对高中数学函数中一类含参问题的解法的思考
对高中数学函数中一类含参问题的解法的思考
对高中数学函数中一类含参问题的解法的思考摘要：在高中函数类习题当中，一类含参问题是一种较为常见的题型，同时也是学生在学习过程中的主要难点之一。
基于此，本文对高中数学函数一类含参问题的解法展开了分析，通过几种常见的出题类型，来讨论在学习过程中对其准确求解的途径，希望能够以此促进学生在进行解题时的准确率。
关键词：高中数学函数习题一类含参解题教学1引言一类含参问题无论是在学生日常学习还是高考过程中都经常出现，这类题型由于涵盖知识面较广，并且解题过程中较为注重学生的逻辑思维，因此一直都是学生的主要失分环节，因此对一类含参问题的解法展开研究极有必要，能够保证教师在教学过程中帮助学生有效地总结知识规律，使学生掌握正确的解题技巧。
2含参不等式的解法2.1分类讨论法学生在处理这类问题，需要注意到参数的值对不等式的解以及类型能够起到直接的影响作用，因此学生需要首先就参数的情况进行谈论，并在确定了不等式的解之后，根据不同的情况来确定参数的值[1]。
例一：不等式a某2-2〔1+a〕+4>0，请分析在什么情况下该不等式成立。
解析：在处理这道习题的过程中学生应当分别从两个方面进行思考，首先是判断a是否为零，在a=0的情况下，也就是该不等式的二次线系数为零，因此不等式可以转变为4-2某>0，对其进行求解可以判断只要某小于2的情况下该不等式即成立;其次那么是在a不等于0情况新进行思考，如果a≠0，那么该不等式即是一个普通的二次函数不等式，将原函数转化为〔a某-2〕〔某-2〕>0，即可判断某的取值范围在2/a和2之间，随后将该方程的两个根代入不等式，即可对a的情况的进行分析。
2.2变换主元法在得到了参数的具体范围，要求学生去求解未知数的取值范围，那么学生便可以考虑使用变换主元的解题方法去进行求解[2]。
例二：m为不等式m〔某2-1〕<2某-1的参数，在m的绝对值不大于2的情况下，该二次不等式恒成立，请分析某的取值范围。
求解高中数学含参变量函数问题的思路和方法
通过分析，我们知道该问题属于上述类型的第一种， 即已知参变量的取值范围，关于主变量和参变量的表达式 恒成立，求主变量的取值范围。现在我们采用参变元与主 变元转化法来解答该题。首先把参变量m视为该函数的自 变量，即h(m)=(x-2)m+x2-4x+4，那么问题就转化成对于任
意的m [-1,1]，h(m)>0恒成立，即
通过统计研究，我们很容易发现常见的含参变量函数 问题主要有哪些。首先设不等式f(x,m)≥0，或f(x,m)≤0，为 式（*），其中m为多项式f(x,m)的参变量。那么常见的求解 含参变量问题的类型主要有以下几种：（1）对于任意的 参变量m M，使式子（*）恒成立，求解主变量x的取值范 围；（2）对于任意的主变量x X，使式子（*）恒成立， 求解参变量m的取值范围；（3）存在参变量m M，使式子 （*）成立，求解主变量x的取值范围；（4）存在主变量x X，使式子（*）成立，求解参变量m的取值范围。当然，其 中X，M R。无论是填空、选择题，还是压轴的解析题，当出 现含参变量问题时，其实其本质都是以上四种类型的一个。所 以分析出题目到底是哪种类型，再顺着针对相应类型问题的解 题思路，就可以较轻松的把问题解出来了。 二 含参变量函数问题的求解思路和方法
3.数形结合法。数形结合法也是解决含参变量函数问题 较常用的方法之一，主要是在坐标系中将函数图像画出，再 结合题目中给出的已知条件，从而得出答案。我们还结合 2.2小节中的例子，采取数形结合的方法求解问题，首先我 们可以设f(x)=|m-2x|，g(x)=x-1；然后在同一个坐标系中画出 这两个函数的图像；再根据题目中的条件，对于区间[0,2]中 任意的x，都有f(x)>g(x)，从而得出在此我们又将主变量转化为了自变量，
高考中含参问题的通用解法，一种不会做也能让你多考几分的方法
高考中含参问题的通用解法，一种不会做也能让你多考几分的
方法
作者：云中海，浙江大学数学系硕士毕业
生，前浙江省高考数学阅卷教师。
致力于尽己
所能为学子们培育数学慧眼、提升数学思维、
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考即将迎来决战之际，我将为大家重点介绍
选择题
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关于函数、不等式和方程的含参问题历来是高考中一个长考不衰的命题，尤其是恒成立、能成立问题，选择填空题中考，解答题中也考，变着花样考；但是由于含有参数，对很多学生来说，常常会感到束手无策，因为含参数问题往往牵涉到分类讨论，而分类讨论又恰好是个难点和痛点。
下面我总结了分离参数法在含参问题中的通用解法，希望用最典型的例题让大家学会这种方法。
由于本人文字和公式编辑水平有限，可能存在个别错字或疏漏，欢迎大家留言区批评指正和讨论。
用一道题讲清楚分离参数法
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几类含参问题初探
几类含参问题初探作者：夏兴凤来源：《学校教育研究》2015年第21期含参问题是整个高中数学教学的重点，也是一个难点。
高考中也少不了这类题型。
面对某些含参问题，正面思考会觉得很困难。
但通过转变思想，变换自变量，重新设定自变量的方法，会使解题思路凸现，而这个变化过程也大大优化了求解过程。
下面是我平时在教学工作中对这一问题的一点思考，愿与我们大家共同分享。
敬请斧正！一、设定自变量求含参问题例如：已知其中为常数。
若是增函数，且存在正零点（为导数）（1）求值。
（2）设是函数图像上两点，（为导数）证明：很多同学都会按照解此题的一般解法这样做：，因为是增函数，所以在恒成立。
（ⅰ）若于是恒成立。
又存在正零点，所以。
得或，与矛盾。
（ⅱ）若，由恒成立，又存在正零点，故，所以。
