解析几何(辅优)专题四(1)圆1答案
解析几何课程教案
解析几何课程教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解解析几何的基本概念，如点、直线、圆等；（2）掌握坐标系中直线、圆的方程的求法与应用；（3）了解解析几何在实际问题中的应用。
2. 过程与方法：（1）通过实例引入解析几何的概念，培养学生的空间想象能力；（2）运用代数方法研究直线、圆的方程，提高学生解决问题的能力；（3）利用数形结合思想，分析实际问题，提升学生的应用能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学学科的兴趣，激发学习热情；（2）培养学生克服困难的意志，提高自主学习能力；（3）感受数学在生活中的重要性，培养学生的应用意识。
二、教学内容1. 第一课时：解析几何概述（1）点的坐标；（2）直线的方程；（3）圆的方程。
2. 第二课时：直线的方程（1）直线的一般方程；（2）直线的点斜式方程；（3）直线的截距式方程。
3. 第三课时：圆的方程（1）圆的标准方程；（2）圆的一般方程；（3）圆的方程的性质。
4. 第四课时：直线与圆的位置关系（1）直线与圆相交的条件；（2）直线与圆相切的条件；（3）直线与圆相离的条件。
5. 第五课时：解析几何在实际问题中的应用（1）线性方程组的解法；（2）最大（小）值问题；（3）几何最优化问题。
三、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、讨论，探索解析几何的基本概念和性质；2. 利用数形结合思想，引导学生将几何问题转化为代数问题，提高解决问题的能力；3. 注重实际问题的引入，激发学生的学习兴趣，培养学生的应用意识。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，评估学生对知识点的掌握程度；3. 课后实践：鼓励学生参加数学竞赛或研究性学习，提升学生的应用能力。
五、教学资源1. 教材：人教版《高中数学》解析几何部分；2. 教辅：同步练习册、习题集等；3. 教学软件：几何画板、数学公式编辑器等；4. 网络资源：相关教学视频、课件、论文等。
圆的切线的判定和性质 知能优化训练(答案解析) 高中数学选修4-1 北师大版
[学生用书P 22～P 24]1．如图，AB 为⊙O 的直径，MN 切⊙O 于C ，AC ＝12BC ，则sin ∠MCA 等于( )A.12B.22C.32D.55解析：选D.连接OC (图略)，∵MN 切⊙O 于C ，∴OC ⊥MN ，即∠MCA ＋∠ACO ＝90°，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，即∠ACO ＋∠OCB ＝90°，∵OB ＝OC ，∴∠B ＝∠OCB ，∴∠MCA ＝∠B ，又在Rt △ABC 中，AB ＝BC 2＋AC 2＝5AC ，sin B ＝AC AB ＝AC 5AC ＝55.∴sin ∠MCA ＝55.2.如图，已知四边形ABCD 为圆内接四边形，AD 为圆的直径，直线MN 切圆于B ，DC 的延长线交MN 于G ，若cos ∠ABM ＝32，则tan ∠BCG ＝( )A.32B. 3C.12D.33 解析：选B.连接BD ，OB .∵cos ∠ABM ＝32， ∴∠ABM ＝30°.∵∠OBA ＋∠ABM ＝∠OBD ＋∠OBA ＝90°， 又∵∠OBD ＝∠ADB ， ∴∠ADB ＝∠ABM ＝30°. 又AD 为直径，∴∠ABD ＝90°，∠DAB ＝60°， ∴∠BCG ＝∠DAB ＝60°， ∴tan ∠BCG ＝tan60°＝ 3. 3.如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧上一点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝( ) A ．25° B ．45° C ．50° D ．80° 解析：选C.∵AB 、AC 是两条切线， ∴∠BOC ＝100°，∴∠BDC ＝50°. 4.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径作圆，⊙O 交BC 于D ，作DE ⊥AB 于E . 求证：DE 是⊙O 的切线． 证明：连接OD (图略)．因为AC 为直径，所以∠ADC ＝90°， 又AB ＝AC ，所以BD ＝CD . 又OA ＝OC ，所以OD 是△ABC 的中位线． 所以OD ∥AC .又因为∠DEA ＝90°， 所以∠ODE ＝90°. 又因为D 在圆周上， 所以DE 是⊙O 的切线．5．如图，AP 为圆O 的切线，P 为切点，OA 交圆O 于点B ，若∠A ＝40°，则∠APB 等于( ) A ．25° B ．20° C ．40° D ．35° 解析：选A.连接OP (图略)，∵AP 为圆O 的切线，∴∠OP A ＝90°， ∵∠A ＝40°，∴∠AOP ＝90°－40°＝50°.∵OP ＝OB ，∴∠OPB ＝12×(180°－50°)＝65°.∴∠APB ＝∠OP A －∠OPB ＝90°－65°＝25°. 6.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以C 为圆心，r 为半径作圆，若AB 与圆相切，则r ＝( ) A ．2 cm B ．2.6 cm C ．0.75 cm D ．2.4 cm 解析：选D.过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝5， ∴CD ·AB ＝AC ·BC ，∴CD ＝AC ·BCAB＝2.4 cm ，∵AB 与圆相切， ∴r ＝CD ＝2.4 cm. 7.如图所示，EB 是半圆⊙O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC ⊥BC 于C ，且AC 是半圆的切线，切点为D ，连接OD ，若AC ＝12，BC ＝9，则OD 的长为( )A ．5 B.458C ．6D ．4 解析：选B.∵AC ＝12，BC ＝9， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝15.∵AC 为半圆的切线，∴OD ⊥AC . 又∵AC ⊥BC ，∴OD ∥BC . ∴OD BC ＝AO AB ，∴OD 9＝15－OD 15， ∴OD ＝458.8.如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 交⊙O 于D ，AB ＝6，BC ＝8，则BD ＝( ) A ．4 B ．4.8 C ．5.2 D ．6。
与圆有关的最值(范围)问题
xx与圆有关的最值（范围）问题圆是数学中优美的图形，具有丰富的性质．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形性质，利用数形结合求解．当然，根据《教学要求》的说明，“平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想”，因此在此类问题的求解中，有时也会用到函数思想和基本不等式思想等．本文将就与圆的最值问题有关的题目进行归纳总结,希望能为学生在处理此类问题时提供帮助． 类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：22(3)1x y -+=上任一点,则PQ 的最小值为 。
【分析】：这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题,可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应用．解：如图1，圆心C到直线y=x +1的距离d =圆半径1r =，故1PQ PC r ≥-=变题1：已知A （0,1），B （2,3）,Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QABS的最小值为 。
【分析】本题要求QABS的最大值，因为线段AB 为定长，由三角形面积公式可知，只需求“Q 到AB l 的最小值"，因此问题转化为“圆上一动点到直线的最小距离”，即例1． 解:如图2，设Q h 为Q 到AB l 的距离，则11)42QABQ Q SAB h =⋅===+图1 图2变题2：由直线y=x +1上一点向圆C :22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 【分析】一般地，当直线和圆相切时，应连接圆心和切点,构造直销三角形进行求解．因为222PA PC r =-，故即求PC 的最小值，即例1．解：如图3，22221PA PC r PC =-=-，∵min PC=∴min PA变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB ，A 、B 为切点,则当PC= 时，APB ∠最大．【分析】APB APC ∠=∠，故即求角APC ∠的最大值，利用其正弦值即可转化为求PC 的最小值，即例1．解：如图4，∵APB APC ∠=∠，1sin APC PC∠=,∵min PC =,∴PC =APC ∠最大，即APB ∠最大．图3 图4变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .【分析】将四边形面积转化为两个全等的三角形的面积，从而转化为PA 的最小值，问题又转化为求切线段的最小值问题．解：如图4，1222PAC PAB PAB S S S S PA AC PA ∆∆∆=+==⨯⋅⋅=四边形PACB ，由变式2可知，min PA =PACB【解题回顾】在上面例1及几个变试题的解题过程中，我们可以总结一句“万变不离其宗”，一般地，求“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，“圆心到直线的距离加半径”即为最大距离，这一结论在解题时可直接应用．另:和切线段有关的问题常利用“连接圆心和切点,构造直销三角形“进行求解．也即将“ 两个动点的问题转化为一个动点的问题”．如下例．例2已知圆C:222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值的点P 坐标．【分析】本题中，由于点P 和点M 均在动，故直接做很难求解．联系到PM 是切线段，因此可利用222PM PC r =-将条件PM=PO 转化为只含有一个变量P 的式子即可求解．解：由题意，令(,)P x y ，∵222PM PC =-，∴222PC PO -=，即2222(1)(2)2x y x y ++--=+,化简得：2430x y -+=．∵PM=PO ，∴即求直线2430x y -+=到原点O （0，0)的最小距离．d==PMx类型二：利用圆的参数方程转化为三角函数求最值例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值．【分析】本题是典型的用圆的参数方程解决的题型，利用圆的参数方程将所求式转化为三角函数求最值，利用辅助角公式即得最大值．解：22(1)(2)5x y ++-=，令1()2x R y θθθ⎧=-+⎪∈⎨=+⎪⎩，则255cos()5x y θθθϕ-=-+-=+-(其中cos ϕϕ==) ∴当cos()1θϕ+=时，max (2)550x y -=-=，故x —2y 的最大值为0．【解题回顾】和圆有关的一次式的求解，利用圆的参数方程可以比较方便的求到最值．类型三:抓住所求式的几何意义转化为线性规划问题求最值若所求式子具有较明显的几何意义,值．比如例2，除了用圆的参数方程求解,这类题通常转化为直线方程的纵截距求解． 解法二：令2x y z -=,则1122y x z =-,由题意，当直线的纵截距最小时,z 最大，此时直线和圆相切，故圆心到直线的距离d ==故010z =-或，由题意，max 0z =，即x-2y 的最大值为0．除了转化为直线的截距求解，还有一些式子具有明显的几何意义，比如斜率、两点间距离、点到直线的距离等．比如在上例中，改为求12y x --，22(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围,则可以分别用如下方法求解： 对12y x --，转化为圆上任意一点P 到点(2,1)A 连线斜率的最大值,可设过点(2,1)A 的直线为1(2)y k x -=-，直线和圆相切时，即圆心到直线的距离d ==，可得122k =-或,故1[2,)(,2k ∈+∞⋃-∞-．对22(2)(1)x y -+-,转化为圆上任意一点P 到点(2,1)A 距离的平方的取值范围,由例1易得[PA CA CA ∈+，即222(2)(1)[50PA x y =-+-∈-+对1x y --，联想到点到直线的距离公式中有类似的元素．可将问题转化为圆上任意一点P 到直线10x y --=的距离的问题，易得，圆心到直线的距离为P （x ，y）到直线10x y--=,即1[4x y--∈.【解题回顾】当所求式子含有明显的几何意义时，注意联系线性规划，用线性规划的思路求解可将问题简单化和直观化．类型四：向函数问题转化平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想．有些问题，单纯利用圆的几何性质无法求解．此时应考虑如何利用代数思想将问题转化为函数问题．例4(2010年高考全国卷I理科11）已知圆O：221x y+=，P A、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点，则PA PB⋅的最小值为【分析】本题中,由于A、B都是动点，故将PA PB⋅转化为坐标形式较难求解．此时考虑到向量数量积的定义，令2APBα∠=，cos2PA PB PA PBα⋅=，而切线段PA=PB也可用α表示,故所求式可转化为关于α的三角函数求解．解:令2((0,))2APBπαα∠=∈，cos2PA PB PA PBα⋅=，1tanPA PBα==，∴222222cos2cos cos2(1sin)(12sin)tan sin sinPA PBαααααααα⋅--⋅===，令2sin(0)t tα=>，则(1)(12)1233t tPA PB tt t--⋅==+-≥（当且仅当2t=2sin2α=时取等号）【解题回顾】本题以向量定义为载体，巧妙地利用了设角为变量，将与圆有关的问题转化为三角函数的问题求解．将几何问题代数化，利用函数思想求解．同时运用了换元思想，基本不等式思想等解题方法，是一道综合题．类型五：向基本不等式问题转化例5已知圆C：22+24x y+=（），过点(1,0)A-做两条互相垂直的直线12l l、，1l交圆C 与E、F两点，2l交圆C与G、H两点，（1）EF+GH的最大值．(2）求四边形EGFH面积的最大值．【分析】由于EF和GH都是圆的弦长，因此可利用222=+半径半弦长弦心距将EF+GH转化，用基本不等式的相关知识点．解:（1）令圆心C 到弦EF 的距离为1d ，到弦GH 的距离为2d ,则EF +GH =，又222121d d CA +==,2≤==(当且仅当122d d ==取等号)故EF +GH ≤=（2)∵EF GH ⊥，∴22128()12722d d S EF GH -+=⋅=≤⋅=四边形EFGH(当且仅当122d d ==取等号）【解题回顾】本题(1）是利用2a b +≤（2)2a b +．基本不等式是求最值的基本方法．在利用基本不等式求最值时应注意如何构造“定量”．由于圆的对称性，在与圆有关的最值问题中,应把握两个“思想"：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心,将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想,即利用圆的参数方程．同时，由于最值问题从代数意义上讲和函数的最值联系紧密，因此在解题过程中灵活的应用函数、不等式等代数思想使问题代数化、简单化也是需要注意的．。
七年级下册数学全品B44-45页
七年级下册数学全品B44-45页第一章，第一节的公理、定理及例题。
第二节：定义域。
第三章，积分、概率和统计。
第四章，二次方程。
第五章，代数、几何与统计。
第六章，数列和解析几何（带二倍角）。
第六章，数列和不等式的应用。
第七至九节：函数代数的意义、函数与方程的思想、有关性质，以及解一元二次方程计算题第八节是数学思想方法这部分内容。
第一节是本册最后一个专题。
以时间为分界线，把数学从线性代数分解为若干个专题供同学们学习和练习；每个专题都有一个核心内容是中考试题所考查的知识点，比如数列、几何（带一阶函数，代数式中的一次）以及方程组（不等式);函数与参数方程就是其中一个很重要的组成部分（基本理论就有了);函数在统计中作用；二次方程组；解二次方程关键点在解直角三角形中和原理等。
这些都是初中学习过程中很重要的内容和考点和难点。
需要同学们在复习过程中认真消化理解每一章节内容的实质并能灵活运用所学知识解决问题。
下面给大家整理了这份资料：七年级下册数学全册1本书：《数列和平方》《全等解析几何》第一节：线性代数基本性质与应用课文第二节，第一册第二节、第三章数列的定义！第一节，几何（带一阶函数）分析题（含导数求参数、解不等式）内容以及导数的应用题；第二章：定义与函数建立等式或不等式.第三节“四则运算”继续重点学习一元二次方程组解求二项式组的有关内容，以及利用它们之间的关系求解二次型不等式中的等价问题。
第四章：解析几何；导数、三角函数及其应用题第（一）题在中考数学考试中所占比重较大但是我们往往忽略了它，就是因为不会解答这些题而丢掉的分数往往1.利用参数方程建立不等式、解析几何中的角、角及函数不等式（如一阶函数在二次方程组中的应用等）2.函数的性质，导数的概念与性质（包括定义域、性质和定理)2.解析几何函数解的基本方法和步骤，求函数之间的关系的方法（三角函数、二次方程和函数的应用题）第一节：线性代数基本性质与应用课文第二节，第一章第二节、第四章代数、几何与统计1.本册主要包括如下几个部分：1.二次型不等式及其分析运算法则与方程组:2.利用图解法解决有关方程组求解难题和有关函数及其应用题3.解析几何中角、角及函数不等式的解法3.利用角反算函数求出正弦矩阵（方程）及奇偶性4.(函数图解)5.导数求二次函数及其系数、单位根的相关公式和有关问题解法（导数、函数、系数)6.求解函数解一元方程组、二次曲线；第四章：函数代数的意义与定义第二节数学思想方法课程课文第二节，第一节。
2015年高考数学4—1几何证明选讲(解答+答案)
2015年高考数学4-1几何证明选讲（解答+答案）1.（2015广东文数15. （几何证明选讲选做题））如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4AB =，C23E =，则D A = ．2.（2015广东理数15.（几何证明选讲选作题））如图1，已知AB 是圆O 的直径，AB=4，EC 是圆O 的切线，切点为C ，BC=1，过圆心O 做BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD= 。
3.（2015湖北理数15．（选修4-1：几何证明选讲））如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC= .图1POECD A B4.（2015新课标Ⅰ文数（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E 。
（Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； （Ⅱ）若CA=3CE ，求∠ACB 的大小。
5.（2015新课标II 文数22．（本小题满分10分）选修4 - 1：几何证明选讲）如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与ΔABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点。
（1）证明：EF ∥BC ；（2）若AG 等于⊙O 的半径，且23AE MN ==，求四边形EBCF 的面积。
6.（2015湖南理数16.（Ⅰ）（本题满分6分）选修4-1：几何证明选讲）如图5，在O e 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明：（ⅰ）180MEN NOM ∠+∠=o；GAEFONDB C M（ⅱ）FE FN FM FO =g g7.（2015陕西理数22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 切O e 于点B ，直线AO 交O e 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ．（Ⅰ）证明：BED DBA ∠=∠； （Ⅱ）若3D DC A =，2BC =，求O e 的直径．8.（2015新课标Ⅰ理数（22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是O e 的直径，AC 是O e 的切线，BC 交O e 于E （I ） 若D 为AC 的中点，证明：DE 是O e 的切线； 若3OA CE =，求∠ACB 的大小.9.（2015新课标II 理数22．（本小题满分10分））选修4 - 1：几何证明选讲如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与ΔABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点。
解析几何参考答案
解析几何参考答案解析几何参考答案解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是几何图形在坐标系中的性质和变换。
通过解析几何，我们可以更加深入地理解几何图形的特征和规律，进而解决各种几何问题。
在学习解析几何的过程中，参考答案是一个非常重要的辅助工具，它可以帮助我们检验和巩固所学的知识。
下面，我们就来解析几何参考答案，探讨一些常见的几何问题。
一、直线与圆的交点在解析几何中，直线与圆的交点是一个常见的问题。
要确定直线与圆的交点，我们可以利用直线和圆的方程进行求解。
以直线的方程为Ax+By+C=0，圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
将直线的方程代入圆的方程，可以得到一个关于x和y的二次方程。
通过求解这个二次方程，我们可以得到直线与圆的交点坐标。
二、平面与直线的交点平面与直线的交点也是解析几何中的一个重要问题。
要确定平面与直线的交点，我们可以利用平面和直线的方程进行求解。
以平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，直线的方程为x=x₀+mt，y=y₀+nt，z=z₀+pt，其中(x₀,y₀,z₀)为直线上的一点，m,n,p为方向比例。
将直线的方程代入平面的方程，可以得到一个关于t的一元线性方程。
通过求解这个方程，我们可以得到平面与直线的交点坐标。
三、直线的斜率和截距直线的斜率和截距是解析几何中的基本概念。
直线的斜率表示了直线的倾斜程度，截距表示了直线与坐标轴的交点位置。
要确定直线的斜率和截距，我们可以利用直线的方程进行求解。
以直线的方程为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
通过观察直线方程的形式，我们可以直接读出直线的斜率和截距。
四、距离和中点公式距离和中点公式是解析几何中的两个重要公式，它们可以帮助我们计算几何图形的距离和中点坐标。
距离公式可以表示为d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)，其中(x₁,y₁)和(x₂,y₂)为两点的坐标。
解析几何(辅优)专题四(1)圆1答案
PMN() 值范围是，则直线的倾斜角的取的距离为直线上至少有三个不同点到若圆例220:01044122=+=---+by ax l y x y x⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎦⎤⎢⎣⎡⎦⎤⎢⎣⎡2036.12512.4,12.πππππππ， ， ， D C B A ()()()22222232201044=-+-=---+y x y x y x 整理为解析：园∴圆心坐标为(2，2)，23半径为要求圆上至少有三个不同的点到直线220:的距离为=+by ax l 则圆心到直线的距离应小于等于，2014222222≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∴≤++∴b a b a b a ba ⎪⎭⎫⎝⎛-=+-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤--∴b a k b a ,3232,3232+≤≤-∴k直线l 的倾斜角的取值范围是]12512[ππ，，选B.2 如图,圆O 1与圆O 2的半径都是1,O 1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM =试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程. 解：如图，以直线12O O 为x 轴，线段12O O 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为12(2,0),(2,0)O O -．设(,)P x y ，则2222211(2)1PM O P O M x y =-=++-，同理222(2)1PN x y =-+-．∵PM =，∴2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-，即221230x x y -++=，即22(6)33x y -+=．这就是动点P 的轨迹方程．3．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(02)P ，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A B ，．（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数k ，使得向量OA OB + 与PQ共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．3．解：（Ⅰ）圆的方程可写成22(6)4x y -+=，所以圆心为(60)Q ，，过(02)P ，且斜率为k 的直线方程为2y kx =+．代入圆方程得22(2)12320x kx x ++-+=，整理得22(1)4(3)360k x k x ++-+=． ① 直线与圆交于两个不同的点A B ，等价于2222[4(3)]436(1)4(86)0k k k k ∆=--⨯+=-->，解得304k -<<，即k 的取值范围为304⎛⎫- ⎪⎝⎭，． （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，则1212()OA OB x x y y +=++，，由方程①，1224(3)1k x x k-+=-+ ②又1212()4y y k x x +=++． ③ 而(02)(60)(62)P Q PQ =- ，，，，，．所以OA OB + 与PQ共线等价于1212()6()x x y y +=+， 将②③代入上式，解得34k =-．由（Ⅰ）知304k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故没有符合题意的常数k ． 4．已知点F （-2，0）在以原点为圆心的圆O 内，且过F 的最短的弦长为2， （I ）求圆O的方程； （II ）过F 任作一条与两坐标标轴都不垂直的弦AB ，若点M 在x 轴上，且使得MF 为AMB ∆的一条内角平分线，求M 点的坐标。
解析几何第四版课后答案全册
4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：
(1)AB、CD;
(2) AE、CG;
(3)AC、EG;
(4) AD、GF;
(5)
BE、CH.
