2016.6-东城二模初三数学
北京2016年初三二模各区第24题专题
1各区24题1.1西城1.2东城1.3石景山1.4通州1.5朝阳24．如图，O是∠MAN的边AN上一点，以OA为半径作⊙O，交∠MAN的平分线于点D，DE⊥AM于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OE，若∠EDA=30º，AE=1，求OE的长．1.6顺义1.7房山AB1.8 丰台1.9 怀柔24. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BD 是∠ABC 的平分线，点O 在AB 上，⊙O 经过B ，D 两点，交BC 于点E ． (1)求证：AC 是⊙O 的切线； (2)若3BC=6,tan A=4,求CD 的长．1.10昌平24．阅读下列材料：根据北京市统计局、国家统计局北京调查总队及《北京市统计年鉴》数据，2004年本市常住人口总量约为1493万人，2013年增至2115万人，10年间本市常住人口增加了622万人. 如果按照数据平均计算，本市常住人口每天增加1704人.我们还能在网上获取以下数据：2010年北京常住人口约1962万人，2011年北京常住人口约2019万人，2014年北京常住人口为2152万人，2015年北京常住人口约2171万人.北京市近几年常住人口平稳增长，而增长的速度有所放缓. 其中，2011年比上一年增加2.91%，2012年比上一年增加2.53%，2013年比上一年增加2.19%，2014年比上一年增加1.75%. 相关人士认为，常住人口出现增速连续放缓的原因，主要与经济增速放缓相关. 2011年开始，随着GDP增速放缓，人口增速也随之放缓. 还有一个原因是就业结构发生变化，劳动密集型行业就业人员在2013年出现下降，住宿、餐饮业、居民服务业、制造业的就业人数下降.根据以上材料解答下列问题：（部分数据列出算式即可）（1）2011年北京市常住人口约为万人；（2）2012年北京市常住人口约为万人；（3）利用统计表或．统计图将2013—2015年北京市常住人口总量及比上一年增速百分比表示出来.。
2016年初中毕业学业考试第二次模拟试题卷答案
2016年中考第二次模拟考试数学参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C C C CC CD BB(每小题3分, 满分24分)11．8.05×10﹣812. 6 13. 答案不唯一．如∠A=∠C 或∠B=∠D 等 14. （4，4） 15. 200π 16.3217. ＞ 18. 答案不唯一，只要答案比 小就可以．如0，-1 三、解答题(每小题6分，满分12分)19.解：原式=2+4×21﹣3+3=4．(6分)20. 解：原式=÷=﹣•=﹣x+2 (4分)当x=2﹣时，原式=﹣2++2=． (2分)四、解答题(每小题8分，满分16分)21.（1）被调查的学生人数为10÷25%=40人； (2分) （2）喜欢足球的有40×30%=12人，喜欢跑步的有40﹣10﹣15﹣12=3人，条形统计图补充如右图： (4分) （3）全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多1200×=90人 (2分)22. 解：（1）根据题意及图知： ∠ACT=31°，∠ABT=22° ∵AT ⊥MN ∴∠A TC=90° 在Rt △ACT 中，∠ACT=31°∴tan31°=( 2分)可设AT=3x ，则CT=5x在Rt △ABT 中，∠ABT=22° ∴tan22°=(2分) 即：解得：∴，∴BT=BC+CT=m 253565=+ (2分) （2），，∴该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求． (2分) 五、解答题(每小题9分，满分18分)23.（1）设商场购进甲种矿泉水x 箱，购进乙种矿泉水y 箱，由题意得（3分）解得：． 答：略 （3分）（2）300×（36﹣24）+200×（48﹣33）=3600+3000=6600（元）．答：略 （3分） 24．证明：（1）∵DE ⊥AB ，BF ⊥CD ，∴∠AED=∠CFB=90°， ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD=BC ，∠A=∠C ，（3分） 在△ADE 和△CBF 中，，∴△ADE ≌△CBF （AAS ）； （2分）（2）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD ∥AB ，∴∠CDE+∠DEB=180°，∵∠DEB=90°，∴∠CDE=90°， （2分） ∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，则四边形BFDE 为矩形． （2分） （方法不唯一，其他方法仿照记分）六、综合探究题 (每小题10分，满分20分)25．（1）证明：由折叠性质知GH=CH; 又∵∠BGH=∠BCH=90°, ∴∠DGH=90°, ∵∠DGE=∠DBC=∠45°, ∴GD=GH, ∴CH=GH=GD （3分） (2) ∵BG=BC=1,BD=2, ∴CH=GD=BD-BG=12-, ∴12tan -==∠BCCHHBC （3分）(3)∵BC=1，EC=BF=，∴BE==．由折叠可得BP=BC=1，∠FNM=∠BNM=90°，∠EMN=∠CMN=90°．∵四边形BCEF 是矩形，∴∠F=∠FEC=∠C=∠FBC=90°，∴四边形BCMN 是矩形，∠BNM=∠F=90°，∴MN ∥EF ， ∴=，即BP•BF=BE•BN ， （2分） ∴1×=BN ，∴BN=，∴BC ：BN=1：=：1，∴四边形BCMN 是的矩形； （2分）26．解：（1）如图12(1)，连接AE ，由已知得：AE=CE=5，OE=3，在Rt △AOE 中，由勾股定理得，OA===4，∵OC ⊥AB ， ∴由垂径定理得，OB=OA=4，OC=OE+CE=3+5=8， ∴A （0，4），B （0，﹣4），C （8，0）.∵抛物线的顶点为C ，∴设抛物线的解析式为y=a （x ﹣8）2， 将点B 的坐标代入上解析的式，得64a=﹣4，故a=﹣，∴y=﹣（x ﹣8）2. （3分）（2）在直线l 的解析式y=x+4中，令y=0，得x+4=0，解得x=﹣，∴点D 的坐标为（﹣，0），当x=0时，y=4，∴点A 在直线l 上，在Rt △AOE 和Rt △DOA 中，∵=，=， ∴=，∵∠AOE=∠DOA=90°，∴△AOE ∽△DOA ，∴∠AEO=∠DAO ，∵∠AEO+∠EAO=90°，∴∠DAO+∠EAO=90°，即∠DAE=90°，因此，直线l 与⊙E 相切与A ． （3分） （3）如图2，过点P 作直线l 的垂线段PQ ，垂足为Q ，过点P 作直线PM 垂直于x 轴，交直线l 于点M ．设M （m ，m+4），P （m ，﹣m 2+m ﹣4），则PM=m+4﹣（﹣m 2+m ﹣4）=m 2﹣m+8=（m ﹣2）2+，当m=2时，PM 取得最小值，此时，P （2，﹣）， （2分）对于△PQM ，∵PM ⊥x 轴，∴∠QMP=∠DAO=∠AEO ， 又∠PQM=90°，∴△PQM 的三个内角固定不变，∴在动点P 运动的过程中，△PQM 的三边的比例关系不变，∴当PM 取得最小值时，PQ 也取得最小值，PQ 最小=PM 最小•sin ∠QMP=PM 最小•sin ∠AEO=×=，∴当抛物线上的动点P 的坐标为（2，﹣）时，点P 到直线l 的距离最小 ，其最小距离为． （2分）。
北京市东城区中考二模数学试题(word版含答案)(最新编写)
5
∴ BE= 3,AE= 4. ∴ EC=BC-BE =8-3=5 .
∵平行四边形 ABCD, ∴ CD=AB=5. ∴ △CED 为等腰三角形 .……2 分 ∴∠ CDE =∠ CED ．
xOy 中，已知二次函数
y
2
ax +2 ax
c 的图像与 y 轴交于
点 C (0,3) ，与 x 轴交于 A、 B 两点，点 B 的坐标为 (-3,0)
（ 1） 求二次函数的解析式及顶点 D 的坐标； （ 2） 点 M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线
1:2 的两部分，求出此时点 M 的坐标；
（ 3） 点 P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点 最大面积是多少？并求出 此时点 P 的坐标 .
（ 2） ∵ 正整数 m 满足 8 2m 2 ，
∴ m 可取的值为 1 和 2 ．
又∵ 二次函数 y (1 m) x2 (4 m)x 3 ，
∴ m =2 ．…… 4 分 ∴ 二次函数为 y -x2 2x 3 ．
∴ A 点、 B 点的坐标分别为（ -1,0）、（ 3,0）． 依题意翻折后的图象如图所示． 由图象可知符合题意的直线 y kx 3 经过点 A、B．
在 Rt CDE 中,CE 设⊙ O的半径为 r, CO 2 CE 2 EO 2
3. 4分 则在 Rt CE O中,
即 ( 6-r) 2 r 2 3, 解得 r
6 .
4
22．解： (1) i 4 1， i 2011 -i i 2012
5分
1…… 3 分
(2)方程 x2 2 x 2 0 的两根为
2016中考数学二模分类汇编(有答案)27题
代数综合1、（16朝阳二模）27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(9)6y x m x =-++-的对称轴是2x =．（1）求抛物线表达式和顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A ，求点A 的坐标；（3）抛物线22(9)6y x m x =-++-与y 轴交于点C ，点A 关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B ，两条抛物线在点A 、C 和点A 、B 之间的部分（包含点A 、B 、C ）记为图象M ．将直线22y x =-向下平移b （b>0）个单位，在平移过程中直线与图象M 始终有两个公共点，请你写出b 的取值范围_________．2、（16东城二模）27.二次函数21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7）. （1）求二次函数1C 的解析式；（2）若二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，试判断二次函数2C 的顶点是否在直线AB 上；（3）若将1C 的图象位于A ，B 两点间的部分（含A ，B 两点）记为G ，则当二次函数221y x x m =-+++与G 有且只有一个交点时，直接写出m 满足的条件.3、（16 西城二模）27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C1 : y 1 = ax 2 - 4ax - 4的顶点在x 轴上， 直线l : y 2 = －x + 5与x 轴交于点A.（1）求抛物线C 1 : y 1 = ax 2 - 4ax - 4的表达式及其顶点坐标；（2）点B 是线段OA 上的一个动点，且点B 的坐标为(t,0).过点B 作直线BD ⊥x 轴交直线l 于点D ， 交抛物线C 2 : y 3 = ax 2 - 4ax - 4 + t 于点E.设点D 的纵坐标为m ，点E.设点E 的纵坐标为n ， 求证：m ≥n（3）在（2）的条件下，若抛物线C 2 : y 3 = ax 2 - 4ax - 4 + t 与线段BD 有公共点，结合函数的图象，求t 的取值范围.4、（16海淀二模）27.已知：点(,)P m n 为抛物线24y ax ax b =-+（0a ≠）上一动点．（1） 1P （1，1n ），2P （3，2n ）为P 点运动所经过的两个位置，判断1n ，2n 的大小，并说明理由； （2） 当14m ≤≤时，n 的取值范围是14n ≤≤，求抛物线的解析式.5、（16昌平二模）27. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y=kx+b 的图象经过（1，0），（-2，3）两点，且与y 轴交于点A.（1）求直线y=kx+b 的表达式；（2）将直线y=kx+b 绕点A 沿逆时针方向旋转45º后与抛物线21:1(0)G y ax a =->交于B ，C 两点. 若BC ≥4，求a 的取值范围；（3）设直线y=kx+b 与抛物线22:1G y x m =-+交于D ，E 写出m 的取值范围.6、（16房山二模）27.如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知点P （-1,0），C ()11-2，，D （0，-3），A ，B 在x 轴上，且P 为AB 中点，1=∆CAP S .（1）求经过A 、D 、B 三点的抛物线的表达式．（2）把抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折，得到一个新的图象G ，点Q 在此新图象G 上，且APC APQ S S ∆∆=，求点Q 坐标． （3）若一个动点M 自点N （0,-1）出发，先到达x 轴上某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点D ，求使点M 运动的总路程最短的点E 、点F 的坐标．7、（16石景山二模）27．已知关于x 的方程()021222=-+-+m m x m x ． （1）求证：无论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）抛物线()m m x m x y 21222-+-+=与x 轴交于()0,1x A ，()0,2x B 两点，且210x x <<，抛物线的顶点为C ，求△ABC 的面积；（3）在（2）的条件下，若m 是整数，记抛物线在点B ，C 之间的部分为图象G （包含B ，C 两点），点D 是图 象G 上的一个动点，点P 是直线b x y +=2上的一个动点，若线段DP 的最小值是55，请直接写出b 的值．8、（16顺义二模）27．已知关于x 的一元二次方程2(21)20x m x m -++=． （1）求证：不论m 为任何实数时，该方程总有两个实数根；（2）若抛物线2(21)2y x m x m =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 与点B 在y 轴异侧），且4AB =,求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，若抛物线2(21)2y x m x m =-++向上平移b 个单位长度后,所得到的图象与直线y x =没有交点，请直接写出b 的取值范围.9、（通州二模）27. 已知：二次函数c bx -x y ++=2的图象过点A （-1，0）和C （0，2）. （1）求二次函数的表达式及对称轴；（2）将二次函数c bx -x y ++=2的图象在直线y=1上方的部分沿直线y=1翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G ，点M （m ，1y ）在图象G 上，且0y 1≥，求m 的取值范围。
2016北京中考数学各区二模28题汇编(含答案)
1.(海淀二模） 已知：AB BC =,90ABC ∠=︒.将线段AB 绕点A 逆时针旋转α(090α︒<<︒）得到线段AD .点C 关于直线BD 的对称点为E ，连接AE ，CE 。
（1)如图, ①补全图形；②求AEC ∠的度数；(2）若AE =1CE =，请写出求α度数的思路.（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）2．(石景山二模)如图,正方形ABCD ，G 为BC 延长线上一点，E 为射线BC 上一点，连接AE ． (1）若E 为BC 的中点，将线段EA 绕着点E 顺时针旋转90°,得到线段EF ，连接CF ． ①请补全图形; ②求证:∠DCF =∠FCG ；（2）若点E 在BC 的延长线上,过点E 作AE 的垂线交∠DCG 的平分线于点M ，判断AE 与EM 的数量关系并证明你的结论．EGD CBAMABCDGE3.（顺义二模）已知:如图，90ACD ∠=︒，MN 是过点A 的直线,AC DC =，DB MN ⊥于点B ．图2图3图1ABCDNMABCDNMNMABCD（1）在图1中，过点C 作CE CB ⊥，与直线MN 于点E ，①依题意补全图形；②求证:BCE ∆是等腰直角三角形；③图1中,线段BD 、AB 、CB 满足的数量关系是 ； (2）当MN 绕A 旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，其它条件不变. 在图2中，线段BD 、AB 、CB 满足的数量关系是 ； 在图3中，线段BD 、AB 、CB 满足的数量关系是 ； （3）MN 在绕点A 旋转过程中,当30BCD ∠=︒，BD =则CB = ．4.（通州二模） 已知，在菱形ABCD 中,∠ADC=60°，点F 为CD 上任意一点（不与C 、D 重合）,过点F 作CD 的垂线，交BD 于点E ，连接AE 。
（1）①依愿意补全图1；②线段EF 、CF 、AE 之间的等量关系是 . （2）在图1中将ΔDEF 绕点D 逆时针旋转，当点F 、E 、C 在一条直线上(如图2）. 线段EF 、CE 、AE 之间的等量关系是 。
5.北京2016初三中考二模数学word版答案-东城
5.北京2016初三中考二模数学试题及答案word 版答案-东城 初三数学参考答案及评分标准 2016.6二、填空题（本题共18分，每小题3分）三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．计算：0112sin 60(3π)()4-︒-+.解：原式14+ …………4分 =3 …………5分18. 解： 22422a b a b a ab-++=224(2)(2)a b a a b a a b -++ =2a ba - …………3分 023a b=≠ ， ∴设2,3.a k b k == …………4分∴ 原式=-2 . …………5分 19. 证明： △ABD 和△BCE 为等边三角形， ∴∠ABD =∠CBE =60°，BA=BD ，BC=BE. …………2分∴∠ABD+∠ABC =∠CBE+∠ABC ，即∠CBD =∠ABE. …………3分∴△CBD ≌△EBA.（SAS ） …………4分∴AE=CD. …………5分20.解：设打折前一件商品A 的价格为x 元，一件商品B 的价格为y 元. …………1分依据题意，得631083494x y x y +=⎧⎨+=⎩. …………3分 解得：1016x y =⎧⎨=⎩. …………4分 所以5×10+4×16-86=28（元） 答：比打折前节省了28元. …………5分 21. 满足条件的所有图形如图所示：…………5分注意：画出一个给2分，二个给4分，三个给5分. 22.解：（1）∵矩形ABCD ，∴∠B =∠BAC =90°.∵EF ⊥AM ，∴∠AFE =∠B =∠BAD =90°.∴∠BAM +∠EAF =∠AEF+∠EAF =90°. ∴∠BAM =∠AEF . …………2分 （2）在Rt △ABM 中，∠B =90°，AB =4，cos ∠BAM =45， ∴AM =5.∵F 为AM 中点， ∴AF =52. ∵∠BAM =∠AEF ， ∴cos ∠BAM = cos ∠AEF =45. ∴sin ∠AEF =35.在Rt △AEF 中， ∠AFE =90°，AF =52，sin ∠AEF =35， ∴AE =256. ∴DE=AC-AE =6-256=116. …………5分 23.解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，点(10)(31)(33)A B C ，，，，，，∴BC =2.∴D （1,2）. ∵反比例函数my x=的图象经过点D ， ∴21m =. ∴2m =.∴2y x=. …………3分（2）233p x <<. …………5分 24.解：（1）172；133. …………2分25.（1）证明：连结BD .∵AB 是O 的直径， ∴90ADB ∠=︒.∴90DAB DBA ∠+∠=︒. ∵AB AC =，∴2ABD ABC ∠=∠，12AD AC =. ∵AF 为⊙O 的切线， ∴∠F AB =90°.∴90FAC CAB ∠+∠=︒. ∴FAC ABD ∠=∠.∴2.ABC CAF ∠=∠ …………2分⑵ 解：连接AE.∴∠AEB =∠AEC =90°.∵sin CAF ABD CAF CBD CAE ∠=∠=∠=∠=∠，∴sin sin ABD CAF ∠=∠=．∵90ABD AC ∠=︒=，∴AD 10sin ADAB ABD==∠=BC .∵90AEC AC ∠=︒=， ∴sin 2CE AC CAE =⋅∠=.∴1028BE BC CE =-=-=. …………5分26.解：（1）sin α=13， sin2α…………2分 （2）∵AC = cos α，BC =sin α，∴CD =AC BCAB⨯=sin cos αα⋅.∵∠DCB =∠A ，∴在Rt △BCD 中，BD =sin 2α.∴OD =12- sin 2α. ∴tan2α=CD OD =22sin cos 2sin cos 112sin sin 2αααααα⋅⋅=--. …………5分 27.解：（1）∵21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7），∴217164.b c b c =-+⎧⎨=++⎩，∴21.b c =-⎧⎨=-⎩，∴221y x x =--. …………2分（2）∵二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，∴22:21C y x x =-++. ∴2C 的顶点为（1,2）. ∵A （-1,2），B （4,7）,∴过A 、B 两点的直线的解析式：3y x =+. 令x =1，则y =4.∴2C 的顶点不在直线AB 上. …………4分（3）414m <≤或4m =-. …………7分28.解：【探究发现】：相等. …………1分 【数学思考】证明：在AC 上截取CG=CE ，连接GE. ∵∠ACB =90°,∴∠CGE =∠CEG =45°.∵AE ⊥EF ，AB ⊥BF ，∴∠AEF =∠ABF =∠ACB =90°,∴∠FEB +∠AEF =∠AEB =∠EAC +∠ACB. ∴∠FEB =∠EAC. ∵CA=CB ，∴AG=BE ，∠CBA =∠CAB =45°. ∴∠AGE =∠EBF =135°. ∴△AGE ≌△EBF .∴AE=EF . …………5分 【拓展应用】ABC S △：AEF S △=1：（222n n ++） …………7分29.解：（1）图象略；是. …………2分 （2）①2. …………4分②M （3,3）. …………6分…………8分。
北京市2016年各区中考二模汇编：直角三角形