大多数同学很容易做到这一步，继续解得到，，得下证：做到这里有的同学就不知该如何往下证明了，在上边这个式子中，出现了两个变量，倘若把其中的一个设为自变量，另一个看做参变量，那么这个问题的思路便豁然开朗了。
不妨令，则令（）只需证，即可。
在上递增。
即二、变换自变量解含参问题对于有些问题，如果把不等式看做关于的不等式则解题过程非常复杂，但如果把不等式看做关于参数的不等式则可简化解题过程，实现常量与变量的转化。
再如，对于满足的所有实数，求使不等式恒成立的的取值范围。
不等式化为，令，把它看作是关于的一次函数，由有，对于时，要使恒成立，只需和同时成立即可，得或。
如此变换，复杂的问题就简单多了，学生做题时也省去了不必要的麻烦。
三、变更自变量从而回避讨论某些分类讨论问题中含有多个变量，可根据题目的结构特点，选择某个变量为自变量，来个“反客为主”，从而回避讨论的繁琐。
例如：设，其中且当时有意义，求的范围。
本题中有三个变量。
这里条件复杂，解题方向不明确，如果选取其中的为自变量，把看作常量，问题就迎刃而解了。
问题转化为，当时，不等式恒成立，由于且有，所以故，所以使式成立的的范围是（且）。
定值？变量？一类含参问题错误解法的反思
增函数．
（） Ⅱ设关于 的方程 ｆｘ ＝２ ＋去 。 （） ｘ 的两
个非零实根为 Ｘ 、 ２ 试问： ｌＸ ． 是否存在实数ｍ， 使
得不等式 ｍ ｍ ＋１ ｌｌ ２对任意 ａ∈Ａ ＋ｔ ≥ Ｘ —Ｘ ｌ
（） ３若对于任意的ａ∈［２２， － ，】不等式ｆｘ （） ≤１ ［ １】 在 一１１上恒成立， 的取值范围． 求ｂ 解：１． ｘ ＝４３ ａ ｘ：ｘ４ （） ） ｘ ＋３ｘ ＋４ 厂 （ｘ ＋
为了进一步验证， 我们可以假设ｍ为 （，］ １ｅ上
一
［， ， １ｍ】恒有ｌ ｘ） Ｈ（１ 一Ｈ（２ｌ ． ｚ ）＜１
这里主要是在路 如 下：
个常数， 不妨设其为 ， ｌ Ｘ 为 （， 上 则Ｘ 、 ２ １ 的任意两个变量， Ｘ） Ｈ（２ｌ Ｉ １一 ｘ ）＜日（） 一 Ｈ（
已知 二 次 函 数 ｇｚ 对 任 意 实 数 都 满 足 （）
在 （） ２ 中ｍ虽然是 （，】 １ｅ中的一个常数， 但事 实上 ｍ取值确实是可以任意取到 （，］ １ｅ中的每一 个数， 包括取 ｅ 也是成立的．但运用到第 （） ３ 小 题 上， ｍ应当是 （，１ 的一个常数， Ｘ 、 ２ １ｅ上 而 ｌ
时 ｍ 是 定 值．
Ｉ Ｘ） Ｈ（１ 一Ｈ（２Ｉ 丁 一日（） ｘ ）＜ｊ（） ｚ ｉ Ｈ（） １ 一日（ ． ｍ） 下面考虑Ｈ（ 这个函数． ｍ） 对于 日（ ， ∈ ｍ）ｍ （，】 １ｅ． 。 ｘ在 ［ ｍ］ Ｈ（） １ 上为减函数， ， Ｈ（ 在其定义域（，１ ｍ） １ｅ单调递减， １ Ｘ） Ｈ（１一Ｈ（２『 ｘ） ＜Ｈ（） １ 一Ｈ（ ＜Ｈ（） ｍ） １ 一ｎ（） ｅ
．
２ （ｘ一１（ ｘ２ ） Ｘ一２． ）
Ｘ 一 ａ 一 ２ ≤ ０… … … … … … …… …… … ． ｘ ．①
解答含参问题的三个路径
解题宝典||AF ,||BF ，这样便可快速求出1||AF +1||BF 的值.解：由题意得a =2,b =3，||AF =b 2a -c cos 60°,||BF =b 2a +c cos 60°,所以1||AF +1||BF =a -c cos 60°b 2+a +c cos 60°b 2=2a b 2=2×23=43.例4.已知椭圆C ：x 22+y 2=1的左右焦点分别为F 1,F 2，点A ,B 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点,并且AF 1//BF 2.如果||AF 1-||BF 2=，求直线||AF 1的斜率k .分析:先设∠AF 1F 2=θ，用椭圆角度式焦半径公式表示出||AF 1,||DF 1,然后由椭圆对称性可表示出BF ，根据已知条件列出关系式，即可求出cos θ，再通过三角恒等变换求得tan θ，就能得到所求的斜率.解：由题意得a =2,b =1,c =1,设∠AF 1F 2=θ,由椭圆角度式焦半径公式可得||AF 1=||DF 1=12+cos θ,因为AF 1//BF 2，所以由椭圆对称性可得||BF 2=||DF 1=12+cos θ,又||AF 1-||BF 2=,所以,化简得6cos 2θ+4cos θ-26=0，解得cos θ=由sin θ2+cos θ2=1得sin θ，所以k =tan θ=sin θcos θ.总之，椭圆的焦半径公式的两种形式有着各自的特点和适用范围，在解答与椭圆有关的问题中应用非常广泛.在解题时,我们常常需要将椭圆的焦半径公式与椭圆的方程、定义、性质等结合起来应用.这就要求同学们不仅要加深对概念、公式、性质的理解，强化训练，同时也要培养灵活处理问题的能力.（作者单位：湖南人文科技学院数学系）含参问题的类型有很多，如求参数的取值范围、证明不等式恒成立、判断函数的单调性等.解答含参问题的途径也有很多，如利用方程思想、利用导数法、借助待定系数、利用函数思想等.本文重点探讨一下解答含参问题的三种途径：利用方程思想、利用函数的性质、借助待定系数，以帮助同学们拓宽解题的思路.一、利用方程思想方程思想是解答高中数学问题的常用思想，是指通过建立方程或者方程组使问题获解的数学思想.在解答含参问题时，我们可以根据代数式的特点建立方程或者方程组，然后利用方程的判别式△=b 2-4ac 、根与系数的关系来解答问题.例1.已知函数f ()x =x 2-()m +5x +2()m +5在定义域内恒为非负数，求方程2x m +1=||m +2+1的根的取值范围.解：因为f ()x 恒为非负数，所以方程f (x )=0的判别式△=()m +52-8()m +5≤0，解得-5≤m ≤3.方程2xm +1=|m +2|+1可化为2x=()m +1()|m -2|+1，当-5≤m ≤2时，2x =()m +1()2-m +1，所以2x =-m 2+2m +3=-()m -12+4，则2x ≤4,x ≤2，当2<m ≤3时，2x =()m +1()m -1=m 2-1,3<m 2-1≤8，所以log 23<x ≤3.39解题宝典故方程的根的取值范围是(]-∞,3.