广告与销售的关系 数学建模
广告投放与销售关系模型
广告投放与销售关系模型摘要商品公司通过广告的有效投放来达到促进销售，扩大市场占有率，提升品牌宣传率的目的。
正确预估广告投放时机和方式能有效提升销售和产品品牌，利于企业发展与扩充。
本文利用微分模型与回归方程，有效探索了这一问题。
首先，利用某家电广告支出与销售量的数据，做其Pearson相关性分析，得出其在1%的显著性范围内，说明其变量密切相关。
利用数据做散点图，观察并做回归假设，检验其随机误差 呈正态分布，说明回归模型吻合，广告投放与销售长期呈线性关系。
而又由于广告本金与广告效率的限制，在短期内，可建立微分模型。
参照边际效益递减效应以及阻滞增长模型—logistic，引入“波因素”这一概念，得出短期内广告支出与销售的关系。
之后，利用时间序列的混合模型，将微分模型与回归模型混合，得出涵盖一段时期的广告支出与销售量的关系。
其次，任何产品都会有四个可预测的生命阶段：引入，成长，成熟，衰亡。
其不同阶段由于销量，知名度，市场占有率不同，广告的作用不同。
引入与成长期由于销量少，成本高，须得借助广告打开销量，辅以提升知名度。
成熟期已然有稳定的销量，衰退期销量下降，此时广告的作用在于提升品牌。
据此，广告的投放方式也不同。
最后，宣传方案的制定须得根据广告的不同周期进行，宣传的主体也会发生相应的变化。
关键字：回归方程阻滞增长微分模型混合模型1.问题重述随着媒体的普及，人们对于产品的购买力度也随着信息获取渠道而有所影响，好的广告能吸引更多的消费者，对产品销量起着不可忽视的作用。
为使投放的广告取得预期的广告效应，现需建立模型，解决以下三个问题：1、广告投放与销售间有怎样的必然联系？2、商品经营周期的不同时期投放广告的效果如何？是否一致？3、为商品策划不同时间段的广告宣传方案，分析结论。
2.问题分析产品的销售受到多种方面的影响，包括市场经济，产品成本，服务人群，政治方向，时代潮流，广告运营甚至天气情况。
在本文中，主要探究广告投入与商品销售的联系。
广告投入对产品赢利影响的数学模型
2.学位论文 杨家旭 基于数据仓库的数学模型解决方案的研究与设计 2007
随着市场经济竞争的加剧，企业和组织的管理和决策越来越有赖于对市场需求的分析、预测，而现实中往往存在决策依据不足和有效数据十分缺 乏的现象；同时，在计算机和关系型数据库系统已经十分普及的今天，大部分企业和组织的管理信息系统仍然是以低层操作型的事务处理为重心建设 ，而企业中高层的决策支持系统的基础十分薄弱。低层的数据泛滥，而中高层用于决策的信息却十分贫乏的问题表明：基于数据仓库的决策支持系统 的开发已十分迫切。 数据仓库、数据挖掘和数学建模是作为三种独立的信息和数学处理技术出现的。数据仓库用于数据的存储和组织，数据挖掘集中于数据的分析 ，数学建模则致力于模型的构建和知识的自动发现。由于这三种技术内在的联系性和互补性，它们结合起来就形成了一种新的决策支持系统 (DSS) 构 架，从而构成为基于数据仓库的数学模型解决方案。 本文正是在这种背景下，对数据仓库的理论和设计进行了研究。主要是以管理层次的分析为依据，以现实中大规模数据库为基础，借助数据整合 手段，采取多维数据模型，构建出底层为仓库数据库服务器、中间层为 OLAP 服务器、顶层为客户端的三层数据仓库结构，以满足决策支持系统的构 建和数学建模系统研究和设计的需要。 在数据仓库的系统设计基础上，我们将数学建模系统作为研究的重点。首先，我们结合实际案例，研究了回归分析和最小二乘法等基于数据的建 模方法的应用，这一方法我们称为定制数学建模的方法。其次，我们在研究数学建模的方法和软件开发上，提出了回归函数算法集合的设计思想，并 对自动优选数学建模系统进行技术研究与设计。同时运用这一技术，对胜利油田生产和管理的历史数据实例进行研究与分析，建立了许多油田生产管 理的数学模型，用于企业预测和分析，都取得了很好的效果。 最后，总结了基于数据仓库的数学建模技术的应用并简要讨论了进一步的工作方向。
中学数学建模经典例题
中学数学建模经典例题中学数学建模经典例题包括：1.最大利润问题：某公司生产一种产品，每件成本为3元，售价为10元，年销售量为10万件。
为了扩大销售量，公司计划通过广告宣传来增加销售量。
经调查发现，广告费用与年销售量之间的关系可以近似地用函数y=−0.2x+10来表示，其中x为广告费用（单位：万元）。
问：广告费用为多少时，公司可获得最大年利润？2.最小费用问题：某公司需要将货物从甲地运往乙地，由于路途遥远，需要采用飞机、火车、汽车三种运输方式来完成。
运输方式的费用分别为x万元、y万元、z万元。
三种运输方式的单程运输能力分别为10万吨、15万吨、5万吨，而货物的总重量为35万吨。
为确保运输过程顺利进行，单程运输能力不能超过总重量。
请为该公司设计一个总费用最少的运输方案，并求出最少的总费用。
3.最小路径问题：某城市有若干个居民小区，每个小区有一定数量的居民。
为了方便居民出行，市政府计划修建地铁连接这些小区。
已知任意两个小区之间的距离可以近似地用欧几里得距离来表示，而修建地铁的费用与小区之间的距离成正比。
问：市政府应该如何规划地铁线路，使得总费用最低？4.人口预测问题：某城市的人口数量在过去几年里呈现出指数增长的趋势。
已知该城市的人口数量在过去的几年中每年以10%的速度增长，并且目前该城市的人口数量为50万。
我们要预测未来5年该城市的人口数量。
5.资源分配问题：某公司拥有一定的资源，需要将其分配给若干个项目以获得最大的收益。
每个项目的收益与分配到的资源数量成正比，而不同项目之间的收益增加率是不同的。
问：公司应该如何分配资源，使得总收益最大？这些例题涵盖了中学数学建模的多个方面，包括函数模型、最优化问题、线性规划等。
通过这些例题的解答，可以帮助学生提高数学建模的能力和解题技巧。
数学建模基础 12.2独家销售的广告模型
参考书
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考试方法
1.闭卷考试占70% 2.平时作业及课堂回答问题占30%
注:平时作业采用指定一组做多媒体
解答方式讲解,被指定的组应做小组讨论 ,进行分工合作,并每题指派一人制作课件 讲解,每题可以有多种解答,老师视同学准 备及讲解的情况给出本组同学平时成绩