图 1—3
[解]：相等的矢量对是
（2）、（3）和（5）；
互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。
[证明]：如图1-4，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点
∵ADODOABCOCOB
但ADBC
ODOAOCOB OAOCODOB
由于(OAOC)∥AC, (OBOD)∥BD,而AC不平行于BD，
OAOCODOB0，
从而OA=OC，OB=OD。
5. 如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明
|BT|＝|e1|,
|TC||e1|
且BT与TC方向相同，
所以BT＝|e1|TC.
|e2|
图 1-8
由上题结论有
e|e1|e
1|e|2|e|e|e|e
AT＝2＝2112.
1|e1|
|e2|
|e1||e2|
3.用矢量法证明：P
.
PA+PB+PC＝0.
是△ABC
重心的充要条件是
[证明]：“”
若P为△ABC的重心，则
3. 设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明
OAOB+OC=OL+OM+ON.
[证明]
∵OAOLLA OBOMMB OCONNC
OAOBOCOLOMON(LAMBNC)
=OLOMON(ALBMCN)
由上题结论知：ALBMCN0
2020-2021中考数学培优(含解析)之圆的综合及详细答案
2020-2021中考数学培优(含解析)之圆的综合及详细答案一、圆的综合1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题：（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积．【答案】（1）证明见解析（2）24【解析】试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；（2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解．试题解析：（1）证明：连接OD ，∵OD=OA ，∴∠ODA=∠A ，∵四边形OABC 是平行四边形，∴OC ∥AB ，∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ，∴∠EOC=∠DOC ，在△EOC 和△DOC 中，OE OD EOC DOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EOC ≌△DOC （SAS ），∴∠ODC=∠OEC=90°，即OD ⊥DC ，∴CD 是⊙O 的切线；（2）由（1）知CD 是圆O 的切线，∴△CDO 为直角三角形，∵S △CDO =12CD•OD ， 又∵OA=BC=OD=4，∴S △CDO =12×6×4=12， ∴平行四边形OABC 的面积S=2S △CDO =24．2．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D 在BC uuu r 上，点E 在弦AB 上（E 不与A 重合），且四边形BDCE 为菱形．（1）求证：AC=CE ；（2）求证：BC 2﹣AC 2=AB•AC ；（3）已知⊙O 的半径为3．①若AB AC =53，求BC 的长； ②当AB AC为何值时，AB•AC 的值最大？【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2；②32【解析】 分析：（1）由菱形知∠D=∠BEC ，由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC ，据此得证； （2）以点C 为圆心，CE 长为半径作⊙C ，与BC 交于点F ，于BC 延长线交于点G ，则CF=CG=AC=CE=CD ，证△BEF ∽△BGA 得BE BG BF BA =，即BF•BG=BE•AB ，将BF=BC-CF=BC-AC 、BG=BC+CG=BC+AC 代入可得；（3）①设AB=5k 、AC=3k ，由BC 2-AC 2=AB•AC 知6k ，连接ED 交BC 于点M ，Rt △DMC 中由DC=AC=3k 、MC=126k 求得22CD CM -3，可知OM=OD-3，在Rt △COM 中，由OM 2+MC 2=OC 2可得答案．②设OM=d ，则MD=3-d ，MC 2=OC 2-OM 2=9-d 2，继而知BC 2=（2MC ）2=36-4d 2、AC 2=DC 2=DM 2+CM 2=（3-d ）2+9-d 2，由（2）得AB•AC=BC 2-AC 2，据此得出关于d 的二次函数，利用二次函数的性质可得答案．详解：（1）∵四边形EBDC为菱形，∴∠D=∠BEC，∵四边形ABDC是圆的内接四边形，∴∠A+∠D=180°，又∠BEC+∠AEC=180°，∴∠A=∠AEC，∴AC=CE；（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG，由（1）知AC=CE=CD，∴CF=CG=AC，∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形，∴∠G+∠AEF=180°，又∵∠AEF+∠BEF=180°，∴∠G=∠BEF，∵∠EBF=∠GBA，∴△BEF∽△BGA，∴BE BGBF BA=，即BF•BG=BE•AB，∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC，∴（BC﹣AC）（BC+AC）=AB•AC，即BC2﹣AC2=AB•AC；（3）设AB=5k、AC=3k，∵BC2﹣AC2=AB•AC，∴6k，连接ED交BC于点M，∵四边形BDCE是菱形，∴DE垂直平分BC，则点E、O、M、D共线，在Rt△DMC中，DC=AC=3k，MC=126k，∴223CD CM k-=，∴OM=OD﹣DM=33k，在Rt △COM 中，由OM 2+MC 2=OC 2得（3﹣3k ）2+（6k ）2=32，解得：k=233或k=0（舍）， ∴BC=26k=42； ②设OM=d ，则MD=3﹣d ，MC 2=OC 2﹣OM 2=9﹣d 2，∴BC 2=（2MC ）2=36﹣4d 2，AC 2=DC 2=DM 2+CM 2=（3﹣d ）2+9﹣d 2，由（2）得AB•AC=BC 2﹣AC 2=﹣4d 2+6d+18=﹣4（d ﹣34）2+814， ∴当d=34，即OM=34时，AB•AC 最大，最大值为814， ∴DC 2=272， ∴AC=DC=36， ∴AB=96，此时32AB AC ． 点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点．3．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点F 在⊙O 上，且点C 是的中点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，交AF 的延长线于点E ．（1）求证：AE ⊥DE ；（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】 试题分析：（1）首先连接OC ，由OC=OA ，，易证得OC ∥AE ，又由DE 切⊙O 于点C ，易证得AE ⊥DE ； （2）由AB 是⊙O 的直径，可得△ABC 是直角三角形，易得△AEC 为直角三角形，根据AE=3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF=OA=AB，在△ACB 中，利用已知条件求得答案．试题解析：（1）证明：连接OC，∵OC=OA，∴∠BAC=∠OCA，∵∴∠BAC=∠EAC，∴∠EAC=∠OCA，∴OC∥AE，∵DE切⊙O于点C，∴OC⊥DE，∴AE⊥DE；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴△ABC是直角三角形，∵∠CBA=60°，∴∠BAC=∠EAC=30°，∵△AEC为直角三角形，AE=3，∴AC=2，连接OF，∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，∴△OAF为等边三角形，∴AF=OA=AB，在Rt△ACB中，AC=2，tan∠CBA=，∴BC=2，∴AB=4，∴AF=2．考点：切线的性质．e的直径，连接DB，过点C的切线交DB的延长线于点E．4．已知AB，CD都是O()1如图1，求证：AOD 2E 180∠∠+=o ；()2如图2，过点A 作AF EC ⊥交EC 的延长线于点F ，过点D 作DG AB ⊥，垂足为点G ，求证：DG CF =；()3如图3，在()2的条件下，当DG 3CE 4=时，在O e 外取一点H ，连接CH 、DH 分别交O e 于点M 、N ，且HDE HCE ∠∠=，点P 在HD 的延长线上，连接PO 并延长交CM 于点Q ，若PD 11=，DN 14=，MQ OB =，求线段HM 的长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）837+【解析】【分析】（1）由∠D +∠E =90°，可得2∠D +2∠E =180°，只要证明∠AOD =2∠D 即可； （2）如图2中，作OR ⊥AF 于R ．只要证明△AOR ≌△ODG 即可；（3）如图3中，连接BC 、OM 、ON 、CN ，作BT ⊥CL 于T ，作NK ⊥CH 于K ，设CH 交DE 于W ．解直角三角形分别求出KM ，KH 即可；【详解】()1证明：如图1中，O Q e 与CE 相切于点C ，OC CE ∴⊥，OCE 90∠∴=o ，D E 90∠∠∴+=o ，2D 2E 180∠∠∴+=o ，AOD COB ∠∠=Q ，BOC 2D ∠∠=，AOD 2D ∠∠=，AOD 2E 180∠∠∴+=o ．()2证明：如图2中，作OR AF ⊥于R ．OCF F ORF 90∠∠∠===o Q ，∴四边形OCFR 是矩形，AF//CD ∴，CF OR =，A AOD ∠∠∴=，在AOR V 和ODG V 中，A AOD ∠∠=Q ，ARO OGD 90∠∠==o ，OA DO =，AOR ∴V ≌ODG V ，OR DG ∴=，DG CF ∴=，()3解：如图3中，连接BC 、OM 、ON 、CN ，作BT CL ⊥于T ，作NK CH ⊥于K ，设CH 交DE 于W ．设DG 3m =，则CF 3m =，CE 4m =，OCF F BTE 90∠∠∠===o Q ，AF//OC//BT ∴，OA OB =Q ，CT CF 3m ∴==，ET m ∴=，CD Q 为直径，CBD CND 90CBE ∠∠∠∴===o ，E 90EBT CBT ∠∠∠∴=-=o ，tan E tan CBT ∠∠∴=，BT CT ET BT∴=，BT 3m m BT ∴=， BT 3m(∴=负根已经舍弃)，3m tan E 3∠∴==， E 60∠∴=o ，CWD HDE H ∠∠∠=+Q ，HDE HCE ∠∠=，H E 60∠∠∴==o ，MON 2HCN 60∠∠∴==o ，OM ON =Q ，OMN ∴V 是等边三角形，MN ON ∴=，QM OB OM ==Q ，MOQ MQO ∠∠∴=，MOQ PON 180MON 120∠∠∠+=-=o o Q ，MQO P 180H 120∠∠∠+=-=o o ， PON P ∠∠∴=，ON NP 141125∴==+=，CD 2ON 50∴==，MN ON 25==，在Rt CDN V 中，2222CN CD DN 501448=-=-=，在Rt CHN V 中，CN 48tan H 3HN HN∠===， HN 163∴=，在Rt KNH V 中，1KH HN 832==，3NK HN 24==， 在Rt NMK V 中，2222MK MN NK 25247=-=-=，HM HK MK 837∴=+=+．【点睛】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解题的关键.5．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是的中点，D 是的中点，AC 与BD 相交于点E .（1）求证：BD平分∠ABC；（2）求证：BE=2AD；（3）求DEBE的值.【答案】（1）答案见解析（2）BE=AF=2AD（3）21 -【解析】试题分析：（1）根据中点弧的性质，可得弦AD=CD，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；（2）延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF, 根据全等三角形的性质可得BE=AF=2AD；（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，OB=OD=2，DH=21-, 然后根据相似三角形的性质可求解.试题解析：（1）∵D是的中点∴AD=DC∴∠CBD=∠ABD∴BD平分∠ABC（2）提示：延长BC与AD相交于点F,证明△BCE≌△ACF,BE=AF=2AD（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，2，21, DEBE=DHBCDE BE 21 -6．已知：如图，△ABC中，AC=3，∠ABC=30°．（1）尺规作图：求作△ABC的外接圆，保留作图痕迹，不写作法；（2）求（1）中所求作的圆的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）圆的面积是9π．【解析】试题分析：（1）按如下步骤作图：①作线段AB的垂直平分线；②作线段BC的垂直平分线；③以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆．如图所示（2）要求外接圆的面积，需求出圆的半径，已知AC＝3，如图弦AC所对的圆周角是∠ABC=30°，所以圆心角∠AOC=60°，所以∆AOC是等边三角形，所以外接圆的半径是3故可求得外接圆的面积．（2）连接OA，OB．∵AC=3，∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴圆的半径是3，∴圆的面积是S=πr2=9π．7．阅读：圆是最完美的图形，它具有一些特殊的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易。
解析几何第四版习题答案
解析几何第四版习题答案解析几何是一门研究几何图形的数学分支，它使用代数方法来描述几何对象。
解析几何第四版习题答案通常包含了各种几何问题的解答，这些解答帮助学生理解如何使用代数工具来解决几何问题。
以下是一些习题的解答示例：1. 直线的方程：- 给定两点 \( P_1(x_1, y_1) \) 和 \( P_2(x_2, y_2) \)，直线的斜率 \( m \) 为 \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)。
直线的点斜式方程为 \( y - y_1 = m(x - x_1) \)。
如果直线通过原点，则其方程为 \( y = mx \)。
2. 圆的方程：- 圆的标准方程为 \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)，其中\( (h, k) \) 是圆心的坐标，\( r \) 是半径。
3. 椭圆的方程：- 椭圆的标准方程为 \( \frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y -k)^2}{b^2} = 1 \)，其中 \( a \) 是椭圆的长半轴，\( b \) 是短半轴，\( (h, k) \) 是椭圆的中心。
4. 双曲线的方程：- 双曲线的标准方程为 \( \frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \)，其中 \( a \) 是实轴的半长，\( b \) 是虚轴的半长，\( (h, k) \) 是双曲线的中心。
5. 抛物线的方程：- 抛物线的标准方程为 \( y^2 = 4ax \) 或 \( x^2 = 4ay \)，其中 \( a \) 是抛物线的焦距。
6. 圆锥曲线的交点问题：- 当两个圆锥曲线相交时，可以通过联立它们的方程来求解交点。
例如，如果有两个圆 \( (x - h_1)^2 + (y - k_1)^2 = r_1^2 \) 和\( (x - h_2)^2 + (y - k_2)^2 = r_2^2 \)，它们的交点可以通过解这个方程组来找到。
二轮复习第46讲 解析几何中的四点共圆问题
第46讲解析几何中的四点共圆问题一、单选题1．(2020·全国全国·模拟预测)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左右焦点，点P 为双曲线右支上一点，直线PF 1交y 轴于点Q ，且点O ，Q ，P ，F 2四点共圆(其中O 为坐标原点)，若射线F 2Q是∠PF 2F 1的角平分线，则双曲线的离心率为()A ．2+1B ．3+1C ．2D ．52【答案】B 【分析】由O ，Q ，P ，F 2四点共圆得到∠QPF 2=∠QOF 2=π2，结合射线F 2Q 是∠PF 2F 1的角平分线以及双曲线的性质求得∠PF 1F 2=∠QF 2F 1=∠PF 2Q =π6，由此求得PF 1 ,PF 2 ，结合双曲线的定义求得双曲线的离心率.【详解】因为点O ，Q ，P ，F 2四点共圆，所以∠QPF 2=∠QOF 2=π2．因为射线F 2Q 是∠PF 2F 1的角平分线，所以∠PF 2Q =∠QF 2F 1，由双曲线的对称性知∠PF 1F 2=∠QF 2F 1，所以∠PF 1F 2=∠QF 2F 1=∠PF 2Q =π6，F 1F 2 =2c ，因此PF 2 =c ，PF 1 =3c ，从而2a =PF 1 -PF 2 =3c -c ，因此离心率e =ca=23-1=3+1.故选：B2．(2020·河北·张家口市宣化第一中学高三月考)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的上下顶点分别为A ,B ，右顶点为C ，右焦点为F ，延长BF 与AC 交于点P ，若O ,F ,P ,A 四点共圆，则该椭圆的离心率为()A ．2-12B ．3-12C ．5-12D ．5-22【答案】C 【分析】由O ,F ,P ,A 四点共圆，可得AC ⊥BF ，即k AC ⋅k BF =-1，列等式即可求解.【详解】如图，A 0,b ，B 0,-b ，C a ,0 ，F c ,0 ，因为O ,F ,P ,A 四点共圆，∠AOC =π2,所以∠APF =π2，所以AC ⊥BF ，即k AC ⋅k BF =-1，b -00-a ⋅0--b c -0=-1，整理可得b 2=ac ，所以a 2-c 2=ac ，e 2+e -1=0，解得e =-1±52，因为0<e <1，所以e =5-12.故选：C 【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了基本运算能力，属于基础题.二、多选题3．(2021·山东菏泽·二模)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2-y24=1的左、右焦点，在双曲线右支上取一点P ，使得PF 1⊥PF 2，直线PF 2与y 轴交于点Q ，连接QF 1，△PQF 1，的内切圆圆心为I ，则下列结论正确的有()A ．F 1，F 2，P ，I 四点共圆B ．△PQF 1的内切圆半径为1C ．I 为线段OQ 的三等分点D ．PF 1与其中一条渐近线垂直【答案】ABD 【分析】根据双曲线的定义可得|PF 1|=4，|PF 2|=2，由双曲线的对称性可判断A ；由双曲线的定义可判断B ；根据Rt △F 1PF 2∽Rt △QOF 2可判断C 、D .【详解】解析：由勾股定理及双曲线的定义可得：|PF 1|=4，|PF 2|=2对于A ：易知I 在y 轴上，由对称性可得∠GF 1I =∠EF 1I =∠IF 2Q ，则∠F 1IF 2=90°，可知F 1，F 2，P ，I 四点共于以F 1F 2为直径的圆上；A 正确对于B ：r =|PF 1|+|PQ |-|F 1Q |2=|PF 1|+|PQ |-|F 2Q |2=|PF 1|-|PF 2|2=a =1，正确对于C ：Rt △F 1PF 2∽Rt △QOF 2⇒|F 1P ||QO |=|PF 2||OF 2|⇒|QO |=25=2|OI |，故I 为QO 中点，C 错误．D 显然正确．故选：ABD4．(2021·江苏海安·模拟预测)已知双曲线x 24-y 25=1，P x 0,y 0 为双曲线上一点，过P 点的切线为l ，双曲线的左右焦点F 1，F 2到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则()A ．d 1d 2=5B ．直线l 与双曲线渐近线的交点为M ，N ，则M ，N ，F 1，F 2四点共圆C ．该双曲线的共轭双曲线的方程为y 24-x 25=1D ．过F 2的弦长为5的直线有且只有1条【答案】AB 【分析】对于A 中，求得切线l 的方程5x 0x -4y 0y =20，结合点到直线的距离公式，可判定A 正确对于B 中，联立方程组，分别求得M ,N 坐标，结合斜率公式，可判定B 正确，根据共轭双曲线的定义，可判定C 错误；结合实轴长和通经，可判定D 错误.