2016年镇海中学高一数学奥林匹克选拔测试一(含答案)
2016年温州中学高一数学奥林匹克检测一(含答案)
[ MATHEMATICS ]（本卷满分：200分 考试时间：150分钟）（高一试卷）第一部分（共2小题，第1题20分，第2题30分，计50分）I .求所有大于1的正整数n ，使得对任意正实数n x x x ，，，⋅⋅⋅21，都有不等式()()21212231n n x x x n x x x x x x ++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+．II .⑴ 设d 是任意四面体的相对棱间距离的最小值，h 是四面体的最小高的长．证明：2d > h ．⑵ 证明：不存在一个长方体，其体积、表面积和周长数值上相等(这里的周长指的是12条棱的长度之和)．第二部分（共2大题，计150分）一、填空题（共15小题，每题6分，计90分）．1. 已知向量与的夹角为θ=2=1，t =，()t -=1，在t 0时取得最小值．则当5100<<t 时，夹角θ的取值范围为 ． 2. 设二次函数()()()02122≠++=a b ax x f ，在[]43，上至少有一个零点．则22b a + 3. 记[]x 为不超过 x 的最大整数．若集合)[][]}1 ≤-++=y x y x y x S ，，则集合S 所表示的平面区域的面积为 ．4. 设c b a 、、为直角三角形的三边长，其中c 为斜边长．则使得k abcc b a ≥++333成立的k 的最大值为 ．5. 在ABC ∆中，()()C B C C B B cos cos 4cos sin 3 cos sin 3=--，且AB+AC =4，则BC 的值域为 ．6. 已知整数c b a 、、，使得a c c b b a ++和c a b c a b ++均为整数，则acc b b a ++的值为 ．7. 在三棱锥ABC S -中，ABC SA 面⊥，BC AB ⊥，点E 为SC 的中点，D 为AC上的点，且SC DE ⊥．又SA=AB ，SB=BC ，则以BD 为棱，以BDE 和BDC 为面的二面角的正弦值为 ． 8. 若一个四面体恰有一棱之长大于1，则这四面体体积的最大值为 ．9. 数列{}n a 定义如下：11=a ，22=a ，()n n n a n na n n a 221212+-++=++，⋅⋅⋅=，，21n ．若201122012>+m a ，则正整数m 的最小值为 ． 10. 如图，已知A (1,0)，B (2,0)，C (3,0)，M (0,m )(m >0)为平面直角坐标系xOy 上的四点，满足OP ⊥AM ，AQ ⊥BM ，BR ⊥CM ．若P ,Q ,R 三点共线，则m 的值为 ．11. 已知集合M ={a ,b ,c }，N ={2,4,8,…,220}，又 f 是集合M 到N 上的一个映射，且满足()[]()()c f a f b f ⋅=2，则这样的映射的个数为 ．12. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=*N k k ik a i min ，则[][][]2221n n a a a S +⋅⋅⋅++=的值为 ．(其中2≥n ，[]x 表示不超过 x 的最大整数) 13. 已知a+b+c >0，02=++c bx ax 有实根，若恒有{}{}c b a q c b a c b a p ，，，，max min ≤++≤，则min max q p +的值为 ．列n a 的通项公式为 ．15. 在一条长为36厘米的直尺上刻 n 条刻度，使得能够用这条尺一次性的度量[]361，中的任意整数厘米的长度．则 n 的最小值为 ．二、解答题（本大题分3小题，每题20分，计60分）．16. (本题满分20分)设函数()x f 对所有的实数x 都满足()()x f x f =+π2，求证：存在4个函数()()4321，，，=i x f i 满足：⑴ 对4321，，，=i ，()x f i 是偶函数，且对任意的实数x ，有()()x f x f i i =+π； ⑵ 对任意的实数x ，有()()()()()x x f x x f x x f x f x f 2sin sin cos 4321+++=．17. (本题满分20分)设集合*⊆Z X 且≠X Ø，满足下列条件：① 若X x ∈，则X x ∈4；② 若X x ∈，则X x ∈][．(其中[]x 表示不超过 x 的最大整数) 求证：X 是全体正整数构成的集合．18. (本题满分20分)已知{}n a 为n 项等差数列，且满足：50721111=-=+=∑∑∑===ni k n i k ni ka a a．求n 的最大值．2016年温州中学数学奥林匹克检测一 参考答案[ MATHEMATICS Examination paper reference answer ]（本卷满分： 200 分）第一部分（共2小题，第1题20分，第2题30分，计50分）I. 解 当n =2时，()()12212212x x x x x x +≥+⇒，即()0221≥-x x ，故n =2符合． (4分)当n =3时，()()13322123213x x x x x x x x x ++≥++⇒，()()()0213232221≥-+-+-⇔x x x x x x ，故n =3满足题意． (8分)当n =4时，不等式为()()14433221243214x x x x x x x x x x x x +++≥+++()024321≥-+-⇔x x x x ．故n =4满足题意． (12分)下证，当n >4时，不等式不可能对任意正实数n x x x ，，，⋅⋅⋅21都成立． 取()25114321-==⋅⋅⋅====n x x x x x n ，，()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++⇒2222532521251211n n n n n n ()()()2225325225121--+-+≥⇔n n n n n n ，这与121525n <≤矛盾． 所以满足题意的正整数n 为2,3,4．(20分)II. ⑴ 证明 不妨设A 到面BCD 高线长AH=h ，AC 与BD 间距离为d ，作AF ⊥BD 于点F ，CN ⊥BD 于点N ，则CN ∥HF ，在面BCD 内作矩形CNFE ，连结AE ．∵BD ∥CE ，∴BD ∥平面ACE ，∴BD 到面ACE 距离为BD 与AC 间距离d ．在ΔAEF 中，AH 为边EF 上的高，AE 边上的高FG=d ，作EM ⊥AF 于M ．则由EC ∥平面ABD 知，EM 为点C 到面ABD 的距离(由EM ⊥面ABD )．于是EM ≥ AH=h ．在RtΔEMF 与RtΔAHF 中，由EM ≥ AH ，得EF ≥ AF ．又∵ΔAEH ∽ΔFEG ，∴2≤+<==EFEFAF EF AE FG AH d h ．∴2d > h ．(15分) ⑵ 证明 若存在一个长方体，其体积、表面积和周长数值都相等．设其长、宽、高分别为a 、b 、c ，则()()c b a ca bc ab abc ++=++=42 (＊)(5分)根据(＊)知()[]()abc c b a ca bc ab ++=++422，即()()abc c b a ca bc ab ++=++2．(12分)然而，()()abc c b a ca bc ab ++≥++32，矛盾！故不存在．(15分)第二部分（共2大题，计150分）一、填空题（共15小题，每题6分，计90分）．1、 ⎪⎭⎫⎝⎛322ππ，2、 10013、 254、2+ 5、 ()42， 6、 3 7、 218、 81 9、 402510、 53011、 200 12、 66133823-+-n n n13、42514、 1=n a 15、 8 二、解答题（本大题分3小题，共60分）． 16、(20分)(可能有多种解法)证明 记()()()2x f x f x g -+=，()()()2x f x f x h --=，则()()()x h x g x f +=，且()x g 是偶函数，()x h 是奇函数，对∀x ∈R ，()()x g x g =+π2，()()x h x h =+π2．令()()()21π++=x g x g x f ，()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+≠+-=2 0 2cos 22πππππk x k x x x g x g x f ，，，()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=πππk x k x x x h x h x f 0 sin 23，，，()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠++=2 0 22sin 24πππk x k x x x h x h x f ，，， 其中k 为任意整数． (8分)容易验证()()4321，，，=i x f i 是偶函数，且对∀x ∈R ，()()x f x f i i =+π，4321，，，=i ． 下证对∀x ∈R ，有()()()x g x x f x f =+cos 21．当2πk πx +≠时，显然成立；当2πk πx +=时，因为()()()()()2cos 121π++==+x g x g x f x x f x f ，而()()()x g k g k g k k g k g x g =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++22122323ππππππππππ故对∀x ∈R ，()()()x g x x f x f =+cos 21． (14分)下证对∀x ∈R ，有()()()x h x x f x f =+2sin 43．当2k πx ≠时，显然成立；当x=k π时，()()()()()πππππk h k h k k h k h x h -=-=-==2， 所以()()0==πk h x h ，而此时()()02sin 43=+x x f x f ，故()()()x x f x f x h 2sin 43+=；当2πk πx +=时，()()()x h k h k h k k h k h x h -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++22122323ππππππππππ 故()()()()x h x h x h x f =+-=23π，又()02sin 4=x x f ， 从而有()()()x x f x x f x h 2sin sin 43+=．于是，对∀x ∈R ，有()()()x h x x f x x f =+2sin sin 43．综上所述，结论得证． (20分)17、(20分)(可能有多种解法)证明 利用极端性原理，由集合*⊆Z X 且≠X Ø，可知X 中一定存在一个最小的元素，不妨设为a ．由②知 a a ≥][，1≤⇒a ．故1=a ．由①知 X ∈⋅⋅⋅，，，32444． (5分)当自然数⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≥k m 11log log 4时，有()111log 2log 21log 2444>⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=-+k k k m m m ．由此知，存在自然数n ，使得()1log 2log 244+≤≤k n k m m ．()mmk k n 2214+≤≤⇒．(17分) 由上述讨论知 X n ⊆4． 由②知 X k ⊆．故X 是全体正整数构成的集合． (20分)18、(20分)(可能有多种解法)解 因为方程21-=+=x x x 无解，故2≥n 且公差不为零． (2分)不妨设数列的各项为()01>≤≤-d n k kd a ，． 作函数()∑===nk kd x x f 1．条件等价于()507=x f 至少有三个不同的根21-+a a a ，，，此条件又等价于函数()x f y =的图像与水准直线507=y 至少有三个不同的公共点．由于()x f y =的图像是关于直线()21d n y +=左右对称的n +1段的下凸折线，它与水准直线l 有三个公共点，当且仅当折线有一水准段在l 上，当且仅当n =2m 且()[]d m md a a a 121+∈-+，，，，()507=md f ． 即3≥d 且5072=d m ． (16分)由此得 35072≤m ，解得 13≤m ． 显然，m =13，取d =3，a =4满足条件． 因此n 的最大值为26． (20分)。
2016年中国国家队选拔考试一
第一天2016年3月15日上午8:00—12:301. 如图, 在圆内接六边形ABCDEF 中, AB BC CD DE ===. 若线段AE 内一点K 满足B KC K F E C KD K F A ∠=∠∠=∠，, 证明：KC KF =.B2. 求最小的正实数λ, 使得对任意三个复数{}123,,1z z z z C z ∈∈<, 若1230z z z ++=, 则22122331123z z z z z z z z z λ+++<.3. 给定整数2n ≥, 设集合(){}{}12,,,0,1,,,1,2,,nkX a a a ak k n =∈=对任意元素()()1212,,,,,,,n n s s s s X t t t t X =∈=∈ , 定义{}{}{}()1122max ,,max ,,,max ,n n s t s t s t s t ∨= , {}{}{}()1122min ,,min ,,,min ,n n s t s t s t s t ∧= .求X 的非空真子集A 的元素个数的最大值, 使得对任意,s t A ∈, 均有,s t A s t A ∨∈∧∈.第二天2016年3月16日上午8:00—12:304. 设整数,2c d ≥, 数列{}n a 满足()11,1,2,dn n a c a a c n +==+= .证明：对每个整数2n ≥, 存在n a 的素因子p , 使得对1,,1i n =- , 有ip a ⎪/.5. 如图所示, 四边形ABCD 内接于圆O , ,A C ∠∠的内角平分线相交于点I , ,B D ∠∠的内角平分线相交于点J , 直线IJ 不经过点O , 且与边,AB CD 的延长线分别交于点,P R , 与边,BC DA 的延长线交于点,Q S . 线段,PR QS 的中点分别为,M N . 证明：.OM ON ⊥PR6. 设,m n 为整数, 2n m ≥≥, S 是一个n 元整数集合. 证明：S 至少有12n m -+个子集, 每个子集的元素和均被m 整除. （这里空集的元素和约定为0. ）。
浙江省镇海中学2016年高一数学奥林匹克选拔测试二 含
2016.62016年镇海中学数学奥林匹克选拔检测二[ MATHEMATICS ]（本卷满分：200分 考试时间：150分钟）（高一试卷）第一部分（共2小题，每题25分，计50分）I .设集合{}6102，，，含的十进制表示中数码不x x A *∈=N ． 证明：31<∑∈A x x．II .如图，给定凸四边形ABCD ，︒<∠+∠180D B ，P 是平面上的动点，令()AB PC CA PD BC PA P f ⋅+⋅+⋅=．⑴ 求证：当()P f 达到最小值时，C B A P 、、、四点共圆；⑵ 设E 是ABC ∆外接圆O 的 AB 上一点，满足：23=AB AE ，13-=ECBC，ECA ECB ∠=∠21，又DC DA ，是O 的切线，2=AC ，求()P f 的最小值．第二部分（共2大题，计150分）检测范围：高中必修一、四、五及必修二立体几何部分第II 题一、填空题（共15小题，每题6分，计90分）． 1. 设5021a a a ，，，⋅⋅⋅，5021b b b ，，，⋅⋅⋅为互不相同的数，则关于x 的方程：∑∑==-=-501501i ii ibx a x 的所有有限个实根的个数最大值为 ．2. 在平面直角坐标系中，点集()()(){}06363≤-+-+y x y x y x ，所对应的平面3. 如图，设S - 3，底面边长为 2 的正四棱锥，K 是棱SC 的中点，过AK 作平面与线段SB ，SD 分别交于M ，N (M ，N 可以是线段的端点)．则四棱锥AMKN S -的体积V 的值域为 ．4. 已知abc = -1，122=+cbc a ，则代数式555ca bc ab ++的值为 ．5. 在ABC ∆中，︒=∠60A ，点P 为ABC ∆所在平面上一点，使得P A =6，PB =7，PC =10，则ABC S ∆的最大值为 ． 6. 在数列{}n a 中，11=a ，前n 项和为n S ，()1241≥+=+n a S n n ，则2013a 的值为 ．7. 用s σ表示非空整数集S 中所有元素的和，设{}1121a a a A ，，，⋅⋅⋅=是正整数集，且1121a a a <⋅⋅⋅<<，若对每个正整数1500≤n ，存在A 的子集S ，使得()n s =σ，则满足上述要求的10a 的最小值为 ．8. 设z y x 、、是3个不全为零的实数，则2222z y x yzxy +++的最大值为 ．9. 实数a 使得对任意实数54321x x x x x ，，，，，不等式14151+==∑∑≥i i i i i x x a x 都成立，则a的最大值为 ．10. 设()d cx bx ax x f +++=23对任意[]11，-⊆x ，总有()1≤x f ．则d c b a +++的最大值为 ．11. 两个平行平面α和β将四面体截成三部分．已知中间一部分的体积小于两端中任一部分的体积，点A 和B 到平面α的距离分别为30和20．而点A 和C 到平面β的距离分别为20和16，两个截面中有一个是梯形，点D 到平面α的距离小于24．则平面α和β截四面体所得的截面面积之比为 ．12. 空间四个球，它们的半径分别是2、2、3、3．每个球都与其他三个球外切．另一个小球与这四个球都相切，则这个小球的半径为 ． 13. 钝角ABC ∆的内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，且满足()C b B c a cos cos 2=-，()R ∈-+=λλC B C B A sin sin sin sin sin 222， 则λ的值域为 ．14. 若存在整数k ，使得kn n n ->+⎥⎦⎤⎢⎣⎡22313对所有正整数2≥n 恒成立，则k 的最大值为 ．CD K S M N15. 有n 个砝码(重量可以相同)可以将它们分成4组，使得每组的重量之和相同；也可以将它们分成5组，使得每组的重量之和相同；还可以将它们分成9组，使得每组的重量之和相同．