高中数学三角函数A卷(普通用卷)

三角函数A卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题：共4题每题5分共20分1．在△ABC中,在已知两边和一边的对角解三角形时,题目中已给出a=√3,B=45°和边b,若符合条件的三角形有两个,则下列可作为边b的是A.√52B.√62C.√2D.22．△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，已知a=√3+1，b=√3−1，C=120°，则c=A.√10B.√6C.3D.2√33．在ΔABC中，已知a,b,c分别是角A,B,C的对边，cosA=45，c=2，ΔABC的面积S=6，则a的值为A.6√2B.4√5C.2√34D.724．在ΔABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示ΔABC的面积,若S=14(b2+c2−a2),则∠A=A.90∘B.60∘C.45∘D.30∘二、填空题：共14题每题4分共56分5．ΔABC中,角A,B,C成等差数列,则acb2sinAsinC= .6．在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足(4a−3c)cosB=3bcosC，若a,b,c成等差数列，则sinA+ sinC=_________.7．在△ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=-14,则b=.8．在ΔABC中，三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若(a+b+c)(a−b−c)+bc=0，则A= .9．在ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a2−b2=√3bc，且sinC=2√3sinB，则角A的大小为_______. 10．已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为.11．设△ABC的内角A ,B ,C所对的边长分别为a,b,c,若acosB−bcosA=35c,则tanAtanB的值为.12．在ΔABC中,bcosC+ccosB=acosC+ccosA=2,且acosC+√3asinC=b+c,则ΔABC的面积为________. 13．(1)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若b=2√2,c=1,tan B=2√2,则a=.(2)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若a=2,b=√7,B=60°,则BC边上的高为.14．已知抛物线y=ax2-1的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为.15．已知a,b,c分别是ΔABC的角A,B,C所对的边,且c=2,C=π3,若sinC+sin(B−A)=2sin2A,则A=____________. 16．设ΔABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则∠A的度数为______.17．锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,若2asinB=b,则A= .18．在△ABC中,A=60°,AC=2,BC=√3,则AB等于.三、解答题：共5题共74分19．(本题12分)在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知a2+c2=2b2.(Ⅰ)若B=π,且A为钝角,求内角A与C的大小;4(Ⅱ)若b=2,求△ABC面积的最大值.20．(本题14分)已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且c=2,2sin A=√3a cos C,(1)求角C的大小;(2)若2sin 2A+sin(2B+C)=sin C,求△ABC的面积.21．(本题14分)在ΔABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知bcosC+√3bsinC−a−c=0.(1)求B;(2)若b=√3,求2a+c的取值范围.22．(本题16分)在ΔABC中,cosB=−513,sinC=45.(1)求cosA的值;(2)设AC=5,求∆ABC的面积.23．(本题18分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c=2，C=60°.(1)求a+bsinA+sinB的值；(2)若a+b=ab，求ΔABC的面积.参考答案1.C【解析】已知a =√3,B =45°和边b ,要使符合条件的三角形有两个,只需满足a sin B <b <a ,即√62<b <√3,只有b =√2符合条件. 【备注】无 2.A【解析】本题考查余弦定理.由余弦定理得c 2=a 2+b 2−2abcosC =10，求得c =√10.选A. 【备注】余弦定理：a 2+b 2−c 2=2abcosC . 3.A【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系及余弦定理、三角形面积公式.由cosA =45，则sinA =35，S =12bcsinA ，得6=12×b ×2×35解得b =10，利用余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccosA ，得a 2=72，a =6√2，故选A. 