2018高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形课时达标检测十九任意角和蝗制任意角的三角函数理

2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.1任意角蝗制及任意角的三角函数教师用书理苏教版

第四章三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数教师用书理苏教版1.角的概念(1)任意角：①定义：角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角.(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }.(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限. 2.弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad ，1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°.(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3.任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x(x ≠0). 三个三角函数的初步性质如下表：4.三角函数线如图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1，0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .为正弦线；有向线段OM 为余弦线；【知识拓展】1.三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 2.任意角的三角函数的定义(推广)设P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0). 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.( × ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.( √ ) (3)不相等的角终边一定不相同.( × ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等.( √ ) (5)若α∈(0，π2)，则tan α>α>sin α.( √ )(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ )1.(教材改编)在0°到360°之间与－120°终边相同的角是________.答案 240°解析与－120°终边相同的角α＝－120°＋k ·360°(k ∈Z )，由0°≤－120°＋k ·360°＜360°，k ∈Z ，得13≤k <43，又k ∈Z ，所以k ＝1，此时α＝－120°＋360°＝240°.2.(教材改编)圆心角为π3弧度，半径为6的扇形的面积为________.答案 6π解析扇形的面积为12×62×π3＝6π.3.(教材改编)已知角α的终边与单位圆的交点为P (55，－255)，则sin α＋cos α＝________. 答案－55解析因为sin α＝y ＝－255，cos α＝x ＝55，所以sin α＋cos α＝－255＋55＝－55.4.设集合M ＝{α|α＝k π2－π3，k ∈Z }，N ＝{α|－π＜α＜π}，则M ∩N ＝________. 答案 {－5π6，－π3，π6，2π3}解析分别取k ＝－1，0，1，2，得α＝－5π6，－π3，π6，2π3.故M ∩N ＝{－5π6，－π3，π6，2π3}.5.函数y ＝2cos x －1的定义域为________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )解析 ∵2cos x －1≥0， ∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示). ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ).题型一角及其表示例1 (1)若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在第________象限.(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________________.答案 (1)一或三 (2)⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z ) 解析 (1)当k ＝2n (n ∈Z )时，α＝2n ·180°＋45°＝n ·360°＋45°，α为第一象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，α＝(2n ＋1)·180°＋45°＝n ·360°＋225°，α为第三象限角. 所以α为第一或第三象限角.(2)∵在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，∴所求角的集合为⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z ). 思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角.(2)利用终边相同的角的集合S ＝{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0，2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限.(1)终边在直线y ＝3x 上的角的集合是__________________.(2)(2016·苏州模拟)若角θ的终边与6π7角的终边相同，则在[0，2π]内终边与θ3角的终边相同的角的个数为________.答案 (1){α|α＝π3＋k π，k ∈Z } (2)3解析 (1)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角为π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为 {α|α＝π3＋k π，k ∈Z }.(2)∵θ＝6π7＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝2π7＋2k π3(k ∈Z )，依题意0≤2π7＋2k π3≤2π，k ∈Z ，∴－37≤k ≤187，∴k ＝0，1，2，即在[0，2π]内终边与θ3角的终边相同的角为2π7，20π21，34π21共三个.题型二弧度制例2 (1)(2016·南京模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________. 答案2解析设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ，∴正方形边长为2r ，∴圆心角的弧度数是2rr＝ 2.(2)已知扇形的圆心角是α，半径是r ，弧长为l . ①若α＝100°，r ＝2，求扇形的面积；②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数. 解 ①S ＝12lr ＝12αr 2＝12×59π×4＝109π.②由题意知l ＋2r ＝20，即l ＝20－2r ，S ＝12l ·r ＝12(20－2r )·r ＝－(r －5)2＋25，当r ＝5时，S 的最大值为25.当r ＝5时，l ＝20－2×5＝10，α＝l r＝2(rad).即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2. 思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.(1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是________.(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为________. 答案 (1)－π3(2) 3解析 (1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3.(2)如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB 垂足为M ，在Rt△AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，∴AM ＝32r ，AB ＝3r ，∴l ＝3r ，由弧长公式得α＝l r＝3rr＝ 3.题型三三角函数的概念命题点1 三角函数定义的应用例3 (1)(2016·徐州模拟)若角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，则cos θ的值为________.(2)点P 从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为____________. 答案 (1)－64 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 解析 (1)由题意知r ＝3＋m 2， ∴sin θ＝m3＋m2＝24m ， ∵m ≠0，∴m ＝±5，∴r ＝3＋m 2＝22， ∴co s θ＝－322＝－64.(2)由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. ∴Q 点的坐标为(－12，32).命题点2 三角函数线例4 函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为__________________. 答案 [2k π＋π3，2k π＋5π6)(k ∈Z )解析要使原函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >12，cos x ≤12，如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为[2k π＋π3，2k π＋5π6)(k ∈Z ).思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标.(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围.(1)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0.则实数a的取值范围是________.(2)满足cos α≤－12的角α的集合为________.答案 (1)(－2，3] (2){α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z }解析 (1)∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上.∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.(2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z }.6.数形结合思想在三角函数中的应用典例 (1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于C (2，1)时，OP →的坐标为________.(2)(2016·盐城模拟)函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________.思想方法指导在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数不等式的解集. 解析 (1)如图所示，过圆心C 作x 轴的垂线，垂足为A ，过P 作x 轴的垂线与过C 作y 轴的垂线交于点B .因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA ＝2，即圆心角∠PCA ＝2，则∠PCB ＝2－π2，所以PB ＝sin(2－π2)＝－cos 2，CB ＝cos(2－π2)＝sin 2，所以x P ＝2－CB ＝2－sin 2，y P ＝1＋PB ＝1－cos 2，所以OP →＝(2－sin 2，1－cos 2).(2)∵3－4sin 2x ＞0， ∴sin 2x ＜34，∴－32＜sin x ＜32. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， ∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z ). 答案 (1)(2－sin 2，1－cos 2) (2)⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )1.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是________.①2k π＋45°(k ∈Z )②k ·360°＋94π(k ∈Z )③k ·360°－315°(k ∈Z )④k π＋5π4(k ∈Z )答案 ③解析与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有③正确.2.若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是________. ①sin α＋cos α＜0 ②tan α－sin α＜0 ③cos α－tan α＜0④tan αsin α＜0答案 ②解析 α是第三象限角，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除①、③、④. 3.(2016·镇江一模)已知α是第二象限的角，其终边上的一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，则tan α＝________.答案－153解析 ∵P (x ，5)，∴y ＝ 5. 又cos α＝24x ＝xr，∴r ＝22， ∴x 2＋(5)2＝(22)2，解得x ＝± 3. 由α是第二象限的角，得x ＝－3，∴tan α＝y x ＝5－3＝－153.4.已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限. 答案二解析 ∵点P (tan α，cos α)在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0，∴角α的终边在第二象限.5.给出下列各函数值： ①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10cos πtan17π9.其中符号为负的是________. 答案 ③解析 sin(－1 000°)＝si n 80°>0；cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos 40°>0；tan(－10)＝tan(3π－10)<0；sin 7π10cos πtan 179π＝－sin7π10tan17π9>0.6.已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为________.答案－1解析由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.7.在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________. 答案 (－1，3)解析依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3).8.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________.答案π3解析设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.9.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是第________象限角. 答案二解析由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2， ∴cos θ2≤0，综上知θ2为第二象限角. 10.在(0，2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为________.答案 (π4，5π4)解析如图所示，找出在(0，2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈(π4，5π4). 11.若－3π4<α<－π2，则sin α，cos α，tan α的大小关系是______________. 答案 sin α＜cos α＜tan α解析如图，在单位圆中，作出－3π4＜α＜－π2内的一个角及其正弦线，余弦线，正切线.由图知，OM ＜MP ＜AT ，考虑方向可得MP ＜OM ＜AT ，即sin α＜cos α＜tan α.12.已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ. 解 ∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，∴tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ， ∴x 2＝1，即x ＝±1.当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22，因此sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22，因此sin θ＋cos θ＝－ 2.故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.13.一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB . 解设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝l r＝2(rad)．如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad.∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB ＝2sin 1(cm)．∴圆心角的弧度数为2，弦长AB 为2sin 1 cm.*14.已知sin α<0，tan α>0.(1)求角α的集合；(2)求α2终边所在的象限； (3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解 (1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，其集合为{α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }． (2)由2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2<0， sin α2>0，cos α2<0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0，sin α2<0，cos α2>0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．。

2018届高考(新课标)数学(文)大一轮复习检测第四章三角函数、解三角形 4-4 Word版含答案

组专项基础训练(时间：分钟)．函数＝的部分图象可能是()【解析】∵＝，∴当－＝，即＝时，函数取得最大值，结合图象看，可使函数在＝时取得最大值的只有.【答案】．(·课标全国Ⅱ)函数＝(ω＋φ)的部分图象如图所示，则()．＝．＝．＝．＝【解析】由图易知＝，因为周期满足＝－，所以＝π，ω＝＝.由＝时，＝可知×＋φ＝＋π(∈)，所以φ＝－＋π(∈)，结合选项可知函数解析式为＝.【答案】．(·天津)已知函数()＝＋ω－(ω＞)，∈.若()在区间(π，π)内没有零点，则ω的取值范围是()∪∪【解析】()＝ω)＋ω－＝·( ω－ω)＝，∵∈(π，π)，ω＞，∴ω－∈，∵()在区间(π，π)内没有零点，∴有以下两种情况：①⊆(π，π＋π)，∈，则有∈，得ω∈，∈，当＝时，ω∈；②⊆(π＋π，π＋π)，∈，则有∈，得ω∈，∈，当＝－时，ω∈，又ω＞，∴ω∈.综上，ω∈∪，故选.【答案】．(·沈阳质检)已知曲线()＝ω＋ω(ω＞)相邻的两条对称轴之间的距离为，且曲线关于点(，)中心对称，若∈，则等于()【解析】()＝ω＋ω＝ω＋(()) ω))＝.∵曲线()＝相邻的两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期＝π＝，∴ω＝，∴()＝.∵曲线关于点(，)中心对称；∴＋＝π(∈)，∴＝－(∈)，又∈，∴＝.【答案】．(·开封模拟)函数()＝(ω＋φ)(＞，ω＞，＜φ＜π)的图象如图所示，为了得到这个函数的图象，只需将＝ (∈)的图象上所有的点()。

