高中数学 第3章4.2知能优化训练 北师大版选修11
高中数学 41.2课后练习同步导学 北师大版选修11
高中数学 41.2课后练习同步导学 北师大版选修11(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列结论中，正确的是( )A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么，f (x 0)是极大值C ．如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么，f (x 0)是极小值D ．如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么，f (x 0)是极大值解析： 导数为零的点不一定是极值点，“左正右负”有极大值，“左负右正”有极小值．故A ，C ，D 项错．答案： B2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π在区间[－π，π]上取极大值时x 的值为( ) A.π2 B ．0C ．－πD ．π 解析： y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π＝cos x ＋π，y ′＝－sin x ，令y ′>0， 则－π<x <0，因此在区间[－π，π]上，当x ∈[－π，0]时，函数为增函数，当x ∈[0，π]时，函数为减函数，根据极值定义，当x ＝0时函数在区间[－π，π]取得极大值． 答案： B3．下面对于函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)的判断正确的是( )A ．极大值为5，极小值为－27B ．极大值为5，极小值为－11C ．极大值为5，无极小值D ．极小值为－27，无极大值 解析： y ′＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3)，令y ′＝0，可得x ＝3或x ＝－1.当－2<x <－1时，y ′>0；当－1<x <2时，y ′<0，故当x ＝－1时y 取得极大值．答案： C4．若函数f (x )＝x ·2x 在x 0处有极小值，则x 0等于( )A.1ln2 B ．－1ln2C ．－ln2D ．ln2解析： ∵y ＝x ·2x ，∴y ′＝2x ＋x ·2x ·ln2＝2x ·(1＋x ·ln2)．令y ′＝0可得：x ＝－1ln2. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1ln2时，y ′<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1ln2，＋∞时，y ′>0. ∴x ＝－1ln2为极小值点．故选B. 答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y ＝2x 3－15x 2＋36x －24的极大值为__________，极小值为________． 解析： y ′＝6x 2－30x ＋36，即y ′＝6(x －2)(x －3)，令y ′＝0得x ＝2或x ＝3.经判断有极大值为f (2)＝4，极小值f (3)＝3.答案： 4 36．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________．解析： f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )，由f ′(x )<0，得－a <x <a ，∴f (x )在(－∞，－a )内递增，在(－a ，a )内递减，在(a ，＋∞)内递增，极大值为f (－a )＝2a 3＋a ＝a (2a 2＋1)>0，极小值为f (a )＝a (1－2a 2)<0，由此解得a >22. 答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求函数f (x )＝x 2e －x 的极值．解析： 函数的定义域为R ，f ′(x )＝2x e －x ＋x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1ex ′ ＝2x e －x －x 2e －x＝x (2－x )e －x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 －f (x ) 0 4e －2由上表可以看出，当x ＝0时，函数有极小值，且f (0)＝0.当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4e －2.8．已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时函数有极大值3.(1)求a ，b 的值；(2)求函数y 的极小值．解析： (1)y ′＝3ax 2＋2bx ，当x ＝1时，y ′＝3a ＋2b ＝0，又y ＝a ＋b ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋2b ＝0，a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－6，b ＝9.(2)y ＝－6x 3＋9x 2，y ′＝－18x 2＋18x ，令y ′＝0，得x ＝0或x ＝1.∴当x ＝0时，函数y 取得极小值0.尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，求f (2)的值． 解析： f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ f 1＝10，f ′1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.当x 变化时，f (x )、f ′(x )的变化情况列表如下：x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－113 －113 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－113，1 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x ) 极大值 极小值 当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，∴f (x )在x ＝1处没有极值，不合题意．综上可知f (2)＝18.。
优化方案2020高中数学第3章3.3.3知能优化训练新人教B版选修11
1．炼油厂某分厂将原油精华为汽油，需对原油进行冷却和加热，假如第x小时，原油温132度(单位：℃)为f(x)＝3x－x＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的刹时变化率的最小值是()20A．8 B.3C．－1D．－8分析：选C.原油温度的刹时变化率为′()＝x 2－2＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当xf x x＝1时，原油温度的刹时变化率获得最小值－ 1.2．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，则应生产()A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台分析：选A.设利润为y(万元)，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，∴y′＝－62＋36x ＝－6·(－6)．令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经查验知＝6既是函数的极x x x x大值点又是函数的最大值点．应选 A.3．把长60cm的铁丝围成矩形，当长为________cm，宽为________cm时，矩形面积最大．分析：设长为xcm，则宽为(30－x)cm，所以面积S＝x(30－x)＝－x2＋30x.由S′＝－2x＋30＝0，得x＝15.答案：15154．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋起码10层，每层2000平方米的楼房．经测算，假如将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的均匀建筑花费为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的均匀综合花费最少，该楼房应建为多少层？购地总花费(注：均匀综合花费＝均匀建筑花费＋均匀购地花费，均匀购地花费＝建筑总面积)解：设楼房每平方米的均匀综合花费为f(x)元，2160×10000则f(x)＝(560＋48x)＋＝2000x＝560＋48x＋10800(x≥10，x∈N*)x10800′()＝48－ 2.fxx令f′(x)＝0，得x＝15.当x>15时，f′(x)>0；当10≤x <15时，′()<0.fx所以，当x＝15时，f(x)取最小值f(15)＝2000(元)．故为了使楼房每平方米的均匀综合花费最少，该楼房应建为15层．一、选择题145321．一点沿直线运动，假如由始点起经过t秒运动的距离为s＝4t－3t＋2t，那么速度为零的时辰是()A．1秒末B．0秒C．4秒末D．0,1,4秒末分析：选D.∵s′＝t3－5t2＋4t，令s′＝0，得t1＝0，t 2＝1，t3＝4，此时的速度为零，应选D.2．用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，而后把四边折起，就能焊成一个铁盒．则所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 ()A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cmcm 3分析：选 B.设截去小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积为 V .所以 ＝ (48－2x)2(0<x<24)，VxV ′＝12(x －8)(x －24)．令V ′＝0，则x ＝8∈(0,24)．3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边能够利用原有的墙壁，其余三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的资料最省时，堆料场的长和宽分别为( )A ．32米， 16米B ．30米，15米C ．40米， 20米D ．36米，18米分析：选A.要求资料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如下图，设场所宽为x 米，512则长为x米，512所以新墙总长度L ＝2x ＋x(x>0)，512则L ′＝2－x 2.令L ′＝0，得x ＝±16. x>0，∴x ＝16.当x ＝16时，L 极小值＝Lmin ＝64， 512∴堆料场的长为16＝32(米)．4．(2020年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为13y＝－3x＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件分析：选 C.由于y′＝－D．7万件2x＋81，所以当x>9时，y′<0；当x∈(0,9)时，y′>0，所以函数13y＝－3x＋81x－234在(9，＋∞)上单一递减，在(0,9)上单一递加，所以x＝9是函数的极大值点，又由于函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处获得最大值．5．某企业生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增添100元，x3若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－900＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A．150B．200C．250D．300分析：选D.由题意可得总利润()＝－x3＋300x －20000，0≤x≤390.由′()＝0，Px900Px得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0，当300<x≤390时，P′(x)<0，所以当x＝300时，P(x) 最大．6．若一球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为()A．2πr2B．πr2C．4πr2 D.1πr22分析：选A.如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，则R＝rcosθ，l＝2rsinθ.∴S侧＝2πR·l＝2πrcosθ×2rsinθ4πr2sinθcosθ.∴由S′侧＝4πr2(cos2θ－sin2θ)＝0，π得θ＝.4π2∴当θ＝4，即R＝2r时，S侧最大，且S侧最大值为2πr2.二、填空题7．物体的运动方程为s ＝2020＋20202(s的单位是米，t的单位是秒)，则此物体在t t t＝10秒时的速度是________．分析：由已知得s′＝2020＋4022t，所以，当t＝10时，物体速度为s′＝42230(米/秒)．答案：42230米/秒8．做一个容积为256dm3的方底无盖水箱，它的高为______dm时最省料．分析：设底面边长为x，则高为＝256 2，hx22562256×4其表面积为S＝x＋4×x2×x＝x＋x，256×4S ′＝2x － x 2，令S ′＝0，则x ＝8，则高256＝＝4(dm)．h64答案：4________m 2.9．有一长为16m 的篱笆，要围成一个矩形场所，则矩形场所的最大面积是分析：设矩形的长为 xm ，则宽为16－2x2＝(8－x)m(0<x<8)，∴S(x)＝x(8－x)＝－x 2＋8x∴′()＝－2x ＋8，令′()＝0，SxS x则x＝4， 又在(0,8) 上只有一个极值点， 且x ∈(0,4)时，S(x)单一递加，x ∈(4,8)时，S(x)单一递减，故S(x)max ＝S(4)＝16. 答案：16三、解答题10．用长为18m 的钢条围成一个长方体的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的长、宽、高各少时，其体积最大？最大概积是多少？18－12x解：设长方体的宽为xm，则长为2xm，高为h＝＝43－3x(0＜x＜2)．故长方22332体的体积为V(x)＝2x－3x)＝9x－6x(0＜x＜2)，进而V′(x)＝18x－18x＝18x(1－x )．令′()＝0，得x＝0(舍去)或x＝1.当0＜x＜1时，′()＞0；当1＜＜3时，′() Vx Vx x2Vx ＜0，故在x＝1处V(x)获得极大值，而且这个极大值就是V(x)的最大值，进而最大概积V＝232m，高为m．即当长方体的长为2m、宽为V(1)＝9×1－6×1＝3，此时长方体的长为1m、高为m时，体积最大，最大概积为3m3.11．某银行准备新设一种按期存款业务，经展望，存款量与利率的平方成正比，比率系数为K(K>0)，贷款的利率为 4.8%，又银行汲取的存款能所有放贷出去．(1 )若存款的利率为x，x∈(0,0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)；存款利率定为多少时，银行可获取最大利润？解：(1)由题意，存款量g(x)＝Kx2，银行应支付的利息(2)设银行可获利润为y，则y＝·Kx2－Kx3.y′＝K·x－3Kx2.令y′＝0，即K×x－3Kx2＝0.解得x＝0或x＝0.032.又当x∈(0,0.032)时，y′>0，当x∈(0.032,0.048)时，y′<0，3 h(x)＝x·g(x)＝Kx.∴y在(0,0.032) 内单一递加，在(0.032,0.048) 内单一递减．故当x＝时，y在(0,0.048) 内获得极大值，亦即最大值．即存款利率为 3.2%时，银行可获取最大利润．12．某商场估计2020年从1月份起前x个月，顾客对某种商品的需求总量p(x)件与月份x 的近似关系是1 *p(x)＝2x(x＋1)(39－2x)(x∈N，且x≤12)．该商品的进价q(x)元与月份x的近似关系是q(x)＝150＋2x(x∈N*且x≤12)．写出今年第x月的需求量f(x)件与月份x的函数关系式；该商品每件的售价为185元，若不计其余花费且每个月都能知足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润估计最大是多少元？解：(1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37；当2≤x≤12时，(x)＝p(x)－p(x－1)1 1＝2x(x＋1)(39－2x)－2(x－1)x(41－2x)2*＝－3x＋40x(x∈N，且2≤x≤12)．f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．该商场估计销售该商品的月利润为g(x)＝(－3x2＋40x)(185－150－2x)＝6x3－185x2＋1400x(x∈N*，且1≤x≤12)，g′(x)＝18x2－370x＋1400，140令g′(x)＝0，解得x＝5，x＝9(舍去)．当1≤x<5时，g′(x)>0；当5<x≤12时，g′(x)<0，∴当x＝5时，g(x)max＝g(5)＝3125(元)．优化方案2020高中数学第3章3.3.3知能优化训练新人教B版选修11 综上5月份的月利润最大是3125元．11 / 1111。