【详解】由题意，双曲线x 24-y 25=1的焦点坐标为F 1-3,0 ，F 23,0 ，对于A 中，由双曲线的性质，可得切线l 的方程为x 0x4-y 0y 5=1，即5x 0x -4y 0y =20，则d 1d 2=-15x 0-205x 02+4y 02⋅15x 0-2025x 20+16y 20=259x 20-16 25x 20+16y 20=259x 20-16 25x 20+5x 20-20 ⋅4=5，所以A 正确对于B 中，联立方程组5x 0x -4y 0y =20y =52x，可得M 455x 0-2y 0,105x 0-2y 0，又由5x 0x -4y 0y =20y =-52x，可得N 455x 0+2y 0,-105x 0+2y 0，k MF 1=105x 0-2y 0455x 0-2y 0+3=1045+35x 0-6y 0，k MF 2=105x 0-2y 0455x 0-2y 0-3=1045-35x 0+6y 0，tan ∠F 1MF 2=1045-35x 0+6y 0-1045+35x 0-6y 01+10045+35x 0-6y 0 45-35x 0+6y 0=605x 0-2y 0 180-35x 0-6y 0 2，k NF 1=-105x 0+2y 0455x 0+2y 0+3=-1045+35x 0+6y 0，k NF 2=-105x 0+2y 0455x 0+2y 0-3=-1045-35x 0-6y 0则tan ∠F 1NF 2=-1045+35x 0+6y 0+1045-35x 0-6y 01+10045 2-35x 0+6y 02=605x 0+2y 0 180-35x 0+6y 0 2tan ∠F 1MF 2+tan ∠F 1NF 2=605x 0-2y 0 180-35x 0+6y 0 2 +605x 0+2y 0 180-35x 0-6y 0 180-35x 0-6y 0 2 180-35x 0+6y 0 2=605x 0-2y 0 180-95x 0+2y 0 2 +5x 0+2y 0 180-95x 0-2y 0 2 =5405x 0-2y 0 20-5x 0+2y 0 2 +5x 0+2y 0 20-5x 0-2y 0 2=540205x 0-40y 0-5x 20-4y 20 5x 0+2y 0 +205x 0+40y 0-5x 20-4y 20 5x 0-2y 0 =540405x 0-205x 0+2y 0-205x 0-2y 0 =0，∴tan ∠F 1MF 2+tan ∠F 2NF 2=0，∠F 1MF 2+∠F 2NF 2=180°，∴M ，N ，F 1，F 2四点共圆，B 正确.对于C中，双曲线x24-y25=1的共轭双曲线为y25-x24=1，所以C错误对于D中，由双曲线x24-y25=1，可得a=2,b=5，则c=a2+b2=3，可得2a=4<5，且通经长2b2a=5，所以过F2的弦长为5的直线有3条，所以D错误.故选：AB.【点睛】方法点拨：联立方程组，求得点M455x0-2y0,105x0-2y0，N455x0+2y0,-105x0+2y0，结合斜率公式和倾斜角的定义，判定得到四点共面是解答的关键.三、双空题5．(2021·全国·模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=4x上不同的三点A(1,2)，B x1,y1，C x2,y2，满足AB⊥BC，y1y2≠0，且O，A，B，C四点共圆，则直线BC的方程是___________；四边形OABC的面积为___________．【答案】y=-2x+2490【分析】结合AB⊥BC，O,A,B,C四点共圆，由k OA⋅k OC=-1求得y2，进而求得C的坐标，由k AB⋅k BC=-1求得y1，进而求得B点坐标.由B,C的坐标求得直线BC的方程.求得OA,OC,AB,BC，由此求得四边形OABC的面积.【详解】依题意有∠AOC=∠ABC=π2，则k OA⋅k OC=2y2x2=2y2y224=8y2=-1，得y2=-8,x2=y224=16，又有k AB=y1-2x1-1=4y1+2，k BC=y1-y2x1-x2=4y1+y2=4y1-8，所以4y1+2⋅4y1-8=-1，解得y1=6或y1=0(舍)，x1=y214=9.故可知B(9,6)，C(16,-8)，则有直线BC的方程为y-6=-8-616-9x-9，即y=-2x+24；易知OA=5，OC=85，AB=45，BC=75，所以S四边形OABC=12(OA×OC+AB×BC)=90．故答案为：y=-2x+24；90四、填空题6．(2021·广西·模拟预测(理))过F a 2+b 2,0 作与双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0的两条渐近线平行的直线，分别交两渐近线于A 、B 两点，若OAFB 四点共圆(为坐标原点)，则双曲线的离心率为______．【答案】2【分析】联立OA 直线、与FA 直线，求出A 点的坐标，联立OB 直线、与FB 直线，求出B 点的坐标，观察坐标可知，四边形OAFB 为菱形，其外接圆圆心在AB 、OF 的交点处，再结合OA ⋅OB 的数量积为0，即可求解．【详解】解：由题意可得F c ,0 ，∵直线OA 、OB 都平行于渐近线，∴可设直线OA 的方程为y =b a x ，直线OB 的方程为y =-bax ，∴过点F 平行与OA 的直线FB 的方程为y =ba x -c ，过点F 平行与OB 的直线FA 的方程为y =-bax -c ，分别联立方程y =b a x y =-b a x -c ，y =-b a xy =b ax -c，解得A c 2,bc 2a ，B c 2,-bc2a ，即线段AB 与OF 互相垂直平分，则四边形OAFB 为菱形，其外接圆圆心在AB 、OF 的交点处，∴OA ⊥AF ，则OA ⋅AF =c 24-b 2⋅c 24a 2=0即a =b ，∵c 2=a 2+b 2=2a 2，c =2a ，∴双曲线的离心率e =c a =2aa=2，故答案为：2．7．(2021·浙江·高二单元测试)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l :x +2y =4与x 轴交于A 点，直线m :kx +y -1=0与y 轴及直线l 分别交于B 点，C 点，且A ，B ，C ，O 四点共圆，则此圆的标准方程是__________.【答案】(x -2)2+y -122=174【分析】由题意得AB 为直径，且直线l 与m 垂直故k =-2，得B (0,1)所以圆心与半径可求，则圆方程易得.【详解】由题意A ，B ，C ，O 四点共圆且OA ⊥OB ，所以CB ⊥CA ，则直线l 与m 垂直故k =-2，又B (0,1)，A 4,0此圆的圆心为2,12 ，半径为r =12AB =172，所以圆的标准方程为(x -2)2+y -12 2=174.故答案为：(x -2)2+y -12 2=174五、解答题8．(2021·浙江省东阳市第二高级中学高二期中)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b > 的焦距为2，O 为坐标原点，F 为右焦点，点E 1,32在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l 的方程为x =4，AB 是椭圆上与坐标轴不平行的一条弦，M 为弦的中点，直线MO 交l 于点P ，过点O 与AB 平行的直线交/于点Q ，直线PF 交直线OQ 于点R ，直线QF 交直线MO 于点S ．①证明：O ，S ，F ，R 四点共圆；②记△QRF 的面积为S 1，△QSO 的面积为S 2，求S 1S 2的取值范围．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)①证明见解析，②916,1.【分析】(1)设椭圆的左焦点为F，利用2a =EF+EF 求解即可；(2)①设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，M x 0,y 0 ，直线AB 的斜率为k ，由点差法可得直线MO 的斜率为-34k，然后根据斜率可证明PR ⊥OQ 、QS ⊥OP ，即可得证；②由①可知：△QRF ~△QSO ，所以S 1S 2=RF 2SO2，然后可算出RF 2=k 21+k 2，SO 2=16k 29+16k 2，然后S 1S 2=RF 2SO2=9+16k 2161+k 2 =11616-71+k 2 ，即可求得答案.(1)设椭圆的左焦点为F，由题意可知F-1,0 ，F 1,0 根据定义，可求得2a =EF+EF =4，∴a =2，∴b =3，∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1(2)①设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，M x 0,y 0 ，直线AB 的斜率为k ，则有x 214+y 213=1x 224+y 223=1，作差得：x 21-x 224+y 21-y 223=0两边同除x 1-x 2，可得：x 04+y 03⋅k =0，即k ⋅y 0x 0=-34，所以直线MO 的斜率为-34k ，MO 的方程为y =-34kx 所以P 4,-3k ，所以直线PF 的斜率为-1k ，因为k ⋅-1k=-1，所以PR ⊥OQ由OQ ⎳AB 可求得Q 4,4k ，所以直线QF 的斜率为4k3，因为-34k ⋅4k3=-1，所以QS ⊥OP 综上，O ，S ，F ，R 四点共圆，OF 为圆的一条直径.②由①可知：△QRF ~△QSO ，所以S 1S 2=RF 2SO 2，由于直线PF 的方程为x +ky -1=0，直线OP 的方程为3x +4y =0，由垂径定理可知，RF 2=4⋅12 2-12-1 1+k 2 2=k 21+k 2，SO 2=4⋅12 2-329+16k 2 2=16k 29+16k 2，又因为k ≠0，所以S 1S 2=RF 2SO2=9+16k 2161+k 2 =11616-71+k 2 ∈916,1 ，综上，S 1S 2的取值范围为916,1 .9．(2021·吉林·梅河口市第五中学高二月考)已知双曲线C ：2x 2-y 2=2与点P 1,2 ．(1)是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ；(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，证明：A 、B 、C 、D 四点共圆．【答案】(1)存在；(2)证明见解析.【分析】(1)利用点差法求解；(2)利用点差法和弦长公式求出相关线段的长度，再利用距离公式证明线段相等，可求证得四点共圆.【详解】解：(1)双曲线的标准方程为x 2-y 22=1，∴a 2=1，b 2=2．设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，x 21-y 212=1，x 22-y 222=1两式相减得y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1+y 2x 1+x 2=b 2a 2，即k AB ⋅21=b 2a2得：k ⋅2=2，∴k =1．∴存在这样的弦．这时直线l 的方程为y =x +1．(2)设CD 直线方程为x +y +m =0，则点P 1,2 在直线CD 上．则m =-3，直线CD 的方程为x +y -3=0，设C x 3,y 3 ，D x 4,y 4 ，CD 的中点为Q x 0,y 0 ，x 23-y 232=1，x 24-y 242=1两式相减得k CD ⋅y 0x 0=b 2a2，则-1⋅y 0x 0=2，则y 0=-2x 0又因为Q x 0,y 0 在直线CD 上有x 0+y 0-3=0，解得Q -3,6 ，x -y +1=02x 2-y 2=2 ，解得A -1,0 ，B 3,4 ，x +y -3=02x 2-y 2=2，整理得x 2+6x -11=0，则x 3+x 4=-6x 3⋅x 4=-11 则CD =1+k 2x 3-x 4 =410由距离公式得QA =QB =QC =QD =210所以A 、B 、C 、D 四点共圆．10．(2021·福建福州·模拟预测)已知斜率为k 的直线交椭圆3x 2+y 2=λ(λ>0)于A ，B 两点，AB 的垂直平分线与椭圆交于C ，D 两点，点N 1,y 0 是线段AB 的中点．(1)若y 0=3，求直线AB 的方程以及λ的取值范围；(2)不管λ怎么变化，都有A ，B ，C ，D 四点共圆，求y 0的取值范围．【答案】(1)y =-x +4，λ>12；(2)-3,3 ；【分析】(1)当y 0=3时，写出直线AB 方程，联立韦达定理，根据点N 1,y 0 的横坐标求出直线AB 的斜率，进而写出直线方程，根据判别式求出λ的取值范围；(2)若A ，B ，C ，D 四点共圆，则有CD22=d 2+AB22成立，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式及点到直线的距离公式表示出来，因为不管λ怎么变化，式子恒成立，所以可以求得k 2=1，进而求得y 0的取值范围.【详解】(1)因为直线AB 过点N 1,3 ，所以直线AB 方程为：y =k (x -1)+3，联立椭圆方程3x 2+y 2=λ(λ>0)得到：(3+k 2)x 2+2k (3-k )x +(3-k )2-λ=0，设点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ,由韦达定理可知：x 1+x 2=2k (k -3)3+k 2=2，解得k =-1，所以直线AB 方程为：y =-1×(x -1)+3即y =-x +4，将k =-1代入方程(3+k 2)x 2+2k (3-k )x +(3-k )2-λ=0，得到4x 2-8x +16-λ=0，则Δ=-8 2-4×4×(16-λ)>0，解得λ>12，所以λ的取值范围为λ>12.(2)设直线AB 方程y =k (x -1)+y 0，联立椭圆方程3x 2+y 2=λ(λ>0)得到：(3+k 2)x 2+2k (y 0-k )x +(y 0-k )2-λ=0，由韦达定理可知：x 1+x 2=2k (k -y 0)3+k 2=2，即-ky 0=3，x 1x 2=(y 0-k )2-λ3+k 2，则AB =1+k 2x 1-x 2 =1+k 2(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+k 2×2k (k -y 0)3+k 2 2-4(y 0-k )2-λ 3+k 2=1+k 23+k2×2k (k -y 0)2-4(3+k 2)(y 0-k )2-λ=21+k 23+k 2×-3(y 0-k )2+3+k 2 λ=21+k 23+k 2×-3-3k -k 2+3+k 2 λ=21+k 23+k 2×λ-3-9k 2，所以CD =21+-1k 23+-1k2×-3y 0+1k 2+3+-1k 2 λ=21+k 23k 2+1×-12+λ(1+3k 2)，CD 中点P 坐标等于x 3=-1k -1k -y 0 3+-1k2=1+ky 03k 2+1=-23k 2+1，点P 到AB 距离等于d =1+-1k 21--23k 2+1=1+k 2k 2×3(1+k 2)1+3k 2，因为A ，B ，C ，D 四点共圆等价于CD 2 2=d 2+AB 22,即1+k 23k 2+1×-12+λ(1+3k 2)2=1+k 2k 2×3(1+k 2)1+3k 22+1+k 23+k2×λ-3-9k 22整理得1+k 23k 2+1 2×-12+λ(1+3k 2) =1+k 2k 2×9(1+k 2)21+3k 22+1+k 23+k 2×λ-3-9k 2 ，即不管λ怎么变化，都有上式成立，则1+k 23k 2+1=1+k 23+k2，解得k 2=1，代入方程(3+k 2)x 2+2k (y 0-k )x +(y 0-k )2-λ=0，使得Δ=4k 2(y 0-k )2-4(3+k 2)((y 0-k )2-λ)>0，解得λ>12，满足题意所以y 0的取值范围为：-3,3 .【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．11．(2021·重庆·高二期末)设动点P 与定点F 3,0 的距离和P 到定直线l :x =433的距离的比是32.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设动点P 的轨迹为曲线C ，不过原点O 且斜率为12的直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与曲线C 交于C ,D 两点，证明：A ，B ，C ，D 四点共圆.【答案】(1)x 24+y 2=1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据题意列出关系式并整理化简即可；(2)联立直线与椭圆方程，分别求解MA ⋅MB ,MC ⋅MD ，最后证明两者相等即可.【详解】解：(1)设P (x ,y )，因为动点P 与定点F 3,0 的距离和P 到定直线l :x =433的距离的比是32，所以(x -3)2+y 2x -433=32，整理化简得x 24+y 2=1.所以动点P 的轨迹方程为：x 24+y 2=1.(2)设直线l 的方程为y =12x +m m ≠0 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由方程组x 24+y 2=1,y =12x +m ,得x 2+2mx +2m 2-2=0，①方程①的判别式为Δ=42-m 2，由Δ>0，即2-m 2>0，解得-2<m <2.由①得x 1+x 2=-2m ，x 1x 2=2m 2-2.所以M 点坐标为-m ,m 2 ，直线OM 方程为y =-12x ，由方程组x 24+y 2=1,y =-12x ,得C -2,22 ，D 2,-22.所以MC ⋅MD =52-m +2 ⋅522+m =542-m 2.又MA ⋅MB =14AB 2=14x 1-x 2 2+y 1-y 2 2=516x 1+x 2 2-4x 1x 2 =5164m 2-42m 2-2 =542-m 2 .所以MA ⋅MB =MC ⋅MD .所以A ，B ，C ，D 四点共圆.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．12．(2021·北京·中央民族大学附属中学三模)已知椭圆的两焦点分别为F 1-1,0 、F 21,0 ，椭圆上的动点M 满足MF 1 +MF 2 =2F 1F 2 ，A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，O 为坐标原点.(1)求椭圆的方程及离心率；(2)若直线l :x =6与AM 交于点P ，l 与x 轴交于点H ，OP 与BM 的交点为S ，求证：B 、S 、P 、H 四点共圆.【答案】(1)椭圆的方程为x 24+y 23=1，离心率为12；(2)证明见解析.【分析】(1)根据椭圆的定义求出a 的值，结合已知条件可得c 的值，进而可求得b 的值，可得出椭圆的方程及其离心率；(2)计算得出k AM ⋅k BM =-34，可设直线AM 的方程为y =k x +2 k ≠0 ，与直线l 的方程联立，求出点P 的坐标，利用斜率关系得出OP ⊥BM ，由此可证得结论成立.【详解】(1)由椭圆的定义可得2a =MF 1 +MF 2 =2F 1F 2 =4c =4，∴a =2，则b =a 2-c 2=3，所以，椭圆的方程为x 24+y 23=1，该椭圆的离心率为e =c a =12；(2)设点M x 0,y 0 ，则x 204+y 203=1，则k AM =y 0x 0+2，k BM =y 0x 0-2，所以，k AM ⋅k BM =y 20x 20-4=y 204-43y 20-4=-34，设直线AM 的方程为y =k x +2 k ≠0 ，联立y =k x +2 x =6，可得x =6y =8k ，即点P 6,8k ，k OP =8k 6=4k3，而k BM =-34k AM =-34k，所以，k OP k BM =-1，则∠BSP =90°，易知∠BHP =90°，所以，B 、S 、P 、H 四点共圆.【点睛】关键点点睛：本题考查四点共圆的证明，一般转化为证明四边形的对角互补，本题中注意到13．(2021·上海黄浦·三模)已知直线l :y =x +m 交抛物线C :y 2=4x 于A ､B 两点.(1)设直线l 与x 轴的交点为T ，若AT =2TB，求实数m 的值；(2)若点M ､N 在抛物线C 上，且关于直线l 对称，求证：A ､B ､M ､N 四点共圆：(3)记F 为抛物线C 的焦点，过抛物线C 上的点P ､Q 作准线的垂线，垂足分别为点U ､V ，若△UVF 的面积是△PQF 的面积的两倍，求线段PQ 中点的轨迹方程.【答案】(1)m =-8；(2)证明见解析；(3)y 2=2x -2 或y 2=2x x ≠0 .【分析】(1)联立直线l :y =x +m 与抛物线C :y 2=4x ，韦达定理得到y 1+y 2=4,y 1y 2=4m ，再利用AT =2TB 化简得到4+y 2=0，从而求出y 1=8，最后带回韦达定理求出实数m 的值；(2)通过证明MA ⋅MB=0得到MA ⊥MB ，同理NA ⊥NB ，于是点M ,N 在以AB 为直径的圆上，即A ,B ,M ,N 四点共圆；(3)根据△UVF 的面积是△PQF 的面积的两倍求得直线PQ 与x 轴的交点为D 0,0 或D 2,0 ，再根据直接法求出线段PQ 中点的轨迹方程，中间注意舍去不满足题意的点.【详解】解：(1)由y =x +m ,y 2=4x ,得y 2-4y +4m =0.设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=4,y 1y 2=4m .因为直线l 与C 相交，所以Δ=16-16m >0，得m <1.由AT =2TB ，得y 1+2y 2=0，所以4+y 2=0，解得y 2=-4，从而y 1=8，因为y 1y 2=4m ，所以4m =-32，故m =-8.(2)设M x 3,y 3 ,N x 4,y 4 ，因为M ,N 两点关于直线y =x +m 对称，则y 4-y 3x 4-x 3=y 4-y 3y 424-y 324=4y 4+y 3=-1，故y 3+y 4=-4.又y 4+y 32=x 4+x 32+m ,于是-2=x 4+x 32+m ，即x 4=-4-2m -x 3.由点N 在抛物线上，有-4-y 3 2=4-4-2m -x 3 .