公开课4平行四边形的存在性问题解题策略.
平行四边形存在性问题
平行四边形存在性问题以函数为背景的平行四边形存在性问题是近年来各地中考的热点,其图形复杂,不确定因素较多,解题有一定的难度.因此对此类问题建立解题模型,则可以大大降低学生思维难度.模型原理对角线互相平分的四边形是平行四边形.模型工具是线段的中点坐标公式和平行四边型的顶点坐标公式，再利用方程建立等式求解。
1、线段的中点坐标公式平面直角坐标系中，点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2）则线段AB的中点坐标为2、平行四边形的顶点坐标公式平行四边形的对角线顶点的横坐标、纵坐标之和相等。
平行四边形ABCD的顶点分别为A（xA，yA）B（xB，yB）C（xC，yC）D（xD，yD）则有 xA+xC=xB+xD，yA+yC=yB+yD题型一：已知三点坐标求第四点坐标（三定一动）例1：已知A（-1,2），B（2,3），C（1,0）求点D的坐标，使点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形。
设D的坐标为（x，y）题型二：已知两点坐标求其余两点坐标（二定二动）例2：已知A（1,2），B（2,-3），点C在x轴上，点D在直线y=2x-1的图象上，求点D的坐标，使点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形。
设C的坐标为（m，0）D的坐标为（n，2n-1）思路点拨1．第（2）题求∠ABO的正切值，要构造包含锐角∠ABO的角直角三角形．2．第（3）题解方程MN＝yM－yN＝BC，并且检验x的值是否在对称轴左侧．满分解答（1）将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得当四边形MNCB是平行四边形时，MN＝BC＝3．解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3．因为x＝3在对称轴的右侧，所以符合题意的点M的坐标为考点伸展第（3）题如果改为：点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．那么求点M的坐标要考虑两种情况：MN＝yM－yN或MN＝yN－yM．图5例题：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．思路点拨1．菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在∠ABC的平分线上，PQ//AB．先求出点P运动的时间t，再根据PQ//AB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度．2．探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径．满分解答（1）QB＝8－2t，．（2）作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．（3）以C为原点建立直角坐标系．当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)．当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)．考点伸展第（3）题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当t＝2时，PQ的中点为(2，2)．设点M的运动路径的解析式为y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，得解得a＝0，b＝－2，c＝6．所以点M的运动路径的解析式为y＝－2x＋6．平行四边形的存在性问题解题策略1、根据题意设其中一个点或二个点的坐标2、先利用其中三个点构造一个三角形，分别以三角形的三边为对角线，用平行四边形顶点坐标公式表示第四个点的坐标，代入到经过第四个点的函数解析式中得到方程求解；或者利用平行四边形顶点坐标公式建立方程组求解。
(完整版)压轴题解题策略：平行四边形的存在性问题
中考数学压轴题解题策略平行四边形的存在性问题解题策略2015年9月13日星期日专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．例题解析例❶如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．图1-1【解析】P、A、C三点是确定的，过△P AC的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D（如图1-2）．由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得A(－3,0)，C(0, 3)，P(－1, 4)．由于A(－3,0)33右，上D1(2, 7)．右，上C(0, 3)，所以P(－1, 4)33由于C(0, 3)33下，左D2(－4, 1)．下，左A(－3,0)，所以P(－1, 4)33由于P(－1, 4)11右，下C(0, 3)，所以A(－3,0)11右，下D3(－2, －1)．我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．图1-2例❷如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．图2-1【解析】在P、M、A、B四个点中，A、B是确定的，以AB为分类标准．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．①如图2-2，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P 关于AB的中点（1,0）对称，所以点M的横坐标为2．此时M(2，3)．②如图2-3，图2-4，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4．所以点M的横坐标为4或－4．所以M (4,－5)或(－4,－21)．我们看到，因为点P的横坐标是确定的，在解图2-2时，根据对称性先确定了点M的横坐标；在解图2-3和图2-4时，根据平移先确定了点M的横坐标．图2-2 图2-3 图2-4 例❸如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形．图3-1【解析】由y ＝－x ＋4，得A (4, 0)，直线AB 与坐标轴的夹角为45°．在O 、A 、C 、D 四个点中，O 、A 是确定的，以线段OA 为分类标准．如图3-2，如果OA 是菱形的对角线，那么点C 在OA 的垂直平分线上，点C (2,2)关于OA 的对称点D 的坐标为(2,－2)．如果OA 是菱形的边，那么又存在两种情况：如图3-3，以O 为圆心，OA 为半径的圆与直线AB 的交点恰好为点B (0, 4)，那么正方形AOCD 的顶点D 的坐标为(4, 4)．如图3-4，以A 为圆心，AO 为半径的圆与直线AB 有两个交点C (422,22)-和C ′(422,22)+-，点C 和C ′向左平移4个单位得到点D (22,22)-和D ′(22,22)-．图3-2 图3-3 图3-4例❹ 如图4-1，已知抛物线241633y x x =+与x 轴的负半轴交于点C ，点E 的坐标为(0,－3)，点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图4-1【解析】C (－4,0)、E (0,－3)两点是确定的，点N 的横坐标－2也是确定的．以CE 为分类标准，分两种情况讨论平行四边形：①如图4-2，当CE 为平行四边形的边时，由于C 、E 两点间的水平距离为4，所以M 、N 两点间的水平距离也为4，因此点M 的横坐标为－6或2．将x ＝－6和x ＝2分别代入抛物线的解析式，得M (－6,16)或(2, 16)．②如图4-3，当CE 为平行四边形的对角线时，M 为抛物线的顶点，所以M 16(2,)3--．图4-2 图4-3例❺如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），点D是第四象限内抛物线上的一点，直线AD与y轴负半轴交于点C，且CD＝4AC．设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．图5-1【解析】由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)．由CD＝4AC，得x D＝4．所以D(4, 5a)．已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，x P＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：①如图5-2，如果AD为矩形的边，我们根据AD//QP，AD＝QP来两次平移坐标．由于A、D两点间的水平距离为5，所以点Q的横坐标为－4．所以Q(－4,21a)．由于A、D两点间的竖直距离为－5a，所以点P的纵坐标为26a．所以P(1, 26a)．根据矩形的对角线相等，得AP2＝QD2．所以22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得7a2＝1．所以77a=-．此时P267(1)7-，．②如图5-3，如果AD为矩形的对角线，我们根据AP//QD，AP＝QD来两次平移坐标．由于A、P两点间的水平距离为2，所以点Q的横坐标为2．所以Q(2,－3a)．由于Q、D两点间的竖直距离为－8a，所以点P的纵坐标为8a．所以P(1, 8a)．再根据AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整理，得4a2＝1．所以12a=-．此时P(14)-，．我们从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系．