则n 的最小可能值为 ． 三、解答题（本大题分3小题，每题20分，计60分）． 16. (本题满分20分)证明：任意一个四面体总有一个顶点，由这个顶点出发的三条棱可以构成一个三角形的三边．17. (本题满分20分)正整数数列{}n a 满足：12211+-==+n n n a a a a ，．证明：数列的任何两项皆互质．18. (本题满分20分)求最小常数a >1，使得对正方形ABCD 内部任一点P ，都存在PAB ∆，PBC ∆，PCD ∆，PDA ∆中的某两个三角形，使得它们的面积之比属于区间][1a a ，-．2016年镇海中学数学奥林匹克选拔检测二参考答案[ MATHEMATICS Examination paper reference answer]（本卷满分： 200 分）第一部分（共2小题，每题25分，计50分）I.II.解 ⑴ 如图，由托勒密不等式，对平面上的任意点P ，有 PA BC PC AB PB AC ⋅+⋅≥⋅．因此()f P PA BC PC AB PD CA =⋅+⋅+⋅PB CA PD CA ≥⋅+⋅()PB PD CA =+⋅． 因上面不等式当且仅当P A B C 、、、顺次共圆时取等号，因此当且仅当P 在ABC ∆的外接圆且在 AC 上时，()()f P PB PD CA =+⋅． 又因PB PD BD +≥，此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在BD 上时取等号．因此当且仅当P 为ABC ∆的外接圆与BD 的交点时，()P f 取最小值m i n ()f P AC BD =⋅．故当()P f 达最小值时，C B A P 、、、四点共圆．………………………10分⑵ 记 ECB α∠=，则2ECA α∠=，由正弦定理有 sin 2sin 3AE AB αα==，从而2sin 2αα=，即 34sin )4sin cos αααα-=，所以2cos )4cos 0αα--=，整理得 24cos 0αα-，解得 cosα=或cos α=舍去)，故 30α= ，60ACE ∠= ． ………………………………………15分由已知 1BCEC ==()0sin 30EAC EAC∠-∠,有 sin(30)1)sin EAC EAC ∠-=∠ ，即1cos 1)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=∠，整理得 21cos 22EAC EAC ∠=∠，故 tan 2EAC ∠==+可得 75EAC ∠= ，从而45E ∠= ，45DAC DCA E ∠=∠=∠= ，ADC ∆为等腰直角三角形．因 AC 1CD =．……………………………………20分 又ABC ∆也是等腰直角三角形，故 BC =212215BD =+-⋅= ，BD =．故 min ()f P BD AC =⋅25分第二部分（共2大题，计150分）一、填空题（共15小题，每题6分，计90分）．1、 492、 243、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2334，4、 35、 36+6、 201223019⨯7、 2488、 259、 332 10、 7 11、 134129 12、 11613、 ()()2301-，，14、 5 15、 14三、解答题（本大题分3小题，共60分）． 16、(20分)(可能有多种解法)证明 利用反证法．设四面体ABCD 中AB 是最长的棱，如果任一顶点出发的三条都不能构成一个三角形，则对由A 出发的三条棱，有AD AC AB +≥．又对由B 出发的三条棱，有 BD BC BA +≥． 两式相加，得BD BC AD AC AB +++≥2．(＊)(12分) 但在ABC ∆与ABD ∆中，有BC AC AB +<，BD AD AB +<． 两式相加，有BD BC AD AC AB +++<2．与(＊)式矛盾，故原命题得证．(20分)17、(20分)(可能有多种解法)证明 改写条件为()111-=-+n n n a a a ，(8分)从而 ()1111-=---n n n a a a ，……， 据此迭代得()1111-=--+n n n n a a a a()1221-=---n n n n a a a a ()1111-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=-a a a a n n 11a a a n n ⋅⋅⋅=-，所以，1121+⋅⋅⋅=--a a a a n n n ， 因此当k n <，()1=k n a a ，．(20分)18、(20分)(可能有多种解法)解m i n a =．首先证明min a ≤，记ϕ=对正方形ABCD 内部一点P ，令1S ，2S ，3S ，4S 分别表示PAB ∆，PBC ∆，PCD ∆，PDA ∆的面积，不妨设1243S S S S ≥≥≥．令1224,S SS S λμ==，如果,λμϕ>，由 13241S S S S +=+=， 得221S S μ=-，得21S μμ=+． 故2121111111S S λμλϕϕλμϕμϕ===>==++++，矛盾． 故{}min ,λμϕ≤，这表明min a ϕ≤．(12分)反过来对于任意(1,)a ϕ∈，取定1(,)2t a +∈，使得2819t b t =>+． 我们在正方形ABCD 内取点P ，使得12342,,,1b bS b S S S b t t====-，则我们有1223(S S t a S S ==∈，3242,(1)4(1)S b b a S t b b =>>>-- 由此我们得到对任意{},1,2,3,4i j ∈，有1[,]ijS a a S -∉． 这表明min a ϕ=．(20分)。
浙江镇海中学高一实验班选拔考试数学卷
浙江镇海中学高一实验班选拔考试数学卷注意：(1) 试卷共有三大题35小题，满分200分，考试时间150分钟.(2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效.一、 选择题（本题有11小题，每小题3分，共33分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在( ) (A) 直线y = –x 上 (B) 抛物线 y =2x 上 (C) 直线y = x 上 (D) 双曲线xy = 1上2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k 的值是 ( )(A) 35 (B) 30 (C) 25 (D) 20 3．若－1＜a ＜0，则aa a a 1,,,33一定是 ( ) (A) a 1最小，3a 最大 , (B) 3a 最小，a 最大 (C)a 1最小，a 最大 , (D) a1最小， 3a 最大 4．如图，将△ADE 绕正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转90°，得△ABF ，连结EF 交AB 于H ，则下列结论错误的是（ ）(A) AE ⊥AF （B ）EF ：AF =2：1(C) AF 2= FH ·FE （D ）FB ：FC = HB ：EC5．在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且CD 与BE 相交于点F ，已知△BDF 的面积为10，△BCF 的面积为20，△CEF 的面积为16，则四边形区域ADFE 的面积等于（ ） (A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)446．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（ ） （A ）30 （B ）35 （C ）56 （D ） 4487、下列图中阴影部分面积与算式2131242-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的结果相同的是【 】8、下列命题中正确的个数有…【 】① 实数不是有理数就是无理数；② a ＜a ＋a ；③121的平方根是 ±11；④在实数范围内，非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 9、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。
2016年镇海中学高一数学奥林匹克选拔测试一(含答案)
求证：．
17. (本题满分20分)已知数列满足，，． ⑴ 证明：是正整数数列； ⑵ 是否存在，使得，并说明理由．
18. (本题满分20分)将3×3方格表中任意角上的2×2小方格表挖去， 剩下的图形称为“角形”(如图1就是一个角形)，现在10×10方格 表(图2)中放置一些两两不重叠的角形，要求角形的边界与方格 表的边界或分格线重合．求正整数k的最大值，使得无论以何种 方式放置了k个角形之后，总能在方格表中再放入一个完整的角 形．
II.如图，线段AB、CD是⊙O中长度不相等的两条弦，AB与CD的交 点为E，⊙I内切⊙O于点F，且分别与弦AB、CD相切于点G、H．过点O 的直线l分别交AB、CD于点P、Q，使得EP=EQ．直线EF与直线l交于点 M，求证：过点M且与AB平行的直线是⊙O的切线．
第II题
第二部分（共2大题，计150分） 一、填空题（共15小题，每题6分，计90分）．
再使用叠代，连续使用x'=x+五次，得到下列式子： (2) (3) (4)… (5)… (6)． 把这6个式子加起来，中间得项都抵消了，只剩首尾得项，得： f(x+1)-f(x)=f(x+2)-f(x+1) ．(10分) 假设f(x)=a，f(x+1)-f(x)=b，则： f(x+1)-a=b f(x+2)-f(x+1)=f(x+1)-f(x)=b … f(x+n)-f(x+n-1)=b 上式全加起来得：f(x+n)-a=n×bf(x+n)=a+n×b．(15分) 假设b不等于0，则n足够大的时候一定可以使|a+n×b|>1， 与题设矛盾，所以b=0．(20分) 所以f(x+1)=f(x)，周期是1．(25分)
浙江镇海中学2012年高一实验班选拔考试数学卷及答案
浙江镇海中学2012年高一实验班选拔考试数学卷及解析( 4. 20 )注意：(1) 试卷共有三大题35小题，满分200分，考试时间150分钟.(2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效.一、 选择题（本题有11小题，每小题3分，共33分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在( )(A) 直线y = –x 上 (B) 抛物线 y =2x 上 (C) 直线y = x 上 (D) 双曲线xy = 1上 2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k 的值是 ( )(A) 35 (B) 30 (C) 25 (D) 20 3．若－1＜a ＜0，则a a a a 1,,,33一定是 ( ) (A) a1最小，3a 最大 , (B) 3a 最小，a 最大(C)a 1最小，a 最大 , (D) a1最小， 3a 最大4．如图，将△ADE 绕正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转90°，得△ABF ，连结EF 交AB 于H ，则下列结论错误的是（ ）(A) AE ⊥AF （B ）EF ：AF =2：1(C) AF 2 = FH ²FE （D ）FB ：FC = HB ：EC5．在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且CD 与BE 相交于点F ，已知△BDF 的面积为10，△BCF 的面积为20，△CEF 的面积为16，则四边形区域ADFE 的面积等于（ ） (A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)446．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（ ）（A ）30 （B ）35 （C ）56 （D ） 4487、下列图中阴影部分面积与算式2131242-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的结果相同的是【 】8、下列命题中正确的个数有…【 】① 实数不是有理数就是无理数；② a ＜a ＋a ；③121的平方根是 ±11；④在实数范围内， 非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 49、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。
浙江省镇海中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题
镇海中学2015学年第一学期期中考试高一年级数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.）)13lg(13)(2++-=x x x x f 的定义域是（）A ．),31(+∞-B ．)1,31(-C ．)31,31(-D ．)31,(--∞)1,(-α在函数x y 2log =的图象上，则函数αx y =的定义域为（）A ．{}0≥x xB ．{}0>x xC ．{}0,≠∈x R x xD ．R2)(-+=x e x f x 的零点所在的一个区间是（）A ．)1,2(--B ．)0,1(-C ．)1,0(D ．)2,1({}x A ,2,0=，{}2x B =，A B A = ，则满足条件的实数x 有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个1)21()21(21<<<a b ，那么（）A ．a b a b a a <<B ．b a a a b a <<C ．a a b b a a <<D ．a a b a b a <<c x bax x f ++=2)(的图象如右图所示，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a>b>cB ．c>a>bC ．b>a>cD ．a>c>b21212)(-+=x x x f ，若][x 是不超过x 的最大整数，则函数)]([)]([x f x f y --=的值域为（）A ．B ．{}1,1-C ．{}1,0,1-D ．x e x f ln )(=（e 为自然对数的底数），若21x x ≠且)()(21x f x f =，则下列结论一定不成立的是（）A ．1)(12>x f xB ．1)(12=x f xC ．1)(12<x f xD ．)()(2112x f x x f x <二、填空题（本大题共7小题，第9-12题，每小题6分，第13-15题，每小题4分，共36分.）{}1,1-=A ，{}A y A x y x m m B ∈∈+==,,，则用列举法表示集合B=______；若集合{}3,1,1-=M ，{}4,22++=a a N 满足{}3=N M ，则实数a=______. )4(log )(22x x f -=的值域为______；不等式1)(>x f 的解集为_______. 11.已知0>a 且1≠a ，若函数⎩⎨⎧<≥=+1,,1,log )(12x a x x x f x 在的最大值为2，则=-)]1([f f _______，a=____. 12.已知函数21)21()(++-=x a x x f ，当a=1时，f(x)的单调递减区间为______；当a=-1时，f(x)的单调递增区间为_______. )5(log )(2+-=ax x x f a （0>a 且1≠a ）满足对任意的1x 、2x ，当221a x x ≤<时，0)()(12<-x f x f ，则实数a 的取值范围为_______. a x x +-<12的解集是区间(-3,3)的子集，则实数a 的范围为______.三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分14分）（1）已知64,27==y x ，化简并计算：)65()41(561312112132y x y x yx -⋅---；（2）计算：3log 3335258log 932log 2log 2-+-. 17.（本小题满分14分）{}0822<--=x x x A ，{}0322>-+=x x x B ，{}02322<+-=a ax x x C .（1）求B A ；（2）试求实数a 的取值范围，使)(B A C ⊆.18.（本小题满分14分）已知函数2244)(22+-+-=a a ax x x f .（1）若函数f(x)在区间上的最大值记为g(a)，求g(a)的解析式；（2）若函数f(x)在区间上的最小值为3，求实数a 的值. 19.（本小题满分14分）已知定义域为R 的函数ab x f x x ++-=+122)(是奇函数. （1）求实数a ，b 的值；（2）判断函数f(x)的单调性，并说明理由；（3）若对任意的)4,1(∈t ，不等式0)()4(>+-t f t k f 恒成立，求实数k 的取值范围.20.（本小题满分16分）已知函数a x x x x f --+=)1()(2.（1）若a=-1，解方程f(x)=1；（2）若函数f(x)在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若a<1且不等式32)(-≥x x f 对一切实数R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.。
数学奥林匹克高中训练题(01)及答案.doc