高中数学 第3章3.2.2知能优化训练 湘教版选修11
高中数学 第3章3.2.2知能优化训练 湘教版选修11[学生用书 P 33]1．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( )A ．0B ．2xC ．6D ．9解析：选C.∵f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6.2．已知函数f (x )＝1x ，则f ′(－3)＝( )A ．4 B.19C ．－14 D ．－19解析：选D.∵f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(－3)＝－19.3．(2011年青州高二检测)若f (x )＝cos x ，则f ′(α)等于( )A ．sin αB ．cos αC ．2α＋sin αD ．－sin α解析：选D.f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，∴f ′(α)＝－sin α.4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为________． 解析：y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴切线方程为：y －e 2＝e 2(x －2)．令x ＝0得y ＝－e 2；令y ＝0得x ＝1.∴S △＝12e 2·1＝12e 2.答案：12e 2一、选择题1．函数y ＝cot x 的导数是( )A.1sin 2x B ．－1cos 2xC ．－1sin 2x D.1cos 2x解析：选C.由导数公式表可知(cot x )′＝－1sin 2x .2．下列结论中不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝1x ，y ′＝－12xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y ′＝3解析：选B.∵y ′＝(1x )′＝(x －12)′＝－12x －12－1＝－12x －32＝－12x x ，∴B 错误．3．若f (x )＝sin x ，则f ′(2π)等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．cos x解析：选A.因为f (x )＝sin x ，所以f ′(x )＝cos x ，所以f ′(2π)＝cos2π＝1.4．(2011年高考江西卷)曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．e D.1e解析：选A.y ′＝(e x )′＝e x ，∴当x ＝0时，y ′＝e 0＝1，故y ＝e x 在A (0,1)处的切线斜率为1，选A.5．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：选A.y ′＝(x 4)′＝4x 3.设切点为(x 0，y 0)，则4x 30×(－14)＝－1， ∴x 0＝1.∴切点为(1,1)．∴l 的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0，故选A.6．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2010(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析：选B.利用正、余弦函数的求导公式及函数的周期性求解．f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝sin x ，…，∴周期为4，故f 2010(x )＝f 2(x )＝－sin x ．故选B.二、填空题7．已知函数f (x )＝3x ，则f ′(0)＝________.解析：f ′(x )＝3x ln3，则f ′(0)＝ln3.答案：ln38．已知f (x )＝ln x ，且f ′(x 0)＝1x 20，则x 0＝________. 解析：f ′(x )＝1x ，所以f ′(x 0)＝1x 0， 又f ′(x 0)＝1x 20，所以1x 0＝1x 20， 所以x 0＝x 20.所以x 0＝0(舍)或x 0＝1.答案：19．y ＝1x的斜率为－1的切线方程为________． 解析：令y ′＝－1x 2＝－1，得x ＝±1. ∴切点为(1,1)或(－1，－1)．∴切线方程为y －1＝－(x －1)或y ＋1＝－(x ＋1)．即x ＋y －2＝0或x ＋y ＋2＝0.答案：x ＋y －2＝0或x ＋y ＋2＝0三、解答题10．求下列函数的导数．(1)y ＝2；(2)y ＝4x 3；(3)y ＝10x ；(4)y ＝log 12x ；(5)y ＝2cos 2x 2－1. 解：(1)∵y ′＝c ′＝0，∴y ′＝2′＝0.(2)∵y ′＝(x n )′＝n ·x n －1，∴y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x 34－1 ＝34x －14＝344x. (3)∵y ′＝(a x )′＝a x ·ln a ，∴y ′＝(10x )′＝10x ·ln10.(4)∵y ′＝(log a x )′＝1x ·ln a， ∴y ′＝(log 12x )′＝1x ·l n 12＝－1x ·ln2. (5)∵y ＝2cos 2x 2－1＝cos x ， ∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .11．已知抛物线y ＝2x 2＋1，求：(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x －y －2＝0?解：设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2.∴Δy Δx＝4x 0＋2Δx . 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx无限趋近于4x 0. 即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝1.即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14，该点为(14，98)． (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0，∴斜率为4.即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1,3)．12．已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解：设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)．∴两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为k 1＝cos x 0，k 2＝－sin x 0.若使两条切线互相垂直，必须cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin2x 0＝2，这是不可能的．∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条曲线的切线互相垂直．。
高中数学 第3章331知能优化训练 选修11 试题
知能优化训练[学生用书 P 33]1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．那么甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.例如：f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.2．函数y ＝x －ln(1＋x )的单调增区间为( ) A ．(－1,0) B ．(－∞，－1)和(0，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：选C.y ′＝1－11＋x ＝x 1＋x .令y ′＞0，得x1＋x ＞0，∴x ＞0或者xx ＋1＞0，∴x ＞0.3．假设在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，那么在(a ，b )内有( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )＝0D ．不能确定f ′(x )>0，所以f (x )在(a ，b )上是增函数，所以f (x )>f (a )≥0.4．(2021年高考卷改编)函数f (x )＝2log 5x ＋1的单调增区间是________． 解析：令f ′(x )＝2x ln5>0，得x ∈(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)一、选择题1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ， 令f ′(x )>0，解得x >2，应选D.2．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(0,1)B ．(0,1)和(－∞，－1)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选A.y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，由y ′＝x －1x ＝x 2－1x＜0，∴0＜x ＜1.所以选A.3．设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于零的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )＜0，那么当a ＜x ＜b 时，有( ) A ．f (x )g (x )＞f (b )g (b ) B ．f (x )g (a )＞f (a )g (x ) C ．f (x )g (b )＞f (b )g (x ) D ．f (x )g (x )＞f (a )g (a ) F (x )＝f (x )g (x )，那么F ′(x )＝f ′(x )·g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )＜0.∵f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于零的可导函数， ∴F (x )在R 上为递减函数，当x ∈(a ，b )时，f (x )g (x )＞f (b )g (b ).∴f (x )g (b )＞f (b )g (x )．4.函数y ＝f (x )在定义域[－4，6]内可导，其图象如图，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，那么不等式f ′(x )≤0的解集为( ) A ．[－43，1]∪[113，6]B ．[－3,0]∪[73，5]C ．[－4，－43]∪[1，73]D ．[－4，－3]∪[0,1]∪[5,6]f ′(x )≤0的解集即为原函数f (x )的单调递减区间所对应的x 的取值范围，知选A. 5．设f (x )，g (x )在(a ，b )上可导，且f ′(x )＞g ′(x )，那么当a ＜x ＜b 时有( ) A ．f (x )＞g (x ) B ．f (x )＜g (x )C ．f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )＞g (x )＋f (b )解析：选C.利用函数的单调性判断．令φ(x )＝f (x )－g (x )，那么φ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )，∵f ′(x )＞g ′(x )，∴φ′(x )＞0，即函数φ(x )为定义域上的增函数．又a ＜x ＜b ，∴φ(a )＜φ(x )，即f (a )－g (a )＜f (x )－g (x )，从而得f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )． 6．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B.()π，2π C.⎝⎛⎭⎫3π3，5π2D.()2π，3π解析：选B.y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，假设y ＝f (x )在某区间内是增函数，只需在此间内y ′恒大于或者等于0即可．∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′≥0恒成立． 二、填空题7．函数y ＝3x －x 3在(－1,1)内的单调性是________． 解析：y ′＝3－3x 2，由y ′＞0得－1＜x ＜1， ∴y ＝3x －x 3在(－1,1)内单调递增． 答案：增函数8．y ＝x 2e x 的单调递增区间是________． 解析：∵y ＝x 2e x ，∴y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝e x x (2＋x )>0⇒x <－2或者x >0. ∴递增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞)． 答案：(－∞，－2)，(0，＋∞)9．函数f (x )＝x 3＋ax 在区间[0，＋∞)上是增加的，那么a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝3x 2＋a ，那么当x ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，即3x 2＋a ≥0，∴a ≥－3x 2.又当x ≥0时，－3x 2≤0，∴a ≥a 的取值范围是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) 三、解答题10．求以下函数的单调区间． (1)f (x )＝x 3＋3x；(2)f (x )＝sin x (1＋cos x )(0≤x ≤2π)．解：(1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， f ′(x )＝3x 2－3x 2＝3(x 2－1x 2)，由f ′(x )>0，解得x <－1或者x >1， 由f ′(x )<0，解得－1<x <1且x ≠0，∴递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)， 递减区间为(－1,0)，(0,1)．(2)f ′(x )＝cos x (1＋cos x )＋sin x (－sin x ) ＝2cos 2x ＋cos x －1 ＝(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵0≤x ≤2π，∴由f ′(x )＝0得x 1＝π3，x 2＝π，x 3＝53π，那么区间[0,2π]被分成三个子区间，如表所示：∴f (x )＝sin x (1＋cos x )(0≤x ≤2π)的单调递增区间为[0，π3]，[53π，2π]，单调递减区间为(π3，53π)．11．函数f (x )＝ax －ax －2ln x (a ≥0)，假设函数f (x )在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围．解：∵f ′(x )＝a ＋a x 2－2x，要使函数f (x )在定义域(0，＋∞)内为单调函数， 那么在(0，＋∞)内f ′(x )恒大于等于0或者恒小于等于0. 当a ＝0时，f ′(x )＝－2x <0在(0，＋∞)内恒成立；当a >0时，要使f ′(x )＝a (1x －1a )2＋a －1a ≥0恒成立，那么a －1a≥0，解得a ≥1.综上，a 的取值范围为a ≥1或者a ＝0.12．设k ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧11－x ， x ＜1，－x －1，x ≥1，F (x )＝f (x )－kx ，x ∈F (x )的单调性．解：F (x )＝f (x )－kx ＝⎩⎨⎧11－x－kx ， x ＜1，－x －1－kx ，x ≥1.F ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(1－x )2－k ， x ＜1，－12x －1－k ，x ≥1.对于F (x )＝11－x－kx (x ＜1)，当k ≤0时，函数F (x )在(－∞，1)上是增函数； 当k ＞0时，函数F (x )在(－∞，1－1k )上是减函数，在(1－1k，1)上是增函数． 对于F (x )＝－x －1－kx (x ≥1)，当k ≥0时，函数F (x )在(1，＋∞)上是减函数；当k ＜0时，函数F (x )在(1,1＋14k 2)上是减函数，在(1＋14k2，＋∞)上是增函数．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
【北师大版】数学《优化方案》选修1-1测试第3章3知能优化训练
