高考数学知识点课件第16课 特殊三角形
解三角形PPT演示课件
04 三角形在实际问 题中的应用
测量问题中的三角形解法
角度测量
通过测量三角形的两个角，利用 三角形内角和为180度的性质，可
以求出第三个角的大小。
距离测量
在无法直接测量两点间距离的情况 下，可以通过构造三角形，利用已 知边长和角度，通过三角函数求解 未知距离。
高程测量
在测量地形高度时，可以通过构造 三角形并测量相关角度和距离，利 用三角函数求解未知高程。
物理学中的三角形解法
01 02
力的合成与分解
在物理学中，力是矢量，可以通过构造三角形来表示力的合成与分解。 例如，已知两个分力的大小和方向，可以构造三角形求解合力的大小和 方向。
运动学问题
在解决匀变速直线运动等问题时，可以通过构造速度、加速度和时间等 物理量的三角形关系，利用三角函数求解未知量。
03
解等腰三角形的方法
通过已知的两边和夹角，利用余弦定 理或正弦定理求解第三边和其余两个 角。
等边三角形的解法
等边三角形的定义和性质
01
三边长度都相等的三角形，三个内角均为60度。
解等边三角形的方法
02
通过已知的一边长度，利用三角函数或特殊角度的三角函数值
求解其余两边和三个角。
典型例题解析
03
展示一道等边三角形的求解问题，并详细解析解题步骤和思路
几何图形中的三角形解法
01
02
03
三角形面积计算
通过已知三角形的底和高 ，或者通过海伦公式等方 法，可以计算三角形的面 积。
三角形边长求解
在已知三角形部分边长和 角度的情况下，可以利用 正弦定理、余弦定理等方 法求解未知边长。
三角形形状判断
通过已知三角形的边长或 角度，可以判断三角形的 形状，如等边、等腰、直 角等。
解三角形ppt课件
解三角形中的最值问题
01
总结词
02
详细描述
03
示例
利用三角形性质和函数性 质，解决三角形中的最值 问题。
在解三角形问题中，常常 会遇到需要求最值的问题 。这类问题通常涉及到三 角形的边长、角度等性质 ，需要利用三角形的基本 性质和函数的基本性质进 行推理和求解。
在三角形ABC中，已知a 、b、c分别为角A、B、C 所对的边，且a = 2, b = 3, C = 60度。求三角形 ABC的面积的最大值。
航海定位问题
经验积累
解决航海定位问题需要丰富的经验积累，因 为在实际航行中会遇到各种复杂的情况。只 有通过不断实践和经验积累，才能熟练掌握 解三角形的方法，提高定位精度和航行安全
性。
建筑结构设计问题
结构设计基础
建筑结构设计问题是建筑学中的基础问题之一，涉及 到建筑物的稳定性和安全性。解三角形的方法可以用 来确定建筑物的结构形式和受力情况，保证建筑物的 质量和安全性。
测量距离问题
实践性强
解决测量距离问题需要很强的实践能力，需要具备一定的测 量和计算能力。同时，还需要对实际环境有足够的了解，能 够根据实际情况选择合适的解三角形方法。
航海定位问题
重要应用
航海定位问题在航海学中非常重要，因为准确的定位是保 证航行安全的前提。解三角形的方法可以用来确定船只的 位置和航向，保证航行路线的准确性。
解三角形ppt课件
contents
目录
• 引言 • 三角形的基本性质 • 解三角形的方法 • 实际应用案例 • 解三角形的进阶技巧 • 总结与展望
01
引言
三角形的定义与性质
三角形是由三条边和三个角构成的二 维图形。
三角形的边和角之间存在一定的关系 ，如两边之和大于第三边、内角和为 180度等。
第8讲特殊三角形精品讲义
FE CAD CEB AF_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ______________________________【参考答案】一、精讲精练1．①三边都相等；②有一个角是60°；有两个角是60°；③三边都相等，三个内角都是60°．2．①直角；②有两个角是45°；③两直角边相等，两底角都是45°．3．30°角所对的直角边是斜边的一半．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．二、精讲精练1．150°2．①②③④3． 8cm4． 