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2014-2015年重庆市南开中学高二(上)期中数学试卷和答案(理科)

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高二上学期期中考试数学试卷含答案

高二上学期期中考试数学试卷含答案

高二级上学期期中考试题数学本试卷共8页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。

第一部分选择题（共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或1D ．0或－12．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )A.2π B ．22π C ．2πD ．4π3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 5．下列命题中，正确的是( )A ．任意三点确定一个平面B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 37．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=D ．10x y --=12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6第二部分非选择题（90分）三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______________．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．15．若直线:l y kx =与曲线:1M y =+有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点．(1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.22. (本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点? 若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.高二级上学期期中考试题 数学答案及说明一、选择题：1.D ，2.A ，3.C ，4.B ，5.C ，6.B ，7.D ，8.A ，9.BCD ，10.ACD ，11.ABC ，12.BC.二、填空题：13.0x ∀<，2210x x --≤；14.y ＝－2x －2；15.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭；16.36π.题目及详细解答过程：一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．0或1 D ．0或－1 解析：因为l 1⊥l 2，所以2m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1. 答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A.2π B ．22π C ．2π D ．4π 解析：设底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，r ＝h ＝22l ，则12(2r )2＝1，r ＝1，l ＝2.所以圆锥的侧面积为πrl ＝2π. 答案：A3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：当三棱锥D ­ABC 体积最大时，平面DAC ⊥平面ABC .取AC 的中点O ，则∠DBO 即为直线BD 和平面ABC 所成的角．易知△DOB 是等腰直角三角形，故∠DBO ＝45°.答案：C4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B ．5．下列命题中，正确的是( ) A ．任意三点确定一个平面 B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 解析：由线面垂直的性质，易知C 正确． 答案：C6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 3解析：易知NF 的斜率k ＝－3，故NF 的方程为y ＝－3(x －1)，即3x ＋y －3＝0. 所以M 到NF 的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3. 答案：B7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：D8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则22AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1202222d ++==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦，则[]22122,62ABP S AB d d ==∈△.故答案为A.二、多选题(每题5分，共20分)9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-，)a ，则2a ．∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．10．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD 【解析】若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对； 若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对； 故选：ACD ．11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --=【答案】ABC【解析】：当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为2y x =，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x y k ±=，把点(1,2)A 代入可得12k -=，或12k +=，求得1k =-，或3k =，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=； 综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 故选：ABC ．12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，23BC =，26CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6 【答案】BC【解析】作图在四棱锥P ABCD -中：为矩形，由题：侧面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，底面ABCDBC CD ⊥，则BC ⊥平面PCD ，过点B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接AC 交BD 于O ，连接MO ，PAC ∆中，OM ∥PA ，MO ⊆面MBD ，PA ⊄面MBD ，所以//PA 面MBD ，所以选项B 正确；四棱锥M ABCD -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的一半，取CD 中点N ，连接PN ，PN CD ⊥，则PN平面ABCD ，32PN =，四棱锥M ABCD -的体积112326321223M ABCD V -=⨯⨯⨯⨯=所以选项D 错误.矩形ABCD 中，易得6,3,3AC OC ON ===，PCD 中求得：16,2NM PC ==在Rt MNO 中223MO ON MN =+=即： OM OA OB OC OD ====，所以O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，半径为3， 所以其体积为36π，所以选项C 正确， 故选：BC三、填空题(每题5分，共20分)13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，， 则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线:l y kx =与曲线()2:113M y x =+--有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 答案：13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S ­ABC 的体积为311323r V SC OB OA ⎛⎫=⨯⋅⋅= ⎪⎝⎭，即r 33＝9.所以r ＝3.所以3344336.33=O V r πππ=⨯=球答案：36π四、解答题(每题5分，共70分)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程． 解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，..........1分因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.....3分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)．..........5分 (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x ..........6分当l 3不过原点时，设l 3的方程为12x y a a +=...........7分 又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2112a a+=， 得52a =，l 3的方程为2x ＋y －5＝0...........8分 综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0...........10分18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．18.解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，..........1分又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，..........3分 所以AB ⊥平面PAD ，..........4分又PD ⊂平面PAD ，..........5分所以AB ⊥PD ...........6分 (2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，.......8分又PA ⊥平面ABCD ，..........9分所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32...........12分19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值； (2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l与圆C 相离，求a 的取值范围．19.解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1...........2分又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，..........4分 所以|MN |的最小值为5－1＝4...........5分(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为y ＝43x －23.即4x －3y －2＝0..........7分因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则224243a a ->+.........9分又0a <，所以245a a ->-，解得2a >-..........11分 所以a 的取值范围是(－2，0)．.........12分20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点． (1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．20.解：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE ，则点E 是BC 1的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE ∥AC 1，.........1分 因为DE ⊂平面B 1CD ，.........2分AC 1⊄平面B 1CD ，.........3分所以AC 1∥平面B 1CD ..........4分(2)解：当CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1........5分 证明：因为AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD ..........6分又CD ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ，.........7分所以CD ⊥平面ABB 1A 1，因为CD ⊂平面CDB 1，.........8分 所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1，.........9分故点D 满足CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1......10分 因为AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 故△ABC 是以角C 为直角的三角形， 又CD ⊥AB ，所以AD ＝95..........12分22. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.21.解： 作于点G ，连接FG ， 四边形ABCD 是菱形,,，为等边三角形,,-----1分平面ABCD ，平面ABCD ，，又，，平面AFG ，BC FG ∴⊥-----2分 G∴为二面角的平面角，------3分----------------------------4分连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ， 则， ----------------------5分即，也就是，--------------------6分解得：； ------------------------------------------------7分(3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，221,3,5,AH CH FH FA AH ===+= FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，----8分 又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，-----9分CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，-------10分36sin 422CH CFH CF ∴∠===．-----------------12分 22.(本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点?若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.22.解：（1）当直线AB CD 、的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为:()()()112220,,,,y kx k A x y B x y =-≠------------1分由2229+=y kx x y =-⎧⎨⎩得：()221450k x kx +--=--------------------2分 点()0,2P -在圆内,故0∆>. 又 1212222422,21211M M Mx x k k x x x y kx k k k +∴+=∴===-=-+++ 即 2222,11kM k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭--------------------3分AB CD ⊥以1k -代换k 得22222,11k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭22222222111.22211MNk k k k k k k k k k -+-++∴==+++---------------4分∴直线MN 的方程为：222212121k k y x k k k -⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭化简得2112k y x k-=-，故直线MN 恒过定点()01-，--------------------5分 当直线AB CD 、的斜率不存在或为0时，显然直线MN 恒过定点()01-， 综上，直线MN 恒过定点()01-，--------------------.6分 (2) 解法一:圆心O 到直线AB的距离1d =AB ==分 （或由第（1）问得：21AB x =-==以1k -代换k 得CD =）AB CD ⊥∴以1k -代换k 得:CD =分12ACBD S AB CD ∴=⋅==分14=≤= 当且仅当221,1k k k==±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=-----------12分 解法二：设圆心O 到直线AB 、CD 的距离分别为12,d d 、则22222211229,9AB r d d CD r d d =-=-=-=---------------------7分AB CD ⊥222124d d OP ∴+==--------------------8分()()()2222121221991821818414ACBD S AB CD d d d d OP ∴=⋅=≤-+-=-+=-=-=--------------------10分当且仅当12d d =，即1k =±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=---------12分。

重庆市南开中学校2024-2025学年高三上学期11月期中考试语文试题

重庆市南开中学校2024-2025学年高三上学期11月期中考试语文试题

重庆市高2025 届高三第三次质量检测语文试卷注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间150分钟。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读Ⅰ(本题共5小题，19分)阅读下面的文字，完成1~5题。

材料一：我1985年中，共写了五部中篇和十几个短篇小说。

它们在思想上和艺术手法上无疑都受到了外国文学的极大的影响。

其中对我影响最大的两部著作是加西亚·马尔克斯的《百年孤独》和福克纳的《喧哗与骚动》。

我认为，《百年孤独》这部标志着拉美文学高峰的巨著，具有骇世惊俗的艺术力量和思想力量。

它最初使我震惊的是那些颠倒时空秩序、交叉生命世界、极度渲染夸张的艺术手法，但经过认真思索之后，才发现，艺术上的东西，总是表层。

《百年孤独》提供给我的，值得借鉴的、给我的视野以拓展的，是加西亚·马尔克斯的哲学思想，是他独特的认识世界、认识人类的方式。

他之所以能如此潇洒地叙述，与他哲学上的深思密不可分。

我认为他在用一颗悲怆的心灵，去寻找拉美迷失的温暖的精神的家园。

他认为世界是一个轮回，在广阔无垠的宇宙中，人的位置十分渺小。

他无疑受了相对论的影响，他站在一个非常的高峰，充满同情地鸟瞰着纷纷攘攘的人类世界。

而《喧哗与骚动》这部同样伟大的著作，最初让我注意的也是艺术上的特色，这些委实是雕虫小技。

后来，我才醒悟，应该通过作品去理解福克纳这颗病态的心灵，在这颗落寞而又骚动的灵魂里，始终回响着一个忧愁的无可奈何而又充满希望的主调：过去的历史与现在的世界密切相连，历史的血在当代人的血脉中重复流淌着。

去年一年，在基于上述认识的基础上，我认为我的作品中对外国文学的借鉴，既有比较高级的化境，又有属于外部摹写的不化境。

重庆南开中学校2024届高三第五次质检数学试卷+答案

重庆南开中学校2024届高三第五次质检数学试卷+答案

重庆市高2024届高三第五次质量检测数学试题命审单位：重庆南开中学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1.已知复数()i z a =∈R ，复数z 的共轭复数为z 若3z z ⋅=，则a =（ ）A.2B. D.82.函数()()sin cos f x x x x =−∈R 的图象的一条对称轴方程是（ ） A.π4x =B.π4x =−C.π2x = D.π2x =−3.已知函数()222x xf x −−=，则不等式()()230f x f x −+ 的解集是（ ）A.(],1∞−B.[)1,∞+C.(],3∞−D.[)3,∞+4.已知()26(21)x x a x ++−展开式中各项系数之和为3，则展开式中x 的系数为（ ） A.-10 B.-11 C.-13 D.-155.已知集合{}0,1,2,3,4A =，且,,a b c A ∈，用,,a b c 组成一个三位数，这个三位数满足“十位上的数字比其它两个数位上的数字都大”，则这样的三位数的个数为（ ） A.14 B.17 C.20 D.236.已知正三棱台111ABC A B C −的上､下底面的边长分别为6和12，且棱台的侧面与底面所成的二面角为60 ，则此三棱台的体积为（ ）A. D.7.已知函数()()120(0)xkx x x f x e kx x −−+=−>恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A.[)1,e B.()1,1,2e ∞ −∪+ C.1,2e−D.1,12 −8.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点3,02A p−，点M 在抛物线上，且满足MA MF =，若MAF的面积为p 的值为（ ）A.3B.4C.D.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，112a =，若数列{}n n a S −既是等差数列，又是等比数列，则（ ）A.{}n a 是等差数列B.ln n a n是等比数列 C.{}n S 为递增数列 D.(){}1n n n a −最大项有两项10.已知圆22:4O x y +=，过直线:3l y x =−上一点P 向圆O 作两切线，切点为A B ､，则（ ）A.直线AB 恒过定点44,33−C.AB 的最小值为43D.满足PA PB ⊥的点P 有且只有一个 11.某中学为了提高同学们学习数学的兴趣，激发学习数学的热情，在初一年级举办了以“智趣数学，“渝”你相约”为主题的数学文化节活动，活动设置了各种精彩纷呈的数学小游戏，其中有一个游戏就是数学知识问答比赛.比赛满分100分，分为初赛和附加赛，初赛不低于75的才有资格进入附加赛（有参赛资格且未获一等奖的同学都必须参加）.奖励规则设置如下：初赛分数在[]95,100直接获一等奖，初赛分数在[)85,95获二等奖，但通过附加赛有15的概率升为一等奖，初赛分数在[)75,85获三等奖，但通过附加赛有13的概率升为二等奖（最多只能升一级，不降级），已知A 同学和B 同学都参加了本次比赛，且A 同学在初赛获得了二等奖，根据B 同学的实力评估可知他在初赛获一､二､三等奖的概率分别为111,,642，已知4，B 获奖情况相互独立.则下列说法正确的有（ ） A.B 同学最终获二等奖的概率为13B.B 同学最终获一等奖的概率大于A 同学获一等奖的概率C.B 同学初赛获得二等奖且B 最终获奖等级不低于A 同学的概率为21100D.在B 同学最终获奖等级不低于A 同学的情况下，其初赛获三等奖的概率为41512.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，点P 在侧面11AA D D 内运动（包括边界），Q 为棱DC 中点，则下列说法正确的有（ ）A.存在点P 满足平面PBD ∥平面11B D CB.当P 为线段1DA 中点时，三棱锥111P A B D −C.若()101DP DA λλ=，则PQ PB −最小值为32D.若QPD BPA ∠∠=，则点P 的轨迹长为2π9三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知角α终边上有一点()2,1P ，则πsin 22α+=__________. 14.已知数列{}n a 满足111750,1751n n a a a +==−，若123n n T a a a a =⋅⋅ ，则2024T =__________. 15.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为()()12,0,,0F c F c −，过椭圆外一点()3,0P c 和上顶点M 的直线交椭圆于另一点N ，若1MF ∥2NF ，则椭圆的离心率为__________.16.平面向量,,a b c 满足||||2,()()1a b c a c b ==−⋅−=−，则a c ⋅ 最大值为__________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.如图，在平面四边形ABCD 中，ACD 为钝角三角形，,AC BC P ⊥为AC 与BD 的交点，若π,4,6ACD AD AC ∠===，且7tan 9BAD ∠=（1）求ADC ∠的大小； （2）求PDC 的面积.18.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足__________.①首项*11,,a m n =∀∈N ，均有2m nn S S mn +=+ ②*n ∀∈N ，均有0n a >且()214n n a S −=请从条件①和②中选一个填到题目条件下划线上（若两个都填，以第一个为准），并回答下面问题： （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}2na n a ⋅前n 项和nT 的表达式19.新能源渗透率是指在一定时期内，新能源汽车销量占汽车总销量的比重.在2022年，新能源汽车的渗透率达到了28.2%，提前三年超过了“十四五”预定的20%的目标.2023年，随着技术进步，新能源车的渗透率还在继续扩大.将2023年1月视为第一个月，得到2023年1-10月，我国新能源汽车渗透率如下表： 月份代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 渗透率%y29323432333436363638（1）假设自2023年1月起的第x 个月的新能源渗透率为%y ，试求y 关于x 的回归直线方程，并由此预测2024年1月的新能源渗透率.（2）为了鼓励大家购买新能源汽车，国家在2024年继续执行新能源车购置税优惠政策：在2024年6月1日前购买的新能源车无需支付购置税，而燃油车需按照车价10%支付购置税.2024年1月小张为自己的客户代付购置税，当月他的客户购买了3辆车价格均为20万元，假设以（1）中预测的新能源渗透率作为当月客户购买新能源车的概率，设小张总共需要代付的购置税为X 万元，求X 的分布列和期望.附：一组数据()()()1122,,,,,n n x y x y x y 的线性回归直线方程ˆˆˆybx a =+的系数公式为：1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxyb ay bx xnx ==−==−−∑∑ 20.如图，斜三棱柱111ABC A B C −中，底面ABC 是边长为a 的正三角形，侧面11ABB A 为菱形，且160A AB ∠= .（1）求证：1AB A C ⊥； （2）若11cos 4A AC ∠=，三棱柱111ABC A B C −的体积为24，求直线1A C 与平面11CBB C 所成角的正弦值.21.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的一条浙近线方程为y x =，且点P在双曲线上.（1）求双曲线的标准方程；（2）设双曲线左右顶点分别为,A B ，在直线1x =上取一点()()1,0P t t ≠，直线AP 交双曲线右支于点C ，直线BP 交双曲线左支于点D ，直线AD 和直线BC 的交点为Q ，求证：点Q 在定直线上.22.若函数()f x 在定义域内存在两个不同的数12,x x 同时满足()()12f x f x =且()f x 在点()()11,x f x ，()()22,x f x 处的切线斜率相同，则称()f x 为“切合函数”.（1）证明：()326f x x x =−为“切合函数”； （2）若()21ln g x x x x ax e=−+为“切合函数”（其中e 为自然对数的底数），并设满足条件的两个数为12,x x .①求证：2124e x x <；②求证：2123(1)4a x x +<.数学试题参考答案与评分细则题号 1 23 4 5 6 7 8 9101112选项 A BABCCDDBCD ACBCDABD13.35【解析】2π3sin 2cos212sin 25αααα +==−=14.750【解析】2341231111750751,,117501751a a a a a a ====−==−−− 所以{}n a 周期为3，且6741232024121,(1)750a a a T a a =−=−⋅⋅=【解析】法一：因为2F 为1PF 中点，1MF ∥2NF ，所以N 也是PM 中点. 则3,22c b N，代入椭圆方程可得离心率c e a==法二：因为2F 为1PF 中点，1MF ∥2NF ，所以2113,222N a c NF MF x === 用焦半径公式322a a e c −⋅=，解得c e a==16.4【解析】设()()0,0,2,0O OA a == ，向量,a b夹角为θ，则()2cos ,2sin b OB θθ==设(),c x y =，由()()1c a c b −⋅−=− 得： ()()2,02cos ,2sin 1x y x y θθ−−⋅−−=−化简得： 22(1cos )(sin )12cos x y θθθ −++−=−，即(),x y 在一个圆上 而2a c x ⋅= ，所以即求x 的最大值，为c 在a上投影长度最大时，即1cos θ+ 令t=，则(22221cos 32(1)44x t t t θ=++=−+=−−+ 在1t =即π2θ=时取得17.解：（1）在ACD中，由正弦定理得：sin sin sin AD ACADC ACD ADC∠∠∠=⇒==π3ADC ∠∴=或2π3，当π3ADC ∠=时，π2DAC ∠=，与ACD 为钝角三角形不符合，舍去.所以2π3ADC ∠=. （2）由（1）知，ACD 为等腰三角形，()πtan tanπ6,4,tan tan π61tan tan 6BAD DAC DC BAC BAD DAC BAD ∠∠∠∠∠∠−===−=+⋅ ,tan 3AC BC BC AC BAC ∠⊥∴=⋅= ，由1π11ππsin sin 262262DCP PCBDCB S S S DC PC PC CB DC CB ∧+=⇒⋅⋅⋅+⋅=⋅⋅+，可得1πsin 26PDC PC S DC PC =∴=⋅⋅=法二：作DH AC ⊥于H ，则πsin 26DH DC ==， 由PDH PBC ∽得23DP DH PB BC ==，则221ππsin 55262DCP DCB S S CD ==⋅⋅+. 18.解：（1）若选条件①，则令1m =，可得：121n n S S n +−=+，故当2n 时有：()()()()212132113521n n n S S S S S S S S n n −=+−+−++−=++++−=⇒ 221(1)21n n n a S S n n n −=−=−−=−又当11a =也符合上式，所以21na n =− 若选条件②，则由()214n n a S +=可得当2n 时有：()21114n n a S −−+=，两式相减得；()()1120n n n n a a a a +−+−−=，因为0n a >，故有120n n a a −−−= 又由题可求得11a =，所以{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，从而有21na n =− （2）由（1）可知：()212212na n n a n −⋅=−，则()13521123252212n n T n −=×+×+×++− ()357214123252212n n T n +=×+×+×++−两式相减得：()()13521213122222212n n n T n −+−=×+×+++−−()()1212181410522212221433n n n n n −++−=+×−−=−+− −所以2110252939n n n T + =+−⋅19.（1）计算得 5.5,34xy =，所以：122211936105.53466ˆˆˆ0.8,340.85.529.6385105.582.5ni ii nii x y nxyb a y bx xnx ==−−⋅⋅=====−=−⋅=−⋅−∑∑ 则同归直线方程为ˆ0.829.6y x =+，代入13x =得40y = 所以预测2024年1月新能源渗透率为40%； （2）由题意，每个客户购买新能源车的概率为25，燃油车概率为35X 所有可能取值为0,2,4,6则()()321132823360,2512555125P X P X C ======， ()()2323123543274,6551255125P X C P X======所以X 的分布列为所以()365427450182461251251251255E X =⋅+⋅+⋅==（万元）. 20.解：（1）证明：取AB 中点O ，连接1,A O CO ，由题知1A AB 为正三角形，而ABC 也是正三角形，1,A O AB CO AB ∴⊥⊥，又1,A O CO O AB ∩=∴⊥ 平面1ACO ， 1A C ⊂ 平面11,A CO AB A C ∴⊥（2）111,cos 4A AAB AC a A AC ∠==== ， 由余弦定理得2222111132cos 2A C AA AC AA AC A AC a ∠=+−⋅⋅=1AC ∴，又1AO CO ==， 222111,AO CO AC AO CO ∴+∴⊥ 又11,,A O AB AB CO O A O ⊥∩=∴⊥ 平面1,ABC A O CO AB ∴､､两两垂直. 以O 为原点，以,,CO OB OA的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系如图.因为三棱柱111ABC A B C −的体积为21244ABC V S AO a a =⋅==⇒= ， 则()()()((110,2,0,0,2,0,,0,0,,A B C A AC −−−−(()110,2,,2,0CC AA CB ===.设平面11CBB C 的法向最为(),,nx y z =，由120020y n CC n CB y +⋅=⇒ ⋅=+= ′，可取()1,n = ，设向量n 与1AC的夹角为θ，()(11,cos n AC θθ∴⋅=⋅−−=−⇒， ∴直线1A C 与平面11CBB C.21.解：（1）因为渐近线方程为y x =，所以a b =，设双曲线为222x y a −=，代入P得24a =，双曲线的标准力程为224x y −=（2）设直线3:2AP x y t =−，联立双曲线22324x y tx y=−−= 得： 22222291212318244,,299cc t t y y y y x y t t t t t ε+−+−===−=−−；设直线1:2BP x y t =−+，联立双曲线22124x y t x y=−+ −= 得： 22222214412244,,2;11D D D t t y y y y x y t t t t t −−−+−===−+=−− 所以2222224121319,442219C D AD BCD C t ty y t t k k t t x t x tt t −−===−===−+−−− 则()()13:2,:2AD y x BC y x t t=−+=− 设()00,Q x y ，则()()00001232y x t y x t=−+=−，两式相除消t 得00021,123x x x −=−=+ 所以Q 在直线1x =上 另证：设直线()()()2242:22222D D D D D D D D y y x x AD y x x x x x y y −−=+=⋅+=+++， 直线()()()2242:22222C C C C C C C Cy y x x BC y x x x x x y y −+=−=⋅−=−−−，由于BP BD k k =，即2DD y t x =−−，由于AP AC k k =，即23C C y tx =+则()()13:2,:2AD y x BC y x tt=−+=−.后同前证22.解：（1）假设存在12,x x 满足题意，易知()266f x x =−′，由题可得： ()()3322121122112226263f x f x x x x x x x x x ⇔−−⇒++()()221212121266660f x f x x x x x x x ′=⇔−−′=⇒+=⇒=−代入上式可解得()(12,x x =或，故()f x 为“切合函数”（2）由题可知()2ln 1xg x x a e=−++′，因为()g x “切合函数”，故存在不同的12,x x （不妨设120x x <<）使得：()()()()221122211211122221121221121221ln ln 1ln ln :222ln 1ln 12ln ln x x x x x x x x a x x ax x x ax x x e g x g x e e g x g x x x e x x x a x a x x e e −+ =+ −+=−+ −= ⇔⇔ =− =−++=−++ − ′′①先证：2121ln ln x x x x −>−2211ln ln ln x x x x =>−=令t =，则由120x x <<可知1t >，要证上式，只需证： ()211ln 2ln 2ln 0(1)t t t m t t t t l l −>=⇔=−+<>，易知()22(1)0t m t t−−=<′ 故()m t 在()1,∞+单调递减，所以()()10m t m <=，故有2121ln ln x x x x −>− 由上面的221224e e x x <⇒< ②由上面的2式可得：21211ln ln 12x x x x e −−，代入到1式中可得： ()()()()212111221122211211221221212121ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln 1222x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x a x x x x x x x x −+−−−+−=+===−−−− 21212ln 2a x x x x e −−⇒=且由（1）可得2ln 24ln 2e a e >−= （另解：由上面的2式可得2121ln ln 2x x x x e−−=，代入到1式的变形： ()2221211122ln ln x x a x x x x x x e−−=−+，整理后也可得到12ln 2x x a =−）故要证2123(1)4a x x +<，只需证： 2222332(1)(1)0ln 44a a a a a e e e e a a e −− +−<⇔+−+>>设()2232(1)ln 4a a h a e e a a e =+−+>，则即证：()0h a > ()()()()()22321,323212a a a a a a h a e e a h a e e e e ′=+−+=+−′=′−+ ()()222ln ln ,320033a a a e e h a h a e >>∴>⇒>′′⇒>⇒′− 在2ln ,3∞ + 单调递增()()2222ln ln 2ln 10ln 10333h a h h x x e >>=′′′−−>−− ()h a ⇒在2ln ,3∞ + 单调递增()2222ln ln ln ln 20333h a h h e  ⇒>>=−−>  所以原不等式成立 另证：当2ln ,0a e∈时，可用1a e a + 放缩代入证明不等式成立 当()0,a ∞∈+时，可用2112a e a a ++放缩代入证明不等式成立 综上，原不等式成立。