1．曲线y ＝x n(n ∈N ＋)在x ＝2处的导数为12，则n 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C.∵y ′＝nx n －1，∴y ′|x ＝2＝n ·2n －1＝12，∴n ＝3.2．下列结论：①若y ＝1x，则y ′|x ＝2＝－22；②若y ＝cos x ，则y ′|x ＝π2＝－1；③若y ＝e x ，则y ′＝e x .其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.正确的是②③，共有2个，故选C.3．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则这样的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．多于2条 D ．不确定解析：选B.f ′(x )＝3x 2，令f ′(x )＝3，即3x 2＝3，∴x ＝±1，故应有2条．4．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，若f ′(x )－g ′(x )＝－2，则x ＝________. 解析：f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝3x 2，于是有2x －3x 2＝－2，解得x ＝1±73.答案：1±73一、选择题1．(2011年福州检测)若f (x )＝cos x ，则f ′(α)等于( ) A ．sin α B ．cos α C ．2α＋sin α D ．－sin α 解析：选D.∵f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ， ∴f ′(α)＝－sin α.2．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的切点是( )A ．(0,0)B ．(2,4) C.⎝⎛⎭⎫14，116 D.⎝⎛⎭⎫12，14 解析：选D.设切点为(x 0，x 20)，∵倾斜角为π4，∴y ′＝2x 0＝1，∴x 0＝12，故切点为(12，14)．3．已知函数f (x )＝a x ，且f ′(e)＝4，则a ＝( )A ．4－1eB ．4－eC ．e －4 D ．41e解析：选D.∵f ′(x )＝a x ln a ，∴f ′(e)＝a e ＝4，∴a ＝41e.4．曲线f (x )＝15x 5上一点M 处的切线与直线y ＝－x ＋3垂直，则该切线方程为( )A ．5x ＋5y ＋4＝0B ．5x －5y －4＝0C ．5x ＋5y ±4＝0D ．5x －5y ±4＝0 解析：选D.因为切线与直线y ＝－x ＋3垂直， 所以切线的斜率为1.又f ′(x )＝x 4，∴x 4＝1，∴x ＝±1.当x ＝1时，切点为⎝⎛⎭⎫1，15，切线方程为5x －5y －4＝0. 当x ＝－1时，切点为⎝⎛⎭⎫－1，－15，切线方程为5x －5y ＋4＝0. 5．若函数f (x )的导数为f ′(x )＝－sin x ，则函数图像在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A ．90°B ．0°C ．锐角D ．钝角解析：选C.由导数的几何意义知函数f (x )在点(4，f (4))处的切线斜率为f ′(4)＝－sin 4＞0，∴此切线的倾斜角为锐角．6．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝( )A ．64B ．32C ．16D ．8解析：选A.求导得y ′＝－12x －32(x >0)，所以曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线l 的斜率k ＝－12a －32，由点斜式得切线的方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )，易求得直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为(3a,0)，⎝⎛⎭⎫0，32a －12，所以直线l 与两个坐标轴围成的三角形面积S ＝12×3a ×32a －12＝94a 12＝18，解得a ＝64.二、填空题7．(1)已知函数f (x )＝15，则f ′(0)＝________；(2)已知函数f (x )＝x n ，且f ′(1)＝2，则n ＝________. 解析：(1)因为f ′(x )＝0，所以f ′(0)＝0.(2)由公式得f ′(x )＝nx n －1，所以f ′(1)＝n ＝2，即n ＝2. 答案：0 28．已知0<x <14，f (x )＝x 2，g (x )＝x ，则f ′(x )与g ′(x )之间的大小关系是________．解析：f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝12x ，因为0<x <14，所以f ′(x )＝2x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，g ′(x )＝12x∈(1，＋∞)，所以f ′(x )＜g ′(x )． 答案：f ′(x )＜g ′(x )9．若曲线y ＝x 2－1的一条切线平行于直线y ＝4x －3.则这条切线的方程为________．解析：f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－1－(x 2－1)Δx＝lim Δx →02x Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →(2x ＋Δx )＝2x . 设切点坐标为(x 0，y 0)，则由题意知， f ′(x 0)＝4，即2x 0＝4，∴x 0＝2. 代入曲线方程得y 0＝3.故该切线过点(2,3)且斜率为4.∴这条切线的方程为y －3＝4(x －2)， 即4x －y －5＝0.答案：4x －y －5＝0 三、解答题10．求下列函数的导数． (1)y ＝2；(2)y ＝4x 3；(3)y ＝10x ；(4)y ＝log 13x ；(5)y ＝2cos 2x2－1.解：(1)∵y ′＝c ′＝0， ∴y ′＝2′＝0.(2)∵y ′＝(x n )′＝n ·x n －1，∴y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x 34－1＝34x －14＝344x. (3)∵y ′＝(a x )′＝a x ·ln a ，∴y ′＝(10x )′＝10x·ln10.(4)∵y ′＝(log a x )′＝1x ·ln a ，∴y ′＝(log 13x )′＝1x ·ln13＝－1x ·ln3.(5)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .11．求曲线y ＝1x 与y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1xy ＝x 2，解得交点为(1,1)．而⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x2；(x 2)′＝2x ，∴斜率分别为－1和2， ∴切线方程分别为y －1＝－(x －1)，及y －1＝2(x －1)；令y ＝0，得与x 轴交点为(2,0)及⎝⎛⎭⎫12，0，∴S △＝12·⎝⎛⎭⎫2－12×1＝34. 12．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．解：由已知设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与直线y ＝x 距离最近的点．∵y ＝e x ，∴y ′＝e x .又∵在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1， ∴e x 0＝1，∴x 0＝0，代入y ＝e x ， 可得：y 0＝1，∴切点为(0,1)，利用点到直线的距离公式可以求出d ＝22.高#考≦试∵题╚库。
高中数学 第3章333知能优化训练 A选修11 试题(共6页)
1．函数(hánshù)y ＝f (x )在[a ，b ]上( ) A ．极大值一定比极小值大 B ．极大值一定是最大值 C ．最大值一定是极大值 D ．最大值一定大于极小值解析：选 D.由函数的最值与极值的概念可知，y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值一定大于极小值．2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值解析：选 D.f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，应选D.3．函数y ＝4x 2(x －2)在x ∈[－2,2]上的最小值为________，最大值为________． 解析：由y ′＝12x 2－16x ＝0，得x ＝0或者x ＝43.当x ＝0时，y ＝0；当x ＝43时，y ＝－12827；当x ＝－2时，y ＝－64；当x ＝2时，y ＝0. 比拟可知y max ＝0，y min ＝－64. 答案：－64 04．函数f (x )＝13x 3－4x ＋4.(1)求函数的极值(jí zhí)；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值． 解：(1)f ′(x )＝x 2－4，解方程x 2－4＝0， 得x 1＝－2，x 2＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋ f (x )283－43从上表可看出，当x ＝－2时，函数有极大值，且极大值为3；而当x ＝2时，函数有极小值，且极小值为－43.(2)f (－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＋4＝7，f (4)＝13×43－4×4＋4＝283，与极值比拟，得函数在区间[－3,4]上的最大值是283，最小值是－43.一、选择题1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A ．f (2)，f (3) B ．f (3)，f (5) C ．f (2)，f (5)D ．f (5)，f (3)解析：选B.∵f ′(x )＝－2x ＋4， ∴当x ∈[3,5]时，f ′(x )<0， 故f (x )在[3,5]上单调递减，故f (x )的最大值和最小值分别是f (3)，f (5)．2．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2B ．0C ．2D ．4解析(jiě xī)：选C.f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0可得x ＝0或者x ＝2(舍去)，当－1≤x <0时，f ′(x )>0，当0<x ≤1时，f ′(x )<0. 所以当x ＝0时，f (x )获得最大值为2. 3．函数y ＝ln xx的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D.103y ′＝ln x ′x －ln x ·x ′x2＝1－ln xx 2x ＝e.当x >e 时，y ′<0； 当x <e 时，y ′>0.y 极大值＝f (e)＝1e，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e.4．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( ) A ．π－1 B.π2－1 C ．πD ．π＋1y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′>0，那么函数y 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sinπ＝π，应选C.5．函数(hánshù)f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，那么其最小值为( )A ．－10B ．－71C ．－15D ．－22解析：选B.f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)． 由f ′(x )＝0得x ＝3，－1. 又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27，f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20.由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5， ∴f (x )min ＝k －76＝－71.6．函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，那么a 等于( )A ．－32B.12 C ．－12D.12或者－32a ≤－1时，最大值为4，不符合题意，当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上是减函数，f (a )最大，－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或者a ＝－32(舍去)．二、填空题7．函数y ＝x e x的最小值为________． 解析：令y ′＝(x ＋1)e x＝0，得x ＝－1. 当x <－1时，y ′<0；当x >－1时，y ′>0. ∴y min ＝f (－1)＝－1e .答案：－1e8．f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，那么m 的取值范围是________．解析(jiě xī)：f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m2.由题设得m2∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]．答案：[－4，－2]9．函数f (x )＝ax 4－4ax 2＋b (a >0,1≤x ≤2)的最大值为3，最小值为－5，那么a ＝________，b ＝________.解析：f ′(x )＝4ax 3－8ax ＝4ax (x 2－2)＝0，x 1＝0，x 2＝2，x 3＝－2，又f (1)＝a －4a ＋b ＝b －3a ，f (2)＝16a －16a ＋b ＝b ，f (2)＝b －4a ，f (0)＝b ，f (－2)＝b －4a .∴⎩⎪⎨⎪⎧b －4a ＝－5，b ＝3，∴a ＝2.答案：2 3 三、解答题10．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋2，x ＝2是f (x )的一个极值点，求： (1)实数a 的值；(2)f (x )在区间[－1,3]上的最大值和最小值． 解：(1)∵f (x )在x ＝2处有极值，∴f ′(2)＝0. ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ， ∴3×4＋4a ＝0，∴a ＝－3.(2)由(1)知a ＝－3，∴f (x )＝x 3－3x 2＋2，f ′(x )＝3x 2－6x .令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2.当x 变化时f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：11．设f (x )＝x 3－12x 2－2xf (x )的单调递增、单调递减区间；解：f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)． 令f ′(x )＞0，得x ＜－23或者x ＞1.令f ′(x )＜0，得－23＜x ＜1.∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－23)，(1，＋∞)；单调递减区间为(－23，1)．12．函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x .(1)假设f (x )在x ∈[1，＋∞)上是增函数，务实数a 的取值范围；(2)假设x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在x ∈[1，a ]上的最大值和最小值． 解：(1)令f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3＞0，∴a ＜⎣⎢⎡⎦⎥⎤32x ＋1x min ＝3(当x ＝1时取最小值)．∵x ≥1，∴a ＜3，a ＝3时亦符合题意， ∴a ≤3.(2)f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0， ∴a ＝5，f (x )＝x 3－5x 2＋3x ，f ′(x )＝3x 2－10x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝13(舍去)．当1＜x ＜3时，f ′(x )＜0，当3＜x ＜5时，f ′(x )＞0， 即当x ＝3时，f (x )的极小值f (3)＝－9. 又f (1)＝－1，f (5)＝15，∴f (x )在[1,5]上的最小值是f (3)＝－9， 最大值是f (5)＝15.内容总结。
高中数学 第3章323知能优化训练 选修11 试题(共6页)