2018届高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第一节任意角和蝗制及任意角的三角函数课件文

C.第三象限 D.第四象限
答案 D 由sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限,也可
能与y轴的非正半轴重合.由tan θ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或
第四象限,故θ的终边只能位于第四象限.
5.已知圆的一条弦的长等于半径长,则这条弦所对的圆心角的大小为弧度.
答案
3
解析 ∵弦长等于半径长, ∴该弦与两半径构成的三角形为正三角形.
的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧
角α的弧度数公式角度与弧度的换算弧长公式扇形面积公式
|α|= l (l表示弧长,r表示半径长)
r
1°= 1 8π
rad;1
0
rad=⑦
° 1 8 0
π
l=⑧ |α|r
S=⑨
1 2
1
lr =⑩2 |α|r2
3.任意角的三角函数
判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)第一象限角必是锐角. (×) (2)不相等的角终边一定不相同. (×) (3)一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,它是角的一种度量单位. (√) (4)α为第一象限角,则sin α+cos α>1. (√)
确.
3.已知角α的终边过点P(-1,2),则sin α= ( )
A. 5
B. 2 5 C.- 5 D.- 2 5
5
5
5
5
答案 B |OP|= (=1)(2O为22坐标5 原点),所以sin α= = . 2 2 5
55
4.若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0,则角θ的终边一定落在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
1.与角 9 的终边相同的角可表示为 ( )

2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第1讲任意角蝗制及任意角的三角函数课件理

答案 (1)C
5 2 π 4 (2)－3π，－3π，3，3π
规律方法
(1) 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条
件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.
(2)确定 kα， k (k∈N*)的终边位置的方法 α 先用终边相同角的形式表示出角 α 的范围，再写出 kα 或 k 的范围，然后根据 k 的可能取值讨论确定 kα 或 k 的终边所在位置.
1.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是
概念不同的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角. 2.角度制与弧度制可利用 180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用. 3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
【训练2】已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R.
(1)若α＝90°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的
面积； (2)若扇形的周长是一定值C (C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
解 (1)设弧长为 l，弓形面积为 S 弓，则 π π α＝90° ＝，R＝10，l＝ ×10＝5π(cm)， 2 2 1 1 S 弓＝S 扇－S△＝2×5π×10－2×102＝25π－50(cm2).
答案 C
4.已知角 α 的终边经过点(－4，3)，则 cos α＝( ) 4 3 3 4 A. B. C.－ D.－ 5 5 5 5
解析 ∵角 α 的终边经过点(－4，3)， ∴x＝－4，y＝3，r＝5. 4 x ∴cos α＝r＝－，故选 D. 5 答案 D
5.( 必修4P10A6改编) 一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度.

2018课标版理数一轮(4)第四章-三角函数、解三角形(含答案)1 第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数

栏目索引
2-1 扇形弧长为20 cm,圆心角为100°,则该扇形的面积为答案
360
cm2.

解析由弧长公式l=|α|r,得
36 360 20 36 1 1 r= 100 = cm,∴S扇形= lr= ×20× = cm2. 2 2 180
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变式2-2 在本例(1)中,若去掉条件中的“面积是4”,则扇形的半径和圆心角取何值时,扇形面积最大? 解析设圆心角是θ,半径是r,则2r+rθ=10.
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变式1-2 本例(3)中,若把第二象限改为第三象限,则结果如何? 解析
2
由角α终边在第三象限,可知π+2kπ<α< +2kπ,k∈Z,所以 +kπ<
2
3 2

α 3 < +kπ,k∈Z.
4
当k=2m(m∈Z)时, +2mπ< < +2mπ,
2

α 3 2 4
此时的终边在第二象限;

2
所以当k=2m(m∈Z)时, +m·2π< < +m·2π,此时的终边在第一象限;

栏目索引
方法技巧 (1)给出一个角,判断该角为第几象限角的方法是:先将此角化为k· 360°+ α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出与此角终边相同的角α(0°≤α<360°), 再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角. (2)已知θ的终边所在的象限,求或nθ(n∈N*)的终边所在的象限的方法是:将θ的范围用不等式(含有k(k∈Z))表示,然后两边同除以n或乘n,再对 k进行讨论,得到或nθ(n∈N*)的终边所在的象限.

2018届高考(新课标)数学(文)大一轮复习检测第四章三角函数、解三角形 4-8 Word版含答案

组专项基础训练(时间：分钟)．(·山西太原五中月模拟)在锐角△中，角，，所对的边分别为，，，若＝，＝，△＝，则的值为()．．【解析】在锐角△中，＝，△＝，∴＝＝，＝·＝，∴＝，①由余弦定理得＝＋－，∴(＋)＝＋(＋ )＝＋×＝，∴＋＝.②由①②得＝＝，故选.【答案】．一艘海轮从处出发，以每小时海里的速度沿南偏东°的方向直线航行，分钟后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东°，在处观察灯塔，其方向是北偏东°，那么，两点间的距离是()．海里．海里．海里．海里【解析】如图所示，易知，在△中，＝，∠＝°，∠＝°，根据正弦定理得°)＝°)，解得＝(海里)．【答案】．如图，一条河的两岸平行，河的宽度＝，一艘客船从码头出发匀速驶往河对岸的码头.已知＝，水的流速为，若客船从码头驶到码头所用的最短时间为，则客船在静水中的速度为()．．．．【解析】设与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为，由题意知，θ＝＝，从而θ＝，所以由余弦定理得＝＋－××××，解得＝.选.【答案】．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为°，°，此时气球的高是，则河流的宽度等于()．(＋) ．(－)．(－) ．(＋)【解析】如图，∠＝°，∠＝°，＝，在△中，＝＝°)＝，在△中，＝＝°)＝＝(－)，∴＝－＝－(－)＝(－).【答案】．如图，测量河对岸的塔高时可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，测得∠＝°，∠＝°，＝，并在点测得塔顶的仰角为°，则塔高等于()。

2018高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第一节任意角和蝗制任意角的三角函数课件理

[方法技巧]
α 确定n(n≥2，且 n∈N*)的终边位置的方法 (1)讨论法 ①用终边相同角的形式表示出角 α 的范围； α ②写出n的范围； α ③根据 k 的可能取值讨论确定n的终边所在位置．
[方法技巧] (2)等分象限角的方法
α 已知角 α 是第 m(m＝1,2,3,4)象限角，求n是第几象限角． ①等分：将每个象限分成 n 等份； ②标注：从 x 轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上 1,2,3,4，直至回到 x 轴正半轴； α ③选答：出现数字 m 的区域，即为n的终边所在的象限．
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
1．若一扇形的圆心角为 72°，半径为 20 cm，则扇形的面积为 ( A．40π cm2 C．40 cm2 B．80π cm2 D．80 cm2 )
2π 1 2 1 2π 解析：∵72°＝ 5 ，∴S 扇形＝2αr ＝2× 5 ×202＝80π(cm2)．答案：B
3．弧长为 3π，圆心角为 135°的扇形半径为________，面积为 ________．
3π 解析：由题可知，弧长 l＝3π，圆心角 α＝135°＝ 4 ， l 3π 1 1 所以半径 r＝α＝3π＝4.面积 S＝2lr＝2×3π×4＝6π. 4 答案：4 6π
4．已知扇形周长为 40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？
α (2)若角 α 是第二象限角，则 2是 A．第一象限角 C．第一或第三象限角
[解析] ∵α 是第二象限角，
(
)
B．第二象限角 D．第二或第四象限角
π ∴2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z， π α π ∴4＋kπ＜ 2＜2＋kπ，k∈Z. α 当 k 为偶数时， 2是第一象限角； α 当 k 为奇数时， 2是第三象限角． [答案] C

