一个核为双曲正割函数的Hilbert型积分不等式
一个新的Hilbert型积分不等式及其等价式
一
个 新 的 Ｈｉ ｅｔ 积 分 不 等 式 及 其等 价 式 ｌ ｒ型 ｂ
葛晓葵 ，吴光年
（ 广东教育学院 数学系 ， 广东 广州 ５００ ） １３ ３
摘要 ： 引入一个权函数 ， 建立一个新的 Ｈ ｌｅｔ ｉ ｒ型积分不等式及等价式， ｂ 并证明其常数 因子为最
佳值 ．
关键词 ： ｌｅｔ Ｈｉ ｒ 型积分不等式； ｂ 权函数；最佳常数因子
（ １ ＋ 一 ） （作 如 形 的 广 户 ， 吉 ， １ 了 下 式 推 ： ＞ 对）
㈩
这里 ， 数 因 子 ７是 最 佳 的．称 （）为 Ｈｉ ｅｔ 分 不 等 式 ． ９５年 ， ｒｙＲｅｚ 引 进 （ ｑ 常 ｒ １ ｌ ｒ积 ｂ １２ Ｈａｄ－ ｉｓ 户，）一 参 数
Ｊ＇ ＇ Ｊ ｆＥ ｏ ｆ
．
ｘ ￣ｄ ＝ ４ ＜ ８ － ｘ ＝ ＝
故 （） ４ 成立 ． 毕． 证 引理 ２ 定 义权 函数 ∞（）（ ， （／ｄ ￡）＝ ———— ｆ） Ｊ ＝ ｆ 十 上 ｝ ， （ ：ｌ 十＿｛ ＼ ＝＝ ＝
Ｊ０
ｍ ｎ ｌ
（） ５
则有
∞（ ）一 ２ ａ ｃａ ｒｔ ｎ ．
（） ６
证 明
作 蛮 椟 ， 一 ， 右
、
一
．
Ｊ 。
ｆ
１
（
’ ｆ
（ 蚪’ （ ｆ
．
２ ａ ｃａ ｒ ｔｎ
定理１ 设 ， ，（） ， ＜Ｊ （）ｘ ∞，＜ Ｊ ｇ（）ｘ （）ｇ ≥０ ０ Ｉ ｘｄ ＜ ０ Ｉ ｄ ＜∞， ０ ｘ ０ 则有
Ｊ ＇
干
ｔ１ 一（（ ０． （）出 。）ｅ ＋ Ｔ／ ２ ｄ １ 一） ｃ 南 ‘， 一 一
一个含多参数混合核的hilbert型积分不等式及应用
第39卷第2期2012年3月浙江大学学报(理学版)J ournal of Zhej }i ang U ni vers i t y(Sci ence Edi t i on)ht t p ：／／w w w ．j ourna l s ．zj U ．edu ．cn ／SCiV 01．39N o ．2M a r ．2012D O I ：10．3785／j ．i s sn ．1008—9497．2012．02．003一个含多参数混合核的H i l ber t 型积分不等式及应用刘琼1，杨必成2(1．邵阳学院理学与信息科学系，湖南邵阳422000；2．广东第二师范学院数学系，广东广州510303)摘要：引入双共轭指数对，利用权函数和实分析方法，建立了一个含多参数混合核的H i l ber t 型积分不等式和它的等价式，证明了它们的常数因子是最佳值，并浅谈了其应用，得到一系列特殊且有意义的结果．关键词：H i l ber t 型积分不等式；参数；权系数；最佳常数因子；H bl der 不等式；应用中图分类号：0178文献标志码：A文章编号：1008—9497(2012)02—135—07L I U Q i on91．Y A N G B i —ehen92(1．D epar t m ent of Sci ence a nd I nf or m at i on ，S haoya ng U ni ve r si t y ，S haoyang422000，H una n Pr ovi n ce ，C hi na ；2．D ept ar t m ent of Ma t hem a t i c s ，G uangdong U ni ver s i t y of E duca t i on ，G ua ng —zho u510303，C hi na)A H i l be rt -t ype i n t eg r a l i nequal i t y w i t h t he m i x ed ker nel of so m e par am et er s an d i t s ap pl i cat i o n ．J o ur n al of Z h@ang U ni ver s i t y (Sci en ce E di t i on)，2012，39(2)：135—141A bst r act ：B y i n t r od uci n g t wo conj ugat e i ndexes and us i ng t he w ay of w ei ght coef f i c i ent and t he m et hod of r e al anal y —si s ，aH i l bert -t yp e i nt egr a l i nequal i t y wi t h t he m i x ed ker nel of s om e par am et er s and i t s e qui va l e nt f o r m a r e gi ven ．T hei rc o ns t a n tfa c t or i s pr ovedt obe t he be s t poss i bl e ，and i t s a ppl i ca t i on i s di s cus s ed ．A se r i e s of spec i a l and mea n —i ngf ul r e sul t sar eobt ai ned ．K e y W or ds ：H i l ber t -t y pe i nt e gra l i neq ual i t y ；par am et er ；w ei ght c oef f i ci e nt ；t he be s t c o ns t a n tf ac t or ；H 61de r ’S i n e —qua l i t y ；a ppl i ca t i on引言设P>1，三+三一1，，＆)，g(y)≥o ，o<Pq(f 尸(z)如)古一II f II ，<。
一个多参数的新Hilbert型积分不等式
（ 卜 ）（ ，． ） ，２ 』 （ 』 １ （ ） （ ） ） ）－ ， ｙ ） ３ ）
常数 因子 ｋ（ ）＝ ｑ ／ｐ＋Ａ一 ） ｑ＋Ａ一２ 为最 Ｐ ｐＡ （ ２ （ ）
佳值．０７年 ， ２０ 文献 ［ ］ ３ 引入 一对 共轭 指 数 （ 咖， ） 给 出了（ ） 的进一 步推广 式 ， １式
常数 因子 Ｋ （ ）＝Ｂ（ ／ １一Ａ）＋ （ ／ ， ａＰ ａｐ， Ａ ｑ １一Ａ）
Ｊ［ｍｘ Ｙ｝ ｄ ＜ ［０ ａ ～ 、 ０ ｛ Ｊ
，
是最佳的． ０７ ， ２ ０ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ年 文献 ［ ］ ５ 引入一对共轭 指数 （ ， ｒ ｓ （ ＞１ １ ｒ ／ ＝ ） 给 出了 （ ） 的推广 式 ） ｒ ，／ ＋１ ｓ １ ， ４式
∈（ ， ， ０ ∞）
那 么有 （， ｓ ）＝Ｂ １—２ ａ ｒ （ Ａ，／ ）＋ Ｂ（ １—２ ａ ｓ． Ａ，／ ） （） ８
，Ｊ－（ 兰ｊ ： 】 ＝一 旦 兰
＾
（（ 曰 Ｉ一２ 一旦 ）＋ Ａ，
占 ｓ ｑ
（ ， ，） ＝ ５Ｐ
一 Ｙ Ｉ＾ ２ ｕ ’
Ｂ １— Ａ，Ｌ＋ ＿ ）一Ｏ １ ８ ４＋ （ １ （ ２ ． ） （ ） － ）． １ ） －
，
Ｊ ｏ
ｒ
／ －
ｑ
Ｉ
证明
（） ７
作变换 ＝ ／ ， 由（ ） ｙ 再 ６ 式有
一
个 多参 数 的新 Ｈｌｅｔ 积 分 不等 式 ｉ ｒ型 ｂ
辛 冬梅
（ 广东教 育学院 数学系 ， 广东 广州 ５ ００ ） １ ３３
摘要 ： ｉ ｅ 不等式 是分 析学 的重 要不等式 ， Ｈｌ ｒ ｂｔ 由于权系数方法的改进及参量化思想的应用 ， 使这一领 域 的研究有 了深入 的发展． 通过 引入参数 及估 算权 函数 ， 立一 个新 的核为 Ａ齐次 且具 有最佳 常数 因子 的 建
一个含多参数的Hilbert型积分不等式
证 明 若有 ＞０ 使式 （ ） ， ６ 取等 号 ， 有 不全 为 ０的常数 Ａ ， 不妨 设 Ａ≠０ ， 得 Ａ 则 Ｂ（ ）使
本文 的主要 任 务是应 用权 函数 的方法 及实 分析 技巧 ， 立一 个 （ ） 的推 广 不等 式 ， 证 明其 常 数 建 ３式 并 因子 为最佳 值 ， 还考 虑 了其等 价式 ．
１ 若 干 引 理
