中考一模备考---锐角三角比
(完整word)《锐角的三角比》全章复习与巩固(提高)知识讲解
锐角的三角比》全章复习与巩固(提高)知识讲解学习目标】1. 了解锐角三角函数的概念，能够正确应用 sinA 、cos A 、 tanA 、 cotA 表示直角三角形中两边的比；记忆 30°、 45°、 60°的正弦、余弦、正切和余切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个 角的度数 .2．能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角； 3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两 个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题4．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受 . 知识网络】【要点梳理】 要点一、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切、余切的定义要点诠释：(1) 正弦、余弦、正切、余切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个 数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关 .(2) sinA 、 cosA 、 tanA 、cotA 是一个整体符号，即表示∠ A 四个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成 sin ·A ，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应 写成sin ∠BAC ，而不能写出 sinBAC.如右图，在 Rt △ ABC 中，∠ C=900，如果锐角 A 确定 ∠ A 的对边与斜边的比值是∠ A 的正弦，记作 sinA ＝ ∠ A 的邻边与斜边的比值是∠ A 的余弦，记作 cosA ＝ ∠ A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作 tanA ＝ ∠ A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切，记作 cotA ＝ ∠A 的对边 (1) (2)(3) (4) 斜边 ∠A的邻边 斜边 ∠A 的对边 ∠A 的邻边 ∠A 的邻(3) sin 2A 表示 (sinA) 2，而不能写成 sinA 2.(4) 三角函数有时还可以表示成 等 . 2. 锐角三角函数的定义锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠ A 的锐角三角函数 . 要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角 A 的每一个确定的值， sinA 有唯一确定的值与它对应，所以 sinA 是∠ A 的函数 .同样， cosA 、tanA 、 cotA 也是∠ A 的函数，其中∠ A 是自变量， sinA 、 cosA 、 tanA 、 cotA 分别是对应的函数 . 其中自变 量∠ A 的取值范围是 0°<∠ A <90°，函数值的取值范围是 0<sinA <1，0<cosA <1，tanA >0， cotA>0.2．锐角三角函数之间的关系： 余角三角函数关系：“正余互化公式”那么： sinA=cosB ； cosA=sinB ；tanA=cotB, cotA=tanB.30°、 45°、 60°角的三角函数值和解 30°、 60°直角三角形和解 45°直角三角形为本章重中之重， 是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练 .要点二、解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠ A+∠ B=90°；如∠ A+∠ B=90°，同角三角函数关系： sin 2A ＋ cos 2A=1；sin A tanA= ,cot AcosAcosA,tanA sinA1 cot A∠A30°45°60°sinAcosAtanA1cotA1边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即a sinA ,cosA b,tanAa,cot Abc c b ab sinB ,cosB a,tanB b,cot B ac c a b要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1) 已知两条边( 一直角边和一斜边；两直角边) ；(2) 已知一条边和一个锐角( 一直角边和一锐角；斜边和一锐角) ．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1. 解这类问题的一般过程(1) 弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2) 将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3) 根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形(4) 得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2. 常见的应用问题(1) 坡度：；坡角: .(3) 仰角与俯角：要点诠释：12把实际问题抽象成数学问题（解直角三角形），就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形（点、线、角等）以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念（如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等）的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．3．锐角三角函数的应用 用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角 形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。
初三数学专题复习(锐角三角比)
初三数学专题复习（锐角三角比）一、解题指导初中数学中，与锐角三角比有关的综合题主要涉及以下几个方面：1、锐角三角比知识范围内的综合应用；2、锐角三角比知识和解直角三角形知识在生产、生活实际中的应用；3、锐角三角比知识与代数知识的综合应用；4、锐角三角比知识与几何知识的综合应用。
在解这类综合题时，我们可采取以下解题策略：1、要熟练应用直角三角形的一切性质，特别要善于运用勾股定理；2、要熟练应用直角三角形中边角关系，要善于利用特殊角的三角比，可设一条边长用x表示，将其它线段用x的代数式来表示；3、要熟练应用相似形的性质、三角形面积的计算等；4、遇到不规格图表，将其补成直角三角形，尤其要注意仅可能保留特殊角。
二、例题精选：例1、 如图，在高于游泳池水面1米的池边椅子A 上观测，测得跳板边缘B 得仰角为150，测得跳板边缘B 在水中倒影B ˊ的俯角为200。
求跳板离水面DE的高度BE ，（备用数据：tg750≈3.732，tg700≈2.747，答案精确到0.01米）。
BA CD EB ˊ例2、 如图，山脚下有一棵树AB ，小强从点B 沿山坡向上走50米到达点D ，用高为1.5米的测角仪CD 测的数顶的仰角为100，已知山坡的的坡角为150。
求树AB 的高（精确到0.1米，已知道Sin100≈0.17，Cos100≈0.98，tg100≈0.18，Sin150≈0.26，Cos150≈0.97，tg150≈0.27）例3、 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，DC ⊥BC ，AD ∶BC=2∶5，E 是CD 上的一点，如果沿折痕BE 将ΔBCE 翻折，点C 恰好与点A 重合，求∠ABE的正切值。
A DEB C例4 、如图， ΔABC 中，∠C=900，AB 上的中线长是1，ΔABC 的周长是3+ ，求（1）ΔABC 的中内切圆的半径的值，（2） 的值。
例5、已知Rt ΔABC 中，∠C ＝900（1）若AB=C, ∠A=θ，用C 和θ表示BC 、AC （2）若AB=5,Sin= ,P 是AB 边上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 分别作PM 152000322B tg A tg ..54⊥AC 于点M ，PN ⊥BC 于点N ，设S ΔAMP =S 1，S ΔPNB =S 2，S 四边形ΔCMPN =S 3,AP=x分别求出1S 、2S 、3S 关于x 的函数解析式 （3）试比较1S ＋2S 与3S 的大小，并说明理由。
锐角三角比应用初三一模
17．如果从灯塔A 处观察到船B 在它的北偏东35°方向上，那么从船B 观察灯塔A 的方向是 ▲ ．23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，斜坡AP 的坡度为1∶2.4，坡长AP 为26米，在坡顶A 处的同一水平面上有一座古塔BC ，在斜坡底P 处测得该塔的塔顶B 的仰角为45°，在坡顶A 处测得该塔的塔顶B 的仰角为76°．求：（1）坡顶A 到地面PQ 的距离；（2）古塔BC 的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）24．据新华社12月13日电，参加湄公河联合巡逻执法的中国巡逻船顺利返航．已知在巡逻过程中，某一天上午，我巡逻船正在由西向东匀速行驶，10:00巡逻船在A 处发现北偏东53.1°方向，相距10海里的C 处有一个不明物体正在向正东方向移动，10:15巡逻船在B 处又测得该物体位于北偏东18.4°方向的D 处．若巡逻船的速度是每小时36海里， (1) 试在图8中画出点D 的大致位置，并求不明物体移动的速度；(2) 假设该不明物体移动的方向和速度保持不变，巡逻船航行的方向和速度也不变， 试问什么时间该物体与我巡逻船之间的距离最近？【 备用数据：8.01.53sin =︒， 6.01.53cos =︒， 75.01.53cot =︒；32.04.18sin =︒， 95.04.18cos =︒， 34.18cot =︒；】2011学年第一学期期末考试九年级数学试卷（共4页，第3页）A PBCQ（第23题图）北东ACB(图8)21．（本题满分10分）如图9，为了测量某建筑物AB 的高度，小亮在教学楼DE 的三楼找到一个观测点C ，利用三角板测得建筑物AB 顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°.若CD 9=米，求建筑物AB 的高度．（结果精确到0.1米，参考数据73.13=）．14．如图，当小明沿坡度3:1=i 的坡面由A 到B 行走了100米，那么小明行走的水平距离=AC 米． （结果可以用根号表示）小明在电视塔上高度为450米的A 处，测得大楼CD 楼顶D 的俯角为032。
初三专项复习：锐角的三角比
一、锐角的三角比（一）知识梳理 （二）例题 例1．填空 （1）在Rt ΔABC 中，∠C ＝900，若AC=3,BC=4，则sinA ＝ ， cosA= ，tanA ＝ ，cotA=（2）已知Rt △ABC 中，∠A=900，AC ：BC=3：2，则tanB=（3）已知Rt △ABC 中，∠C=900，sinA=31，则cosA=（4）已知Rt △ABC 中， AC=1，AB=3，则sinB=（5）已知△ABC 的三边长分别为7、24、25，那么这个三角形最小角的余切值为（6）在直角坐标系中，点P 的坐标是（2，3）则OP 与 x 轴的正半轴所成角的余弦值是（7）求值：tan270·cot270=（8）若cosA=0．4321，则sin （900－A ）=（9）等腰三角形的一边长为5，另一边长为9，则底角的正弦值为 （10）等腰三角形的腰长为5，一条中线长为3，则底角的正弦值为（10）∠A 、∠B 分别为△ABC 的两个锐角，且∣tanA －3∣+（2sinB －1）2=0，则∠C= 度（11） △ABC 中，∠C=90°，∠ABC=30°，D 是AC 中点，则cot ∠DBC= （10）等腰三角形底边上的高为4，腰上的高为2，则底角的正切值为例2．已知Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB ，D 为垂足，AC=4，BC=3，求∠ACD 的四个三角比的值。
例3．正方形ABCD 的边长为1，将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在BC延长线上的点D 1处，求ta n ∠BAD 1的值例4．求值：020002045cos 60sin 45tan 30cos )160(sin --+- （三）作业 1．必做题（1）Rt △ABC 中，∠C=900，AB=6，AC=4，则co sA= （2）在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，则sinB=（3）已知α是锐角，419sin =α，则=αcot （4）求值：000045tan 30cot 160cos 60sin +-- （5）如图，点E 是矩形A BCD 的边AD 上一点，且BE=AD ，AB=6，BC=10，求co s ∠EBC 的值（6）如图，在△ABC 中，∠ACB=900，∠BAC=300，AB=AD ，求tanD 的值2．选做题A B D C E B C DABP如图，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞PB ）（1）过点P 作AB 的垂线PE ，P 是垂足，再以B 为圆心，AP 长为半径作弧，与PE 交于点C ，连结AC （2）求BAC ∠的正弦值二、解直角三角形（一）知识梳理 （二）例题选讲例1．填空（1）在Rt △ABC 中，∠C=900，若a=1，b=2，则c= （2）在Rt △ABC 中，∠C=900，若c=22，a=2，则∠A= （3）在Rt △ABC 中，∠C=900，若a=3，b=33，则∠B= （4）在Rt △ABC 中，∠C=900，若∠A=300，b=5，则a= （5）在Rt △ABC 中，∠C=900，若a=n ，∠B=β，则b=（6）在Rt △ABC 中，∠A=900，若125sin =B ，b=5，则c=例2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=900，CD 是斜边上的高，已知CD=2，BD=32，解直角三角形ABC例3．如图，在△ABC 中，CD 是AB 上的中线，CD ⊥BC ，∠ACB=135°， 求∠CDB 的正弦值。
2024届上海初三一模数学各区填选题(锐角的三角比)
上海市2024届初三一模数学分类汇编—填选题（锐角的三角比）【2024届·宝山区·初三一模·第3题】（本题满分4分）1.许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图1，AB 的长为50米，AB 与AC 的夹角为24 ，则高BC 是（）.A 50sin24 米；.B 50cos 24 米；.C 50sin 24米；.D 50cos 24米．2.3.如果坡比1:3i ，那么这个斜坡的长度AB【2024届·宝山区·初三一模·第14题】（本题满分4分）4.在ABC 中，如果BC AB ，3AC ，那么cos A．图4（本题满分4分）5.在直角坐标平面内有一点 5,12A ，点A 与原点O 的连线与x 轴正半轴的夹角为 ，那么tan 的值为（）.A 513；.B 1213；.C 512；.D 125．【2024 6.在Rt 【20247.处，它沿正北方向航行到达位于灯【2024届·奉贤区·初三一模·第3题】（本题满分4分）8.在Rt ABC 中，90C ，5AC ，A ，那么BC 的长是（）.A 5tan ；.B 5cot ；.C 5sin ；.D 5cos ．第15题图（本题满分4分）9.某人顺着坡度为的斜坡滑雪，下滑了120米，那么高度下降了米．【2024届·奉贤区·初三一模·第15题】（本题满分4分）10.如图5，已知ABC 在边长为1个单位的方格纸中，三角形的顶点在小正方形顶点位置，那么ABC的正11.在 12.如图6度AC 为2.6米，遮阳篷与房屋墙壁的夹角 的余弦值为13．当太阳光与地面的夹角为60 时，遮阳篷在地面上的阴影宽度BD 为米．图6图1图2第6题图（本题满分4分）13.如图1，在Rt ABC 中，已知90C ，3cos 4A，3AC ，那么BC 的长为（）.A ；.B ；.C 4；.D 5．【2024届·虹口区·初三一模·第4题】（本题满分4分）14.如图2，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O 到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角AOB 为40 ，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为（）.A 5050sin 40 厘米；.B 5050cos 40 厘米；.C 5050sin 20 厘米；.D 5050cos 20 厘米．【2024届·黄浦区·初三一模·第6题】（本题满分4分）15.如图，过矩形ABCD 的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H ，依次联结四个垂足，可得到矩形EFGH ．设对角线AC 与BD 的夹角为 （090 ），那么矩形EFGH 与矩形ABCD 面积的比值为（）.A 2sin ；.B 2cos ；.C 2tan ；.D 2cot ．（本题满分4分）16.已知点 1,4A 、 2,0B ，那么直线AB 与x 轴夹角的正弦值是．【2024届·黄浦区·初三一模·第13题】（本题满分4分）17.【202418.已知在.A sin 35．【202419.一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为30 ，此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是（）.A 6000米；.B 12000米；.C 米；.D图4（本题满分4分）20.如图3，在ABC 中，90ACB ，DA AB ，联结BD ，AC，1BC ，2AD ，那么cos D ．21.在船的正南方向，那么小岛B 与C 处的距离BC22.轴正半轴的夹角为 ，那么下列各式正确的是【2024届·金山区·初三一模·第13题】（本题满分4分）23.如果 是直角三角形的一个锐角，4sin 5，那么tan ．第14题图（本题满分4分）24.如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是4米，斜坡的坡度1:2i ，那么相邻两树间的坡面距离为米．【2024届·金山区·初三一模·第16题】25.45 方海里．【202426..A sin 【2024届·静安区·初三一模·第14题】（本题满分4分）27.如图，小红沿坡度1:2.4i 的坡面由A 到B 行走了26米，那么小红行走的水平距离AC米．第15题图第16题图（本题满分4分）28.在Rt ABC 中，90C ，3AB ，2AC ，那么cos A 的值是（）.A 13；.B 23；.C 3；.D 2．【202429.在Rt 【202430.【202431.“二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步．两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达．喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离．”如图，已知AC AB ，BD AB ，M 是AB 上一点，CM DM ，在C 处测得点M 的俯角为60 ，30AC ，20BD ，那么AB．（本题满分4分）32.已知在Rt ABC 中，90C ，3AC ，4BC ，那么下列等式正确的是（）.A 3sin 5A；.B 3cos 4A；.C 3tan 5A；.D 3cot 4A．【202433.已知在【202434.【2024（本题满分4分）35.在Rt ABC 中，已知90ACB ，1tan 3B，3BC ，那么AC 的长等于（）.A 1；.B 9；.C .D ．第13题图（本题满分4分）36.如图2，ABC 和DCB 都是直角三角形，90BAC BCD ，AB AC ，AC 、BD 相交于点O ，如果30DBC ，那么:OC AC 的值是（）.A 3；.B 2；.C 12；.D 31 ．【202437.如图6、CD的值等于．【202438.在Rt .A 512【2024届·青浦区·初三一模·第13题】（本题满分4分）39.如图，某人沿着斜坡AB 方向往上前进了30米，他的垂直高度上升了15米，那么斜坡AB 的坡比i．（本题满分4分）40.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD相交于点O ，那么sin BOD 的值为．【2024届·松江区·初三一模·第2题】41.在.A .cos a ．42.【2024届·松江区·初三一模·第17题】（本题满分4分）43.在ABC 中，AB AC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，BE 与CD 相交于点O ，如果OBC 是等边三角形，那么tan ABC ．第16题图第13题图（本题满分4分）44.如图，在直角坐标系xOy 中，已知点 4,3A ，直线OA 与x 轴正半轴的夹角为 ，那么sin 的值是（）.A 35；.B 34；.C 45；.D 43．45.A 与.A 46.【2024届·徐汇区·初三一模·第13题】（本题满分4分）47.如图，一段东西向的限速公路MN 长500米，在此公路的南面有一监测点P ，从监测点P 观察，限速公路MN 的端点M 在监测点P 的北偏西60 方向，端点N 在监测点P 的东北方向，那么监测点P 到限速公路MN 的距离是米（结果保留根号）．第15题图第5题图（本题满分4分）48.如图，在ABC 中，AD 和BE 是ABC 的高，且交于点F ，已知13AB ，15BC ，14AC ，那么AFE 的正切值是．【202449..A 【202450.测得教（）.A 1.4 ．【2024届·杨浦区·初三一模·第12题】（本题满分4分）51.在Rt ABC 中，90ABC ，BD AC ，垂足为点D ，如果5AB ，2BD ，那么cos C ．第16题图（本题满分4分）52.小华沿着坡度1:3i的斜坡向上行走了米，那么他距离地面的垂直高度上升了米．【2024届·长宁区·初三一模·第1题】（本题满分4分）53.在Rt ABC 中，90C ，如果A ，BC a ，那么AC 等于（）.Aa 【202454.计算：【202455.【2024届·长宁区·初三一模·第16题】（本题满分4分）56.如图，在ABC 中，90BAC ，点G 是ABC 的重心，联结GA 、GC ，如果3AC ，53AG ，那么GCA 的余切值为．。