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模型求解
为求解该模型，我们选择一个广告策略:
A(常量) A(t ) 0 0t t
在时间段(0,)内，用于广告的总费用为a，则 A 代入模型方程有
ds P a a ( ) s P dt M
a ，
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模型建立
问题中涉及的是商品销售速度随时间的减
为简单起见，我们r(s)设为s(t)的线性减函数，则有
r ( s ) P (1 s( t ) ) M
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可建立如下微分方程模型：
ds s( t ) P (1 ) A( t ) s( t ) dt M
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无论你是听广播，还是看报纸，或是收看电视， 常可看到、听到商品广告。随着社会向现代化的 发展，商品广告对企业生产所起的作用越来越得 到社会的承认和人们的重视。商品广告确实是调 整商品销售量的强有力手段，然而，你是否了解 广告与销售之间的内在联系？如何评价不同时期 的广告效果？这个问题对于生产企业、对于那些 为推销商品作广告的企业极为重要。下面我们介 绍独家销售的广告模型。
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模型讨论
1．生产企业若保持稳定销售,我们可以根据模型估计采用广告水平
全国大学生数学建模优秀论文 B题：产品销量预测
承诺书我们仔细阅读了数学建模竞赛选拔的规则.我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。
如有违反选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）：队员签名：1.2.3.日期：年月_日编号专用页评阅编号（评阅前进行编号）：评阅记录（评阅时使用）：评阅人评分备注B 题 产品销量预测摘要产品销量预测问题是当前世界上所有企业最关心的问题之一。
企业若想长期生存发展，就必须做销量预测。
本文对产品的销量及其影响因素进行了讨论。
对于问题一，鉴于比例系数未知，给出比例系数为每一产品在单位时间内平均吸引k 个顾客，使其购买k 个该产品这一假设，建立Malthus 模型，预测出0t 时刻的产品销量0()x t 。
分析得Malthus 模型所得结果只与实际销售量在初始阶段的增长情况比较符合，不宜用于销售量的中、长期预测。
对于问题二，结合问题一并假设一个消费者仅购买一种该产品。
此时问题可理解为在某时刻t 时，产品销量的增长率既与到时刻t 为止的已经购买该种产品消费者数目)(t x 成正比，也与尚未购买该产品的潜在消费者数目)(t x N 成正比。
建立Logistic 模型，预测出0t 时的产品销量0()x t 。
分析得，产品销售情形与此模型非常相似，特别在销售后期更加吻合。
对于问题三，根据产品生命周期理论，结合龚柏兹曲线，运用三段对数和法，建立模型，预测出市场容量N 。
对于问题四，考虑到影响产品销量的因素有广告、企业竞争、产品竞争、消费者的购买能力、国家的经济水平等。
结合本文，选取广告、企业竞争、产品竞争三个因素分别建立独家销售的广告模型、竞争销售的广告模型、同类产品的竞争模型来预测0t 时的产品销量0()x t 。
广告投放问题的数学建模及算法研究
广告投放问题的数学建模及算法研究一、引言广告投放是现代营销中非常重要的一环。
正确的广告投放可以有效提高品牌知名度和销售额。
然而，广告投放并非简单的直接付款投放广告，而是需要通过科学方法来制定投放策略和优化方案，以达到最优效果。
数学建模和算法研究在这个过程中发挥着重要的作用。
本文就广告投放问题的数学建模及算法研究进行探讨，希望为广告投放领域的从业者提供一些有用的思路和方法。
二、广告投放问题的数学建模广告投放问题通常可以转化为一种带约束的优化问题：给定一定的投放预算和一些投放渠道，如何安排投放计划，以达到最大化目标（如点击量、转化率等）并满足预算和渠道投放限制。
具体来说，我们可以将广告投放问题建模为一个线性规划问题。
假设有m个渠道，每个渠道都有一个各自不同的点击率和转化率，那么我们可以用下面这样的公式来表示每个渠道的效果：效果 = 点击率 x 转化率然后我们定义x1, x2, ..., xm为每个渠道的投放数量，那么每个渠道的总效果可以表示为：总效果 = x1 x 点击率1 x 转化率1 + x2 x 点击率2 x 转化率2 + … + xm x 点击率m x 转化率m我们的目标是最大化总效果，并同时满足预算和每个渠道的最小和最大投放限制。
具体而言，我们可以把上述目标转化成线性规划问题的形式：最大化：总效果 = x1 x 点击率1 x 转化率1 + x2 x 点击率2 x 转化率2 + … + xm x 点击率m x 转化率m约束条件：1. 总投放额度不超过总预算：x1 + x2 + … + xm <= 预算2. 每个渠道的最小投放限制： xi >= 最小投放量i，i = 1,2,…,m3. 每个渠道的最大投放限制： xi <= 最大投放量i，i = 1,2,…,m上述线性规划问题可以用已有的优化算法进行求解，得到最优解，即最大化效果的投放方案。
三、广告投放问题的算法研究1. 简单贪心算法最简单的广告投放算法是贪心算法。
数学建模在广告营销中的应用有哪些
数学建模在广告营销中的应用有哪些在当今竞争激烈的市场环境中，广告营销的重要性日益凸显。
企业为了吸引消费者的注意力，提高产品或服务的知名度和销售量，不断探索创新的营销策略。
数学建模作为一种强大的工具，在广告营销中发挥着越来越重要的作用。
它能够帮助企业更好地理解消费者行为、优化广告投放策略、预测市场趋势等，从而提高广告营销的效果和投资回报率。
一、消费者行为分析消费者行为是广告营销的核心关注点之一。
通过数学建模，可以对消费者的购买决策过程进行深入分析。
例如，可以建立消费者偏好模型，基于消费者的年龄、性别、收入、兴趣爱好等因素，预测他们对不同产品或服务的偏好程度。
这样，企业就能更有针对性地开发产品和制定广告策略，满足消费者的需求。