引理 若 口， ＞０ 定义如 下 的 函数 ： ６ ，
、
）ｊ ：。
＝
（ ２ ）
（ ＞０ 是 最佳 值 ． ） 进一 步 的 ， 伟亮 得 到 如 下 一 个新 的 Ｈｉ 巫 １ 一
ｊ ．
｝
ｄ ｃｏ２）］ｆ￣ ）］ ｚ ＜ （ｄ圭ｏ。 ｄ专 ｄ Ｉｎ ｚｚ ［ｘ（ ｚ ， ｒ
（ ３ ）
这里 ， 常数 因子 ｃ １（／ ） 最佳值 ． ＝２ｎ ３２ 是
Ｊ ｎ． ０ ２ ｕ ２ １
Ｖｏ ． Ｎｏ． １２９ ２
第２ ９卷 第 ２期
文 章编号 ：０ ２—８ ４ （０ ２ ０ —０ ３ —０ １０ ７ ３２ １ ）２ ０ ４ ３
一
个 含 多参 数 的 Ｈｉ ｅｔ 积分 不等 式 ｌ ｒ型 ｂ
巫 伟 亮
（ 应 学院 数 学学 院 ， 东 梅 州 ５ ４ ３ ） 嘉 广 １０ １
摘
要 ： 过 引 入 两 个 独 立参 数 ， 用 权 函数 的方 法 及 实 分 析 的技 巧 ， 立 一 个 新 的具 有 最 佳 常 数 因子 的 Ｈｉ 通 应 建 ｌ —
ｂｒ 型积 分不 等式 及 其 等价 形 式 ， 证 明 了其 常 数 因子 是 最 佳 值 ． ｅｔ 并
关 键 词 ： 函 数 ； ｌｅ 型 积 分 不 等 式 ； 价 式 ； 权 Ｈｉ ｒ ｂｔ 等 最佳 常数
正则函数的一类hilbert边值问题
正则函数的一类hilbert边值问题Hilbert 值问题是一类能够在有限空间内对极限对象进行模拟的正则函数的数学方法。
它可以表达所有可能的空间位置，所以在许多领域中都有使用。
一、Hilbert值问题的基本定义Hilbert 值问题是一类在有限空间内表示极限对象的正则函数的数学方法，也称为Hilber格式或Hilbert图的数学表达式，是一个完备的函数，它不仅能够表达任何空间中的对象，自身也具备可被计算处理的性质，可以实现复杂的比较、分析及模拟。
二、Hilbert值问题的特点1、高效利用： Hilbert 值问题可以高效利用有限空间，在许多情况下，它可以在有限的表格类空间中完成空间的解析和模拟，使得大量的信息可以用少量的空间来描述和处理;2、空间简洁： Hilbert 值问题将极限对象映射到有限空间之后，可以无需特殊空间参数而实现空间信息的有效存储，空间数据以优秀的几何逻辑方式存储在一起，极大地精简了其空间占用和处理数据所需要的计算量;3、模拟真实空间：Hilbert 值问题以空间简洁的方式表达出任意的极限空间，它可以用有限的空间来模拟实际的空间环境，由于其不仅可以模拟空间环境还具有分析、统计的功能，所以适合于航空、航天中的太空监测;4、计算处理的性质：Hilbert 值问题函数的计算处理能力也是它的优势，可以实现复杂的比较、分析及模拟，可以用复杂的函数逻辑针对相关的上下文进行非常复杂的计算处理;三、Hilbert值问题的应用1、空间监测：Hilbert 值问题因为可以实现实时空间监测，在航空、航天等行业中都被广泛应用，能够及时捕捉运行轨迹和空间重叠状况；2、三维建模：Hilbert 值问题在三维建模中也有着广泛的应用，可以实现复杂的物体的模拟与建模，大大提高了可视化效果；3、生物医学：在生物医学中，Hilbert 值问题也可以用来精确分析生物像，缩短计算时间，提高模拟精度，如CT、MRI等检查、研究。
一个含混合核的Hilbert型积分不等式
为行 文 方便 ， 以下约定 ：
２ ０ １ １ 年， 周昱 、 高 明哲 ｔ ９ ｊ ３ （ 证 明了一个类 似于
（ １ ） 式并与 Ｅ ｕ ｌ ｅ ｒ 数有关的不等式 ， 即
弓 Ｉ 理 １ 设 ＞０ ， ０ ≤ ＜ ， Ｊ ８ ≥０ ， ２ ｒ ＝Ａ —ａ ，
＝
ＯＯ
Ｊ 。 Ｊ 。
引 用 格 式 ：有 名辉 ． 一个含 混 合核 的 Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 型积分 不 等 武【 Ｊ 】 ． 宜 宾学 院 学报， ２ ０ １ ５ ， １ ５ （ １ ２ ） ： ９ １ － ９ ４ ． Ｙ Ｏ Ｕ Ｍ Ｈ． Ａ Ｎ ｅ ｗ Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ — Ｔ ｙ ｐ ｅ Ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ Ｉ ｎ ｅ ｑ ｕ ｌ ａ ｉ ｔ ｙ Ｉ ｎ ｖ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎ ｇ Ｍ ｉ ｘ ｅ ｄ Ｋ ｅ ｒ ｎ ｅ ｌ ［ Ｊ ］ ． Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｙ ｉ ｂ ｉ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， ２ ０ １ ５ ， １ ５ （ １ ２ ） ： ９ １ — ９ ４
Ａ Ｎｅ ｗ Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ — Ｔ ｙ ｐ ｅ Ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ Ｉ ｎ ｅ ｑ ｕ ａ ｌ ｉ ｔ ｙ Ｉ ｎ ｖ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎ ｇ Ｍｉ ｘ ｅ ｄ Ｋ ｅ ｒ ｎ ｅ ｌ
ＹＯＵ Ｍｉ ｎ ｇ ｈ ｕ ｉ
（ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ Ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ ａ ｎ ｄ Ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ Ｓ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ，Ｚ ｈ ｅ ｊ ｉ ａ ｎ ｇ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ｏ ｆ Ｍｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｃ ａ ｌ ａ ｎ ｄ Ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ，Ｈ ａ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ ，ｚ ７ ｉ ａ ｎ ｇ
hermite-hadamard积分不等式
Hermite-Hadamard积分不等式是数学分析中的一个重要不等式，它给出了函数在一个区间上的积分与该区间端点处函数值的某种关系。
设f:[a,b]→R是一个连续且在[a,b]上可微的函数，那么Hermite-Hadamard 积分不等式可以表示为：
f(2a+b)≤b−a1∫abf(x)dx≤2f(a)+f(b).
证明：
第一步，由题意，可知f:[a,b]→R是一个连续且在[a,b]上可微的函数。
第二步，根据拉格朗日中值定理，存在一个ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=b−af(b)−f(a)。
第三步，根据泰勒公式，我们可以将f(x)在x=2a+b处展开为：
f(x)=f(2a+b)+f′(2a+b)(x−2a+b)+2f′′(η)(x−2a+b)2,
其中η介于x和2a+b之间。
第四步，对上式两边在[a,b]上积分，得到：
∫abf(x)dx=(b−a)f(2a+b)+24f′′(η)(b−a)3.
第五步，由第四步和积分中值定理，存在一个θ∈(a,b)，使得∫abf(x)dx=(b−a)f(θ)。
从而有：f(θ)=f(2a+b)+24f′′(η)(b−a)2.
第六步，由于f′′的符号不确定，因此24f′′(η)(b−a)2的符号也不确定。
根据不等式的性质，我们可以得到Hermite-Hadamard 积分不等式：
f(2a+b)≤b−a1∫abf(x)dx≤2f(a)+f(b).