证明：如图，延长BC 到E ，使CE =CD ，连接DE ，BD ． ∵∠BCD =120° ∴∠1=60°∴△DCE 为等边三角形∴DC =DE ，∠2=60°∵AB =AD ，∠BAD =60° ∴△ABD 为等边三角形 ∴AD =BD ，∠3=60° ∴∠2=∠3∴∠ADC =∠BDE 在△ADC 和△BDE 中AD BD ADC BDE DC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△ADC ≌△BDE （SAS ） ∴AC =BE ∵BE =BC +CE =BC +DC ∴BC +DC =AC 5． （1）略；（2）四边形AEDF 的面积保持不变，S =12ABC S ∆（3）△ABC 仍为等腰直角三角形 6． △EMC 是等腰直角三角形 7． C321EA B C D特殊三角形（作业）1. 如图，以正方形ABCD 的边AB 为一边向外作等边△ABE ，则∠BED 的度数为________．B C EADOAC DE第1题图 第2题图2. 如图，△ABD ，△ACE 都是等边三角形，BE 和CD 交于点O ，连接BC ，则∠BOC =__________．3. 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =60°，AB =BC ，AD =DC ，点E在边BC 上，点F 在边CD 上．若∠EAF =60°，求证：△AEF 是等边三角形．FABCDE4. 已知：如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，点E为AC 中点，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ．求证：EF =EG ．F 为BC 的中点．连接DE ，DF ，EF ．求证：∠FED =∠FDE ．F ABC DE6. 纳米技术（nanotechnology ）是用单个原子、分子制造物质的科学技术，研究结构尺寸在0.1至100纳米范围内材料的性质和应用．已知，某分子的直径约为0.399纳米，则这个分子的直径可用科学记数法表示为（ ）米．（保留两个有效数字） A ．3.9×10-1B ．3.9×10-10C ．4.0×10-10D ．4.0×10-17. 如图1，在长方形ABCD 中，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC →CD →DA 运动至点A 停止．设点P 运动的时间为x ，△ABP 的面积为y ，若y 与x 的关系图象如图2所示，则m 的值是（ ） A ．2.5B ．4.5C ．5D ．7【参考答案】1．45° 2．120° 3．证明：如图，连接AC∵∠B=∠D =60°，AB=BC,AD=DC ∴△ABC 和△ACD 是等边三角形 ∴∠ACE=∠CAD =60°AC=AD ∵∠EAF =60°∴∠CAD -∠CAF=∠EAF -∠CAF ∴∠EAC=∠F AD 在△EAC 和△F AD 中ACE D AC ADEAC FAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△EAC ≌△F AD （ASA ） ∴AE=AFFEDCBA 第3题图∴△AEF 是等边三角形 4．证明：连接DE∵AC=BC ，∠ACB=90°∴∠A =45° ∵CD ⊥AB∴∠ADC =90°，AD =12AB∴CD =12AB∴AD =CD∵E 为AC 中点∴DE =12AC=AE ，DE ⊥AC ，∠1=45°∴∠AED =90°，∠A =∠1 ∴∠2+∠DEF =90° ∵EF ⊥BE∴∠3+∠DEF =90° ∴∠2=∠3在△AEF 和△DEG 中123A EA ED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEF ≌△DEG （ASA ）∴EG =EF5．证明：∵BD ，CE 分别为AC ，AB 边上的高 ∴∠BDC =∠CEB =90°∵F 是BC 的中点∴EF =12BC ，DF =12BC∴∠FED =∠FDE6．C 7．B8．15AD <<321E FCBAG D第4题图FA B CDE特殊三角形随堂测试题姓名________1.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC边上的一点，EC⊥BC，EC=BD，连接AD，AE，DE．点F为DE中点，连接AF，CF．求证：（1）AD=AE；（2）AF=CF．AEFD【参考答案】略。