2018届高考(新课标)数学(理)大一轮复习检测第四章三角函数、解三角形4-6Word版含答案

A 组专项基础训练(时间：30分钟)1．(2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝0； cos 2α＝0⇔cos α＝±sin α⇒/ sin α＝cos α，故选A. 【答案】 A2．(2016·山东)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A.π2B ．π C.3π2D ．2π 【解析】 ∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π，故选B.【答案】 B 3．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A.118 B ．－118 C.1718 D ．－1718【解析】 cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α 代入原式，得6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝－1718.【答案】 D4．(2017·成都第一次诊断性检测)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π4或9π4【解析】 ∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π.∵sin 2α＝55，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π， ∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，cos 2α＝－255. ∵β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4， ∴cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22. 又∵α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4.【答案】 A5．(2016·菏泽期末)函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π6，0对称，则f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z 【解析】 ∵f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π3，由题意知2×π6＋θ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴θ＝k π－23π(k ∈Z )．∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋23π.由2k π－π2≤2x ＋23π≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z )．故选C.【答案】 C6．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，则sin 2θ－2cos 2θ的值为________．【解析】 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，∴1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12.∴sin 2θ－2cos 2θ ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝2×12－214＋1＝－45.【答案】－457．(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________．【解析】由于2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以A ＝2，b ＝1.【答案】 2 18．(2015·北京西城一模)若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________．【解析】因为(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，所以1＋3(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4，即3(tan α＋tan β)＝3－3tan αtan β＝3(1－tan αtan β)，即tan α＋tan β＝3(1－tan αtan β)． ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 3.又∵α，β为锐角，∴α＋β＝π3.【答案】 π39．(2016·沈阳质检)已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．【解析】 (1)f (x )＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32.所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32. 故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32. B 组专项能力提升 (时间：20分钟)10．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2【解析】由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.【答案】 B 11．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3【解析】依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2，故cos(α－β)＝1－sin 2（α－β）＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32，故β＝π3，故选D.【答案】 D12．(2017·河南百校联盟教学质量监测)已知函数f (x )＝|sin x |＋|cos x |，则下列结论中错误的是( )A ．f (x )是周期函数B ．f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π4，k ∈ZC ．f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上为增函数D ．方程f (x )＝65在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32π，0上有6个根【解析】因为f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝|sin x |＋|cos x |＝f (x )，所以f (x )是周期为π2的函数．因为f (x )为偶函数，所以f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π4，k ∈Z ，故A ，B 项正确．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，作出函数f (x )的部分图象如图所示，由图象可知C 项错误，D 项正确．【答案】 C13．设x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为________．【解析】方法一因为y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝2－cos 2xsin 2x，所以令k ＝2－cos 2x sin 2x .又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以k 就是单位圆x 2＋y 2＝1的左半圆上的动点P (－sin 2x ，cos 2x )与定点Q (0，2)所成直线的斜率．又k min ＝tan 60°＝3，所以函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为 3.方法二 y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x2sin x cos x＝3tan 2x ＋12tan x ＝32tan x ＋12tan x.∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴tan x ＞0.∴32tan x ＋12tan x≥2 32tan x ·12tan x＝ 3. ⎝ ⎛⎭⎪⎫当tan x ＝33，即x ＝π6时取等号即函数的最小值为 3. 【答案】 314．(2016·临沂一模)已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是f (x )图象的一条对称轴．(1)试求ω的值；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值．【解析】 f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx ＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.(1)由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6图象的一条对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1.∴2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴ω＝32k ＋12(k ∈Z )．又0＜ω＜1，∴－13＜k ＜13.又∵k ∈Z ，从而k ＝0，∴ω＝12.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6，即g (x )＝2cos 12x ，∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴π6＜α＋π6＜2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45.∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310.。

教育最新K122018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.1任意角蝗制及任意角的三角函数教师用书理苏

第四章三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数教师用书理苏教版1.角的概念(1)任意角：①定义：角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角.(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }.(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限. 2.弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad ，1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°.(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3.任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x(x ≠0). 三个三角函数的初步性质如下表：4.三角函数线如图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1，0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .为正弦线；有向线段OM 为余弦线；【知识拓展】1.三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 2.任意角的三角函数的定义(推广)设P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0). 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.( × ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.( √ ) (3)不相等的角终边一定不相同.( × ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等.( √ ) (5)若α∈(0，π2)，则tan α>α>sin α.( √ )(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ )1.(教材改编)在0°到360°之间与－120°终边相同的角是________.答案 240°解析与－120°终边相同的角α＝－120°＋k ·360°(k ∈Z )，由0°≤－120°＋k ·360°＜360°，k ∈Z ，得13≤k <43，又k ∈Z ，所以k ＝1，此时α＝－120°＋360°＝240°.2.(教材改编)圆心角为π3弧度，半径为6的扇形的面积为________.答案 6π解析扇形的面积为12×62×π3＝6π.3.(教材改编)已知角α的终边与单位圆的交点为P (55，－255)，则sin α＋cos α＝________. 答案－55解析因为sin α＝y ＝－255，cos α＝x ＝55，所以sin α＋cos α＝－255＋55＝－55.4.设集合M ＝{α|α＝k π2－π3，k ∈Z }，N ＝{α|－π＜α＜π}，则M ∩N ＝________. 答案 {－5π6，－π3，π6，2π3}解析分别取k ＝－1，0，1，2，得α＝－5π6，－π3，π6，2π3.故M ∩N ＝{－5π6，－π3，π6，2π3}.5.函数y ＝2cos x －1的定义域为________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )解析 ∵2cos x －1≥0， ∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示). ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ).题型一角及其表示例1 (1)若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在第________象限.(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________________.答案 (1)一或三 (2)⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z ) 解析 (1)当k ＝2n (n ∈Z )时，α＝2n ·180°＋45°＝n ·360°＋45°，α为第一象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，α＝(2n ＋1)·180°＋45°＝n ·360°＋225°，α为第三象限角. 所以α为第一或第三象限角.(2)∵在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，∴所求角的集合为⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z ). 思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角.(2)利用终边相同的角的集合S ＝{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0，2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限.(1)终边在直线y ＝3x 上的角的集合是__________________.(2)(2016·苏州模拟)若角θ的终边与6π7角的终边相同，则在[0，2π]内终边与θ3角的终边相同的角的个数为________.答案 (1){α|α＝π3＋k π，k ∈Z } (2)3解析 (1)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角为π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为 {α|α＝π3＋k π，k ∈Z }.(2)∵θ＝6π7＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝2π7＋2k π3(k ∈Z )，依题意0≤2π7＋2k π3≤2π，k ∈Z ，∴－37≤k ≤187，∴k ＝0，1，2，即在[0，2π]内终边与θ3角的终边相同的角为2π7，20π21，34π21共三个.题型二弧度制例2 (1)(2016·南京模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________. 答案2解析设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ，∴正方形边长为2r ，∴圆心角的弧度数是2rr＝ 2.(2)已知扇形的圆心角是α，半径是r ，弧长为l . ①若α＝100°，r ＝2，求扇形的面积；②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数. 解 ①S ＝12lr ＝12αr 2＝12×59π×4＝109π.②由题意知l ＋2r ＝20，即l ＝20－2r ，S ＝12l ·r ＝12(20－2r )·r ＝－(r －5)2＋25，当r ＝5时，S 的最大值为25.当r ＝5时，l ＝20－2×5＝10，α＝l r＝2(rad).即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2. 思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.(1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是________.(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为________. 答案 (1)－π3(2) 3解析 (1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3.(2)如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB 垂足为M ，在Rt△AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，∴AM ＝32r ，AB ＝3r ，∴l ＝3r ，由弧长公式得α＝l r＝3rr＝ 3.题型三三角函数的概念命题点1 三角函数定义的应用例3 (1)(2016·徐州模拟)若角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，则cos θ的值为________.(2)点P 从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为____________. 答案 (1)－64 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 解析 (1)由题意知r ＝3＋m 2， ∴sin θ＝m3＋m2＝24m ， ∵m ≠0，∴m ＝±5，∴r ＝3＋m 2＝22， ∴co s θ＝－322＝－64.(2)由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. ∴Q 点的坐标为(－12，32).命题点2 三角函数线例4 函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为__________________. 答案 [2k π＋π3，2k π＋5π6)(k ∈Z )解析要使原函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >12，cos x ≤12，如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为[2k π＋π3，2k π＋5π6)(k ∈Z ).思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标.(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围.(1)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0.则实数a的取值范围是________.(2)满足cos α≤－12的角α的集合为________.答案 (1)(－2，3] (2){α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z }解析 (1)∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上.∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.(2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z }.6.数形结合思想在三角函数中的应用典例 (1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于C (2，1)时，OP →的坐标为________.(2)(2016·盐城模拟)函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________.思想方法指导在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数不等式的解集. 解析 (1)如图所示，过圆心C 作x 轴的垂线，垂足为A ，过P 作x 轴的垂线与过C 作y 轴的垂线交于点B .因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA ＝2，即圆心角∠PCA ＝2，则∠PCB ＝2－π2，所以PB ＝sin(2－π2)＝－cos 2，CB ＝cos(2－π2)＝sin 2，所以x P ＝2－CB ＝2－sin 2，y P ＝1＋PB ＝1－cos 2，所以OP →＝(2－sin 2，1－cos 2).(2)∵3－4sin 2x ＞0， ∴sin 2x ＜34，∴－32＜sin x ＜32. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， ∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z ). 答案 (1)(2－sin 2，1－cos 2) (2)⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )1.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是________.①2k π＋45°(k ∈Z )②k ·360°＋94π(k ∈Z )③k ·360°－315°(k ∈Z )④k π＋5π4(k ∈Z )答案 ③解析与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有③正确.2.若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是________. ①sin α＋cos α＜0 ②tan α－sin α＜0 ③cos α－tan α＜0④tan αsin α＜0答案 ②解析 α是第三象限角，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除①、③、④. 3.(2016·镇江一模)已知α是第二象限的角，其终边上的一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，则tan α＝________.答案－153解析 ∵P (x ，5)，∴y ＝ 5. 又cos α＝24x ＝xr，∴r ＝22， ∴x 2＋(5)2＝(22)2，解得x ＝± 3. 由α是第二象限的角，得x ＝－3，∴tan α＝y x ＝5－3＝－153.4.已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限. 答案二解析 ∵点P (tan α，cos α)在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0，∴角α的终边在第二象限.5.给出下列各函数值： ①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10cos πtan17π9.其中符号为负的是________. 答案 ③解析 sin(－1 000°)＝si n 80°>0；cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos 40°>0；tan(－10)＝tan(3π－10)<0；sin 7π10cos πtan 179π＝－sin7π10tan17π9>0.6.已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为________.答案－1解析由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.7.在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________. 答案 (－1，3)解析依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3).8.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________.答案π3解析设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.9.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是第________象限角. 答案二解析由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2， ∴cos θ2≤0，综上知θ2为第二象限角. 10.在(0，2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为________.答案 (π4，5π4)解析如图所示，找出在(0，2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈(π4，5π4). 11.若－3π4<α<－π2，则sin α，cos α，tan α的大小关系是______________. 答案 sin α＜cos α＜tan α解析如图，在单位圆中，作出－3π4＜α＜－π2内的一个角及其正弦线，余弦线，正切线.由图知，OM ＜MP ＜AT ，考虑方向可得MP ＜OM ＜AT ，即sin α＜cos α＜tan α.12.已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ. 解 ∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，∴tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ， ∴x 2＝1，即x ＝±1.当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22，因此sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22，因此sin θ＋cos θ＝－ 2.故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.13.一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB . 解设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝l r＝2(rad)．如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad.∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB ＝2sin 1(cm)．∴圆心角的弧度数为2，弦长AB 为2sin 1 cm.*14.已知sin α<0，tan α>0.(1)求角α的集合；(2)求α2终边所在的象限； (3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解 (1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，其集合为{α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }． (2)由2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2<0， sin α2>0，cos α2<0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0，sin α2<0，cos α2>0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．。

