福建省宁德市2020届高三毕业班6月质量检查理科数学试卷与答案
2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查理科数学答案
2020年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．B 2．A 3．A 4．B 5．C 6．D 7．D 8．C 9．B 10．A 11．C 12．D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．13．5- 14．12 15．35- 16三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分．17． 解：（1）由2112122(2)n n n nn n S S a S S a n ++-⎧+=⎪⎨+=≥⎪⎩两式相减，得： 1112()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥，……………………………… 2分又0n a >，∴11(2)2n n a a n +-=≥，………………………………3分当1n =时，22122S S a +=且112a =， 故222210a a --=，得21a =（2102a =-<舍去），∴2111122a a -=-=，………………………………4分 ∴数列{}n a 为等差数列，公差为12，………………………………5分 所以12n a n = ．………………………………6分（2）由（1）及题意可得1112()11(1)2n b n n n n ==-++⋅，………………………………8分 所以123n n T b b b b =++++11111112[(1)()()()223341n n =-+-+-++-+]………………………………10分 122(1)11n n n =-=++．………………………………12分18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分． （1）证明：取DE 中点F ，分别连结AF ,FN 又N 为BC 中点，所以1//,2FN CD FN CD =,．…………………… 1分因为矩形ABCD 中，M 为AB 的中点，所以1//,2AM CD AM CD =所以//,AM FN AM FN =，……………… 2分 所以四边形AMNF 为平行四边形，…………3分 所以//AF MN ，……………… 4分 又因为AF ⊂平面AED ,MN ⊄平面AED ， 所以//MN 平面AED ．………………………5分 （2）因为矩形ABCD ⊥平面EBC ， 矩形ABCD 平面EBC BC =， AB BC ⊥所以AB ⊥平面EBC ．………………………………6分 如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D，1,0)E -，………7分 因为x 轴⊥平面ABCD ，所以1(1,0,0)=n 为平面ABCD 的一个法向量，………………………………8分 设2(,,)x y z =n 为平面AED 的法向量， 因为(0,2,0)AD =，(3,1,1)AE =--， 所以2200AD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，得200y y z =⎧⎪--=，故可取2=n ，………………………………11分 则1212121cos ,2⋅<>==⋅n n n n n n ，由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角E AD B --的大小为3π．………………………………12分解法二：(1)取CD 中点F ，分别连结FM ,FN ． 又矩形ABCD 中，M 为AB 中点， 所以//,AM DF AM DF =， 所以四边形AMFD 为平行四边形，所以//MF AD ，…………… 1分又AD ⊂平面AED ,MF ⊄平面AED ， 所以//MF 平面AED ．………………… 2分 因为F 、N 分别为CD 、CE 的中点．所以//FN DE ，又DE ⊂平面AED ,FN ⊄平面AED ， 所以//FN 平面AED ．……………… 3分 又因为MF FN F ⋂=，所以平面//FMN 平面AED ，………………4分 又MN ⊂平面FMN ，所以//MN 平面AED ．………………………………5分(2)过点E 作EG CB ⊥交CB 的延长线于G ，过G 作GH DA ⊥交DA 的延长线于H ，连结EH ， 又因为平面ABCD ⊥平面EBC ，矩形ABCD 平面EBC BC = 所以EG ⊥平面ABCD ．EG AH ∴⊥又EG GH G =，AH ∴⊥平面EGH ， EH AH ∴⊥所以EHG ∠即为二面角E AD B --的平面角，………………………………10分 因为1AB GH ==,GE所以tan EHG ∠………………………………11分 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角E AD B --的大小为3π．……………………12分19．本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识．满分12分．解：（1cos c C -=⋅sin cos B C A C -……………1分 又sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+cos cos sin )sin cos A C A C C A C +-=…………………………………2分sin sin 0A C C -=，…………………………………3分 因为0C π<<，所以sin 0C ≠所以cos 2A =0A π<<………………………………………4分 所以4A π=.……………………………………………………5分（2）由（1）知4A π=根据题意得4022C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，，解得42C ππ<<. ……………………………………………………6分在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c bC B=，所以)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b CC Aπ++===+………………………………………7分因为()42C ππ∈，，所以tan (1)A ∈+∞，所以(24)b ∈，……………………………………………………………8分 因为D 为BC 中点，所以1()2AD AC AB =+………………………………9分所以221()4AD AC AB =+21(48)4b b =++ 21(2)14b =++………………………………10分 因为(24)b ∈，所以AD的取值范围为………………………………12分解法二：(1)cos c C -=⋅2222a b c c ab+--=⋅……………………1分 整理得222b c a +-………………………………2分所以222cos 2a b c A bc +-==………………………………4分又0A π<<，所以4A π=………………………………5分(2)由（1）知4A π=，又c =2284a b b =+-.…………………………6分因为ABC ∆为锐角三角形，所以222222222a b c b c a a c b ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，即222222848884848b b b b b b b b ⎧+->⎪+>+-⎨⎪+-+>⎩………………………7分所以(24)b ∈，………………………………8分 延长AD 到点E ，使得DE AD =，连结BE ，CE . 则四边形ABEC 为平行四边形，所以344ABE πππ∠=-=，BE AC b ==. 在ABE ∆中，2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，………………………………9分 即2244+8AD b b =+，所以AD =………………………………10分 因为(24)b ∈，，所以AD的取值范围为.………………………………12分 20．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分． 解：（1）离心率为12c e a ==，∴2a c =，………………………………1分 2ABF ∆的周长为8，∴48a =，得2a =，………………………………3分 ∴1c =，2223b a c =-=，………………………………4分因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=．………………………………5分（2）设2ABF ∆的内切圆半径为r ，∴2221(||||||)2ABF S AF AB BF r ∆=++⋅，又22||||||8AF AB BF ++=，∴24ABF S r ∆=，要使2ABF ∆的内切圆面积最大，只需2ABF S ∆的值最大．………………………………6分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得：22(34)690m y my +--=， 易得0∆>，且122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+，………………………………7分所以212121||||2ABF S F F y y ∆=⋅-=，………………………………8分设1t =，则2212121313ABF t S t t t∆==++，………………………………9分 设13(1)y t t t =+≥，2130y t '=->，所以13y t t =+在[1,)+∞上单调递增，……………10分所以当1t =，即0m =时，2ABF S ∆的最大值为3，………………………………11分此时34r =，所以2ABF ∆的内切圆面积最大为916π．………………………………12分 （注：若讨论直线l 斜率存在或不存在，由此求得斜率不存在时面积最大值，酌情按步给分） 21．本题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（1）当0b =时，21()ax f x x eax +=-，1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，………………………………1分由1(1)(2)2a f e a a +'=+-=，………………………………2分得1(2)(2)0a ea a ++-+=，即1(1)(2)0a ea +-+=，……………………………3分解得1a =-或2a =-.………………………………4分当1a =-时，0(1)12f e =+=，此时直线2y x =恰为切线，故舍去，……………………5分 所以2a =-.………………………………6分 （2）当2b =时，21()2ln ax f x x e x ax +=--，设21ax t x e+=，则ln 2ln 1t x ax =++，………………………………7分故函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+. 由11()1t g t t t-'=-=,可得 ()g t 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，所以()g t 的最小值为(1)1ln112g =-+=，。
2020年6月福建省普通高中2020届高三毕业班质量检查测试(B卷)数学(理)试题及答案解析
绝密★启用前福建省普通高中2020届高三毕业班下学期质量检查测试(B 卷)数学(理)试题2020年6月本试卷共6页。
满分150分。
（在此卷上答题无效）注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}21x x A =->0,{}=0,1,2,3B ,则A B =A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2,3C ．{}2,3D ．{}0,1 2．复数z 满足i 2i z ⋅=+,则z 在复平面内对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“0a >,0b >”是“a b +≥的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．平面直角坐标系xOy 中,若角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,其终边上一点P 绕原点顺时针旋转π6到达点()3,4Q 的位置,则πsin 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭ A ．35- B ．35C ．45-D ．45 5．若单位向量,a b 满足⊥a b ,向量c 满足()1+⋅=a c b ,且向量,b c 的夹角为60,则=cA ．12B ．2C ．23D ．3 6．已知1142213,(),log 33a b c -===,则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b << B ．b a c << C ．c a b << D ．a b c <<7．小王于2015年底贷款购置了一套房子．根据家庭收入情况,小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式．截至2019年底,小王一家未再添置房产．2016及2019年小王的家庭收入用于各项支出的分布如图．根据以上信息,判断下列结论中正确的是A ．小王一家2019年用于其它方面的支出费用是2016年的3倍B ．小王一家2019年用于房贷的支出费用比2016年减少了C ．小王一家2019年用于饮食的支出费用与2016年相同D ．小王一家2019年的家庭收入比2016年增加了1倍8．已知函数()sin 2tan f x A x x =-在ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上恰有3个零点,则实数A 的取值范围是 A ．122A << B ．02A << C ．122A ≤≤ D ．02A <≤ 9．已知定义在R 上的函数()f x 的对称中心为()2,0,且当[2,)x ∈+∞时,2()2f x x x =-+,则不等式()f x x >的解集为A ．717,⎛⎫ ⎪ ⎝+-⎭∞⎪B ．717,⎛⎫ ⎪ ⎝++⎭∞⎪C ．717,⎛⎫ ⎪ ⎝-+⎭∞⎪D ．717,⎛⎫ ⎪ ⎝--⎭∞⎪ 10．如图,60C 是一种碳原子簇,它是由60个碳原子构成的,其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体,这60个C 原子在空间进行排列时,形成一个化学键最稳定的空间排列位置,恰好与足球表面格的排列一致,因此也叫足球烯．根据杂化轨道的正交归一条件,两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角θ（0180θ<≤） 足球。
2020届福建省宁德市高三毕业班6月质量检查数学(理)试题(解析版)
2020届福建省宁德市高三毕业班6月质量检查数学（理）试题一、单选题 1．复数21iz i=+在复平面内对应点的坐标为（ ） A ．()1,1-- B ．()1,1-C ．()1,1D ．()1,1-【答案】C【解析】由除法法则计算复数，化为复数的代数形式，得对应点坐标． 【详解】21i i+2(1)1(1)(1)-==+-+i i i i i ，对应点为(1,1)． 故选：C. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的几何意义．属于基础题． 2．已知集合{}2|20A x x x =--<，{}|3B x a x a =<<+，若{}|02A B x x ⋂=<<，则A B =（ ）A ．{}|23x x -<<B ．{}|13x x -<<C ．{}|03x x <<D ．{}|21x x -<<【答案】B【解析】先根据一元二次不等式的解法，求出集合{|12}A x x =-<<，然后根据{|02}A B x x ⋂=<<得出0a =，从而可得出集合B ，然后进行并集的运算，即可求出AB ．【详解】解：由题可知，{}2}|20{|12A x x x x x =-<-=<-<， 由于{|3}B x a x a =<<+，且{|02}A B x x ⋂=<<，0a ∴=，{|03}B x x ∴=<<，{|13}A B x x ∴=-<<．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集和并集的运算，属于基础题． 3．已知向量()0,1a =，()1,3b =，则a 在b 上的投影为（ ）A B C D ．12【答案】B【解析】由向量的数量积公式得出a 与b 的夹角的余弦值，再由cos a θ得出a 在b 上的投影. 【详解】设a 与b 的夹角为θ11a ==，(12b =+=，011a b =⨯+=⋅2cos 3a b ba θ⋅∴=⋅=则a 在b 上的投影为cos 1a θ==故选：B 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的几何意义，属于中档题.4．某校2名教师、4名学生分成2个小组，分别到两个不同的实验室做实验.每个小组由1名教师和2名学生组成，则教师A 和学生B 在同一个小组的概率为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】把四个学生编号，分配两个给教师A ，写出所示有基本事件可知教师A 和学生B 在同一个小组所含基本事件的个数．即可计算出概率． 【详解】4名学生编号为,,,B C D E ，与教师A 同一组的基本事件有,,,,,BC BD BE CD CE DE 共6个，其中教师A 和学生B 在同一个小组所含基本事件有,,BC CD BE 共3个，所以所求概率为3162P ==．本题考查古典概型，解题关键是用列举法写出事件空间中的所有基本事件．5．某数学小组在国际数学日（每年3月14日）开展相关活动，其中一个活动是用随机模拟实验的方法获得π的近似值.现通过计算器随机获得500个点的坐标()(),y 01,01x x y <<<<，其中有399个点的坐标满足221x y +≤，据此可估计π的值约为（ ） A ．3.19 B ．3.16C ．3.14D ．3.11【答案】A【解析】本题首先可以通过绘图明确点()(),y 01,01x x y <<<<所在区域以及221x y +≤所表示的区域，然后求出重合的区域面积，最后根据题意以及几何概型的性质即可得出结果. 【详解】如图所示，点()(),y 01,01x x y <<<<落在一个边长为1的小正方形内，正方形面积为1，221x y +≤指一个半径为1的圆以及此圆内部的所有区域，圆与小正方形重合的区域面积为4π， 因为获得500个点()(),y 01,01x x y <<<<的坐标，有399个点的坐标满足221x y +≤，所以π43991500，π 3.19， 故选：A. 【点睛】本题考查几何概型，能否根据题意准确的绘出图像是解决本题的关键，考查几何概型概率计算公式的灵活使用，体现了基础性，是中档题.6．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为4，且两条渐近线夹角为60，则该双曲线的焦距为（ ）A ．B ．8C ．4D ．8 【答案】D【解析】本题首先可以根据双曲线方程得出渐近线方程为by x a=±，然后根据两条渐近线夹角为60得出b a =ba =222c ab =+即可得出结果. 【详解】令22220x y a b -=，则2222y x b a =，b y x a =±，故双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为b y x a =±，因为两条渐近线夹角为60，所以其中一条渐近线的切斜角为30或60，3b a =或ba = 因为实轴长为4，所以2a =，当b a =时，b =2244343c a b ，焦距832c ；当ba=b =224124c a b ，焦距28c =，综上所述，该双曲线的焦距为8， 故选：D. 