含参量反常积分一致收敛判别法探讨
1905含参量反常积分一致收敛性的定义和判别
函数项级数.
数学分析 第十九章 含参量积分
高等教育出版社
设函数 f ( x, y)定义在无界区域 R= I ×[c, + ∞)上,
其中I是任意区间. 若∀x ∈ I , 反常积分
+∞
∫ c f ( x, y) dy
(1)
都收敛，则它的值是区间 I 上的函数.
记这个函数为 Φ ( x), 则有
+∞
= Φ ( x) ∫ c f ( x, y) dy x ∈ I
∫ A2 f ( x, y) dy < ε . A1
(3)
定理19.8
+∞
含参量反常积分 ∫c f ( x, y)dy 在I上一致收敛的充
要条件是
+∞
∫ lim F (A)= lim sup f ( x, y) dy =0.
A→∞
A→∞ x∈I A
数学分析 第十九章 含参量积分
高等教育出版社
§2 含参量反常积分
二、含参量反常积分的 性质
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§2 含参量反常积分 一致收敛性 一致收敛性的判别
性质
含参量无界函数的反常积分
第五讲
含参量反常积分 一致收敛性的定义和判别
数学分析 第十九章 含参量积分
高等教育出版社
§2 含参量反常积分
一致收敛性及其判别法
含参量反常积分的性质
一致收敛性及其判别法
(2)
称(1)为定义在 I 上的含参量 x 的无穷限反常积分,
或称含参量反常积分.
数学分析 第十九章 含参量积分
高等教育出版社
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§2 含参量反常积分
一致收敛性及其判别法
数学分析课件：20-2含参量的反常积分的一致收敛
§20.2 含参量的反常积分的 一致收敛
本节研究形如
c f ( x, y)dy
d
f ( x, y)dy,
(d 为瑕点)
c
的含参变量广义积分的连续性、可微性与 可积性.
只对无穷限积分讨论，无界函数的情况可 类似处理.
一、含参量反常积分的定义
设f ( x, y)定义在无界区域 R [a,b][c,)上,
收敛于0,
则含参量反常积分
f ( x, y)g( x, y)dy
c
在[a, b]上一致收敛 .
5. Abel 判别法
若
(i) f ( x, y)dy 在[a,b]上一致收敛; c
(ii) x [a,b],函数g( x, y)为y的单调函数, 且对参量x, g( x, y)在[a,b]上一致有界 ,
含参量反常积分 f ( x, y)dy在[a,b]上一致 c
收敛的充要条件是:
对任一趋向于 的递增数列{An }(其中A1 c), 函数项级数
n1
An1 An
f ( x, y)dy
un ( x)
n1
在[a, b]上一致收敛 .
证 只证明必要性
3. Weierstrass判别法
设有函数g( y), 使得 f ( x, y) g( y),a x b,c y .
若 g( y)dy 收敛, 则 f ( x, y)dy 在[a, b]上
c
c
一致收敛.
4. Dirichlet 判别法
N
若 (i) N c,含参量正常积分 c f ( x, y)dy
对参数x在[a , b]上一致有界 ,
(ii) x [a,b],函数g( x, y)关于y是单调递减
含参变量无穷积分的一致收敛性
含参变量无穷积分的一致收敛性论文摘要：本文通过含参变量无穷积分与函数级数之间的关系，归纳总结了含参变量无穷积分的一致收敛性的判别法(柯西一致收敛准则、魏尔斯特拉斯 判别法、狄利克雷判别法等)及其性质. 关键词：含参变量无穷积分 一致收敛 判别法无穷积分⎰+∞adx x f )(与级数∑∞=1n nu的敛散概念、敛散判别法及其性质基本上是平行的，不难想到，含参变量无穷积分⎰+∞adx y x f ),(与函数级数()∑∞=1n nx u 之间亦应如此，为了讨论函数项级数的和函数的分析性质,我们在收敛区域I 上提出了更高的要求,引进了一致收敛的概念,同样,在讨论含参变量无穷积分所确定的函数的分析性质时,一致收敛同样也起着重要的作用.因此,含参变量无穷积分的一致收敛性是《数学分析》中非常重要的知识点，也是学生不容易掌握的难点，从而,我试着类比、总结得出含参变量无穷积分的一致收敛性的判别法及其性质，以便使学生对此有一个更为系统和深刻的了解. 1.含参变量无穷积分一致收敛的判别法我们很自然的可以想到运用定义来证明.定义 设∀∈y 区间I ,无穷积分()⎰+∞adx y x f ,收敛,若∀ε>0,0A ∃(通用)>0,∀0A>A ,有|(,)(,)Aaaf x y dx f x y +∞-⎰⎰dx |=|(,)Af x y dx +∞⎰|ε<,则称无穷积分()⎰+∞adx y x f ,在区间I 一致收敛.用定义证明一致收敛的关键在于寻找只与ε有关的共同的0A ，方法常常是采取适当放大的方法.例 1[]1证明：无穷积分dx ye xy ⎰+∞-0在区间[a ，+∞]（a >0）一致收敛，而在（0，+∞）上非一致收敛.证明 Ay Ayt Axye dt e xy t dx y y -+∞-+∞-==+∞∈∀⎰⎰令ε),,0(，对,0>∀ε解不等式ε<-Ay e ，有y A ε1ln>,取yA ε1ln0=，则0A A >∀，有ε<⎰+∞-Axydx ye，因此，dx ye Axy⎰+∞-在（0，+∞）是收敛的，但不能断定是一致收敛的，因为我们所找到的0A 不仅跟ε有关，而且与),0(+∞∈y 有关.事实上，dx ye Axy ⎰+∞-在),0(+∞∈y 是非一致收敛的，只需取=εe21，,0>∀A 取),0(21,2''+∞∈=>=A y A A A ，则01''''ε>==---⎰e e dx e y y A xy ，但dx ye Axy ⎰+∞-在),[+∞a 一致收敛（其中0>a ），由不等式： y a ≥,有Ay Aa e e --≤,解不等式Aa e ε-<,有1lnA aε>,于是取yA ε1ln=，0A A >时，对一切[)+∞∈,a y ,有ε<≤=--+∞-⎰Aa Ay Axy e e dx ye ，所以， dx ye Axy ⎰+∞-在),[+∞∈a y （其中0>a ）一致收敛.此题中，我们还可以计算出dx ye xy ⎰+∞-0在),0(+∞上的收敛值.事实上，对任意),0(+∞∈y ，都有ξξy xy e dx ye ---=⎰10，所以,1)1(lim lim 0=-=-+∞→-+∞→⎰ξξξξy xy e dx ye ，即dx ye xy ⎰+∞-0在（0，+∞）收敛于1.定理 1[]2（柯西一致收敛准则）无穷积分dx y x f a⎰+∞),(在区间I 一致收敛∃>∀⇔,0ε0A ,0>1A ∀0A >与有,,02I y A A ∈∀>ε<⎰21),(A A dx y x f .定理 2[]3（魏尔斯特拉斯 M 判别法）若I y B x B ∈∀>∀>∃,,0，有 ),(),(y x F y x f ≤, 且无穷积分()dx y x F a ⎰+∞,收敛，则无穷积分()⎰+∞adx y x f ,在区间I 一致收敛.该定理是判别某些无穷积分一致收敛性的很简便的判别法，但这种方法有一定 的局限性：凡能用定理2判别无穷积分是一致收敛，此无穷积分必然是绝对收敛；如果无穷积分时候一致收敛，同时又是条件收敛，那么就不能用定理2来判别。
含参量反常积分的一致收敛发判别法及推广汇总