我们首先借助方程f ()x =0的判别式初步确定m的取值范围，然后结合指数函数y =2x的值域来探讨当-5≤m ≤3时，()m +1()|m -2|+1取值范围，进而求得m 的取值范围.二、利用函数的性质函数的性质有很多，如单调性、奇偶性、对称性、周期性等.在解答含参问题时，我们可以根据题意构造合适的函数，然后利用函数的性质来解题.通过分析函数的单调性、周期性、最值等来确定参数的取值、比较不等式的大小、证明不等式恒成立等，进而解答问题.例2.已知不等式1n +1+1n +2+⋯+12n ≥112log a(a-1)+23，对于一切大于1的自然数n 恒成立，试确定参数a 的取值范围.解：设f ()n =1n +1+1n +2+⋯+12n(n ∈N 且n >1)，∵f ()n +1-f ()n =12n +1+12n +2-1n +1=1()2n +1()2n +2>0，∴f ()n 是增函数，∴n ∈N,且n >1时，f ()n ≥f ()2=712，∴112log a ()a -1+23≤712，即log a ()a -1≤-1，解得1≤a≤∴a 的取值范围是æèçû1.该题是含参恒成立问题.我们首先构造函数，然后通过分析函数的单调性，建立新的不等式，解该不等式便求得a 的取值范围.例3.已知定义在R 上的函数y =f (x )满足条件f (x +4)=-f (x )，且函数y =f (x +2)是偶函数，当x ∈(0,2]时，f (x )=ln x -ax (a >12)，当x ∈[-2,0)时，f (x )的最小值为3，则a 的值为().A.e 2B.eC.2D.1解：因为函数y =f (x +2)是偶函数，即对称轴为x =0，所以函数y =f (x )的对称轴为x =2，当x ∈[2,4)时，4-x ∈(0,2]，所以f (x )=f (4-x )=ln(4-x )-a (4-x )．因为f (x +4)=-f (x )，所以x ∈[-2,0)时，x +4∈[2,4)，f (x )=-f (x +4)=-ln[4-(x +4)]+a [4-(x +4)]=-ln(-x )-ax ，所以f ′(x )=-1x -a ，令f ′(x )=0，得x =-1a，因为a >12，所以-1a ∈(-2,0)，当-2≤x <-1a 时，f ′(x )<0，当-1a <x <0时，f ′(x )>0，所以f (x )在éëùû-2,-1a 上是减函数，在éëùû-1a ,0上是增函数，所以当x =-1a 时，f (x )取得最小值f (-1a )=-ln(1a)+1，因为f (x )在[-2,0)上的最小值为3，所以-ln(1a)+1=3，解得a =e 2.解答本题需结合题意综合运用函数的奇偶性对称性、单调性.三、借助待定系数待定系数法常用于求函数的解析式、求数列的通项公式、解答不等式恒成立问题.在运用待定系数法解答含参问题时，需将一个多项式表示成另一种含有待定系数的形式，在得到一个恒等式后将系数对应,得到满足的方程或方程组，通过解方程或方程组求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式.例4.证明是否存在常数a ,b ,c 使得等式：22+2∙32+⋯+n ()n +12=n ()n +112()an 2+bn +c 对一切自然数n 都成立.证明：∵n ()n +12=n 2+2n 2+n 3，∴1∙22+2∙32+⋯+n ()n +12=()1+2+3+⋯+n +2(12+22+⋯+n 2)+(13+23+⋯+n 3)=n ()n +112()3n 2+11n +10.∴当a =3,b =11,c =10时，等式对一切自然数n都成立.解答本题主要运用了待定系数法.首先对等式左侧的式子化简，得到与等式右侧结构一致的式子，然后将系数对应，得到使等式成立时的a ，b ，c 的值.含参问题是高中数学中的一类常见问题，同学们在日常学习中要注意总结题型和解法，将所学的知识融会贯通，这样才能快速找到解题的途径.（作者单位：新疆乌鲁木齐市第六十九中学）40。
高中数学“含参”问题常用方法
把 主元 视为 已知 函数 ，即把原 题视为参数 的函数 ，从 函数角度来 ｎ的取值范 围。此题若按 函数思想 ，则． ） ＋ ＋２，此 函数为双
解 答 。
例 １．对于 任意 。∈［一１，１］，函数 厂（ ） ＋（。一４ 一２。的值恒 勾函数 ，需讨论 ，比较复杂。
大于零 ，求 的取值 范围。
综 上所述 ，ｋ的取值 范围为［１，ｅ ］。
二 、分 离 参 数 和 函 数 思想
点评 ：此题相较于上一题相对复杂 ，平 时练习中 ，要善于利用
通 过恒等变形 ，将参数 与主元分离 出来 ，使 不等式一 边只含 函数思想进 行思考 ，灵活解题 。
参 数 ，另 一边是与参数无 关 的主元 问题 ，只需求 出主元 函数 的最
［２］王 恒 亮 ，李一 淳 ．例 谈 “等 式 ”与 “不 等 式 ”的和 谐 转化
，（ ）＞０恒成立 ，试求实数 ｎ的范 围。 解 ：·．· ∈［１，＋ ］，要使 ，（ ）＞０恒成立 ，￣ ｆｌｇｘ％２ｘ＋ａ＞０
［Ｊ］．中学生理科 应试 ，２０１５（３）． ［３］赵 仁 志．论 高 中数 学 中的 不等 式 教 学［Ｊ］．当代 教 研 论
关 键 词 ：不 等 式 ；主元 法 ；解 题 方 法
解 决 此 类 问题 有 一 定 的 规 律性 ，常 见 方 法 有 ：函数 思 想 、分 离
分 离 参 数 得 ：Ｄ 一（ ＋２ｘ）一 （ｘ＋１） ＋ｌ
参数 、变换 主元 、数形结合等 ，其 中分离参数转换 自变量 是常用的
当 ∈［１，＋ ］时 ，ｇ（ｘ）＝一（ ＋１） ＋１，最大值为 ３。
‘ ．
（０）是 ０的一 次 函数 ，要 使 ｇ（ａ）＜０在 。∈［一１，１］上 恒成