北京市2016年各区中考二模汇编直角三角形一、直角三角形之基本性质1. 【2016年通州二模，第04题】将一副三角板如图放置，使点D 落在AB 上， 如果EC//AB ，那么∠DFC 的度数为 A. 45° B. 50° C. 60° D. 75°2. 【2016年西城二模，第13题】有一张直角三角形纸片，记作△ABC ，其中90B ∠=.按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形ADEC 中，若1165∠=，则2∠的度数为 °.3. 【2016年东城二模，第06题】如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，BD ⊥AC ，∠ABC =72°，则∠ABD 等于 A ． 18° B ． 36° C ． 54° D ． 64°4. 【2016年怀柔二模，第06题】如图，BC ⊥AE 于点C ，CD ∥AB ，∠B=55°，则∠1等于（）A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°ABDECF5. 【2016年房山二模，第06题】如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 两点在⊙O 上， 如果∠C ＝40°，那么∠ABD 的度数为 A ．40° B ．90° C ．80° D ．50°6. 【2016年石景山二模，第09题】如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，E ，使点A ，B ，D 在一 条直线上，且AD ⊥DE ，点A ，C ，E 也在一条直线上 且DE ∥BC ．如果BC=24m ，BD=12m ，DE=40m ，则 河的宽度AB 约为 A ．20mB ．18mC ．28mD ．30m7. 【2016年通州二模，第06题】如图，AB 为⊙O 的弦，半径OD ⊥AB 于点C ，如果AB=8，CD=2， 那么⊙O 的半径长为A. B. 3 C. 4 D. 58. 【2016年西城二模，第06题】 如图，是⊙Ｏ的一条弦，直径于点.若 则⊙Ｏ的半径为 A.15 B.13 C.12 D.109. 【2016年丰台二模，第06题】7AB CD AB⊥E 24,5,AB OE ==ECDB AABC DOAODC如图所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡角是30°，堤高BC =5m ，则坡面AB 的长度是A. 10mB. 10mC. 15mD. 5m10. 【2016年怀柔二模，第08题】如图，在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角为α度，AC=7米， 则树高BC 为A ．7sin α米B ．7cos α米C ．7tan α米D ．（7+α）米11. 【2016年海淀二模，第07题】如图，A ，B ，C ，D 为⊙O 上的点， AB OC ⊥于点E ，若=30CDB ∠︒，2OA =，则AB 的长为 A ．3 B ．23 C ．2D ．412. 【2016年顺义二模，第14题】如图，在ABC △中，9040C CAB ∠=∠=°，°．按以下步骤作图：①以点A 为圆心，小于AC 的长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点E 、F ；②分别以点E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧相交于点G ；③作射线AG 交BC 边于点D ．则ADC ∠的度数为___________．13. 【2016年昌平二模，第12题】如下图，小慧与小聪玩跷跷板，跷跷板支架EF 的高为0.4米，E 是AB 的中点，那么小慧能将小聪翘起的最大高度BC 等于 米.338题图EBCOADGFAB C D ECFB E A14. 【2016年朝阳二模，第12题】如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，若OB 的长为10，4sin 5BOD ∠=， 则AB 的长为________．15. 【2016年昌平二模，第13题】如右图，⊙O 的直径AB ⊥弦CD ，垂足为点E ，连接AC ，若CD=∠A =30º，则⊙O 的半径为 ．16. 【2016年顺义模，第16题】如图，为了使电线杆稳固的垂直于地面，两侧常用拉紧的钢丝绳索固定，由于钢丝绳的交点E 在电线杆的上三分之一处，所以知道BE 的高度就可以知道电线杆AB 的高度了．要想得到BE 的高度，需要测量出一些数据，然后通过计算得出.请你写出计算AB .二、直角三角形与多边形17. 【2016年西城一模，第23题】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和. （1）求反比例函数和一次函数的表达式； xOy 1ky x=2y ax b =+()1,3A ()3,B m -1ky x=2y ax b =+DAEBC（2）点是坐标平面内一点，轴，交直线于点，连接.若，求点的坐标.18. 【2016年石景山二模，第20题】如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 在边AB 上，且DB =BC ，过点D 作EF ⊥AC 于E ，交CB 的延长线于点F ．求证：AB=BF ．19. 【2016年通州二模，第28题】已知，在菱形ABCD 中，∠ADC=60°，点F 为CD 上任意一点（不与C 、D 重合），过点F 作CD 的垂线，交BD 于点E ，连接AE. （1）①依愿意补全图1；②线段EF 、CF 、AE 之间的等量关系是 。
东城区初三二模数学试卷及答案.doc
北京市东城区2012--2013学年第二学期初三综合练习（二） 数 学 试 卷 2013.6学校 班级 姓名 考号一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1. 3的相反数是 A ． 3-B ．3C ．13 D ． 13-2. 太阳的半径大约是696 000千米，用科学记数法可表示为A ．696×103千米 B ．6.96×105千米 C ．6.96×106千米 D ．0.696×106千米 3．下列四个立体图形中，主视图为圆的是A B C D 4．已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =α，AC =3，那么AB 的长为 A.3sin α B.3cos αC.αsin 3D.αcos 35. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得朝上一面的点数为3的倍数的概率为 A ．16B ．14C ．13D ．126. 若一个多边形的内角和等于720︒，则这个多边形的边数是 A ．5B ．6C ．7D ．87. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是 A ．1.65，1.70 B ．1.70，1.70C ．1.70，1.65D ．3，48. 如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O 的半径为1，动直线AB 与x 轴交于点(,0)P x ，直线AB 与x 轴正方向夹角为45︒，若直线AB 与⊙O 有公共点，则x 的取值范围是A ．11x -≤≤B ．x <<C ．0x ≤≤D ．x ≤≤二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9. 在函数23-=x y 中，自变量x 的取值范围是 ． 10. 分解因式：244mn mn m ++= ．11. 如图，已知正方形ABCD 的对角线长为形ABCD 沿直线EF 折叠，则图中折成的4个阴影三 角形的周长之和为 .12. 如图，∠ACD 是△ABC 的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1A CD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点n A . 设A θ∠=, 则1A ∠＝ ；n A ∠＝ . 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13. 计算：1012cos 45()(4-︒--π． 14. 解分式方程：211322x x x--=--． 15. 已知：如图，点E ，F 分别为□ABCD 的边BC ，AD 上的点，且12∠=∠. 求证：AE=CF .16. 已知2410x x -+=，求2(1)64x x x x-+--的值.17. 列方程或方程组解应用题：我国是一个淡水资源严重缺乏的国家，有关数据显示，中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的15，中、美两国人均淡水资源占有量之和为 13 800m 3，问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少（单位：m 3）？18. 如图，一次函数1y x =--的图象与x 轴交于点A ， 与y 轴交于点B ，与反比例函数ky x=图象的一个 交点为M （﹣2，m ）． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点P 是反比例函数ky x=图象上一点， 且2BOP AOB S S =△△，求点P 的坐标．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．某中学九（1）班同学为了解2013年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理.请解答以下问题：（1）把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整；（2）求该小区用水量不超过15吨的家庭占被调查家庭总数的百分比；（3）若该小区有1000户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过20吨的家庭大约有多少户？20． 已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E .(1）求证：AM =2CM ；（2）若12∠=∠，CD =ME 的值.21．如图，点A ，B ，C 分别是⊙O 上的点，∠B =60°，AC =3，CD是⊙O 的直径，P 是CD 延长线上的一点，且AP =AC ． （1）求证：AP 是⊙O 的切线； （2）求PD 的长．22. 阅读并回答问题：数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下：小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线.根据以上情境，解决下列问题：（1） 小聪的作法正确吗？请说明理由；（2） 请你帮小颖设计用刻度尺作AOB ∠平分线的方法.（要求：不与小聪方法相同，请画出图形，并写出画图的方法，不必证明）.五．解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知：关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m （m 为实数）. （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）求证：抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 总过x 轴上的一个定点；（3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m 有两个不相等的整数根时，把抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．24. 在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，E 是AB 边上一点，EF CE ⊥交AD 于点F ，过点E 作AEH BEC ∠=∠，交射线FD 于点H ，交射线CD 于点N . （1）如图1，当点H 与点F 重合时，求BE 的长；（2）如图2，当点H 在线段FD 上时，设BE x =，DN y =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）连结AC ，当以点E ，F ，H 为顶点的三角形与△AEC 相似时，求线段DN 的长.25．定义：P，Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a 与线段b的距离. 已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角坐标系中的四点.（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_____；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离是______ .（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，求线段BC与线段OA的距离d.（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，若线段BC的中点为M，直接写出点M随线段BC运动所形成的图形的周长.北京市东城区2012--2013学年第二学期初三综合练习（二）数学试卷参考答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题：（本题共30分，每小题5分） 13. 解：1012cos 45()(4π-︒--=2(4)214---分3=. ………5分14. 解：211322x x x -+=-- ………………1分 去分母得2113(2)x x -+=-解得6x =. ………………4分 经检验：6x =是原方程的根.所以原方程的根为6x =. ………………5分 15. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，∠B=∠D .…………………………2分 在△ABE 与△CDF 中，12.AB CD B D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，∴△ABE ≌△CDF .…………………………4分 ∴AE=CF .………………………………5分16. 解:2(1)64x x x x-+-- 2(1)(4)(6)=(4)x x x x x x ---+-22424=4x x x x-+-2410x x -+=，24=1x x ∴-- .22424124==23.41x x x x -+-+=---原式 ………………………………………5分17. 解：设中国人均淡水资源占有量为x m 3，美国人均淡水资源占有量为y m 3． 根据题意得：5,13800.y x x y =⎧⎨+=⎩……………………………………………2分解得：2300,11500.x y =⎧⎨=⎩ ……………………………………………4分答：中、美两国人均淡水资源占有量各为2 300m 3，11 500m 3．………………………5分 18．解: (1) ∵M （﹣2，m ）在一次函数1y x =--的图象上，∴ 211m =-=.∴ M （﹣2，1）.又M （﹣2，1）在反比例函数ky x=图象上， ∴2k =-. ∴2y x-=. ……........................3分 (2)由一次函数1y x =--可求(10)A -，，(0,1)B -.∴11122112AOB S OB OA ∆=⨯⨯⨯=⨯=. ∴21=BOP AOB S ∆∆=.设BOP ∆边OB 上的高位h ，则=2h . 则P 点的横坐标为2±. 把P 点的横坐标为2±代入2y x-=可得P 点的纵坐标为1. (2,1)P ∴-或(2,1)P -. ……5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1） 表格：从上往下依次是：12，0.08；图略； ……3分（2）68％；……4分 （3）120户. ……5分20．解：（1）∵四边形ABCD 是菱形．∴BC//AD .∴△∽△CFM ADM . ∴CF CMAD AM=. ∵F 为边BC 的中点，∴1122CF BC AD ==. ∴12CF CM AD AM ==. ∴2AM MC =. ……………………2分 （2）∵A B//DC ， ∴ 1=4∠∠. ∵1=2∠∠, ∴ 2=4∠∠. ∵ME ⊥CD ， ∴12CE CD =. ∵四边形ABCD 是菱形， ∴ 3=4∠∠. ∵F 为边BC 的中点， ∴12CF BC =. CF CE ∴=.在△CMF 和△CME 中，3=4∠∠，CF =CE ，CM 为公共边，∴△CMF ≌△CME ． ∴ =90CFM CEM ∠∠=︒. ∵2=34∠∠=∠, ∴2=3430∠∠=∠=︒.∴ME CE =.∵2CD CE ==,∴CE = ∴1ME =. ……………………………5分 21．解：（1）证明：连接OA ． ∵∠B =60°，∴∠AOC =2∠B =120°．又∵OA=OC ，∴∠ACP =∠CAO =30°．∴∠AOP =60°． ∵AP=AC ，∴∠P =∠ACP =30°． ∴∠OAP=90°，∴OA ⊥A P ．∴ AP 是⊙O 的切线． …………………2分 （2）解：连接AD ．∵CD 是⊙O 的直径，∴∠CAD =90°．∴AD =AC •tan30°=3． ∵∠ADC =∠B =60°，∴∠P AD =∠ADC ﹣∠P =60°﹣30°=30°．∴∠P =∠P AD ．∴PD=AD …………………5分22．解：（1）小聪的作法正确. …………………1分∵PM ⊥OM , PN ⊥ON ， OMP =∠ONP =90°.Rt △OMP 和Rt △ONP 中， ∵OP=OP ,OM=ON ，∴Rt △OMP ≌R t △ONP （HL ）.∴MOP NOP ∠=∠.OP 平分∠AOB . …………………2分 2）解：如图所示. …………………3分作法：①利用刻度尺在OA ，OB 上分别截取OG=OH .②连结GH ，利用刻度尺作出GH 的中点Q .③作射线OQ ，则OQ 为∠AOB 的平分线. …5分五．解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解：（1）22(2)4(1)m m m ∆=-+-=.∵方程有两个不相等的实数根，∴0≠m .……………………………………………………………………………1分 ∵01≠-m ，∴m 的取值范围是01m m ≠≠且.………………………………………………………2分（2）证明：令0=y 得，01)2()1(2=--+-x m x m . ∴)1(2)2()1(2)2(2-±--=-±--=m m m m m m x . ∴1)1(221-=--+-=m m m x ，11)1(222-=-++-=m m m m x . …………………………………4分 ∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0,1-），（0,11-m ）.∴无论m 取何值，抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 总过定点（1,0-）.……5分（3）∵1-=x 是整数 ∴只需11-m 是整数. ∵m 是整数，且01m m ≠≠且,∴2=m .…………………………………………………………………………6分 当2=m 时，抛物线为12-=x y ．把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为 861)3(22+-=--=x x x y .…………………………………………………7分24．解：（1）∵EF EC ⊥，∴90AEF BEC ∠+∠=︒.∵AEF BEC ∠=∠，∴45BEC ∠=︒.∵90B ∠=︒，∴BE BC =.∵3BC =，∴3BE =.…………………2分（2）过点E 作EG CN ⊥，垂足为点G .∴BE CG =.∵AB ∥CN ，∴AEH N ∠=∠，BEC ECN ∠=∠.∵AEH BEC ∠=∠，∴N ECN ∠=∠.∴EN EC =.∴22CN CG BE ==.∵BE x =，DN y =，4CD AB ==，∴()2423y x x =-≤≤.…………………4分（3）∵矩形ABCD ，∴90BAD ∠=︒.∴90AFE AEF ∠+∠=︒.∵EF EC ⊥ ，∴90AEF CEB ∠+∠=︒.∴AFE CEB ∠=∠.∴HFE AEC ∠=∠.当以点E ，F ，H 为顶点的三角形与AEC ∆相似时，ⅰ）若FHE EAC ∠=∠，∵BAD B ∠=∠，AEH BEC ∠=∠，∴FHE ECB ∠=∠ .∴EAC ECB ∠=∠.∴tan tan EAC ECB ∠=∠，∴BC BE AB BC =.∴94BE =.∴12DN =. ⅱ)若FHE ECA ∠=∠，如图所示，记EG 与AC 交于点O .∵AEH BEC ∠=∠，∴AHE BCE ∠=∠.∴ENC ECN ∠=∠.∵EN EC =，EG CN ⊥， ∴12∠=∠.∵AH ∥EG ，∴1FHE ∠=∠.∴2FHE ∠=∠.∴2ECA ∠=∠. ∴EO CO =.设3EO CO k ==，则4,5AE k AO k ==，∴85AO CO k +==. ∴58k =. ∴52AE =，32BE =. ∴1DN =. 综上所述，线段DN 的长为12或1. ………………7分25.解：（1）2 ………………4分（2）当24m ≤≤时，(22)d n n =-≤≤；当46m ≤≤时，2d =. ………………6分（3）16+4π. ………………8分。
2016年中考数学二模试卷(带答案)