数学奥林匹克高中训练题（01）第一试一、选择题（本题满分30分，每小题6分） 1．(训练题06)设211)(xx x f +=，对任意自然数n ，定义))(()(11x f f x f n n =+，则)(1993x f 的解析式为(C)．(A)211993xx + (B)21993xx + (D)2199311993xx +2．(训练题06)若1532>==zy x ，则z y x 5,3,2从小到大的顺序是(A)．(A)z x y 523<< (B)y x z 325<< (C)z y x 532<< (D)x y y 235<< 3．(训练题06)自然数q p n m ,,,满足等式2222q p n m +=+，则q p n m +++(B)．(A)是质数 (B)是合数 (C)可能是质数，也可能是合数 (D)既不是质数，也不是合数 4．(训练题06)一圆台的上底半径为cm 1，下底半径为cm 2，母线AB 为cm 4，现有一蚂蚁从下底面圆周的A 点，绕圆台侧面(即要求与圆台的每条母线均相交)向上底面圆周的B 点爬行的最短路线是 (A)．(A)3234π+(B)3434π+ (C)3232π+ (D)3432π+ 5．(训练题06)若复数z 的共轭复数是z ，且1=z 又)1,0(),0,1(-=-=B A 为定点，则函数))(1()(i z z x f -+=取最大值时在复平面上以B A Z ,,三点为顶点的图形是(C)．(A)等边三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形6．(训练题06)若ABC ∆是钝角三角形，则)arccos(sin)arccos(sin )arccos(sin C B A ++的值域是(C)．(A)(0,]2π(B)}2{π (C)3(,)22ππ (D)3(0,)2π二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．(训练题06)满足不等式log log x x yy xy ≥的点),(y x 的集合是{(,)|1}{(,)|01}x y x y x x y x y x >><<<且且．2．(训练题06)一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为1V ，圆柱的体积为2V ，且21kV V =，则k 的最小值是43．3．(训练题06)一个三位自然数321a a a 称为凹数，如果同时有2321,a a a a >>（例如849,525,104都是凹数而200,684,123都不是凹数），则所有的凹数的个数是 285 ．4．(训练题06)如图，已知椭圆221,,,2x y DA AB CB AB +=⊥⊥2,23==CB DA ，动点P 在AB 上移动，则PCD ∆是45．(训练题06)四次方程038420234=++-kx x x 的四个根当中的两个的积是24，则k 的值是 140 ． 6．(训练题06)四个正数之和为4，平方和为8，则这四个数中最大的那个数的最大值是 1+ 三、(训练题06)(本题满分20分)n a a a a 321,,是互不相等的自然数，证明：+++++)(7737271n a a a a ≥++++)(5535251n a a a a 333321232()n a a a a ++++．四、(训练题06)(本题满分20分)设M P ,分别在正方形ABCD 的边CD BC ,上，PM 与以AB 为半径的圆相切，线段PA 与MA 分别交对角线BD 于N Q ,，证明：五边形PQNMC 内接于圆．五、(训练题06)(本题满分20分)100个火柴盒，标号为1至100.我们可以问其中任15个盒子总共含有的火柴为奇数或偶数，至少要问几才能确定1号盒子里的火柴数的奇偶性． (3个问题)第二试一、(训练题06)(本题满分35分)右图中CDE BCD ABC ∆∆∆,,都是正三角形，线段FG ∥BA ，连EF DG ,相交于O ，连CO 并延长与AB 的延长线相交于P ，证明：D二、(训练题06)(本题满分35分)假定10321,,a a a a 和10321,,b b b b 都是由不相等的复数所组成的序列，已知对10,,2,1 =i 均有1210()()()100i i i a b a b a b +⋅+⋅⋅+=.证明：对任何10,,2,1 =j ，乘积1210()()()j j j b a b a b a +++都等于同一常数，并求出此常数．三、(训练题06)(本题满分35分)证明任意28个介于104和208之间(包括104和208)的不同的正整数，其中必有两个数不互素(即此二数的最大公约数大于1)．。
镇海中学数学高一上期中习题(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：11825]设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( )A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,52．(0分)[ID ：11805]三个数0.32，20.3，0.32log 的大小关系为（ ）.A ．20.30.3log 20.32<<B ．0.320.3log 220.3<<C ．20.30.30.3log 22<<D ．20.30.30.32log 2<<3．(0分)[ID ：11801]设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 4．(0分)[ID ：11782]设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21,0122,1x x x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（ ）A ．1-B ．13- C ．12- D ．135．(0分)[ID ：11778]对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]2436450x x -+<成立的x 的取值范围是（ ）A ．315,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．[]28,C ．[)2,8D ．[]2,76．(0分)[ID ：11773]如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()U M P S ⋂⋂D ．()()U M P S ⋂⋃7．(0分)[ID ：11755]函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）．A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]8．(0分)[ID ：11752]已知函数)245f x x x =+，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+B ．()()212f x x x =+≥ C ．()2f x x = D ．()()22f x x x =≥9．(0分)[ID ：11749]设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z 10．(0分)[ID ：11762]已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数B ．奇函数，且在(0,10)是增函数C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数 11．(0分)[ID ：11740]三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>12．(0分)[ID ：11737]已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<13．(0分)[ID ：11732]方程 4log 7x x += 的解所在区间是（ ）A ．(1,2)B ．(3,4)C ．(5,6)D ．(6,7)14．(0分)[ID ：11729]已知函数f(x)={(2a −1)x +7a −2，（x <1）a x ，（x ≥1）在（-∞,+∞）上单调递减，则实数 a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(0,12)C ．[38,12)D ．[38,1) 15．(0分)[ID ：11803]设0.13592,ln,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．b c a >>二、填空题16．(0分)[ID ：11920]已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______．17．(0分)[ID ：11915]幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.18．(0分)[ID ：11912]已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += .19．(0分)[ID ：11871]关于下列命题：①若函数2x y =的定义域是{|0}x x ≤，则它的值域是{|1}y y ≤；② 若函数1y x =的定义域是{|2}x x >，则它的值域是1|2y y ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭； ③若函数2y x 的值域是{|04}y y ≤≤，则它的定义域一定是{|22}x x -≤≤； ④若函数2log y x =的值域是{|3}y y ≤，则它的定义域是{|08}x x <≤.其中不正确的命题的序号是_____________( 注：把你认为不正确的命题的序号都填上).20．(0分)[ID ：11869]如果函数221x x y aa =+-（0a >，且1a ≠）在[]1,1-上的最大值是14，那么a 的值为__________.21．(0分)[ID ：11850]已知函数f(x)=log a (2x −a)在区间[12,23]，上恒有f (x )>0则实数a 的取值范围是_____.22．(0分)[ID ：11849]若函数|1|12x y m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是__________． 23．(0分)[ID ：11839]用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中最小值，则函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+的最大值是 ．24．(0分)[ID ：11926]已知()2x a x af x ++-=，g(x)=ax+1 ，其中0a >，若()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是______________.25．(0分)[ID ：11904]已知函数())ln 1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．三、解答题26．(0分)[ID ：12025]已知函数()()log 1x a f x a =-（0a >，1a ≠） （1）当12a =时，求函数()f x 的定义域； （2）当1a >时，求关于x 的不等式()()1f x f <的解集；（3）当2a =时，若不等式()()2log 12x f x m -+>对任意实数[]1,3x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.27．(0分)[ID ：11977]围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．28．(0分)[ID ：11969]2019年，随着中国第一款5G 手机投入市场，5G 技术已经进入高速发展阶段.已知某5G 手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机()010x x ≤≤万台，其总成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 万元满足()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩（1）将利润()f x 表示为产量x 万台的函数；（2）当产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？29．(0分)[ID ：11960]设()()()log 1log (30,1)a a f x x x a a =++->≠,且()12f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域；（2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值． 30．(0分)[ID ：11953]设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A∪B=A ，求实数a 的取值范围．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．A3．B4．B5．C6．C7．D8．B9．D10．C11．B12．C13．C14．C15．A二、填空题16．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实17．【解析】【分析】由条件得MN则结合对数的运算法则可得αβ=1【详解】由条件得MN可得即α=loβ=lo所以αβ=lo·lo=1【点睛】本题主要考查幂函数的性质对数的运算法则及其应用等知识意在考查学生18．【解析】若则在上为增函数所以此方程组无解；若则在上为减函数所以解得所以考点：指数函数的性质19．①②③【解析】【分析】通过定义域和值域的相关定义及函数的增减性即可判断①②③④的正误【详解】对于①当时故①不正确；对于②当时则故②不正确；对于③当时也可能故③不正确；对于④即则故④正确【点睛】本题主20．3或【解析】【分析】令换元后函数转化为二次函数由二次函数的性质求得最大值后可得但是要先分类讨论分和求出的取值范围【详解】设则对称轴方程为若则∴当时解得或（舍去）若则∴当时解得或（舍去）答案：3或【点21．(131)【解析】【分析】根据对数函数的图象和性质可得函数f（x）＝loga（2x﹣a）在区间1223上恒有f（x）＞0即0<a<10<2x-a<1或a>12x-a>1分别解不等式组可得答案【详解】22．【解析】【分析】由可得出设函数将问题转化为函数与函数的图象有交点利用数形结合思想可求出实数的取值范围【详解】由可得出设函数则直线与函数的图象有交点作出函数与函数的图象如下图所示由图象可知则解得因此实23．6【解析】试题分析：由分别解得则函数则可知当时函数取得最大值为6考点：分段函数的最值问题24．(01)【解析】结合与的图象可得点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化生动化能够变抽象思维为形象思维有助于把握数学问题的本质在运用数形结合思想分析和解决25．【解析】【分析】发现计算可得结果【详解】因为且则故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质由函数解析式计算发现是关键属于中档题三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+=∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C 2．A解析：A【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【详解】∵0＜0.32＜1，20.3＞1，log 0.32＜0，∴20.3＞0.32＞log 0.32．故选A ．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．3．B解析：B【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 考点：集合的运算4．B解析：B【解析】【分析】由题意，函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，又由函数()f x 是定义上的偶函数，得到函数()f x 在(,0)-∞单调递增，把不等式(1)()f x f x m -≤+转化为1x x m -≤+，即可求解.【详解】易知函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，又函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以函数()f x 在(),0-∞上单调递增，则由()()1f x f x m -≤+， 得1x x m -≥+，即()()221x x m -≥+，即()()22210g x m x m =++-≤在[],1x m m ∈+上恒成立， 则()()()()()()3110121310g m m m g m m m ⎧=-+≤⎪⎨+=++≤⎪⎩， 解得113m -≤≤-，即m 的最大值为13-.【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，其中解答中利用函数的基本性质，把不等式转化为1x x m -≤+ 求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题. 5．C解析：C【解析】【分析】【详解】 分析：先解一元二次不等式得315[]22x <<，再根据[]x 定义求结果. 详解：因为[][]2436450x x -+<，所以315[]22x << 因为[][]2436450x x -+<，所以28x ≤<,选C.点睛：本题考查一元二次不等式解法以及取整定义的理解，考查基本求解能力.6．C解析：C【解析】【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可．【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S).故选C ．【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．7．D解析：D【解析】【分析】【详解】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为()(1)2f f x -≤- (1)f ≤，再利用单调性继续转化为121x -≤-≤，从而求得正解.8．B解析：B【解析】【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化.【详解】2t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥ 即()21f x x =+ ()2x ≥. 