【点睛】本题考查根据双曲线的渐近线的相关性质求焦距，能否根据双曲线夹角的度数得出a 、b 之间的关系是解决本题的关键，考查双曲线实轴、虚轴以及焦距三者之间的关系，考查计算能力，是中档题.7．著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中1213,,,a a a ⋅⋅⋅表示这些半音的频率，它们满足()1212log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭.若某一半音与#D（ ）A ．#FB ．GC ．#GD ．A【答案】B【解析】先根据已知条件求得公比，结合题目所求半音与#D 的频率之比，求得该半音. 【详解】依题意可知()01,2,,12,13n a n >=.由于1213,,,a a a ⋅⋅⋅满足()1212log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，则121111222i i i i a a a a ++⎛⎫=⇒=⎪⎝⎭，所以数列{}()1,2,,12,13n a n =为等比数列，设公比1122q =，#D 对应的频率为4a ，题目所求半音与#D 41131222⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以所求半音对应的频率为4112482a a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭.即对应的半音为G .故选：B 【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题. 8．已知函数()tan 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为2π，其图象过点(，则其对称中心为（ ）A ．(),046k k ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B ．(),0412k k ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z C ．(),026k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z D ．(),0212k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z 【答案】A【解析】由正切函数的最小正周期公式T πω=求出ω，将点(代入求出ϕ，得出()tan y x ωϕ=+的解析式，根据正切函数的对称中心和利用整体代入法得出232k x ππ+=，即可求出对称中心. 【详解】 解：已知函数tan()(0,||)2y x πωϕωϕ=+><的最小正周期为2ππω=，2ω∴=，即函数tan(2)y x ϕ=+，其图象过点，tan ϕ∴=2πϕ<，3πϕ∴=，则函数tan(2)3y x π=+，令232k x ππ+=()k Z ∈，求得46k x ππ=-，k Z ∈， 则该函数的对称中心为(46k ππ-，0)，k Z ∈. 故选：A. 【点睛】本题考查正切函数的图象和性质，以及利用整体代入法求正切型函数的对称中心，考查分析和运算能力.9．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．472π++B ．47π++C ．872π++D ．872π+-【答案】C 【解析】由三视图可得该几何体为长方体中挖去半个圆锥，根据所给数据可计算出表面积. 【详解】由三视图可得该几何体为长方体中挖去半个圆锥，如图所示： 其中2AD DC ==，几何体的高为3， 所以2PA PB ==，22PC PD ==， 所以侧面PAD 和侧面PBC 面积相等，均为12222⨯⨯=， 侧面PCD 的面积为()221222172⨯⨯-=，半个圆锥的侧面积为1122ππ⨯⨯⨯=，底面积为21221422ππ⨯-⨯=-， 所以该几何体的表面积为22748722πππ++++-=++，故选：C.【点睛】本题考查几何体的表面积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，属于中档题.10．已知函数21,2()log ,2x fx x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则不等式(21)(4)f x f x +<的解集为（ ）A ．11(,)(,)64-∞-+∞ B ．11(,)(,)42-∞-+∞ C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞ D ．11(,)(,)22-∞-+∞【答案】D【解析】利用分段函数图象解不等式求解可得. 【详解】画出函数图象，由图得：()f x 是偶函数且在(,2)-∞-上单减，在(2+)∞，上单减； (21)(4)f x f x +<，由偶函数性质得当2214x x ≤+<，满足不等式，则12x >因为22x -<<时()1f x = 42x ∴<-时，满足不等式，则21x <- 综上有11(,)(,)22x ∈-∞-+∞ 故选：D 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式.利用指对数函数的单调性，要特别注意底数的取值范围，并在必要时进行讨论 11．若面积为1的ABC 满足2AB AC =，则边BC 的最小值为（ ） A ．1 B 2 C 3D ．2【答案】C【解析】由已知利用三角形的面积公式可得21sin AC A=，由余弦定理可求2sin 4cos 5BC A A +=，利用辅助角公式和正弦函数的性质即可求解．【详解】 解：ABC 的面积1S =，且2AB AC =，21sin sin 12ABC S AB AC A AC A ∴===△， 21sin AC A∴=， 根据余弦定理得：2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅22422cos AC AC AC AC A =+-⋅⋅⋅ 22254cos 54cos (54cos )sin AAC AC A A AC A-=-⋅=-=，即254cos sin ABC A-=，可得2sin 4cos 5BC A A +=，2sin 4cos )5BC A A A α∴++=，55sin()A α=≥+，解得：BC ≥即边BC 故选：C. 【点睛】本题考查三角形的面积公式、余弦定理和辅助角公式的应用，以及正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了化简和运算能力.12．当[],x m n ∈时，函数()2sin cos 2310f x x x x x ππ=--++≥恒成立，则n m-的最大值为（ ） A ．52B ．2C ．32D ．1【答案】C【解析】根据题意，将原不等式恒成立转化为2sin cos 231x x x x ππ---恒成立，设()sin cos g x x x ππ=-，2()231h x x x =--，转化为()()g x h x ≥恒成立，求得它们的交点(0,1)-，3(2，1)-，画出()y g x =和()y h x =的图象，即可得到所求区间和n m -的最大值． 【详解】解：由题可知，[],x m n ∈时，函数2()sin cos 2310f x x x x x ππ=--++恒成立， 即为2sin cos 231x x x x ππ---恒成立，设()sin cos g x x x ππ=-，即()2sin()4g x x ππ=-，()g x 为最小正周期为2的函数，且(0)1g =-，35()2sin124g π==-， 设2()231h x x x =--，可得3(0)()12h h ==-，分别作出()y g x =和()y h x =的图象，可得它们有两个交点(0,1)-，3(2，1)-，由题意可得当[0x ∈，3]2时，()()g x h x ≥恒成立，即()0f x 恒成立，此时n m -取得最大值32. 故选：C.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，以及正弦函数和二次函数的图象和性质，考查转化思想和数形结合思想，属于中档题.二、填空题13．若命题“[]01,2x ∃∈-，00x a ->”为假命题，则实数a 的最小值为_______. 【答案】2【解析】根据命题为假得到[]1,2x ∀∈-，0x a -≤恒成立，简单计算，可得答案. 【详解】命题“0x R ∃∈，20020x x a --=”为假命题，故[]1,2x ∀∈-，0x a -≤恒成立.所以[]1,2x ∀∈-，a x ≥恒成立， 故2a ≥ 所以实数a 的最小值为2 故答案为：2. 【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，掌握等价转化的思想，化繁为简，意在考查学生的推断能力，属基础题.14．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序.若输入的a ，b ，c 分别为0.61.5，1.50.6，0.6log 1.5，则输出的结果为________.（结果用a ，b ，c 表示）【答案】b【解析】模拟程序运算，确定变量值． 【详解】模拟程序运算，变量值变化如下：开始输入 1.50.60.60.6, 1.5,log 1.5a b c ===，1.50.6x =，判断0.6 1.51.510.6x >>=，0.61.5x =，判断0.60.61.50log 1.5x =>>，输出0.61.5x =， 故答案为：b ． 【点睛】本题考查程序框图，考查选择结构，模拟程序运行，观察变量值的变化，判断条件是否满足，可得结论． 15．已知点()2,0A -，)2,0B，动点P 满足APB θ∠=且2cos 12PA PB θ⋅⋅=，则点P 的轨迹方程为__________【答案】2213x y +=【解析】根据题意得||AB =由半角公式和余弦定理可得||||PA PB +的值为定值，且大于两个定点A ，B 的距离，由椭圆的定义可得P 的轨迹为椭圆，根据椭圆的几何性质求出a ，c ，b 的值，进而求出椭圆的方程． 【详解】解：根据题意，可知||AB = 由2||||cos12PA PB θ=，(0,)θπ∈，则1cos ||||12PA PB θ+=， ||||||||cos 2PA PB PA PB θ∴+=，在ABP △中22222||||||||||8cos 2||||2||||PA PB AB PA PB PA PB PA PB θ+-+-==，222||||cos 8PA PB PA PB θ∴=+-，即22||||cos 42PA PBPA PB θ+=-，22||||||||cos ||||422PA PBPA PB PA PB PA PB θ+∴+=+-=，22||||||||62PA PB PA PB +∴+=，即222||||||||12PA PB PA PB ++=，2(||||)12PA PB ∴+=，所以||||PA PB +=||AB ， 可得P 的轨迹为椭圆，且长轴长2a =2c =，焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆，即a =c =2221b a c =-=，所以P 的轨迹方程为：2213x y +=.故答案为：2213x y +=.【点睛】本题考查点的轨迹方程和椭圆的定义及性质的应用，还涉及半角公式及余弦定理的应用，考查化简和计算能力，属于中档题．16．已知四棱锥S ABCD -，底面ABCD 是边长为6的菱形，AC BD O =，SO ⊥底面ABCD 且8SO =.若此四棱锥的内切球的表面积为16π，则该四棱锥的体积为_______. 【答案】642【解析】利用数形结合，根据题意可知球心1O 在SO 上，作1,⊥⊥OE CD O F SE ，可知11,O F O O 为内切球的半径，然后计算SE ，利用等体积法，求得ABCD S ，最后根据体积公式可得结果. 【详解】由题可知：球心1O 在SO 上，作1,⊥⊥OE CD O F SE ，如图由SO ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，则SO CD ⊥⋂=SO OE O ，所以，CD ⊥平面SOE ，又1,⊂O F SE 平面SOE所以1,⊥⊥SE CD O F CD ，又1⊥O F SE ，⋂=SE CD E ，所以1O F ⊥平面SCD 由此四棱锥的内切球的表面积为16π，可知半径为2 所以1112,6===O F O O SO ，由111∠+∠=∠+∠SO F O SF O SF SEO ，所以1∠=∠SO F SEO11121cos cos 63∠=∠===O F SEO SO F O S ，则22sin ∠=SEO 所以22sin 62∠==⇒=OS SEO SE SE则11142332⎛⎫⋅=⋅⋅⋅⋅+⋅⇒= ⎪⎝⎭ABCD ABCD ABCD S SO CD SE S S所以13-=⋅=S ABCD ABCD V S SO故答案为：【点睛】本题考查几何体内切球问题，本题关键在于找到球心，以及计算底面菱形的面积，考验分析能力以及计算能力，同时结合数形结合的方法，形象直观，便于理解与计算，属难题.三、解答题17．已知等差数列{}n a 中，11a =且1a ，2a ，74a -成等比数列、数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足321n n b S -=.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）将数列{}n a ，{}n b 的公共项12,,,n k k k a a a ⋅⋅⋅按原来的顺序组成新的数列，试求数列{}n k 的通项公式，并求该数列的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；13n n b -=（2）13122n n k -=+；31424n n n T =+-【解析】（1）根据等比数列的性质，可求等差数列{}n a 的公差，从而求得数列{}n a 的通项公式，由()()1112n nn S n b S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩，可求得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）得1213n n k --=，所以可得13122n n k -=+，再求和.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1a ，2a ，74a -成等比数列，所以()21274a a a -=，即()()112164a a d a d +-=+，()()21631d d -=+⨯，解得2d =.所以21n a n =-.当1n =时，111321b S b -==，因为321n n b S -=，得11321n n b S ---=，（2n ≥） 所以()()1132320n n n n b S b S -----=，得13n n b b -=， 所以数列{}n b 是首项为1，公比3q =的等比数列，所以13n n b -=.（2）依题意，n k n a b =，由（1）得1213n nk --=，113131222n n n k --+==+，所以()0121131333322424n n n n n T -=+++++=+-.【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式、求和等基础知识，考查运算求解能力，逻辑推理能力，化归与转化思想等，属于中档题.18．如图，在ABC 中，AC BC ⊥，30BAC ∠=︒，4AB =，E ，F 分别为AC ，AB 的中点,PEF 是由AEF 绕直线EF 旋转得到，连结AP ，BP ，CP .（1）证明：AP ⊥平面BPC ；（2）若PC 与平面ABC 所成的角为60°，求二面角P CF B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）13【解析】（1）要证AP ⊥平面BPC ，则证AP PC ⊥和BC AP ⊥；证AP PC ⊥由平面几何知识可得，证BC AP ⊥，只需证EF AP ⊥，即证EF ⊥平面APC ，利用线面垂直判定可得.（2）建立空间直角坐标系，根据PC 与平面ABC 所成的角为60°，可知PEC 为等边三角形，分别计算平面CFB 、平面PCF 的一个法向量，然后根据向量的夹角公式，可得结果. 【详解】 解法一：（1）因为PEF 由AEF 沿EF 旋转得到，且E 为AC 中点，所以AE EC EP ==.所以AP PC ⊥ 又因为F 为AB 的中点，所以EF BC ∥， 又BC AC ⊥，所以EF AC ⊥， 从而EF EP ⊥，又ACEP E =，所以EF ⊥平面ACP ，即BC ⊥平面ACP ，又AP ⊂平面ACP ，所以BC AP ⊥， 又AP PC ⊥且PC BC C ⋂=，所以AP ⊥平面BPC （2）由（1）得EF ⊥平面AEP ，因为EF ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面ACP 过点P 作PM AC ⊥，交AC 于M 又平面ACP平面ABC AC =，故PM ⊥平面ABC ，所以PCM ∠为PC 与平面ABC 所成的角， 所以60PCM ∠=︒，又EC EP =，所以PEC 为等边三角形， 得M 为EC 中点，由BC ⊥平面ACP ，AC BC ⊥ 分别以CA ，CB 为x ，y 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，()0,0,0C ，()23,0,0A ，()0,2,0B ，()3,1,0F，3M ⎫⎪⎪⎝⎭，332P ⎫⎪⎪⎝⎭， 易得平面CFB 的一个法向量为()10,0,1n =，()3,1,0CF =，332CP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 设()2,,n x y z =为平面PCF 的一个法向量，则：2200n CF n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即303302x y x z ⎧+=⎪⎨+=⎪， 令3x =，得()23,3,1n =--，12121213cos ,13n n n n n n ⋅==又因为二面角P CF B --的大小为钝角， 故二面角P CF B --的余弦值为1313- 解法二：（1）因为PEF 由AEF 沿EF 旋转得到，所以EP AE =，又因为E 为AC 的中点，所以AE EC EP ==. 所以2APC π∠=，即AP PC ⊥，同理，AF BF PF ==，得AP BP ⊥， 又BPCP P =，所以AP ⊥平面BPC（2）由（1）得⊥AP BC ，又AC BC ⊥， 所以BC ⊥平面APC ，又因为BC ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面ACP . 