2016年中考数学二模试卷一、选择题：本大题共12小题，每题3分，共36分．1．﹣8的立方根是（）A．2 B．2C．﹣D．﹣22．统计显示，2013年底某市各类高中在校学生人数约是11.4万人，将11.4万用科学记数法表示应为（）A．11.4×104 B．1.14×104 C．1.14×105 D．0.114×1063．函数中自变量x的取值范围是（）A．x≥2 B．x≥﹣2 C．x＜2 D．x＜﹣24．下列计算正确的是（）A．a2+a2=2a4 B．3a2b2÷a2b2=3abC．（﹣a2）2=a4D．（﹣m3）2=m95．抛物线y=﹣6x2可以看作是由抛物线y=﹣6x2+5按下列何种变换得到（）A．向上平移5个单位 B．向下平移5个单位C．向左平移5个单位 D．向右平移5个单位6．河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（）A．12米B．4米C．5米D．6米7．如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB 于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为（）A．4﹣π B．4﹣2πC．8+πD．8﹣2π8．按一定规律排列的一列数：，，，…其中第6个数为（）A．B．C．D．9．在一次体育达标测试中，九年级（3）班的15名男同学的引体向上成绩如下表所示：成绩（个）8 9 11 12 13 15人数 1 2 3 4 3 2这15名男同学引体向上成绩的中位数和众数分别是（）A．12，13 B．12，12 C．11，12 D．3，410．下列四个命题：①对角线互相垂直的平行四边形是正方形；②，则m≥1；③过弦的中点的直线必经过圆心；④圆的切线垂直于经过切点的半径；⑤圆的两条平行弦所夹的弧相等；其中正确的命题有（）个．A．1 B．2 C．3 D．411．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为（）A．2 B．4 C．2D．412．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题：每题3分，共24分．13．计算：（﹣）=．14．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n=．15．=．16．折叠矩形ABCD，使点D落在BC边上的点F处，若折痕AE=5，tan∠EFC=，则BC=．17．如图，Rt△A′BC′是由Rt△ABC绕B点顺时针旋转而得，且点A、B、C′在同一条直线上，在Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=2，AB=4，则斜边AB旋转到A′B所扫过的扇形面积为．18．关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围是．19．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E=．20．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△ABE≌△DCF；②；③DP2=PH•PB；④．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共60分．21．（8分）某校课题研究小组对本校九年级全体同学体育测试情况进行调查，他们随即抽查部分同学体育测试成绩（由高到低分A、B、C、D四个等级），根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图．请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：（1）该课题研究小组共抽查了名同学的体育测试成绩，扇形统计图中B级所占的百分比b=，D级所在小扇形的圆心角的大小为；（2）请直接补全条形统计图；（3）若该校九年级共有600名同学，请估计该校九年级同学体育测试达标（测试成绩C级以上，含C级）的人数．22．（8分）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45°方向，求此时灯塔B到C处的距离．23．（12分）杰瑞公司成立之初投资1500万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本60元．按规定，该产品售价不得低于100元/件且不得超过180元/件，该产品销售量y（万件）与产品售价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）第一年公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或者亏损最小时的产品售价；（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利达1340万元？若能，求出第二年产品售价；若不能，请说明理由．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE、AE、CD，若∠AEC=∠ODC．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）若AB=5，BC=4，求线段CD的长．25．（12分）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA匀速移动，当△DEF的顶点D 移动到AC 边上时，△DEF 停止移动，点P 也随之停止移动，DE 与AC 相交于点Q ，连接PQ ，设移动时间为t （s ）（0＜t ＜4.5）． 解答下列问题：（1）当t 为何值时，点A 在线段PQ 的垂直平分线上？（2）连接PE ，设四边形APEC 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式，是否存在某一时刻t ，使面积y 最小？若存在，求出y 的最小值；若不存在，说明理由； （3）是否存在某一时刻t ，使P 、Q 、F 三点在同一条直线上？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．26．（12分）如图所示，抛物线y=ax 2+c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （﹣2，0），B （﹣1，﹣3）． （1）求抛物线的解析式；（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A ，B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD =4S △ABM 成立，求点P 的坐标．2016年内蒙古包头市昆都仑区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题3分，共36分．1．﹣8的立方根是（）A．2 B．2C．﹣D．﹣2【考点】立方根．【分析】直接利用立方根的定义分析得出答案．【解答】解：﹣8的立方根是：﹣2．故选：D．【点评】此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．2．统计显示，2013年底某市各类高中在校学生人数约是11.4万人，将11.4万用科学记数法表示应为（）A．11.4×104 B．1.14×104 C．1.14×105 D．0.114×106【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：11.4万=1.14×105，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．函数中自变量x的取值范围是（）A．x≥2 B．x≥﹣2 C．x＜2 D．x＜﹣2【考点】函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．【解答】解：依题意，得x+2≥0，解得x≥﹣2，故选B．【点评】注意二次根式的被开方数是非负数．4．下列计算正确的是（）A．a2+a2=2a4 B．3a2b2÷a2b2=3abC．（﹣a2）2=a4D．（﹣m3）2=m9【考点】整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．【分析】分别利用合并同类项法则以及单项式除以单项式运算法则和积的乘方运算法则化简，进而判断得出答案．【解答】解：A、a2+a2=2a2，故此选项错误；B、3a2b2÷a2b2=3，故此选项错误；C、（﹣a2）2=a4，正确；D、（﹣m3）2=m6，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了合并同类项以及单项式除以单项式运算和积的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．抛物线y=﹣6x2可以看作是由抛物线y=﹣6x2+5按下列何种变换得到（）A．向上平移5个单位 B．向下平移5个单位C．向左平移5个单位 D．向右平移5个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先得到两个抛物线的顶点坐标，然后根据顶点坐标判断平移的方向和单位长度．【解答】解：∵y=﹣6x2+5的顶点坐标为（0，5），而抛物线y=﹣6x2的顶点坐标为（0，0），∴把抛物线y=﹣6x2+5向下平移5个单位可得到抛物线y=﹣6x2．故选B．【点评】本题考查了抛物线的几何变换：抛物线的平移问题可转化为其顶点的平移问题，抛物线的顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a≠0），则抛物线的顶点坐标为（h，k）．6．河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（）A．12米B．4米C．5米D．6米【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据迎水坡AB的坡比为1：，可得=1：，即可求得AC的长度，然后根据勾股定理求得AB的长度．【解答】解：Rt△ABC中，BC=6米，=1：，∴AC=BC×=6，∴AB===12．故选A．【点评】此题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形解直角三角形并且熟练运用勾股定理是解答本题的关键．7．如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB 于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为（）A．4﹣π B．4﹣2πC．8+πD．8﹣2π【考点】扇形面积的计算；切线的性质．【分析】根据圆周角定理可以求得∠A的度数，即可求得扇形EAF的面积，根据阴影部分的面积=△ABC的面积﹣扇形EAF的面积即可求解．【解答】解：△ABC的面积是：BC•AD=×4×2=4，∠A=2∠EPF=90°．则扇形EAF的面积是：=π．故阴影部分的面积=△ABC的面积﹣扇形EAF的面积=4﹣π．故选A．【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，正确求得扇形的圆心角是解题的关键．8．按一定规律排列的一列数：，，，…其中第6个数为（）A．B．C．D．【考点】算术平方根．【分析】观察这列数，得到分子和分母的规律，进而得到答案．【解答】解：根据一列数：，，，可知，第n个数分母是n，分子是n2﹣1的算术平方根，据此可知：第六个数是，故选C．【点评】此题考查了数字的变化类，从分子、分母两个方面考虑求解是解题的关键，难点在于观察出分子的变化．9．在一次体育达标测试中，九年级（3）班的15名男同学的引体向上成绩如下表所示：成绩（个）8 9 11 12 13 15人数 1 2 3 4 3 2这15名男同学引体向上成绩的中位数和众数分别是（）A．12，13 B．12，12 C．11，12 D．3，4【考点】众数；中位数．【分析】根据中位数与众数的定义，从小到大排列后，中位数是第8个数，众数是出现次数最多的一个，解答即可．【解答】解：第8个数是12，所以中位数为12；12出现的次数最多，出现了4次，所以众数为12，故选B．【点评】本题主要考查众数与中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．10．下列四个命题：①对角线互相垂直的平行四边形是正方形；②，则m≥1；③过弦的中点的直线必经过圆心；④圆的切线垂直于经过切点的半径；⑤圆的两条平行弦所夹的弧相等；其中正确的命题有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题与定理．【分析】利用正方形的判定方法、垂径定理及其推理、圆的有关性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；②，则m≥1，正确；③过弦的中点的且垂直于弦的直线必经过圆心，故错误；④圆的切线垂直于经过切点的半径，正确；⑤圆的两条平行弦所夹的弧相等，正确，正确的有3个，故选C；【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定方法、垂径定理及其推理、圆的有关性质等知识，难度不大．11．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为（）A．2 B．4 C．2D．4【考点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为3，1，可得出横坐标，即可求得AE，BE，再根据勾股定理得出AB，根据菱形的面积公式：底乘高即可得出答案．【解答】解：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数y=的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A，B横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=2，S=底×高=2×2=4，菱形ABCD故选D．【点评】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．12．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数得到b2﹣4ac＞0，加上a＜0，则可对②进行判断；利用OA=OC可得到A（﹣c，0），再把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，两边除以c则可对③进行判断；设A（x1，0），B（x2，0），则OA=﹣x1，OB=x2，根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，利用根与系数的关系得到x1•x2=，于是OA•OB=﹣，则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，而a＜0，∴＜0，所以②错误；∵C（0，c），OA=OC，∴A（﹣c，0），把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，∴ac﹣b+1=0，所以③正确；设A（x1，0），B（x2，0），∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，∴x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，∴x1•x2=，∴OA•OB=﹣，所以④正确．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab ＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题：每题3分，共24分．13．计算：（﹣）=﹣．【考点】分式的混合运算．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式=•=﹣•=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n=1．【考点】概率公式．【分析】根据白球的概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可．【解答】解：由题意知：，解得n=1．【点评】用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．=5．【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】分别根据数的开方法则、0指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：原式=2﹣4×+1+4=2﹣2+5=5．故答案为：5．【点评】本题考查的是实数的运算，熟知数的开方法则、0指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值及绝对值的性质是解答此题的关键．16．折叠矩形ABCD，使点D落在BC边上的点F处，若折痕AE=5，tan∠EFC=，则BC=10．【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】根据tan∠EFC=，设CE=3k，在RT△EFC中可得CF=4k，EF=DE=5k，根据∠BAF=∠EFC，利用三角函数的知识求出AF，然后在RT△AEF中利用勾股定理求出k，继而代入可得出答案．【解答】解：设CE=3k，则CF=4k，由勾股定理得EF=DE==5k，∴DC=AB=8k，∵∠AFB+∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC=90°，∴∠BAF=∠EFC，∴tan∠BAF=tan∠EFC=，∴BF=6k，AF=BC=AD=10k，在Rt△AFE中，由勾股定理得AE===5k=5，解得：k=1，∴BC=10×1=10；故答案为：10．【点评】此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理；解答本题关键是根据三角函数值，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答，有一定难度．17．如图，Rt△A′BC′是由Rt△ABC绕B点顺时针旋转而得，且点A、B、C′在同一条直线上，在Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=2，AB=4，则斜边AB旋转到A′B所扫过的扇形面积为．【考点】扇形面积的计算．【分析】根据题意可知斜边AB旋转到A'B所扫过的扇形面积为扇形ABA′的面积，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：AB=4，∠ABA′=120°，所以s==π．【点评】主要考查了扇形面积的求算方法．面积公式有两种：（1）、利用圆心角和半径：s=；（2）、利用弧长和半径：s=lr．针对具体的题型选择合适的方法．18．关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围是m≥3．【考点】解一元一次不等式组．【分析】首先解第一个不等式，然后根据不等式组的解集即可确定m的范围．【解答】解：，解①得x＜3，∵不等式组的解集是x＜3，∴m≥3．故答案是：m≥3．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．19．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E=50°．【考点】切线的性质．【分析】连接DF，连接AF交CE于G，由AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，得到，由于EF是⊙O的切线，推出∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°根据外角的性质和圆周角定理得到∠EFG=∠EGF=65°，于是得到结果．【解答】解：连接DF，连接AF交CE于G，∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，∴，∵EF是⊙O的切线，∴∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°，∵∠FGD=∠FCD+∠CFA，∵∠DFE=∠DCF，∠GFD=∠AFC，∠EFG=∠EGF=65°，∴∠E=180°﹣∠EFG﹣∠EGF=50°，故答案为：50°．方法二：连接OF，易知OF⊥EF，OH⊥EH，故E，F，O，H四点共圆，又∠AOF=2∠ACF=130°，故∠E=180°﹣130°=50°【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．20．如图，在正方形ABCD 中，△BPC 是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于点E 、F ，连接BD 、DP ，BD 与CF 相交于点H ．给出下列结论： ①△ABE ≌△DCF ；②；③DP 2=PH •PB ；④．其中正确的是 ①③ ．（写出所有正确结论的序号）【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质．【分析】①根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠ABE=∠DCF ，∠A=∠ADC ，AB=CD ，证得△ABE ≌△DCF ，①正确；②由于∠FDP=∠PBD ，∠DFP=∠BPC=60°，推出△DFP ∽△BPH ，得到===tan∠DCF=，②错误；③由于∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC ，推出△DPH ∽△CPD ，得到=，PB=CD ，等量代换得到DP 2=PH •PB ，③正确；④设正方形ABCD 的边长是3，则PB=BC=AD=3，求得∠EBA=30°，得出AE 、BE 、EP 的长，由S △BED =S ABD ﹣S ABE ，S △EPD =S △BED ，求得=，④错误；即可得出结论．【解答】解：①∵△BPC 是等边三角形， ∴BP=PC=BC ，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°， ∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=BC=CD ，∠A=∠ADC=∠BCD=90° ∴∠ABE=∠DCF=30°， 在△ABE 与△CDF 中，，∴△ABE ≌△DCF （ASA ），故①正确；②∵PC=CD，∠PCD=30°，∴∠PDC=75°，∴∠FDP=15°，∵∠DBA=45°，∴∠PBD=15°，∴∠FDP=∠PBD，∵∠DFP=∠FCB=∠BPC=60°，∴△DFP∽△BPH，∴===tan∠DCF=，故②错误；③∵∠FDP=15°，∴∠PDH=30°∴∠PDH=∠PCD，∵∠DPH=∠DPC，∴△DPH∽△CDP，∴=，∴DP2=PH•CD，∵PB=CD，∴DP2=PH•PB，故③正确；④设正方形ABCD的边长是3，∵△BPC为正三角形，∴∠PBC=60°，PB=BC=AD=3，∴∠EBA=30°，∴AE=ABtan30°=3×=，BE===2，∴EP=BE﹣BP=2﹣3，S=S ABD﹣S ABE=×3×3﹣×3×=，△BEDS △EPD =S △BED =×=，∴==，故④错误；∴正确的是①③； 故答案为：①③．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定、等边三角形的性质、正方形的性质、三角形面积计算、三角函数等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质、三角形面积计算、三角函数是解决问题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共60分．21．某校课题研究小组对本校九年级全体同学体育测试情况进行调查，他们随即抽查部分同学体育测试成绩（由高到低分A 、B 、C 、D 四个等级），根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图．请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：（1）该课题研究小组共抽查了 80 名同学的体育测试成绩，扇形统计图中B 级所占的百分比b= 40% ，D 级所在小扇形的圆心角的大小为 18° ； （2）请直接补全条形统计图；（3）若该校九年级共有600名同学，请估计该校九年级同学体育测试达标（测试成绩C 级以上，含C 级）的人数．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据A 组人数及其百分比可得抽查总人数，将B 级人数除以总人数可得其百分比，用D 等级人数占被抽查人数的比例乘以360°即可；（2）总人数减去A 、B 、D 三等级人数可得C 等级人数，补全条形图即可；（3）用样本中C等级及其以上（即A、B、C三等级）人数占被抽查人数的比例乘以总人数600可得．