初三相似三角形及锐角三角比复习(有答案)
初三月考卷（相似三角形及锐角三角比）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．把a d b c =写成比例式（其中,,,a b c d 均不为0），下列选项中错误．．的是……………………………………………………………………（ ） A ．a cb d =； B ．b d ac =； C ．c a bd =； D ．a bc d=． 2．如果一个三角形保持形状不变，但周长扩大为原来的4倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的…………………………………………（ ） A ．2倍； B ．4倍； C ．8倍； D ．16倍．3．下列命题中正确的是……………………………………………… （ ） A ．所有的菱形都相似； B ．所有的矩形都相似； C ．所有的等腰三角形都相似； D ．所有的等边三角形都相似．4．在Rt△ABC 中，∠B =90º，若AC =a ，∠A =θ，则AB 的长为…………（ ） A ．sin a θ； B ．cos a θ； C ．tan a θ； D ．cot a θ．5．点C 在线段AB 上，如果AB =3AC ， AB a =，那么BC 等于…………（ ） A ．13a ； B ．23a ； C ．13a -； D ．23a -． 6．已知△ABC 的三边长分别为6 cm ，7.5 cm ，9 cm ，△DEF 的一边长为5cm ，若这两个三角形相似，则△DEF 的另两边长可能是下列各组中的…（ ） A ．2 cm ，3 cm ；B ．4 cm ，6 cm ；C ．6 cm ，7 cm ；D ．7 cm ，9 cm ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．若35a c b d ==（其中0b d +≠），则a cb d+=+__________． 8．若线段AB 长为2cm ，P 是AB 的黄金分割点，则较长线段PA = cm ． 9．如图，点G 为△ABC 重心，若AG =1，则AD 的长度为_________． 10．求值:cot30ºsin60-º=_________． 11．在Rt△ABC 中，∠C =90º，若1tan 3A =，则cot A 的值为_________．12．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若13AD BD =，DE ＝2，则BC 的长为_______．13．如图，1l ∥2l ∥3l ，AB =2，AC =5，DF =7.5，则DE =_________．14．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 是边CD 、BC 边的中点，若AD a =，AB b =，则EF =___________．（结果用a 、b 表示）15．如图，已知AB ∥CD ，AD 与BC 交于点O ，若AD ∶BC = 5∶4，BO =1，DO =2.5，则AD =___________．16．如图，在△ABC 的边BC 上，若DAC B ∠=∠，且BD =5，AC = 6，则CD 的长为___________．17．在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，若2AD =，4BD =，4AC =，且△ADE 与ABC 相似，则AE 的长为___________．(第13题图)B(第9题图)B(第12题图)A(第14题图)A C(第18题图)BDB ’A ’(第16题图)CC(第15题图)18．在答题纸的方格图中画出与矩形ABCD 相似的图形''''A B C D （其中AB 的对应边''A B 已在图中给出）．三、简答题（本大题共4题，每题10分，满分40分）19．已知两个不平行的向量, a b ，求作向量： 32()()2a b a b ---．20．如图，已知点D 、F 在△ABC 的边AB 上，点E 在边AC 上， 且DE ∥BC ，AF AD ADAB=．求证：EF ∥DC ．21．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90º，AC = 3，1tan 2B =． (1) 求BC 的长； (2) 求cos A 的值．CAB(第21题图)B(第20题图)ab(第19题图)22．如图，竖立在点B 处的标杆AB 长2.1米，某测量工作人员站在D 点处，此时人眼睛C 与标杆顶端A 、树顶端E 在同一直线上(点D 、B 、F 也在同一直线上，已知此人眼睛与地面的距离CD 长1.6米，且BD = 1米，BF = 5米，求所测量树的高度．四、解答题（本大题共2题，每题12分，满分24分）23．如图，BE 、CF 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的高，BE 与CF 相交于点D ． (1) 求证：△ABE ∽△ACF ； (2) 求证：△ABC ∽△AEF ；(3) 若4ABC AEFSS=，求cos BAC ∠的值．24．如图所示，在△ABC 中，已知6BC =，BC 边上中线5AD =。
2024届上海初三一模数学各区解答题(相似三角形、锐角三角比)
上海市2024届初三一模数学分类汇编—解答题（相似三角形、锐角三角比）【2024届·宝山区·初三一模·第19题】1.（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）如图6，在ABC中，90C ，4sin 5B ，10AB ，点D 是AB 边上一点，且BC BD ．（1）求BD 的长；（2）求ACD 的余切值．【20242.如图113a ，在射线ON （1）（2）图11①图11②图11③图73.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图7，在平行四边形ABCD 中，点H 是边AB 上一点，且2BH AH ，直线DH 与AC 相交于点G ．（1）求AGAC的值；（2）如果DH AB ，1cos 3BCD，9AD ，求四边形ABCD 的面积．【2024届·静安区·初三一模·第21题】4.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知AC 是矩形ABCD 的对角线，//DE AC ，DE 交BC 延长线于E ，AE 交DC 于F ，BF 交AC 于G ．（1）求证：点G 是ABE 的重心；（2）如果2BG BC ，求AEB 的正弦值．第21题图5.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知在四边形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，2AD ，3AB ，4BC ．（1）求BOC 的面积；（2）求ACD 的正弦值．【20246.E 在边AC 上，且EC （1）（2）第22题图1第22题图37.（本题满分10分）上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B 组第2题及参考答案．的代数式表示，以下同），2BD t ；某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究：如图1然后延长（1）（2）的代数式表示，以下同），BD；（3）如图2然后延长【拓展应用】如图3，在Rt ABC 中，90C ，18AC ，25BC ，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且5DC ，12EC ，联结AE 、BD 交于点P ．求证：tan 1BPE ．第21题图8.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，联结DE 、EF ．已知//ED BC ，//EF AB ，3AD ，9DB ．（1）求BFFC的值；（2）若ABC 的面积为16，求四边形BFED 的面积．【20249.（1）（2）10.（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，已知ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，//DE BC ，15AB ，23AE EC ．（1）求AD 的长；（2）如果4BF ，6CF ，求四边形BDEF 的周长．【202411.AC 于点F ，交BC （1）（2）第21题图12.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在四边形ABCD 中，90BAD ，AC BC ，DE AC ，垂足为点E ，4AC ，3DE ．（1）求:AD AB 的值；（2）联结BD 交AC 于点F ，如果1tan 2BAC，求CF 的长．第21题图。
第03讲 锐角三角比(3种题型)(原卷版)
第03讲锐角三角比（3种题型）1锐角的三角比定义：一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比. 正切：把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫这个锐角的正切.BPtanA=余切：把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫这个锐角的余切.即COtA=Y?鬻;N 加勺对边正弦：把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫这个锐角的正弦.即SinA=斜边2.性质①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小; ②若ZA+ZB=90°,贝IJtan A=cotB;sin A=cos B ；③tanA∙cotA=1.3.特殊角的三角比4.锐角的三角比一.锐角三角函数的定义（共6小题）1. （2023春•浦东新区校级期中）在RtZkABC 中，ZC=90o ,AB=5,AC=4.下列四个选项，正确的是（）A.tanB=-B.cotB=AC.sinB=AD.cosB=A4355余弦：把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫这个锐角的余弦.即COSA=乙船勺邻边NAfi 勺对边 '已知锐角，求三角比；已知锐角的三角比，求锐角.2. （2023秋•浦东新区校级期末）已知在Rt4A5C 中，NC=90°,AB=5,AC=4,那么下列式子中正确 的是（ ） λ.λ4A.SinA=-5B.cosA=-⅛-5C.tanA=A D. 5CotA=A53.（2023秋•崇明区期末）在RtZkABC 中， ZC=90o , AB=2,AC=I,那么CosB 的值是（A.√ΣB.近c.1D. 22224. （2023秋•青浦区期末）在4A5C 中，ZC=90o ,如果tan∕A=2,AC=3,那么5C=5. （2023秋•宝山区期末）在RtZkABC 中，ZC=90o ,如果空那么SinA 的值是.BC46. （2023秋•浦东新区期末）如果在平面直角坐标系Xoy 中，点尸的坐标为（3,4）,射线。
2023年上海市15区中考一模数学试题知识点汇编 锐角三角比相关概念含详解
2023年上海市15区中考数学一模汇编专题05锐角三角比相关概念（46题）一．选择题（共17小题）1．（2022秋•徐汇区校级期末）如图，下列角中为俯角的是（）A．∠1B．∠2C．∠3D．∠42．（2022秋•浦东新区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．3．（2022秋•徐汇区校级期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝10，则AC的长为（）A．6B．8C．10D．124．（2022秋•闵行区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝β，CD⊥AB，垂足为点D，那么下列线段的比值不一定等于sinβ的是（）A．B．C．D．5．（2022秋•黄浦区期末）在直角坐标平面内，如果点P（4，1），点P与原点O的连线与x轴正半轴的夹角是α，那么cotα的值是（）A．4B．C．D．6．（2022秋•徐汇区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝40°，AC＝b，那么BC等于（）A．b sin40°B．b cos40°C．b tan40°D．b cot40°7．（2022秋•黄浦区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝2，那么AC的长为（）A．2sinαB．2cosαC．2tanαD．2cotα8．（2022秋•黄浦区校级期末）已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（）A．10海里B．5海里C．5海里D．海里9．（2022秋•杨浦区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，∠A＝α，那么BC的长是（）A．3sinαB．3cosαC．3cotαD．3tanα10．（2022秋•青浦区校级期末）在△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，BC＝6，那么∠A的正弦值为（）A．B．C．D．11．（2022秋•金山区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，下列各式中，正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cot A＝12．（2022秋•徐汇区期末）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东50°方向，距离灯塔2海里的点A处．若海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B处，则海轮航行的距离AB的长是（）A．2sin50°海里B．2cos50°海里C．2tan40°海里D．2tan50°海里13．（2022秋•青浦区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝3，则下列结论正确的是（）A．sin B＝B．cos B＝C．tan B＝D．cot B＝14．（2022秋•嘉定区校级期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，那么AB的长为（）A．5sin A B．5cos A C．D．15．（2022秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的长是（）A．a•tanαB．a•cotαC．D．16．（2022秋•浦东新区期末）小杰在一个高为h的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰角为30°，旗杆与地面接触点的俯角为60°，那么该旗杆的高度是（）A．B．C．D．17．（2022秋•杨浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，BC＝6，那么∠B的余切值为（）A．B．C．D．二．填空题（共29小题）18．（2022秋•黄浦区期末）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度为．19．（2022秋•杨浦区期末）小杰沿坡比为1：2.4的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了米．20．（2022秋•黄浦区校级期末）一辆汽车沿着坡度i＝1：的斜坡向下行驶50米，那么它距离地面的垂直高度下降了米．21．（2022秋•徐汇区校级期末）某人在斜坡走了10m，垂直高度上升8m，则坡比i＝．22．（2022秋•浦东新区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，sin B＝，那么AB＝．23．（2022秋•浦东新区期末）已知一条斜坡的长度为10米，高为6米，那么坡角的度数约为（备用数据：tan31°＝cot59°≈0.6，sin37°＝cos53°≈0.6）24．（2022秋•金山区校级期末）平面直角坐标系内有一点P（1，2），那么OP与x轴正半轴的夹角为α，tanα＝．25．（2022秋•闵行区期末）如果一个斜坡面的坡角为30°，那么它的坡度i＝．26．（2022秋•闵行区期末）如图，一艘船从A处向北偏西30°的方向行驶5海里到B处，再从B处向正东方向行驶8海里到C处，此时这艘船与出发点A处相距海里．27．（2022秋•徐汇区期末）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后楼梯AC长为米．28．（2022秋•青浦区校级期末）如果α是锐角，且sinα＝cos20°，那么α＝度．29．（2022秋•青浦区校级期末）小明沿着坡度i＝1：2.4的斜坡行走了13米，那么他上升的高度是米．30．（2022秋•青浦区校级期末）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正切值为．31．（2022秋•杨浦区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，sin B＝，BC＝13，AD＝12，则tan C的值．32．（2022秋•静安区期末）一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作BC、AD，且迎水坡AB的坡度为1：2.5，背水坡CD的坡度为1：3，则迎水坡AB的坡角背水坡CD的坡角．（填“大于”或“小于”）33．（2022秋•嘉定区校级期末）小芳在楼下点D处看到楼上点E处的小红的仰角是34度，那么点E处的小红看点D处的小芳的俯角等于度．34．（2022秋•杨浦区校级期末）如果一段斜坡的铅垂高度为2米，水平宽度为3米，那么这段斜坡的坡比i＝．35．（2022秋•青浦区校级期末）如果小明沿着坡度为1：2.4的山坡向上走了26米，那么他的高度上升了米．36．（2022秋•青浦区校级期末）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的余弦值为．37．（2022秋•金山区校级期末）如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝4，则AC的长为．38．（2022秋•闵行区期末）在直角坐标平面内有一点A（5，12），点A与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为θ，那么sinθ的值为．39．（2022秋•黄浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠A的正弦值是，那么∠B的正弦值是．40．（2022秋•徐汇区期末）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i＝1：3，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是米．41．（2022秋•徐汇区校级期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，联结D、E，F 为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．若AB＝5，AD＝8，sin B＝，则AF的长为．42．（2022秋•浦东新区校级期末）如果sinα＝，那么锐角α＝°．43．（2022秋•浦东新区校级期末）在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，则该斜坡坡度i＝．44．（2022秋•青浦区校级期末）已知点P位于第一象限内，OP＝2，且OP与x轴正半轴夹角的正切值为2，则点P的坐标是．45．（2022秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，已知AB＝1，AC＝2，AD是∠BAC的平分线，那么AD的长是．46．（2022秋•徐汇区期末）已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为α，那么sinα＝．2023年上海市15区中考数学一模汇编专题05锐角三角比相关概念（46题）一．选择题（共17小题）1．（2022秋•徐汇区校级期末）如图，下列角中为俯角的是（）A．∠1B．∠2C．∠3D．∠4【分析】利用仰角与俯角的定义，直接判断得出答案．【解答】解：根据俯角的定义，首先确定水平线，水平线以下与视线的夹角，即是俯角．故选：C．【点评】此题主要考查了俯角的定义，题目比较简单．2．（2022秋•浦东新区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【分析】首先利用勾股定理求得AC的长，然后利用三角函数的定义求解，即可作出判断．【解答】解：在直角△ABC中，AC＝＝＝．则sin A＝＝，故A错误；cos A＝＝，故B正确；tan A＝＝＝，故C错误；cot A＝＝＝，故D错误．故选：B．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．（2022秋•徐汇区校级期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝10，则AC的长为（）A．6B．8C．10D．12【分析】根据题意，利用锐角三角函数可以求得BC的长，然后根据勾股定理即可求得AC的长．