过点P 作PM AC ⊥，垂足为M ， 因为平面ACP平面ABC AC =，所以PM ⊥平面ABC ，所以PCM ∠为PC 与平面ABC 所成的角，所以60PCM ∠=︒， 因为EC EP =，所以PEC 为等边三角形，所以M 为EC 中点， 取FB 的中点N ，连接MN ，所以MN EF ∥，所以MN ⊥平面PAC ， 分别以MN ，MC ，MP 为x ，y ，z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，()0,0,0M，0,2A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，2,2B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，0,,02C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 易得平面CFB 的一个法向量为()10,0,1n =，()1,CF =，30,2CP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 设()2,,n x y z =为平面PCF 的一个法向量，则：2200n CF n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0302x x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩， 令3x =，得()23,n =，12121213cos ,13n n n n n n ⋅==又因为二面角P CF B --的大小为钝角， 故二面角P CF B --的余弦值为13- 【点睛】本题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，以及线面角，面面角知识，考查推理论证能力、运算求解能力，审清题意细心计算，属中档题. 19．某药业公司统计了2010-2019年这10年某种疾病的患者人数，结论如下：该疾病全国每年的患者人数都不低于100万，其中有3年的患者人数低于200万，有6年的患者人数不低于200万且低于300万，有1年的患者人数不低于300万.（1）药业公司为了解一新药品对该疾病的疗效，选择了200名患者，随机平均分为两组作为实验组和对照组，实验结束时，有显著疗效的共110人，实验组中有显著疗效的比率为70％.请完成如下的2×2列联表，并根据列联表判断是否有99.9％把握认为该药品对该疾病有显著疗效；（2）药业公司最多能引进3条新药品的生产线，据测算，公司按如下条件运行生产线：每运行一条生产线，可产生年利润6000万元，没运行的生产线毎条每年要亏损1000万元.根据该药业公司这10年的统计数据，将患者人数在以上三段的频率视为相应段的概率、假设各年的患者人数相互独立.欲使该药业公司年总利润的期望值达到最大，应引进多少条生产线？附：参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）填表见解析；有99.9%的把握认为该药品对该疾病有显著疗效；（2）应引进2条生产线.【解析】（1）通过计算，直接列出2×2列联表，根据公式计算2K，即可判断出结果；（2）分引进1条，2条，3条生产线三种情况，分别求解总利润的期望值，即可得出结论.【详解】（1）列联表如下：由于()222007060403020018.210.8281001001109011K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 所以有99.9%的把握认为该药品对该疾病有显著疗效； （2）根据提议：()31002000.310P x ≤<==，()62003000.610P x ≤<==， ()13000.110P x ≥==， 记药业公司年总利润为ξ（单位：万元）， ①引进1条生产线的情形：由于每年的患者人数都在100万以上，因此运行1条生产线的概率为1，对应的年利润，()600016000E ξ=⨯=；②引进2条生产线的情形：当100200x ≤<时，运行1条生产线，此时600010005000ξ=-=，因此()()5000 1002000.3P P x ξ==≤<=）， 当200x ≥时，运行2条生产线，此时6000212000ξ=⨯=， 因此()()12000200= 0.60.10.7P P x ξ==≥+=， 由此得ξ与的分布列如下：所以()50000.3120000.79900E ξ=⨯+⨯=； ③引进3条生产线的情形：当100200x ≤<时，运行1条生产，此时6000100024000ξ=-⨯=， 因此()()40001002000.3P P x ξ==<<=，当200300x ≤<时，运行2条生产线，此时60002100011000ξ=⨯-=， 因此()()11000 2003000.6P P x ξ==<<=，当300x ≥时，运行3条生产线，此时6000318000ζ=⨯=， 因此()()18000 3000.1P P x ξ==≥=， 由此得ξ与的分布列如下：所以()40000.3110000.618000 0.19600E ξ=⨯+⨯+⨯=， 因为9900＞9600＞6000，所以欲使该药业公司年总利润的期望值达到最大，应引进2条生产线. 【点睛】本题主要考查随机变量的分布列与期望的计算，考查了独立性检验的应用，考查学生的运算求解能力、数据处理能力与应用意识.20．已知函数()()1ln 0x e f x a x a x x ⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()1ln 0xf x a x x +->，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）0e a -<≤【解析】（1）求出导数后，对a 分类讨论，利用导数可求得函数的单调区间； （2）分离参数后得n 11l x x a e+->在(0,)+∞上恒成立，再构造函数利用导数求出最大值即可得到答案. 【详解】（1）()222(1)e e (1)11()x x x a x f x a x xx x -+-⎛⎫'=+-+= ⎪⎝⎭， 由定义域为()0,∞+，所以e 1x >.当10a -≤≤时，0x e a +>，由()0f x '>，得1x >，由()0f x '<，得01x <<， 所以函数()f x 的单调递减区间为()0,1，递增区间为()1,+∞； 当1a <-时，令()0f x '=，则1x =或()ln x a =-， 当a e =-时，()ln 1a -=，()0f x '≥恒成立， 所以函数()f x 的递增区间为()0,∞+，无减区间；当1e a -<<-时，()0ln 1a <-<，由()0f x '>，得0ln()x a <<-或1x >，由()0f x '<，得ln()1a x -<<，所以函数()f x 的单调递减区间为()()ln ,1a -，递增区间为()()0,ln a -和()1,+∞； 当a e <-时，()ln 1a ->，由()0f x '>，得01x <<或ln()x a >-，由()0f x '<，得1ln()x a <<-，所以函数()f x 的单调递减区间为()()1,ln a -，递增区间为()0,1和()()ln ,a -+∞. 综上，当10a -≤≤时，函数()f x 的单调递减区间为()0,1，递增区间为()1,+∞； 当a e =-时，函数()f x 的递增区间为()0,∞+，无减区间；当1e a -<<-时，函数()f x 的单调递减区间为()()ln ,1a -，递增区间为()()0,ln a -和()1,+∞；当a e <-时，函数()f x 的单调递减区间为()()1,ln a -，递增区间为()0,1和()()ln ,a -+∞.（2）依题意得，()()1ln ln 0xxf x a x x e a a x +-=++>在()0,∞+恒成立.①当0a =时，不等式显然成立； ②当0a <时，()1ln xa x e -+<，即n 11l x xa e+->成立，设()1ln xx g x e +=，则()11ln xxx g x e --'=， 设()11ln h x x x=--，则()h x 在()0,∞+单调递减，()10h =，所以，当()0,1x ∈时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减. 所以()()max 11g x g e== 所以11a e->，解得(),0a e ∈-. 综上，当0e a -<≤时，()()1ln 0xf x a x x +->. 【点睛】本题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等.属于中档题.21．在平面直角坐标系xOy 中，动直线AB 交抛物线2:4y x Γ=于A ，B 两点. （1）若90AOB ∠=︒，证明直线AB 过定点，并求出该定点；（2）点M 为AB 的中点，过点M 作与y 轴垂直的直线交抛物线2:4y x Γ=于C 点；点N 为AC 的中点，过点N 作与y 轴垂直的直线交抛物线2:4y x Γ=于点P .设△ABC 的面积1S ，△APC 的面积为2S .（i ）若AB 过定点()2,1，求使1S 取最小值时，直线AB 的方程；（ii ）求12S S 的值.【答案】（1）证明见解析；定点()4,0（2）（i ）230x y --=（ii ）128S S = 【解析】（1）设直线AB 的方程，并代入抛物线方程，利用韦达定理和12120x x y y +=可解决；（2）（i ）得到M 、C 的坐标，得到||CM ，进而得到31121211||232S CM y y y y =⋅-=-，再根据二次函数可求得最小值；（ii ）求出122112111||||||2222y y S PN y PN y y +=⋅⋅-=⋅-，求出2121||||64PN y y =-代入12||2||S CM S PN =即可得到结果. 【详解】（1）证明：依题意可设直线AB 的方程为x ty m =+， 代入24y x =消去x 得：2440y ty m --=，216160t m ∆=+>，即20t m +>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y m =-， 因为90AOB ∠=︒，所以12120x x y y +=， 又21114x y =，22214x y =，所以2212121016y y y y +=，故1216y y =-，（120y y =已舍去）所以416m -=-，得4m =，因此直线AB 的方程为4x ty =+，该直线过定点()4,0. （2）（i ）因为AB 过定点()2,1，所以由（1）得2t m =+，即2mt ，()2216161620t m t t ∆=+=-+>恒成立，124y y t +=，12448y y m t =-=-，由题知得1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，()21212,162y y y y C ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()()()2222212121212121144||21621616y y y y y y y y x x CM +++-+=-=-=， 所以31121211||232S CM y y y y =⋅-=-， 因为12y y -===≥12t =时等号成立，所以33112113232S y y =-≥=当1S 取到最小值4时，12t =，32m =，直线AB 的方程为1322x y =+，即230x y --=.（ii ）依题知可得1121||2S CM y y =⋅-，122112111||||||2222y y S PN y PN y y +=⋅⋅-=⋅-，所以12||2||S CM S PN =， 由（2）（i ）可知212||16y y CM -=（此处12y y -可以理解为A ，B 两点的纵向高度差）同理可得22121212121()122||161664y y y y y PN y y ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭===-， 所以21212122||1628||64y y S y y S -==-. 【点睛】本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0r >）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的圾坐标方cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭l 与曲线C 相交于A ，B 两点. （1）求曲线C 的普通方程和l 的直角坐标方程； （2）若4r >，点()4,0P满足11PA PB-=r 的值. 【答案】（1）222x y r +=，40x y --=（2）r =【解析】（1）曲线C 的普通方程为222x y r +=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直线l 的极坐标方程中，可得到l 的直角坐标方程.（2）写出l的参数方程可设为422x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将l 的参数方程与曲线C 的普通方程联立，得22160t r ++-=，设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，则由韦达定理得1221216t t t t r ⎧+=-⎪⎨⋅=-⎪⎩. 【详解】（1）曲线C 的普通方程为222x y r +=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直线l 的极坐标方程中，得到l 的直角坐标方程为40x y --=.（2）点()4,0P 在直线l 上，则l的参数方程可设为4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将l 的参数方程与曲线C的普通方程联立，得22160t r ++-=，()()2232416432>4r r r ∆=--=->0，设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t，则由韦达定理得1221216t t t t r ⎧+=-⎪⎨⋅=-⎪⎩4r >时，212160t t r =-<⋅.所以21212212111616t t t t PA B t P t r r----====--⋅r =. 【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程的应用，意在考查考生综合运用知识和运算求解能力，属于中档题. 23．已知函数()1f x x a x =-+-.（1）当0a =时，求不等式()1f x ≤的解集A . （2）设()32f x x ≤-的解集为B ，若A B ⊆，求这数a 的值. 【答案】（1）{|01}A x x =≤≤（2）12【解析】（1）将0a =代入，则|||1|1x x +-，再利用绝对值不等式的性质即可得解； （2）问题等价于1122x a --在[0x ∈，1]上恒成立，由此建立关于a 的不等式组，解出即可． 【详解】解：（1）当0a =时，()|||1|f x x x =+-，即解不等式|||1|1x x +-， 由绝对值不等式知，|||1||(1)|1x x x x +---=，当且仅当(1)0x x -时取等号，因此()1f x 的解集{|01}A x x =；（2）由A B ⊆，即[0x ∈，1]，不等式3()||2f x x -恒成立，即3||12x a xx -+--，整理得1||2x a -， 故1122x a --在[0x ∈，1]上恒成立， 则1212a x a x ⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩在[0x ∈，1]上恒成立，得1212a a⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 故12a =． 【点睛】本题考查含绝对值、参数的不等式有解问题与基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想等，属于中档题.。
2020届宁德市普通高中毕业班质量检查试卷理科数学答案
1
2020年宁德市普通高中毕业班质量检查试卷 数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．
1．B 2．C 3．A 4．D 5．A 6．A
7．B 8．C 9．C 10．D 11．B 12．D
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．
13．22x y = 14．16 15．-8 16．{1,3}-
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换
等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、
函数与方程思想等．满分12分．
解：（1）因为1cos 7BDC ∠=-，22sin cos 1BDC BDC ∠∠+=， 所以43sin BDC =
∠.……………………………………2分 在BDC ∆中，,3C DBC C BDC π∠∠+∠+∠=π=， 所以sin sin()DBC BDC C ∠=∠+∠…………………………………………………………3分 sin cos cos sin BDC C BDC C =∠⋅+∠⋅……………………………………………………4分 431133327=
⋅-⋅=. …………………………………………………………5分 （2）在BDC ∆中，由正弦定理得sin sin CD BD DBC C =∠，…………………………………6分 即33
3=，解得7BD =.…………………………………………………………8分 因为2ABD DBC π∠+∠=，33sin DBC ∠=， 所以cos ABD ∠33=，……………9分。
2020高三数学毕业班6月质量检查试题理含解析
A。 B. C。 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由条件可得 ，然后可得 或 ，即可分析出答案。
【详解】因为 , ，
所以
所以 或
所以 或
因为 ，
所以，若 ， 、 一个取 ，一个取 时 最小为 ，
若 ， 、 一个取 ，一个取 时 最小为 ，
即 的最小值为
故选：B
【点睛】本题主要考查的是三角函数的图象和性质,考查的核心素养是数学运算，属于中档题.
A. B。 C。 D。
【答案】C
【解析】
【分析】
灯泡亮灯泡亮包括三个开关都闭合，只有下边的开关闭合,只有上边两个闭合，下边闭合上边闭合一个,这四种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，根据概率公式得到结果．
【详解】由题意，灯泡亮包括三个开关都闭合，只有下边的开关闭合，只有上边两个闭合，下边闭合上边闭合一个,
【答案】A
【解析】
【分析】
先由 ，求出 ；再由裂项求和的方法，求数列 的前10项和即可.
【详解】因为数列 的前 项和为 ， ，
所以，当 时， ，
又 满足 ，所以 ；
因此 ，
因此数列 的前10项和为
。
故选：A。
【点睛】本题主要考查数列的求和，熟记裂项求和的方法即可，属于常考题型。
2020年宁德市普通高中毕业班质量检查理科数学试卷
历某年所对应干支的程序框图.例如公元 1988 年，即输入
N = 1988 ，执行该程序框图，运行相应的程序，输出 x = 5 ，
从干支表中查出对应的干支为戊辰.我国古代杰出数学家祖冲
之出生于公元 429 年，则该年所对应的干支为（ ）
A．己巳
B．庚午
C. 壬戌
D．144 开始输入 N Nhomakorabea=1x=N-3-60*i i= i+1
=
1(a > b > 0) 的离心率为
2 2 ， F1, F2 分别为椭圆的左、右焦点，点
P 为椭圆 C 上的一动点， ∆PF1F2 面积的最大值为 2 .
3
（1）过 D'H 作与 BC 垂直的平面 α ，交棱 BC 于点 N ，试确定点 N 的位置，并说明理 由；
（2）过点 P 满足 D'P = λ D'C ，试求 λ 的值，使二面角 P − BH − A 为 3π . 4
D’
C’
A’
B’
D A
H C
B
19．（12 分）
已知椭圆 C
:
x2 a2
+
y2 b2
（一）必考题：60 分
17．（12 分）
如图，在平面四边形 ABCD 中， AB ⊥ BC ， AB = 3 3 ， CD = 3 ， cos ∠BDC = − 1 ， 7
3
∠C =π . 3
（1）求 sin ∠DBC ； （2）求 AD 的长.
A D
B
C
18．（12 分）
如图，在棱柱 ABCD − A'B'C'D' 中，底面 ABCD 为平行四边形. D= D' C=D 4 ， AD = 2 ， ∠BAD = π ，且 D' 在底面上的投影 H 恰为 CD 的中点.