高中数学一元二次含参不等式的解法探究
高中数学一元二次含参不等式的解法探究一元二次不等式是高中数学中一个非常重要的知识点，而含参的一元二次不等式更是需要同学们格外注重。
因为含参的一元二次不等式在现实中有着广泛应用，例如通过解决含参的一元二次不等式，可以优化设计制造成本、确定工艺参数、调节运动规律等等问题。
所以，解决含参的一元二次不等式，对提高数学水平和现实生活都是非常有益的。
解决含参的一元二次不等式，可以从以下四个方面入手。
1. 方程法含参的一元二次不等式可以理解为是变量 $x$ 的一元二次函数，而求解含参一元二次不等式，就是为了知道这个函数图像 $y=ax^{2}+bx+c\left( a,b,c\in R \right)$ 在数轴上的位置关系，因此，使用方程法求解含参一元二次不等式是非常直接和简单的。
具体步骤如下：1）将一元二次不等式的两边同时移项，将不等式转换为相等式，得到一个含参二次方程；2）解出方程，得到二次函数图像的根；3）分别把这些根代入原不等式中，求出参数的取值范围。
例如要求 $\left( 1-\sqrt{x} \right)\left( 1+qx \right)<0$ (其中 $q>0$)，我们可以按以下步骤来解决：3）分别将这些解代回原不等式中，得出 $x>1/q^2$ 或 $x<0$。
因为 $q>0$，所以$x>1/q^2$，也就是说，当 $x\in \left( 0,\frac{1}{q^2}\right)$ 时，原不等式成立。
2. 图像法尽管用方程法可以得到含参一元二次不等式的解，但这种方法需要解出二次方程，不太方便。
另一种方法是通过函数图像，观察函数的零点和拐点，直接得出不等式的解。
这种方法叫做图像法。
具体步骤如下：1）将一元二次不等式写成一元二次函数的形式，并确定函数的最高次幂系数 $a$，括号里的内容作为变量 $x$，同时限制 $x$ 的取值范围，画出函数的图像。
如何求解含参问题
如何求解含参问题作者：***来源：《新高考·高三数学》2018年第07期含参数的圆问题与椭圆的离心率问题，是高考数学考查的重点与热点，一般是中档题或难题，常处于小题压轴把关位置，研究这类问题的解法很有必要.一、圆的问题首先我们来看含有参数的圆综合问题.这一类问题由于含有了参数，所以图形也就不固定了，也就是通常所说的动起来了.在动的问题中，其本质就是化动为定.与圆有关的动点问题通常转化为与圆心有关的一类问题.在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，正因为圆的定义决定了圆具有独特的几何性质，圆中动点问题的处理也有别于椭圆和双曲线，将动点问题转化为定点问题是高中数学中一种常见的处理手段，在圆当中这一方法就显得格外突出.此题就是将问题转化为圆心到直线的距离问题.评析这道题有两道坎，第一就是为什么会想到求M点的轨迹？题目需要使得∠OPM=30°，而O是原点，P在直线上动，唯独不清楚M在哪条曲线上动，所以就不难想到要探寻M的轨迹.第二是发现点P和M分别在直线和圆上运动，这个时候我们一般都把圆上的点先作为动点，而把直线上的点P先看作定点.这样可以先对圆上的动点进行转化，这样第二个难点就也突破了.通过以上例题我们发现直线与圆的动点问题其核心就是转化，这种转化通常将圆上动点的问题转化为与圆心的距离问题，倘若有多个动点在不同曲线上运动，通常先将其中一个作为主元（动点），其余的暂时视为定点，而往往又先将圆上的动点作为主元，因为圆上动点往往可以实现转化.二、椭圆的离心率椭圆离心率问题的本质就是求椭圆方程中a，b，c之间的关系式，求值就是求等量关系，求范围就是寻求不等关系.问题的难点就是这个关系的寻找.分析此题为求椭圆离心率范围，也就是求a，b，c的不等关系.题設条件中△ABC是锐角三角形，画图后我们进一步发现△ABC是一个等腰三角形，所以只需要顶角是锐角即可，接着三角形中角的范围就可以转化为边的不等关系.分析这题求离心率范围，应该寻求a，b，c的不等关系.题目中并没有直白的不等关系，这里面的不等关系只能从构成等腰三角形的条件人手.通过上述题目，我们发现求椭圆离心率值或范围时，核心是寻求a，b，c间的等量与不等量关系，有些关系是题目明确给你的，而有些关系则是隐性的，在寻求隐性关系时，常常要关注构成三角形的条件、椭圆上的点到焦点距离的范围等等.在平时学习中多研究、多归纳、多总结，你会发现原来许多题目并没有像表面上那么困难，当你找到问题的本质时，你会发现解题能获得很多乐趣.。
一类“含参”导数问题解法的思考与探索
一类“含参”导数问题解法的思考与探索作者：林文斌来源：《读写算》2014年第23期【摘要】数学解题教学中经常会碰到有关求参数取值范围的问题，常见的两种解法是参数分离和构造函数，但这两种方法在操作上都存在一定的困难，笔者通过自己的研究提出了利用“微区原理” 进行有效控制参数范围的方法，使得解决含参问题变得更加简洁方便。
【关键词】数学参数微区原理应用一.问题提出在数学解题教学中有关求参数取值范围问题是一类易引起学生错解题；因为这类题需对所求得的参数取值范围的充要性进行讨论反思。
若解题过程只（具有）考虑充分性，则求得的参数取值范围要比实际范围小；若解题过程只（具有）考虑必要性，则求得的参数取值范围要比实际范围大，从而得出错误答案。
对于“含参”导数问题，求导数后对于区间内函数值符号的确定，需对参数进行合理的分类讨论才能达到要求。
但学生在分类讨论过程中，可能对分类讨论的“依据”认识不清晰，甚至不正确，无法确定分类讨论的“依据”；也可能此类题中本身分类讨论比较繁琐，学生无法达到“完全”讨论。
这类问题解决分类讨论存在两个难点：①确定分类讨论的“依据”②“完全”讨论。
“如何有效控制参数范围，避免繁琐的分类讨论或减少分类（分类过宽导致泛化或者过窄导致减少）情况”是解决“含参”问题的一种常用手段。
本文笔者结合教学实践案例的形式，探讨这类问题解决的一些思考，介绍利用“微区原理”进行有效控制参数范围，避免繁琐的分类讨论。