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴sin A＝，∵AB＝10，∴BC＝6，∴AC＝＝8，故选：B．【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和勾股定理解答．4．（2022秋•闵行区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝β，CD⊥AB，垂足为点D，那么下列线段的比值不一定等于sinβ的是（）A．B．C．D．【分析】由锐角的正弦定义，即可判断．【解答】解：A、不一定等于sinβ，故A符合题意；B、△ABC是直角三角形，sinβ＝，正确，故B不符合题意；C、CD⊥AB，∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，∠ACD＝∠B，sinβ＝，正确，故C不符合题意；D、△BCD是直角三角形，sinβ＝，正确，故D不符合题意．故选：A．【点评】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角的正弦定义．5．（2022秋•黄浦区期末）在直角坐标平面内，如果点P（4，1），点P与原点O的连线与x轴正半轴的夹角是α，那么cotα的值是（）A．4B．C．D．【分析】由锐角的正切定义，即可求解．【解答】解：如图：cotα＝＝4．故选：A．【点评】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，关键是掌握锐角的三角函数定义．6．（2022秋•徐汇区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝40°，AC＝b，那么BC等于（）A．b sin40°B．b cos40°C．b tan40°D．b cot40°【分析】由锐角的正切定义，即可得到答案．【解答】解：∵tan A＝，∴BC＝AC•tan A＝b tan40°．故选：C．【点评】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角的正切定义．7．（2022秋•黄浦区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝2，那么AC的长为（）A．2sinαB．2cosαC．2tanαD．2cotα【分析】根据锐角三角函数的意义求解后，再做出判断即可．【解答】解：∵cot A＝，BC＝2，∴AC＝BC•cotα＝2cotα，故选：D．【点评】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的关键．8．（2022秋•黄浦区校级期末）已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（）A．10海里B．5海里C．5海里D．海里【分析】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，∴AC＝BC•tan60°＝5（海里），即海监船C与货轮A的距离是5海里，故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形并求解．9．（2022秋•杨浦区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，∠A＝α，那么BC的长是（）A．3sinαB．3cosαC．3cotαD．3tanα【分析】画出图形，利用三角函数的定义即可完成．【解答】解：如图所示，由正弦函数定义有：，∴BC＝3sin A＝3sinα．故选：A．【点评】本题考查了正弦三角函数的定义，已知一个角及斜边，求此角的对边，则利用正弦函数可以解决．10．（2022秋•青浦区校级期末）在△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，BC＝6，那么∠A的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】由勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义求出答案．【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝＝，故选：A．【点评】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理，理解锐角三角函数的意义和勾股定理是解决问题的关键．11．（2022秋•金山区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，下列各式中，正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cot A＝【分析】先利用勾股定理计算出AC，然后根据正弦、余弦、正切和余切的定义对各选项进行判断．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，∴AC＝＝＝2，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝＝，cot A＝＝2．故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解正弦、余弦、正切和余切的定义是解决问题的关键．12．（2022秋•徐汇区期末）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东50°方向，距离灯塔2海里的点A处．若海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B处，则海轮航行的距离AB的长是（）A．2sin50°海里B．2cos50°海里C．2tan40°海里D．2tan50°海里【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA＝50°，PA＝2海里，∠ABP＝90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A＝∠NPA＝50°．然后解Rt△ABP，得出AB＝AP•cos∠A＝2cos50°海里．【解答】解：由题意可知∠NPA＝50°，PA＝6海里，∠ABP＝90°．∵AB∥NP，∴∠A＝∠NPA＝50°．在Rt△ABP中，∵∠ABP＝90°，∠A＝50°，PA＝2海里，∴AB＝AP•cos∠A＝2cos50°海里．故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，正确理解方向角的定义是解题的关键．13．（2022秋•青浦区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝3，则下列结论正确的是（）A．sin B＝B．cos B＝C．tan B＝D．cot B＝【分析】先根据勾股定理求出BC，再根据锐角三角函数的定义解答．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝3，∴BC＝2，∴sin B＝，cos B＝，tan B＝＝，cot B＝2．故选：C．【点评】本题考查锐角三角函数的定义，即：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．14．（2022秋•嘉定区校级期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，那么AB的长为（）A．5sin A B．5cos A C．D．【分析】依据Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，可得cos A＝，即可得到AB的长的表达式．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，∴cos A＝＝，∴AB＝，故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，正确记忆锐角A的邻边a与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cos A是解题关键．15．（2022秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的长是（）A．a•tanαB．a•cotαC．D．【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解答】解：如图：在Rt△ABC中，AC＝＝．故选：D．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角之间的关系，属于中考常考题型．16．（2022秋•浦东新区期末）小杰在一个高为h的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰角为30°，旗杆与地面接触点的俯角为60°，那么该旗杆的高度是（）A．B．C．D．【分析】过A作AE⊥BC于E，在Rt△ACE中，已知了CE的长，可利用俯角∠CAE的正切函数求出AE的值；进而在Rt△ABE中，利用仰角∠BAE的正切函数求出BE的长；BC＝BE+CE．【解答】解：如图，过A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE是矩形，CE＝AD＝h．∵在Rt△ACE中，CE＝h，∠CAE＝60°，∴AE＝＝h．∵在Rt△AEB中，AE＝h，∠BAE＝30°，∴BE＝AE•tan30°＝h•＝h，∴BC＝BE+CE＝h+h＝h．即旗杆的高度为h．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，是中考常见题型，解题的关键是作出高线构造直角三角形．17．（2022秋•杨浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，BC＝6，那么∠B的余切值为（）A．B．C．D．【分析】根据余切函数的定义解答即可．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴cot B＝＝＝，故选：A．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二．填空题（共29小题）18．（2022秋•黄浦区期末）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度为1：1.5．【分析】根据坡度的概念计算，得到答案．【解答】解：斜面AB的坡度为20：30＝1：1.5，故答案为：1：1.5．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．19．（2022秋•杨浦区期末）小杰沿坡比为1：2.4的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了50米．【分析】设他沿着垂直方向升高了x米，根据坡度的概念用x表示出他行走的水平宽度，根据勾股定理计算即可．【解答】解：设他沿着垂直方向升高了x米，∵坡比为1：2.4，∴他行走的水平宽度为2.4x米，由勾股定理得，x2+（2.4x）2＝1302，解得，x＝50，即他沿着垂直方向升高了50米，故答案为：50．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．20．（2022秋•黄浦区校级期末）一辆汽车沿着坡度i＝1：的斜坡向下行驶50米，那么它距离地面的垂直高度下降了25米．【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．【解答】解：∵坡度i＝1：，∴设垂直高度下降了x米，则水平前进了x米．根据勾股定理可得：x2+（x）2＝502．解得x＝25（负值舍去），即它距离地面的垂直高度下降了25米．故答案为：25．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．21．（2022秋•徐汇区校级期末）某人在斜坡走了10m，垂直高度上升8m，则坡比i＝4：3．【分析】根据勾股定理求出行走的水平距离，再根据坡比的概念计算即可．【解答】解：∵在斜坡走了10m，垂直高度上升8m，∴行走的水平距离为：＝6（m），则坡比i＝8：6＝4：3，故答案为：4：3．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比是解题的关键．22．（2022秋•浦东新区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，sin B＝，那么AB＝6．【分析】根据正弦函数的定义即可直接求解．【解答】解：∵sin B＝，∴AB＝＝＝6．故答案是：6．【点评】本题考查了正弦函数的定义，是所对的直角边与斜边的比，理解定义是关键．23．（2022秋•浦东新区期末）已知一条斜坡的长度为10米，高为6米，那么坡角的度数约为37°（备用数据：tan31°＝cot59°≈0.6，sin37°＝cos53°≈0.6）【分析】做出图形，设坡角为α，根据＝sinα，可求得α的度数．【解答】解：由题意得，＝sinα，即sinα＝0.6，则α＝37°．故答案为：37°．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，解直角三角形．24．（2022秋•金山区校级期末）平面直角坐标系内有一点P（1，2），那么OP与x轴正半轴的夹角为α，tanα＝2．【分析】过点P作PA⊥x轴于点A，由P点的坐标得PA、OA的长，根据正切函数的定义得结论．【解答】解：过点P作PA⊥x轴于点A，如图：∵点P（1，2），∴PA＝2，OA＝1，∴tanα＝．故答案为：2．【点评】本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构造直角三角形．25．（2022秋•闵行区期末）如果一个斜坡面的坡角为30°，那么它的坡度i＝1：．【分析】由于一个斜坡面的坡角为30°，而坡度i等于坡角的正切值，由此即可求解．【解答】解：∵斜坡面的坡角为30°，∴它的坡度i＝tan30°＝1：．故答案为：1：．【点评】此题主要考查了解直角三角形应用﹣坡度的问题，解题的关键是根据题意正确画出图形，然后利用三角函数即可解决问题．26．（2022秋•闵行区期末）如图，一艘船从A处向北偏西30°的方向行驶5海里到B处，再从B处向正东方向行驶8海里到C处，此时这艘船与出发点A处相距7海里．【分析】根据直角三角形的三角函数得出AE，BE，进而得出CE，利用勾股定理得出AC即可．【解答】解：如图：∵BC⊥AE，∴∠AEB＝90°，∵∠EAB＝30°，AB＝5海里，∴BE＝海里，AE＝海里，∴CE＝BC﹣BE＝8﹣＝（海里），∴AC＝＝＝7（海里），故答案为：7．【点评】此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题的关键是根据直角三角形的三角函数得出AE，BE解答．27．（2022秋•徐汇区期末）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后楼梯AC长为2米．【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定义计算AC即可．【解答】解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD＝，∴AD＝4sin60°＝2（m），在Rt△ACD中，∵sin∠ACD＝，∴AC＝＝2（m）．故答案是：2．【点评】本题考查了解直角三角形的实际应用中的坡度坡角问题，难度不大，注意细心运算即可．28．（2022秋•青浦区校级期末）如果α是锐角，且sinα＝cos20°，那么α＝70度．【分析】直接利用sin A＝cos（90°﹣∠A），进而得出答案．【解答】解：∵sinα＝cos20°，∴α＝90°﹣20°＝70°．故答案为：70．【点评】此题主要考查了互余两角三角函数的关系，正确把握相关性质是解题关键．29．（2022秋•青浦区校级期末）小明沿着坡度i＝1：2.4的斜坡行走了13米，那么他上升的高度是5米．【分析】设他上升的高度是x米，根据坡度的概念用x表示出他行走的水平距离，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设他上升的高度是x米，∵斜坡的坡度i＝1：2.4，∴他行走的水平距离为2.4x米，由勾股定理得：x2+（2.4x）2＝132，解得：x＝5（负值舍去），则他上升的高度是5米，故答案为：5．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡度问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．30．（2022秋•青浦区校级期末）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正切值为．【分析】根据题意和图形，可以求得AC、BC和AB的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断△ACB的形状，然后即可求得∠ABC的正弦值．【解答】解：由图可得，AC＝＝，AB＝＝，BC＝＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∴tan∠ABC＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查勾股定理的逆定理、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．31．（2022秋•杨浦区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，sin B＝，BC＝13，AD＝12，则tan C的值3．【分析】先在Rt△ABD中利用三角函数求出AB，再根据勾股定理求出BD，进而可得出DC的值，即可求出tan ∠C的值．【解答】解：∵AD⊥BC，AD＝12，sin B＝，∴，解得AB＝15，∴BD＝＝＝9．∵BC＝13，∴DC＝BC﹣BD＝4，∴tan C＝．故答案为：3．【点评】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理求出BD的值．32．（2022秋•静安区期末）一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作BC、AD，且迎水坡AB的坡度为1：2.5，背水坡CD的坡度为1：3，则迎水坡AB的坡角大于背水坡CD的坡角．（填“大于”或“小于”）【分析】根据坡度坡角的定义和三角函数的增减性即可得到结论．【解答】解：∵迎水坡AB的坡度为1：2.5，背水坡CD的坡度为1：3，∴tan A＝，tan D＝，∵＞，∴∠A＞∠D，即迎水坡AB的坡角大于背水坡CD的坡角，故答案为：大于．【点评】本题考查了直角三角形的应用﹣坡度坡角，熟练掌握三角函数的增减性是解题的关键．33．（2022秋•嘉定区校级期末）小芳在楼下点D处看到楼上点E处的小红的仰角是34度，那么点E处的小红看点D处的小芳的俯角等于34度．【分析】两点之间的仰角与俯角正好是两条水平线夹角的内错角，应相等．【解答】解：从点A看点B的仰角与从点B看点A的俯角互为内错角，大小相等．点B处的小明看点A处的小李的俯角是34度．故答案为：34．【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，主要考查仰角、俯角的概念，以及仰角与俯角的关系．34．（2022秋•杨浦区校级期末）如果一段斜坡的铅垂高度为2米，水平宽度为3米，那么这段斜坡的坡比i＝1：1.5．【分析】坡比＝斜坡的垂直高度与水平宽度的比，把相关数值代入整理为1：n的形式即可．【解答】解：∵一段斜坡的铅垂高度为2米，水平宽度为3米，∴坡比i＝2：3＝1：1.5．故答案为1：1.5．【点评】本题考查了坡比的求法；坡比＝斜坡的垂直高度与水平宽度的比，熟练掌握坡比的公式并最终化成1：n的形式是解题关键．35．（2022秋•青浦区校级期末）如果小明沿着坡度为1：2.4的山坡向上走了26米，那么他的高度上升了10米．【分析】设高度上升了h米，则水平前进了2.4h米，然后根据勾股定理解答即可．【解答】解：设高度上升了h米，则水平前进了2.4h米，由勾股定理得：，解得h＝10（负值舍去）．故答案为：10．【点评】本题主要考查了坡度比与勾股定理得应用，根据坡度比和勾股定理列出关于h的方程成为解答本题的关键．36．（2022秋•青浦区校级期末）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的余弦值为．【分析】利用勾股定理可求出AC、BC、AB的值，利用勾股定理的逆定理可得∠ACB＝90°，根据余弦的定义即可得答案．【解答】解：∵△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，∴，，，∵，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴cos∠ABC＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查网格的特征、勾股定理及余弦的定义，在直角三角形中，锐角的余弦是角的邻边与斜边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键．37．（2022秋•金山区校级期末）如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝4，则AC的长为．【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，先在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，再在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，然后根据勾股定理求出AC的长即可解答．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，sin B＝，AB＝4，∴AD＝AB•sin B＝4×＝1，在Rt△ADC中，tan C＝，∴DC＝＝＝2，∴AC＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．38．（2022秋•闵行区期末）在直角坐标平面内有一点A（5，12），点A与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为θ，那么sinθ的值为．