[学生(xué sheng)用书 P 33]1．(2021年高二检测)以下求导运算正确的选项是( ) A ．(x ＋1x )′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln2C ．(3x)′＝3x·log a e D ．(x 2·cos x )′＝－2x sin x解析：选B.A 错误，因为(x ＋1x )′＝(x )′＋(1x )′＝1－1x2；B 正确；C 错误，因为(3x)′＝3x ln3；D 错误，因为(x 2·cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x . 2．(2021年高考卷)曲线y ＝－x 3＋3x 2在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x ＋5 C ．y ＝3x ＋5 D ．y ＝2x解析：选A.y ′＝－3x 2＋6x ，当x ＝1时，切线的斜率k ＝－3×12＋6×1＝3，故切线方程为y －2＝3(x －1)，即y ＝3x －1，应选A.3．函数y ＝cos xx的导数是( )A ．－sin x x2B ．－sin xC ．－x sin x ＋cos xx 2D ．－x cos x ＋cos xx 2解析：选C.y ′＝(cos x x )′＝cos x ′x －x ′cos xx2＝－x sin x －cos xx2.4．y ＝2cos x ＋13sin x －3x 2，那么(nà me)y ′＝________.解析：y ′＝(2cos x ＋13sin x －3x 2)′＝(2cos x )′＋(13sin x )′－(3x 2)′＝－2sin x ＋13cos x－23x －13. 答案：13cos x －2sin x －233x一、选择题1．(2021年高考卷)曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9D ．15解析：选C.y ′＝3x 2，所以过P (1,12)的切线的斜率k ＝3，切线方程为3x －y ＋9＝0，故其与y 轴交点为(0,9)，应选C.2．对任意x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，那么此函数为( ) A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 4－2 C ．f (x )＝x 4＋1D ．f (x )＝x 4＋2解析：选B.∵f ′(x )＝4x 3， ∴f (x )＝x 4＋c (c 为常数)， ∵f (1)＝1＋c ＝－1， ∴c ＝－2， ∴f (x )＝x 4－2. 3．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x x ＋32B.x 2＋6x x ＋3C.－2x x ＋32D.3x 2＋6x x ＋32解析(jiě xī)：选A.y ′＝(x 2x ＋3)′＝x 2′x ＋3－x 2·x ＋3′x ＋32＝2xx ＋3－x 2x ＋32＝x 2＋6xx ＋32.4．(2021年高考卷)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为( )A ．－12B.12 C ．－22D.22解析：选B.y ′＝cos 2x ＋sin 2xsin x ＋cos x2＝11＋sin 2x，故切线斜率k ＝y ′|x ＝π4＝12，选B.5．设曲线y ＝xn ＋1－2(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，那么log 2021x 1＋log 2021x 2＋…＋log 2021x 2021的值是( ) A ．－log 20212021 B ．－1 C ．log 20212021－1D ．1y ＝x n ＋1，得y ′＝(n ＋1)x n ，那么在点(1,1)处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，切线方程为y－1＝(n ＋1)·(x －1)，令y ＝0，得x n ＝nn ＋1，∴log 2021x 1＋log 2021x 2＋…＋log 2021x 2021＝log 2021(x 1·x 2·…·x 2021)＝log 2021(12×23×34×…×20212021)＝log 202112021＝－1，应选B.6．假设函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，那么f ′(－1)的值是( )A ．0B ．－1C ．1D ．2解析(jiě xī)：选B.∵f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，∴f ′(x )＝f ′(－1)x －2. ∴f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2. ∴f ′(－1)＝－1. 二、填空题7．令f (x )＝x 2·e x，那么f ′(x )等于________． 解析：f ′(x )＝(x 2)′·e x ＋x 2·(e x)′ ＝2x ·e x ＋x 2·e x ＝e x (2x ＋x 2)． 答案：e x(2x ＋x 2)8．一物体的运动方程是s (t )＝1t，当t ＝3时的瞬时速度为________．解析：∵s ′(t )＝－1t 2，∴s ′(3)＝－132＝－19.答案：－199．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝12，那么a ＝________，b ＝________.解析：∵f ′(x )＝2ax －b cos x ，f ′(0)＝－b ＝1得b ＝－1， f ′(π3)＝23πa ＋12＝12，得a ＝0.答案：0 －1 三、解答题10．求以下函数的导数． (1)y ＝sin 4x4＋cos 4x4；(2)y ＝(x ＋1)(1x－1)；(3)y ＝－sin x2(1－2cos 2x4)．解：(1)∵y ＝sin 4x4＋cos 4x4＝(sin 2x4＋cos 2x4)2－2sin 2x4cos 2x4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ， ∴y ′＝－14sin x .(2)∵y ＝x ·1x－x ＋1x－1＝－x 12＋x －12，∴y ′＝－12x －12－12x －32＝－12x (1＋1x )．(3)∵y ＝－sin x2(1－2cos 2x4)＝－sin x 2[1－(1＋cos x2)] ＝sin x 2·cos x 2＝12sin x ，∴y ′＝12cos x .11．设f (x )＝a ·e x＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，求a ，b 的值．解：由f (x )＝a ·e x＋b ln x ， ∴f ′(x )＝a ·e x＋b x，根据(gēnjù)题意应有⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝a e ＋b ＝e f ′－1＝a e －b ＝1e ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0，所以a ，b 的值分别是1,0.12．f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1，求f (x )的解析式． 解：由f ′(x )为一次函数可知(kě zhī)f (x )为二次函数． 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 那么f ′(x )＝2ax ＋b .把f (x )、f ′(x )代入方程x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1中得：x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0 要使方程对任意x 恒成立， 那么需有a ＝b ，b ＝2c ，c －1＝0， 解得a ＝2，b ＝2，c ＝1， 所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.内容总结。
高中数学 第3章2知能优化训练 选修11 试题(共7页)
1．函数(hánshù)f (x )在x ＝x 0处的导数可表示为( ) A ．f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0ΔxB ．f ′(x 0)＝lim Δx →0[f (x 0＋Δx )－f (x 0)]C ．f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)D ．f ′(x 0)＝f x 0＋Δx －f x 0Δxf ′(x 0)＝lim Δx →0[f (x 0＋Δx )－f (x 0)]，右边的式子表示函数值的变化量的极限，趋近于0；C 中f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，右边的式子表示函数值的变化量；D 中f ′(x 0)＝f x 0＋Δx －f x 0Δx，右边的式子表示函数的平均变化率．2．(2021年高考大纲全国卷Ⅱ)假设曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，那么( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1解析：选A.∵Δy Δx＝0＋Δx2＋a 0＋Δx ＋b －bΔx＝Δx ＋a ，当Δx 趋于0时，ΔyΔx趋于a ，∴a ＝1.又点(0，b )在切线x －y ＋1＝0上，∴0－b ＋1＝0，即b ＝1. 3．(2021年模拟)假设lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝k ，那么lim Δx →0f x 0＋2·Δx －f x 0Δx等于( )A ．2kB ．kC.12k D ．以上(yǐshàng)都不是lim Δx →0f x 0＋2·Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0f x 0＋2·Δx －f x 02·Δx·2＝2·lim 2Δx →0f x 0＋2·Δx －f x 02·Δx＝2k .4．设函数y ＝f (x )，f ′(x 0)>0，那么曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的倾斜角的范围是________．解析：根据导数的几何意义，曲线y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数即为曲线在这一点的切线的斜率，由f ′(x 0)>0知斜率大于零，故倾斜角为锐角． 答案：(0，π2)一、选择题1．函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．12 解析：选C.f ′(1)＝lim Δx →0 31＋Δx 2－3×12Δx＝lim Δx →03＋6Δx ＋3Δx 2－3Δx＝6.2．设f (x )＝ax ＋4，假设f ′(1)＝2，那么a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3解析：选 A.∵f 1＋Δx －f 1Δx ＝a 1＋Δx ＋4－a －4Δx＝a ，且f ′(1)＝lim Δx →0f1＋Δx－f1Δx＝2，∴f′(1)＝a＝2.3．函数(hánshù)y＝f(x)的图像如图，那么f′(x A)与f′(x B)的大小关系是( ) A．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D．不能确定解析：选 B.f′(x A)和f′(x B)分别表示函数图像在点A、B处的切线斜率，故f′(x A)<f′(x B)．4．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，那么点P0的坐标为( )A．(1,0) B．(2,8)C．(1,0)或者(－1，－4) D．(2,8)或者(－1，－4)f′(x)＝3x2＋1，由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4，设P0(x0，y0)，故f′(x0)＝3x20＋1＝4，解得x0＝±1，这时P0点的坐标为(1,0)或者(－1，－4)．5．曲线y＝xx＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2解析：选A.∵点(－1，－1)在曲线y＝xx＋2上，∴先求y＝f(x)＝xx＋2在x＝－1处的导数，由f－1＋Δx －f －1Δx ＝－1＋Δx1＋Δx ＋1Δx ＝21＋Δx，当Δx 趋近于零时，21＋Δx 趋近(qū jìn)于2可知y ＝xx ＋2在x ＝－1处的导数为f ′(－1)＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.6．点P 是曲线y ＝－x 2上任意一点，那么点P 到直线y ＝x ＋2的最小间隔 为( ) A ．1 B.728C.528D. 3解析：选B.依题意知，当过P 点的曲线y ＝－x 2的切线与直线y ＝x ＋2平行时，点P 到直线y ＝x ＋2的间隔 最小，设此时P 点的坐标为(x 0，－x 20)．令f (x )＝－x 2，那么由导数的定义可以求得f ′(x 0)＝lim Δx →0－x 0＋Δx2＋x 2Δx＝lim Δx →0(－2x 0－Δx )＝－2x 0，由导数的几何意义可知过P 点的切线的斜率为k ＝－2x 0，因为该切线与直线y ＝x ＋2平行，所以－2x 0＝1，解得x 0＝－12.故P 点的坐标为(－12，－14)，这时点P 到直线y ＝x ＋2的间隔 d ＝|－12＋14＋2|2＝728. 二、填空题7．如图，函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程是y ＝－2x ＋9，P 点的横坐标是4，那么f (4)＋f ′(4)＝________.解析：由导数的几何意义知f ′(4)＝－2，由点P 在切线y ＝－2x ＋9上知y P ＝－2×4＋9＝1. ∴点P 的坐标(zuòbiāo)为(4,1)，∴f (4)＝1， ∴f (4)＋f ′(4)＝1＋(－2)＝－1. 答案：－18．假设f ′(x 0)＝－3，那么lim h →0f x 0＋h －f x 0－3hh等于________．解析：lim h →0f x 0＋h －f x 0－3hh＝lim h →0f x 0＋h －f x 0＋f x 0－f x 0－3hh＝lim h →0f x 0＋h －f x 0h ＋3lim －3h →0 －f x 0＋f x 0－3h－3h＝f ′(x 0)＋3f ′(x 0)＝4f ′(x 0)＝－12. 答案：－129．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，那么点P 的坐标为________．解析：设P 点的坐标为(x 0，y 0)．y ′＝lim Δx →0ΔyΔx＝ lim Δx →0x ＋Δx3－10x ＋Δx ＋3－x 3＋10x －3Δx＝3x 2－10，曲线C 在点P 处的切线的斜率k P x 20－10＝2，解得x 0＝±2，∵点P 在第二象限内，∴x 0＝－2，又点P 在曲线C 上，那么y 0＝(－2)3－10×(－2)＋3＝15，∴点P 的坐标为(－2,15)．答案：(－2,15) 三、解答题10．f (x )＝x ＋2，求f ′(2)． 解：∵Δy ＝x ＋Δx ＋2－x ＋2， ∴Δy Δx ＝x ＋Δx ＋2－x ＋2Δx＝x ＋Δx ＋2－x ＋2Δx x ＋Δx ＋2＋x ＋2＝1x ＋Δx ＋2＋x ＋2.∴f ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →01x ＋Δx ＋2＋x ＋2 ＝12x ＋2.f ′(2)＝122＋2＝14.11．过曲线(qūxiàn)y ＝f (x )＝x 3上两点P (1,1)和Q (1＋Δx,1＋Δy )作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率，并求曲线在P 点的切线斜率．解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )3－1＝3Δx ＋3Δx 2＋Δx 3， ∴Δy Δx ＝3Δx ＋3Δx 2＋Δx 3Δx ＝3＋3Δx ＋Δx 2.当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率为tan β＝Δy Δx ＝3＋3×0.1＋(0.1)2＝3.31，曲线在点P 的切线斜率为tan α＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(3＋3Δx ＋Δx 2)＝3. 12．曲线y ＝x 2＋1，问是否存在实数a ，使得经过点(1，a )可以作出该曲线的两条切线？假设存在，求出实数a 的取值范围；假设不存在，请说明理由．解：因为y ＝x 2＋1，由导数的定义知y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0x ＋Δx2＋1－x 2＋1Δx＝2x .设切点为(t ，t 2＋1)，因为y ′＝2x ，所以切线方程的斜率为y ′|x ＝t ＝2t ， 于是可得切线方程为y －(t 2＋1)＝2t (x －t )，将(1，a )代入，得a －(t 2＋1)＝2t (1－t )，即t 2－2t ＋(a －1)＝0.因为切线有两条，所以Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.故存在(cúnzài)实数a，使得经过点(1，a)可以作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，a)．内容总结。
高中数学 34.1、2课后练习同步导学 北师大版选修11
