3,5),=(1,2),且=k(k为实数).当·取得最小值时,点X的坐标是A.(4,2)B.(2,4)C.(6,3)D.(3,6)解析:设=(x,y),∵=k,∴=(k,2k),又=-,=(1,3),∴=(1-k,3-2k),同样=(3-k,5-2k).于是·=(1-k)(3-k)+(3-2k)(5-2k)=5k2-20k+18=5(k-2)2-2,由二次函数得知识可知:当k=2时,·有最小值-2,此时点X的坐标是(2,4).答案:B第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.海上有A、B、C三个小岛,在C岛上观测得A、B两岛相距2n mile,且∠BAC=60°,∠ABC=75°,则B、C间的距离是n mile.解析:由正弦定理知=--,解得BC=.答案:14.在△ABC中,若a=5,b=6,c=7,则△ABC的面积等于.解析:∵cos A=,∴sin A=,∴S△ABC=bcsin A=6.答案:615.设两个平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),定义运算“☉”为:a☉b=(x1x2+y1y2,x1y2-y1x2).若m=(1,2),m☉n=(11,-6),则n=.解析:设n=(x,y),则m☉n=(x+2y,y-2x)=(11,-6),,).所以--解得即n=(答案:(,)16.已知向量=α,=β,α、β的夹角为,|α+β|=1,则△AOB面积的最大值是.解析:∵|α+β|=1,∴|α|2+|β|2+2|α||β|cos=1,∴|α|2+|β|2-|α||β|=1≥2|α||β|-|α||β|,∴|α||β|≤1,∴S△AOB=|α||β|sin≤,∴当且仅当|α|=|β|时,△AOB取得最大面积.答案:三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)已知平面向量a,b,c,其中a=(3,4).(1)若c为单位向量,且a∥c,求c的坐标;(2)若|b|=且a-2b与2a-b垂直,求向量a,b夹角的余弦值.解析:(1)设c=(x,y),由a∥c和|c|=1可得:-∴或--∴c=(,)或c=(-,-).5分(2)∵(a-2b)·(2a-b)=0,即2|a|2-5a·b+2|b|2=0,又|a|=5,|b|=,∴a·b=12,∴向量a,b夹角的余弦值cos<a,b>=·=.10分18.(本小题满分12分)已知向量a=(cos,sin),b=(cos,-sin),且x∈[0,].(1)求a·b及|a+b|;(2)若f(x)=a·b-2λ|a+b|(0≤λ≤1)的最小值是-,求λ的值.解析:(1)a·b=cos cos+sin(-sin)=cos2x,|a+b|=-==2|cos x|.∵x∈[0,],∴|a+b|=2cos x.6分(2)f(x)=cos2x-4λcos x=2cos2x-4λcos x-1=2(cos x-λ)2-2λ2-1,∵x∈[0,],∴cos x∈[0,1].9分∵λ∈[0,1],cos x=λ,f(x)min=-2λ2-1,∴-2λ2-1=-,∴λ=;∴λ=.12分19.(本小题满分12分)有一道题目由于纸张破损,有一条件看不清楚,具体如下:“在△ABC中,已知a=,,2cos2()=(-1)cos B,求角A.”经推断,破损处的条件为三角形一边的长度,该题的答案A=60°是唯一确定的,试将条件补充完整,并说明理由.解析:因为2cos2()=(-1)cos B,所以1+cos(A+C)=(-1)cos B,所以cos B=,又B∈(0,π),所以B=.3分对正弦值分以下两种情况对论.情况1:因为A=60°,且=,所以b=,检验:=⇔=⇔sin A=,又A∈(0,π),且a>b,所以A=60°或者A=120°,这与已知角A的解为唯一解矛盾.8分情况2:因为B=,又A=60°,所以C=75°,=,所以c=,检验:=⇔=⇔sin A=,又A∈(0,π),且c>a,所以A=60°.11分综上所述,破损处应填c=.12分20.(本小题满分12分)已知向量a=(sin,cos),b=(cos,cos),函数f(x)=a·b.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac,且边b所对的角为x,试求x的范围及函数f(x)的值域.解析:(1)f(x)=a·b=sin cos+cos cos=sin+(1+cos)=sin+cos+=sin(+)+.3分令2kπ-≤+≤2kπ+,解得3kπ-≤x≤3kπ+(k∈Z).故函数f(x)的单调递增区间为[3kπ-,3kπ+](k∈Z).6分(2)∵b2=ac,cos x=-=-≥-=,8分∴≤cos x<1,0<x≤,∴<+≤,∴<sin(+)≤1,∴<sin(+)+≤1+即f(x)的值域为(,1+).综上所述,x∈(0,],f(x)的值域为(,1+].12分21.(本小题满分12分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若∠C=π,a、b、c依次成等差数列,且公差为2.(1)求c;(2)如图,A',B'分别在射线CA,CB上运动,设∠A'B'C=θ,试用θ表示线段B'C的长,并求其范围.解析:(1)∵a、b、c成等差,且公差为2,∴a=c-4,b=c-2.1分又∵cos C=-,∴-=-,∴-----=-,4分∴c2-9c+14=0,解得c=7或c=2,又∵c>4,∴c=7.6分(2)△A'B'C中,∠=∠=∠,∴=-=,∴B'C=sin(-θ),7分又∵θ∈(0,),∴0<-θ<,0<sin(-θ)<,∴0<sin(-θ)<7,∴线段B'C的范围为(0,7).12分22.(本小题满分12分)如图,为测量某巨型雕像AB的高度及取景点C与F之间的距离(B、C、D、F在同一水平面上,雕像垂直该水平面于点B,且B、C、D三点共线),某校研究性学习小组同学在C、D、F三点处测得顶点A的仰角分别为45°、30°、30°.若∠FCB=60°,CD=16(-1)米.(1)求雕像AB的高度;(2)求取景点C与F之间的距离.解析:(1)(法一)设AB=x米,在Rt△ABC中,∵∠ACB=45°,∴CB=x米,,在Rt△ADB中,∵∠ADB=30°,∴tan30°=-∴x=16.6分(法二)设AB=x,在Rt△ABC中,∵∠ACB=45°,∴CB=x,∴AC=x,在△ADC中,=-,∴=-,-∴x=16.6分(2)(法一)由(1)知BC=16米.在Rt△AFB中,∵∠AFB=30°,tan30°=,∴FB=16米.在△BCF中,设CF=y米,∵∠BCF=60°,∴由余弦定理BF2=BC2+FC2-2BC·FCcos60°,(16)2=162+y2-2×16·ycos60°,∴y2-16y-512=0.(y+16)(y-32)=0,∴y1=32,y2=-16(负数舍去).12分(法二)在Rt△AFB中,∵∠AFB=30°,∴tan30°=,∴FB=16米,在△BCF中,∠=∠,∴∠BFC=30°或150°(150°舍去),∴在△CBF中,CF2=CB2+FB2=162+(16)2,∴CF=32(米).12分。
全国100所名校单元测试示范卷(高三)：数学 14数学全国教师11(文)
全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十一)第十一单元数列综合测试(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知数列{a n}为等比数列,且a3a9=2a52,a2=2,则a1等于A.±√2B.√2C.-√2D.2解析:a3a9=a62=2a52,q=a6a5=±√2,故a1=a2q=±√2.答案:A2.在等差数列{a n}中,a1=0,公差d≠0,若a n=a2+a3+a6+a8,则n等于A.15B.16C.17D.18解析:a n=a2+a3+a6+a8=4a1+15d=a1+15d,故a n为等差数列{a n}的第16项,∴n=16.故选B.答案:B3.若等差数列{a n}满足递推关系a n+1=-a n+n,则a5等于A.92B.94C.114D.134解析:令n=4,则a5+a4=4,令n=5,则a6+a5=5,两式相加2a5+a4+a6=9,∴a5=9 4 .答案:B4.设S n为等比数列{a n}的前n项和,已知3S2013=a2014-2012,3S2012=a2013-2012,则公比q等于A.4B.3C.2D.8解析:由3S2013=a2014-2012,3S2012=a2013-2012得3a2013=a2014-a2013,∴q=a2014a2013=4.答案:A5.已知数列{a n}的通项公式是a n=-n2+bn+c,若a n+1<a n对n∈N+恒成立,则实数b的取值范围是A.b>0B.b≥-1C.b≤3D.b<3解析:∵a n+1<a n恒成立,∴a n+1-a n=b-(2n+1)<0,即b<2n+1恒成立,∴b<3.答案:D6.已知函数f(x)是R 上的单调增函数且为奇函数,数列{a n }是等差数列,a 11>0,则f(a 9)+f(a 11)+f(a 13)的值A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负解析:因为f(a 11)>f(0)=0,a 9+a 13=2a 11>0,a 9>-a 13, 所以有f(a 9)>f(-a 13)=-f(a 13),f(a 9)+f(a 13)>0,故选A. 答案:A 7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若m>1,2a m-1+2a m+1-a m 2-4=0,S 2m-1=38,则m等于A.7B.8C.9D.10解析:∵a m-1+a m+1=2a m ,∴2a m-1+2a m+1-a m 2-4=4a m -a m 2-4=0,∴a m =2.故S 2m-1=(a 1+a 2m -1)(2m -1)2=2a m (2m -1)2=2(2m-1)=38.∴m=10. 答案:D8.若数列{a n }满足a 1=12,a n+1=1+an 1-a n(n ∈N +),则该数列的前2014项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2014等于A.3B.1C.32D.23解析:易求得a 1=12,a 2=3,a 3=-2,a 4=-13,a 5=12,…,这是一个周期为4的周期数列, 且每相邻四项a 1·a 2·a 3·a 4=1,故原式=12×3=32. 答案:C9.已知数列{a n }的通项公式a n =n 2+n,若数列{1a n}的前n 项和为S n ,则S n 的取值范围为A.[0,1]B.(2,1)C.[12,1) D.[12,1]解析:依题意1a n =1n(n+1)=1n -1n+1,∴S n =1a 1+1a 2+…+1a n =1-12+12-13+…+1n -1n+1=1-1n+1<1,∴当n=1时,S n 取最小值12,∴S n 值范围为[12,1).答案:C10.在数列{a n }中,对于任意的n ∈N +,都有a n+2-a n+1a n+1-a n=k(k为常数),则称{a n }为“等差比数列”.下面对“等差比数列”的判断:①等差数列一定是“等差比数列”;②等比数列一定是“等差比数列”;③通项公式为a n =a ·b n +c(a ≠0,b ≠0,1)的数列一定是“等差比数列”.其中正确的个数是A.0B.1C.2D.3解析:①②错误,对于①②只要举常数列即可验证它是错的;③正确,对于③,其中k=b.答案:B11.已知数列{a n }满足a 1=1,na n =(n+1)a n-1(n ≥2,且n ∈N +),则a n 2+14n取最小值的n 值为A.2B.3C.4D.5解析:∵na n =(n+1)a n-1,∴a n a n -1=n+1n ,∴a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n -1=21·32·…·n+1n=n+1,即a n =n+1(n ≥2),∴a n 2+14n =n+15n +2,令f(x)=x+15x+2,∵f(x)在(0,√15)上单调递减,在(√15,+∞)上单调递增.故当n=3或4时,a n 2+14n取最小值, ∵a 32+143=3+153+2=10,a 42+144=4+154+2=394,故当n=4时取最小值,故选C. 答案:C12.对任意x ∈R ,函数f(x)满足f(x+1)=√2f(x)-[f(x)]2+1,设a n =[f(n)]2-2f(n),数列{a n }的前2013项的和为-1003,则f(2013)等于A.4B.3C.2D.1解析:因为[f(x+1)-1]2=[f(x+1)]2-2f(x+1)+1=2f(x)-[f(x)]2,所以有a n+1+a n =-1. 前2013项和S 2013=1006·(-1)+a 2013=-1003,由此可得a 2013=3,a 2012=-4. 因而f(2013)=√-a 2012+1=3,故选B. 答案:B第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上. 13.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 3=6,a 3=4,则公差d= . 解析:由题意知{a 1+2d =4,3a 1+3×22×d =6,解得d=2. 答案:214.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 3+a 9=17S 7,且a 4,a 6为等比数列{b n }相邻的两项,则等比数列{b n }的公比q= .解析:∵a 3+a 9=17S 7,∴2a 6=17×7(a 1+a 7)2=a 4,∴q=12或2. 答案:12或215.数列{a n }中,a 1=1,a n+1=2a n +1,则通项a n = .解析:由题可得a n+1+1=2(a n +1),∴a n+1+1a n +1=2,数列{a n +1}为等比数列,∴a n +1=2n-1(a 1+1)=2n ,故a n =2n -1.答案:2n -116.数列{a n }中,对任意的m,n,p ∈N +,当m+n=p 时,都有a m ·a n =a p ,若a 1=12,则a 10的值为 .解析:∵a m ·a n =a p ,∴a 12=a 2,a 1·a 2=a 3, a 1·a 3=a 4, …… a 1·a 9=a 10,累乘得a 110=a 10=(12)10=11024. 答案:11024三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)设{a n }是一个公差为d(d ≠0)的等差数列,它的前10项和S 10=110且a 1,a 2,a 4成等比数列,求数列{a n }的通项公式.解析:因a 1,a 2,a 4成等比数列,故a 22=a 1a 4,而{a n }是等差数列,有a 2=a 1+d,a 4=a 1+3d,于是(a 1+d)2=a 1(a 1+3d),即a 12+2a 1d+d 2=a 12+3a 1d,化简得a 1=d.5分∵S 10=10a 1+10×92d=110,∴10a 1+45d=110. 又∵a 1=d,∴55d=110,∴d=2,∴a n =a 1+(n-1)d=2n.10分18.(本小题满分12分)已知幂函数f(x)图象过点(-12,-2),数列{a n },{b n }满足a 1=1,b 1=1,且对任意n ∈N +,均有a n+1=a nf(a n )f(an )+3,b n+1-b n =1a n .(1)求函数f(x)的解析式; (2)试求数列{a n },{b n }的通项公式.解析:(1)由题意可知(-12)a =-2,所以a=-1,故f(x)=1x(x ≠0).4分 (2)由(1)可得a n+1=11a n +3=a n 3a n +1,所以有1a n+1=1a n +3,故a n =13n -2. b n =(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 2-b 1)+b 1=3[(n-1)+(n-2)+…+2+1]-2(n-1)+1=3·n -1+12(n-1)-2n+2+1=3n 2-7n+62.12分19.(本小题满分12分)设S n 是正项数列{a n }的前n 项和,且S n =13a n 2+12a n .(1)求a n ; (2)设√b n =34an +3(n ∈N +),且数列{b n }的前n 项和为T n ,试比较T n 与14的大小.解析:(1)由已知可得a 1=13a 12+12a 1,a 1>0,所以a 1=32. 当n ≥2时,有a n =S n -S n-1=13a n 2+12a n -(13a n -12+12a n-1) =13(a n 2-a n -12)+12(a n -a n-1),∴(a n +a n-1)(a n -a n-1-32)=0, 又a n >0,所以有a n -a n-1=32,数列{a n }为等差数列. 所以a n =32n.6分 (2)由(1)可知b n =1(2n+1)2=14n 2+4n+1<14n 2+4n <14(1n -1n+1), 所以有T n =b 1+b 2+…+b n <14[(11-12)+(12-13)+…+(1n -1n+1)]=14(1-1n+1)<14.12分 20.(本小题满分12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且a 1+a 2=2(1a 1+1a 2),a 3+a 4+a 5=64(1a 3+1a 4+1a 5).(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =(a n +1a n)2,求数列{b n }的前n 项和T n .解析:(1)设公比为q,则a n =a 1q n-1,易知q ≠1.由已知得{a 1+a 1q =2(1a 1+1a 1q ),a 1q 2+a 1q 3+a 1q 4=64(1a 1q 2+1a 1q3+1a 1q4), 化简得{a 12q =2,a 12q 6=64.