《精编》福建省宁德市高三数学质检试题 理(含解析)新人教A版.doc
福建省宁德市届高三质量检查数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题〔共10小题，每题5分，总分值50分〕1．〔5分〕〔•宁德模拟〕假设集合M={x|x2﹣2x≤0}，N={x|﹣1≤x≤2}，那么〔〕A．N⊊M B．M∪N=N C．M=N D．M∩N=∅考点：交、并、补集的混合运算．分析：解出集合M中二次不等式，再求两集合的交集或并集，对照选项进行判断即可．解答：解：M={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，N={x|﹣1≤x≤2}，∴M∩N={x|0≤x≤2}，M∪N={x|﹣1≤x≤2}=N，应选B．点评：此题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．〔5分〕〔•宁德模拟〕x，y∈R，那么“x=y〞是“|x|=|y|〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：此题考查的知识点是充要条件的定义，我们可先假设“x=y〞成立，然后判断“|x|=|y|〞是否一定成立；然后假设“|x|=|y|〞成立，再判断“x=y〞是否一定成立，然后结合充要条件的定义，即可得到结论．解答：解：当“x=y〞成立时，“|x|=|y|〞一定成立，即“x=y〞⇒“|x|=|y|〞为真假命题；但当“|x|=|y|〞成立时，x=±y即“x=y〞不一定成立，即“|x|=|y|〞⇒“x=y〞为假命题；故“x=y〞是“|x|=|y|〞的充分不必要条件应选A点评：判断充要条件的方法是：①假设p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，那么命题p是命题q的充分不必要条件；②假设p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，那么命题p是命题q 的必要不充分条件；③假设p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，那么命题p是命题q的充要条件；④假设p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，那么命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分〞的原那么，判断命题p与命题q的关系．3．〔5分〕〔•宁德模拟〕角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，假设终边经过点〔，〕，那么tanθ等于〔〕A．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点〔，〕，根据三角函数的第二定义，终边过〔x，y〕的点tanθ=，代入可得答案．解答：解：∵角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点〔，〕，故tanθ==应选B点评：此题考查的知识点是任意角的三角函数的定义，其中熟练掌握三角函数的第二定义是解答的关键．4．〔5分〕〔•宁德模拟〕一个底面是等腰直角三角形，侧棱垂直于底面且体积为4的三棱柱的俯视图如以以下图，那么这个三棱柱的侧视图的面积为〔〕A．4B．2C．2D．4考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题．分析：通过三棱柱的俯视图，求出底面三角形的高，然后求出棱柱的底面面积，利用棱柱的体积求出棱柱的高，然后求出侧视图的面积．解答：解：由题意可知棱柱的底面面积为S，底面是等腰直角三角形，由俯视图可知斜边长为：2，斜边上的高为：1，底面面积S，所以S==1，因为棱柱的体积为4，所以V=Sh=4，所以棱柱的高为：4，侧视图是矩形，底边长为：1，高为4，所以侧视图的面积为：1×4=4．应选D．点评：此题考查几何体的三视图的应用，侧视图的面积的求法，考查计算能力．5．〔5分〕〔•宁德模拟〕以下函数f〔x〕中，满足“∀x1，x2∈〔0，+∞〕且x1≠x2，〔x1﹣x2〕[f〔x1〕﹣f〔x2〕]＜0“的是〔〕A．f〔x〕=2x B．f〔x〕=|x﹣1| C．f〔x〕=﹣xD．f〔x〕=ln〔x+1〕考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：易得所求函数在区间〔0，+∞〕上为减函数，逐个验证：A为增函数；B在〔1，+∞〕单调递增；C符合题意；D在〔﹣1，+∞〕上单调递增，可得答案．解答：解：由题意可得函数在区间〔0，+∞〕上为减函数，选项A为指数函数，为增函数，故不合题意；选项B，f〔x〕=，故函数在〔1，+∞〕单调递增，不合题意；选项C，由f′〔x〕=＜0可知函数在〔0，+∞〕上为减函数，符合题意；选项D，函数在〔﹣1，+∞〕上单调递增，故不合题意，应选C点评：此题考查函数的单调性，借用常用函数的单调性是解决问题的捷径，属根底题．6．〔5分〕〔•宁德模拟〕曲线y2=x与直线y=x所围成的图形的面积为〔〕A．B．C．D．考点：定积分．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：作出两个曲线的图象，求出它们的交点坐标，由此可得所求面积为函数﹣x在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到此题答案．解答：解：∵曲线y2=x和曲线y=x的交点为A〔1，1〕和原点O ∴曲线y2=x和曲线y=x所围图形的面积为S=〔﹣x〕dx=〔﹣x2〕=〔〕﹣〔〕=应选：A点评：此题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于根底题．7．〔5分〕〔•宁德模拟〕m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，直线m⊂平面a，直线n⊥平面β，给出命题：①n⊥m⇒α∥β；②n∥m⇒α⊥β；③α∥β⇒n⊥m；④α⊥β⇒n∥m．其中正确命题为〔〕A．①③B．②③C．②④D．①④考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：结合图形演示判断①是否正确；根据面面垂直的判定定理判断②是否正确；根据线面垂直的性质判断③是否正确；根据空间直线与平面的位置关系判断④是否正确．解答：解：①如图平面α、β的关系不定，故①错误；②∵m∥n，n⊥平面β，∴m⊥β，m⊂α∴α⊥β，②正确；③∵α∥β，n⊥β，∴n⊥α，m⊂α，∴m⊥n，③正确；④α⊥β，n⊥β，∴n⊂α或n∥α．m⊂α，∴m、n的位置关系不确定．应选B点评：此题借助考查命题的真假判断，考查空间直线与直线、平面与平面的位置关系．8．〔5分〕〔•宁德模拟〕平面上动点P到定点F与定直线/的距离相等，且点F与直线l的距离为1．某同学建立直角坐标系后，得到点P的轨迹方程为x2=2y﹣1，那么他的建系方式是〔〕A．B．C．D．考点：曲线与方程．专题：计算题．分析：通过曲线的轨迹方程，判断曲线的焦点坐标与对称轴的位置，然后确定选项．解答：解：因为点P的轨迹方程为x2=2y﹣1，即所求的抛物线方程：y=x2+，抛物线的对称轴为：y轴，顶点坐标为〔0，〕．所以该同学建系方式是C．应选C．点评：此题考查曲线与方程的关系，注意抛物线的性质的应用，也可以利用曲线图形变换解答．9．〔5分〕〔•宁德模拟〕在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C ﹣sinBsinC ，且=2，那么AC+2AB的最小值为〔〕A．4B．4C．4D．4考点：正弦定理；平面向量数量积的运算；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由结合正弦定理可得，a2=b2+c2﹣bc，然后利用余弦定理可得，cosA=可求A ，再由=2，结合数量积的定义可求bc，而AC+2AB=b+2c，利用根本不等式可求解答：解：∵sin2A=sin2B+sin2C ﹣sinBsinC，由正弦定理可得，a2=b2+c2﹣bc，由余弦定理可得，cosA==∴∵=2，由数量积的定义可知，∴bc=4∴AC+2AB=b+2c=4当且仅当b=2c=2时取等号应选D点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，及根本不等式在求解最值中的应用，熟练掌握定理是解此题的关键．10．〔5分〕〔•宁德模拟〕假设函数f〔x〕对于任意x∈[a，b]，恒有|f〔x〕﹣f〔a〕﹣〔x﹣a〕|≤T〔T为常数〕成立，那么称函数f〔x〕在[a，b]上具有“T级线性逼近〞．以下函数中：①f〔x〕=2x+1；②f〔x〕=x2；③f〔x〕=；④f〔x〕=x3．那么在区间[1，2]上具有“级线性逼近〞的函数的个数为〔〕A．1B．2C．3D．4考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据称函数f〔x〕在[a，b]上具有“T级线性逼近〞的定义，判断各个选项中的函数在区间[1，2]上是否满足“级线性逼近〞的定义，从而得出结论．解答：解：f〔x〕=2x+1在区间[1，2]上，由于|f〔x〕﹣f〔1〕﹣〔x﹣1〕|=|0|≤，故f〔x〕=2x+1在区间[1，2]上具有“级线性逼近〞，故满足条件．f〔x〕=x2 在区间[1，2]上，由于|f〔x〕﹣f〔1〕﹣〔x﹣1〕|=|〔x﹣1〕〔x﹣2〕|=﹣〔x﹣1〕〔x﹣2〕≤，故f〔x〕=x2在区间[1，2]上具有“级线性逼近〞，故满足条件．f〔x〕=在区间[1，2]上，由于|f〔x〕﹣f〔1〕﹣〔x﹣1〕|=|+﹣|=﹣〔+〕≤﹣2=﹣≤，故f〔x〕=2x+1在区间[1，2]上具有“级线性逼近〞，故满足条件．f〔x〕=x3在区间[1，2]上，由于|f〔x〕﹣f〔1〕﹣〔x﹣1〕|=|x3﹣7x+6|=|〔x﹣1〕〔x﹣3〕〔x+2〕|=﹣〔x﹣1〕〔x﹣3〕〔x+2〕，由于﹣〔x3﹣7x+6〕的导数为﹣3x2+7，令﹣3x2+7=0 可得 x=，在[1，]上，3x2﹣7＜0，﹣〔x﹣1〕〔x﹣3〕〔x+2〕为增函数，同理可得在[，2]上，﹣〔x﹣1〕〔x﹣3〕〔x+2〕为减函数，故﹣〔x﹣1〕〔x﹣3〕〔x+2〕的最大值为〔﹣1〕〔3﹣〕〔+2〕＞，故不满足“级线性逼近〞，故不满足条件．应选C．点评：此题主要考查新定义：“T级线性逼近〞的定义，不等式的性质应用，式子的变形是解题的难点，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分.把答案填在答题卡相应位置.11．〔4分〕〔•宁德模拟〕假设〔1+ai〕i=﹣3+i，其中a∈R，i是虚数单位，那么a= 3 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的等式的左边展开，然后利用复数相等的条件求a的值．解答：解：由〔1+ai〕i=﹣3+i，得﹣a+i=﹣3+i，∴﹣a=﹣3，那么a=3．故答案为3．点评：此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是根底题．12．〔4分〕〔•宁德模拟〕运行如以以下图的程序，输入3，4时，那么输出 4 ．考点：伪代码．专题：函数的性质及应用．分析：由中的程序代码，可得该程序的功能是计算并输出分段函数m=的值，由a=3，b=4，易得答案．解答：解：由中的程序代码，可得该程序的功能是计算并输出分段函数m=的值，当a=3，b=4时，满足a≤b故m=b=4故答案为：4点评：此题考查的知识点是伪代码，分段函数，其中由中的程序代码，分析出分段函数的解析式是解答的关键．13．〔4分〕〔•宁德模拟〕假设直线x﹣y+t=0与圆x2+y2﹣2x﹣6y﹣6=0相交所得的弦长为4，那么t的值等于﹣2或6 ．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：先将圆化成标准方程，求出圆心与半径，再在弦心距与半径构成的直角三角形中求解弦长即可．解答：解：圆x2+y2﹣2x﹣6y﹣6=0化为：〔x﹣1〕2+〔y﹣3〕2=16．圆心到直线的距离为d==4=2，解得t=﹣2或t=6．故答案为：﹣2或6点评：此题主要考查了直线和圆的方程的应用，以及弦长问题，属于根底题．14．〔4分〕〔•重庆〕变量x，y满足约束条件．假设目标函数z=ax+y〔其中a＞0〕仅在点〔3，0〕处取得最大值，那么a的取值范围为a．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：此题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值．解答：解：画出可行域如以以下图，其中B〔3，0〕，C〔1，1〕，D〔0，1〕，假设目标函数z=ax+y仅在点〔3，0〕取得最大值，由图知，﹣a＜﹣解得a＞故答案为a＞点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组〔方程组〕寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比拟，即可得到目标函数的最优解．15．〔4分〕〔•宁德模拟〕某种平面分形如以以下图，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°；…；依此规律得到n级分形图，那么n级分形图中所有线段的长度之和为．9﹣9•．考点：归纳推理．专题：规律型．分析：设n级分形图中所有线段的长度之和为a n，先根据题意可得a1、a2、a3、a4的值，找到其中的关系，进而可得到数列的通项公式．解答：解：设n级分形图中所有线段的长度之和为a n，依题意a1=3，a2=3+2×3×=3+2，a3=3+2×3×+2×2×3×=3+2+，a4=3+2++，…，它们构成一个首项为3，公比为的等比的和，∴a n==9﹣9•．故答案为：9﹣9•点评：此题主要考查归纳推理，数列通项公式的求法．数列的通项公式在数列学习中占据很重要的地位，要强化学习．三、解答题：本大题共6小题，总分值80分.解答须写出文字说明、证明过程和演箅步骤. 16．〔13分〕〔•宁德模拟〕二次函数f〔x〕=ax2+bx+1为偶函数，且f〔﹣1〕=﹣1．〔I〕求函数f〔x〕的解析式；〔II〕假设函数g〔x〕=f〔x〕+〔2﹣k〕x在区间[﹣2，2]上单调递减，求实数k的取值范围．考点：二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：〔I〕由偶函数的图象关于y轴对称，可得b值，进而根据f〔﹣1〕=﹣1，可得a值，进而可得函数f〔x〕的解析式；〔II〕假设函数g〔x〕=f〔x〕+〔2﹣k〕x在区间[﹣2，2]上单调递减，可得区间[﹣2，2]在对称轴的右侧，进而得到实数k的取值范围解答：解：〔I〕∵二次函数f〔x〕=ax2+bx+1为偶函数，故函数f〔x〕的图象关于y轴对称即x=﹣=0，即b=0又∵f〔﹣1〕=a+1=﹣1，即a=﹣2．故f〔x〕=﹣2x2+1〔II〕由〔I〕得g〔x〕=f〔x〕+〔2﹣k〕x=﹣2x2+〔2﹣k〕x+1 故函数g〔x〕的图象是开口朝下，且以x=为对称轴的抛物线故函数g〔x〕在[，+∞〕上单调递减，又∵函数g〔x〕在区间[﹣2，2]上单调递减，∴≤﹣2解得k≥10故实数k的取值范围为[10，+∞〕点评：此题考查的知识点是函数解析式的求法，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．17．〔13分〕〔•宁德模拟〕函数，f〔x〕=cos〔﹣2ωx〕+2sin2ωx〔ω＞0〕的最小正周期为π．〔I 〕求函数y=f〔x〕的最值及其单调递增区间；〔II 〕函数f〔x〕的图象可以由函数y=2sin2x〔x∈R〕的图象经过怎样的变换得到？考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性；函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：〔I〕利用降次升角公式，及和差角公式〔辅助角公式〕，可将函数y=f〔x〕的解析式化为正弦型函数的形式，结合函数y=f〔x〕的最小正周期为π，可得ω的值，进而结合正弦函数的图象和性质，可得答案．〔II〕根据函数图象的变换法那么，结合变换前后函数的解析式，可分析出函数变换的方法．解答：解：〔I〕∵f〔x〕=cos〔﹣2ωx〕+2sin2ωx=sin2ωx+1﹣cos2ωx=2sin〔2ωx ﹣〕+1又∵ω＞0，f〔x〕的最小正周期为π故ω=1故f〔x〕=2sin〔2x﹣〕+1∵A=2，B=1故函数y=f〔x〕的最大值为3，最小值为﹣1由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z故函数y=f〔x〕的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，〔k∈Z〕〔II〕将函数y=2sin2x〔x∈R〕的图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数y=2sin2〔x﹣〕=2sin〔2x﹣〕〔x∈R〕的图象；再将函数y=2sin2〔x﹣〕=2sin〔2x﹣〕〔x∈R〕的图象上的所有点向上平移1个单位长度得到函数f〔x〕=2sin〔2x﹣〕+1的图象．