2024-2025学年重庆市南开中学高一数学上学期开学考试卷附答案解析

2024-2025学年重庆市南开中学高一数学上学期开学考试卷附答案解析

2024-2025学年重庆市南开中学高一数学上学期开学考试卷（试卷满分：100分时间：90分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.一个四边形的四边长依次为a ，b ，c ，d ，且()2a cb d -+-=，则这个四边形一定为（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形2.若()2419x k x -++能用完全平方公式因式分解，则k 的值为（）A.6± B.12± C.13-或11D.13或11-3.把2212x xy y -++分解因式的结果是（）A.()()()112x x y x y +-++B.()()11x y x y ++--C.()()11x y x y -+-- D.()()11x y x y +++-4.）A.7与8B.8与9C.9与10D.10与115.将抛物线223y x x =-+通过某种方式平移后得到抛物线()244y x =-+，则下列平移方式正确的是（）A.向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度B.向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度C.向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度D.向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度6.若实数a b ≠，且a ，b 满足2850a a -+=，2850b b -+=，则代数式1111b a a b --+--的值为（）A.2B.－20C.2或－20D.2或207.若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围是（）A .30k -<< B.30k -≤≤ C.30k -<≤ D.3k <-或0k ≥8.若关于x 的不等式组1024223x aa x -⎧->⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩无解，且一次函数()()52y a x a =-+-的图象不经过第一象限，则符合条件的所有整数a 的和是（）A.7B.8C.9D.10二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.我们定义一种新函数，形如22(0,40)y ax bx c a b ac =++≠->的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数223y x x =--的图象（如图所示），并写出下列四个结论，其中正确的结论是（）A.图象与y 轴的交点为()0,3B.图象具有对称性，对称轴是直线1x =C.当11x -≤≤或3x ≥时，函数值y 随x 值的增大而增大D.当1x =时，函数的最大值是410.已知不等式23210ax ax ++>，则下列说法正确的是（）A.若1a =-，则不等式的解集为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B.若不等式的解集为42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，则18a =-C.若不等式的解集为()12,x x ，则120x x >D.若不等式的解集为()12,x x ，1223x x x x ++-≥11.已知抛物线212y x bx c =-+，当1x =时，0y <；当2x =时，0y <．下列说法正确的是（）A.22b c<B.若1c >，则32b >C.已知点()()1122,,,A m n B m n 在抛物线212y x bx c =++上，当12m m b <<时，12n n >D.若方程2102x bx c -+=的两实数根为12,x x ，则123x x +>三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分．12.多项式22244625x xy y x -+++的最小值为_______．13.记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1sin cos sin 2b A C a B =，6ab =，则△ABC 的面积为______．14.对于每个x ，函数y 是16y x =-+，22246y x x =-++这两个函数的较小值，则函数y 的最大值是________.四、解答题：本题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知关于x 的一元二次方程()222221x kx k x -++=-有两个实数根12,x x ．（1）求实数k 的取值范围；（2）若方程的两个实数根12,x x ，满足x x x x +=-12126，求k 的值．16.已知函数21x ay x +=+．（1）当1x >-时，函数值y 随x 的增大而增大．求a 的取值范围；（2）若1a =，求[]0,2x ∈时，函数值y 的取值范围．17.已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(2,)A c ，（1）求该抛物线的对称轴；（2）若点1(,)n y 和点2()2,n y -均在该抛物线上，当2n <时．请你比较12,y y 的大小；（3）若1c =，且当12x -≤≤时，y 有最小值13，求a 的值．18.已知a =2281a a -+的值，小明是这样分析与解答的：∵2a ===-，∴2a -=，∴()223a -=，即2443a a -+=，∴241a a -=-，∴()()222812412111a a a a -+=-+=⨯-+=-．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）若a =23121a a --的值；（2+的值；（3-的大小，并说明理由．19.已知某二次函数图象的顶点坐标为()3,4-，且图象经过点()0,5．（1）求该二次函数的解析式，（2）若当2x t ≤≤时，该二次函数的最大值与最小值的差是9，求t 的值；（3）已知点()()2,,5,4M m N -，若该函数图象与线段MN 只有一个公共点，求m 的取值范围．【答案】1.A【分析】由非负数和为零的意义得0a c -=，0b d -=，由平行四边形的判定方法即可求解．【详解】 ()20a c b d -+-=，0a c ∴-=，0b d -=，a c ∴=，b d =，∴四边形一定是平行四边形．故选：A ．2.C【分析】由题意可知，关于x 的方程()24190x k x -++=有两个相等的实根，可得出0∆=，即可求得实数k 的值.【详解】由题意可知，关于x 的方程()24190x k x -++=有两个相等的实根，则()()22214491120k k ∆=+-⨯⨯=+-=，解得11k =或13-.故选：C.3.D【分析】观察发现：一、三、四项一组，符合完全平方公式，然后运用平方差公式继续分解．【详解】2212x xy y -++()2221x xy y =++-2()1x y =+-()()11x y x y =+++-．故选：D ．4.C【分析】根据二次根式的乘法和二次根式的性质化简的大小，进一步求解.52+=+=+，1.414≈，45∴<<，9510∴<+<.故选：C.【分析】将原二次函数整理为用顶点式表示的形式，根据二次函数的平移法则即可判断.【详解】函数()222312y x x x =-+=-+，对称轴轴为1x =，顶点为()1,2，函数()244y x =-+，对称轴为=4x ，顶点为()4,4，故将抛物线223y x x =-+向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到()244y x =-+的图象.故选：A 6.B 【分析】利用韦达定理可求1111b a a b --+--的值.【详解】因为2850a a -+=，2850b b -+=，故,a b 为方程2850x x -+=的两个根，故8,5a b ab +==.又()()()()()()22211222111111b a a b a b ab b a a b ab a b ab a b -+-+-+-+--+==---++-++641610220581--+==--+，故选：B.【点睛】本题考查一元二次方程的解、韦达定理，注意利用同构的思想来构建方程，另外注意将代数式整合成与两根和、两根积有关的代数式，本题属于基础题.7.C【分析】由23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，结合函数的性质分类讨论进行求解.【详解】解：23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，①0k =时，308-<恒成立，②0k ≠时，2Δ30k k k <⎧⎨=+<⎩，解得30k -<<，综上可得，30k -<≤，故选：C.【分析】先解不等式组求出a的取值范围,再根据一次函数的图象不经过第一象限求出a的取值范围，从而可得符合条件的所有整数a,然后求和即可得到答案.>0①≤2②，解不等式①得：2x a>+，解不等式②得：32x a≤-，此不等式组无解,232a a∴+≥-，解得13a≥，一次函数()()52y a x a=-+-的图象不经过第一象限，5020aa-<⎧∴⎨-≤⎩，解得25a≤<，综上所述：25,a≤<所以符合条件的所有整数a的和是2349++=故选:C9.ABC【分析】代入检验函数图象上的点判断选项A；观察图象结合二次函数对称轴公式求解选项B；观察图象变化情况判断选项C；由函数图象得最值情况判断选项D.【详解】对于A，点0,3的坐标满足函数223y x x=--，所以函数图象与y轴的交点为0,3，A选项正确；对于B，观察图象可知，图象具有对称性，对称轴用二次函数对称轴公式求得是直线1x=，故B选项正确；对于C，根据函数的图象和性质，发现当11x-≤≤或3x≥时，函数值y随x值的增大而增大，故C选项正确；对于D，由图象可知，当1x<-时，函数值y随x值的减小而增大，当3x>时，函数值y随x值的增大而增大，均存在大于顶点纵坐标的函数值，故当1x=时，函数值4并非最大值，D选项不正确.故选：ABC.10.ABD【分析】对于A 解一元二次不等式即可判断，对于BC 根据不等式的解集可知对应一元二次方程的根，由根与系数的关系求解即可判断，对于D ，根据根与系数的关系及绝对值不等式即可判断.【详解】对于A ，1a =-时，不等式23210x x --+>，即23210x x +-<，即()()3110x x -+<，解得113x -<<，所以不等式的解集为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，A 正确；对于B ，若不等式的解集为42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，则二次函数2321y ax ax =++的图象开口向下，即0a <，且23210ax ax ++=方程的两根为42,3-，故14233a =-⨯，所以18a =-，B 正确；对于C ，若不等式的解集为()12,x x ，则二次函数2321y ax ax =++的图象开口向下，即0a <，且23210ax ax ++=方程的两根为12,x x ，故12103x x a=<，C 错误；对于D ，若不等式的解集为()12,x x ，则二次函数2321y ax ax =++的图象开口向下，即0a <，且23210ax ax ++=方程的两根为12,x x ，故1223x x +=-，所以()()12121223x x x x x x x x x x ++-≥+--=+=，当且仅当()()120x x x x +-≤时，等号成立，D 正确.故选：ABD.11.BC【分析】对于A,利用根的判别式可判断;对于B,把=1,代入,得到不等式,即可判断;对于C,求得抛物线的对称轴为直线x b =,利用二次函数的性质即可判断;对于D,利用根与系数的关系即可判断.【详解】对于A,102a => ,开口向上,且当=1时,0y <；当=2时，0y <，∴抛物线212y x bx c =-+与x 轴有两个不同的交点,22Δ420,b ac b c ∴=-=->22b c ∴>,故A 不正确;对于B, 当=1时,0y <,102b c ∴-+<,即12b c >+,312c b >∴> ,故B 正确;对于C,抛物线212y x bx c =-+的对称轴为直线x b =,且开口向上,当x b <时，y 的值随x 的增加反而减少，∴当12m m b <<时，12n n >,故C 正确；对于D, 方程2102x bx c -+=的两实数根为12,x x ,122x x b ∴+=, 当1c >时,32b >,∴123x x +>,但当1c <时,则b 未必大于32,则123x x +>的结论不成立,故D 不正确;故选：BC.12.16【分析】将多项式分别按照,x y 的二次项与x 的二次项进行配方，分析即可求得.【详解】()()22222244625446916x xy y x x xy yxx -+++=-+++++()()222316x y x =-+++，因对任意实数,x y ，都有()()2220,30x y x -≥+≥成立，故当且仅当2030x y x -=⎧⎨+=⎩，即323y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩时，多项式取得最小值16.故答案为：1613.2【分析】根据正弦定理化简1sin cos sin 2b A C a B =可得.【详解】由正弦定理，1sin sin cos sin sin 2B A C A B =，因为sin 0,sin 0A B >>，故1cos 2C =.又()0,πC ∈，故π3C =，故1sin 22ABC S ab C ==V .故答案为：33214.6【分析】根据函数解析式，在同一平面直角坐标系内作出大致图象，然后根据图象即可解答.【详解】函数16y x =-+，22246y x x =-++的图像如图，函数y 取两个函数的较小值，图像是如图的实线部分，两个函数图像都过()0,6点.当0x ≤时，12y y ≤，函数y 的最大值是6，当0x >时，函数y 无论在16y x =-+上取得，还是22246y x x =-++上取得，总有6y <，即0x >时，函数y 的图像是下降的.所以函数y 的最大值是6.故答案为：6.15.（1）12k ≤；（2）4-.【分析】（1）利用一元二次方程有实根的等价条件，列出不等式求解即得.（2）利用韦达定理，结合已知列出方程并求解即得.【小问1详解】方程22222(1)x kx k x -++=-，整理得222(1)0x k x k --+=，由该方程有两个实数根12,x x ，得224(1)40k k ∆=--≥，解得12k ≤，所以实数k 的取值范围是12k ≤.【小问2详解】由12,x x 是方程222(1)0x k x k --+=的两个实数根，得2121221(),x x k x x k -+==，而x x x x +=-12126，则2|2(1)|6k k -=-，由（1）知，2()10k -<，于是2280k k +-=，又12k ≤，解得4k =-，所以k 的值为4-.16.（1）2a <（2）51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1)将21x a y x +=+变形为221a y x -=++，根据反比例函数的性质可求出a 的取值范围；(2)将1a =代入到函数，根据函数单调性即可求出函数的值域.【小问1详解】()212222111x a x aa y x x x ++-+-===++++，因为当1x >-时，函数值y 随x 的增大而增大，根据反比例函数性质可知20a -<，即2a <，所以a 的取值范围是2a <.【小问2详解】因为1a =，所以211211x y x x +==-++，因为当[]0,2x ∈时，函数值y 随x 的增大而增大，所以当0x =时，y 有最小值12101-=+；当2x =时，y 有最大值152213-=+，所以当1a =，[]0,2x ∈时，函数值y 的取值范围是51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．17.（1）1x =；（2）答案见解析；（3）23或29-.【分析】（1）把(2,)c 代入二次函数解析式，求出,a b 的关系，再求出对称轴.（2）把1(,)n y 和2()2,n y -分别代入二次函数解析式，作差分类即可判断.（3）按二次项系数的正负分类求出最小值即可得解.【小问1详解】由二次函数2y ax bx c =++的图象过点(2,)A c ，得42a b c c ++=，解得2b a =-，所以该抛物线的对称轴为直线2bx a =-，即1x =.【小问2详解】由（1）得抛物线的解析式为22y ax ax c =-+，依题意，212y an an c =+-，222(()22)y a n a n c --=-+，则2212)2[2()()2]4(22y y an an c a n a n c a n +---=-=+---，而2n <，当0a >时，有420()a n -<，因此12y y <；当0a <时，有420()a n ->，因此12y y >，所以当0a >时，12y y <；当0a <时，12y y >.【小问3详解】由1c =，得抛物线的解析式为221y ax ax =-+，当0a >时，则当1x =时，y 有最小值，即1213a a -+=，解得23a =；当0a <时，即当1x =-时，y 有最小值，即1213a a ++=，解得29a =-，所以a 的值为23或29-.18.（1）2（2）9（3）<，理由见解析【分析】(1)根据小明的分析过程，a =，化为2a =+，则2a -=，两边平方得241a a -=，由()223121341a a a a --=--即可求解；(2)++ 的每一项分母有理化，即可求得结果；(3)因为>>，可得0>，0->，由=+=+，可得结论.【小问1详解】∵2a ===+，∴2a -=，∴()225a -=，即2445a a -+=，∴241a a -=，∴()2231213413112a a a a --=--=⨯-=.【小问2详解】+=+++119=++= .【小问3详解】<∵202520242023>>>>0>，0>，==，==，+>>∴<19.（1）265y x x =-+.（2）6（3）4m =-或3m >-【分析】（1）利用顶点设出抛物线标准方程，代入点()0,5，计算即得函数解析式；（2）根据抛物线的对称轴与给定的x 的范围分类讨论，列方程计算即得t 的值；（3）作出二次函数图象，就直线2x =上的动点()2,M m 的两个特殊位置1(2,3)M -和2()2,4-M ,分别结合图象即可判断得到m 的取值范围.【小问1详解】由二次函数图象的顶点坐标为3,−4，设该二次函数的解析式为2(3)4y a x =--，∵图象经过点()0,5，∴945a -=，解得1a =.∴该二次函数的解析式为22(3)465y x x x =--=-+.【小问2详解】①当23t ≤<时，最小值为265y t t =-+，最大值为226253y =-´+=-，由23(65)9t t ---+=可得26170t t -+=，此时方程无实数解；②当3t ≥时，2(3)4y x =--的最小值为－4，若34t ≤<，则2(3)4y x =--的最大值为2(23)43--=-，此时3(4)19---=≠，不合题意；若4t ≥，则2(3)4y x =--的最大值为265y t t =-+，此时，265(4)9t t -+--=，解得0t =或6t =，因4t ≥，故6t =.综上，当6t =时，二次函数的最大值与最小值的差是9.【小问3详解】如图，函数265y x x =-+的图象大致如下，由题意，知点()2,M m 是直线2x =上的动点，在抛物线265y x x =-+上，由2x =可得=3y -，此时点1M 的坐标为(2,3)-，因()5,4N -，由图可知：①当3m >-时，点M 在点1M 上方，此时函数265y x x =-+的图象与线段MN 只有一个公共点，符合题意；②又当4m =-时，图中点2()2,4-M ,也满足函数265y x x =-+的图象与线段MN 只有一个公共点．综上所述，m 的取值范围为4m =-或3m >-.。