又a 1>0,故q=2,a 1=1,∴a n =2n-1.6分(2)由(1)知b n =(a n +1a n )2=a n 2+1a n2+2=4n-1+14n -1+2,∴T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =(1+4+…+4n-1)+(1+14+…+14n -1)+2n=4n -14-1+1-14n 1-14+2n=13(4n -41-n )+2n+1.12分21.(本小题满分12分)已知f(x)是定义在R 上不恒为零的函数,对于任意的x,y ∈R ,都有f(x ·y)=xf(y)+yf(x)成立.数列{a n }满足a n =f(2n )(n ∈N +),且a 1=2. (1) 试求数列{a n }的通项公式a n . (2)若b n =a nn(n+1)2,求数列{b n }的最小项.解析: (1)因为a 1=f(2)=2,令x=2n-1,y=2,则有f(2n )=2n-1f(2)+2f(2n-1) =2n +2[2n-2f(2)+2f(2n-2)]=2·2n +22f(2n-2)=2·2n +22[2n-3f(2)+2f(2n-3)]=3·2n +23f(2n-3)=…=(n-2)·2n +2n-2[2n-(n-1)f(2)+2f(2n-(n-1))]=n ·2n ,7分 即a n =n ·2n . (2)由(1)可知b n =2n (n+1)2,令b n+1b n =2·[n+1n+2]2>1得n 2>2,n>√2, 即当n ≥2,n ∈N ,都有b 2<b 3<…<b n ,而b 1=12>b 2=49,故(b n )min =b 2=49.12分22.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n(n ∈N +)项和为S n ,a 1=t,a 2=-1,点P n (a n ,S n ),若点P n (n=2,3,4,…)都在斜率为13的同一条直线上.(1)当t 为何值时,数列{a n }是等比数列?(2)在满足(1)的条件下,设b n =λa n -n 2,若数列{b n }中,有b 1>b 2,b 3>b 4,…,b 2n-1>b 2n ,…成立,求实数λ的取值范围.解析:(1)∵点P n ,P n+1(n=2,3,4,…)都在斜率为13的直线上, ∴S n+1-S n a n+1-a n =13. 又∵S n+1-S n =a n+1, ∴a n+1=13(a n+1-a n ),整理得a n+1a n =-12(n ≥2). 又∵当n ∈N +时,数列{a n }是等比数列, ∴只需要a 2a 1=-1t=-12, ∴t=2.6分(2)由(1)得a n =2·(-12)n-1, ∵b n =λa n -n 2, ∴b n =2λ(-12)n-1-n 2,由b 2n-1>b 2n 得,2λ(-12)2n-2-(2n-1)2>b 2n =2λ(-12)2n-1-(2n)2, 即2λ(-12)2n-2[1-(-12)]>(2n-1)2-(2n)2,∴λ>-(4n -1)·4n12, ∵-(4n -1)·4n 12单调递减, ∴当n=1时,-(4n -1)·4n12取最大值为-1, ∴λ>-1.12分。
全国100所名校单元测试示范卷（高三）：数学14数学全国教师16（文）
全国100所名校单元测试⽰范卷（⾼三）：数学14数学全国教师16（⽂）全国100所名校单元测试⽰范卷·⾼三·数学卷(⼗六)第⼗六单元圆锥曲线⽅程(120分钟150分)第Ⅰ卷⼀、选择题:本⼤题共12⼩题,每⼩题5分,共60分.在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀个选项是符合题⽬要求的.1.已知圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切,则p的值为A.1B.2C.3D.4解析:圆的⽅程可化为(x-3)2+y2=16,由条件可得+3=4,所以p=2.答案:B2.若椭圆+y2=1(a>1)的离⼼率为,则该椭圆的长轴长为A. B. C. D.或解析:由题意可得-=,解之得a=,则椭圆的长轴长为.答案:A3.已知直线y=k(x-1)与抛物线y2=4x交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1+x2=4,则|AB|等于A.4B.6C.8D.10解析:由条件易知直线过抛物线的焦点F(1,0),则|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=6.答案:B4.已知P是椭圆+=1(a>b>0)上⼀点,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,若△PF1F2的周长为6,且椭圆的离⼼率为,则椭圆上的点到椭圆焦点的最⼩距离为A.B.1 C. D.2解析:设椭圆的焦距为2c,由条件可得则则椭圆上的点到椭圆焦点的最⼩距离为a-c=2-1=1.答案:B5.已知抛物线x2=ay(a≠0)在x=1处的切线的倾斜⾓为45°,则该抛物线的焦点坐标为A.(0,1)B.(0,)C.(0,-1)D.(0,-)解析:由x2=ay可得y=x2,求导可得y'=x,故切线斜率为=1,故a=2,抛物线⽅程为x2=2y,焦点坐标为(0,).答案:B6.已知点P是双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线上⼀点,F是双曲线的右焦点,若|PF|的最⼩值为a,则该双曲线的离⼼率为A. B. C. D.解析:双曲线的渐近线⽅程为y=±x,即bx±ay=0,|PF|的最⼩值即为焦点F(c,0)到渐近线的距离,故=a,即a=2b,∴a2=4b2=4(c2-a2),e==.答案:C7.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F作直线AB垂直于x轴,与抛物线交于点A、B,O是坐标原点,若·=-,则△AOB的⾯积为A.4B.2C.1D.解析:直线AB的⽅程为x=,代⼊抛物线⽅程可得y=±p,则A(,p),B(,-p),则·=-p2=-,故p=1,则△AOB的⾯积为··2p==.答案:D8.已知双曲线-=1(a>0,b>0)左⽀上⼀点P到左焦点的距离为4,到右焦点的距离为8,且双曲线⼀条渐近线的倾斜⾓为60°,则该双曲线的⽅程为A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=1解析:由条件可得2a=8-4=4,故a=2,再由渐近线的倾斜⾓为60°可知⼀条渐近线的斜率为=,故b=2,双曲线的⽅程为-=1.答案:D9.在直⾓坐标系中,把双曲线C1:-y2=1绕原点逆时针旋转90°得到双曲线C2,给出下列说法:①C1与C2的离⼼率相同;②C1与C2的焦点坐标相同;③C1与C2的渐近线⽅程相同;④C1与C2的实轴长相等.其中正确的说法有A.①②B.②③C.①④D.③④解析:旋转后,双曲线C2的的实轴在y轴上,焦点也在y轴上,⽅程为-x2=1,渐近线⽅程为y=±x,与C1的渐近线⽅程不同,显然正确的选项只有①④.答案:C10.如图,已知椭圆+=1内有⼀点B(2,2),F1、F2是其左、右焦点,M为椭圆上的动点,则||+||的最⼩值为A.4B.6C.4D.6解析:||+||=2a-(||-||)≥2a-||=8-2=6,当且仅当M,F2,B共线时取得最⼩值6.答案:B11.已知F1,F2分别是双曲线-y2=1(a>0)的两个焦点,点P是双曲线上的⼀点,且满⾜∠F1PF2=90°,则△PF1F2的⾯积为A.4B.3C.2D.1解析:由条件可得-=2a,由题意可知△F1PF2为直⾓三⾓形,设双曲线的焦距为2c,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,b2=1,故(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2,即4a2+2|PF1|·|PF2|=4c2,故|PF1|·|PF2|=2c2-2a2=2b2=2,故△PF1F2的⾯积为|PF1|·|PF2|=b2=1.答案:D12.已知抛物线y2=2px(p>0)上⼀点P到焦点F的距离为p,到x轴的距离为1,过F作倾斜⾓为45°的直线l与抛物线的准线交于点A,则·等于A.-B.-C.D.解析:不妨设点P(x0,1),根据定义可知点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离,故x0+=p,故x0=,把点P坐标代⼊抛物线⽅程可得1=2p·,故p=1,焦点坐标(,0),故直线l的⽅程为y=x-,则直线l与抛物线的准线x=-的交点为A(-,-1),则·=(-,-1)·(,0)=-.答案:A第Ⅱ卷⼆、填空题:本⼤题共4⼩题,每⼩题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.若直线l的⽅程为kx-y+1-k=0(k∈R),则直线l与椭圆+=1的交点个数为.解析:由题意得直线l的⽅程为k(x-1)=y-1,恒过定点(1,1),⼜+<1,∴点(1,1)在椭圆+=1的内部,故所求交点个数是2个.答案:214.2013年国家加⼤了对环境污染监测⼒度,为此某市环保部门在市⾥的⼀条污⽔河的桥孔处进⾏了隔离封闭改造,桥孔的横断⾯为抛物线形(如下图所⽰),已知⽔⾯在l时,拱顶离⽔⾯2⽶,⽔⾯宽4⽶,则⽔上升0.5⽶后,⽔⾯宽变为⽶.解析:建⽴如图所⽰的直⾓坐标系,则抛物线⽅程为x2=-2y,当y=-1.5时,x=±,所以⽔⾯宽度为2⽶.答案:215.已知双曲线C的两个焦点坐标为F1(0,-3),F2(0,3),且⼀个焦点到其中⼀条渐近线的距离为,则双曲线C的离⼼率为.解析:由条件可得双曲线的焦距2c=6,故c=3,设双曲线⽅程为-=1(a>0,b>0),则渐近线⽅程为y=±x,即ax±by=0,则=,故a2=b2,⽽a2+b2=c2=9,故c=3,a=,双曲线的离⼼率为.答案:16.已知直线x=2与椭圆C:+=1交于两点E1,E2,任取椭圆C上的点P,若=a+b(a,b∈R),则ab的最⼤值是.解析:联⽴x=2与+=1,解得E1(2,),E2(2,-),∴=a+b=(2a+2b,a-b),∴P(2a+2b,a-b),∵点P在椭圆C上,∴+-=1,∴a2+b2-ab=1,∴a2+b2=ab+1≥2ab,∴ab≤1,即ab的最⼤值是1.答案:1三、解答题:本⼤题共6⼩题,共70分.解答应写出必要的⽂字说明、证明过程及演算步骤.17.(本⼩题满分10分)椭圆的中⼼在原点,对称轴为坐标轴,焦点在x轴上,以椭圆的短轴的⼀个端点B与两个焦点F1、F2为顶点的三⾓形的周长是8+4,且∠BF1F2=.(1)求椭圆的标准⽅程;(2)若直线y=x+1与椭圆交于点M、N,求线段|MN|的长.解析:(1)设椭圆+=1(a>b>0),焦距为2c,由条件可得2a+2c=8+4,所以a+c=4+2.⼜∠BF1F2=,所以=,故所以b=2,所以椭圆⽅程为+=1.5分(2)由可得5x2+8x-12=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,|MN|=|x1-x2|=·-=.10分18.(本⼩题满分12分)为了研究探照灯的结构特征,在坐标轴中画出了探照灯的轴截⾯,如图.已知探照灯的轴截⾯图是抛物线y2=2px(p>0)的⼀部分,若该抛物线的焦点恰好在直线x+y-1=0上.(1)求该抛物线的⽅程;(2)若⼀束平⾏于x轴的直线⼊射到抛物线的P点,经过抛物线焦点F后,由点Q反射出平⾏光线,试确定点P的位置使得从⼊射点P到反射点Q的路程最短.解析:(1)直线x+y-1=0与x轴的交点为(1,0),故抛物线焦点F(1,0),抛物线⽅程为y2=4x.5分(x-1).(2)设点P坐标为(,a)(a≠0),⼜PQ过焦点可得PQ的⽅程为y=解得y=a或y=-,故点Q(,-),则|PQ|=|PF|+|QF|=++2≥2+2=4,当且仅当a=±2时,取等号,故当点P的坐标为(1,2)或(1,-2)时,从⼊射点P到反射点Q的路程最短为4.12分19.(本⼩题满分12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离⼼率为,椭圆上的点到焦点的最近距离为,其左、右焦点分别为F1、F2,抛物线y2=2px(p>0)的焦点与F2重合.(1)求椭圆及抛物线的⽅程;(2)过F1作抛物线的两条切线,求切线⽅程.解析:(1)设椭圆的焦距为2c,则由椭圆的离⼼率可得=-=,故a=2c,b2=a2.⼜由条件可知a-c=,故a=2,c=,b2=×12=9,故椭圆的⽅程为+=1.则F1(-,0),F2(,0),由条件可知抛物线的焦点坐标为F2(,0),即=,故抛物线的⽅程为y2=4x.6分(2)设过F1的切线⽅程为y=k(x+),由可得k2x2+(2k2-4)x+3k2=0,则Δ=(2k2-4)2-12k4=0,解得k=1或-1,故抛物线的两条切线的⽅程分别为y=x+与y=-x-.12分20.(本⼩题满分12分)平⾯直⾓坐标系中,O为坐标原点,给定两点A(1,0),B(0,-2),点C满⾜=α+β,其中α、β∈R,且α-2β=1.(1)求点C的轨迹⽅程;(2)设点C的轨迹与双曲线-=1(a>0,b>0)交于两点M,N,且以MN为直径的圆过原点,求-的值.解析:(1)设C(x,y),因为=α+β,则(x,y)=α(1,0)+β(0,-2),∴-∵α-2β=1,∴x+y=1,即点C的轨迹⽅程是x+y=1.6分(2)由-得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0,由题意得b2-a2≠0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=--,x1x2=--.∵以MN为直径的圆过原点,∴·=0,即x1x2+y1y2=0.∴x1x2+(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+2x1x2=1+--∴b2-a2-2a2b2=0,∴-=2.12分21.(本⼩题满分12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,点P是椭圆上任意⼀点,|PF1|·|PF2|的最⼤值为4,且椭圆C的离⼼率是双曲线-=1的离⼼率的倒数.(1)求椭圆C的标准⽅程;(2)若O为坐标原点,B为椭圆C的右顶点,A,M为椭圆C上任意两点,且四边形OABM 为菱形,求此菱形⾯积.解析:(1)设椭圆的焦距为2c,则|PF1|·|PF2|≤()2=()2=a2,当且仅当|PF1|=|PF2|时,|PF1|·|PF2|取得最⼤值a2,故a2=4,则a=2.⽽双曲线-=1的离⼼率为=,故椭圆的离⼼率为,即=,故c=,所以b=1,所以椭圆的标准⽅程为+y2=1.6分(2)椭圆C的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABM为菱形,所以AM与OB相互垂直且平分,所以可设A(1,m),代⼊椭圆⽅程得+m2=1,即m=±,所以菱形OABM⾯积为|OB||AM|=×2×=.12分22.(本⼩题满分12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)短轴端点和两个焦点的连线构成正⽅形,且该正⽅形的内切圆⽅程为x2+y2=2.(1)求椭圆C的⽅程;(2)若抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点与椭圆C的⼀个焦点F重合,直线l:y=x+m与抛物线E交于两点A,B,且0≤m≤1,求△FAB的⾯积的最⼤值.解析:(1)设椭圆的焦距为2c,则由条件可得b=c.连接⼀个短轴端点与⼀个焦点的直线⽅程可以是+=1,即x+y-b=0.由直线与圆相切可得=,故b=2,则c=2,a2=b2+c2=8,故椭圆C的⽅程为+=1.6分(2)抛物线E的焦点在x轴的正半轴上,故F(2,0),故p=4,抛物线E的⽅程为y2=8x.由可得x2+(2m-8)x+m2=0,由直线l与抛物线E有两个不同交点可得Δ=(2m-8)2-4m2=64-32m>0在0≤m≤1时恒成⽴.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8-2m,x1x2=m2.则|AB|=-=--=8-.⼜点F(2,0)到直线l:y=x+m的距离为d=,故△FAB的⾯积为S=d·|AB|=2--.令f(m)=-m3-2m2+4m+8,则f'(m)=-3m2-4m+4.令f'(m)=0可得m=-2或,故f(m)在[0,]上单调递增,在[,1]上单调递减,故m=时,f(m)取最⼤值,则△FAB的⾯积的最⼤值为.12分。
全国100所名校单元测试示范卷(高三)：数学 14数学全国教师21(文)