上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程．如图5-2，如果∠ADP ＝90°，那么MA ND MD NP =；如图5-3，如果∠QAP ＝90°，那么GQ KA GA KP=．图5-2 图5-3例❻ 如图6-1，将抛物线c 1：233y x =-+沿x 轴翻折，得到抛物线c 2．现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．图6-1【解析】没有人能精确画好抛物线，又怎么平移抛物线呢？我们去伪存真，将A 、B 、D 、E 、M 、N 六个点及它们的坐标在图中都标注出来（如图6-2），如果您看到了△MAB 和△NED 是边长为2的等边三角形，那么平移就简单了．如图6-3，在两个等边三角形平移的过程中，AM 与EN 保持平行且相等，所以四边形ANEM 保持平行四边形的形状，点O 为对称中心．【解法一】如果∠ANE ＝90°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE ＝2EN ＝4．而AE ＝AO ＋OE ＝2AO ，所以AO ＝2．已知AB ＝2，此时B 、O 重合（如图6-4），所以m ＝BO ＝1．【解法二】如果对角线MN ＝AE ，那么OM ＝OA ，此时△MAO 是等边三角形．所以等边三角形MAB 与△MAO 重合．因此B 、O 重合，m ＝BO ＝1．【解法三】在平移的过程中，(1,0)A m --、(1,0)B m -，M (3)m -，根据OA 2＝OM 2列方程(1＋m )2＝m 2＋3．解得m ＝1．图6-2 图6-3 图6-4 例❼如图7-1，菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，E、H分别是AB、CD的中点，E、G分别在AD、BC上，且AE＝CG．（1）求证四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形EFGH是矩形时，求AE的长；（3）当四边形EFGH是菱形时，求AE的长．图7-1 【解析】（1）证明三角形全等得EF＝GH和FG＝HE大家最熟练了．（2）平行四边形EFGH的对角线FH＝4是确定的，当EG＝FH＝4时，四边形EFGH 是矩形．以FH为直径画圆，你看看，这个圆与AD有几个交点，在哪里？如图7-2．如图7-3，当E为AD的中点时，四边形ABGE和四边形DCGE都是平行四边形．如图7-4，当E与A重合时，△ABG与△DCE都是等边三角形．（3）如果平行四边形EFGH的对角线EG与FH互相垂直，那么四边形EFGH是菱形．过FH的中点O画FH的垂线，EG就产生了．在Rt△AOE中，∠OAE＝60°，AO＝2，此时AE＝1．又一次说明了如果会画图，答案就在图形中．图7-2 图7-3 图7-4 图7-5例❽如图8-1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A(4, 0)、B(0, 3)，点C的坐标为(0, m)，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD ＝2OC，连结DE，以DE、DA为边作平行四边形DEF A．（1）如果平行四边形DEF A为矩形，求m的值；（2）如果平行四边形DEF A为菱形，请直接写出m的值．图8-1【解析】这道题目我们着重讲解怎样画示意图．我们注意到，点A和直线AB（直线l）是确定的．如图8-2，先画x轴，点A和直线l．在直线l上取点E，以AE为对角线画矩形DEF A．如图8-3，过点E画直线l的垂线．画∠MDN，使得DN＝2MN，MN⊥DN，产生点C．如图8-4，过点C画y轴，产生点O和点B．图8-2 图8-3 图8-4 您是否考虑到，画∠MDN时，还存在DM在x轴下方的情况？如图8-5．同样的，我们可以画如图8-6，如图8-7的两个菱形．图8-5 图8-6 图8-7。
【存在性系列】平行四边形存在性问题
【存在性系列】平⾏四边形存在性问题平⾏四边形存在性问题，主要考察⼀个四边形为平⾏四边形需要满⾜的判定条件。
这部分考察的较多的主要分为“三定⼀动”，“两定两动”类型。
今天来详细讨论下平⾏四边形的存在性问题。
理论准备知识储备：1.点在平⾯直⾓坐标系中的平移2.左右平移横变纵不变，上下平移纵变横不变坐标平移⼝诀：上加下减，左减右加3. 平⾏四边形平⾏且相等4. 平⾏四边形对⾓线互相平分【处理策略⼀】利⽤对⾓新互相平分【⽅法运⽤】该⽅法适⽤于“三定⼀动”、“两定两动”类型的动点问题【处理策略⼆】利⽤对边平⾏且相等，构造全等【⽅法运⽤】该⽅法适⽤于“三定⼀动”、“两定两动”类型的动点问题常见类型以下主要讲解按照对⾓线讨论的处理⽅法类型⼀：三定⼀动【引例】如图，A(1,2),B(6,3),C(3,5)为坐标系中三个定点，问平⾯内是否存在点D，使得四边形ABCD为平⾏四边形.【处理⽅法】⼀般我们习惯分对⾓线进⾏讨论我们设D的坐标为(m,n)1.当AC为对⾓线时可以得到平⾏四边形D1ABC ∴ 1+3=6+m ,m=-2， 2+5=3+n, n=4∴D1的坐标为(-2,4)2.当BC为对⾓线时可以得到平⾏四边形ACD2B ∴ 1+m=6+3,m=8，2+n=3+5,n=6∴D2的坐标为(8,6)3.当AB为对⾓线时可以的到平⾏四边形ACBD3 ∴ 1+6=3+m,m=4，2+3=5+n,n=0∴D3的坐标为(4,0)类型⼆：两定两动【引例1】已知A（2，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在y轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平⾏四边形，求C、D坐标．【处理⽅法】对于两个动点的问题我们也是采取分对⾓线进⾏讨论即可设C的坐标为(m,0),D的坐标我(0,n)1.当AB为对⾓线时2+4=m+0，m=61+2=n+0，n=3∴C的坐标为(6,0)，D的坐标为(0,3)2.当AC为对⾓线时2+m=4，m=21+0=2+n，n=-1∴此时C的坐标为(2,0)，D的坐标为(0,-1)3.当AD为对⾓线时2+0=m+4，m=-21+n=0+2，n=1∴C的坐标为(-2,0)，D的坐标为(0,1)【引例2】如图，在平⾯直⾓坐标系中，有两点A(1,3),B(3,6),C为x轴上的⼀个动点。
平行四边形教案设计中常见的问题与解决方法
平行四边形教案设计中常见的问题与解决方法平行四边形是初中数学中重要的内容，也是学生学习数学的重点之一。
在教学过程中，教师需要精心设计教案，但是在教案设计中，常会遇到各种问题，这不仅会影响教学效果，还会影响学生的学习兴趣。
本文从教案设计中常见的问题出发，探讨如何解决这些问题，提高教学效果，激发学生的学习兴趣。
问题一：教材内容难度大，学生无法掌握当教材难度大，学生无法掌握时，教师需要认真研究文本材料，找到教材的难点和薄弱环节，针对性地设计教案。
对于平行四边形的教学，解决这个问题的方法包括以下几点：1.提前预习：这是掌握教材内容的基础。
教师可以要求学生在课前做好预习，对教材中的关键概念、重点知识点进行了解。
2.引导学生自主探究：教师可以通过提出问题，引导学生自主探究。
这样可以帮助学生主动参与，激发学生的学习兴趣，更好地掌握知识点。
3.提供实例分析：对于一些抽象的数学概念，教师可以通过实例分析加深学生的印象。
在实例的基础上，教师可以引导学生思考，让学生自己运用所学知识进行分析和解决问题。
问题二：教师讲解方式单一、缺乏趣味性当教师讲解方式单一，缺乏趣味性时，学生容易产生疲劳感，对学习失去兴趣和动力，影响教学效果。
因此，教师需要根据学生的兴趣特点和认知方式，选择多种教学手段，增加教学趣味性，激发学生的学习兴趣。
1.运用多媒体教具：采用多媒体课件、动画片、视频等多种教学手段，可以让学生通过图像、声音、文字等多种方式进行学习，提高学生的学习兴趣。
2.游戏化教学：利用游戏化的教学方式，将学习内容和游戏因素有机地联系在一起，增加学习的趣味性，让学生在学习中得到快乐和满足。
3.小组合作学习：教师可以将学生分成小组，在小组内进行学习，让学生相互交流和协作，提高学生的学习效果和合作能力。
问题三：教学效果难以评估当教学效果难以评估时，教师需要进行有效的教学评估，对学生的学习情况进行全面而深入的了解，做出合理的调整，提高教学效果。
专题四-平行四边形的存在性问题解题策略
授课题目专题四平行四边形的存在性问题解题策略授课日期2015年3月15日教师柳娜授课学时 1 时 00 分学生课型复习课学科组长柳娜师生活动一、要点归纳解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便．二、课前热身已知△ABC，求作点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．三、例题讲解1.如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为P，求∠P AC的正切值；（3）若以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．2. 如图1，等边△ABC的边长为4，E是边BC上的动点，EH⊥AC于H，过E作EF∥AC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PE＝EB．设EC＝x（0＜x≤2）．（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；（2）Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时，求平行四边形EFPQ的面积（用含x的代数式表示）；图13. 如图1，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？图1。
4平行四边形的存在性问题解题策略
A C为对角线
AC为边FF在 在xx轴 轴下 上方 方
第三步 计算——思路就在画图的过程中
y x2 2x 3 (x 1)2 4 A(1,0),C(0,3)
如果AE为边， 那么由AE//CF确定点F， 再由AE=CF确定点E(2个).