还可以利用数学建模来分析消费者的购买路径。
了解消费者从接触广告到最终购买产品的整个过程中，在各个环节的停留时间、转化率等指标。
通过建立购买路径模型，企业可以找出潜在的瓶颈环节，优化广告内容和页面布局，提高消费者的购买转化率。
此外，数学建模还可以用于分析消费者的口碑传播行为。
建立社交网络传播模型，研究消费者之间的信息传递和影响机制，从而更好地利用口碑营销来推广产品。
二、广告投放策略优化广告投放的渠道和时间选择直接影响广告的效果和成本。
数学建模可以帮助企业制定更科学的广告投放策略。
在渠道选择方面，可以通过建立媒体效果评估模型，综合考虑不同广告渠道的受众覆盖范围、受众特征、成本等因素，评估每个渠道的广告效果和投资回报率。
例如，对于电视广告，可以根据收视率、观众构成等数据进行建模；对于网络广告，可以基于点击率、转化率等指标进行分析。
根据模型的结果，企业可以将广告资源集中投放在效果最佳的渠道上，提高广告投放的效率。
在投放时间方面，数学建模可以根据产品的销售季节性、消费者的上网习惯等因素，预测不同时间段的广告效果。
例如，对于旅游产品，在节假日前夕加大广告投放力度；对于电商平台，在晚上和周末等消费者上网高峰期增加广告曝光量。
基于数学建模的广告投放策略制定
基于数学建模的广告投放策略制定随着科技的发展和互联网的普及，广告投放已经成为企业营销中不可或缺的一部分。
然而，出现在消费者面前的广告却时常让人厌烦，甚至在某些情况下带来负面影响。
因此，如何建立一个有效的广告投放系统，提高广告的投放精度和效果，成为了广告从业者必须面对的问题。
在广告投放中，建立一个数学模型是非常有必要的。
数学模型不仅可以提高广告投放精准度，更可以通过分析历史数据，为公司预测未来变化趋势和市场走向。
首先，广告投放需要进行数据统计和分析。
比如，消费者的年龄、职业、地理位置、性别等信息，以及消费历史、浏览历史等。
这些数据可以通过网络平台采集，并对采集的数据进行合理的分类、整理和分析。
例如，可以统计出某一产品的主要消费群体、最常用的浏览方式、广告点击率以及购买转化率等信息。
其次，建立一个合理的模型，选定适当的数学方法。
在广告投放中，模型的建立与选择一定要适合实际情况。
只有在真正理解客户和市场需求的前提下，才能制定出可预测、可应用、可执行的数学模型。
常用的数学方法包括线性回归模型、神经网络模型、朴素贝叶斯模型等。
根据不同要求和实际情况，选择最适合的数学方法来建立模型。
然后，进行模型测试和评估。
将建立好的模型进行测试和评估，检查和修正它可能存在的不足。
通过模型进行分析，预测和制定广告投放策略，并跟踪计划的执行效果。
同时还可以通过调整模型的参数来改进预测结果的准确性。
最后，制定一个全面且实用的广告投放策略。
将建立好的数学模型与广告投放策略结合，制定出一个全面、可行且实用的广告投放计划。
在此基础上，企业可以计算预期的广告投资回报率和有效期，并且可以随时根据市场变化进行调整和优化。
通过这种平衡和积极的方法，企业能够更好地估计市场状况，提高广告投放精度和效果，提升竞争力和营销效果。
总之，基于数学建模的广告投放策略制定不仅有助于提高广告投放的准确性和效果，还能够为企业提供重要的市场预测和内部决策依据。
只有掌握正确的数学方法，并从全面的角度考虑问题，才有真正实现广告投放的成功和可持续性。
广告与销售的关系 数学建模
● 摘要本文在合理的假设之下，就广告投入问题，根据市场调查并考虑厂家获利最大，利用那个线性代数的方法建立了优化模型，很好地解决了实际问题。
● 模型分析通过市场调查，销售速度在开始阶段随广告投入量的增加而逐渐增加，两者成正比例关系。
由于实际因素的影响，销售速度不可能无限的增加，在0t 时刻达到一个最大值，随着市场需求量达到饱和，销售速率会逐渐减小，最后降为零。
从厂家的角度来讲，应尽量使毛利润最大，故应降低广告投入，在1t 时刻销售速度降为零，广告投入也降为一个稳定值。
由此可以画出销售速度s t '（） 广告投入水平t A （）与时间t 的关系。
把销售速度和时间的关系积分可以得出销售量与时间的关系，根据销售量 单价及广告投入算出毛利润，最大毛利润极为广告投入的最佳水平。
通过销售量、广告水平与时间的关系，分析出不同时期的广告效果。
● 模型的假设与符号说明2.1模型的假设（1） 假设0t 时刻广告投入达到最高水平，同时销售速度达到最大值0s t '（）。
（2） 假设时刻1t 广告投入水平达到稳定，同时销售速度为零。
（3） 假设不同时刻的销售速度与广告投入水平成正比关系。
即： s t ()A p '=（）常数（t ）（4） 假设销售速度、广告投入水平与时间存在线性关系。
（5） 假设市场对此商品的饱和量为M 。
2.2符合说明0t ：广告投入最高的时刻销售速度达到最大的时刻。
1t ：广告投入达到稳定的时刻，销售速度达到“零”的时刻。
s t （）：不同时刻的销售量s t '（）：不同时刻的销售速度 t A （）：不同时刻的广告投入水平（以费用来计算）0t A （）：最大广告投入水平W ：每件商品的销售价格M ：市场销售的饱和度Z ：毛利润模型建立● 模型的优缺点1. 本模型在合理的假设之下，例如销售速度与广告投入成正比关系，具有一定的指导意义。
2. 本模型简单易于实用，例如销售速度与时间成线性关系。
销售 广告 利润问题 数学建模
销售广告利润问题摘要随着公司注册条件的一步步放宽，更多的人选择投资公司的方式来支配自己手中的资本。
本文通过对公司广告，销售与利润之间数量关系的分析，建立相应的函数关系模型，利用甲乙两公司销售的函数，用求导，平移函数图像地方法，求出相应的利润最值问题。
关键词：函数，求导，函数图像平移1 问题的提出甲乙两公司销售量为广告费x，y占他们总广告费的函数f（），f（），收入与销售成正比，乙公司广告费一定，要求求的甲公司利润的最大值。
2 问题的分析利润=收入-广告费，利用这个等式，建立家公司利润的函数表达式，再根据已知的关系，求导，得驻点，进而得最值。
3 模型假设a甲公司的收入与销售成正比，设这个比例为αb设甲公司的利润为Lc最值处，甲公司的广告费用为4 模型设计甲公司销售的表达式为f（）甲公司收入的表达式为αf（）家公司利润的表达式为L=αf（）-x5 模型的解法与结果（1）令t=，则f（t）+f（1-t）=1，画f（t）示意图f(t)图形以(1/2,1/2)为中心对称，由图1实线或虚线所示，以下设f（t）为实线形状。