重庆市高二上学期期中数学试题(解析版)

重庆市高二上学期期中数学试题(解析版)

一、单选题1．是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（ ）,a bA ．B ．C ．D ．a b = 1a b ⋅= //a b 22a b = 【答案】D【分析】由单位向量、共线向量、相等向量、向量数量积和模长定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A ，模长相等，但方向未必相同，A 错误；,a b对于B ，，B 错误； []cos ,cos ,1,1a b a b a b a b ⋅=⋅<>=<>∈- 对于C ，模长相等，但未必同向或反向，C 错误；,a b对于D ，，，D 正确.1a b == 221a b ∴== 故选：D.2．将直线l 沿x 轴正方向平移2个单位，再沿y 轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则的斜率是（ ） l A ．B ．4C ．1D ．32-12【答案】A【分析】设直线l 上任意一点，再根据题意可得也在直线上，进而根据()00,P x y ()2002,3P x y +-两点间的斜率公式与直线的斜率相等列式求解即可.【详解】设直线l 上任意一点，将直线l 沿x 轴正方向平移2个单位，则P 点移动后为()00,P x y ，再沿y 轴负方向平移3个单位，则点移动后为． ()1002,P x y +1P()2002,3P x y +-∵都在直线l 上，∴直线l 的斜率．2,P P 00003322k y y x x --=-+-=故选：A ．3．经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为（ ） ()2,3A π4A ．B ．C ．D ．1y x =+1y x =-=1y x --1y x =-+【答案】A【分析】根据倾斜角求出斜率，写出点斜式方程，化为斜截式可得答案. 【详解】斜率， πtan14k ==点斜式方程为， 32y x -=-斜截式方程为.1y x =+故选：A4．已知圆与圆相交于，两点，且直线的方程为，则1C 2C ()2,3A (),1B m 12C C 0x y n +-=m n +=（ ） A ．3 B ．5C ．7D ．9【答案】A【分析】先推出直线是线段的垂直平分线，再根据垂直和平分列式可求出. 12C C AB ,m n 【详解】因为，， 11||||C A C B =22||||C A C B =所以直线是线段的垂直平分线，12C C AB 所以，解得，3112231022mm n -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩03m n =⎧⎨=⎩所以. 3m n +=故选：A5．若函数在闭区间上有最大值为3，最小值为2，则实数m 的范围是()223x x x f =-+[]0,m （ ） A ． B ．C ．D ．(],2-∞[]0,2[]1,2[)1,+∞【答案】C【分析】根据二次函数的单调性，结合函数的最值进行求解即可. 【详解】，()()222312f x x x x =-+=-+当时，当时，函数单调递减，所以有 01m <≤[]0,x m ∈；()()()()2max min 03,2321f x f f x f m m m m ====-+=⇒=当时，，对称轴为，1m >()()()023,12f f f ===1x =因为函数在闭区间上有最大值为3，最小值为2，()223x x x f =-+[]0,m 所以有，12m <≤综上所述：实数m 的范围是， []1,2故选：C6．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，求此曲线围成的图形的面积为（ ）22:22C x y x y +=+A ． B ． C ． D ．88π+84π+168π+816π+【答案】B【分析】分类讨论将曲线中的绝对值去掉可得四段关系式，从而作出曲线的图象，根据图像即可C 计算出其面积.【详解】由可得，22:22C x y x y +=+当时，，即，表示圆心为，半径0,0x y ≥≥2222x y x y +=+22(1)(1)2x y -+-=(1,1)r =圆；当时，，即，表示圆心为，半径0,0x y ≥<2222x y x y +=-22(1)(1)2x y -++=(1,1)-r =圆；当时，，即，表示圆心为，半径0,0x y <≥2222x y x y +=-+22(1)(1)2x y ++-=(1,1)-r =圆；当时，，即，表示圆心为，半径0,0x y <<2222x y x y +=--22(1)(1)2x y +++=(1,1)--r =圆；所以曲线的图象如下图所示：22:22C x y x y +=+因此曲线围成的图形的面积为；(222π84πS =+⨯=+故选：B7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，()2223x y ++≤若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区()4,0A -10x y +-=域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】计算出点在直线的对称点的坐标，计算出点到圆的圆心A 10x y +-=B B ()2223x y ++=的距离，利用圆的几何性质可求得“将军饮马”的最短总路程. 【详解】设点关于直线的对称点为，A 10x y +-=(),B m n线段的中点在直线，即，即，① AB 4,22m n -⎛⎫⎪⎝⎭10x y +-=41022m n -+-=60m n +-=直线的斜率为，则，② 10x y +-=1-14AB nk m ==+联立①②可得，，即点，1m =5n =()1,5B圆的圆心为，半径为，()2223x y ++=()0,2C -r =设将军在河边的饮水处为点，则，设线段交圆于点， M AM BM =BC C P则AM MP BM MP BC r +=+≥-==因此，“将军饮马”的最短总路程为. BC r -=故选：A.8．在一个半圆中有两个互切的内切半圆，由三个半圆弧围成“曲线三角形”，作两个内切半圆的公切线把“曲线三角形”分隔成两块，且被分隔的这两块中的内切圆是同样大小的，如图，若，则阴影部分与最大半圆的面积比为（ ）2AC CB =A ．B ．C ．D ．108120814989【答案】B【分析】设，则，，建立直角坐标系，根据已知条件求出各点坐标，由圆2BC r =4AC r =6AB r =O 与圆内切，解得，由圆O 与圆内切，解得，分别求出阴影部分与最大半圆的3O 23a r =4O 23b r =面积，即可求出答案.【详解】设，则，，以C 为坐标原点，2BC r =4AC r =6AB r =建立如图所示的坐标系，则C （0，0），，，． ()12,0O r -(),0O r -()2,0O r 设，，则()3,O a t -()4,O b v ()()22222r a r a t +--=（圆，外切与勾股定理结合），得． 1O 3O t =(3,O a -由圆O 与圆，解得． 3O 3r a =-23a r =同理（圆，外切与勾股定理结合）， ()()222r b r bv +--=2O 4O 得O 与圆，v =4O 3r b =-解得．设阴影部分的面积为，最大半圆的面积为， 23b r =1S 2S ， ()()222221111210ππ3π2π2π22239r rS r r r ⎛⎫=⋅-⋅--⋅=⎪⎝⎭所以．2210π209981π2r S S r ==12故选：B.二、多选题9．下列结论中正确的有（ ）A ．直线倾斜角的范围是π0,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．若两条相交直线所成的角为，其方向向量的夹角为，则或 αθαθ=παθ=-C ．若两条直线相互垂直，则其斜率之积为 1-D ．每条直线有且只有一个倾斜角与之相对应 【答案】BD【分析】根据直线的倾斜角、直线的夹角、方向向量的夹角、直线垂直等知识确定正确答案. 【详解】直线倾斜角的取值范围是，A 选项错误.[)0,πB 选项，根据直线的夹角和方向向量的夹角的知识可知，或，B 选项正确. αθ=παθ=-C 选项，两条直线相互垂直，可能一条斜率为，另一条斜率不存在，所以C 选项错误. 0D 选项，每条直线有且只有一个倾斜角与之相对应，这个结论是正确的，D 选项正确. 故选：BD10．已知圆上至多有一点到直线的距离为2，则实数可能的22260x y x y a +--+=3450x y ++=a 取值为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．10【答案】BC【解析】确定圆心不过已知直线，且求得圆心到已知直线的距离为，根据圆4d =上至多有一点到直线的距离为2，得到圆的半径22260x y x y a +--+=3450x y ++=，由此求出的范围后可判断各选项． 2r ≤a 【详解】圆标准方程是， 22(1)(3)10x y a -+-=-圆心为，半径为）， (1,3)C r =10a <圆心到已知直线的距离为，4d 圆上至多有一点到直线的距离为2， 22260x y x y a +--+=3450x y ++=则有圆的半径 2r =≤解得．只有B 、C 满足． 610a ≤<故选：BC ．【点睛】方法点睛：本题考查考查直线与圆的关系，解题方法如下： （1）先求得圆心到直线的距离；（2）根据题意，确定出圆的半径的取值范围； （3）解不等式求得结果.11．已知是定义在R 上的奇函数，其图象关于点对称，当时，()f x ()2,0[]0,2x ∈，若方程的所有根的和为6，则实数k 可能的取值是（ ）()f x =()()20f x k x --=A B ．C D ． 【答案】AB【分析】根据函数的奇偶性和对称性推出周期，求出在一个的解析式，将方程()f x ()f x [2,0)-的所有根的和为6转化为函数的图象与直线有且仅有个交()()20f x k x --=()y f x =(2)y k x =-3点，作出函数的图象，利用直线与圆的位置关系列式，求出的范围，从而可得答案. k 【详解】因为为奇函数，所以，()f x ()()f x f x -=-因为的图象关于点对称，所以，即， ()f x (2,0)(4)()0f x f x -+=()(4)f x f x =--又，(4)[(4)]f x f x -=---(4)f x =--所以，所以的周期为，()[(4)](4)f x f x f x =---=-()f x 4当时，由，得，其图象是圆心为，半径[0,2]x ∈()y f x ==22(1)1x y -+=(0)y ≤(1,0)为的半圆，1当时， [2,0)x ∈-()()[y f x f x ==--=-=所以，其图象是圆心为，半径为的半圆， 22(1)1(0)x y y ++=≥(1,0)-1因为方程的所有根的和为6，()()20f x k x --=所以函数与直线的交点的横坐标之和为， ()y f x =(2)y k x =-6因为点是它们的一个交点，所以其它交点的横坐标之和为，(2,0)4而函数的图象与直线都关于点对称，它们的关于点对称的两个交点的()y f x =(2)y k x =-(2,0)(2,0)横坐标之和为，所以函数的图象与直线有且仅有个交点， 4()y f x =(2)y k x =-3作出两个函数的图象，如图：当时，只需直线与圆，解得 0k >(2)y k x =-22(7)1x y -+=1>k >当时，只需直线与圆，解得 0k <(2)y k x =-22(5)1x y -+=1=k =所以的取值范围是. k ⎧⎪⎨⎪⎩⎫⋃+∞⎪⎪⎭故选：AB12．如图，经过坐标原点且互相垂直的两条直线和与圆相交于O AC BD 2242200x y x y +-+-=四点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ）,,,A C B D M ABA ．线段长度的最大值为 BO 10B ．弦长度的最小值为 AC C ．点的轨迹是一个圆；MD ．四边形面积的取值范围为. ABCD 45⎡⎤⎣⎦【答案】BCD【分析】根据方程写出已知圆的圆心和半径，由长度表示圆上点到原点的距离即可判断A ；由BO 圆的性质判断B ；若分别是的中点，圆心到直线和的距离,,,M H G F ,,,AB BC CD AD ()2,1-AC BD且，易证为矩形且其中心对角线长度恒定，即可确定的轨迹判12,d d ⎡∈⎣22125d d +=MHGF M 断C ；根据得到四边形面积关于的表达式，结合二次函数性质求范12ABCD S AC BD =ABCD 12,d d 围判断D.【详解】由题设圆的方程为， 22(2)(1)25x y -++=设圆心为，则，半径，E ()2,1E -=5r由三角形两边之和大于第三边可知，且 EB EO BO +≥5,EB EO ==所以当长度最大时圆心与共线且在它们中间，此时错误；BO ,B O 5A BO r =+=由圆的性质知当即圆心与直线距离最大时长度的最小， OE AC ⊥AC AC此时圆心与直线，故正确； AC 2B AC ==若分别是的中点，则且,,,M H G F ,,,AB BC CD AD MF HG BD ∥∥且，,2BD MF HG MH FG AC ==∥∥2AC MH FG ==又，易知：为矩形，而，AC BD ⊥MHGF 22222||||||4BD AC FH MF MH +=+=若圆心到直线的距离且， ()2,1-,AC BD 12,d d ⎡∈⎣22125d d +=所以，则，故222212||||2255044BD AC d d +++=⨯=22||454BD AC +=FH =所以在以交点为圆心的圆上，C 正确；M FH =,HF MG由上分析：，而， AC =12ABCD S AC BD =所以，ABCD S ==令，则，[]222150,5t d d ==-∈ABCDS ==当，即； 52t =12d d ==()max 45ABCD S =当或5，即时，0=t 120,d d =120d d ==()min ABCD S =所以，D 正确； 45ABCD S ⎡⎤∈⎣⎦故选：BCD【点睛】难点在于CD 选项，选项C ：证明分别是的中点所形成的四边,,,M H G F ,,,AB BC CD AD 形为矩形且对角线长度及中心恒定，判断轨迹形状；选项D ：利用得到四边形面AC BD ⊥ABCD 积关于的表达式，结合二次函数性质求范围.12,d d三、填空题13．已知向量，满足：，，，则__________.a b1a = 4b = a b -=r r += a b【分析】将两边平方求出，再根据可求a b -=r r 52a b ⋅= ||a b +==出结果.【详解】由，得，得，a b -=r r ()212a b-=22||2||12a a b b -⋅+=得，得，121612a b -⋅+=52a b ⋅=||a b +== ==14．已知函数，则________．2,0()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩()2log 3f =【答案】34【解析】根据分段函数，和，利用 转化为2,0()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩2log 30>()()2f x f x =-求解.()()2223log 3log 32log 4f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭【详解】因为，，2,0()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩2log 30>所以，()()2223log 3log 32log 4f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭又，所以． 223log log 104<=()23log 42233log 3log 244f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭故答案为：. 34【点睛】本题主要考查分段函数的求值，还考查了转化问题求解的能力，属于基础题. 15．若是圆上任意一点，则的取值范围是______.(),P x y 22:1O x y +=3483412x y x y -++-+（用区间表示） 【答案】[]10,30【分析】将所给表达式化为，求出圆心到直线的距离，确12348341255()55x y x y d d ⎛-+-+⎫+=+⎪⎝⎭定圆上的点到两条直线距离的范围，进而求出.12105()30d d ≤+≤【详解】令3483412x y x y ω=-++-+， ()1234834125555x y x y d d ⎛⎫-+-+=+=+ ⎪⎝⎭其中、分别表示圆：上任意一点到1d 2d O 221x y +=(),P x y 直线：和：距离；1l 3480x y -+=2l 34120x y -+=因为圆心到直线：和：距离O 1l 3480x y -+=2l 34120x y -+=分别为、， 185h ==2125h ==所以且， 1881155d -≤≤+212121155d -≤≤+即且， 131355d ≤≤271755d ≤≤所以，12105()30d d ≤+≤即的取值范围是.3483412x y x y -++-+[]10,30故答案为：.