【分析】由勾股定理求出OA的长，由锐角的正弦定义，即可解决问题．【解答】解：如图，过A作AH⊥x轴于H，∴AH＝12，OH＝5，∴OA＝＝＝13，∴sinθ＝＝．故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，关键是掌握三角函数定义．39．（2022秋•黄浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠A的正弦值是，那么∠B的正弦值是．【分析】根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可．【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A的正弦值是，即＝，可设BC＝2k，则AB＝3k，由勾股定理得，AC＝＝k，∴sin B＝＝，故答案为：．【点评】本题考查锐角三角函数、勾股定理，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提．40．（2022秋•徐汇区期末）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i＝1：3，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是10米．【分析】根据坡度的概念求出水平距离，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：∵传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：3，它把物体从地面送到离地面10米高，∴水平距离为：3×10＝30（米），∴物体所经过的路程为：＝10（米），故答案为：10．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．41．（2022秋•徐汇区校级期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，联结D、E，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．若AB＝5，AD＝8，sin B＝，则AF的长为2．【分析】如图，证明AE⊥AD，求出AE，DE的长度；证明△ADF∽△DEC，得到；运用AD＝8，DE＝4，CD＝AB＝5，求出AF的长度，即可解决问题．【解答】解：如图，在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，AB＝5，∴sin B＝＝，∵AB＝5，∴AE＝4，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∠B＝∠ADC；而AE⊥BC，∴AE⊥AD，∠ADF＝∠DEC；∴DE2＝AE2+AD2＝16+64＝80，∴DE＝4，而∠AFE＝∠B，∴∠AFE＝∠ADC，即∠ADF+∠DAF＝∠ADF+∠EDC，∴∠DAF＝∠EDC；∴△ADF∽△DEC，∴；而AD＝8，DE＝4，CD＝AB＝5，∴AF＝2．故答案为：2．【点评】本题考查平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握基本知识，属于中考常考题型．42．（2022秋•浦东新区校级期末）如果sinα＝，那么锐角α＝60°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：由sinα＝，得锐角α＝60°，故答案为：60．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．43．（2022秋•浦东新区校级期末）在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，则该斜坡坡度i＝1：2．【分析】根据在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，可以计算出此时的水平距离，水平高度与水平距离的比值即为坡度，从而可以解答本题．【解答】解：设在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，此时水平距离为x米，根据勾股定理，得x2+12＝52，解得，（舍去），故该斜坡坡度i＝1：2．故答案为：1：2．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是明确什么是坡度．44．（2022秋•青浦区校级期末）已知点P位于第一象限内，OP＝2，且OP与x轴正半轴夹角的正切值为2，则点P的坐标是（2，4）．【分析】根据题意，画出图形，过点P作PA⊥x轴于A，根据正切值可知，设设OA＝x，则PA＝2x，利用勾股定理列出方程即可求出x，从而求出OA、PA，即可求出结论．【解答】解：如下图所示，过点P作PA⊥x轴于A，由题意可知：tan∠POA＝2，∴，设OA＝x，则PA＝2x，∵OA2+PA2＝OP2，∴，解得：x＝2（负值舍去），∴OA＝2，PA＝4，。
初三锐角的三角比
一、 锐角三角比的意义 1、正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent ）．锐角A 的正切记作tan A ．tan A BC aA A AC b ===锐角的对边锐角的邻边． 2、余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent ）．锐角A的余切记作cot A ．cot A AC bA A BC a ===锐角的邻边锐角的对边． 3、正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine ）．锐角A 的正弦记作sin A ．sin A BC aA AB c ===锐角的对边斜边． 4、余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine ）．锐角A 的余弦记作cos A ．cos A AC bA AB c===锐角的邻边斜边．5、锐角的三角比一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比．锐角的三角比一：锐角的三角比ACBD二、 特殊锐角的三角比的值αtan αcot αsin αcos α30°33312 32 45° 1 1 22 2260° 3333212【例1】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，那么ba是角A 的（ ） A ．正弦B ．余弦C ．正切D ．余切【例2】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 3，BC = 4，那么sin A =______．【例3】 已知α为锐角，且5sin 13α=，求α的余弦值．【例4】 求值：sin60tan30cot30︒-︒+︒=_______．【例5】 已知锐角ABC ∆中，3sin A ，tan 1B =，那么C ∠=______°．【例6】 将锐角α所在的三角形的三边同时扩大三倍，这时角α的正弦值（ ） A ．变大B ．变小C ．不变D ．无法确定【例7】 （2014学年·松江区二模·第6题）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB ，垂足为D ，AB = c ，A α∠=，则CD 长为（ ）A ．2sin c αB ．2cos c αC ．sin tan c ααD ．sin cos c αα仰角 视线水平线视线俯角铅垂线北北偏东30°南偏西45°北偏西70°南偏东50°30° 70° 45° 50°【例8】 （2015学年·徐汇区二模·第19题）计算：20(3)cot 30tan 4531ππ--︒-︒+．【例9】 （2015学年·普陀区二模·第19题）计算：22123323tan 601-⎛⎫-+- ⎪︒-⎝⎭．一、 解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在t R ABC ∆中，如果=90C ∠︒，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系：222a b c +=（2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cos a A B c ==，cos sin bA B c ==tan cot a A B b ==，cot tan b A B a== 二、 仰角与俯角在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线 所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．三、 方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．二：解直角三角形ABC D A B9米传送带AB Chl四、 坡度（坡比）、坡角在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即h i l=． 坡度通常写成1 : m 的形式，如1:1.5i =． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α．坡度i 与坡角α之间的关系：tan hi l α==．【例10】 （2015学年·崇明县二模·第15题）已知一斜坡的坡比为1 : 2，坡角为α，那么sin α=______．【例11】 （2014学年·长宁区二模·第15题）已知在离地面30米的高楼窗台A 处测得地面花坛中心标志物C 的俯角为60°，那么这一标志物C 离此栋楼房的地面距离BC 为______米．【例12】 （2015学年·浦东新区二模·第13题）如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为39米高的地方，则物体从A 到B 所经过的路程为______米．【例13】 （2015学年·宝山区、嘉定区二模·第16题）如图，如果在大厦AB 所在的平地上选择一点C ，测得大厦顶端A 的仰角为30°，然后向大厦方向前进40米，到达点D 处（C 、D 、B 三点在同一直线上），此时测得大厦顶端A 的仰角为45°．那么大厦AB 的高度为______米．（保留根号）ABCE ABCDABCDEABCD EFAB C北【例14】 （2014学年·浦东新区二模·第16题）如图，已知小岛B 在基地A 的南偏东30°方向上，与基地A 相距10海里，货轮C 在基地A 的南偏西60°方向、小岛B 的北偏西75°方向上，那么货轮C 与小岛B 的距离是______海里．【例15】 （2014学年·徐汇区二模·第22题）如图，在Rt ABC ∆中，90CAB ∠=︒，3sin 5C =，AC = 6，BD 平分CBA ∠交AC 边于点D ．求：（1）线段AB 的长；（2）tan DBA ∠的值．【例16】 （2014学年·闸北区二模·第21题）已知：如图，点E 是矩形ABCD 的边AD 上一点，BE = AD ，AE = 8，现有甲乙二人同时从E 点出发，分别沿EC 、ED 方向前进，10C 点的同时乙恰巧到达终点D 处．（1）求tan ECD ∠的值； （2）求线段AB 及BC 的长度．【例17】 （2014学年·闵行区二模·第21题）如图，已知在ABC ∆中，25AB AC ==25sin B ∠=D 为边BC 的中点．E 为边BC 延长线上一点，且CE = BC ．联结AE ，F 为线段AE 的中点．求：（1）线段DF 的长；（2）CAE ∠的正切值．【例18】 （2015学年·闸北区二模·第21题）已知：如图，在ABC ∆中，45ABC ∠=︒，AD是BC 边上的中线，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，且3sin 5DAB ∠=，32DB =求：（1）AB 的长；（2）CAB ∠的余切值．ABCDPABCD【例19】 （2015学年·松江区二模·第22题）如图，在ABC ∆中，AB = AC = 10，BC = 12，AD ⊥BC 于D ，O 为AD 上一点，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于G ，交BC 于E 、F ，且AG = AD ．（1）求EF 的长； （2）求tan BDG ∠的值．【例20】 （2015学年·普陀区二模·第21题）已知：如图，在ABC ∆中，AB = AC = 13，BC = 24，点P 、D 分别在边BC 、AC 上，2AP AD AB =，求APD ∠的正弦值．【例21】 （2015学年·虹口区二模·第21题）如图，在ABC ∆中，CD 是边AB 上的中线，B∠是锐角，且2sin 2B =，1tan 2A =，BC =22，求边AB 的长和cos CDB ∠的值．【例22】 （2014学年·崇明县二模·第21题）在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点E 是BC 的中点，AD ⊥BC ，垂足为点D ．已知AC = 9，3cos 5C =．（1）求线段AE 的长；（2）求sin DAE ∠的值．【例23】 （2015学年·崇明县二模·第22题）如图，在某海滨城市O 附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的南偏东20°方向200千米的海面P 处，并以20千米/时的速度向P 处的北偏西65°PQ 的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/时速度不断扩张．（1）当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；O CBADF EG CA BEDOPQ北当台风中心移动t 小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；（2）当台风中心移动到与城市O 距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由．（参考数据2 1.41=，3 1.73=）．【例24】 （2015学年·闵行区二模·第22题）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC 平行于地面AD ，斜坡AB 的坡比为51:12i =，且AB = 26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE 的长；（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB 改造成AF （如图所示），那么BF 至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈，tan53 1.33︒≈，cot530.75︒≈）【例25】 （2014学年·普陀区二模·第22题）本市为了给市容营造温馨和谐的夜间景观，准备在一条宽7.4米的道路上空利用轻轨桥墩，安装呈大中小三个同心圆的景观灯ABDCEF带（如图1所示）．如图2，已知EF 表示路面宽度，轻轨桥墩的下方为等腰梯形ABCD ，且AD // EF ，AB = DC ，37ABC ∠=︒．在轻轨桥墩上设有两处限高标志，分别表示等腰梯形的下底边到路面的距离为 2.9米和等腰梯形的上底边到路面的距离为 3.8米．大圆直径等于AD ，三圆半径的比等于1 : 2 : 3．试求这三个圆形灯带的总长为多少米？（结果保留π）（参考数据：sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75︒≈）2.92.93.8ABCDFO图1图2。
上海市中考数学一模汇编——锐角三角比Ⅱ(教师版)
【正确答案】
解：过点 作 ，垂足为 （如图）．
易证四边形 是矩形， ．（1分）
在 △ 中， ， ．（3分）
黄浦
卢湾
闸北
青浦
浦东
虹口
奉贤
92
5
2
2
1
2
4
2
4
3
4
3
3
93
3
5
2
3
3
3
4
3
4
3
3
3
考点精练：
【考点精炼二·解直角三角形及其应用】
【考试内容水平层次】探究性理解水平（Ⅲ）
【题型二】解直角三角形的应用
（一）仰角、俯角
【典型例题】
【例1】（青浦2012一模16）如图，在高出海平面100米的悬崖顶 处，观测海平面上一艘小船 ，并测得它的
【正确答案】 .
【难度等级】易．
（浦东2012一模15）如图， 是铁塔， 是测角仪，已知测角仪 与铁塔底部 的距离为 米，为了测量铁塔的高度，用测角仪测得塔顶 的仰角为 ，已知测角仪的高 为 米，则铁塔的高度 米．（结果用含有 、 、 的代பைடு நூலகம்式表示）
【正确答案】 ．
【难度等级】中．
【解题思路】直角梯形是解直角三角形及其应用中常见的基本图形，“高线”通常是常添加的辅助线．
在 △ 中， ， ．（3分）
∴ (米) (2分)
答：建筑物 的高度是14.2米．（1分）
【难度等级】中．
沪教版中考复习：一模复习之锐角三角比的计算与应用-教师版
在历年各区的一模考试中，大部分区县都会在解答题中考察两道关于锐角三角比的大题，合计约20分．一道题是纯粹的计算题，主要考察特殊锐角三角比的值和计算能力，另一道题是应用解答题，主要考察解直角三角形的应用，包括仰角和俯角、方位角、坡度与坡角的应用，以及解直角三角形在其他图形中的应用，旨在考察同学们利用锐角三角比解决实际问题的能力．本讲整理了近两三年的关于锐角三角比的计算和应用类题目，同学们可根据自身情况进行适当的练习．锐角三角比的计算主要考察特殊锐角的三角比的值以及同学们的计算能力，同学们需熟记各特殊锐角的三角比的值，并熟练其他计算类型（绝对值、幂运算、二次根式等）的相关要点．锐角三角比的计算与应用内容分析知识结构模块一：锐角三角比的计算考点分析【例1】（2015学年·嘉定区一模·第19题）计算：3sin602cos30tan60cot45︒-︒-︒︒g．【难度】★【答案】3 -．【解析】原式=333231⨯-⨯-⨯=3 -．【总结】本题考查了特殊锐角三角比的值及计算．【例2】（2015学年·长宁区、金山区一模·第20题）计算：20tan30(cos75cot10)2cos602tan45︒-︒-︒+︒-︒．【难度】★【答案】53 -．【解析】原式=111221 32-+⨯-⨯=53 -．【总结】本题考查了特殊锐角三角比的值及零次幂的运算．【例3】（2014学年·普陀区一模·第19题）计算：4sin302cos456tan60︒-︒+︒．【难度】★【答案】132+．【解析】原式=124263 2⨯-⨯+⨯，=2132-+=132+．【总结】本题考查了特殊锐角三角比的值及计算．例题解析【例4】（2015学年·宝山区一模·第19题）计算：2tan45cos303tan302sin45cot30︒︒-︒-︒︒．【难度】★★．【解析】原式2．【总结】本题考查了特殊锐角三角比的值及计算．【例5】（2015学年·徐汇区一模·第19题）计算：cot454sin452tan30cos30cos60︒︒-︒︒+︒．【难度】★★【答案】1．【解析】原式1 4212 =+12=+1=．【总结】本题考查了特殊锐角三角比的值及计算．【例6】（2015学年·奉贤区一模·第19题）2145cos302sin602tan60︒+︒-+︒-︒．【难度】★★【答案】1+．【解析】原式22 ++⎝⎭=132 44+-1=-．【总结】本题考查了特殊锐角三角比的值及计算．【例7】 （2014学年·金山区一模·第19题）计算：cos30tan60cos452sin 45tan 45cot30︒-︒︒︒-︒+︒g ． 【难度】★★12． 【解析】原式=│21-112+=122-． 【总结】本题考查了特殊锐角三角比的值及计算．【例8】 （2014学年·崇明县一模·第19题）计算：2014cos301(cot 45)sin 60︒-+-︒+︒． 【难度】★★ 【答案】2． 【解析】原式()201411-+-+=11+ =2．【总结】本题考查了特殊锐角三角比的值及计算．【例9】 （2014学年·长宁区一模·第19题）计算： ()()201sin302015tan 45sin 60cos60--︒+-︒︒-︒．【难度】★★2．【解析】原式2112-⎛⎫+ ⎪⎝⎭41+=2141-+2．【总结】本题考查了特殊锐角三角比的值及零次幂的运算．锐角三角比的应用主要考察应用锐角三角比的意义及运用解直角三角形的的方法进行有关的几何计算，解决有关的实际问题，包括但不局限于仰角、俯角、方位角、坡度和坡角等的应用．【例10】 （2015学年·嘉定区一模·第22题）如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸边选取B 、C 两点，在对岸岸边选择点A ，测得45B ∠=︒，60C ∠=︒，30BC =米，求这条河的宽度（这里指点A 到直线BC 的距离）．（结果精确到1米，参考数据：2 1.4≈，3 1.7≈）【难度】★★ 【答案】19m ．【解析】过点A 作AH BC ⊥， 设BH x =则30AH x CH x ==-，， 在tan 330AH xRt ACH C CH x∆===-中，， 解得：4515319x =-≈ 19AH m ∴= 答：河宽为19m ．【总结】本题考察了锐角三角比的应用——方位角问题．模块二：锐角三角比的应用考点分析例题解析ABCl【例11】 （2015学年·浦东新区一模·第22题）如图，l 为一条东西方向的笔直公路，一辆小汽车在这段限速为80千米/小时的公路上由西向东匀速行驶，依次经过点A 、B 、C ．P 是一个观测点，PC l ⊥，PC = 60米，4tan 3APC ∠=，45BPC ∠=︒，测得该车从点A 点行驶到B 点所用时间为1秒． （1）求A 、B 两点间的距离； （2）试说明该车是否超过限速． 【难度】★★【答案】（1）20m ； （2）没有超速，理由略．【解析】（1）∵PC ⊥l ，∴tan ∠APC=ACCP ．∵tan ∠APC=43，PC=60，∴4.3AC CP = ∴AC=80 ∵PC ⊥l ，∠BPC=45°， ∴BC=CP=60， ∴AB=80-60=20(米)；（2）实际速度为20米/秒，因为20/=72米秒（千米/小时）<80千米/小时，所以汽车没有超速． 【总结】本题考察了锐角三角比在实际生活中的应用．【例12】 （2015学年·黄浦区一模·第23题）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O 到球心的长度为50厘米，小球在A 、B 两个位置时达到最高点，且最高点高度相同（不计空气阻力），在C 点位置时达到最低点．