含参量反常积分的一致收敛判别法及推广作者：蒋碧希 指导老师：张海摘要 本文主要介绍了含参量反常积分（含参量无穷限反常积分、含参量瑕积分）的基本概念、性质.然后参照无穷限反常积分的方法建立了相应的含参量瑕积分的一致收敛性.最后结合例题说明其在解题中的应用.关键词 含参量无穷限反常积分 含参量瑕积分 一致收敛1 引言对于含参量无穷限反常积分的基本概念、性质、一致收敛性判别法大部分教材都有详细论述.而忽视了含参量瑕积分的一致收敛性的判定,其实两者之间是同中有异的.本文主要参照无穷限反常积分的方法建立相应的含参量瑕积分的一致收敛判别法，并探究其在解题中的应用.2 含参量无穷限反常积分的一致收敛判别法 2.1 含参量无穷限反常积分的定义设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y a x b c y =≤≤≤≤+∞上，若对每一个固定的[,]x a b ∈，反常积分(,)cf x y dy +∞⎰(1)都收敛，则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数，当这个函数为()I x 时，则有()(,),[,],cI x f x y dy x a b +∞=∈⎰(2)称(1)式为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分.2.2 含参量反常积分的一致收敛概念若含参量反常积分(1)与()I x 对任给的正数ε，总存在某一实数N c >，使得当M N >时，对一切[,]x a b ∈，都有(,)()Mcf x y dy I x ε-<⎰,即(,)Mf x y dy ε+∞<⎰，则称含参量反常积分(1)在],[b a 一致收敛于()I x ，或简单地说含参量积分(1)在[,]a b 上一致收敛.2.3含参量无穷限反常积分一致收敛的柯西准则含参量反常积分)1(在],[b a 上一致收敛的充要条件是：对任給的正数ε，总存在某一实数c M >，使得当M A A >21,时，对一切],[b a x ∈，都有21(,)A A f x y dy ε<⎰, )3(证明 （必要性） 由于含参量反常积分)1(在],[b a 上一致收敛，则 对0>∀ε,0>∃M ,M A A >∀21,时，使得],[b a x ∈∀时，有1(,)2A f x y dy ε+∞<⎰,且2(,)2A f x y dy ε+∞<⎰由2112(,)(,)(,)A A A A f x y dy f x y dy f x y dy+∞+∞=-⎰⎰⎰12(,)(,)A A f x y dy f x y dy +∞+∞≤+⎰⎰εεε=+<22可知：0,0>∃>∀M ε，当M A A >21,时， 有21(,)A A f x y dy ε<⎰.（充分性) 因为0ε∀>，总存在某一实数c M >，使得M A A >21,时，对一切],[b a x ∈，都有21(,)A A f x y dy ε<⎰,当+∞→2A 时，有1(,)A f x y dy ε+∞<⎰成立.故⎰+∞1),(A dy y x f在),[],[1+∞⨯A b a 上是一致收敛的. 又因为⎰⎰⎰+∞+∞+=11),(),(),(A cA cdy y x f dy y x f dy y x f ,其中⎰1),(A cdy y x f 是含参量正常积分，故一致收敛.所以⎰+∞cdy y x f ),(在),[],[+∞⨯c b a 上是一致收敛的.2.4 含参量无穷限反常积分一致收敛性与函数项级数一致收敛的联系定理2.4.1 含参量反常积分)1(在],[b a 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞+的递增数列}{n A （其中c A =1），函数项级数)(),(111x u dy y x f n A A n n n n∑⎰∑∞=∞=+= )4(在],[b a 上一致收敛.证明 (必要性）由)1(在],[b a 上一致收敛，故对任给0>ε，必存在c M >，使当M A A >>'"时，对一切],[b a x ∈，总有"'(,)A A f x y dy ε<⎰. )5(又由)(∞→+∞→n A n ，所以对正数M ,存在正整数N ,只要当N n m >>时，就有M A A n m >>.由)5(对一切],[b a x ∈，就有11()()(,)(,)m n m nA A n m A A u x u x f x y dy f x y dy ++++=++⎰⎰1(,)m nA A f x y dy ε+=<⎰.这就证明了级数)4(在],[b a 上一致收敛.(充分性) 用反证法.假若)1(在],[b a 上不一致收敛，则存在某个正数0ε，使得对于任何实数c M >，存在相应的M A A >>'"和],['b a x ∈，使得"''0(,)A Af x y dy ε≥⎰,现取},1m ax {1c M =，则存在112M A A >>及],[1b a x ∈，使得2110(,)A A f x y dy ε≥⎰一般的，取)2}(,m ax {12≥=-n A n M n n ，则有n n n M A A >>-122及],[b a x n ∈，使得2210(,)nn A n A f x y dy ε-≥⎰)6(由上述所得到的数列}{n A 是递增数列，且+∞=∞→n n A lim .现在考察级数∑⎰∑∞=∞=+=111),()(n A A n n n ndy y x f x u由)6(式知存在正数0ε，对任何正整数N ,只要N n >,就有某个],[b a x n ∈，使得21220()(,)n nA n n n A u x f x y dy ε+=≥⎰这与级数)4(在],[b a 上一致收敛的假设矛盾.故含参量反常积分)1(在],[b a 上一致收敛2.5 含参量无穷限反常积分的一致收敛性判别法定理 2.5.1 （维尔斯特拉斯M 判别法）设有函数，使得(,)(),,f x y g y a x b c y ≤≤≤≤<+∞若⎰+∞cdy y g )(收敛，则⎰+∞cdy y x f ),(在],[b a 上一致收敛.定理 2.5.2 （狄利克雷判别法）设)1( 对一切实数c N >，含参量正常积分⎰Ncdy y x f ),(对参量x 在],[b a 上一致有界，即存在正数M ,对一切c N >及一切],[b a x ∈，都有(,);Ncf x y dy M ≤⎰)2( 对每一个],[b a x ∈，函数),(y x g 关于y 是单调递减且当+∞→y 时，对参量),(,y x g x 一致的收敛于0，则含参量反常积分⎰+∞cdy y x g y x f ),(),(在],[b a 上一致收敛.定理 2.5.3 （阿贝尔判别法） 设)1(⎰+∞cdy y x f ),(在],[b a 上一致收敛；)2( 对每一个],[b a x ∈，函数),(y x g 为y 的单调函数，且对参量),(,y x g x 在],[b a 上一致有界，则含参量反常积分⎰+∞cdy y x g y x f ),(),(在],[b a 上一致收敛.2.6 含参量无穷限反常积分的性质定理2.6.1 （连续性） 设(,)f x y 在[,][,)a b c ⨯+∞上连续，若反常积分()(,)cI x f x y dy +∞=⎰)7(在[,]a b 上一致收敛，则()I x 在[,]a b 上连续.证明 由定理2.4.1，对任意递增且趋于∞+的数列}{n A )(1c A =，函数项级数∑⎰∑+∞=+∞=+==111)(),()(n A A n n n nx u dy y x f x I )8(在],[b a 上一致收敛.又由于),(y x f 在),[],[+∞⨯c b a 上连续，故每个)(x u n 都在],[b a 上连续.根据函数项级数的连续性定理，函数)(x I 在],[b a 上连续.定理 2.6.2 （可微性） 设 ),(y x f 与),(y x f x 在区域),[],[+∞⨯c b a 上连续，若⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在],[b a 上收敛，dy y x f cx ),(⎰+∞在],[b a 上一致收敛，则)(x I 在],[b a 上可微，且dy y x f x I cx ),()('⎰+∞=)9(证明 对任一递增且趋于∞+的数列)}({1c A A n =，令⎰+=1),()(n nA A n dy y x f x u则()dy y x f x u n nA A x n ),(1'⎰+=由()dy y x f cx ⎰+∞,在],[b a 上一致收敛及定理1，可得函数项级数dy y x f x u n A A x n n n n),()(11'1∑⎰∑+∞=+∞=+=在],[b a 上一致收敛，因此根据函数项级数的逐项求导定理，即得()()()()dy y x f dy y x f x u x I cx n A A x n n n n,,11''1⎰∑⎰∑∞+∞=∞====+定理2.6.3 （可积性） 设()y x f ,在),[],[+∞⨯c b a 上连续，若()()dy y x f x I c⎰+∞=,在],[b a 上一致收敛，则()x I 在],[b a 上可积，且()()⎰⎰⎰⎰+∞+∞=b accbadx y x f dy dy y x f dx ,,证明 由定理2.6.1知道()x I 在],[b a 上连续，从而()x I 在],[b a 上可积.