【备注】无 4.C【解析】本题主要考查正弦定理.由正弦定理可知acosB +bcosA =2RsinAcosB +2RsinBcosA =2Rsin(A +B)=2RsinC =2Rsin 2C,得sinC =1,C =90°.又S =14(b 2+c 2−a 2),解得a =b ,因此B =45°,故选C. 【备注】无 5.43【解析】本题考查正弦定理的应用.解答本题时要注意利用角A ,B ,C 成等差数列求得角B ，然后利用正弦定理化边为角，求值计算.因为角A ,B ,C 成等差数列，所以B =120°.由正弦定理可得，ac b sinAsinC =sinAsinC sin BsinA s inC =1sin B =43.【备注】无 6.√72【解析】本题考查等差数列,正弦定理.因为(4a −3c)cosB =3bcosC ,即4acosB =3(ccosB +bcosC)=3a ,所以cosB =34,sinB =√74;而a,b,c 成等差数列,所以2b =a +c ;由正弦定理得sinA +sinC =2sinB =√72.【备注】无7.4【解析】无【备注】无8.2π3【解析】本题考查余弦定理.(a+b+c)(a−b−c)+bc=0，即b2+c2−a2=−bc,所以cosA=b2+c2−a22bc =−12,即A=2π3.【备注】余弦定理:a2+b2−c2=2abcosC.9.π6【解析】本题主要考查正弦定理和余弦定理.依题意，c=2√3b，代入a2−b2=√3bc得a=√7b，故cosA=b2+c2−a22bc =2222×b×2√3b=√32，故A=π6，故填π6.【备注】无10.√3【解析】无【备注】【链接高考】解三角形问题实质上是附加条件的三角变换,因此,在解三角形问题的处理中,正弦定理、余弦定理就起到了适时、适度转化边角的作用,分析近几年的高考试卷,有关解三角形的试题,大部分是以三角形为载体,研究三角变换及向量等问题.11.4【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理、两角与差公式,考查了计算能力.由正弦定理可得sinAcosB−sinBcosA=35sinC,又因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,所以2sinAcosB=8sinBcosA,即tanA=4tanB, 则tanAtanB=4.【备注】无12.√3【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式,考查了逻辑思维能力与计算能力.由正弦定理,bcosC+ccosB=acosC+ccosA,且acosC+√3asinC=b+c,可化为sin B cosC+sin C cosB=sin A cosC+sin C cosA,且sin A cosC+√3sin A sinC=sin B+sin C,即sin(B+C)=sin(A+C),且sin A cosC+√3sin A sinC=sin A cosC+sin C cosA+sin C,所以A=B,且√3sin A−cosA=1,所以A=B=π3,所以ΔABC是等边三角形,且边长为2,则ΔABC的面积S=12×2×2×sin60°=√3.【备注】无13.3;3√32【解析】(1)由tan B =2√2>0,知0<B <π2,得sin B =2√23,cos B =13,由余弦定理可得cos B =a 2+c 2−b 22ac=13,即a 2+1−82a=13,整理得3a 2-2a-21=0,解得a =3或a =-73(舍去).(2)由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos 60°,即7=4+c 2-2×2c ×12,整理得c 2-2c-3=0,解得c =3或c =-1(舍去).所以BC 边上的高为c sin B =3×sin 60°=3√32. 【备注】无 14.2 【解析】无 【备注】无 15.π2或π6【解析】本题主要考查两角和与差的正弦,考查了余弦定理和正弦定理的综合应用. 在∆ABC 中,由sinC +sin (B −A )=2sin2A ,得sin (A +B )+sin (B −A )=2sin2A, 即sinAcosB +cosAsinB +cosAsinB −sinAcosB =2sin2A. ∴sinBcosA =sin2A =2sinAcosA ,即(sinB −2sinA )cosA =0, 则cosA =0或sinB =2sinA.当cosA =0时,A =π2;当sinB =2sinA 时,b =2a,= 1 ∗ GB3 ① 又c 2=a 2+b 2−2abcosC ,得a 2+b 2−ab =4,= 2 ∗ GB3 ②联立①,②得a =2√33,b =4√33,∴b 2=a 2+c 2.∴B =π2,又C =π3,得A =π6.综上所述可知:A =π2或π6. 故答案为π2或π6. 【备注】无 16.90°【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理、两角和与差公式.由正弦定理可得sin B cosC +sin C cosB =sin 2A ,即sin A =sin(B +C)=sin 2A ,因为sin A ≠0,所以sin A =1,则A=90°. 【备注】无 17.π6【解析】本题主要考查正弦定理.依题意,若2asinB =b ,利用正弦定理得2sinAsinB =sinB ,由sinB ≠0,则sinA =12,又0<A <π2,得A =π6,故填π6.