[]10,3016．如图，在平面直角坐标系中，过外一点P 引它的两条切线，切点分别为M ，N ，若xOy T e，则称P 为的环绕点.若的半径为1，圆心为，以60180MPN ≤∠<T e T e ()0,t ()0m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎭>⎝为半径的所有圆构成图形H ，若在图形H 上存在的环绕点，则t 的取值范围为T e __________.【答案】24t -<≤【分析】根据环绕点的定义求出环绕点构成的图形，再求出图形H .按照、、分类讨0t >0=t 0t <论，结合图象，根据直线与圆的位置关系列式可求出结果.【详解】连，因为，所以， ,,TM TN TP 60180MPN ≤∠< 1ππ,262TPM TPN MPN ⎡⎫∠=∠=∠∈⎪⎢⎣⎭所以，又，所以， ||π1sin sin ||62TM TPM TP ∠=≥=||1TM =1||2TP <≤所以圆的环绕点构成的图形是圆心为，半径分别为和的圆所围成的扇环（包括大圆上的T T 12点，不包括小圆上的点.以为半径的圆与轴相切，设切点为， ()0E m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝>⎭x A因为圆心在射线上，所以以()0E m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝>⎭(0)y x =>()0E m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝>⎭为半径的圆与直线相切，设切点为，y =B所以以为半径的所有圆构成图形为的内部（包括射线()0E m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝>⎭AOB ∠，不包括原点），,OA OB O 如图：当时，由图可知，若在图形H 上存在的环绕点，只需圆心到直线的距离小于等0t >T e T y =于半径，解得； 22≤04t <≤当时，由图可知，在图形H 上恒存在的环绕点；0=t T e 当时，由图可知，若在图形H 上存在的环绕点，只需圆心到轴的距离小于半径，即0t <T e T x 2，则.2t -<2t >-综上所述：的取值范围为.t 24t -<≤故答案为：.24t -<≤【点睛】关键点点睛：根据环绕点的定义求出环绕点构成的图形，推出动圆形成的图形是本题解H题的关键.四、解答题17．已知两直线，.1:60l x my ++=()2:2320l m x y m -++=(1)若，不重合，且垂直于同一条直线，求m 的值.1l 2l (2)从①直线l 过坐标原点，②直线l 在y 轴上的截距为2，③直线l 与坐标轴形成的三角形的面积为1这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并作答.若，直线l 与垂直，且1m =2l __________，求直线l 的方程.【答案】(1)1-(2)答案见解析【分析】（1）先推出，再根据两直线平行的条件列式可求出结果；12l l //（2）先根据两直线垂直求出直线的斜率，若选①，根据点斜式可得结果；若选②，根据斜截式l 可得结果；若选③，设直线的斜截式，得到直线在轴上的截距，然后根据面积列式可求出结l ,x y 果.【详解】（1）若，不重合，且垂直于同一条直线，则，1l 2l 12//l l 则由，得，得或m =-1，12210A B A B -=()320m m --=3m =当m =3时，两直线重合，不合题意，当m =-1时，符合题意，所以.1m =-（2）若，直线的斜率为， 1m =2l 13由直线l 与垂直，可得直线l 的斜率为.2l 3-若选①，直线l 过坐标原点，故直线l 方程为，即；3y x =-30x y +=若选②，直线l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程为，即；32y x =-+320x y +-=若选③，设直线l 方程为，则直线l 在x ，y 轴上截距分别为，b ， 3y x b =-+13b 由直线l 与坐标轴形成的三角形的面积为1，可得，解得， 211123b ⨯=b =即直线l 方程为，即.3y x =-30x y +=18．已知函数的部分图象如图所示. ()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭(1)求函数的解析式；()f x (2)试判断函数在区间上的单调性. ()f x 2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】(1) ()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)在上递增，在上递减 ()f x π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由图形可直接得出A ，利用公式即可得出，再把代入2||T πω=ω(,2)3π即可求得；()()2sin 2f x x ϕ=+ϕ（2）令，结合，即可求解. πππ2π22π262k x k -+≤-≤+2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【详解】（1）由题意可知，，2A =，得，解得. 39π412T =πT =2ω=，即，，， π2π2sin 233f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ2π32k ϕ+=+k ∈Z π2ϕ<所以，故. π6ϕ=-()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）令，解得，； πππ2π22π262k x k -+≤-≤+ππππ63k x k -+≤≤+k ∈Z 结合，得出在上递增，在上递减. 2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．如图，一艘海警船在O 处发现了位于北偏东，距离为6海里的海面上A 处有两艘走私船，60︒于是派遣巡逻艇追缉走私船，已知巡逻艇航速是走私船航速的2倍，且它们都是沿直线航行，但走私船可能向任意方向逃窜.(1)求走私船所有可能被截获的点P 在什么曲线上；(2)开始追缉时发现两艘走私船向相反方向逃窜，速度为20海里/小时，其中一艘的航向为东偏南，于是同时派遣了两艘巡逻艇分别追缉两艘走私船，两艘走私船被截获的地点分别为M ，N ，30︒求M ，N 之间的距离.【答案】(1)点P 在圆心为，的圆上；()44r =(2)【分析】（1）根据巡逻艇航速是走私船航速的2倍，结合两点间距离公式进行求解即可；（2）根据点到直线距离公式，结合勾股定理进行求解即可.【详解】（1）∵巡逻艇航速是走私船航速的2倍， ∴，2OP AP =设，(),P x y ()A=化简得：，(()22416x y -+-=即点P 在圆心为，的圆上；()44r=（2）令直线的斜率为k ，，且直线过点， AM k =AM ()A 可求得直线的方程为，AM 3y x -=-，60y +-=P 在圆心，的圆上， ()44r =圆心到直线的距离为 AM d =∴，∴.MN ==MN =20．如图，已知长方形中，为的中点.将沿折ABCD AB =AD =M DC ADM △AM 起，使得平面平面.ADM ⊥ABCM （1）求证：；AD BM ⊥（2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角E DB E E AM D --【答案】（1）（见解析2）见解析 【详解】试题分析：（1）先利用平面几何知识得到线线垂直，再利用面面垂直的性质得到线面垂直，进而得到线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用向量共线得到有关点的坐标，再利用空间向量进行求解.试题解析：（1）证明：长方形中，，为的中点， ABCD AB =AD =M DC ，.2AM BM ∴==BM AM ∴⊥平面平面，平面平面，平面 ADM ⊥ABCM ADM ⋂ABCM AM =BM ⊂ABCM 平面BM ∴⊥ADM 平面ADMAD ⊂ .AD BM ∴⊥（2）建立如图所示的直角坐标系设，则平面的一个法向量，DE DB λ= AMD ()0,1,0n = ,， ME MD DB λ=+=()1,2,1λλλ--()2,0,0AM =-设平面的一个法向量,则AME (),,m x y z = ()20{210x y z λλ=+-=取，得，，所以， 1y =0x =1y =21z λλ=-20,1,1m λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭因为， ．得或 cos ,m n 〈〉= m n m n ⋅= 13λ=1λ=-经检验得满足题意，所以为的三等分点. 13λ=E BD 21．已知圆.22:68160C x y x y +--+=(1)直线l 在x 轴和y 轴上的截距相等且与圆C 相切，求l 的方程；(2)已知圆心在原点的圆O 与圆C 外切，过点作直线，与圆O 交于异于点P 的点A ，()2,0P PA PB B ，若，则直线是否恒过定点？若过定点，则求出该定点，若不过，说明理由；2PA PB k k ⋅=-AB （其中，分别为直线，的斜率）.PA k PB k PA PB【答案】(1)或或7240x y -=70x y +--=70x y +-+=(2)过定点， 2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）①若直线l 过原点，设直线l 的方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列式y kx =求出；若直线l 不过原点，设出直线方程的截距式，根据圆心到直线的距离等于半径列式可求出k 直线方程；（2）根据两圆外切求出圆的方程，设直线，代入圆的方程，求出的坐标，将O ():2PA y k x =-A 的坐标中的换成得的坐标，求出直线的斜率，得直线的方程，根据方程可得直线A k 2k-B AB AB 所过定点.【详解】（1）圆化为标准形式为，22:68160C x y x y +--+=()()22349x y -+-=∴圆C 的圆心为，半径为3，()3,4因为直线l 在x 轴和y 轴上的截距相等，①若直线l 过原点，则设直线l 的方程为，即，y kx =0kx y -=因为直线l 与圆C 相切，所以，即，解得， 3d r =247k =724k =故直线l 的方程为.7240x y -=②若直线l 不过原点，切线l 在x 轴和y 轴上的截距相等，则假设直线l 的方程为，即， 1x y a a+=0x y a +-=因为直线l 与圆C 相切，∴，3d r =∴7a -=7a =+7a =-∴直线l 的方程为或，70x y +--=70x y +-+=综上所述直线l 的方程为或或.7240x y -=70x y +--=70x y +-+=（2）∵圆心在原点的圆O 与圆C 外切，设圆的半径为，O r 则，故圆O 的半径，圆O 的方程为，53OC r ==+2r =224x y +=设点,，(,)A A A x y (,)B B B x y 设直线，():2PA y k x =-联立直线和圆方程得，消去得， 22(2)4y k x x y =-⎧⎨+=⎩y ()222214440k x k x k +-+-=由韦达定理有，解得，则， 2241A P k x x k +=+22221A k x k -=+241A k y k -=+∵， ，∴， 2PA PB k k ⋅=-PA k k =2PB k k=-将中的k 换成化简可得， 22221A k x k -=+2k -22284B k x k -+=+将中的k 换成化简可得， 241A k y k -=+2k -284B k y k =+所以， 2222224814222814A B AB A B k k y y k k k k k x x k k ---++==--+--++232k k =-直线，化简得， 22224322:121k k k AB y x k k k ⎛⎫--⎛⎫-=- ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭23223k y x k ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭所以直线过定点. AB 2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭22．已知，，为的三个顶点，圆Q 为的内切圆，点P 在圆()2,2A --()2,6B -()4,2C -ABC A ABC A Q 上运动.(1)求圆Q 的标准方程；(2)求以，，为直径的圆的面积之和的最大值、最小值；PA PB PC (3)若，，求的最大值. ()1,0M -3,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭sin MPN ∠【答案】(1)224x y +=(2)最大值为，最小值为22π18π(3)1011【分析】（1）先判断出为直角三角形，利用面积关系求出内切圆的半径，结合图形求出圆心ABC A 坐标，然后可得圆Q 的标准方程；（2）设，利用两点间的距离公式和圆的面积公式将圆的面积之和表示为的函数，根据(),P x y y 可求出结果； 22y -≤≤（3）根据对称性，只研究P 点在x 轴上方，即的情况，此时先求出的最大值，然0y ≥tan MPN ∠后根据同角公式可出的最大值.sin MPN ∠【详解】（1）因为，，，所以为直角三角形，如图： 8AB =6AC =10BC =ABC A设的内切圆的半径为，ABC A r 由得， 1||||2ABC S AB AC =⋅!1(||||||)2r AB AC BC =++||||||||||AB AC r AB AC BC ⋅=++8628610⨯==++由图可知，圆心为，所以圆.()0,0Q 22:4Q x y +=（2）设，，(),P x y 224x y +=，()()2222222448PA x y x y x y =+++=++++4412x y =++，()()222222641240PB x y x y x y =++-=++-+41244x y =-+， ()()22222428420PC x y x y x y =-++=+-++8424x y =-++222||||||πππ222PA PB PC S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()222π4PA PB PC =++()π44124124484244x y x y x y =+++-+-++， ()π4804y =-+因为，所以，22y -≤≤18π22πS ≤≤所以以，，为直径的圆的面积之和的最大值、最小值分别为，. PA PB PC 22π18π（3）设，则，(),P x y 224x y +=根据对称性，只研究P 点在x 轴上方，即的情况，0y≥当垂直x 轴时，，PN (P-tanMPN ∠===当垂直x 轴时，，PM (P -tan MPN ∠==当和都不垂直轴时，，， PN PM x 32PN yk x =-1PM y k x =+()tan tan πMPN PNM PMN ∠=-∠-∠()tan PNM PMN =-∠+∠ tan tan 1tan tan PNM PMN PNM PMN∠+∠=--∠⋅∠ 1PN PM PN PMk k k k -+=-+⋅ 31211312PN PM PN PM y y x x k k y y k k x x -+--==++⨯+-22521322y x y x =+--5213422y x =--， ()5555y y x x ==---因为为点与的斜率， 5y x -(,)P x y ()5,0E 如图：由图可知，当直线与圆相切时，取得最小值， PE Q 5y x -设直线：，即， PE (5)y k x =-(0)k <50kx y k --=(0)k <，结合，得2=0k<k ==所以， min 5y x⎛⎫= ⎪-⎝⎭()max tan MPN ∠，>>()max tan MPN∠=由于，所以当取最大值时，取最大值，取最大值， 090MPN ≤∠< tan MPN ∠MPN ∠sin MPN ∠所以. ()max 10sin 11MPN ∠====。

