勾股定理 (一))北师大版数学.讲义

正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积是 9 个单位面积。 正方形B的面积是
个单位面积。 正方形C的面积是 9
图2-1
18
个单位面积。
你是怎样得到上面的结果的？ 与同伴交流交流。
C
A
S正方形c
B C A B 图2-2
图2-1
1 4 3 3 18 2
（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
一般的直角三角形 三边为边作正方形
S正方形c
A B
图3-1
C
1 4 4 3 1 2
C
Fra Baidu bibliotek
25 （面积单位）
A
B
图3-2
分割成若干个直角边为 整数的三角形
S正方形c
1 2 （7 1 ） 2
A B
图3-1
A
x
B
10-x
设：折断处离地面高x尺
6
C
下图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段.
有一把卷尺你能想办法测量出旗杆的高度吗?请你与同 伴交流设计方案?
小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5 米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计 算出来吗？
H E
.G
C
F D
40
120
.
A
B
30
如图，一圆柱高8cm，地面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，问蚂 蚁要爬行的最短路程是多少？
A
A
B
B
北
如图：A城气象台测得台风中心在A城正西方向320 km的B处，以每 小时40 km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200 km的范围内是受到台风影响的区域。 （1）A城是否会受到这次台风的影响？为什么？ （2）若A城受到这次台风影响，那么A城受到这次台风影响有多长时间？
C
C
25 （面积单位）
A
B
图3-2
思考：面积A，B， 把C“补”成边长为7 的正方形面积加1单位 C还有上述关系 面积的一半 吗？
勾股定理的验证方法：
• 1.测量计算2.代数式变形3.几何证明4.面积（拼图）证明 • 探索勾股定理时找面积相等是关键。 • 由面积之间的等量关系，并结合图形进行代数变形可推导出勾股定理。 • 拼图法是探索勾股定理的有效方法，应当遵循以下步骤： 拼出图形 写出图形面积的表达式 找出等量关系 恒等变形 推导出勾股定理
H E D F
G
C B
A
(2) 在图中，如果在正方体箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上 爬行到B处，至少要爬多远？
.B
.A
如图是一个40cm×30cm×120cm的长方体空盒子。小明准备放 入一些铅笔（要使铅笔完全放入盒中），问最长能放入多长的铅笔？
H E D A F 120
G
C 30
40
B
在图中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到G处，至少要爬 多远？
A
x C 5
x+1
B
如图，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高20m，两杆相距50m，现 两杆上各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上浮起一条小鱼（即E 点），于是以同样的速度同时飞过来夺鱼，结果两只鱼鹰同时到达，问：两杆 底部距鱼处的距离各是多少？
D A
B
E
C
(1) 如图是一个棱长为10cm的正方体盒子，小明准备放入一些铅 笔（要使铅笔完全放入盒中），问最长能放入多长的铅笔？
汉城路校区：王莹
2002年世界数学大会在我国首都北京召开，大会会标的中央图案正是此，你知道他是 怎样一个图形吗？
这个问题反映的是中国古代数学的重大成就——勾股定 理
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦 . 图 1-1称为“弦图 ”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经 》作法时给出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数 学家大会（ TCM － 2002 ）的会标，其图案正是“弦 图”，它标志着中国古代的数学成就.
分“割”成若干个直 角边为整数的三角形
C
A
S正方形c
C A B 图2-2
B
1 2 6 2
图2-1
18 （单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C“补” 成边长为6的 正方形面积的一半
C
A
B C A B 图2-2 （图中每个小方格代表一个单位面积）
图2-1
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？ （3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么 关系吗？
§1.2 勾 股 定 理 的 验 证
看某 发 看种 现 你数 朋 相 能量 友 传 发关 家 现系 用 什， 砖 年 么同 铺 前 ？学 成 ， 们的 ，地一 我面次 们反毕 也映达 来直哥 观角拉 察三斯 下角去 面形朋 的三友 图边家 案的作 ， 客 ， 2500
（1）观察图2-1
C
A
B C A B 图2-2 （图中每个小方格代表一个单位面积）
图1-1
图1-2
§1.1勾股定理
观察所得到的各组数据，你有什么发现？ A a B b
Sa+Sb=Sc
c
C
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
弦 c 勾 a
┏
股 b
a2+b2=c2
• 如图示：在直角三角形ABC中，
§2.1勾股定理的应用
一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上,AC长8m
.
A A′
⑴中如果梯子的顶端A下滑2m,那么它的底端B滑动多 少米?
C
B B′
一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上.
（2）有人说,在滑动过程中,梯子的底端滑动的距离 和顶端滑动的距离总是一样,你赞同吗?
A
A’
C B B’
《九章算术》中的折竹问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去 根六尺，问折高者几何？” 题意是：有一根竹子原高1丈（1丈=10 尺），中部有一处折断，竹梢触地面处 离竹根6尺，试问折断处离地面多高？
∠C=90度，AC=5，BC=12，求AB的长。
分析：题中的三角形是直角三角形，其中 ∠C=90度，故利用勾股定理由已知的两 边可以求出第三边。 解：在直角三角形ABC中，根据勾股定理 得：AB² =AC² +BC² =5² +12² =169，所以 AB=13
• （1）在直角三角形中，已知两边，利用勾股定理可求第三边。 • （2）在一般情况下，用a，b表示直角边，c表示斜边，则有a² +b² =c² , 还可以变形为a² =c² -b² ,b² =c² -a² . • (3)运用勾股定理求直角三角形的第三边时，首先应辨别待求的第三 边是直角边还是斜边，若没有明确哪条边时最长的，需分情况讨论。