点评：此题考查的知识点是两角差的正弦函数，二倍角公式，正弦型函数的单调性，周期性，函数图象的变换，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．18．〔13分〕〔•宁德模拟〕椭圆E：〔a＞b＞0〕的左焦点为F，右顶点为A，离心率e=．〔I〕假设点F在直线l：x﹣y+1=0上，求椭圆E的方程；〔II〕假设0＜a＜1，试探究椭圆E上是否存在点P，使得？假设存在，求出点P 的个数；假设不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：〔Ⅰ〕椭圆的左焦点F在直线l：x﹣y+1=0上，把F的坐标代入直线方程可求c的值，与离心率e=联立后可求a的值，那么椭圆E的方程可求；〔Ⅱ〕假设椭圆E上存在点P，使得，设出P点坐标，求出向量和，代入后求出点P的横坐标，由题目给出的a的范围推出点P横坐标不在[﹣a，a]内，从而得出矛盾，假设错误．解答：解：〔Ⅰ〕∵F〔﹣c，0〕在直线l：x﹣y+1=0上，∴﹣c+1=0，即c=1，又，∴a=2c=2，∴b=．从而椭圆E的方程为．〔Ⅱ〕由，得，∴，椭圆E的方程为，其左焦点为，右顶点为A〔a，0〕，假设椭圆E上存在点P〔x0，y0〕〔﹣a≤x0≤a〕，使得，∵点P〔x0，y0〕在椭圆上，∴，由====1．解得：x0=a±2，∵0＜a＜1，∴x0=a±2∉[﹣a，a]，故不存在点P，使得．点评：此题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的标准方程，训练了存在性问题的处理方法，对于存在性问题，解决的思路是假设结论成立，把假设作为条件进行推理，得出正确的等式关系那么假设成立，肯定结论，否那么假设不成立，否认结论．此题是中档题．19．〔13分〕〔•宁德模拟〕如图〔1〕，在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠C=90°，CD=2AB=2，∠D=60°，E为DC中点，将四边形ABCE绕直线AE旋转90°得到四边形AB′C′E，如图〔2〕．〔I〕求证：EA⊥B′B；〔II〕线段B′C′上是否存在点M，使得EM∥平面DB′B，假设存在，确定点M的位置；假设不存在，请说明理由；〔III〕求平面CB′D与平面BB′A所成的锐二面角的大小．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：〔I〕通过证明EA⊥平面ABB′，然后证明EA⊥B′B；〔II〕存在．当M为B′C′的中点时，EM∥平面DB′B．利用直线与平面平行的判定定理证明即可；〔III〕通过建立空间直角坐标系，求出平面CB′D与平面BB′A的法向量，利用斜率的数量积求出两个平面所成的锐二面角的大小．解答：解：〔Ⅰ〕证明：∵CD=CD=2AB=2，∴CE=AB，又AB∥CD，且∠C=90°，∴四边形ABCD 为矩形．∴AB⊥EA，EA⊥AB′，又AB∩B′=A，∴EA⊥平面ABB′，∵BB′⊂平面ABB′，∴EA⊥B′B；〔Ⅱ〕解：存在．当M为B′C′的中点时，EM∥平面DB′B．理由如下：设AE与BD 交于N，连结B′N．∵AB∥DE且AB=DE，∴四边形ABED为平行四边形，∴N为AE的中点．∵M为B′C′中点，四边形AB′C′E为矩形，∴MB′∥EN，MB′=EN．∴四边形MB′NE为平行四边形，∴EM∥B′N，又∵EM⊄平面DBB′，B′N⊂平面DBB′，∴EM∥平面DB′B．〔Ⅲ〕解：由〔Ⅰ〕知DH⊥底面AB′C′E⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，E﹣xyz，如以以下图那么D〔1，0，0〕，B′0，，1〕，E〔0，0，0〕，C〔﹣1，0，0〕所以=〔﹣1，，1〕，=〔﹣2，0，0〕设面DCB′的法向量为=〔x，y，z〕，那么，⇒不妨设=〔0，1，〕…〔10分〕设面AB′B的法向量=〔0，1，0〕，所以cos==所以平面CB′D与平面BB′A所成的锐二面角的大小为60°…〔12分〕．点评：此题考查直线与平面的垂直与平行的判定定理的应用，二面角的求法，考查空间想象能力与计算能力．20．〔14分〕〔•宁德模拟〕一学生参加市场营销调查活动，从某商场得到11月份新款家电M 的局部销售资料．资料显示：11月2日开始，每天的销售量比前一天多t台〔t为常数〕，期间某天由于商家提高了家电M的价格，从当天起，每天的销售量比前一天少2台.11月份前2天共售出8台，11月5日的销售量为18台．〔I〕假设商家在11月1日至15日之间未提价，试求这15天家电M的总销售量．〔II〕假设11月1日至15日的总销售量为414台，试求11月份的哪一天，该商场售出家电M的台数最多？并求这一天售出的台数．考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题；综合题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：〔I〕由题意，在11月1日至15日之间该商场家电M每天的销售量组成公差为t的等差数列{a n}，结合等差数列的通项公式解出首项a1和公差t，从而由等差数列求和公式得到这15天家电M的总销售量．〔II〕设从11月1日起，第n天的销售量最多〔1≤n≤30，n∈N*〕．根据〔I〕前15天的销售量大于414，可得n＜15；通过假设n=5算出销售量为120＜414，得n＞5．因此n为大于5而小于15的整数，因此结合题中数据列出S15关于n的式子，解方程S15=414，即可得到n=15，可得在11月12日，该商场售出家电M的台数最多，这一天的销售量为46台．解答：解：〔I〕根据题意，商家在11月1日至15日之间家电M每天的销售量组成公差为t 的等差数列{a n}，∵，∴，解之得因此，这15天家电M的总销售量为S15=15×2+=450台．…〔6分〕〔II〕设从11月1日起，第n天的销售量最多，1≤n≤30，n∈N*由〔I〕，假设商家在11月1日至15日之间未提价，那么这15天家电M的总销售量为450台，而450＞414不符合题意，故n＜15；假设n=5，那么S15=5×2++10×16+=120＜414，也不符合题意，故n＞5因此，前n天每天的销售量组成一个首项为2，公差为4的等差数列，第n+1天开始每天的销售量组成首项为4n﹣4，公差为﹣2的等差数列．…〔10分〕∴S15=[2n+]+[〔15﹣n〕〔4n﹣4〕+]=﹣3n2+93n﹣270由条件，得S15=414，即﹣3n2+93n﹣270=414解之得n=15或n=19〔舍去19〕∴n=12，出售家电M的台数为2+11×4=46台故在11月12日，该商场售出家电M的台数最多，这一天的销售量为46台．点评：此题给出商场家电的销售量成等差数列的模型，求家电M哪一天的销售量为最多．着重考查了函数、数列的根本知识及其应用能力，考查了函数方程思想和转化化归思想的应用，属于中档题．21．〔14分〕〔•宁德模拟〕函数f1〔x〕=x2，f2〔x〕=alnx〔a∈R〕•〔I〕当a＞0时，求函数．f〔x〕=f1〔x〕•f2〔x〕的极值；〔II〕假设存在x0∈[1，e]，使得f1〔x0〕+f2〔x0〕≤〔a+1〕x0成立，求实数a的取值范围；〔III〕求证：当x＞0时，lnx+﹣＞0．〔说明：e为自然对数的底数，e=2.71828…〕考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：〔I〕求出导函数，通过对导函数为0的根与区间的关系，判断出函数的单调性，求出函数的极值；〔II〕根据题意存在x0∈[1，e]，使得f1〔x0〕+f2〔x0〕≤〔a+1〕x0成立，设g〔x〕=x2+alnx﹣〔a+1〕x，那么问题转化为g〔x〕min≤0即可，再利用导数工具得出g′〔x〕，对a时行分类讨论①当a≤1时，②当1＜a＜e时，③当a≥e时，利用导数研究其单调性及最小值，求出a的范围，最后综上得到实数a的取值范围即可；〔III〕问题等价于x2lnx＞，构造函数h〔x〕=，利用导数研究其最大值，从而列出不等式f〔x〕min＞h〔x〕max，即可证得结论．解答：解：〔I〕f〔x〕=f1〔x〕•f2〔x〕=x2alnx，∴f′〔x〕=axlnx+ax=ax〔2lnx+1〕，〔x＞0，a＞0〕，由f′〔x〕＞0，得x＞e，由f′〔x〕＜0，得0＜x＜e．∴函数f〔x〕在〔0，e〕上是增函数，在〔e，+∞〕上是减函数，∴f〔x〕的极小值为f〔e〕=﹣，无极大值．〔II〕根据题意存在x0∈[1，e]，使得f1〔x0〕+f2〔x0〕≤〔a+1〕x0成立，设g〔x〕=x2+alnx﹣〔a+1〕x，那么g〔x〕min≤0即可，又g′〔x〕=x+﹣〔a+1〕=，①当a≤1时，由x∈[1，e]，g′〔x〕＞0，得g〔x〕在[1，e]上是增函数，∴g〔x〕min=g〔1〕=﹣〔a+1〕≤0，得﹣≤a≤1．②当1＜a＜e时，由x∈[1，a]，g′〔x〕＜0，得g〔x〕在[1，a]上是减函数，由x∈[a，e]，g′〔x〕＞0，得g〔x〕在[1，a]上是增函数，∴g〔x〕min=g〔a〕=﹣a2+alna﹣a=﹣a2﹣a〔1﹣lna〕≤0恒成立，得1＜a＜e．③当a≥e时，由x∈[1，e]，g′〔x〕＜0，得g〔x〕在[1，e]上是减函数，∴g〔x〕min=g〔e〕=〕=﹣e2+a﹣ae﹣e≤0，得a≥，又＜e，∴a≥e．综上，实数a的取值范围a．〔III〕问题等价于x2lnx＞，由〔I〕知，f〔x〕=x2lnx的最小值为﹣，设h〔x〕=，h′〔x〕=﹣得，函数h〔x〕在〔0，2〕上增，在〔2，+∞〕减，∴h〔x〕max=h〔2〕=，因﹣＞0，∴f〔x〕min＞h〔x〕max，∴x2lnx＞，∴lnx﹣〔〕＞0，∴lnx+﹣＞0．点评：此题主要考查了函数在某点取得极值的条件，先通过导数求出函数的极值，导数在最大值、最小值问题中的应用．。
2020 年福建省高三毕业班质量检测理科数学(含详细答案)
水量的数据，制得频率分布直方图（如图）．若以频率代替
概率，从该市随机抽取 5 个家庭，则月均用水量在 8～12
吨的家庭个数 X 的数学期望是
A． 3.6
B． 3
C．1.6
D．1.5
6．在 △ABC 中， DC 2BD ，且 E 为 AC 的中点，则 DE
A． 2 AB 1 AC 36
B． 2 AB 1 AC 36
18．(12 分) 如图 1，在矩形 ABCD 中，AB 2 ，BC 3 ，点 E 在线段 BC 上，BE 2EC ．把△BAE
沿 AE 翻折至 △B1AE 的位置，B1 平面 AECD ，连结 B1D ，点 F 在线段 DB1 上，DF 2FB1 ， 如图 2．
（1）证明： CF∥平面 B1AE ； （2）当三棱锥 B1 ADE 的体积最大时，求二面角 B1 DE C 的余弦值．
2
其中正确结论的个数是
A． 4
B． 3
C． 2
D．1
10．设抛物线 E：y2 6x 的弦 AB 过焦点 F ， AF 3 BF ，过 A ， B 分别作 E 的准线的垂
线，垂足分别是 A ， B ，则四边形 AABB 的面积等于
A． 4 3
B． 8 3
C．16 3
D． 32 3
11．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图 1），充分展示了我国古代
解法一：因为 B= x x≤ 2或x≥4 ，所以 A B=x x≤ 2或x≥1 ，
故 R (A B)=x 2 x 1，故选 C．
解法二：特殊值法，取 x 2 ，排除 A，D；取 x 2 ，排除 B，故选 C． 【错因分析】
选择 A 答案，求 A B 出现错误，得到 A B x x 2或x 1 ；
2020届福建省高三毕业班质量检查测试数学(理)试题(解析版)
2021届福建省高三毕业班质量检查测试数学〔理〕试题一、单项选择题21 .集合A xy ln x 1 ,B xx 4 0 那么AI B =A. xx 2B. x 1 x 2C. x 1 x 2 D【答案】C【解析】可求出集合A, B,然后进行交集的运算即可.【详解】. . ,・, 2 ■八人A x y ln x 1 {x|x> 1} ,B x x 4 0 x 2 x,An B={x|1 <x< 2}.应选：C.【点睛】考查描述法的定义,对数函数的定义域,一元二次不等式的解法,交集的运算.2.假设复数z满足Z 1 i 1 i,那么zA. iB. 1 iC. & D【答案】D【解析】把等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简求得z,算公式求解.【详解】1 i 1 i i由〔z+1〕 i=1 + i,得z+1 ----------------------- 2——1 i,i iz= - i,贝U | z| = 1.应选D.【点睛】此题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是根底题.3.经统计,某市高三学生期末数学成绩X : N 85, 2,且P 80 X该市任选一名高三学生,其成绩不低于90分的概率是A. 0.35 B, 0.65 C, 0.7 D 再由复数模的计90 0.3,那么从0.85【答案】A【解析】由直接利用正态分布曲线的对称性求解.【详解】•••学生成绩X服从正态分布N (85, 02),且P (80VXV90) =0.3,•- P (X>90) 1[1 - P (80vXv90) ] - 1 0.3 0.35 ,2 2・•・从该市任选一名高三学生,其成绩不低于90分的概率是0.35.应选A.【点睛】此题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态分布中两个量科和b的应用,考查曲线的对称性,属于根底题.x y 1 04 .假设x, y满足约束条件x y 1 0 ,那么z x 2y的最小值是y 1 0A.—5B. —4C. 0D.2【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最大值.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影局部)由z= x+2y 得y 1x — z2 2平移直线y 1x 1z, 2 2由图象可知当直线y -x 1z经过点A ( - 2, - 1)时, 2 2直线y工x 工z的截距最小, 2 2此时z最小.将A (-2, - 1)的坐标代入目标函数z=x+2y,得z= -4.即z= x+2y的最小值为一4;应选：B.【点睛】此题主要考查线性规划的应用, 结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是 解决此类问题的根本方法.5.某简单几何体的三视图如下图 ,假设该几何体的所有顶点都在球 .的球面上,那么球OB. 4V3 D- 3273【解析】由三视图复原几何体,可知该几何体为直三棱柱,底面为等腰直角三角形,直角边长为2,侧棱长为2,然后将其放入正方体进行求解.8.2 3的体积是由三视图复原原几何体如可知该几何体为直三棱柱,底面为等腰直角三角形,直角边长为 2,侧棱长为2.把该三棱锥补形为正方体,那么正方体体对角线长为 j 22 2 22 2J3 .,该三棱柱外接球的半径为 J 3. 体积V 4〔括3 473 .3应选B. 【点睛】此题考查空间几何体的三视图,考查多面体外接球外表积与体积的求法,是中档题.6.将函数y sin 2x — 的图象向右平移 —个单位长度后,所得图象的一个对称中 6 6心为〔〕A.—,0B. 一, 0C. 一, 0D.1, 0 12432【答案】A【解析】根据平移法那么得到 f x sin 2x —,再计算对称中央横坐标满足 6 k -一 一、x — — , k Z ,斛仔答案. 12 2 【详解】函数y sin 2x 一 的图象向右平移 —个单位长度得到函数： 6 6f x sin 2 x —— sin 2x —,对称中央横坐标满足： 66 6此题考查了三角函数平移, 三角函数的对称中央, 意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.7• a V 2,b 5/5,c 7/7,那么A. a b cB acbC bac D. c b aKk. ,,k - 2k -6一120时,对称中央为 一,012【答案】A【解析】根据募函数的单调性即可求出. 【详解】a 盘,b 5/5,c 7/7,贝U a 70=235=( 25) 7= 327= ( 27)5=1285, b70=514= ( 52) 7= 257c 70= 710= ( 72) 5= 495, . . a>c, a>b,又 b 70= 514= ( 57) 2= ( 78125) 2c 70= 710= ( 75) 2= ( 16807) 2,b>c,a> b>c,应选A. 【点睛】此题考查了不等式的大小比拟,掌握嘉函数的单调性是关键,属于根底题8 .某商场通过转动如下图的质地均匀的6等分的圆盘进行抽奖活动,当指针指向阴影区域时为中奖.规定每位顾客有 3次抽奖时机,但中奖1次就停止抽奖.