全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(二十一)第二十一单元高中数学综合测试(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数(2-i)z=1+2i,是z的共轭复数,则等于A.1B.iC.-1D.-i==i,所以=-i,故选D.解析:z=-答案:D2.若集合M={x|log2(x-1)<1},N={x|0<x<2},则M∩N等于A.{x|1<x<2}B.{x|1<x<3}C.{x|0<x<3}D.{x|0<x<2}解析:由于M={x|log2(x-1)<1}={x|1<x<3},N={x|0<x<2},那么M∩N={x|1<x<3}∩{x|0<x<2}={x|1<x<2}.答案:A3.抛物线y=-x2的焦点坐标是A.(-,0)B.(0,-)C.(0,-)D.(0,-)解析:x2=-2y,故焦点为(0,-).答案:B4.设a=loπ,b=()-0.8,c=lgπ,则A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c解析:a<0,b>1,0<c<1,故选B.答案:B5.如图,在圆C:x2+y2=10内随机撒一粒豆子,则豆子落在阴影部分的概率是A.1-B.C.D.解析:如图所示,阴影部分为正方形,面积为4,而圆C的面积为10π,∴所求概率为P==.答案:D6.函数f(x)=mcos x+nsin x(mn≠0)的一条对称轴方程为x=,则以a=(m,n)为方向向量的直线的倾斜角为A.45°B.60°C.120°D.135°解析:由题可得f()=f(),即m+n=n,所以=,直线的斜率k==,倾斜角α=60°.答案:B7.已知函数f(x)=-,若数列{a n}满足a n=f(n)(n∈N*),且{a n}是递减数-列,则实数a的取值范围是A.(,1)B.(,)C.(,)D.(,1)解析:由已知可知1-2a<0,0<a<1,且a12=17-24a>a13=1,所以<a<.答案:C8.如图是一个几何体的三视图,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为A.12πB.8πC.16πD.8π解析:由三视图可知,底面是一个等腰直角三角形,高为2的三棱锥,可求得球半径R=,表面积S=12π.答案:A9.下列命题正确的是A.p:∀x∈R,x+≥2,q:∃x∈R,x2+x+1≤0,p∨q是真命题B.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则“a>b”是“cos A<cos B”的充要条件C.若p:对任意x∈R,都有x2-x+1>0,则p:对任意x∈R,都有x2-x+1≤0D.不存在x∈R,使得sin x+cos x=成立解析:对于A项,p假q假,p∨q为假,A错;对于B项,根据三角形大角对大边,所以a>b⇔A>B⇔cos A<cos B,故B正确;对于C项,p:存在x∈R,使x2-x+1≤0,故C错;对于D项,sin x+cos x=sin(x+)∈[-,],而∈[-,],故D错.答案:B10.已知点F1、F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2是钝角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是A.(-1,+∞)B.(+1,+∞)C.(1+,+∞)D.(1,1+)解析:由题设条件可知△ABF2为等腰三角形,只要∠AF2B为钝角即可,所以有>2c,即b2>2ac,所以c2-a2>2ac,解得e>1+,选C.答案:C11.已知a,b,c都为正数,且满足-,则的最大值为A.16B.17C.18D.19解析:由题可得·-,令x=,y=,问题转化为在-内,求目标函数z=2x+y的最大值,作出x,y的可行域,可得当x=3,y=10时,z有最大值16.答案:A12.设函数f(x)、g(x)的定义域分别为F、G,且F⊆G.若对任意的x∈F,都有f(x)=g(x),则称g(x)为f(x)在G上的一个“延拓函数”.已知f(x)=e x(x≥0)(e为自然对数的底数),若g(x)为f(x)在R上的一个延拓函数,则下列可作为g(x)的解析式的个数为①y=ln|x|;②y=e|x|;③y=-ln|x|;④y=-;⑤y=-x2+1;⑥y=()|x|.A.2B.3C.4D.5解析:因为f(x)的定义域为[0,+∞),值域为[1,+∞),由延拓函数定义可知,(1)延拓函数g(x)的定义域包含了f(x)定义域,①③两个函数的定义域都不含0,所以不符合;(2)延拓函数g(x)的值域也包含f(x)的值域,故⑤⑥不符合,②④符合.所以选A.答案:A第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.曲线y=ln x上的点到直线y=ex-2(e为自然对数底数)的最短距离为.解析:作y=ex-2的平行线,使其与曲线y=ln x相切,则k=(ln x)'==e,得切点(,-1),所以切线方程为ex-y-2=0,即直线y=ex-2恰为切线,最短距离为0.答案:014.--=.解析:原式=----=--=-=.答案:15.阅读如图所示的程序框图,若输入的n是30,则输出的变量S的值是.解析:框图运算结果为S=30+29+…+3+2=464.答案:46416.已知函数f(x)=2x2+m的图象与函数g(x)=ln|x|的图象有四个交点,则实数m的取值范围为.解析:考虑2x2+m=ln|x|有四个不同的根,即两正、两负根,当x>0时,设函数h(x)=2x2-ln x+m,则h'(x)=4x-=-,则h()=-ln+m<0,即m<ln-.答案:(-∞,ln-)三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)在等差数列{a n}中,a2+a3=-2,a4+a5+a6=12,S n为{a n}的前n项和.(1)求通项a n及S n;(2)设{b n-a n}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n.解析:(1)设数列{a n}的公差为d,由题可得2a1+3d=-2,3a1+12d=12,解得a1=-4,d=2.所以a n=2n-6,S n=--·n=n2-5n.5分(2)由(1)可知b n-a n=3n-1,所以b n=2n-6+3n-1,T n=n2-5n+--=n2-5n+-.10分18.(本小题满分12分)已知△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.·=m(m为正常数),∠BAC=θ,且a=2.(1)若bc有最大值4,求m的值及θ的取值范围;(2)在(1)的条件下,求函数f(θ)=2cos2(θ+)+2sin2θ-的最大值及相应的θ的值.解析:(1)由余弦定理可得b2+c2-2bccosθ=4,即b2+c2-2m=4,又bc≤(b2+c2)=m+2=4,所以m=2.所以有bccosθ=2,cosθ=≥,所以θ∈(0,].5分(2)因为f(θ)=1+cos(2θ+)+(1-cos2θ)-=-sin2θ-cos2θ+1=-2sin(2θ+)+1.由(1)可知θ∈(0,],所以2θ+∈(,π],sin(2θ+)∈[0,1],故f(θ)max=1,此时θ=.12分19.(本小题满分12分)某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:(1)求全班人数及分数在[80,90)之间的频数;(2)估计该班的平均分数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高;(3)若要从分数在[80,100]之间的所有试卷中抽样2份试卷来进行试卷分析,求这两份试卷恰好一份分数在[80,90)之间,另一份分数在[90,100]之间的概率.解析:(1)由茎叶图知,分数在[50,60)之间的频数为2,频率为0.008×10=0.08,全班人数为=25,所以分数在[80,90)之间的频数为25-2-7-10-2=4.3分(2)(法一)分数在[50,60)之间的总分为56+58=114,分数在[60,70)之间的总分为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456,分数在[70,80)之间的总分为70×10+1+2+2+3+4+5+6+7+8+9=747,分数在[80,90)之间的总分约为85×4=340,分数在[90,100]之间的总分数为95+98=193,所以,该班的平均分数约为=74.6分(法二)分数在[50,60)之间的频率为=0.08,分数在[60,70)之间的频率为=0.28,分数在[70,80)之间的频率为=0.40,分数在[80,90)之间的频率为=0.16,分数在[90,100]之间的频率为=0.08,所以,该班的平均分约为55×0.08+65×0.28+75×0.40+85×0.16+95×0.08=73.8,6分频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为÷10=0.016.8分(3)分数在[80,90)之间的频数为4,分别设为a,b,c,d,分数在[90,100]之间的频数为2,分别设为A,B,要从分数在[80,100]之间的试卷中抽样2份试卷共有15种不同抽法:(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),(A,B),(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(d,A),(d,B),其中这两份试卷恰好一份分数在[80,90)之间,另一份分数在[90,100]之间的有8种,所求概率为.12分20.(本小题满分12分)如图,已知△PAD是边长为2的等边三角形,且平面PAD⊥底面ABCD,其中四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,点M为PB中点,N点在PC上,且CN=3PN.(1)求证:PB⊥面ADM;(2)求三棱锥N—ADM的体积.解析:(1)取AD中点为Q,连结PQ,BQ.由已知可得△PAD与△BAD都是边长为2的等边三角形,所以有AD⊥PQ,AD⊥BQ,又PQ∩BQ=Q⇒AD⊥面PQB.又PB⊂面PQB,∴PB⊥AD.又PA=AB,PM=BM,所以有PB⊥AM,又AM∩AD=A,∴PB⊥面ADM.6分(2)取PC中点为E,连结ME,则ME∥BC.又BC∥AD,所以ME∥AD,故A,D,E,M四点共面,又CN=3PN,所以N为PE中点,∴V N-ADM=V P-ADM=V M-PAD=V B-PAD=×××4×=.12分21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=,x∈[0,2].(1)求使方程f(x)-k=0(k∈R)存在两个不同实数解时k的取值范围;(2)设函数g(x)=ln x+x2-2x-m(x∈[1,3]),若对任意x1∈[0,2],总存在x0∈[1,3],使f(x1)-g(x0)=0,求实数m的取值范围.解析:(1)f'(x)=-,所以f(x)在区间[0,1]上递增,在[1,2]递减.且f(0)=0,f(1)=,f(2)=,所以≤k<.4分(2)由(1)可知f(x1)∈[0,],要使f(x1)-g(x0)=0成立,则g(x0)的值必须包含[0,].又g'(x)=+x-2=-=-≥0,所以函数g(x)=ln x+x2-2x-m在上单调递增,g(1)=--m,g(3)=ln3--m,由g(1)=--m≤0,g(3)=ln3--m≥,得-≤m≤ln3-.12分22.(本小题满分12分)已知椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4.(1)求椭圆M的方程;(2)设直线l与椭圆M交于A,B两点,且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,求△ABC 面积的最大值.解析:(1)因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+4,所以2a+2c=6+4,又椭圆的离心率为,即=,所以c=a,所以a=3,c=2,所以b=1,椭圆M的方程为+y2=1.4分(2)(法一)由(1)得,C(3,0),不妨设BC的方程y=n(x-3)(n>0),则AC的方程为y=-(x-3),由-得(+n2)x2-6n2x+9n2-1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为3x2=-,所以x2=-,同理可得x1=-,所以|BC|=,|AC|=,S△ABC=|BC||AC|=,设t=n+≥2,则S==≤,当且仅当t=时取等号,所以△ABC面积的最大值为.12分(法二)显然直线l与x轴不平行,不妨设直线l的方程为x=ky+m,由消去x得(k2+9)y2+2kmy+m2-9=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=-,y1y2=-,①因为以AB为直径的圆过点C,所以·=0,由=(x1-3,y1),=(x2-3,y2),得(x1-3)(x2-3)+y1y2=0,将x1=ky1+m,x2=ky2+m代入上式,得(k2+1)y1y2+k(m-3)(y1+y2)+(m-3)2=0,将①代入上式,解得m=或m=3(舍),所以m=,此时直线AB经过定点D(,0),与椭圆有两个交点,所以S△ABC=|DC||y1-y2|=×-=-,设t=,0<t≤,则S△ABC=-,所以当t=∈(0,)时,S△ABC取得最大值.12分。
全国100所名校单元测试示范卷（高三）：数学14数学全国教师21（文）
全国100所名校单元测试⽰范卷（⾼三）：数学14数学全国教师21（⽂）全国100所名校单元测试⽰范卷·⾼三·数学卷(⼆⼗⼀)第⼆⼗⼀单元⾼中数学综合测试(120分钟150分)第Ⅰ卷⼀、选择题:本⼤题共12⼩题,每⼩题5分,共60分.在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合题⽬要求的.1.已知复数(2-i)z=1+2i,是z的共轭复数,则等于A.1B.iC.-1D.-i==i,所以=-i,故选D.解析:z=-答案:D2.若集合M={x|log2(x-1)<1},N={x|0A.{x|1B.{x|1C.{x|0D.{x|0解析:由于M={x|log2(x-1)<1}={x|1M∩N={x|1答案:A3.抛物线y=-x2的焦点坐标是A.(-,0)B.(0,-)C.(0,-)D.(0,-)解析:x2=-2y,故焦点为(0,-).答案:B4.设a=loπ,b=()-0.8,c=lgπ,则A.aB.aC.cD.b解析:a<0,b>1,0答案:B5.如图,在圆C:x2+y2=10内随机撒⼀粒⾖⼦,则⾖⼦落在阴影部分的概率是A.1-B.C.D.解析:如图所⽰,阴影部分为正⽅形,⾯积为4,⽽圆C的⾯积为10π,∴所求概率为P==.答案:D6.函数f(x)=mcos x+nsin x(mn≠0)的⼀条对称轴⽅程为x=,则以a=(m,n)为⽅向向量的直线的倾斜⾓为A.45°B.60°C.120°D.135°解析:由题可得f()=f(),即m+n=n,所以=,直线的斜率k==,倾斜⾓α=60°.答案:B7.已知函数f(x)=-,若数列{a n}满⾜a n=f(n)(n∈N*),且{a n}是递减数-列,则实数a的取值范围是A.(,1)B.(,)C.(,)D.(,1)解析:由已知可知1-2a<0,0a13=1,所以答案:C8.如图是⼀个⼏何体的三视图,其顶点都在⼀个球⾯上,则该球的表⾯积为A.12πB.8πC.16πD.8π解析:由三视图可知,底⾯是⼀个等腰直⾓三⾓形,⾼为2的三棱锥,可求得球半径R=,表⾯积S=12π.答案:A9.下列命题正确的是A.p:?x∈R,x+≥2,q:?x∈R,x2+x+1≤0,p∨q是真命题B.在△ABC中,⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c,则“a>b”是“cos AC.若p:对任意x∈R,都有x2-x+1>0,则p:对任意x∈R,都有x2-x+1≤0D.不存在x∈R,使得sin x+cos x=成⽴解析:对于A项,p假q假,p∨q为假,A错;对于B项,根据三⾓形⼤⾓对⼤边,所以a>b?A>B?cos A答案:B10.已知点F1、F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2是钝⾓三⾓形,则该双曲线离⼼率的取值范围是A.(-1,+∞)B.(+1,+∞)C.(1+,+∞)D.(1,1+)解析:由题设条件可知△ABF2为等腰三⾓形,只要∠AF2B为钝⾓即可,所以有>2c,即b2>2ac,所以c2-a2>2ac,解得e>1+,选C.答案:C11.已知a,b,c都为正数,且满⾜-,则的最⼤值为A.16B.17C.18D.19解析:由题可得·-,令x=,y=,问题转化为在-内,求⽬标函数z=2x+y的最⼤值,作出x,y的可⾏域,可得当x=3,y=10时,z有最⼤值16.答案:A12.设函数f(x)、g(x)的定义域分别为F、G,且F?G.若对任意的x∈F,都有f(x)=g(x),则称g(x)为f(x)在G上的⼀个“延拓函数”.已知f(x)=e x(x≥0)(e为⾃然对数的底数),若g(x)为f(x)在R上的⼀个延拓函数,则下列可作为g(x)的解析式的个数为①y=ln|x|;②y=e|x|;③y=-ln|x|;④y=-;⑤y=-x2+1;⑥y=()|x|.A.2B.3C.4D.5解析:因为f(x)的定义域为[0,+∞),值域为[1,+∞),由延拓函数定义可知,(1)延拓函数g(x)的定义域包含了f(x)定义域,①③两个函数的定义域都不含0,所以不符合;(2)延拓函数g(x)的值域也包含f(x)的值域,故⑤⑥不符合,②④符合.所以选A.答案:A第Ⅱ卷⼆、填空题:本⼤题共4⼩题,每⼩题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.曲线y=ln x上的点到直线y=ex-2(e为⾃然对数底数)的最短距离为.解析:作y=ex-2的平⾏线,使其与曲线y=ln x相切,则k=(ln x)'==e,得切点(,-1),所以切线⽅程为ex-y-2=0,即直线y=ex-2恰为切线,最短距离为0.答案:014.--=.解析:原式=----=--=-=.答案:15.阅读如图所⽰的程序框图,若输⼊的n是30,则输出的变量S的值是.解析:框图运算结果为S=30+29+…+3+2=464.答案:46416.已知函数f(x)=2x2+m的图象与函数g(x)=ln|x|的图象有四个交点,则实数m的取值范围为.解析:考虑2x2+m=ln|x|有四个不同的根,即两正、两负根,当x>0时,设函数h(x)=2x2-ln x+m,则h'(x)=4x-=-,则h()=-ln+m<0,即m答案:(-∞,ln-)三、解答题:本⼤题共6⼩题,共70分.解答应写出必要的⽂字说明、证明过程及演算步骤.17.(本⼩题满分10分)在等差数列{a n}中,a2+a3=-2,a4+a5+a6=12,S n为{a n}的前n项和.(1)求通项a n及S n;(2)设{b n-a n}是⾸项为1,公⽐为3的等⽐数列,求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n.解析:(1)设数列{a n}的公差为d,由题可得2a1+3d=-2,3a1+12d=12,解得a1=-4,d=2.所以a n=2n-6,S n=--·n=n2-5n.5分(2)由(1)可知b n-a n=3n-1,所以b n=2n-6+3n-1,T n=n2-5n+--=n2-5n+-.10分18.