【解答】解：（1）课题研究小组共抽查学生：20÷25%=80（名），b=×100%=40%，D级所在小扇形的圆心角的大小为×360°=18°；故答案为：80，40%，18．（2）C等级人数为：80﹣20﹣32﹣4=24（名），补全条形统计图如图：（3）600×=570（人），答：估计该校九年级同学体育测试达标（测试成绩C级以上，含C级）的约有570人．【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．22．海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45°方向，求此时灯塔B到C 处的距离．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】由已知可得△ABC中∠BAC=30°，∠BCA=45°且AC=10海里．要求BC的长，可以过B作BD⊥BC于D，先求出AD和CD的长．转化为运用三角函数解直角三角形．【解答】解：如图，过B点作BD⊥AC于D．∴∠DAB=90°﹣60°=30°，∠DCB=90°﹣45°=45°．设BD=x，在Rt△ABD中，AD==x，在Rt△BDC中，BD=DC=x，BC=，∵AC=5×2=10，∴x+x=10．得x=5（﹣1）．∴BC=•5（﹣1）=5（﹣）（海里）．答：灯塔B距C处海里．【点评】解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．23．（12分）（2016•包头二模）杰瑞公司成立之初投资1500万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本60元．按规定，该产品售价不得低于100元/件且不得超过180元/件，该产品销售量y（万件）与产品售价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）第一年公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或者亏损最小时的产品售价；（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利达1340万元？若能，求出第二年产品售价；若不能，请说明理由．【考点】二次函数的应用；一次函数的应用．【分析】（1）设y=kx+b，则由图象可求得k，b，从而得出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围100≤x≤180；（2）设公司第一年获利W万元，则可表示出W=﹣（x﹣180）2﹣60≤﹣60，则第一年公司亏损了，当产品售价定为180元/件时，亏损最小，最小亏损为60万元；（3）假设两年共盈利1340万元，则﹣x2+36x﹣1800﹣60=1340，解得x的值，根据100≤x≤180，则x=160时，公司两年共盈利达1340万元．【解答】解：（1）设y=kx+b，则由图象知：，解得k=﹣，b=30，∴y=﹣x+30，100≤x≤180；（2）设公司第一年获利W万元，则W=（x﹣60）y﹣1500=﹣x2+36x﹣3300=﹣（x﹣180）2﹣60≤﹣60，∴第一年公司亏损了，当产品售价定为180元/件时，亏损最小，最小亏损为60万元；（3）若两年共盈利1340万元，因为第一年亏损60万元，第二年盈利的为（x﹣60）y=﹣x2+36x﹣1800，则﹣x2+36x﹣1800﹣60=1340，解得x1=200，x2=160，∵100≤x≤180，∴x=160，∴每件产品的定价定为160元时，公司两年共盈利达1340万元．【点评】本题是一道一次函数的综合题，考查了二次函数的应用，还考查了用待定系数法求一次函数的解析式．24．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE、AE、CD，若∠AEC=∠ODC．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）若AB=5，BC=4，求线段CD的长．【考点】切线的判定．【分析】（1）利用圆周角定理结合等腰三角形的性质得出∠OCF+∠DCB=90°，即可得出答案；（2）利用圆周角定理得出∠ACB=90°，利用相似三角形的判定与性质得出DC的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵∠CEA=∠CBA，∠AEC=∠ODC，∴∠CBA=∠ODC，又∵∠CFD=∠BFO，∴∠DCB=∠BOF，∵CO=BO，∴∠OCF=∠B，∵∠B+∠BOF=90°，∴∠OCF+∠DCB=90°，∴直线CD为⊙O的切线；（2）解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠DCO=∠ACB，又∵∠D=∠B∴△OCD∽△ACB，∵∠ACB=90°，AB=5，BC=4，∴AC=3，∴=，即=，解得；DC=．【点评】此题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，得出△OCD∽△ACB 是解题关键．25．（12分）（2016•昆都仑区二模）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s 的速度沿BA匀速移动，当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动，DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由；（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．【考点】三角形综合题．【分析】（1）因为点A在线段PQ垂直平分线上，所以得到线段相等，可得CE=CQ，用含t的式子表示出这两个线段即可得解；（2）作PM⊥BC，将四边形的面积表示为S△ABC ﹣S△BPE即可求解；（3）假设存在符合条件的t值，由相似三角形的性质即可求得．【解答】解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，∴AP=AQ；∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°，∴∠EQC=45°；∴∠DEF=∠EQC；∴CE=CQ；由题意知：CE=t，BP=2t，∴CQ=t；∴AQ=8﹣t；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm；则AP=10﹣2t；∴10﹣2t=8﹣t；解得：t=2；答：当t=2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上；（2）如图1，过P作PM⊥BE，交BE于M，∴∠BMP=90°；在Rt△ABC和Rt△BPM中，sinB=，∴=，∴PM=，∵BC=6cm，CE=t，∴BE=6﹣t，∴y=S△ABC ﹣S△BPE=BC•AC﹣BE•PM=6×8﹣（6﹣t）×t=t2﹣t+24=（t﹣3）2+，∵a=，∴抛物线开口向上；∴当t=3时，y最小=；答：当t=3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2．（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上；如图2，过P作PN⊥AC，交AC于N∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°；∵∠PAN=∠BAC，∴△PAN∽△BAC，∴，∴，∴PN=6﹣tAN=8﹣t，∵NQ=AQ﹣AN，。
北京市东城区中考数学二模试题-人教版初中九年级全册数学试题
市东城区2015年中考数学二模试题学校 班级 某某 考号考 生 须 知8页，共五道大题，29道小题，满分120分.考试时间120分钟. 2.在试卷和答题卡上认真填写学校、班级、某某和考号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.考试结束，请将本试卷、答题卡一并交回. 一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1．如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中到原点距离相等的两个点是A ．点B 与点DB ．点A 与点CC ．点A 与点DD ．点B 与点C2.据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约为50 000 000 吨，将50 000 000用科学记数法表示为 A ． 5×107B ． 50×106C ． 5×106D ． 0.5×1083. 下列运算正确的是A ．236a a a ⋅=B ．336a a a +=C ．22a a -=-D ．326()a a -=4．甲、乙、丙、丁四名运动员参加了射击预选赛，他们射击的平均环数－x 及其方差2s 如下表所示．如果选出一个成绩较好且状态稳定的人去参赛，应选运动员甲 乙 丙 丁 －x7 8 8 7 2s1 1A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5. 如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是A ． 6B ． 5C ． 4D ． 36．已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a 个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从此布袋里任意摸出1个球，该球是红球的概率为13，则a 等于 A ．1B ． 2C ． 3D ． 47. 如图，将△ABC 沿BC 方向向右平移2cm 得到△DEF ，若△ABC 的周长为16cm ，则四边形ABFD 的周长为A ． 16cmB ． 18cmC ． 20cmD ． 22cm8．如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以B ，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点M ，N ；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ．若CD =AC ，∠B =25°，则∠ACB 的度数为A ．90°B ． 95°C ． 100°D ． 105°9．如果三角形的一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是 A ． 1，2，3 B ． 1，1， C ． 1，1， D ． 1，，210. 如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，动点P 从A 点出发，按A →B →C 的方向在AB 和BC 上移动，记PA =x ，点D 到直线PA 的距离为y ，则y 关于x 的函数图象大致是DBCAMNDBA ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．使2x -有意义的x 的取值X 围是．12．如图，AB //CD ，∠D = 27°，∠E =36°．则∠ABE 的度数是．13．一次函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限且经过(0,2)点.任写一个满足上述条件的一次函数的表达式是_________________.14．小刚用一X 半径为24cm 的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm ，那么这X 扇形纸板的面积是_________________2cm ．第12题图 第14题图15. 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝8，BD ＝6，以AB 为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为．16．如图，已知A 1，A 2，……，A n ，A n ＋1在x 轴上，且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝……＝A n A n ＋1＝1，分EDCBABAFCDE别过点A 1，A 2，……，A n ，A n ＋1作x 轴的垂线交直线y ＝x 于点B 1，B 2，……，B n ，B n ＋1，连接A 1B 2，B 1A 2，A 2B 3，B 2A 3，……，A n B n ＋1，B n A n ＋1，依次相交于点P 1，P 2，P 3，……，P n ，△A 1B 1P 1，△A 2B 2P 2，……，△A n B n P n 的面积依次为S 1，S 2，……，S n ，则S 1=，S n =．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17.计算：()11π3328sin 454-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭18．如图，点A ，F ，C ，D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB DE =，BC EF ∥，∠A =∠D . 求证：AF =DC.19．若实数a 满足2210a a --=，计算4(1)(1)2(2)a a a a +--+的值. 20. 已知关于x 的方程21(1)(1)04k x k x ---+=有两个相等的实数根，某某数k 的值． 21．A ，B 两个火车站相距360km ．一列快车与一列普通列车分别从A ，B 两站同时出发相向而行，快车的速度比普通列车的速度快54km/h ，当快车到达B 站时，普通列车距离A 站还有135km ．求快车和普通列车的速度各是多少？22．如图，一次函数1y k x b =+的图象经过A （0，﹣2），B （1，0）两点，与反比例函数2k y x=的图象在第一象限内的交点为M （m ，4）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在x 轴上是否存在点P ，使AM ⊥MP ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，矩形ABCD中，点O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO.若∠COB=60°，FO=FC.求证：（1）四边形EBFD是菱形；（2）MB:OE=3：2.24．以下是根据全国人力资源和社会保障部公布的相关数据绘制的统计图的一部分，请你根据图某某息解答下列问题：（1）2015年全国普通高校毕业生人数年增长率约是多少？（精确到0.1%）（2）2013年全国普通高校毕业生人数约是多少万人？（精确到万位）（3）补全折线统计图和条形统计图．25．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交⊙O的切线BE于点E，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若DF=3，DE=2．①求BEAD值；②求FAB26 .阅读材料如图1，若点P是⊙O外的一点，线段PO交⊙O于点A,则PA长是点P与⊙O上各点之间的最短距离.AOP AOPBC图1 图2 证明：延长PO 交⊙O 于点B ，显然PB>PA .如图2，在⊙O 上任取一点C （与点A ，B 不重合），连结PC ，OC .,,,,PO PC OC PO PA OA OA OC PA PC <+=+=∴<且∴PA 长是点P 与⊙O 上各点之间的最短距离.由此可以得到真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差.请用上述真命题解决下列问题．(1)如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =2，以BC 为直径的半圆交AB 于D ，P 是上的一个动点，连接AP ，则AP 长的最小值是．图3(2)如图4，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，点N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△MN A '，连接C A ',①求线段A ’M 的长度; ②求线段C A '长的最小值.五．解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．在平面直角坐标系中，抛物线2+3y ax bx =+()0≠a 与x 轴交于点A （-3,0）、B （1,0）图4两点， D 是抛物线顶点，E 是对称轴与x 轴的交点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点F 和点D 关于x 轴对称,点P 是x 轴上的一个动点，过点P 作PQ ∥OF 交抛物线于点Q ，是否存在以点O ,F ,P ,Q 为顶点的平行四边形？若存在，求出点P 坐标;若不存在，请说明理由.28. 如图1，在ABC Rt △中，90ACB ∠=︒，E 是边AC 上任意一点(点E 与点A ，C 不重合)，以CE 为一直角边作ECD Rt △，90ECD ∠=︒，连接BE ，AD . (1) 若CA CB =，CE CD =，①猜想线段BE ，AD 之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论； ②现将图1中的ECD Rt △绕着点C 顺时针旋转锐角α，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(2) 若8CA =，6CB =，3CE =，4CD =，ECD Rt △绕着点C 顺时针旋转锐角α，如图3，连接BD ，AE ，计算22BD AE +的值.图3EAC29．定义：如果一条直线能够将一个封闭图形的周长和面积平分，那么就把这条直线称作这个封闭图形的等分线。
2016北京市各区初三数学二模-第26题汇编包含答案
8 3
3
2
0
3 2
n…
求 m，n 的值；
（3）如下图，在平面直角坐标系 xOy xOy 中，描出了以上表中各对 y
对应值为坐标的点. 根据描出的点，画出该函数的图象；
5
4
（4）结合函数的图象，写出该函数的性质
3
（一条即可）：________________.
2 1
-3
-2
-1
O -1
12 345
x
-2
C
C 点横坐标为 x3．请你计算 1 1 与 1 的值，并判断
x3
x1 x2 x3
它们的数量关系．
y
B A
x1 O
x2 x
（2）在数学的世界里，有很多结论的形式是统一的，这也体现了数学的美．请你在下列两
组条件中选．择．一．组．，证明
1 x1
1 x2
与
1 x3
仍具有（1）中的数量关系．
①如图，∠APC=120º，PB 平分∠APC，直线 l 与 PA、
则 cosA A的邻边 AC
斜边
AB
3 2
.
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定
义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对. 如图 2，在△ ABC 中，AB=AC，顶角 A 的
正对记作 sadA，这时，sadA= 底边 BC . 容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相 腰 AB
26．（1）解： 由题意可得 x2 1 x 3 ． 2
∵ x1 x2 ，
∴
x1
3 2
，
x
2 2
．
…………………………………………………1 分
∴ 1 1 1．
2016-2017北京东城二中初三下3月月考
北京二中教育集团2016—2017学年度第二学期初三数学阶段检测（一） 第I 卷（选择题共30分）一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分）1．截止到2015年6月1日，北京市已建成34个地下调蓄设施，蓄水能力达到140000立方平米．将140000用科学记数法表示应为（） A ．41410⨯ B ．51.410⨯C ．61.410⨯D ．60.1410⨯【答案】B【解析】140000用科学计数法表示为51.410⨯．2．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A ．aB ．C ．D ．【答案】略（题干不全） 【解析】略3．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由轴对称图形的定义可知，选D ．4．如图，下面的几何体由三个大小相同的小立方块组成，则它的左视图是（）A ．B ．C ．D ．ba 320-3-2【答案】C（题干不全）【解析】根据题意得到几何体的左视图为，故选C．5．下列等式一定成立的是（）A．2510⨯=B C．3412a a a-=D a()a a【答案】C【解析】A．25710⨯=≠，所以A错误，a a a aB B错误，C．3412-=，所以C正确，()a aD||a=，所以D错误．6．如果一个多边形的内角是外角的3倍，那么这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【答案】D【解析】由题可知多边形内角与外角是互补的，设外角度数为x，则内角为3x，3180+=︒x xx=︒45︒÷︒，360458故选D．7．下列事件是随机事件的是（）A．购买一张彩票，中奖B．在一个标准大气压下，加热到100℃，水沸腾C．奥运会上，百米赛跑的成绩为5秒D．掷一枚普通骰子，朝上一面的点数是8【答案】A【解析】A．可能发生，也可能不发生，是随机事件，符合题意B．是确定事件中的不可能事件C．是确定事件中的不可能事件D．掷一枚普通骰子，朝上一面的点数是8，是不可能事件8．如图，一个量角器放在BAC ∠的上面，则BAC ∠=（）度A ．20B ．40C ．45D ．80【答案】A【解析】解：连接OB ， 由题意，得：40BOC ∠=︒，∴1202BAC BOC ∠=∠=︒．9．【重测】某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间，并绘制了如图所示的折线统计图，则在体育锻炼时间这组数据中，众数和中位数分别是（）A ．18，18B ．9，9C ．9，10D ．18，9【答案】B【解析】由图可知，把45个数据从小到大排列，中位数是第23位数，第23位是9，所以中位数是9，然后锻炼时间为9小时共有18人，人数最多，所以众数也是9．10．如图，正方形ABCD 中，4cm AB =，点E 、F 同时从C 点出发，以1cm /s的速度分别沿CB BA -、CD DA -运动，到点A 时停止运动．设运动时间为()t s ，AEF △的面积为2(cm )S ，则2(cm )S 与()t s 的函数关系可用图象表示为（）4090180O C BAFE DCBAA ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】当4o t ≤≤时ADF ABE CEF ABCD S S S S S =---正方形△△△ 111444(4)4(4)222t t t t =⋅-⋅⋅--⋅⋅--⋅⋅2142t t =-+当48t <≤，2211(8)(8)22S t t =⋅-=-，故选D ．