达到左侧最高点时与最低点时细绳相应所成的角度为37°，细绳在右侧达到最高点时与一个水平放置的挡板DE 所成的角度为30°．（sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75︒≈）（1）求小球达到最高点位置与最低点位置时的高度差． （2）求OD 这段细绳的长度． 【难度】★★【答案】（1）10cm ； （2）30cm ． 【解析】（1）过点A 作AF ⊥OC ，垂足为点F ． 在Rt △AFO 中，∵37AOF ∠=︒，AO =50cm ， ∴50cos37OF =⨯︒500.8=⨯40cm = ∴504010CF cm =-=．答：小球达到最高点位置与最低点位置的高度差为10cm ；（2）因为B 点与A 点的高度相同，所以B 点与C 点的高度差为10cm ， 联结BF ，则BF ⊥OC ，设OD 长为x cm∵30BDE ∠=︒，90ODE ∠=︒， ∴60BDC ∠=︒， ∴()40DF x cm =-，()50DB x cm =-在Rt △DFB 中，()4050cos60x x -=-︒ ，解得：30x = ∴30OD =答：OD 这段细绳的长度为30cm ． 【总结】本题考察了锐角三角比的应用．【例13】 （2015学年·长宁区、金山区一模·第23题）靠校园一侧围墙的体育场看台侧面，如图阴影部分所示，看台的二级台阶高度相等，宽度相同，现要用钢管做护栏扶手ACG 及三根与水平底面PQ 垂直的护栏支架CD 、EF 、GH （底端D 、F 、H 分别在每级台阶的中点处），已知看台高为 1.2米，护栏支架0.8CD GH ==米，66.5DCG ∠=︒．（参考数据：sin66.50.92︒≈，cos66.50.40︒≈，tan66.5 2.30︒≈） （1）点D 与点H 的高度差是 米；（2）试求制作护栏扶手和支架的钢管总长度l ，即AC CG CD EF GH ++++的长度．（结果精确到0.1米）【难度】★★【答案】（1）0.8； （2）4.9m ．【解析】（1）21.20.83m ⨯=；（2）联结GD ，易得：GD CD ⊥， 0.8tan66.5 1.84GM m ∴=⨯︒=，0.82cos66.5CG m ==︒，11.840.464AC m ∴=⨯=，0.46230.8 4.86 4.9l m ∴=++⨯=≈．【总结】本题考察了锐角三角比在实际生活中的应用．【例14】 （2014学年·普陀区一模·第22题）如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉．小明为测量湖的半径，在湖边选择A 、B 两个点，在A 处测得45OAB ∠=︒，在AB 延长线上的C 处测得30OCA ∠=︒，已知50BC =米，求人工湖的半径．（结果保留根号）【难度】★★【答案】(256252)m ． 【解析】作OH AB ⊥，垂足为H ．∵OH 过圆心，且OH AB ⊥， ∴AH BH =． 设OH x =，∵45OAH ∠=o ，∴AH BH x ==． ∵30OCH ∠=o ，∴3CH x =． ∵CH BH BC =+，且50BC =350x x =+， 解得：25325x =， 即25325OH =． ∵2AO OH =，∴256252AO =． 答：人工湖的半径为2562【总结】本题考察了锐角三角比在实际生活中的应用．【例15】 （2014学年·奉贤区一模·第22题）在某反潜演习中，我军舰A 测得潜艇C 的俯角为30°，位于军舰A 正上方2000米的反潜直升机B 测得潜艇C 的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C 离开海平面的下潜深度．（结果保留整数，参考数据：sin680.9︒≈，cos680.4︒≈，tan68 2.5︒≈3 1.7≈）． 【难度】★★ 【答案】615m ．【解析】过点C 作CD ⊥AB ,交BA 的延长线于点D ，则AD 即为潜艇C 的下潜深度．根据题意得：∠ACD =300，∠BCD =680． 设AD =x ，则BD ＝BA +AD =2000+ x ．在Rt △ACD 中，CD =3tan tan30AD xx ACD ==∠︒，在Rt △BCD 中，BD =CD ·tan 68º， ∴20003tan 68x x +=⋅︒ ∴x 020006151.7 2.513tan 681≈≈⨯--，即潜艇C 离开海平面的下潜深度约为615米．【例16】 （2015学年·虹口区一模·第22题）如图，已知楼AB 高36米，从楼顶A 处测得旗杆顶C 的俯角为60°，又从该楼离地面6米的一窗口E 处测得旗杆顶C 的仰角为45°，求该旗杆CD 的高．（结果保留根号）【难度】★★【答案】（）m ．【解析】过点C 作CG ⊥AE ，垂足为点G ，由题意得：∠CEF=45°=∠CEG ，∠ACG=60°． 设CG=x ，在Rt △ACG 中，在Rt △ECG 中，∵AG+EG=AE ， ， 解得：． 又可求得：CF=EG=，∴． 答：该旗杆CD 的高为（）米．【总结】本题考察了锐角三角比的应用——仰角、俯角问题．【例17】 （2015学年·静安区一模·第22题）如图，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ ，测得杆顶端点P 的仰角是26.6°，向前走30米到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是45°和33.7°．求该电线杆PQ 的高度（结果精确到1米）．（备用数据：sin26.60.45︒=，cos26.60.89︒=，tan26.60.50︒=，cot 26.6 2.00︒=，sin33.70.55︒=，cos33.70.83︒=，tan33.70.67︒=，cot33.7 1.50︒=）【难度】★★ 【答案】10m ．【解析】延长PQ 交直线AB 于点H ，由题意，得： PH ⊥AB ，AB =30，∠P AH =26.6°， ∠PBH =45°，∠QBH =33.7°．在Rt △QBH 中，cot 1.50BHQBH QH∠==，设QH =x ，BH =1.5x ， 在Rt △PBH 中，∵∠PBH =45°，∴PH = BH =1.5x ，在Rt △P AH 中，cot 2.00AHPAH PH ∠==，AH =2PH =3x ，∵AH –BH =AB ，∴3 1.530x x -=，20x =． ∴PQ =PH –QH =1.50.510x x x -==． 答：该电线杆PQ 的高度为10米．1539tan 3AG CG ACG x =⋅∠=cot EG CG CEG x =⋅∠=3366x x +=-15315x =15315-1531561539CD =+=1539【总结】本题考察了锐角三角比的应用——仰角、俯角问题．【例18】（2014学年·黄浦区一模·第22题）如图，小明想测量河对岸的一幢高楼AB的高度，小明在河边C处测得楼顶A的仰角是60°．距C处60米的E处有幢楼房，小明从该楼房中距地面20米的D处测得楼顶A的仰角是30°（点B、C、E在同一直线上，且AB、DE均与地面BE垂直）．求楼AB的高度．【难度】★★【答案】(30303)+m．【解析】设BC=x．在Rt△ABC中，∵tanAB ACBBC∠=，∴tan603AB BC x=⋅=o．过D作DG//BE，交AB于G，∵AB⊥BE，DE⊥BE，∴BG=DE=20，AG320x-．在Rt△ADG中，∵cotDG ADGAG∠=，∴cot303203DG AG x=⋅=-o由题意，得：320360x x-+．解得：30103x=+答：楼AB的高度(30303)+米．【总结】本题考察了锐角三角比的应用——仰角、俯角问题．DA EF【例19】 （2015学年·杨浦区一模·第22题）如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD 的A 、C 两点处测得该塔顶端F 的仰角分别为α和β，矩形建筑物宽度AD = 20 m ，高度DC = 33 m ．（1）试用α和β的三角比表示线段CG 的长；（2）如果48α=︒，65β=︒，请求出信号发射塔顶端到地面的高度FG 的值（结果精确到1 m ）．（参考数据：sin480.7︒≈，cos480.7︒≈，tan48 1.1︒≈，sin650.9︒≈，cos650.4︒≈，tan65 2.1︒≈）【难度】★★ 【答案】（1）3320tan tan tan CG αβα+=-； （2）116m ．【解析】（1）如图，延长AD 交FG 于点E ．在Rt △FCG 中，tan FGCGβ=，∴tan FG CG β=⋅．在Rt △F AE 中，tan FEAEα=，∴tan FE AE α=⋅． ∵FG －FE ＝EG ＝DC =33， ∴tan tan =33CG AE βα⋅-⋅． ∵AE=AD+DE=AD+CG =20+CG ， ∴tan 20+)tan =33CG CG βα⋅-⋅（， ∴3320tan tan tan CG αβα+=-；（2）∵tan FG CG β=⋅， ∴33tan 20tan tan tan -tan FG βαββα+⋅=∴33 2.120 1.1 2.12.1 1.1FG ⨯+⨯⨯=- = 115.5≈116．答：该信号发射塔顶端到地面的高度FG 约是116 m ． 【总结】本题考察了锐角三角比在实际生中的应用．【例20】（2013学年·杨浦区一模·第22题）如图，已知某船向正东方向航行，在点A处测得某岛C在其北偏东60°方向上，前进8海里处到达点B处，测得岛C在其北偏东30°方向上．已知岛C周围6海里内有一暗礁，问：如果该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明你的理由．【难度】★★【答案】无触礁危险，理由略．【解析】无触礁危险．理由如下：由题意，得∠BAC=30°，∠ABC=120°．∴∠ACB=30°，即∠BAC=∠ACB．∴BC=AB=8．作CD⊥AB，垂足为点D．又∵∠CBD=60°，∠ADC=90°，∴∠BCD=30°．∴BD=4，43CD=而436，∴无触礁危险．【总结】本题考察了锐角三角比在是否受影响问题中的应用．【例21】（2014学年·闸北区一模·第22题）如图，某人在C处看到远处有一凉亭B，在凉亭B正东方向有一棵大树A，这时此人在C处测得B在北偏西45°方向上，测得A 在北偏东35°方向上．又测得A、C之间的距离为100米，求A、B之间的距离．（精确到1米）（参考数据：sin350.574︒≈，cos350.819︒≈，tan350.700︒≈）【难度】★★【答案】139m．【解析】作CD⊥AB于点D．根据题意，∠ACD＝35°，AC＝100米．在Rt△ADC中，sin∠ACD＝ADAC，cos∠ACD＝CDAC，∴AD＝AC·sin35°≈100×0.574＝57.4(米)，CD＝AC·cos35°≈100×0.819＝81.9(米)．在Rt△BDC中，∠BCD＝45°，∴∠B＝45°，∴BD＝CD＝81.9(米)，∴AB＝AD＋BD＝57.4＋81.9＝139.3(米)≈139(米)．答：AB之间的距离是139米．【总结】本题考察了锐角三角比在实际测量问题中的应用．ABCH【例22】 （2014学年·嘉定区一模·第22题）．如图，某地下车库的入口处有斜坡AB ，它的坡度为1:2i =，斜坡AB 的长为65车库的高度为AH （AH BC ⊥），为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14︒（图中的14ACB ∠=︒）． （1）求车库的高度AH ；（2）求点B 与点C 之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：sin140.24︒=，cos140.97︒=，tan140.25︒=，cot14 4.01︒=） 【难度】★★【答案】（1）6m ； （2）12m ．【解析】（1）由题意，得：90AHB ∠=︒，:1:2AH BH =， ∴2BH AH =．在Rt AHB ∆中，222AH BH AB +=， 又∵65AB = ∴222(2)(65)AH AH +=， ∴6AH =．答：车库的高度AH 是6米；（2）∵6AH =，∴212BH AH ==． ∴12CH BC BH BC =+=+ 在Rt AHC ∆中，90AHC ∠=︒，∴tan AHACB CH ∠=．又∵14ACB ∠=︒，∴6tan1412BC ︒=+，即60.2512BC =+，解得：12BC =．答：点B 与点C 之间的距离是12米．【总结】本题考察了锐角三角比在坡度问题中的应用．ABCD EFG 【例23】 （2014学年·虹口区一模·第22题）如图，高压电线杆AB 垂直地面，测得电线杆AB 的底部A 到斜坡底C 的水平距离AC 长为15.2米，落在斜坡上的电线杆的影长CD 为5.2米，在D 点处测得电线杆顶B 的仰角为37°．已知斜坡CD 的坡比为1 : 2.4，求该电线杆AB 的高．（参考数据：sin 37° = 0.6）．【难度】★★ 【答案】17m ．【解析】过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，过点D 作DF ⊥AB 交AB 于点F ． 由1:2.4i =，得：．设DE=5k ，CE =12k ，则CD =13k ． ∴13k =5.2，解得：k =0.4∴DE=2，CE=4.8 ， ∴AE=15.2+4.8=20可得四边形AFDE 为矩形，∴DF=AE =20，AF=DE =20．由题意得：∠BDF =37°，又sin 37°=0.6，则3tan 374∠=o ，在Rt △BDF 中， 3tan 20154BF DF BDF =⋅∠=⨯=，∴AB=2+15=17（米） 答：电线杆AB 高为17米．【总结】本题考察了锐角三角比在实际问题中的应用，注意正确理解坡比的概念．【例24】 （2015学年·宝山区一模·第21题）如图是某个大型商场的自动扶梯侧面示意图，已知自动扶梯AC 的坡度为1 : 2，AC 的长度为55AB 为底楼地面，CD 为二楼楼面，EF 为二楼楼顶，当然有EF // AB // CD ，E 为自动扶梯AC 的最高端C 的正上方，过C 的直线EG AB ⊥于G ，在自动扶梯的底端A 测得E 的仰角为42°，求该商场二楼的楼高CE ．【难度】★★【答案】（455）m ．【解析】∵EH ⊥AB ，EF ∥AB ∥CD ，E 为自动扶梯AC 的最高端C 的正上方，∴EC ⊥CD ． ∵在直角△ACH 中，AC 的坡度为1:2，AC =55CH =5，AH =10． ∵在直角△AEH 中，∠EAH =42°，∴EH =AH 0tan tan 4245EAH AH ⋅∠=⋅=1251:512DE CE ==∴EC =455-米．【例25】 （2015学年·奉贤区一模·第21题）为方便市民通行，某广场计划对坡角为30°，坡长为60米的斜坡AB 进行改造，在斜坡中点D 处挖去部分坡体（阴影表示），修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE ． （1）若修建的斜坡BE 的坡角为36°，则平台DE 的长约为多少米？（2）在距离坡角A 点27米远的G 处是商场主楼，小明在D 点测得主楼顶部H 的仰角为30°，那么主楼GH 高约为多少米？（结果取整数，参考数据：sin 36° = 0.6，cos 36° = 0.8，tan 36° = 0.7，3=1.7） 【难度】★★【答案】（1）5m ； （2）45m ．【解析（1）由题意，知：AB=60，BD=30，∠BAC =30°，∠BEF =36°．在 Rt △ABC 中，∵sin BC BAC AB ∠=， ∴sin3060BC=o ， ∵DF ∥AC ，BD=AD ， ∴BF=FC =15． 在Rt △BED 中，22153DF BD DF =-=， 在Rt △BEF 中，tan BF BEF EF∠=， ∴15tan36EF =o ， ∴151500.77EF ==． ∴150153 4.0747DE DF EF m =-=-=≈m ．答：平台DE 的长约为4米．（2）由题意，知：∠HDM=30°，MG=FC=15m ． 过点D 作DP ⊥CG 于点P ，则DP =CF =15．∴223015153AP =-=， ∴15327DM AD AG =+=+． 在Rt △DHM 中，∵tan HMHDM DM∠=， ∴tan3015327HM =+o ， 解得：1593HM =+，∴1593+15=30+93=45.345GH HM GM =+=+≈m ． 答：主楼GH 的高约为45米．【总结】本题考察了锐角三角比在实际生活中的应用，本题综合性较强，计算时认真分析．B C D EFHM30°30° P【习题1】 （2015学年·浦东新区一模·第19题）计算：2sin 456tan302cos30︒+︒-︒． 【难度】★ 【答案】13+． 【解析】原式=233262232⨯+⨯-⨯=1233+-=13+．【总结】本题考查了特殊锐角三角比的值及计算．【习题2】 （2015学年·黄浦区一模·第19题）计算：22tan30cos 45cot 302sin60︒︒-+︒︒．【难度】★★【答案】136．【解析】原式=()2232332322⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⨯11323=-+ =136．【总结】本题考查了特殊锐角三角比的值及计算．随堂检测【习题3】 （2014学年·宝山区一模·第19题）计算：2sin602cot30cos 602cos45tan60︒+︒-︒︒+︒．【难度】★★【解析】原式=221()2=【总结】本题考查了特殊锐角三角比的值及计算．【习题4】 （2014学年·长宁区一模·第23题）如图，A 、B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地须经C 地沿折线A -C -B 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶．已知AC = 120千米，30A ∠=︒，135B ∠=︒，则隧道开通后，汽车从A 地到B 地比原来少走多少千米？（结果保留根号）【难度】★★【答案】（180+）km ．【解析】过点C 作CD ⊥AB 的垂线，垂足D 在AB 的延长线上． 据题意，得：∠ADC =90° ，∠A =30° ， AC =120 ． ∴CD =60， AD =AC ·cos∠A =． 在Rt △BCD 中，∠BDC =90° ， ∠CBD =180°-∠ABC =180°-135°=45° ． ∵CD =60， ∴BD =60，BC = ∴AB =AD-BD =-60 ，∴AC +BC-AB =120+(-60)=180+∴汽车从A 地到B地比原来少走180+千米．【总结】本题考察了锐角三角比在实际生中的应用．【习题5】 （2015学年·徐汇区一模·第22题）如图，热气球在离地面800米的A 处，在A 处测得一大楼楼顶C 的俯角是30︒，热气球沿着水平方向向此大楼飞行400米后到达B 处，从B 处再次测得此大楼楼顶C 的俯角是45︒，求该大楼CD 的高度．2 1.413 1.73）【难度】★★ 【答案】254m ．【解析】分别延长AB DC 、交于点E ．∵AB 与地面平行，DC 与地面垂直， ∴DE AB ⊥， ∴90E ∠=︒．在Rt CEB ∆中，45EBC ∠=︒， ∴45ECB ∠=︒， ∴EC BE =；设CE x =，则BE x =，400AE x =+． 在Rt AEC ∆中，90E ∠=︒， ∴tan ECCAE AE∠=； 即tan30400xx ︒=+，解得31)x = ；即200(31)200(1.731)546CE =≈⨯+=(米) ； ∴800546254CD =-=(米)；答： 大楼CD 的高度254米． 【总结】本题考察了锐角三角比的应用．【习题6】 （2014学年·金山区一模·第21题）如图，小明在广场上的C 处用测角仪正面测量一座楼房墙上的广告屏幕AB 的长度，测得屏幕下端B 处的仰角为30°，然后他正对大楼方向前进10米到达D 处，又测得该屏幕上端A 处的仰角为45°，已知该楼高18.7米，测角仪MC 、ND 的高度为1.7米．求广告屏幕AB 的长．【难度】★★ 【答案】(17-93m ．【解析】联接MN 并延长MN 交AE 于H ，设AB x =米． 由题意，可知： MH AE ⊥， 1.7MC ND HE ===米， 10CD =米， 18.7AE =米，30BMH ∠=o ，45ANH ∠=o ． ∴17AH AE HE =-=米．在Rt ANH ∆中，45NAH ANH ∠=∠=o ， ∴AH NH =． 在Rt MBH ∆中，∵cot303MH BH BH =⋅=o ， 又10MH NH CD -==， 3(17)1710x --= 解得：1793x =-（米）答：广告屏幕AB 的长（17-93【总结】本题考察了锐角三角比在实际生活中的应用．【习题7】 （2015学年·闵行区一模·第22题）如图，一只猫头鹰蹲在树AC 上的B 处，通过墙顶F 发现一只老鼠在E 处，刚想起飞捕捉时，老鼠突然跑到矮墙DF 的阴影下，猫头鹰立刻从B 处向上飞至树上C 处时，恰巧可以通过墙顶F 看到老鼠躲在M 处(A 、D 、M 、E 四点在同一直线上) ．已知，猫头鹰从B 点观察E 点的俯角为37°，从C 点观察M 点的俯角为53°，且DF = 3米，AB = 6米．求猫头鹰从B 处飞高了多少米时，又发现了这只老鼠？(结果精确到0.01米)（参考数据：sin37cos530.602︒=︒≈，cos37sin530.799︒=︒≈，tan37cot530.754︒=︒≈，cot37tan53 1.327︒=︒≈）【难度】★★ 【答案】2.28m ．【解析】过点F 作AB 垂线，垂足为H由题意，知：∠BFH=37°，∠CFH=53°，BH=6－3=3米 ∵FH ⊥AB∴在Rt △BFH 中，tan ∠BFH=BHFH∴tan 37°=3FH，FH ≈3.98 ∴在Rt △CFH 中，tan ∠CFH=CHFH∴tan 53°=3.98CH，CH≈5.28 ∴BC =5.28-3=2.28米答：猫头鹰从B 处飞高了2.28米时，又发现了这只老鼠． 【总结】本题考察了锐角三角比的应用．【习题8】（2014学年·崇明县一模·第22题）如图，轮船从港口A出发，沿着南偏西15︒的方向航行了100海里到达B处，再从B处沿着北偏东75︒的方向航行200海里到达了C处．（1）求证：AC AB⊥；（2）轮船沿着BC方向继续航行去往港口D处，已知港口D位于港口A的正东方向，求轮船还需航行多少海里．