(本⼩题满分12分)已知△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.·=m(m为正常数),∠BAC=θ,且a=2.(1)若bc有最⼤值4,求m的值及θ的取值范围;(2)在(1)的条件下,求函数f(θ)=2cos2(θ+)+2sin2θ-的最⼤值及相应的θ的值.解析:(1)由余弦定理可得b2+c2-2bccosθ=4,即b2+c2-2m=4,⼜bc≤(b2+c2)=m+2=4,所以m=2.所以有bccosθ=2,cosθ=≥,所以θ∈(0,].5分(2)因为f(θ)=1+cos(2θ+)+(1-cos2θ)-=-sin2θ-cos2θ+1=-2sin(2θ+)+1.由(1)可知θ∈(0,],所以2θ+∈(,π],sin(2θ+)∈[0,1],故f(θ)max=1,此时θ=.12分19.(本⼩题满分12分)某校⾼三(1)班的⼀次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直⽅图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:(1)求全班⼈数及分数在[80,90)之间的频数;(2)估计该班的平均分数,并计算频率分布直⽅图中[80,90)间的矩形的⾼;(3)若要从分数在[80,100]之间的所有试卷中抽样2份试卷来进⾏试卷分析,求这两份试卷恰好⼀份分数在[80,90)之间,另⼀份分数在[90,100]之间的概率.解析:(1)由茎叶图知,分数在[50,60)之间的频数为2,频率为0.008×10=0.08,全班⼈数为=25,所以分数在[80,90)之间的频数为25-2-7-10-2=4.3分(2)(法⼀)分数在[50,60)之间的总分为56+58=114,分数在[60,70)之间的总分为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456,分数在[70,80)之间的总分为70×10+1+2+2+3+4+5+6+7+8+9=747,分数在[80,90)之间的总分约为85×4=340,分数在[90,100]之间的总分数为95+98=193,所以,该班的平均分数约为=74.6分(法⼆)分数在[50,60)之间的频率为=0.08,分数在[60,70)之间的频率为=0.28,分数在[70,80)之间的频率为=0.40,分数在[80,90)之间的频率为=0.16,分数在[90,100]之间的频率为=0.08,所以,该班的平均分约为55×0.08+65×0.28+75×0.40+85×0.16+95×0.08=73.8,6分频率分布直⽅图中[80,90)间的矩形的⾼为÷10=0.016.8分(3)分数在[80,90)之间的频数为4,分别设为a,b,c,d,分数在[90,100]之间的频数为2,分别设为A,B,要从分数在[80,100]之间的试卷中抽样2份试卷共有15种不同抽法:(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),(A,B),(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(d,A),(d,B),其中这两份试卷恰好⼀份分数在[80,90)之间,另⼀份分数在[90,100]之间的有8种,所求概率为.12分20.(本⼩题满分12分)如图,已知△PAD是边长为2的等边三⾓形,且平⾯PAD⊥底⾯ABCD,其中四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,点M为PB中点,N点在PC上,且CN=3PN.(1)求证:PB⊥⾯ADM;(2)求三棱锥N—ADM的体积.解析:(1)取AD中点为Q,连结PQ,BQ.由已知可得△PAD与△BAD都是边长为2的等边三⾓形,所以有AD⊥PQ,AD⊥BQ,⼜PQ∩BQ=Q?AD⊥⾯PQB.⼜PB?⾯PQB,∴PB⊥AD.⼜PA=AB,PM=BM,所以有PB⊥AM,⼜AM∩AD=A,∴PB⊥⾯ADM.6分(2)取PC中点为E,连结ME,则ME∥BC.⼜BC∥AD,所以ME∥AD,故A,D,E,M四点共⾯,⼜CN=3PN,所以N为PE中点,∴V N-ADM=V P-ADM=V M-PAD=V B-PAD=×××4×=.12分21.(本⼩题满分12分)已知函数f(x)=,x∈[0,2].(1)求使⽅程f(x)-k=0(k∈R)存在两个不同实数解时k的取值范围;(2)设函数g(x)=ln x+x2-2x-m(x∈[1,3]),若对任意x1∈[0,2],总存在x0∈[1,3],使f(x1)-g(x0)=0,求实数m的取值范围.解析:(1)f'(x)=-,所以f(x)在区间[0,1]上递增,在[1,2]递减.且f(0)=0,f(1)=,f(2)=,所以≤k<.4分(2)由(1)可知f(x1)∈[0,],要使f(x1)-g(x0)=0成⽴,则g(x0)的值必须包含[0,].⼜g'(x)=+x-2=-=-≥0,所以函数g(x)=ln x+x2-2x-m在上单调递增,g(1)=--m,g(3)=ln3--m,由g(1)=--m≤0,g(3)=ln3--m≥,得-≤m≤ln3-.12分22.(本⼩题满分12分)已知椭圆M:+=1(a>b>0)的离⼼率为,且椭圆上⼀点与椭圆的两个焦点构成的三⾓形周长为6+4.(1)求椭圆M的⽅程;(2)设直线l与椭圆M交于A,B两点,且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,求△ABC ⾯积的最⼤值.解析:(1)因为椭圆M上⼀点和它的两个焦点构成的三⾓形周长为6+4,所以2a+2c=6+4,⼜椭圆的离⼼率为,即=,所以c=a,所以a=3,c=2,所以b=1,椭圆M的⽅程为+y2=1.4分(2)(法⼀)由(1)得,C(3,0),不妨设BC的⽅程y=n(x-3)(n>0),则AC的⽅程为y=-(x-3),由-得(+n2)x2-6n2x+9n2-1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为3x2=-,所以x2=-,同理可得x1=-,所以|BC|=,|AC|=,S△ABC=|BC||AC|=,设t=n+≥2,则S==≤,当且仅当t=时取等号,所以△ABC⾯积的最⼤值为.12分(法⼆)显然直线l与x轴不平⾏,不妨设直线l的⽅程为x=ky+m,由消去x得(k2+9)y2+2kmy+m2-9=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=-,y1y2=-,①因为以AB为直径的圆过点C,所以·=0,由=(x1-3,y1),=(x2-3,y2),得(x1-3)(x2-3)+y1y2=0,将x1=ky1+m,x2=ky2+m代⼊上式,得(k2+1)y1y2+k(m-3)(y1+y2)+(m-3)2=0,将①代⼊上式,解得m=或m=3(舍),所以m=,此时直线AB经过定点D(,0),与椭圆有两个交点,所以S△ABC=|DC||y1-y2|=×-=-,设t=,0则S△ABC=-,所以当t=∈(0,)时,S△ABC取得最⼤值.12分。
历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)
全国卷历年高考真题汇编-三角函数与解三角形（2019全国2卷文）8．若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．12答案：A（2019全国2卷文）11．已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B ．CD答案：B（2019全国2卷文）15.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 答案：43π（2019全国1卷文）15．函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________．答案：-4（2019全国1卷文）7．tan255°=（ ）A ．－2B ．－C ．2D ．答案：D（2019全国1卷文）11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C c B b A a sin 4sin sin =- ，41cos -=A ，则bc=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3答案：A（2019全国3卷理） 18．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且1c =，求△ABC 面积的取值范围．（1）由题设与正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=． 因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ++=︒，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=．因为cos 02B ≠，故1sin =22B ，因此60B =︒．（2）由题设与（1）知△ABC 的面积ABC S ∆．由正弦定理得sin sin(120)1sin sin 2c A c C a C C ︒-===+． 由于△ABC 为锐角三角形，故090A ︒<<︒，090C ︒<<︒．由（1）知120A C +=︒，所以3090C ︒<<︒，故122a <<，ABC S ∆<<因此，△ABC 面积的取值范围是（2019全国2卷理）15．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________． 答案：36（2019全国2卷理）9．下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=│cos2x │B ．f (x )=│sin2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )=sin │x │答案：A（2019全国2卷理）10．已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B ．5C ．3D ．5答案：B（2019全国1卷理）17.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）3A π=；（2）sin 4C =. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：222b c a bc +-=，从而可整理出cos A ，根据()0,A π∈可求得结果；（2）利用正弦定理可得sin 2sin A B C +=，利用()sin sin B A C =+、两角和差正弦公式可得关于sin C 和cos C 的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果. 【详解】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,πA ∈3Aπ（2）22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin C C =22sin cos 1C C += (()223sin 31sin C C ∴-=-解得：sin C =因sin 2sin 2sin 02B C A C =-=->所以sin 4C >，故sin 4C =（2）法二：22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin C C =，即3sin 6C C C π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭ 由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+sin sin()464C ππ=+=. 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉与到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.（2019全国1卷理）11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③【答案】C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．（2018全国3卷文）11.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC∆的面积为2224a b c +-，则C =( )A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π【答案】C 【解析】2221sin 24ABC a b c S ab C ∆+-==，而222cos 2a b c C ab+-= 故12cos 1sin cos 242ab C ab C ab C ==，4C π∴= 【考点】三角形面积公式、余弦定理 （2018全国3卷文）6.函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为( ) A ．4πB ．2π C ．π D ．2π 【答案】C【解析】()()2222tan tan cos 1sin cos sin 2221tan 1tan cos x x x f x x x x x k x x x ππ⨯⎛⎫====≠+ ⎪++⎝⎭，22T ππ==(定义域并没有影响到周期) （2018全国3卷文）4.若1sin 3α=，则cos2α=( )A ．89B ．79C ．79- D ．89-【答案】B【解析】27cos212sin 9αα=-=（2018全国2卷理）15. 已知，，则__________．【答案】【解析】分析：先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果.详解：因为，，所以，因此点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系与函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.（2018全国2卷理）10. 若在是减函数，则的最大值是A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值详解：因为，所以由得因此，从而的最大值为，选A.点睛：函数的性质：(1). (2)周期 (3)由 求对称轴， (4)由求增区间;由求减区间.（2018全国2卷理）6. 在中，，，，则A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB. 详解：因为所以，选A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. （2018全国I 卷理）17．（12分）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠；（2）若22DC =BC解：（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以2sin ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<︒，所以223cos 1255ADB ∠=-=. （2）由题设与（1）知，2cos sin 5BDC ADB ∠=∠=. 在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠22582522=+-⨯⨯⨯5=.25所以5BC=.（2018全国I卷理）16．已知函数()2sin sin2f x的最小值f x x x=+，则()是_____________．（2018全国I卷文）16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2﹣a2=8，则△ABC的面积为．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．bsinC+csinB=4asinBsinC，利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，由于sinBsinC≠0，所以sinA=，则A=由于b2+c2﹣a2=8，则：，①当A=时，，解得：bc=，所以：．②当A=时，，解得：bc=﹣（不合题意），舍去．故：．故答案为：（2018全国I卷文）11．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，则|a﹣b|=（）A．B． C．D．1【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，∴cos2α=2cos2α﹣1=，解得cos2α=，∴|cosα|=，∴|sinα|==，|tanα|=||=|a﹣b|===．故选：B．（2018全国I卷文）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（）A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4C.f（x）的最小正周期为2π，最大值为3D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4【解答】解：函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，=2cos2x﹣sin2x+2sin2x+2cos2x，=4cos2x+sin2x，=3cos2x+1，=，=，故函数的最小正周期为π，函数的最大值为，故选：B．