综上，我们证明了Hermite-Hadamard 积分不等式。
关于双曲函数的Huygens型不等式及应用
ｔ ａｎ ｈ ｘ
— —
＞ ２
（ １ １）
的一种 加 强．
定 ２设 ，）则 理 ∈（号 ， ０
ｘｔ ｎｈｘ ＜ ｓ ｎ ・ｓｎｈ ＜ 。． ａ ｉｘ ｉ ｘ （ ２） １
证
记 － ） ｓ ｘ ｏ ｈ 厂 （ 一 ｉ ｃ ｓ ｘ— ｚ ， ４ ｎ 贝
本文 将 （ ） ３ 推广 到双 曲 函数 中 ， 出了 双 曲 函数 的 Ｈｕ ｇ ｎ 型 不 等式 （ ） 给 ｙｅ ｓ ４ 的加 强 和 双 曲 函数 的 Ｗｉ ｅ ｌ ｒ ｋ
型 不 等 式 ， 时 定 义一 类 新 的 Ｓ ｉｆｒｔ型 得
推 论 ２ 设 ∈ （ ｏ Ｏ，ｏ）， 则
（
ｚ
） ＋
－ ｚ
＋
２（ ＋ １
ｃ ｓ ｘ） ｏ ｈ
・
（ － ｃ １－ ｏｓ
。
ｃＯｓｎｚ ｃ０ｓ ｚ （ 十 ｃＯｓｈ Ｊ。 ｈ Ｌｚ＋ ｃＯｓ ｈ
（ ０） １
证 由 （ ）司 知 ５
（ 兰） 十 — ｌｈ ７ ｔ ｌ￣ ａ—
一
（
兰） ＋
一
．
， ＞（ ） 上ｈ・ 一 ＞ 干 Ｊ ｃ ｘ — 。ｏ 十 —‘ ＋ ｓ 干
从而 （０ 成立 ． １）
＝＋ｏｘ２ ｃｈ２（ ｃ㈦ ｚ ｃ 盟 ｏｘ １ ｓ） ２ ｈ（— ｓ） －ｏ ， 十ｓ ＋ — ‘ ・ ｈ
注 １ （ ０ 给 出了关 于 双 曲 函数 的 Ｗｉ ｅ 型不 等式 Ｅ １） ｌ ｒ ｋ ］
２ｉ ｓ ｎｈｘ＋ ｓｎｈ ｏｓ ｘ 一 ２ ｏｓ ｉ ｘｃ ｈ ｘｃ ｈｘ— ｚ ＞ ０ ，
从 而 （） 立 ． ５成 由定 理 １可 得 如 下 的 推 论 ． 推 论 １ 设 ＞ ０， 有 则
赫尔德不等式在高中数学中的应用
赫尔德不等式在高中数学中的应用什么是赫尔德不等式？
赫尔德不等式，又称赫尔德积分不等式，是数学分析中的一种重要不等式。
它描述了两个函数的乘积在某些条件下的上界。
赫尔德不等式的一般形式为：
若函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上连续且非负，则有：
∫[a,b] f(x) * g(x) dx ≤ (∫[a,b] f(x)^p dx)^(1/p) * (∫[a,b] g(x)^q dx)^(1/q)
其中，p和q是满足1/p + 1/q = 1的正实数。
赫尔德不等式在高中数学中的应用
赫尔德不等式在高中数学中有广泛的应用，特别是与积分相关的问题。
下面列举了一些常见的应用场景：
•证明两个函数的乘积的积分上界；
•证明柯西-施瓦茨不等式、柯西不等式等其他重要不等式；
•求解函数极值问题；
•计算特定曲线下的面积。
示例：证明两个函数的乘积的积分上界
假设我们要证明函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上的乘积的积分上界。
我们可以利用赫尔德不等式进行推导：
∫[a,b] f(x) * g(x) dx ≤ (∫[a,b] f(x)^2 dx)^(1/2) * (∫[a,b] g(x)^2 dx)^(1/2)
通过选择合适的函数f(x)和g(x)，我们可以得到具体问题的解答。
小结
赫尔德不等式是高中数学中的重要内容，它在解决函数乘积的积分上界、证明其他不等式以及求解函数极值等问题中有广泛的应用。
熟练掌握赫尔德不等式的使用方法，对于理解数学知识和解决实际问题都具有重要意义。
多参数的hilbert积分不等式的改进
多参数的hilbert积分不等式的改进
Hilbert积分不等式作为一个重要的数学结构，被广泛应用在各类的科学领域，例如惯性系统的分析、数值分析以及有效定制、信号处理中，特别是在多参数系统的建模、控制中占
有重要的地位。
然而，Hilbert积分不等式在实际应用中若出现各参数不同情况，则会遇到巨大的局限性，即该积分不等式的形态无法满足不同的需求゜.因此，提出改进的多参数Hilbert积分不等式，成为研究重要课题。
改进的多参数Hilbert积分不等式，其核心思想是考虑Hilbert积分不等式函数空间内不同
参数对其形态的影响，将不同参数构造纯净的空间转换，从而获得不等式的变化性.根据此，在Hilbert积分不等式函数空间内定义不同参数的质量因子，以比较不同参数的不同函数
形态，再以最小值统一表面。
此外，在积分参数的计算中，改进的多参数Hilbert积分不
等式的应用及其解析解的解，使Hilbert积分不等式具有了更宽化的适用范围、和更强的
模型准确性和准确性。
改进的多参数Hilbert积分不等式是参数影响Hilbert积分不等式形态性的实质，使研究者
能够从不同的参数空间结构形式，探讨系统的精确模型。
为各类科学研究提供了更加可靠
的数学框架，起到了巨大的助力作用。
hilbert核的奇异积分和积分方程的小波方法
hilbert核的奇异积分和积分方程的小波方法
Hilbert核奇异积分和积分方程的小波方法是一种有效的计算方法，可以解决复杂的数学问题。
1. Hilbert核: Hilbert核是一种积分计算方法，它有效地通过利用核函数的数学性质来解决复杂的积分问题。
它的优点在于它可以减少计算时间和复杂度，用于精准计算积分。
2. 奇异积分: 奇异积分是Hilbert核的一个扩展，它是在Hilbert核的基础上，利用积分性质对复杂的函数进行精准计算的方法。
3. 积分方程: 积分方程理论中的Hilbert核方法通常是将积分方程表示为Hilbert核，用于数学模型建立和积分计算，以解决复杂的微分方程问题。
4. 小波方法: 小波方法是一种基于图像处理的数学方法，它可以利用Hilbert核的积分及奇异积分的特点，利用集成的小波变换方法对积分方程进行求解，从而解决较复杂的问题。
Hilbert核奇异积分和积分方程的小波方法应用广泛，它可以用于图像处理、信号处理、机器学习等领域，从而提高算法的性能和精度。
此
外，它还可以用于科学和工业领域，如物质特性识别、煤壳特性分类和瘤性细胞识别等问题，帮助开发高效的算法和解决方案。
拟齐次核逆向Hilbert型积分不等式的构建条件及算子表示
第48卷第8期西南师范大学学报(自然科学版)2023年8月V o l.48N o.8 J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)A u g.2023D O I:10.13718/j.c n k i.x s x b.2023.08.002拟齐次核逆向H i l b e r t型积分不等式的构建条件及算子表示①洪勇1,赵茜1,张丽娟1,孔荫莹21.广州华商学院数据科学学院,广州511300;2.广东财经大学统计与数学学院,广州510320摘要:利用权函数方法和逆向Höl d e r积分不等式,讨论了具有拟齐次核K(x,y)的逆向H i l b e r t型积分不等式ʏ+ɕ0ʏ+ɕ0K(x,y)|f(x)||g(y)|d x d yȡM f *p,α g *q,β的构建问题,其中1p+1q=1(0<p<1,q<0),fɪLαp(0,+ɕ),gɪLβq(0,+ɕ).得到了构建逆向H i l b e r t 型积分不等式的充分必要条件和最佳常数因子的计算公式,与拟齐次核H i l b e r t型积分不等式的相关结果形成对应,完善了H i l b e r t型积分不等式的理论问题.最后利用逆向H i l b e r t型积分不等式对积分算子T(f)(y)=ʏ+ɕ0K(x,y)f(x)d x fɪLαp(0,+ɕ)进行探讨,给出了相应的算子不等式和若干特例,这对于积分算子的研究有一定的理论意义.