（2）甲公司利润为p（x）=αf（）-x，α是常数。
求p（x）最大值点（a）由（）=0可得（）=（，记c是任意常数，则曲线族g（t）中与f（t）相切的那一条曲线的切点坐标为，而，（b）由f（t）~t图形做出图形（见图3），再作直线h（x）=，在曲线上找一点M，其横坐标＞y，使过M点的切线平行于h（x），即为所求。
6 模型的优缺点以及改进方法此模型是理想化的模型，α的不确定性使这个模型比较粗糙，这里只是简单的使收入与销售成线性的正比关系。
在实际应用中，可以再细微的调查相关数据，得出一个更精确的函数关系。
商品的广告与销售的数学模型
商品的广告与销售的数学模型官金兰)1( 刘斌强)2( 黄海平)3(（1）韶关学院2001级数学系数学与应用数学1班（2）韶关学院2001级计算机系计算机科学与技术4班（3）韶关学院2001级物理系物理普师教育1班摘要：本题为广州某空调公司新上市的空调的销售速度与广告费建立了一个最优化模型，运用常微分，运筹学知识，使用Maple ，Matlab 等数学软件确定了已知广告费时的销售速度，以及销售量为常量时的广告费，并求出了以知初始销售速度时的最大总利润，求得销售速度最大的月份为1月初或12月底，广告费为())100001(5.12.000S S t A -=元，求得月销售速度为：⎰+⎰⎰=--t dv v A M Pd A M p t S de e A p e et S t t 00)()())(()(00ττλτττλ ，代入数据，即)120(,)7103(7103)(35.0404≤≤⨯-+⨯=-t e S t S t 或te e S e t S 2.02.44044.2)7103(7103)(--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+⨯= 当M 为初始月起的的饱和量，)(t S 的增长速度与)(t A 成正比,其比例系数是t 的函数时,重新建立数学模型讨论以上问题，用类似的方法可以求得最佳广告费为3830)(=t A 元,以及销售速度7814)(=t S （台/月）. 关键词：最优化模型：销售速度；销售量1 问题的提出广州某空调公司生产了一种新空调，即将上市，当这种新产品投入市场后，为了促销， 就会对产品作广告。
用)(t S 表示该产品第t 月的销售量（件/月）， )(t A 表示该产品第t 月的月广告费，现要解决当广告策略进行一年，平均每年花费1000元时的销售速度，并求 出销售速度最大时的月份， 之二是市场保持稳定销售， 既每月销售量为常数时的广告费；若每件产品的盈利额为q 元，初始销售速度为0S （件/月），最大允许的广告费为σ元，2=q 元， 30000=S ，5000=σ，确定最佳广告费使总利润最大。
广告费用与销售量关系
广告费用与销售量关系广告费用与销售量的关系1.摘要一种随着经济的发展，行业之间的竞争越来越激烈，为了提高利润，广告成为了重要的竞争工具，也是企业培育市场、培养品牌的重要方式。
不同的行业、不同的产品、甚至同一产品的不同生命周期，广告的投放时间、投放程度、投放市场的选择都是千差万别的。
今天我们从数学角度结合数学知识研究广告投入策略对销售量的影响，试图得到一些局部使用的广告模型。
本文从广告与销售速度的关系着眼，利用微分方程建立了基本模型而来，并选择两个不同的广告策略来进行求解，然后结合实际，通过实例检验，说明了模型的可行性。
在模型的分析中，通过对初始销售速度s与利润Q的关系，利用线性规划求解得出不同产品的初始销售速度对应不同的最优开始广告宣传时间。
本文还进一步考虑了模型的优缺点，并根据提出的缺点，对模型进行了进一步改进，并提供了一些相关的评估方法。
关键字微分方程最佳广告宣传时间线性规划广告策略2问题重述目前，随着经济的迅速发展，行业间竞争越来越激烈，为了提高销售量，获得最大的利润，广告成为了一个很重要的竞争工具，也是企业培训市场和品牌的重要方式。
然而不同的行业、不同的产品、甚至同一产品的不同生命周期，广告的效果都是千差万别的。
本题给出某公司的产品销售价、同类产品其他厂家平均价格从而得到价格差数据，还有该企业的广告投入费用和销售量数据，提出了如下两个问题：（1）利用网络等收集有关信息和数据，建立综合或某个侧面的营销数学模型帮助企业获得较大的利润。
由于广告投入与销售量的内在关系，所以在这里我们就研究产品营销策略有对公司产品销售量的影响。
（2）如何评价不同时期的广告效果，确定最佳的广告投入使销售量达到最大。
3问题分析在当今社会,企业在保证商品质量的前提下,如何来提高商品销量成为重中之重的问题。
现实之中的实例说明，广告投入可以明显有效地相对提高销售量，从而实现企业利润更大化。
所以，首先，建立广告投入与销售量的数学模型，建立广告投入与销售量的关系，明确广告投入对销售量的影响，其次，利用该模型结果，也就是营销数学的一个侧面—广告投入，利用其关系，帮助企业获得更大利润。
一个广告投入对销售影响的数学模型
文章编号:1008-1402(2004)03-0420-03 一个广告投入对销售影响的数学模型孙淑兰, 王玉花(佳木斯大学理学院,黑龙江佳木斯154007)摘 要: 通过分析广告投入对销售的影响,建立广告投入策略的模型,讨论了不确定环境下的最优广告投入量,并用模拟近似法进行应用实例分析,从而得到模型参数的变化对最优策略的影响.关键词: 最小二乘法;销售的饱和水平;衰减因子;参数估计中图分类号: O29 文献标识码: A0 引 言随着经济的发展,行业之间的竞争越来越激烈,为了提高利润,广告成为一种重要的竞争工具,也是企业培育市场、培养品牌的重要方式.不同的行业、不同的产品、甚至同一产品的不同生命周期,广告的投放都是千差万别的.现在,广告研究出现了明显的以信息传播研究为主的态貌,将课题范围几乎完全收拢于广告信息传播本身,以研究广告中的某一信息要素为主,强调信息对于受众(潜在消费者)认知、态度、行为的影响,试图得到一些局部适用的广告传播规律.而我们从另一角度结合数学知识研究了广告投入策略对销售量的影响,这个问题对于生产企业,以及那些为推销商品作广告的企业尤为重要,象医药、家电、化妆图1 广告投入与销售量图示品等日用消费品行业,广告是最重要的促销手段.