1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（）A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C 【答案】D【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ．注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π122 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A．（1）求sin sin B C ；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长．【解析】本题主要考查三角函数与其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.（1）∵ABC △面积23sin a S A=.且1sin 2S bc A =∴21sin 3sin 2a bc A A = ∴223sin 2a bc A =∵由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠得2sin sin 3B C =.（2）由（1）得2sin sin 3B C =，1cos cos 6B C =∵πA B C ++=∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=又∵()0πA ∈，∴60A =︒，sin A ，1cos 2A =由余弦定理得2229a b c bc =+-= ① 由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin ac C A=⋅ ∴22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①②得b c +=∴3a b c ++=+ABC △周长为3+3. (2017·新课标全国Ⅱ卷理17)17.（12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2B AC +=． (1)求cos B(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形．【试题分析】在第（Ⅰ）中，利用三角形内角和定理可知A C B π+=-，将2sin 8)sin(2BC A =+转化为角B 的方程，思维方向有两个：①利用降幂公式化简2sin 2B，结合22sin cos 1B B +=求出cos B ；②利用二倍角公式，化简2sin 8sin 2B B =，两边约去2sin B ，求得2tan B，进而求得B cos .在第（Ⅱ）中，利用（Ⅰ）中结论，利用勾股定理和面积公式求出a c ac +、，从而求出b ． （Ⅰ）【基本解法1】由题设与2sin 8sin ,2BB C B A ==++π，故 sin 4-cosB B =（1）上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0 解得 15cosB=cosB 171（舍去），= 【基本解法2】由题设与2sin 8sin ,2B BC B A ==++π，所以2sin 82cos 2sin 22BB B =，又02sin ≠B ，所以412tan =B ，17152tan 12tan 1cos 22=+-=B BB （Ⅱ）由158cosB sin B 1717==得，故14a sin 217ABC S c B ac ∆==又17=22ABC S ac ∆=，则由余弦定理与a 6c +=得2222b 2cos a 2(1cosB)1715362(1)2174a c ac Bac =+-=-+=-⨯⨯+=（+c ）所以b=2【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎．4 （2017全国卷3理）17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 0A A =，a =，2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积． 【解析】（1）由sin 0A A +=得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，∴ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2）∵2,4AC BC AB ===，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-= ∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形， 则cos AC CD C =⋅，得CD =由勾股定理AD == 又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=， 1πsin 26ABDS AD AB =⋅⋅=△5 （2017全国卷文1）14 已知π(0)2a ∈，,tan α=2，则πcos ()4α-=__________。
2014全国数模竞赛初评成绩(中国计量学院)
陶禹诺 朱慧慧 钟明洁 廖家平 潘肖健 王亚倩 张晓敏 艾兆亮 杨哲 李柏鹏 王微 许庆全 韩雨彤 李梦斐 沈烨平 牟起航 崔玲丽 王奕曦 张偲敏 姚霞文 林静 徐忠林 陈英姿 朱华燕 付洋朕 韩佳晖 李萌新 钱文超 刘颖 傅宏辉 王晶 包振华 蒋伟武 徐俊芃 齐峰 陈佳慧 黄陶冶 陆银霞 金舟雯 毛子羡 杨爽爽 李辉 黄蓉 帅少杰 王伟凯
2014年全国大学生数学建模竞赛浙江赛区评审结果
序号 队号 队员1 队员2 队员3 指导教师
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
A11168020 A11168004 A11168047 B11168026 B11168007 A11168049 A11168001 A11168014 A11168031 B11168034 A11168041 A11168030 A11168013 A11168033 A11168035 A11168037 A11168008 B11168042 B11168024 B11168027 A11168039 A11168015 A11168010 A11168018 A11168046 A11168005 A11168002 A11168032 B11168019 B11168006 A11168050 A11168012 A11168017 A11168045 A11168036 A11168038 A11168022 A11168003 B11168023 B11168043 B11168011 B11168021 B11168040 B11168009 A11168048
四年级下册数学试题-培优专题训练：14凑整、网格估算与页码问题(学生版+教师版)全国通用
凑整467809035读作___________________________________。
467809035≈_______________亿（四舍五入法）。
467809035≈_______________亿（进一法）。
467809035≈_______________亿（去尾法）。
69492985读作：__________________________________。
69492985≈_____________________千万（四舍五入法）。
69492985≈_____________________百万（进一法）。
69492985≈_____________________十万（去尾法）。
一个数用“去尾法”凑整到千位得到175000，这个数的取值范围是：（ ）~（ ）。
一个数用“进一法”凑整到千位得到175000，这个数的取值范围是：（ ）~（ ）。
选择 用“进一法”79456≈80万，里可以填（ ）。
A.4~0B.9~0C.9~5用“去尾法”把3947270凑成整十万的数，正确的是（ ）。
A.3950000 B.4000000 C.390000072459342≈7亿（四舍五入法），里最大可填（ ）。
A.4B.5C.9网格估算利用网格估算，图中大约有多少个红球？（1）小胖数的是第一个网格中的红球，并估算：。
（2）小雅用第二个网格来估算，她的结论是：。
（3）你也任选一个格子，来估算：。
乐乐和小胖都喜欢收集卡通卡片，一天乐乐带着他的卡片盒子对小胖说：“小胖，你看这个盒子里一共有59张卡片，我们轮流从盒子里抽取卡片，每人每次至少拿1张，至多拿4张，你如果能拿到最后1张卡片，那这59张卡片都给你。
”请你思考，小胖应该怎样做才拿的到最后一张卡片？页码问题主要是指一本书的页数与所用的数字之间关系的一类应用题。
数字也可称为数码，它的个数是有限的，有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共10个数码。
纳入全国普通高校竞赛评估的项目
26 全国基础医学青年教师讲课大赛 27 “鼎阳杯”全国电工电子基础课程实验教学案例设计竞赛 28 全国高等学校中药学类专业青年教师教学设计大赛 29 全国高等学校青年教师电路、信号与系统、电磁场课程教学竞赛 30 全国高等学校青年教师电工学课程教学竞赛 31 全国《麻醉学》独立开课讲课比赛 32 全国高校城市地下空间工程专业青年教师讲课大赛 33 全国高等院校英语教师教学基本功大赛 34 全国高校经管类实验教学案例大赛 35 全国医学影像专业青年教师教学基本功竞赛 36 全国大学青年教师地质课程教学比赛 37 全国职业院校技能大赛职业院校教学能力比赛 38 全国农业职业院校教学能力大赛 39 全国职业院校教师微课大赛
6 全国大学生电子商务“创新、创意及创业”挑战赛
7 全国大学生电子设计竞赛
8 全国大学生工程训练综合能力竞赛
9 全国大学生广告艺术大赛
10 全国大学生化学实验邀请赛
11 全国大学生机械创新设计大赛
12 全国大学生交通科技大赛
13 全国大学生节能减排社会实践与科技竞赛
14 全国大学生结构设计竞赛 15 全国大学生数学建模竞赛 16 全国大学生物流设计大赛 17 全国大学生智能汽车竞赛 18 全国高等医学院校大学生临床技能竞赛 19 全国职业院校技能大赛（只纳入高职排行） 20 全国大学生创新创业训练计划年会展示 21 全国大学生机器人大赛 RoboMaster 22 “西门子杯”中国智能制造挑战赛 23 全国大学生化工设计竞赛 24 全国大学生先进成图技术与产品信息建模创新大赛 25 全国三维数字化创新设计大赛（大学生组） 26 中国大学生计算机设计大赛 27 全国大学生市场调查与分析大赛 28 中国大学生服务外包创新创业大赛 29 两岸新锐设计竞赛“华灿奖” 30 长江钢琴·全国高校钢琴大赛
全国100所名校单元测试示范卷(高三)：数学 14数学全国教师17(理)
全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十七)第十七单元 平面解析几何综合测试(120分钟 150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.抛物线y 2=-16x 的焦点坐标为A.(0,-4)B.(4,0)C.(0,4)D.(-4,0)解析:抛物线y 2=-16x 的焦点在x 轴的负半轴上,其坐标为(-164,0),即(-4,0). 答案:D2.已知圆C:(x-2)2+(y-1)2=4的周长被双曲线E:x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平分,则双曲线E 的离心率为A.√2B.√3C.√52D.2√5解析:圆C:(x-2)2+(y-1)2=4的圆心为(2,1),根据题意可知,双曲线的一条渐近线通过圆心,即(2,1)在直线y=b ax 上,即a=2b,此时c=√a 2+a 24=√52a,则e=√52. 答案:C3.已知曲线x 28-λ+y 24-λ=1(4<λ<8),则此曲线的焦点坐标为 A.(±2,0) B.(±2√3,0)C.(0,±2)D.(±√12-2λ,0)解析:因为4<λ<8,则x 28-λ+y 24-λ=1可整理为x 28-λ-y 2λ-4=1,则c 2=8-λ+λ-4=4,故焦点坐标为(±2,0). 答案:A4.若圆O:x 2+y 2=4与圆C:x 2+y 2+4x-4y+4=0关于直线l 对称,则直线l 的方程是A.x+y=0B.x-y=0C.x-y+2=0D.x+y+2=0解析:圆x 2+y 2+4x-4y+4=0即(x+2)2+(y-2)2=4,则圆心C 坐标为(-2,2),∵直线l 过OC 的中点(-1,1)且垂直于OC,k OC =-1,故直线l 的斜率为1,直线l 的方程为y-1=x+1,即x-y+2=0.故选C.答案:C5.若两个椭圆的离心率相同,则称此两个椭圆相似.已知椭圆的焦点在x 轴上,与x 24+y 23=1相似且过点(2,3),则此椭圆的长轴长为A.4B.6C.8D.16解析:椭圆x 24+y 23=1的离心率为12,设所求椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),则c a =12, 且4a2+9b2=1,又c 2=a 2-b 2,解得a 2=16,b 2=12,故2a=8.答案:C6.已知圆C:(x-1)2+(y-√3)2=2与直线l:x+√3y-6=0相交于A,B 两点,O 为坐标原点,则直线OA 与直线OB 的倾斜角之和为A.60°B.90°C.120°D.150°解析:∵k OC =√3,k AB =-√33,∴k OC ·k AB =-1,∴OC ⊥AB,直线OA 与直线OB 关于直线OC 对称,则直线OA 与直线OB 的倾斜角之和为直线OC 倾斜角的两倍,即60°×2=120°.答案:C7.若椭圆的中心为坐标原点,过其焦点且垂直于长轴的直线与椭圆的交点围成一个正方形,则此类椭圆称为“漂亮椭圆”.类比“漂亮椭圆”,可推出“漂亮双曲线”的离心率为A.√2B.√5+12C.√5D.√5+32解析:b 2a =c,则b 2=ac,c 2-a 2=ac,e 2-e-1=0,故e=1+√52. 答案:B8.已知O 是坐标原点,A,B 是直线l:x-y+t=0与圆C:x 2+y 2=4的两个不同交点,若|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则实数t 的取值范围是 A.(-2√2,-2]B.[2,2√2)C.(-2√2,-2]∪[2,2√2)D.[-2√2,-2]∪[2,2√2]解析:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,两边同时平方整理得OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥0,则∠AOB ≤90°,又直线l:x-y+t=0的斜率为1,经过(-2,0),(0,2)或(0,-2),(2,0)时恰好满足∠AOB=90°,此时t=2或-2;当l:x-y+t=0与圆相切时是一种临界状态,此时t=2√2或t=-2√2,数形结合可知,t ∈(-2√2,-2]∪[2,2√2).答案:C9.已知定点M(-1,0),N(1,0),P是椭圆x 24+y 23=1上动点,则1|PM |+4|PN |的最小值为A.2B.94C.3D.3+2√2解析:因为M(-1,0),N(1,0)是椭圆的焦点,则有|PM |+|PN |=2a=4, 则1|PM |+4|PN |=14(1|PM |+4|PN |)(|PM |+|PN |)=14(5+|PN ||PM |+4|PM ||PN |)≥14(5+4)=94. 答案:B10.已知线段AB=4,其中点A,B 分别在x 轴与y 轴正半轴上移动,若点A 从(2√3,0)移动到(2,0),则AB 中点D 经过的路程为A.4B.8-4√3C.π3D.π2解析:点D 在圆x 2+y 2=4上,其中点D 沿圆周从(√3,1)移动到(1,√3),此时转过的圆心角为π3-π6=π6,故D 经过的路程为弧长π6×2=π3.答案:C11.函数f(x)=(x+2013)(x-2014)的图象与x 轴、y 轴有3个不同的交点,有一个圆恰经过这三个点,则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是A.(0,12)B.(0,1)C.(0,√20132014)D.(0,√20142013)解析:函数f(x)的图象与坐标轴的交点分别是A(-2013,0)、B(2014,0)、C(0,-2013×2014),经过这三点的圆与y 轴的另一个交点必在y 轴的正半轴上,设其坐标D(0,m),则根据相交弦定理可得|OA|×|OB|=|OC|×|OD|,即2013×2014=(2013×2014)×m,解得m=1,故另一个交点的坐标为(0,1).答案:B12.已知椭圆C:x 216+y 24=1的内接平行四边形的一组对边分别经过其两个焦点(如图),则这个平行四边形面积的最大值为A.8B.8√3C.16D.16√3解析:先求弦AB 长,再求高,即点F 2到直线AB 的距离.因为x 216+y 24=1,所以a 2=16,b 2=4,c 2=12,F 1(-2√3,0). 若直线AB 的斜率不存在时,即x=-2√3,此时A(-2√3,1),B(-2√3,-1),故S ▱ABCD =2×4√3=8√3;若直线AB 的斜率存在且设为k,即y=k(x+2√3),与x 216+y 24=1联立方程组整理得: (1+4k 2)x 2+16√3k 2x+48k 2-16=0,有x 1+x 2=-16√3k 21+4k 2,x 1x 2=48k 2-161+4k 2,则|AB |=√1+k 2|x 1-x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=8√1+k 2√1+k2(1+4k 2)2.AB 边上高,即点F 2(2√3,0)到直线y=k(x+2√3)的距离为√3k √1+k,则S ▱ABCD =|8√3k|√16+16k 2(1+4k 2)2=8√3√16k 2+16k 4(1+4k 2)2=8√3√1+8k 2-11+8k 2+16k 4.