【难度】★★【答案】（1）略；（2）1003【解析】（1）取BC中点M，联结AM∴BA=BM=100又∵∠ABC=60º∴△ABM是等边三角形∴AM=BM，∠AMB=60º∴AM=MC∴∠ACB=∠CAM=12∠AMB=30º∵∠ACB＋∠ABC＋∠BAC=180º∴∠BHA=∠BAC=90º∴AC⊥AB（2）如图，∵∠1+∠2=90º，∠CAD+∠2=90º∴∠CAD=∠1=15º在Rt△ABC中，∠ABC=60º∵∠ABC+∠ACB=90º ∴∠ACB=30º∵∠ACB=∠CAD+∠D ∴∠D=15º∴∠CAD=∠D ∴CA=CD在Rt△ABC中，sinB=AC BC∴AC=BCsinB 3=1003∴CD=1003答：轮船还需航行1003【总结】本题考察了锐角三角比在航海问题中的应用．【作业1】 （2015学年·虹口区一模·第19题）计算：22cos 45tan60cos303cot 60︒+︒︒-︒g ．【难度】★【答案】1．【解析】原式==1．【总结】本题考查了特殊锐角三角比的值及运算．【作业2】 （2015学年·崇明县一模·第19题）计算：cot 45tan60cot 302sin 60cos60 ︒+︒-︒︒-︒（）． 【难度】★★ 【答案】2．【解析】原式133312()+=--31331+=--233=+-2=． 【总结】本题考查了特殊锐角三角比的值及运算．【作业3】 （2014学年·嘉定区一模·第19题）计算：121sin30cot30tan60212cos45-︒+︒︒+-︒g 【难度】★★【答案】22-．【解析】原式1113322212=-+⨯⨯+-⨯132212=++- 22=-．【总结】本题考查了特殊锐角三角比的值及运算．22233()33()2+⨯-⨯课后作业【作业4】（2015学年·崇明县一模·第22题）目前，崇明县正在积极创建全国县级文明城市，交通部门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并在进一步完善各类监测系统．如图，在陈海公路某直线路段MN内限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知45CAN∠=︒，60CBN∠=︒，200BC=米，此车超速了吗？请说明理由．（参2 1.41≈3 1.73≈）【难度】★★【答案】此车没有超速，理由略．【解析】此车没有超速．理由如下：过C作CH⊥MN，垂足为H∵∠CBN=60°，BC=200米，∴CH=BC•sin 33，BH=BC•cos60°=100（米），∵∠CAN=45°，∴AH=CH3∴AB3100≈73（m），∴车速为7314.65=m/s∵60千米/小时=503m/s，又∵14.6＜50 3∴此车没有超速．【总结】本题考察了锐角三角比在实际行车问题中的应用．【作业5】 （2014学年·徐汇区一模·第21题）如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆．拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米处安置测角仪AB ，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为23°，已知测角仪AB 的高为1.5米，求拉线CE 的长．（已知sin 23°513≈，cos 23°1213≈，tan 23°512≈，结果保留根号） 【难度】★★ 83． 【解析】过点A 作AG ⊥CD 于点G ，∴AG =BD =6米．在Rt △ACG 中，tan 5，∴CG =AG 523°=6×5 2.512=∴CD =CG +DG =2.5+1.5=4，在Rt △CDE 中，sin 60°=CD CE， ∴CE =sin 60CD o 833． 答：拉线CE 83米 【总结】本题考察了锐角三角比的应用．【作业6】 （2014学年·浦东新区、杨浦区、闵行区、松江区、静安区、青浦区一模·第22题）如图，某幢大楼的外墙边上竖直安装着一根旗杆CD ．小明在离旗杆下方的大楼底部E 点24米的点A 处放置一台测角仪，测角仪的高度AB 为1.5米，并在点B 处测得旗杆下端C 的仰角为40°，上端D 的仰角为45°，求旗杆CD 的长度．（参考数据：sin400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan400.84︒≈，结果精确到0.1米）【难度】★★【答案】3.8m ．【解析】解：过点B 的水平线交直线CD 于点H ．由题意，得：BH =AE =24，∠CBH =40°，∠DBH =45°，∴CH =24tan 40°，DH =BH =24．∴CD =24-24tan 40°≈3.8．答：旗杆CD 的长度约为3.8米．【总结】本题考察了锐角三角比的应用．【作业7】 （2015学年·闸北区一模·第22题）如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断树杆AB 与地面仍保持垂直的关系，而折断部分AC 与未折断树杆AB 形成53°的夹角．树杆AB 旁有一座与地面垂直的铁塔DE ，测得BE = 6米，塔高DE = 9米．在某一时刻的太阳照射下，未折断树杆AB 落在地面的影子FB 长为4米，且点F 、B 、C 、E 在同一条直线上，点F 、A 、D 也在同一条直线上．求这棵大树没有折断前的高度．（参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.33）【难度】★★【答案】9.6m ．【解析】根据题意，得：AB ⊥EF ，DE ⊥ ∴∠ABC =90°，AB //DE ，∴△ABF ∽△DEF ，4946AB BF AB DE EF ∴==+，即 解得：AB =3.6米，cos AB BAC AC∠=Q 3.66cos530.6AB AC ∴=≈=︒米 ∴AB +AC =3.6+6=9.6米．答：这棵大树没有折断前的高度为9.6米．【总结】本题考察了锐角三角比在实际生活中的应用．A B 53° DA BC D E【作业8】（2013学年·虹口区一模·第22题）我国南水北调中线工程的起点是某水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的156米增加到173.2米，以抬高蓄水位．如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角69BAE∠=︒，新坝体的高为DE，背水坡坡角60DCE∠=︒．求工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AC．（参考数据：sin690.93︒≈，cos690.36︒≈，tan69 2.60︒≈3 1.732≈）【难度】★★【答案】40m．【解析】由题意，可得：BE=156（米），DE=173.2（米）在Rt△BEA中，∠BEA =90°, ∠BA E=69°∴tanBE BAEAE ∠=∴15615660tan tan69 2.60BEAEBAE==≈=∠（米）在Rt△DEC中，∠DEC =90°, ∠DCE=60°∴tanDE DCECE ∠=∴173.2100tan tan60DECEDCE===∠（米）∴AC=100-60=40（米）答：工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC为40米．【总结】本题考察了锐角三角比的应用，注意准确理解迎水坡和背水坡的概念．。
上海2020-2021学年初三数学一模考1-17题(锐角三角比+解直角三角形汇编)教师版
锐角三角比一、锐角三角比的定义如图，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，A B C∠∠∠、、所对的边分别记为a b c、、（1）把锐角A的对边与邻边的比叫做A∠的正切，记作：tan AtanA a AA b∠==∠的对边的邻边（2）把锐角A的邻边与对边的比叫做A∠的余切，记作：cot AcotA b AA a∠==∠的邻边的对边（3）把锐角A的对边与邻边的比叫做A∠的正弦，记作：sin AsinA a Ac ∠==的对边斜边（4）把锐角A的邻边与对边的比叫做A∠的余弦，记作：cos AcosA b Ac ∠==的邻边斜边二、特殊角的锐角三角比值（2021金山一模3）在ABC Rt ∆中， 90=∠C ，那么锐角A 的正弦等于（ ） （A ）的邻边锐角的对边锐角A A ；（B ）斜边的对边锐角A ；（C ）斜边的邻边锐角A ；（D ）的对边锐角的邻边锐角A A .【参考答案】B（2021虹口一模1）在△ABC 中，∠C =90°，如果BC =3，AC =4，那么tan A 的值是（ ）A ．34； B ．43； C ．35； D ．45． 【参考答案】A（2021宝山一模2） 在ABC △Rt 中，∠C =90°，AB =5，BC =3，那么A sin 的值为（ ）（A ）53；（B ）43； （C ）54； （D ）34. 【参考答案】A（2021崇明一模4）在△ABC 中，90C =︒∠，如果8AC =，6BC =，那么A ∠的正弦值为（ ） (A)35； (B)45；(C)34；(D)43．【参考答案】A（2021奉贤一模4）在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果AC =3，43=cos A ，那么AB 的长为（ ） （A ）49； （B ）4； （C ）5； （D ）425. 【参考答案】B（2021闵行一模2）已知在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，B β∠=，AB = 5，那么AC 的长为（ ） （A ）5cos β； （B ）5sin β； （C ）5cos β； （D ）5sin β． 【参考答案】B（2021崇明一模12）已知锐角△ABC 中，5AB =，7BC =，4sin 5B =，那么C =∠ 度． 【参考答案】45（2021金山一模4）若α是锐角，()2215sin =+α，那么锐角α等于（ ） （A ） 15； （B ） 30； （C ） 45； （D ） 60. 【参考答案】B（2021金山一模12）在ABC Rt ∆中， 90=∠C ，15=AB ，54in =A s ，那么=BC ． 【参考答案】12（2021普陀一模3）已知在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，3AB =，2BC =，那么tan B 的值等于（ ）（A ）23； （B ）； （C ； （D ． 【参考答案】C（2021浦东新区一模2）已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B=α，AC =2，那么AB 的长等于（ ） （A ）2sin α； （B ）2sin α； （C ）2cos α； （D ）2cos α．【参考答案】A（2021青浦一模3）在Rt △ABC 中，∠C =90º，那么cos A 等于（ ） （A ）BC AB； （B ）AC AB； （C ）BCAC； （D ）AC BC．【参考答案】B（2021青浦一模13）在△ABC 中，∠C =90º，如果cot ∠A=2，BC =3，那么AC = ． 【参考答案】6（2021松江一模10）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC=6，cos A =34，那么AB 的长为________．【参考答案】8（2021长宁一模1）已知在ABC ∆中，90C ∠=，50B ∠=，10AB =，那么BC 的长为（ ） （A ）10cos50； （B ）10sin 50； （C ）10tan50； （D ）10cot 50︒．【参考答案】A（2021闵行一模13）在直角坐标平面内有一点A （12，5），点A 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为θ，那么cos θ= ．【参考答案】1312 （2021嘉定一模2）在平面直角坐标系xOy 中，已知点,3P （1），点P 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为(090)αα︒<<︒，那么tan α的值是（ ）（A ）10； （B ）13； （C 10； （D ）3．【参考答案】D（2021静安一模5）如果锐角α，那么下列结论中正确的是（ ） （A ）︒=30α； （B ）︒=60α； （C ）︒<<︒4530α； （D ）︒<<︒6045α． 【参考答案】C（2021杨浦一模2）在△ABC 中，如果sin A =12，cot B ，那么这个三角形一定是（ ）（A ）等腰三角形； （B ）锐角三角形； （C ）钝角三角形；（D ）直角三角形. 【参考答案】D（2021松江一模2）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A=α，BC =2，那么AC 的长为（ ）（A ）2sin α；（B ）2cos α；（C ）2tan α；（D ）2cot α.【参考答案】D（2021徐汇一模2）在ABC Rt ∆中，︒=∠90A ，6=AB ，10=BC ，那么下列结论正确的是（ ） （A ）34tan =C ； （B ）54cot =C ；（C ）43sin =C ； （D ）54cos =C ． 【参考答案】D（2021浦东新区一模9）计算：2sin30tan 45-= ． 【参考答案】0（2021松江一模9）计算：sin30cot 60︒⋅︒=___________． 【参考答案】63（2021长宁一模9245sin 60︒︒+= ．【参考答案】47解直角三角形的类型与解法：知二求三，至少一边类型一︰已知一边一角（角为两锐角之一）=sinA ctanB=tanA=tanAcotB 类型二︰已知两边（两直角边或一条直角边与斜边）2b+a（2021黄浦一模12）已知点P 位于第二象限内，OP =5，且OP 与x 轴负半轴夹角的正切值为 2，则点P 的坐标是 ． 【参考答案】()52,5-（2021嘉定一模5）在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D .下列四个选项中，不正确的是（ ）（A ）2AC AB=； （B ）2BC CD=（C ）3BD CD=（D ）3BC AC=.【参考答案】B（2021黄浦一模11）在△ABC 中，AB =5，BC =8，∠B =60°，则△ABC 的面积是 ． 【参考答案】310（2021黄浦一模3）对于锐角α，下列等式中成立的是（ ） （A ）sin cos tan ααα=⋅； （B ）cos tan cot ααα=⋅；（C ）tan cot sin ααα=⋅；（D ）cot sin cos ααα=⋅．【参考答案】A（2021金山一模13）在ABC ∆中，5:2:1::=BC AC AB ，那么=B tan ． 【参考答案】2（2021宝山一模11）已知等腰梯形上底为5，高为4，底角的余弦值为53，那么其周长为______【参考答案】26（2021黄浦一模10）已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是133，则这个锐角的正切值为 ． 【参考答案】3（2021静安一模6）在Rt △ABC 中，∠C =90°，CD 是高，如果AB =m ，∠A =α, 那么CD 的长为_______（A ）sin tan m αα⋅⋅； （B ）sin cos m αα⋅⋅； （C ）cos tan m αα⋅⋅； （D ）cos cot m αα⋅⋅．【参考答案】B（2021徐汇一模14）如图，点P 在线段BC 上，BC AB ⊥，AP DP ⊥，DP CD ⊥，如果10=BC ，2=AB ，21tan =C ，那么DP 的长是_____．【参考答案】556（2021嘉定一模17）如图4，正方形ABEF和正方形BCDE的边长相等，点A、B、C 三个点在同一条直线上.联结AD BD、，那么cot ADB的值为．【参考答案】3（2021青浦一模16）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么∠BAC的正弦值为．CBA【参考答案】22（2021松江一模14）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正弦值为___ _____．【参考答案】55图4BA（2021虹口一模6）如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 是边AB 上一点，过D 作DF ⊥AB交边BC 于点E ，交AC 的延长线于点F ，联结AE ．如果1tan 3EAC ∠=，1CEF S =△，那么ABC S △的值是（ ）A ．3；B ．6；C ．9；D ．12．【参考答案】C（2021虹口一模17）如图5，图中提供了一种求cot15°的方法．作Rt △ABC ，使∠C=90°，∠ABC =30°，再延长CB 到点D ，使BD =BA ，联结AD ，即可得∠D =15°．如果设AC =t ，则可得(23)CD t =+，那么cot15°= cot D ==2+3CDAC．运用以上方法，可求得cot22.5°的值是 ．【参考答案】12+（2021普陀一模17）勾股定理是世界文明宝库中的一颗璀璨明珠，我国汉代数学家赵爽将四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形ABCD ，同时留下一个小正方形EFGH 的空隙（如图7），利用面积证明了勾股定理．如果小正方形EFGH 的面积是4，10sin GBC ∠，那么大正方形ABCD 的面积等于 ．【参考答案】10（2021徐汇一模16）《周髀算经》中的“赵爽弦图”（如图），图中的四个直角三角形都全等，如果正方形ABCD的面积是正方形EFGH面积的13倍，那么ABE∠的余切值是_____．【参考答案】23（2021杨浦一模16）如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AB=10，cot12B=，正方形DEFG的顶点G、F分别在边AC、BC上，点D、E在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长为 .【参考答案】720。
专题16 锐角的三角比(解析版)
专题16 锐角的三角比母题揭秘中考四大考点：1、锐角三角比的意义，特殊的锐角三角比的比值代数运算问题；2、解直角三角形，利用勾股定理和锐角三角比相互结合解直角三角形；3、实际问题：测量问题、航海问题、坡度问题、方案设计问题等；4、数学模型相互渗透问题：与四边形结合、与相似形结合、与圆结合、与函数结合等综合问题。
【母题来源1】（2020·上海中考真题）如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，△B=60°，点D在边BC上，CD=3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为____．【答案】2【解析】过E点作EH△BC于H，证明△ABD是等边三角形，进而求得△ADC=120°，再由折叠得到△ADE=△ADC=120°，进而求出△HDE=60°，最后在Rt△HED中使用三角函数即可求出HE的长．解：如图，过点E作EH△BC于H，△BC =7，CD =3，△BD =BC -CD =4，△AB =4=BD ，△B =60°，△△ABD 是等边三角形，△△ADB =60°，△△ADC =△ADE =120°，△△EDH =60°，△EH △BC ，△△EHD =90°．△DE =DC =3，△EH =DE ×sin△HDE=3×2=2，△E 到直线BD 的距离为2． 【母题来源2】（2018·上海中考真题）如图，已知△ABC 中，AB=BC=5△tan△ABC=34△ △1）求边AC 的长；△2）设边BC 的垂直平分线与边AB 的交点为D ，求AD DB的值．【答案】△△2△35 ADBD=△【解析】（1）过A作AE△BC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；△2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求．解：△1△如图，过点A作AE△BC△在Rt△ABE中，tan△ABC=34AEBE=△AB=5△△AE=3△BE=4△△CE=BC△BE=5△4=1△在Rt△AEC中，根据勾股定理得：△△2△△DF垂直平分BC△△BD=CD△BF=CF=5 2△△tan△DBF=34 DFBF=△△DF=15 8△在Rt△BFD中，根据勾股定理得：25 8△△AD=5△258=158△则35 ADBD△【母题来源3】（2017·上海中考真题）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6=____．【答案】【解析】解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．易知BE是正六边形最长的对角线，EC的正六边形的最短的对角线，△△OBC是等边三角形△△OBC=△OCB=△BOC=60°，△OE=OC△△OEC=△OCE，△△BOC=△OEC+△OCE△△OEC=△OCE=30°△△BCE=90°，△△BEC是直角三角形△=cos30°=，△λ6=.考点一、锐角三角比的概念如图所示，在Rt△ABC中，△C＝90°，△A所对的边BC记为a，叫做△A的对边，也叫做△B的邻边，△B所对的边AC记为b，叫做△B的对边，也是△A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A的对边与斜边的比叫做△A的正弦，记作sinA，即sinA aAc∠==的对边斜边；锐角A的邻边与斜边的比叫做△A的余弦，记作cosA，即cosA bAc∠==的邻边斜边；锐角A的对边与邻边的比叫做△A的正切，记作tanA，即tanA aAA b∠==∠的对边的邻边；同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．知识要点：(1)锐角的正弦、余弦、正切是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角比值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角比的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角比的比值利用锐角三角比的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角比的比值，归纳如下：知识要点：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角比的比值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角比的比值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角比之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．【母题来源4】（2018·上海中考真题）如图，已知△ABC中，AB=BC=5△tan△ABC=3 4△△1）求边AC的长；△2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求ADDB的值．【答案】△1△AC=10△△2△35 ADBD△【解析】（1）过A作AE△BC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求．解：△1△如图，过点A作AE△BC△在Rt△ABE中，tan△ABC=34AEBE=△AB=5△△AE=3△BE=4△△CE=BC△BE=5△4=1△在Rt△AEC中，根据勾股定理得：△△2△△DF垂直平分BC△△BD=CD△BF=CF=5 2△△tan△DBF=34 DFBF=△△DF=15 8△在Rt△BFD中，根据勾股定理得：25 8△△AD=5△258=158△则35 ADBD=△【母题来源5】（2019·上海中考真题）如图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD'E'的位置（如图2所示）.已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米.（1）求点D'到BC的距离；（2）求E、E'两点的距离.【答案】（1）点D'到BC的距离是（70）厘米；（2）E、E’两点的距离是厘米。