二.微区原理简介1. 微区原理的动态生成在数学课堂教学的进程中，教师与学生、学生与学生围绕一定教学情景开展合作、对话、探究、交流、互动时，会产生“非预设性的新问题、新方案、新思路、新猜想、新结论、新评价”等资源。
课堂教学中教师敏锐捕捉、及时开发处理这类生成性资源，使学生明白自己错在哪里、为什么错，然后建构科学的观点或概念，这样有利于学生对所学知识的真正理解和灵活应用。
下面是本人在教学过程中记录的一道题目以及学生对它的分析与解法过程，因此，本题的第三种解法所得的参数取值范围只具有条件的充分性，然而根据画图发现：函数h（x）的图像从左边开始时呈现上升趋势，我们要反思：能否将这种解法进行完善，使得它具有合理性呢？我们结合函数h（x）的简图可得：函数h（x）在x=0处开始变大时，图像呈现上升趋势，即函数h（x）在小区间上是递增的；否则函数h（x）不能满足条件。
优质论文-高中数学“含参”问题方法小结
高中数学 “含参”问题方法小结含参数（不）等式“恒、能成立”问题是高中数学教学的一个重点和难点，同时也是高考考查的热点。
这类问题可以考查多个知识点，更能从多个角度检查考生的素质和能力，这类问题难度比较大，综合性强，考生不易得分。
解决此类问题有一定的规律性，常见方法有：函数思想、分离参数、变换主元、数形结合等，其中分离参数转换自变量是其常用的方法。
一．反参为主（即主元法）对于给出了参数范围的“恒成立”问题，常把参数视为主元，把主元视为已知函数，即把原题视为参数的函数，从函数角度来解答。
例1.对于任意a ∈[-1,1]，函数f(x)=x 2+(a-4)x-2a 的值恒大于零，求x 的取值范围。
解：由题令g(a)=(x-2)a+(x 2-4x+4)>0对 a ∈[-1,1]恒成立。
显然x ≠2∴g(a)是a 的一次函数，要使g(a)<0在a ∈[-1,1]上恒成立，只需(1)0(1)0g g -<⎧⎨<⎩ 即22(2)440(2)440x x x x x x ⎧-+-+>⎪⎨-+-=>⎪⎩ 解之得：x<1或x>3点评：此题若按分离法做，分离a 得2(2)4x a x x ->-需讨论比较复杂变式：若例1中改为x ∈[-1,1]上f(x)>0恒成立，则此题属于二次函数区间定轴动题目，对称轴42a x -=-分三种情况：①412a --≤-,令f(-1)>0 ②4112a --<-<-,令∆<0③4112a ---≥,令f(1)>0点评：此题若用分离法不易解答。
例2．已知函数22()2x af x x -=+(x ∈R)在[-1,1]上是增函数。
（1）求实数a 的值所组成的集合A （2）设关于x 的方程1()f x x=的两根为x 1,x 2，试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm+1≥|x 1-x 2|对于任意a ∈A 及t ∈[-1,1]恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由解：（1）2222222(2)(2)22(2)()0(2)(2)x x a x x ax f x x x +--∙-++'==≥++对x ∈[-1,1]恒成立 令2()2h x x ax =-++则有{}(1)0120|11(1)0h a A a R a h ≥-++≥⎧⎧⇒=∈-≤≤⎨⎨-≥≥⎩⎩即-1-a+20（2）221()2x a f x x x-==+由 得：220x ax --=∵280a ∆=+> ∴12122x x ax x +=⎧⎨∙=-⎩∴12||x x -==∵-1≤a ≤1 ∴1≤|12x x -|≤3 ①要使m 2+tm+1≥|x 1-x 2|对于任意a ∈A 及t ∈[-1,1]恒成立,当且仅当m 2+tm+1≥3对于任意t ∈[-1,1]恒成立,即m 2+tm+1≥0对于任意t ∈[-1,1]恒成立g(t)=mt+m 2-2, t ∈[-1,1]则g(t)≥0对对t ∈[-1,1]恒成立②令22(1)20(1)20g m m g m m ⎧-=--≥⎪⎨=+-≥⎪⎩解得：m ≥2或m ≤-2 注：本题含a,t,m 三个参数，通过①减少为两个参数t ，m ，要解决②，以t 为主元，利用一次函数保号性解决． 二．分离参数和函数思想通过恒等变形，将参数与主元分离出来，使不等式一边只含参数，另一边是与参数无关的主元问题，只需求出主元函数的最值。
高中数学含参问题求解策略例析
2019年6月解法探穷一.)1高中数学含参问题求解策略例析，江苏省常熟市浒浦高级中学周军在高中数学内容体系中，含参问题不是单一的知识版块,而是与许多知识点密切联系，如解析几何、函数、方程、不等式、线性规划等.在解决含参问题时，需要根据具体的问题情景与涉及的知识点，运用常见的含参问题的求解策略进行解答，这样才能从知识点的本质层面解答好含参问题.本文以苏教版高中数学为例,结合不同的知识案例来阐述常见的解题思路与方法，为广大师生提供经验借鉴.-、平面向量中的含参问题平面向量是高中数学重要的知识内容，是代数关系与空间关系的结合，也是后续解析几何、立体几何等内容的重要基础.作为重要的考点，在平面向量的问题中经常会出现参数，提升了对学生思维量的考核,求解难度较大，在江苏省高考中经常作为填空题的压轴题出现.下面笔者结合教学经验与具体案例列举出两种最为常见的解题思路与方法.1.建立直角坐标系一般来说，构建直角坐标系是解决平面向量问题的通用解法，只要能够在平面内建立起坐标系，那么各个点的坐标就可以表示出来,与之相对应的向量关系就可以得到确定.【案例1】在四边形"#中，已知边与平行，"#的长度为CD的2倍，&与'分别为边与#$的中点.现存在向量关系A"=!X"+"A"，则！+"的值为_____.解析：因为这是一道填空题，因此可以将问题特殊化，假设四边形"#CD是一个直角梯形，建立直角坐标系，如图1所示.令CD的长为+,"D的长为,，则"#的长为2+.易知&点的坐标为i卜3D&C0（A）B2图1■+,b点的坐标为[-%，~2&,#点的坐标为(2+,0).因为所以将各点坐标代入，可得(2+,0)=!,bI3+b\!—+也=2a,224R所以有方程组（解得!=-',"=）.入b+丛=0,552因此可得!+"=4.故填专.2.构造向量基底有时候构建平面直角坐标系的运算量过大，难以快速求解出正确答案,那么可以尝试构造向量基底.这一方法也是解决平面向量含参问题的常用方法.在构建向量基底时，需要结合平面向量的基本定理，根据确定的向量基底来表示题目所涉及的向量，由向量基底来表示已知条件中的各种向量关系，进而起到“消元”的作用，实现向量的统一.【案例2】已知四边形"#CD为菱形，边长为2,+BAD 的大小为120。