点F与点C关于直线x＝－1对称 F(－2,3)，FC＝2 AE＝ FC＝ 2
AP为对角线 AP为边
A、C、E、F
点P在x轴上 点E在y轴上
如果AP为边， 那么由AP//DE确定点E， 再由AP=DE确定点P(2个).
第一步确定分类标准与第二步画图相结合
AE为对角线 AE为边
点E在y轴上 点P在x轴上
如果AP为对角线， 那么D 、 E到x轴距离相等， 再由PE//AD确定点P(1个).
知P(1,0)
小结
第一步确定分类标准与第二步画图相结合 第三步 计算——思路就在画图的过程中
画图的顺序:因E而P? 因P而E? 画图的依据:平行(尺)且相等(规) 求点P的坐标的方法:点A、O的平移
小结：以AP为分类的标准
AP为边 PP在在AA右左
AP为对角线
讨论：如果以AD为分类的标准？
为什么一个方程
m1 3 3的几何意义对应左图 m2 3的几何意义对应右图
解决两个图形 的问题？
小结
E
E
如果你只想出了一个图形， 而列出了一元二次方程， m2 2 3m 9 0 千万别舍去另一个根！ 用思想去检验你的行动！
09徐汇24
在直角坐标平面内确定点M，使得以点 M、A、B、C为顶点的四边形是平行四 边形，请直接写出点M的坐标.
E
平行四边形存在性问题的解题策略
平行四边形存在性问题的解题策略
作者：初营吉
来源：《理科考试研究·初中》2015年第04期
平行四边形存在性问题是中考热点之一，通常借助于函数图象探究满足某些条件的平行四边形是否存在主要考查平行四边形的判定和性质、函数解析式的确定和性质等基础知识，考查识图作图、运算求解、数学表达等能力，考查数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法学生对于这类问题的求解常有畏惧感，学生往往对这类问题没有一个比较明确的思路在此结合自己的教学谈一下对这类问题的认识
解决此类问题可以用几何法或代数法两种解题思路
几何法解决此类问题往往分3步，首先找到分类依据，然后画出草图，最后计算出答案要想熟练的解决此类问题必须要有必要的知识储备，能熟练掌握平行四边形的性质对边平行且相等，对角线互相平分，平行四边形相对的顶点到另一条对角线的距离相等，相邻两个顶点到对边的距离相等
总之，对于平行四边形的存在性问题，要让学生清楚自己擅长哪种解题方法，几何法比较直观，往往计算量不是很大，但是在平移线段时往往有所遗漏，并且解题过程往往书写的比较多，思维量比较大借助中点公式可以简化计算，优化过程.。
(完整word版)平行四边形之存在性问题
中考数学压轴题解题策略综合题之平行四边形存在性问题专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便． 根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．例题解析例1、 如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为P ，如果以点P 、A 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标．图1-1【解析】P 、A 、C 三点是确定的，过△P AC 的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D （如图1-2）．由y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，得A (－3,0)，C (0, 3)，P (－1, 4)．由于A (－3,0)33u u u u u u u u u u u u u u r 右，上 C (0, 3)，所以P (－1, 4)33u u u u u u u u u u u u u u r 右，上 D 1(2, 7)．由于C (0, 3)33u u u u u u u u u u u u u u r 下，左 A (－3,0)，所以P (－1, 4)33u u u u u u u u u u u u u u r 下，左 D 2(－4, 1)．由于P (－1, 4)11u u u u u u u u u u u u u r 右，下 C (0, 3)，所以A (－3,0)11u u u u u u u u u u u u u r 右，下 D 3(－2, －1)．我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．图1-2例2、如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．图2-1【解析】在P、M、A、B四个点中，A、B是确定的，以AB为分类标准．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．①如图2-2，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P 关于AB的中点（1,0）对称，所以点M的横坐标为2．此时M(2，3)．②如图2-3，图2-4，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4．所以点M的横坐标为4或－4．所以M (4,－5)或(－4,－21)．我们看到，因为点P的横坐标是确定的，在解图2-2时，根据对称性先确定了点M的横坐标；在解图2-3和图2-4时，根据平移先确定了点M的横坐标．图2-2 图2-3 图2-4 例3、如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形．图3-1【解析】由y＝－x＋4，得A(4, 0)，直线AB与坐标轴的夹角为45°．在O、A、C、D四个点中，O、A是确定的，以线段OA为分类标准．如图3-2，如果OA是菱形的对角线，那么点C在OA的垂直平分线上，点C(2,2)关于OA的对称点D的坐标为(2,－2)．如果OA是菱形的边，那么又存在两种情况：如图3-3，以O为圆心，OA为半径的圆与直线AB的交点恰好为点B(0, 4)，那么正方形AOCD的顶点D的坐标为(4, 4)．如图3-4，以A 为圆心，AO 为半径的圆与直线AB 有两个交点C (422,22)-和C ′(422,22)+-，点C 和C ′向左平移4个单位得到点D (22,22)-和D ′(22,22)-．图3-2 图3-3 图3-4例4、如图4-1，已知抛物线241633y x x =+与x 轴的负半轴交于点C ，点E 的坐标为(0,－3)，点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图4-1【解析】C (－4,0)、E (0,－3)两点是确定的，点N 的横坐标－2也是确定的．以CE 为分类标准，分两种情况讨论平行四边形：①如图4-2，当CE 为平行四边形的边时，由于C 、E 两点间的水平距离为4，所以M 、N 两点间的水平距离也为4，因此点M 的横坐标为－6或2．将x ＝－6和x ＝2分别代入抛物线的解析式，得M (－6,16)或(2, 16)．②如图4-3，当CE 为平行四边形的对角线时，M 为抛物线的顶点，所以M 16(2,)3--．图4-2 图4-3例5、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点D 是第四象限内抛物线上的一点，直线AD 与y 轴负半轴交于点C ，且CD ＝4AC ．设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．图5-1【解析】由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)．由CD＝4AC，得x D＝4．所以D(4, 5a)．已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，x P＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：①如图5-2，如果AD为矩形的边，我们根据AD//QP，AD＝QP来两次平移坐标．由于A、D两点间的水平距离为5，所以点Q的横坐标为－4．所以Q(－4,21a)．由于A、D两点间的竖直距离为－5a，所以点P的纵坐标为26a．所以P(1, 26a)．根据矩形的对角线相等，得AP2＝QD2．所以22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得7a2＝1．所以77a=-．此时P267(1)7-，．②如图5-3，如果AD为矩形的对角线，我们根据AP//QD，AP＝QD来两次平移坐标．由于A、P两点间的水平距离为2，所以点Q的横坐标为2．所以Q(2,－3a)．由于Q、D两点间的竖直距离为－8a，所以点P的纵坐标为8a．所以P(1, 8a)．再根据AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整理，得4a2＝1．所以12a=-．此时P(14)-，．我们从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系．上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程．如图5-2，如果∠ADP＝90°，那么MA NDMD NP=；如图5-3，如果∠QAP＝90°，那么GQ KAGA KP=．图5-2 图5-3例6、如图6-1，将抛物线c 1：233y x =-+沿x 轴翻折，得到抛物线c 2．现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．图6-1【解析】没有人能精确画好抛物线，又怎么平移抛物线呢？我们去伪存真，将A 、B 、D 、E 、M 、N 六个点及它们的坐标在图中都标注出来（如图6-2），如果您看到了△MAB 和△NED 是边长为2的等边三角形，那么平移就简单了．如图6-3，在两个等边三角形平移的过程中，AM 与EN 保持平行且相等，所以四边形ANEM 保持平行四边形的形状，点O 为对称中心．【解法一】如果∠ANE ＝90°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE ＝2EN ＝4．而AE ＝AO ＋OE ＝2AO ，所以AO ＝2．已知AB ＝2，此时B 、O 重合（如图6-4），所以m ＝BO ＝1．【解法二】如果对角线MN ＝AE ，那么OM ＝OA ，此时△MAO 是等边三角形．所以等边三角形MAB 与△MAO 重合．因此B 、O 重合，m ＝BO ＝1．【解法三】在平移的过程中，(1,0)A m --、(1,0)B m -，M (,3)m -，根据OA 2＝OM 2列方程(1＋m )2＝m 2＋3．解得m ＝1．图6-2 图6-3 图6-4。
