第五章分布检验.

2
对于给定的显著性水平 ，由分布 2 (r 1) 定出。
2 c (r 1)
可
3
例1 某大公司的人事部门希望了解公司职工的病假是否服 从均匀分布在周一到周五，以便合理安排工作。如今抽取 了100名病假职工，其病假日分布如下：
工作日 频数 周一 17 周二 27 周三 10 周四 28 周五 18
X2
…
合计
B1
B2
… … … …
Bc
n2c
X1
A1 A2

Ar
合计
n11 n12 n21 n 22
n1c
n1 n 2

nrc

n r1
nr 2 n 2
nr
n1
n c
n
12
在这种列联表中，人们关心的问题是两个特征是否独 立，称这类问题为列联表的独立性检验。
A1 ,, Ar
B1 ,, Bc
442
625
1159
合计
60
210
1062
1668
3000
18
ˆ i p ˆj np
男
大专以 上 36.8
中专技 校 128.9
高中
初中及 以下 1023.6
合计
651.7
1841
女
23.2
81.1
410.3
644.4
1159
合计
60
210
1062
1688
3000
19
例5 有一千人按性别和是否色盲分类如下:
{W 0.842}
为计算统计量常列成如下表的计算表
26
i
1
x(i )
-1.2
x( n1i )
3.7
x( n1i ) x(i )
4.9
ai
0.5739
2
3
ห้องสมุดไป่ตู้
-1.0
-0.6
2.7
2.0
3.7
2.6
0.3291
0.2141
4
5
-0.3
j
）， （3.6.3）
pij pi p j
在这一问题中统计量
2 可写改为
14
(nij npij ) (npij )
2 2 i 1 j 1
r
c
(nij npi p j ) (npi p j )
2 i 1 j 1
r
c
最后一个等式是在原假设 H 0 为真时导出的，在最后 一个式子中有 r+c个未知参数 pi 和 p j 需要估计。 又由
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三、总体为连续分布的情况
设样本 X 1 ,, X n 为来自总体 X 的一个样本, 要检验的假设是: H 0 : X 服从分布 F ( x) 其中 F ( x) 含有 k 个未知参数,若 k 0 , 那 就 完全已知. 检验 H 0 的做法如下: (1) 把 X 的取值范围分成 r 个区间,设为: 设各区间为 a0 a1 ar 1 ar
为明确写出检验问题，记总体 X 为 ( X 1 , X 2 ) ，它是 二维随机变量，这里 X 1 被分成 r 类， X 2 被分成 c 类，并设
P( X Ai B j ) pij , i 1,, r; j 1,, c.
记
pi P( X 1 Ai ) pij , i 1,, r
2 ( n np ) i 2 i npi i 1 r
3.6.1
2
并指出，当样本容量 n 充分大且 H 0 为真时， 2 近似服从自由度为 r-1 的分布。 当 可认为原假设不真。
H 0 为真时， 2 不应过大，若 2
过大，就
基于此想法，检验的拒绝域应有如下形式：
W { c}
抗压强度区间 （190，200） （200，210） （210，220）
(ai 1 , ai ]
频数 10 26 56
ni
（220，230）
（230，240） （240，250）
64
30 14
合
计
200
本检验方法依赖分组，分组不同有可能得出不同的 10 结论，这是在连续场合 2 拟合优度检验的不足之处。
在水平上检验如下假设：通过该交叉路口的汽车数量 服从泊松分布 P ( ) 。 0.05 解：这里把总体分成12类，每一类出现的概率分别为： i
pi i! e
5
记 Ai 表示15秒钟内通过交叉路口的汽车为 i 辆, i 0,1,,11 .要检验的假设记为：
H 0 : P( Ai ) pi , i 0,1,,11
pi P(ai 1 X ai ) F (ai ) F (ai 1 )
从而用未知参数的极大似然估计代替后可算得各 这样就把检验问题化为分类数据的检验问题 , 以后的计算同前面。
pi .
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例3 为研究混凝土抗压强度的分布，抽取了200件混凝 土制作测定其抗压强度，经整理得频数分布表如下表。试 在水平 0.05下检验抗压强度的分布是否为正态分布。