重庆市南开中学2024届高三上学期第一次质量检测数学试题含答案

重庆市南开中学2024届高三上学期第一次质量检测数学试题含答案

重庆市高2024届高三第一次质量检测数学试题注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}2540A x Z x x =∈-+≤，集合{B x y ==，则集合A B 的子集的个数是（）A.2B.4C.7D.82.命题“1x ∀<，21x <的否定是（）A.“1x ∃≥，21x <” B.“1x ∃<，21x ≥”C.“1x ∀<，21x ≥”D.“1x ∀≥，21x ≥”3.设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，0.32c =，则（）A.a b c >>B.b c a>> C.a c b>> D.c a b>>4.已知函数()f x =的定义域为R ，则实数k 的取值范围为（）A.0k ≥或32k ≤-B.32k ≥C.3322k -≤≤ D.302k <≤5.某高铁动车检修基地库房内有A ～E 共5条并行的停车轨道线，每条轨道线只能停一列车，现有动车01、02、高铁01、02、03共五列车入库检修，若已知两列动车安排在相邻轨道，则动车01停放在A 道的概率为（）A.14B.15 C.18 D.1106.已知函数2s 1()log in 1xf x x x+=+-，则不等式()()021f x f x ++<的解集为（）A.1,3⎛⎫ ⎪⎝∞-⎭- B.11,3⎛⎫ ⎪⎝-⎭- C.11,23⎛⎫⎪⎝-⎭-D.11,2⎛⎫ ⎪⎝-⎭-7.已知函数215,022()2,0x x x x f x e x ⎧--<⎪=⎨⎪-≥⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不同的根1234,,,x x x x（12x x <34x x <<），则314242x e x x x x --的最大值是（）A.55ln32+ B.5ln24+ C.5ln3D.132e-8.已知a ，b R ∈，关于x 的不等式xe ax b ≥+在R 上恒成立，则ab 的最大值为（）A.3e B.2e C.2e D.3e二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()24f x f x +-=，且()f x 在()0,1单调递增，则以下说法一定正确的是（）A.()f x 为周期函数B.()12f = C.()20232f =- D.()f x 在()3,4单调递减10.两个具有相关关系的变量x ，y 的一组数据为()11,x y ，()()22,,n n x y x y ⋅⋅⋅，求得样本中心点为(),x y ，回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+，决定系数为2R ；若将数据调整为()11,1x y +，()()22,1,,,1n n x y x y +⋅⋅⋅+，求得新的样本中心点为(),x y ''，回归直线方程为ˆˆˆy b x a '''=+，决定系数为2R '，则以下说法正确的有（）附()()121ˆ()niii ni i xxy y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-，()22121ˆ()1nii i ni i y yR y y==-=--∑∑A.y y '= B.ˆˆbb '= C.ˆˆa a '< D.22R R '<11.已知离心率为2的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且斜率为()0k k >的直线l 交椭圆于A ，B 两点，A 在x 轴上方，M 为线段AB 上一点，且满足11934AM MF F B ==，则（）A.12123AF F BF F S S =△△ B.直线lC.2AF ，AB ，2BF 成等差数列D.2AMF △的内切圆半径13r a =12.已知实数a ，b 满足0a b +<，函数()xxf x ae be cx -=++（e 为自然对数的底数）的极大值点和极小值点分别为12,x x ，且12x x <，则下列说法正确的有（）A.0a > B.20a c +< C.120x x +< D.120()()f x f x +<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知随机变量X 服从二项分布()(),01B n p p <<，若()()2E X D X =，则p =______.14.已知实数a ，b 满足()()()22log 1log 1a b a b -=-≠，则2a b +的最小值为______15.随着全球的经济发展和人口增长，资源消耗和环境问题日益凸显，为了实现可持续发展，我国近年来不断推出政策促进再生资源的回收利用.某家冶金厂生产的一种金属主要用于电子设备的制造，2023年起该厂新增加了再生资源的回收生产，它每年的金属产量将由两部分构成：一部分是由采矿场新开采的矿石冶炼，每年可冶炼3万吨金属；另一部分是从回收的电子设备中提炼的再生资源，每年可生产的金属约占该厂截止到上一年末的累计金属总产量的10%.若截止2022年末这家冶金厂该金属的累计总产量为20万吨，则估计该厂2024年的金属产量为______万吨，预计到______年，这家厂当年的金属产量首次超过15万吨.（参考数据：lg1.10.0414≈，lg 30.4771≈）16.已知抛物线28y x =焦点为F ，斜率为k 的直线过F 交抛物线于A ，B ，AB 中点为Q ，若圆()2249x y ++=上存在点P 使得12PQ AB =，则k 的取值范围是______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知数列{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 是公比为2的等比数列，且2442a a b +=+，1323a a b b +=+.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设数列211log n n a b +⎧⎫⎨⎩⋅⎬⎭的前n 项和为n S ，求证：1613n S ≤<.18.（本小题满分12分）如图，多面体EFABC 中，FA ⊥平面ABC ，且//FA EB ，2EB BA BC ===，4FA =，M 是FC 的中点.（1）求证：平面CEF ⊥平面CAF ；（2）若ME =ME 与平面CBE 所成角的大小.19.（本小题满分12分）已知函数()2ln f x x x ax =++在1x =处的切线l 和直线0x y +=垂直.（1）求实数a 的值；（2）若对任意的1x ，(]20,2x ∈，12x x ≠，都有12221212()()x x f x f x x x m e e--+>-成立（其中e 为自然对数的底数），求实数m 的取值范围.20.（本小题满分12分）为了带动节能减排的社会风尚，引导居民错峰用电，某地区下个月开始将实行分时电价.过去居民用电实行的是阶梯电价，每月用电量不超过180度的部分，按照每度电0.45元收取，超过180度的部分，按照每度电0.6元收取.而新的分时电价则是将每日24小时分为峰段、谷段、平段三个时段，按照峰段每度电0.6元，谷段每度电0.4元，平段每度电0.5元收取.该地区一位居民为了预估自己下个月的用电费用变化，他做了以下工作：首先，为了估计开空调与不开空调的用电量，他统计了过去一些天自己家的日均用电情况后得出结论：开空调时的每日用电量为10度，不开空调时的每日用电量为5度.然后，他统计了一天中三个时段的用电量比例，在开和不开空调的情况下分别如下图：假设下个月一共30天，每天他开空调的概率均为p （01p <<）.（1）根据他统计的每日用电量数据，若下个月的某一天用电量为X 度，求X 的分布列和期望()E X （用p 表示）.（2）根据他统计的各时段用电量比例，使用分时电价计价时，若开空调时的每日平均用电费用为a 元，不开空调的每日平均用电费用为b 元，分别求a ，b ；若使用分时电价计价时下个月某一天他的用电费用为Y 元，求Y 的分布列和期望()E Y （用p 表示）.（3）如果用阶梯电价计算全月电费时，将每日用电量视为()E X ；用分时电价计算全月电费时，将每日用电费用视为()E Y .要使该居民下个月使用分时电价计价的费用不超过使用阶梯电价的计价方式的费用，则p 的取值范围为多少?21.（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右顶点分别为A 、B ，渐近线方程为12y x =±，焦点到渐近线距离为1，直线:l y kx m =+与C 左右两支分别交于P ，Q ，且点2323,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在双曲线C 上.记APQ △和BPQ △面积分别为1S ，2S ，AP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k（1）求双曲线C 的方程；（2）若12432S S =，试问是否存在实数λ，使得1k -，k λ，2k .成等比数列，若存在，求出λ的值，不存在说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()()sin ln 1f x x x =-+（1）求证：当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x ≥；（2）求证：()111111ln(1)sin sin sin sin ln ln 2N 224622n n n n *+<+++⋅⋅⋅+<+∈.重庆市高2024届高三第一次质量检测数学试题参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.1-4DBDB5-8CBAB3.D 【解析】()0.20.20.2log 0.3log 1,log 0.20,1()a =∈=，22log 0.3log 10b =<=，0.30221c =>=，故c a b>>4.B 【解析】由题：230kx x k -+≥恒成立，易知0k =时不满足，0k ≠时，有2039402k k k >⎧≥⎨∆=-≤⇒⎩5.C 【解析】记M =“两动车相邻”，N =“动车01停在A 道”，则()332424()1()8A n MN P N M n M A A ===6.B 【解析】由题知10111xx x+>⇒-<<-，易知()()()0f x f x f x -+=⇒为奇函数又2212log log 111x y x x +⎛⎫==- ⎪--⎝⎭和sin y x =在()1,1-递增，故由()()()()()21210121111312f x f x f x f x f x x x x <⇒<-=⇒-<<---<<+++-<--⇒7.A 【解析】由图可知当且仅当01m <<时，方程()f x m =有四个不同的根，且125252x x ⎛⎫+=⨯-=- ⎪⎝⎭，由题：332ln(2)x em x m -=-⇒=，442ln(2)x e m x m ==+⇒-，3214422(2)5ln(2)25ln(2)4x e x x x x m m m m --=-+∴+=-+++设()()01)(2524h m m ln m m =-+++<<则12()2m h m m -'=+，令()1012m m h '<⇒<<，1()002h m m '>⇒<<故()h m 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭递减，max 15()5ln 322h m h ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⇒8.B 【解析】由图像可知，0a <不成立，则0a ≥，要ab 最大，需要0a >，0b >；1b >时，0x =时不成立，则01b <≤；对于取定的b ，要ab 最大需要a 更大，所以只需过(0,)b 作xy e =的切线，切线斜率即为最大的a .设切点(),tt e ，则0t t e be t -=-即t a e =，()1tb t e =-()()21t ab t e g t =-=，()()()()22212112t t tg t t e e t e '=-⋅+-=-所以在12t =取得最大值2e 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.ABD10.BC11.AC12.ABD9.ABD 【解析】由于()()24f x f x +-=，得到()f x 关于()1,2对称，又因为定义域为R ，所以()12f =，B 正确；因为是偶函数()()()224f x f x f x -=-=-，()()()()44244f x f x f x f x -=--⎡⎤⎣=⎦--=，所以周期为4，A 正确；由于周期性和奇偶性，()()()2023112f f f =-==，C 错误；由于周期为4，()f x 在()3,4的单调性与()1,0-的单调性相同，由于偶函数，在()1,0-的单调性与(0)1，的单调性相反，所以D 正确.10.BC 【解析】123123111111n ny y y y y y y y y y n n++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅'==+=+，А错误；ˆb 的计算中，i x 数据不变，()1i i y y y y '-=+-也不变，所以ˆb 不变，B 正确；ˆˆˆˆˆ11ay bx y bx a a ''=-=+-=+>，C 正确；由于()22121ˆ()1nii i ni i y yR y y==-=--∑∑，i y 变成了1i y +，1y y '=+，ˆˆˆˆˆ11i i ii y b x a bx a y '''=+=++=+，从而ˆi i y y -，i y y -都不变，所以22R R '=，D 错误.11.AC 【解析】由11934AM MF F B == 可得：12121133AF F BF F AF F B S S =⇒=△△，故A 正确设()1,0F c -，()2,0F c ，:l x ty c =-，由椭圆离心率为2可得：a =，b c =，故椭圆方程可化为：22222x y c +=，联立直线l 方程整理得：()222220t y tcy c +--=.设11(),A x y ，22(),B x y ，.则有：12222tc y y t +=+，21222c y y t -=+，又由113AF F B =可得：123y y =-，联立可解得：2221111t k k t =⇒==⇒=，故B 错误由12145k AF F =⇒∠=︒，.又1OA OF A =⇒为上顶点，2AF a ==，33AB =+=，2243BF a AF AB =--=，易知满足222AB AF BF =+，故C 正确对于D ：由前面的分析知：2AMF △是以A 为直角的直角三角形，故内切圆半径222AM AF MF r +-=52144244c a +-===，故D 错误12.ABD 【解析】由题方程()2200x x xxx x xae ce bf x ae bec ae ce b e-+-'=-+==⇔+-=有两不等实根12,x x ，且()f x 在1(),x -∞，2(),x +∞上单调递增，在()12,x x 单调递减，故0a >.A 正确令xt e =，0t >，则方程20at ct b +-=有两个不等正实根1t ，2t ，其中11xt e =，22xt e =，从而有：240c ab ∆=+>，00a b b a +<⇒<-< ()()()2204222020c a c a c a c a c a ⇒<-=+-⇒+<-< ()12000ct t c a a+=->⇒<> 1200b t t b a -⋅=>⇒<，又0a b +< ，故12121210x x b t t e x x a+-⋅==>⇒+>，故B 正确，C 错误对于D ：12121212()()()()()x x x x f x f x a e e b e e c x x --+=+++++11121211()()a t t b c x x t t ⎛⎫=+++++=⎪⎝⎭1212()()0c c a b c x x c x x a b ⎛⎫⎛⎫⋅-+⋅++=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 正确三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.1214.3+15.5.5，203516.226226,1313⎛⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭13.12【解析】X 服从二项分布(),B n p ，则()E X np =，()()1D X np p =-所以()21np np p =-，12p =14.3+【解析】若()()22log 1log 1a b -=-，则a b =不成立；若2221log (1)log (1)log 1a b b -=--=-，则()()111a b --=，ab a b =+，111a b⇒+=所以1122(2)2132b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，b =时取得15.5.52035【解析】设2023年为第一年，第n 年该厂的金属产量为n a ，截止第n 年末这家冶金厂该金属的累计总产量为n S ，11(2)20(1)n n n S a n S a n -+≥⎧=⎨+=⎩12010%35a =⨯+=，()220510%3 5.5a =+⨯+=，故2024年产量为5.5万吨，10.13n n a S +=⋅+，10.13n n a S -=⋅+作差得()10.12n n n a a a n +-=⋅≥，所以()1 1.12n n a a n +=⋅≥，211.1a a =⋅也成立，所以151.1n n a -=⋅，由151.115n n a -=⋅>得11.13n ->，(1)lg1.1lg 3n ->lg 30.4771(1)11.5lg1.10.0414n ->≈≈，则n 取13，为2035年16.226226,1313⎛⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭【解析】设AB 中点为()00,Q x y ，12PQ AB =即PA PB ⊥，P 在AB 为直径的圆上.所以只需该圆与AB 为直径的圆有公共点即可.设直线():2AB y k x =-，联立得()2228kx x-=解得21202242x x k x k++==，04y k =，0122r AB x ==+所以圆心距d =，3d r ≤+即可（不可能内含）05x ≤+化简得20029y x ≤+，代入得22164229k k ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，28226226,131313k k ⎛⎡⎫≥∈-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭⇒ 17.解：（1）由题意可得111121282266a b a b +=+⎧⎨+=⎩，解得13a =，12b =，因为数列{}n a 的公差为3，数列{}n b 的公比为2，所以3n a n =，2nn b =（2）由（1）知：2111111log 3(1)31n n a b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭111111111111322334131n n n n S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝∴⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦易知111y n =-+在*n N ∈单调递增，故1n =，n S 取最小值16，n →+∞，13n S →故1613n S ≤≤成立.18.解：（1）证明：取AC 的中点N ，连结MN ，BN因为BA BC =，所以BN CA ⊥.因为FA ⊥面ABC ，BN ⊂面ABC ，所以FA BN ⊥.又因为CA FA A = ，所以BN ⊥平面CAF .因为点M 是FC 的中点，所以////MN FA EB ，且2FAMN EB ==.所以四边形MNBE 为平行四边形，所以//EM BN ，所以EM ⊥面CAF ，又EM ⊂平面CEF ，从而平面CEF ⊥平面CAF .（2）设点O ，D 分别为AB ，EF 的中点，连结OD ，则//OD FA ，因为FA ⊥面ABC ，OC ⊂面ABC ，所以OD AB ⊥.因为ME =，由（1）知BN =，又因为2BC BA ==所以2AC =，所以ABC △为正三角形，所以OC AB ⊥，因为FA ⊥面ABC ，所以OC ⊥面ABEF .故OC ，OA ，OD 两两垂直，以点O 为原点，分别以OC ，OA ，OD的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.C ，()0,1,0B -，()0,1,2E -，()0,1,4F ，31(,222M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭设平面CBE 的法向量(,,)n x y z = ，则00n CB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以020y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩取y =，则(n =- ，设ME 与平面CBE 所成的角为α，则1sin cos ,2n ME α== ，因为0,2πα⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以6πα=，故ME 与平面CBE 所成角的大小为6π.（2）另解：由于//EM BN ，所以即求BN 与平面CBE 所成的角.又因为FA ⊥面ABC ，FA ⊂面EBC ，所以面ABC ⊥面EBC ，而BN ⊂面ABC ，面ABC 面,EBC BC =所以BN 在面EBC 的投影为BC ，则CBN ∠即为所求角.而ME BN ==，2BA BC ==，所以1MC =，2AC =，则ABC △为正三角形，而N 是AC 的中点，所以6CBN π∠=，故ME 与平面CBE 所成角的大小为6π.19.解：（1）1()2f x x a x '=++ ，()13f a '∴=+由题知()11f '=，312a a ∴+=⇒=-（2）不妨设1202x x <<≤，则120x x e e-<，由题可得：()122212121()()()x x f x f x x x ee f x m --+<⇔-1222122()x x x me f x x e m -<---，设()()2x g x f x x me =--，则：12()()g x g x <故()g x 在(]0,2单调递增，从而有：11()202x xg x me m e x x -⇔⎪⎛⎫'≤=--≥- ⎝⎭在(]0,2上恒成立，设1()2x h x e x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()min m h x ≤2221121()2(02)x x x x x h x e e e x x x x -----⎛⎫⎛⎫'=--+⋅-=⋅<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2021211012h x x x x x x '>⇒--=+->⇒<≤()001h x x <⇒<<'()h x ∴在()0,1单调递减，在(]1,2单调递增.又1(1)h e =-，故()h x 在(]0,2上最小值min 1()h x e=-从而有1m e ≤-，即1,m e⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦20.解：（1）X 的分布列为X510P 1p-p ()()511055E X p p p=-+=+（2）开空调时每日用电量：峰段1030%3⨯=度，谷段1040%4⨯=度，平段1030%3⨯=度，则30.640.430.5 4.9a =⨯+⨯+⨯=元不开空调时每日用电量：峰段560%3⨯=度，谷段520%1⨯=度，平段520%1⨯=度则50.610.410.5 2.7b =⨯+⨯+⨯=元Y2.7 4.9P 1p-p ()()2.71 4.9 2.7 2.2E Y p p p=-+=+（3）分时电价总电费为()30 2.7 2.28166p p +=+（元）30天总用电量()3055150150p p +=+度0.2p ≤时，阶梯电价总电费为()()0.4515015067.51p p +=+（元）0.2p >时，阶梯电价总电费为()0.451800.61501501806390p p ⨯+⨯+-=+（元）所以，0.2p ≤时，()816667.5113.5 1.50p p p +-+=-≤，9p ⇒≥，不成立；0.2p >时，8166639018240p p p +--=-≤，34p ≥综上，3,14p ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，下个月使用分时电价计价的费用不超过使用阶梯电价的计价方式的费用.21.解：（1）由题可得222121b a c a b ⎧=⎪⎪==+⎪⎩2a ⇒=，22114:b C x y ⇒=-=（2）由点2323,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在22:14x C y -=上可得：2243m k -=.联立y kx m =+和22:14x C y -=整理得：()()222148410k x kmx m ---+=设11(),P x y ，22(),Q x y ，则有：122814km x x k+=-，21224(1)14m x x k -+=-⋅，()221641640m k ∆=-+=>又由直线交左右两支各一点可得：2221224(1)10140414m x x k k k -+=<⇒-⇒<-⋅>1228114PQ x k =-=-()2,0A -到直线:l y kx m =+的距离1d =，()2,0B 到直线:l y kx m =+的距离2d =2212121222224311484322211(14)m k d d S S PQ d PQ d k k k ∴-⎛⎫⎛⎫===== ⎪⎪++-⎝⎝⎭⇒⎭2213(14)16k k =⇒⇒-=（2140k -> ）又121212*********()4y y y y k k x x x x x x =⋅=+-+--，其中2222121212122243()()()1414m k y y kx m kx m k x x km x x m k k -=++=+++==--212212224(1)842()424141414m x x x x k k k -+-+--=+-=---1212122132()44y y k k x x x x ==-+--∴假设存在实数λ，使得1k -，k λ，2k成等比数列，则有2221213642k k k λλλ=-⇒=⇒=±，故存在2λ=±满足题意22.解：（1）首先发现()00f =，而1cos 1()f x x x '=-+，(]1,0x ∈-时，cos 1x ≤，111x ≥+，()0f x '≤，()f x 单减则()()00f x f ≥=成立；0,2x π⎛∈⎫ ⎪⎝⎭时，2sin 1()(1)f x x x ''=-++在0,2x π⎛∈⎫ ⎪⎝⎭时单减，()010f ''=>，211110212f ππ⎛⎫''=-+<-+= ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以存在0,2x π⎛∈⎫ ⎪⎝⎭，()00f x ''=，()f x '在0(0,)x 单增，0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭单减，而()00f '=，所以00()f x '>，又02f π⎛⎫'<⎪⎝⎭所以存在10,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()10f x '=，()f x '在1(0,)x 单增，1,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭单减，由于12e π+<所以1ln 111022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+>-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x >综上，()0f x ≥在1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭恒成立得证.（2）由（（1），102f n ⎛⎫> ⎪⎝⎭，11sin ln 122n n ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭所以111135721sinsin sin sin ln ln ln ln 24622462n n n ++++⋅⋅⋅+>+++⋅⋅⋅从而111146822sin sin sin sin ln ln ln ln 246235721n n n ++++⋅⋅⋅+>+++⋅⋅⋅+两式相加得：11113456222sin sin sin sin ln ln ln ln ln ln(1)2462234521n n n n +⎛⎫+++⋅⋅⋅+>+++⋅⋅⋅=+ +⎝⎭所以左边得证；又由（1），102f n ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，1121sin ln 1ln 222n n n n -⎛⎫⎛⎫->-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12sin ln 221n n n <-所以111142sin sin sin sin ln ln ln ln 24623212615n n n +++⋅⋅⋅+<++-从而111121sin sin sin sin ln ln ln ln 246222235124n nn -+++⋅⋅⋅+<++-两式相加得：111134522sin sin sin sin 2ln 2ln ln ln ln 2ln 2ln 246223421n n n n ⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+=+ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以右边得证.（右边不等式另证）设1111sinsin sin ln 222ln 24n a n n =++⋅⋅⋅+--先证明sin x x <在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭成立：()sin g x x x =-，()cos 10g x x '=-<，()g x 单减，()()00g x g <=则1111sinln1ln 2ln 20222a =--<-<而1111111sin ln(12ln )222222n n n a a n n n n n n +-=+-+<++++设(0,1)1n t n =∈+，构造11()(1)22ln h t t t =-+，1111()122t h t t t-⎛⎫'=-+=⋅ ⎪⎝⎭可知在()0,1，()h t 单增，()()10h t h <=所以10n n a a +-<，n a 单减，则10n a a <<。