关键词:逆向H i l b e r t型积分不等式;拟齐次核;构建条件;最佳常数因子;算子表示中图分类号:O178文献标志码:A文章编号:10005471(2023)08001009C o n s t r u c t i o nC o n d i t i o n s a n dO p e r a t o rR e p r e s e n t a t i o n s o fI n v e r s eH i l b e r t-T y p e I n t e g r a l I n e q u a l i t i e sw i t h Q u a s i-H o m o g e n e o u sK e r n e l HO N Y Y o n g1,Z HA O Q i a n1,Z HA N GL i j u a n1, K O N G Y i n y i n g21.C o l l e g eo f D a t aS c i e n c e,G u a n g z h o uH u a s h a n g C o l l e g e,G u a n g z h o u511300,C h i n a;2.C o l l e g eo f S t a t i s t i c sa n dM a t h e m a t i c s,G u a n g d o n g U n i v e r s i t y o f F i n a n c ea n dE c o n o m i c s,G u a n g z h o u510320,C h i n aA b s t r a c t:U s i n g t h ew e i g h t f u n c t i o n m e t h o da n d i n v e r s e Höl d e r i n t e g r a l i n e q u a l i t y,t h e p r o b l e m o f c o n-s t r u c t i n g t h e i n v e r s eH i l b e r t-t y p e i n t e g r a l i n e q u a l i t yʏ+ɕ0ʏ+ɕ0K(x,y)|f(x)||g(y)|d x d yȡM f *p,α g *q,βw i t h q u a s i-h o m o g e n e o u s k e r n e l K(x,y)i s d i s c u s s e d,w h e r e1p+1q=1(0<p<1,q<0),fɪLαp(0,+ɕ), gɪLβq(0,+ɕ).T h e s u f f i c i e n t n e c e s s a r y c o n d i t i o n s f o r c o n s t r u c t i n g t h e i n v e r s eH i l b e r t-t y p e i n t e g r a l i n e-q u a l i t y a n d f o r m u l a f o r t h eb e s t c o n s t a n t f a c t o r a r e o b t a i n e d,w h i c h f o r ma c o r r e s p o n d e n c ew i t h t h e r e l e-①收稿日期:20221110基金项目:广东省基础与应用基础研究基金项目(2022A1515012429);广州华商学院科研团队项目(2021H S K T03).作者简介:洪勇,教授,主要从事调和分析及解析不等式的研究.v a n t r e s u l t s o f t h eH i l b e r t -t y p e i n t e g r a l i n e q u a l i t y w i t h q u a s i -h o m o ge n e o u sk e r n e l ,w h i c hr ef i n e sa t h e o -r e t i c a l p r o b l e mo fH i l b e r t -t y p e i n e q u a l i t y ,a n d f i n a l l y t h e i n t eg r a l o p e r a t o r T (f )(y )=ʏ+ɕK (x ,y )f (x )d x f ɪL αp (0,+ɕ)i s d i s c u s s e db y u s i n g t h e i n v e r s e H i l b e r t -t y p e i n t e g r a l i n e q u a l i t y ,g i v i n g t h ec o r r e s p o n d i n g o pe r a t o r i n e -q u a l i t y a n d s e v e r a l s p a c i a l c a s e s ,w h i c hh a v e s o m e t h e o r e t i c a l s i g n if i c a n c e f o r t h e s t u d y o f i n t eg r a l o p e r a -t o r s .K e y wo r d s :i n v e r s e H i l b e r t -t y p e i n t e g r a l i n e q u a l i t y ;q u a s i -h o m o g e n e o u sk e r n e l ;c o n s t r u c t i o nc o n d i t i o n ;t h eb e s t c o n s t a n t f a c t o r ;o p e r a t o r r e pr e s e n t a t i o n 设r ʂ0,αɪR ,记L αr(0,+ɕ)=f (x ):ʏ+ɕx α|f (x )|rd x ()1r<+ɕ{}需要指出的是:当r >1时,L αr (0,+ɕ)是带幂权x α的加权L e b e s gu e 空间,此时记 f r ,α=ʏ+ɕx α|f (x )|rd x ()1r当r ɤ1且r ʂ0时,L αr (0,+ɕ)并不构成向量空间,为了区别r >1的情形,此时记f*r ,α=ʏ+ɕx α|f (x )|rd x ()1r若1p +1q=1(0<p <1,q <0),α,βɪR ,K (x ,y )ȡ0,f (x )ɪL αp (0,+ɕ),g (y )ɪL βq (0,+ɕ),称ʏ+ɕ0ʏ+ɕK (x ,y )|f (x )||g (y )|d x d y ȡM f *p ,α g *q ,β(1)为以K (x ,y )为核的逆向Hi l b e r t 型积分不等式,M 称为常数因子,M 0=s u p {M }称为最佳常数因子.在充分讨论H i l b e r t 型不等式并取得了大量成果的基础上[1-4],近年来各国学者开始关注逆向H i l b e r t型不等式[5-9].文献[10-16]讨论了H i l b e r t 型不等式的构建问题,从理论上解决了H i l b e r t 型不等式针对各类核的构造参数条件,并得到了加权L e b e s g u e 空间中有界积分算子的构造方法,这在算子理论中是非常有意义的,但目前讨论逆向H i l b e r t 型不等式构造的文献还不多见.本文针对拟齐次核讨论逆向H i l b e r t 型积分不等式的构造问题,得到了等价的参数条件和最佳常数因子的计算公式.设λ是一个实数,G (u ,v )是λ阶齐次非负函数,λ1λ2>0,称K (x ,y )=G (x λ1,y λ2)为拟齐次函数,显然K (x ,y )具有性质:若t >0,则K (t x ,y )=t λλ1K (x ,t -λ1λ2y ) K (x ,t y )=t λλ2K (t -λ2λ1x ,y )特别地,K (t ,1)=t λλ1K (1,t -λ1λ2) K (1,t )=t λλ2K (t -λ2λ1,1)本文中,我们记W 1(s )=ʏ+ɕK (1,t )t sd t W 2(s )=ʏ+ɕK (t ,1)t sd tA (K ,f ,g )=ʏ+ɕʏ+ɕK (x ,y )|f (x )||g (y )|d x d y 1 预备引理引理1 设1p +1q=1(0<p <1,q <0),λ1λ2>0,λɪR ,G (u ,v )是λ阶齐次非负函数,K (x ,11第8期 洪勇,等:拟齐次核逆向H i l b e r t 型积分不等式的构建条件及算子表示y )=G (x λ1,y λ2),α+1λ1p +β+1λ2q =λ+1λ1+1λ2,则1λ1W 1-β+1q æèçöø÷=1λ2W 2-α+1p æèçöø÷,且ω1(x ,β,q )=ʏ+ɕ0K (x ,y )y -β+1q d y =xλλ1-λ1λ2β+1q -1()W 1-β+1q æèçöø÷ω2(y ,α,p )=ʏ+ɕK (x ,y )x -α+1pd x =yλλ2-λ2λ1α+1p -1()W 2-α+1p æèçöø÷证 因为α+1λ1p +β+1λ2q=λ+1λ1+1λ2故-λ1λ2λλ2-β+1q æèçöø÷-λ1λ2-1=-α+1p于是W 1-β+1q æèçöø÷=ʏ+ɕK (t -λ2λ1,1)t λλ2-β+1q d t =λ1λ2ʏ+ɕ0K (u ,1)u -λ1λ2λλ2-β+1q ()-λ1λ2-1d u =λ1λ2ʏ+ɕK (u ,1)u -α+1p d u =λ1λ2W 2-α+1p æèçöø÷故有1λ1W 1-β+1q æèçöø÷=1λ2W 2-α+1p æèçöø÷利用K (x ,y )的性质,有ω1(x ,β,q )=x λλ1ʏ+ɕK (1,x -λ1λ2y )y -β+1q d y =xλλ1-λ1λ2β+1q -1()ʏ+ɕK (1,t )t -β+1q d t =x λλ1-λ1λ2β+1q -1()W 1-β+1q æèçöø÷同理可得ω2(y ,α,p )=yλλ2-λ2λ1α+1p -1()W 2-α+1p æèçöø÷引理2[17] 设1p +1q=1(0<p <1,q <0),x ɪΩ⊆R n,ω(x )ȡ0,f (x )ȡ0,g (x )ȡ0,则有逆向H öl d e r 积分不等式ʏΩf (x )g (x )ω(x )d x ȡʏΩf p(x )ω(x )d x ()1pʏΩg q(x )ω(x )d x ()1q当且当存在常数C 使得f p (x )=C g q (x )时,不等式取等号.2 逆向H i l b e r t 型积分不等式的构造定理定理1 设1p +1q =1(0<p <1,q <0),λ1λ2>0,α,β,λɪR ,G (u ,v )是λ阶齐次非负函数,K (x ,y )=G (x λ1,y λ2),0<W 1-β+1q æèçöø÷<+ɕ,0<W 2-α+1p æèçöø÷<+ɕ,存在常数σ>0,使得W 1-β+1q ʃσæèçöø÷<+ɕ或W 2-α+1pʃσæèçöø÷<+ɕ,则:21西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .e d u .c n 第48卷(i )当且当α+1λ1p +β+1λ2q =λ+1λ1+1λ2时,存在常数M >0,使得A (K ,f ,g )=ʏ+ɕʏ+ɕK (x ,y )|f (x )||g (y )|d x d y ȡM f*p ,α g *q ,β(2)其中f (x )ɪL αp (0,+ɕ),g (y )ɪL βq (0,+ɕ);(i i )当α+1λ1p +β+1λ2q=λ+1λ1+1λ2时,(2)式的最佳常数因子为s u p {M }=W 0|λ1|1q |λ2|1p 其中W 0=|λ1|W 2-α+1p æèçöø÷=|λ2|W 1-β+1q æèçöø÷.证 不妨设W 2-α+1pʃσæèçöø÷<+ɕ.(i )充分性 设α+1λ1p +β+1λ2q=λ+1λ1+1λ2,根据引理1及引理2,有A (K ,f ,g )=ʏ+ɕ0ʏ+ɕx α+1p q yβ+1p q |f (x )|æèçöø÷y β+1p qx α+1p q|g (y )|æèçöø÷K (x ,y )d x d y ȡʏ+ɕ0ʏ+ɕx α+1qyβ+1q|f (x )|p K (x ,y )d x d y æèçöø÷1p ʏ+ɕ0ʏ+ɕy β+1px α+1p |g (y )|q K (x ,y )d x d y æèçöø÷1q =ʏ+ɕ0x α+1q|f (x )|pω1(x ,β,q )d x ()1pʏ+ɕyβ+1p|g (y )|qω2(y ,α,p )d y()1q=W 1p 1-β+1q æèçöø÷W 1q 2-α+1p æèçöø÷ʏ+ɕ0x α+1q +λλ1-λ1λ2β+1q -1()|f (x )|pd x ()1pʏ+ɕy β+1p +λλ2-λ2λ1α+1p -1()|g (y )|q d y()1q=W 1p 1-β+1q æèçöø÷W 1q 2-α+1pæèçöø÷ʏ+ɕ0x α|f (x )|pd x ()1pʏ+ɕy β|g (y )|qd y ()1q=W 1p1-β+1q æèçöø÷W 1q 2-α+1p æèçöø÷ f *p ,α g *q ,β任取0<M ɤW 1p1-β+1q æèçöø÷W 1q 2-α+1p æèçöø÷,都可得到(2)式.必要性 设存在常数M >0使得(2)式成立,记α+1λ1p +β+1λ2q-λ+1λ1+1λ2æèçöø÷=c若c λ2>0,对充分小的ε>0,令f (x )=x-α+1+|λ1|εpx ȡ100<x <1{g (y )=y-β+1+|λ2|εqy ȡ10<y <1{则有f *p ,αg *q ,β=ʏ+ɕ1x -1-|λ1|εd x()1pʏ+ɕ1y-1-|λ2|εd y()1q=1ε|λ1|1p |λ2|1q (3)同时还有A (K ,f ,g )=ʏ+ɕ1y-β+1q -|λ2|εqʏ+ɕ1K (x ,y )x -α+1p -|λ1|εpd x ()d y =31第8期 洪勇,等:拟齐次核逆向H i l b e r t 型积分不等式的构建条件及算子表示ʏ+ɕ1yλλ2-β+1q -|λ2|εqʏ+ɕ1K (y -λ2λ1x ,1)x -α+1p -|λ1|εpd x ()d y =ʏ+ɕ1y λλ2-β+1q -|λ2|εq +λ2λ1-α+1p -|λ1|εp ()+λ2λ1ʏ+ɕy -λ2λ1K (t ,1)t-α+1p -|λ1|εpd t ()d y ɤʏ+ɕ1y λ2λ-β+1λ2q -|λ2|ελ2q -α+1λ1p -|λ1|ελ1p +1λ1()ʏ+ɕK (t ,1)t -α+1p -|λ1|εpd t ()d y =ʏ+ɕ1y-1-c λ2-|λ2|εd yʏ+ɕK (t ,1)t-α+1p -|λ1|εpd t(4)根据(3)式和(4)式,有εʏ+ɕ1y-1-c λ2-|λ2|εd yʏ+ɕK (t ,1)t -α+1p-|λ1|εpd t ȡM|λ1|1p|λ2|1q(5)因为c λ2>0,由L e b e s gu e 控制收敛定理,有l i mεң0+ʏ+ɕ1y-1-c λ2-|λ2|εd y =ʏ+ɕ11y1+c λ2d y <+ɕ令F (t )=K (t ,1)t -α+1p -σ 0<t ɤ1K (t ,1)t -α+1pt >1{因为ε>0充分小,故|λ1|εp <σ,于是K (t ,1)t-α+1p -|λ1|εpɤF (t ) t >0而ʏ+ɕF (t )d t =ʏ10F (t )d t +ʏ+ɕ1F (t )d t =ʏ10K (t ,1)t -α+1p -σd t +ʏ+ɕ1K (t ,1)t-α+1pd t ɤW 2-α+1p -σæèçöø÷+W 2-α+1p æèçöø÷<+ɕ视ε为一个趋于0的正项数列{c k },根据L e b e s g u e 控制收敛定理,有l i mεң0+ʏ+ɕ0K (t ,1)t-α+1p -|λ1|εpd t =l i mk ң+ɕʏ+ɕ0K (t ,1)t-α+1p -|λ1|c k pd t =ʏ+ɕK (t ,1)t-α+1pd t =W 2-α+1p æèçöø÷<+ɕ于是在(5)式中令εң0+,得0ȡM|λ1|1p|λ2|1q>0(6)矛盾,所以c λ2>0不成立.若c λ2<0,对充分小的ε>0,令f (x )=x-α+1-|λ1|εp0<x ɤ1x >1{g (y )=y-β+1-|λ2|εq0<y ɤ1y >1{类似地可得εʏ1y-1-c λ2+|λ2|εd yʏ+ɕK (t ,1)t -α+1p+|λ1|εpd t ȡM|λ1|1p|λ2|1q 41西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .e d u .c n 第48卷利用W 2-α+1p +σæèçöø÷<+ɕ W 2-α+1p æèçöø÷<+ɕ及L e b e s gu e 控制收敛定理,令εң0+,类似地也可得到(6)式,矛盾.故c λ2<0也不能成立.综上所述,可得c λ2=0,但λ2ʂ0,故c =0,即α+1λ1p +β+1λ2q=λ+1λ1+1λ2(i i )设α+1λ1p +β+1λ2q =λ+1λ1+1λ2,则c =0.