【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.9．D解析：D【解析】令235(1)x y z k k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k ∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.10．C解析：C【解析】【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论.【详解】由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-， 故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数，而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-， 因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增，故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法， ()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .11．B解析：B【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．12．C解析：C【解析】 由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<， 据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>， 即,a b c c b a >><<.本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性 【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.解析：C 【解析】 【分析】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数，根据(5)(6)0f f ⋅<，可得函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6，由此可得方程4log 7x x +=的解所在区间． 【详解】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数.∵(5)0f <，(6)0>f ∴(5)(6)0f f ⋅<∴故函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6∴方程4log 7x x +=的解所在区间是()5,6 故选C. 【点睛】零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.14．C解析：C 【解析】 【分析】由函数单调性的定义，若函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，可以得到函数在每一个子区间上都是单调递减的，且当x =1时，f 1(x)≥f 2(x)，求解即可． 【详解】若函数f(x)={(2a −1)x +7a −2，（x <1）a x ，（x ≥1）在(−∞,+∞)上单调递减，则{2a −1<00<a <1(2a −1)×1+7a −2≥a ，解得38≤a <12. 故选C. 【点睛】本题考查分段函数的单调性．严格根据定义解答，本题保证y 随x 的增大而减小，故解答本题的关键是f 1(x)的最小值大于等于f 2(x)的最大值．15．A解析：A试题分析：，，即，，．考点：函数的比较大小．二、填空题16．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实解析：(]2,3【解析】 【分析】由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a ；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >，综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.17．【解析】【分析】由条件得MN 则结合对数的运算法则可得αβ=1【详解】由条件得MN 可得即α=loβ=lo 所以αβ=lo·lo=1【点睛】本题主要考查幂函数的性质对数的运算法则及其应用等知识意在考查学生解析：【解析】 【分析】由条件,得M 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,则1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,结合对数的运算法则可得αβ=1.【详解】 由条件,得M 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫⎪⎝⎭, 可得1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即α=lo 2313g ,β=lo 1323g . 所以αβ=lo 2313g ·lo 1312233·21333lglg g lg lg ==1. 【点睛】本题主要考查幂函数的性质，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．【解析】若则在上为增函数所以此方程组无解；若则在上为减函数所以解得所以考点：指数函数的性质解析：32-【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-.考点：指数函数的性质.19．①②③【解析】【分析】通过定义域和值域的相关定义及函数的增减性即可判断①②③④的正误【详解】对于①当时故①不正确；对于②当时则故②不正确；对于③当时也可能故③不正确；对于④即则故④正确【点睛】本题主解析：①②③ 【解析】 【分析】通过定义域和值域的相关定义，及函数的增减性即可判断①②③④的正误. 【详解】对于①，当0x ≤时，01y <≤，故①不正确；对于②，当2x >时，则1102x <<，故②不正确；对于③，当04y ≤≤时，也可能02x ≤≤，故③不正确；对于④，即2log 3x ≤，则08x <≤，故④正确.【点睛】本题主要考查定义域和值域的相关计算，利用函数的性质解不等式是解决本题的关键，意在考查学生的计算能力.20．3或【解析】【分析】令换元后函数转化为二次函数由二次函数的性质求得最大值后可得但是要先分类讨论分和求出的取值范围【详解】设则对称轴方程为若则∴当时解得或（舍去）若则∴当时解得或（舍去）答案：3或【点解析：3或13【解析】 【分析】令x t a =，换元后函数转化为二次函数，由二次函数的性质求得最大值后可得a ．但是要先分类讨论，分1a >和01a <<求出t 的取值范围． 【详解】设0x t a =>，则221y t t =+-，对称轴方程为1t =-.若1,[1,1]a x >∈-，则1,xt a a a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，∴当t a =时，2max 2114y a a =+-=，解得3a =或5a =-（舍去）.若01a <<，[1,1]x ∈-，则1,xt a a a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦∴当1t a =时，2max 112114y a a ⎛⎫=+⨯-= ⎪⎝⎭解得13a =或15a =-（舍去）答案：3或13【点睛】本题考查指数型复合函数的最值，本题函数类型的解题方法是用换元法把函数转化为二次函数求解．注意分类讨论．21．(131)【解析】【分析】根据对数函数的图象和性质可得函数f （x ）＝loga （2x ﹣a ）在区间1223上恒有f （x ）＞0即0<a<10<2x-a<1或a>12x-a>1分别解不等式组可得答案【详解】 解析：(13,1)【解析】【分析】根据对数函数的图象和性质可得，函数f （x ）＝log a （2x ﹣a ）在区间[12,23]上恒有f （x ）＞0，即{0<a <10<2x −a <1 ，或{a >12x −a >1，分别解不等式组，可得答案．【详解】 若函数f （x ）＝log a （2x ﹣a ）在区间[12,23]上恒有f （x ）＞0，则{0<a <10<2x −a <1 ，或{a >12x −a >1当{0<a <10<2x −a <1时，解得13＜a ＜1，当{a >12x −a >1时，不等式无解.综上实数a 的取值范围是（13，1） 故答案为（13，1）． 【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，及不等式的解法，其中根据对数函数的图象和性质构造不等式组是解答的关键，属于中档题．22．【解析】【分析】由可得出设函数将问题转化为函数与函数的图象有交点利用数形结合思想可求出实数的取值范围【详解】由可得出设函数则直线与函数的图象有交点作出函数与函数的图象如下图所示由图象可知则解得因此实 解析：[)1,0-【解析】 【分析】由|1|102x y m -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭可得出112xm -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，设函数()112xg x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，将问题转化为函数y m =-与函数()y g x =的图象有交点，利用数形结合思想可求出实数m 的取值范围.【详解】由|1|102x y m -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭可得出112xm -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，设函数()112xg x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则直线y m =-与函数()y g x =的图象有交点，作出函数()111,122,1x x x g x x --⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩与函数y m =-的图象如下图所示，由图象可知()01g x <≤，则01m <-≤，解得10m -≤<. 因此，实数m 的取值范围是[)1,0-. 故答案为：[)1,0-. 【点睛】本题考查利用函数有零点求参数的取值范围，在含单参数的函数零点问题的求解中，一般转化为参数直线与函数图象有交点来处理，考查数形结合思想的应用，属于中等题.23．6【解析】试题分析：由分别解得则函数则可知当时函数取得最大值为6考点：分段函数的最值问题解析：6 【解析】试题分析：由414,418,48x x x x x x +>++>-++>-+分别解得1, 1.4,2x x x >>>，则函数()8,2{4,1241,1x x f x x x x x -+≥=+<<+≤则可知当2x =时，函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+取得最大值为6 考点：分段函数的最值问题24．(01)【解析】结合与的图象可得点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化生动化能够变抽象思维为形象思维有助于把握数学问题的本质在运用数形结合思想分析和解决解析：(0,1), 【解析】(),,2x x a x a x af x a x a≥++-⎧==⎨<⎩， 结合()f x 与()g x 的图象可得()0,1.a ∈点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围25．【解析】【分析】发现计算可得结果【详解】因为且则故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质由函数解析式计算发现是关键属于中档题 解析：2-【解析】 【分析】发现()()f x f x 2+-=，计算可得结果. 【详解】因为()()))()22f x f x lnx 1lnx 1ln 122x x +-=+++=+-+=，()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.故答案为-2 【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现()()f x f x 2+-=是关键，属于中档题.三、解答题 26．（1）(),0-∞；（2）()0,1；（3）21,log 3⎛⎫⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】 【分析】（1）由a x -1＞0，得a x ＞1 下面分类讨论：当a ＞1时，x ＞0；当0＜a ＜1时，x ＜0即可求得f （x ）的定义域（2）根据函数的单调性解答即可；（3）令()()()2221log 12log 21x xx g x f x ⎛⎫-=-+= ⎪+⎝⎭，[]1,3x ∈可知()g x 在[1，3]上是单调增函数，只需求出最小值即可． 【详解】本题考查恒成立问题． （1）当12a =时，()121log 12x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故：1102x ->，解得：0x <，故函数()f x 的定义域为(),0-∞；（2）由题意知，()()log 1xa f x a =-（1a >），定义域为()0,x ∈+∞，用定义法易知()f x 为()0,x ∈+∞上的增函数，由()()1f x f <，知：01x x >⎧⎨<⎩，∴()0,1x ∈.（3）设()()()2221log 12log 21x xx g x f x ⎛⎫-=-+= ⎪+⎝⎭，[]1,3x ∈，设21212121x x xt -==-++，[]1,3x ∈， 故[]213,9x+∈，2171,2139x t ⎡⎤=-∈⎢⎥+⎣⎦，故：()min 211log 33g x g ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又∵()()2log 12xf x m -+>对任意实数[]1,3x ∈恒成立，故：()min 21log 3m g x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查对数函数有关的定义域、单调性、值域的问题，属于中档题．27．（Ⅰ）y =225x +2360360(0)x x-〉（Ⅱ）当x =24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 【解析】试题分析：（1）设矩形的另一边长为am ，则根据围建的矩形场地的面积为360m 2，易得360a x=，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，我们即可得到修建围墙的总费用y 表示成x 的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x 值 试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=,所以y=225x+（2）．当且仅当225x=时，等号成立．即当x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 考点：函数模型的选择与应用28．(1) ()24003200800,05,10004600,510.x x x f x x x ⎧-+-≤≤=⎨-<≤⎩ (2) 当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元. 【解析】 【分析】（1）先求得总成本函数()G x ，然后用()()()f x R x G x =-求得利润()f x 的函数表达式.（2）用二次函数的最值的求法，一次函数最值的求法，求得当产量x 为何值时，公司所获利润最大，且求得最大利润. 【详解】（1）由题意得()8001000G x x =+.因为()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩所以()()()24003200800,05,10004600,510.x x x f x R x G x x x ⎧-+-≤≤=-=⎨-<≤⎩（2）由（1）可得，当05x ≤≤时，()()240045600f x x =--+. 所以当4x =时，()max 5600f x =（万元）当510x <≤时，()10004600f x x =-，()f x 单调递增， 所以()()105400f x f ≤=（万元）. 综上，当4x =时，()max 5600f x =（万元）.所以当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元. 【点睛】本小题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用，考查二次函数、一次函数最值有关问题的求解，属于基础题.29．（1）2a =，定义域为()1,3-；（2）2 【解析】 【分析】（1）由()12f =,可求得a 的值,结合对数的性质,可求出()f x 的定义域; （2）先求得()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性,进而可求得函数的最大值. 【详解】（1）()1log 2log l 242og a a a f =+==,解得2a =. 故()()22log 1)g 3(lo f x x x =++-,则1030x x +>⎧⎨->⎩,解得13x , 故()f x 的定义域为()1,3-.（2）函数()()()()()222log 1log 3log 31f x x x x x =++-=-+,定义域为()1,3-,()130,2,3⎡⎤⊆⎥-⎢⎣⎦,由函数2log y x =在()0,∞+上单调递增,函数()()31y x x =-+在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,可得函数()f x 在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 故()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()21log 42f ==.【点睛】本题考查了函数的定义域,考查了函数的单调性与最值,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.30．（1）B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )= [-4,1)∪[4,5)；（2）1[,)2+∞ . 【解析】 【分析】(1)利用补集的定义求出A 的补集,然后根据交集的定义求解即可直接求解即可；(2 )分类讨论B 是否是空集，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）∵A ={x |1≤x ＜4}，∴∁U A ={x |x ＜1或x ≥4}，∵B ={x |2a ≤x ＜3-a }，∴a =-2时，B ={-4≤x ＜5}，所以B ∩A =[1，4）， B ∩(∁U A )={x |-4≤x ＜1或4≤x ＜5}=[-4,1)∪[4,5). （2）A ∪B =A ⇔B ⊆A ， ①B =∅时，则有2a ≥3-a ，∴a ≥1, ②B ≠∅时，则有，∴, 综上所述，所求a 的取值范围为.【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用，属于简答题.要解答本题，首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想，将并集问题转化为子集问题，其次分类讨论进行解答，解答集合子集过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心.。