又由定理 2.6.1的证明中可以看到，函数项级数()8在],[b a 上一致收敛，且各项()x u n 在],[b a 上连续，因此根据函数项级数逐项求积定理，有⎰∑⎰∑⎰⎰++∞=+∞===1),()()(11n nA A n ban ban bady y x f dx dx x u dx x I()∑⎰⎰+∞=+=11,n A A ban ndx y x f dy (10)这里最后一步是根据关于积分顺序的可交换性定理.(10)式又可写作()()⎰⎰⎰+∞=bacbadx y x f dy dx x I ,定理2.6.4设()y x f ,在),[),[+∞⨯+∞c a 上连续，若 (1)()⎰+∞adx y x f ,关于y 在任何闭区间],[d c 上一致收敛，()⎰+∞cdy y x f ,关于x 在任何闭区间],[b a 上一致收敛； (2)积分(),acdx f x y dy +∞+∞⎰⎰与(),cady f x y dx +∞+∞⎰⎰中有一个收敛， 则()()⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=accadx y x f dy dy y x f dx ,,3 含参量瑕积分一致收敛判别法 3.1 含参量瑕积分的定义设()y x f ,在区域),[],[d c b a ⨯上有定义，若对x 的某些值，d y =为函数()y x f ,的瑕点（以下的含参量瑕积分未加说明都同此）则称()⎰dcdy y x f , (11)为含参量x 的瑕积分.3.2 含参量瑕积分一致收敛定义对任给的正数ε，总存在某正数c d -<δ，使得当δη<<0时，对一切],[b a x ∈，都有(),dd f x y dy ηε-<⎰则称含参量瑕积分(11)在],[b a 上一致收敛.3.3 含参量瑕积分一致收敛性的判别法定理3.3.1（柯西收敛准则） 含参量瑕积分()⎰dcdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε，存在不依赖于x 的0>δ，使得当δηη<<<'0时，对一切[]b a x ,∈，都有()',d d f x y dy ηηε--<⎰(12)证明 (必要性）由(11)在[]b a ,上一致收敛，故对任给的)(0c d -<>δε，存在0>δ，使得δηη<<<'0时，有 (),2dd f x y dy ηε-<⎰与'(,)2dd f x y dy ηε-<⎰同时成立，则有()()'',(,),d ddd d d f x y dy f x y dy f x y dy ηηηη----=-⎰⎰⎰'(,)(,)ddd d f x y dy f x y dy ηηε--≤+<⎰⎰（充分性）由所给条件知：对任给正数ε，存在不依赖于x 的)(0c d -<>δδ，使得当δηη<<<'0时，对一切],[b a x ∈，都有()',d d f x y dy ηηε--<⎰成立.令0'→η，则有(,)dd f x y dy ηε-<⎰成立.由定义知：含参量瑕积分)11(在],[b a 上一致收敛.定理3.3.2 （魏尔斯特拉斯M 判别法）设有函数)(y g ，使得(),(),,f x y g y a x b c y d ≤≤≤≤≤ (13) 若⎰dcdy y g )(收敛，则含参量瑕积分⎰dcdy y x f ),(在],[b a 上一致收敛.证明 因为⎰dcdy y g )(收敛，所以由瑕积分的柯西收敛原理知：对于任给的0>ε，存在)(0c d -<>δδ，对于任意的',ηη，且δηη<<<'0，有 ⎰--<')(ηηεd d dy y g又由)13(可得⎰⎰⎰------<≤≤''')(|),(||),(|ηηηηηηεd d d d d d dy y g dy y x f dy y x f故由定理3.3.1知：含参量瑕积分⎰dcdy y x f ),(在],[b a 上一致收敛.定理3.3.3 （海涅归结原则） 含参量瑕积分⎰dcdy y x f ),(在],[b a 上一致收敛的充要条件是：对任意递增数列)(),}({1+∞→→=n d A c A A n n 时，相应的函数项级数)(),(111x u dy y x f n n n A A n n∑∑⎰∞=∞==+ )14(在],[b a 上一致收敛.证明 （必要性）因为)11(在],[b a 上一致收敛，由定理5知：对任给的0>ε，必存在)(0c d -<>δδ，当δηη<<<'0时，对一切],[b a x ∈，总有εηη<⎰'--d d dy y x f ),( )15(成立.令n n A d -=η，由)(∞→→n d A n 且n A 递增，则)(0∞→→n n η且递减.由数列极限定义，对上述0>δ，存在正整数N ，只要N n m >>时，就有δηη<<<n m 0，于是)()()(1x u x u x u m n n ++++ ⎰⎰++++=11),(),(n n m mA A A A dy y x f dy y x f⎰+=1),(m nA A dy y x fεηη<=⎰+--1),(m nd d dy y x f根据函数项级数柯西一致收敛准则，函数项级数)14(在],[b a 上一致收敛.（充分性） 用反证法，假设)11(在],[b a 上非一致收敛，则存在某一正数00>ε，使得)(0c d -<>∀δδ，存在相应的δηη<<'<0和],[b a x ∈'，有0),(εηη≥'⎰'--d d dy y x f现取},1m in{1c d -=δ，则存在1120δηη<<<及],[1b a x ∈，使得121),(εηη≥⎰--d d dy y x f一般的取)2}(,1min{1≤-=-n nn n n ηηδ，则有n n n δηη<<<+10及],[b a x n ∈，使得01),(εηη≥⎰+--n nd d dy y x f )16(令n n d A η-=，则}{n A 是递增数列，且有d A n n =∞→lim .考察级数∑∑⎰∞=∞=+=111),()(n n A A n n ndy y x f x u )17(由)16(式知存在正数00>ε，对任意正整数N ，只要N n >就有某个],[b a x n ∈，使01),()(ε≥=⎰+n nA A n n dy y x f x u这与函数项级数)14(在],[b a 上一致收敛的条件矛盾，故)1(在],[b a 上一致收敛.定理3.3.4（狄利克雷判别法）若含参量瑕积分⎰dcdy y x g y x f ),(),(满足：)1(对一切d d c <'<，含参量正常积分⎰'d cdy y x f ),(对参量x 在],[b a 上一有界，即存在正数M ，对任何d d c <'<及一切],[b a x ∈，有M y x f d c≤⎰'),()2(对每一个],[b a x ∈，函数),(y x g 关于y 单调且当d y →时，对参量),(,y x g x 一致收敛于0.则含参量瑕积分⎰dcdy y x g y x f ),(),(在],[b a 上一致收敛.定理3.3.5 （阿贝尔判别法） 若含参量瑕积分⎰dcdy y x g y x f ),(),(满足：)1(含参量瑕积分⎰dcdy y x f ),(在],[b a 上一致收敛；)2(对每一个],[b a x ∈，函数),(y x g 为y 的单调函数，且对参量),(,y x g x 在],[b a 上一致有界，则含参量瑕积分⎰dcdy y x g y x f ),(),(在],[b a 上一致收敛.定理3.3.6 设),(y x f 在),[],[d c b a ⨯上连续，对任何⎰∈dcdy y x f b a x ),(],,[收敛，且⎰dcdy y b f ),(发散，则⎰dcdy y x f ),(在),[b a 上不一致收敛.证明 用反证法.若⎰dcdy y x f ),(在),[b a 上一致收敛，由柯西收敛准则：对任给的0>ε，存在)(0c d -<>δδ，当δηη<<'<0时，对一切),[b a x ∈有εηη<⎰'--d d y x f ),(根据假设),(y x f 在],[],[ηη'--⨯d d b a 上连续，对含参量正常积分应用连续性定理，令-→b x ，有εηη≤⎰'--d d dy y b f ),(这与假设含参量瑕积分⎰dcdy y b f ),(发散矛盾.