令8k 2-1=t,t ≥-1,则8k 2=1+t,则8k 2-11+8k 2+16k4=4tt 2+6t+9,当t=0时,4tt 2+6t+9=0,S ▱ABCD =8√3.若t ≠0,4tt 2+6t+9=4t+9t +6,则当t=3时,4t t 2+6t+9取得最大值13,此时S ▱ABCD =8√3·√43=16.综上,S ▱ABCDmax =16.答案:C第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上. 13.若y=x 是双曲线x 2+y 2m =1的一条渐近线,则实数m= .解析:标准方程为x 2-y 2-m=1,则-m=1,即m=-1.答案:-114.已知过点(1,1)且与2x+y+1=0平行的直线经过抛物线y 2=mx 的焦点,则m= .解析:2x+y+c=0过点(1,1),则c=-3,即2x+y-3=0,令y=0得x=32, 即焦点为(32,0),故m=4×32=6. 答案:615.过已知圆x 2+y 2-x+2y+1=0的圆心,且与直线x+y+1=0垂直的直线的一般方程为 .解析:已知圆的圆心坐标为(12,-1),所以经过已知圆的圆心,斜率为1的直线方程为y+1=x-12,即x-y-32=0. 答案:x-y-32=016.已知F 1,F 2是椭圆x 24+y 2=1的两个焦点,P 是椭圆上在第一象限内的点,当△F 1PF 2的面积为√32,则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .解析:由题知|PF 1|+|PF 2|=4,|F 1F 2|=2√3,则12×2√3|y P |=√32,则y P =12,则P(√3,12),F 1(-√3,0),F 2(√3,0),PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2√3,-12)·(0,-12)=14.答案:14三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)已知圆C 的方程为x 2+y 2-2x+4y=0,直线l:2x-y+t=0. (1)若直线l 与圆C 相切,求实数t 的取值;(2)若直线l 与圆C 相交于M,N 两点,且|MN |=√15,求实数t 的取值.解析:圆C 的方程配方,得(x-1)2+(y+2)2=5,故圆心为C(1,-2),其半径r=√5. (1)因为直线l 与圆C 相切,所以圆心C 到直线l 的距离等于圆的半径, 即√2+(-1)=√5,整理得|4+t|=5,解得t=1或t=-9.5分(2)由(1)知,圆心到直线l 的距离d=√5,又|MN |=√15,所以d=√r 2-(|MN|2)2=(√5)2-(√152)2=√52, 故√5=√52,整理得|4+t|=52,解得t=-32或t=-132.10分 18.(本小题满分12分)已知焦距为4的椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),F 2为椭圆C 的右焦点,A,B 是椭圆C 上关于原点对称的两点,M,N 分别是AF 2,BF 2的中点,以线段MN 为直径的圆经过原点O(0,0). (1)证明:点A 在定圆上;(2)若直线AB 的倾斜角为30°,求椭圆C 的离心率.解析:(1)因为椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的焦距为4,所以右焦点F 2(2,0).设A(x 0,y 0),则B(-x 0,-y 0),M(x 0+22,y 02),N(2-x 02,-y 02).因为线段MN 为直径的圆经过原点O(0,0),所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以4-x 024-y 024=0,即x 02+y 02=4,故点A 在以原点O(0,0)为圆心,半径为2的圆上.6分(2)因为直线AB 的倾斜角为300,所以直线AB 的斜率为√33,即直线AB 的方程为y=√33x.因为A(x 0,y 0),所以有y 0=√33x 0,又由(1)知x 02+y 02=4,解得x 02=3,y 02=1.又点A(x 0,y 0)在椭圆C 上,则x 02a 2+y 02b 2=1,即3a 2+1b 2=1,又a 2-b 2=4,解得a 2=6,a=√6,故椭圆离心率e=c a =√6=√63.12分 19.(本小题满分12分)已知圆M 的方程为x 2+y 2-2x-2y-6=0,以坐标原点为圆心的圆N 内切于圆M. (1)求圆N 的方程;(2)圆N 与x 轴交于E 、F 两点,圆内的动点D 使得|DE|、|DO|、|DF|成等比数列,求DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围.解析:圆M 的方程可整理为(x-1)2+(y-1)2=8,故M(1,1),R=2√2. (1)圆N 的圆心为(0,0),设其半径为r,故|MN|=√12+12=√2,因为圆N 内切于圆M,所以有|MN|=R-r,即√2=2√2-r,解得r=√2.所以圆N 的方程为x 2+y 2=2.6分 (2)不妨设E(m,0),F(n,0),且m<n.由{x 2+y 2=2,y =0,解得{x =√2,y =0,{x =-√2,y =0,故E(-√2,0),F(√2,0). 设D(x,y),由|DE|、|DO|、|DF|成等比数列,得|DO|2=|DE|×|DF|, 即√(x +√2)2+y 2×√(x -√2)2+y 2=x 2+y 2, 整理得x 2-y 2=1.由于点D 在圆N 内,故有{x 2+y 2<2,x 2-y 2=1,由此得y 2<12.而DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2-x,-y),DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2-x,-y),DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2-x)(√2-x)+(-y)(-y)=x 2+y 2-2=2y 2-1, 所以DE⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[-1,0).12分 20.(本小题满分12分)已知点F 为抛物线y 2=4x 的焦点,圆C 以点F 为圆心,且经过原点O(0,0). (1)求圆C 的方程;(2)过点P(-1,0)作圆C 的两条切线,与抛物线y 2=4x 分别交于点A,B 和C,D,求经过A,B,C,D 四点的圆C'的面积.解析:(1)由题知抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0),则设圆C 的方程为(x-1)2+y 2=r 2,又圆C 经过原点O(0,0),则1=r 2,故圆C 的方程为(x-1)2+y 2=1.5分(2)根据题意可知,圆C 与抛物线y 2=4x 都关于x 轴对称,且P(-1,0)在x 轴上,则A,B 与C,D 分别关于x 轴对称,且圆C'的圆心在x 轴上.设过点P(-1,0)与圆C 相切,且斜率为正的一条切线AB 的方程为y=k(x+1)(k>0),即kx-y+k=0,则有√k +1=1,则k=√33,即AB 方程为y=√33(x+1),代入y 2=4x 整理得x 2-10x+1=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=10,x 1x 2=1,|AB |=√(y 2-y 1)2+(x 2-x 1)2=√13(x 2-x 1)2+(x 2-x 1)2 =√43(x 2+x 1)2-163x 1x 2=8√2. 又y 1+y 2=√33(x 1+x 2)+2√33=4√3,即AB 的中点为(5,2√3),则线段AB 的中垂线方程为y-2√3=-√3(x-5),令y=0得x=7,即圆C'的圆心C'(7,0).则圆心C'(7,0)到直线AB 的距离d=|7×√33-0+√33|(√33)+1=4,故圆C'的半径R 2=(4√2)2+42=48,故圆C'的面积为48π.12分21.(本小题满分12分)已知A(-1,0)、B(1,0)为双曲线的左、右顶点,F(2,0)是其右焦点. (1)求双曲线的标准方程;(2)过点A 的直线l 与双曲线右支交于另一个点P(不同于B 点),且与在点B 处x 轴的垂线交于点D,求证:以BD 为直径的圆与直线PF 相切.解析:(1)由题知a=1,c=2,则b 2=22-12=3,故双曲线的标准方程为x 2-y 23=1.5分 (2)设P(m,n),则直线AP 的方程为y=n m+1(x+1),令x=1得D(1,2nm+1),则以线段BD 为直径的圆的圆心为M(1,n m+1),半径为|nm+1|. ①当m=2时,直线PF ⊥x 轴,此时圆心到直线PF 的距离为1,而圆的半径为|n3|.又点P(2,n)在椭圆上,则有4-n 23=1,则n 2=9,n=±3,则圆的半径|n3|=1,则以线段BD 为直径的圆与直线PF 相切; ②当m ≠2时,则直线PF 的方程为y=nm -2(x-2),即nx+(2-m)y-2n=0,则圆心M 到直线PF 的距离为d=|n+(2-m)nm+1-2n|√n 2+(2-m)=|(2-m)nm+1-n|√n 2+(2-m)=|1-2m|√n 2+(2-m)|nm+1|, 又P(m,n)在椭圆上,则有m 2-n 23=1,即n 2=3(m 2-1),则√n 2+(2-m)2=√3(m 2-1)+4-4m +m 2=√(2m -1)2=|2m -1|, 则d=|1-2m ||2m -1|·|n m+1|=|n m+1|,故以线段BD 为直径的圆与直线PF 相切. 综上,线段BD 为直径的圆与直线PF 相切.12分22.(本小题满分12分)已知一动圆与直线x=-2相切,且经过椭圆x 29+y 25=1的右焦点F. (1)求动圆的圆心轨迹C 的方程;(2)经过点F 作两条互相垂直的直线分别交曲线C 及椭圆x 29+y 25=1于M,N,P,Q 四点,其中M,N 在曲线C 上,P,Q 在椭圆上,求四边形PMQN 的最小值.解析:(1)由椭圆x 29+y 25=1可知c 2=9-5=4,则椭圆的右焦点为F(2,0).由抛物线的定义可知,动圆的圆心轨迹为以F(2,0)为焦点,直线x=-2为准线的抛物线,故轨迹C 的方程为y 2=8x.4分(2)当直线MN 的斜率不存在时,|MN |=8.此时PQ 的长为椭圆的长轴长,PQ=6,则S PMQN =12|MN |·|PQ |=12×8×6=24.当直线MN 的斜率存在时,且设为k(k ≠0),则直线MN 的方程为y=k(x-2),则直线PQ 的方程为y=-1k(x-2).设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),P(x 3,y 3),Q(x 4,y 4).由{y =k(x -2),y 2=8x消去y 整理得k 2x 2-(4k 2+8)x+4k 2=0,由抛物线定义可知|MN |=|MF |+|NF |=x 1+2+x 2+2=x 1+x 2+4=4k 2+8k2+4=8+8k2,由{y =-1k (x -2),x 29+y 25=1消去y 整理得(5k 2+9)x 2-36x+36-45k 2=0, |PQ |=√1+(-1k)2√(x 3+x 4)2-4x 3x 4=√1+1k2√(365k 2+9)2-436-45k 25k 2+9=30(1+k 2)5k 2+9,则S PMQN =12|MN |·|PQ |=12·8(1+k 2)k 2·30(1+k 2)5k 2+9=120(1+k 2)25k 4+9k 2, 令1+k 2=t,t>1,则S PMQN =120t 25t 2-t -4=1205-1t -4t 2, 而5-1t -4t2∈(0,5),则S PMQN ∈(24,+∞). 综上,四边形PMQN 的最小值为24.12分。
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)17 全等与相似模型-对角互补模型(教师版)
专题17全等与相似模型-对角互补模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、旋转中的对角互补模型对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。
思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。
常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60°对角互补模型、2α-（180°-2α）对角互补模型。
1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）条件：如图，已知∠AOB ＝∠DCE ＝90°，OC 平分∠AOB .结论：①CD ＝CE ，②OD ＋OE OC ，③212ODCE COE COD S S S OC .2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）条件：如图，已知∠DCE 的一边与AO 的延长线交于点D ，∠AOB ＝∠DCE ＝90°，OC 平分∠AOB .结论：①CD ＝CE ，②OE －OD OC ，③212COE COD S S OC .3）“等边三角形对120°模型”（1）条件：如图，已知∠AOB ＝2∠DCE ＝120°，OC 平分∠AOB .结论：①CD ＝CE ，②OD ＋OE ＝OC ，③234COD COE S S OC.4）“等边三角形对120°模型”（2）条件：如图，已知∠AOB ＝2∠DCE ＝120°，OC 平分∠AOB ，∠DCE 的一边与BO 的延长线交于点D ，结论：①CD ＝CE ，②OD －OE ＝OC ，③234COD COE S S OC.5）“120°等腰三角形对60°模型”条件：△ABC 是等腰三角形，且∠BAC =120°，∠BPC =60°。
2023年高考全国乙卷数学(文)教师版
2023年高考全国乙卷数学(文)真题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.2+i 2+2i 3 =()A.1 B.2C.5D.5【答案】C【详解】由题意可得2+i 2+2i 3=2-1-2i =1-2i ，则2+i 2+2i 3 =1-2i =12+-2 2=5 .故选：C .2.设全集U =0,1,2,4,6,8 ，集合M =0,4,6 ,N =0,1,6 ，则M ∪∁U N =()A.0,2,4,6,8 B.0,1,4,6,8C.1,2,4,6,8D.U【答案】A【详解】由题意可得∁U N =2,4,8 ，则M ∪∁U N =0,2,4,6,8 .故选：A .3.如图，网格纸上绘制的是个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积()A.24 B.26C.28D.30【答案】D【详解】如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=3，点H ,I ,J ,K 为所在棱上靠近点B 1,C 1,D 1,A 1的三等分点，O ,L ,M ,N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1去掉长方体ONIC 1-LMHB 1之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：2×2×2 +4×2×3 -2×1×1 =30.故选：D .4.在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，若a cos B -b cos A =c ，且C =π5 ，则∠B =()A.π10B.π5C.3π10D.2π5【答案】C【详解】由题意结合正弦定理可得sin A cos B -sin B cos A =sin C ，即sin A cos B -sin B cos A =sin A +B =sin A cos B +sin B cos A ，整理可得sin B cos A =0，由于B ∈0,π ，故sin B >0，据此可得cos A =0,A =π2 ，则B =π-A -C =π-π2 -π5 =3π10.故选：C .5.已知f (x )=xe xe ax -1 是偶函数，则a =()A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】D【详解】因为f x =xe x e ax -1 为偶函数，则f x -f -x =xe x e ax -1 --x e -x e -ax -1 =x e x -e a -1 x e ax-1=0，又因为x 不恒为0，可得e x -e a -1 x =0，即e x =e a -1 x ，则x =a -1 x ，即1=a -1，解得a =2.故选：D .6.正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ⋅ED=()A.5B.3C.25D.5【答案】B【详解】方法一：以AB ,AD 为基底向量，可知AB =AD =2,AB ⋅AD=0，则EC =EB +BC =12 AB +AD ,ED =EA +AD =-12 AB+AD ，所以EC ⋅ED =12 AB +AD ⋅-12 AB +AD =-14AB 2+AD 2=-1+4=3；方法二：如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则E 1,0 ,C 2,2 ,D 0,2 ，可得EC =1,2 ,ED=-1,2 ，所以EC ⋅ED=-1+4=3；方法三：由题意可得：ED =EC =5 ,CD =2，在△CDE 中，由余弦定理可得cos ∠DEC =DE 2+CE 2-DC 22DE ⋅CE =5+5-42×5 ×5=35 ，所以EC ⋅ED =EC EDcos ∠DEC =5 ×5 ×35=3.故选：B .7.