平行四边形的存在性问题解题策略
04平行四边形的存在性问题解题策略1．（2010陕西西安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A （—1，0），B （3，0），C （0，—1）三点。
（1）求该抛物线的表达式；（2）点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使以点Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标。
【答案】解：（1）设该抛物线的表达式为c bx ax y =+=2。
根据题意，得、⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-.1,039,0c c b a c b a 解之，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==.1,32,31c b a∴所求抛物线的表达式为.132312--=x x y （2）①当AB 为边时，只要PQ//AB ，且PQ=AB=4即可，又知点Q 在y 轴上，∴点P 的横坐标为4或-4，这时，将 合条件的点P 有两个，分别记为P 1，P 2。
而当x=4时，.7,4,35=-==y x y 时当 此时).7,4(),35,4(21-P P②当AB 为对角线时，只要线段PQ 与线段AB 互相平分即可，又知点Q 在y 轴上，且线段AB 中点的横坐标为1，∴点P 的横坐标为2，这时，符合条件的点P 只有一个，记为P 3， 而当x=2时，y=-1，此时P 3（2，-1） 综上，满足条件的点)1,2(),7,4(),35,4(321--P P P P 为1. （2011山东威海，25，12分）如图，抛物线2y ax bx c =++交x 轴于点(3,0)A -，点(1,0)B ,交y 轴于点(0,3)E -．点C 是点A 关于点B 的对称点，点F 是线段BC 的中点，直线l 过点F 且与y 轴平行．直线y x m =-+过点C ，交y 轴于点D ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点K 为线段AB 上一动点，过点K 作x 轴的垂线与直线CD 交于点H ，与抛物线交于点G ,求线段HG 长度的最大值；（3）在直线l 上取点M ，在抛物线上取点N ，使以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边是平行四边形，求点N 的坐标．图① 备用图【答案】 解：（1）设抛物线的函数表达式(1)(3)y a x x =-+ ∵抛物线与y 轴交于点(0,3)E -，将该点坐标代入上式，得1a =． ∴所求函数表达式(1)(3)y x x =-+，即223y x x =+-．（2）∵点C 是点A 关于点B 的对称点，点(3,0)A -，点(1,0)B ， ∴点C 的坐标是(5,0)C ．将点C 的坐标是(5,0)C 代入y x m =-+，得5m =． ∴直线CD 的函数表达式为5y x =-+．设K 点的坐标为(,0)t ，则H 点的坐标为(,5)t t -+，G 点的坐标为2(,23)t t t +-．∵点K 为线段AB 上一动点， ∴31t -≤≤．∴222341(5)(23)38()24HG t t t t t t =-+-+-=--+=-++． ∵3312-≤-≤， ∴当32t =-时，线段HG 长度有最大值414．（3）∵点F 是线段BC 的中点，点(1,0)B ，点 (5,0)C ， ∴点F 的坐标为(3,0)F ． ∵直线l 过点F 且与y 轴平行， ∴直线l 的函数表达式为3x =． ∵点M 在直线l 上，点N 在抛物线上 ，∴设点M 的坐标为(3,)M m ，点N 的坐标为2(,23)N n n n +-．∵点(3,0)A -，点 (5,0)C ，∴8AC =． 分情况讨论：① 若线段AC 是以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边是平行四边形的边，则须MN ∥AC ，且MN ＝AC ＝8．当点N 在点M 的左侧时，3MN n =-． ∴38n -=，解得5n =-． ∴N 点的坐标为(5,12)N -．当点N 在点M 的右侧时，3MN n =-．∴38n -=，解得11n =． ∴N 点的坐标为(11,40)N ．②若线段AC 是以点A ，C ，M ，N 为顶点的平行四边形的对角线，由“点C 与点A 关于点B 中心对称”知：点M 与点N 关于点B 中心对称．取点F 关于点B 对称点P ，则点P 的坐标为(1,0)P -．过点P 作NP ⊥x 轴，交抛物线于点N ． 将1x =-代入223y x x =+-，得4y =-．过点N ，B 作直线NB 交直线l 于点M ． 在△BPN 和△BFM 中，∵90NPB MBF BF BP BPN BFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△BPN ≌△BFM ． ∴NB ＝MB ．∴四边形点ANCM 为平行四边形． ∴坐标为(1,4)--的点N 符合条件．∴当点N 的坐标为(5,12)-，(11,40)，(1,4)--时，以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边是平行四边形．2、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线(1)233(0)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若O C O B =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．*26．解：（1）抛物线2(1)33(0)y a x a =-+≠经过点(20)A -，，309333a a ∴=+∴=-··········································································································· 1分 ∴二次函数的解析式为：232383333y x x =-++ ··························································· 3分 （2）D 为抛物线的顶点(133)D ∴，过D 作DN OB ⊥于N ，则33DN =， 2233(33)660AN AD DAO =∴=+=∴∠=，°····························································· 4分 OM AD ∥①当AD OP =时，四边形DAOP 是平行四边形66(s)OP t ∴=∴= ························································· 5分 ②当DP OM ⊥时，四边形DAOP 是直角梯形过O 作OH AD ⊥于H ，2AO =，则1AH =（如果没求出60DAO ∠=°可由Rt Rt OHA DNA △∽△求1AH =）55(s)OP DH t ∴=== ·············································································································· 6分xyM CDPQO AB N E HxyM C DPQOAB③当PD OA =时，四边形DAOP 是等腰梯形26244(s)OP AD AH t ∴=-=-=∴=综上所述：当6t =、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形． 7分 （3）由（2）及已知，60COB OC OB OCB ∠==°，，△是等边三角形 则6262(03)OB OC AD OP t BQ t OQ t t =====∴=-<<，，， 过P 作PE OQ ⊥于E ，则32PE t =······················································································· 8分 113633(62)222BCPQ S t t ∴=⨯⨯-⨯-⨯=233633228t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ··················································································································· 9分 当32t =时，BCPQ S 的面积最小值为6338··············································································· 10分∴此时3339333324444OQ OP OE QE PE ==∴=-==，=， 222233933442PQ PE QE ⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ································································ 11分 3.