故⎰dcdy y x f ),(在),[b a 上不一致收敛.4 典型例题例4.1 证明含参量反常积分dx x xy⎰+∞+021cos )18( 在),(+∞-∞上一致收敛.证明 由于对任何实数y 有22111cos x x xy +≤+，及反常积分⎰+∞+021xdx收敛，故由魏尔斯特拉斯M 判别法，含参量反常积分)18(在),(+∞-∞上一致收敛.例4.2 证明含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xxe xy)19( 在],0[d 上一致收敛.证明 由于反常积分dx xx⎰+∞sin 收敛（当然，对于参量y ，它在],0[d 上一致收敛），函数),(y x g xye-=对每个],0[d y ∈单调，且对任何0,0≥≤≤x d y 都有1),(≤=-xy e y x g故由阿贝尔判别法即得含参量反常积分)19(在],0[d 上一致收敛.例4.3 证明含参量瑕积分dy xy xy ⎰-1sin ))1,0((∈x在)1,0(上一致收敛.证明 因为dy xy xy dy y x xydy xy xy xx⎰⎰⎰-+-=-101sin sin sin所以对于含参量瑕积分dy yx xyx⎰-0sin ， 由于⎰⎰---≤-x x xx yx xy dy y x xy ηηsin sinηη21=-≤⎰-dy yx xx 故对于任给的0>ε，取421εδ=，当10δη<<时，即有εη<-⎰-xx yx xysin 因此，对于10<<x 它是一致收敛的. 对于积分dy xy xyx⎰-1sin 由于ηηη2sin =-≤-⎰⎰++x xx xxy dydy x y xy故对于任给的0>ε，取421εδ=，当10δη<<时，即有εη<-⎰+x xdy xy xysin 因此，对于10<<x 它是一致收敛的.于是积分dy xy xy ⎰-1sin对于)1,0(∈∀x 一致收敛.例4.4 证明含参量瑕积分⎰1)ln(dy xy 在],1[b b)0(>b 上一致收敛. 证明 由条件可知y x xy ln ln )ln(+=y x ln ln +≤y b ln ln -≤ 而⎰1)ln(dy xy收敛.所以由魏尔斯特拉斯M 判别法知：⎰1)ln(dy xy在)1](,1[>b b b上一致收敛.例4.5 证明含参量瑕积分dy ye xy11⎰- 在],0[d 一致收敛.证明 由于dy y⎰11 收敛（当然，对于参量x ，它在],0[d 上一致收敛）. 函数xyey x g -=),(，对每个],0[d x ∈单调，且对任何10,0≤≤≤≤y d x ，都有1),(≤=-xy e y x g ，故由阿贝尔判别法知dy ye xy11⎰- 在],0[d 上一致收敛.结束语本文首先介绍了含参量无穷限积分的定义,性质及其一致收敛性判别定理.然后参照含参量无穷限反常积分的方法建立了含参量瑕积分的一致收敛性判别定理.最后结合典型例题说明这些定理在实际解题中的运用.参考文献[1] 华东师范大学数学系编,数学分析[M],北京高等教育出版社,2001. [2] 复旦大学数学系编,数学分析[M],北京高等教育出版社,1985． [3] 钱吉林等主编,数学分析习题解精粹[M],上海崇文书局，2003． [4] 吉米多维奇数学习题集[M],北京人民教育出版社,1978．[5] 裴礼文,数学分析中典型问题与方法[M],北京高等教育出版社,1993.[6] Tom M. Apostol,Mathematical Analyses [M], Beijing China Machine Press, 2004.Uniform Convergence Criteria and Extention of the Parameter ImproperIntegralAuthor:Jiang Bixi Supervisor: Zhang HaiAbstract In this paper,we mainly show the concepts and properties of the parameter improperintegral,which contains the improper integral with parameters and the flaw integral with parameters .On the basis of improper integral with parameters,we develop the corresponding uniform convergence of the flaw integral with parameters.Finally,some typical examples are given to illuminate the applications of the theorems.Keywords improper integral with parameters flaw integral with parameters uniform convergence。
含参量反常积分一致收敛性的判别法资料
含参量反常积分一致收敛的判别法王 明 星（德州学院数学科学学院,山东德州 253023）摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握.关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法.1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念1.1 含参量无穷限反常积分设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分(,)cf x y dy +∞⎰都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有()(,)cI x f x y dy +∞=⎰,[],x a b ∈称(,)cf x y dy +∞⎰为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分.1.2 含参量无穷限反常积分收敛若含参量无穷限反常积分(,)cf x y dy +∞⎰与函数()I x 对每一个固定的[],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有(,)()Mcf x y dy I x ε-<⎰,即(,)Mf x y dy ε+∞<⎰,则称含参量无穷限反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在[],a b 上收敛于()I x .1.3 含参量无穷限反常积分一致收敛若含参量无穷限反常积分(,)cf x y dy +∞⎰与函数()I x 对任给的正数ε,存在某一实数N c >,使得M N >时,对一切[],x a b ∈,都有 (,)()Mcf x y dy I x ε-<⎰即(,)Mf x y dy ε+∞<⎰,则称含参量无穷限反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在[],a b 上一致收敛于()I x .1.4 含参量无穷限反常积分非一致收敛若含参量无穷限反常积分(,)cf x y dy +∞⎰与函数()I x ,总存在正数0ε,对任意给定的实数N c >,总存在M N >及[]0,x a b ∈,使得 000(,)()Mcf x y dy I x ε-≥⎰,即00(,)Mf x y dy ε+∞≥⎰,则称含参量无穷限反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在[],a b 上非一致收敛于()I x .2 含参量无穷限反常积分一致收敛的判别法2.1 用定义法证明含参量反常积分一致收敛性和非一致收敛性用定义证一致收敛的关键在于寻找只与ε有关的共同的0A ,方法常常是采取适当放大的方法.