因为y 23=4x 3，所以y 23+4y 3+16+4m =0，于是MA ⋅MB=x 1-x 3 x 2-x 3 +y 1-y 3 y 2-y 3 =y 214-y 234 y 224-y 234+y 1-y 3 y 2-y 3=y 1-y 3 y 2-y 3 16y 1+y 3 y 2+y 3 +16 =y 1-y 3 y 2-y 3 16y 1y 2+y 3y 1+y 2 +y 23+16 =y 1-y 3 y 2-y 3 164m +4y 3+y 23+16 =0因此MA ⊥MB ，同理NA ⊥NB ，于是点M ,N 在以AB 为直径的圆上，即A ,B ,M ,N 四点共圆.(3)易知F 1,0 .设P p 2,2p ,Q q 2,2q ，则U -1,2p ,V -1,2q .设直线PQ 与x 轴的交点为D x 1,0 ，则S △PQF =122p -2q FD = p -q 1-x 1 ,S △UVF =12UV ∥1--1 =2p -q 由题设S △UVF =2S △PQF ，可得1-x 1 =1，所以x 1=0或x 1=2.设线段PQ 的中点为R x ,y ，有当x 1=2时，当PQ 与x 轴不垂直时，由k PQ =k DR 可得2q -p q 2-p2=yx -2x ≠2 ，即2q +p =y x -2x ≠2 .而y =2p +2q 2=p +q ，所以y 2=2x -2 x ≠2 .同理，当x 1=0时，y 2=2x x ≠0 .当PQ 与x 轴垂直时，R 与D 2,0 重合.符合y 2=2x -2 .综上，线段PQ 的中点的轨迹方程y 2=2x -2 或y 2=2x x ≠0 .【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的中点或中点弦问题，一般就是点差法，斜率公式，中点坐标公式求解问题；(3)验证四点共圆是要找直径，问题可转化成边与边垂直，不管用向量还是用斜率都可以解决.14．(2021·四川泸州·三模(理))从抛物线y 2=4x 上各点向x 轴作垂线段，记垂线段中点的轨迹为曲线P ．(1)求曲线P 的方程，并说明曲线P 是什么曲线；(2)过点M 2,0 的直线l 交曲线P 于两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交曲线P 于两点C 、D ，探究是否存在直线l 使A 、B 、C 、D 四点共圆？若能，请求出圆的方程；若不能，请说明理由．【答案】(1)曲线P 的方程为y 2=x ，曲线P 是焦点为14,0 的抛物线；(2)存在；圆N 的方程为x -722+y +12 2=132或x -72 2+y -12 2=132．【分析】(1)设抛物线y 2=x 上的任意点为S x 0,y 0 ，垂线段的中点为x ,y ，根据中点坐标公式得出x =x 0y =y 02，代入等式y 20=4x 0化简可得出曲线P 的方程，进而可得出曲线P 的形状；(2)设直线l 的方程为x =ty +2，将直线l 的方程与曲线P 的方程联立，列出韦达定理，求出AB ，求出线段AB 的中点的坐标，进一步求出线段AB 的中垂线CD 的方程，求出CD ，根据四点共圆结合垂径定理可得出关于t 的等式，求出t 的值，进一步可求得圆的方程，由此可得出结论.【详解】(1)设抛物线y 2=x 上的任意点为S x 0,y 0 ，垂线段的中点为x ,y ，故x =x 0y =y 02，则x 0=x y 0=2y ，代入y 20=4x 0得2y 2=4x ，得曲线P 的方程为y 2=x ，所以曲线P 是焦点为14,0 的抛物线；(2)若直线l 与x 轴重合，则直线l 与曲线P 只有一个交点，不合乎题意.设直线l 的方程为x =ty +2，根据题意知t ≠0，设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，联立y 2=x x =ty +2 ，得y 2-ty -2=0，Δ=t 2+8>0，则y 1+y 2=t ，y 1⋅y 2=-2，则AB =1+t 2⋅y 1-y 2 =1+t 2y 1+y 2 2-4y 1y 2=t 2+1 t 2+8 ，且线段AB 中点的纵坐标为y 1+y 22=t 2，即x 1+x 22=t ⋅y 1+y 22+2=t 22+2，所以线段AB 中点为M t 22+2,t2，因为直线CD 为线段AB 的垂直平分线，可设直线CD 的方程为x =-1ty +m ，则t 22+2=-1t ×t 2 +m ，故m =t 2+52，联立y 2=xx =-1t y +t 2+52，得2ty 2+2y -t t 2+5 =0，设C x 3,y 3 、D x 4,y 4 ，则y 3+y 4=-1t ，y 3⋅y 4=-12t 2+5 ，故CD =1+1t 2y 3-y 4 =1+1t 2y 3+y 4 2-4y 3y 4=1+1t 2 1t 2+2t 2+10 ，线段CD 中点为N 12t2+t 2+52,-12t ，假设A 、B 、C 、D 四点共圆，则弦AB 的中垂线与弦CD 中垂线的交点必为圆心，因为CD 为线段AB 的中垂线，则可知弦CD 的中点N 必为圆心，则AN =12CD ，在Rt △AMN 中，AN 2=AM 2+MN 2，所以12CD 2=AM 2+MN 2，则141+1t 2 1t 2+2t 2+10 =14t 2+1 t 2+8 +12t2+12 2+t 2+12t 2，故t 4+8t 2-1-8t 2=0，即t 6+8t 4-t 2-8t 2=t 2-1 t 4+9t 2+8 t 2=0，解得t 2=1，即t =±1，所以存在直线l ，使A 、B 、C 、D 四点共圆，且圆心为弦CD 的中点N ，圆N 的方程为x -72 2+y +12 2=132或x -72 2+y -12 2=132．【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：(1)直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；(2)定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；(3)相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标x 0、y 0，然后代入点P 的坐标x 0,y 0 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；(4)参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；(5)交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.15．(2021·四川泸州·三模(文))已知抛物线P ：y 2=2px (p >0)上的点34,a到其焦点的距离为1．(Ⅰ)求p 和a 的值；(Ⅱ)求直线l ：y =x +m 交抛物线P 于两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交抛物线P 于两点C 、D ，求证：A 、B 、C 、D 四点共圆．【答案】(Ⅰ)p =12，a =±32；(Ⅱ)证明见解析.【分析】(Ⅰ)根据抛物线的定义可得点34,a到其焦点的距离等于该点到准线距离，即可求出p ，从而得到抛物线方程，再计算出参数a 的值；(Ⅱ)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可求出线段AB 的中点M 的坐标，因为直线CD 为线段AB 的垂直平分线，直线CD 的方程为y =-x +1-m ，设C x 3,y 3 ，D x 4,y 4 ，求出线段CD 的中点坐标，再利用勾股定理计算可得；【详解】解：(Ⅰ)y 2=2px 的准线为x =-p2，因为点34,a到其焦点的距离等于该点到准线距离，所以p 2+34=1，故p =12，即y 2=x ，又34,a 在y 2=x 上，所以a =±32；(Ⅱ)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立y 2=x x =x +m ，得y 2-y +m =0，则y 1+y 2=1，y 1⋅y 2=m ，且1-4m >0，即m <14，则AB =1+12y 1-y 2 =2-8m ，且线段AB 中点的纵坐标为y 1+y 22=12，则x =12-m ，所以线段AB 中点为M 12-m ,12，因为直线CD 为线段AB 的垂直平分线，直线CD 的方程为y =-x +1-m ，联立y 2=x y =-x +1-m ，得y 2+y +m -1=0，设C x 3,y 3 ，D x 4,y 4 ，则y 3+y 4=-1，y 3⋅y 4=m -1故CD =1+112y 3-y 4 =10-8m ，线段CD 中点为N 32-m ,-12 ，因为12CD 2=1410-8m =5-4m2，AN 2=AM 2+MN 2=122-8m 2+2=5-4m 2，所以AN =12CD ，所以点A 在以CD 为直径的圆上，同理点B 在以CD 为直径的圆上，所以A 、B 、C 、D 四点共圆．【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |=x 1+x 2+p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．16．(2021·江苏·高二单元测试)已知直线l :y =x +m 交抛物线C :y 2=4x 于A ,B 两点．(1)设直线l 与x 轴的交点为T ．若AT =2TB ，求实数m 的值；(2)若点M ,N 在抛物线C 上，且关于直线l 对称，求证：A ,B ,M ,N 四点共圆．【答案】(1)m =-8；(2)证明见解析．【分析】(1)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，直线方程代入抛物线方程后由判别式得m 的范围，由韦达定理得y 1+y 2,y 1y 2，再由向量的数乘可得y 1+2y 2=0，结合韦达定理可得y 1,y 2,m 值；(2)设M x 3,y 3 ,N x 4,y 4 ，由对称性得y 4=-4-y 3，x 4=-4-2m -x 3．再由M ,N 在抛物线上，代入变形得y 3与m 的关系，然后计算MA ⋅MB，得MA ⊥MB ，同理NA ⊥NB ，得证四点共圆．【详解】解：由y =x +m y 2=4x得y 2-4y +4m =0．设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=4,y 1y 2=4m ．因为直线l 与C 相交，所以Δ=16-16m >0,得m <1．(1)由AT =2TB ，得y 1+2y 2=0，所以4+y 2=0，解得y 2=-4,从而y 1=8，因为y 1y 2=4m ,所以4m =-32,解得m =-8．(2)设M x 3,y 3 ,N x 4,y 4 ，因为M ,N 两点关于直线y =x +m 对称，则y 4-y 3x 4-x 3=y 4-y 3y 424-y 324=4y 4+y 3=1解得y 4=-4-y 3．又y 4+y 32=x 4+x 32+m于是-4-y 3+y 32=x 4+x 32+m解得x 4=-4-2m -x 3．又点N 在抛物线上，于是(-4-y 3)2=4(-4-2m -x 3)．因为y 32=4x 3,所以y 32+4y 3+16+4m =0，于是MA ⋅MB=(x 1-x 3)(x 2-x 3)+(y 1-y 3)(y 2-y 3)=y 124-y 324 y 224-y 324(y 1-y 3)(y 2-y 3)=(y 1-y 3)y 2-y 3 16y 1-y 3 y 2-y 3 +16=(y 1-y 3)y 2-y 3 16y 1y 2+y 3y 1+y 2 +y 32+16=(y 1-y 3)y 2-y 3 164m +4y 3+y 32+16 =0因此MA ⊥MB ，同理NA ⊥NB ,于是点M ,N 在以AB 为直径的圆上，即A ,B ,M ,N 四点共圆．【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，如设交点坐标为A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理可得y 1+y 2,y 1y 2，再利用向量的线性运算求得y 1,y 2关系，从而可求得y 1,y 2,m 值．17．(2021·全国·高三专题练习(理))已知抛物线E :y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，O 为坐标原点，过F 的直线m 与抛物线E 交于A 、B 两点，过F 且与直线m 垂直的直线n 与准线l 交于点M ．(1)若直线m 的斜率为3，求|AF ||BF |的值；(2)设AB 的中点为N ，若O 、M 、N 、F 四点共圆，求直线m 的方程．【答案】(1)|AF ||BF |=3或|AF ||BF |=13；(2)y =±2(x -1)．【分析】(1)由抛物线的定义建立方程即可.(2)设直线m 的方程为x =ty +1，用t 表示M ,N 坐标，再结合条件得到OM ⋅ON=0，建立关于t 的方程即可获解.【详解】(1)设|AF ||BF |=λ，当λ>1时，设|BF |=k >0，则|AF |=λk ，∵直线m 的斜率为3，∴直线m 的倾斜角为60°，由抛物线的定义，有AB ⋅cos60°=AF +BF ⋅cos60°=λk +k ×12=λk -k ，∴λ+12=λ-1，解得：λ=3，若0<λ<1时，同理可得：λ=13，∴|AF ||BF |=3或|AF ||BF |=13．(2)设直线m 的方程为x =ty +1，代入y 2=4x ，得y 2-4ty -4=0．设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4．由y 21=4x 1,y 22=4x 2，得x 1+x 2=y 214+y 224=y 1+y 2 2-2y 1y 24=(4t )2-2×(-4)4=4t 2+2，所以N 2t 2+1,2t ．因为直线m 的斜率为1t，所以直线n 的斜率为-t ，则直线n 的方程为y =-t (x -1)．由x =-1，y =-t (x -1)，解得M (-1,2t )．若O 、M 、N 、F 四点共圆，再结合FN ⊥FM ，得OM ⊥ON ，则OM ⋅ON =-1×2t 2+1 +2t ⋅2t =2t 2-1=0，解得t =±22，所以直线m 的方程为y =±2(x -1)．【点睛】(1)有些题目可以利用抛物线的定义结合几何关系建立方程获解；(2)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.18．(2020·浙江丽水·高三月考)如图，已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ，过点F 的直线交C 于A ，B 两点，以AB 为直径的圆交x 轴于M ，N ，且当AF ⊥x 轴时，|MN |=4．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线AN ，AM 分别交抛物线C 于G ，H (不同于A )，直线AB 交GH 于点P ，且直线AB 的斜率大于0，证明：存在唯一这样的直线AB 使得B ，H ，P ，M 四点共圆．【答案】(1)y 2=4x ；(2)证明见解析.【分析】(1)当AF ⊥x 轴时得A ，B 点坐标及圆的方程，即|MN |=|AB |=2p =4可得答案；(2)设点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，M x 3,0 ，N x 4,0 ，直线AB :x =my +1与抛物线方程联立y 1+y 2、y 1⋅y 2，y 1和x 1+x 2，圆的方程并令y =0，得x 3+x 4，x 3⋅x 4，即B ，H ，P ，M 四点共圆等价于HG ⊥AB ，再证明存在唯一直线AB 满足HG ⊥AB 可得答案.【详解】(1)当AF ⊥x 轴时，Ap 2,p，B p2,-p 故圆的方程为x -p 22+y 2=p 2，即|MN |=|AB |=2p =4，得p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x ；(2)设点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，M x 3,0 ，N x 4,0 ，直线AB :x =my +1，联立y 2=4x x =my +1得：y 2-4my -4=0，Δ=16m 2+1 >0，y 1+y 2=4m ，y 1⋅y 2=-4，所以y 1=4m +4m 2+12=2m +2m 2+1，∴x 1+x 2=m y 1+y 2 +2=4m 2+2，故圆心2m 2+1,2m ，半径r =12|AB |=12m 2+116m 2+1 1=2m 2+1 ，即圆的方程为x -2m 2-1 2+(y -2m )2=4m 2+1 2，令y =0，则x -2m 2-1 2+4m 2=4m 2+1 2，化简得：x 2-4m 2+2 x -3=0，x 3+x 4=4m 2+2，x 3⋅x 4=-3，若B ，H ，P ，M 四点共圆，则∠BPH =∠BMH =900，即B ，H ，P ，M 四点共圆等价于HG ⊥AB ，下证：存在唯一直线AB 满足HG ⊥AB ，设H x 5,y 5 ，B x 6,y 6 ，直线AM :x -x 1=t 1y -y 1 和直线AN :x -x 1=t 2y -y 1 ，联立y 2=4x x -x 1=t 1y -y 1，得：y 2-4t 1y +4t 1y 1-4x 1=0，所以y 1+y 5=4t 1，y 5=4t 1-y 1，同理y 1+y 6=4t 2，y 6=4t 2-y 1，∴k HG =y 6-y 5x 6-x 5=y 6-y 5y 26-y 254=4y 6+y 5=44t 1+t 2 -2y 1，又∵t 1=x 1-x 3y 1，t 2=x 1-x 4y 1，∴k HG =442x 1-x 3-x 4y 1-2y 1=-y 1x 3+x 4=-m +m 2+12m 2+1，又k AB =1m ，得k HG =-m =-m +m 2+12m 2+1，所以2m 3+m =m +m 2+1，即2m 3=m 2+1，4m 6-m 2-1=0，设f (x )=4x 3-x -1，x ∈(0,+∞)，f(x )=12x 2-1，故f x 在0,36 单调递减，36,+∞ 单调递增，又∵f (0)=-1<0，f 36<0，且f (1)=2>0，故存在唯一x ∈(0,+∞)满足f x =0，即存在唯一m ∈(0,+∞)，满足4m 6-m 2-1=0，综上结论得证．【点睛】本题考查了抛物线、圆的几何性质，解题的关键点是证明B ，H ，P ，M 四点共圆和证明存在唯一直线AB 满足HG ⊥AB ，考查了学生分析问题、解决问题及推理能力.19．(2020·广西师范大学附属中学高三月考)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右顶点分别为A ，B ，离心率为63，P 是C 上异于A ，B 的动点.(1)证明：直线AP ，BP 的斜率之积为定值，并求出该定值.(2)设|AB |=23，直线AP ，BP 分别交直线l ：x =3于M ，N 两点，O 为坐标原点，试问：在x 轴上是否存在定点T ，使得O ，M ，N ，T 四点共圆？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析，定值-13；(2)存在，定点T 113,0 .【分析】(1)由题意知A (-a ,0),B (a ,0)，设P (x 0，y 0)，y 0≠0，则x 20a 2+y 20b2=1，然后利用斜率公式求y 0x 0+a ⋅y 0x 0-a =y 20x 20-a 2化简可得结果；(2)由题意先求出椭圆C 的方程为x 23+y 2=1，设直线AP 的方程为y =k (x +3)，则直线BP 的方程为y =-13k (x -3)，直线方程与椭圆方程联立可求出M (3,3k +3k )，N 3,13k -1k ，假设△MNO 的外接圆恒过定点T (t ，0)，t ≠0，然后求出线段MN 的垂直平分线所在直线的方程和线段OT 的垂直平分线所在直线的方程，从而可求出圆心E t 2,3k +3k +13k-1k 2，再由|OE |=|ME |，可求出t 的值，进而得O ，M ，N ，T 四点共圆【详解】(1)由题意知A (-a ,0),B (a ,0)，设P (x 0，y 0)，y 0≠0，则x 20a 2+y 20b2=1，所以直线AP 与BP 的斜率之积y 0x 0+a ⋅y 0x 0-a =y 20x 20-a 2=b 21-x 20a2x 20-a2=-b2a 2=-a 2-c 2a2=63 2-1=-13，即直线AP ，BP 的斜率之积为定值-13.(2)存在.理由如下：由题意知2a =23，得a =3.因为c a =63，所以c =2，所以b 2=1，所以椭圆C 的方程为x 23+y 2=1.设直线AP 的方程为y =k (x +3)，则直线BP 的方程为y =-13k(x -3).联立y =k (x +3),x =3,可得M (3,3k +3k )，同理可得N 3,13k-1k .假设△MNO 的外接圆恒过定点T (t ，0)，t ≠0，因为线段MN 的垂直平分线所在直线的方程为y =3k +3k +13k-1k 2，线段OT 的垂直平分线所在直线的方程为x =t 2，所以圆心E t 2,3k +3k +13k-1k 2.又|OE |=|ME |，所以t 22+3k +3k +13k -1k 22=t 2-32+3k +3k +13k -1k 2-3k -3k2，解得t =113.所以存在定点T 113,0 ，使得O ，M ，N ，T 四点共圆.【点睛】此题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定点问题，考查计算能力，属于中档题20．