三角函数解三角形正弦定理和余弦定理课件理ppt
针对正弦和余弦函数的计算，数学家们不断优化算法，提高计算的效率和准 确性，例如快速傅里叶变换（FFT）等算法。
正弦定理和余弦定理在物理和工程中的应用进展
量子力学
在量子力学中，正弦和余弦函数是描述波动性粒子的基本波函数的常见形式，例 如电子和光子的波函数。
信号处理
正弦和余弦函数是信号处理的基础，包括模拟信号和数字信号的处理，如振幅调 制、频率调制、数字信号处理（DSP）等。
01
航海
在航海中，三角函数被用来确定船只的位置、航向和速度等。利用三
角函数可以计算船只与目标之间的角度、距离和时间等参数，从而保
证船只的准确航行。
02
航空
在航空中，三角函数被用来确定飞机的位置、航向和速度等。利用三
角函数可以计算飞机与目标之间的角度、距离和时间等参数，从而保
证飞机的准确航行。
03
地理
工程学
02
在工程学中，三角形边角关系可以用来解决结构分析和设计问
题。
物理学
03
在物理学中，三角形边角关系可以用来解决速度、加速度和力
的问题。
05
解三角形的实际应用
在工程、建筑和物理中的应用
工程设计
在工程设计中，三角函数被广泛应用于各种设计问题，如结构支撑、悬臂和框架等。利用 三角函数可以求出所需的数据，如压力、扭矩、弯曲等。
正弦定理的变式和推论
变式
正弦定理的变式包括比例式、等角式和差角式等。这些变式都可以由正弦定理推 出。
推论
正弦定理的推论有很多，比如正弦定理的逆定理、正弦定理的推广等。这些推论 都可以帮助我们更好地应用正弦定理。
03
余弦定理
余弦定理的证明和应用
高中数学解三角形课件
高中数学解三角形课件一、教学内容本节课的教学内容选自人教版高中数学必修五，第三章第11节的“解三角形”。
具体内容包括：三角形的概念、三角形的分类、三角形的内角和定理、正弦定理、余弦定理等。
二、教学目标1. 理解三角形的概念和分类，掌握三角形的内角和定理。
2. 掌握正弦定理和余弦定理，能够运用这两个定理解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点重点：三角形的内角和定理、正弦定理和余弦定理的理解和运用。
难点：正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、三角板、多媒体课件。
学具：笔记本、尺子、圆规、三角板。
五、教学过程1. 情景引入：通过一个生活中的实际问题，引入三角形的概念和分类。
2. 讲解三角形的内角和定理：用三角板演示，让学生直观地理解三角形的内角和定理。
3. 讲解正弦定理：通过PPT展示正弦定理的推导过程，让学生理解正弦定理的含义。
4. 讲解余弦定理：同样通过PPT展示余弦定理的推导过程，让学生理解余弦定理的含义。
5. 例题讲解：挑选一些典型的例题，让学生运用正弦定理和余弦定理解决问题。
6. 随堂练习：让学生独立完成一些练习题，巩固所学知识。
六、板书设计板书内容：三角形的内角和定理、正弦定理、余弦定理。
七、作业设计1. 作业题目：（1）运用正弦定理和余弦定理，解决一些三角形的计算问题。
（2）分析一道实际问题，运用正弦定理和余弦定理进行解答。
2. 答案：（1）正弦定理和余弦定理的计算问题，答案见教材。
（2）实际问题的解答，答案见PPT。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课的教学效果如何，学生是否掌握了三角形的内角和定理、正弦定理和余弦定理，哪些学生掌握了，哪些学生还存在问题，针对存在的问题，如何进行改进。
2. 拓展延伸：可以让学生进一步研究正弦定理和余弦定理在其他领域的应用，如物理、工程等。
也可以让学生尝试解决更复杂的三角形问题，提高他们的解题能力。
解三角形PPT教学课件
采用数值积分方法对定积分进行近 似计算，并讨论积分误差。
04
数值稳定性和精度保持策略
避免大数相除
在计算过程中，尽量避免大数除以小数的情 况，以减少舍入误差。
选择合适的数据类型
根据计算需求选择合适的数据类型，如单精 度浮点数、双精度浮点数等。
逐步细化计算步骤
将复杂计算分解为多个简单步骤，逐步细化 以提高计算精度。
三角形重要性质
三角形的稳定性
01
三角形具有稳定性，是建筑、工程等领域常用的结构形状。
三角形的面积公式
02
包括底乘高的一半、海伦公式等多种计算方法。