锐角的三角比(考题猜想,易错必刷40题7种题型专项训练)(学生版) 2025学年九年级数学上学期期中
专题02锐角的三角比（考题猜想，易错必刷40题7种题型专项训练）锐角三角函数的定义 特殊角的三角函数值解直角三角形 解直角三角形的应用解直角三角形的应用-坡度坡角问题 有理数大小比较解直角三角形的应用-方向角问题一．锐角三角函数的定义（共2小题）1．（2024•闵行区）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AB =，2AC =，那么cos A 的值是()A ．13B ．23C ．D 2．（2023•松江区一模）已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC =，3BC =，那么下列结论正确的是()A ．2tan 3A =B ．2cot 3A =C ．2sin 3A =D ．2cos 3A =二．特殊角的三角函数值（共7小题）3．（2023秋•宝山区期中）tan 45︒的值等于()A ．2B ．1CD 4．（2024•崇明区）计算：2sin 60cos 45cos303tan 30︒︒-+︒︒．5．（2023秋•金山区期末）计算：2sin 451cot 60cos30tan 45︒-+︒⋅︒︒．6．（2023秋•闵行区期中）计算：cos 45tan 60cot 451sin 30︒-︒-︒-︒．7．（2023秋•黄浦区校级期中）计算：2tan 452cos 45sin 60cot 30︒-+︒︒⋅︒．8．（2023秋•长宁区校级期中）计算：tan 452|1sin 60|cot 302cos 45︒-︒+︒-︒．9．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：sin 45cos30sin 30(cos 45sin 60)32cos 60︒+︒-︒︒-︒-︒三．解直角三角形（共4小题）10．（2023秋•长宁区校级月考）已知点(1,2)A 在平面直角坐标系xOy 中，射线OA 与x 轴正半轴的夹角为α，那么cos α的值为．11．（2022秋•嘉定区校级期末）已知在DEF ∆中，12DE DF ==，10EF =，那么cos E =．12．（2022秋•金山区校级期末）如图，在ABC ∆中，1sin 4B =，1tan 2C =，4AB =，则AC 的长为．13．（2022秋•奉贤区期中）已知：如图，在ABC ∆中，15AB AC ==，4tan 3A =．求：（1）ABC S ∆；（2）B ∠的余弦值．四．解直角三角形的应用（共4小题）14．（2022•徐汇区模拟）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX 观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33︒到40︒之间时（如图1)，双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC 的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m ，参考数据：sin 330.54︒≈，tan 330.65︒≈，sin 400.64︒≈，tan 400.84︒≈，sin16.50.28︒≈，tan16.50.30︒≈，sin 200.34︒≈，tan 200.36)︒≈（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？15．（2022•长宁区模拟）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29︒（参考数据：sin290.48︒≈；︒≈cos290.87︒≈；tan290.55)（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）16．（2023秋•静安区期中）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚10OA OB==分米，晾衣臂支架6HG FE==∠=︒，晾衣臂10CODOC OD==分米，展开角60分米，且4≈==分米． 1.73)HO FO（1）当90∠=︒时，求点A离地面的距离AM约为多少分米；（结果精确到0.1)AOC（2）当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，求''-为多少分米．B E BE17．（2022•崇明区二模）为解决群众“健身去哪儿”问题，某区2021年新建、改建90个市民益智健身苑点，图1是某益智健身苑点中的“侧摆器”．锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动．（1）如图2是侧摆器的抽象图，已知摆臂OA的长度为80厘米，在侧摆运动过程中，点A为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点B为踏板中心在侧摆运动过程中的最高点位置，25BOA∠=︒，求踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差．（精确到0.1厘米）(sin250.423︒≈，cos250.906︒≈，tan250.466)︒≈（2）小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗400大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了100大卡，结果比原计划提早12分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共5小题）18．（2024•南岗区校级一模）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为()A．5cosαB．5cosαC．5sinαD．5sinα19．（2022秋•黄浦区期末）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB 的坡度为．20．（2023秋•杨浦区期末）小华沿着坡度1:3i =的斜坡向上行走了米，那么他距离地面的垂直高度上升了米．21．（2023•普陀区二模）如图，斜坡AB 的坡度1i =AH 的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡AC 的坡度21:2.4i =，已知斜坡10AB =米，那么斜坡AC =米．22．（2022秋•静安区校级期末）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至1B 层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与1B 层平行，层高AD 为9米，A 、B 间的距离为6米，20ACD ∠=︒．（1）请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在B 处会不会碰到头？请说明理由．（2）若采取中段平台设计（如图虚线所示）．已知平台//EF DC ，且AE 段和FC 段的坡度1:2i =，求平台EF 的长度．【参考数据：sin 200.34︒≈，cos 200.94︒≈，tan 200.36︒≈】六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共16小题）23．（2023秋•嘉定区期末）一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为30︒，此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是()A．6000米B．12000米C．60003米D．120003米24．（2023•崇明区一模）飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标A点的俯角为α，那么此时飞机与目标A点的距离为千米．（用α的式子表示）25．（2024•徐汇区校级三模）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60︒，6BC m=，则旗杆AC的高度为m．26．（2023秋•松江区期末）如图，A处有一垂直于地面的标杆AM，热气球沿着与AM的夹角为15︒的方向升空，到达B处，这时在A处的正东方向200米的C处测得B的仰角为30(AM︒、B、C在同一平面内）．求≈A、B之间的距离．（结果精确到1米，2 1.414)27．（2022秋•闵行区期末）2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度10.6BD=米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A处测得飞船底部D处的仰角45︒，顶部B处的仰角为53︒，求此时观测点A到发射塔CD的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin530.80︒≈，︒≈，cos530.60︒≈tan53 1.33)28．（2022秋•闵行区期中）如图，在电线杆上的C处引拉线CE和CF固定电线杆．在离电线杆6米的B处安置测角仪（点B、E、D在同一直线上），在点A处测得电线杆上C处的仰角为30︒．已知测角仪的高AB 3米，拉线CE的长为6米，求测角仪底端（点)B与拉线固定点（E）之间的距离．29．（2024•上海模拟）如图，某处有一座塔AB，塔的正前方有一平台DE，平台的高5DG=米，斜坡CD 的坡度5:12i=，点A，C，G，F在同一条水平直线上．某数学兴趣小组为测量该塔的高度，在斜坡C处测得塔顶部B的仰角为54.5︒，在斜坡D处测得塔顶部B的仰角为26.7︒，求塔高AB．（精确到0.1米）（参考数据：tan54.5 1.40︒≈︒≈，sin26.70.45︒≈，cos26.70.89)︒≈，tan26.70.50︒≈，sin54.50.81︒≈，cos54.50.5830．（2024•崇明区）如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡BM的坡度1:3BN，i=，在坡面D处有一棵树AD（假设树AD垂直水平线)在坡底B处测得树梢A的仰角为45︒，沿坡面BM方向前行30米到达C处，测得树梢A的仰角ACQ∠为60︒．（点B、C、D在一直线上）（1）求A、C两点的距离；（2）求树AD的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：3 1.732)≈31．（2023秋•黄浦区期末）在世纪公园的小山坡上有一棵松树，初三（3）班的雏鹰小队带着工具对这棵松树进行测量，并试图利用所学的数学知识与方法推算出这棵松树的高度．他们选好位置架设测角仪先测出了这棵松树的根部与顶端的仰角，并绘制了如下示意图：测角仪为MN ，树根部为B 、树顶端为A ，其中1.5MN m =，视线MB 的仰角为α（已知1tan )6α=，视线MA 的仰角为β（已知3tan )4β=．（1）测得这两个数据后，小明说：“我可以算出这棵松树的高度了．”小聪接着说：“不对吧，只知道这两个角度，这个示意图显然是可以进行放大或缩小的，高度一定是确定不了的．如果还能测出测角仪到松树的垂直距离，即图示中NH 的长度，就可以了．”设NH a =，请你用含有a 的代数式表示松树()AB 的高度．（2）小明又反问道：“虽然我们带了尺，是一把刻度精确到1分米，长为2米的直尺，但也没有办法量出NH 的长度，我们总不能把坡给挖平了吧？”请你想一个测量办法，利用现有的工具，测量出有关数据（数据可以用字母常数表示），并用含有这些字母常数的表达式表示出松树()AB 的高度．32．（2023秋•长宁区期末）小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．测量方法：如图2，人眼在P点观察所测物体最高点C，量角器零刻度线上A、B两点均在视线PC上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O．当铅锤静止时，测得视线PC与铅垂线OD所夹的角为α，且此时的仰角为β．实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼EF的高度．他先站在水平地面的点H处，视线为GE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60︒；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点R处，视线为QE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45︒．问题解决：（1）请用含α的代数式表示仰角β；（2）如果GH、QR、EF在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼EF的高度．（结果保留根号）33．（2023秋•静安区期末）如图，某建筑物AB 高为200米，某人乘热气球来到距地面400米的C 处（即CE 长为400米）．此时测得建筑物顶部A 的俯角为α，当乘坐的热气球垂直上升到达D 处后，再次测得建筑物顶部A 的俯角为β．(tan 1.25,tan 1.75)αβ==（1）请在图中标出俯角α、β，并用计算器求α、β的大小：α≈，β≈；（精确到“1”)（2）求热气球上升的垂直高度（即CD 的长）．34．（2023秋•嘉定区期末）如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔CD ．小山斜坡AB 的坡度为1:2.4i =，坡长AB 为39米，在小山的坡底A 处测得该塔的塔顶C 的仰角为45︒，在坡顶B 处测得该塔的塔顶C 的仰角为74︒．（1）求坡顶B 到地面AH 的距离BH 的长；（2）求古塔CD 的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin 740.96︒≈，cos 740.28︒≈，tan 74 3.49)︒≈35．（2022秋•嘉定区期末）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．如图2，为测量海岛上一座山峰AH 的高度，直立两根高2米的标杆BC 和DE ，两杆间距BD 相距6米，D 、B 、H 三点共线．从点B 处退行到点F ，观察山顶A ，发现A 、C 、F 三点共线，且仰角为45︒；从点D 处退行到点G ，观察山顶A ，发现A 、E 、G 三点共线，且仰角为30︒．（点F 、G 都在直线HB 上）（1）求FG 的长（结果保留根号）；（2）山峰高度AH 的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：2 1.41≈，3 1.73)≈36．（2023秋•青浦区期末）北淀浦河上的浦仓路桥是一座融合江南水乡文化气息的现代空间钢结构人行廊桥．某校九年级数学兴趣小组开展了测量“浦仓路桥顶部到水面的距离”的实践活动，他们的操作方法如下：如图，在河的一侧选取B 、C 两点，在B 处测得浦仓路桥顶部点A 的仰角为22︒，再往浦仓路桥桥顶所在的方向前进17米至C 处，在C 处测得点A 的仰角为37︒，在D 处测得地面BD 到水面EF 的距离DE 为1.2米（点B 、C 、D 在一条直线上，//BD EF ，DE EF ⊥，)AF EF ⊥，求浦仓路桥顶部A 到水面的距离AF ．（精确到0.1米）（参考数据：sin 220.37︒≈，cos 220.93︒≈，tan 220.40︒≈，sin 370.60︒≈，cos 370.80︒≈，tan 370.75)︒≈37．（2023•长宁区二模）为了测量某建筑物的高度BE ，从与建筑物底端B 在同一水平线的点A 出发，沿着坡比为1:2.4i =的斜坡行走一段路程至坡顶D 处，此时测得建筑物顶端E 的仰角为30︒，再从D 处沿水平方向继续行走100米后至点C 处，此时测得建筑物顶端E 的仰角为60︒，建筑物底端B 的俯角为45︒，如图，已知点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，求建筑物BE 的高度与AD 的长．（参考数据：3 1.732)≈38．（2023秋•静安区校级期中）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，AB 是灯杆，CD 是灯管支架，灯管支架CD 与灯杆间的夹角60BDC ∠=︒．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD 的长度，他们在地面的点E 处测得灯管支架底部D 的仰角为60︒，在点F 处测得灯管支架顶部C 的仰角为30︒，测得3AE m =，8(EF m A =，E ，F 在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：（1）求灯管支架底部距地面高度AD 的长（结果保留根号）；（2）求灯管支架CD 的长度（结果精确到0.1m ，参考数据：3 1.73)≈．七．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）39．（2023秋•青浦区校级月考）如图，某湖心岛上有一亭子A，在亭子A的正东方向上的湖边有一棵树B，在这个湖心岛的湖边C处测得亭子A在北偏西45︒方向上，测得树B在北偏东36︒方向上，又测得B、C之间的距离等于200米，求A、B之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：2 1.414︒≈≈，sin360.588︒≈，cot36 1.376)︒≈，cos360.809︒≈，tan360.72740．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在北偏西45︒方向上，测得A在北偏东30︒方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是米（结果保留根号形式）．。
初三锐角三角形比的练习题
初三锐角三角形比的练习题解析锐角三角形比的练习题锐角三角形是指其中所有角都小于90度的三角形。
在初中数学中，我们常常会遇到锐角三角形比的练习题，通过解答这些练习题，我们可以加深对锐角三角形特性和性质的理解。
下面，本文将为大家提供一些典型的锐角三角形比的练习题，并给出详细的解析过程。
1. 题目描述：已知锐角三角形ABC，角A的度数比角B的度数大30度，角A的度数是角C的度数的2倍。
求角A的度数。
解析过程：设角A的度数为x，则角B的度数为x-30度，角C的度数为1/2x。
由于是锐角三角形，所以三个角的度数之和为180度。
根据以上条件可得方程：x + (x - 30) + (1/2x) = 180将方程化简并整理得：5/2x - 30 = 1805/2x = 210x = 420/5x = 84所以，角A的度数为84度。
2. 题目描述：已知锐角三角形PQR，角P的度数是角R的度数的3倍，角Q的度数是角R的度数的2倍，求角Q的度数。
解析过程：设角R的度数为x，则角P的度数为3x，角Q的度数为2x。
根据锐角三角形性质，三个角的度数之和为180度。
根据以上条件可得方程：3x + 2x + x = 1806x = 180x = 180/6x = 30所以，角R的度数为30度，角Q的度数为2x = 2*30 = 60度。
3. 题目描述：已知锐角三角形XYZ，角X的度数是角Y的度数的5倍，角Z的度数是角Y的度数的4倍。
求角Z的度数。
解析过程：设角Y的度数为x，则角X的度数为5x，角Z的度数为4x。
根据锐角三角形性质，三个角的度数之和为180度。
根据以上条件可得方程：5x + x + 4x = 18010x = 180x = 180/10x = 18所以，角Z的度数为4x = 4*18 = 72度。
通过以上三个典型的锐角三角形比的练习题，我们可以看到解决这类问题的一般思路是设定一个未知数表示某个角的度数，并根据已知条件建立方程。
上海市中考数学一模汇编——锐角三角比 解直角三角形Ⅰ(学生版)
【例1】（徐汇2012一模19）（本题满分10分）
计算： ．
【正确答案】
解：原式= （7分）
【难度等级】中．
（宝山2012一模16）如图，已知梯形 中， ∥ ， ⊥ ,且 ⊥ ，若 ， ，那么∠ 的正弦值为．
【正确答案】 ．
【难度等级】中+．
（嘉定2012一模18）如图，已知△ ，点 在边 上， ， ， ，则 的值是．
【正确答案】 ．
【难度等级】中+．
（静闵杨松崇2012一模18）将等腰△ 绕着底边 的中点 旋转30°后，如果点 恰好落在原△
【正确答案】 ．
【难度等级】中．
（普陀2012一模1）在锐角三角形 中，如果各边长都扩大2倍，那么∠ 的余弦值（）
．扩大2倍； ．缩小2倍； ．大小不变； ．不能确定．
【正确答案】 ．
【难度等级】易.