二、填空题（每小题3分，共18分） 11．分解因式：325105x x x -+=__________ 【答案】25(1)x x -【解析】原式25(21)x x x =-+ 25(1)x x =-．12．【重测】如图，小军、小珠之间的距离为2.7m ，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m ，1.5m ，已知小军、小珠的身高分别为1.8m ，1.5m ，则路灯的高为__________m ．【答案】3【解析】如图：∵CD AB NW ∥∥， ∴ABE CDE ∽△△，ABF MNF ∽△△， ∴CD DE AB BE =，FN NW FB AB =， 即1.8 1.81.8AB BD =+，1.5 1.51.50.7AB BD =+-， 解得：3m AB =．13．【重测】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两：牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两”设每头牛值金x ，每只羊各值金y 两，可列方程组为__________． 【答案】5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩【解析】由题可知5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩14．抛物线25y x x =-当03x ≤≤时，对应的y 的取值范围是__________． 【答案】2504y -≤≤ 【解析】∵二次函数25y x x =-中，对称轴52x =， ∴当52x =时y 最小， 255522y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭254=-， 当0x =时，y 最大，MNFED CB A∴2504y -≤≤．15．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，⊙O 的半径为2，以圆心O 为顶点作MON ∠，使90MON ∠=︒，OM 、ON 分别与⊙O 交于点E 、F ，与正方形ABCD 的边交于点G 、H ，则由OE 、OF 、 EF及正方形ABCD 的边围成的图形（阴影部分）的面积S =__________． 【答案】2π-【解析】由题意可知BDC S S S =-阴扇△211π22242=⋅⋅-⨯⨯， 2π=-．16．下面是“经过已知圆上一点作这个圆的切线”的作图过程 已知：⊙O 及⊙O 上一点P求作：⊙O 的切线，使它经过P 点 作法：如图（1）连结并延长OP ，在OP 的延长线上取点A ，使PA OP =． （2）分别以O ，A 为圆心，大于OP 长为半径画弧．两弧交于点C ． （3）作直线PC ．所以直线PC 就是所求的切线．请回答：该作图的依据是__________________________________________________． 【答案】①与线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 ②两点确定一条直线③过半径外端并且与半径垂直的直线为圆的切线【解析】①与线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． ②两点确定一条直线．③过半径外端并且与半径垂直的直线为圆的切线．O N M O HGFE DCBA三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．(21π23tan 602-⎛⎫-+︒ ⎪⎝⎭【答案】5【解析】原式412=-+5．18．解不等式组4(1)710853x x x x ++⎧⎪⎨--<⎪⎩≤，并写出它的所有非负整数解． 【答案】0,1,2,3【解析】4(1)710 85 3x x x x ++⎧⎪⎨--<⎪⎩≤①②， 由①得2x -≥， 由②得72x <， ∴解集为722x -≤≤，则不等式组的所有非负整数解为0,1,2,3．19．已知230x x +-=，求代数式221112112x x x x x x -+⋅+-+++的值． 【答案】4【解析】由题可知230x x +-=，23x x +=，原式221112112x x x x x x -+=⋅+-+++ 2(1)(1)11(1)12x x x x x x +-+=⋅+-++1112x x x +=+-+ 2(1)(1)(1)(2)x x x x x +++-=-+2212x x x x ++=+- 3131+=-4=．20．如图，CE 平分ACB ∠且CE BD ⊥，DAB DBA ∠=∠，18AC =，8BD =，求BC 的长．【答案】10【解析】∵CE 平分ACB ∠且CE BD ⊥， ∴CD CB =（等腰三角形三线合一）， 又DAB DBA ∠=∠， ∴AD BD =， ∵18AC =8BD =， ∴BC AC AD =-AC BD =- 188=- 10=．21．已知关于x 的一元二次方程2(2)230m x mx m -+++=有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围．（2）当m 取满足条件的最大整数时，求方程的根． 【答案】（1）6m <且2m ≠（2）12x =-243x =-【解析】（1）由题意可得， 24b ac =-△2(2)4(2)(3)m m m =-⋅-+ 244m =-，∴2440m ->且20m -≠， ∴6m <且2m ≠-．（2）由（1）得符合条件的m 为5， 故原方程为231080x x ++=，(2)(34)0x x ++=，EDCBA解得22x =-243x =-．22．【重测】如图，在ABC △中，90ABC ∠=︒，过点B 作AC 的平行线交CAB ∠的平分线于点D ，过点D 作AB 的平行线交AC 于点E ，交BC 于点F ，连接BE ，交AD 于点G ． （1）求证：四边形ABDE 是菱形； （2）若14BD =，7cos 8GBH ∠=，求GH 的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）154【解析】（1）证明：∵ AC BD AB ED ∥∥， ∴四边形ABDE 是平行四边形， ∵AD 平分CAB ∠， ∴CAD BAD ∠=∠， ∵AC BD ∥， ∴CAD ADB ∠=∠，BAD ADB ∠=∠，∴AB BD =，∴四边形ABDE 是菱形． （2）解：∵90ABC ∠=︒， ∴90GBA ABG ∠+∠=︒， ∵AD BE ⊥，∴90GAB ABG ∠+∠=︒， ∴GAB GBH ∠=∠，∵7cos 8GBH ∠=， ∴7cos 8GAB ∠=，∴78AB AG AH AB ==， ∵四边形ABDE 是菱形，14BD =， ∴14AB BD ==，∴4916 4AH AG ==， ∴154GH AH AG =-=．ABCDEF GH23．【重测】已知反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点(1,4)A -．（1）k 的值为__________； （2）过点A 作直线AC 与函数ky x=的图象交于点B ，与x 轴交于点C ，且2AB BC =，求点B 的坐标． 【答案】（1）4k =- （2）43,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或(1,4)-【解析】解：由（1）可知4y x=-，①当直线AC 与图像交于第二象限时，如图(1,4)A -1112AB B C =，11AB N AC M ∽△△， 1112AB ANMN B C ==， ∴43MN =， ∴43,3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．②当直线AC 与图象交于第四象限时， 如图可知2222AB B C =， ∴222A B C =， ∴1AON △≌2B OQ △， ∴24B Q =， ∴(1,4)B -，综上所述B 的坐标为43,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或(1,4)-．24．阅读下列材料：中国是一个干旱缺水严重的国家．淡水资源总量为28000亿立方米，占全球水资源的6%，仅次于巴西、俄罗斯和加拿大，居世界第四位，但人均只有2200立方米，仅为世界平均水平的14、美国的15，在世界上名称121位，是全球13个人均水资源最贫乏的国家之一．扣除难以利用的洪水泾流和散布在偏远地区的地下水资源后，中国现实可利用的淡水资源量则更少，仅为11000亿立方米左右，人均可利用水资源量约为900立方米，并且其分布极不均衡．到20世纪末，全国600多座城市中，已有400多个城市存在供水不足问题，其中比较严重的缺水城市达110个，全国城市缺水总量为60亿立方米．我国的总用水量逐年增加，全国总用水量可分为农业用水量、工业用水量和生活用水量三部分．为了合理利用水资源，连续多年对水资源利用情况进行跟踪调查：2005年全年总用水量640亿3m ，其中3384m 为生活用水，20%为工业用水，其余为农业用水；2006年全年生活用水量为414亿3m ，占全年总用水量为60%，农业用水3103.5m ，其余为工业用水；2007年农业用水3108.5m ，工业用水点3182m ，生活用水3434.5m ； 根据以上材料，回答下列问题：（1）2006年我国全年总用水量为__________3m ．（2）选择统计表或统计图，将2005年至2007年这三年的全国各部分用水量和用水总量表示出来． 【答案】（1）690 （2）见解析【解析】（1）41460%690÷=．（2）2005年至2007年全国各部分用水量和总量单位（亿3m ）．25．如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 与⊙O 相切，切点分别为A 、C ，PC 的延长线与AB 的延长线相交与点D ．（1）求证：BC OP ∥；（2）若1OA =，2PA =，求BD 的长． 【答案】（1）见解析 （2）23【解析】（1）证明：连结OC ， ∵PA 、PC 与⊙O 相切， ∴OA PA ⊥，OC PC ⊥， ∴90PAO PCO ∠=∠=︒， 在Rt PAO △和Rt PCO △中， OP OPOA OC =⎧⎨=⎩， ∴Rt PAO △≌Rt PCD △，∴12AOP COP AOC ∠=∠=∠，∴OC OB =，POE DCBAOBC OCB ∠=∠，∴OCB OBC AOC ∠+∠=∠，∴12OCB OBC AOC ∠=∠=∠，∴AOP OBC ∠=∠， ∴//BC OP ．（2）解：在Rt PAO △中，=90PAO ∠︒1OA =2PA =，由勾股定理得：PO 作OE BC ⊥，垂足为E ，则，190 2PAO OEB BE BC ∠=∠=︒=，∵AOP EBD ∠=∠，90PAO BEO ∠=∠=︒，∴OAP BEO ∽△△， ∴OA BEOP OB=，121BC =，解：BC =， 由（1）知BC OP ∥， ∴DCB DPO ∽△△，∴OD BDOP BC =，=， ∴23BD =．26．对于钝角α，定义它的三角函数值如下：()sin sin 180αα=︒-，()cos cos 180αα=-︒-（1）求sin120︒，cos150︒的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是1:1:4，A ，B 是这个三角形的两个顶点，sin A ，cos B 是方程2410x mx --=的两个不相等的实数报，求m 的值及A ∠和B ∠的大小．【答案】（1，（2）0 30 120m A B =∠=︒∠=︒【解析】（1）sin120sin(180120)sin 60︒=︒-︒=︒=，cos150cos(180150)cos30︒=︒-︒=-︒=． （2）∴三角形的三个内角的比是1:1:4， ∴三个内角分别为30︒，30︒，120︒， ①当30A ∠=︒，120B ∠=︒时方程的两根为12，12-，将12代入方程得， 21141022m ⎛⎫⨯-⨯-= ⎪⎝⎭，解得0m =，经检验12-是方程2410x -=的根：∴0m =符合题意．②当120A ∠=︒，30B ∠=︒③当30A ∠=︒，30B ∠=︒时，两根为12将12代入方程得：214(1)02m ⎛⎫⨯-⨯-= ⎪⎝⎭， 解得0m =不是方程2410x -=的根，不符合题意， ∴综上所述0 30 120m A B =∠=︒∠=︒．27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222(0)y mx mx m =--≠与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ． （1）求点A ，B 的坐标；（2）设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在21x -<<-这一段位于直线l 的上方，并且在23x <<这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式．【答案】（1）(0,2) (1,0)A B - （2）22y x =-+ （3）2242y x x =--【解析】（1）当0x =时，2y =-，∴(02)-，△，抛物线的对称轴为直线212mx m-=-=， ∴(1,0)B ．（2）易得A 点关于对称轴直线1x =的对称点(2,2)A '-， 则直线l 经过A '、B ，设直线l 的解析式为()0y kx b k =+≠， 则220k b k b +=-⎧⎨+=⎩，解得22k b =-⎧⎨=⎩，所以直线l 的解析式为22y x =-+． （3）∵抛物线的对称轴为直线1x =，∴抛物线在23x <<这一段与在10x -<<这一段，关于1x =对称结合图像可以观察到抛物，线在1x x -<<-这一段在直线l 的上方， 在10x -<<这一段位于直线l 的下方， ∴抛物线与直线l 交点横坐标为1-， 当1x =-时，2(1)24y x =--+=， ∴422m m =+-， ∴2m =，∴抛物线的解析式为2242y x x =--．28．已知MAN ∠，AC 平分MAN ∠．（1）在图1中，若120MAN ∠=︒，90ABC ADC ∠=∠=︒，AB AD +__________AC （填写>，<，=）； （2）在图2中，若120MAN ∠=︒，180ABC ADC ∠+∠=︒，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由； （3）在图3中：①60MAN ∠=︒，180ABC ADC ∠+∠=︒，判断AB AD +与AC 的数量关系，并说明理由；②若(0180)MAN αα∠=︒<<︒，180ABC ADC ∠+∠=︒，则A B A D +=_________AC （用含α的三角函数表喜洋洋，直接写出结果，不必证明）．【答案】（1）二（2）仍然成立，证明见解析 （3）2cos2α⋅【解析】（1）二（2）如图，过C 作CE AM ⊥于E ，CF AN ⊥于F ， 则90CEA CFA ∠==︒，∵AC 平分MAN ∠120MAN ∠=︒， ∴60MAC NAC ∠=∠=︒， 又AC AC =， ∴ABC △≌AFC △， ∴AE AF =，CE CF =，在Rt CEA △中，60EAC ∠=︒， ∴30ECA ∠=︒， ∴2AC AE =，DE DA AE AC ++=，∵180ABC ADC ∠+∠=︒，180CDE ADC ∠+∠=︒，∴CDE CBF ∠=∠， 又CE CF =，CED CFB ∠=∠，∴CED △≌CFB △， ∴ED FB =，∴FB DA AF AC ++=， ∴AB AD AC +=．（3）理由，如图（2）方法同（2）可证．AGC △≌AHC △，AB AD AH AB AD +=++AH DG AD =++ AH AG =+图3图2图1ABCD MN AB CD MNNMDCB AMNF E D CBAA2AH =，在Rt AHC △中，cos2AHACα=， cos2AH AC α=⋅，2cos2AB AD AC α+=⋅⋅，29．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,3)A 、(6,3)B ，连结AB ．若对于平面内一点P ，线段AB 上都在点Q ，使得 1PQ ≤，则称点P 是线段AB 的“邻近点”．（1）判断点719,55D ⎛⎫⎪⎝⎭，是否线段AB 的“邻近点”____________（填“是”或“否”）；（2）若点(,)H m n 在一次函数1y x =-的图象上，且是线段AB 的“邻近点”，求m 的取值范围． （3）若一次函数y x b =+的图象上至少存在一个邻近点，接写出b 的取值范围．【答案】（1）是 （2）35m ≤≤（3）31b ≤【解析】（1）点D 是线段AB 的“邻近点”，∴1AD ==，∴719,55D ⎛⎫⎪⎝⎭是线段AB 的“邻近点”．（2）如图1：∵点(,)H m n 是线段AB 的“邻近点”，点(,)H m n 在直线1y x =-上，∴1n m =-，直线1y x =-与线段AB 交于(4,3)． ①当4m ≥时，有13n m =-≥， 又∵AB x ∥轴，∴此时点(,)H m n 到线段AB 的距离是3n -， ∴31O n -≤≤， ∴45m ≤≤．③当4m ≤时，有1n m =--， ∴3n ≤， 又∵//AB x 轴，∴此时点(,)H m n 到线段AB 的距离是3n -， ∴031n -≤≤， ∴34m ≤≤， 综上所述，35m ≤≤． （3）①如图2，有直线y x b =+可知145AN H ∠=︒， ∵1PH = ，∴1AN ∴=∴(12,3N ∴+，把横坐标2，纵坐标3代入直线y x b =+，得32b ++，∴1b ∴．②如图3，同理可得(163N ⋅-， 把2N 代入直线y x b =+中，得36b =+， ∴∴3b =，故b的取值范围为31b ≤．图2。
2016北京市各区初三数学二模 双曲线与直线综合问题归纳整理含答案
2016北京市各区初三数学二模 双曲线与直线综合问题归纳整理(西城2016二模) 23．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数xky =1的图象与一次函数2y ax b =+的图象交于点A （1，3）和(3)B m -，． （1）求反比例函数xky =1和一次函数2y ax b =+的表达式； （2）点C 是坐标平面内一点，BC ∥x 轴，AD ⊥BC 交直线BC 于点D ，连接AC ．若AC ，求点C 的坐标． 23．解：（1）∵反比例函数xky =1的图象与一次函数2y ax b =+的图象交于点A （1，3）和(3)B m -，．∴点A （1，3）在反比例函数xky =1的图象上， ∴3k =．∴反比例函数的表达式为13y x=．…………………………………………1分 ∵点(3)B m -，在反比例函数13y x=的图象上， ∴1m =-．……………………………………………………………………2分 ∵点A （1，3）和点(31)B --，在一次函数2y ax b =+的图象上，∴3,3 1.a b a b +=⎧⎨-+=-⎩解得1,2.a b =⎧⎨=⎩∴一次函数的表达式为22y x =+．…………………………………………3分（2）如图．∵BC ∥x 轴，∴点C 的纵坐标为1-．∵AD ⊥BC 于点D ， ∴∠ADC =90°，点D 的坐标为（1，1-）． ∴AD =4． ∵在Rt △ACD 中，222AC AD CD =+，且AC ，∴222)4CD =+． 解得2CD =．∴点C 1的坐标为（3，1-），点C 2的坐标为（1-，1-）．……………5分 综上可得，点C 的坐标为（3，1-）或（1-，1-）．评述:考点:考查双曲线以及直线的解析式,利用两点间的距离关系,逆向求点C 的坐标 方法:勾股定理,注意分类讨论思想. 问题:没有分类讨论.这类题目的考查比前几年难度加大,条件不直接,需要自己画图,是一道区分度较大的题目.(2016海淀二模)23．在平面直角坐标系xOy 中,直线1l ：12y x b =+与双曲线6y x =的一个交点为(,1)A m .（1）求m 和b 的值；（2）过(1,3)B 的直线交1l 于点D ，交y 轴于点E .若2BD BE =，求点D 的坐标. 23.解：（1）∵点)1,(m A 在双曲线xy 6=上， ∴6=m ．………………………1分 ∵点)1,6(A 在直线b x y +=21上， ∴2-=b ．………………………2分 （2）当点B 在线段DE 上时，如图1，过点D 作DP ⊥y 轴于P ，过点B 作BQ ⊥y 轴于Q ．可得EQB △∽EPD △． ∵BE BD 2=， ∴13BQ BE DP DE ==． ∵1BQ =， ∴3DP =． ∵点D 在直线1l 上，∴)213(-，的坐标为点D ．………………4分 当点B 在线段DE 的延长线上时，如图2， 同理，由BE BD 2=，可得点D 的坐标为图15(1)2--，．综上所述，点D 的坐标为)213(-，或5(1)2--，．…………… 5分(2016朝阳二模)23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数4y x=的图象 与正比例函数y =kx 的图象的一个交点为M （1，b ）． （1）求正比例函数y =kx 的表达式；（2）若点N 在直线OM 上，且满足MN=2OM ， 直接写出点N 的坐标． 23．解：（1）∵双曲线4y x=过点M （1，b ）， ∴4b =．……………………………………………………………………1分 ∵正比例函数y kx =的图象过点M （1，4），∴4k =．……………………………………………………………………2分 ∴正比例函数的表达式为4y x =．………………………………………3分 （2）（-1，-4），（3，12）．…………………………………………………5分 (2016顺义二模)23．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y x k =-+的图象与反比例函数4y x=-的图象交于点A （－4，n ）和点B ．（1）求k 的值和点B 的坐标；（2）若P 是x 轴上一点，且=AP AB ，直接写出点P 的坐标．23． 解：（1）把A （－4，n ）代入4y x=-中，得1n =， …………………....….1分把A （－4，1）代入y x k =-+中，得3k =- ……………….….…….2分解方程组3,4.y x y x =--⎧⎪⎨=-⎪⎩得4,1.x y =-⎧⎨=⎩ , 1,4.x y =⎧⎨=-⎩∴点B 的坐标是(1,4)- ……………………………………….…...…3分 （2）点P 的是坐标(3,0)或(11,0)- ……………………………….…...…5分(2016丰台二模)23. 已知反比例函数y ＝xk（k ≠0）的图象经过点A （－1，6）． （1）求k 的值；（2）过点A 作直线AC 与函数y ＝xk的图象交于点B ，与x 轴交于点C ， 且AB ＝2BC ，求点B 的坐标．(2016通州二模)22. 如图。
北京市东城区2016届九年级上期末数学试卷解析版
