知识点：高中数学-三角比与三角函数

高中数学·三角比与三角函数
三角比
一、
角的表示
1、角度与弧度
1）长度等于半径的弧所对的圆心角大小是1弧度.（周长C =2πr ，|α|=l
r ） 2）360°=2π 弧度（角度制与弧度制不能混写）
3）弧长公式：l =α∙r ，扇形面积公式：211
||22
s lr r α==⋅扇形
2、任意角：一条射线绕着它的端点，由初始位置（始边）旋转到最终位置（终边）就形成了
一个角；按逆时针方向为正角，按顺时针方向为负角，不旋转为零角。

3、与α终边相同的角可表示为：β=k ∙360°+α(角度制)或β=2kπ+α(弧度制) 4、任意角的三角比：
设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ），点P 与原点的距离为r ，则 r
y =αsin ； r
x =αcos ；
x y =
αtan ； y
x
=
αcot ； x
r =αsec ；y
r
=αcsc .
5、三角函数在各象限的符号
6、已知α在第k(k =1,2,3,4)象限，则α
n 所在象限为：在坐标系中作过原点的直线分别将每个象
限n 等分，再从第一象限开始逆时针将每一份编号，从1到4，不断循环，直到编完。

那么编号为k 的区域即为α
n 所在区域。

r
o
x
y
a 的终边
P （x,y )
+
+ -
- sin α与cscα
+ - -
+
cos α与secα +
- +
-
tan α与cotα
高中数学·三角比与三角函数
7、三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.
8、同角三角比的基本关系式：
1）倒数关系：tanα∙cotα=1，cosα∙secα=1，sinα∙cscα=1 2）商数关系：tanα=sinα
cosα , cotα=
cosαsinα
.
3）平方关系：sin 2α+cos 2α=1，1+tan 2α=sec 2α，1+cot 2α=csc 2α 9、诱导公式：
角 kπ
2±α 与角α 的三角比间的关系可以归纳为：“奇变偶不变，符号看象限”（k ∈Z ）. 10、角与角之间的互换
1）两角和与差的三角比：
sin (α±β)=sin αcosβ±cosαsinβ cos (α±β)=cos αcosβ∓sinαsinβ tan (α±β)=tan α±tan β
1∓tan αtan β
2）倍角公式和半角公式：
sin 2α=2sin αcos α
cos 2α=cos 2α−sin 2α=2cos 2α−1=1−2sin 2α
tan 2α=
2tan α
1−tan 2α
sin
α2=±√1−cos α2,cos α2=±√1+cos α2
tan α2=±√1−cos α1+cos α=sin α1+cos α=1−cos α
sin α
3）降次公式：sin 2α=
1−cos 2α
2
，cos 2α=
1+cos 2α
2
T
M
A O P
x
y
三角函数线
高中数学·三角比与三角函数
4）万能公式：设tan α
2=t ，则
sin α=2t 1+t 2，cos α=1−t 21+t 2，sin α=2t
1−t 2
11、积化和差：
()()()()()()()()11
sin cos sin sin cos sin sin sin 2211
cos cos cos cos sin sin cos cos 22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=
++-=+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++-=-+--⎡⎤⎡⎤⎣
⎦⎣⎦ 12、和差化积：
sin α+sin β=2sin
α+β2cos α−β2，sin α−sin β=2cos α+β2sin α−β
2 cos α+cos β=2cos α+β2cos α−β2，cos α−cos β=−2sin α+β2sin α−β
2
13、辅助角公式：
a sin α+
b cos α=√a 2+b 2sin(α+φ),且tan φ=
b
a
(0≤φ<2π). 14、解斜三角形
1) 三角形面积：
S ∆=
12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B =12r (a +b +c )=abc 4R
(R 为外接圆半径，r 为内切圆半径）
2) 正弦定理：
a sin A =
b sin B =c
sin C
=2R(R 为∆ABC 外接圆半径） 3) 余弦定理：
a 2=
b 2+
c 2−2bc cos A 或cos A =b 2+c 2−a
22bc
b 2=a 2+
c 2
−2ac cos B 或cos B =a 2+c 2−b 2
2ac
c 2=a 2+b 2
−2ab cos C 或cos C =a 2+b 2−c 2
2ab
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三角函数
1、正弦、余弦、正切、余切函数的图象与性质：
y =sin x
y =cos x
y =tan x
y =cot x
定义域 R R x ≠kπ+π
2
x ≠kπ 值域 [−1,1] [−1,1] R
R
周期性 最小正周期T=2π
最小正周期T=2π
最小正周期T=π
最小正周期T=π
奇偶性
奇函数
偶函数 奇函数
奇函数
单调性
在[2kπ−π
2, 2kπ+π
2] 上单调递增；
在[2kπ+π
2, 2kπ+
3π2
]
上单调递减；（k ∈Z ）
在[2kπ−π, 2kπ] 上单调递增；
在[2kπ, 2kπ+π] 上单调递减（k ∈Z ）
在(kπ−π2, kπ+π
2) 上单调递增； （k ∈Z ）
在(kπ, kπ+π) 上单调递减； （k ∈Z ）
最值
当x =2kπ−π
2，
y min =−1；
当x =2kπ+π
2，
y max =1； （k ∈Z ）
当x =2kπ+π， y min =−1； 当x =2kπ， y max =1； （k ∈Z ）
无最值 无最值
图像
对称轴 x =kπ+π
2
（k ∈Z ）
x =kπ（k ∈Z ） 无 无 对称中心
(kπ,0) k ∈Z
(kπ+
π
2
,0) k ∈Z (
kπ
2
,0) k ∈Z (
kπ
2
,0) k ∈Z
O π
π2
x
y
−π
2 −π
1 -1
π π2
x
y
−π
2 −π
1
-1
π2
π
π2
−π2
高中数学·三角比与三角函数2、函数y=A sin(ωx+φ)的图像与性质
A为振幅，决定函数的最值；ω称为角频率，它决定了函数的周期，即T=2π
|ω|；−φ
ω
称为相
位移，它决定函数y=A sinωx的图像向左还是向右平移|φ
ω
|个单位.
3、反三角函数图像与性质
sin(arcsin x)=x,arcsin(−x)=−arcsin x(x∈[−1,1])
cos(arccos x)=x,arccos(−x)=π−arccos x(x∈[−1,1])
tan(arctan x)=x,arctan(−x)=−arctan x(x∈R)。