三角形的中线、角平分线、高线等性质
03
中线平分对应边、角平分线平分对应角、高线垂直于对应底边
等。
相似与全等三角形
相似三角形定义及性质
对应角相等、对应边成比例的三角形 为相似三角形，具有相似比等性质。
高度测量
解三角形也可以用于测量山峰、建筑物等高度。例如，通过在山脚和山 顶各设置一个观测点，测量两个观测点之间的水平距离和仰角，再利用 三角函数公式求解高度。
角度测量
在地理学中，角度测量也是非常重要的。解三角形可以通过已知三边或 已知两边和夹角等条件，利用三角函数公式求解未知角度。
航海学：航向、航速、航程计算
注意事项
需确保两角为夹边的两角
应用场景
在三角形求解、角度计算等方面有广泛应用
已知三边求角度（SSS）
已知条件
三边a、b、c
求解方法
利用余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/2bc求解角度A，同理可求B、C
注意事项
需注意余弦定理中边长的对应关系
应用场景
在几何、测量等领域中广泛应用
高中数学解三角形ppt课件
证明几何定理
如勾股定理、正弦定理、余弦定理等 ，可以通过面积公式进行证明
计算三角形的内角和
利用面积公式和三角形内角和定理， 可以求出三角形的内角和
面积公式在物理问题中的应用
1 2
计算物体的受力面积
在物理学中，经常需要计算物体在某个方向上的 投影面积或受力面积，可以通过面积公式进行计 算
计算物体的体积和表面积
02 余弦定理
在任意三角形中，任何一边的平方等于其他两边 平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍。
03 三角形的面积公式
S=1/2absinC，其中a、b为两边长，C为两边夹 角。
02
正弦定理及其应用
正弦定理的推导与证明
推导过程
通过三角形的外接圆和正弦函数的定义，推导出正弦定理的表达式。
一些几何性质。
最值问题
通过解三角形的方法，可以求解一 些与三角形相关的最值问题，如最 大面积、最小周长等。
存在性问题
在数学竞赛中，有时需要判断满足 某些条件的三角形是否存在，这可 以通过解三角形的方法来实现。
THANKS
感谢观看
对于一些规则或不规则的物体，可以通过计算其 各个面的面积，进而求出物体的体积和表面积
3
解决光学问题
在光学中，经常需要计算光线通过某个形状的面 积或光斑的大小，可以通过面积公式进行求解
05
解三角形综合应用举例
解直角三角形问题举例
已知两边求角度
通过正弦、余弦定理求解 直角三角形中的角度。
三角形的面积
解决三角形中的边长问题
利用正弦定理求出三角形中的未知边长。
正弦定理在物理问题中的应用
解决力学问题
在力学中，正弦定理可用于解决 涉及三角形的问题，如力的合成 与分解等。
《高二数学解三角形》课件
在地理测量中，利用解三角形的方法可以精确地测量方向。例如，使用 罗盘和三角函数可以确定一个物体的方向。
03
卫星轨道确定
在卫星轨道确定中，解三角形也是非常重要的工具。通过解三角形，可
以精确地计算卫星的位置和速度。
几何图形中的应用
三角形面积计算
解三角形的一个重要应用是计算三角 形的面积。通过解三角形，可以找到 三角形的底和高，然后使用公式计算 面积。
代数方法解题主要依赖于三角形的边和角的关系，通过代数 运算来求解三角形。
代数方法解题通常需要利用三角形的边和角的关系，如余弦 定理、正弦定理等，通过代数运算来求解三角形的角度、边 长等参数。这种方法适用于已知条件较为复杂，需要精细计 算的情况。
几何方法解题
几何方法解题主要依赖于几何图形的性质和定理，通过构造辅助线、图形变换等 方式来求解三角形。
正弦定理
总结词
利用正弦定理求解三角形的边长或角度。
详细描述
正弦定理是解三角形的重要工具，它建立了三角形边长和对应角正弦值之间的关 系。通过已知的边长和角度，我们可以使用正弦定理求解其他边长或角度。
余弦定理
总理是另一种求解三角形的方法，它建立了三角形边长的平方和与角度余弦值之间 的关系。通过已知的边长和角度余弦值，我们可以使用余弦定理求解其他边长或角度。
解三角形的重要性
总结词
解三角形在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用价值。
详细描述