(2020·甘肃·天水市第一中学二模(文))在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线E :y 2=2px p >0 的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上E 上一点，且点P 的横坐标为2，PF =3.(1)求抛物线E 的方程；(2)过点F 的直线m 与抛物线E 交于A 、B 两点，过点F 且与直线m 垂直的直线n 与准线l 交于点M ，设AB 的中点为N ，若O 、MN 、F 四点共圆，求直线m 的方程.【答案】(1)y 2=4x (2)y =±2x -1 【分析】(1)由抛物线的定义可得PF =2+p2，即可求出p ，从而得到抛物线方程；(2)设直线m 的方程为x =ty +1，代入y 2=4x ，得y 2-4ty -4=0.设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，列出韦达定理，表示出中点N 的坐标，若O 、M 、N 、F 四点共圆，再结合FN ⊥FM ，得OM ⊥ON ，则OM ⋅ON =0即可求出参数t ，从而得解；【详解】解：(1)由抛物线定义，得PF =2+p2=3，解得p =2，所以抛物线E 的方程为y 2=4x .(2)设直线m 的方程为x =ty +1，代入y 2=4x ，得y 2-4ty -4=0.设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=4t ，y 1y 2=-4.由y 21=4x 1，y 22=4x 2，得x 1+x 2=y 214+y 224=y 1+y 2 2-2y 1y 24=4t 2-2×-4 4=4t 2+2，所以N 2t 2+1,2t .因为直线m 的斜率为1t，所以直线n 的斜率为-t ，则直线n 的方程为y =-t x -1 .由x =-1,y =-t x -1 , 解得M -1,2t .若O 、M 、N 、F 四点共圆，再结合FN ⊥FM ，得OM ⊥ON ，则OM ⋅ON =-1×2t 2+1 +2t ⋅2t =2t 2-1=0，解得t =±22，所以直线m 的方程为y =±2x -1 .【点睛】本题考查抛物线的定义及性质的应用，直线与抛物线综合问题，属于中档题.21．(2020·江西师大附中三模(理))已知椭圆C :x 24+y 2=1上三点A 、M 、B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO ．(1)若点B 是椭圆C 的左顶点，求点M 的坐标；(2)若A 、M 、B 、O 四点共圆，求直线AB 的斜率．【答案】(1)-1,±32；(2)±112．【分析】(1)由已知可得B -2,0 ，由AM ⎳BO ，且AM =BO ，设M x 0,y 0 ，A x 0+2,y 0 代入椭圆方程解方程即可得解；(2)因为A 、M 、B 、O 四点共圆，则平行四边形AMBO 是矩形且OA ⊥OB ，设直线AB 的方程为y =kx+m ，与椭圆方程联立，根据韦达定理代入OA ⋅OB=x 1x 2+y 1y 2=0，化简计算求解即可.【详解】解析：(1)如图所示：因为B -2,0 ，四边形AMBO 为平行四边形，所以AM ⎳BO ，且AM =BO =2．设点M x 0,y 0 ，则A x 0+2,y 0因为点M 、A 在椭圆C 上，所以x 204+y 20=1x 0+2 24+y 20=1 ，解得x 0=-1y 0=±32，所以M -1,±32 ．(2)因为直线AB 的斜率存在，所以设直线AB 的方程为y =kx +m ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ．由y =kx +mx 24+y 2=1消去y 得4k 2+1 x 2+8kmx +4m 2-4=0，则有x 1+x 2=-8km 1+4k 2，x 1x 2=4m 2-41+4k 2．因为平行四边形AMBO ，所以OM =OA +OB =x 1+x 2,y 1+y 2 ．因为x 1+x 2=-8km1+4k 2，所以y 1+y 2=k x 1+x 2 +2m =k ⋅-8km 1+4k 2+2m =2m1+4k 2，所以M -8km 1+4k 2,2m1+4k2 ．因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程化得4m 2=4k 2+1．①因为A 、M 、B 、O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 是矩形，且OA ⊥OB ，所以OA ⋅OB=x 1x 2+y 1y 2=0．因为y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2=m 2-4k 21+4k 2，所以x 1x 2+y 1y 2=4m 2-41+4k 2+m 2-4k 21+4k 2=0，化得5m 2=4k 2+4．②由①②解得k 2=114，m 2=3，此时Δ>0，因此k =±112．所以所求直线AB 的斜率为±112．【点睛】本题主要考查了联立直线与椭圆的方程利用韦达定理列式表达斜率以及垂直的方法进而代入求解的问题，考查计算能力和逻辑推理能力，属于难题.22．(2020·江苏南京·三模)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点(-2,0)和1,32,椭圆C 上三点A ,M ,B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO .(1)求椭圆C 的方程；(2)若点B 是椭圆C 左顶点,求点M 的坐标；(3)若A ,M ,B ,O 四点共圆,求直线AB 的斜率.【答案】(1)x 24+y 2=1；(2)M -1,±32 ；(3)±112【分析】(1)将点-2,0 和1,32 代入椭圆x 2a 2+y 2b 2=1求解即可.(2)根据平行四边形AMBO 可知AM ∥BO ,且AM =BO =2.再设点M (x 0,y 0),则A (x 0+2,y 0),代入椭圆C 求解即可.(3)因为A ,M ,B ,O 四点共圆,所以平行四边形AMBO 是矩形,且OA ⊥OB ,再联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理代入OA ·OB=x 1x 2+y 1y 2=0求解即可.【详解】(1)因为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点-2,0 和1,32 ,所以a =2,1a 2+34b2=1,解得b 2=1,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)因为B 为左顶点,所以B (-2,0).因为四边形AMBO 为平行四边形,所以AM ∥BO ,且AM =BO =2.设点M (x 0,y 0),则A (x 0+2,y 0).因为点M ,A 在椭圆C 上,所以x 204+y 20=1x 0+2 24+y 20=1 解得x 0=-1y 0=±32所以M -1,±32 . (3)因为直线AB 的斜率存在,所以设直线AB 的方程为y =kx +m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由y =kx +m x 24+y 2=1消去y ,得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2-4=0,则有x 1+x 2=-8km 1+4k 2,x 1x 2=4m 2-41+4k 2.因为平行四边形AMBO ,所以OM =OA +OB=(x 1+x 2,y 1+y 2).因为x 1+x 2=-8km 1+4k 2,所以y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2m =k ·-8km 1+4k 2+2m =2m1+4k2,所以M -8km 1+4k 2,2m 1+4k2 .。
解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等一轮复习专题练习(四)带答案新人教版高中数学名师一点通
高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．（汇编福建理2）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．22x +y +2x=0 B ．22x +y +x=0C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．已知椭圆221:12x C y +=和圆222:1C x y +=，椭圆1C 的左顶点和下顶点分别为A ，B ，且F 是椭圆1C 的右焦点.(1) 若点P 是曲线2C 上位于第二象限的一点，且△APF 的面积为12,24+求证：;AP OP ⊥(2) 点M 和N 分别是椭圆1C 和圆2C 上位于y 轴右侧的动点，且直线BN 的斜率是直线BM 斜率的2倍，求证：直线MN 恒过定点.3．以椭圆 22221x y a b+=（a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原点O ，且与该椭圆的右准线交与A ，B 两点，已知△OAB 是正三角形，则该椭圆的离心率是 ▲ ． 评卷人得分三、解答题4．如图，直角三角形ABC 的顶点坐标(2,0)A -，直角顶点(0,22)B -，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点． （1）求BC 边所在直线方程；（2）求三角形ABC 外接圆的方程；（3）若动圆N 过点P 且与ABC ∆的外接圆内切， 求动圆N 的圆心N 所在的曲线方程．5．设A 为椭圆221259x y +=上任一点，B 为圆22(1)1x y -+=上任一点，求AB 的最大值及最小值．O A 1A 2B 1 B 2xy (第176．在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ．设直线11A B 的倾斜角的正弦值为13，圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称．（1）求椭圆E 的离心率；（2）判断直线11A B 与圆C 的位置关系，并说明理由； （3）若圆C 的面积为π，求圆C 的方程．7．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在直线4y x =+上，半径为22的圆C经过坐标原点O ，椭圆()222109x y a a +=>与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。
解析几何-冲刺2022年高考数学大题限时集训(解析版)
专题05解析几何解析几何作为高考数学必考大题，一般包含圆，椭圆。
双曲线，抛物线相关的综合问题。
一般解答题椭圆与抛物线作为重点，双曲线一般考查小题，但是2021年高考新课标中解答题出现了双曲线。
一般出现在20或21题左右，考查内容主要包含直线过定点，求值或者是相应的范围问题，以及定值问题等，对于直线过定点问题可采用齐次化解。
对于求值以及范围问题一般做法均是万能方法韦达定理去转化。
类型一：斜率之和或之积，直线过定点问题方法一：韦达定理方法二：齐次化解决（简单方便）例题1．12,Q Q 为椭圆222212x y b b+=上两个动点，且12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，求D 的轨迹方程.解法一（常规方法）：设111222(,),(,)Q x y Q x y ，00(,)D x y ,设直线12Q Q 方程为y kx m =+，联立222212y kx mx y bb =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简可得:22222222(2)42()0b k b x kmb x b m b +++-=，所以222222212122222222()(2),22b m b b m b k x x y y b k b b k b +-==++因为12OQ OQ ⊥所以2222222222221212222222222()(2)2()2=0222121b m b b m b k m b m b k x x y y b k b b k b k k +---+=+=+++++22232(1)m b k ∴=+*又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++对比于y kx m =+，则00200x k y x y my ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩代入*中，化简可得：2220023x y b +=.解法二（齐次式）：设直线12Q Q 方程为1mx ny +=，联立222222221111022mx ny mx ny x y x y b b bb +=+=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+=+-=⎪⎪⎩⎩22222()02x y mx ny b b +-+=化简可得:22222222202x y m x n y mnxy b b+---=整理成关于,x y ,x y 的齐次式：2222222(22)(12)40b n y m b x mnb xy -+--=，进而两边同时除以2x ，则22222222122212(22)412022m b b n k mnb k m b k k b n ---+-=⇒=-因为12OQ OQ ⊥12OQ OQ ⊥所以121k k =-，222212122m b b n-=--22232()b m n ∴=+*又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++对比于1mx ny +=，则022000220x mx y y n x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩代入*中，化简可得：2220023x y b +=.齐次化方法技巧:例如要证明直线AP 与AQ 斜率之和或者斜率之积为定值，将公共点A 平移到原点，设平移后的直线为mx+ny=1(为什么这样设？因为这样齐次化更加方便)，与圆锥方程联立，一次项乘以mx+ny ，常数项乘以（mx+ny ）²，构造ay ²+bxy+cx ²，然后等式两边同时除以x ²（前面注明x 不等于0），得到，化简为ak ²+bk+c=0，可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，即可得出答案，如果是过定点题目，还需要还原直线，之前如何平移，现在反平移回去。
解析几何第四版习题答案第四章
解析⼏何第四版习题答案第四章第四章柱⾯、锥⾯、旋转曲⾯与⼆次曲⾯§ 4、1柱⾯1、已知柱⾯得准线为:且(1)母线平⾏于轴;(2)母线平⾏于直线,试求这些柱⾯得⽅程。
解:(1)从⽅程中消去,得到:即:此即为要求得柱⾯⽅程。
(2)取准线上⼀点,过且平⾏于直线得直线⽅程为:⽽在准线上,所以上式中消去后得到:此即为要求得柱⾯⽅程。
2⽽在准线上,所以:消去,得到:此即为所求得⽅程。
3、求过三条平⾏直线得圆柱⾯⽅程。
解:过⼜过准线上⼀点,且⽅向为得直线⽅程为:将此式代⼊准线⽅程,并消去得到:此即为所求得圆柱⾯得⽅程。
4、已知柱⾯得准线为,母线得⽅向平⾏于⽮量,试证明柱⾯得⽮量式参数⽅程与坐标式参数⽅程分别为:与式中得为参数。
证明:对柱⾯上任⼀点,过得母线与准线交于点,则,即1、求顶点在原点,准线为得锥⾯⽅程。
解:设为锥⾯上任⼀点,过与得直线为:设其与准线交于,即存在,使,将它们代⼊准线⽅程,并消去参数,得:即:此为所要求得锥⾯⽅程。
2、已知锥⾯得顶点为,准线为,试求它得⽅程。
解:设为要求得锥⾯上任⼀点,它与顶点得连线为:令它与准线交于,即存在,使将它们代⼊准线⽅程,并消去得:此为要求得锥⾯⽅程。
4、求对锥⾯上任⼀点,过与顶点得母线为:令它与准线得交点为,即存在,使,将它们代⼊准线⽅程,并消去得:此即为要求得圆锥⾯得⽅程。
5、求顶点为,轴与平⾯垂直,且经过点得圆锥⾯得⽅程。
解:轴线得⽅程为:过点且垂直于轴得平⾯为:即:该平⾯与轴得交点为,它与得距离为:要求圆锥⾯得准线为:得径⽮为,试证明锥⾯得⽮量式参数⽅程与坐标式参数⽅程分别为: 与式中,为参数。
证明:对锥⾯上任⼀点,令,它与顶点得连线交准线于,即。
,且(顶点不在准线上)即亦即此为锥⾯得⽮量式参数⽅程。
若将⽮量式参数⽅程⽤分量表⽰,即:此为锥⾯得坐标式参数⽅程,为参数。
§ 4、3旋转曲⾯1、求下列旋转曲⾯得⽅程:(1);绕旋转(2);绕旋转(3)绕轴旋转;(4)空间曲线绕轴旋转。
高考数学压轴专题营口备战高考《平面解析几何》专项训练答案
【高中数学】数学高考《平面解析几何》试题含答案一、选择题1．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP →→g 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】 【分析】设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ⋅u u u r u u u r表示成为x 的二次函数，根据二次函数性质可求出其最大值. 【详解】设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r，则 22OP FP x x y ⋅=++u u u r u u u r，因为点P 为椭圆上，所以有：22143x y +=即22334y x =-，所以()222223132244x x y x x x FP x OP =++=⋅++-=++u u u r u u u r又因为22x -≤≤，所以当2x =时，OP FP ⋅u u u r u u u r的最大值为6 故选：C 【点睛】本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题.2．已知抛物线2:6C x y =的焦点为F 直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若AB 中点的纵坐标为5，则||||AF BF +=（ ） A ．8 B ．11 C ．13 D ．16【答案】C 【解析】 【分析】设点A 、B 的坐标，利用线段AB 中点纵坐标公式和抛物线的定义，求得12y y +的值，即可得结果； 【详解】抛物线2:6C x y =中p ＝3，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由抛物线定义可得：|AF |+|BF |＝y 1+ y 2+p ＝y 1+ y 2+3， 又线段AB 中点M 的横坐标为122y y +=5， ∴12y y +＝10， ∴|AF |+|BF |＝13； 故选：C . 【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用及中点坐标公式，是中档题．3．如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）A 2B 3C ．32D 6【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由椭圆与双曲线的定义可知，|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a(其中2a 为双曲线的长轴长)，∴|AF 2|＝a ＋2，|AF 1|＝2－a ，又四边形AF 1BF 2是矩形，∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝32，∴a 2，∴e 326考点：椭圆的几何性质．4．已知椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，直线l ：2x =，点∈A l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若3FA FB =u u u v u u u v，则AF u u u v ＝( )A 2B ．2C 3D ．3【答案】A 【解析】 【分析】设点()2,A n ，()00,B x y ，易知F (1,0)，根据3FA FB =u u u v u u u v，得043x =，013y n =，根据点B 在椭圆上，求得n=1，进而可求得2AF =u u u v【详解】 根据题意作图：设点()2,A n ，()00,B x y ．由椭圆C ：2212x y += ，知22a =，21b =，21c =，即1c =，所以右焦点F (1,0)．由3FA FB =u u u v u u u v，得()()001,31,n x y =-． 所以()0131x =-，且03n y =. 所以043x =，013y n =. 将x 0，y 0代入2212x y +=，得221411233n ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得21n =， 所以()2212112AF n u u u v =-+=+=故选A 【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键.5．已知抛物线x 2＝16y 的焦点为F ，双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|＋|PF 1|的最小值为（ ） A ．5 B ．7C ．9D ．11【答案】C 【解析】 【分析】由题意并结合双曲线的定义可得1222(4)44PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+，然后根据两点间的距离公式可得所求最小值． 【详解】由题意得抛物线216x y =的焦点为()0,4F ，双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为()()123,0,3,0F F -．