例1 证明 无穷积分dx ye xy ⎰+∞-0在区间[),a +∞()0a >一致收敛,而在()0,+∞上非一致收敛.证明 Ay Ayt Axy e dt e xy t dx ye y -+∞-+∞-==+∞∈∀⎰⎰令),,0(,对0ε∀>,取yA ε1ln0=,则0A A >∀,有0A y xy Ay Aye dx e e ε+∞---=<<⎰,因此,dx ye Axy ⎰+∞-在（0,+∞）是收敛的.根据定义4,要想证明dx yeAxy⎰+∞-在),0(+∞∈y 是非一致收敛的,只需取0ε=e 21,,0>∀A 取),0(21,2''+∞∈=>=Ay A A A ,则01''''ε>==--+∞-⎰e e dx e y y A Axy . 但dx ye Axy ⎰+∞-在),[+∞a 一致收敛（其中0a >）,,取aA ε1ln0=,当0A A >时,对一切[)+∞∈,a y ,有ε=<=--+∞-⎰a A AyAxy e e dx ye 0. 所以,dx ye Axy ⎰+∞-在),[+∞∈a y （其中0>a ）上一致收敛.2.2 用柯西准则证明含参量无穷限反常积分一致收敛性和非一致收敛性定理1（柯西准则）反常积分dx y x f a⎰+∞),(在区间[]()d c y I ,∈一致收敛0ε⇔∀>,00A ∃>,10A A ∀>与20A A >,y I ∀∈,ε<⎰21),(A A dx y x f .例2 证明 若(),f x y 在[][),,a b c ⨯+∞上连续,又(),cf x y dy +∞⎰在[),a b 上收敛,但在x b =处发散,则(),cf x y dy +∞⎰在[),a b 上不一致收敛.证 用反证法.假若积分在[),a b 上一致收敛,则对于任给0ε>,总存在M c >,当1A ,2A M >时对一切[),x a b ∈恒有()21,A A f x y dy ε<⎰.由假设(),f x y 在[][]12,,a b A A ⨯上连续,所以()21,A A f x y dy ⎰是x 的连续函数.在上面不等式中令x b →,得到当21A A M >>时,()21,A A f b y dy ε≤⎰.而ε是任给的,因此(),cf x y dy +∞⎰在x b =处收敛,这与假设矛盾.所以积分(),cf x y dy +∞⎰在[),a b 上不一致收敛.2.3 用魏尔斯特拉斯判别法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性定理2（魏尔斯特拉斯判别法）设有函数()g y ,使得()(),f x y g y ≤,a x b ≤≤,c y ≤<+∞若()cg y dy +∞⎰收敛,则反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在区间[],a b 一致收敛.例3 证明含参量反常积分()320cos a u tetdt +∞-+⎰,0a >在[)0,u ∈+∞上一致收敛.证 对于任何()[)[),0,0,u t ∈+∞⨯+∞,有()322cos a u tat et e -+-≤而20at e dt +∞-⎰在0a >时收敛,故由维尔斯特拉斯判别法知()320cos a u tetdt +∞-+⎰在[)0,u ∈+∞上一致收敛.使用维尔斯特拉斯判别法,关键在于将被积函数的绝对值(,)f x u 适当地放大,以找出函数()F x （优函数）,使()(,)(),f x u F x x a u I ≤∀≥∀∈且()⎰+∞adx x F收敛,则()⎰+∞adx u x f ,关于u 在I 上一致收敛.2.4 利用变上限积分的有界性判定含参量无穷限反常积分的一致收敛性维尔斯特拉斯判别法是判别某些反常积分一致收敛性的很简便的判别法,但这种方法有一定的局限性：凡能用维尔斯特拉斯判别法判别无穷积分是一致收敛,此无穷积分必然是绝对收敛；如果反常积分是一致收敛,同时又是条件收敛,那么就不能用维尔斯特拉斯判别法来判别.对于这种情况,有如下定理定理3 若函数),(y x f 在区间)0(),,(>∈+∞<≤a I y x a D 连续,且dt y t f y x F xa⎰=),(),(在D 有界,即,),(,0D y x C ∈∀>∃都有C dt y t f y x F xa≤=⎰),(),(,则当0>λ时,反常积分dx xy x f a⎰+∞λ),(在区间I 一致收敛.分析 )i dt y t f y x F xa⎰=),(),(在D 有界)ii 1xλ在0>λ时是单调递减的,明显的满足狄利克雷判别法的条件.证 )i 由已知dt y t f y x F xa⎰=),(),(在D 有界,即(),,C O x y D ∃>∀∈,都有C dt y t f y x F xa≤=⎰),(),(.)ii 对每一个y I ∈,1x λ关于x 是单调递减且当x →+∞时,对参变量y,1x λ一致收敛于0,则由狄利克雷判别法可知含参量反常积分dx x y x f a⎰+∞λ),( 在区间I 一致收敛.例4 证明反常积分dx xxe xy sin 0⎰+∞- 在区间),0[+∞一致收敛.证 由题可知tdt e y x F xyt sin ),(1⎰-=,)0,1(),(+∞<≤+∞<≤∈∀y x D y x 从而有)(01)1(2),(2+∞→→++≤-y e yy y x F y, 而1sin yt e tdt -⎰是定积分,必然有界.即存在C ,(),x y D ∀∈有sin xyt e tdt C -≤⎰ 又10λ=>,则由定理3可知反常积分dx xxe xy sin 0⎰+∞- 在区间),0[+∞一致收敛.2.5 用确界法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性和非一致收敛性在知道反常积分dx y x f a⎰+∞),(关于y 在区间I 上的收敛值()y ϕ时,可应用下述定理定理4 含参量反常积分dx y x f a⎰+∞),(关于y 在区间I 上一致收敛于()y ϕ的充要条件是0)(),(sup lim =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎰∈+∞→ξξφa Iy y dx y x f . (1)证 [必要性] 若dx y x f a⎰+∞),(关于y 在区间I 上一致收敛于()y ϕ,则对任给的正数ε,存在不依赖于x 的正整数N ,当n N >时,有()(),af x y dx y ϕε+∞-<⎰,y I ∀∈.由上确界的定义,亦有()()sup,y Iaf x y dx y ϕε+∞∈-≤⎰.这就证明了(1)式成立.[充分性] 由假设,对任给的0ε>,存在正整数N ,使得当n N >时,有()()sup,y Iaf x y dx y ϕε+∞∈-<⎰ （2）因为对一切y I ∈,总有()()()(),sup ,y Iaaf x y dx y f x y dx y ϕϕ+∞+∞∈-≤-⎰⎰.故由（2）式得()(),af x y dx y ϕε+∞-<⎰.于是dx y x f a⎰+∞),(关于y 在区间I 上一致收敛于()y ϕ.例 5 证明反常积分dx yx y⎰+∞+0221关于y 在)0(),,[>+∞c c 上的一致收敛性和),0(+∞内的非一致收敛性.解 显然dx yx y⎰+∞+0221关于y 在),0(+∞内收敛于2π （事实上22lim 1AA y dx x y →∞+⎰=()0lim arctan AA xy →∞∣=()lim arctan arctan 0A Ay →∞-=2π）. ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+⎰≥+∞→ξξπ02221sup lim dx y x y c y =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥+∞→ξπξy c y arctan 2sup lim=0)arctan 2(lim =-+∞→ξπξc ,而⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+⎰>+∞→ξξπ022021sup lim dx y x y y =⎭⎬⎫⎩⎨⎧->+∞→ξπξy y arctan 2sup lim 0=22limππξ=+∞→.