假设每次抽奖相 互独立,那么顾客中奖的概率是1【解析】由题意应用几何概型面积之比得一次中奖概率 -,分为三类讨论中奖可能得答3案. 【详解】由题意应用几何概型面积之比得一次中奖概率 -3. ......... . , 一 1 第一次就中奖的概率 -,3 .2 1 2第二次中奖概率为-1 2 ,3 3 9 一2 2 14第三次中奖概率为 --1,3 3 3 27_.. ......... . (1)2 419A.C.4 27 5B.D.3 19 27所以顾客中奖的概率为-2——3 9 27 27应选D.【点睛】此题考查了几何概型求概率及互斥事件的概率问题, 应用面积比是解决问题的关键, 属于简单题.9 .设椭圆E的两焦点分别为F1, F2,以F1为圆心,F1F2为半径的圆与E交于P, Q两点,假设PF1F2为直角三角形,那么E的离心率为〔〕A. B. 2i1 C.巨 D. 72 12 2【答案】B【解析】由PFR为直角三角形,得PF1F2 900,可得|PF- 2c,| PF2 2j2c,利用椭圆的定义和离心率的概念,即可求解^【详解】如下图,由于PF1F2为直角三角形,所以PF1F2 90°,所以P E| 2c,|PF2 2j2c,贝U 2c 272c 2a,解得e | J2 1 ,应选 B【点睛】此题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用, 其中解答中合理利用椭圆的定义和离心率的概念求解是解答的关键,着重考查了运算与求解水平,属于根底题10.如图,AB是圆锥SO的底面O的直径,D是圆O上异于A, B的任意一点,以AO为直径的圆与AD的另一个交点为C,P为SD的中点.现给出以下结论:① SAC为直角三角形②平面SAD 平面SBD③平面PAB必与圆锥SO的某条母线平行其中正确结论的个数是A. 0B. 1C. 2 D . 3【答案】C【解析】①根据线面垂直的判定定理证实AC,平面SOC即可②假设平面SAD,平面SBD,根据面面垂直的性质定理推出矛盾即可③连接DO并延长交圆于E,连接PO, SE,利用中位线的性质进行判断即可【详解】①; SO,底面圆O,SOX AC,C在以AO为直径的圆上,. ACXOC,. OCASO=O,. AC,平面SOC, AC± SC,即①△ SAC为直角三角形正确,故①正确,②假设平面SAD,平面SBD,在平面SA D中过A作AH,SD交SD于H,那么AH,平面SBD, AH ± BD,又•「BDLAD , BD,面SAD,又CO//BD , • . CO,面SAD, . COX SC又在△ SOC中,SO± OC,在一个三角形内不可能有两个直角,故平面SAD,平面SBD不成立, 故②错误,③连接DO并延长交圆于E,连接PO, SE,••• P为SD的中点,O为ED的中点,OP是△ SDE的中位线,PO// SE,即SE//平面APB,即平面PAB必与圆锥SO的母线SE平行.故③正确, 故正确是①③,应选C.涉及空间直线平行和垂直的判断, 结合相应的判定定理1< a< 1可得g (x)为奇函数且在(-1,1)上为增函数,据此f (a)+ f(a +1) >2? 1< a 1<1 ,a> a 1解可得a 的取值范围,即可得答案.1 x根据题意,函数f (x) = lnL^1 x的定义域为(-1,1),应选：C.此题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,关键构造新函数是解决此题的关键. 11.函数f2,那么a 的取值范围是A.1, 2C.- ,02【解析】根据题意, 由函数的解析式求出函数的定义域,设g (x) = f (x) - 1,分析x +1 ,有1―x>0,解可得-1vxv 1,即函数1 xf (x)设 g (x) = f (x)-g (x),那么函数/ । 1 x—1 = In —1 xg (x)为奇函数;1 x. 1 xx,贝U g ( - x) = In ---------( - x) = - [In ----------x]=分析易得：g (x)=In 1-x x 在(-1, 1)上为增函数,1 xf (a) + f (a +1 ) > 2? f(a) — 1 > — [f(a+1) - 1]? g (a) >- g(s+1 ) ?g (a)>g 1< a< 1(—a — 1)1<a a 〉解可得: 1八-< a< 0, 2 即a 的取值范围为(-,0);2g (x) = f (x) — 1,属BE此题主要考查命题的真假判断,于中档题.12.在 ABC 中,B 30o ,BC 3, AB 2褥,点D 在边BC 上,点巳C 关于直线AD 的 对称点分别为B ,C ,那么 BBC 的面积的最大值为【解析】 解三角形,建立坐标系,设 AD 斜率为k,用k 表示出B'纵坐标,代入面积 公式得出面积关于 k 的函数,根据k 的范围和函数单调性求出面积最大值.由余弦定理可得 AC 2= AB 2+BC 2— 2AB ?BC Cos B= 12+9—2X273 3 — 3,. AC 网,且 AC 2+ BC 2=AB 2, . ACXBC,以C 为原点,以CB, CA 为坐标轴建立平面直角坐标系,如下图: 设直线AD 的方程为y= kx J3 ,6k 2.3k 2・ CC' // BB',石时,,(k) >0,当 73V k< £ 时,F (k)<0,A. 9_^32B.述7当D 与线段AB 的端点重合时,B, B', C '在同一条直线上,不符合题意, 旦设B ,〔 m,3n),显然 n< 0,S>A BB' C = Sk BB'BC 236k 2.3 k 2 19k 3 32,令 f (k)9k k 2 1(k<鱼),贝U f' (k)33k 2 23k 3-------------------- 5 (k 2 1)2令 f' ( k)=0可得k也或k 近〔舍〕,3• ・当 k<,当k J 3时,f (k)取得最大值f ( 73)法,属于较难题.二、填空题13 .向量此题考查了根据向量垂直求参数,意在考查学生的计算水平..91 n .................................... ..........................14 .假设(2x 2 —)n 展开式的二项式系数之和为64,那么展开式中的常数项是x【答案】60【解析】由题意利用二项式系数的性质求得 n 的值,在二项展开式的通项公式中,令的哥指数等于0,求出r 的值,即可求得常数项.假设(2x 2 l)n 展开式的二项式系数之和为64,那么2n =64, n=6.x那么展开式中的通项公式为 T r +1C ；?( - 1) r ?26「r ?x 12丁 令12-3r=0,求得r=4,49可得常数项为C 6 ?22= 60,3.3 2函数单调性判断与最值计算, 考查了用解析法解决几何问题的方rb 1,且根据0, 化简计算得到答案.故答案为:r,那么a r 2 a2.2.此题考查了余弦定理,故答案为60.【点睛】此题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.15.在平面直角坐标系xOy中,角的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合, 终边交单位圆O于第一象限的点p a,b,且a b 7,那么cos5 —的值是2【答案】-3或-5 5【解析】根据a b 7且a2 b2 5公式和任意角三角函数定义可求得结果【详解】a b 7 35 a a由a2b21得：5或4a 0,b 0 b b 5cos - sin b 2 1及P a,b位于第一象限可求得a的值；根据诱导45352 5 5,一______ 3 4此题正确结果：-3或45 5【点睛】此题考查根据终边上的点求解三角函数值和诱导公式的应用,属于根底题^16.如图为陕西博物馆收藏的国宝一一唐・金筐宝钿团花纹金杯,杯身曲线内收,玲珑娇美,巧夺天工,是唐代金银细作的典范之作.该杯型几何体的主体局部可近似看作是双曲2 2线C：—匕1的右支与直线x 0,y 4,y 2围成的曲边四边形MABQ绕y 3 9轴旋转一周得到的几何体,如图N,P分别为C的渐近线与y 4,y 2的交点,曲边五边形MNOPQ绕y轴旋转一周得到的几何体的体积可由祖恒原理〔祖恒原理：哥势既同,那么积不容异〕.意思是：两等高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等,那么这两个几何体的体积相等,那么这两个几何体的体积相等〕,据此求得该金杯的容积是由双曲线方程及定积分的几何意义,求得答案.2 2—1,得 X 2 3 —, 9 3由祖的I 原理可知,金杯的容积与曲形四边形 MABQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体的体 ,金杯的容积是 26兀. 故答案为26兀.此题考查祖的I 原理的应用及定积分的几何意义的应用,考查了求旋转体的体积的方法, 表达了等价转化、数形结合的数学思想,属于中档题.三、解做题17.数列 a n 的前n 项和S n 满足S n 2a n n . (1)求证数列a n 1是等比数列,并求a n ；(2)假设数列b n 为等差数列,且b 3 a 2,b 7 a 3,求数列a n b n 的前n 项T n .【答案】(1) a n 2n 1 (2) n 1 2n1 n n 1 22【解析】(1)由数列的递推式和等比数列的定义和通项公式,可得所求；(2)运用等差数列的通项公式可得bn 及&bn 的公式,由数列的错位相减法和等差数列、等比数列的求和公式,可得所求和. 【详解】(1)当 n 1 时,S 2a 1 1 ,所以 a 1 1.由双曲线2C:—3 积相同,而曲形四边形MABQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体的体积为:44Vx 2dy2223 dy3y64 8 12 -6 - 26兀,99.(杯壁厚度忽略不计) 26【解由于S n 2a n n ①,所以当n 2时,S n i 2am n 1②, ①-②得 a n 2a n 2 a n i 1,所以 a n 2a n i 1.所以a n 1是首项为2,公比为2的等比数列. 所以4 1 2 2n ;所以a n 2n 1.(2)由(1)知,a 2 3 , a 3 7 ,所以 b 3 a 2 3, b 7 a 3 7 ,设b n 的公差为d ,那么＞ b 3所以 b n b 3 n 3 d n, 所以 a n b n n 2n 1 n 2n n .设数列 n 2n 的前n 项和为K n ,数列 n 的前n 项和为T n , 所以 K n 2 2 22 3 23 L n 2n ③,234n 1 _2K n 22 23 2 L n 2 ④,③-④得n2 1 2 … …2 3 nn 1n 1n 1K n 22 2L 2 n 2------------ n 21 n 22.1 2n 1所以 K n n 1 2 2,n n 1又由于T n 1 2 3 L n,2所以 K n T n n 1 2n 1 n n 1 2. 2 所以a n b n 的前n 项和为 n 1 2n 1 n n 1 2.2【点睛】此题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用, 求和,考查方程思想和运算水平,属于中档题.18 .如图,三棱柱ABC AB 1C 1中,底面ABC 是等边三角形所以 a n 1 a n 112am 1 1a n 112a n1 2 a n 11考查了数列的错位相减法侧面BCC 1B 1是矩形,AB ARN 是B i C 的中点,M 是棱AA i 上的点,且AA 〔 CM(1)证实：MN//平面ABC;(2)假设AB A i B ,求二面角A CM N 的余弦值.【答案】(1)见解析(2) 巫5【解析】(1)连结BM,推导出BCXBB i, AA i^BC,从而AA i±MC,进而AA i ,平面BCM, AA i ± MB,推导出四边形 AMNP 是平行四边形,从而 MN//AP,由此能证实 MN //平面 ABC.(2)推导出△ ABA i 是等腰直角三角形,设 AB J2a ,那么AA i=2a, BM = AM = a,推 导出 MCXBM, MCXAAi, BMXAAi,以 M 为坐标原点, MAi, MB, MC 为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角 A-CM-N 的余弦值.【详解】(i)如图i,在三棱柱ABC A i B i C i 中,连结BM ,由于BCC i B i 是矩形,所以 BC BB i ,由于 AA //BB i ,所以 AA i BC , 又由于AA i MC , BC MC C ,所以AA i 平面BCM , 所以AA i MB ,又由于AB AB ,所以M 是AA i 中点,i ―取BC 中点P,连结NP, AP ,由于N 是B 1c 的中点,那么NP//BB 1且NP - BB i ,2所以NP//MA 且NP MA,所以四边形 AMNP 是平行四边形,所以 MN//AP, 又由于MN 平面ABC, AP 平面ABC,所以MN//平面ABC .A i B,所以 ABA i 是等腰直角三角形,设 AB J2a ,〔2〕由于AB〔图1〕〔图2〕那么 AA i 2a, BM AM a 在 Rt ACM 中,AC J2a ,所以 MC a .贝U cosn 1, n 2此题考查线面平行的证实,考查了利用空间向量法求解二面角的方法, 线面、面面间的位置关系等根底知识,考查运算求解水平,是中档题.219 .在平面直角坐标系 xOy 中,圆F ： x 1y 2 1外的点P 在y 轴的右侧运动,H P到圆F 上的点的最小距离等于它到 y 轴的距离,记P 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)过点F 的直线交E 于A ,B 两点,以AB 为直径的圆D 与平行于y 轴的直线相切于点M ,线段DM 交E 于点N ,证实： AMB 的面积是 AMN 的面积的四倍.2【答案】(1) y 4x x 0 (2)见解析【解析】法—：(1)设P (x, y), x> 0, F (1, 0).由点P 在OF 外,可得点P 到.F 上的点的最小距离为|PF| - 1,由题意可得：|PF| - 1=x,利用两点之间的距离公式即在 BCM 中,CM 2BM 2 2a 2 BC 2,所以 MCBM ,由(1)知,那么MC AA1 , BM AA1 ,如图2,以M 为坐标原点,uuuv MA 1 ,uuuv uuuv MB ,MC的方向分别为x 轴, y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系, 那么 M 0,0,0 , C0,0,a , B i 2a,a,0 .~ a a 一所以N a,-,-,那么uuuv0,0,a , MN设平面 CMN 的法向量为x, y,z ,那么? n 1 uuu v MC uuu v0,即 0, axaz 0, a 2y2z 0.2.故平面CMN 的一个法向量为1, 2,0 ,由于平面ACM 的一个法向量为n 20,1,0 ,由于二面角A CM 所以二面角ACMN 的余弦值为考查空间中线线、可得出.(2)设 N (xo, yo), A (xi, yi), B (X 2, v2 .那么 D ( ^1一x 2, -y 1一y 2 ).由题意可 2 2设直线AB 的方程为：y= k (x- 1) (kw .).与抛物线方程联立化为：k 2x 2- (2k 2+4)x +k 2=0.利用根与系数的关系、中点坐标公式可得D, M, N 的坐标.再利用三角形面积计算公式即可得出.法二：(1)由题意得,点P 到圆F 1,0的距离PF 等于P 到直线x 1的距离,根据 抛物线的定义求得轨迹方程.(2)设A x 1,y 1 , B x 2,y 2 ,由题意可设直线 AB 的方 程为：x ty 1 t 0与抛物线方程联立,利用根与系数的关系、中点坐标公式可得D 的坐标,结合1 _,1 ___ ___________________ _ _______ _______ _____ ____________________DM — AB ,可得m 1,进而求出N 的坐标,利用点的位置关系得到面积的关2系.(2)设A K,y 1 , B x 2,y 2 ,由题意可设直线 AB 的方程为:x ty 1 t 0与抛物线方程联立,利用根与系数白关系、中点坐标公式可得 D, M的坐标,利用斜率公式计算得到 k M F k AB 1 ,再利用长度关系得到面积的关系.【详解】解法一：(1)设P x,y ,依题意x o, F 1,0 .由于P 在圆F 外,所以P 到圆F 上的点的最小距离为 PF 1 依题意得PF | 1 x,即J x 1 2 y 2 1 x , 化简得E 的方程为y 2 4x x 0 .