谈含参函数零点问题的解题策略
谈含参函数零点问题的解题策略摘要：含参函数零点问题一直是高考热点和难点，全国卷中常常均导数压轴题形式出现，对大部分学生而言有一定的难度。
本文主要针对此类问题举例说明两种方法：直接法和参变分离法，让学生有迹可循，进而达到落实数学核心素养的目的。
关键词：直接法参变分离法导数零点问题含参函数导数及其应用一直是高考的重点与难点，尤其是含参函数的零点问题[1-3]，一般以基本初等函数为载体，考察函数的单调性，函数的零点存在性定理及指数函数、幂函数、对数函数的增长速度，难度较大，解题时要熟练运用导数与函数单调性的关系，注重函数与方程化归、分类讨论及数形结合等思想方法的应用。
针对导数压轴题中的含参函数零点问题，本文将用两道例题来说明两种常用方法：直接法和参变分离法，例一是已知零点情形求参数范围，例二是直接求解函数零点个数，其中例一选自2018年全国卷理科Ⅱ卷21题第二问，例二选自2018年广一模理科21题第一问。
直接法是通过对参量进行分类讨论直接分析所求函数的单调性、极值、最值和极限，大致确定函数的图象进而分析函数的零点个数。
参变分离法则是利用函数与方程思想把参数和变量进行分离，得到一个不含参的函数和常函数，通过分析不含参函数的大概走势，进而确定不含参函数与常函数交点个数，从而解决原函数的零点问题。
在采用这两种方法求解时，我们利用极限思想降低计算复杂度。
虽然在高中数学没有涉及极限的计算方法，但是人教A版选修2-2中提到了极限的思想，所以我们根据指数函数、幂函数、对数函数增长速度来求一些简单函数的极限来确保函数在某些区间满足零点存在性定理。
本文将通过对这两道例题讨论分析说明两种求解方法，让学生有迹可循，进而达到落实数学核心素养的目的。
例1（2018全国理科Ⅱ卷21）已知函数．若在只有一个零点，求．方法一：直接法解析：当时，不满足题意.当时，，令令 .当时，即当，单调递增，又即在单调递增，又不满足题意.当时，即当，当时，单调递减；当时，单调递增.当时，即单调递增，不满足题意.当时，即又时，增长速度远远大于增长速度，所以，又使得又增长速度远远大于增长速度，所以在只有一个零点，又，解得方法二：参变分离法解析：在只有一个零点，即方程在只有一个解，即方程在只有一个解.即函数和函数在只有一个交点.当时，单调递减；当时，单调递增. ，又时，增长速度远远大于增长速度，所以，所以函数和函数在只有一个交点， =例2（2018广一模理科21）已知函数 .讨论的导函数零点的个数；解析：定义域为方法一：直接法令，故在上单调递增，，又当时，有且只有一个零点，所以当时，即时，只有一个零点；当时，即时，有两个零点.当时，没有零点，只有一个零点.所以当或时，只有一个零点；当或时，有两个零点.方法二：参变分离法方程在解的个数，即方程在解的个数，即函数和函数在交点个数.在单调递增，，又当时，和有且只有一个交点，故当时，即时，只有一个零点；当时，即时，有两个零点.当时，和没有交点，只有一个零点.所以当或时，只有一个零点；当或时，有两个零点.通过上述两个例题的详细解析，我们可以直观感受到两种方法的特点。
对一类求含参不等式中参数范围问题的分析与建议
（ ２ 一 ） ， 当 ＜ ０ 时 ， —
ｆ（ ｘ ）单调 递增 ， 且 ＞ ４ ；
：
６
Ｊ
（ ） 口 ’
当０ ＜ｚ ＜ 去 时， Ｙ －ｆ ￣ （ ｘ ）
单 调递 减 ， 且 Ｙ＞ ０ ； 当 ＞
—
２ ／ １
３— ２— １ Ｏ ｌ ２ ３ ４
意 ，要 使 ｇ （ ｚ ）＜ ＾ （ ） 成立 ， 则 函数 Ｙ＝ （ ）的图象 应在 函数 ｙ—
ｇ （ ｘ）的图象 上方 ．
图 ｌ
又ｇ （ ） ＝ ＝ ＝ ０ ， 结 合 图象得 到 ， 原 不 等式 解 集 中 的 ３个 整 数 只 能 为 １ ， ２ ， ３ ，则 有 不 等 式 组
等式 解集 的方 法 ， 无 法 应 用 到 作 者 的命 题 和 新 题 中．那 么 ， 这 三个 题 型 结 构 相 似 的含 参 不 等 式 问 题， 能探 究 到“ 到 处可 用”的那 种方 法 吗？ 下文中， 为 了更好 地说 明问题 ， 笔者对 这 三个 问题分 别进 行 了解法 探究 ． 首先， 解 法 １基 于原题 的结构 ， 不 等式 左右 两边 都是 初等 函数 ， 故可 以直 接利 用“ 数 形结 合 ”的思想 方法 ， 顺 利地 将 抽 象 问 题直 观化 ； 接下 来 在解法 ２和解法 ３中 ， 都是 通 过 “ 分离 参 数 ”的转 化 方 法 ， 将参量与变量分离 ， 将 不 等式 问题转 化 为 函数 与 方 程 问 题 ， 最终利用 函 数 的 图象和性 质 进行解 题 ， 思维 清晰 自然 ．
了一 些数 学试 题命 制 方 面 的经 验 ， 丰 富 了笔 者对
解法 ２ 当 ｚ一０时 ， 对任意实数 ｎ ， 不 等式
浅谈解析几何中含参问题教学
浅谈解析几何中含参问题教学作者：汪本旺姚文建来源：《课程教育研究》2019年第02期【摘要】本文以2018年浙江高考17题为例，从三种思路浅谈解析几何中含参问题教学，思路一函数与方程，即利用消元法得到二次函数最值问题；思路二利用参数方程，即参数法解决本题最值问题；思路三利用仿射变换将椭圆化为圆，结合圆的性质和有关定理得到了结论。