2015-2016学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷330分）分，每小题一、选择题（本题共2+3x+a=01a( ) 1xx的值为有一个根为﹣．若关于的，则方程A4 B2 C2 D4 ．﹣．．﹣．﹣2+2x+4( x ) 2y=的最大值为．二次函数﹣A3 B4 C5 D6 ．．．．3( )．下列图形中，是中心对称图形的为A1 B2 C3 D4 个个．．．个个．4423个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出．一只不透明的袋子中装有个黑球、( ) 个球，下列事件为必然事件的是A1 B1 个球是白球．至少有．至少有个球是黑球C2 D2 个球是白球．至少有．至少有个球是黑球5RtABCC=90BC=1AC=2cosA( ) °∠△的值为．在，若，则，中，DA C B2．．．．2+bx20y6y=xx轴的直线，则关于，．若二次函数的图象的对称轴是经过点（）且平行于2+bx=5( )x的解为的方程Ax=0x=4 Bx=1x=5 Cx=1x=5 Dx=1x=5 ，．﹣．，，．﹣，．21121122( )DB=3ABC7DEBCAD=6∥△的值为，，．如图，在，则中，DB CA．．．．8O3PABOPOP=4P=30°⊙∠，，延长线上的一点，连接．如图，，若的半径为，点是弦AB)( 的长为则弦．2 CAD2 B 2．．．．ADCDA=50B=30O9ABCCOAB∠∠°⊙°∠则如图，．点于点，，，的延长线交在，上，，)( 的度数为120 A70B90 C110 D°°°°．．．．C1ABCAB=ACBAC=120OADBBC10→△°∠→沿，点，是．如图，在的中点，点中，xyxCD1yB的．设点经过的路径长为与，图，若表示方向从中某条线段的长为运动到)( 21 中的函数关系的图象大致如图所示，则这条线段可能是图CDDAD ABD BOD C．．．．318分）二、填空题（本题共分，每小题111②①方程有两个相等的实二次项系数是．请你写出一个一元二次方程，满足条件：；__________．数根，此方程可以是22x+3212y=x3个单位长度后，得到的抛物．抛物线向上平移个单位长度，再向右平移﹣__________ ．线的解析式为13ABOABCAC=3BCCDOD⊙⊙点，，点，使与．已知，是相切于的一条直径，延长至CD=O__________ ⊙．，则若半径的长为AB14DEF的．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形小硬纸板来测量操场旗杆ADFDE 在同与地面保持平行，并使边高度，他们通过调整测量位置，使斜边与旗杆顶点DG=1.5DDE=0.5EF=0.25米，到旗杆的水米，一直线上，已知到地面的距离米，目测点__________DC=20米．平距离米，则旗杆的高度为152B1A22AOBO90AOB′△°△′，（，，（逆时针旋转已知，，将，．绕着点）得到）如图，__________ ．则图中阴影部分的面积为16 ．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图，过圆外一点作圆的切线．OP ⊙和点已知：PO ⊙的切线的求过点小涵的主要作法如下：1OPOPA ；，作线段如图，（）连结的中点2AOAOBC ⊙；于点（长为半径作圆，交）以为圆心，，3PBPC ．）作直线（和PBPC 就是所求的切线．所以和”“小涵的做法正确的．老师说：__________ ．请回答：小涵的作图依据是7217-26527728729分，第分，第分，第题，每小题三、解答题（本题共题分，第题8分）题2 1174cos45+tan60°°．﹣﹣（﹣．计算：）26x1=0 18x．﹣．解方程：﹣19ABCDBCBAD=CAB=6BD=4CD ∠△∠的长．．如图，，上一点，中，，求为，221x0yy=xx+2m1x+m20的增大而﹣时，（﹣．已知：抛物线经过坐标原点，且当）随＜减小．1 ）求抛物线的解析式；（2y0x 的取值范围；）结合图象写出（时，对应的＜3AxAx轴的平行线交抛物线于另过点是该抛物线上位于作（轴下方的一个动点，）设点DABxBDCxCBC=1ABCD⊥⊥的周轴于点轴于点，时，直接写出矩形．当一点，再作长．21 ．列方程或方程组解应用题：20132002015242万元，年的盈利额达到万元，某公司在预计年的盈利额为若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额的年平均增长率是多少？22ABCO △．和点．如图，在方格网中已知格点1ABCABCO △′′′△成中心对称；和）画关于点（2AOCDD ′点．（）请在方格网中标出所有使以点、、为顶点的四边形是平行四边形的、23“”，是一种起源于中国流传多年的猜拳游戏，游戏时的各方每．石头剪子布，又称猜丁壳“”“”“”“”“”“”“”、石头胜、规定石头剪刀次用一只手做剪刀、布三种手势中的一种，剪刀胜布、“”“”．两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负游戏继续，直到分出胜负，游戏胜石头布结束，三人游戏时，若三种手势都相同或都不相同，则不分胜负游戏继续，若出现两人手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，此时，参照两人游戏规则，例如甲、乙．二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜，假定甲、乙、丙三人每次都是随机地做这三种手势，那么：1 ）直接写出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率；（2 ）请你画出树状图求出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率．（24ABCAB=ACABOBCDCA⊙△的延长线相交于点．如图，为直径的与中，，以，与EDDFACF ⊥．，过点于点相交于点作1DFO ⊙的切线；）求证：（是sinC=OA=3AE2 的长．，半径（，求）若25PQ的高度，他们采取的方法是：先．如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆AP45BP°和杆在地面上的点点，测得杆顶端点处测得杆顶端点，再向前走到的仰角是Q6030ABPQ°°的长度就能通过计算求出电线杆，和的仰角分别是这时只需要测出底端点的高度，你同意他们的测量方案吗？若同意，画出计算时的图形，简要写出计算的思路，不用求出具体值；若不同意，提出你的测量方案，并简要写出计算思路．26 ．请阅读下面材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分队边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．= 已知：CCEDABAE ∥．证明：过，交作的延长线于1=E2=3 ①∠∴∠∠∠．﹣﹣﹣﹣，AD ∵是角平分线，1=2 ∠∠∴．3=E ②∴∠∠．﹣﹣﹣﹣ADCE ∥∵，又= ③∴﹣﹣﹣﹣=∴．1①②③处的理由是什么？（写出两条即可））上述证明过程中，步骤（2AC=4cmABCADAB=7cm △已知，（中，是角平分线，用三角形内角平分线定理解答，，），BDBC=6cm的长；，求3）我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比．请你通过研究（ACDABBD△△面积的比来证明三角形内角平分线定理．和2xy=mx08mx+16m1m27xOy轴的交点分别）与﹣．在平面直角坐标系＞中，抛物线﹣（0x0BxA．，））（，，（为21 x1轴有两个不同的交点；（）求证：抛物线总与2AB=2，求此抛物线的解析式．）若（208mx+16m1mxC20D50y=mx3）与线轴上两点﹣（，若抛物线，））已知，（（﹣，＞）（CDm的取值范围．段有交点，请写出BDEABC128AB=2DEABBC△△若将，，（如图分别是．．，中，的中点已知，在等边）AD180CEBBDE0°αα△°的交，设旋转角为）（逆时针旋转，得到，记射线＜与＜绕点1111 P．点为BDE1△的形状；（）判断22中补全图形，（）在图ADCE①的数量关系并证明；猜想在旋转过程中，线段与11 APC∠②的度数；求P3BC__________（直接填写结果）（）点所在直线的距离的最大值为到．yxy29，都有，这两个函数对应的函数值记为．已知两个函数，如果对于任意的自变量，21y=xxxyyxx 的对称函数，例如，、（，，点（）关于点（，）对称，则称这两个函数为关于）21y=x=xyx=y的对称函数．和为关于21221y=x1yx=x+1y=xy=x+1==3xy1y③②①，其中为关﹣﹣（）判断：和；和﹣和；221211y=x__________ （填序号）于的对称函数的是2y=3x+2y=kx+bk0y=x ≠的对称函数．）为关于（）若和（21kb ①的值．、求．xxmyym__________ ②．＞时，恒成立，则＞满足的条件为对于任意的实数，满足2122+ny=xy=xx0y3=ax+bx+ca≠，都的对称函数，且对于任意的实数）和（）若为关于（21yyn 的取值范围．＜有，请结合函数的图象，求212015-2016学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷330分）一、选择题（本题共分，每小题2+3x+a=01a( 1xx ) 的值为．若关于的，则方程有一个根为﹣A4 B2 C2 D4 ．﹣．﹣．﹣．一元二次方程的解．【考点】x=1a的一次方程，﹣然后解【分析】根据一元二次方程的解的定义，把代入方程得到关于此一次方程即可．2+3x+a=013+a=0 1x=x，代入方程﹣【解答】解：把得﹣a=2 ．解得C ．故选：【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．2+2x+4( x ) 2y=的最大值为．二次函数﹣A3 B4 C5 D6 ．．．．二次函数的最值．【考点】计算题．【专题】2+51 y=x，然后根据二次函数的最值问题求解．【分析】先利用配方法得到﹣﹣（）2+5 y=x1，﹣（）【解答】解：﹣a=10 ∵，＜﹣x=1y5 ∴．当有最大值，最大值为时，C ．故选：a0yx的增大而＞随时，抛物线在对称轴左侧，【点评】本题考查了二次函数的最值：当yxx=的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当减少；在对称轴右侧，随y=a0yx的增大而增大；在对称轴；当时，抛物线在对称轴左侧，＜时，﹣随x=yx﹣随的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当右侧，时，y=；确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．3( )．下列图形中，是中心对称图形的为A1 B2 C3 D4 个．个个个．．．中心对称图形．【考点】根据中心对称图形的概念求解．【分析】132 个．【解答】解：第个、个图形是中心对称图形，共B ．故选180度后中心对称图形是要寻找对称中心，旋转【点评】本题考查了中心对称图形的概念：与原图重合．4423个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出．一只不透明的袋子中装有个黑球、( ) 个球，下列事件为必然事件的是A1 B1 个球是白球个球是黑球．至少有．至少有C2 D2 个球是白球个球是黑球．至少有．至少有随机事件．【考点】231个球是黑球，个球中至少有个白球，则从中任意摸出【分析】由于只有于是根据必然A 选项正确．事件的定义可判断42个白球，每个球除颜色外都相同，从中【解答】解：一只不透明的袋子中装有个黑球、3112个球是至少有任意摸出至少有个球，至少有个球是白球、个球是黑球是必然事件；2 个球是白球都是随机事件．黑球和至少有A ．故选【点评】本题考查了随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，5RtABCC=90BC=1AC=2cosA( ) °△∠的值为中，，，若．在，则D B2A C．．．．锐角三角函数的定义．【考点】【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理求出斜边长，再利用锐角三角函数关系得出答案．C=90BC=1AC=2 °∵∠，，，【解答】解：如图所示：AB=∴，= cosA=∴．B．故选：【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系以及勾股定理，正确把握锐角三角函数关系是解题关键．2+bx20y6y=xx轴的直线，则关于，．若二次函数的图象的对称轴是经过点（）且平行于2+bx=5( x)的解为的方程Ax=0x=4 Bx=1x=5 Cx=1x=5 Dx=1x=5 ，．，．，﹣．，﹣．21121212x 轴的交点．抛物线与【考点】．24x=5x =2b=4即可．，得，解根据对称轴方程﹣﹣﹣【分析】20y ∵轴的直线，，【解答】解：）且平行于对称轴是经过点（=2 ∴，﹣b=4 ，解得：﹣24x=5 x，﹣解方程x=1x=5 ，，解得﹣21D ．故选：本题主要考查二次函数的对称轴和二次函数与一元二次方程的关系，难度不大．【点评】( BCAD=6DB=3 )7ABCDE∥△的值为．如图，在，中，，则，CDAB ．．．．相似三角形的判定与性质．【考点】ADAB=23ADEABC△∽△，最后由相似三；条件可以求出【分析】，再由条件可以得出：角形的性质就可以得出结论．AD=6DB=3 ∵，，解：【解答】AB=9 ∴，DEBC ∥∵，ADEABC △∽∴△，=∴）（22== ．）（D ．故选【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．8O3PABOPOP=4P=30°⊙∠，．如图，，若延长线上的一点，连接的半径为，点，是弦AB( ) 的长为则弦DC22A B 2．．．．30 度角的直角三角形；勾股定理．【考点】垂径定理；含OAOCABCAC=BC⊥，根据直角三角形的性质于，作【分析】连接，根据垂直定理得到OC=2AC 的长即可得到答案．得到，根据勾股定理求出OAOCABC ⊥，，作【解答】解：连接于AC=BC ，则OP=4P=30 °∵∠，，OC=2 ∴，=AC= ∴，AB=2AC=2∴，A．故选：【点评】本题考查的是垂直定理和直角三角形的性质，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．在直角三角形中，平分弦所对的两条弧、9ABCOCOABDA=50B=30ADC∠°∠∠°⊙则上，，的延长线交，在，于点．如图，点，，( ) 的度数为A70 B90 C110 D120 °°°°．．．．圆周角定理．【考点】BOC=100BDC=70°°∠∠，，进而根据三角形的外角的性质求得【分析】根据圆周角定理求得ADC ∠的度数．然后根据邻补角求得A=50 °∠∵，【解答】解：BOC=2A=100 °∴∠∠，B=30BOC=B+BDC ∠∠∵∠°，，?BDC=BOCB=10030=70 °∠∠°°∴∠，﹣﹣ADC=180BDC=110 °°∴∠∠，﹣C ．故选【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．101ABCAB=ACBAC=120OBCDBAC→∠°△→沿是，，点．如图，在的中点，点中，BCDx1yyx的经过的路径长为，图与中某条线段的长为，若表示方向从运动到．设点21)( 中的所示，则这条线段可能是图函数关系的图象大致如图CD AD DBOD CABD ．．．．动点问题的函数图象．【考点】ACABDD上以及上，当点【分析】根据图象，结合等腰三角形的性质，分点当点在在勾股定理分析得出答案即可．xy=ABBDy=xADDAB为一次表示为表示为上，则线段【解答】解：当点，线段在﹣函数，不符合图象；ACD上，也为为一次函数，不符合图象；在同理当点如图，ABOE⊥，作BAC=120BCAB=AC=aO°∵∠．中点，设点，是BE=aaOE=AO=aBO=∴，，，，OD=yAB=AC=aBD=x，，，设axDE=∴，﹣RtODE△中，在222 +OE=ODDE，y∴222 =+axa））（（﹣222 ax+=xay，整理得：﹣222 a0xyax+=xa≤，函数的图象呈抛物线并开口向上，当＜时，﹣OD1．中的由此得出这条线段可能是图B．故选：根据图形运用数形结合列出函数表达式是解决问【点评】本题考查了动点问题的函数图象，题的关键．318分）二、填空题（本题共分，每小题111②①方程有两个相等的实．请你写出一个一元二次方程，满足条件：；二次项系数是2 x+2x+1=0．数根，此方程可以是根的判别式．【考点】开放型．【专题】．0．答案不唯一．一元二次方程有两个相等的实数根，判别式等于【分析】2 0+bx+c=0axa≠∵）有两个相等的实数根，一元二次方程解：（【解答】b∴2 4ac=0，﹣2 +2x+1=0x．符合条件的一元二次方程可以为（答案不唯一）2 +2x+1=0x．故答案是：224acax=b+bx+c=0a0△≠的关﹣）的根与【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程（系为：0△①时，方程有两个不相等的两个实数根；＞当=0△②时，方程有两个相等的两个实数根；当0△③时，方程无实数根．＜当上面的结论反过来也成立．23122x+32y=x个单位长度后，得到的抛物﹣个单位长度，再向右平移．抛物线向上平移28x+20 y=x．线的解析式为﹣二次函数图象与几何变换．【考点】【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．22+212y=x 2x+3=x1．【解答】，﹣）（解：，其顶点坐标为（﹣）2344），得到的抛物线个单位长度，再向右平移，个单位长度后的顶点坐标为（向上平移228x+20+4=xxy=4 ，的解析式是（）﹣﹣28x+20y=x ．﹣故答案为：【点评】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．13ABOABCAC=3BCCDOD⊙⊙点，点，使与．已知，至是，的一条直径，延长相切于CD=O1 ⊙．若，则半径的长为切线的性质．【考点】DOODC=90AC=3BCO°∠为，，首先根据切线的性质可以得到【分析】如图，连接，又ABC=30OD=CD °∠，可得结果．的中点，由此可以得到，利用锐角三角函数的定义可得DO，解：如图，连接【解答】CDO⊙∵切线，是CDOD⊥∴，ODC=90°∴∠，ABOAC=3BC⊙∵，的一条直径，是AB=2BC=OC=2OD∴，C=30°∠∴，OD=CD∴，CD=∵，OD=BC=1∴．1．故答案为：常通过作辅助线连接圆心和切点，【点评】本题考查了圆的切线性质及解直角三角形的知识，利用垂直构造直角三角形解决有关问题是解答本题的关键．AB14DEF的．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形小硬纸板来测量操场旗杆ADFDE 在同与地面保持平行，并使边高度，他们通过调整测量位置，使斜边与旗杆顶点DG=1.5DDE=0.5EF=0.25米，到旗杆的水到地面的距离一直线上，已知米，目测点米，11.5 DC=20米．平距离米，则旗杆的高度为相似三角形的应用．【考点】DEFDCAAC△△∽的长，【分析】根据题意证出即可得进而利用相似三角形的性质得出，出答案．DEF=DCA=90EDF=CDA ∠∠°∠∠，，【解答】解：由题意得：DEFDCA △∽∴△，，，即则AC=10 ，解得：AB=AC+BC=10+1.5=11.5m ，故）（11.5m ；即旗杆的高度为11.5 ．故答案为：【点评】此题主要考查了相似三角形的应用；由三角形相似得出对应边成比例是解题关键．B1A22AOBO90152AOB′°△′△，．，）如图，）已知（，（，，得到逆时针旋转将，绕着点．则图中阴影部分的面积为-旋转．【考点】扇形面积的计算；坐标与图形变化S=S，根据扇形的面积公式根据旋转的性质可知阴影部分的面积﹣【分析】OBOAAB′′扇形扇形S=计算即可．22A∵，）的坐标为（【解答】解：点，OA=4∴，2B1∵，，）点的坐标为（OB=∴，S=S，由旋转的性质可知，AOBAOB△′′△=S∴阴影部分的面积S﹣OBBOAA′′扇形扇形=﹣=，故答案为：．S=本题考查的是扇形的面积计算和旋转的性质，掌握扇形的面积公式、正【点评】确根据旋转的性质表示出阴影部分的面积是解题的关键．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图，过圆外一点作圆的切线．P O⊙和点已知：PO⊙的切线求过点的小涵的主要作法如下：A1OPOP；）连结的中点如图，（，作线段BCOA2AO⊙；（）以于点为圆心，长为半径作圆，交，PC3PB．（）作直线和PCPB就是所求的切线．和所以”“小涵的做法正确的．老师说：请回答：小涵的作图依据是直径所对的圆周角是直角．—复杂作图．【考点】切线的判定；作图PBO=PCO=90OBPBOCPCPB⊥∠°∠⊥、，即，即可证得，【分析】根据圆周角定理得出PCO ⊙的切线．是OPA ⊙∵的直径，解：是【解答】PBO=PCO=90 °∴∠∠，OBPBOCPC ⊥⊥∴，，OBOCO ⊙∵的半径，、是PBPCO ⊙∴的切线；是、则小涵的作图依据是：直径所对的圆周角是直角．故答案为：直径所对的圆周角是直角．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定．7217-26527728729分，第分，第题三、解答题（本题共题分，第分，第题，每小题8分）题2 +tan601174cos45°°．）．计算：﹣﹣（﹣实数的运算；特殊角的三角函数值．【考点】分别进行特殊角的三角函数值、二次根式的化简、乘方等运算，然后合并．【分析】2+=21 ﹣解：原式【解答】﹣=1 ．﹣【点评】本题考查了实数的运算，涉及了特殊角的三角函数值、二次根式的化简、乘方等知识，属于基础题．26x1=0 18x．﹣．解方程：﹣-配方法．【考点】解一元二次方程9，左边化为完全平方式，右边合并，将方程的常数项移动方程右边，两边都加上【分析】开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．26x1=0x ，【解答】解：﹣﹣26x=1 x，移项得：﹣22=103 x6x+9=10x，配方得：）﹣﹣，即（x3=±，﹣开方得：=3=3+xx．﹣则，21【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化1，常数项移动方程右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，为左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．19ABCDBCBAD=CAB=6BD=4CD ∠∠△的长．，求，，上一点，为中，．如图，相似三角形的判定与性质．【考点】BADBCABCCD△∽△的【分析】易证，从而可得到，然后运用相似三角形的性质可求出值．BAD=CB=B ∠∠∠∵∠，【解答】解：，BADBCA △∴△∽，= ∴．AB=6BD=4 ∵，，= ∴，BC=9 ∴，CD=BCBD=94=5 ∴．﹣﹣【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，由角等联想到三角形相似是解决本题的关键．221x0yx+m+2m1x20y=x的增大而经过坐标原点，且当（时，．已知：抛物线﹣＜）随﹣减小．1 ）求抛物线的解析式；（2y0x 的取值范围；）结合图象写出时，对应的＜（3AxAx轴的平行线交抛物线于另是该抛物线上位于作轴下方的一个动点，（设点）过点DABxBDCxCBC=1ABCD⊥⊥的周，轴于点轴于点一点时，直接写出矩形，再作．当长．二次函数综合题．