2018届高考(新课标)数学(文)大一轮复习检测第四章三角函数、解三角形 4-7 Word版含答案

组专项基础训练(时间：分钟)．(·山东)△中，角，，的对边分别是，，.已知＝，＝(－ )．则＝()【解析】由余弦定理得＝＋－＝－，所以(－ )＝(－ )，所以＝，即＝，又＜＜π，所以＝.【答案】．(·甘肃定西模拟)在△中，角，，所对边长分别为，，，若＋＝，则的最小值为()．－【解析】因为＋＝，所以由余弦定理可知，＝，＝＝×≥×＝.故选.【答案】．(·河南实验中学模拟)在△中，＝，＝°，若此三角形有两解，则的范围为()．＜＜．＞．＜＜＜【解析】∵在△中，＝，＝°，且此三角形有两解，∴由正弦定理)＝)＝，得＝，＋＝°－°＝°，由有两个值，得到这两个值互补，若≤°，则和互补的角′≥°，这样＋′≥°，不成立，∴°＜＜°.又若＝°，这样补角也是°，一解，∴＜＜，∴＜＜，故选.【答案】．(·辽宁沈阳模拟)在△中，已知∠∶∠＝∶，角的平分线把三角形面积分为∶两部分，则＝()【解析】∵∠∶∠＝∶，即＝，∴＞，∴＞.∵角平分线把三角形面积分成∶两部分，∴由角平分线定理得∶＝∶＝∶，∴由正弦定理)＝)得)＝，整理得)＝)＝，则＝.故选.【答案】．(·云南玉溪一中月考)已知，，分别为△三个内角，，的对边，若＝，＝，△的面积为，则＋)的值等于()．．．【解析】∵＝，为三角形内角，∴＝＝.∵＝，△的面积为，∴＝，即＝，解得＝，∴由余弦定理得＝＋－＝＋－＝，即＝.再由正弦定理可得)＝)＝＝，∴＋)＝，故选.【答案】．(·福建莆田二十五中月考)若△的周长等于，面积是，＝°，则＝．【解析】∵＝°，∴△＝＝，即＝，解得＝.由余弦定理＝＋－，得＝(＋)－＝(＋)－，∵△的周长＋＋＝，∴＋＝－，得＝(－)－，解得＝.【答案】．(·北京)在△中，∠＝，＝，则＝．【解析】在△中，＝＋－·，将∠＝，＝代入，可得()＝＋－·，整理得＝＋.∵≠，∴等式两边同时除以，得＝＋，即＝＋.令＝(＞)，有＝＋，即＋－＝，解得＝或＝－(舍去)，故＝.【答案】．(·甘肃张掖二模)设△的内角，，所对的边长分别为，，且－＝，则)的值为．【解析】由－＝及正弦定理可得－＝，。

高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形《任意角和蝗制及任意角的三角函数》练习理含解析

第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数[基础题组练]1．若角α的终边经过点P (1，3)，则cos α＋tan α的值为( ) A.1＋232B.－1＋32C.1＋32D.－1＋232 解析：选A.因为角α的终边经过点P (1，3)，则x ＝1，y ＝3，r ＝|OP |＝2，所以 cos α＝x r ＝12，tan α＝y x ＝3，那么cos α＋tan α＝1＋232，故选A. 2．下列结论中错误的是( )A ．若0<α<π2，则sin α<tan α B ．若α是第二象限角，则α2为第一象限或第三象限角C ．若角α的终边过点P (3k ，4k )(k ≠0)，则sin α＝45D ．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度解析：选C.选项A ，若0<α<π2，则sin α<tan α＝sin αcos α，A 正确；选项B ，若α是第二象限角，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z ，则α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π4，k π＋π2，k ∈Z ，为第一象限或第三象限角，B 正确；选项C ，若角α的终边过点P (3k ，4k )(k ≠0)，则sin α＝4k9k 2＋16k 2＝4k 5|k |，不一定等于45，C 不正确；选项D ，若扇形的周长为6，半径为2，则弧长＝6－2×2＝2，其圆心角的大小为22＝1弧度，D 正确．故选C. 3．若角α与β的终边关于x 轴对称，则有( )A ．α＋β＝90°B ．α＋β＝90°＋k ·360°，k ∈ZC ．α＋β＝2k ·180°，k ∈ZD ．α＋β＝180°＋k ·360°，k ∈Z解析：选C.因为α与β的终边关于x 轴对称，所以β＝2k ·180°－α，k ∈Z ，所以α＋β＝2k ·180°，k ∈Z .4．下列选项中正确的是( )A ．sin 300°>0B ．cos(－305°)<0C ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22π3>0D ．sin 10<0 解析：选D.300°＝360°－60°，则300°是第四象限角；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角；因为－22π3＝－8π＋2π3，所以－22π3是第二象限角；因为3π<10<7π2，所以10是第三象限角．故sin 300°<0，cos(－305°)>0，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22π3<0，sin 10<0，故D 正确． 5．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C.当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，结合图象知选C. 6．已知点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，则x 的可能区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πB.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4 解析：选D.由点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，可得sin x －cos x <0，即sin x <cos x ，所以－3π4＋2k π<x <π4＋2k π，k ∈Z .当k ＝0时，x 所在的一个区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4. 7．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( ) A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B.由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的角的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.8．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________．解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，所以与α终边相同的角为360°×k ＋120°，k ∈Z ，令k ＝－1或k ＝0可得θ＝－240°或θ＝120°.答案：120°或－240°9．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为________．解析：设圆的半径为R ，由题意可知，圆内接正三角形的边长为3R ，所以圆弧长为 3R ，所以该圆弧所对圆心角的弧度数为3R R ＝ 3.答案： 310．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．解析：设扇形的半径为R ，其内切圆的半径为r .则(R －r )sin 60°＝r ，即R ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋233r . 又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝7＋439πr 2，所以S 扇πr 2＝7＋439. 答案：(7＋43)∶911．已知角α的终边上一点P (5a ，－12a )(a ∈R 且a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值．解：角α的终边上一点P (5a ，－12a )，即x ＝5a ，y ＝－12a ，所以r ＝x 2＋y 2＝13|a |，当a ＞0时，则sin α＝y r ＝－1213，cos α＝x r ＝513，tan α＝y x ＝－125；当a ＜0时，则sin α＝y r ＝1213，cos α＝x r ＝－513，tan α＝y x ＝－125.12．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α为第四象限角，故m <0，从而m ＝－45， sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45. [综合题组练]1．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( )A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos βB ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan βC ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos βD ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β解析：选D.由三角函数线可知选D.2．(应用型)如图，在Rt △PBO 中，∠PBO ＝90°，以O 为圆心、OB为半径作圆弧交OP 于A 点．若圆弧AB 等分△POB 的面积，且∠AOB ＝α弧度，则αtan α＝________．解析：设扇形的半径为r ，则扇形的面积为12αr 2，在Rt △POB 中，PB ＝r tan α，则△POB 的面积为12r ·r tan α，由题意得12r ·r tan α＝2×12αr 2，所以tan α＝2α，所以αtan α＝12.答案：12 3．(创新型)已知圆O 与直线l 相切于点A ，点P ，Q 同时从A 点出发，P 沿着直线l 向右运动，Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP (如图)，则阴影部分面积S 1，S 2的大小关系是________．解析：设运动速度为m ，运动时间为t ，圆O 的半径为r ，则AQ ︵＝AP ＝tm ，根据切线的性质知OA ⊥AP ，所以S 1＝12tm ·r －S 扇形AOB ， S 2＝12tm ·r －S 扇形AOB ，所以S 1＝S 2恒成立．答案：S 1＝S 24．(应用型)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．(1)若点B 的横坐标为－45，求tan α的值； (2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合； (3)若α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，2π3，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式．解：(1)由题意可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，根据三角函数的定义得tan α＝y x ＝－34. (2)若△AOB 为等边三角形，则∠AOB ＝π3，故与角α终边相同的角β的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝π3＋2k π，k ∈Z . (3)若α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，2π3，则S 扇形＝12αr 2＝12α，而S △AOB ＝12×1×1×sin α＝12sin α，故弓形的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝12α－12sin α，α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，2π3.。