（2009年内蒙古包头）已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过点(10)A ，，(20)B ，，(02)C -，，直线x m =（2m >）与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线x m =（2m >）上有一点E （点E 在第四象限），使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似，求E 点坐标（用含m 的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形？若存在，请求出m 的值及四边形ABEF 的面积；若不存在，请说明理由． yxOBADC(F 2)F 1 E 1 (E 2)yxO26．（12分）解：（1）根据题意，得04202.a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，，解得132a b c =-==-，，．232y x x ∴=-+-． ···································· （2分）（2）当EDB AOC △∽△时， 得AO CO ED BD =或AO COBD ED=， ∵122AO CO BD m ===-，，，当AO CO ED BD =时，得122ED m =-， ∴22m ED -=，∵点E 在第四象限，∴122m E m -⎛⎫⎪⎝⎭，． ··············································································· （4分） 当AO CO BD ED =时，得122m ED=-，∴24ED m =-， ∵点E 在第四象限，∴2(42)E m m -，． ··············································································· （6分） （3）假设抛物线上存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形，则1EF AB ==，点F 的横坐标为1m -，当点1E 的坐标为22m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，点1F 的坐标为212m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭，，∵点1F 在抛物线的图象上， ∴22(1)3(1)22mm m -=--+--， ∴2211140m m -+=， ∴(27)(2)0m m --=， ∴722m m ==，（舍去）， ∴15324F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ∴33144ABEFS=⨯=． ··········································································································· （9分） 当点2E 的坐标为(42)m m -，时，点2F 的坐标为(142)m m --，， ∵点2F 在抛物线的图象上，∴242(1)3(1)2m m m -=--+--， ∴27100m m -+=，∴(2)(5)0m m --=，∴2m =（舍去），5m =，∴2(46)F -，， ∴166ABEFS=⨯=． ·········································································································· （12分）注：各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分．4、（2009柳州）如图11，已知抛物线b ax ax y --=22（0>a ）与x 轴的一个交点为(10)B -，，与y 轴的负半轴交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点A 的坐标； （2）以AD 为直径的圆经过点C ．①求抛物线的解析式；O xyA BCD图11②点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以E F A B ，，，四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标． 解：（1）对称轴是直线：1=x ，点A 的坐标是（3，0）． ····································································· 2分 （说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分） （2）如图11，连接AC 、AD ，过D 作轴 y DM ⊥于点M ， 解法一：利用AOC CMD △∽△∵点A 、D 、C 的坐标分别是A （3，0），D （1，b a --）、C （0，b -），∴AO ＝3，MD =1． 由MD OC CM AO =得13ba = ∴03=-ab ············································································································ 3分 又∵b a a --⋅--⋅=)1(2)1(02··········································································· 4分∴由⎩⎨⎧=-=-0303b a ab 得⎩⎨⎧==31b a ············································································· 5分∴函数解析式为：322--=x x y ································································ 6分解法二：利用以AD 为直径的圆经过点C∵点A 、D 的坐标分别是A （3，0） 、D （1，b a --）、C （0，b -）， ∴29b AC +=，21a CD +=，2)(4b a AD --+=∵222AD CD AC =+∴03=-ab …① ······························································································· 3分 又∵b a a --⋅--⋅=)1(2)1(02…② ······························································· 4分由①、②得13a b ==，·············································································· 5分∴函数解析式为：322--=x x y ······································································· 6分（3）如图所示，当BAFE 为平行四边形时 则BA ∥EF ，并且BA ＝EF ．∵BA =4，∴EF =4由于对称为1=x ，∴点F 的横坐标为5． ······················································· 7分 将5=x 代入322--=x x y 得12=y ，∴F （5，12）． ·································································· 8分 根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上也存在点F ，使得四边形BAEF 是平行四边形，此时点F 坐标为（3-，12）． 9分当四边形BEAF 是平行四边形时，点F 即为点D ，此时点F 的坐标为（1，4-）． ······································· 10分 综上所述，点F 的坐标为（5，12）， （3-，12）或（1，4-）． （其它解法参照给分）5、(2009烟台市) 如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于AB ，两点，与y 轴交于C 点，且经过点(23)a -，，对称轴是直线1x =，顶点是M ．（1） 求抛物线对应的函数表达式；（2） 经过C,M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在这样的点P ，使以点P A C N ，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3） 设直线3y x =-+与y 轴的交点是D ，在线段BD 上任取一点E （不与B D ，重yxO A B CD图11E F合），经过A B E ，，三点的圆交直线BC 于点F ，试判断AEF △的形状，并说明理由；（4） 当E 是直线3y x =-+上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）． O B xyA MC 13-。