【备注】无 18.1 【解析】无 【备注】无19.(Ⅰ)由题设及正弦定理,有sin 2A+sin 2C=2sin 2B=1. 故sin 2C=cos 2A.因A 为钝角, 所以sin C=-cos A.由cos A=cos(π-π4-C),可得sin C=sin(π4-C),得C=π8,A=5π8. (Ⅱ)由余弦定理及条件b 2=12(a 2+c 2),有cos B=a 2+c 24ac,故cos B≥12.由于△ABC 面积S=12acsin B,又ac≤12(a 2+c 2)=4,sin B≤√32,当a=c 时,两个不等式中等号同时成立,所以△ABC 面积的最大值为12×4×√32=√3. 【解析】无 【备注】无20.(1)由已知得,c sin A =√3a cos C , 由正弦定理得,sin C sin A =√3sin A cos C .又sin A >0,∴cos C ≠0,sin C =√3cos C ,tan C =√3, ∴C =π3.(2)由2sin 2A+sin(2B+C )=sin C 得,2sin 2A =sin C-sin(2B+C ),∴4sin A cos A =sin(A+B )-sin[(π-A )+B ] =sin(A+B )+sin(B-A )=2sin B cos A.当cos A =0时,A =π2,此时B =π6,∵c =2,∴b =2√33,S △ABC =12bc =2√33.当cos A ≠0时,sin B =2sin A ,∴b =2a . 由c 2=a 2+b 2-2ab cos C 得,4=a 2+b 2-ab .联立{b =2a a 2+b 2−ab =4,得{a =2√33b =4√33, ∴S △ABC =12ab sin C =2√33. 综上所述,△ABC 的面积为2√33.【解析】本题主要考查三角形的内角和定理、正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、三角恒等变换等知识,意在考查考生的运算求解能力.第(1)问,先将2sin A转化为c sin A,再根据边角关系化简得到sin C=√3cos C,最后求出角C;第(2)问,先用内角和定理、三角恒等变换将2sin2A+sin(2B+C)=sin C转化为4sin A·cos A=2sin B cos A,再结合cos A是否等于0分类讨论,最后利用三角形的面积公式求解.【备注】把三角恒等变换、解三角形结合起来是近几年高考考查三角部分的主要命题方向之一,但问题的核心依然是三角恒等变换及正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及三角形面积公式的运用.在解决这类问题时,只要抓住问题的本质,把三角形的问题归结到三角恒等变换上,灵活地选用三角恒等变换公式是不难解决的.21.(1)由正弦定理知:sinBcosC+√3sinBsinC−sinA−sinC=0,∵sinA=sin(B+C)=sinAcosC+cosAsinC代入上式得:√3sinBsinC−cosBsinC−sinC=0,∵sinC>0,∴√3sinB−cosB−1=0即sin(B−π6)=12,∵B∈(0,π),∴B=π3.(2)由(1)得:2R=bsinB=2,2a+c=2R(2sinA+sinC)=5sinA+√3cosA=2√7sin(A+φ),其中,sinφ=√327cosφ=27∵A∈(0,2π3),2√7sin(A+φ)∈(√3,2√7).【解析】本题主要考查的是正弦定理的运用,意在考查考生的运算求解能力.(1)根据正弦定理对bcosC+√3bsinC−a−c=0进行化简,整理后求出sin(B−π6)=12,根据B为三角形的内角,确定出B的度数即可;(2)由(1)得:2R=2,2a+c=2√7sin(A+φ),由正弦函数的值域确定出范围即可. 【备注】无22.(1)由cosB=−513,得sinB=1213.因为cosB=−513<0,所以B为钝角,所以C为锐角.由sinB=45.,得cosC=−35,所以cosA=−cos(B+C)=−cosBcosB+sinBsinC=6365.(2)由正弦定理得AB=AC×sinCsinB =5×451213=133,sinA=√1−cos2A=1665.,所以ΔABC的面积S=12×AC×AB×sinA=12×5×133×1665=83【解析】本题主要是考查和角公式的应用,正弦定理的应用,三角形面积公式的应用;(1)由cosB=−513,求出sinB,sinC=45,求出cosC,再根据cosA=−cos(B+C),利用和角公式解答;(2) 先利用正弦定理求得AB,进而利用三角形面积公式求得三角形的面积.【备注】无23.(1)由正弦定理可得：asinA =bsinB=csinC=2sin60°=4√33，所以a=4√33sinA，b=4√33sinB，a+bsinA+sinB=4√3(sinA+sinB)3(sinA+sinB)=4√33.(2)由余弦定理得c2=a2+b2−2abcosC，即4=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab，又a+b=ab，所以(ab)2−3ab−4=0，解得ab=4或ab=−1(舍去).所以SΔABC=12absinC=12×4×√32=√3.【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式，考查了转化思想与计算能力.(1)由正弦定理，分别用sinA、sinB表示a、b，再代入a+bsinA+sinB化简可得结论；(2) 由余弦定理得c2= a2+b2−2abcosC，结合a+b=ab，求出ab的值，则可得结论.【备注】无。