【关键词】题意理解解法赏析引申拓展反思突破教学价值【中图分类号】G633.63 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）02-0124-03四、反思突破1.关注基础与通法高中数学试题经常以教材为背景，关注高中数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。
全面考查基础知识，主干知识，重点知识，强调基础落实，注重问题解决的通法，例如，本题考查椭圆中参数的取值范围，本质上属于直线与椭圆的位置关系问题，涉及直线方程、平面向量的运算、对勾函数和二次函数的性质等知识点，考查函数与方程的思想、转化与划归的思想，属于难题。
思路一函数方程思想：法1，韦达定理。
根据题意可以分析，直线的斜率必然存在且不为零，于是可以设出直线的方程，然后代入椭圆的方程，整理得到韦达定理；根据平面向量的坐标运算得到坐标关系，由韦达定理转化，并求出最值；最后根据最值求得参数的值。
这种操作我们在教学中已经讨论了很多了，可见这便是圆锥曲线中的通法；法2，设点法。
设出焦点坐标，并代入椭圆方程，得到相应关系，然后利用平面向量得出两坐标的关系，再代入椭圆方程，与前面方程联立得到目标函数；最后对目标函数求最值，进而求得参数的值；法3，点差法。
以坐标为切入点，向量问题转化为坐标问题，利用消元法，得到关于参数的二次函数最值问题.值得说明的是，无论是韦达定理还是设点法或点差法，三者皆体现了设而不求、整体代换的思想，这是解析几何的通性通法。
2.关注问题与转化转化是数学问题解决的关键，问题的合理转化体现了数学能力.化未知为已知，化复杂为简单是基本转化路径，例如如何转化本题中最值问题。
高中数学一元二次含参不等式的解法探究
高中数学一元二次含参不等式的解法探究【摘要】一元二次含参不等式在高中数学中是一个重要的概念，解法探究对于学生掌握这一概念非常重要。
本文首先介绍了一元二次含参不等式的概念，然后说明了解法探究的重要性。
在分别讨论了基本思路和步骤、消元法的应用、分组法的思路、参数取值讨论以及举例说明。
通过这些内容的讨论，读者可以更深入地了解一元二次含参不等式的解法。
最后在结论部分总结了解法探究的收获，并展望了进一步研究的方向。
这篇文章从介绍基本概念到具体解法，再到参数取值讨论，全面深入地探讨了一元二次含参不等式的解法，对于高中数学学习有着重要的指导意义。
【关键词】高中数学、一元二次含参不等式、解法探究、引言、基本思路、步骤、消元法、分组法、参数取值、举例、总结、展望、收获、研究方向1. 引言1.1 介绍一元二次含参不等式的概念一元二次含参不等式是指在不等式中含有未知参数的一元二次方程。
这类不等式的解法相对复杂，需要通过特定的方法进行探究和求解。
一元二次含参不等式在高中数学中占据重要的地位，对于学生来说是一种挑战和机遇。
在解一元二次含参不等式时，我们需要先确定参数的取值范围，然后根据不等式的性质和特点选择合适的解法进行求解。
通常情况下，我们可以采用消元法、分组法等方法来求解不等式，而在某些特殊情况下，还需要讨论参数的取值对不等式解的影响。
通过探究一元二次含参不等式的解法，可以加深对不等式理论的理解，提高数学解决问题的能力和思维逻辑能力。
通过解一元二次含参不等式，还可以培养学生的数学建模能力和数学思维的灵活性。
在本文中，我们将探究一元二次含参不等式的解法及应用，从而加深对数学知识的理解和应用能力。
希望通过对这一内容的学习，能够帮助学生更好地掌握数学知识，提高数学解决问题的能力。
1.2 说明解法探究的重要性解法探究在数学中具有非常重要的意义。
对于一元二次含参不等式这类复杂的数学问题，只有通过深入的解法探究才能找到正确的解答。
高中数学一元二次含参不等式的解法探究
高中数学一元二次含参不等式的解法探究【摘要】本文探讨了高中数学中一元二次含参不等式的解法。
首先介绍了一元二次不等式的基本概念，然后详细讨论了一元二次不等式的解法方法。
结合含参一元二次不等式的特点，深入探究了含参一元二次不等式的解法。
接着分析了不等式中参数的取值范围以及实例分析。
通过本文的探讨，读者将了解一元二次含参不等式的解法过程，并能够灵活运用相关知识解决实际问题。
最后在结论部分对文章进行总结，展望未来可能的研究方向。
本文对于高中数学学习者及教师具有较大的参考价值，可以帮助他们更深入地理解和掌握一元二次含参不等式的解法方法。
【关键词】高中数学、一元二次含参不等式、解法、探究、基本概念、含参一元二次不等式、参数取值范围、实例分析、总结、展望、研究意义、引言、正文、结论.1. 引言1.1 简介一元二次含参不等式在高中数学中是一个重要的内容。
它不仅涉及到一元二次不等式的解法，还涉及到参数的取值范围和实例分析。
通过对含参一元二次不等式的解法探究，我们可以更深入地理解不等式中参数的作用，进而提高解题的效率。
在本文中，我们将对一元二次含参不等式进行深入研究，探讨不同解法的优劣，并通过实例分析来加深对该内容的理解。
我们也会结合一元二次不等式的基本概念，来全面地分析含参不等式的解法。
通过本文的研究，我们希望能够为读者提供一些解题思路和方法，帮助他们更好地应对高中数学中的含参一元二次不等式。
到此结束。
1.2 研究意义一元二次含参不等式是高中数学中重要的内容之一，对于学生的数学思维能力和解题技巧的提升具有重要的意义。
通过研究一元二次含参不等式的解法探究，可以帮助学生深入理解不等式的性质和特点，提高他们的数学分析和推理能力。
对于实际生活中的问题求解也有着重要的指导作用。
在现代社会中，数学的应用范围越来越广泛，一元二次含参不等式的解法探究可以为工程技术、经济管理等领域提供重要的理论基础和解决问题的方法。
通过研究不等式中参数的取值范围，可以帮助人们更好地分析问题、优化方案，为实际工作中的决策和实践提供理论支持。
一类多元含参函数问题的解题策略
一类多元含参函数问题的解题策略
一类多元含参函数问题的解题策略通常包括以下步骤：
1、明确求解目标。