下面,我们就以某种家电为例,研究广告对销售的影响.1 实 例下面是某种洗衣机从2001年2月到2002年1月在某城市内做广告的投入和销售量的调查数据,如图所示从图中我们可以看出随着广告费用的增加,销售量也明显增加,但并不成正比.下面我们就根据图1设计一个依据这些数据的算法,给出最优广告费用;并把算法推广到任意商品的情况.2 合理假设我们假设商品销售与广告之间满足如下条件:1)商品的销售速度是因为做广告而增加的,但是这种增加有一定限度.当商品在市场上趋于饱和时,销售速度也趋于它的上限值,当销售速度到它的上限值时,无论再用何种形式做广告,销售速度都将减慢.2)自然衰减是销售速度的一种性质,即商品销售速度随销售率的增加而减小.3)令s (t )为t 时刻商品的销售速度,A (t )为t 时刻广告水平(以费用表示);M 为销售的饱和水平,即市场对商品的最大容纳能力.它表示销售速度的上极限; 为衰减因子,即广告作用随时间增长而自然衰减的速度,显然 >0且为常数.实验要求我们解决问题描述中的两个问题,并利用结论和给出的数据来估计参数M , 和可能引入 收稿日期:2004-06-02作者简介:孙淑兰(1967-),女,黑龙江佳木斯人,佳木斯大学理学院副教授.第22卷第3期 佳木斯大学学报(自然科学版) Vol.22No.3 2004 年7月 Journal of Jiamusi University (Natural Science Edition)July 2004的其他参数.3 问题分析与建立模型根据上面3个假设条件,我们引入响应系数P ,即A (t )对s (t )的影响能力为常数,销售量的下降速度与销售量成正比,广告宣传可给销售量增加一个增长速度,它与广告费成正比,但是广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和的部分,根据这些假设,我们建立数学模型:d s d t =PA (t )1-s (t )M -s (t )s (0)=s 0(1)解得s (t )=e - (pA (t )M + )d t [ pA (t )e (pA (t )M + )d t d t +s 0](2)为了方便,我们选择一个广告策略 A (t )=a 常量0<t < 0 t(3)其中a 表示在时间(0, )内得广告中费用.故有s (t )=p a +p a M1-e -( +pa M )t +s 0e -( +pa M )t 0<t < s ( )e ( -t ) t(4)下面对(4)式中第一个式子对t 求导,得d s d t =-(pa M + )s 0-p a (pa M + )e -(pa M + )t (5)当a s 0 (1-s 0M)P 时,d s (t )d t 0;反之d s (t )d t <0显然,从(4)式的第二个式子看出,当广告费用停止投入时,销售速度明显减少;当投入广告的周期为 时,只有当(6)式成立时,销售速度才是增加的.因此,为了提高经济效益,应在每个投入周期结束后,就立即进行下一轮的投入(初始值s 0用上一轮的s ( )代替),这样能够保证销售速度的持续增长.但从(6)式看出a 与每个周期的初始值s 0有关,当s 0很大时,a 的值也很大,此时可能致使厂家的销售利润不及广告费用,所以,决策者在每次投入广告费用之前应考虑到上述问题,选择合适时机投入广告费用.4 模型参数估计和检验下面我们就用上面洗衣机调查数据来说明参数估计,其调查结果(每月调查一次),为了便于估计参数,我们将(1)式离散化,得s (n +1)-s (n )=pA (n )1-s (n )M - s (n )(6)(6)式关于参数P ,M , 是线性方程,把11个月调查的结果代入(6),利用最小二乘法可以得到P = 1.207,M =11817, =0.341把参数代入(1),得d s d t = 1.207A (t )1-s (t )11817-0.314s (t )(7)则(7)是关于洗衣机的广告模型我们检验模型的精度,用(7)式对2001年9月洗衣机的销售量做了预测,计算结果为5040台,而调查的实际销售量是4938台计算5040-49385040100%=2%,可得相对误差为2%,这就说明模型与实际销售情421第3期孙淑兰等:一个广告投入对销售影响的数学模型况基本相符,可见模型对短时期的预测还是比较有效的.5 模型讨论和结果分析1)销售量与广告的投入关系式建立之后,我们就可以对商品的销售量作出预测与实际销售量进行误差分析,我们不难发现关系式(1)在广告策略(3)的作用短时间预测是有效的.2)生产企业若保持稳定销售,即d s d t=0,那么我们可以根据(5)估计采用广告水平A (t ),得到A (t )= s 0(1-s 0M)P 参考文献:[1] 姜启源.数学模型[M].北京:高等教育出版社,1993.[2] 数学模型编写组.数学模型[M ].广州:华南理工大学出版社,2001.[3] 张志让.数学实验[M].北京:科学出版社,1991.A MATHEMATICAL MODEL US ED TO ANALYSE THE RELATIONBETWEEN SALES AND ADVERTIS ING RATESU N Shu -lan , WANG Yu -hua(College of Sciences ,Jiamusi University ,Jiamus i 154007,China )ABSTRAC T : In the process of practically selling merchandise retailers often stimulate demand of items sold by them through advertise ment investment policy feasibly and scientifically.In this paper,the optimal advertisement cost under uncertainty environment is proved.An applied example is showed and the effect parameters of model on the optimal policy are provided.KEY WOR DS : least square method;saturation level sold;factor that decay;the para meter estimation (上接416页)参考文献:[1] M Hall 著,裘光明译.