2018届高考(新课标)数学(理)大一轮复习检测：第四章三角函数、解三角形 4-4 Word版含答案

A 组专项基础训练(时间：35分钟)1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的部分图象可能是( )∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴当2x －π3＝0，即x ＝π6时，函数取得最大值1，结合图象看，可使函数在x ＝π6时取得最大值的只有D.【答案】 D2．(2016·课标全国Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后对应的函数解+析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，可得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．故选B.【答案】 B3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，且|φ|＜π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，－π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，7π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12 由函数的图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2. 又图象过点⎝⎛⎭⎪⎫512π，2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×512π＋φ＝2， ∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|＜π2，∴取k ＝0，则φ＝－π3，即得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，其单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D.【答案】 D4．(2016·沈阳质检)已知曲线f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)相邻的两条对称轴之间的距离为π2，且曲线关于点(x 0，0)中心对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0等于( )A.π12B.π6 C.π3 D.5π12f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3. ∵曲线f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3相邻的两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π＝2πω，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∵曲线关于点(x 0，0)中心对称； ∴2x 0＋π3＝k π(k ∈Z )，∴x 0＝k π2－π6(k ∈Z )，又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x 0＝π3.【答案】 C5．(2016·开封模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变由图象可知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由y ＝sin x 的图象先左移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变．【答案】 C6．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是________安．由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π，∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．∵图象过点⎝⎛⎭⎪⎫1300，10，∴10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100π×1300＋φ＝10， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又∵0＜φ＜π2，∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6，当t ＝1100秒时，I ＝－5安．【答案】－57．(2016·全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度得到．【答案】 2π38．(2015·忻州市高三联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间上有两个不同的实数x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为________．由图象可知y ＝m 和y ＝f (x )图象的两个交点关于直线x ＝π6或x ＝23π对称，∴x 1＋x 2＝π3或43π.【答案】 π3或43π9．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 10．(2016·青岛模拟)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a (ω＞0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在上的单调递减区间．(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·⎝⎛⎭⎪⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1＋a .当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ，又f (x )图象上最高点的纵坐标为2， ∴3＋a ＝2，∴a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f (x )的最小正周期T ＝π，∴2ω＝2πT＝2，∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z . 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，∴函数f (x )在上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.B 组专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－92∪∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 当ω＞0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω＜0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.【答案】 D12．(2016·宁夏大学附中第三次月考)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象．关于函数g (x )，下列说法正确的是( )A ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是增函数 B ．其图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是．∵f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，由题意知T 2＝π2，则T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度，得g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x .其图象如图．由图可知，函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数，A 错误；其图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，B 错误；函数为偶函数，C 错误；2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＝1，2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×2π3＝－1，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，23π时，函数g (x )的值域是，D 正确．故选D.【答案】 D13．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m 的取值范围是________．画出函数的图象．由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝⎛⎭⎪⎫2π9＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，所以π≤3m ＋π3≤76π，则2π9≤m ≤5π18，即m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18 14．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________．依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )， ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，∵f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值， ∴π3－π4＜πω，即ω＜12，令k ＝0，得ω＝143.【答案】 14315．(2016·天津卷)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．(1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z . f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .由π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π，得5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π.所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．。

【配套K12】2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.1任意角蝗制及任意角的三角函数教

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数教师用书1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°.(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．三个三角函数的初步性质如下表：4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段【知识拓展】1．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．任意角的三角函数的定义(推广)设P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝yr，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( × ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( √ ) (3)不相等的角终边一定不相同．( × ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等．( √ )(5)若α∈(0，π2)，则tan α>α>sin α.( √ )(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ )1．角－870°的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角终边相同，在第三象限． 2．(教材改编)已知角α的终边与单位圆的交点为M (12，y )，则sin α等于( )A.32 B ．±32 C.22D ．±22 答案 B解析由题意知|r |2＝(12)2＋y 2＝1，所以y ＝±32. 由三角函数定义知sin α＝y ＝±32. 3．(2016·宁波二模)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.4．函数y ＝2cos x －1的定义域为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )解析 ∵2cos x －1≥0， ∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)．∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．题型一角及其表示例1 (1)若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在( ) A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________________．答案 (1)A (2)(2k π＋π4，2k π＋56π)(k ∈Z )解析 (1)当k ＝2n (n ∈Z )时，α＝2n ·180°＋45°＝n ·360°＋45°，α为第一象限角；当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，α＝(2n ＋1)·180°＋45°＝n ·360°＋225°，α为第三象限角．所以α为第一或第三象限角．故选A.(2)在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝⎛⎭⎪⎫π4，56π，∴所求角的集合为⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π (k ∈Z )．思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角．(2)利用终边相同的角的集合S ＝{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．(1)终边在直线y ＝3x 上的角的集合是__________________．(2)(2016·台州模拟)若角θ的终边与6π7角的终边相同，则在[0,2π]内终边与θ3角的终边相同的角的个数为________．答案 (1){α|α＝π3＋k π，k ∈Z } (2)3解析 (1)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角为π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为 {α|α＝π3＋k π，k ∈Z }．(2)∵θ＝6π7＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝2π7＋2k π3(k ∈Z )，依题意0≤2π7＋2k π3≤2π，k ∈Z ，∴－37≤k ≤187，∴k ＝0,1,2，即在[0,2π]内与θ3角的终边相同的角为2π7，20π21，34π21共三个．题型二弧度制例2 (1)(2016·舟山模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．答案2解析设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ，∴正方形边长为2r ，∴圆心角的弧度数是2rr＝ 2.(2)已知扇形的圆心角是α，半径是r ，弧长为l . ①若α＝100°，r ＝2，求扇形的面积；②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．解 ①S ＝12lr ＝12αr 2＝12×59π×4＝109π.②由题意知l ＋2r ＝20，即l ＝20－2r ，S ＝12l ·r ＝12(20－2r )·r ＝－(r －5)2＋25，当r ＝5时，S 的最大值为25.当r ＝5时，l ＝20－2×5＝10，α＝l r＝2(rad)．即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2 rad. 思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．(1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 ( )A.π3 B.π6 C ．－π3D ．－π6(2)圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π6 B.π3 C ．3D. 3答案 (1)C (2)D解析 (1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A 、B 不正确；又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.(2)如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB ，垂足为M ，在Rt△AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，∴AM ＝32r ，AB ＝3r ， ∴l ＝3r ，由弧长公式得α＝l r＝3rr＝ 3.题型三三角函数的概念命题点1 三角函数定义的应用例3 (1)(2016·杭州模拟)若角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，则cos θ的值为________．(2)点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 答案 (1)－64(2)A 解析 (1)由题意知r ＝3＋m 2， ∴sin θ＝m3＋m2＝24m ， ∵m ≠0，∴m ＝±5，∴r ＝3＋m 2＝22， ∴cos θ＝－322＝－64.(2)由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. ∴Q 点的坐标为(－12，32)．命题点2 三角函数线例4 函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为__________________．答案 [2k π＋π3，2k π＋5π6)(k ∈Z )解析要使原函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >12，cos x ≤12，如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为[2k π＋π3，2k π＋5π6) (k ∈Z )．思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围．(1)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0.则实数a的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3)D ．[－2,3](2)满足cos α≤－12的角α的集合为________．答案 (1)A (2){α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z }解析 (1)∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0， ∴－2<a ≤3.(2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z }．6．数形结合思想在三角函数中的应用典例 (1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C (2,1)时，OP →的坐标为________．(2)(2016·合肥调研)函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________．思想方法指导在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数的不等式的解集．解析 (1)如图所示，过圆心C 作x 轴的垂线，垂足为A ，过P 作x 轴的垂线与过C 作y 轴的垂线交于点B .因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA ＝2，即圆心角∠PCA ＝2，则∠PCB ＝2－π2，所以PB ＝sin(2－π2)＝－cos 2，CB ＝cos(2－π2)＝sin 2，所以x P ＝2－CB ＝2－sin 2，y P ＝1＋PB ＝1－cos 2，所以OP →＝(2－sin 2,1－cos 2)． (2)∵3－4sin 2x ＞0，∴sin 2x ＜34，∴－32＜sin x ＜32. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．答案 (1)(2－sin 2,1－cos 2) (2)⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )1．设集合M ＝{x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z }，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅答案 B解析方法一由于M ＝{x |x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z }＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝{x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z }＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N ，故选B.方法二由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B.2．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) A ．sin α＋cos α＜0 B ．tan α－sin α＜0 C ．cos α－tan α＜0 D ．tan αsin α＜0答案 B解析 α是第三象限角，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除A 、C 、D ，故选B.3．(2016·杭州一模)已知α是第二象限的角，其终边上的一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，则tan α等于( ) A.155B.153 C ．－155 D ．－153 答案 D解析 ∵P (x ，5)，∴y ＝ 5.又cos α＝24x ＝x r ，∴r ＝22， ∴x 2＋(5)2＝(22)2，解得x ＝± 3.由α是第二象限的角，得x ＝－3，∴tan α＝y x ＝5－3＝－153. 4．(2016·杭州第二中学模拟)若390°角的终边上有一点P (a ，3)，则a 的值是( ) A. 3B ．3 3C ．－ 3D ．－3 3 答案 B解析 ∵tan 390°＝3a，又tan 390°＝tan(360°＋30°) ＝tan 30°＝33， ∴3a ＝33，∴a ＝3 3. 5．已知点P (sin α－cos α，2)在第二象限，则α的一个变化区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π 答案 C 解析 ∵P (sin α－cos α，2)在第二象限，∴sin α<cos α，∴α的一个变化区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4. 6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( ) A ．1B ．－1C ．3D ．－3答案 B解析由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.7．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．答案 (－1，3)解析依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．8．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________．答案 π3 解析设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧ l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝π3，r ＝2.9．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是第________象限角．答案二解析由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2， ∴cos θ2≤0，综上知θ2为第二象限角． 10．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为________．答案 (π4，5π4) 解析如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈(π4，5π4)．11．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB . 解设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝l r＝2(rad)．如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad.∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB ＝2sin 1(cm)．∴圆心角的弧度数为2 rad ，弦长AB 为2sin 1 cm.12．已知角α终边上一点P ，P 到x 轴的距离与到y 轴的距离之比为3∶4，且sin α<0，求cos α＋2tan α的值．解设P (x ，y )，则根据题意，可得|y ||x |＝34. 又∵sin α<0，∴α的终边只可能在第三、第四象限．①若点P 位于第三象限，可设P (－4k ，－3k )(k >0)，则r ＝x 2＋y 2＝5k ，从而cos α＝x r ＝－45，tan α＝y x ＝34，∴cos α＋2tan α＝710. ②若点P 位于第四象限，可设P (4k ，－3k )(k >0)，则r ＝x 2＋y 2＝5k ，从而cos α＝x r ＝45，tan α＝y x ＝－34， ∴cos α＋2tan α＝－710. 综上所述，若点P 位于第三象限，则cos α＋2tan α＝710；若点P 位于第四象限，则cos α＋2tan α＝－710. 13.已知sin α<0，tan α>0.(1)求角α的集合；(2)求α2终边所在的象限； (3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解 (1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，其集合为{α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }． (2)由2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2<0， sin α2>0，cos α2<0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0， sin α2<0，cos α2>0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号．α2sinα2cosα2取正号．因此，tan。