高中数学 34.1、2课后练习同步导学 北师大版选修11(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列运算正确的是( )A ．(ax 2－bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (－x )′B ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2)′(x 2)′C ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′·cos x ＋(cos x )′·cos xD ．[(3＋x 2)(2－x 3)]′＝2x (2－x 3)＋3x 2(3＋x 2)答案： A2．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )解析： y ′＝－2(e x sin x )′＝－2[(e x )′sin x ＋e x (sin x )′]＝－2[e x sin x ＋e x cos x ]＝－2e x (sin x ＋cos x )．答案： D3．设f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )A.193B.163C.133D.103解析： f ′(x )＝3ax 2＋6x ，f ′(－1)＝3a －6＝4，所以a ＝103.答案： D4．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于() A ．2 B.12C ．－12D ．－2解析： ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2x －12，y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，a ＝－2.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．若函数f (x )＝x －sin x 2cos x2的导数为g (x )，则函数g (x )的最小值为________． 解析： 由于f ′(x )＝(x －sin x 2cos x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x ，所以g (x )＝1－12cos x ，故函数g (x )的最小值等于12.答案： 126．(2009年重庆)曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________． 解析： ∵f ′(x )＝(x e x ＋2x ＋1)′＝e x ＋x e x ＋2，∴f ′(0)＝3.∴函数f (x )在点(0,1)处的切线方程为y －1＝3x ，即y ＝3x ＋1.答案： y ＝3x ＋1三、解答题(每小题10分，共20分)7．求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝x ＋3x 2＋3；(3)y ＝x sin x －2cos x .解析： (1)y ′＝x 2′sin x －x 2sin x ′sin 2x＝2x sin x －x 2cos xsin 2x(2)y ′＝1·x 2＋3－2x x ＋3x 2＋32＝－x 2－6x ＋3x 2＋32(3)y ′＝(x sin x )′－(2cos x )′， ＝sin x ＋x cos x －cos x ·2′－2cos x ′cos 2x＝sin x ＋x cos x －2sin x cos 2x8．求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x； (2)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(3)y ＝x tan x ；(4)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(5)y ＝x －1x ＋1(x ≠－1)； 解析： (1)y ′＝x 2′si n x －x 2sin x ′sin 2x ＝2x sin x －x 2cos x sin 2x(2)y ′＝4x 3－6x －5.(3)y ′＝(x )′tan x ＋x (tan x )′＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′ ＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋x cos 2x(cos x ≠0)． (4)y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，则y ′＝3x 2＋12x ＋11.(5)y ′＝x －1′x ＋1－x －1x ＋1′x ＋12 ＝x ＋1－x ＋1x ＋12＝2x ＋12(x ≠－1)． 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图象都过点P (2，0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )、g (x )的函数表达式．解析： ∵f (x )＝2x 3＋ax 的图象过点P (2,0)，∴a ＝－8.∴f (x )＝2x 3－8x ，∴f ′(x )＝6x 2－8.对于g (x )＝bx 2＋c ，图象过点P (2,0)，则4b ＋c ＝0.又g ′(x )＝2bx ，g ′(2)＝4b ＝f ′(2)＝16，∴b ＝4，c ＝－16，∴g (x )＝4x 2－16.综上可知：f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16.。
【优化方案】高中数学 第3章3.2.3知能优化训练 新人教B版选修11
1．函数y ＝x －(2x －1)2的导数是( ) A ．3－4x B ．3＋4x C ．5＋8x D ．5－8x解析：选D.y ＝x －(4x 2－4x ＋1)＝－4x 2＋5x －1，y ′＝－8x ＋5，选D.2．函数y ＝x ＋1x的导数是( )A ．1－1x 2B ．1－1xC ．1＋1x2 D ．1＋1x解析：选A.(x ＋1x )′＝(x )′＋(1x )′＝1－1x2.3．设函数f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋5，若f ′(x 0)＝0，则x 0＝________.解析：f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，由f ′(x 0)＝0，得3x 20－4x 0＋1＝0，解得x 0＝1或x 0＝13.答案：1或134．求下列函数的导数： (1)y ＝3x 2＋x cos x ；(2)y ＝x1＋x；(3)y ＝lg x －e x.解：(1)y ′＝6x ＋cos x －x sin x .(2)y ′＝1＋x －x ＋x 2＝1＋x2.(3)y ′＝(lg x )′－(e x )′＝1x ln10－e x.一、选择题1．下列求导运算正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ′＝2x ＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln2C ．(3x )′＝3x·log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 解析：选B.⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ′＝2x －1x2，(3x )′＝3xln3，(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x .2．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3 D ．y ＝4x －5解析：选B.由y ′＝3x 2－6x 在点(1，－1)的值为－3，故切线方程为y ＋1＝－3(x －1)．即y ＝－3x ＋2.3．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x x ＋2B.x 2＋6x x ＋3C.－2x x ＋2D.3x 2＋6x x ＋2解析：选A.y ′＝(x 2x ＋3)′＝x 2x ＋－x 2x ＋x ＋2＝2x x ＋－x 2x ＋2＝x 2＋6x x ＋2.4．函数y ＝x 3cos x 的导数是( )A ．3x 2cos x ＋x 3sin xB ．3x 2cos x －x 3sin xC ．3x 2cos xD ．－x 3sin x解析：选B.y ′＝(x 3cos x )′＝3x 2·cos x ＋x 3(－sin x )＝3x 2cos x －x 3sin x ，故选B.5．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0解析：选B.由题意知f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，若f ′(1)＝2，即f ′(1)＝4a ＋2b ＝2，从题中可知f ′(x )为奇函数，故f ′(－1)＝－f ′(1)＝－4a －2b ＝－2，故选B.6．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( )A ．0B ．－1C ．1D ．2解析：选B.∵f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，∴f ′(x )＝f ′(－1)x －2.∴f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2. ∴f ′(－1)＝－1. 二、填空题7．令f (x )＝x 2·e x，则f ′(x )等于________．解析：f ′(x )＝(x 2)′·e x ＋x 2·(e x )′＝2x ·e x ＋x 2·e x ＝e x (2x ＋x 2)．答案：e x (2x ＋x 2)8．设f (1x )＝x 2－2x ＋ln 1x(x ＞0)，则f ′(1)＝________.解析：令1x ＝t ，则x ＝1t，∴f (t )＝(1t )2－2t ＋ln t ，∴f (x )＝(1x)2－2x ＋ln x ，f ′(x )＝－2x －3－2＋1x，∴f ′(1)＝－2－2＋1＝－3.答案：－39．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝12，则a ＝________，b ＝________.解析：∵f ′(x )＝2ax －b cos x ， f ′(0)＝－b ＝1得b ＝－1，f ′(π3)＝23πa ＋12＝12，得a ＝0.答案：0 －1 三、解答题10．求下列函数的导数：(1)f (x )＝(x ＋2)(x －3)； (2)f (x )＝1x －1x2；(3)f (x )＝sin x 1＋sin x； (4)f (x )＝lg x －3x.解：(1)因为f (x )＝(x ＋2)(x －3)＝x 2－x －6， 所以f ′(x )＝2x －1.(2)因为f (x )＝1x －1x 2，所以f ′(x )＝－1x－－2x ＝2x －1x ＝2－xx .(3)因为f (x )＝sin x1＋sin x，所以f ′(x )＝cos x ＋sin x －sin x ·cos x＋sin x2＝cos x ＋sin x2.(4)因为f (x )＝lg x －3x，所以f ′(x )＝1x ln10－3xln3. 11．设f (x )＝a ·e x＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e，求a ，b 的值．解：由f (x )＝a ·e x＋b ln x ， ∴f ′(x )＝a ·e x＋b x，根据题意应有⎩⎪⎨⎪⎧f ＝a e ＋b ＝e f －＝a e －b ＝1e，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0，所以a ，b 的值分别是1,0.12．已知f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1，求f (x )的解析式．解：由f ′(x )为一次函数可知f (x )为二次函数．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .把f (x )，f ′(x )代入方程x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1中得： x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0 要使方程对任意x 恒成立，则需有a ＝b ，b ＝2c ，c －1＝0， 解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.。
高中数学 第3章313知能优化训练 A选修11 试题
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日1．设f ′(x 0)＝0，那么曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( )A ．不存在B ．与x 轴平行或者重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴相交但不垂直解析：选B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零．2．曲线y ＝－1x 在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝xC ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －2解析：选A.f ′(1)＝li m Δx →0 －11＋Δx ＋11Δx＝li m Δx →0 11＋Δx ＝1，那么在(1，－1)处的切线方程为y ＋1＝x －1，即y ＝x －2.3．函数y ＝x 2＋4x 在x ＝x 0处的切线斜率为2，那么x 0＝________.解析：2＝li m Δx →0 x 0＋Δx 2＋4x 0＋Δx －x 20－4x 0Δx ＝2x 0＋4，∴x 0＝－1.答案：－14．求证：函数y ＝x ＋1x图象上的各点处的斜率小于1. 证明：∵y ′＝li mΔx →0 f x ＋Δx －f x Δx＝li m Δx →0 x ＋Δx ＋1x ＋Δx －x ＋1x Δx＝x 2－1x 2＝1－1x2<1，∴y ＝x ＋1x图象上的各点处的斜率小于1.一、选择题1．以下说法正确的选项是( )A ．假设f ′(x 0)不存在，那么曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．假设曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，那么f ′(x 0)必存在C ．假设f ′(x 0)不存在，那么曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．假设曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在，那么曲线在该点处就没有切线 解析：选C.k ＝f ′(x 0)，所以f ′(x 0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x ＝x 0.2．曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，那么A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2 A 处的切线的斜率就是函数y ＝2x 2在x ＝2处的导数．f ′(x )＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 2x ＋Δx 2－2x 2Δx＝li m Δx →0 4x ·Δx ＋2Δx 2Δx ＝4x .那么f ′(2)＝8.3．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＞0D ．f ′(x 0)不确定解析：选B.曲线在某点处的切线的斜率为负，说明函数在该点处的导数也为负．4．以下点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( ) A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)解析：选D.k ＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx＝li mΔx →0(2x ＋Δx )＝2x . ∵倾斜角为π4，∴斜率为1. ∴2x ＝1，得x ＝12，应选D. 5．设f (x )为可导函数，且满足li mx →0 f 1－f 1－x x＝－1，那么曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是( )A ．2B ．－1 C.12D ．－2解析：选B.∵li m x →0f 1－f 1－x x＝－1， ∴li m x →0 f 1－x －f 1－x＝－1， ∴f ′(1)＝－1.6．