解三角形在数学中扮演着重要的角色，它不仅是解决几何问题的基础，也是解决物理、工程等领域问题的重要工 具。例如，在物理学中，解三角形可以用于解决力学、光学、电磁学等方面的问题；在工程学中，解三角形可以 用于解决建筑、机械、航空航天等方面的问题。
高中数学精品课件解三角形.pptx
2020-5-11
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＝
，
sin ∠C B D sin ∠B C D
2
800×
C D ·sin ∠B C D
2
BD＝
sin ∠C B D
＝
2
2
3 2
1 －
2
＝800( 3＋1)m ，
又∠A D B ＝45°，A B ＝B D .
∴A B ＝800( 3＋1)m .
即山的高度为 800( 3＋1) m .
2020-5-11
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2
01
学习目标
LEARNING OBJECTIVES
2020-5-11
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3
01 学习目标
1 ．基线的概念与选择原则 (1 )定义 在测量上，根据测量需要适当确定的 线段 叫做基线． (2 )性质 在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说， 基线越长，测量的精确度越 高．
2020-5-11
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4
01 学习目标
思考：在本章“解三角形”引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可 及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经 估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？
提示：利用正弦定理和余弦定理．
2020-5-11
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5
解三角形PPT演示课件
振动分析
在振动分析中，经常需要研究物体的振动规律。通过使用三角函数和解三角形的方法， 可以分析出物体的振动频率、振幅和相位等参数，进而对物体的振动特性进行分析和预
测。
06
总结与展望
解三角形的意义
三角形是几何学中最基础、最重要的图形之一，解三角形是 研究三角形的重要手段之一。通过解三角形，我们可以了解 三角形的性质、特点、变化规律等，为几何学、物理学、工 程学等领域提供重要的理论支撑和实践指导。
解三角形的方法
解三角形的方法有很多种， 包括正弦定理、余弦定理、 勾股定理等。
三角形的重要性
三角形在日常生活中的应用
三角形在日常生活中的应用非常广泛，如建筑、工程、航海、航 空等领域。
三角形在数学中的地位
三角形是几何学中最基础和最重要的图形之一，对于几何学的发展 和应用具有重要意义。
三角形在物理学中的应用
角度和为180度
三角形的三个内角之和为180度。
边与角之间的关系
正弦定理
在一个三角形中，任意一边与其对应 角的正弦值的比等于三角形的外接圆 直径。
余弦定理
在一个三角形中，任意一边的平方等 于其他两边平方和减去两倍的这两边 与它们夹角的余弦的积。
03
解三角形的工具
三角函数
三角函数是解三角形的重要工具，用于描述三角形中各角度和边长之间的关系。 常用的三角函数包括正弦、余弦、正切等，它们在解三角形问题中发挥着关键作用。
掌握三角函数的性质和公式，能够快速解决各种解三角形问题。
余弦定理
余弦定理是解三角形的一个重要 定理，用于计算三角形各边的长
度。
定理公式为：c²=a²+b²2abcosC，其中a、b、c分别代 表三角形的三条边边和夹角，或者已 知的三边，利用余弦定理可以求
特殊三角形PPT教学课件
说明：证明等边三角形有三种思路： ①证明三边相等 ②证明三角相等
③证明三角形是有一个角为 60°的等腰三角形。 具体问题中可利用不同的方式进行求 解。
例6 .如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长 线上一点，且BD=CE，DE交BC于G 请说明DG=EG的理由.