浙江省镇海中学2016届高三5月模拟考试理数试题 Word版含解析
浙江省镇海中学2016届高三5月模拟考试理数试题一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{|12}M x x =-≤<，2{|log 0}N x x =>，则M N = （ ）A ．[1,)-+∞B ．(1,)+∞C ．(1,2)-D ．(0,2) 【答案】A考点：对数不等式的解法及集合的运算. 2.下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．{}n a 为等比数列，则“123a a a <<”是“45a a <”的既不充分也不必要条件C ．0(,0)x ∃∈-∞，使0034x x<成立D ．“若tan α≠3πα≠”是真命题【答案】D 【解析】试题分析：对于答案A ，“若1a >，则21a >”的否命题是“若1≤a ，则21a ≤”；对于答案B ，若“123a a a <<”则“45a a <”成立；对于答案C ，0(,0)x ∃∈-∞，使0034x x<不成立；对于答案D ，“若tan α≠3πα≠”是真命题成立,故应选D.考点：命题的真假及充分必要条件的等知识的综合运用.3.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题为真的是（ ）A ．若,m n αβ⊥⊥，且αβ⊥，则m n ⊥B ．若//,//m n αβ，且//αβ，则//m nC ．若,m n αβ⊥⊂，且m n ⊥，则αβ⊥D ．若,m n αα⊂⊂，且//,//m n ββ，则//αβ 【答案】A 【解析】试题分析：由线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理可得答案A 是正确的,其余答案都是错误的.故应选A.考点：空间的线面位置关系的判定与性质的运用.4.已知sin (1,)sin(2)A ααβ+，sin (2,1)sin(2)B ααβ--，且0OA OB ∙= ，sin 0β≠，sin cos 0k αβ-=，则k =（ ）A． C．以上都不对 【答案】C考点：三角变换的有关公式及综合运用.5.过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，记APB α∠=，则当α最小时cos α的值为（ ）A ．10B ．1920C ．910D ．12【答案】C 【解析】试题分析：因为009020<<α,而OP OP r 12sin==α,所以OP 最大时, 2sin α最小, 2α最小.结合图象可知点)2,4(--M ,故OP 的最大值为52416=+=PM ,则10910112sin 21cos 2=-=-=αα,应选C. 考点：线性规划、二倍角的余弦等有关知识的综合运用.6.在数列{}n a 中，若存在非零整数T ，使得m T m a a +=对于任意的正整数m 均成立，那么称数列{}n a为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期，若数列{}n x 满足11||(2,)n n n x x x n n N +-=-≥∈，如121,x x a ==（,0a R a ∈≠），当数列{}n x 的周期最小时，该数列的前2016项的和是（ ） A ．672 B ．673 C ．1342 D ．1344 【答案】D考点：周期数列的性质与求和．【易错点晴】本题以数列的有关知识为背景,考查的是归纳猜想的合情推理等知识的综合运用所学知识的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用题设观察出⋅⋅⋅-=====-===,1,,1,1,,136514321a x x a x x x a x a x x 这些数的特征和规律,然后再计算出2321=++x x x ,而67232016=÷,进而利用数列的周期性求出数列{}n x 的前2016项和的值为13442672=⨯.7.在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点P ，椭圆内一点Q 在2PF 的延长线上，满足1QF QP ⊥，若15sin 13F PQ ∠=，则该椭圆离心率取值范围是（ ）A ．1(5B ．C ．1(5D ． 【答案】D考点：椭圆的定义余弦定理与基本不等式等知识的综合运用.【易错点晴】本题考查的是椭圆的几何性质与函数方程的数学思想的范围问题,解答时先运用余弦定理建立131224222⨯-+=mn n m c ,再借助椭圆的定义将其等价转化为)13121(24422+-=mn a c ,然后再运用基本不等式22)2(a n m mn =+≤将其转化为不等式2222)(2552a c a <-,最后通过解该不等式将该椭圆的离心率求出2,从而获得答案.8.已知函数22,0()3||,0x x f x x a a x ⎧->=⎨-++<⎩的图象上恰有三对点关于原点成中心对称，则a 的取值范围是（ ）A ．17(,2)8--B ．17(,2]8--C ．17[1,)16 D ．17(1,)16【答案】D 【解析】试题分析：当2-=a 时,函数⎩⎨⎧<--->-=0,2|2|30,2)(2x x x x x f ,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案B 不正确. 当1=a 时,函数⎩⎨⎧<++->-=0,1|1|30,2)(2x x x x x f ,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案C 也不正确. 当1612-=a 时,函数⎪⎩⎪⎨⎧<--->-=0,1612|1612|30,2)(2x x x x x f ,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案A 也不正确.故应选D.考点：分段函数的图象和性质及综合运用.【易错点晴】本题考查的是分段函数的图象和性质与数形结合的数学思想的范围问题,解答时运用排除法逐一分情况代入检验特殊值1,2,1612--=a ,求出分段函数的解析式分别为⎪⎩⎪⎨⎧<--->-=0,1612|1612|30,2)(2x x x x x f ,⎩⎨⎧<--->-=0,2|2|30,2)(2x x x x x f ,⎩⎨⎧<++->-=0,1|1|30,2)(2x x x x x f ,分别作出这些函数的图象,并对每个函数的图象进行分析,逐一检验图象是否满足题设中的条件,排除不满足的函数的图象的情况和不满足题设条件的答案和选择支最后选答案.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分．） 9.函数()sin()(0,0,)f x A x A R ωϕωϕ=+>>∈的部分图象如图所示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后得到()g x ，得到的函数图象对称轴为 ，函数()g x 解析式为.【答案】()32k x k Z ππ=+∈ sin(2)6y x π=- 【解析】试题分析:由题设可知6121143,1ππ-==T A ,即π==T A ,1,所以22==ππω,所以)2sin()(ϕ+=x x f ,又因为1)3sin()6(=+=ϕππf ,解之得223πππϕ+=+k ,故62ππϕ+=k ,所以)62sin()(π+=x x f ,将其向右平移6π可得)62sin(]6)6(2sin[)(πππ-=+-=x x x g ,故其对称轴方程满足262πππ+=-k x ,即)(32Z k k x ∈+=ππ,对应的表达式为)62sin()(π-=x x g .应填()32k x k Z ππ=+∈,sin(2)6y x π=-.考点：三角函数的图象和性质的运用．10.已知点(,)P a b 关于直线l 的对称点为'(1,1)P b a +-，则圆22:620C x y x y +--=关于直线l对称的圆'C 的方程为 ；圆C 与圆'C 的公共弦的长度为 .【答案】22(2)(2)10x y -+-=考点：直线与圆的方程及运用．11.已知某几何体的三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的表面积是 ；体积是 .【答案】64+1603【解析】试题分析:由题设三视图中所提供的信息可知该几何体是一个四棱锥和一个三棱锥的组合体,如图其全面积232644242124)84(214)84(21442184+=⨯⨯+⨯++⨯++⨯⨯+⨯=S ,其体积为31604)8421(314]4)84(21[31=⨯⨯⨯+⨯⨯+=V ,故应填64+1603.448考点：三视图的识读与几何体的体积的运用．12.已知函数223,0()log ||,0x x f x x x x ⎧+≥=⎨∙<⎩，则1(())2f f -= ，若()1f x ax =-有三个零点，则a 的取值范围是 .【答案】1344a>考点：分段函数的求值与数形结合思想的运用．13.设P是函数2(0)y x xx=+>的图象上任意一点，过点P分别向直线y x=和y轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ∙的值是 .【答案】1-考点：向量的数量积公式及运用． 14.已知方程组222x y z yz x μμ-=-⎧⎨=⎩，对此方程组的每一组正实数解{,,,}x y z u ，其中z y ≥，都存在正实数M ，且满足zM y≤，则M 的最大值是 .【答案】6+【解析】试题分析:因为yz x x z y 42222=≥+=+μμ,所以y z y z 42≥+,令1>=t yz,则242≥-t t ,所以2)2(2≥-t ,即22+≥t ,所以246+≥yz,则246+≤M ,应填6+考点：多元方程组的解法及基本不等式的综合运用．【易错点晴】本题以多元方程组222x y z yz x μμ-=-⎧⎨=⎩的解),,,(μz y x 满足的条件z y ≥为背景,借助题设条件与基本不等式建立不等关系式yz x x z y 42222=≥+=+μμ,然后通过换元1>=t yz建立关于t 的不等式242≥-t t .最后通过解不等式242≥-t t ,从而求得22+≥t ,所以246+≥y z ,由于zM y≤,因此246+≤M ,M 的最大值是6+15.如图，在平面四边形ABCD 中，已知,,,E F G H 分别是棱,,,AB BC CD DA 的中点，若22||||1EG HF -=，设||,||,||,||1AD x BC y AB z CD ====，则228x yz ++的最大值是.【答案】12【解析】试题分析:由题设可得))((1)()(cos ))((2)()(1cos 22222222222y n x m m n y n x m z n m y n x m y n x m m n n m z ++=-+++-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧++-+++=-+=θθ,运用基本不等式可得式))((12222222y n x m mn mx ny xy mn z n m ++≥-+++-+,从而求得82≤z ;同理可得42≥+y x ,所以228x y z ++的最大值是2184=,故应填12.考点：基本不等式及运用．【易错点晴】本题以平面四边形ABCD 所满足的条件22||||1EG HF -=,1=AD 为背景,精心设置了一道求228x yz ++的最大值的问题.求解时先运用余弦定理并借助题设22||||1EG HF -=建立方程组))((1)()(cos ))((2)()(1cos 22222222222y n x m m n y n x m z n m y n x m y n x m m n n m z ++=-+++-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧++-+++=-+=θθ,然后借助基本不等式建立关系式))((12222222y n x m mnmx ny xy mn z n m ++≥-+++-+,从而求得82≤z ;同理可得42≥+y x ,所以228x y z ++的最大值是2184=. 三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本题满分14分）在ABC ∆中，边,,a b c 的对角分别为,,A B C ，且,,A B C 成等差数列. （1）求a cb+的取值范围；（2）若AC ，求角A 的值. 【答案】(1)(1,2]；(2)6A π=.试题解析：（1）因为,,A B C 成等差数列，所以2B A C =+，而A B C π++=，所以3B π=.由余弦定理，222b ac ac =+-① 所以2222231()3()()()44b ac ac a c a c a c =+-≥+-+=+， 故2a cb+≤，当且仅当a c =时取等号， 另一方面a c b +>，故1a cb+>， 综上，a c b+的取值范围是(1,2].法二：由正弦定理得sin sin 2sin()sin 3a c A C Ab B π++==+， 因为203A π<<，所以(1,2]a cb+∈.考点：余弦定理及基本不等式等有关知识的综合运用． 17.（本题满分15分）如图，ABC ∆为正三角形，且2BC CD ==，CD BC ⊥，将ABC ∆沿BC 翻折.（1）若点A 的射影在BD 上，求AD 的长；（2）若点A 的射影在BCD ∆内，且AB 与面ACD 所成的角的正弦值为11，求AD 的长.【答案】(1)2AD =；(2)AD =【解析】试题分析：(1)借助题设条件建立空间直角坐标系运用空间向量的知识求解；(2)借助题设运用空间向量的数量积公式探求. 试题解析：（1）取BC 的中点O ，如图以O 为原点建立空间直角坐标系，则(0,1(1,2,0)A D ，则2AD =.考点：空间向量的数量积公式及有关知识的综合运用． 18.（本题满分15分）已知函数2()|1|1()f x x ax a R =---∈.（1）若关于x 的方程2()10f x x ++=在区间(0,2]上有两个不同的解12,x x . （ⅰ）求a 的取值范围； （ⅱ）若12x x <，求1211x x +的取值范围； （2）设函数()f x 在区间[0,2]上的最大值和最小值分别为(),()M a m a ，求()()()g a M a m a =-的表达式.【答案】(1)（i ）7(1,]2；（ii ）(2,4]；(2)222,42,244()1,123,1122,1a a a a g a a a a a a a -≥⎧⎪⎪+≤<⎪⎪=+≤<⎨⎪--≤<⎪-≤-⎪⎪⎩.（ⅰ）作出函数1,0112,12x xy x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩图象，得712a <≤，故a 的取值范围是7(1,]2. （ⅱ）∵12x x <，11a x =，2212a x x =-， 则有212112x x x =-，即212112x x x +=， 又212x <≤，∴212112(2,4]x x x +=∈， 故1211x x +的取值范围是(2,4]. （2）22,01()2,12x ax x f x x ax x ⎧--≤≤=⎨--<≤⎩，当4a ≥时，有0,222a a-<≥，()f x 在[0,2]上为减函数， 则()(0)(2)22g a f f a =-=-. 当24a ≤<时，有0,1222a a -<≤<，()f x 在[0,]2a 上为减函数，在[,2]2a上为增函数， 此时2()()224a a m a f ==--，()max{(0),(2)}0M a f f ==，则2()24a g a =+. 当02a ≤<时，有0,0122a a-<≤<，()f x 在[0,1]上为减函数，在[1,2]上为增函数， 此时，()(1)1m a f a ==--，22,01()max{(0),(2)}0,12a a M a f f a -≤<⎧==⎨≤<⎩，则3,01()22,12a a g a a a -≤<⎧=⎨-≤<⎩.当20a -<<时，有012a <-<，02a <，()f x 在[0,]2a -上为增函数，在[,1]2a-上为减函数，在[1,2]上为增函数，此时1,10()min{(0),(1)}0,21a a m a f f a --<<⎧==⎨-<≤-⎩，()max{(),(2)}222aM a f f a =-=-，则3,10()22,21a a g a a a --<<⎧=⎨--<≤-⎩.