假设曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，那么( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1解析：选A.y ′＝li m Δx →0x ＋Δx 2＋a x ＋Δx ＋b －x 2＋ax ＋b Δx ＝li m Δx →0 2x ＋a Δx ＋Δx 2Δx ＝2x ＋a ，因为曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线l 的方程是x －y ＋1＝0，所以切线l 的斜率k ＝1＝y ′|x ＝0，且点(0，b )在切线l 上，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 0＋a ＝10－b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝1.二、填空题7．假设曲线y ＝2x 2－4x ＋a 与直线y ＝1相切，那么a ＝________.解析：设切点坐标为(x 0,1)，那么f ′(x 0)＝4x 0－4＝0，∴x 0＝1.即切点坐标为(1,1)．∴2－4＋a ＝1，即a ＝3.答案：38．函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，那么b a ＝________. 解析：li mΔx →0 a 1＋Δx 2－a Δx ＝li m Δx →0 (a ·Δx ＋2a )＝2a ＝2， ∴a ＝1，又3＝a ×12＋b ，∴b ＝2，即b a ＝2.答案：29．曲线y ＝3x 2，那么过点A (1,3)的曲线的切线方程为________．解析：∵Δy Δx＝31＋Δx 2－3×12Δx ＝6＋3Δx ， ∴y ′|x ＝1＝li m Δx →0(6＋3Δx )＝6. ∴曲线在点A (1,3)处的切线斜率为6.∴所求的切线方程为y －3＝6(x －1)，即6x －y －3＝0.答案：6x －y －3＝0三、解答题10．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线． 解：先求曲线y ＝3x 2－4x ＋2在M (1,1)的斜率，k ＝y ′|x ＝1＝li m Δx →031＋Δx 2－41＋Δx ＋2－3＋4－2Δx＝li m Δx →0(3Δx ＋2)＝2. 设过点P (－1,2)且斜率为2的直线为l ，那么由点斜式y －2＝2(x ＋1)，化为一般式2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0.11．抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10，求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，得x 2＋4＝10＋x ， 即x 2－x －6＝0，∴x ＝－2或者xy ＝8或者13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或者(3,13)．(2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝lim Δx →0 x ＋Δx 2＋4－x 2＋4Δx ＝lim Δx →0 Δx 2＋2x ·Δx Δx ＝lim Δx →0 (Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，假设曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．解：∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx 无限趋近于3x 20＋2ax 0－9.即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2－9－a 23. 当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12. 解得a ＝±3.又a <0，∴a ＝－3.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
高中数学 第3章3知能优化训练 北师大版选修11
1．曲线y ＝x n(n ∈N ＋)在x ＝2处的导数为12，则n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.∵y ′＝nx n －1，∴y ′|x ＝2＝n ·2n －1＝12，∴n ＝3.2．下列结论：①若y ＝1x ，则y ′|x ＝2＝－22；②若y ＝cos x ，则y ′|x ＝π2＝－1；③若y ＝e x ，则y ′＝e x.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.正确的是②③，共有2个，故选C.3．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则这样的切线有( )A ．1条B ．2条C ．多于2条D ．不确定解析：选B.f ′(x )＝3x 2，令f ′(x )＝3，即3x 2＝3，∴x ＝±1，故应有2条．4．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，若f ′(x )－g ′(x )＝－2，则x ＝________.解析：f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝3x 2，于是有2x －3x 2＝－2，解得x ＝1±73. 答案：1±73一、选择题1．(2011年福州检测)若f (x )＝cos x ，则f ′(α)等于( )A ．sin αB ．cos αC ．2α＋sin αD ．－sin α解析：选D.∵f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，∴f ′(α)＝－sin α.2．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的切点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 解析：选D.设切点为(x 0，x 20)，∵倾斜角为π4， ∴y ′＝2x 0＝1，∴x 0＝12，故切点为(12，14)． 3．已知函数f (x )＝a x ，且f ′(e)＝4，则a ＝( )A ．4－1eB ．4－eC ．e －4D ．41e解析：选D.∵f ′(x )＝a x ln a ，∴f ′(e)＝a e ＝4，∴a ＝41e .4．曲线f (x )＝15x 5上一点M 处的切线与直线y ＝－x ＋3垂直，则该切线方程为( ) A ．5x ＋5y ＋4＝0 B ．5x －5y －4＝0C ．5x ＋5y ±4＝0D ．5x －5y ±4＝0解析：选D.因为切线与直线y ＝－x ＋3垂直，所以切线的斜率为1.又f ′(x )＝x 4，∴x 4＝1，∴x ＝±1.当x ＝1时，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，15，切线方程为5x －5y －4＝0. 当x ＝－1时，切点为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－15，切线方程为5x －5y ＋4＝0. 5．若函数f (x )的导数为f ′(x )＝－sin x ，则函数图像在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A ．90°B ．0°C ．锐角D ．钝角解析：选C.由导数的几何意义知函数f (x )在点(4，f (4))处的切线斜率为f ′(4)＝－sin 4＞0，∴此切线的倾斜角为锐角．6．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝( )A ．64B ．32C ．16D ．8解析：选A.求导得y ′＝－12x －32(x >0)，所以曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线l 的斜率k ＝－12a －32，由点斜式得切线的方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )，易求得直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为(3a,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a －12，所以直线l 与两个坐标轴围成的三角形面积S ＝12×3a ×32a －12＝94a 12＝18，解得a ＝64. 二、填空题7．(1)已知函数f (x )＝15，则f ′(0)＝________； (2)已知函数f (x )＝x n ，且f ′(1)＝2，则n ＝________.解析：(1)因为f ′(x )＝0，所以f ′(0)＝0.(2)由公式得f ′(x )＝nx n －1，所以f ′(1)＝n ＝2，即n ＝2.答案：0 28．已知0<x <14，f (x )＝x 2，g (x )＝x ，则f ′(x )与g ′(x )之间的大小关系是________． 解析：f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝12x ，因为0<x <14，所以f ′(x )＝2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，g ′(x )＝12x ∈(1，＋∞)，所以f ′(x )＜g ′(x )．答案：f ′(x )＜g ′(x )9．若曲线y ＝x 2－1的一条切线平行于直线y ＝4x －3.则这条切线的方程为________．解析：f ′(x )＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－1－x 2－Δx＝lim Δx →0 2x Δx ＋Δx 2Δx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x .设切点坐标为(x 0，y 0)，则由题意知，f ′(x 0)＝4，即2x 0＝4，∴x 0＝2.代入曲线方程得y 0＝3.故该切线过点(2,3)且斜率为4.∴这条切线的方程为y －3＝4(x －2)，即4x －y －5＝0.答案：4x －y －5＝0三、解答题10．求下列函数的导数．(1)y ＝2；(2)y ＝4x 3；(3)y ＝10x ；(4)y ＝log 13x ；(5)y ＝2cos 2x 2－1.解：(1)∵y ′＝c ′＝0，∴y ′＝2′＝0.(2)∵y ′＝(x n )′＝n ·x n －1，∴y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x 34－1＝34x －14＝344x.(3)∵y ′＝(a x )′＝a x ·ln a ，∴y ′＝(10x )′＝10x ·ln10.(4)∵y ′＝(log a x )′＝1x ·ln a ，∴y ′＝(log 13x )′＝1x ·ln 13＝－1x ·ln3.(5)∵y ＝2cos 2x 2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .11．求曲线y ＝1x 与y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1xy ＝x 2，解得交点为(1,1)．而⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2；(x 2)′＝2x ，∴斜率分别为－1和2，∴切线方程分别为y －1＝－(x －1)，及y －1＝2(x －1)；令y ＝0，得与x 轴交点为(2,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，∴S △＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12×1＝34.12．点P是曲线y＝e x上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．解：由已知设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝e x相切于点(x0，y0)，该切点即为与直线y＝x距离最近的点．∵y＝e x，∴y′＝e x.又∵在点(x0，y0)处的切线斜率为1，∴e x0＝1，∴x0＝0，代入y＝e x，可得：y0＝1，∴切点为(0,1)，利用点到直线的距离公式可以求出d＝2 2.。
优化方案2020高中数学第3章4.2知能优化训练北师大版选修11
优化方案2020高中数学第3章4.2知能优化训练北师大版选修111．设f(x)＝xlnx ，若f ′(x0)＝2，则x0＝()A ．e 2B ．eln2 D ．ln2C.2剖析：选B.由于f ′(x)＝(xlnx )′＝lnx ＋1，所以 f′(0)＝ln x0＋1＝2，x所以lnx0＝1，即x0＝e.2．若曲线y ＝ x 2－1与 y ＝1－ x 3在 x ＝0处的切线互相垂直，则 x 0的值为()x2A. 31C ．－36 剖析：选B.曲线曲线y ＝1－x 3在1 B.362D ．－3或0y ＝x 2－1在x ＝x0处的切线的斜率为 k1＝y ′|x ＝x0＝2x0，x ＝ 0处的切线的斜率为 k 2＝′|＝ 0＝－3 20.xyxxx由题意，得k1·k2＝－1，即232x0(－3x0)＝－ 6x0＝－1，1解得x0＝.362x)3．设y＝x·e，则y′＝(2x x A．xe＋2x x B．2xe x C．(2x＋x2)e D．(x＋x2)e剖析：选C.y′＝(x 2x2x x)′x2·e)′＝(x)′e＋(e＝2e x＋x 2ex＝(2x＋2)e x.x x4．已知f(xf′1x，则f′(2)＝________. )＝x＋4剖析：∵f(x)＝f′1x＋4x，∴f′(x)＝－f′x21＋4，f′(1)＝－f′(1)＋4，∴f′(1)＝2，21f′(x)＝－x2＋4，1f′(2)＝－2＋4＝32.1答案：32一、选择题1．(2020年吉林检测)函数y＝x2cosx的导数为( )22x A．y′＝2xcosx－xsinx B．y′＝2xcosx＋xsinC．y′＝x2cosx－2xsinx D．y′＝xcosx－x2sinx222剖析：选A.y′＝(xcosx)′＝(x)′cos x＋x(cosx)′2．(2020x，则f ′(2)等于()年日照检测)已知函数f(x)＝xeA ．3e 2B ．2e 2C ．e 2D ．2ln2剖析：选 A.f ′(x)＝(xe x )′＝x xxx x，′e＋x(e )′＝e ＋xe∴f ′(2)＝3e 2.e x处的导数值与函数值互为相反数，则x 的值等于()3．若函数f(x)＝x 在x ＝xA ．0B ．11C.2xD ．不存在剖析：选C.由于f(x )＝e，∴f(x 0)＝ex，x x0xxx x－1e·－ee又f ′(x)＝x＝，exx 2x 20 x －1∴f ′(x0)＝，依题意知f(x0)＋f ′(x0)＝0，2exexx00 0 x －1所以＝0，x 0 ＋2x0∴2x－1＝0，得x1＝2，应选C.004．(2020年高考江西卷)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝()A．－1B．－2C．2D．0剖析：选 B.由f(x)＝ax4＋bx2＋c得f′(x)＝4ax3＋2bx，又f′(1)＝2，所以4a＋2b2，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2.应选B.x5．(2020年高考课标全国卷)曲线y＝x＋2在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2剖析：选A.∵y′＝x′x＋2－x x＋2′＝22，∴切线斜率k＝x＋22x＋22y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.2＝2，∴切线方程为－1＋2sinθ33cosθ25π6．设函数f(x)＝3x＋2x＋tanθ，其中θ∈0，12，则导数f′(1)的取值范围是()A．[－2,2]B．[2，3]C．[3，2]D．[2，2]剖析：选D.由已知f ′()＝sinθ·2＋3cosθ·，x x x∴f′(1)＝sinθ＋3cosθ＝2sinπθ＋3.又θ∈0，5πππ3π2θ＋π，∴3≤θ＋≤，∴≤sin≤1，∴2≤f′(1)≤2. 123423二、填空题7．(2020年高考重庆卷改编32在点(1，2)曲线y＝－x＋3x)处的切线方程为________．剖析：∵y′＝－3x2＋6x，∴y′|x＝1＝3.∴曲线y＝－x3＋3x2在点(1，2)处的切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1.答案：y＝3x－128．函数y＝3xsinx－xcosx的导数是________．剖析：y′＝(3xsin x－x2cosx)′＝(3xsin x)′－(x2cosx)′＝(3sinx＋3xcosx)－(2xcosx－x2sinx)＝(3＋x2)sinx＋xcosx.答案：(3＋x2)sin x＋xcosx9．点P是曲线y＝x2－lnx上任一点，则P到直线y＝x－2的距离的最小值是________．剖析：曲线上与直线y＝x－2距离最小的点，必定是平行于该直线的切线的切点．设曲线上一点的横坐标是x0(x0＞0)，则经过该点的切线的斜率为k＝y′(x0)＝2x0－1，∴2x0－x01＝1，∴x0＝1或x0＝－1，x02又x＞0，∴x＝1，此时y＝1.000∴切点的坐标为(1,1)|1－1－2|，最小距离为＝2.2答案：2三、解答题sin x10．已知y＝1＋cosx，x∈(－π，π)，求当y′＝2时的x的值．sinx解：由于y＝1＋cosx，所以cosx1＋cosx－sinx·－sinxy′＝1＋cosx2＝ cosx ＋1 211＋cosx＝1＋cosx，11令1＋cosx ＝2，得cosx ＝－2，2又由于x ∈(－π，π)，所以x ＝±π.311．设函数 f ( )＝ ax3＋＋( a>0)为奇函数，其图像在点 (1， (1))处的切线与直线xxbxcf－6y －7＝0垂直，导函数 f ′(x)的最小值是－12，求a ，b ，c 的值．解：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－ax 3－bx ＋c ＝－ax 3－bx －c ， c ＝0.∵f ′(x)＝3 ax 2＋b 的最小值为－12且a>0，∴b ＝－12.1又直线x －6y －7＝0的斜率为.6∴ f′(1)＝3 a ＋＝－6，∴ a＝2.b综上可知，a ＝2，b ＝－12，c ＝0.12．已知函数f(x)＝2x 3＋ax 与g(x)＝bx 2＋c 的图像都过点P(2,0)，且在点P 处有公共切线，求f(x)、g(x)的表达式．解：∵f(x)＝2x 3＋ax 与g(x)＝bx 2＋c 的图像过点P(2,0)，3a ＝－8，2×2＋a ·2＝0，∴2c∴ 4 b ＋ ＝0.·2＋＝0，b c∴f(x)＝2x3－8x.∵f′(x)＝6x2－8，g′(x)＝2bx，f′(2)＝6×22－8＝16，g′(2)＝2b·2＝4b，∵f(x)、g(x)在点P处有公共切线，f′(2)＝g′(2)，即16＝4b，∴b＝4.c＝－4b＝－4×4＝－16.∴g(x)＝4x2－16.f(x)、g(x)的表达式分别为f(x)＝2x3－8x、g(x)＝4x2－16.。