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域x ,y 1≤x 2+y 2≤4 内随机取一点A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为()A.18B.16C.14D.12【答案】C【详解】因为区域x ,y |1≤x 2+y 2≤4 表示以O 0,0 圆心，外圆半径R =2，内圆半径r =1的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4 的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角∠MON =π4，结合对称性可得所求概率P =2×π4 2π =14.故选：C.8.函数f x =x 3+ax +2存在3个零点，则a 的取值范围是()A.-∞,-2 B.-∞,-3 C.-4,-1 D.-3,0【答案】B【详解】f (x )=x 3+ax +2，则f (x )=3x 2+a ，若f x 要存在3个零点，则f x 要存在极大值和极小值，则a <0，令f (x )=3x 2+a =0，解得x =--a 3 或-a 3，且当x ∈-∞,--a 3 ∪-a 3,+∞时，f (x )>0，当x ∈--a 3 ,-a 3，f (x )<0，故f x 的极大值为f --a 3 ，极小值为f -a 3，若f x 要存在3个零点，则f --a 3>0f -a 3<0，即a 3 -a 3 -a -a 3+2>0-a 3 -a 3 +a -a 3+2<0 ，解得a <-3，故选：B .9.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为()A.56B.23C.12D.13【答案】A【详解】甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有6×6=36种，若甲、乙抽到的主题不同，则共有A 26=30种，则其概率为3036 =56，故选：A .10.已知函数f (x )=sin (ωx +φ)在区间π6 ,2π3 单调递增，直线x =π6 和x =2π3为函数y =f x 的图像的两条对称轴，则f -5π12 =()A.-3 2B.-12C.12D.3 2【答案】D【详解】因为f (x )=sin (ωx +φ)在区间π6 ,2π3单调递增，所以T 2 =2π3 -π6 =π2 ，且ω>0，则T =π，w =2πT =2，当x =π6 时，f x 取得最小值，则2⋅π6 +φ=2k π-π2，k ∈Z ，则φ=2k π-5π6 ，k ∈Z ，不妨取k =0，则f x =sin 2x -5π6，则f -5π12 =sin -5π3 =3 2，故选：D .11.已知实数x ,y 满足x 2+y 2-4x -2y -4=0，则x -y 的最大值是()A.1+322 B.4 C.1+32D.7【答案】C【详解】法一：令x -y =k ，则x =k +y ，代入原式化简得2y 2+2k -6 y +k 2-4k -4=0，因为存在实数y ，则Δ≥0，即2k -6 2-4×2k 2-4k -4 ≥0，化简得k 2-2k -17≤0，解得1-32 ≤k ≤1+32，故x -y 的最大值是32+1，法二：x 2+y 2-4x -2y -4=0，整理得x -2 2+y -1 2=9，令x =3cos θ+2，y =3sin θ+1，其中θ∈0,2π ，则x -y =3cos θ-3sin θ+1=32 cos θ+π4+1，∵θ∈0,2π ，所以θ+π4 ∈π4 ,9π4 ，则θ+π4 =2π，即θ=7π4时，x -y 取得最大值32 +1，法三：由x 2+y 2-4x -2y -4=0可得(x -2)2+(y -1)2=9，设x -y =k ，则圆心到直线x -y =k 的距离d =|2-1-k |2≤3，解得1-32 ≤k ≤1+32 故选：C .12.设A ，B 为双曲线x 2-y 29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是()A.1,1 B.-1,2 C.1,3 D.-1,-4【答案】D【详解】设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则AB 的中点M x 1+x 22 ,y 1+y 22，可得k AB =y 1-y 2x 1-x 2 ,k =y 1+y 22x 1+x 22=y 1+y 2x 1+x 2 ，因为A ,B 在双曲线上，则x 21-y 219 =1x 22-y 229=1 ，两式相减得x 21-x 22 -y 21-y 229 =0，所以k AB ⋅k =y 21-y 22x 21-x 22 =9.对于选项A ：可得k =1,k AB =9，则AB :y =9x -8，联立方程y =9x -8x 2-y 29=1，消去y 得72x 2-2×72x +73=0，此时Δ=-2×72 2-4×72×73=-288<0，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得k =-2,k AB =-92 ，则AB :y =-92 x -52，联立方程y =-92 x -52x 2-y 29=1 ，消去y 得45x 2+2×45x +61=0，此时Δ=2×45 2-4×45×61=-4×45×16<0，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得k =3,k AB =3，则AB :y =3x由双曲线方程可得a =1,b =3，则AB :y =3x 为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：k =4,k AB =94 ，则AB :y =94 x -74，联立方程y =94 x -74x 2-y 29=1 ，消去y 得63x 2+126x -193=0，此时Δ=1262+4×63×193>0，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；故选：D .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.已知点A 1,5 在抛物线C ：y 2=2px 上，则A 到C 的准线的距离为______.【答案】94【详解】由题意可得：5 2=2p ×1，则2p =5，抛物线的方程为y 2=5x ，准线方程为x =-54 ，点A 到C 的准线的距离为1--54 =94 .故答案为：94 .14.若θ∈0,π2 ,tan θ=12 ，则sin θ-cos θ=________．【答案】-5 5 【详解】因为θ∈0,π2，则sin θ>0,cos θ>0，又因为tan θ=sin θcos θ=12 ，则cos θ=2sin θ，且cos 2θ+sin 2θ=4sin 2θ+sin 2θ=5sin 2θ=1，解得sin θ=55 或sin θ=-55(舍去)，所以sin θ-cos θ=sin θ-2sin θ=-sin θ=-5 5.故答案为：-5 5.15.若x ，y 满足约束条件x -3y ≤-1x +2y ≤93x +y ≥7，则z =2x -y 的最大值为______.【答案】8【详解】作出可行域如下图所示：z =2x -y ，移项得y =2x -z ，联立有x -3y =-1x +2y =9 ，解得x =5y =2 ，设A 5,2 ，显然平移直线y =2x 使其经过点A ，此时截距-z 最小，则z 最大，代入得z =8，故答案为：8.16.已知点S ,A ,B ,C 均在半径为2的球面上，△ABC 是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则SA =____．【答案】2【详解】设△ABC 的外接圆圆心为O 1，半径为r ，则2r =AB sin ∠ACB =33 2=23 ，可得r =3 ，设三棱锥S -ABC 的外接球球心为O ，连接OA ,OO 1，则OA =2,OO 1=12SA ，因为OA 2=OO 21+O 1A 2，即4=3+14SA 2，解得SA =2.故答案为：2.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x i ，y i i =1,2,⋅⋅⋅,10 ．试验结果如下：试验序号i 12345678910伸缩率x i 545533551522575544541568596548伸缩率y i536527543530560533522550576536记z i =x i -y i i =1,2,⋅⋅⋅,10 ，记z 1,z 2,⋅⋅⋅,z 10的样本平均数为z，样本方差为s 2．(1)求z ，s 2；(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果z ≥2s 210，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)【答案】(1)z=11，s 2=61；(2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【详解】(1)x =545+533+551+522+575+544+541+568+596+54810=552.3，y =536+527+543+530+560+533+522+550+576+53610=541.3，z =x -y=552.3-541.3=11，z i =x i -y i 的值分别为:9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12，故s 2=(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)210=61(2)由(1)知:z =11，2s 210 =2 6.1 =24.4 ，故有z ≥2s 210,所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.18.记S n 为等差数列a n 的前n 项和，已知a 2=11,S 10=40．(1)求a n 的通项公式；(2)求数列a n 的前n 项和T n ．【答案】(1)a n =15-2n (2)T n =14n -n 2,n ≤7n 2-14n +98,n ≥8【详解】(1)设等差数列的公差为d ，由题意可得a 2=a 1+d =11S 10=10a 1+10×92d =40，即a 1+d =112a 1+9d =8 ，解得a 1=13d =-2 ，所以a n =13-2n -1 =15-2n ，(2)因为S n =n 13+15-2n2=14n -n 2，令a n =15-2n >0，解得n <152，且n ∈N *，当n ≤7时，则a n >0，可得T n =a 1 +a 2 +⋅⋅⋅+a n =a 1+a 2+⋅⋅⋅+a n =S n =14n -n 2；当n ≥8时，则a n <0，可得T n =a 1 +a 2 +⋅⋅⋅+a n =a 1+a 2+⋅⋅⋅+a 7 -a 8+⋅⋅⋅+a n =S 7-S n -S 7 =2S 7-S n =214×7-72 -14n -n 2 =n 2-14n +98；综上所述：T n =14n -n 2,n ≤7n 2-14n +98,n ≥8.19.如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ⊥BC ，AB =2，BC =22 ，PB =PC =6 ，BP ,AP ,BC 的中点分别为D ,E ,O ，点F 在AC 上，BF ⊥AO ．(1)求证：EF //平面ADO ；(2)若∠POF =120°，求三棱锥P -ABC 的体积．【答案】(1)证明见解析(2)263【详解】(1)连接DE ,OF ，设AF =tAC ，则BF =BA+AF =(1-t )BA+tBC ，AO =-BA +12BC ，BF ⊥AO ，则BF ⋅AO=[(1-t )BA +tBC ]⋅(-BA +12BC )=(t -1)BA 2+12tBC 2 =4(t -1)+4t =0，解得t =12，则F 为AC 的中点，由D ,E ,O ,F 分别为PB ,PA ,BC ,AC 的中点，于是DE //AB ,DE =12 AB ,OF //AB ,OF =12AB ，即DE //OF ,DE =OF ，则四边形ODEF 为平行四边形，EF //DO ,EF =DO ，又EF ⊄平面ADO ,DO ⊂平面ADO ，所以EF //平面ADO .(2)过P 作PM 垂直FO 的延长线交于点M ，因为PB =PC ,O 是BC 中点，所以PO ⊥BC ，在Rt △PBO 中，PB =6 ,BO =12BC =2 ，所以PO =PB 2-OB 2 =6-2=2，因为AB ⊥BC ,OF //AB ，所以OF ⊥BC ，又PO ∩OF =O ，PO ,OF ⊂平面POF ，所以BC ⊥平面POF ，又PM ⊂平面POF ，所以BC ⊥PM ，又BC ∩FM =O ，BC ,FM ⊂平面ABC ，所以PM ⊥平面ABC ，即三棱锥P -ABC 的高为PM ，因为∠POF =120°，所以∠POM =60°，所以PM =PO sin60°=2×32=3 ，又S △ABC =12 AB ⋅BC =12×2×22 =22 ，所以V P -ABC =13 S △ABC ⋅PM =13 ×22 ×3 =263.20.已知函数f x =1x+a ln 1+x ．(1)当a =-1时，求曲线y =f x 在点1,f x 处的切线方程．(2)若函数f x 在0,+∞ 单调递增，求a 的取值范围．【答案】(1)ln2 x +y -ln2=0；(2)a |a ≥12.【详解】(1)当a =-1时，f x =1x-1 ln x +1 x >-1 ，则f x =-1x 2 ×ln x +1 +1x -1 ×1x +1 ，据此可得f 1 =0,f 1 =-ln2，所以函数在1,f 1 处的切线方程为y -0=-ln2x -1 ，即ln2 x +y -ln2=0.(2)由函数的解析式可得f x =-1x2ln x +1 +1x +a ×1x +1 x >-1 ，满足题意时f x ≥0在区间0,+∞ 上恒成立.令-1x2ln x +1 +1x +a 1x +1 ≥0，则-x +1 ln x +1 +x +ax 2 ≥0，令g x =ax 2+x -x +1 ln x +1 ，原问题等价于g x ≥0在区间0,+∞ 上恒成立，则g x =2ax -ln x +1 ，当a ≤0时，由于2ax ≤0,ln x +1 >0，故g x <0，g x 在区间0,+∞ 上单调递减，此时g x <g 0 =0，不合题意;令h x =g x =2ax -ln x +1 ，则h x =2a -1x +1，当a ≥12 ，2a ≥1时，由于1x +1<1，所以h x >0,h x 在区间0,+∞ 上单调递增，即g x 在区间0,+∞ 上单调递增，所以g x >g 0 =0，g x 在区间0,+∞ 上单调递增，g x >g 0 =0，满足题意.当0<a <12 时，由h x =2a -1x +1 =0可得x =12a -1，当x ∈0,12a -1 时，h x <0,h x 在区间0,12a-1 上单调递减，即g x 单调递减，注意到g 0 =0，故当x ∈0,12a-1 时，g x <g 0 =0，g x 单调递减，由于g 0 =0，故当x ∈0,12a-1 时，g x <g 0 =0，不合题意.综上可知：实数a 得取值范围是a |a ≥12.21.已知椭圆C :y 2a 2 +x 2b2 =1(a >b >0)的离心率是53 ，点A -2,0 在C 上．(1)求C 的方程；(2)过点-2,3 的直线交C 于P ,Q 两点，直线AP ,AQ 与y 轴的交点分别为M ,N ，证明：线段MN 的中点为定点．【答案】(1)y 29 +x24=1(2)证明见详解【详解】(1)由题意可得b =2a 2=b 2+c 2e =c a =5 3，解得a =3b =2c =5 ，所以椭圆方程为y 29 +x24=1.(2)由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设PQ :y =k x +2 +3,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程y =k x +2 +3y 29 +x 24=1，消去y 得：4k 2+9 x 2+8k 2k +3 x +16k 2+3k =0，则Δ=64k 22k +3 2-644k 2+9 k 2+3k =-1728k >0，解得k <0，可得x 1+x 2=-8k 2k +3 4k 2+9 ,x 1x 2=16k 2+3k 4k 2+9，因为A -2,0 ，则直线AP :y =y 1x 1+2x +2 ，令x =0，解得y =2y 1x 1+2 ，即M 0,2y 1x 1+2,同理可得N 0,2y 2x 2+2，则2y 1x 1+2 +2y 2x 2+2 2 =k x 1+2 +3 x 1+2 +k x 2+2 +3 x 2+2=kx 1+2k +3 x 2+2 +kx 2+2k +3 x 1+2x 1+2 x 2+2=2kx 1x 2+4k +3 x 1+x 2 +42k +3 x 1x 2+2x 1+x 2 +4=32k k 2+3k 4k 2+9 -8k 4k +3 2k +3 4k 2+9 +42k +3 16k 2+3k 4k 2+9 -16k 2k +3 4k 2+9+4 =10836 =3，所以线段PQ 的中点是定点0,3 .(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sin θπ4 ≤θ≤π2 ，曲线C 2：x =2cos αy =2sin α(α为参数，π2 <α<π).(1)写出C 1的直角坐标方程；(2)若直线y =x +m 既与C 1没有公共点，也与C 2没有公共点，求m 的取值范围．【答案】(1)x 2+y -1 2=1,x ∈0,1 ,y ∈1,2 (2)-∞,0 ∪22 ,+∞【详解】(1)因为ρ=2sin θ，即ρ2=2ρsin θ，可得x 2+y 2=2y ，整理得x 2+y -1 2=1，表示以0,1 为圆心，半径为1的圆，又因为x =ρcos θ=2sin θcos θ=sin2θ,y =ρsin θ=2sin 2θ=1-cos2θ，且π4 ≤θ≤π2 ，则π2≤2θ≤π，则x =sin2θ∈0,1 ,y =1-cos2θ∈1,2 ，故C 1:x 2+y -1 2=1,x ∈0,1 ,y ∈1,2 .