2018届高考新课标数学理大一轮复习检测：第四章三角函数、解三角形 4-6 含答案精品

A 组专项基础训练(时间：30分钟)1．(2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝0； cos 2α＝0⇔cos α＝±sin α⇒/ sin α＝cos α，故选A. 【答案】 A2．(2016·山东)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A.π2B ．π C.3π2D ．2π 【解析】 ∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π，故选B.【答案】 B 3．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A.118 B ．－118 C.1718 D ．－1718【解析】 cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α 代入原式，得6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝－1718.【答案】 D4．(2017·成都第一次诊断性检测)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π4或9π4【解析】 ∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π.∵sin 2α＝55，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π， ∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，cos 2α＝－255. ∵β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4， ∴cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22. 又∵α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4.【答案】 A5．(2016·菏泽期末)函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π6，0对称，则f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z 【解析】 ∵f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π3，由题意知2×π6＋θ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴θ＝k π－23π(k ∈Z )．∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋23π.由2k π－π2≤2x ＋23π≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z )．故选C.【答案】 C6．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，则sin 2θ－2cos 2θ的值为________．【解析】 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，∴1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12.∴sin 2θ－2cos 2θ ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝2×12－214＋1＝－45.【答案】－457．(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________．【解析】由于2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以A ＝2，b ＝1.【答案】 2 18．(2015·北京西城一模)若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________．【解析】因为(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，所以1＋3(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4，即3(tan α＋tan β)＝3－3tan αtan β＝3(1－tan αtan β)，即tan α＋tan β＝3(1－tan αtan β)． ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 3.又∵α，β为锐角，∴α＋β＝π3.【答案】 π39．(2016·沈阳质检)已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．【解析】 (1)f (x )＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32.所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32. 故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32. B 组专项能力提升 (时间：20分钟)10．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2【解析】由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.【答案】 B 11．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3【解析】依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2，故cos(α－β)＝1－sin 2（α－β）＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32，故β＝π3，故选D.【答案】 D12．(2017·河南百校联盟教学质量监测)已知函数f (x )＝|sin x |＋|cos x |，则下列结论中错误的是( )A ．f (x )是周期函数B ．f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π4，k ∈ZC ．f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上为增函数D ．方程f (x )＝65在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32π，0上有6个根【解析】因为f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝|sin x |＋|cos x |＝f (x )，所以f (x )是周期为π2的函数．因为f (x )为偶函数，所以f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π4，k ∈Z ，故A ，B 项正确．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，作出函数f (x )的部分图象如图所示，由图象可知C 项错误，D 项正确．【答案】 C13．设x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为________．【解析】方法一因为y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝2－cos 2xsin 2x ，所以令k ＝2－cos 2x sin 2x .又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以k 就是单位圆x 2＋y 2＝1的左半圆上的动点P (－sin 2x ，cos 2x )与定点Q (0，2)所成直线的斜率．又k min ＝tan 60°＝3，所以函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为 3.方法二 y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x2sin x cos x＝3tan 2x ＋12tan x ＝32tan x ＋12tan x.∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴tan x ＞0.∴32tan x ＋12tan x≥2 32tan x ·12tan x＝ 3. ⎝ ⎛⎭⎪⎫当tan x ＝33，即x ＝π6时取等号即函数的最小值为 3. 【答案】 314．(2016·临沂一模)已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是f (x )图象的一条对称轴．(1)试求ω的值；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值．【解析】 f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx ＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.(1)由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6图象的一条对称轴，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1.∴2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴ω＝32k ＋12(k ∈Z )．又0＜ω＜1，∴－13＜k ＜13.又∵k ∈Z ，从而k ＝0，∴ω＝12.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6，即g (x )＝2cos 12x ，∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴π6＜α＋π6＜2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45.∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310.。

【小初高学习】课标通用2018年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4.1任意角和蝗制及任意角的