∵点P 是双曲线右支上一点， ∴124PF PF =+．∴1222(4)44549PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+=+=，当且仅当2,,F P F 三点共线时等号成立，∴1PF PF +的最小值为9． 故选C ． 【点睛】解答本题的关键是认真分析题意，然后结合图形借助数形结合的方法求解．另外在解题中注意利用双曲线的定义将所求问题进行转化，考查分析理解能力和解决问题的能力，属于基础题．6．设D 为椭圆2215y x +=上任意一点，A （0，－2），B （0，2），延长AD 至点P ，使得|PD|＝|BD|，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．x 2＋（y －2）2＝20 B ．x 2＋（y －2）2＝5 C ．x 2＋（y ＋2）2＝20 D ．x 2＋（y ＋2）2＝5 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得PA PD DA DB DA =+=+=，从而得到点P 的轨迹是以点A 为圆心，半径为 【详解】由题意得PA PD DA DB DA =+=+，又点D 为椭圆2215y x +=上任意一点，且()()0,2,0,2A B -为椭圆的两个焦点，∴DB DA +=，∴PA =∴点P 的轨迹是以点A 为圆心，半径为 ∴点P 的轨迹方程为()22220x y ++=． 故选C ． 【点睛】本题考查圆的方程的求法和椭圆的定义，解题的关键是根据椭圆的定义得到PA =然后再根据圆的定义得到所求轨迹，进而求出其方程．考查对基础知识的理解和运用，属于基础题．7．若双曲线上存在四点，使得以这四点为顶点的四边形是菱形，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．B ．C ．)+∞D ．)+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，双曲线与直线y x =±相交且有四个交点，由此得1ba>．结合双曲线的基本量的平方关系和离心率的定义，化简整理即得该双曲线的离心率的取值范围． 【详解】解：不妨设该双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由双曲线的对称性质可知，该四边形为正方形， 所以直线y x =与双曲线有交点， 所以其渐近线与x 轴的夹角大于45︒，即1ba>．离心率e =所以该双曲线的离心率的取值范围是)+∞． 故选：C ． 【点睛】本题考查双曲线的离心率取值范围以及双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．8．设抛物线E ：26y x =的弦AB 过焦点F ，||3||AF BF =，过A ，B 分别作E 的准线的垂线，垂足分别是A '，B '，则四边形AA B B ''的面积等于( ) A．B．C．D．【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程，设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB ，由抛物线的性质可得梯形的上下底之和求出，求出A ，B 的纵坐标之差的绝对值，代入梯形的面积公式即可求出梯形的面积． 【详解】解：由抛物线的方程 可得焦点3(2F ，0)，准线方程：32x =-，由题意可得直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为：32x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线与抛物线的方程：2326x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得：2690y my --=，所以126y y m +=，129y y =-，21212()363x x m y y m +=++=+， 因为||3||AF BF =，所以3AF FB =uu u r uu r，即13(2x -，123)3(2y x -=-，2)y ，可得：123y y =-， 所以可得：2222639y m y -=⎧⎨-=-⎩即213m =， 由抛物线的性质可得： 21233166668223AA BB AB x x m ''+==+++=+=+=g ，12||y y -===由题意可知，四边形AA B B ''为直角梯形，所以1211()||822AA B B S AA BB y y ''''=+-=gg g ， 故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的相交弦长，梯形的面积公式，属于中档题．9．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(2,1)Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A ．(1,14) B ．1(,1)4-C ．(1,2)D ．(1,2)-【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：抛物线24y x =焦点为F （1,0），准线为1x =-，作PQ 垂直于准线，垂足为M 根据抛物线定义： ，PQ PF PQ PM +=+，根据三角形两边距离之和大于第三边，直角三角形斜边大于直角边知：PQ PM +的最小值是点Q 到抛物线准线1x =-的距离；所以点P 纵坐标为1，则横坐标为14,即(1,14)，故选A 考点：抛物线的定义及几何性质的运用.10．已知点P 是椭圆22221(0,0)x y a b xy a b+=>>≠上的动点，1(,0)F c -、2(,0)F c 为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F pF ∠的角平分线上的一点，且F 1M ⊥MP ，则|OM|的取值范围是( ) A ．(0,)c B ．(0,)aC ．(,)b aD ．(,)c a【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】解：如图，延长PF 2，F 1M ，交与N 点，∵PM 是∠F 1PF 2平分线，且F 1M ⊥MP ， ∴|PN|=|PF 1|，M 为F 1F 2中点，连接OM ，∵O 为F 1F 2中点，M 为F 1F 2中点∴|OM|=|F 2N|=||PN|﹣|PF 2||=||PF 1|﹣|PF 2|| ∵在椭圆中，设P 点坐标为（x 0，y 0）则|PF 1|=a+ex 0，|PF 2|=a ﹣ex 0，∴||PF 1|﹣|PF 2||=|a+ex 0+a ﹣ex 0|=|2ex 0|=|ex 0| ∵P 点在椭圆上，∴|x 0|∈（0，a]，又∵当|x 0|=a 时，F 1M ⊥MP 不成立，∴|x 0|∈（0，a ） ∴|OM|∈（0，c ）． 故选A ．11．若函数1()ln (0,0)a a f x x a b b b+=-->>的图象在x ＝1处的切线与圆x 2＋y 2＝1相切，则a ＋b 的最大值是( ) A ．4 B ．2 C ．2 D ． 【答案】D 【解析】()1ln (0,0)a a f x x a b b b+=-->>，所以()'a f x bx ＝－，则f ′(1)＝－ab为切线的斜率， 切点为(1，－1a b+)， 所以切线方程为y ＋1a b +＝－ab(x －1)， 整理得ax ＋by ＋1＝0.22a b+＝1，即a 2＋b 2＝1.由基本不等式得a 2＋b 2＝1≥2ab ， 所以(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝1＋2ab ≤2， 所以a ＋b ≤，即a ＋b 的最大值为.故选D.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000'()()y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．12．已知椭圆22:195x y C +=左右焦点分别为12F F 、，直线):32l y x =+与椭圆C 交于A B 、两点（A 点在x 轴上方），若满足11AF F B λ=u u u v u u u v，则λ的值等于（ ）A ．3B ．3C ．2D 3【答案】C 【解析】由条件可知，直线l 过椭圆的左焦点()12,0F -.由)2232195y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得232108630x x ++=，解得34x =-或218x =-． 设1122(,),(,)A x y B x y ，由A 点在x 轴上方可得12321,48x x =-=-． ∵11AF F Bλ=u u u v u u u v， ∴1122(2,)(2,)x y x y λ---=+, ∴122(2)x x λ--=+． ∴3212()(2)48λ---=-+， 解得2λ=．选C13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，1223F F = ）A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．22196x y +=D ．221129x y +=【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的性质，根据4AB =，1223F F =可得3c =，22 4b a=，求解a ，b 然后推出椭圆方程． 【详解】椭圆2222 10x y a b a b +=>>（）的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上， 12AB F F ⊥于2F ，4AB =，1223F F =，可得3c =，22 4b a=， 222c a b =-，解得3a =，6b =，所以所求椭圆方程为：22196x y +=，故选C ．【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．14．已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线定义和三角形三边关系可知当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，根据圆的性质可知最小值为CP r -；根据抛物线方程和圆的方程可求得CP ，从而得到所求的最值. 【详解】如图所示，利用抛物线的定义知：MP MF =当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，且最小值为1CP r CP -=-Q 抛物线的准线方程：1y =-，()1,4C415CP ∴=+= ()min 514MA MF ∴+=-=本题正确选项：B【点睛】本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.15．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：()()22112x y +++=的周长，则12m n +的最小值为（ ） A ．92 B ．9C ．6D ．3 【答案】D【解析】【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线l 上，可得()123,213m n m n +=∴+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】 把圆2C ：()()22112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=， 又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=. Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴+=. ()112225331212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭()115522333⎛≥+=+⨯= ⎝. 当且仅当2322m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立. 12m n∴+的最小值为3. 故选：D .【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.16．过坐标轴上的点M 且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为M 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】设出直线方程，根据弦长公式，转化为圆心到直线的距离建立等量关系求解.【详解】由直线的斜率为tan 60k ︒==y b =+.圆2240x y y +-=可化为22(2)4x y +-=，圆心为(0,2)，半径为2r =， 则由弦长公式得：圆心(0,2)到直线y b =+的距离为1d ===，即|2|12b -+=，解得0b =，4b =，故直线的方程为y =或4y =+.直线y =过坐标轴上的点(0,0)，直线4y =+过坐标轴上的点()0,4与3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故点M 的个数为3.故选：C.【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，根据弦长公式将弦长问题转化为圆心到直线的距离求解.17．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限），过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 与直线l 交于A 点，且满足AP BP <u u u v u u u v ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，29λμ=，则该椭圆的离心率为（ ）A ．35B ．1213C ．35或1213D ．45【答案】A【解析】 分析：根据向量共线定理及29λμ=，AP BP <u u u v u u u v ，可推出λ，μ的值，再根据过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限），可推出P ，B 两点的坐标，然后求出过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 的方程，即可求得A 点的坐标，从而可得a ，b ，c 三者关系，进而可得椭圆的离心率. 详解：∵A 、P 、B 三点共线，(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v∴1λμ+= 又∵29λμ= ∴1323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∵AP BP <u u u v u u u v ∴2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限） ∴2(,)b P c a ，2(,)b B c a - ∵过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 与直线l 交于A 点∴直线1l 的方程为为1x y a b +=- ∴()(,)a c b A c a+ ∵2133OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ∴222()1()33b a c b b a a a+=⋅+⋅-，即2b a c =+. ∴22224()2a c a ac c -=++，即223520a c ac --=.∴25230e e +-=∵(0,1)e ∈ ∴35e =故选A. 点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．18．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2aC 2aD ．22a 【答案】D【解析】【分析】 设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可.【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，则ABEG 四点共面，且平面1//A BGE 平面1B HI ，又1//B F Q 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，Q 正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，1122HI CD ∴==， 即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是22a ． 故选D ．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.19．已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则PFPA 的最小值是（ ）A ．14B ．12C 2D 3【答案】C【解析】由题意可得，抛物线24x y =的焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-．过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PF PM =，则sin PFPMPAM PA PA ==∠，PAM ∠为锐角．∴当PAM ∠最小时，PF PA 最小，则当PA 和抛物线相切时，PF PA最小． 设切点(2,)P a a ，由214y x =的导数为12y x '=，则PA 的斜率为1222a a a ⋅==. ∴1a =，则(2,1)P . ∴2PM =，22PA = ∴2sin 2PM PAM PA ∠== 故选C ．点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化， 这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.20．已知直线(3)(0)y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点.若5FA FB =，则k 等于（ ）A ．3B ．12C ．23D ．2【答案】B【解析】【分析】由2(3)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，得()22226490k x k x k +-+=，()22464360k k ∆=-->，得213k <，129x x =①，再利用抛物线的定义根据5FA FB =，得到1254x x =+②，从而求得21x =，代入抛物线方程得到(1,2)B ，再代入直线方程求解.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，易知1 0x >，20x >，10y >，20y >，由2(3)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，得()22226490k x k x k +-+=，()22464360k k ∆=-->， 所以213k <，129x x =①. 因为1112p FA x x =+=+，2212p FB x x =+=+，且5FA FB =， 所以1254x x =+②.由①②及20x >得21x =，所以(1,2)B ，代入(3)y k x =+， 得12k =. 故选：B【点睛】 本题考查抛物线的定义，几何性质和直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
新北师大版高中数学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》测试(答案解析)(4)