❖ 思路 因为△GDB和△GEC 不全等，所以考虑在△GDB 内作出一个与△GEC全等的 三角形。
❖ (二)、选择。
❖ 1、满足下列条件的ΔABC，不是直角三角形的 是：（ ）
❖ A、b2=a2-c2
B、 ∠C=∠A-∠B
❖ C、∠A：∠B：∠C=3：4：5
❖ D、a:b:c=12:13:15
❖ 2、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等
的是（
）
❖ A、一条直角边和一个锐角分别相等
❖ B、两条直角边对应相等
）
（A）15分米（B）9分米（C）8分米（D）5分米
6、如图，某校A与公路距离为3000米，又与该公路旁
上的某车站D的距离为5000米，现要在公路边建一个
商店C，使之与该校A及车站D的距离相等，则商店与
车站的距离约为（
）
（A）875米（B）3125米（C）3500米（D）3275米
C
D
A
应用与延伸:
a
于点B、C
B
D
C
A
4、连结AB、AC
则△ABC为所求的三角形。
M
PB
D CQ N
例2.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D， CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。
❖ 证明：∵AB=AC ❖ ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角） ❖ ∴BD⊥AC于D，CE⊥AB于E ❖ ∴∠BEC=∠CDB=90° ❖ ∴∠1+∠ACB=90°，
高考数学基础知识综合复习第16讲正弦余弦定理课件
考点一
考点二
考点三
考点四
例3(2018年4月浙江学考)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,则cos C的取
值范围是
.
答案
5
3
[ ,1)
解析 设 BC=a,由 22=a2+32-2×3×acos C,
6
得 cos C= +
5
3
5
5
≥2
6
36
∴ ≤cos C<1.
12
1-cos 2 = ,
13
=
5
,
13
则该沙田的面积即△ABC 的面积
1
2
1
2
12
13
S= AB·BC·sin B= ×13×14× =84(平方里).
面积的最大值为
.
答案 4+4 2
解析 在△ABC中,b=4,a=4cos C+csin B,整理,得a=bcos C+csin B,
利用正弦定理:sin A=sin Bcos C+sin Csin B,
故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=sin Bcos C+sin Csin B,
应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=π求另一角.
(3)已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,
由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多
种情况.
(4)已知三边a,b,c,可以应用余弦定理求A,B,C.
(5)判断三角形的形状通常利用正、余弦定理进行边角互化,根据边
初中数学中考知识点考点学习课件PPT之特殊三角形及其性质知识点学习PPT
命题角度2 与等腰三角形相关的动点和多解问题
例2 如图 ，在 中， ， .点 为边 上一动点.
图（1）
（1）
当 <m></m> 是等腰三角形时， <m></m> 的长为_ _____________.
图（2）
或
【分步分析】 ① 当 <m></m> ，且点 <m></m> 在 <m></m> 下方时，在图 <m></m> 中画出对应图形.A.设 <m></m> ，则 <m></m> __________, <m></m> ________.B. <m></m> _________, <m></m> __________.C.根据 <m></m> ，可列方程为___________________，求得 <m></m> ____.
图（5）
或
【分步分析】 ① 连接 ,则 是______三角形.
等边
② 当点 <m></m> 落在 <m></m> 上时，在图（6）中画出相应的图形.A. <m></m> _____ <m></m> ， <m></m> ____ <m></m> .B. <m></m> _ ___.
2022年中考数学一轮复习课件：第16讲 特殊三角形
(1)求证：AF＝CE；
证明：连接 AD． ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，
∴AD⊥CB，AD＝DB＝CD． ∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADF＝∠CDE.
∵DF＝DE，∴△ADF≌△CDE(SAS)．
∴AF＝CE.
答图
(2)求证：CE2＋BF2＝12BC2.