由定理4,得dx yx y⎰+∞+0221 关于y 在),[+∞c ,()0c >上一致收敛于2π,在),0(+∞内非一致收敛. 定理 5 含参量反常积分dx y x f a⎰+∞),(关于y 在区间I 上一致收敛于)(y φ的充要条件是：对任意{}[):,+∞∈a n ξ{}),2,1(:,lim =∈⊂+∞=∞→n I y I y n n n n ξ,都有 0)(),(lim=-⎰+∞→nan nn y dx yx f ξφ.例6 试证dx y x y⎰+∞+12)(关于y 在),0(+∞内非一致收敛. 证明 显然dx y x y⎰+∞+12)( 关于y 在),0(+∞内收敛于yy+1.取),,2,1(, ===n n y n n n ξ那么就有),,2,1)(,0(,lim =+∞∈+∞=+∞→n y n n n ξ但是2121lim lim 1)(lim12==+=+-+∞→∞→∞→⎰n n n n n n n n n n y y y y dx y x y nξξ由定理5,()dx y x y⎰+∞+12关于y 在()+∞,0内非一致收敛.2.6 用狄利克雷判别法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性定理6 （狄利克雷判别法）设 )i 对一切实数0>N ,含参变量反常积分()⎰Ncdx y x f ,对参变量y 在[]b a ,上一致有界,即存在正数M ,对一切c N >及一切[]b a y ,∈,都有()M dx y x f Nc≤⎰,；)ii 对每一个[]b a y ,∈,函数()y x g ,关于x 是单调递减且当+∞→x 时,对参变量y ,()y x g ,一致地收敛于0,则含参变量反常积分()()dx y x g y x f c,,⎰+∞在[]b a ,上一致收敛.例7 对于()0,1a ∀∈,讨论含参量反常积分sin 10a x xdx x +∞+⎰的一致收敛性.解 )i 对于0A ∀>,都有sin 2Axdx ≤⎰.)ii 因为()()'12101010a x a x x x x x -=+-⎡⎤⎣⎦++⎛⎫ ⎪⎝⎭,当101ax a>-时,'010x x <+⎛⎫ ⎪⎝⎭,即10ax x +在10,1a a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上单调递减,并且lim 010ax x x →+∞=+.因此由狄利克雷判别法可知,含参量反常积分101sin 10a a ax xdx x +∞-+⎰对()0,1a ∀∈是一致收敛的.而在100,1a a ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦上是定积分,必收敛,则对()0,1a ∀∈是一致收敛的. 所以含参量反常积分sin 10a x xdx x +∞+⎰对()0,1a ∀∈是一致收敛的.2.7 用阿贝尔判别法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性定理7 （阿贝尔判别法）设)i ()dx y x f c⎰+∞,在[]b a ,上一致收敛;)ii 对每一个[]b a y ,∈,函数()y x g ,为x 的单调函数,且对参变量y ,()y x g ,在[]b a ,上一致有界,则含参变量反常积分()()⎰+∞cdx y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛.例8 证明含参变量反常积分dx xxe xy sin 0⎰+∞- 在[]d ,0上一致收敛.证明 由于反常积分dx x x⎰+∞sin 收敛,（当然,对于参变量y ,它在[]d ,0一致收敛）,函数()xy e y x g -=,对每一个[]d x ,0∈单调,且对任何d y ≤≤0,0≥x ,都有()1,≤=-xy e y x g ,故由阿贝尔判别法即得含参变量反常积分dx xxe xy⎰+∞-0sin在[]d ,0上一致收敛.推论 1 设函数(,)f x y 定义在无界区域[)[],,a c d +∞⨯上,且对y 的偏导数(,)y f x y 存在.若下列条件满足1）对每一个[],y c d ∈,反常积分(),af x y dx +∞⎰收敛；2）存在常数0M >,使得对任意0b >及所有的[],y c d ∈,恒有 (),by af x y dx M ≤⎰,即(),by af x y dx ⎰关于b 及[],y c d ∈一致有界.则含参量反常积分(),af x y dx +∞⎰在[],c d 上一致收敛.证明 由于[],c d 为有限闭区间.根据有限覆盖定理,对任给的0ε>,一定存在有限个点011n n c y y y y d -=<<⋅⋅⋅<<=,使得[][]11,,n i i i c d y y -==且1i i y y ε--<.由于反常积分(),af x y dx +∞⎰收敛,于是对任给的()1,2,,i y i n =⋅⋅⋅,都存在()0,i A y ε,使得对任给的()10,,i A A A y ε>有()1,,1,2,,A i Af x y dx i n ε<=⋅⋅⋅⎰（3）另一方面,对任意的[],y c d ∈,一定存在一点i y ,使得i y y ε-<.令(){}00max ,,1,2,,i A A y i n ε==⋅⋅⋅,则0A 只与ε有关.同时对任意的10,A A A >,式（3）必然成立.于是根据微分学中值定理及式（3）有()1,A Af x y dx⎰()()()()1,,,A iiAf x y f x y f x y dx =-+⎰()()()()11,,,A A i i A Af x y f x y dx f x y dx ≤-+⎰⎰()()()11,,A A y i i AAf x y y dx f x y dx ξ=-+⎰⎰()()()1,,21AA y y i aaf x dx f x dx y y M ξξεε⎛⎫≤+-+≤+⎪⎝⎭⎰⎰即含参量反常积分(),af x y dx +∞⎰在[],c d 上一致收敛.如果将推论1中的条件1）变弱,则条件2）会变强.得如下推论推论 2 设函数(,)f x y 定义在无界区域[)[],,a c d +∞⨯上,且关于[],y c d ∈可微.若满足如下条件1）存在一点[]0,y c d ∈,使得反常积分()0,af x y dx +∞⎰收敛；2）反常积分(),y af x y dx +∞⎰于[],y c d ∈一致收敛. 则含参量反常积分(),af x y dx +∞⎰在[],c d 上一致收敛.例9 判断含参量反常积分22cos2xe xydx α+∞-⎰在(),y ∈-∞+∞范围上的一致收敛性,其中0α>.解 由于对固定的y R ∈,当x →+∞时,222222cos 2cos 20x x x x exy xy eαα-=→,于是对固定的y R ∈,广义积分22cos2xe xydx α+∞-⎰收敛.另一方面,考虑积分()22,2sin 2xy f x y dx xe xydx α+∞+∞-=-⎰⎰,这里()22,cos 2xf x y e xy α-=.由于当x →+∞时,()222232,sup sin 20x x y x x xexy eαα-∈-∞+∞⋅=→.从而有(),y af x y dx +∞⎰在(),y ∈-∞+∞上一致收敛,由推论2知,22cos2xe xydx α+∞-⎰在(),y ∈-∞+∞范围上的一致收敛.总之,判断含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法多种多样,关键在于理解它们各自应用的范围及其相互联系,以达到灵活应用.参考文献:[1]贺自树.一致收敛教学的探讨[J].重庆师范学院学报（自然科学版）,1998(15)：66-78.[2]刘玉琏.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1992.[3]华东师范大学数学系编. 数学分析第三版下册[M].北京:高等教育出版社,2001. [4]吕通庆.一致连续与一致收敛[M].北京:人民教育出版社,1982.[5]刘玉琏.数学分析讲义练习题选解[M]. 北京:高等教育出社,1994(414). [6]钱吉林.数学分析题解精粹[M].北京;崇文书局,2003(643).