§4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数考纲展示►1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念． 2．能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．考点1 角的集合表示及象限角的判定角的概念 (1)角的形成角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置________到另一个位置所成的________．角的分类⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧按旋转方向不同分类⎩⎪⎨⎪⎧正角：按方向旋转而成的角，负角：按方向旋转而成的角，零角：射线没有旋转.按终边位置不同分类⎩⎪⎨⎪⎧象限角：角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角，轴线角：角的终边落在坐标轴上.(3)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }或{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．答案：(1)旋转图形 (2)逆时针顺时针(1)[教材习题改编]终边在直线y ＝x 上的角的集合是________．答案：{}α|α＝k ·180°＋45°，k ∈Z解析：在0°～360°范围内，终边在直线y ＝x 上的正角有两个，即为45°，225°，写出与其终边相同的角的集合，整合即得．(2)[教材习题改编]①－160°＝________rad; ②3π10rad ＝________度．答案：①－8π9②54解析：①－160°＝－160180×π rad ＝－8π9 rad.②3π10 rad ＝310×180°＝54°.混淆几种角的概念：任意角；终边相同的角；象限角．下列命题叙述正确的有________个． ①小于90°的角是锐角； ②终边相同的角相等； ③第二象限角大于第一象限角．答案：0解析：①角是任意的，有正角、零角、负角，小于90°的角也可以是零角或负角；②比如30°和390°，它们的终边相同，但它们不相等. 终边相同的角，它们相差360°的整数倍，相等的角终边一定相同；③由于终边相同的角的无限性，故第二象限角不一定大于第一象限角．[典题1] (1)①若角θ的终边与6π7的终边相同，则在[0,2π)内终边与θ3的终边相同的角为________．[答案] ①2π7，20π21，34π21②终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________．[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π3＋k π，k ∈Z ③已知角α的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界)，则角α的集合为________．[答案] {α|90°＋n ·180°≤α≤135°＋n ·180°，n ∈Z }(2)如果α是第三象限的角，则角－α的终边所在位置是______，角2α的终边所在位置是______，角α3终边所在的位置是______．[答案] 第二象限第一、二象限及y 轴的非负半轴第一、三、四象限[解析] 由α是第三象限的角，得π＋2k π<α<3π2＋2k π⇒－3π2－2k π<－α<－π－2k π，即π2＋2k π<－α<π＋2k π(k ∈Z )， ∴角－α的终边在第二象限．由π＋2k π<α<3π2＋2k π，得2π＋4k π<2α<3π＋4k π(k ∈Z )，∴角2α的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴．因为π＋2k π<α<3π2＋2k π(k ∈Z )，所以π3＋2k π3<α3<π2＋2k π3(k ∈Z )．当k ＝3n (n ∈Z )时，π3＋2n π<α3<π2＋2n π(n ∈Z )；当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，π＋2n π<α3<7π6＋2n π(n ∈Z )；当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，5π3＋2n π<α3<11π6＋2n π(n ∈Z )．所以α3的终边在第一、三、四象限．[点石成金] 1.终边在某直线上角的求法四步骤 (1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．2．确定k α，αk(k ∈N *)的终边位置三步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出k α或αk的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定k α或αk的终边所在位置．考点2 扇形的弧长及面积公式弧度制 (1)1弧度的角长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． (2)角α的弧度数如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r.(3)角度与弧度的换算①180°＝________ rad ；②1°＝π180 rad ；③1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°. (4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，则l ＝________，扇形的面积为S ＝12lr ＝12|α|·r 2. 答案：(1)半径长 (3)π (4)|α|r(1)[教材习题改编]单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( ) A ．10π B ．9π C.9π10D.10π9答案：D(2)[教材习题改编]半径为120 mm 的圆上长为144 mm 的弧所对圆心角的弧度数是________．答案：1.2解析：根据圆心角弧度数的计算公式，得 α＝144120＝1.2.周长为定值的扇形中，当圆心角________时面积最大；面积为定值的扇形中，当圆心角________时周长最小．答案：θ＝2 θ＝2[典题2] 若扇形的周长为10，面积为4，则该扇形的圆心角为________． [答案] 12[解析] 设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍去)．故扇形圆心角为12.[题点发散1] 若去掉本例条件“面积为4”，则当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解：设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋r θ＝10.S ＝12θ·r 2＝12r (10－2r )＝r (5－r )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －522＋254≤254，当且仅当r ＝52时，S max ＝254，θ＝2.所以当r ＝52，θ＝2时，扇形面积最大．[题点发散2] 若本例中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是多少？解：设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ，∴正方形边长为2r ， ∴圆心角的弧度数是2rr＝ 2.[点石成金] 涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示.已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S . 解：(1)在△AOB 中，AB ＝OA ＝OB ＝10， ∴△AOB 为等边三角形．因此弦AB 所对的圆心角α＝π3.(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得l ＝α·R ＝π3×10＝10π3， S 扇形＝12R ·l ＝12α·R 2＝50π3. 又S △AOB ＝12OA ·OB ·sin π3＝25 3.∴弓形的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.考点3 三角函数的定义任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝________，cos α＝________，tan α＝yx(x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的________，________和________．(3)三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．答案：(1)y x(2)正弦线余弦线正切线(1)[教材习题改编]若角θ满足tan θ>0，sin θ<0，则角θ所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：C(2)[教材习题改编]若角α的终边经过点P (－3，－4)，则sin α＋cos α＝________. 答案：－75解析：sin α＝－45，cos α＝－35，所以sin α＋cos α＝－75.三角函数概念理解误区：点P 的位置；函数值的符号．(1)角α的三角函数值与终边上的点P 的位置________关．(填“有”或“无”) 答案：无解析：角α的三角函数值只与角α的大小有关，不受终边上的点P 的位置的影响． (2)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.答案：－8解析：由已知，得r ＝|OP |＝42＋y 2. 由三角函数的定义，得sin θ＝y r＝y16＋y2.因为sin θ＝－255，所以y 16＋y 2＝－255，解得y ＝－8或y ＝8(舍去)．[考情聚焦] 三角函数的定义是高考的常考内容，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小，属中低档题．主要有以下几个命题角度：角度一根据三角函数的定义求三角函数值[典题3] (1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，则sin α＝________. [答案] －35[解析] sin α＝－342＋－2＝－35.(2)[2017·云南玉溪模拟]设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝________.[答案] －43[解析] 因为α是二象限角，所以cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝xx 2＋16，解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43.[点石成金] 1.已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．2．已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．角度二根据三角函数的定义求点的坐标[典题4] (1)点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 8π3 弧长到达点Q ，则点Q的坐标为________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32[解析] 设点A (－1,0)，点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 8π3 弧长到达点Q ，则∠AOQ ＝8π3－2π＝2π3(O 为坐标原点)，所以∠xOQ ＝π3，cos π3＝12，sin π3＝32，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.(2)已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值．[解] 由题设知x ＝－3，y ＝m ，∴r 2＝|OP |2＝()－32＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2.∴sin α＝m r＝2m 4＝m 22， ∴r ＝3＋m 2＝22，即3＋m 2＝8，解得m ＝± 5.当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝5， ∴cos α＝－322＝－64，tan α＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5，∴cos α＝－322＝－64，tan α＝153.[点石成金] 1.已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．2．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标.[方法技巧] 三角函数的定义及单位圆的应用技巧(1)在利用三角函数的定义时，点P 可取终边上异于原点的任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．[易错防范] 1.第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．要熟记0°～360°间特殊角的弧度表示． 4．要注意三角函数线是有向线段．课外拓展阅读错用三角函数的定义求三角函数值[典例1] [2016·天津模拟]已知角θ的终边上一点P (3a,4a )(a ≠0)，则sin θ＝________.[易错分析](1)角的终边是一条射线，而不是直线，该题中，我们只能确定角的终边所在直线． (2)由终边上一点求三角函数时，由于没有考虑参数的取值情况，从而求出r ＝a2＋a2＝25a 2＝5a ，结果得到下列错误的结论：sin θ＝y r ＝45.[解析] ∵x ＝3a ，y ＝4a ， ∴r ＝a2＋a2＝5|a |.(1)当a >0时，r ＝5a ，∴sin θ＝y r ＝45.(2)当a <0时，r ＝－5a ，小初高教案试题导学案集锦K12资源汇总，活到老学到老 ∴sin θ＝y r ＝－45. 综上，sin θ＝±45. [答案] ±45温馨提示(1)区分两种三角函数的定义如果是在单位圆中定义任意角的三角函数，设角α的终边与单位圆的交点坐标为(x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x，但如果不是在单位圆中，设角α的终边经过点P (x ，y )，|OP |＝r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x. (2)明确三角函数的定义与角的终边所在的象限位置的关系．。

2018版高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4.1任意角和蝗制及任意角的三角函数真题演练集训理

K12教育教学文件+试卷+教案
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课外拓展阅读
错用三角函数的定义求三角函数值
[典例1] [2016·天津模拟]已知角θ的终边上一点P (3a,4a )(a ≠0)，则sin θ＝________.
[易错分析]
(1)角的终边是一条射线，而不是直线，该题中，我们只能确定角的终边所在直线．
(2)由终边上一点求三角函数时，由于没有考虑参数的取值情况，从而求出r ＝a 2＋a 2＝25a 2＝5a ，结果得到下列错误的结论：sin θ＝y r ＝45
. [解析] ∵x ＝3a ，y ＝4a ，
∴r ＝a 2＋a 2＝5|a |.
(1)当a >0时，r ＝5a ，
∴sin θ＝y r ＝45
. (2)当a <0时，r ＝－5a ，
∴sin θ＝y r ＝－45
. 综上，sin θ＝±45
. [答案] ±45
温馨提示
(1)区分两种三角函数的定义
如果是在单位圆中定义任意角的三角函数，设角α的终边与单位圆的交点坐标为(x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x
，但如果不是在单位圆中，设角α的终边经过点P (x ，y )，|OP |＝r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x
. (2)明确三角函数的定义与角的终边所在的象限位置的关系．。

[推荐学习]课标通用2018年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4.1任意角和蝗制及任意角的三