当2a ≤-时，有1,022a a-≥<，()f x 在[0,2]上为增函数， 则()(2)(0)22g a f f a =-=-.则222,42,244()1,123,1122,1a a a a g a a a a a a a -≥⎧⎪⎪+≤<⎪⎪=+≤<⎨⎪--≤<⎪-≤-⎪⎪⎩考点：二次函数的图象和性质及不等式的性质等有关知识的综合运用． 19.（本题满分15分）已知抛物线24x y =的焦点为F ，,A B 是抛物线上的两个动点，且(0)AF FB λλ=>，过,A B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M .（1）证明：FM AB ∙为定值；（2）设ABM ∆的面积为S ，求S 的最小值. 【答案】(1)证明见解析；(2)4.（2）2||4(1),AB k d =+=所以322214(1)4(1)42S k k =⨯+⨯=+≥，所以S 的最小值为4.考点：向量的数量积公式和抛物线的几何性质等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题重在考查圆锥曲线中的代表曲线抛物线与直线的位置关系等有关知识的综合运用问题.求解时要充分利用题设中所提供的信息,先运用向量的数量积公式求出1212(,)24x x x x M +,再求出222121(,)(2,2)04x x AB FM x x k -∙=-∙-= .第二问借助曲线的弦长公式求得2||4(1),AB k d =+=,进而求得ABM∆的面积322214(114(1)42S kk =⨯++=+≥,即求得面积S 的最小值为4,从而使得使问题获解.20.（本题满分15分） 已知数列{}n a 满足112a =，都有3*112,33n n n a a a n N +=+∈.（1）求证：11*1213()(),2324n n n a n N --∙≤≤∙∈； （2）求证：当*n N ∈时，313124241231231111116[1()]111112n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ++----++++≥+++++----- . 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.当2n ≥时，132112113()24n n n n a a a a a a a a --=∙∙∙∙≤∙ ， 且132112112()23n n n n a a a a a a a a --=∙∙∙∙>∙ ， 又001213()()2324n a ⨯≤≤⨯，∴111213()()2324n n n a --⨯≤≤⨯，*n N ∈. （2）∵11111(1)1(1)3n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++---==+--，又321111(23)(1)(3)33n n n n n n a a a a a a ++=++=+-+，∴3211111111(3)[()3]1332212n n n n a a a a ++=-+≥-+=+.当2n ≥时，13211211113111(1)()111212n n n n a a a a a a a a --++++=+∙∙∙∙≥∙+++ ， 又1113111()212a -+=∙，∴11111(1)()3212n n a -+≥∙. ∴3131242123121111()()1111n n n na a a a a a a a a a a a a a ++----++++-+++---- 121[(1)(1)(1)]3n a a a =++++++ 1111()1111111112[1()]6[1()]1121212212112nn n --≥+++=∙=-- ∴313124************6[1()]111112n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++----++++≥++++----- 考点：数列的有关知识和不等式的性质等有关知识的综合运用．【易错点晴】数列是高中数学中的重要内容之一,也是高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,借助题设数列的递推关系式3*112,33n n n a a a n N +=+∈,运用缩放的数学数学思想进行推理论证的思想方法证明了不等式111213()()2324n n n a --⨯≤≤⨯的成立.第二问题中,先运用不等式13211211113111(1)()111212n n n n a a a a a a a a --++++=+∙∙∙∙≥∙+++ 及有关性质进行推算,进而使用缩放的方法进行推证,从而使得两个不等式获得证明.。
浙江省宁波市镇海中学高一实验班选拔考试数学卷(含答案详解)
2012年浙江省宁波市镇海中学高一实验班选拔考试数学卷2012.4.20一、选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.1．（5分）在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（） A．直线y=﹣x上B．抛物线y=x2上C．直线y=x上D．双曲线xy=1上2．（5分）以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是（） A． 35 B． 30 C． 25 D． 203．（5分）若﹣1＜a＜0，则一定是（）A．最小，a3最大B．最小，a最大C．最小，a最大D．最小，最大4．（5分）如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF交AB于H，则下列结论错误的是（）A． AE⊥AF B． EF：AF=：1 C．AF2=FH•FE D． FB：FC=HB：EC 5．（5分）在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为10，△BCF A． 22 B． 24 C． 36 D． 446．（5分）某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次 A． 30 B． 35 C． 56 D． 448二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）7．（5分）已知∠A为锐角且4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A=0，则tanA=_________．8．（5分）在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流．则经过_________小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．9．（5分）如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C 三点的拋物线对应的函数关系式是_________．10．（5分）桌面上有大小两颗球，相互靠在一起．已知大球的半径为20cm，小球半径5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于_________cm．11．（5分）物质A与物质B分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是_________．12．（5分）设C1，C2，C3，…为一群圆，其作法如下：C1是半径为a的圆，在C1的圆内作四个相等的圆C2（如图），每个圆C2和圆C1都内切，且相邻的两个圆C2均外切，再在每一个圆C2中，用同样的方法作四个相等的圆C3，依此类推作出C4，C5，C6，…，则（1）圆C2的半径长等于_________（用a表示）；（2）圆C k的半径为_________（k为正整数，用a表示，不必证明）三、解答题（本题有4个小题，共60分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．13．（12分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB．（1）求证：AD=AE；（2）若OC=AB=4，求△BCE的面积．14．（14分）已知抛物线y=x2+2px+2p﹣2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．15．（16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分 3 1 0奖励（元/每人）1500 700 0当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分．（1）试判断A队胜、平、负各几场？（2）若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值．16．（18分）已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x﹣1经过这两个顶点中的一个．（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．2012年浙江省宁波市镇海中学高一实验班选拔考试数学卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.1．（5分）在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（） A．直线y=﹣x上B．抛物线y=x2上C．直线y=x上D．双曲线xy=1上考点：二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征。
2016年全国高中联赛一试答案
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3. 正实数 u , v, w 均不等于 1，若 log u vw log v w 5 ， log v u log w v 3 ，则 ． log w u 的值为 4 答案： ． 5 解：令 log u v a, log v w b ，则 1 1 log v u , log w v ， log u vw log u v log u v log v w a ab ， a b 1 1 5 条 件 化 为 a ab b 5, 3 ， 由 此 可 得 ab ． 因 此 a b 4 1 4 log w u log w v log v u ． ab 5 4. 袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币 和 3 张 1 元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸币面值
2 2 都 是 1 元 纸 币 ， 相 应 有 C7 18 种 取 法 ． 因 此 ， 所 求 的 概 率 为 − C3 = 3 × 18 54 9 = = ． 2 2 C5 × C7 10 × 21 35 5. 设 P 为一圆锥的顶点，A, B, C 是其底面圆周上的三点， 满足 ABC 90 ，
2016 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷） 参考答案及评分标准
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分． 1. 设实数 a 满足 a < 9a 3 − 11a < a ，则 a 的取值范围是 ．
2016学年第二学期镇海中学名校协作体高三数学试题(修改--)
2016学年第二学期浙江省名校协作体试题高三数学考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}21(),0,1(2),2x P y y x Q x y g x x ⎧⎫==≥==-⎨⎬⎩⎭则P Q为（ ▲ ）A ．(]0,1B ．∅C ．()0,2D ．{}02．已知221(32)z m m m i =-+-+（,m R i ∈为虚数单位），则“1m =-”是“z 为纯虚数”的 （ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知直线m 、n 与平面,,βα下列命题正确的是 （ ▲ ）A ．//,//m n αβ且//,//m n αβ则B ．,//m n αβ⊥且,m n αβ⊥⊥则C ．,m m n αβ=⊥ 且,n αβα⊥⊥则D ．,m n αβ⊥⊥且,m n αβ⊥⊥则 4．为了得到函数sin(2)3y x π=+的图象，可以将函数sin(2)6y x π=+的图象 （ ▲ ）A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度5．已知点),(y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，目标函数y ax z 2+=仅在点（1,0）处取得最小值，则a 的范围为 （ ▲ ）A ．)2,1(-B ．)2,4(-C ．)1,2(-D ．)4,2(-6．直线230x y --=与圆22:(2)(3)9C x y -++=交于,E F 两点，则E C F ∆的面积为 （ ▲ ）A ．23B ．52C ．553 D ． 437.设函数()21f x x =-，若不等式121()a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，则x 的取值集合是 （ ▲ ）A ．(,1][3,)-∞-+∞B ．(,1][2,)-∞-+∞C ．(,3][1,)-∞-+∞D ．(,2][1,)-∞-+∞ 8．已知平面ABCD ⊥平面ADEF ，,AB AD CD AD ⊥⊥，且1,2AB AD CD ===.ADEF 是正方形，在正方形ADEF 内部有一点M ，满足,MB MC 与平面ADEF 所成的角相等，则点M 的轨迹长度为 ( ▲ )A ．43B ．163C ．49π D ．83π9．在平面内，121212,||3,||4,AB AB OB OB AP AB AB ⊥===+ ，若1||2,OP <<则||OA 的取值范围是 （ ▲ ）A． B． C． D．侧视图x10．若集合{}2015*(,)(1)(2)()10,,A m n m m m n m N n N =++++++=∈∈ ，则集合A 中的元素个数是（ ▲ ）A ．2016B ．2017C ．2018D ．2019第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、 填空题: 本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．已知0,0x y >>，lg 2lg8lg2x y +=，则xy 的最大值是 ▲ . 12．某几何体的三视图如图所示，3cm ，则正视图中的x 的值是 ▲ cm ，该几何体的表面积是 ▲ 2cm .13．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足对任意的正整数n ，均有383n n S S +=+，则1a = ▲ ，公比q = ▲ .14．在ABC ∆中，角,,A B C 分别对应边,,a b c ，S 为ABC ∆的面积.已知4a =，5b =，2C A =，则c = ▲ ，S = ▲ .15．一个口袋里装有大小相同的6个小球，其中红色、黄色、绿色的球各2个，现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球同颜色的概率是 ▲ .若取到红球得1分，取到黄球得2分，取到绿球得3分，记变量ξ为取出的三个小球得分之和，则ξ的期望为 ▲ .16．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP OA OB λμ=+u u u r u u r u u u r，()4,25R λμλμ=∈，则双曲线的离心率e 的值是 ▲ . 17．设函数2()2152f x x ax a =-+-的两个零点分别为12,x x ，且在区间12(,)x x 上恰好有两个正整数，则实数a 的取值范围 ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分）已知0ϕπ≤<，函数2())sin f x x x ϕ=++． （Ⅰ）若6πϕ=，求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()f x 的最大值是32，求ϕ的值． 19．（本小题满分15分）如图，在四棱锥PABCD -中，底面ABCD 为梯形，//AD BC ，1AB BC CD ===，2DA =，DP ⊥平面ABP ，,O M 分别是,AD PB 的中点.（Ⅰ）求证：//PD 平面OCM ；（Ⅱ）若AP 与平面PBD 所成的角为60o，求线段PB 的长.20．（本小题满分15分）已知a R ∈，函数2()ln f x a x x=+. （Ⅰ）若函数()f x 在(0,2)上递减, 求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当0a >时，求()f x 的最小值()g a 的最大值；（Ⅲ）设()()(2),[1,)h x f x a x x =+-∈+∞，求证：()2h x ≥.21．（本小题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，离心率为12，直线1y =与C 的两个交点间的距离为3. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）分别过12F F 、作12l l 、满足12l l //，设12l l 、与C 的上半部分分别交于A B 、两点，求四边形21ABF F 面积的最大值.22．（本小题满分15分）已知函数4()415f x x =+.（Ⅰ）求方程()0f x x -=的实数解；（Ⅱ）如果数列{}n a 满足11a =，1()n n a f a +=（n N *∈），是否存在实数c ，使得221n n a c a -<<对所有的n N *∈都成立？证明你的结论．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，证明：114n S n<≤．命题：嘉兴一中 湖州中学（审校） 审核：舟山中学。