若(2)式的最佳常数因子不是W 0|λ1|1q |λ2|1p,则存在常数M 0>0,使得M 0>W 1p1-β+1q æèçöø÷W 1q 2-α+1p æèçöø÷=W 0|λ1|1q |λ2|1pA (K ,f ,g )ȡM 0 f *p ,α g *q ,β由于c =0,根据导出(5)式的方法,得εʏ+ɕ1y-1-|λ2|εd yʏ+ɕK (t ,1)t-α+1p -|λ1|εpd t ȡM 0|λ1|1p |λ2|1q 由此得到1|λ2|ʏ+ɕ0K (t ,1)t -α+1p -|λ1|εpd t ȡM 0|λ1|1p |λ2|1q令εң0+,得λ1λ2æèçöø÷1pʏ+ɕK (t ,1)t -α+1pd t ȡM 0于是W 0|λ1|1q |λ2|1p =λ1λ2æèçöø÷1p W 2-α+1p æèçöø÷=λ1λ2æèçöø÷1p ʏ+ɕK (t ,1)t -α+1pd t ȡM 0这与M 0>W 0|λ1|1q|λ2|1p矛盾,故(2)式的常数因子是最佳的.3 逆向H i l b e r t 型积分不等式的算子表式设K (x ,y )ȡ0,定义以K (x ,y )为核的积分算子T :T (f )(y )=ʏ+ɕK (x ,y )f (x )d x f (x )ɪL αp (0,+ɕ)(7)根据H i l b e r t 型不等式的基本理论,逆向H i l b e r t 型积分不等式(1)等价于算子不等式 T (f ) *p ,β(1-p )ȡM f *p ,α f (x )ɪL αp (0,+ɕ)(8)根据定理1,可得到下列等价定理:定理2 设1p +1q=1(0<p <1,q <0),λ1λ2>0,α,β,λɪR ,G (u ,v )是λ阶齐次非负函数,K (x ,y )=G (x λ1,y λ2),0<W 1-β+1q æèçöø÷<+ɕ,0<W 2-α+1p æèçöø÷<+ɕ,存在常数σ>0,使得W 1-β+1q ʃσæèçöø÷<+ɕ或W 2-α+1pʃσæèçöø÷<+ɕ,积分算子T 由(7)式定义,则:(i )当且当α+1λ1p +β+1λ2q=λ+1λ1+1λ2时,存在常数M >0,使得(8)式成立;(i i )当α+1λ1p +β+1λ2q =λ+1λ1+1λ2时,(8)式的最佳常数因子为s u p {M }=W 0|λ1|1q |λ2|1p,其中51第8期 洪勇,等:拟齐次核逆向H i l b e r t 型积分不等式的构建条件及算子表示W 0=|λ1|W 2-α+1p æèçöø÷=|λ2|W 1-β+1q æèçöø÷在定理2中取λ1=λ2=1,则可得到关于齐次核积分算子的如下结果:推论1 设1p +1q=1(0<p <1,q <0),α,β,λɪR ,K (x ,y )是λ阶齐次非负函数,0<W 1-β+1q æèçöø÷<+ɕ,0<W 2-α+1p æèçöø÷<+ɕ,存在常数σ>0,使得W 1-β+1q ʃσæèçöø÷<+ɕ或W 2-α+1pʃσæèçöø÷<+ɕ,积分算子T 由(7)式定义,则:(i )当且当αp +βq=λ+1时,存在常数M >0,使得(8)式成立;(i i )当αp +βq =λ+1时,(8)式的最佳常数因子为s u p{M }=W 1-β+1q æèçöø÷=W 2-α+1p æèçöø÷.在定理2中取α=β=0,则可得:推论2 设1p +1q=1(0<p <1,q <0),λ1λ2>0,λɪR ,G (u ,v )是λ阶齐次非负函数,K (x ,y )=G (x λ1,y λ2),0<W 1-1q æèçöø÷<+ɕ,0<W 2-1p æèçöø÷<+ɕ,存在常数σ>0,使得W 1-1q ʃσæèçöø÷<+ɕ或W 2-1p ʃσæèçöø÷<+ɕ,积分算子T 由(7)式定义,则:(i )当且当λ+1λ1q +1λ2p=0时,存在常数M >0,使得T (f ) *p ȡM f *p f (x )ɪL p (0,+ɕ)(9)(i i )当λ+1λ1q +1λ2p =0时,(9)式的最佳常数因子为s u p {M }=W 0|λ1|1q |λ2|1p ,其中W 0=|λ1|W 2-1p æèçöø÷=|λ2|W 1-1q æèçöø÷推论3 设1p +1q=1(0<p <1,q <0),λ>0,0ɤa <b ,积分算子T 为T (f )(y )=ʏ+ɕl n b x λ+y λa x λ+y λæèçöø÷f (x )d x f (x )ɪL p 1q +λ2()p (0,+ɕ)则有T (f ) *p ,λp 2-1ȡ2πλ(b -a ) f *p ,p 1q +λ2()其中的常数因子2πλ(b -a )是最佳值.证 记α=p 1q +λ2æèçöø÷ β=q 1p -λ2æèçöø÷则αp +βq=1.又记K (x ,y )=l n b x λ+y λa x λ+y λæèçöø÷ x >0,y >0因为0ɤa <b ,故K (x ,y )是0阶齐次非负函数.作变换t =u 2λ,有W 1-β+1q æèçöø÷=ʏ+ɕ0K (1,t )t-β+1qd t =ʏ+ɕl n b +t λa +t λæèçöø÷t -β+1qd t =61西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .e d u .c n 第48卷2λʏ+ɕl n b +u 2a +u 2æèçöø÷u -2λβ+1q +2λ-1d u =2λʏ+ɕl n b +u 2a +u 2æèçöø÷d u =2λu l nb +u 2a +u 2æèçöø÷æèç+ɕ0-ʏ+ɕu 2u b +u 2-2u a +u 2æèçöø÷d u öø÷=4(b -a )λʏ+ɕ0u 2(b +u 2)(a +u 2)d u若a >0,因为h (z )=z 2(b +z 2)(a +z 2)在上半平面上有两个一阶极点a i 和b i ,利用复变函数的残数理论,可求得W 1-β+1q æèçöø÷=4(b -a )λʏ+ɕ0u 2(b +u 2)(a +u 2)d u =2(b -a )λ2πiR e s z =b i z 2(b +z 2)(a +z 2)+R e s z =a iz 2(b +z 2)(a +z 2)æèçöø÷=2πλ(b -a )若a =0,则易求得W 1-β+1q æèçöø÷=2πλb .综上所述,当a ȡ0时,有0<W 1-β+1q æèçöø÷=2πλ(b -a )<+ɕ类似地也可得0<W 2-α+1p æèçöø÷=2πλ(b -a )<+ɕ取σ=λ4>0,有W 1-β+1q-σæèçöø÷=ʏ+ɕ0l n b +t λa +t λæèçöø÷t -β+1q -σd t =2λʏ+ɕl n b +u 2a +u 2æèçöø÷u -12d u =2λʏ10l n b +u 2a +u 2æèçöø÷u -12d u +2λʏ+ɕ1l n b +u 2a +u 2æèçöø÷u -12d u ɤ2λʏ10l n b +u 2a +u 2æèçöø÷u -12d u +2λʏ+ɕ1l n b +u 2a +u 2æèçöø÷d u 因为l n b +u 2a +u 2æèçöø÷u -12~l n b a æèçöø÷u -12 u ң0+l n b +u 2a +u 2æèçöø÷=l n1+b -a a +u 2æèçöø÷~b -a a +u 2<b -a u 2u ң+ɕʏ10l n b a æèçöø÷u -12d u <+ɕ ʏ+ɕ1b -au 2d u <+ɕ从而可推知W 1-β+1q-σæèçöø÷<+ɕ.又因为W 1-β+1q+σæèçöø÷=ʏ+ɕ0l n b +t λa +t λæèçöø÷t -β+1q +σd t =2λʏ+ɕl n b +u 2a +u 2æèçöø÷u 12d u =71第8期 洪勇,等:拟齐次核逆向H i l b e r t 型积分不等式的构建条件及算子表示2λʏ10l n b +u 2a +u 2æèçöø÷u 12d u +2λʏ+ɕ1l n b +u 2a +u 2æèçöø÷u 12d u ɤ2λʏ10l n b +u 2a +u 2æèçöø÷d u +2λʏ+ɕ1l n b +u 2a +u 2æèçöø÷u 12d u 而l n b +u 2a +u 2æèçöø÷u 12~b -a a +u 2u 12<b -a u32u ң+ɕʏ+ɕ1b -a u32d u <+ɕ ʏ10l n b +u 2a +u 2æèçöø÷d u <+ɕ所以可知W 1-β+1q +σæèçöø÷<+ɕ,于是得到W 1-β+1qʃσæèçöø÷<+ɕ.