群论[M].北京:科学出版社,1981.THE STRUCTURES OF A CLASS OF CO MMUTATIVE RINGSWITH ZERO DIVISORSC HE N Lin -jue , LU Li -gang(College of Science ,Jiamusi Univers ity ,Jiamu si 154002,China )ABSTRAC T : Let R be a commutative ring containing n (n >5)zero divisors.The structures of R satisfying n (n -6) |R |<(n -3)2are given in the paper.KEY WOR DS : commutative ring;zero divisor;struc ture 422佳木斯大学学报(自然科学版)2004年。
数学建模——广告中的数学
广告中的数学在我们的现实生活中，广告无所不在。
广告给商家带来了丰厚的利润，广告中蕴藏着诸多学问。
以房产销售广告为例，房产开发商为了扩大销售，提高销售量，通常会印制精美的广告分发给大家。
虽然买房人的买房行为是随机的，他可能买房，也可能暂时不买，可能买这家开发商的房子，也可能买另一家开发商的房子，但与各开发商的广告投入有一定的关联。
一般地，随着广告费用的增加，潜在的购买量会增加，但市场的购买力是有一定限度的。
表9.1给出了某开发商以往9次广告投入及预测的潜在购买力。
表9.1 广告投入与潜在购买力统计（单位：百万元） 广告投入 0.2 0.4 0.5 0.52 0.56 0.65 0.67 0.69 1购买力 10340 10580 10670 10690 10720 10780 10800 10810 10950下面从数学角度，通过合理的假设为开发商制定合理的广告策略，并给出单位面积成本700元，售价为4000元条件下的广告方案。
模型假设（1）假设单位面积成本为1p 元，售价为2p 元，忽略其他费用，需求量r 是随机变量，其概率密度为()p r 。
（2）假设广告投入为p 百万元，潜在购买力是p 的函数记作()s p ,实际供应量为y 。
模型建立开发商制定策略的好坏主要由利润来确定，好的策略应该获得好的利润（平均意义下），为此，必须计算平均销售量()E x 。
()()()yyE x rp r dr yp r dr +∞=+⎰⎰上面右边第二项表示当需求量大于等于供应量时，取需求量等于供应量。
因此，利润函数为21()()R y p E x p y p =-- 利用()1p r dr +∞=⎰得到212()()()()yR y p p y p p y r p r dr =----⎰（9.1）上式中，第一项表示已售房毛利润，第二项为广告成本，第三项为未售出房的损失。
模型求解为了获得最大利润，只需对（9.1）式求导并令其为零，设()R y 获得最大值时y 的最优值为*y ，则2120()()()0y dR y p p p p r dr dy =--=⎰因此，*y 满足关系式*212()y p p p r dr p -=⎰（9.2） 通过（9.2）式知道，在广告投入一定的情况下，可以求出最优的供应量，但依赖于需求量的概率分布。
广告投放与商品销售模型
广告投放与商品销售关系模型摘要：在市场营销活动中，广告宣传是一种商品推销的重要途径与手段，商家会选择从适当的时间开始，在适当的时间段内以适当的宣传力度作广告，以取得最佳效果。
广告投放问题的研究实际上包括两个方面：一是投放力度与经济效应之间的联系；二是投放时间与经济效应之间的联系。
为了使以上问题有一个精确的、科学的答案，我们建立了数学模型，然后根据所建立的模型进行预测、决策。
由于经济市场的波动性和复杂性，需要假设商品的销售只与广告投放有关。
问题一需要研究广告投放与销售量之间的关系，为了更直观体现广告投放的影响，分别讨论了在有、无广告状态下的销售量。
在Vidale−Wolfe模型的基础上建立新的微分方程，我们得到结论：一定范围内的广告投入可以增加销售量，商品的销售量与上市时间呈指数关系，随着广告投放力度增加而增加，但广告投入只会影响该商品在市场上未达到饱和的部分。
一旦商品在市场上达到饱和状态后，无论如何投入广告，销售都将减缓。
通过对收集数据的多元线性回归分析，我们确认了模型的准确性。
问题二要求给出合适的宣传方案，为了简化模型，将问题转化为在商品投放入市场之后，投放广告的时间与商品销售达到饱和的时间之间的关系。
将产品销售时间分为三个时间段，确定有广告时间段的合适范围。
最终得到结论：在商品的销售初期投放广告，更有利于尽早使产品达到饱和；同时随着商品上市时间的增长，广告投放力度应先增大再减小，在商品成熟期时，广告费用最大，这样较有利于商家的利益最大化。
在本文所建立的模型中，最基本的前提条件就是整个商品市场位于理想状态下，但实际上这一点是最难达到的。
通过对模型的优化，考虑了广告时滞效应及非广告形式推销的影响，我们缩小了模型与实际之间的差距，使最终建立的模型具有足够的代表性。
关键词：销售速度指数曲线Vidale−Wolfe模型时滞效应多元线性回归一、问题重述随着新媒体的日益普及，广告的投放已成为商家和企业向大众介绍和推销产品的重要手段之一。
MATLAB数学建模3广告效应
广告费用和效应{问题3}某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆。
一般来说，随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算，如表1所示。
表1售价(元)预期销售量(桶)售价(元)预期销售量(桶)2.0041000 2.50380003,00340003.50320004.0029000 4.50280005.0025000 5.50220006.0020000为了尽快收回资金并获得较多的赢利，装饰材料公司打算做广告。
投入一定的广告费用后，销售量将有一个增长，可由销售增长因子来表示。