[ 介绍学习 ] 课标通用 2018 年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形 4.1 随意角和蝗制及随意角的三生活的色彩就是学习§4.1随意角和弧度制及随意角的三角函数考纲展现 ?1.认识随意角的观点；认识弧度制的观点．2．能进行弧度与角度的互化．3．理解随意角的三角函数( 正弦、余弦、正切) 的定义．考点 1角的会合表示及象限角的判断角的观点(1)角的形成角能够当作平面内一条射线绕着端点从一个地点 ________到另一个地点所成的 ________．2角的分类错误 !(3)全部与角α 终边同样的角，连同角α 在内，可组成一个会合： S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ， k∈Z}．答案： (1) 旋转图形(2)逆时针顺时针(1)[ 教材习题改编 ] 终边在直线y＝x上的角的会合是 ________．答案：α|α＝k·180°＋45°，k∈Z分析：在 0°～ 360°范围内，终边在直线y＝x上的正角有两个，即为45°，225°，写出与其终边同样的角的会合，整合即得．(2)[教材习题改编]①－160°＝________rad;3π②10 rad ＝________度．8π答案：①－9②541608π分析：①－ 160°＝－180×π rad ＝－9 rad.3π3②10 rad ＝10×180°＝ 54°.混杂几种角的观点：随意角；终边同样的角；象限角．以下命题表达正确的有________个．①小于 90°的角是锐角；②终边同样的角相等；③第二象限角大于第一象限角．答案： 0分析：①角是随意的，有正角、零角、负角，小于 90°的角也能够是零角或负角；②比方 30°和 390°，它们的终边同样，但它们不相等 . 终边同样的角，它们相差 360°的整数倍，相等的角终边必定同样；③因为终边同样的角的无穷性，故第二象限角不必定大于第一象限角．6π[ 典题 1] (1) ①若角θ的终边与7 的终边θ同样，则在 [0,2 π) 内终边与3的终边同样的角为________．[ 答案]①2π，20π，34π72121②终边在直线y ＝ 3 x上的角的集合为________．[ 答案]α α＝π＋kπ， k∈Z 3③已知角α 的终边落在暗影所表示的范围内( 包含界限 ) ，则角α的会合为 ________．[ 答案 ]{ α|90 °＋n·180°≤α≤135°＋n·180°， n∈Z}(2)假如α 是第三象限的角，则角－α 的终边所在地点是 ______，角 2α的终边所在地点是α______，角3终边所在的地点是 ______．[ 答案 ]第二象限第一、二象限及y 轴的非负半轴第一、三、四象限[ 分析 ]由α是第三象限的角，得π＋3π3π2kπ<α< 2＋2kπ? －2－2kπ<－α<－π－2kπ，生活的色彩就是学习π即2＋2kπ<－α<π＋ 2kπ(k∈Z) ，∴角－α 的终边在第二象限．3π由π＋ 2kπ<α< 2＋2kπ，得2π＋ 4kπ<2α<3π＋ 4kπ(k∈Z) ，∴角 2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴．3π因为π＋ 2kπ<α< 2＋2kπ(k∈Z) ，π2kπαπ2kπ所以3＋3< 3 < 2＋3( k∈Z) ．πα π当 k＝3n( n∈Z)时，3＋2nπ<3<2＋2nπ(n ∈Z) ；α 7π当 k＝3n＋1( n∈Z)时，π＋2nπ<3<6＋2nπ(n∈Z) ；生活的色彩就是学习5πα 11π当 k＝3n＋2( n∈Z)时，3＋2nπ<3<6＋2nπ(n∈Z) ．α所以3的终边在第一、三、四象限．[ 画龙点睛 ] 1. 终边在某直线上角的求法四步骤(1)数形联合，在平面直角坐标系中画出该直线；(2)按逆时针方向写出 [0,2 π) 内的角；(3)再由终边同样角的表示方法写出知足条件角的会合；(4)求并集化简会合．2．确立kα，α( k∈N* ) 的终边地点三步骤k(1) 用终边同样角的形式表示出角α 的范围；α(2) 再写出kα或k的范围；α(3)而后依据 k 的可能取值议论确立 kα或k 的终边所在地点．考点 2扇形的弧长及面积公式弧度制(1)1 弧度的角长度等于 ________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．(2)角α 的弧度数假如半径为 r 的圆的圆心角α所对弧的长为ll ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝r.(3)角度与弧度的换算π①180°＝ ________ rad ；② 1°＝180 rad ；180③1 rad ＝π°.(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，1半径为 r ，则 l ＝________，扇形的面积为 S＝2lr 1＝2|α|·r2.答案： (1) 半径长(3) π(4)| α| r(1)[ 教材习题改编 ] 单位圆中， 200°的圆心角所对的弧长为 ()A．10πB．9π9π10πC.10D.9答案： D(2)[ 教材习题改编 ] 半径为 120 mm的圆上长生活的色彩就是学习为 144 mm的弧所对圆心角的弧度数是________．答案： 1.2分析：依据圆心角弧度数的计算公式，得144α＝120＝1.2.周长为定值的扇形中，当圆心角________时面积最大；面积为定值的扇形中，当圆心角________时周长最小．答案：θ＝2θ＝2[ 典题 2] 若扇形的周长为 10，面积为 4，则该扇形的圆心角为 ________．[ 答案]1 2[ 分析 ]设圆心角是θ，半径是r，生活的色彩就是学习2r＋rθ＝10，r ＝4，则1θ·r2＝4，解得θ＝1或22r＝1，θ＝8(舍去)．1故扇形圆心角为2.[ 题点发散1]若去掉本例条件“面积为4”，则当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解：设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝10.121S＝2θ·r ＝2r (10－2r )＝r (5－r )522525＝－ r －2＋4≤4，525当且仅当 r ＝2时， S ＝4，θ＝2.max生活的色彩就是学习5所以当 r ＝2，θ＝2时，扇形面积最大．[ 题点发散 2] 若本例中条件变成：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是多少？解：设圆半径为 r ，则圆内接正方形的对角线长为 2r，∴正方形边长为 2r，2r∴圆心角的弧度数是r＝ 2.[ 画龙点睛] 波及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，此中弧度表示的公式构造简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示 .已知半径为 10 的圆O中，弦AB的长为 10.(1)求弦 AB所对的圆心角α的大小；(2)求α 所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积 S.解： (1) 在△ AOB 中， AB ＝OA ＝OB ＝10，∴△ AOB 为等边三角形．π所以弦 AB 所对的圆心角 α＝ 3 .(2) 由扇形的弧长与扇形面积公式，得l ＝α·R ＝π×10＝10π，3311250πS 扇形＝2R ·l ＝2α·R＝3.1π又 S △ AOB ＝2OA ·OB ·sin3 ＝25 3.π3∴弓形的面积 S ＝S 扇形－S △ AOB ＝50 3 － 2 .考点 3三角函数的定义随意角的三角函数(1)定义：设α 是一个随意角，它的终边与单位圆交于点 P( x，y)，那么sinα＝________，ycos α＝________，tanα＝x(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线能够看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是 (1,0) ．如图中有向线段MP， OM， AT 分别叫做角α 的________，________和________．(3)三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．答案： (1) y x(2)正弦线余弦线正切线(1)[ 教材习题改编 ] 若角θ知足 tanθ>0，sin θ<0，则角θ所在的象限是 ()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案： C(2)[ 教材习题改编 ] 若角α的终边经过点Pα＋cos α＝________.( －3，－ 4) ，则 sin7答案：－5α4α3分析： sin＝－5，cos＝－5，所以 sin7α＋cosα＝－5.三角函数观点理解误区：点P 的地点；函数值的符号．(1)角α 的三角函数值与终边上的点P的地点________关． ( 填“有”或“无”)答案：无分析：角α 的三角函数值只与角α 的大小相关，不受终边上的点P 的地点的影响．(2)已知角θ 的极点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，2 5且 sin θ＝－5，则y＝________.答案：－8分析：由已知，得 r ＝| OP|＝42＋y2.由三角函数的定义，得 sinθy ＝r＝y2.16＋y25y25因为 sin θ＝－ 5，所以16＋y2＝－5，解得 y＝－8或 y＝8(舍去)．[ 考情聚焦 ]三角函数的定义是高考的常考内容，多以选择题、填空题的形式考察，难度较小，属中低档题．主要有以下几个命题角度：角度一依据三角函数的定义求三角函数值[ 典题 3] (1) 已知角α的终边经过点P(4 ，－3) ，则 sin α＝________.[ 答案]3－5－33[ 分析]sin α＝42＋－32＝－5.(2)[2017·云南玉溪模拟 ] 设α是第二象限1角， P( x, 4)为其终边上的一点，且cos α＝5x，则 tan α＝________.4[ 答案]－3生活的色彩就是学习[ 分析]因为α 是二象限角，所以cos α11x＝x，解得＝ x<0，即 x<0.又cosα＝255x ＋1644x＝－3，所以tanα＝x＝－3.[ 画龙点睛 ] 1. 已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，而后用三角函数的定义求解．2．已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，而后用三角函数的定义来求解．角度二依据三角函数的定义求点的坐标[ 典题 4] (1) 点P从( －1,0) 出发，沿单位8π圆顺时针方向运动弧长抵达点Q，则点Q的3坐标为 ________．13，K12 的学习需要努力专业专心坚持生活的色彩就是学习[ 分析 ] 设点A( －1,0)，点 P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动8πQ，弧长抵达点3则∠ AOQ＝8π3－2π＝2π3(O为坐标原点)，ππ 1π3所以∠ xOQ＝3，cos3＝2，sin3＝2，1 3所以点 Q的坐标为2，2.(2)已知角α 的终边上一点P(－3，2mm)( m≠0)，且sinα＝4，求cosα，tanα的值．[ 解]由题设知 x＝－3，y＝m，2＝| OP|2＝－322∴ r＋ m( O 为原点)， r ＝23＋m.∴sinm2m m α＝＝4＝，r 2 22∴r ＝3＋m＝22，生活的色彩就是学习2即 3＋m＝8，解得 m＝± 5.m5时，r x＝－y＝ 5，当＝＝2 2，3，α－ 36α15∴cos＝2 2＝－4，tan＝－ 3；当 m＝－5时，r＝2 2，x＝－3，y＝－5，－ 3615∴cos α＝ 2 2＝－4，tanα＝3.[ 画龙点睛 ] 1. 已知角α 的某三角函数值，可求角α 终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．2．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，依据三角函数的定义可求角α 终边上某特定点的坐标 .[ 方法技巧 ]三角函数的定义及单位圆的应用技巧(1)在利用三角函数的定义时，点 P 可取终边上异于原点的任一点，若有可能则取终边与单位圆的交点．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．[ 易错防备 ] 1. 第一象限角、锐角、小于 90°的角是观点不一样的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采纳的胸怀制度一定一致，不行混用．3．要熟记 0°～ 360°间特别角的弧度表示．4．要注意三角函数线是有向线段．课外拓展阅读错用三角函数的定义求三角函数值[ 典例 1] [2016 ·天津模拟 ] 已知角θ的终边上一点 P(3 a, 4a)( a≠0)，则sinθ＝________.[ 易错剖析 ](1)角的终边是一条射线，而不是直线，该题中，我们只好确立角的终边所在直线．(2)由终边上一点求三角函数时，因为没有考虑参数的取值情况，从而求出 r ＝3a2＋4a 2 ＝25a2＝ 5a，结果获得以下y4错误的结论： sin θ＝r＝5.[ 分析 ]∵x＝3a，y＝4a，∴r ＝3a2＋4a2＝5|a|.(1)当 a>0时， r ＝5a，y4∴sin θ＝r＝5.(2)当 a<0时， r ＝－5a，y4∴sinθ＝r＝－5.4综上， sinθ＝±5.4[ 答案]±5温馨提示(1)划分两种三角函数的定义假如是在单位圆中定义随意角的三角函数，设角α 的终边与单位圆的交点坐标为( x，y) ，则ysin α＝y， cos α＝x，tan α＝x，但假如不是在单位圆中，设角α 的终边经过点P(x，y)，|OP|y x y＝r ，则sinα＝r，cosα＝r，tanα＝x.(2)明确三角函数的定义与角的终边所在的象限地点的关系．。