证明：∵△ABC，△DEF 都是等腰直角三角形，
1．(2021 赤峰)如图，AB∥CD，点 E 在线段 BC 上，CD＝CE. 若∠ABC＝30°，则∠D 的B．75° D．30°
2．(2020 广东)如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 边上的点，BD ＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE 与 CD 相交于点 F.求证：△ABC 是等腰三角形．
＝1，则 AD 的长为 2 ．
7．(2021 青海)已知 a，b 是等腰三角形的两边长，且 a，b 满
足 2a－3b＋5＋(2a＋3b－13)2＝0，则此等腰三角形的周长为
(D) A．8
B．6 或 8
C．7
D．7 或 8
8．2002 年 8 月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我 国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角 形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图 1)，且大正方形的 面积是 15，小正方形的面积是 3，直角三角形的较短直角边为 a， 较长直角边为 b.如果将四个全等的直角三角形按如图 2 的形式摆 放，那么图 2 中最大的正方形的面积为 27 .
∴AE2＋CE2＝AC2.
即 CE2＋BF2＝12BC2.
答图
11．如图，边长为 4 的等边三角形 ABC，AC 边在 x 轴上，点 B 在 y 轴的正半轴 上．以 OB 为边作等边三角形 OBA1，边 OA1 与 AB 交于点 O1；以 O1B 为边作等边 三角形 O1BA2，边 O1A2 与 A1B 交于点 O2；以 O2B 为边作等边三角形 O2BA3，边 O2A3 与 A2B 交于点 O3；…….依此规律继续作等边三角形 On－1BAn，记△OO1A 的面积为 S1，△O1O2A1 的面积为 S2，△O2O3A2 的面积为 S3，……，△On－1OnAn－1 的面积为 Sn， 则 Sn＝ 34n－1·23 (n≥2，且 n 为整数).
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2．已知等腰三角形，常添的辅助线是作底边上的高(或顶角平 分线或底边上的中线)；角平分线＋平行线 等腰三角形．
3．等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线． 4．应用性质“三线合一”时，一定要注意是顶角的平分线， 底边上的中线，底边上的高互相重合，利用它可以证明线 段相等，角相等及直线垂直；“等边对等角”或“等角对 等边”仅限于在同一个三角形中，在两个三角形中若两边 相等，则它们所对的角不一定相等．
图 16－ 3 【解析】 如解图 1，过点 C 作 CD ⊥AD ，则 CD ＝3. 在 Rt △ADC 中，∵∠ CAD ＝30°，∴AC＝ 2CD＝ 2×3＝6. ∵三角尺是有 45°角的三角尺， ∴AB ＝AC＝ 6， ∴BC ＝ AB 2＋AC2＝ 62＋62＝ 72＝6 2.
【答案】
2018/6/13
C ．28.3 m D．17.3 m 【解析】 ∵∠A ＝60°，∠C＝90°，
∴∠B ＝30°，∴AB ＝2AC. ∵AC＝20 m ，∴AB ＝40 m ， ∴BC＝ AB 2－AC2＝20 3≈34.6(m) ．
【答案】
2018/6/13
B
4． (2013·浙江衢州 )将一个有 45°角的三角尺的直角顶点放在一张宽为 3 cm 的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边 与纸带的一边所在的直线成 30°角，如图 16－3，则三角尺的最大边的 长为 ( ) A ．3 cm B．6 cm C ． 3 2 cm D ．6 2 cm
等腰三角形的性质与判定
1．等腰三角形的性质： (1)等腰三角形的两个底角相等，简称为等边对等角； (2)等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上 的高互相重合，简称为三线合一． 2．等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等， 那么这两个角所对的边也相等，简称为等角对等边．
2018/6/13
考点点拨
D
(解图 1)
5．(2012·四川凉山)如图 16－4，一个等边三角形纸片， 剪 去一个角后得到一个四边形，则图中∠α ＋∠β的度数 是 A．180° B．220° C ．240° ( D．300° )
图 16－4
【解析】
∵等边三角形的每个角都为 60°，
∴两底角的和＝60°＋60°＝120°， ∴∠α ＋∠β＝360°－120°＝240°.