例如，投入4万元的广告费，销售增长因子为1.95，即销售量将是预期销售量的1.95倍。
根据经验，广告费与销售增长因子的关系如表2所示。
表2广告费(元)销售增长因子广告费(元)销售增长因子0 1.0010000 1.4020000 1.7030000 1.8540000 1.9550000 2.00600001.95700001.80试问：装饰材料公司采取怎样的营销战略使得预期的利润最大？[数学模型]设售货单价为x (元)，预期销售量为y (桶)，广告费为z (元)，销售增长因子为k 。
投入广告后实际销售量为s (桶)，获得的利润为P (元)。
预期销售量y 随售价x 的增加而减小，可近似用线性关系表示y =a 0+a 1x (1)其中，a 0和a 1是待定常数。
销售增长因子k 随广告费用z 先增后减，可用二次方程表示k =b 0+b 1z +b 2z 2(2)其中，b 0，b 1和b 2也是待定常数。
待定常数可根据表中数据拟合。
投入广告费之后，实际销售量为s =ky (3)利润是收入减支出，收入是售货单价x 乘以销售量s ；支出包括成本和广告费，成本是进货单价2乘以销售量s 。
因此利润为P =sx –2s -z =ky (x –2)-z =(b 0+b 1z +b 2z 2)(a 0+a 1x )(x –2)-z (4)这是二元函数，求最大利润就是二元函数的最大值。
在线广告投放优化策略数学建模
在线广告投放优化策略数学建模
在线广告投放优化策略可以通过数学建模来解决。
下面介绍一种常见的数学建模方法，即多目标优化模型。
首先，我们需要定义目标函数。
在线广告投放的目标通常包括最大化点击率、最小化成本、最大化转化率等。
我们可以将这些目标函数表示为f1(x), f2(x), f3(x)，其中x是问题的决策变量。
然后，我们需要确定决策变量。
在线广告投放的决策变量包括广告的投放位置、投放时间、投放量等。
我们可以将决策变量表示为x=(x1, x2, x3, ... , xn)。
接下来，我们需要建立约束条件。
在线广告投放的约束条件包括预算限制、资源限制、时间限制等。
我们可以将约束条件表示为g1(x), g2(x), g3(x)，其中g1(x)≤0，g2(x)≤0，g3(x)≤0。
综上所述，我们可以建立一个多目标优化模型，如下所示：
最大化 f1(x)
最小化 f2(x)
最大化 f3(x)
满足约束条件：
g1(x)≤0
g2(x)≤0
g3(x)≤0
通过求解这个多目标优化模型，我们可以得到在线广告投放的优化策略，使得多个目标同时得到满足。
在实际建模过程中，需要根据具体的问题场景和数据情况，选择合适的目标函数和约束条件，并确定合适的决策变量。
可以使用优化算法，如遗传算法、粒子群算法等，进行求解。
同时，还需要对模型进行验证和调整，以提高模型准确性和可行性。
总之，通过数学建模可以帮助优化在线广告投放策略，提高广告效果和投放效率。
建模——商品销售增长模型
对下面是实际问题建立相应的数学模型，并用数学软件包Matlab 对模型在M=1万，2()a t t t =+，a=5万，τ=10天时进行求解。
根据经验当一种新商品投入市场后，随着人们对它的拥有量的增加，其销售量)(t s 的增长与以购买者和潜在消费者成正比为k1。
广告宣传可给销量添加一个增长速度，它与广告费)(t a 成正比为k2，但广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和的部分（设饱和量为M ）。
建立一个销售)(t s 的模型。
若广告宣传只进行有限时间τ，且广告费为常数a ，问)(t s 如何变化？商品销售增长模型摘要：（略）问题陈述：（略）模型假设1. 假设每个人只购买一件商品；2. 假设销售量的固有增长率为常数；3. 假设广告引起的销售量增长率为常数；4. 假设广告宣传从0时刻开始持续τ时间；5. 假设在0时刻销售量为0；6. 假设销售量的增长仅与题目中给出的已购买者、潜在消费者和广告宣传有关。
符号说明1、)(t s 为t 时刻的销售量；2、λ为销售量的固有增长率；3、μ为广告引起的销售量增长率；4、M 为该商品市场饱和量且10000=M ；5、)(t a 为t 时刻的广告费且2)(t t t a +=；6、τ为广告宣传进行的有限时间且10=τ天；7、a 广告宣传进行的τ时间内广告费用且50000=a 元。
模型分析：（略）模型建立问题一模型：()()()(1)()(1)(0)0ds s t s t s t a t dt M M s λμ⎧=-+-⎪⎨⎪=⎩问题二模型⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=0)0(s )M )t (s 1(10at )M )t (s 1)(t (s dt ds μλ其中：⎩⎨⎧<≥=0001)(t t t u模型求解模型一求解取λ=0.01，μ=0.02 2)(t t t a +=050100150200250300020004000600080001000012000模型二求解取λ=0.01，μ=0.02 50000=a 10=τ050100150200250300010002000300040005000600070008000900010000结果分析：（略）附录：1、程序一函数文件func1.mfunction dy=func1(t,s);lm=0.01;mu=0.02;M=10000;dy=lm*s*(1-s/M)+mu*(t+t^2)*(1-s/M);主程序文件model1.mclear,clct0=[0 300];s0=0;[t,s]=ode45('func1',t0,s0);plot(t,s)2、程序二函数文件func2.mfunction dy=func2(t,s);lm=0.01;mu=0.02;a=50000;ta=10;M=10000;if t<tady=lm*s*(1-s/M)+mu*a*t/10*(1-s/M);elsedy=lm*s*(1-s/M);end主程序文件model2.mclear,clct0=[0 300];s0=0;[t,s]=ode45('func2',t0,s0);plot(t,s)。
数学建模C题：最佳广告费用及其效应
C 题：最佳广告费用及其效应摘要：本文从经济经验上着眼，首先用回归建立了基本模型，从预期上描述了售价变化与预期销售量的关系和广告费变化与销售量增长因子的关系。