综上所述,并根据推论1,可知推论3成立.参考文献:[1]洪勇,和炳.H i l b e r t 型不等式的理论与应用(上册)[M ].北京:科学出版社,2023:26-90.[2] 杨必成,陈强.一个核为双曲正割函数的半离散H i l b e r t 型不等式[J ].西南师范大学学报(自然科学版),2015,40(2):26-32.[3] 钟建华,陈强.一个单调减非凸的零齐次核H i l b e r t 型不等式[J ].西南大学学报(自然科学版),2014,36(8):92-96.[4] 王爱珍.一个半离散且单调齐次核的H i l b e r t 型不等式[J ].西南大学学报(自然科学版),2013,35(4):101-105.[5] R A S S I A S M T H ,Y A N G BC .A R e v e r s e M u l h o l l a n d -T y p e I n e q u a l i t y i nt h e W h o l eP l a n ew i t h M u l t i -P a r a m e t e r s [J ].A p p l i c a b l eA n a l ys i s a n dD i s c r r e t eM a t h e m a t i c s ,2019,13:290-308.[6] 杨必成,陈强.一类非齐次核逆向的H a r d y 型积分不等式成立的等价条件[J ].吉林大学学报(理学版),2017,55(4):804-808.[7] Y A N G BC ,WU S H ,WA N G A Z .A N e w R e v e r s e M u l h o l l a n d -T y p e I n e q u a l i t y wi t h M u l t i -P a r a m e t e r s [J ].A I M S M a t h e m a t i c s ,2021,6(9):9939-9954.[8] R A S S I A S M T ,Y A N G BC ,M E L E T I O U G C .A M o r eA c c u r a t eH a l f -D i s c r e t eH i l b e r t -T y p e I n e q u a l i t y i nt h e W h o l e P l a n e a n d t h eR e v e r s e s [J ].A n n a l s o fF u n c t i o n a lA n a l ys i s ,2021,12(3):1-29.[9] Z HA O CJ ,C H E N G W S .R e v e r s e H i l b e r t -T y p e I n e q u a l i t i e s [J ].J o u r n a l o fM a t h e m a t i c s I n e q u a l i t i e s ,2019,13(3):855-866.[10]HO N GY ,HU A N GQL ,Y A N GBC ,e t a l .T h eN e c e s s a r y an dS u f f i c i e n t C o n d i t i o n s f o r t h eE x i s t e n c e o f aK i n d o fH i l -b e r t -T y p eM u l t i p l e I n t e g r a l I n e q u a l i t y w i t h t h eN o n -H o m o g e n e o u sK e r n e l a n d I t sA p p l i c a t i o n s [J ].J o u r n a l o f I n e q u a l i -t i e s a n dA p p l i c a t i o n s ,2017,316:1-12.[11]洪勇,温雅敏.齐次核的H i l b e r t 型级数不等式取最佳常数因子的充要条件[J ].数学年刊(A 辑),2016,37(3):329-336.[12]H EB ,HO N GY ,L I Z .C o n d i t i o n s f o r t h eV a l i d i t y o f aC l a s s o fO p t i m a lH i l b e r t T y p eM u l t i p l e I n t e g r a l I n e q u a l i t i e sw i t h N o n h o m o g e n e o u sK e r n e l s [J ].J o u r n a l o f I n e q u a l i t i e s a n dA p pl i c a t i o n s ,2021,64:1-12.[13]洪勇,吴春阳,陈强.一类非齐次核的最佳H i l b e r t 型积分不等式的搭配参数条件[J ].吉林大学学报(理学版),2021,59(2):207-212.[14]HO N G Y ,HU A N G QL ,C H E N Q.T h eP a r a m e t e rC o n d i t i o n s f o r t h eE x i s t e n c e o f t h eH i l b e r t -T y p eM u l t i p l e I n t e g r a l I n e q u a l i t y a n d I t sB e s tC o n s t a n tF a c t o r [J ].A n n a l s o fF u n c t i o n a lA n a l y s i s ,2020,2020:1-10.[15]L I A OJQ ,HO N G Y ,Y A N G BC .E q u i v a l e n tC o n d i t i o n so f aH i l b e r t -T y p e M u l t i p l e I n t e g r a l I n e q u a l i t y H o l d i n g [J ].J o u r n a l o fF u n c t i o nS pa c e s ,2020,2020:1-6.[16]WA N G AZ ,Y A N GBC ,C H E N Q.E q u i v a l e n tP r o p e r t i e s o f aR e v e r s eH a l f -D i s c r e t eH i lb e r t S I n e q u a l i t y [J ].J o u r n a l o f I n e q u a l i t i e s a n dA p p l ic a t i o n s ,2019,2019(1):1-12.[17]匡继昌.常用不等式[M ].5版.济南:山东科学技术出版社,2021:4-43.责任编辑 廖坤81西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .e d u .c n 第48卷。
关于双曲函数的Huygens型不等式及应用
关于双曲函数的Huygens型不等式及应用
华云
【期刊名称】《大学数学》
【年(卷),期】2011(027)004
【摘要】给出了关于双曲函数的Huygens型不等式,并得到了双曲函数的Wilker 型不等式的加强.定义了一类新的Seiffert型平均,给出两个有关不等式.%An improvement of Huygens type inequality and Wilker-type inequality of hyperbolic functions are established.A class of Seiffert type mean is defined,and some inequalities are proved.