2018/6/13
解析：∵已知长度为 3 和 6 的两边，没有明确是底边还是腰，∴有 两种情况，需要分类讨论． ①当 3 为底时，另外两边都为 6， 3，6，6 可以构成三角形，周长为 15. ②当 3 为腰时，另外两边为 3 和 6， ∵3＋3＝6，∴不能构成三角形，故舍去． ∴答案只有 15.故选 B. 答案：B
2018/6/13
【精选考题 2】 (2013·浙江杭州)如图 16－ 6，在等腰梯形 ABCD 中，AB ∥ DC，线段 AG ，BG 分别交 CD 于点 E ， F ，DE ＝CF .求证：△GAB 是等腰三角形．
点评： (1) 本题主要考查等腰三角形的判定， 等腰梯形的性质以及全等三角 形的判定与性质，难度中等． (2)利用△ADE≌△ BCF 证∠GAB＝∠GBA 是解决本题的关键． (3)注意数形结合思想的应用． 解析：∵在等腰梯形 ABCD 中，AB ∥DC， ∴AD ＝ BC，∠ D＝∠ C，∠DAB ＝∠CBA . AD ＝BC， 在△ ADE 和△BCF 中，∵ ∠ D＝∠ C，
2018/6/13
真题体验
1．(2013·江苏徐州)若等腰三角形的顶角为 80°，则它的底 角度数为 A．80° C ．40° B．50° D．20° ( )
【解析】
∵等腰三角形的顶角为 80°，
1 ∴它的底角度数为 (180°－80°)＝50°. 2
【答案】 B
2018/6/13
2．(2013·湖北宜昌)如图 16－1，在矩形 ABCD 中，AB ＜ BC，AC，BD 交于点 O，则图中等腰三角形的个数是 ( A．8 B．6 C ．4 D． 2 )
DE ＝CF ， ∴△ ADE ≌△ BCF (SAS )，∴∠ DAE ＝∠CBF . ∵∠ DAB ＝∠CBA ，∴∠ GAB ＝∠GBA ， ∴GA ＝ GB ，即△ GAB 为等腰三角形．
2． 计算角度时， 常用方程思想， 结合三角形内角和为 180° 来解．
2018/6/13
【精选考题 1】
(2013·新疆)等腰三角形的两边长分别为 3 和 6 ， 则 ( )
这个等腰三角形的周长为
A．12 B．15 C ．12 或 15 D． 18 点评：(1)本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，难度中 等． (2)已知条件中没有明确等腰三角形的边是腰还是底边时，一定要想 到两种情况， 进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形， 验证非常重要，也是解题的关键．
图 16－1
【解析】
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AO＝BO＝CO＝DO， ∴△ABO，△BCO，△DCO，△ADO 都是等腰三角形， 故选 C.
【答案】
2018/6/13
C
3 ． (2013·广东佛山 ) 如图 16 － 2 ，若∠A ＝ 60° ，AC＝20 m ，则 BC 大约是(结果精 确到 0.1 m) B．34.6 m ( ) A．34.64 m
【预测演练 1】 角形的个数为 A ．0 C ．2
如图 16－5 ，在△ABC 中，AB ＝AC， ( B．1 D． 3 )
点 D 在 AC 边上，且 BD＝BC＝AD，则图中的等腰三
图 16－5 解析：△ABC，△ABD，△BCD 均为等腰三角形，共 3
个．
2018/6/13
答案：D
知识清单
考点二
【答案】
2018/6/13
C
1
2018.6
考点剖析
考点一
知识清单
1．有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫腰， 另一边叫底边，两腰夹角叫顶角，腰和底边夹角叫底 角． 2．三角形按角分类可分成锐角三角形，直角三角形，钝 角三角形．
等腰三角形的有关概念
2018/6/13
考点拨
1．等腰三角形的边(腰与底)或角(顶角与底角)不确定时往 往要分类讨论．