其次从基本模型出发，我们构造出预期时间利润最大模型，得到了利润在预期的条件下获得最大利润116610元时的最佳广告费用33082元和售价5.9113元。
一 问题的分析与假设（1）销售量的变化虽然是离散的，但对于大量的销售而言，可设销售量的变化随售价的增加而线性递减。
（2）销售增长因子虽然也是离散的，但当广告费逐渐增加时，可设销售增长因子也是连续变化的。
（3）要使预期利润达到最大，买进的彩漆应为模型理论上的预期最大利润时的销售量相等。
二 模型的基本假设与符号说明（一）基本假设1. 假设彩漆的预期销售量不受市场影响。
2. 彩漆在预期时间内不变质，并且价格在预期内不波动。
（二）符号说明x ：售价（元）；y ：预期销售量（千桶）；：*y 回归拟合预期销售量（千桶）；y ：预期销售量的均值（千桶）； x ：售价的平均值（元）； 0A ：x 与y 的回归常数；1A ：x 与y 的回归系数；ε ：x 与y 的随机变量；k ：销售增长因子；m ：广告费（万元）；0B ：k 与m 的非线性回归系数；1B ：k 与m 的非线性回归系数；2B ：k 与m 的非线性回归常数；η ：k 与m 的随机变量；Z ：预期利润（元）。
三 模型的建立（一）售价与预期销售量的模型。
根据条件（表1）描出散点图，假设售价与预期销售量为线性关系，得基本模型 ε++=x A A 10y假定9组预期值),,(i i y x i=1,2,…,9；符合模型⎪⎩⎪⎨⎧==++=;9,...,2,1 0N ~;9,...,2,1,2110i i x A A y ii i ），，（σεε用OLS 法得 0A 和1A 的最小而乘估计6681.30ˆˆ1948.0))(()(A ˆ10919121=-=-=---=∑∑==x A y A y y x x x x i ii i i利用Matlab 解得售价与预期销售量的线性回归方程的模型，并得到线性回归方程与预期价拟合图1(计算机程序见附录1)*y =50.422-5.1333x图1(二)广告费与销售增长因子的模型根据条件（表2）描出散点图，假设广告费与销售因子为非线性关系，得其基本模型 η+++=2120k B m B m B假定8组预期值1,2,...,8j ),k ,(m j j =;符号模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+++=;8,...,2,1 0N ~;8,...,2,1,222120j j B m B m B k jj j j ），，（σηη利用Matlab 解得广告费与销售因子的非线性回归方程的模型，并得非线性回归方程与预期值拟合图2（计算机程序见附录2）0187.14092.0-0.0426k 2++=m m图2（三）预期利润的最优模型为了最大预期利润，建立预期利润的模型函数；目标函数4310102)y -k(x m ax Z ⨯-⨯=m限制条件：⎩⎨⎧≤≤++-=≤≤-=).70(,0187.14092.00426.0)8226.92(,1333.54222.502m m m k x x y解目标函数max Z 等价与求min (-Z),利用Matlab 解得min (-Z)(计算机程序见附录3):510-1.1661m in(-Z)⨯=;x=5.9113;m=3.3082;所以 5101.1661max Z ⨯=（四）检验1． 由Matlab 软件得第一个模型的决定系数谓为0.9909，误差较小，因此适用目标函数max Z;2. 由Matlab 软件得第二个模型的决定系数为0.9970，误差也较小，因此也适用目标函数max Z.(五) 建议虽然在预期上，投入33082元的广告费和售价5.9113元，可以达到预期销售量20.0777千桶，可以达到最大的预期利润，但市场存在一定风险，每一种产品都有其生命周期，即每种产品都会有一个销售量从增长到降低的过程。
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● 摘要
本文在合理的假设之下，就广告投入问题，根据市场调查并考虑厂家获利最大，利用那个线性代数的方法建立了优化模型，很好地解决了实际问题。
● 模型分析
通过市场调查，销售速度在开始阶段随广告投入量的增加而逐渐增加，两者成正比例关系。
由于实际因素的影响，销售速度不可能无限的增加，在0t 时刻达到一个最大值，随着市场需求量达到饱和，销售
速率会逐渐减小，最后降为零。
从厂家的角度来讲，应尽量使毛利润最大，故应降低广告投入，在1t 时刻销售速度降为零，广告投入也降
为一个稳定值。
由此可以画出销售速度s t '（） 广告投入水平t A （）与时间t 的关系。
把销售速度和时间的关系积分可以得出销售量与时间的关系，根据销售量 单价及广告投入算出毛利润，最大毛利润极为广告投入的最佳水平。
通过销售量、广告水平与时间的关系，分析出不同时期的广告效果。
● 模型的假设与符号说明
2.1模型的假设
（1） 假设0t 时刻广告投入达到最高水平，同时销售速度达到最大
值0s t '（）。
（2） 假设时刻1t 广告投入水平达到稳定，同时销售速度为零。
（3） 假设不同时刻的销售速度与广告投入水平成正比关系。
即： s t ()A p '=（）常数（t ）
（4） 假设销售速度、广告投入水平与时间存在线性关系。
（5） 假设市场对此商品的饱和量为M 。
2.2符合说明
0t ：广告投入最高的时刻销售速度达到最大的时刻。
1t ：广告投入达到稳定的时刻，销售速度达到“零”的时刻。
s t （）：不同时刻的销售量
s t '（）
：不同时刻的销售速度 t A （）：不同时刻的广告投入水平（以费用来计算）
0t A （）：最大广告投入水平
W ：每件商品的销售价格
M ：市场销售的饱和度
Z ：毛利润
模型建立
● 模型的优缺点
1. 本模型在合理的假设之下，例如销售速度与广告投入成正比关系，具有一定的指导意义。
2. 本模型简单易于实用，例如销售速度与时间成线性关系。
3. 本模型存在参数，求解参数时有误差。
● 模型的改进方向
该模型通过一定的合理假设，把广告投入与销量的问题转化为数学问
题，使数学问题描述的较为简单直观，但实际上我们考虑的不是很全面，这是我们所不足的地方，有待改进的地方。