二次函数之平行四边形存在性问题攻略
二次函数之平行四边形存在性问题攻略二次函数综合题是全国各省市每年必考的中考题型，与二次函数有关的存在性问题更是必考题型。
本文就以平行四边形的存在性为例，谈谈研究这类题型的基本思路和解题技巧。
在平行四边形有关存在性问题中，常会遇到这样两类探究性的问题：（1）已知三点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找一动点，使这四点构成平行四边形（下文出现时简称“三定一动”）；（2）已知两个点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找两个动点，使这四点构成平行四边形（下文出现时简称“两定两动”）；平行四边形的这四个点有可能是定序的，也有可能没有定序；由于定序较为简单，所以笔者就不再举例说明。
学生在拿到这类题型时常常无从下笔，比较典型的两种错误：一是确定动点位置时出现遗漏，而是在具体计算动点坐标时出现方法不当或错解。
实际上，这类题型的解法是有章可循的，就是要掌握好解决这类题型的基本思路和解题技巧。
一、基本思路：（1）分清题型（属于三定一动还是两定两动，因为这两种题型的分类标准有所不同）；（2）分类讨论且作图（利用分类讨论不重不漏的寻找动点具体位置）；（3）利用几何特征计算（不同的几何存在性要用不同的解题技巧）。
可以把存在性问题的基本思路叫做“三步曲”：一“分”二“作”三“算”。
二、平行四边形题型攻略：（1）如果为“三定一动”，要找出平行四边形第四个顶点，则符合条件的有3个点；这三个点的找法是以三个定点为顶点画三角形，过每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生所要求的3个点；（2）如果为“两定两动”，要找出平行四边形第三、四个顶点，将两个定点连成定线段，将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种分类讨论。
三、平行四边形解题技巧：（1）若平行四边形的四个顶点都能用坐标来表示，则直接利用坐标系中平行四边形的基本特征：即对边平行且相等或对边水平距离相等和竖直距离相等列方程求解；（2）若平行四边形的四个顶点中某些点不能用坐标表示，则利用列方程组解图形交点的方法解决；（3）灵活运用平行四边形的中心对称的性质，也可使问题变得简单.例1：如1：已知抛物线223y x x=--+与X轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P.若以A、C 、P 、M 为顶点的四边形是平行四边形,求点M 的坐标.图1 图2 解题思路：“三步曲”①“分清题型”：根据题目要求，确定为平行四边形存在性问题中“三定一动”题型；②“分类讨论且作图”：分析定点、动点，挖掘不变特征；A 、C 、P 为定点，M 为坐标平面内一动点动点，确定位置的方法是：将以三个定点为顶点画APC ∆，每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生的交点位置就是M 点；③“利用几何特征计算”分析几何特征建等式求解点M 坐标。
平行四边形存在性问题的解题策略
在， 否则不存在． 利用对角线进行讨论求解， 实质就是用代数方法 研究几何问题， 加强数形之间的联系， 突出数形结合 的思想． 其优点是非常明显的： 1． 不会漏解， 因为它借 助了概率中的列举法， 不遗漏， 不重复的给出不同情 况， 而且分类较为简便； 2． 不需画图证明， 此类问题一 般出现在比较复杂的综合题中， 中点公式的运用一般 “锦上添花 ” ， 不需要对已经很复杂的图像上再 它跨越 了复杂的推理过程和艰难的探索发现以及证明过程， 让学生的思路清晰明了； 3． 不受图像限制， 中点公式的 运用范围很广， 无论有几个定点， 无论在什么函数图 像上， 只要坚持利用对角线互相平分， 就可以不变应 万变． 当然， 对于一些特殊的情况也需灵活变通应用． 总之， 利用对角线解决平行四边形的存在性问 题， 综合应用了几何代数的知识， 最大限度地体现了 数形结合的思想， 减轻了学生负担， 对提高学生的思 维空间、 解题能力有着积极的意义．
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中学数学杂志
2015 年第 12 期
ZHONGXUESHUXUEZAZHI
可得 D 2（
1 7 3 3 ， ）， D 3（ － ， ） ． 2 2 2 2
归纳 在解答平面直角坐标系中平行四边形存 在性问题时， 首先可将四个点的坐标表示出来， 然后 利用与其中一点有关的三条线段分别为对角线进行 分类， 最后根据对角线互相平分时中点重合， 构造方 程组进行求解． 2 巧用对角线探究平行四边形的存在性 利用对角线进行分类讨论， 再利用对角线互相平 分构造等量关系， 是否也能处理比较复杂的存在性问 题呢？ 下面以 2015 年的一道中考题为例， 作一说明． 2 ( 2015 ) 例 年湖北 边长为 2 的正方形 如图 5， OABC 在平面直角坐标系中 的位置如图所示， 点 D 是边 OA 的中点， 连接 CD， 点E 在第一象限， 且 DE ⊥ DC ， 图5 DE = DC． 以直线 AB 为对称 E 两点． （ 1） 求抛物线的解析式； 轴的抛物线过 C ， （ 2） 点 P 从点 C 出发， 沿射线 CB 每秒 1 个单位长 度的速度运动， 运动时间为 t 秒． 过点 P 作 PF ⊥ CD 于 F， D 为顶点的三角形与 点 F， 当 t 为何值时， 以点 P ， △COD 相似？ （ 3） 点 M 为直线 AB 上一动点， 点 N 为抛物线上一 N， N， D， E 为顶点的 动点， 是否存在点 M， 使得以点 M， 四边形是平行四边形？ 若存在， 请直接写出满足条件 的点的坐标； 若不存在， 请说明理由． 1） ． 抛物线的对 解析 （ 1） 可求得 E 的坐标为（ 3， 1 2 4 称轴为直线 x = 2， 抛物线的解析式为 y = x － x + 3 3 0） ， E（ 3， 1） ． 点 M 为直 2； （ 2） 略； （ 3） 存在， 已知 D（ 1， AB M （ 2 ， b ） ， N 线 上一动点， 所以设 点 为抛物线上一 4 1 2 动点， 所以设 N（ a， a － a + 2） ， 3 3 MD， NE 为对 若四边形 MNDE 是平行四边形时， 角线， 所以可得方程组： 2 + 1 = 3 + a， 1 4 b + 0 = a 2 － a + 2 + 1， 3 3 b = 3， 3） ， N（ 0， 2） ； 所以 M（ 2， 解得： a = 0， ME ， DN 为对 若四边形 MDEN 是平行四边形时， 角线， 所以可得方程组： 2 + 3 = 1 + a， 1 4 b + 1 = a 2 － a + 2 + 0， 3 3 b = 1， 1） ， N（ 4， 2） ； 所以 M（ 2， 解得： a = 4， MN， ED 为对 若四边形 MEND 是平行四边形时，
压轴题解题策略：平行四边形的存在性问题
中考数学压轴题解题策略平行四边形的存在性问题解题策略2015年9月13日星期日专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．例题解析例? 如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．图1-1【解析】P 、A 、C 三点是确定的，过△PAC 的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D （如图1-2）．由y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，得A (－3,0)，C (0, 3)，P (－1, 4)．由于A (－3,0)33u u u u u u u u u u u u u u r 右，上 C (0, 3)，所以P (－1, 4)33u u u u u u u u u u u u u u r 右，上 D 1(2, 7)．由于C (0, 3)33u u u u u u u u u u u u u u r 下，左 A (－3,0)，所以P (－1, 4)33u u u u u u u u u u u u u u r 下，左 D 2(－4, 1)．由于P (－1, 4)11u u u u u u u u u u u u u r 右，下 C (0, 3)，所以A (－3,0)11u u u u u u u u u u u u u r 右，下 D 3(－2, －1)．我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．图1-2例? 如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－x 2+2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，点M 在这条抛物线上，点P 在y 轴上，如果以点P 、M 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．图2-1 【解析】在P 、M 、A 、B 四个点中，A 、B 是确定的，以AB 为分类标准．由y ＝－x 2+2x ＋3＝－(x ＋1)(x －3)，得A (－1，0)，B (3，0)．①如图2-2，当AB 是平行四边形的对角线时，PM 与AB 互相平分，因此点M 与点P 关于AB 的中点（1,0）对称，所以点M 的横坐标为2．此时M (2，3)．②如图2-3，图2-4，当AB 是平行四边形的边时，PM //AB ，PM ＝AB ＝4．所以点M的横坐标为4或－4．所以M (4,－5)或(－4,－21)．