首先要弄清楚问题是要求函数最大值还是最小值，或者是某个特定值。
2、分析函数形式，确定函数的自变量，参数以及约束条件。
3、构建相应的数学模型。
4、根据模型的要求，确定算法和优化方法，如梯度下降法、随机梯度下降法、Newton 方法等。
5、实现算法，并将设计的算法用于求解该问题。
6、对所得结果进行评价，比较各种不同算法的性能，以便选择最优的解决方案。
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； 当口＜ ０时 ， 因为对称轴 ＝一 Ｚ Ｇ ＋１ ＞一１ ， 所以当对称轴在区 ］ ｕ 妒
［ １ ， ＋∞） ， 即口 Ｅ（一∞， 一 ３ ＋ ４ ／ １ ｕ［ １ ＋∞） 。
，、
间（ 一 １ ， １ ） 内时， 有口 ＜一 ÷， 只需 ｈ （ 一 １ ） ≥ ｏ ， ｈ （ １ ） ≥ ｏ ， 解得８ ∈
、
由 图 易 得
； 艄 。
上 ， 则 满 足 一 １ ≤ 一 去 ≤ １ 一 丢 ） ＝ ０ ， 解 得 ａ ＝ 一 ； 当 函 数 ＋２） ｘ＋ （ ｔ 一１ ） ≤０ ， 令ｈ （ ｘ ） ＝ 一（ ２ ｔ ＋ ２ ） ＋（ ｔ 一１ ） ， 当对 称轴
有两个零点时分为两种情况： 第一种情况 ， 一个在 区间内， 一个在 ＝ ‘ ＋ １ ≤１ 时， 只需 ｈ （ ９ ） ≤Ｏ ， 此 时无 解 ； 当对 称 轴 ＝‘ ＋Ｉ ≥９ 区间外 ， 此时需满 足ｆ Ｃ 一１ ）・ ， （ １ ） ≤０ ， 解得 １ ≤８ ≤５ ； 第二种情 时 ， 只需 ｈ （ １ ） ≤Ｏ ， 此时 无解 ； 当对称轴 ＝ ‘ ＋１ Ｅ（ １ ， ９ ） 时， 只需 ｈ （ ９ ） ≤０ ， ｈ （ １ ） ≤ ０ ， 此 时解得 ｔ ＝ ４ 。 况， 两个 均在 区 间 内， 需 满足 △＞ ０ ， 一１ ＜一 ＜ １ 一１ ）・ ， （ １ ） 注： 对于上述 题型分 离参数 不可用 。
１
［ 一 手， ０ ］ 。
法三（ 分离参数） ： 当 ＝ ０时， Ｊ Ｉ （ Ｏ ） ＝１ ＞ Ｏ满足； 当 ∈（ ０ ， １ ］
时 ， ｎ ≥ 一 丢 ， 令 （ ） ＝ 一 丢 ， 只 需 。 ≥ 妒 （ ） 一 即 可 ， 解 得
口≥ 一下 ２
； 当 Ｅ ［ 一 １ ， ｏ ） 时 ， 口 ≤一 ÷ ， 只 需Ｄ ≤ （ ） 。 即 可 ，
≥０。
一 一 ～ ～ 一
２ ‰ 一 ３ 一 口 ： ｏ 成 立 ， 且 有 ‰ ≠ ± 牟 ， 所 以 可 转 化 为 口 ： ３ － ２ Ｘ ｏ ，
即此题转化为求等式右边函数的值域 问题。令 ３— ２ ｘ 。 ＝‘ ， 则‘ ｅ
法一（ 常规法） ： 当 Ｄ＝ ０时， ｈ （ ｘ ）＝ ＋１ 满足； 当口 ＞ ０时， 因
语数外学 习
Ｙ ｕ Ｓ ｈ ｕ Ｗ． ａ ｉ Ｘ ｕ ｅ Ｘ ｉ ２ ０ １ ３年第 ９期
对 高 中数学 函数 中一类含参 问题 的解法的思考
吴清玉 谤 瓤 外学 司 数 学 教 育 ●●
（ 徐 州市王杰中学 ， 江苏 徐 州 ２ ２ １ ０ ０ ４ ）
摘 要： 在高中数学的学习中， 经常会遇到舍参问题 ， 尤其在 函数 中； 本文对这类问题进行了一些分类与求解 ， 总结了解决此类问 题的几种方法， 使用起来比较方便、 易懂， 利于学生掌握。 关键词 ： 高中数学； 含参 问题 ； 函数； 分类
＜一 １ ， 所 以 只需 ｈ （一 １ ） ＝一 口 ≥０ ， 僻得 Ｄ Ｅ
［ １ ， ３ 一 Ｉ ） ｕ（ ３ 一 ， ３ ＋ ） ｕ（ ３ ＋ ， ５ ］ ， 此时等式右边可记为
， （ ‘ ） —
ｔ ． Ｌ
‘
为对 称轴 ＝一 兰
， 在 范围 内可得到， （ ｔ ） （一∞， 一
≥０ ， 解得 口 ≥５ 或Ｄ ＜一 ； 综合 以上几种 情况得 口 Ｅ（ 一＊， 一
四、 超越 函数含参 问题
法二（ 常规法） 一 ｔ ） ≤ ÷（ ＋ １ 一 ｔ ） 一 ≤ ０ 一 （ ２ ｔ
例４ ： 函数， （ ）； （ 似。 ＋ ） ， 其中 ｅ 是 自然数的底数， 口ｅ Ｒ。 若， （ ） 在［ 一１ ， １ ］ 上是单调增函数 ， 求实数 口的取值范围。 ］ Ｕ［ Ｉ ， ＋ 。 解： 由题意得， 当 Ｅ［ 一１ ， １ ］ 时 （ ） ＝［ ＋（ ２ ａ＋ １ ） ＋ 法二（ 分离参数） ： 由题意可知 ｊ ‰Ｅ［ 一 １ ， １ ］ ， 使得 ２ ａ ｘ ： ＋ １ ］ ＞ ｔ０ ， 令ｈ （ ｘ ） ＝ ＋（ ２ ａ ＋Ｉ ） ＋１ ， 即Ｖｘ Ｅ［ 一１ ， １ ］ ， 有ｈ （ ｘ ）
解得 ｏ ≤ Ｏ 。综上 口 Ｅ［ 一 ÷， ０ ］ 。
，
［ 一 手 ， 一 ÷ ） ； 当 对 称 轴 ＝ 一 ≥ １ 时 ， 有 ｅ ［ 一 １ ， ０ ） ， 只
需ｈ （ 一 １ ） ≥ ０ ， 所以口 Ｅ［ 一 ÷， ｏ ） 。综上口 Ｅ ［ 一 － Ｔ 。 － ， ０ ］ 。
法二 ： 令ｇ （ ｘ ） ＝ ａ （ ２ ｘ 十 ）＋ ＋ １ 看成 一次 函数 ， 若 对任 意 Ｅ［ 一 １ ， １ ］ ， 都有 ｇ （ ｘ ） ≥０ ， 只需 ｇ （ 一１ ） ≥０ ， ｇ （ １ ） ≥Ｏ ， 解得 ａ Ｅ
串图分 类号 ： Ｇ ６ ３ ３
一
文献 标识码 ： Ａ
文章 编号 ： １ ０ ０ ５— ６ ３ ５ １ （ ２ ０ １ ３ ） 一 ｏ ９ — ０ １ １ ８ － ０ １
零点 问题 法一（ 数形结合） 一ｔ ） ≤ 恒成立 即为 ， （ 一 ） 的图像恒 例１ ： 若函数， （ ） ＝ ２ ａ ａ ＋ ２ ｘ一３一 口在区间［ 一１ ， １ ］ 上有零 在直线 Ｙ＝ 的下方 ， 而 一 ‘ ） 是由， （ ） 向右平移 ｔ 个单位得到， 点， 求实数 。的取值范围。 解： 当口 。 Ｏ时 ）＝ ２ ｓ一 ３ 不 满足题 意 ， 所以 口 ≠Ｏ 。 法一（ 常规法 ） ： 当函数有且仅有一个零点且在区间 ［ 一１ ， Ｉ ］