高中数学 第3章332知能优化训练 选修11 试题(共6页)
[学生(xué sheng)用书 P 33]1．设x 0为可导函数f (x )的极值点，那么以下说法正确的选项是( ) A ．必有f ′(x 0)＝0 B ．f ′(x 0)不存在C ．f ′(x 0)＝0或者f ′(x 0)不存在D ．f ′(x 0)存在但可能不为0 答案：A2．以下函数存在极值的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝x －e xC ．y ＝x 3＋x 2＋2x －3D ．y ＝x 3f ′(x )＝－1x2，令f ′(x )＝0无解，且f (x )为双曲线．∴A 中函数无极值．B 中f ′(x )＝1－e x，令f ′(x )＝0可得xx <0时，f ′(x )>0，当x >0时，f ′(x )<0.∴y ＝f (x )在x ＝0处取极大值，f (0)＝－1.C 中f ′(x )＝3x 2＋2x ＋2，Δ＝4－24＝－20<0. ∴y ＝f (x )无极值．D 也无极值．应选B.3．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如下图，那么函数f (x )在开区间(a ，b )内的极小值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如题图所示，函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．4．y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为________．解析(jiě xī)：y ′＝3x 2－6＝0，得x ＝± 2.当x <－2或者x >2时，y ′>0；当－2<x <2时，y ′<0.∴函数在x ＝－2时，获得极大值a ＋4 2. 答案：a ＋4 2一、选择题1．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0〞是“函数y ＝f (x )在这点取极值〞的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2，f ′(0)＝0，不能推出f (x )在x ＝0处取极值，反之成立．应选B.2．函数f (x )＝x ＋1x在x ＞0时有( )A ．极小值B ．极大值C ．既有极大值又有极小值D ．极值不存在f ′(x )＝1－1x2＝0，得x ＝±1，∵x ＞0，∴x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0.∴在x ＞0时，函数f (x )有极小值．3．以下四个函数：①y ＝x 3；②y ＝x 2＋1；③y ＝|x |；④y ＝2x.在x ＝0处获得极小值的函数是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①③解析：选 B.作出函数的大致图象，由图象可分析出结论；也可以(kěyǐ)用排除法，因为①④是单调函数，无极值，即可排除A 、C 、D ，故应选B.4．函数f (x )的定义在区间[a ，b ]上，其导函数的图象如下图，那么在[a ，b ]上函数f (x )的极值点个数为( )A ．3B ．4C ．6D ．7x 轴有6个交点，即使得导数值为0的点有6个，故函数有6个极值点．5．设a ∈R ，假设函数y ＝e x＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，那么( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1 C ．a ＞－1eD ．a ＜－1e解析：选A .y ′＝e x＋a ，令y ′＝0得e x＝－a ，即x ＝ln(－a )＞0，所以a ＜－1. 6．函数f (x )的导函数为f ′(x )，假设(x ＋1)·f ′(x )＞0，那么以下结论中正确的为( )A ．x ＝－1一定是函数f (x )的极大值点B ．x ＝－1一定是函数f (x )的极小值点C ．x ＝－1不是函数f (x )的极值点D ．x ＝－1不一定是函数f (x )的极值点解析：选D.由题意，得x ＞－1，f ′(x )＞0或者x ＜－1，f ′(x )＜0，但函数f (x )在x ＝－1处未必连续，即x ＝－1不一定是函数f (x )的极值点，应选D. 二、填空题7．函数y ＝x ·2x取极小值时x 等于________． 解析：y ′＝2x＋x ·2xln2＝2x(1＋x ·ln2)＝0.∴x ＝－1ln2.当x ＞－1ln2时，f ′(x )＞0，函数(hánshù)递增；当x ＜－1ln2时，f ′(x )＜0，函数递减．∴函数在x ＝－1ln2时获得极小值．答案：－1ln28．函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，那么常数c 的值是________． 解析：x ＝2是f (x )的极大值点， ∵f (x )＝x (x 2－2cx ＋c 2)∴f ′(x )＝x (2x －2c )＋x 2－2cx ＋c 2＝3x 2－4cx ＋c 2， ∴f ′(2)＝c 2－8c ＋12＝0.∴c ＝2或者cc ＝2时，f (x )在x ＝2处只能取极小值．不能取极大值，∴c ＝6. 答案：69．当a 为________时，函数f (x )＝e x (x 2＋ax ＋a ＋1)没有极值点．解析：由可得f ′(x )＝e x (x 2＋ax ＋a ＋1)＋e x (2x ＋a )＝e x [x 2＋(a ＋2)x ＋2a ＋1]，假设函数不存在极值点，那么在方程f ′(x )＝0即x 2＋(a ＋2)x ＋2a ＋1＝0中，有Δ＝(a ＋2)2－4(2a ＋1)＝a 2－4a ≤0，解之得0≤a ≤4. 答案：0≤a ≤4 三、解答题10．求以下函数的极值： (1)f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5； (2)f (x )＝ln xx.解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x －9.解方程3x 2－6x －9＝0，得x 1＝－1，x 2＝3. 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：极小值，且极小值为f (3)＝－22.(2)函数f (x )＝ln x x 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx2， 令f ′(x )＝0，得x ＝e.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减故当x ＝e 时函数获得极大值，且极大值为f (e)＝e.11．假如函数f (x )＝ax 5－bx 3＋c (a ≠0)在x ＝±1时有极值，极大值为4，极小值为0，试求a ，b ，c 的值． 解：f ′(x )＝5ax 4－3bx 2.令f ′(x )＝0，即5ax 4－3bx 2＝0，x 2(5ax 2－3b )＝0. ∵x ＝±1是极值点，∴5a (±1)2－3b ＝0. 又x 2＝0，∴可疑点为x ＝0，x ＝±1. 假设a >0，f ′(x )＝5ax 2(x 2－1)．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表(shànɡ biǎo)可知，当x ＝－1时，f (x )有极大值； 当x ＝1时，f (x )有极小值．∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＋c ＝4a －b ＋c ＝05a ＝3b⇒⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2b ＝a ＋2b ＝53a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2a ＝3，b ＝5假设a <0时，同理可得a ＝－3，b ＝－5，c ＝2.12．f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－52，求m 的值．解：∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m )， 令f ′(x )＝0，那么x ＝－m 或者x ＝23m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化如下表∴f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋2m 3＋2m 3－4＝－2，∴m ＝1.内容总结。
优化方案2020高中数学第2章3.2知能优化训练北师大版选修11
1．(2020年海淀区高三调研 )已知双曲线2 y 2x －＝1，那么它的焦点到渐近线的距离为3()A ．1B.3C ．3D ．4剖析：选B.依题意得，双曲线的右焦点坐标是 (2,0)，一条渐近线方程是 y ＝3x ，即32 3 ＝3.x －y ＝0，因此焦点到渐近线的距离为3 2＋12．如图，椭圆 C 1，C2与双曲线 C3，C4的离心率分别是 e1，e2与e3，e4，则e1，e2，e3， e4的大小关系是( )A ．e 2<e 1<e 3<e 4B ．e 2<e 1<e 4<e 3C ．e 1<e 2<e 3<e 4D ．e 1<e 2<e 4<e 3剖析：选A.椭圆离心率为，则2b 2 ，∴0< 2<1<1.e ＝1－2ea eeb 2双曲线的离心率为 e ′，则e ′＝1＋a 2.∴1<e 3<e 4.因此0<e <e <1<e <e .213 43．(2020年高考安徽卷)双曲线 2x 2－y 2＝8的实轴长是()A ．2B ．2 2C ．4D ．42x 2y 2剖析：选C.∵2 2－y2＝8，∴－＝1，∴＝2，∴2＝4.x48a a4．(2020年高考福建卷)若双曲线x 2y 24－b ＝1(b>0)的渐近线方程为2________．x 2 y 21剖析：4－b 2＝1(b >0)的渐近线为y ＝±2bx ，11由题意知2b ＝2，∴b ＝1.答案：11y＝±2x，则b等于一、选择题1．若双曲线x2y2a>0)的离心率为2，则a等于() a2－＝1(3A．2 B.3 3C.2D．12 2c 2 a 2＋3剖析：选 D.∵c ＝a ＋3，∴a 2＝ a 2＝4，得a ＝1.2．(2020年郑州质检)已知双曲线的方程为x 2y 22－2＝1(a >0，b >0)，双曲线的一个焦点到a b5一条渐近线的距离为 3c ，则双曲线的离心率为 ( ) 5 3A. 2B.23 5 2C. 522D.3剖析：选B.双曲线x的渐近线为x ±y＝0，焦点2－y2＝1 (0)到直线－ a y ＝0的距aba bAc,bxbc5 2 2 5 2 2 93离为a 2＋b 2＝3c，则c －a＝9c，得e＝4，e ＝2，应选B.x 2y 213．(2020 年温州十校联考)若双曲线a 2－b 2＝1(a >0，b >0)的实轴长是焦距的2，则该双曲线的渐近线方程是 ( ) 3A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±22xb 212222b剖析：选C.由题意可知 2a ＝ 2×2c ＝c ，则 4a ＝c ＝a ＋b ，解得a 2＝3，因此a ＝ 3，因此该双曲线的渐近线方程是 y ＝± 3x . x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点4．(2020 年高考课标全国卷 )中心在原点，焦点在 (4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 565C.2x 2y 2D. 2b剖析：选D.设双曲线方程为a 2－b 2＝1(a >0，b >0)，因此其渐近线方程为y ＝±a x ，因为b 1 2 2 2c 2－a 2 15点(4，－2)在渐近线上，因此a ＝2，依照c＝ a ＋ b ，可得a 2＝4，解得 e ＝2，应选D.x 2 y 2512＝90°，5．是双曲线2－2＝1上的点，1、2是其焦点，双曲线的离心率是，且∠PabF F4FPF若△12的面积是 9，则 a ＋b 的值等于()FPFA ．4B ．7C ．6D ．5c 52221剖析：选B.∵e ＝a ＝4，∴a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝5k (k >0)．由|PF 1| ＋ |PF 2| ＝ 100k，2 |PF 1|·|PF 2|＝9，(|PF 1|－|PF 2|)2＝100k 2－36＝64k 2，解得k ＝1，∴a ＋b ＝4k ＋3k ＝7.F ，虚轴的一个端点为 B ，若是直线FB6．(2020年高考辽宁卷)设双曲线的一个焦点为 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 ( )A. 2B. 3C. 3＋1D.5＋12222剖析：选D.设双曲线方程为x2－y2＝1(>0，>0)，不如设一个焦点为( 0)，虚轴端a ba bFc,bbb b点为B (0，b )，则k FB ＝－c .又渐近线的斜率为k ＝±a ，因此由直线垂直关系得－c ·a ＝－b2，又2－ 2＝ 2，故22，两边同除以221(－显然不吻合)，即b＝acca b c－ a＝a ，得方程e －eaac－1＝0，解得e ＝5＋1 1－52 或e ＝ 2 (舍去)．二、填空题x 2y 2x 2 y 27．已知双曲线a 2－b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆 25 ＋ 9＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________，渐近线方程为________．c22剖析：椭圆的焦点坐标为 (4,0)，(－4,0) ，故c ＝4，且满足a ＝2，故a ＝ 2，b ＝c －ab＝23.因此双曲线的渐近线方程为y ＝±a x ＝±3x .答案：(±4,0) y ＝± 3x8．已知双曲线x 2 y 2y ＝3x ，它的一个焦点与抛a2－2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是b物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为 ________．剖析：由条件知双曲线的焦点为 (4,0)，a 2＋b 2＝16，a ＝2，因此b解得b ＝2 3，＝3，ax 2 y 2故双曲线方程为4－12＝1.x 2 y 2答案：4－12＝1x 2 y 29．设双曲线9－16＝1的右极点为 A ，右焦点为F .过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B ，则△AFB 的面积为________．剖析：x 2 y 2(3,0)，右焦点(5,0)，双曲线－＝1的右极点为9 16AF4一条渐近线为y ＝－3x ，4则BF 所在直线为y ＝－3(x －5)，4 x －5y ＝－32由x 2317 y 2，得B (5，15)，9－16＝1132∴S △AFB ＝2·|AF |·|y B |＝15.32答案：15三、解答题10．焦点在x 轴上的双曲线，它的两条渐近线的夹角为π12，求此双曲线的3，焦距为 方程及离心率．解：由已知可设双曲线的方程为x 2 y 2a 2－b 2＝1(a >0，b >0)，b因此两条渐近线为 y ＝±a x .π因为两条渐近线的夹角为 3 ，故分两种情况，b π π 即y ＝a x 的倾斜角为 6 或 3 .b π 当y ＝a x 的倾斜角为 6 时，b π3 b 2 1 22∴a ＝tan6＝3，∴a 2＝3，即a ＝3b .又2c ＝12，∴c ＝6.∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝9，a 2＝27.x 2 y 2∴双曲线方程为 27－9＝1.c＝ 62e ＝＝ 3.a 3 3 3bπ bπ当y ＝a x 的倾斜角为 3时，∴a ＝tan 3＝3， b 2＝3a 2.又2c ＝12，∴c ＝6.由c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＝9，b 2＝27.x 2 y 2 c 6∴双曲线方程为 9－27＝1， e ＝a ＝3＝2.11．已知双曲线的中心在原点， 焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．求双曲线方程； 若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1⊥MF 2；求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵e ＝ 2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：易知F 1(－23，0)、F 2(23，0)．m ，k ＝m∴k ＝MF2.MF133－2 33＋222mm∴k MF1·k MF2＝9－12＝－3.2 2∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m ＝6，m ＝3.故k MF1·k MF2＝－1.即MF 1⊥MF 2.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝4 3，12上的高 h ＝| |＝ 3，FFm∴S △F1MF2＝12×43×3＝6.2212．已知双曲线：x 2－ y 2＝1( >0，>0)的离心率为 3，右准线方程为x ＝ 3 .C a b ab3(1) 求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不相同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．a 23c＝3 ，a ＝1，解：(1)由题意得解得c 3， c ＝3.a＝2 因此b 2＝c 2－a 2＝2.y 2因此双曲线C 的方程为x －2＝1.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．x －y ＋m ＝0，由x 2－y 2＝1，22 2鉴识式>0)． 得x －2mx －m －2＝0( x 1＋x 2 因此x 0＝ ＝m ， 2y0＝ 0＋＝2.x m m因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，因此2 2m ＋(2m )＝5.故m ＝±1.。