[7]徐晶.一种反常积分与正项级数收敛的判别法[J].邯郸师范学院学报,2005,8(3)：25-34.[8]温朝晖,李天胜,朱存斌.无穷积分敛散性的一个新的判别法[I].大学数学,2005,21（2).[9]张永锋.含参量反常积分的局部一致收敛与连续性[J].咸阳师范学院学报,2006,21（6）：59-70.[10]吴良森,毛羽辉,韩士安.数学分析学习指导书下册[M].北京：高等教育出版社,2009,9（2）.[11]孙清华等.数学分析内容、方法与技巧下[M].武汉：华中科技大学出版社,2003,5（1）：74-97.Criterions about the Convergence of Parameter ImproperIntegrationWang Mingxing(College of Mathematical Sciences in Dezhou , Shandong Dezhou 253023) Abstract: The convergence of parameter improper integral is to study and expression in particular non-primary function of a powerful tool.Based on the uniform convergence of parameter improper integral analysis and research, summarized several simple and effective method and the theorem of the discriminant of uniform convergence of parameter improper integral(Cauchy criterion, M criterion, Bound method, Dirichlet criterion and so on), So as to convenient to learn and master for uniform convergence of parameter improper integral.key words: Improper Integration;Uniform Convergence;criterion。
含参量反常积分的一致收敛发判别法及推广汇总
含参量反常积分的一致收敛发判别法及推广汇总含参数的反常积分是指在积分中包含一个或多个参数的情况下的积分运算。
一致收敛是指在定义域上的每个点上，函数项级数都收敛于同一个函数。
一致收敛的发散判别法是用来判断含参数的反常积分是否一致收敛的方法。
它的基本思想是先对含参数的反常积分的被积函数进行求和，然后通过逐项求和的结果进行判断。
一般来说，当积分区间是有界区间时，可以直接采用一般的单调收敛判别法，若积分区间是无界区间，则需要使用其他方法来判断其一致收敛性。
以下是一些常见的含参数反常积分的一致收敛发判别法及推广：1.魏尔斯特拉斯判别法：该判别法适用于被积函数在区间上无上界的情况。
若函数项级数的每一项在区间上都存在可求得的上界，并且级数的系数与参数无关，即参数只出现在积分区间上，则该函数项级数在该区间上一致收敛。
2.绝对收敛发散判别法：若被积函数在积分区间上绝对收敛，则函数项级数在该区间上一致收敛。
3.阿贝尔判别法：若函数项级数在积分区间上逐项收敛，且在积分区间上一致有界，则函数项级数在该区间上一致收敛。
4.一致收敛的推广汇总：对于参数函数项级数的一致收敛判别，可以将其推广为参数函数项广义积分的一致收敛判别。
具体而言，可以参考以下几种情况的判别方法：a.线性组合的情况：若参数函数项级数与常数函数项级数的线性组合在积分区间上一致收敛，则参数函数项级数在该区间上一致收敛。
b.积分换元法的情况：若参数函数项级数的积分变量进行换元，得到的新的参数函数项级数在积分区间上一致收敛，则原参数函数项级数在该区间上一致收敛。
c.参数函数项级数的逐项积分的情况：若参数函数项级数的逐项积分在积分区间上一致收敛，则参数函数项级数在该区间上一致收敛。
d.参数函数项的相对收敛性：若参数函数项级数的每一项与参数的函数项级数的每一项的绝对值相比，在积分区间上一致有界，并且参数的函数项级数在该区间上一致收敛，则原参数函数项级数在该区间上一致收敛。
毕业论文《一致收敛判别方法的探讨》
一致收敛判别方法的探讨摘要一致收敛理论是数学分析的一个重要的研究分支.一致收敛概念及判定的掌握是学习数学分析的重点和难点,而且一致收敛在泛函分析、偏微分方程等学科中也有广泛而深入的应用.本文首先简单阐述函数列、函数项级数及含参量反常积分一致收敛的概念,然后从函数列、函数项级数及含参量反常积分三方面着手,分别列出常用的判别一致收敛的方法,并由常用的方法推出一些定理.本文在判别函数列一致收敛的方法探索中,由函数列的两边夹判别法推得一种比式判别法；并利用L条件,给出函数列一致L条件的定义,研究满足一致L条件的函数列的一致收敛性；研究在函数列可微条件下,它的导函数列在一致有界时,函数列的一致收敛性.在判别函数项级数一致收敛的方法探索中,给出函数项级数一致L条件的定义,研究满足一致L条件的函数项级数的一致收敛性.在文献[2]中一些未给出证明的定理,在本文中也将给出简单的证明.关键词:函数列；函数项级数；含参量反常积分；一致收敛Investigate on the Criterion of Uniform ConvergenceMathematics and Applied Mathematics 2006-2 Jiang Su-pingSupervisor Liang Zhi-qingAbstractUniform Convergence theory is an important research branch of mathematical analysis. The understanding and judging of this conception are the key as well as difficult point of mathematical analysis. Further more, Uniform Convergence has been widely used in the subjects of Functional Analysis and Partial Differential Equations.This article will first briefly explain the Function Column, Series of Functions and Parameter Improper concept of uniform convergence. Then, out from three aspects, namely the function, the function parameters of the Series and the infinite integration with parameter, it will list some methods commonly used in the identification of Uniform Convergence from which some theorem will be deduced. In the research of the methods of identifying Uniform Convergence, another kind of identifying method called Ratio method is deduced through between discriminant method. Besides, taking advantage of L condition, this paper will define Uniform L condition and discusses Convergence under L condition. Besides, it will discusse the Uniform Convergence of function when its derived functions are uniformly