【考点】1m 的方程，根据解方程，可得答案；（）根据图象过原点，可得关于【分析】2x 轴下方部分是不等式的解集，可得答案；（）根据函数与不等式的关系：图象位于3xAD点关于对称轴对轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称，可得（）根据平行于、ABxBDCxCB⊥⊥点坐标，根据自变量与函数值的对应，可得，轴于点称，根据轴于点A 点坐标，根据矩形的周长公式，可得答案．关系，可得221 2m1y=x1x+m+经过坐标原点，得﹣﹣解：【解答】（（）由）21=0m=1m=1m ．或，解得﹣﹣x0yx 的增大而减小，当＜随时，m=1 ．得﹣23x y=x；﹣抛物线的解析式1 2，得）由图象（x 轴下方的部分，位于y0x0x3 ；时，对应的的取值范围＜＜＜2 3，（）如图ADx ∥轴，得由ADx=1.5 对称，关于对称轴、BCx=1.5BC=1 ，得、对称，且关于对称轴1.50.5=1B10 ．（）﹣，，即x=1y=13=2 ，﹣当﹣时，A12 ．（）即，﹣ABCD2AB+BC=22+1=6 ×．）（（矩形）的周长为【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用函数与不等式的xx轴的直线与抛物线的交点关于利用平行于轴下方部分是不等式的解集；关系：图象位于AD 关于对称轴对称是解题关键．、对称轴对称得出21 ．列方程或方程组解应用题：20132002015242万元，年的盈利额达到万元，某公司在预计年的盈利额为若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额的年平均增长率是多少？一元二次方程的应用．【考点】增长率问题．【专题】2013x1+×（，年的盈利额根据题意可得，【分析】设该公司这两年盈利额的年平均增长率是2=2015 年的盈利额，据此列方程求解．增长率）x ，【解答】解：设该公司这两年盈利额的年平均增长率是2=2421+x 200×，（）由题意得，x=0.1 ．解得：0.1 ．答：该公司这两年盈利额的年平均增长率是【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．22ABCO △．和点．如图，在方格网中已知格点1ABCABCO △′△′′成中心对称；和）画关于点（2AOCDD ′点．（、）请在方格网中标出所有使以点、、为顶点的四边形是平行四边形的-旋转变换；平行四边形的判定．作图【考点】作图题．【专题】1 ）根据中心对称的作法，找出对称点，即可画出图形，【分析】（2AOCD′为顶点的四边形是平行四边形的、）根据平行四边形的判定，画出使以点、、（点即可．1ABCABCO △′△′′成中心对称的图形如下：解：【解答】（）画关于点和2 ）根据题意画图如下：（【点评】此题考查了作图﹣旋转变换，用到的知识点是旋转、中心对称、平行四边形的判定，关键是掌握中心对称的作法，作平行四边形时注意画出所有符合要求的图形．23“”，是一种起源于中国流传多年的猜拳游戏，游戏时的各方每．石头剪子布，又称猜丁壳“”“”“”“”“”“”“”、规定剪刀胜胜布石头、次用一只手做剪刀剪刀、石头布三种手势中的一种，、“”“”．两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负游戏继续，直到分出胜负，游戏布石头胜结束，三人游戏时，若三种手势都相同或都不相同，则不分胜负游戏继续，若出现两人手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，此时，参照两人游戏规则，例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜，假定甲、乙、丙三人每次都是随机地做这三种手势，那么：1 ）直接写出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率；（2 ）请你画出树状图求出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率．（列表法与树状图法．【考点】计算题．【专题】19种等可能的结果数，其中出现相同手势的）甲、乙两人出第一次手势时，共有【分析】（3 ，于是根据概率公式可计算出不分胜负的概率；结果数为227种等可能的结果数，再找出三种手势都相同或都不相同的结果数，）画树状图展示所有（然后根据概率公式求解．= 1；（【解答】解：）一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率2 ）画树状图为：（．279 ，共有种等可能的结果数，其中三种手势都相同或都不相同的结果数为= =．所以甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出nABmAB 的概率．的结果数目或，然后根据概率公式求出事件，再从中选出符合事件或24ABCAB=ACABOBCDCA⊙△的延长线．如图，相交于点中，与，以，与为直径的EDDFACF ⊥．作相交于点，过点于点1DFO ⊙的切线；是）求证：（sinC=OA=3AE2 的长．（，半径）若，求切线的判定．【考点】1ODB=ODBB=CODB=C∠∠∠∠∠∠，，根据等边对等角得出，【分析】（，得出）连接ODACODDFDFO ⊙∥⊥的切线；是，证得证得，从而证得2BEADABAEB=ADB=90°∠∠，根据等腰三角形的性质得出，）连接是直径，，（ABC=CBD=DCADBDBC∠∠，，通过解直角三角形求得，根据勾股定理得出进而求得，，BCEBEAE ．求得，然后根据勾股定理即可求得解直角三角形1OD ，（【解答】）证明：连接OB=OD ∵，B=ODB ∠∴∠，AB=AC ∵，B=C ∠∴∠，ODB=C ∠∴∠，ODAC ∥∴，DFAC ⊥∵，ODDF ⊥∴，DFO ⊙∴的切线；是2BEAD ，（，）解：连接AB ∵是直径，AEB=ADB=90 °∠∴∠，AB=AC ∵，ABC=CBD=DC ∠∠∴，，sinC= ∵，ABC=sin= ∠∴，AB=2OA=6 ∵，AD=2 ∴，=2 BD=∴，BC=2BD=4∴，sinC=RT BEC∵△中，，在=4BE=4 BC=×∴，AE=RTABE ==2△中，．在【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理的应用以及直角三角函数等，是一道综合题，难度中等．25PQ的高度，他们采取的方法是：先．如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆AP45BP°和杆，再向前走到在地面上的点处测得杆顶端点点，测得杆顶端点的仰角是Q6030ABPQ°°的长度就能通过计算求出电线杆，底端点的仰角分别是和这时只需要测出的高度，你同意他们的测量方案吗？若同意，画出计算时的图形，简要写出计算的思路，不用求出具体值；若不同意，提出你的测量方案，并简要写出计算思路．-仰角俯角问题．【考点】解直角三角形的应用PQABEABmAPEBPE△△和直角米，【分析】延长的长度为交直线在直角于点，设测出PEAEBEAB=AEBEPE的值，﹣，根据中，根据三角函数利用表示出即可列出方程求得和BQEQEPQ △的长度即可求解．的长，则再在直角中利用三角函数求得解：同意他们的测量方案；【解答】PQABE ，交直线延长于点ABm 米．设测出的长度为APEA=45 °△∠，在直角中，AE=PE ；则PBE=60 °∵∠BPE=30 °∴∠BE=PEBPE △，中，在直角BE=mAB=AE∵，﹣PEPE=m，﹣则PE=m．解得：mm=BE= m．﹣则。
北京市东城区-度第二学期初三数学综合练习二(二模)
北京市东城区2006-2007学年度第二学期初三数学综合练习二(二模)本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（填空题、解答题）两部分。
第I 卷（选择题 32分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分。
）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1. 3的倒数是A. 3B. –3C.31 D. 31- 2. 树叶上有许多气孔，在阳光下，一个气孔在一秒钟内能吸收2500000000000个二氧化碳分子，用科学记数法表示正确的是A. 10105.2⨯B. 11105.2⨯C. 111025⨯D. 12105.2⨯3. 使分式4x x-有意义的x 的取值范围是A. x=4B. 4x ≠C. x=－4D. 4x -≠ 4. 如图，已知直线1l ∥l 2，∠1=30°，那么∠2等于A. 20°B. 30°C. 40°D. 60°第4题图则这个队队员年龄的众数和中位数分别是 A. 19，20 B. 19，19 C. 19，20.5 D. 20，19 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 在圆上，∠BAC=28°，则∠D 等于A. 28°B. 72°C. 62°D. 52°第6题图7. 已知三角形两边x 、y 的长满足01y |9x |2=-+-，则第三边的整数值为A. 2B. 3C. 4D. 58. 如图，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是第8题图第II 卷（填空题16分，解答题72分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
）9. 二次函数3)1x (21y 2+-=的顶点在第___________象限。
10. 如图，有10张正面写有北京2008年奥运会主题口号的卡片，它们的背面都相同，将它们背面朝上洗匀后摆放，从中任意翻开一张是汉字“同”的概率是____________。
北京2016年东城区初三二模数学试卷及参考答案
北京市东城区2016年第二学期统一练习（二）初三数学 2016.6学校 班级 姓名 考号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．我国最大的领海是南海，总面积有3 500 000平方公里，将数3 500 000用科学记数法表示应为A ．63.510⨯B ．73.510⨯C ．53510⨯ D ． 80.3510⨯2．如图，已知数轴上的点A ，O ，B ，C ，D 分别表示数﹣2，0，1，2，3，则表示数2的点P 应落在线段球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是A ．13 B ．25 C ．12 D ．234. 下列图案中，既是中心对称又是轴对称图形的是A B C D5．如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的俯视图是6 如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，BD ⊥AC ，∠ABC =72°，则∠ABD 等于7．某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是A ．4B ．3C ．2D ． 19. 如图所示，购买一种苹果，所付款金额y （元）与购买量x （千克）之间的函数图象由线段OA 和射线AB 组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省A ．1元B ． 2元C ．3元D ．4元10. 某班有20位同学参加乒乓球、羽毛球比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人.”乙说：“两项都参加的人数小于5人.”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是A.若甲对，则乙对B.若乙对，则甲对C.若乙错，则甲错D.若甲错，则乙对 二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：2242ax ax a -+= ．12．关于x 的一元二次方程0122=-+x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．13. 如图，点P 在△ABC 的边AC 上，请你添加一个条件，使得△ABP ∽△ACB ，这个条件可以是 ．14. 九年级（3）班共有50名同学，如图是该班一次体育模拟测试成绩的频数分布直方图（满分为30分，成绩均为整数）．若将不低于23分的成绩评为合格，则该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是 ．15．定义运算“*”，规定x*y=a （x+y ）+xy ，其中a为常数，且1*2=5，则2*3= ．16．在平面直角坐标系中，小明玩走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位，…，依此类推，第n 步的走法是：当n 能被3整除时，则向上走1个单位；当n 被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n 被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第8步时，棋子所处位置的坐标是 ；当走完第2016步时，棋子所处位置的坐标是 ．三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：0112sin 60(3π)()4-︒-+.18．已知023a b =≠，求代数式22422a b a b a ab-++的值． 19．如图，已知∠ABC =90°，分别以AB 和BC 为边向外作等边△ABD 和等边△BCE ，连接AE ，CD . 求证：AE =CD ．20．列方程或方程组解应用题：为迎接“五一劳动节”，某超市开展促销活动，决定对A ，B 两种商品进行打折出售．打折前，买6件A 商品和3件B 商品需要108元，买3件A 商品和4件B 商品需要94元.问：打折后，若买5件A 商品和4件B 商品仅需86元，比打折前节省了多少元钱？21. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，请画出以A 为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD 的边上，且含边长为3的等腰三角形．（要求：画出三个．．大小不同，符合题意的等腰三角形，只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）DCBADCBADCBA22．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 上一点，F 是AM 的中点，EF ⊥AM ，垂足为F ，交AD于点E ．（1）求证：∠BAM =∠AEF ；（2）若AB =4，AD =6，4cos 5BAM ∠=，求DE 的长.23.如图，四边形ABCD 是平行四边形，点(10)(31)(33)A B C ，，，，，．反比例函数(0)my x x=>的图象经过点D .（1）求反比例函数的解析式；（2）经过点C 的一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数的图象交于P 点，当k ＞0时，确定点P 横坐标的取值范围（不必写出过程）. 24.阅读下列材料：2013年是北京市正式执行新《环境空气质量标准》的第一年.这一年，北京建立起35个覆盖全市的监测站点，正式对PM2.5、二氧化硫、二氧化氮等六项污染物开展监测.2013年全年,本市空气质量一级优的天数有41天；二级良天数135天.本市主要大气污染物PM2.5年均浓度为89.5微克/立方米，单就PM2.5的浓度而言，全年共有204天达到一级优或二级良水平.2014年全年， PM2.5年均浓度为85.9微克/立方米.，PM2.5优良天数总计204天，其中PM2.5一级优天数达到93天，比2013年的71天增加了22天.2015年全年，本市空气质量达标天数为186天，即空气质量优良的好天儿占了一半，比2014年增加了14天. 本市主要大气污染物PM2.5年均浓度为80.6微克/立方米，单就PM2.5的浓度而言，2015年PM2.5优良天数累计达到223天，其中一级优天数首次突破100达到105天，二级良天数累计为118天. 根据以上材料解答下列问题：（1）北京市2014年空气质量达到优良的天数为 天；单就PM2.5的浓度而言，北京市2013年全年达到二级良的天数为 天；（2）选择统计表或统计图，将2013—2015年北京市PM2.5的年均浓度和PM2.5的优良天数表示出来.25. 如图，在△ABC 中，BA =BC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，BC 的延长线与⊙O 的切线AF 交于点F ． （1）求证：∠ABC =2∠CAF ；（2）若AC =，sin 10CAF ∠=，求BE 的长． 26. 阅读下列材料：在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°， AB =1，∠A =α，求sin2α（用含sin α，cos α的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取AB 的中点O ，连接OC ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠COB = 2α，然后利用锐角三角函数在Rt △ABC 中表示出AC ，BC ，在Rt △ACD 中表示出CD ，则可以求出sin 2α=CD OC=21sin AC ⋅α=21cos sin αα⋅=ααcos sin 2⋅．图1 图2阅读以上内容，回答下列问题：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =1. (1)如图3，若BC =13，则 sin α= ， sin2α= ；图3(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2α的表达式（用含sin α，cos α的式子表示）．27. 二次函数21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7）. （1）求二次函数1C 的解析式；（2）若二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，试判断二次函数2C 的顶点是否在直线AB上；（3）若将1C 的图象位于A ，B 两点间的部分（含A ，B 两点）记为G ，则当二次函数221y x x m =-+++与G 有且只有一个交点时，直接写出m 满足的条件.28. 【问题】在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，点E 在直线BC 上（B,C 除外），分别经过点E 和点B 做AE 和AB 的垂线，两条垂线交于点F ，研究AE 和EF 的数量关系. 【探究发现】某数学兴趣小组在探究AE ，EF 的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E 是BC 的中点时，只需要取AC 边的中点G （如右图），通过推理证明就可以得到AE 和EF 的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE 和EF 的数量关系； 【数学思考】那么当点E 是直线BC 上（B ，C 除外）（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点E 在线段BC 上”；“点E 在线段BC 的延长线”；“点E 在线段BC 的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；图2 备用图【拓展应用】当点E 在线段CB 的延长线上时，若BE =nBC （01n ＜＜），请直接写出ABC S △：AEFS △的值．29. 定义：y 是一个关于x 的函数，若对于每个实数x ，函数y 的值为三数2+x ，12+x ，205+-x 中的最小值，则函数y 叫做这三数的最小值函数.（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A （1， 3）是否为这个最小值函数图象上的点；（2）设这个最小值函数图象的最高点为B ，点A （1, 3），动点M （m ，m ）.①直接写出△ABM 的面积，其面积是 ；②若以M 为圆心的圆经过B A ,两点，写出点M 的坐标；③以②中的点M 为圆心，以2为半径作圆. 在此圆上找一点P ，使2P A P +的值最小，直接写出此最小值.北京市东城区2015-2016学年第二学期统一练习（二） 初三数学参考答案及评分标准 2016.6二、填空题（本题共18分，每小题3分）三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．计算：0112sin 60(3π)()4-︒-+. 解：原式14+…………4分=3 …………5分18. 解： 22422a b a b a ab-++=224(2)(2)a b a a b a a b -++ =2a ba- …………3分∵a 2=b 3¹0 ∴设2,3.a k b k ==…………4分∴ 原式=-2 . …………5分 19. 证明：因为△ABD 和△BCE 为等边三角形，∴∠ABD =∠CBE =60°，BA=BD ，BC=BE. ……2分 ∴∠ABD+∠ABC =∠CBE+∠ABC ，即∠CBD =∠ABE.…3分 ∴△CBD ≌△EBA.（SAS ） ……4分 ∴AE=CD.……5分20.解：设打折前一件商品A 的价格为x 元，一件商品B 的价格为y 元. ………1分依据题意，得631083494x y x y +=⎧⎨+=⎩. …………3分解得：1016x y =⎧⎨=⎩. …………4分所以5×10+4×16-86=28（元） 答：比打折前节省了28元. …………5分21. 满足条件的所有图形如图所示：…………5分注意：画出一个给2分，二个给4分，三个给5分. 22.解：（1）∵矩形ABCD ，∴∠B =∠BAC =90°.∵EF ⊥AM ，∴∠AFE =∠B =∠BAD =90°.∴∠BAM +∠EAF =∠AEF+∠EAF =90°. ∴∠BAM =∠AEF . …………2分 （2）在Rt △ABM 中，∠B =90°，AB =4，cos ∠BAM =45， ∴AM =5.∵F 为AM 中点， ∴AF =52. ∵∠BAM =∠AEF ， ∴cos ∠BAM = cos ∠AEF =45. ∴sin ∠AEF =35. 在Rt △AEF 中，∠AFE =90°，AF =52，sin ∠AEF =35， ∴AE =256. ∴DE=AC-AE =6-256=116.…………5分23.解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，点(10)(31)(33)A B C ，，，，，，∴BC =2.∴D （1,2）. ∵反比例函数my x=的图象经过点D ， ∴21m =. ∴2m =.∴2y x=.…………3分（2）233p x <<. …………5分 24.解：（1）172；133. …………2分 （2）25.（1）证明：连结BD .∵AB 是O ∵的直径， ∴90ADB ∠=︒.∴90DAB DBA ∠+∠=︒. ∵AB AC =，∴2ABD ABC ∠=∠，12AD AC =. ∵AF 为⊙O 的切线， ∴∠F AB =90°.∴90FAC CAB ∠+∠=︒. ∴FAC ABD ∠=∠.∴2.ABC CAF ∠=∠ …………2分⑵ 解：连接AE.∴∠AEB =∠AEC =90°.∵sin CAF ABD CAF CBD CAE ∠=∠=∠=∠=∠，∴sin sin ABD CAF ∠=∠=．∵90ABD AC ∠=︒=，∴AD 10sin ADAB ABD==∠=BC .∵90AEC AC ∠=︒=， ∴sin 2CE AC CAE =⋅∠=.∴1028BE BC CE =-=-=.…………5分26.解：（1）sin α=13， sin2α…………2分（2）∵AC = cos α，BC =sin α，∴CD =AC BCAB⨯=sin cos αα⋅.∵∠DCB =∠A ，∴在Rt △BCD 中，BD =sin 2α.∴OD =12- sin 2α. ∴tan2α=CD OD =22sin cos 2sin cos 112sin sin 2αααααα⋅⋅=--. …………5分 27.解：（1）∵21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7），∴217164.b c b c =-+⎧⎨=++⎩，∴21.b c =-⎧⎨=-⎩，∴221y x x =--. …………2分（2）∵二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，∴22:21C y x x =-++. ∴2C 的顶点为（1,2）. ∵A （-1,2），B （4,7）,∴过A 、B 两点的直线的解析式：3y x =+. 令x =1，则y =4.∴2C 的顶点不在直线AB 上.…………4分 （3）414m <≤或4m =-.…………7分28.解：【探究发现】：相等.…………1分 【数学思考】证明：在AC 上截取CG=CE ，连接GE.∵∠ACB =90°,∴∠CGE =∠CEG =45°.∵AE ⊥EF ，AB ⊥BF ，∴∠AEF =∠ABF =∠ACB =90°,∴∠FEB +∠AEF =∠AEB =∠EAC +∠ACB.∴∠FEB =∠EAC.∵CA=CB ，∴AG=BE ，∠CBA =∠CAB =45°.∴∠AGE =∠EBF =135°.∴△AGE ≌△EBF .∴AE=EF .…………5分 【拓展应用】ABC S △：AEF S △=1：（222n n ++）…………7分 29.解：（1）图象略；是.…………2分 （2）①2.…………4分 ②M （3,3）.…………6分…………8分。