高中数学 第3章322知能优化训练 选修11 试题
卜人入州八九几市潮王学校[学生用书P33]1．f(x)＝x2，那么f′(3)＝()A．0 B．2xC．6 D．9解析：选C.∵f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.2．函数f(x)＝，那么f′(－3)＝()A．4 B.C．－D．－解析：选D.∵f′(x)＝－，∴f′(－3)＝－.3．(2021年高二检测)假设f(x)＝cos x，那么f′(α)等于()A．sinαB．cosαC．2α＋sinαD．－sinα解析：选D.f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，∴f′(α)＝－sinα.4．曲线y＝e x在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为________．解析：y′＝(e x)′＝e x，∴k＝e2，∴切线方程为：y－e2＝e2(x－2)．令x＝0得y＝－e2；令y＝0得x＝1.∴S△＝e2·1＝e2.答案：e2一、选择题1．函数y＝cot x的导数是()A. B．－C．－ D.解析：选C.由导数公式表可知(cot x)′＝－.2．以下结论中不正确的选项是()A．假设y＝3，那么y′＝0B．假设y＝，y′＝－C．假设y＝－，那么y′＝－D．假设y＝3x，那么y′＝3解析：选B.∵y′＝()′＝(x－)′＝－x－－1＝－x－＝－，∴B错误．3．假设f(x)＝sin x，那么f′(2π)等于()A．1 B．－1C．0 D．cos xf(x)＝sin x，所以f′(x)＝cos x，所以f′(2π)＝cos2π＝1.4．(2021年高考卷)曲线y＝e x在点A(0,1)处的切线斜率为()A．1 B．2C．e D.解析：选A.y′＝(e x)′＝e x，∴当x＝0时，y′＝e0＝1，故y＝e x在A(0,1)处的切线斜率为1，选A.5．假设曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，那么l的方程为()A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0解析：选A.y′＝(x4)′＝4x3.设切点为(x0，y0)，那么4x×(－)＝－1，∴x0＝1.∴切点为(1,1)．∴l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0，应选A.6．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，n∈N，那么f2021(x)等于() A．sin x B．－sin xC．cos x D．－cos x解析：选B.利用正、余弦函数的求导公式及函数的周期性求解．f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝sin x，…，∴周期为4，故f2021(x)＝f2(x)＝－sin x．应选B.二、填空题7．函数f(x)＝3x，那么f′(0)＝________.解析：f′(x)＝3x ln3，那么f′(0)＝ln3.答案：ln38．f(x)＝ln x，且f′(x0)＝，那么x0＝________.解析：f′(x)＝，所以f′(x0)＝，又f′(x0)＝，所以＝，所以x0＝x.所以x0＝0(舍)或者x0＝1.答案：19．y＝的斜率为－1的切线方程为________．解析：令y′＝－＝－1，得x＝±1.∴切点为(1,1)或者(－1，－1)．∴切线方程为y－1＝－(x－1)或者y＋1＝－(x＋1)．即x＋y－2＝0或者x＋y＋2＝0.答案：x＋y－2＝0或者x＋y＋2＝0三、解答题10．求以下函数的导数．(1)y＝2；(2)y＝；(3)y＝10x；(4)y＝log x；(5)y＝2cos2－1.解：(1)∵y′＝c′＝0，∴y′＝2′＝0.(2)∵y′＝(x n)′＝n·x n－1，∴y′＝()′＝(x)′＝x－1＝x－＝.(3)∵y′＝(a x)′＝a x·ln a，∴y′＝(10x)′＝10x·ln10.(4)∵y′＝(log a x)′＝，∴y′＝(log x)′＝＝－.(5)∵y＝2cos2－1＝cos x，∴y′＝(cos x)′＝－sin x.11．抛物线y＝2x2＋1，求：(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x－y－2＝0解：设点的坐标为(x0，y0)，那么Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴＝4x0＋2Δx.当Δx无限趋近于零时，无限趋近于4x0.即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝1.即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，该点为(，)．(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4.即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．12．两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公一共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解：设两条曲线的一个公一共点为P(x0，y0)．∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0.假设使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的．∴两条曲线不存在公一共点，使在这一点处的两条曲线的切线互相垂直．。
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1．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( )
A ．e 2
B ．e C.ln22
D ．ln2 解析：选B.因为f ′(x )＝(x ln x )′＝ln x ＋1， 所以f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2， 所以ln x 0＝1，即x 0＝e.
2．若曲线y ＝x 2－1与y ＝1－x 3
在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为( ) A.23 B.13
6
C ．－13
6
D ．－23或0
解析：选B.曲线y ＝x 2
－1在x ＝x 0处的切线的斜率为k 1＝y ′|x ＝x 0＝2x 0，
曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线的斜率为k 2＝y ′|x ＝x 0＝－3x 2
0.
由题意，得k 1·k 2＝－1，即2x 0(－3x 20)＝－6x 3
0＝－1，
解得x 0＝1
36 .
3．设y ＝x 2·e x
，则y ′＝( )
A ．x 2e x ＋2x
B ．2x e x
C ．(2x ＋x 2)e x
D ．(x ＋x 2)e x
解析：选C.y ′＝(x 2·e x )′＝(x 2)′e x ＋(e x )′x 2
＝2x e x ＋x 2e x ＝(2x ＋x 2)e x
. 4．已知f (x )＝
f
x ＋4x ，则f ′(2)＝________. 解析：∵f (x )＝f
x ＋4x ， ∴f ′(x )＝－
f
x 2
＋4，
∴f ′(1)＝－f ′(1)＋4，∴f ′(1)＝2，
∴f ′(x )＝－2
x
2＋4，
∴f ′(2)＝－12＋4＝31
2.
答案：31
2
一、选择题
1．(2011年吉林检测)函数y ＝x 2
cos x 的导数为( )
A ．y ′＝2x cos x －x 2sin x
B ．y ′＝2x cos x ＋x 2
sin x
C ．y ′＝x 2cos x －2x sin x
D ．y ′＝x cos x －x 2
sin x
解析：选A.y ′＝(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2
(cos x )′
＝2x cos x －x 2
sin x .
2．(2011年日照检测)已知函数f (x )＝x e x
，则f ′(2)等于( )
A ．3e 2
B ．2e 2
C ．e 2
D ．2ln2
解析：选A.f ′(x )＝(x e x )′＝x ′e x ＋x (e x )′＝e x ＋x e x
，
∴f ′(2)＝3e 2
.
3．若函数f (x )＝e
x x
在x ＝x 0处的导数值与函数值互为相反数，则x 0的值等于( )
A ．0
B ．1 C.12
D ．不存在
解析：选C.由于f (x )＝e x
x
，∴f (x 0)＝e x 0
x 0
，
又f ′(x )＝e x ·x －e x
x
2
＝e
x
x －
x 2
，
∴f ′(x 0)＝e x 0
x 0－x 20，依题意知f (x 0)＋f ′(x 0)＝0， 所以e x 0x 0
＋
e x 0
x 0－x 20
＝0，
∴2x 0－1＝0，得x 0＝1
2
，故选C.
4．(2010年高考江西卷)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2
＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )
A ．－1
B ．－2
C ．2
D ．0
解析：选B.由f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 得f ′(x )＝4ax 3
＋2bx ，又f ′(1)＝2，所以4a ＋2b ＝2，f ′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b )＝－2.故选B.
5．(2010年高考课标全国卷)曲线y ＝x
x ＋2
在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A ．y ＝2x ＋1
B ．y ＝2x －1
C ．y ＝－2x －3
D ．y ＝－2x －2 解析：选 A.∵y ′＝x
x ＋－x x ＋
x ＋2
＝
2x ＋
2
，∴切线斜率k ＝
2－1＋
2
＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.
6．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的
取值范围是( )
A ．[－2,2]
B ．[2，3]
C ．[3，2]
D ．[2，2]
解析：选D.由已知f ′(x )＝sin θ·x 2
＋3cos θ·x ，
∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π3. 又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，∴π3≤θ＋π3≤3π4，∴22≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤1，∴2≤f ′(1)≤2.
二、填空题
7．(2011年高考重庆卷改编)曲线y ＝－x 3＋3x 2
在点()1，2处的切线方程为________．
解析：∵y ′＝－3x 2＋6x ，∴y ′|x ＝1＝3.∴曲线y ＝－x 3＋3x 2
在点()1，2处的切线方程为y －2＝3()x －1，即y ＝3x －1.
答案：y ＝3x －1
8．函数y ＝3x sin x －x 2
cos x 的导数是________．
解析：y ′＝(3x sin x －x 2cos x )′＝(3x sin x )′－(x 2
cos x )′＝(3sin x ＋3x cos x )－
(2x cos x －x 2sin x )＝(3＋x 2
)sin x ＋x cos x .
答案：(3＋x 2
)sin x ＋x cos x
9．点P 是曲线y ＝x 2
－ln x 上任一点，则P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是________． 解析：曲线上与直线y ＝x －2距离最小的点，必定是平行于该直线的切线的切点．设曲
线上一点的横坐标是x 0(x 0＞0)，则经过该点的切线的斜率为k ＝y ′(x 0)＝2x 0－1
x 0
，∴2x 0－
1
x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－1
2
， 又x 0＞0，∴x 0＝1，此时y 0＝1.
∴切点的坐标为(1,1)，最小距离为|1－1－2|
2＝ 2.
答案： 2 三、解答题
10．已知y ＝sin x
1＋cos x ，x ∈(－π，π)，求当y ′＝2时的x 的值．
解：由于y ＝sin x
1＋cos x
，所以
y ′＝cos x ＋cos x －sin x －sin x ＋cos x
2
＝cos x ＋1＋cos x 2＝
11＋cos x ， 令11＋cos x ＝2，得cos x ＝－12
， 又因为x ∈(－π，π)，所以x ＝±2
3
π.
11．设函数f (x )＝ax 3
＋bx ＋c (a >0)为奇函数，其图像在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f ′(x )的最小值是－12，求a ，b ，c 的值．
解：∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，
即－ax 3－bx ＋c ＝－ax 3
－bx －c ， ∴c ＝0.
∵f ′(x )＝3ax 2
＋b 的最小值为－12且a >0，∴b ＝－12.
又直线x －6y －7＝0的斜率为1
6
.
∴f ′(1)＝3a ＋b ＝－6，∴a ＝2. 综上可知，a ＝2，b ＝－12，c ＝0.
12．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2
＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )、g (x )的表达式．
解：∵f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2
＋c 的图像过点P (2,0)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2×23
＋a ·2＝0，b ·22
＋c ＝0，∴⎩
⎪⎨⎪
⎧
a ＝－8，4
b ＋
c ＝0. ∴f (x )＝2x 3
－8x .
∵f ′(x )＝6x 2
－8，g ′(x )＝2bx ，
∴f ′(2)＝6×22
－8＝16，g ′(2)＝2b ·2＝4b ， ∵f (x )、g (x )在点P 处有公共切线， ∴f ′(2)＝g ′(2)，即16＝4b ，∴b ＝4.
∴c ＝－4b ＝－4×4＝－16.∴g (x )＝4x 2
－16.
∴f (x )、g (x )的表达式分别为f (x )＝2x 3
－8x 、
g(x)＝4x2－16.。