（嘉定2012一模12）在 △ 中，∠ °， ，则 的值为．
【正确答案】
【难度等级】易.
（闸北2012一模4）在 △ 中， ， ， 是斜边 上的高，那么（）
已知：如图，在△ 中， ， ，∠ =60°．求：
（1）△ 的面积；
（2）∠ 的余弦值．
【正确答案】
解：（1）作 ，垂足为 ．
在 △ 中，∠ ，∠ ， ，
∴ ， ．（2分，2分）
∴ ．（1分）
解：（2）∵ ， ，
∴ ．（1分）
在 △ 中,
∵ , ，
∴ ．（2分）
∴ ．（2分）
【题型二】30°、45°、60°角的三角比值
【正确答案】 .
【测量目标】基础知识和基本技能：掌握“图形与几何”中的相关知识.
【考查内容】图形与几何/锐角三角的比/（锐角的正弦、余弦、正切、余切）的概念，30°、45°、60°角的三角比的值；图形与几何/直角三角形的性质、勾股定理及其逆定理.
上海市中考数学一模汇编——锐角三角比 解直角三角形Ⅰ(教师版)
【考点精练二·解直角三角形及其应用】
【考试内容水平层次】探究性理解水平（Ⅲ）
【题型一】解直角三角形
【典型例题】
【例1】（徐汇2012一模1）在 △ 中， ， ， ，那么 的长是（）
． ； ． ； ． ； ． ．
【例2】（金山2012一模21）（本题满分10分）
如图，在四边形 中， =120°， ∥ ， ， ， ．
．30°； ．45°； ．60°； ．90°．
（长宁2012一模2）已知 为锐角，且 ，则 （）
． ； ． ； ． ； ． ．
（虹口2012一模11）己知： ,则锐角 ．
（浦东2012一模14）在 △ 中，∠ ， ， ，则∠ ．
（静闵杨松崇2012一模14）已知在△ 中， ， ，那么∠ =度．
（闸北2012一模12）计算： ．
（青浦2012一模14）计算： ．
（普陀2012一模7）计算： =．
（卢黄2012一模8）计算： ．
（金山2012一模8）计算： ．
（浦东2012一模19）（本题满分10分）
求值： （结果保留根号）.
（长宁2912一模19）计算 ．
（嘉定2012一模19）（本题满分10分）
计算： ．
（虹口2012一模19）（本题满分10分）
长宁
嘉定
金山
黄浦
卢湾
闸北
青浦
浦东
虹口
奉贤
92
5
2
2
1
2
4
2
4
3
4
3
3
93
3
5
2
3
3
3
4
3
4
3
3
3
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第二十五章 锐角三角比（P59-P82）1． 内容目录第一节：锐角的三角比（Ⅱ）25.1 锐角的三角比的意义； 25.2 求锐角的三角比的值。
第二节：解直角三角形（Ⅲ）25.3 解直角三角形； 25.4 解直角三角形的应用。
2．中考考纲要求（1）理解锐角三角比的概念。
（2）会求特殊锐角（30°、45°、60°）的三角比的值。
（3）会用计算器求锐角的三角比的值；能根据锐角三角比的值，利用计算器求锐角的大小。
（4）会解直角三角形。
（5）理解仰角、俯角、坡度、坡角等概念，并能解决有关的实际问题。
3．重点和难点 重点是应用锐角三角比的意义及运用解直角三角形的方法进行有关几何计算。
难点是解直角三角形的应用。
4．知识结构框架图表5. 知识点1、 锐角的三角比（1） 定义：在直角三角形ABC 中，A 为一锐角，则∠A 的正弦=A a sin A=c∠的对边，即斜边∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tanA=A b∠的对边，即∠的邻边∠A 的余切=A a =A b∠的邻边，即cotA ∠的对边注：三角函数值是一个比值．定义的前提是有一个角为直角，故如果题目中无直角条件时，应设法构造一个直角。
若A ∠为一锐角，则sinA,cosA,tanA,cotA 的取值范分别是：0sinA<1,0<cosA<1,tanA>0,cotA>0<。
同一个锐角的正切和余切值互为倒数，即：1tanA cotA=1tanA=cot A或2、 特殊锐角的三角比的值（1） 特殊锐角（30°，45°，60°）的三角比的值（2） 同角，互余的两角多的三角比之间的关系：倒数关系：1tanA=cot A平方关系：22sin A+cos A=1 积商关系：sin cos tanA=,cot cos sin A A A AA=余角和余函数的关系：如果090A B ∠+∠=，那么sinA=cosB, tanA=cotB （正弦和余弦，正切和余切被称为余函数关系）。
注意：求锐角三角比的值问题（1） 在直角三角形中，给定两边求锐角的三角比，关键是搞清某锐角的“对边”“邻边”，掌握三角比的定义。
（2） 给出锐角的度数，求这个锐角的三角比特殊锐角，一般情况下，使用精确值；在实际应用中，根据问题要求处理。
求非特殊锐角的三角比的值，使用计算器或查表求值。
（3） 当锐角不是直角三角形的内角，首先观察有否相等的锐角可代换，而且可代换的锐角含在某直角三角形中，如果没有可代换的相等的锐角，可作适当的垂线构建含有这个锐角的直角三角形。
3、 解直角三角形（1） 在直角三角形中，除直角外，还有5个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知两个元素（其中至少含有一条边），求出其他所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
（2） 解直角三角形常用到的关系：锐角关系：090A B ∠+∠=， 三边关系：勾股定理：222ab c+=边角关系：sinA=,cos ,tan ,cot sinB=,cos ,tan ,cot a b a b A A A cc b a b a b a B B B c cab⎧===⎪⎪⎨⎪===⎪⎩直角三角形的面积：111sin 222S ch ab ab C ∆===（3） 当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形，再求解。
（4） 解直角三角形的类型有：已知两条边；已知一条边和一个锐角。
（5） 解法分类：已知斜边和一个锐角解直角三角形；已知一条直角边和一个锐角解直角三角形； 已知两边解直角三角形．注意：解直角三角形的方法：可概括为“有弦（斜边）则弦（正弦，余弦），无弦用切，宁乘勿除，取原避中”。
这几句话的含义是：当已知条件中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边时，则用正切或余切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则尽量用乘法，避免用除法；既可以用已知的原始数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，避免用中间数据后引起连锁错误或较大误差。
4、 解直角三角形的应用（1） 仰角和俯角 视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角。
（2） 坡角和坡度 坡面与水平面的夹角叫做坡角。
坡面的铅直高度h 与水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），用i 标志，即i=h:l,通常坡度要写成1:m 的形式，坡角的正切是坡面的坡度。
（3） 方向角 一般以观测者的位置为中心将正北或正南方向为始边旋转到目标的方向线所成的锐角。
6. 考点分析7．题型归类讲练例1已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，那么下列各式中，正确的是 A 、2sin 3B =B 、2cos 3B =C 、2tan 3B =D 、2cot 3B =【考点要求】本题考查锐角三角函数的概念。
【思路点拨】根据题目所给条件，可画出直角三角形，结合图形容易判断23是∠B 的正切值。
【答案】选C 。
【方法点拨】部分学生会直接凭想象判断并选择结果，从而容易导致错误。
突破方法：这类题目本身难度不大，但却容易出现错误，关键是要画出图形，结合图形进行判断更具直观性，可减少错误的发生。
例2某山路坡面坡度1:i =某人沿此山路向上前进200米,那么他在原来基础上升高了__________米．【考点要求】本是考查坡度与坡角正切值关系。
【思路点拨】坡度1:i =，所以坡角的正弦值可求得等于120，所以沿着山路前进200米，则升高200×120=10（米）。
【答案】填10。
【方法点拨】少数学生因为未能正确理解坡度的意义，而出现使用错误。
突破方法：牢记坡度1:i =坡角的邻边然后再结合直角三角形，可求出坡角的正弦值，从而容易求得结果。
例3如图8-1，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在BC 上，BD ＝4，AD ＝BC ，cos ∠ADC=35．求：（1）DC 的长；（2）sinB 的值．【考点要求】本题考查锐三角比概念的相关知识及其简单运用。
【思路点拨】（1）∵在Rt △ABC 中，cos ∠ADC ＝35＝C D A D，设CD ＝3k ，∴AD ＝5k又∵BC ＝AD ，∴3k+4＝5k ，∴k ＝2． ∴CD ＝3k ＝6（2）∵BC ＝3k ＋4＝6＋4＝10，AC4k ＝8∴AB==∴sinB=41AC AB==【答案】（1）CD ＝6；（2）sinB=41。
【方法点拨】本题的关键是抓住“AD ＝BC ”这一相等的关系，应用锐角三角函数的定义及勾股定理解题．图8-1例4如图所示，秋千链子的长度为3m ，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m ．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为︒53，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？(参考数据：︒53sin ≈0.8,︒53cos ≈0.6)【考点要求】本题考查利用锐角三角比概念和解直角三角形解决实际生活中的直角三角形问题．【思路点拨】设秋千链子的上端固定于A 处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处．过点A ，B 的铅垂线分别为AD ，BE ，点D ，E 在地面上，过B 作BC ⊥AD 于点C ．在Rt ABC ∆中，∵3=AB ，︒=∠53CAB ，∴ AC =︒53cos 3≈6.03⨯=1.8（m ）． ∴ CD ≈7.18.15.03=-+（m ）． ∴ CD BE =≈7.1（m ）．【答案】秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为7.1m ．【方法点拨】部分学生想直接求出踏板离地最高的距离即BE ，但却缺少条件。
突破方法：通过作辅助线，将BE 转化到CD 位置上，根据题目所给条件容易求出AC ，从而可求得CD 的长。
解题关键：利用解直角三角形求解实际问题的关键在于构造适当的直角三角形。
0.5m 图8-3-1图8-3-2例5如图8-5，一条渔船某时刻在位置A 观测灯塔B 、C(灯塔B 距离A 处较近)，两个灯塔恰好在北偏东65°45′的方向上，渔船向正东方向航行l 小时45分钟之后到达D 点，观测到灯塔B 恰好在正北方向上，已知两个灯塔之间的距离是12海里，渔船的速度是16海里／时，又知在灯塔C 周围18.6海里内有暗礁，问这条渔船按原来的方向继续航行，有没有触礁的危险?【考点要求】本题考查解直角三角形在航海问题中的运用，解决这类问题的关键在于构造相关的直角三角形帮助解题．【思路点拨】在Rt △ABD 中，716284AD =⨯=（海里），∠BAD=90°-65°45′=24°15′.∵cos24°15′=A D A B， ∴2830.71cos 24150.9118AD AB ==≈'︒(海里).AC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里).在Rt △ACE 中，sin24°15′=C E A C，∴CE=AC·sin24°15′=42.71×0.4107=17.54(海里).∵17.54＜18.6，∴有触礁危险。
【答案】有触礁危险，不能继续航行。
【方法点拨】本题有两个难点，一是要能将实际问题抽象为数学问题，二是构造合适的直角形。
突破方法：有无触礁危险，关键看离灯塔C 最近的距离与18.6的大小关系，如果最近的距离大于18.6，则不会有触礁危险。
解题关键：离灯塔最近的距离是从灯塔向航线作垂线段。
图8-4EAC BD北东例6某数学兴趣小组，利用树影测量树高．已测出树AB 的影长AC 为9米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．（1）求出树高AB ；（2）因水土流失，此时树AB 沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）【考点要求】本题考查解直角三角形在测量中的实际运用． 【思路点拨】（1）在Rt △A BC 中，∠BAC ＝90°，∠C ＝30° ∵tanC ＝A B A C∴AB ＝AC·tanC ＝9×3≈5.2（米）（2）以点A 为圆心，以AB 为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，点D 为切点，DE ⊥AD 交AC 于E 点，（如图2）在Rt △ADE 中，∠ADE ＝90°，∠E ＝30°， ∴AE ＝2AD ＝2×5.2＝10.4（米）【答案】树高AB 约为5.2米，树影有最长值，最长值约为10.4米。