一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，直线4y kx =+与圆224x y +=交于,A B 两点，且OA OB 0⋅=，则k =（ ）A ．2-或2B ．3-或3C ．5-或5D ．7-或72．已知,x y 满足2240x x y -+=，则2x y -的最大值为( ) A ．25 B ．252+ C ．352+D ．453．已知点，点在圆上运动，为线段的中点，则使△（为坐标原点）为直角三角形的点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．圆22460x y x y +-+=和圆2260x y y +-=交于A B 、两点，则直线AB 的方程是（ ）A ．30x y +=B ．30x y -=C ．390x y --=D ．390x y ++=5．已知双曲线的离心率为，则圆上的动点到双曲线的渐近线的最短距离为 （ ） A ．23 B ．24 C ． D ．6．已知圆截直线所得的弦的长度为，则等于（ ）A ．B ．C ．或D ．或7．点为圆上一点，过的圆的切线为，且与：平行，则与之间的距离是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知点(,)M a b ，(0)ab ≠是圆222:O x y r +=内一点，直线m 是以点M 为中点的弦所在直线，直线n 的方程是2ax by r +=，那么（ ） A ．//m n 且n 与圆O 相离 B ．//m n 且n 与圆O 相交C ．m 与n 重合且n 与圆O 相离D ．m n ⊥且n 与圆O 相交 9．若直线与圆相交与P ，Q 两点，且此圆被分成的两段弧长之比为1：2，则的值为（ ） A ．或B ．C ．或D ．10．已知圆922=+y x 的弦过点)2,1(P ，当弦长最短时，该弦所在直线方程为 （ ）A ．02=-yB ．052=-+y xC ．02=-y xD ．01=-x11．已知斜率为k 的直线l 平分圆22230x y x y +-+=且与曲线2y x = 恰有一个公共点，则满足条件的k 值有（ ）个. A ．1B ．2C ．3D ．012．已知圆：()2212x y +-=，则过点()1,2作该圆的切线方程为（ ） A ．240x y +-=B ．250x y +-=C ．2x =D ．30x y +-=二、填空题13．若实数a ，b ，c 成等差数列，点()P 3,2-在动直线ax by c 0++=上的射影为H ，点()Q 3,3，则线段QH 的最小值为______．14．已知点A （0，-1），B （0，1），以点P （m ，4）为圆心，|PB |为半径作圆Γ，圆Γ在B 处的切线为直线l ，过点A 作圆Γ的一条切线与l 交于点M ，则|MA |+|MB |=______． 15．如图，已知是⊙的切线，为切点.是⊙的一条割线，交⊙于两点，点是弦的中点.若圆心在内部，则的度数为___.16．如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝________.17．如图，点,,A B C 是圆O 上的点,且2,6,120AB BC CAB ==∠=,则AOB ∠对应的劣弧长为______．18．对于任意实数k ，直线(3k ＋2)x －ky －2＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的位置关系是________．19．（几何证明选讲选做题）如图，过圆O 外一点P 分别作圆 的切线和割线交圆于,A B ．且7PB =，C 是圆上一点使得5BC =，BACAPB ∠=∠，则AB =_____.20．已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为．点P 在曲线C上，则点P 到直线的距离的最小值为 ．三、解答题21．已知F (3,0)是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知圆O ：221x y +=，直线:1l mx ny +=. 求当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时，直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为323323x y αα⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（a 为参数）.现以坐标原点O 为极点，Ox 轴为极轴建立极坐标系. （1）设P 为曲线C 上到极点的距离最远的点，求点P 的极坐标； （2）求直线:cos 24l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭被曲线C 所截得的弦长. 23．已知圆()()22:344C x y -+-=，直线l 过点()1,0A . （1）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）若圆D 的半径为3，圆心D 在直线2:20l x y +-=上，且与圆C 内切，求圆D 的方程.24．如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．（Ⅰ）若＝，＝，求的值；（Ⅱ）若EF 2＝FA·FB ，证明：EF ∥CD ． 25．（本小题满分14分）如图，已知过点的光线，经轴上一点反射后的射线过点.（1）求点的坐标；（2）若圆过点且与轴相切于点，求圆的方程.26．已知圆22:450C x y x ++-=.（1）若直线m 过原点且不与y 轴重合，与圆C 交于11(,)A x y ，22(,)B x y ，试求直线1211:()2l y x x x =+-在x 轴上的截距； （2）若斜率为-1的直线n 与圆C （C 为圆心）交于D 、E 两点，求CDE ∆面积的最大值及此时直线n 的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】根据OA OB 0⋅=k . 【详解】OA OB 0⋅=，在Rt OAB ∆中，O 到ABd ===k =，答案为D【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，本题的关键是将直角三角形的边关系转换为点到直线的关系.2．B解析：B 【解析】 【分析】设2x y t -=，则直线20x y t --=与圆有交点，利用圆心到直线的距离不大于半径列不等式求解即可． 【详解】2240x x y -+=可化为22(2)4x y -+=，圆心为()20，,半径为2， 设2x y t -=，则直线20x y t --=与圆有交点，2≤，解得2t 2-≤+B ．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，属中档题．解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用判别式来解答.3．C解析：C 【解析】 【分析】设M（x，y），P（a，b），由于M是AP的中点，点B（6，0），故可由中点坐标公式得到a＝2x﹣6，b＝2y，又P（a，b）为圆x2+y2＝1上一点动点，将a＝2x﹣6，b＝2y代入x2+y2＝1得到M（x，y）点的坐标所满足的方程，整理得点M的轨迹方程，使△（为坐标原点）为直角三角形,讨论分别为的情况即可.【详解】设M（x，y），P（a，b）由B（6，0），M是AP的中点故有a＝2x﹣6，b＝2y又P为圆上一动点，∴（2x﹣6）2+（2y-4）2＝4，整理得（x﹣3）2+＝1．故AP的中点M的轨迹方程是（x﹣3）2+＝1．△（为坐标原点）为直角三角形，若=，以OA为直径的圆的方程为，此时两圆圆心距为 ,故两圆相交，故M有两个；若=，x=4与圆（x﹣3）2+＝1相切,这样的M点有一个;若=，这样的M点不存在，故使△（为坐标原点）为直角三角形的点的个数为3个故选：C.【点睛】本题考查求圆的轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，注意△直角三角形分类要全面. 4．A解析：A【解析】2222460{3060x y x yx yx y x+-+=⇒+=+-=，故选A.5．C解析：C【解析】双曲线的离心率，则，双曲线的渐近线为，圆的圆心坐标，圆心坐标到一条渐近线的距离，故圆上动点到双曲线渐近线的最短距离为.故选. 6．D解析：D【解析】试题分析：圆心到直线的距离为，由圆方程可知圆半径为，根据勾股定理可得，解得或，故选D .考点：圆的方程与性质及点到直线的距离公式.7．B解析：B 【解析】由题意得即，因此两平行直线之间距离为，选B.8．A解析：A 【解析】试题分析：直线m 是以点M 为中点的弦所在直线，所以m PO ⊥，所以m 的斜率为ab-，所以//n m ，圆心到直线n 的距离为222r a b+，因为M 在圆内，所以2ax by r +<，所以222r r a b>+，所以直线n 与圆相离，故选A ．考点：直线与圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系及应用，属于中档试题，对于直线和圆的位置关系分为相交、相离、相切三种情形，常利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断，本题解答中利用直线m 是以点M 为中点的弦所在直线可求得其斜率，进而根据直线n 的方程可判断出两直线平行，表示出点到直线n 的距离，根据点M 在园内判断出,a b 和r 的关系，进而判断长圆心到直线n 的距离大于半径，判断长二者的关系是相离．9．A解析：A 【解析】试题分析：由题易知且圆心到直线的距离等于，所以，解得考点：•点到直线距离公式 直线与圆相交问题10．B解析：B 【解析】试题分析：当弦过圆心时最长，所以直线过(0,0) ，)2,1(P ，由两点式得直线方程是02=-y x当弦与02=-y x 垂直时，弦长最短，由点斜式得直线方程052=-+y x考点：与圆有关的最值问题11．C解析：C 【解析】 【分析】直线平分圆可知，直线经过圆心，从而可得直线的方程，然后和曲线的方程联立，根据公共点的个数，确定k 的值. 【详解】圆22230x y x y +-+=的圆心为3(1,)2-，所以设直线为3(1)2y k x +=-. 联立23(1)2y k x y x ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩，得2302ky y k ---=. 因为恰有一个公共点，所以0k =或者0314()02k k k ≠⎧⎪⎨---=⎪⎩，解得k =. 综上可得，k 的值有3个，故选C. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，利用公共点的个数确定参数，一般是联立方程后，根据方程解得情况来求解.12．D解析：D 【解析】 【分析】由圆的标准方程可得圆心为()0,1M ，点()1,2N 满足圆的方程，可得点()1,2N 在圆上，则过点N 的切线有且只有1条；求出MN 的斜率，即可得切线的斜率，由直线的点斜式方程可得结果. 【详解】圆()2212x y +-=的圆心为M ,则()0,1M ，因为()221212+-=，所以点()1,2N 在圆上，则过点N 的切线有且只有1条； 则21110MN K -==-， 则过点()1,2作该圆的切线斜率1k =-， 切线的方程为()21y x -=--， 变形可得30x y +-=，故选D.【点睛】本题主要考查圆的切线方程，以及直线垂直斜率之间的关系,属于中档题. 若两直线垂直，在斜率存在的前提下：（1） 12121l l k k ⊥⇔⋅=-；（2）1212120l l A A B B ⊥⇔⋅+⋅=.二、填空题13．【解析】【分析】通过成等差数列可以得到直线恒过然后可知在以为直径的圆上由图形可知求解出和即可得到结果【详解】成等差数列即直线恒过又点在动直线上的射影为在以为直径的圆上如图所示；且此圆的圆心的坐标为半 解析：522-【解析】 【分析】通过,,a b c 成等差数列，可以得到直线恒过()1,2A -，然后可知H 在以PA 为直径的圆上，由图形可知min QH BQ r =-，求解出BQ 和r 即可得到结果. 【详解】a ，b ，c 成等差数列 2b a c ∴=+，即20a b c -+= ∴直线0ax by c 恒过()1,2A -又点()3,2P -在动直线0ax by c上的射影为H90PHA ∴∠=H ∴在以PA 为直径的圆上，如图所示；且此圆的圆心B 的坐标为()1,0-,半径2211442222r PA ==+=由图形可知，QH BQ r =-时，QH 最小 又()3,3Q 22435BQ ∴=+=∴线段QH 的最小值为522-【点睛】本题考查直线和圆中的最值类问题，关键在于能够确定所求最小值即为,B Q 两点间距离减去半径.14．4【解析】【分析】根据条件作出图象结合两条切线交点的性质转化为|MA|+|MB|=|AC|利用勾股定理进行求解即可【详解】如图所示设过点A 作圆Γ的一条切线与圆相切于C 点∵M 是两条切线的交点∴MB=M解析：4 【解析】 【分析】根据条件作出图象，结合两条切线交点的性质，转化为|MA|+|MB|=|AC|，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】如图所示，设过点A 作圆Γ的一条切线与圆相切于C 点， ∵M 是两条切线的交点，∴MB=MC ，即|MA|+|MB|=|MA|+|MC|=|AC|=22AP PC -，∵圆Γ是以点P （m ，4）为圆心，|PB|为半径 ∴半径|PC|=|PB|=29m +，|PA|=225m +， 则|AC|=22AP PC -=222594m m +--=则|MA|+|MB|=4， 故答案为：4。
(北师大版)佛山市高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》测试(答案解析)
一、选择题1．已知圆关于直线成轴对称图形，则的取值范围A ．B ．C ．D ．2．已知直线:2l x y +=和圆222:C x y r +=，若r 是在区间()1,3上任意取一个数，那么直线l 与圆C 相交且弦长小于22的概率为（ ） A ．12B ．22C ．214-D ．212-3．已知圆截直线所得的弦的长度为，则等于（ ）A ．B ．C ．或D ．或4．点为圆上一点，过的圆的切线为，且与：平行，则与之间的距离是（ ）A ．B ．C ．D ．5．圆4)2()1(22=+++y x 与圆9)2()2(22=-+-y x 的公切线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．（2014•石景山区一模）直线l ：x+y ﹣4=0与圆C ：x 2+y 2=4的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定7．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为 AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 （ ） A ．10B ．20C ．30D ．408．已知圆C ：2240x y ax y ++-=的圆心在直线10x y -+=，则实数a 的值为（ ） A ．-2B ．2C ．-4D ．49．已知圆：()2212x y +-=，则过点()1,2作该圆的切线方程为（ ） A ．240x y +-=B ．250x y +-=C ．2x =D ．30x y +-=10．已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的方程为（ ）．A ．B ．C ．D ．11．已知P 是直线01143:=+-y x l 上的动点,PA 、PB 是圆1)1()1(:22=-+-y x C 的两条切线, 圆心为C ,那么四边形PACB 面积的最小值是（ ） A ．2 B ．22 C ．3 D ．3212．从原点O 引圆m kx y m y m x 当的切线,1)2()(222=+=-+-变化时，切点P 的轨迹方程是 A ．322=+y x B ．2)1(22=+-y x C ．3)1()1(22=-+-y x D ．222=+y x二、填空题13．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，点A 在E 上，以A 为圆心的圆与y 轴相切，且交AF 于点B ，若2AB BF =，则圆A 截线段AF 的垂直平分线所得弦长为7，则p =______．14．已知0a >，0b >，0c >，且222c a b =+，()1,0A a -，()2 ,0A a ，()0,B b ，() ,0F c ．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点()1,2i P i =，使得i 1i 2PA PA ⊥，则实数ca的取值范围是___． 15．若直线cos ,sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩(t 为参数，且2πθ≠)与圆42cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）相切，则直线的倾斜角θ=______. 16．过原点的直线与圆交于两点，点是该圆与轴负半轴的交点，以为直径的圆与直线有异于的交点，且直线与直线的斜率之积等于，那么直线的方程为________.17．已知点A 在直线20x y a ++=上，过点A 引圆22:1O x y +=的切线，若切线长的最小值为255，则实数a 的值为__________． 18．（几何证明选讲选做题）如图，O 是半圆的圆心，直径26AB =， PB 是圆的一条切线，割线PA 与半圆交于点C ，C 4A =，则PB =________．19．如图，PC 是圆O 的切线，切点为点C ，直线PA 与圆O 交于A 、B 两点，APC ∠的角平分线交弦CA 、CB 于D 、E 两点，已知3PC =，2PB =，则PEPD的值为________.20．以点为圆心且与直线相切的圆的方程为______．三、解答题21．已知点,直线与圆相交于两点, 且,求. （1）的值； （2）线段中点的轨迹方程； （3）的面积的最小值.22．已知动直线l ：（m ＋3）x －（m ＋2）y ＋m ＝0与圆C ：（x －3）2＋（y －4）2＝9． （1）求证：无论m 为何值，直线l 总过定点A ，并说明直线l 与圆C 总相交． （2）m 为何值时，直线l 被圆C 所截得的弦长最小？请求出该最小值． 23．已知圆C 的圆心在坐标原点，且与直线1:220l x y --=相切． （1）求圆C 的方程；（2）求直线2:4350l x y -+=被圆C 所截得的弦AB 的长；（3）过点()1,3G 作两条与圆C 相切的直线，切点分别为,M N ，求直线MN 的方程． 24．如图，AB 切于点B ，直线AO 交于于D ，E 两点，BC DE ⊥，垂足为C .（1）证明：CBD DBA ∠=∠； （2）若3,2AD DC BC ==,求的直径.25．已知圆C 与y 轴相切，圆心C 在直线1:20l x y -=上，且截直线2:0l x y -=的弦长为14,求圆C 的方程. 26．一直线过直线和直线的交点，且与直线垂直．(1)求直线的方程； (2)若直线与圆相切，求．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】根据圆关于直线成轴对称图形得，根据二元二次方程表示圆得，再根据指数函数的单调性得的取值范围． 【详解】 解：圆关于直线成轴对称图形，圆心在直线上，，解得又圆的半径，，故选：D ． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．2．D解析：D 【解析】 【分析】先据题意求出满足条件的r 的范围，利用区间长度之比求出满足条件的概率即可. 【详解】由点到直线的距离公式可得22002211d +-==+因为直线与圆相交，所以2r >相交弦的长度为222r -由题知22222r -<解得22r << 所以弦长小于22的概率2221312p -==-- 故选：D. 【点睛】本题目考查了直线与圆相交问题和几何概型的综合知识，注意直线与圆相交r 的取值，属于中档题.3．D解析：D 【解析】试题分析：圆心到直线的距离为，由圆方程可知圆半径为，根据勾股定理可得，解得或，故选D .考点：圆的方程与性质及点到直线的距离公式.4．B解析：B 【解析】由题意得即，因此两平行直线之间距离为，选B.5．C解析：C 【解析】试题分析：两圆圆心距()()325222122+==--+--=d ，所以两圆相外切，那么公切线有3条，故选C. 考点：圆与圆的位置关系6．B解析：B 【解析】试题分析：根据圆心C 到直线l 的距离正好等于半径，可得直线和圆相切． 解：由于圆心C （0，0）到直线l ：x+y ﹣4=0的距离为=2，正好等于半径，故直线和圆相切， 故选：B ．考点：直线与圆的位置关系．7．B解析：B 【解析】试题分析：把圆的方程为化成标准方程，过点的最长弦为最短弦为则故选B考点：本题考查了直线与圆的位置关系点评：掌握过圆内一点的最长弦和最短弦的结论是解决此类问题的常用转化方法8．A解析：A 【解析】 【分析】 写出圆的圆心(,2)2a-，代入直线10x y -+=，即可求出a . 【详解】因为圆C ：2240x y ax y ++-=所以圆心(,2)2a-， 代入直线10x y -+=102a--=，解得2a =- 故选A. 【点睛】本题主要考查了圆的一般方程，圆心的坐标，属于中档题.9．D解析：D 【解析】 【分析】由圆的标准方程可得圆心为()0,1M ，点()1,2N 满足圆的方程，可得点()1,2N 在圆上，则过点N 的切线有且只有1条；求出MN 的斜率，即可得切线的斜率，由直线的点斜式方程可得结果. 【详解】圆()2212x y +-=的圆心为M ,则()0,1M ，因为()221212+-=，所以点()1,2N 在圆上，则过点N 的切线有且只有1条； 则21110MN K -==-， 则过点()1,2作该圆的切线斜率1k =-， 切线的方程为()21y x -=--， 变形可得30x y +-=，故选D. 【点睛】本题主要考查圆的切线方程，以及直线垂直斜率之间的关系,属于中档题. 若两直线垂直，在斜率存在的前提下：（1） 12121l l k k ⊥⇔⋅=-；（2）1212120l l A A B B ⊥⇔⋅+⋅=.10．D解析：D【解析】双曲线的渐近线方程为，∵双曲线的渐近线与圆相切，∴，∴，∵双曲线的一个焦点为，∴，∴，，∴双曲线的方程为．故选D ．考点：双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用．11．C解析：C 【解析】试题分析：四边形面积最小时，圆心与点P 的距离最小，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA ,PB 最小，圆心到直线的距离2d ==，所以PA PB ==，故四边形的最小面积为1222PAC S PA r ∆=⨯⨯⨯=C ． 考点：圆的标准方程及其切线性质．12．A解析：A 【解析】试题分析：设圆心为(),2C m ，切点(),P x y ，由题意知222OP PC OC+=；而22222222,4,1OP x y OC m PC r m =+=+==+，代入化简得322=+y x ，故选A ．考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系．二、填空题13．【解析】【分析】根据条件以A 为圆心的圆与y 轴相切且交AF 于点B 求出半径然后根据垂径定理建立方程求解【详解】设以为圆心的圆与轴相切则半径由抛物线的定义可知又∴解得则圆A 截线段AF 的垂直平分线所得弦长为 解析：2【解析】 【分析】根据条件以A 为圆心的圆与y 轴相切，且交AF 于点B ，2AB BF =，求出半径，然后根据垂径定理建立方程求解 【详解】设11(,)A x y ，以A 为圆心的圆与y 轴相切，则半径1r x =， 由抛物线的定义可知，12pAF x =+，又2AB BF =， ∴111122p AF x x x =+=+，解得1x p =，则32pAF =，圆A 截线段AF 即2297164p p -=，解得2p =．故答案为2．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟练应用抛物线的定义，合理利用圆的弦长是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．14．【解析】【分析】利用距离关系即可列出不等式从而得到取值范围【详解】解：直线方程即由已知得且则可得到由于所以则由于则所以所以解得：【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系的关系利用点线距建立不等式是解题的12ca<【解析】【分析】利用距离关系即可列出不等式，从而得到取值范围.【详解】解：直线BF方程1x yc b+=，即b x+c y-b c=0，由已知得d a=<且a b<则可得到42310e e-+<，由于e>1，所以e>1，则e<,由于a b<则222a c a<-，所以e>12ca<ca<<【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系的关系，利用点线距建立不等式是解题的关键，难度中档. 15．或【解析】【分析】先把直线的方程转化为普通方程再根据直线与圆的位置关系求解【详解】直线的普通方程为圆的普通方程为当它们相切时有解得故直线的倾斜角或【点睛】本题主要考查直线的参数方程与普通方程的转化以解析：6π或56π【解析】【分析】先把直线的方程转化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系求解。