【总页数】4页(P146-149)
【作者】华云
【作者单位】威海职业学院,威海264210
【正文语种】中文
【中图分类】O178
【相关文献】
1.双曲函数的Cusa-Huygens型不等式的推广与改进 [J], 何灯;李云杰
2.关于双曲函数的Cusa-Huygens型不等式的改进 [J], 何灯;李云杰
3.一个核为双曲正割函数的半离散 Hilbert 型不等式 [J], 杨必成;陈强
4.广义三角函数与双曲函数的Wilker-Huygens型不等式 [J], 刘潇潇;王春艳;谢明春;杜涵;马晓艳;;;;;
5.广义三角函数与双曲函数的Wilker-Huygens型不等式 [J], 钟根红;李林钟;马晓艳
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又一类含变量可转移函数核的Hilbert型积分不等式
又一类含变量可转移函数核的Hilbert型积分不等式洪勇【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2014(000)001【摘要】设λ1λ2≠0,如果t>0时,函数K(x,y)满足K(tx ,y)=K(x,tλ1/λ2 y),K(x,ty )=K(tλ2/λ1 x,y),则称K(x,y)是具有参数λ1和λ2的变量可转移函数。
利用实分析技巧,得到了当λ1λ2<0时的一类含变量可转移函数核的 Hilbert型积分不等式,并讨论了最佳常数问题。
%Supposing thatλ1λ2≠0,t>0,K(tx,y)=K(x,tλ1/λ2 y),K(x,ty)=K(tλ2/λ1 x,y),then K(x,y)is called transferable variable function with parametersλ1 andλ2 .Whenλ1λ2<0,Hilbert’s type integral inequality with the kernel of transferable variable function was studied via the technique of real analysis,and the best constant factor was discussed.【总页数】5页(P7-11)【作者】洪勇【作者单位】广东财经大学数学与统计学院，广州 510320【正文语种】中文【中图分类】O178【相关文献】1.一个含变量混合核的Hilbert型积分不等式 [J], 练冬兰;巫伟亮2.含变量可转移函数核的Hilbert型级数不等式 [J], 洪勇;孔荫莹3.一个含变量核的Hilbert型积分不等式 [J], 巫伟亮4.一个含指数函数核的全平面Hilbert型积分不等式 [J], 巫伟亮5.一类具有可转移变量核的Hilbert型积分不等式 [J], 洪勇;孔荫莹因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
hilbert空间有界自伴正可逆算子的一个不等式
hilbert空间有界自伴正可逆算子的一个
不等式
Hilbert空间有界自伴正可逆算子是数学中重要的概念，
在很多应用中都有着广泛的应用。
它是一种特殊的算子，它具有有界性和正可逆性，因此它在很多地方都有重要的作用。
在有界自伴正可逆算子的Hilbert空间中，一个重要的不等式是
所谓的Gel’fand-Neumark不等式。
该不等式表明，在Hilbert
空间中，当算子T是有界自伴正可逆算子时，它的谱半径
|ρ(T)|的最大值为
这个不等式有时也被称为Gel’fand-Neumark不等式。
它
由两位著名的数学家Gel’fand和Neumark于1943年发现，和1944年发表在《Mathematische Annalen》上。
该不等式表明，当T是一个有界自伴正可逆算子时，它
的谱半径|ρ(T)|的最大值不能超过
1。
这个不等式可以用来证明一些重要的定理，例如，在
一个有界自伴正可逆算子的Hilbert空间中，任何一个可逆算
子都有有界谱。
该不等式对于理解算子理论有着重要的意义，因为它可以用来验证算子的正可逆性。
此外，它也可以用来证明算子的有界性，从而为解决一些算子理论的重要问题提供了有用的结果。
总之，Gel’fand-Neumark不等式是Hilbert空间有界自伴正可逆算子的一个重要不等式，它可以用来证明算子的正可逆性和有界性，在研究一些重要的算子理论问题时也有着重要的作用。
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Ｌ Ｉ Ｕ Ｑｉ ｏ ｎ ｇ 。Ｌ Ｏ ＮＧ Ｓ ｈ ｕ ｎ － ｃ ｈ ａ ｏ （ １ ．Ｄ ｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍ ｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｉ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ，Ｓ ｈ ａ ｏ ｙ ａ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉｌ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ，ａ Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ — ｔ ｙ ｐ ｅ ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ ｉ ｎ ｅ ｑ ｕ ａ ｌ ｉ ｔ ｙ ｗｉ ｔ ｈ ｔ ｈ ｅ ｋ ｅ ｒ ｎ ｅ ｌ ｏ ｆ ｈ ｙ ｐ ｅ ｒ ｂ ｏ ｌ ｉ ｃ ｓ ｅ ｃ ａ ｎ ｔ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｓ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ． Ｔｈ ｅ ｅ ｑ ｕ ｉ ｖ ａ ｌ ｅ ｎ ｔ ｆ ｏ ｒ ｍ ｉ ｓ ｃ ｏ ｎ ｓ ｉ ｄ ｅ ｒ ｅ ｄ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｉ ｒ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ａ ｎ ｔ｛ ａ ｃ ｔ ｏ ｒ ｓ ａ ｒ ｅ ｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｄ ｂ ｅ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｂ ｅ ｓ ｔ ｐ ｏ ｓ ｓ ｉ ｂ ｌ ｅ ．Ｂｙ ｔ ａ ｋ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｓ ｐ ｅ ｃ ｉ ａ ｌ ｐ ａ —
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Ｋｅ ｙ Ｗ ｏ ｒ ｄｓ ：Ｈｉ ｌ ｂｅ ｒ ｔ — ｔ ｙ ｐｅ ｉ ｎｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ ｉ ｎｅ ｑ ｕａ ｌ ｉ ｔ ｙ； ｗ ｅ ｉ ｇｈ ｔ ｆ ｕｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ； ｔ ｈｅ ｂｅ ｓ ｔ ｃ ｏ ｎｓ ｔ ａ ｎ ｔ ｆ ａ ｃ ｔ ｏ ｒ； Ｐ— ｆ ｕｎｃ ｔ ｉ ｏ ｎ； Ｈ ６１ ｄｅ ｒ ’ Ｓ ｉ ｎｅ — ｑｕ ａ ｌ ｉ ｔ ｙ
Ｓ ｈ ａ ｏ ｙ ａ ｎ ｇ ４ ２ ２ ０ ０ ０ ，Ｈｕ ｎ ａ ｎ Ｐｒ ｏ ｖ ｉ ｎ ｃ ｅ，Ｃｈ ｉ ｎ ａ；２ ． Ｄｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ，Ｘｉ ａ ｎ ｇ ｔ ａ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ，Ｘｉ ａ ｎ ｇ ｔ ａ ｎ
ＤＯＩ ：１ ０ ． ３ ７ ８ ５ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ８ — ９ ４ ９ ７ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ３ ． ０ ０ ３
一
个 核 为 双 曲正 割 函数 的 Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 型 积 分 不等 式
刘 琼 ，龙 顺 潮
（ １． 邵 阳学 院 理 学 与 信 息 科 学 系 ，湖 南 邵 阳 ４ ２ ２ ０ ０ ０ ； ２ ．湘 潭 大学 数 学 系 ， 湖南 湘潭 ４ １ １ １ ０ ５ ）
０ 引 言
设 Ｐ＞ １ ， ＋ 一 １ ， 厂 （ ） ， ｇ （ ）≥ ０ ， 使
Ｐ ｑ
ｒ。 。 ｒ∞
赳
子 ７ ｔ ＂ 和 Ｉ＼ ｓ ｌ ｎ Ｉ ＿ ｌ ｊ 分 别 是 式
４１ １１ ０５， Ｈ ｕ ｎａ ｎ Ｐｒ ｏ ｖｉ ｎ ｃ ｅ， Ｃｈｉ ｎ ａ）
Ａ Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ － ｔ ｙ ｐ ｅ ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ ｉ ｎ ｅ ｑ ｕ ａ ｌ ｉ ｔ ｙ ｗｉ ｔ ｈ ｔ ｈ ｅ ｋ ｅ ｒ ｎ ｅ ｌ ｏ ｆ ｈ ｙ ｐ ｅ ｒ ｂ ｏ ｌ ｉ ｃ ｓ ｅ ｃ ａ ｎ ｔ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ．Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｚ ｈ ￣ｉ ａ ｎ ｇ Ｕｎ ｉ Ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ
浙
第 ４ Ｏ卷 第 ３期 ２ ０ １ ３年 ５月
江
大
学
学
报（ 理学版 ）
Ｖ ０ Ｍ Ｌ ４ ０ Ｎ ０ ， ３
ａ ｙ ２ ０１ ３
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｚｈ ｅ ｊ ｉ ａ ｎ ｇ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ １ ｈ ｔ ｔ ｐ： ／ ／ ｗｗｗ． ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｓ ． ｚ ｊ Ｕ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ ／ ｓ ｃ ｉ
摘 要 ： 引入 ｒ 一 函数等特殊函数 ， 利 用权 函数 方 法 和 实 分 析 技 巧 ， 建 立 一 个 核 为双 曲 正 割 函数 的 Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 型 积 分 不
等式及其等价式 ， 证 明 了它 们 的 常 数 因子 是 最 佳 值 ， 并通过取特殊的参数值 ， 得 到 一 些 有 意 义 的 结 果．
关
键
词： Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 型积分不等式 ； 权 函数 ； 最 佳 常 数 因子 ；Ｐ 一 函数 ；ＨＯ ｌ ｄ ｅ ｒ 不 等 式 文献标志码 ： Ａ 文章 编 号 ： １ ０ ０ ８ — ９ ４ ９ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ — ２ ５ ５ — ０ ５
中图 分 类 号 ： Ｏ １ ７ ８