2016年镇海中学高一数学奥林匹克选拔测试二 Word版 含答案
2016.62016年镇海中学数学奥林匹克选拔检测二MATHEMATICS ]（本卷满分：200分 考试时间：150分钟）（高一试卷）第一部分（共2小题，每题25分，计50分）I .设集合{}6102，，，含的十进制表示中数码不x x A *∈=N ． 证明：31<∑∈A x x．II .如图，给定凸四边形ABCD ，︒<∠+∠180D B ，P 是平面上的动点，令()AB PC CA PD BC PA P f ⋅+⋅+⋅=．⑴ 求证：当()P f 达到最小值时，C B A P 、、、四点共圆；⑵ 设E 是ABC ∆外接圆O 的 AB 上一点，满足：23=AB AE ，13-=ECBC ，ECA ECB ∠=∠21，又DC DA ，是O 的切线，2=AC ，求()P f 的最小值．第二部分（共2大题，计150分）一、填空题（共15小题，每题6分，计90分）．1. 设5021a a a ，，，⋅⋅⋅，5021b b b ，，，⋅⋅⋅为互不相同的数，则关于x 的方程：检测范围：高中必修一、四、五及必修二立体几何部分 第II 题∑∑==-=-501501i i i ib x a x 的所有有限个实根的个数最大值为 ．2. 在平面直角坐标系中，点集()()(){}06363≤-+-+y x y x y x ，所对应的平面区3. 如图，设S 3，底面边长为 2 的正四棱锥，K 是棱SC 的中点，过AK 作平面与线段SB ，SD 分别交于M ，N (M ，N 可以是线段的端点)．则四棱锥AMKN S -的体积V 的值域为 ．4. 已知abc = -1，122=+cb c a ，则代数式555ca bc ab ++的值为 ．5. 在ABC ∆中，︒=∠60A ，点P 为ABC ∆所在平面上一点，使得PA =6，PB =7，PC =10，则ABC S ∆的最大值为 ．6.在数列{}n a 中，11=a ，前n 项和为n S ，()1241≥+=+n a S n n ，则2013a 的值为 ．7. 用()s σ表示非空整数集S 中所有元素的和，设{}1121a a a A ，，，⋅⋅⋅=是正整数集，且1121a a a <⋅⋅⋅<<，若对每个正整数1500≤n ，存在A 的子集S ，使得()n s =σ，则满足上述要求的10a 的最小值为 ．8. 设z y x 、、是3个不全为零的实数，则2222zy x yz xy +++的最大值为 ． 9. 实数a 使得对任意实数54321x x x x x ，，，，，不等式14151+==∑∑≥i i i i i x x a x 都成立，则a的最大值为 ．10. 设()d cx bx ax x f +++=23对任意[]11，-⊆x ，总有()1≤x f ．则d c b a +++的最大值为 ．11. 两个平行平面α和β将四面体截成三部分．已知中间一部分的体积小于两端中任一部分的体积，点A 和B 到平面α的距离分别为30和20．而点A 和C 到平面β的距离分别为20和16，两个截面中有一个是梯形，点D 到平面α的距离小于24．则平面α和β截四面体所得的截面面积之比为 ．12. 空间四个球，它们的半径分别是2、2、3、3．每个球都与其他三个球外切．另一个小球与这四个球都相切，则这个小球的半径为 ．13. 钝角ABC ∆的内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，且满足()C b B c a cos cos 2=-，()R ∈-+=λλC B C B A sin sin sin sin sin 222， 则λ的值域为 ．14. 若存在整数k ，使得kn n n ->+⎥⎦⎤⎢⎣⎡22313对所有正整数2≥n 恒成立，则k 的最大值为 ．15. 有n 个砝码(重量可以相同)可以将它们分成4组，使得每组的重量之和相同；也可以将它们分成5组，使得每组的重量之和相同；还可以将它们分成9组，使得每组的重量之和相同．则n 的最小可能值为 ．三、解答题（本大题分3小题，每题20分，计60分）．16. (本题满分20分)证明：任意一个四面体总有一个顶点，由这个顶点出发的三条C D K S M N棱可以构成一个三角形的三边．17. (本题满分20分)正整数数列{}n a 满足：12211+-==+n n n a a a a ，．证明：数列的任何两项皆互质．18. (本题满分20分)求最小常数a >1，使得对正方形ABCD 内部任一点P ，都存在PAB ∆，PBC ∆，PCD ∆，PDA ∆中的某两个三角形，使得它们的面积之比属于区间][1a a ，-．。
2016届浙江省镇海中学高三5月模拟考试理科数学试卷
镇海中学2016年模拟试卷数学（理科）试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合2{|12},{|log 0}M x x N x x =-≤<=>，则MN =A ．[1,)-+∞B ．(1,)-+∞C ．(1,2)-D ．(0,2) 2、下列说法正确的A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．{}n a 为等比数列，则“123a a a <<”是“45a a <”的既不充分也不必要条件C ．0(,0)x ∃∈-∞使0034xx<成立D ．“若tan α≠，则3πα≠”是真命题3、设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题为真的是 A ．若,m n αβ⊥⊥，且αβ⊥，则m n ⊥ B ．若//,//m n αβ，且//αβ，则//m n C ．若,m n αβ⊥⊂，且m n ⊥，则αβ⊥ D ．若,m n αα⊂⊂，且//,//m n ββ，则//αβ4、已知sin sin (1,),(2,1)sin(2)sin(2)A B αααβαβ-+-，且0,sin 0,sin cos 0OA OB k βαβ⋅=≠-=，则k =A B ． C 或1111 D ．以上都不对5、过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，记APB α∠=，则当α最小时cos α的值为 A 95．1920 C ．910 D ．126、在数列{}n a 中，若存在非零整数T ，使得m T m a a +=对于任意的正整数m 均成立，那么称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期，若数列{}n x 满足11(2,)n n n x x x n n N +-=-≥∈，如121,(,0)x x a a R a ==∈≠，当数列{}n x 的周期最小时，该数列的前2016项的和为A ．672B ．673C ．1342D ．13447、在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点P ，椭圆内一点Q 在2PF 的延长线上，满足1QF QP ⊥，若15sin 13F PQ ∠=，则该椭圆的离心率的取值范围是 A ．15(5 B ．26( C ．12()5 D ．2628、已知函数()22,03,0x x f x x a a x ⎧->⎪=⎨-++<⎪⎩的图象上恰有三对关于原点成中心对称，则a 的取值范围是 A ．17(,2)8-- B ．17(,2]8-- C ．17[1,)16 D ．17(1,)16第Ⅱ卷二、填空题：本大题共7小题，多空每题6分，单空每题4分，共36分，把答案填在答题卷的横线上。
数学奥林匹克高中训练题(16)及答案.doc
数学奥林匹克高中训练题（16）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题21)集合M 由两个以上连续自然数构成，其元素之和为1996．这样的集合M （B ）．(A) 不存在 (B) 只有一个 (C) 有两个 (D) 有三个以上2．(训练题21)[0,]x π∈，sin(cos )y x =最小值为a ，cos(sin )y x =最小值为b ，tan(sin )y x =最小值为c ，cot(cos )y x =最小值为d ．则,,,a b c d 大小关系是（C ）(A) d a c b <<< (B) c a b d <<< (C)a d c b <<< (D)b a d c <<<3．(训练题21)若方程sin sin 294380x x a a a ++-=有解，则a 的取值范围是（D ）(A) 0a ≥或8a ≤- (B) 0a ≥ (C) 8031a ≤≤(D) 8723123a ≤≤ 4．(训练题21)椭圆长轴为6，左顶点在圆22(3)(2)4x y -+-=上，左准线为y 轴．则椭圆离心率e的取值范围是（A ） (A) 3384e ≤≤ (B) 1348e ≤≤ (C) 1142e ≤≤ (D) 1324e ≤≤ 5．(训练题21)设{1,2,,100}I =．M 表示I 中最大元素为66的子集个数，N 表示I 中最小元素为33的子集个数，P 表示I 中最大元素为最小元素3倍的子集个数．则（B ）(A) M N P << (B) M P N << (C) N P M << (D) P M N <<6．(训练题21)设复数z ≠1，z 13=1．则z 1+z 3+z 4+z 9+z 10+z 12的值为（B ）(A) 有理数 (B) 无理数 (C) 虚数 (D) 纯虚数二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题21)设实数,x y 满足方程2294320x y x y +-+=．则32z x y =+的最大值是____1____．2．(训练题21)设,M N 是线段AB 上两点，13,42AM AN MB NB ==，以AB 为斜边任作Rt ABC ∆．再作MD BC ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，NF BC ⊥于F ，NG AC ⊥于G ．则比值MD ME NF NG y AB BC AC+++=++之最大可能值为_____. 3．(训练题21) 动直线l 交y 轴于A ，交x 轴于B ，设AOB ∆面积S 为定值．过原点O 作l 垂线，垂足为(,)P x y ．则P 点的轨迹方程是 222()2x y S xy += .4．(训练题21) 正四棱锥S ABCD -．延长底面一边CD 至E ，使2DE CD =．过,B E 和棱SC 中点F 作一平面，这个平面将四棱锥分为两部分．则这两部分体积之比为____31：29___.5．(训练题21) 把6N 为则自然数。
Microsoft Word - 理数参考答案
所以 AB ⋅ FM = ( x2 − x1 ,
2
uuu r uuuu r
2 x2 − x12 ) ⋅ (2k , −2) = 0 ………………………………7 分 4
（2） AB = 4( k + 1) ， d = 2 k + 1 ……………………………………………………10 分
则 g (a ) = 此时 m( a ) = min { f (0), f (1)} =
1 − a, − 1 < a < 0 ， − 2 < a ≤ −1 0,
a M (a ) = max f (− ), f (2) = 2 − 2a ， 2 3 − a, − 1 < a < 0 则 g (a) = 。………………………………………………….13 分 2 − 2 a , − 2 < a ≤ −1 a a 当 a ≤ −2 时，有 − ≥ 1, < 0 ， f ( x) 在 [ 0, 2 ] 上为增函数， 2 2 则 g (a) = f (2) − f (0) = 2 − 2a 。………………………………………………….14 分 a≥4 2a − 2, 2 a + 2, 2 ≤ a < 4 4 则 g (a) = ………………………………………………….15 分 1≤ a < 2 a + 1, 3 − a, −1 ≤ a < 1 2 − 2a, a ≤ −1
uuu r
r
z y
uuu r r
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 22 2 2 ，解得 sin θ = 11 3
镇海中学数学奥林匹克中级训练题(012)
镇海中学数学奥林匹克中级训练题(012)1. 我们称一个正整数的集合A 是“一致”的，是指：删掉A 中任何一个元素之后，剩余元数可以分成两个不相交的子集，而且这两个子集的元素之和相等。
求最小的正整数(1)n n >，可以找到一个具有n 个元素的“一致”的集合A 。
2. 设,,a b c 是有理数，并满足222a b c a b c ++++与是相等的整数，证明：abc 可以表示为一组互质的完全立方数的比值。
3. 确定满足以下条件的全部整系数多项式P (x )；对任何正整数n ，方程P (x )=2n 都有一个整数根。
镇海中学数学奥林匹克中级训练题(012)1. 我们称一个正整数的集合A 是“一致”的，是指：删掉A 中任何一个元素之后，剩余元数可以分成两个不相交的子集，而且这两个子集的元素之和相等。
求最小的正整数(1)n n >，可以找到一个具有n 个元素的“一致”的集合A 。
解答：设A 中的n 个元素为1212,,,n n a a a M a a a =+++L L 则由已知有(,2,)i M a i l n -=L 为偶数，故12,,n a a a L 的奇偶性相同。
若i a 为偶数，则令2ii a a '=则集合{}12,,,n a a a '''L 也是“一致”的。
故不妨设i a 为奇数，又i M a -为偶数，故n 为奇数。
}{7n =时,集合1,3,5,7,9,11,13是一致的。
因为11+13=3+5+7+9 5+7+11=1+9+13 1+3+7+11=9+13 3+5+13=1+9+11 1+3+5+11=7+ 13 3+7+9=1+5+13 1+3+5+9=7+11若5n ≤，当1,3n =的情形是显然的。
5n =时，设A 中5个元素满足12345a a a a a <<<<若534a a a >+，则去掉12a a 和时，分别有52345134a a a a a a a a =++=++和12a a ⇒=，矛盾！若534a a a <+，则去掉1a 和2a 时，分别有52345134a a a a a a a a +=++=+和12a a ⇒=，矛盾！知534a a a ≠+，否则去掉1a 后不能分为两个元素之和相等的集合。
数学理卷2016届学军中学镇海中学等名校协作体高三下学期联考(201603)
2015学年第二学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科(理科)考生须知：1 .本卷满分150分，考试时间120分钟；2 •答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号并 填涂相应数字。
3. 所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4. 考试结束后，只需上交答题卷。
参考公式：柱体的体积公式: V=Sh,其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的咼.锥体的体积公式:1V- Sh ,其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的咼. 3球的表面积公式:S-4UR 2，其中R 表示球的半径.球的体积公式：V=1 n 3,其中R 表示球的半径• 3第I 卷(选择题共40分)一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2 21 .已知全集 U = R ,集合 A ={ x | x - 5 X- 60 } B ={ x | X- 8x ：： 0},则(e u A )n B=()A . (0,3]B . [-1,8]C. (0,6]D . [2,3]2.已知a • R ，那么a 1 ”是“a 2 -1 ”的()B .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件m,n 是两相异直线，则下列 错误的是(c.若 m _ ,m 「，则:--: D.若 m // n ，则 m // nA .充分不必要条件 C.充分必要条件 3.已知\ ■是两相异平面,A .若 m // n, m 」二，贝U n _B.若 m _ , m 」，则〉// :4 .对任意x, y R恒有 sin x cosy = 2sin(rs ( J427二仁3s i n c-^s2 4 2 4等于(_) _ _ _1 2 1 - .2 3 2A. B. C.-4 4 45.在等比数列备中，设T n^a&IHa n, n N，则(3 - 2 D.4)C •若 T 3n d :: 0，则 a 1 0D .若 T 4n d ::: 0，则 a 1 ::: 0■I H 4i I 4 4i4 46•若向量a,b 满足ai=|2a+b' = 2，则a 在b 方向上投影的最大值是()A . .3B . -、:;3c. 、、6D . _：」62 27.已知第一象限内的点M 既在双曲线 G : X 2 一 y 2=1(a ■ 0,b ■ 0)上，又在抛物线a bC 2 ：y 2 =2px p 0上，设C i 的左，右焦点分别为F i , F 2，若C 2的焦点为F 2，且MF 1F 2是以MR 为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为() A .、2B . .. 3C . 12D . 2.3&在n 元数集S 二｛c,a 2,…,a n ｝中，设(S)-2n，若S 的非空子集A 满n足3(A) = 7(S)，则称A 是集合S 的一个 平均子集”，并记数集S 的k 元平均子集”的个数为 f s (k).已知集合 S 二{1,2,3,4,5,6,7,8,9} F 列说法错误的是()A . f s (4) = f s (5)第n 卷(非选择题共110 分)A .若 T 2n 1 0 ,则 a i 0B .若 T 2n .1 ：：： 0 ,则冃：:：0 ,T = 1-4, -3,B . f S (4)f(5)C. f s (1) f s (3)=f T (5) D . f s (2)f s (3)“T (4)填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题I -x2, x 色09.