拒绝原假设,表明色盲和性别之间有非常密切的关系.
22
§5.2正态性检验
用于判断总体是否为正态分布的检验称为正态性 检验。由于正态分布在实际中使用频繁，迫使统 计学家去寻找专门的正态性检验。在几十种正态 性 检 验 方 法 中 ， Wilk-Shapiro 的 W 检 验 和 Dagustino的D检验是最好的，它们犯第二类错 误的概率最小。 一、样本（3≤n≤50）场合的 W 检验 设从总体X中抽取了容量为n的样本 现检验如下假设：
(ai , x(i ) ] i 1,2,, n 的相关系数
上式中的系数
a1 , a2 ,, an
具有如下性质
24
n ai a n 1i , i 1,2, , [ ] 2
2 a 0 , a i i 1 i 1 i 1 n n
a1 , a2 ,, an 已制成表格供查用。 对不同的n，系数 a1 , a2 ,, a 利用系数 的性质，可简化为 n
X1 ,, X n
H0 :
X服从正态分布
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在 3 ≤ n≤50 时， Wilk 与 Shapiro 提出如下的 W 统计量：
W
[ (ai a )( X (i ) X )]
i 1 n n
n
2
2 2 ( a a ) ( X X ) i i i 1 i 1
它可以看成是数对 的平方， 从而0≤W≤1。
四、列联表的独立检验
在有些实际问题中，当我们抽取了一个容量为 n 的 样本后，对样本中每一样品可按不同特性进行分类。 例如在进行失业人员情况调查时，对抽取的每一位失 业人员可按其性别分类，也可按其年龄分类，当然也 可按其它特征分类。 当我们用特征对样品分类时，记这两个特征分别为 X 1 与 X 2 ，不妨设 X 1有 r 个类别，X 2 有 C 个类别， 则可把被调查的 n 个样品按其所属类别进行分类，列成 如下一张 r c 的二维表，这张表也称为（二维）列联 表。 11
W
[ ai ( X ( n 1i ) X (i ) )]
i 1
n [ ] 2
2
(X
i 1
n
i
X)
2
25
可以证明在 H 0 为真时，W的取值应接近于1，因而检 验的拒绝域取为 {W c} .对给定的显著性水平 ，在 正态分布假定下，使 P(W c) 的临界值c可从附表中 查到，从而拒绝域为 {W W1－ } 例1 抽查用克矽平治疗的矽肺病患者10人，得到 他们治疗前后的血红蛋白差（单位：克）如下： 2.7 -1.2 -1.0 0 0.7 2.0 3.7 -0.6 0.8 –0.3 现要检验治疗前后血红蛋白差是否服从正态分布 (取 0.05 ) 解: n 10, 0.05,W1－0.05 0.842 ,故拒绝域为
p j P( X 2 B j ) pij , j 1,, c
i 1
13
c
j 1 r
当 X 1 与 X 2 两个特性独立时，应对一切
i, j 有
pij pi p j
因此我们的检验问题为
H 0 : pij pi p j , i, j
H1 :
至少一对（ i ,
W { ((r 1)(c 1))}
2 2
17
例4 某地调查了 3000名失业人员，按性别文化程 度分类如下：试在水平上检验失业人员的性别与文 化程度是否有关。 0.05
学历 性别 男
大专以 上
40
中专 技校
138
高 中
620
初中及以下
合计
1043
1841
女
20
72
男 女 合计
正常
色盲 合计
442
38 480
514
6 520
956
44 1000
问色盲与性别是否独立?
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解:
H 0 : pij pi p j H 1 : pij pi p j
i, j some i, j
再构造一张列联表
男 正常 色盲 合计 458.88 21.12 480 女 497.12 22.88 520 合计 956 44 1000
(ni npi ) npi i 1
2
3.6.2
2 近似服从自由度为 r-k-1 的 分布.
6
在采用 (3.6.2) 式 , 要求各 n i 不能过少 , 通常要 求 ni 5 ,当某些频数小于5时,通常的做法是将临近 的若干组合并.
i
ni
ˆi p