我们看到，因为点P的横坐标是确定的，在解图2-2时，根据对称性先确定了点M的横坐标；在解图2-3和图2-4时，根据平移先确定了点M的横坐标．图2-2 图2-3 图2-4例? 如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形．图 3-1【解析】由y＝－x＋4，得A(4, 0)，直线AB与坐标轴的夹角为45°．在O、A、C、D四个点中，O、A是确定的，以线段OA为分类标准．如图3-2，如果OA是菱形的对角线，那么点C在OA的垂直平分线上，点C(2,2)关于OA的对称点D的坐标为(2,－2)．如果OA是菱形的边，那么又存在两种情况：如图3-3，以O为圆心，OA为半径的圆与直线AB的交点恰好为点B(0, 4)，那么正方形AOCD的顶点D的坐标为(4, 4)．如图3-4，以A为圆心，AO为半径的圆与直线AB有两个交点C(422,22)-和C′(422,22)-．-和D′(22,22) +-，点C和C′向左平移4个单位得到点D(22,22)图3-2 图3-3 图3-4例? 如图4-1，已知抛物线241633y x x =+与x 轴的负半轴交于点C ，点E 的坐标为(0,－3)，点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图4-1【解析】C (－4,0)、E (0,－3)两点是确定的，点N 的横坐标－2也是确定的． 以CE 为分类标准，分两种情况讨论平行四边形：①如图4-2，当CE 为平行四边形的边时，由于C 、E 两点间的水平距离为4，所以M 、N 两点间的水平距离也为4，因此点M 的横坐标为－6或2．将x ＝－6和x ＝2分别代入抛物线的解析式，得M (－6,16)或(2, 16)．②如图4-3，当CE 为平行四边形的对角线时，M 为抛物线的顶点，所以M 16(2,)3--． 图4-2 图4-3例?如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点D 是第四象限内抛物线上的一点，直线AD 与y 轴负半轴交于点C ，且CD ＝4AC ．设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．图5-1【解析】由y ＝ax 2－2ax －3a ＝a (x ＋1)(x －3)，得A (－1, 0)．由CD ＝4AC ，得x D ＝4．所以D (4, 5a )．已知A (－1, 0)、D (4, 5a )，x P ＝1，以AD 为分类标准，分两种情况讨论：①如图5-2，如果AD 为矩形的边，我们根据AD //QP ，AD ＝QP 来两次平移坐标． 由于A 、D 两点间的水平距离为5，所以点Q 的横坐标为－4．所以Q (－4,21a )． 由于A 、D 两点间的竖直距离为－5a ，所以点P 的纵坐标为26a ．所以P(1, 26a )． 根据矩形的对角线相等，得AP 2＝QD 2．所以22＋(26a )2＝82＋(16a )2．整理，得7a 2＝1．所以7a =-．此时P 267(1)-，． ②如图5-3，如果AD 为矩形的对角线，我们根据AP//QD ，AP ＝QD 来两次平移坐标． 由于A 、P 两点间的水平距离为2，所以点Q 的横坐标为2．所以Q (2,－3a )． 由于Q 、D 两点间的竖直距离为－8a ，所以点P 的纵坐标为8a ．所以P (1, 8a )． 再根据AD 2＝PQ 2，得52＋(5a )2＝12＋(11a )2．整理，得4a 2＝1．所以12a =-．此时P (14)-，． 我们从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系．上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程．如图5-2，如果∠ADP＝90°，那么MA ND=；如图5-3，如果∠QAP＝90°，那么MD NPGQ KA=．GA KP图5-2 图5-3例? 如图6-1，将抛物线c1：2=-+沿x轴翻折，得到抛物线c2．33y x现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．图6-1【解析】没有人能精确画好抛物线，又怎么平移抛物线呢？我们去伪存真，将A、B、D、E、M、N六个点及它们的坐标在图中都标注出来（如图6-2），如果您看到了△MAB和△NED是边长为2的等边三角形，那么平移就简单了．如图6-3，在两个等边三角形平移的过程中，AM与EN保持平行且相等，所以四边形ANEM保持平行四边形的形状，点O为对称中心．【解法一】如果∠ANE＝90°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE＝2EN＝4．而AE＝AO＋OE＝2AO，所以AO＝2．已知AB＝2，此时B、O重合（如图6-4），所以m＝BO＝1．【解法二】如果对角线MN＝AE，那么OM＝OA，此时△MAO是等边三角形．所以等边三角形MAB与△MAO重合．因此B、O重合，m＝BO＝1．【解法三】在平移的过程中，(1,0)A m --、(1,0)B m -，M (,3)m -，根据OA 2＝OM 2列方程(1＋m )2＝m 2＋3．解得m ＝1．图6-2 图6-3 图6-4 例? 如图7-1，菱形ABCD 的边长为4，∠B ＝60°，E 、H 分别是AB 、CD 的中点，E 、G 分别在AD 、BC 上，且AE ＝CG ．（1）求证四边形EFGH 是平行四边形；（2）当四边形EFGH 是矩形时，求AE 的长；（3）当四边形EFGH 是菱形时，求AE 的长．图7-1【解析】（1）证明三角形全等得EF ＝GH 和FG ＝HE 大家最熟练了． （2）平行四边形EFGH 的对角线FH ＝4是确定的，当EG ＝FH ＝4时，四边形EFGH 是矩形．以FH 为直径画圆，你看看，这个圆与AD 有几个交点，在哪里？如图7-2．如图7-3，当E 为AD 的中点时，四边形ABGE 和四边形DCGE 都是平行四边形． 如图7-4，当E 与A 重合时，△ABG 与△DCE 都是等边三角形．（3）如果平行四边形EFGH 的对角线EG 与FH 互相垂直，那么四边形EFGH 是菱形． 过FH 的中点O 画FH 的垂线，EG 就产生了．在Rt△AOE中，∠OAE＝60°，AO＝2，此时AE＝1．又一次说明了如果会画图，答案就在图形中．图7-2 图7-3 图7-4 图7-5例? 如图8-1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A(4, 0)、B(0, 3)，点C的坐标为(0, m)，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD＝2OC，连结DE，以DE、DA为边作平行四边形DEFA．（1）如果平行四边形DEFA为矩形，求m的值；（2）如果平行四边形DEFA为菱形，请直接写出m的值．图8-1【解析】这道题目我们着重讲解怎样画示意图．我们注意到，点A和直线AB（直线l）是确定的．如图8-2，先画x轴，点A和直线l．在直线l上取点E，以AE为对角线画矩形DEFA．如图8-3，过点E画直线l的垂线．画∠MDN，使得DN＝2MN，MN⊥DN，产生点C．如图8-4，过点C画y轴，产生点O和点B．图8-2 图8-3 图8-4您是否考虑到，画∠MDN时，还存在DM在x轴下方的情况？如图8-5．同样的，我们可以画如图8-6，如图8-7的两个菱形．图8-5 图8-6 图8-7。
平行四边形的存在性问题
平行四边形存在性问题【知识概括】确定平行四边形：对于A 、B 、C 三点固定，若存在点D 使得四边形ABCD 是平行四边形，则点D 只有一种情况，如图①；若存在点D 使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，则点D 有三种情况，如图②。
图 ① 图 ②【方法思路分析】一、必须明确以下情况：①、四边形ABCD 是平行四边形，AC 、BD 一定是对角线，即明确字母顺序，那么对角线就确定了；②、以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是平行四边形，对角线不确定，则需要分类讨论。
二、有关解析法的知识：①两点之间的距离公式：若A ) ,(11y x ，B ) ,(22y x ，则|AB|=特别地，若AB ∥x 轴，则||AB = ，若AB ∥y 轴，则||AB = ②中点坐标公式：若A ) ,(11y x ，B ) ,(22y x ，则A 、B 的中点M 为 ③①ABCD①，设四个顶点坐标分别是) (A A y x A ，，) (B B y x B ，，) (C C y x C ，，) (D D y x D ，，则满足：【方法运用】一、三定一动，探究平行四边形存在性1、已知)3 ,1(A ，)4 ,6(B ，)6 ,4(C ，在坐标系内确定点D 使得以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是平行四边形。
二、两定两动，探究平行四边形存在性2、已知)1 ,1(A 、)2 ,3(B ，点C 在x 轴上，点D 在y 轴上，且以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是平行四边形，求D C 、的坐标。
【解题步骤要点总结】先由题目条件探索三点的坐标（若只有两个定点，可设一个动点的坐标）． 再画出以三点为顶点的平行四边形，根据性质写出第四个顶点的坐标．最后根据题目的要求（动点在什么曲线上），判断平行四边形的存在性．三、拓展延伸已知A 为（0，3），B 为（4，2），点C 在x 轴上，D 是平面直角坐标系内一点，（1）若以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是矩形，求点D 的坐标。
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直线与抛物线有2个交点F.