2024-2025学年重庆市南开中学高一数学上学期9月考试卷附答案解析

2024-2025学年重庆市南开中学高一数学上学期9月考试卷附答案解析

2024-2025学年重庆市南开中学高一数学上学期9月考试卷试卷满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列各项中，不可以组成集合的是A ．所有的正数B ．等于2的数C ．接近于0的数D ．不等于0的偶数2．已知命题1:0,2p x x x∀>+>，则p ⌝为（）A ．0x ∀>，12x x +≤B ．0x ∀≤，12x x +≤C ．0x ∃≤，12x x+≤D ．0x ∃>，12x x+≤3．{}2{1,,},1,,2A x y B x y ==，若A B =，则实数x 的取值集合为（）A ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．11,22⎧⎫-⎨⎩⎭C ．10,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．110,,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭4．满足{1，2，3}M {1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是（）A ．8B ．7C ．6D ．55．如图，I 是全集，M P S 、、是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()I M P S ⋂⋂ðD ．()I M P S⋂⋃ð6．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（）A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）7．若A 、B 、C 为三个集合，A B B C ⋃=⋂，则一定有（）A ．A C⊆B ．C A⊆C ．A C¹D ．A =∅8．设集合{123456}M =，，，，，，12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i≠j ，{123}i j k ∈ 、，，，，），都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y，中的较小者），则k 的最大值是（）A ．10B ．11C ．12D ．13二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9．已知“1x <”是“x a ”的充分不必要条件，则a 的值可能为（）A ．0B ．1C ．2D ．410．设{}{},31,,31,a b A xx m m c B x x k k ∈==+∈∈==-∈Z Z ∣∣，则（）A ．a b A +∈B ．ab A ∈C ．a b B+∈D ．ac B∈11．集合{}S x m x l =≤≤∣，且若a S ∈，则2a S ∈，那么下列说法正确的有（）A ．若1m =，则1l =B ．12l =，则202m ≤≤C ．||1,||1m l ≤≤D ．若1l =，则10m -≤≤第II 卷（非选择题）三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.12．设全集{}*6U x x =∈<N ∣，集合{}1,3A =，{}3,5B =，则()U C A B ⋃=．13．南开中学高一某班报名数学、物理竞赛班，两科都不参加的占全班的13，只参加数学的占全班的25，参加物理的比参加数学的少11人，两门都参加的有5人，则全班有人.14．已知集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ，(){},1,1,,B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合()()(){}12121122,,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为.四、解答题15．（1）若集{}2R310A x ax x =∈++=∣中有且仅有一个元素，求实数a 的所有取值.（2）已知集合{}2{10},320A xmx B x x x =-==-+=∣∣，若A B ⊆，求实数m 的值.16．设集合{}{}{}23217,280,321A x x B x x x C x a x a =-<+<=+->=-<<+.(1)求()A B ⋂R ð(2)若()A B C ⋃⊆R ð，求实数a 的取值范围.17．已知全集R U =，集合22{|30},{|(2)(34)0}A x x x b B x x x x =-+==-+-=．(1)若b ＝4时，存在集合M 使得AMB ，求出所有这样的集合M ；(2)集合A ，B 能否满足()U B A =∅ ð？若能，求实数b 的取值范围；若不能，请说明理由．18．已知{}{}22{(,)2},(,),(,)2(42)A x y y x k B x y y x C x y y x k x k ==+====+--∣∣∣.(1)若A B =∅ ，求实数k 的取值范围;(2)若()()A B A C ⋂⊆⋂，求实数k 的取值范围.19．设集合{1,2,3,,n S n = ），若X 是n S 的子集，把X 中所有元素的和称为X 的"容量"（规定空集的容量为0），若X 的容量为奇（偶）数，则称X 为n S 的奇（偶）子集.(1)写出4S 的所有奇子集;(2)求证：n S 的奇子集与偶子集个数相等；(3)求证：当3n ≥时，n S 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和.1．C【详解】试题分析：集合中的元素满足三要素：确定性、互异性、无序性；“接近于0的数”是不确定的元素故接近于0的数不能组成集合故选C ．考点：集合的含义．2．D【分析】根据题意，结合全称量词命题与存在性量词命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系，可得：命题1:0,2p x x x ∀>+>的否定是10,2x x x∃>+≤．故选：D 3．A【分析】两个集合相等，则元素相同，据此分类讨论求解即可.【详解】由题意1x ≠，22x y y x =⎧⎨=⎩或22x x y y ⎧=⎨=⎩，∴1214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或00x y =⎧⎨=⎩，由集合元素互异性可知1214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则实数x 的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故选：A.4．C【分析】根据条件，列举出满足条件的集合M ，即可求解.【详解】由题意可知，{}1,2,3,4M =,{}1,2,3,5,{}1,2,3,6,{}1,2,3,4,5,{}1,2,3,4,6,{}1,2,3,5,6，共有6个集合满足条件.故选：C 5．C【分析】直接根据阴影部分的位置得答案.【详解】图中阴影部分不在集合S 中，在集合,M P 中，故阴影部分所表示的集合是()I M P S ⋂⋂ð.故选：C.6．B【详解】试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a的取值范围为，故选B.考点：集合的关系7．A【分析】由已知等式可推导得到A B C ⊆⊆，由此可依次判断各个选项得到结果.【详解】因为A B B C ⋃=⋂，所以⊆ A B B ，A B C ⊆ ，B B C ⊆ ，所以,,A B A C B C ⊆⊆⊆,所以A B C ⊆⊆，对于A ，因为A B C ⊆⊆，所以A C ⊆，故A 正确；对于B ，当且仅当A B C ==时，C A ⊆，故B 错误；对于C ，当A B C ==时，满足A B C ⊆⊆，故C 错误；对于D ，当A ≠∅时，满足A B C ⊆⊆，故D 错误.故选：A.8．B 【分析】根据题意，首先分析出M 的所有含2个元素的子集数目，进而对其特殊的子集分析排除，注意对{},,(,j j i i i i j j a b a b min min min x y b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭表示两个数x 、y 中的较小者）的把握，即可得答案．【详解】解：根据题意，对于M ，含2个元素的子集有15个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；{1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，6}只能取一个，故满足条件的两个元素的集合有11个；故选：B ．9．BCD【分析】由充分不必要条件求出a 的范围即可找到选项.【详解】因为“1x <”是“x a ≤”的充分不必要条件，所以1a ≥.故选：BCD 10．BCD【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可.【详解】设()31,31,31a u b v c w u v w =+=+=-∈Z 、、，而()()32311a b u v u v B +=++=++-∈，即A 错误，C 正确；()()931331ab uv u v uv u v A =+++=+++∈，即B 正确；()()931331ac uw w u uw u w B =+--=-+-∈，即D 正确.故选：BCD.11．AB【分析】根据集合的定义，由m S ∈，l S ∈，得到2m S ∈，2l S ∈，即2m m ≥，2l l ≤，然后利用一元二次不等式的解法化简后逐项判断.【详解】∵非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当a S ∈时，有2a S ∈∴m S ∈，l S ∈，m l ≤.则2m S ∈，2l S ∈，且2m m ≥，2l l ≤.即0m ≤或1m ≥，01l ≤≤且1m ≤，对于A ，当1m =时，有1l =，故A 正确；对于B ，当12l =时，2m S ∈，所以212m ≤，所以02m ≤≤，故B 正确；对于C ，因为0m ≤或1m ≥，故C 错误；对于D ，当1l =时，可知10m -≤≤或1m =，故D 错误.故选：AB 12．{2,4}【分析】由全集{}*6U x x =∈<N ∣，可得{1,2,3,4,5}U =，然后根据集合混合运算的法则即可求解．【详解】{}1,3A = ，{}3,5B =，{1,3,5}A B ∴⋃=，{}*{|6}1,2,3,4,5U x x =∈<=N ，(){}2,4U C A B ∴⋃=，故答案为：{2,4}．13．45【分析】引入参数x ，只参加数学的占参加了竞赛班的比例列方程即可求解.【详解】设只参加物理的有x 个人，则只参加数学的有()11x +个人，因为两科都不参加的占全班的13，所以参加了竞赛班的占全班的23，所以只参加数学的占参加了竞赛班的()2311115251152163x x x x x ++===++++，解得7x =，所以全班有7114525+=人.故答案为：45.14．21【分析】首先用列举法表示集合A 、B ，从而得到A B ⊕，即可得解.【详解】因为(){}()()()()(){}22,1,,0,1,0,1,1,0,1,0,0,0A x y xy x y =+≤∈=--Z ，(){},1,1,,B x y x y x y =≤≤∈Z()()()()()()()()(){}1,1,1,0,1,1,0,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1,1=------，又()()(){}12121122,,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，所以()()()()()()()(){2,1,2,0,2,1,1,0,1,1,1,2,1,1,1,2,A B ⊕=-----------()()()()()0,0,0,1,0,2,0,1,0,2--，()()()()()()()()1,0,1,1,1,2,1,1,1,2,2,0,2,1,2,1}---，所以A B ⊕中元素的共21个.故答案为：2115．（1）0，94；（2）0，12，1.【分析】（1）分a 是否等于0两种情况讨论即可；（2）分m 是否等于0两种情况讨论即可.【详解】（1）情形一：若0a =，则{}1R3103A x x ⎧⎫=∈+==-⎨⎬⎩⎭∣中只有13-这一个元素，故0a =符合题意；情形二：若0a ≠，且集合A 中只有一个元素，这意味着当且仅当一元二次方程2310ax x ++=有两个相等的实数根，从而940a ∆=-=，解得94a =；综上所述，实数a 的所有取值可能为：0，94；（2）{}{}23201,2B xx x =-+==∣，情形一：当0m =时，{}{10}|010A xmx x x =-==⋅-==∅∣，此时满足A B ⊆，故0m =符合题意；情形二：当0m ≠时，1{10}A xmx m ⎧⎫=-==⎨⎩⎭∣，若要A B ⊆，则当且仅当11m =或12m=，解得12m =或1m =；综上所述，实数m 的值可能是：0，12，1.16．(1){}22x x -<≤(2)233a a ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭【分析】（1）先解不等式求出集合,A B ，再利用交集、补集的概念计算即可；（2）先求出,A B 并集的补集，再根据集合间的基本关系计算即可.【详解】（1）由3217x -<+<得{}23A x x =-<<，由2280x x +->得2x >或<4x -，即B ={2x x >或<4x -}，所以{}42B x x =-≤≤R ð，故(){}22A B x x ⋂=-<≤R ð；（2）由上知A B = {2x x >-或<4x -}，所以(){}42A B x x ⋃=-≤≤-R ð，而()A B C ⋃⊆R ð，则32132412a a a a -<+⎧⎪-≤-⎨⎪+≥-⎩，解之得233a -≤≤-，即a 的取值范围为233a a ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭.17．(1){}{}{}{}{}{}4,1,2,4,1,4,2,1,2---；(2)能，{}9(,)24+∞ .【分析】（1）当4b =时，由0∆<，得到A =∅，求得{4,1,2}B =-，结合条件即可求解；（2）由()U B A =∅ ð，得到A B ⊆，分A =∅和A ≠∅，两种情况讨论，结合集合的包含关系，即可求解.【详解】（1）解：当4b =时，可得2{|330}A x x x =-+=，因为2(3)440∆=--⨯<，所以A =∅，又由2{|(2)(34)0}{4,1,2}B x x x x =-+-==-，又因为AMB ，所以这样的集合M 共有如下6个：{}{}{}{}{}{}4,1,2,4,1,4,2,1,2---.（2）解：能；由()U B A =∅ ð，可得A B ⊆，若A =∅时，此时满足A 是B 的一个子集，此时940b ∆=-<，解得94b >；若A ≠∅时，由（1）知{4,1,2}B =-，当4A -∈时，28b =-，此时{4,7}A =-，此时A 不是B 的一个子集；当1A ∈时，2b =，此时{1,2}A =，此时A 是B 的一个子集；当2A ∈时，2b =，此时{1,2}A =，此时A 是B 的一个子集，综上可得，当A =∅或{1,2}A =时，满足()U B A =∅ ð，此时实数b 的取值范围为{}9(,)24+∞ .18．(1)(),1∞--(2)1k <-或3k =【分析】（1）由交集为空集得到一元二次方程无解，再由判别式小于等于零可解出；（2）分A B =∅ 和A B ≠∅ 时，分别求出k 的范围，注意A B ≠∅ 时A B ⋂中的点都在集合C 中，即可解出；【详解】（1）由22y x ky x=+⎧⎨=⎩得220--=x x k ，①因为A B =∅ ，所以①的440k ∆=+<，解得1k <-，所以实数k 的取值范围为(),1∞--，（2）①若A B =∅ ，由（1）可得1k <-，②若A B ≠∅ ，且其中的点都在集合C 中，也符合题意，此时1k ≥-，联立22y x ky x=+⎧⎨=⎩，得220--=x x k ，且Δ440k =+≥，解得()(){}1,1A B k k⋂=+-，将1x =C 中，整理可得82y k =+-令822y k k =++=--，整理得())310k -+=，解得3k =，同理，把1x =C ，得(()(221421882y k k k k =-+---=-+，令2y k =-，整理并化简可得()(310k -=，所以3k =，综上，实数k 的取值范围为1k <-或3k =.19．(1){1}、{3}、{1,2}、{1,4}、{3,4}、{2,3}、{1,2,4}、{2,3,4}；(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据题意，分析4S 的子集，对应奇子集的定义，即可得4S 的所有奇子集；（2）设S 为n S 的奇子集，根据奇子集和偶子集的定义，按1是否属于S 进行分类，则得到奇子集和偶子集之间的关系，分析即可证得结论；（3）根据（2）中的结论，计算奇子集容量之和时，元素i 的贡献是22n i -，即可求得奇子集的容量之和，从而得到偶子集的容量之和，即可得到结论．【详解】（1）由题意可知，当4n =时，4{1s =，2，3，4}，X 的容量为奇数，则X 为n S 的奇子集，∴所有的奇子集应为{1}、{3}、{1,2}、{1,4}、{3,4}、{2,3}、{1,2,4}、{2,3,4}；（2）设奇数n k S ∈，对于n S 的每个奇子集A ，当k A ∈时，取{|B x x A =∈且}x k ≠．当k A ∉时，取{}B A k = ，则B 为n S 的偶子集．反之，亦然．11所以，n S 的奇子集与偶子集是一一对应的．所以，n S 的奇子集与偶子集个数相等．（3）对任一(1)i i n ≤≤，含i 的子集共有12n -个，用上面的对应方法可知，其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，从而对于每个数i ，在奇子集的和与偶子集的和中，i 所占的个数是一样的．于是在计算奇子集容量之和时，元素i 的贡献是22n i -，∴奇子集容量之和是2312(1)2nn n i i n n --==+⋅∑，根据上面所说，这也是偶子集的容量之和，两者相等，故当3n ≥时，n S 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．【点睛】方法点睛：对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.。

重庆市南开中学2015届高三12月月考数学(理)试题Word版含答案

重庆市南开中学2015届高三12月月考数学(理)试题Word版含答案

重庆南开中学高2015级高三12月月考数学试题(理科)考试说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．(1)答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；(2)选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工整，字迹清楚；(3)请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在草稿 纸、试题卷上答题无效；(4)保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷(选择题共50分)一．选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只 有一项是符合题目要求的。

1．关于x 的不等式ax +b >0的解集不可能．．．是( ) (A)R (B)φ (C) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-a b x x ＞ (D)⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠a b x x 2．抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为( ) (A)41 (B)21(C)2 (D)4 3．已知⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ，2a ，5102cos 2sin =-a a ，则=a cos ( ) (A)54-(B)53- (C)54 (D)534．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4a ，2a 2，a 3成等差数列，若a 1=1。

则S 4=( ) (A)7 (B)8 (C)15 (D)165．已知单位向量a ，b 夹角为3π，则b a -2=( )(A)2 (B)3 (C)2 (D)56．已知直线()00022＞，＞b a by ax =+-平分圆014222=+-++y x y x C ：的圆周长，则ba 21+的最小值为( ) (A) 24 (B) 223+ (C)4 (D)67．已知定义在R 上的偶函数()x f 满足：当x ≥0时，()83-=x x f ，则关于x 的不等式：()122＞-x f 的解集为( )(A){}20＞或＜x x x (B) {}40＞或＜x x x (C) {}42＞或＜x x x - (D) {}22＞或＜x x x - 8．下列说法正确的个数是( )①命题“0123≤+-∈∀x x R x ，”的否定是“0120300＞，+-∈∃x x R x ”； ②“ac b =”是“三个数a ，b ，c 成等比数列”的充要条件；⑨“1-=m ”是“直线01)12(=+-+y m mx 和直线023=++my x 垂直”的充要条件： ④“复数()R b a bi a Z ∈+=，是纯虚数的充要条件是0=a ”是真命题．(A)1 (B)2 (C)3 (D)49．设21F F ，为双曲线C ：()0012222＞，＞b a by a x =-的左、右焦点，过坐标原点O 的直线与双曲线C 在第一象限内交于点P ，若a PF PF 621=+，且21F PF ∆为锐角三角形，则直线OP 斜率的取值范围是( )(A)⎪⎪⎭⎫⎝⎛34332， (B)⎪⎭⎫ ⎝⎛334， (C)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3321， (D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2332， 10．存在实数a ，使得对函数()x g y =定义域内的任意x ，都有()x g a ＜成立，则称a 为 g(x)的下界，若a 为所有下界中最大的数，则称a 为函数()x g 的下确界．已知+∈R z y x ，，且以z y x ，，为边长可以构成三角形，则()()2z y x zxyz xy z y x f ++++=，，的下确界为( )(A)61 (B)41 (C) 31 (D) 21第Ⅱ卷(非选择置共100分)二、填空置：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上。

重庆市南开中学2021-2022学年高二上学期期中考试物理试题+Word版含答案

重庆市南开中学2021-2022学年高二上学期期中考试物理试题+Word版含答案

重庆南开中学高2023级高二（上）期中考试物理试题说明：本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，其中第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为实验题和计算题。

满分120分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题（以下各小题只有一个答案符合题目要求，共10小题，每题4分，共40分）1．下列说法中，正确的是()A．公式FE只适用于真空中点电荷产生的电场qB．某电场中任意两点间的电势差大小等于该两点间移动点电荷电场力做的功C．并联电路任一支路电阻增大（其他支路不变），总电阻一定减小D．单位换算关系：1N/C=1V/m2．如图所示，R1=4R，R2=2R，R3=2R，R4=2R则b、c之间的总电阻是()A．6R B. 4RC．3R D. 2R3. 如图所示的实线表示电场线，虚线表示只受电场力作用的带电粒子的运动轨迹，由此可以判定()A．该带电粒子带负电B．M点的电势小于N点的电势C．M点的电势能大于N点的电势能D．该粒子一定从M点向N点运动4．如图所示，竖直绝缘墙壁上的Q处有一个固定的带电质点A，在Q的上方P 点用绝缘丝线悬挂着另一个带电质点B。

A、B两质点因带同种电荷而相斥，致使悬线与竖直方向成一角度，由于缓慢漏电使A、B两质点带的电荷量逐渐减少，整个过程中A、B小球始终不接触，下列说法正确的是()A．丝线的拉力先变大后变小B．丝线的拉力大小一直不变C．A、B之间的库仑力一直变大D．A、B之间的库仑力先变大后变小5．两根电阻均为R的保险丝A、B。

现将A保险丝对折，B保险丝拉长至直径减半，则此时两保险丝的电阻之比为（）A．1:64 B. 1:32 C. 1:16 D.1:46．用控制变量法可以研究影响平行板电容器电容的因素。

如图所示，设两极板的正对面积为S，极板间的距离为d，静电计指针偏角为θ，极板间介质为空气。

实验中，极板所带电荷量不变，则()A．保持两极板正对面积S不变，将左极板向左移一点，则θ变小B．保持两极板正对面积S不变，将左极板向右移一点，则θ不变C．保持两极板间距离d不变，左极板向上移动一点，则θ变大D．保持两极板间距离d不变，向两极板间插入一块玻璃板，则θ变大7. 如图所示，一水平面内有一半径为23R=cm的圆O，A、B、C为圆上的三3等分点，空间有一方向与圆平面平行的匀强电场。

数学理卷·2014届重庆市南开中学高二下学期期末考试word版

数学理卷·2014届重庆市南开中学高二下学期期末考试word版

24 ，求 m 的值； 25
（Ⅱ）设甲在 3 次相互独立的测试中能达标的次数为随机变量 x ，求 x 的概率分布列及 数学期望．
（18） （本小题满分 13 分） 已知定义在 R 上函数 f ( x ) = （Ⅰ）求 a + b 的值； （Ⅱ）求函数 f ( x ) 的值域．
D1 C1 B1
x+b 为奇函数． x + ax + 1
2 p
1 p 1 1 （D） 2 p
题(10)图 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案填写在答题卡相应位置上． （11）二项式 ( x - )9 的展开式中 x 3 的系数是
1 x
．
2
（12）已知映射 f：A ® B ,其中 A = B = R ,对应法则 f：x ® y = x - 2 x + 2， 若对实数
2
当 y = 0 时，根为 x = 0 符合； 当 y ¹ 0 时， D = 1 - 4 y ³ 0 ，于是 2
1 1 £ y£ 且y ¹0； 2 2
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综上，值域为 [ -
1 1 , ]. 2 2
19． （本小题满分 13 分） 解：以点 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示： 设 AD = AB = 1 ,则
（3）已知集合 A = {x | x < a} ， B = {x | log3 x < 1} ， A U (ðR B ) = R ，则实数 a 的取值范围 是 （A） a > 3 （B） a ≥ 3 （C） a ≤ 3 （D） a < 3
（4）已知 a, b Î R ,“ a > b - 1 ”是“ a > b ”的 （A）充分不必要条件 （C）充要条件 （B）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

重庆市南开中学校2025届高三上学期7月月考数学试题(含答案)

重庆市南开中学校2025届高三上学期7月月考数学试题(含答案)