上海向明初级中学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》测试(答案解析)
一、选择题1．若点P 在圆22(1)1x y -+=上运动，(,1)Q m m --，则PQ 的最小值为（ ） A ．22B ．21-C ．21+D ．22．如图所示，在圆的内接四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，EF 切O 于点C ，那么图中与DCF ∠相等的角的个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．73．已知点(,)M a b ，(0)ab ≠是圆222:O x y r +=内一点，直线m 是以点M 为中点的弦所在直线，直线n 的方程是2ax by r +=，那么（ ） A ．//m n 且n 与圆O 相离 B ．//m n 且n 与圆O 相交C ．m 与n 重合且n 与圆O 相离D ．m n ⊥且n 与圆O 相交 4．（2014•石景山区一模）直线l ：x+y ﹣4=0与圆C ：x 2+y 2=4的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定5．如图，四边形ABCD 内接于O ，:1:2AD BC =，35AB =，40PD =，则过点P 的O 的切线长是（ ）．A ．60B ．240C ．235D ．506．直线20x y -+=与圆222x y +=的位置关系为（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定7．圆()()22334x y -+-=上到直线34160x y +-=的距离等于1的点有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8．已知直线20x y -+=与圆()()22:334C x y -+-=交于点,,A B 过弦AB 的中点的直径为,MN 则四边形AMBN 的面积为（ ）A ．82B ．8C ．42D ．49．当曲线24x y --=与直线042=-+-k y kx 有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是（ ）A ．3(0,)4B ．53(,]124 C ．3(,1]4D ．3(,)4+∞10．设在圆上运动，且，点在直线上运动，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知P 是直线01143:=+-y x l 上的动点,PA 、PB 是圆1)1()1(:22=-+-y x C 的两条切线, 圆心为C ,那么四边形PACB 面积的最小值是（ ） A ．2 B ．22 C ．3 D ．3212．过)1,21(M 的直线l 与圆22:(1)4C x y -+= 交于A 、B 两点，当ACB ∆面积最大时，直线的方程为（ ）A ．0342=+-y xB ．2450x y +-=C ．430x y -+=D ．20x y -=二、填空题13．若直线cos ,sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩(t 为参数，且2πθ≠)与圆42cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）相切，则直线的倾斜角θ=______. 14．在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦的中点为，且满足，当取得最大值时，直线的方程是__________．15．过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率________. 16．若存在实数同时满足，则取值范围是 ． 17．过点)2,0A与圆221x y +=相切的直线方程为__________________.18．设,m n R ∈，若直线()()1120m x n y +++-=与圆()()22111x y -+-=相切，则+m n 的取值范围为_________.19．（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB ，过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连结CF 交AB 于点E ，3,3OA DB ==，则DE =_____．20．如下图，PA ，PB 为⊙的两条切线，切点分别为，过的中点作割线交⊙于两点，若则__________.三、解答题21．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F . 求证：（1）∠=∠DEA DFA ； （2）2AB AE BD AE AC =⋅-⋅22．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）将直线l ：222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）化为极坐标方程；（2）设P 是（1）中的直线l 上的动点，定点2,4A π⎫⎪⎭，B 是曲线2sin ρθ=-上的动点，求||||PA PB +的最小值. 23．A ．（几何证明选讲）如图， AB 为圆O 的直径， C 在圆O 上， CF AB ⊥于F ，点D 为线段CF 上任意一点，延长AD 交圆O 于E ， 30AEC ∠=︒. （1）求证： AF FO =；（2）若3CF =，求AD AE ⋅的值.24．已知圆()()22:344C x y -+-=，直线l 过点()1,0A .（1）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）若圆D 的半径为3，圆心D 在直线2:20l x y +-=上，且与圆C 内切，求圆D 的方程.25．如图，AB 切于点B ，直线AO 交于于D ，E 两点，BC DE ⊥，垂足为C .（1）证明：CBD DBA ∠=∠； （2）若3,2AD DC BC ==,求的直径.26．（本小题满分10分） 已知圆045144:22=+--+y x y x C 及点)3,6(Q . （1）若),(y x M 为圆C 上任一点，求63--=x y K 的最大值和最小值； （2）已知点)3,6(-N ，直线036=+--k y kx 与圆C 交于点A 、B ， 当k 为何值时NB NA ⋅取到最小值。
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PMN() 值范围是，则直线的倾斜角的取的距离为直线上至少有三个不同点到若圆例220:01044122=+=---+by ax l y x yx⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎦⎤⎢⎣⎡2036.12512.4,12.πππππππ， ， ， D C B A ()()()22222232201044=-+-=---+y x y x yx整理为解析：园∴圆心坐标为(2，2)，23半径为要求圆上至少有三个不同的点到直线220:的距离为=+by ax l则圆心到直线的距离应小于等于，2014222222≤+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∴≤++∴b a b a bab a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-≤⎪⎭⎫⎝⎛≤--∴b a k b a ,3232,3232+≤≤-∴k直线l 的倾斜角的取值范围是]12512[ππ，，选B.2 如图,圆O 1与圆O 2的半径都是1,O 1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得P M N =试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程.解：如图，以直线12O O 为x 轴，线段12O O 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为12(2,0),(2,0)O O -．设(,)P x y ，则2222211(2)1P M O P O Mx y =-=++-，同理222(2)1P Nx y =-+-．∵P M N=，∴2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-，即221230x x y -++=，即22(6)33x y -+=．这就是动点P的轨迹方程．3．在平面直角坐标系xO y 中，已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(02)P ，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A B ，．（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数k ，使得向量O A O B + 与P Q共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．3．解：（Ⅰ）圆的方程可写成22(6)4x y -+=，所以圆心为(60)Q ，，过(02)P ，且斜率为k 的直线方程为2y kx =+．代入圆方程得22(2)12320x kx x ++-+=，整理得22(1)4(3)360k x k x ++-+=． ① 直线与圆交于两个不同的点A B ，等价于2222[4(3)]436(1)4(86)0k k k k ∆=--⨯+=-->，解得304k -<<，即k 的取值范围为304⎛⎫- ⎪⎝⎭，． （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，则1212()O A O B x x y y +=++，，由方程①，1224(3)1k x x k-+=-+ ②又1212()4y y k x x +=++． ③而(02)(60)(62)P Q P Q =- ，，，，，．所以O A O B + 与P Q共线等价于1212()6()x x y y +=+， 将②③代入上式，解得34k =-．由（Ⅰ）知304k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故没有符合题意的常数k ．4．已知点F （-2，0）在以原点为圆心的圆O 内，且过F 的最短的弦长为2， （I ）求圆O 的方程； （II ）过F 任作一条与两坐标标轴都不垂直的弦AB ，若点M 在x 轴上，且使得MF 为AMB ∆的一条内角平分线，求M 点的坐标。
4．解：（I ）由题意知：过F 且垂直与x 轴的弦长最短，设圆O 的半径为r ，则.5=r.5:22=+∴yxO 的方程为圆…………6分（II ）弦AB 过F 且与两坐标轴都不垂直，可设直线AB 的方程为).0(2≠-=k ky x并将它代入圆方程,522=+y x得：014)1(:,5)2(2222=--+=+-ky yky ky 即设,11,14),,(),,(2212212211+-=+=+ky y kk y y y x B y x A 则 设x AMB m M 被∠ ),0,(轴平分，.0=+∴BM AM k k即.0)()(,012212211=-+-=-+-m x y m x y mx y mx y即,0)()2()2(211221=---+-m y y ky y ky y.0)2)((22121=++-∴m y y y ky 于是：.0)2(1411222=+⨯+-+-⨯m kk kk,0)2(21,0=-+∍≠m k 即).0,25(,25-∴-=M m5．设椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的离心率为e=22（1）椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2、A 是椭圆上的一点，且点A 到此两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程.（2）求b 为何值时，过圆x 2+y 2=t 2上一点M （2，2）处的切线交椭圆于Q 1、Q 2两点，而且OQ 1⊥OQ 2．5．（1）椭圆的方程为12422=+yx…5分（2）解: 过圆222x y t+=上的一点M （2,2）处的切线方程为2x+2y －6=0.……………………………6分令111()Q x y ，，222()Q x y ，, 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+222220622by x y x化为5x 2－24x+36－2b 2=0, 由⊿>0得：5103>b ……8分541818)(62,5236,524221212122121bx x x x y y bx x x x -=++-=-==+……10分由12O Q O Q ⊥知，922121=⇒=+by y x x , ……11分即b=3∈（5103,+∞），故b=3…….12分6、已知圆C 与两坐标轴都相切，圆心C 到直线y x =-.（Ⅰ）求圆C 的方程.（Ⅱ）若直线:1x y l m n+=(2,2)m n >>与圆C相切，求证：6m n ≥＋6、 解：（I ）设圆C 半径为r ，由已知得：a b r a ⎧⎪=⎪⎪=⎨= ∴11a b r ==⎧⎨=⎩，或11a b r ==-⎧⎨=⎩∴圆C 方程为2222(1)(1)1,(1)(1)1x y x y -+-=+=或＋＋. (II)直线0l nx m y m n +-=方程为，∵22:(1)(1)1l C x y -+-=直线与圆相切，1,=∴222(),n m m n n m +-=+左边展开，整理得，22 2.m n m n =+- ∴2.2m n m n ++=∵0,0,m n m n >>+≥，∴22m n +≥∴220,-≥22≥+≤-或∵2,2m n >>2≥+，∴6m m ≥+7．在平面直角坐标系xO y 中，圆C 的圆心在直线2y x =上，半径为1，圆C 与直线2y x=的一个交点为P ，椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>与直线2y x =的一个交点到椭圆E 的两个焦点距离之和为E的离心率为3．（1）求椭圆E 的方程；（2）记(0,)B b ，问直线P B 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧?若能，求出直线P B 的方程，若不能，请说明理由．7．解：（1）由题意，得22223,a ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩1,a b c ⎧=⎪∴=⎨⎪=⎩ ∴椭圆E 的方程为2213xy +=（2）若直线P B 将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧，则其中劣弧所对的圆心角为120°． 又圆C 的圆心在直线2y x =上，点P 是圆C 与直线2y x =的交点，设Q 是P B 与圆C 的另一交点，则30C P Q C Q P ∠=∠=．由①知(0,1)B 设直线P B的倾斜角为a ，则tan(30)2a +=或tan(30)2a -=2tan tan(3030)83a a -∴=+-==-+或2tan tan(3030)83a a +=-+==-- ∴直线P B的方程为(81y x =-++或(81y x =--+8．已知直线1:+=x y l 与曲线:C 12222=+by ax )0,0(>>b a 交于不同的两点B A ,，O 为坐标原点．（Ⅰ）若||||OB OA =，求证：曲线C 是一个圆；（Ⅱ）若OB OA ⊥，当b a >且]210,26[∈a 时，求曲线C 的离心率e 的取值范围．8.（Ⅰ）证明：设直线l 与曲线C 的交点为),(),,(2211y x B y x A ||||OB OA =∴22222121y x y x +=+ 即：22222121y x y x +=+∴21222221y y x x -=- B A ,在C 上 ∴1221221=+by ax ，1222222=+by ax ∴两式相减得：)(2122222221y y ba x x -=-∴122=ba 即：22b a= ∴曲线C 是一个圆（Ⅱ）设直线l 与曲线C 的交点为),(),,(2211y x B y x A ， 0>>b a∴曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆 OB OA ⊥ ∴12211-=⋅x y x y 即：2121x x y y -= 将1+=x y 代入0222222=-+b a ya xb 整理得： 02)(2222222=-+++ba ax a xa b∴222212baa x x +-=+，222221)1(bab a x x +-=⋅ B A ,在l 上 ∴1)1)(1(21212121+++⋅=++=⋅x x x x x x y y 又 2121x x y y -=∴0122121=+++⋅x x x x ∴22222)1(bab a +-⋅01)2(222=++-+baa∴022222=-+b a b a ∴0)(2222222=---+c a a c a a∴022222224=-+-c a c a a ∴12)1(22222--=aa a c∴121112)1(2222222--=--==aaa ac e ]210,26[∈a∴]4,2[122∈-a ∴]43,21[12112∈--a]23,22[∈e 练习1．将圆22240x y x y +-+=按向量a =（－1，2）平移后得到⊙O ，直线l 与⊙O 相交于A 、B 两点，若在⊙O 上存在点C ，使 O C O A O B=+ =λa ，求直线l 的方程及对应的点C 的坐标．1．解：圆22240x y x y +-+=化为标准方程为22(1)(2)5x y -++=，按向量a ＝（－1，2）平移得⊙O 方程为 x 2＋y 2＝5． ∵O CO A O B=+＝λa ，且|O A |＝|O B |，∴A B ⊥O C ，O C∥a ．∴k AB ＝12．设直线l 的方程为y ＝12x ＋m ，联立，得221, 12 5. 2y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩（）（）将方程（1）代入（2），整理得5x 2＋4mx ＋4m 2－20＝0．（※） 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝－45m，y 1＋y 2＝85m ，O C＝（－45m，85m）．因为点C 在圆上，所以2248()()555m -+=，解之，得54m =±．此时，（※）式中的△＝16m 2－20(4m 2－20)＝300＞0．所求的直线l 的方程为2x －4y ＋5＝0，对应的C 点的坐标为（－1，2）；或直线l 的方程为2x －4y －5＝0，对应的C 点的坐标为（1，－2）． 2..已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,向量O A ,O B满足O A O B O A O B +=-.设圆C 的方程为221212()()0x y x x x y y y +-+-+=(I) 证明线段A B 是圆C 的直径;(II)当圆C 的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求P 的值。