再由AF=CE确定点E(2个).
讨论：如果以AC为分类的标准？
E在A左 AE为边 E在A右 F在左下方 AE为对角线F在右下方
AC为对角线 F在x轴上方 AC为边F在x轴下方
第三步 计算——思路就在画图的过程中
AE为对角线 AE为边
A、C、E、F
点E在x轴上 点F在抛物线上
如果AE为边， 那么由AE//CF确定点F，
再由AE=CF确定点E(2个).
第一步确定分类标准与第二步画图相结合
AE为对角线 AE为边
点F在抛物线上 点E在x轴上
如果AE为对角线， 那么C 、 F到x轴距离相等，
点E在y轴上 点P在x轴上
如果AP为对角线， 那么D 、 E到x轴距离相等， 再由PE//AD确定点P(1个).
第三步 计算——思路就在画图的过程中
如果AP为边，
那么由AP//DE确定点E，
再由AP=DE确定点P(2个).
由AP＝ DE＝ 1
知P(3,0) ,P′(1,0)
第三步 计算——思路就在画图的过程中
分两类型 第一类型：三定一动平行四边形存在性问题
第二类型：两定两动平行四边形存在性问题
第一类型：一个动点平行四边形存在性问题
抛砖引玉
1.点A、B 、C是平面内不在同一条直线上的三点, 点D是平面内任意一点,若A、B 、C 、D四点恰好 构成一个平行四边形,则在平面内符合这样条件的 点D有 ) C( A 1个 B 2个 C 3个 D1 A D 4个 C D3
如果AP为对角线，
那么D 、 E到x轴距离相等，
再由PE//AD确定点P(1个).
由OP AH 1
知P(1,0)
小结
第一步确定分类标准 第二步画图相结合 第三步 计算——思路就在画图的过程中
例2如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0），B （3,0）C（0，-1）三点。
（1）求该抛物线的表达式；
B
D2
2.如图,在平面直角坐标系中,点A坐标(-1,0),B(3,0),C(0,2), 点D是平面内任意一点,若A、B 、C 、D四点恰好构成一 y 个平行四边形 ,则在平面内符合这样条件的点D的坐标为
D (-4,2)
C(0,2) E
D(4,2)
(-1,0) A
O
B(3,0) D (2,-2)
第二类型：两个动点平行四边形存在性问题
A、C两点，点G抛 物线上的动点，在x 轴上是否存在点F， 使A、C、F、G这样 的四个点为顶点的 四边形是平行四边 形
A
中点公式
在坐标平面内，两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)
的中点 M(x，y) 的坐标之间满足：
x1 x2 x ， 2
y1 y2 y ． 2
y B
A O D
由题意可知 PQ=4，所以P点 横坐标X=±4
Q
P
O A （-1,0）
B （3,0）
x
(2)当AB为一条对角线时
由题意可知AO=BE=1 所以OE=3-1=2 所以P点横坐标X=2
y Q E A O （-1,0） x B P （3,0）
已知A、B两点，点E在x轴上，点P在 抛物线上，是否存在以A、C、E、P为 顶点且以AC为一边的平行四边形。
知E(2 7 ,0), E' (2 7 ,0)
小结
第一步确定分类标准与第二步画图相结合 第三步 计算——思路就在画图的过程中
画图的顺序:因E而F 因F而E 画图的依据:平行(尺)且相等(规)
09普陀25
若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行 四边形，该平行四边形的另一顶点E在y轴上， 写出点P的坐标．
C
o x
结论：平行四边形ABCD的对角线O的坐标为
X A XC X XD B 2 2 Y YC Y YD YO A B 2 2 XO
存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在 的问题，这类问题多以压轴题形式出现，其包涵知 识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧， 解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力 要求较高，是近几年中考的“热点”，更是 难点。 存在性问题类型很多，今天这节课先研究
——平行四边形存在性问题
平行四边形存在性问题
y x 2x 3 A(1,0), C (0,3)
2
如果AE为对角线， 那么C、F到x轴距离相等， 直线与抛物线有2个交点F. 再由AF=CE确定点E(2个).
解方程 x 2 2 x 3 3
得xF 1 7 , xF ' 1 7
由HE OA 1
（2）点Q在y轴上，在抛物线上是否存在一点P ，使Q、P、 A、B为顶点的四边形是平行四边形。若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
点A、B是定点， 点Q 、P两个动点 分两种情况： AB为一条边 AB为一条对角线 （-1,0）A O （3,0）x B 以A、B、Q、P为 顶点的四边形是平行四边形，分两种情况： (1)当AB为一条边时 P y Q
y x 2 2x 3 ( x 1)2 4
A(1,0), C (0,3)
点F与点C关于直线x＝－1对称 F(－2,3)，FC＝2 如果AE为边， 那么由AE//CF确定点F， AE＝ FC＝ 2
再由AE=CF确定点E(2个).
E1(－1,0) ,E2(3,0)
第三步 计算——思路就在画图的过程中
09崇明24
y x2 2x 3
A(1,0), C (0,3)
若E点在x轴上，F点在抛物线上，如果A、C、 E、F构成平行四边形，写出点E的坐标 .
第一步确定分类标准与第二步画图相结合
A、C、E、F
点E在x轴上
点F在抛物线上
AE为对角线 AE为边
第一步确定分类标准与第二步画图相结合
第一步确定分类标准
A、D、P、E
点P在x轴上 点E在y轴上
AP为对角线 AP为边
第二步画图
AP为对角线 AP为边
A、C、E、F
点P在x轴上 点E在y轴上
如果AP为边， 那么由AP//DE确定点E， 再由AP=DE确定点P(2个).
第二步画图
AP为对角线 AP为边