重庆南开中学高2025级高三7月月考数学试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上．第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每道题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．函数的单调递增区间为（ ）A ．B ．C ．D ．3．命题p ：“函数在区间上单调递增”是命题q ：“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当时，，则（）A ．4B ．C ．5D ．5．若正实数x ，y 满足，则xy 的取值范围为（ ）A ．（0，4]B ．C ．D ．6．若函数在时有极小值，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数的图象与函数的图象有且只有一个交点，则实数（）A ．B ．1C ．D ．28．已知函数是R 上的偶函数，且，当时，，函数f （x ）在区间的零点个数为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10二、多项选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．{A x y =={}2x B y y ==A B = (](),50,-∞-+∞ [)1,+∞()0,+∞[)[)5,01,-+∞ ()()2ln 1f x x =-()0,+∞(),0-∞()1,+∞(),1-∞()313f x x ax =-[]1,1-1a ≤0x >()21f x x =+()2f '-=4-5-40x y xy +-=[)2,+∞[)4,+∞[)16,+∞()()2e x f x ax b =+1x =2e -ab =2-3-e-1-()()ln f x x m =+()()ln g x x =--m =1-2-()1f x +()()220f x f x ++-=(]0,1x ∈()25log 22f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭[]3,3-9．下列关于幂函数的说法正确的有（ ）A ．函数f （x ）的定义域为RB ．函数f （x ）的值域为C ．函数f （x ）为偶函数D ．不等式的解集为10．已知函数f （x ）在定义域内恒大于0，且满足，则下列不等式正确的是（）A ．B ．C ．D ．11．已知函数（且），则（ ）A ．当时，函数g （x ）有3个零点B ．当时，函数g （x ）在上单调递减C ．当函数g （x ）在处的切线经过坐标原点时，有或D ．当时，若函数恰有两个零点、，则第Ⅱ卷（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若，则f （x ）的解析式为______．13．已知函数的值域为，则______．14．已知函数，若且，有恒成立，则实数a 的取值范围是______．四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数在点处的切线l 与直线平行．（1）求k 的值及切线l 的方程；（2）求f （x ）的单调区间和极值．16．（15分）()43f x x -=()0,+∞()1f x <()1,1-()1,+∞()()ln 0f x xf x x '->()()2ln 33ln 2f f >()()2ln 33ln 2f f <()()224f f >()()224f f <()[)()[]cos ,0,2ππ2sin 1,2π,3πax x x g x a x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩a ∈R 0a >1a =12a =4π5π,33⎛⎫⎪⎝⎭()00,P x y 0001sin cos 2x x x +=00tan 1x x ⋅=12a ⎡∈⎢⎣()()f x g x t =-1x 2x 122πx x +>()2212f x x x -=-()()sin 1202520252cos 3xf x x x =+-≤≤-[],m M M m +=()()1e ln xf x x x x =--()12,0,x x ∀∈+∞12x x ≠()()122212f x f x a x x ->-()2ln 1f x x x kx =+-+()()2,2f 320x y -=已知函数为偶函数．（1）求a 的值及函数f （x ）的值域；（2）设，若，都有恒成立，求实数m 的取值范围．17．（15分）2024年4月26日至10月28日，世界园艺博览会在成都主办，主题为“公园城市，美好人居”．本次展览的主会场内部规划了中华园艺展区，国家园艺展区，天府人居展区，公园城市展区等7个展区．暑假期间，甲乙两人相约游览世园会，恰逢7月6日小署至，“花语成都”诗词活动正在火热进行，一场场沉浸式、高互动的成都行歌正在线下演绎．（1）由于园区太大，甲乙两人决定在7个展区中随机选出3个展区游玩，求他们至少选中中华园艺展区，国家园艺展区，天府人居展区，公园城市展区这4个展区中2个展区的概率．（2）甲乙两人各自独立的参加了诗词活动中的“诗词填白”游戏，参加的人只要准确填出抽中的诗中空白的诗句，则视为闯关成功．已知甲和乙闯关成功的概率分别为p 和．（i ）记甲乙两人闯关成功的人数之和为X ，求X 的分布列；（ii ）若甲乙两人闯关成功的人数之和的期望大于1，求p 的取值范围．18．（17分）已知椭圆C ：，、分别为椭圆C 的左、右焦点，过作与x 轴不重合的直线l 与椭圆交于A 、B 两点．当l 垂直于x 轴时，．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点D 、E 分别为线段、的中点，点M 、N 分别为线段AE 、BD 的中点．（i ）求证：为定值；（ii ）设面积为S ，求S 的取值范围．19．（17分）定义可导函数p （x ）在x 处的函数为p （x ）的“优秀函数”，其中为p （x ）的导函数．若，都有成立，则称p （x ）在区间D 上具有“优秀性质”且D 为（x ）的“优秀区间”．已知．（1）求出f （x ）的“优秀区间”；（2）设f （x ）的“优秀函数”为g （x ），若方程有两个不同的实数解、()()93x xaf x a +=∈R ()()()()22g x mf x f x m m =++∈R x ∀∈R ()0g x <12112p p ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭()222210x y a b a b+=>>()11,0F -()21,0F 2F 3AB =1F A 1F B MNAB1F MN △()()()xq x p x p x '=⋅()p x 'x D ∀∈()1q x >()()e 10xf x x =-≠()()ln e xx m g x +=1x．（ⅰ）求m 的取值范围；（ⅱ）证明：（参考数据：）．参考答案一、单选题12345678B CAADBDC二、多选题91011BC ACABD三、填空题12．13．214．四、解答题15．（1），，故f （x ）在处的切线斜率为．，解得．因此．故l ：，即．（2）f （x ）的定义域为．又．令，解得或；令，解得．故f （x ）在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．综上所述，f （x ）的单调递增区间为和，单调递减区间为．且在处取得极大值，在处取得极小值．16．（1）∵f （x ）为偶函数，，，，()212x x x <121ln x x m e++< 2.718e ≈()22x x f x 2=+1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦()12f x x k x '=+-()922f k '=-2x =92k -9322k ∴-=3k =()2ln 2461ln 21f =+-+=-()()3ln 2122y x --=-3ln 242y x =+-()0,+∞()()()2211123123x x x x f x x x x x---+'=+-==()0f x '>1x >12x <()0f x '<112x <<10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞1,12⎛⎫⎪⎝⎭12x =111ln 224f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1x =()11f =-()()f x f x ∴=-9919333x x xx x xa a a --+++⋅∴==919x x a a ∴+=+⋅即对恒成立，．（当且仅当时取等）故值域为．（2），令，则．对恒成立，即对恒成立．，故原式子又等价于对恒成立．令，则，则h （t ）在上单调递增．故，．故m 的取值范围为．17．（1）记“他们至少选中其中的两个园区”为事件A ．则．（2）（ⅰ）由可知：X 可取0，1，2．列出分布列如下：X 012P（ⅱ）由（ⅰ）可知，解得．18．（1）在椭圆C 中，令，可得，故有，而，，解得，，，故椭圆C 的标准方程为．（2）（ⅰ）设l ：，将l 与C 联立可得：．设，，则，．()191xa a -⋅=-x ∀∈R 1a ∴=()1323x x f x ∴=+≥=0x =[)2,+∞()()()2233233x x x x g x m m --=++++()332xxt t -=+≥222332x x t -+=-()()2220g x m t t m ∴=-++<2t ∀≥()2120m t t -+<2t ∀≥210t -> 221tm t <--2t ∀≥()221th t t =--()()2222201t h t t +'=>-()2,+∞()()423h t h ≥=-43m ∴<-4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()11343437C C C 22C 35P A +==()()()201121242P X p p p p ==---=-+⎡⎤⎣⎦()()()()21121121451P X p p p p p p ==--+--=-+-⎡⎤⎣⎦()()22212P X p p p p==-=-2242p p -+2451p p -+-22p p-()()()22145122311E X p p p p p =⋅-+-+⋅-=->213p >>x c =2b y a =±223b a =1c =222a b c =+24a =23b =21c =22143x y +=1x ty =+()2234690t y ty ++-=()11,A x y ()22,B x y 122634t y y t -+=+122934y y t -=+则，，，．①当l 与x 轴垂直时，，此时，故；②当l 与x 轴不垂直时，也有．综上，．故，而，故．（ⅱ）由（ⅰ）可知：，故：．令，解得．恒过定点．设到MN 与AB 的距离分别为与，的面积为，则．故令，则，因为在上单调递增，故，则．综上所述，S 的取值范围为．19．（1）当时，．令，则，令，解得；令，解得．111,222x y D ⎛⎫-⎪⎝⎭221,222x y E ⎛⎫- ⎪⎝⎭12121,24424x x y y M ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭21211,24424x x yy N ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭12x x =13144M N x x x =-=MN AB ∥1212121244M N MNAB M N y y y y y y k k x x x x x x ---====---MN AB ∥MN AB ∥2AB y =-14N MN y AB =-=14MN AB =MN AB ∥MN l 1212124224x x y y x t y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0y =121212121111124424244242x x y y ty ty y y x t t ++⎛⎫⎛⎫=+--+=+--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭MN l 1,02R ⎛⎫⎪⎝⎭1F 1d 2d 1F AB △1S 111122113214162MN d F R S S F F AB d ===112121233131616216S S F F y y y y ==⋅⋅-=-=94==)1r r =≥()2299911443143143r r S r r r r=⋅=⋅=⋅+-++13y r r =+[)1,+∞134r r +≥916S ≤90,16⎛⎤⎥⎝⎦()e 1xf x =-()()1e 1e 11e 1e 1xxx x x x g x -+-=-=--()()1e 1xh x x =-+()e xh x x '=()0h x '>0x >()0h x '<0x <当时，h （x ）单调递减；当时，h （x ）单调递增，故．当时，，则，f （x ）不具有“优秀性质”；当时，，则，f （x ）具有“优秀性质”．故f （x ）的“优秀区间”为．（2）（ⅰ）原式．令，，令，解得；令，解得．故当时，k （x ）单调递减；时，k （x ）单调递增．当时，；时，，，故．即m 的取值范围为．（ⅱ）由、为方程的两个解可知：，则，令，，令，，则N （x ）在单调递增，故．令，解得．故M （x ）在（0，1）上单调递减，上单调递增．则．令，，令，则，故G （x ）在上单调递增，．即，故Q （x ）在上单调递增．故(),0x ∈-∞()0,x ∈+∞()()00h x h >=(),0x ∈-∞e 10x -<()10g x -<()0,x ∈+∞e 10x ->()10g x ->()0,+∞()e ln 1ln 1e 1ln 0e 1x xx x x x m x x x mx m x--⇔+=⇔---=⇔=-()e ln 1x x x k x x --=()()()21e 1x x k x x --'=()0k x '>1x >()0k x '<01x <<()0,1x ∈()1,x ∈+∞0x →()k x →+∞x →+∞()k x →+∞()11k e =-1m e >-()1,e -+∞1x 2x 2222e 1ln x m x x x =--1201x x <<<()1212212222221e 1e 11ln ln ln x x x x m x x x x e x x x x e++<=--⇔<---()e 11x M x x x x e =---()()()21e 1xx x M x x ---'=()e 1xN x x =--()e 10xN x '=->()0,+∞()()00N x N >=()0M x '>1x >()1,+∞()()22121 2.72 2.710.89120e e M x M e e e e e---⨯-≥=--=>=>()()()11Q x k x k x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()()()()221e e 111x xx x x Q x k x k x x x --+-⎛⎫'''=+= ⎪⎝⎭()e e 1,1x x G x x x x =-+->()1111e e e 1e e e 10x xx xx x G x x x x x'=-++>-++>()1,+∞()()10G x G >=()0Q x '>()1,+∞，即，成立．因为，则，又，，k （x ）在（0，1）单调递减，则，即，故．所以．()()10Q x Q >=()1k x k x ⎛⎫> ⎪⎝⎭1x ∀>1201x x <<<()()1221k x k x k x ⎛⎫=>⎪⎝⎭101x <<2101x <<121x x <121x x <()12ln 0x x <()212222e 11ln 0x x x x x x e <<---。

重庆市重庆一中2015届高三10月月考试题 数学理 Word版含答案

重庆市重庆一中2015届高三10月月考试题 数学理 Word版含答案

x z 0
1 2
x
1 2
y
z
0
，令
z
1，则
n1
(1,
1,1)
设面 A1C1B 的法向量为 n2 (m, n, k) ，则 n2 BA1 0, n2 BC1 0
n k 0
则
1 2
m
1 2
n
k
0
，令
k
1 ，则
n2
(1,1,1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所以
cos n1 , n2
n1 n2 n1 n2
1 1 1 3 3
Go the distance
21．（本题满分 12 分）
已知圆 C : (x 1)2
( y 1)2
2 经过椭圆
Γ∶ x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的右焦点
F，且
F
到右
准线的距离为 2． (1)求椭圆 Γ 的方程； (2)如图，过原点 O 的射线 l 与椭圆 Γ 在第一象限的交点为 Q，与圆 C 的交点为 P，M 为 OP
1
1－a
(2)当 a＝1，b＝0 时，h(x)＝3x3－x－1，b＝ 2 ，
则由(2)可知，函数 h(x)的单调递增区间为 (, 1), (1, ) ，单调递减区间为(－1，1)．
5
5
因为 h(－2)＝－3，h(1)＝－3，所以 h(－2)＝h(1)．
1 ①当 t＋3<1，即 t<－2 时，[h(x)]min＝h(t)＝3t3－t－1.
5 ②当－2≤t<1 时，[h(x)]min＝h(－2)＝－3.
1 ③当 t≥1 时，h(x)在区间[t，t＋3]上单调递增，[h(x)]min＝h(t)＝3t3－t－1. 综上可知，函数 h(x)在区间[t，t＋3]上的最小值

重庆市南开中学2021-2022学年高二上学期期中考试生物试题+Word版含答案

重庆市南开中学2021-2022学年高二上学期期中考试生物试题+Word版含答案

重庆南开中学高2023级高二（上）期中考试生物试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分100分，考试时间90分钟。

第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上。

第Ⅰ卷（选择题共50分）本卷共25题，每题2分，共50分。

下列各题四个选项中只有一个选项符合题意，请选出。

不选、多选或错选不得分。

1．为鉴定一只山羊是否纯种和不断提高小麦抗病品种的纯合度，应采用的方法依次是A．自交、测交 B．测交、自交C．杂交、自交 D．杂交、测交2．蜜蜂的蜂王和工蜂由受精卵发育而来，体细胞含有32条染色体（2n=32），雄蜂由卵细胞直接发育而来。

下列相关叙述错误．．的是A．蜂王在形成卵细胞的过程中，性染色体彼此分离B．蜂王体细胞内来自卵细胞的遗传物质较精子多C．雄蜂的体细胞内没有同源染色体D．确定雄蜂染色体数目宜选择处于有丝分裂中期的体细胞3．已知企鹅的羽毛颜色由复等位基因决定：P d深紫色、P m中紫色、P l浅紫色、P vl近于白色。

其显隐性关系是：P d>P m>P l>P vl，且前者对后者为完全显性。

下列叙述错误．．的是A．若P d P m个体与P l P vl个体杂交，则F有四种基因型1有两种表现型B．若P d P l个体与P d P vl个体杂交，则F1C．若1只深紫色雄企鹅与若干只白色雌企鹅杂交，则F中最多出现两种羽毛颜1色的企鹅中最多出现四种羽毛D．若1只深紫色雄企鹅与若干只浅紫色雌企鹅杂交，则F1颜色的企鹅4．基因型为Aa的果蝇某精原细胞在DNA复制过程中发生差错，导致复制后一个A基因突变成a基因，下列叙述错误．．的是A．A基因突变的过程可能发生碱基的替换、增添或缺失B．该精原细胞最终可产生两种不同基因型的精细胞C．该精原细胞产生的含有a基因的精子占3/4D．该精原细胞产生精子的过程中，A和a的分离仅发生在减数第一次分裂后期5．下列有关人类红绿色盲遗传的叙述，错误．．的是A．表现型正常的夫妻可生下患色盲的男孩B．表现型正常的夫妻可生下患色盲的女孩C．表现型正常的男孩可能有患色盲的父亲D．表现型正常的女孩可能有患色盲的父亲6．下图甲是肺炎链球菌的体内转化实验，图乙是噬菌体侵染细菌的实验。

2023-2024学年重庆市南开中学高二(下)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年重庆市南开中学高二(下)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年重庆市南开中学高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x||log 2x|<1},B ={x|1−x x +2>0}，则A ∩B =( )A. (12,1)B. (1,2)C. (−2,12)D. (12,2)2.已知函数f(x)的定义域为[1,+∞)，则函数g(x)=f(e x )x 的定义域为( )A. (1,+∞) B. [1,+∞) C. (0,+∞) D. [0,+∞)3.已知命题p ：|x|+|x +1|≥a 对∀x ∈R 恒成立，命题q ：函数f(x)=ln (1−ax)在[0,1]上单调递减，则p 是q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知a >b >1，则下列不等式不一定成立的是( )A. a a +1>bb +1 B. log a b <log b a C. log a b +log b a >2 D. a b >b a5.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( )A. f(x)=e x −e −x xB. f(x)=ln(x 2+1)C. f(x)=e x −e x 2D. f(x)=x 2ln |x|6.已知a =log 232,b =log 1343,c =log 1454，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <b <cB. a <c <bC. c <b <aD. c <a <b7.将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数填入如图所示的3×3的九宫格中，每个格子中只填入1个数，已知4个偶数分别填入有阴影的格子中，则每一行的3个数字之积都能被3整除的概率为( )A. 15B. 310C. 25D. 128.已知m ，n ，k 均为正实数，m >2k ，且3k 2−(3m +2n)k +mn =0，若(3m +n)t−3k ≥0恒成立，则实数t 的最小值为( )A. 115B. 15C. 34D. 63二、多选题：本题共3小题，共18分。