(2)设 N 刈,丫0 , A K,y 1 ,B x 2,y 2 ,那么 D依题意可设直线 AB 的方程y k x 1 k 0 ,法三：(1)与法一同; x 〔 x 2 y 〔 y 22 , 2由 yyk ］得k 2x 22k 24x k2 0.2由于 2k 4 4k 16k16 0,k 2 2 2 k 2 ,k、…一 2 一设M X M ,y M ,依题意得y M —,所以MDk又由于MD 网,所以匚工x M 马2 , 2 k k一 ~2 解得X M1 ,所以M 1k故 S AMB4s AMN-所以x 1 x 22k 2 4 k 2由抛物线的定义知 AB x 1 x 2 24k 2 4 k 2由于 2 x0,— k 在抛物线上,所以1 2k 2,k所以 S AMB y 2 k 2k 2y 1S AMNMN yy D 1一MN2y 1 y 2 k 2 1 4k 2y 1解法二: (1)设 P x,y 0.由于P 在圆F 外,所以 P 到圆F 上的点的最小距离为PF 1.依题意彳#,点P 到圆F 1,0的距离PF 等于P 到直线1的距离,那么有y 1 y 2k 2 2~~2~X M.k所以P 在以F 1,0为焦点,x 1为准线的抛物线上所以E 的方程为y 2 4x x 0〔2〕设 A x i , y i , B X 2, y 2 ,由于直线 AB 过F 1,0 ,依题意可设其方程 x ty 1 t 0 x ty 1, 2由 2 得 y 24ty 4 0, y 4x由于 16t 2 16 0,所以 y 〔 y 2 4t, .一. . . 2_那么有 x 1 x 2ty 1 1 ty 214t 2.由于D 是AB 的中点,所以 D 2t 2 1,2t . ................................. 2 由抛物线的定义得 ABx 1 1 x 2 1 4t 4.,设圆D 与l ：x m 相切于M ,由于DM 与抛物线相交于 N ,所以m 0,且DM l , 〜,、,― 1 _ 一 2 1 2 .一 ■一所以DM-AB ,即22 1 m — 4t 2 4 ,解得m 1,22、一 一.一 一 2 一一 .2设 N x c , y ° ,那么 y 0 2t,且 2t 4x 0,所以 x ° t ,t 2 ,所以N 为DM 的中点,所以S AMD 2S AMN ,又由于D 为AB 的中点,S AMB 2s AMD ,所以S AMB 4s AMN解法三：〔1〕同解法一.2t 2 11由于2—1 ------------------1 2(2)设 A X i , y i , B X 2, y 2 ,连结 MF , NF .由于直线AB 过F 1,0 ,依题意可设其方程 x ty 1 t 0 x ty 1, 2由 2 得 y 4ty 4 0., y 4x 由于 16t 2 16 0,所以 y i y 4t , 所以 y My D 2t .…AB _ 一. 由于MD ---------- , AB X 1 x 2 2,又由于MD2所以x 1 x 2 2学1—2 X M ,解得X M1 ,所以M 1,2t ,2 2 2t 1, w所以 k MF k AB -------------------- -1 ,故 MFD 90 .1 1 t所以 S AMN 二 S AMD ,21又 S AMD 二 S AMB ,所以 S AMB 4s AMN .2【点睛】此题考查了抛物线与圆的标准方程及性质的应用,考查了一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、三角形面积计算公式、两点之间的距离公式,考查了推理水平与计 算水平,属于中档题.20 .“工资条里显红利,个税新政人民心〞 .随着2021年新年钟声的敲响,我国自1980年以 来,力度最大的一次个人所得税 〔简称个税〕改革迎来了全面实施的阶段 .2021年1月1日实 施的个税新政主要内容包括：〔1〕个税起征点为5000元；〔2〕每月应纳税所得额〔含税〕=收入一个税起征点-专项附加扣除； 〔3〕专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等新旧个税政策下每月应纳税所得额 〔含税〕计算方法及其对应的税率表如下:又由于NMNF ,所以NF ND ,从而 MN NDX M ,随机抽取某市1000名同一收入层级的IT从业者的相关资料,经统计分析,预估他们2021 年的人均月收入24000元统计资料还说明,他们均符合住房专项扣除；同时,他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子,并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2:1:1:1;此外,他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月,子女教育每孩1000元/月,赡养老人2000元/月等.假设该市该收入层级的IT从业者都单独享受专项附加扣除,将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入根据样本估计总体的思想,解决如下问题：〔1〕设该市该收入层级的IT从业者2021年月缴个税为X元,求X的分布列和期望；〔2〕根据新旧个税方案,估计从2021年1月开始,经过多少个月,该市该收入层级的IT 从业者各月少缴交的个税之和就超过2021年的月收入？【答案】〔1〕见解析〔2〕经过12个月,该收入层级的IT从业者少缴交的个税的总和就超过2021年的月收入【解析】〔1〕求出4种人群的每月应缴个税额,得出分布列和数学期望；〔2〕计算两种政策下的每月应缴个税额度差即可得出结论.(1)既不符合子女教育扣除也不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为24000 5000 1000 18000,月缴个税X 3000 0.03 9000 0.1 6000 0.2 2190；只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为24000 5000 1000 1000 17000,月缴个税X 3000 0.03 9000 0.1 5000 0.2 1990；只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为24000 5000 1000 2000 16000,月缴个税X 3000 0.03 9000 0.1 4000 0.2 1790;既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为24000 5000 1000 1000 2000 15000,月缴个税X 3000 0.03 9000 0.1 3000 0.2 1590；所以X的可能值为2190, 1990, 1790, 1590,依题意,上述四类人群的人数之比是2:1:1:1,2 1所以P X 2190 — , P X 1990 —,5 51 1P X 1790 一,P X 1590 —.,5 5_ _ _ 2 _ 1 _ 1 一1 一所以E X 2190 — 1990 — 1790 — 1590 — 1950.. 5 5 5 5(2)由于在旧政策下该收入层级的IT从业者2021年每月应纳税所得额为24000 3500 20500,其月缴个税为1500 0.03 3000 0.1 4500 0.2 11500 0.25 4120,由于在新政策下该收入层级的IT从业者2021年月缴个税为1950,所以该收入层级的IT从业者每月少缴交的个税为4120 1950 2170.,设经过x个月,该收入层级的IT从业者少缴交的个税的总和就超过24000,那么2170x 24000,由于x N ,所以x 12,所以经过12个月,该收入层级的IT从业者少缴交的个税的总和就超过2021年的月收【点睛】此题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算,考查样本估计总体的统计思想,属于中档题.2x21.函数f x x e a.(1)假设y 2x是曲线y f x的切线,求a的值；(2)假设f x 1 x In x,求a的取值范围.【答案】(1) a 1⑵,1【解析】法—：(1)根据题意,设切点的坐标为( 与,力),求出函数的导数,由导数的y1 2x1几何意义分析可得y X e2x1 ax1,解可得a的值,即可得答案；2x1 1 e2" a 2(2)根据题意,f (x) > 1 + x+lnx IP x (S x-a) > 1+x+lnx,结合x的取值范围变形可得a+1 <e2x LJnx,设F (x) = e2x LJnx,利用导数分析F (x)在(0, +oo)上x x的最小值,据此分析可得答案.2x . 法二：(1)同解法一.(2)设F x x e a 1 x Inx ,求导后,先研究a=1时导函数的最小值, 从而得到结论成立, 再研究a>1和a<1时情况,利用变换主元的方法进行放缩后分别说明成立及不成立.法三：(1)同解法一.(2)先考查函数mt e t t 1,通过导函数证实mt 0,利用此引理进行放缩,分a 1及a 1去证实,分别去证实成立与说明不成立,得到a的范围.【详解】2x 2x解法一：(1)由于f x x e a ,所以f x 2x 1 e a ,设直线y 2x与y f x的图象的切点为x1,y1 ,那么2斗1 e2x1 a 2.①y xe2x1ax,②由于切点既在切线上又在曲线上,所以y1 11'V1 2.③由①②③得a 1.2x 2x(2)由题意得xe 1 lnx a 1 x,即xe 1 Inx a 1 x,由于x 0,所以e 2x1-lnx a 2、几 l2x1 lnx nrt设 F x e ------------------ ,贝U F x2考查函数h x2x 2e 2x lnx,1由于 h x 4xe x 1— 0, x 又由于h e 11ee 1 1e ee1 .故存在x 0— ,1 ,使得h xo ( e1,c 2x lnx2x 2e 2x lnx2e不 ------------------------ -x x所以h x 在0, 单调递增.1 2 1 0 ,且 h 12 e 2 0,e,即 2x 02e 2x 0 lnx .0 ,0 , F x 单调递增.2x 01 lnx 0 e --------------x 0由题意得,a 1 F x 0 .令x 02e 2x 0 t0,取对数2% 2lnx ° lnt 得,④由 2x 02e 2x 0 lnx 0 由④⑤得 2x 0 lnx 0 2t lnt, 设函数 x lnx 2x,那么有 x 0 t , 由于 x lnx 2x 在0, 单调递增,所以 x ° t ,即 lnx 02x 0, l2x01 lnx 0 11 2x 0 -所以 F x ° e x 0-------------- 0--------- 0 2,故 a 1 2,解得 a 1 . x ° x °x °故a 的取值范围是 ,1 .解法二：(1)同解法一.(2)设 F x x e 2x a 1 x lnx , x 0,2x2x 1 e所以当x0,x 0时,h x 0, F x 0 , F x 单调递减;当 x x °,所以 F X min F x 0①当a 1时,令G x2xxe 2x lnx 1,G x 2x 1 e 2x - x、几2 x12 x1设g x e 一,x 0.由于 g x 2e — 0, xx1-故存在x °-,0 ,使得g x 0 0,4 2x 01...............所以e 一,两边取对数得2x 0lnx 0.,x .②当a 1时,由于x 0,所以a 1不符合题意. ③当a 1时,F x 综上,a 的取值范围是 ,1 .解法三：(1)同解法一.(2)考查函数 m t e t t 1,由于m t e t 1 ,所以当t 0时,m t 当 t ,0 时,m t 0;当 t 0, 时,m t 0, 所以m t 在 ,0单调递减,在 0, 单调递增.所以m t m 00.①当a 1 2,即a 1时,由于x 0, 所以 xe 2x e 2x lnx 2x Inx 1 a 1 x Inx 1,符合题意； ②当 a 12 ,即 a 1 时,设 g xe 2x Inx Inx a 1 x1,所以g x 在0,、…一 一. 1 单调递增,又由于g - 4Te 4 0, g 1 e 2 1 0所以当x 0,x 0 , g x 0, G x 0 , G x 单调递减. x x 0,0, G x 0 , G x 单调递增. 所以G x 由访G x 0 x 0e 2x 02x 0 lnx 0 1 0.即a 1时,有x e 2x11 x Inx 所以a 1符合题意,所以 F x x e 2x a2x1 x Inx x e 1由①知,存在x 00, ,使得 F x 0G x 0 0,0,由于 x 0,所以 g x e 2x 1nx Inx 2x 1, 令 h xe 2x 1nx Inx 2x 1 ,考察 t x2x Inx x 0 .…1~、…,〜由于t x 2 — 0,所以t x 在0, 单调递增. x 12 .. 一 八由于 t —— 1 0,t12 0,e e1 .故存在 x 0-,1 ,使得 t x 0 0,即 2x 0 1nx 0 0,e所以存在 x 0 1,1 ,使得 h x 0 e 2x 0lnx 02x 0 1nx 0 1 0,e1 ,由于g x h x ,故存在x 0- ,1 ,使信g x 0 h x 0 0,e所以a 1不符合题意. 综上,a 的取值范围是 ,1 .【点睛】此题考查利用导数分析函数的最值以及计算切线的方程,考查了利用导数研究函数的恒成立问题,关键是掌握导数的定义,正确计算函数的导数,属于综合题.(2)设1与C 交于A ,B 两点,线段 AB 的中点为M ,求PM ._ . 一 x 2 o 55【答案】(1) — y 21, 1,1 (2) PM 一 241【解析】(1)利用互化公式把曲线 C 化成直角坐标方程,把点P 的极坐标化成直角坐标;(2)把直线l 的参数方程的标准形式代入曲线C 的直角坐标方程,根据韦达定理以及参数t 的几何意义可得.22.在直角坐标系xOy 中,直线1的参数方程为为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线点P 的极坐标为 72,-.(1)求C 的直角坐标方程和 P 的直角坐标；t 为参数),以坐标原点C 的极坐标方程为2 2~21 sino2 . c c c . c c c (1)由p 2—2-^得p 2+ p 2sin 2 0 =2,将p 2= x 2+y 2,y=psin 0代入上式并整理得曲线 C1 sin2的直角坐标方程为 —y 2=i,2设点P 的直角坐标为(x, y),由于P 的极坐标为(J ], 7)2— y 2=1,并整理得 41t 2+110t +25 = 0, 2由于△= 1102- 4X 41X 25= 8000>0,故可设方程的两根为t 1, t 2,… _ ,一110那么t 1, t 2为A, B 对应的参数,且t 1 + t 2 ——,41依题意,点M 对应的参数为, 2所以 I PM I = I t 1__k| 55.2 41此题考查了简单曲线的极坐标方程,属中档题. 23.函数 f x x 1 ax 3 a 0 .(1)当a 2时,求不等式f x 1的解集；(2)假设y f x 的图像与x 轴围成直角三角形,求a 的值. 【答案】(1) x 1 x 3 (2)我【解析】(1)分3段去绝对值解不等式组,再求并； (2)将y= f (x)去绝对值写出分段函数,根据其图象与 x 轴围成直角三角形,转化为(a- 1) (a+1) =- 1 或(*1) (1-a) = - 1,可解得. 【详解】(1)当 a= 2 时,不等式 f (x) > 1,即 | x+1| - |2 x- 3| >1,当xw - 1时,原不等式可化为- x- 1+2x- 3> 1,解得x>5,由于x< - 1,所以此时 原不等式无解；, 3 ........................... .一 一 3 当-1<x —时,原不等式可化为 x +1+2x- 3> 1,解得x> 1,所以1v x —；22所以 x= pcos 0 . 2 cos — 所以点P 的直角坐标为(1, y= psin 0 ..2sin - 1, 1,1).3x 1 -t(2)将5代入4 y 1 t5当x>3时,原不等式可化为 x +1 - 2x +3>1, 2 综上,原不等式的解集为 {x[1 <x<3}.那么a 1 a 11 ,解得a 0,舍去;当a 1时,y f x 的图象与x 轴不能围成三角形,不符合题意,舍去; 当a 1时,要使得y f x 的图象与x 轴围成直角三角形, 那么1 a a 11 ,解得a J 2,由于a 1 ,所以a J 2.【点睛】此题考查了绝对值不等式的解法, 考查了数形结合思想及函数与方程思想的转化, 属于中档题.解得xv 3,所以3<xv3.2a 1 x 4, x 1,一 , 3(2)由于a 0,所以—0 ,所以f x a3a 1 x 2, 1 x —, a , 3 1 a x 4, x 一 a由于a 0,所以f 1c c. 3 ,3八 a 30, f — 1 — 0,a a当0 a 1时,要使得y f x 的图象与x 轴围成直角三角形,综上,所求a 的值为72.gft 】 q 61。
2020年福建质检-理数答案
3
3
6
（2）因为 D 是 AC 中点，所以 BD 1 BA BC ， 2
所以
2
BD
1
2
2
BA BC 2BA BC
，.....................................................................7 分