初三年级数学二模考试题 东城
2016—2017学年北京市东城区初三年级综合能力测试（二） 数学试卷 2017.6 学校 班级 姓名 考号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为440 000万人，将440 000用科学记数法表示为 A ．64.410⨯ B ．54.410⨯ C ．44410⨯ D ． 60.4410⨯ 2．下列运算正确的是 A ．2a +3b =5abB ．a 2•a 3=a 6C ．（a 2b ）3=a 6 b 3D ．(a ＋2)2＝a 2＋4 3．有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着0，π，18，1.333．背面朝上放在不透明的桌子上，若随机抽取1张，则取出的卡片上的数是无理数的概率是 A ．15 B ．25 C ．35 D ．454．下列关于二次函数y =x 2+2x +3的最值的描述正确的是A ．有最小值是2B ．有最小值是3C ．有最大值是2D ．有最大值是35. 学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示：如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是 A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁6．如图，正五边形ABCDE 放入某平面直角坐标系后，若顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是（0，a ），（﹣3，2），（b ，m ），（- b ，m ），则点E 的坐标是BA ．（2，﹣3）B ．（2，3）C ．（3，2）D ．（3，﹣2）7．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为A ．75°B ．65°C ．45°D ．30°8. 关于x 的一元二次方程x 2+ax ﹣1=0的根的情况是 A ．没有实数根 B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根9. 图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的○1○2○3○4某一位置，所组成的图形不能．．围成正方体的位置是（ ）图1 图2A ．○1 B ．○2 C ．○3 D ．○410. 如右图，点E 为菱形ABCD 的BC 边的中点，动点F 在对角线AC 上运动，连接BF ，EF ．设AF =x ，△BEF 的周长为y ，那么能表示y 与x 的函数关系的大致图象是A B C D二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．若分式31x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ． 30°45°112．请你写出一个多项式，含有字母a ，并能够在有理数范围内用平方差公式进行因式分解.此多项式可以是 ．13. 已知一次函数y 1=k 1x +5和y 2=k 2x +7，若k 1＞0且k 2＜0，则这两个一次函数的图象的交点在第 象限． 14. 如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB ，OC ．若∠BAC 与∠BOC 互补，则弦BC 的长为 ．15. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，竹条AB 的长为25cm ，贴纸部分的宽BD 为15cm ，若纸扇两面贴纸，则一面贴纸的面积为 cm 2. （结果保留π）16．小明在他家里的时钟上安装了一个电脑软件，他设定当钟声在n 点钟响起后，下一次则在（3n -1）小时后响起，例如钟声第一次在3点钟响起，那么第2次在(3318)⨯-=小时后，也就是11点响起；第3次在(311132)⨯-=小时后，即7点响起，以此类推……；现在第1次钟声响起时为2点钟，那么第3次响起时为_____点，第2017次响起时为_____点.(如右图钟表，时间为12小时制)三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题8分，第29题7分）17．计算：2(π2017)4cos60-+--︒18. 解不等式组32211,52x x x x -⎧⎪++⎨⎪⎩≤，＜并把解集在数轴上表示出来．19．小明化简 (21)(21)(5)x x x x +--+的过程如图. 请指出他化简过程中的错误，写出对应的序号，并写出正确的化简过程．+5)○1 x ○2 1.○320．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°. 以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D . 若CD =4，AB =15，求△ABD 的面积.21．如图，在平面直角坐标系中，OA ⊥OB ，AB ⊥x 轴于点C ，点A ）在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上. （1）求反比例函数(0)ky k x =≠的解析式和点B 的坐标；（2）若将△BOA 绕点B 按逆时针方向旋转 60º 得到△BDE （点O 与点D 是对应点），补全图形，直接写出点E 的坐标，并判断点E 是否在该反比例函数的图象上，说明理由.22．列方程或方程组解应用题：某校为美化校园，计划对一些区域进行绿化，安排了甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且两队在独立完成面积为400m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m 2？23．如图，BD 是△AB C 的角平分线，它的垂直平分线分别交AB ，BD ，BC 于点E ，F ，G ，连接ED ，DG ．（1）请判断四边形EBGD 的形状，并说明理由； （2）若∠ABC =30°，∠C =45°，ED =2，求GC 的长.GFEDCBA24. 某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费. 为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如下不完整的统计图（每组数据包括右端点但不包括左端点）. 请你根据统计图解答下列问题： （1）此次抽样调查的样本容量是__________________； （2）补全频数分布直方图；（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？用户用水量扇形统计图10-15吨 30-35吨25. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，CE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ． （1）求证：∠BDC =∠A ；（2）若CE =4，DE =2，求AD 的长．26. 佳佳想探究一元三次方程32220x x x +--=的解的情况. 根据以往的学习经验，他想到了方程与函数的关系：一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与x 轴交点的横坐标即为一次方程0(0)kx b k +=≠的解；二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交点的横坐标即为一元二次方程20(0)a x b x c a ++=≠的解. 如：二次函数223y x x =--的图象与x 轴的交点为(1,0)-和(3,0)，交点的横坐标-1和3即为方程2230x x --=的解.根据以上方程与函数的关系，如果我们知道函数3222y x x x =+--的图象与x 轴交点的横坐标，即可知道方程32220x x x +--=的解.佳佳为了解函数3222y x x x =+--的图象，通过描点法画出函数的图象：（1）直接写出m 的值，并画出函数图象；（2）根据表格和图象可知，方程的解有_____个，分别为__________________； （3）借助函数的图象，直接写出不等式3222x x x +>+的解集. 27.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+.（1）当抛物线的顶点在x 轴上时，求该抛物线的解析式；（2）不论m 取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上，求该直线的解析式； （3）若有两点()1,0A -，()1,0B ，且该抛物线与线段AB 始终有交点，请直接写出m 的取值范围.28. 取一张正方形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：如图1，先把正方形ABCD 对折，折痕为MN ；第二步：点G 在线段MD 上，将△GCD 沿GC 翻折，点D 恰好落在MN 上，记为点P ，连接BP .图1（1）判断△PBC 的形状，并说明理由；（2）作点C 关于直线AP 的对称点C ′，连PC ′，D C ′， ①在图2中补全图形，并求出∠APC ′的度数； ②猜想∠PC ′D 的度数，并加以证明.（温馨提示：当你遇到困难时，不妨连接A C ′，C C ′，研究图形中特殊的三角形）图229．在平面直角坐标系xOy 中，点P 与点Q 不重合.以点P 为圆心作经过点Q 的圆，则称该圆为点P ，Q 的“相关圆”. （1）已知点P 的坐标为（2，0），①若点Q 的坐标为（0，1）,求点P ，Q 的“相关圆”的面积；②若点Q 的坐标为（3，n ）,且点P ，Q 的“相关圆”，求n 的值.()（2）已知△ABC 为等边三角形，点A 和点B 在y 轴正半轴上.若点P ，Q 的“相关圆”恰好是△ABC 的内切圆且点Q在直线y =2x 上，求点Q 的坐标.()（3）已知△ABC 三个顶点的坐标为：A （3-，0），B （0，32），点Q 的坐标为（m , 32）.若点P ，Q 的“相关圆”与△ABC 的三边中至少一边存在公共点，直接写出m 的取值范围.()。
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北京市东城区2015—2016学年第二学期统一练习（二） 初三数学 2016.6学校 班级 姓名 考号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．我国最大的领海是南海，总面积有3 500 000平方公里，将数3 500 000用科学记数法表示应为A ．63.510⨯B ．73.510⨯C ．53510⨯D ． 80.3510⨯2．如图，已知数轴上的点A ，O ，B ，C ，D 分别表示数﹣2，0，1，2，3，则表示数2的点P 应落在线段球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是A ．13 B ．25 C ．12 D ． 234. 下列图案中 ，既是中心对称又是轴对称图形的是A B C D5．如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的俯视图是A B C D7．某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是A．4 B．3 C．2 D．19. 如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省A．1元B．2元C．3元D．4元10. 某班有20位同学参加乒乓球、羽毛球比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人.”乙说：“两项都参加的人数小于5人.”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是A.若甲对，则乙对B.若乙对，则甲对C.若乙错，则甲错D.若甲错，则乙对二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：2242ax ax a -+= ．12．关于x 的一元二次方程0122=-+x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．13. 如图，点P 在△ABC 的边AC 上，请你添加一个条件，使得△ABP ∽△ACB ，这个条件可以是 ．14. 九年级（3）班共有50名同学，如图是该班一次体育模拟测试成绩的频数分布直方图（满分为30分，成绩均为整数）．若将不低于23分的成绩评为合格，则该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是 ．15．定义运算“*”，规定x *y =a （x +y ）+xy ，其中a 为常数，且1*2=5，则2*3= ． 16．在平面直角坐标系中，小明玩走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位，…，依此类推，第n 步的走法是：当n 能被3整除时，则向上走1个单位；当n 被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n 被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第8步时，棋子所处位置的坐标是 ；当走完第2016步时，棋子所处位置的坐标是 ．三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：0112sin 60(3π)()4-︒-+.18．已知023a b =≠，求代数式22422a b a b a ab-++的值．19．如图，已知∠ABC =90°，分别以AB 和BC 为边向外作等边△ABD 和等边△BCE ，连接AE ，CD . 求证：AE =CD ．20．列方程或方程组解应用题：为迎接“五一劳动节”，某超市开展促销活动，决定对A ，B 两种商品进行打折出售．打折前，买6件A 商品和3件B 商品需要108元，买3件A 商品和4件B 商品需要94元.问：打折后，若买5件A 商品和4件B 商品仅需86元，比打折前节省了多少元钱？21. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，请画出以A 为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD 的边上，且含边长为3的等腰三角形．（要求：画出三个．．大小不同，符合题意的等腰三角形，只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）DCBADCBADCBA22．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 上一点，F 是AM 的中点，EF ⊥AM ，垂足为F ，交AD于点E ．（1）求证：∠BAM =∠AEF ；（2）若AB =4，AD =6，4cos 5BAM ∠=，求DE 的长.23.如图，四边形ABCD 是平行四边形，点(10)(31)(33)A B C ，，，，，．反比例函数(0)my x x=>的图象经过点D . （1）求反比例函数的解析式；（2）经过点C 的一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数的图象交于P 点，当k ＞0时，确定点P 横坐标的取值范围（不必写出过程）. 24.阅读下列材料：2013年是北京市正式执行新《环境空气质量标准》的第一年.这一年，北京建立起35个覆盖全市的监测站点，正式对PM2.5、二氧化硫、二氧化氮等六项污染物开展监测.2013年全年,本市空气质量一级优的天数有41天；二级良天数135天.本市主要大气污染物PM2.5年均浓度为89.5微克/立方米，单就PM2.5的浓度而言，全年共有204天达到一级优或二级良水平.2014年全年， PM2.5年均浓度为85.9微克/立方米.，PM2.5优良天数总计204天，其中PM2.5一级优天数达到93天，比2013年的71天增加了22天.2015年全年，本市空气质量达标天数为186天，即空气质量优良的好天儿占了一半，比2014年增加了14天. 本市主要大气污染物PM2.5年均浓度为80.6微克/立方米，单就PM2.5的浓度而言，2015年PM2.5优良天数累计达到223天，其中一级优天数首次突破100达到105天，二级良天数累计为118天. 根据以上材料解答下列问题：（1）北京市2014年空气质量达到优良的天数为 天；单就PM2.5的浓度而言，北京市2013年全年达到二级良的天数为 天；（2）选择统计表或统计图，将2013—2015年北京市PM2.5的年均浓度和PM2.5的优良天数表示出来.25. 如图，在△ABC 中，BA =BC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，BC 的延长线与⊙O 的切线AF 交于点F ． （1）求证：∠ABC =2∠CAF ；（2）若AC =sin 10CAF ∠=，求BE 的长．26. 阅读下列材料：在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°， AB =1，∠A =α，求sin2α（用含sin α，cos α的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取AB 的中点O ，连接OC ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠COB = 2α，然后利用锐角三角函数在Rt △ABC 中表示出AC ，BC ，在Rt △ACD 中表示出CD ，则可以求出sin 2α=CD OC=21sin AC ⋅α=21cos sin αα⋅=ααcos sin 2⋅．图1 图2阅读以上内容，回答下列问题：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =1. (1)如图3，若BC =13，则 sin α= ， sin2α= ；图3(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2α的表达式（用含sin α，cos α的式子表示）．27.二次函数21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7）.（1）求二次函数1C 的解析式；（2）若二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，试判断二次函数2C 的顶点是否在直线AB上；（3）若将1C 的图象位于A ，B 两点间的部分（含A ，B 两点）记为G ，则当二次函数221y x x m =-+++与G 有且只有一个交点时，直接写出m 满足的条件.28. 【问题】在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点E 在直线BC 上（B ,C 除外），分别经过点E 和点B 做AE 和AB 的垂线，两条垂线交于点F ，研究AE 和EF 的数量关系. 【探究发现】某数学兴趣小组在探究AE ，EF 的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E 是BC 的中点时，只需要取AC 边的中点G （如图1），通过推理证明就可以得到AE 和EF 的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE 和EF 的数量关系；图1【数学思考】那么当点E 是直线BC 上（B ，C 除外）（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点E 在线段BC 上”；“点E 在线段BC 的延长线”；“点E 在线段BC 的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；图2【拓展应用】当点E 在线段CB 的延长线上时，若BE =nBC （01n ＜＜），请直接写出ABC S △：AEF S △的值．备用图29. 定义：y 是一个关于x 的函数，若对于每个实数x ，函数y 的值为三数2+x ，12+x ，205+-x 中的最小值，则函数y 叫做这三数的最小值函数.（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A （1， 3）是否为这个最小值函数图象上的点；（2）设这个最小值函数图象的最高点为B ，点A （1, 3），动点M （m ，m ）.①直接写出△ABM 的面积，其面积是 ；②若以M 为圆心的圆经过B A ,两点，写出点M 的坐标；③以②中的点M 为圆心，以2为半径作圆. 在此圆上找一点P ，使PA 的值最小，直接写出此最小值.。