重庆市南开两江中学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

重庆市南开两江中学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

重庆市南开两江中学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．倾斜角为120°的直线经过点(和()3,a ，则a =（ ）A．0 B ．C D 2．向量()2,1,2a =-r ，()4,2,b x =-r ，a b ⊥r r ，则2a b +=r r （ ）A ．9B ．3C ．1D ．3．已知椭圆C ：2211x y m m +=+的离心率为12，则m =（ ） A ．13B ．1C ．3D ．44．已知0a >，0b >，直线(1)10a x y -+-=和210x by ++=垂直，则21a b+的最小值为（ ）A ．16B ．8C ．4D ．25．若F 为椭圆22:197x y C +=的左焦点，P 为椭圆C 上一动点，()M ，则MFP V 周长的最大值为（ ）A ．4B ．6C ．7D ．106．若椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的离心率为12，左顶点为A ，点P ，Q 为C 上任意两点且关于y 轴对称，则直线AP 和直线AQ 的斜率之积为（ ） A ．14B ．12C ．34D ．457．过直线l ：3410x y +-=上一点P 作圆M ：22(4)1x y +-=的两条切线，切点分别是A ，B ，则四边形MAPB 的面积最小值是（ ）A ．1B C ．2D ．8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F P 在椭圆C 上，直线1PF 与直线y 交于点Q ，且12QF QF ⊥，则12tan F PF ∠=（ ）AB C D二、多选题9．已知圆()2222212:1,:(3)(3)0C x y C x y r r +=-+-=>，则下列说法正确的是（ ）A ．当1r =时，圆1C 与圆2C 有2条公切线B ．当2r =时，1y =是圆1C 与圆2C 的一条公切线 C ．当3r =时，圆1C 与圆2C 相交D ．当4r =时，圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线的方程为12y x =-+10．已知P 是椭圆2212516x y +=上一点，椭圆的左、右焦点分别为12,F F ，121cos 2F PF ∠=，则下列结论正确的是（ ）A ．△F 1PF 2的周长为16B ．12F PF S =VC ．点P 到xD ．1283PF PF ⋅=u u u r u u u u r11．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，且1AA =P 是线段1BD 上一点（包含端点），Q 在四边形11ADD A 内运动（包含边界），则下列说法正确的是（ ）A ．该四棱柱能装下球的最大半径是1B ．点P 到直线11A BC ．若P 为1BD 中点，且AQ CP ⊥，则Q D ．PC PQ +的最小值是3三、填空题12．若2()1,M -为圆22:(1)16C x y +-=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为．13．在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，AC =BC =14AA =，则该直三棱柱的外接球的表面积为 .14．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且12π3F PF ∠=，若12F PF V 的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当3R r =时，椭圆的离心率为．四、解答题15．锐角ABC V 的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c sin cos2A a a B =- (1)求角B ；(2)已知ABC V 的面积为ABC V 的周长．16．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，14AA =，E ，F 分别为AB ，1AC 的中点.(1)证明://EF 平面11AA D D ； (2)求点1C 到平面1ACE 的距离. 17．已知圆22:6490C x y x y ++-+=，A 是圆C 上一动点，点(3,0)B ，M 为线段AB 的中点．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)记M 的轨迹为曲线E ，过点(1,3)N 的点线l 与曲线E 有且只有一个交点，求直线l 的方程． 18．如图1，四边形ABCD 是梯形，//AB CD ，142AD DC CB AB ====，点M 在AB 上，AM MB =，将ADM △沿DM 折起至A DM 'V ，如图2，点N 在线段A C '上．(1)若2A C NC '=，求证：平面DNM ⊥平面A BC '；(2)若AC '=DNM 与平面CDM A N A C ''值．19．定义:若点（x 0，y 0），（x 0’，y 0’）在椭圆M :22221x y a b +=（a >b > 0）上，并满足''0000221x x y y a b +=，则称这两点是关于M 的一对共轭点，或称点（x 0，y 0）关于M 的一个共轭点为（x 0’，y 0’）.已知点A （2，1）在椭圆M :22163x y +=上，O 是坐标原点.(1)求点A 关于M 的所有共轭点的坐标:(2)设点P ，Q 在M 上，且PQ →∥OA →，求点A 关于M 的所有共轭点和点P ，Q 所围成封闭图形面积的最大值.。

重庆市南开中学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

重庆市南开中学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

重庆市南开中学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．东门B ．艺术馆C ．图书馆D ．传鉴亭3．如图，ABC 与DEF 位似，点O 为位似中心，位似比为12∶，2BC =，别度为（）A ．3B ．4C ．6D ．84．下列计算正确的是（）A ．23x x x +=B ．2(1)1a a a +=+C ．25．估计(242)2-÷的值在（A ．0和1之间B ．16．如图，用圆圈按照一定的规律拼图案，其中第（图案有8个圆圈，第3个图案有圆圈的个数为（）A ．20B ．23C ．267．我国古代数学著作《增减算法统宗〉记载“圆中方形”问题：个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一”，其大意为：有一块正方形水池，测量出除水池外图内可耕地的面积垥好是72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是方程是（）A ．2232x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭2x ⎛⎫C ．22(3)x x π+-8．如图，抛物线y =下列说法：①0abc >则12y y <．其中正确的个数为（A ．1个9．如图，正方形ABCD 相交于点F ．若DF FGA ．259B ．2710．在多项式a b c d e -+--中，任选两个字母，在两侧加括号，称为第一轮作”．例如，选择b ，d 进行“加括号操作第一轮“加括号操作”后的式子中进行同样的操作，进行第(1)n n ≥轮“加括号操作①存在某种第一轮“加括号操作②总存在第(1)k k ≥轮“加括号操作③对原多项式进行第一轮“加括号操作A ．0个B ．1个二、填空题11．计算：0213-+=12．若五边形的内角中有一个角为13．有四张完全一样正面分别写有汉字从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字恰好是14．如图，ABC 和ADE V 都是等腰直角三角形，点，连接CE ．若22AB =，15．如图，点A 是反比例函数点C 为x 轴负半轴上一点且满足2BOA S =△，则k 的值为16．若关于x 的一元一次不等式组1⎧⎪⎨⎪⎩方程24111y a y y -=---的解为非负整数，则所有满足条件的整数17．如图，四边形ABCD 是菱形，点AFE △，连接BD ，分别交AF 于点M 则AN 的长度为．18．如果一个各数位上的数字均不为0的四位自然数则称这个四位数为“倍差等和数”．例如：四位数5171是“倍差等和数”；又如：四位数6321， 2(63)⨯-=大的“倍差等和数”为，将“倍差等和数”M abcd =数，该三位数和M 的个位数字之差能7整除，令G 数，则满足条件的数M 的最小值为．三、计算题19．计算：(1)(1)(1)(2)x x x x +-+-；(2)2769144a a a a -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭．(1)用尺规完成以下基本作图：在边别交BD于点O，交BC的延长线于点(2)在（1）所作的图形中，证明：四边形ABCD是平行四边形，∴①，∠∴DAE AEB∠=∠，ADB1DAE∠=∠，∴③，ADB DAE∠=∠，∴OB OE=，④⑤∴()≌，ABO DEOSAS=．∴AB DE五、问答题根据以上信息，解答下列问题：(1)请填空：=a ______，b =______，m =______；(2)根据以上数据，你认为甲、乙两小区的竞答成绩谁更好?请说明理由（写出一条理由即可）；(3)若甲小区收回200份竞答问卷，乙小区收回180份竞答问卷，估计这些问卷中两小区竞答成绩为优秀的总份数是多少?六、应用题22．小南从北关中学返回天津前，用300元购入青莲紫笔记本和铁艺胸针两种纪念品若干，其中青莲紫笔记本总费用比铁艺胸针总费用的2倍少60元．(1)求购买青莲紫笔记本和铁艺胸针的总费用各为多少元？(2)小南发现，两种纪念品的单价和为10元，青莲紫笔记本和铁艺胸针的数量相同，请帮助他算出纪念品的总个数．七、作图题23．如图1，在梯形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，628AB ，BC AD ===，点E 在边AB 上且2AE =．动点P Q ，同时从点E 出发，点P 以每秒1个单位长度沿折线E →A →D 方向运动到点D 停止，点Q 以每秒2个单位长度沿折线E →B →C 方向运动到点C 停止．设运动时间为t 秒，PQC △的面积为y ．八、计算题(1)求EB的长度；（结果保留根号）(2)由于时间原因，小南决定选择一条较短路线到达张伯苓校长的雕塑前，应该选择线路①还是线路②？（参考数据︒≈）︒≈，tan370.75cos370.8九、问答题25．如图，在平面直角坐标系中，直线(),23B b，C两点，与x轴交于点(1)求抛物线的表达式；。

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2014-2015学年重庆市南开中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，10小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）1．（5分）复数z=的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i2．（5分）命题“∀x∈（0，+∞），x+＞2”的否定为（）A．∀x∈（0，+∞），x+≤2 B．∀x∈（0，+∞），x＜2C．∃x∈（0，+∞），x+≤2 D．∃x∈（0，+∞），x+＜23．（5分）抛物线y+x2=0的准线方程为（）A．y= B．x= C．y=2 D．x=24．（5分）“直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切”是“k=”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知=（1，0，﹣1），则下列向量中与所成夹角为120°的是（）A．（1，0，1）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，﹣1） D．（﹣1，1，0）6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为12，则椭圆C的方程为（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=17．（5分）已知斜率为1的直线l与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，且AB的中点为M（1，3），则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±3x B．y=±x C．y=± D．y=±x8．（5分）三棱锥O﹣ABC的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是O（0，0，0），A（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，1），则点C到平面OAB的距离为（）A．B．C．D．9．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的乘积的最小值为（）A．B．C．D．210．（5分）已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球为球O，P为球O 的球面上动点，DP⊥BC1，则点P的轨迹的周长为（）A．πB．C．π D．2π二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡II上相应位置（只填结果，不写过程）11．（5分）i+i2+i3+i4=．12．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F作直线l与抛物线A，B两点，若AB中点M 的横坐标为，则|AB|=．13．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为，该三棱柱的体积为．14．（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣1）2=1和椭圆+=1上的动点，则|PQ|的最大值为．15．（5分）已知F1，F2是双曲线的左右焦点，点P在双曲线上不与顶点重合，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A，若|OA|=b，则该双曲线的离心率为．三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡II上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16．（12分）已知m∈R，复数z=m2+m﹣2+i．（1）若z为纯虚数，求实数m的值；（2）若复数z在复平面中所对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．17．（15分）已知实数m＞0，命题p：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：y=x+m与圆x2+y2=2有两个交点，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．18．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=1（1）求证：直线BC1∥平面ACD1（2）求直线AB与平面ACD1所成角的正弦值．19．（13分）已知动圆过定点F（1，0），且与直线l：x=﹣1相切（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）过点P（2，0）作直线交C的轨迹于A，B两点，交l于点M，若点M的纵坐标为﹣3，求|AB|的长．20．（12分）如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2，PA=2，E是线段PC上一点．（1）若PC⊥平面BDE，求的值；（2）若二面角A﹣PB﹣C的余弦值为﹣，求线段BD的长．21．（11分）设椭圆C：+（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）已知p为非零常数，若过点P（p，0）的直线l与椭圆C相交于不同于椭圆长轴顶点的两点M，N，且=，问在x轴上是否存在定点Q，使与x轴垂直？若存在，求定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2014-2015学年重庆市南开中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，10小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）1．（5分）复数z=的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【解答】解：复数z===1﹣i．∴复数z=的虚部为：﹣1．故选：B．2．（5分）命题“∀x∈（0，+∞），x+＞2”的否定为（）A．∀x∈（0，+∞），x+≤2 B．∀x∈（0，+∞），x＜2C．∃x∈（0，+∞），x+≤2 D．∃x∈（0，+∞），x+＜2【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈（0，+∞），x+＞2”的否定为：∃x∈（0，+∞），x+≤2．故选：C．3．（5分）抛物线y+x2=0的准线方程为（）A．y= B．x= C．y=2 D．x=2【解答】解：抛物线y+x2=0，即：x2=﹣2y．准线方程：y=．故选：A．4．（5分）“直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切”是“k=”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则，则（k2+1）x2+4kx+3=0，∴△=16k2﹣12（k2+1）=0，解得：k=±，∴直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切”是“k=”的必要不充分条件，故选：B．5．（5分）已知=（1，0，﹣1），则下列向量中与所成夹角为120°的是（）A．（1，0，1）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，﹣1） D．（﹣1，1，0）【解答】解：对于D：设=（﹣1，1，0），∴=﹣1，=，∴==﹣，∴=120°．故选：D．6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为12，则椭圆C的方程为（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=1【解答】解：由已知得，解得a=3，b=2，∴椭圆C的方程为．故选：C．7．（5分）已知斜率为1的直线l与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，且AB的中点为M（1，3），则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±3x B．y=±x C．y=± D．y=±x【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减可得：﹣=0，∵斜率为1的直线l与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，A、B的中点为M（1，3），∴k•k OM==3，∴y=x=±x．故选：B．8．（5分）三棱锥O﹣ABC的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是O（0，0，0），A（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，1），则点C到平面OAB的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：∵O（0，0，0），A（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，1），∴=（1，0，1），=（1，1，0），=（0，1，1），设=（x，y，z），平面ABO的法向量，∴，令x=1，y=﹣1，z=﹣1，∴=（1，﹣1，﹣1），=﹣2，||=∴点C到平面OAB的距离为：==，故选：A．9．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的乘积的最小值为（）A．B．C．D．2【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|﹣|PF2|=2a2，∴|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1﹣a2，设|F1F2|=2c，∠F1PF2=，则：在△PF1F2中由余弦定理得，4c2=+﹣∴化简得：，该式可变成：，∴≥∴e1e2≥，故选：B．10．（5分）已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球为球O，P为球O 的球面上动点，DP⊥BC1，则点P的轨迹的周长为（）A．πB．C．π D．2π【解答】解：∵DP⊥BC1，∴点P在过点D且于BC1垂直的平面上，故点P在平面CDA1B1内，故点P在平面CDA1B1与球的交线上，又∵平面CDA1B1与球的交线是球的大圆，又∵内切球的半径为1，∴点P的轨迹的周长为2π，故选：D．二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡II上相应位置（只填结果，不写过程）11．（5分）i+i2+i3+i4=0．【解答】解：i+i2+i3+i4=i﹣1+i2•i+i2•i2=i﹣1﹣i+1=0．故答案为：0．12．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F作直线l与抛物线A，B两点，若AB中点M 的横坐标为，则|AB|=5．【解答】解：∵抛物线的方程为y2=4x，∵2p=4，p=2，∵|AB|=x A++x B+=x A+x B+p=x A+x B+2，∵若线段AB的中点M的横坐标为，∴（x A+x B）=，∴x A+x B=3，∴|AB|=3+2=5．故答案为：5．13．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为，该三棱柱的体积为．【解答】解：因为CC1∥AA1．所以∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，即∠BC1C=．在Rt△BC1C中，BC=CC1tan∠BC1C=6×=2，=BC2=3，从而S△ABC因此该三棱柱的体积为V=S×AA1=3×6=18，△ABC故答案为：18．14．（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣1）2=1和椭圆+=1上的动点，则|PQ|的最大值为5．【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣1）2=1的圆心为（0，1），半径为1，∴椭圆上的点与圆心的距离为==≤4，∴P，Q两点间的最大距离是4+1=5．故答案为：515．（5分）已知F1，F2是双曲线的左右焦点，点P在双曲线上不与顶点重合，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A，若|OA|=b，则该双曲线的离心率为．【解答】解：∵F1，F2是双曲线的左右焦点，延长F2A交PF1于Q，∵PA是∠F1PF2的角平分线，∴PQ=PF2，∵P在双曲线上，∴PF1﹣PF2=2a，∴PF1﹣PQ=QF1=2b，∵O是F1F2中点，A是F2Q中点，∴OA是F2F1Q的中位线，∴QF1=2a=2OA=2，∴a=1，c=，∴双曲线的离心率e=．故答案为：．三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡II上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16．（12分）已知m∈R，复数z=m2+m﹣2+i．（1）若z为纯虚数，求实数m的值；（2）若复数z在复平面中所对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵复数z=m2+m﹣2+i为纯虚数，∴，解得m=﹣2．（2）∵复数z在复平面中所对应的点位于第四象限，∴，解得﹣3＜m＜﹣2．∴实数m的取值范围是（﹣3，﹣2）．17．（15分）已知实数m＞0，命题p：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：y=x+m与圆x2+y2=2有两个交点，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：由命题p知m＞3；由命题q知方程组有两个解；∴x2+（x+m）2=2，即2x2+2mx+m2﹣2=0有两个不同实数根；∴△=4m2﹣8（m2﹣2）＞0，解得：﹣2＜m＜2；又m＞0，∴0＜m＜2；∴若p或q为真命题，p且q为假命题，则p，q一真一假；①p真q假时，，∴m＞3；②p假q真时，，∴0＜m＜2；∴实数m的取值范围为（0，2）∪（3，+∞）．18．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=1（1）求证：直线BC1∥平面ACD1（2）求直线AB与平面ACD1所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵几何体为长方体ABCD﹣A1B1C1D1，∴AB∥C1D1，AB=C1D1，∴AD1∥BC1，∵AD1⊂平面ACD1，BC1⊄平面ACD1∴直线BC1∥平面ACD1；（2）解：以D1为坐标原点，分别以D1A1，D1C1，D1D为x，y，z轴作空间直角坐标系，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=1，∴D1（0，0，0），A（1，0，1），C（0，2，1），B（1，2，1）∴=（0，2，0），=（﹣1，2，0），=（﹣1，0，﹣1），设平面ACD1的一个法向量为=（x，y，z），则，即，令y=1，则=（2，1，﹣1），∴直线AB与平面ACD1所成角的正弦值等于|cos＜＞|==．19．（13分）已知动圆过定点F（1，0），且与直线l：x=﹣1相切（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）过点P（2，0）作直线交C的轨迹于A，B两点，交l于点M，若点M的纵坐标为﹣3，求|AB|的长．【解答】解：（1）如图，设M为动圆圆心，F（1，0），过点M作直线x=﹣1的垂线，垂足为N，由题意知：|MF|=|MN|即动点M到定点F与到定直线x=﹣1的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F（1，0）为焦点，x=﹣1为准线，∴动圆圆心的轨迹方程为y2=4x．（2）设直线AB的方程为y=k（x﹣2），则y=k（x﹣2）过点（﹣1，﹣3），解得k=1，∴直线AB的方程为y=x﹣2，联立，得x2﹣8x+4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=8，x1x2=4，∴|AB|==4．20．（12分）如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2，PA=2，E是线段PC上一点．（1）若PC⊥平面BDE，求的值；（2）若二面角A﹣PB﹣C的余弦值为﹣，求线段BD的长．【解答】解：（1）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A﹣xyz，则P（0，0，2），C（0，2，0），设B（b，，0），D（﹣b，，0），（b＞0），设EC=x，则在直角三角形PAC中，PA=2，AC=2，PC=2，则ECsin∠PCA=x，ECcos∠PCA=x，即E（0，2﹣x，x），则=（0，2，﹣2），=（﹣2b，0，0），=（﹣b，，）．由于PC⊥平面BDE，则PC⊥BD，PC⊥BE，则=0，=0，则，解得，x=，则PE=2﹣=，则=2；（2）由（1）得，=（0，0，2），=（b，，0），设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则，取=（﹣，b，0），由于=（0，2，﹣2），=（﹣b，，0），设平面PBC的法向量为=（p，q，r），则，取=（），由于二面角A﹣PB﹣C的余弦值为﹣，即有|cos＜＞|=，即有||=||=，解得，b=．则线段BD的长为．21．（11分）设椭圆C：+（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）已知p为非零常数，若过点P（p，0）的直线l与椭圆C相交于不同于椭圆长轴顶点的两点M，N，且=，问在x轴上是否存在定点Q，使与x轴垂直？若存在，求定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意，=，=1，∴a=2，b=1，∴椭圆C的方程为；（2）设在x轴上存在定点Q（t，0），使与x轴垂直．设直线l的方程为x﹣p=ky，M（x1，y1），N（x2，y2）．由=，得y1+λy2=0．即λ=﹣①∵=（4，0），=（x1﹣t﹣λx2+λt，y1﹣λy2），∴x1﹣t﹣λx2+λt=0，∴x1﹣t=λ（x2﹣t），即ky1+p﹣t=λ（ky2+p﹣t）②①代入②得2ky1y2+（p﹣t）（y1+y2）=0③把x=p+ky代入椭圆，消去x可得（k2+4）y2+2kpy+p2﹣4=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=，代入③化简可得pt=4，当t=时，上式恒成立，因此，在x轴上存在定点Q（，0），使与x轴垂直．。

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