(2)因为C 2:x =2cos αy =2sin α (α为参数，π2 <α<π)，整理得x 2+y 2=4，表示圆心为O 0,0 ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线y =x +m 过1,1 ，则1=1+m ，解得m =0；若直线y =x +m ，即x -y +m =0与C 2相切，则m 2 =2m >0 ，解得m =22 ，若直线y =x +m 与C 1,C 2均没有公共点，则m >22 或m <0，即实数m 的取值范围-∞,0 ∪22 ,+∞.[选修4—5：不等式选讲]23.已知f x =2x +x -2(1)求不等式f x ≤6-x 的解集；(2)在直角坐标系xOy 中，求不等式组f x ≤y x +y -6≤0所确定的平面区域的面积．【答案】(1)[-2,2]；(2)6.【详解】(1)依题意，f (x )=3x -2,x >2x +2,0≤x ≤2-3x +2,x <0，不等式f (x )≤6-x 化为：x >23x -2≤6-x 或0≤x ≤2x +2≤6-x 或x <0-3x +2≤6-x ，解x >23x -2≤6-x ，得无解；解0≤x ≤2x +2≤6-x ，得0≤x ≤2，解x <0-3x +2≤6-x ，得-2≤x <0，因此-2≤x ≤2，所以原不等式的解集为：[-2,2](2)作出不等式组f (x )≤y x +y -6≤0 表示的平面区域，如图中阴影△ABC ，由y =-3x +2x +y =6 ，解得A (-2,8)，由y =x +2x +y =6 ,解得C (2,4)，又B (0,2),D (0,6)，所以△ABC 的面积S △ABC =12 |BD |×x C -x A =12 |6-2|×|2-(-2)|=8.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十七)第十七单元 平面解析几何综合测试(120分钟 150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.直线l:x+ay+1=0(a ∈R)在y 轴上的截距为-2,则直线l 的斜率为A.2B.-2C.12D.-12解析:依题知直线l 经过点(0,-2),所以-2a+1=0,得a=1,直线l 的方程为x+1y+1=0,所以直线l 的斜率k=-2.答案:B2.抛物线y 2=-16x 的焦点坐标为A.(0,-4)B.(4,0)C.(0,4)D.(-4,0)解析:抛物线y 2=-16x 的焦点在x 轴的负半轴上,其坐标为(-164,0),即(-4,0). 答案:D3.已知圆C:(x-2)2+(y-1)2=4的周长被双曲线E:x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平分,则双曲线E 的离心率为A. 2B. 3C. 52D.2 5解析:圆C:(x-2)2+(y-1)2=4的圆心为(2,1),根据题意可知,双曲线的一条渐近线通过圆心,即(2,1)在直线y=b ax 上,即a=2b,此时c= a 2+a 24= 52a,则e= 52. 答案:C4.已知曲线x 28-λ+y 24-λ=1(4<λ<8),则此曲线的焦点坐标为 A.(±2,0) B.(±2 ,0)C.(0,±2) D .(±12-2λ,0)解析:因为4<λ<8,则x28-λ+y24-λ=1可整理为x28-λ-y2λ-4=1,则c2=8-λ+λ-4=4,故焦点坐标为(±2,0).答案:A5.若圆O:x2+y2=4与圆C:x2+y2+4x-4y+4=0关于直线l对称,则直线l的方程是A.x+y=0B.x-y=0C.x-y+2=0D.x+y+2=0解析:圆x2+y2+4x-4y+4=0即(x+2)2+(y-2)2=4,则圆心C坐标为(-2,2),∵直线l过OC的中点(-1,1)且垂直于OC,k OC=-1,故直线l的斜率为1,直线l的方程为y-1=x+1,即x-y+2=0.故选C.答案:C6.若两个椭圆的离心率相同,则称此两个椭圆相似.已知椭圆的焦点在x轴上,与x 24+y23=1相似且过点(2,3),则此椭圆的长轴长为A.4B.6C.8D.16解析:椭圆x24+y23=1的离心率为12,设所求椭圆方程为x2a+y2b2=1(a>b>0),则ca=12,且4a2+9b2=1,又c2=a2-b2,解得a2=16,b2=12,故2a=8.答案:C7.已知圆C:(x-1)2+(y-3)2=2与直线l:x+3y-6=0相交于A,B两点,O为坐标原点,则直线OA与直线OB的倾斜角之和为A.60°B.90°C.120°D.150°解析:∵k OC=3,k AB=-3,∴k OC·k AB=-1,∴OC⊥AB,直线OA与直线OB关于直线OC对称,则直线OA与直线OB的倾斜角之和为直线OC倾斜角的两倍,即60°×2=120°.答案:C8.若椭圆的中心为坐标原点,过其焦点且垂直于长轴的直线与椭圆的交点围成一个正方形,则此类椭圆称为“漂亮椭圆”.类比“漂亮椭圆”,可推出“漂亮双曲线”的离心率为A.2B.5+12C.5 D.5+32解析:b2a=c,则b2=ac,c2-a2=ac,e2-e-1=0,故e=1+52.答案:B9.已知O是坐标原点,A,B是直线l:x-y+t=0与圆C:x2+y2=4的两个不同交点,若 AB≤ OA+OB,则实数t的取值范围是A.(-2 ,-2] B .[2,2 C.(-2 2,-2]∪[2,2 2)D.[-2 2,-2]∪[2,2 2]解析:AB =OB -OA ,则 OB -OA ≤|OA +OB |,两边同时平方整理得OA ·OB ≥0,则∠AOB ≤90°,又直线l:x-y+t=0的斜率为1,经过(-2,0),(0,2)或(0,-2),(2,0)时恰好满足∠AOB=90°,此时t=2或-2;当l:x-y+t=0与圆相切时是一种临界状态,此时t=2 或t=-2 ,数形结合可知,t ∈(-2 ,-2]∪[2,2 ).答案:C10.已知定点M(-1,0),N(1,0),P 是椭圆x 24+y 23=1上动点,则1 PM +4PN的最小值为A.2B.94C.3D.3+2解析:因为M(-1,0),N(1,0)是椭圆的焦点,则有 PM + PN =2a=4, 则1 PM +4 PN =14(1 PM +4 PN )( PM + PN )=14(5+ PN PM +4 PM PN )≥14(5+4)=94. 答案:B11.已知线段AB=4,其中点A,B 分别在x 轴与y 轴正半轴上移动,若点A 从(2 3,0)移动到(2,0),则AB 中点D 经过的路程为A.4B.8-4 3C.π3D.π2解析:点D 在圆x 2+y 2=4上,其中点D 沿圆周从( ,1)移动到(1, ),此时转过的圆心角为π3-π6=π6,故D 经过的路程为弧长π6×2=π3.答案:C12.函数f(x)=(x+2013)(x-2014)的图象与x 轴、y 轴有3个不同的交点,有一个圆恰经过这三个点,则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是A.(0,12)B.(0,1)C.(0, 20132014) D.(0,20142013) 解析:函数f(x)的图象与坐标轴的交点分别是A(-2013,0)、B(2014,0)、C(0,-2013×2014),经过这三点的圆与y 轴的另一个交点必在y 轴的正半轴上,设其坐标D(0,m),则根据相交弦定理可得|OA|×|OB|=|OC|×|OD|,即2013×2014=(2013×2014)×m,解得m=1,故另一个交点的坐标为(0,1).答案:B第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上. 13.若y=x 是双曲线x 2+y 2m =1的一条渐近线,则实数m= .解析:标准方程为x 2-y 2-m =1,则-m=1,即m=-1. 答案:-114.已知过点(1,1)且与2x+y+1=0平行的直线经过抛物线y 2=mx 的焦点,则m= .解析:2x+y+c=0过点(1,1),则c=-3,即2x+y-3=0,令y=0得x=32, 即焦点为(32,0),故m=4×32=6. 答案:615.过已知圆x 2+y 2-x+2y+14=0的圆心,且与直线x+y+1=0垂直的直线的一般方程为 .解析:已知圆的圆心坐标为(12,-1),所以经过已知圆的圆心,斜率为1的直线方程为y+1=x-12,即x-y-32=0. 答案:x-y-32=016.已知F 1,F 2是椭圆x 24+y 2=1的两个焦点,P 是椭圆上在第一象限内的点,当△F 1PF 2的面积为 32,则PF 1 ·PF 2 = .解析:由题知 PF 1 + PF 2 =4, F 1F 2 =2 3,则12×2 3 y P =32,则y P =12,则P( 3,12),F 1(-3,0),F 2( 3,0),PF 1 ·PF 2 =(-2 3,-1)·(0,-1)=1.答案:14三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)已知圆C 的方程为x 2+y 2-2x+4y=0,直线l:2x-y+t=0. (1)若直线l 与圆C 相切,求实数t 的取值;(2)若直线l 与圆C 相交于M,N 两点,且 MN = 求实数t 的取值.解析:圆C 的方程配方,得(x-1)2+(y+2)2=5,故圆心为C(1,-2),其半径r= . (1)因为直线l 与圆C 相切,所以圆心C 到直线l 的距离等于圆的半径, 即2+(-1)= 5,整理得|4+t|=5,解得t=1或t=-9.5分 (2)由(1)知,圆心到直线l 的距离d=|4+t |5,又 MN = 15,所以d= r 2-(|MN |2)2=( 5)-( 152)= 52, 故5= 52,整理得|4+t|=52,解得t=-32或t=-132.10分 18.(本小题满分12分)已知焦距为4的椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),F 2为椭圆C 的右焦点,A,B 是椭圆C 上关于原点对称的两点,M,N 分别是AF 2,BF 2的中点,以线段MN 为直径的圆经过原点O(0,0). (1)证明:点A 在定圆上;(2)若直线AB 的倾斜角为30°,求椭圆C 的离心率.解析:(1)因为椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的焦距为4,所以右焦点F 2(2,0).设A(x 0,y 0),则B(-x 0,-y 0),M(x 0+22,y 02),N(2-x 02,-y 02).因为线段MN 为直径的圆经过原点O(0,0),所以OM ·ON =0,所以4-x 024-y 024=0,即x 02+y 02=4,故点A 在以原点O(0,0)为圆心,半径为2的圆上.6分(2)因为直线AB 的倾斜角为300,所以直线AB 的斜率为 3,即直线AB 的方程为y=3x.因为A(x 0,y 0),所以有y 0=33x 0,又由(1)知x 02+y 02=4,解得x 02=3,y 02=1.又点A(x 0,y 0)在椭圆C 上,则x 02a 2+y 02b 2=1,即3a 2+1b 2=1,又a 2-b 2=4,解得a 2=6,a= ,故椭圆离心率e=c a = 6= 63.12分 19.(本小题满分12分)已知圆M 的方程为x 2+y 2-2x-2y-6=0,以坐标原点为圆心的圆N 内切于圆M. (1)求圆N 的方程;(2)圆N与x轴交于E、F两点,圆内的动点D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比数列,求DE·DF的取值范围.解析:圆M的方程可整理为(x-1)2+(y-1)2=8,故M(1,1),R=22.(1)圆N的圆心为(0,0),设其半径为r,故|MN|=12+12=,因为圆N内切于圆M,所以有|MN|=R-r,即2=22-r,解得r=2.所以圆N的方程为x2+y2=2.6分(2)不妨设E(m,0),F(n,0),且m<n.由x2+y2=2,y=0,解得x=2,y=0,x=-2,y=0,故E(-,0),F(,0).设D(x,y),由|DE|、|DO|、|DF|成等比数列,得|DO|2=|DE|×|DF|,即(x+2)2+y2×(x-2)2+y2=x2+y2,整理得x2-y2=1.由于点D在圆N内,故有x2+y2<2,x2-y2=1,由此得y2<12.而DE=(--x,-y),DF=(-x,-y),DE·DF=(-2-x)(2-x)+(-y)(-y)=x2+y2-2=2y2-1,所以DE·DF∈[-1,0).12分20.(本小题满分12分)已知点F为抛物线y2=4x的焦点,圆C以点F为圆心,且经过原点O(0,0).(1)求圆C的方程;(2)过点P(-1,0)作圆C的两条切线,与抛物线y2=4x分别交于点A,B和C,D,求经过A,B,C,D四点的圆C'的面积.解析:(1)由题知抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),则设圆C的方程为(x-1)2+y2=r2,又圆C经过原点O(0,0),则1=r2,故圆C的方程为(x-1)2+y2=1.5分(2)根据题意可知,圆C 与抛物线y 2=4x 都关于x 轴对称,且P(-1,0)在x 轴上,则A,B 与C,D 分别关于x 轴对称,且圆C'的圆心在x 轴上.设过点P(-1,0)与圆C 相切,且斜率为正的一条切线AB 的方程为y=k(x+1)(k>0),即kx-y+k=0,则有2k k +1=1,则k=33,即AB 方程为y=33(x+1),代入y 2=4x 整理得x 2-10x+1=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=10,x 1x 2=1, AB = (y 2-y 1)2+(x 2-x 1)2= 13(x 2-x 1)2+(x 2-x 1)2= 43(x 2+x 1)2-163x 1x 2=8 2. 又y 1+y 2=33(x 1+x 2)+2 33=4 3,即AB 的中点为(5,2 3),则线段AB 的中垂线方程为y-2 3=- 3(x-5),令y=0得x=7,即圆C'的圆心C'(7,0).则圆心C'(7,0)到直线AB 的距离d=|7× 33-0+ 33|(33)+1=4,故圆C'的半径R 2=(4 2)2+42=48,故圆C'的面积为48π.12分21.(本小题满分12分)已知A(-1,0)、B(1,0)为双曲线的左、右顶点,F(2,0)是其右焦点. (1)求双曲线的标准方程;(2)过点A 的直线l 与双曲线右支交于另一个点P(不同于B 点),且与在点B 处x 轴的垂线交于点D,求证:以BD 为直径的圆与直线PF 相切.解析:(1)由题知a=1,c=2,则b 2=22-12=3,故双曲线的标准方程为x 2-y 23=1.5分 (2)设P(m,n),则直线AP 的方程为y=n m +1(x+1),令x=1得D(1,2n m +1),则以线段BD 为直径的圆的圆心为M(1,n m +1),半径为|n m +1|. ①当m=2时,直线PF ⊥x 轴,此时圆心到直线PF 的距离为1,而圆的半径为|n3|.又点P(2,n)在椭圆上,则有4-n 23=1,则n 2=9,n=±3,则圆的半径|n 3|=1,则以线段BD 为直径的圆与直线PF 相切;②当m ≠2时,则直线PF 的方程为y=nm -2(x-2),即nx+(2-m)y-2n=0,则圆心M 到直线PF 的距离为d=|n +(2-m )nm +1-2n| n 2+(2-m)=|(2-m )nm +1-n|n 2+(2-m)=n 2+(2-m)|m +1|, 又P(m,n)在椭圆上,则有m 2-n 23=1,即n 2=3(m 2-1),则 n 2+(2-m)2= 3(m 2-1)+4-4m +m 2= (2m -1)2= 2m -1 , 则d=1-2m2m -1 ·|n m +1|=|n m +1|,故以线段BD 为直径的圆与直线PF 相切.综上,线段BD 为直径的圆与直线PF 相切.12分22.(本小题满分12分) 已知一动圆与直线x=-2相切,且经过椭圆x 29+y 25=1的右焦点F.(1)求动圆的圆心轨迹C 的方程;(2)经过点F 作两条互相垂直的直线分别交曲线C 及椭圆x 29+y 25=1于M,N,P,Q 四点,其中M,N 在曲线C 上,P,Q 在椭圆上,求四边形PMQN 的最小值.解析:(1)由椭圆x 2+y 2=1可知c 2=9-5=4,则椭圆的右焦点为F(2,0).由抛物线的定义可知,动圆的圆心轨迹为以F(2,0)为焦点,直线x=-2为准线的抛物线,故轨迹C 的方程为y 2=8x.4分(2)当直线MN 的斜率不存在时, MN =8.此时PQ 的长为椭圆的长轴长,PQ=6,则S PMQN =1MN · PQ =1×8×6=24.当直线MN 的斜率存在时,且设为k(k ≠0),则直线MN 的方程为y=k(x-2),则直线PQ 的方程为y=-1k(x-2).设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),P(x 3,y 3),Q(x 4,y 4). 由 y =k (x -2),y 2=8x消去y 整理得k 2x 2-(4k 2+8)x+4k 2=0,由抛物线定义可知MN = MF + NF =x 1+2+x 2+2=x 1+x 2+4=4k 2+8k2+4=8+8k2,由 y =-1k (x-2),x 29+y 25=1消去y 整理得(5k 2+9)x 2-36x+36-45k 2=0,PQ = 1+(-1k)2 (x 3+x 4)2-4x 3x 4= 1+1k2 (365k 2+9)2-436-45k 25k 2+9=30(1+k 2)5k 2+9,则S PMQN =12 MN · PQ =12·8(1+k 2)k 2·30(1+k 2)5k 2+9=120(1+k 2)25k 4+9k 2,令1+k 2=t,t>1,则S PMQN =120t 25t 2-t-4=1205-1t -4t 2,而5-1t -4t2∈(0,5),则S PMQN ∈(24,+∞). 综上,四边形PMQN 的最小值为24.12分。