已知函数f(x)=《，则f (电3 __ =[2x, xcO卄1右f (f (x))=亍，贝U x = _____ .10.若函数y=2sin(「x •• 0,0 —：：：5)的图象过点n(0,1)，且向右平移个单位(保持纵坐标不变)后与平移前6的函数图象重合，贝U _____ ,灼的最小值为_______ .11 .若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于_________ cm3，表面积等于___________ c m2.第11题图4分，共36分.俯视图x V 112.设实数x, y满足2x -y 1：：-2，则2x y的最小值为 ____________ ，若4x y2_ a恒I2x -3y _3成立，则实数a的最大值为___________ .13 •若存在正实数y，使得一必=一1一，则实数x的最大值为 ____________________ .y - x 5x + 4 y14.设直线I : m -1 x 2m 1 y 3m =0 m R 与圆(x-1)2 y2二r2(r 0)交于A，2 B两点，C为圆心，当实数m变化时，人ABC面积的最大值为4,则mr = ___________________ .15•设数列3?满足3 =0,a n 1=lg(n • 1 • a n), N ，右a2016 lg k,lg(k 1)，则整数k = ____ .三、解答题：本大题共5小题，共74分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)在ABC中，内角A, B,C所对边的边长分别为a,b,c，已知a t a nA- c c o Bbc o.C(I)求角A的大小；(II)设AD是BC边上的高，若AD = 1a，求-的值.2 c17.(本小题满分15分)如图，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为直角梯形，三ADC ZBCD =90°, BC =2, CD = $3，PD = 4，/PDA =60；，且平面PAD —平面ABCD .(I)求证：AD _ PB ；(II)在线段PA上是否存在一点M，使二面角M -BC-D的大小为一，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. PC6 PA18.(本小题满分15分)已知a R，函数f (x) =x | x-a| -2x a2.(I)若a 2，解关于x的方程f(x) =a2-2a ；(II)若a [-2,4]，求函数f(x)在闭区间1-3,31上的最小值.2x19.(本小题满分15分)已知椭圆G : 1 ,4 3一点P (异于原点0)作切线丨交椭圆G于A , B两点. (I)求切线丨在x轴上的截距的取值范围;(II)求：A0B面积的最大值.20.(本小题满分15分)已知各项为正的数列 E 满足a1(I)证明：0 ：：：a* ：：：a* 1 ：：：1 ( n • N )；9 *(II)求证：a1■ a^ I ■ a n- n ( n • N ).42015学年第二学期浙江省名校协作体参考答案高三年级数学学科(理科)一、选择题：本大題共8小题.每小题5分.共40分.I. C 2. A 3- D 4. B5・ D 6. B 7. C 8. C二、填空題：本大18共7小题，多空题毎& 6分・单空题每题4分.共36分・1 yr9- 1 ,0- 121). —, 28 + 4V3 12. 2, 13 3 513. —14. —8 或—2815.2019三、解答题：本大題共5小BL共74分・解答应写出文字说明、证明过程或演算步8L16.(本小题满分14分)在"BC中.内角A.B.C所对边的边长分别为a.b.c.已知atanA-ccosB-bcosC •(I)求角/的大小：(II)设AD&BC边上的高，若加川丄宀求仝的值・2 c(I)由正弦定理知：sin^tan^ = sinCcosB+sinBcosC = sm>4 ................. 3 分又sin/H0・故tan^ = l,j4 = -y ............................................................... 7分(ID 448C的面积S = UJbcsin儿2 2 2故/ = yf2bc 9 .................................................................................. 1 °分又 / =护 +c2 - 2bccosA故Z>2+c2- 2>/2bc- 0».............................................................. 12分求得- = V2±1 c14分第1页共5页高三数学(理科)參考答案17. (本小题满分15分)如图•在四棱锥中.底面ABCD 为直角梯形• Z4ZX? = ZBCD =90°. BC = 2、CD = d=ZPD4 = 60・・且平面PAD 丄平面ABCD ・(I) 求证* ADLPBx (II) 在线段欣上是否存左一点M,使二面角M -BC-D 的大PI /小为3(A 若存在.求詈的值：若不存在.请说明理由.【解析】(I)过B 作BO//CD.交AD 于6连PO. 則AD 丄BO. -------------- 2分在△PDO 中.PD=4, DO=2・ ZPDA=60°・則PO 丄AD. -------------- 分MAD 丄面POB,所以AD 丄P --------------- 分MB = (—/n, y/3, — n), 5C = (—2,0,0) 平面MBC •的一个法向量市0,1,半)・<(0,0,1)••, = 1 ......................................................... 14 分 PM PO — \ 2 >/3-1 6-JI•・ —=—— TBH•• PA PO 2V3•法二：假设存在点M ・过M 作AD 平行线交PO 于N,连BN, 则ZNBO 就为二面角M-BC-D 的平面角， ------------------------------------------------- 9分cosZNBO = — =>tanZNBO = ^- = ^^ON = \ ----------------(D)由(1)可建立如图坐标系.若存在满足条件的点A/(m,0,n) ----------------------- 7分又平面ABCD 的cos(“』)*2 J UD15分IB 2页共5页高三数学(理科〉参考衿糸12分PN-PO-NO=2V3-1,所以竺=—=^T.1=]_2^ ------------------------------------- ]5分PA PO 2^3618.(本小题満分15分)己知QW R,函数/(x) = x|x-a|-2x + a2・(1)若a>2・解关于x的方程/(x) = a2-2a；(U)若aw[-2,4]・求函数/(x)在闭区间[-3,3]±的量小值.【解析】(I)由题得.x|x-a|-2x + a2=a2-S.即x|x-a|=2（H-a）・显然x = a是方程的解.................................... 2分①当x>a时.x = 2.又a>2.故此时方程无解..................................... 4分②当x<a时.x = -2为方程的解............................................... 6分煤上x = a或x = -2 ............................................................................................................... 7分(D)加胡―*，丿十("2曲，严①一2SaS2 时・—1 a t—+12 a2 2=> /(x)M = min{/(-3)>/(-+1)} = min{a2 - 3a -3,丄(3/-4a・4)}: ................................................ 9分2 4込g,g<4-2 需Aa2—3a—3,4 —2*^6 <a<2»②2<幺《4时・——l^a,—+l<o2 2a /(x)^ = min{/(-3),/(o)} = min{a2-3a-39a2-2a}= /-3a-3・ ................................................................................................................ 13分%2_4a_纟-2Sa<4_2& .综上^ /(x)^ = 4 .................. 15 分a2-3a-3, 4-2-76 <a<419.(本小题满分15分)己知椭BIG :―+^- = h抛物线G : y2 =4x.过拋物线C2上一点P(异4 3■于原点0)作切线/交楠圆G于B两点.第3页共5页高三皴学（理科）少考答案(I)求切线/在X 轴上的截距的取值范围；(U )求心03面积的最大值.【解析】(I)设P(t\2t)(r*0),显然切线/的斜率存在, 设切线/的方程为：>-2/ = A(x-/2),^y = k(x-t 2)+2t.由消去x 得y = 4xfy 2 -4y-4M+8r = 0.由厶= 16-16^(-ir 2 + 2/) = 0e 得* = -.从 而 切 线/ 的 方 程 为* x^ty-t 2 ... 3 分 令7 = 0.得切线/在x 轴上的載距为-八・令 A = 3 6?-12 ⑶? + 4)(广一 4)>0・得 0v/'v4・则-4<-?<0 ......................................... 6 .............................................................................................................................................. 分 故切线/在x 轴上的截距的取值范围为(《4,0) ............................................... 7分(II)由 ⑴ 知\AB\ = Vl + z 2^-y 2\ = yjl + t 2y ](y l +y 2)2-^y x y 2原点到切线/的距离为</ = 了+ • 所以$ =訥阳=2列雹岛泸43/2+4 = M .vO<r 2 <4> .\4<u<16.T2屈L”兰=学輕m 尹应...S =学訥+乎)・8]{17-(“+钊=孝』-(“+¥)2 + 25(“+乎)-】36 ・ 令. = M + —> V 4<M <16, /.y = u + —在区间(4,16)上为增函数•得8<y<17.uu从而...S 普・3 + 25厂尿当尸牛(8,17)时，得(3r 2 + 4)y2 - 一12 = 0・12分x^ty-t 214分S =3^- —-136 = 73.第4页共5页药三ft* <理科)参考答案16 25 n25 + 3 阿七 V3 + V41 n由 y = « + —=—. 得“ = ---------- ■ 有（= ----------- <2■“ 2 4 2故当2如顷时，AQ4B 面积S 有最大值J5 (5)2I1 9 20.（本小题满分15分）己知各项为正的数列｛务｝满足neN*.XJJ(I )证明：0<<a^x < 1 ( neN* )；9(II)求证：a x +OJ +••• + a n > n — ( ne N*).42 1 1【解析】(1)由几产亍才+亍％得此_1肓&+如_3)=亍g-i )g+3)・即(a 柏一lX^.+l) = |(^-lX^ + 3),得= |->0 .............................3 If 3 +1则 1“ 严(1~).上鱼••…匕—丄丄Atl.g.....A±L >0 (力 1-a, Z 2 3" a^l 勺+1 吋+1則有a“<l ，又故有°<a“vl (weN*) .......................................................................... 6分2 从而有此-0：=§冬(1-乞)>0…H综合有0 v y v a*] v 1・(ii)由(】)知 1 ■昭 1 —1 4+3所以(1一0]) + (1-02) +(1一為)+ ••• + (】-%)<、1即 ”_(坷 +a 2+a 3+••• + o R )<--9.故有q +色+為+…+ ©• >"一才（力wN ）.命题：镇海中学 缙云中学（审校）审核：学军中学1 a +3 1Z12、」八 2、7 173也+1 3 勺+1 3、冬+1 3q + 19则力»2时・••…[ 1-Oj ]一。
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．
7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若角A，B，C的大小
成等比数列，且，则角B的弧度数为
．
8. 已知正实数使得对于满足的任何实数x、y、z成立不等式：，则
则这样的数列的个
数为
．
10. 如图，⊙O1与⊙O2外切于D，等腰 RtACB 内接于⊙O1，切点D
图1 图2
2016年镇海中学数学奥林匹克选拔检测一 参考答 案
[ MATHEMATICS Examination paper reference answer] （本卷满分： 200 分）
第一部分（共2小题，每题25分，计50分）
I. 证明 对变形得：
． 使用叠代，连续使用x'=x+六次，可得： (1)
15、
三、解答题（本大题分3小题，共60分）．
、(20分)(可能有多种解法)
………………(5分)
………………(20分) ………………(15分)
(共20分)
………………(5分) ………………(15分)
………………(20分)
(共20分)
17、(20分)(可能有多种解法) 解 I.由，得 ， …………………⑴
再使用叠代，连续使用x'=x+五次，得到下列式子： (2) (3) (4)… (5)… (6)． 把这6个式子加起来，中间得项都抵消了，只剩首尾得项，得： f(x+1)-f(x)=f(x+2)-f(x+1) ．(10分) 假设f(x)=a，f(x+1)-f(x)=b，则： f(x+1)-a=b f(x+2)-f(x+1)=f(x+1)-f(x)=b … f(x+n)-f(x+n-1)=b 上式全加起来得：f(x+n)-a=n×bf(x+n)=a+n×b．(15分) 假设b不等于0，则n足够大的时候一定可以使|a+n×b|>1， 与题设矛盾，所以b=0．(20分) 所以f(x+1)=f(x)，周期是1．(25分)
在半圆AB上．过点A、B、C分别作⊙O2的切线
AM、BN、CP，M、N、P分别为切点．则的值为
．
11. 记集合，，将M中的元素按从大到小顺序排列，则第2015个数
是
．
12. 已知向量的夹角为，，向量，的夹角为，，则的最大值为
．
13. 若2017次方程．有2017个正实根，那么对于所有可能的方程，
的最大值为
(20分) (16分) (6分)
解
求证：．
17. (本题满分20分)已知数列满足，，． ⑴ 证明：是正整数数列； ⑵ 是否存在，使得，并说明理由．
18. (本题满分20分)将3×3方格表中任意角上的2×2小方格表挖去， 剩下的图形称为“角形”(如图1就是一个角形)，现在10×10方格 表(图2)中放置一些两两不重叠的角形，要求角形的边界与方格 表的边界或分格线重合．求正整数k的最大值，使得无论以何种 方式放置了k个角形之后，总能在方格表中再放入一个完整的角 形．
II.如图，线段AB、CD是⊙O中长度不相等的两条弦，AB与CD的交 点为E，⊙I内切⊙O于点F，且分别与弦AB、CD相切于点G、H．过点O 的直线l分别交AB、CD于点P、Q，使得EP=EQ．直线EF与直线l交于点 M，求证：过点M且与AB平行的直线是⊙O的切线．
第II题
第二部分（共2大题，计150分） 一、填空题（共15小题，每题6分，计90分）．
1. 已知函数则函数在上的图像总长为
．
2. 已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2，BC=1，
∠ABC=60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且，，则的最
小值为
．
3. 方程的所有整数解的个数为
．
4. 设函数，其中，．若存在常数T，使对，有，则的最小值为
．
5. 设，且，，则的值为 ．
6. 已知整数，使得和均为整数，则的值为
2016.6
检测范围：初中及高中必修一、四、五
2016年镇海中学数学奥林匹克选拔检测一
[ MATHEMATICS ] （本卷满分：200分 考试时间：150分钟）
（高一试卷） 第一部分（共2小题，每题25分，计50分） I.设f是一个从实数集R映射到自身的函数，并且对任何的x∈R均有 以及．求证：是周期函数．
．
14. 如果关于x的方程有正整数解，那么正整数k的所有可能取值之
和为
．
15. 将块1×2或2×1的多米诺骨牌无重叠地放置于2n×2n的方格表上，
使得每个2×2的子方格表内至少存在两格没被覆盖，且该两格在
同行或同列，则所有满足要求的方法数为
．
三、解答题（本大题分3小题，共60分）．
16. (本题满分20分)设，满足，．
II.
证明 1
图1 …………(15分)
2
…………(25分) 图2 …………(20分)
第二部分（共2大题，计150分）
一、填空题（共15小题，每题6分，计90分）．
1、 2、 3、 6
4、 π
5、 4027
6、 3
7、 8、 2
9、 491
10、 11、 12、 24
13、 32017-4035 14、 23
同理可得 ，………⑵ ……………………3分 由⑴⑵可知，为方程的两根， 又，即有，即 因为所以为正整数． ………………………………………6分 Ⅱ.不存在，使得． ………………………………………10分 假设存在，使得，则．一方面，， 所以,即，所以． 由费马小定理知，所以…………………15分 另一方面，.事实上，假设，则，即，所以，而，这样得到.矛盾． 所以，由费马小定理得．这样得到.矛盾． 所以不存在，使得.………………………………………20分 18、(20分)(可能有多种解法)