4
因为 BD BC a ，所以 4a2 c2 a2 2ac cos B ， ..............................................8 分
又因为 cos B a2 c2 b2 ，所以 4a2 c2 a2 a2 c2 b2 ， 2ac
所以 2a2 2c2 b2 ，....................................................................................................9 分
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 20 分．
13． 2 i
14． 9
15． 1 3
16．8
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．本小题主要考查正弦定理、余弦定理等解三角形基础知识，考查运算求解能力，考查函
数与方程思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．满分 12
b 4cosC
即 cosC b ， ............................................................................................................9 分 4a
2020年高三6月调研测试(三诊)理数试题及参考答案
12 2
12 2
2
第 10 题解析： f (x) sin 2x cos sin cos 2x sin(2x ) ，由题知 f (x) 的图象关于直线 x 5 对称， 12
故 2 5 k （ k Z ），即 k ，故选 A．
12
2
3
第 11 题解析：由题知 A 在第一象限， B 在第四象限，由 AB 3BP 知 xA 4xB ，则 yA 2 yB ，
x2 a2
y2 b2
1
(a
b
0) ，将其左右焦点和短轴的两个端点顺次连接得到一个面积为 4 的正方形．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）直线 l：y
kx
m
(k
0，m
0)
与椭圆
C
交于
P，Q
两点（均不在
y
轴上），点
A(0，
m 2
)
，若
直线 AP，PQ，AQ 的斜率成等比数列，且 OPQ 的面积为
6 2
（
一、选择题
1～6 BADDAC 7～12 DDBACB
第5
题解析： a2
a7
a9
3a6
27
a6
9 ， S8
S9
a9
0 ， d
a9
a6 3
3 ，选
A．
第 6 题解析： 110， 10 ，故 P( X 130) P( X 2 ) 1 0.9544 0.0228 ，估计学生人数为 2
（1）求 {an } 的通项公式；
（2）若数列{bn}满足 b1
0 ， bn1
bn
1 ，设 cn
abnn，，
n n
为奇数 为偶数
，求数列{cn}的前 2n 项和．
福建省宁德市高中毕业班质量检查理科数学试题.docx
2. 3. i 为虚数单位，则复数——在复平面内对应的点位于1 + zA.第一象限B.第二象限在等比数列｛色｝中,若a 1=l,a 4=8, A. 56 B ・ 63C.第三象限D. 则该数列的前6项和为C. 127D. 4. 5. 已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 的值为 A. — 1 或 1 B. —2 或 0 C. —2 或 1 D. — 1 或 0兀2 v 2若抛物线y 2 = 2px 的焦点与双||||线二_2_ = 1的6 36. 右焦点垂合，则p 的值为 A. 3 B. 6设0为直线2的方向向量，则a-n = 0是///Q 的 A.充分非必要条件 C.充要条件 右图是一个多面体的三视图,C. A /3D. 2V3 n 为平面Q 的法向量， A. V3 B. C. A /3 + 6D.B.必要非充分条件D.既非充分也非必耍条件则其全面积为£2 x/3 + 4r 福建省宁德市普通高中毕业班质量检查数学（理科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，本卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：心1.材题前，考牛先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 考生作答时，将答案答在答题卡上。
请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超 岀答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
3. 选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5亳米的黑色中性（签字）笔或碳酸笔书写，字体工整、笔迹清是。
4. 做选考题时，考牛•按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答案题卡上把所选题目对应的题号涂 里。
八、、o5. 保持答题卡卡而的清楚，不折證、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一•并交回。
参考公式：锥体的体积公式：V=-Sh,其中S 为底面面积，/?为高；3球的表面积、体积公式：S=4龙厂彳，v=-7rr\其中厂为球的半径。
2020届福建省普通高中高三毕业班下学期质量检查测试数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前福建省普通高中2020届高三毕业班下学期质量检查测试数学(理)试题(解析版)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|1A x x =≥，{}|(4)(2)0B x x x =-+≥，则()A B =R ( ) A. {}2|1x x -≤≤B. {}|14x x ≤≤C. {}|21x x -<<D. {}|4x x <【答案】C【解析】【分析】先化简集合B ，再根据并集和补集的定义即可求出．【详解】解：集合{}|1A x x =，{}|(4)(2)0{|2B x x x x x =-+=-或4}x ， 则{|2A B x x =-或1}x ，则(){|21}R A B x x =-<<，故选：C ．【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．2.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若44a =，13104S =，则10a =( )A. 10B. 12C. 16D. 20 【答案】B【解析】【分析】利用等差数列{}n a 通项公式和前n 项和公式，列方程组求出10a =，43d =，由此能求出10a ． 【详解】解：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，44a =，3104l S =， ∴11341312131042a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩， 解得10a =，43d =， 10409123a ∴=+⨯=． 故选：B ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．3.设x ，y 满足约束条件02010x y x y y -≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值是( )A. 0B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数2z x y =+对应的直线进行平移，可得最优解，然后求解即可．【详解】解：作出x ，y 满足约束条件表示的平面区域。
2020届福建省宁德市高三毕业班6月教学质量检查数学(理)试卷及解析
2020届福建省宁德市高三毕业班6月教学质量检查数学（理）试卷★祝考试顺利★(含答案)本试卷共23题,满分150分注意事项：1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,考生要认真核对答题上粘贴的“姓名、准考证号、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.非选择题用0.5毫米的黑色墨水签字笔在题卡上书写作答,若在试题卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 复数21i z i=+在复平面内对应点的坐标为（ ） A. ()1,1--B. ()1,1-C. ()1,1D. ()1,1-【答案】C【解析】 由除法法则计算复数,化为复数的代数形式,得对应点坐标． 【详解】21i i +2(1)1(1)(1)-==+-+i i i i i ,对应点为(1,1)． 故选：C.2. 已知集合{}2|20A x x x =--<,{}|3B x a x a =<<+,若{}|02A B x x ⋂=<<,则A B =（ ）A. {}|23x x -<<B. {}|13x x -<<C. {}|03x x <<D. {}|21x x -<<【答案】B【解析】先根据一元二次不等式的解法,求出集合{|12}A x x =-<<,然后根据{|02}A B x x ⋂=<<得出0a =,从而可得出集合B ,然后进行并集的运算,即可求出A B ．【详解】解：由题可知,{}2}|20{|12A x x x x x =-<-=<-<, 由于{|3}B x a x a =<<+,且{|02}A B x x ⋂=<<,0a ∴=,{|03}B x x ∴=<<,{|13}A B x x ∴=-<<．故选：B ．3. 已知向量()0,1a =,()1,3b =,则a 在b 上的投影为（ ）B. 2C. 3D. 12 【答案】B【解析】 由向量的数量积公式得出a 与b 的夹角的余弦值,再由cos a θ得出a 在b 上的投影. 【详解】设a 与b 的夹角为θ11a ==,(12b =+=,011a b =⨯+=⋅2cos 3a bb a θ⋅∴=⋅=则a 在b 上的投影为cos 122a θ=⨯= 故选：B 4. 某校2名教师、4名学生分成2个小组,分别到两个不同的实验室做实验.每个小组由1名教师和2名学生组成,则教师A 和学生B 在同一个小组的概率为（ ）A. 16B. 14C. 13D. 12 【答案】D【解析】。
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合题目要求的．
1．复数 z 2i 在复平面内对应点的坐标为 1 i
A． 1，1
B． 1，1
C． 1，1
D． 1，1
2．已知集合 A {x | x2 x 2 0}，B {x | a x a 3}．若 A B {x | 0 x 2} ，则 A B A．{x | 2 x 3} B．{x | 1 x 3} C．{x | 0 x 3} D．{x | 2 x 1}
A． F #
B． G
C． G#
D． A
8．已知函数 y tan(x )( 0, ) 的最小正周期为 ，其图象过点 0, 3 ，则其对
2
称中心为
A． (k ,0)(k Z) 46
B． (k ,0)(k Z) 4 12
C． (k ,0)(k Z) 26
D． (k ,0)(k Z) 2 12
A． 3.19
B． 3.16
C． 3.14
D． 3.11
6．已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1a 0,b 0 的实轴长为 4 ，且两条渐近线夹角为 60
，则该双曲
线的焦距为 A． 4 3
3
B． 8
C． 4 或 4 3 3
理科数学 共 5 页 第 1 页
D． 8 或 8 3 3
7．著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”．音乐中使用的乐音在高度上不是 任意定的,它们是按照严格的数学方法确定的．我国明代的数学家、音乐理论家朱载堉创 立了十二平均律，是第一个利用数学使音律公式化的人．十二平均律的生律法是精确规定 八度的比例，把八度分成 13 个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数．如下表所示，
数列{kn} 的通项公式，并求该数列的前 n 项和 Tn ．
开始
输入 a，b，c
x=a
b>x
否
c>x
否
输出 x
是
x=b
是
x=c
结束
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须做答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共 60 分 17．（12 分）
已知等差数列{an} 中，a1 1且 a1 ，a2 ，a7 4 成等比数列．数列{bn} 的前 n 项和为 Sn ， 满足 3bn 2Sn 1 ． (1)求数列{an} ，{bn} 的通项公式； (2)将数列{an} 和{bn} 的公共项 ak1 ， ak2 ， ， akn 按原来的顺序组成新的数列，试求
其中 a1, a2 ,
, a13 表示这些半音的频率，它们满足
log2
ai 1 ai
12
1(i
1, 2,
,12) ．若某一半
音与 D# 的频率之比为 3 2 ，则该半音为
频率 a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9 a10 a11 a12
a13
半音 C C# D D# E F F # G G# A A# B C （八度）
2020 届宁德市普通高中毕业班 6 月质量检查试卷
理科数学
本试卷共 23 题，共 150 分，共 5 页． 注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡 上粘贴的“姓名、准考证号、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答 题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．
15．已知点 A 2,0 ， B 2,0 ，动点 P 满足 APB 且
PA PB cos2 1 ，则点 P 的轨迹方程为_________． 2
16．已知四棱锥 S ABCD ，底面 ABCD 是边长为 6 的菱形, AC BD O ， SO 底面 ABCD 且 SO 8 ．若此四棱锥的 内切球的表面积为16 ，则该四棱锥的体积为___________．
3．已知向量 a (0,1) ， b (1, 3) ，则 a 在 b 上的投影为
A． 3
B． 3 2
C． 3 3
D． 1 2
4．某校 2 名教师、 4 名学生分成 2 个小组，分别到两个不同的实验室做实验．每个小组由
1 名教师和 2 名学生组成，则教师 A 和学生 B 在同一个小组的概率为
A． 1 6
9．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
3
1
1
正视图
2
侧视图
A． 4 7 π 2
C． 8 7 π 2
B． 4 7 π D． 8 7 π
2
俯视图
10．已知函数
f
(x)
1,
x 2,
则不等式 f (2x 1) f (4x) 的解集为
log2 x , x 2,
A． , 1 1 , 64
B． , 1 1 , 42
C． , 1 1,
D． , 1 1 , 22
11．若面积为1 的 ABC 满足 AB=2AC ，则边 BC 的最小值为
A．1
B． 2
C． 3
D． 2
12．当 x [m, n] 时，函数 f (x) sin x cos x 2x2 3x 1 0 恒成立，则 n m 的最大值为
B． 1 4
C． 1 3
D． 1 2
5．某数学小组在国际数学日（每年 3 月 14 日）开展相关活动，其中一个活动是用随机模拟
实验的方法获得 π 的近似值．现通过计算器随机获得 500 个点的坐标 (x, y) （ 0 x 1,
0 y 1），其中有 399 个点的坐标满足 x2 y2 1，据此可估计 π 的值约为
A． 5 2
B． 2
C． 3 2
D．1
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二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．若命题“ x0 [1, 2] ， x0 a 0 ”为假命题，则实数 a 的
最小值为___________． 14．执行右图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入的
a,b, c 分别为 0.61.5 ，1.50.6 ， log0.6 1.5 ，则输出的结果为 _________．（结果用 a,b,c 表示）