第五节 反常积分的审敛法 Γ函数

第五节* 反常积分的审敛法 函数
一、无穷限反常积分的审敛法 二、无界函数的反常积分的审敛法 三、 函数
第五节* 反常积分的审敛法 函数
一、无穷限反常积分的审敛法
定理1 第设五函节数*f反(x)常在积区分间的[审a ,敛+法) 上 连函续数，且 f (x)
0定. 理若函1 数设函数 f (x) 在区间 [a , +) 上连续，且 f (x)
x
0 . 若函数 F (x) Fa(xf)(t)dxt f (t)dt 在在区区间间 [[aa ,, ++)) 上上有有上上界界，，则则反反a 常常积积分分
aa
ff
((xx))ddxx
收收敛敛..
证明 因为区间 [a , +) 上 F(x) f (x) 0 , 所以
F(x) 是单调增函数，又因为F(x)在[a , +) 上有上界，
第五节* 反常积分的审敛法 函数
定理4(极限审敛法1) 设函数 f (x) 在区间[a , +)
(a > 0)上连续，并且 f (x) 0 .
(1) 如果存在常数 p > 1，使得 lim x p f (x) 存在， x
则反常积分第五a节f (*x)反dx常收积敛分；的审敛法 函数
lim lim lim ((12))
1
x
解 由于
定理5 设函x 数arcf t(axn)x在区间 [aar,c+tan)x上连π续, . 如果反
lim lim 常积分
x|f
(x)
|
dxx
收敛，x则反常积分
2 f (x)dx 也
a
a
收敛. 根据极限审敛法1知所给反常积分发散.
定理5中的这种收敛称为绝对收敛.
第五节** 反常积分的审敛法 函数
aa
gg
((
xx))ddxx
收收敛敛，，则则
aa
gg
((
xx))ddxx
发发散散，，则则
证明
设 0< t < +，由 0 g (x) f (x) 及
g ( x)dx
aຫໍສະໝຸດ Baidu
收敛，得
t
t
f (x)dx g(x)dx g(x)dx .
a
a
a
t
第五节* 反常积分的审敛法 函数
定理3(比较审敛法1) 设函数 f (x) 在区间[a , +)
例例11
解
判判定定第反反五常常节积积* 分分反常11积 33分xxdd的44xx审11 敛的的法敛敛散散 函性性数 ..
因为
根据例解 例比22较判判由审定定第于敛反反五法常常0节1积积*知3分分 反，x常14该11积反1 xx分常13的1dd积1xxx审分4xx22敛收的的法x敛14敛敛3.散,散函性性数..
例5 判判定定反反常常积积分分
00
eeaaxx
ssiinn
bbxxddxx
((aa 00)) 的的敛敛散散性性..
解 由于 | eax sin bx | eax , 而 eaxdx 收敛， 0
根据比较审敛原理知，反常积分 | eax sin bx | dx 收敛. 0
由定理5知所给反常积分收敛，且为绝对收敛.
第五节* 反常积分的审敛法 函数
二、无界函数的反常积分的审敛法
第五节* 反常积分的审敛法 函数
由上节
当
例6 证明知反，常反积常分积分b
q
1
时发散b .
a(
x
dx a)q
a
,
(
x
dx a)
q
当 0< q <1 时收敛
当 0< q <1证时明收敛当，当q =q1时1 ，时发散. 于是有下面两个
如如果 果存x在常x f数( xp)
>
d1， 0使或得
x
xxfp(fx()x)
存在, ，
则反常积分 f (x)dx 收发敛散；. a
x
证明 设 lim x p f (x) c . 由极限的定义，存在充分 x
大的 x1 (x1 a , x1 > 0)，当 x > x1 时，必有
第第五 五节节** 反反常 常积积分分的的审审敛敛法法 函 函数数
b
f (x)dx 发散.
a
第五节* 反常积分的审敛法 函数
定理7(极限审敛法2) 设函数 f (x) 在区间(a , b] 上
连续，且 f (x) 0，x = a 为 f (x) 的瑕点.
(1) 如果存在常数 0 < q < 1，使得 lim (x a)q f (x) xa
关于瑕积分的ab审(x敛dx法a)：q
b dx a xa
[ln( x a)]ba .
当 q 1 时，
b dx
a (x a)q
(
x a)1q 1 q
b a
(b
a)1q
1q
,
,0q q
第五节* 反常积分的审敛法 函数
定理6(比较审敛法2) 设函数 f (x) 在区间 (a , b] 上
例3
判定反x常2 积分1
x 33 22 11 1 x22
dx
的敛1 散性.1.
,
lim lim 解 由x于
x 1 x2
x
1 x2
1
lim lim 根据极限x审敛x法 11x知3x2所2 给x反常 1x积2 分xx2收敛. ,
第五节** 反常积分的审敛法 函数
例4 判定反常积分 arctanx dx 的敛散性..
连续，且 f (x) 0 , x = a 为 f (x) 的瑕点.
(1) 如果存在常数 M > 0 及 q < 1，使得
f
(x)
(x
M a)q
(a x b) ,
则反常积分 b f (x)dx 收敛；
a
(2) 如果存在常数 N > 0 ，使得 f (x)
N
(a x b) ,
xa
则反常积分
(a > 0)上连续，并且 f (x) 0 .
(1) 如果存在常数 M > 0 及 p > 1，使得
f
(x)
M xp
(a x ) ,
则反常积分 f (x)dx 收敛； a
(2) 如果存在常数 N > 0 ，使得
f (x) N (a x ) , x
则反常积分 f (x)dx 发散. a
故F(x)在[a , +) 上是单调有界的函数. 按照“[a , +) 上可知极限
第五节* 反常积分的审敛法 函数
定理2(比较审敛原理) 设函数 f (x) , g (x)在区间
[a , +) 上连第续五.节如* 果反在常区积间分[的a ,审+敛)法上 函数
aa aa
((11)) 00 ff ((xx)) gg ((xx))，，并并且且 ff ((xx))ddxx 也也收收敛敛；； ((22)) 00 gg ((xx)) ff ((xx))，，并并且且 ff ((xx))ddxx 也也发发散散..