bounded under micro-conditions. In the research of the methods of identifying Uniform Convergence of Series, this paper will give the definition of L condition of Uniform Convergence of Series and discusses Uniform Convergence of Series under L condition. Theorems that has not been proved in document 2 will also be briefly proved in this paper.Key words: function column; series of functions;infinite integration with parameter;uniform convergence目录0 前言 (1)1预备知识 (2)2 一致收敛的判别方法 (6)2.1函数列一致收敛的判别方法 (6)2.1.1常用方法 (6)2.1.2两边夹判别法 (10)2.1.3单调判别法 (11)2.1.4 一致L条件判别法 (13)2.1.5导数判别法 (14)2.1.6点列判别法 (15)2.2函数项级数一致收敛的判别方法 (16)2.2.1常用方法 (16)2.2.2两边夹判别法 (20)2.2.3比较判别法 (21)2.2.4单调判别法 (22)2.2.5一致L条件判别法 (23)2.2.6导数判别法 (24)2.2.7点列判别法 (26)2.3含参量反常积分一致收敛的判别方法 (27)2.3.1常用方法 (27)2.3.2两边夹判别法 (29)2.3.3比较判别法 (29)2.3.4单调判别法 (31)2.3.5点列判别法 (31)结束语 (31)致谢 (31)参考文献 (32)0 前言一致收敛的理论是数学分析的重要组成部分之一,也是学好后继课程,如泛函分析、偏微分方程等的必备基础.一致收敛是数学分析教学中的难点之一,尤其是涉及到函数列、函数项级数与含参量反常积分的一致收敛性问题.数学分析中的积分运算与其它运算的可交换性,我们就需要探讨它们的一致收敛性来作为保证.目前,已有许多文献对一致收敛进行了研究.如在文献[1]中编者介绍了函数列、函数项级数及含参量反常积分一致收敛的概念,并介绍了判别函数列、函数项级数及含参量反常积分一致收敛的充要条件；文献[2]对一致收敛分别从定义、充要条件、一般性质、运算法则、判别方法等方面做了讨论；文献[3]给出了判别函数列一致收敛性的一种方法,这种方法与Dini定理的区别在于:Dini定理是数列单调,而作者所给的是函数单调.文献[4]介绍了函数项级数中的Dini定理.文献[5]则是对函数项级数的导数所需满足怎样的条件才能使级数一致收敛进行探讨,从而得到了函数项级数一致收敛的导数判别法.虽然已有诸多文献对一致收敛进行了研究,但多数只是就某单一方面进行研究.本文试图从函数列、函数项级数以及含参量反常积分一致收敛的判别方法进行探索.在文献[2]中未给出证明的定理,本文也将给出简单的证明.本文可分为两大部分,第一部分简单阐述函数列、函数项级数及含参量反常积分一致收敛的概念,同时给出函数列一致L条件及函数项级数一致L条件.第二部分是本文的主要内容,从函数列、函数项级数以及含参量反常积分三方面着手,分别列出常用的判别一致收敛的方法,并由常用的方法推出一些定理.本文在判别函数列一致收敛的方法探索中,由函数列的两边夹判别法推得一种比式判别法；探讨函数列分别在函数列单调及函数单调条件下的一致收敛性；利用L条件,给出函数列一致L条件的定义,研究满足一致L条件的函数列的一致收敛性；研究在函数列可微条件下,它的导函数列在一致有界时,函数列的一致收敛性；把函数列所在点集归结为点列来探讨函数列的一致收敛性.而在判别函数项级数一致收敛的方法探索中,先介绍两边夹判别法,然后介绍比较判别法,对魏尔斯特拉斯M判别法的条件进行改变得到一种新的比较判别法；探讨在级数的和函数单调条件下,推出函数项级数的Dini；利用L条件,给出函数项级数一致L条件的定12义,研究满足一致L 条件的函数项级数的一致收敛性；探讨在函数列{()n u x }可微条件下,当1()n n u x ∞='∑在[,]a b 上一致收敛时,函数项级数1()n n u x ∞=∑的一致收敛性；把函数项级数所在点集归结为点列来探讨函数项级数的一致收敛性.在判别含参量反常积分一致收敛的方法探索中,先介绍两边夹判别法及比较判别法,然后探讨在积分单调的条件下,积分的一致收敛性，之后把含参量反常积分所在点集归结到点列来探讨含参量反常积分的一致收敛性.1 预备知识在这个部分我们将介绍本文所需要用到的概念及引理.首先我们介绍函数列、函数项级数及含参量反常积分一致收敛的概念,并给出函数列、函数项级数的一致L 条件的定义.定义1[]1设1f ,2f ,…,n f … ① 是一列定义在同一数集E 上的函数,称为定义在E 上的函数列.①也可以简单地写作:｛n f ｝或n f , 1,2,n =….定义2[]1设函数列｛n f ｝与函数f 定义在同一数集D 上,若对任给的正数ε,总存在某一正整数N ,使得n N >时,对一切x D ∈,都有)()(x f x f n -<ε,则称函数列｛n f ｝在D 上一致收敛于f .定义3[]1设{)(x u n }是定义在数集E 上的一个函数列,表达式E x x u x u x u n ∈⋯++⋯++，)()()(21 ② 称为定义在E 上的函数项级数,简记为∑∞=1)(n n x u 或∑)(x u n .称)(x S n =∑=nk k x u 1)(, E x ∈,1,2,n =….3为函数项级数②的部分和函数列.设函数项级数∑)(x u n 在D 上的和函数为)(x S ,称)(x R n =)(x S —)(x S n为函数项级数∑)(x u n 的余项.定义4[]1 设{)(x S n }是函数项级数∑)(x u n 的部分和函数列.若{)(x S n }在数集D 上一致收敛于函数)(x S ,则称函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于函数)(x S ,或称∑)(x un在D 上一致收敛.定义5[]1设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y a x b c y =≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[,]x a b ∈,反常积分dy y x f c ),(+∞⎰ ③都收敛,则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数,当记这个函数为)(x I 时,则有)(x I =dy y x f c ),(+∞⎰,[,]x a b ∈称③式为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限反常积分,或简称含参量反常积分.定义6[]1若含参量反常积分③与函数)(x I 对任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得当M N >时,对一切[,]x a b ∈,都有)(),(x I dy y x f M c -⎰ε<即dy y x f M ),(+∞⎰ε<,则称含参量反常积分③在[,]a b 上一致收敛于)(x I ,或简单地说含参量积分③在[,]a b 上一致收敛.定义7(函数列的一致L 条件) 若存在常数0L >,使得对于任意两点1x ,2x I ∈,∀n ∈N +,都有1212()()n n f x f x L x x -≤-.4则称函数()n f x 在区间I 上满足一致L 条件.定义8(函数项级数的一致L 条件) 若存在常数0L >,使得对于任意两点12,x x I ∈,n N +∀∈,都有1212()()()n nnnu x u x L x x -≤-∑∑.则称函数n u ∑在区间I 上满足一致L 条件. 1.2 引理为了本文的需要,在这部分将把文献中的一些定理作为引理罗列出来.引理1[]1(函数列一致收敛的柯西准则) 函数列｛n f ｝在数集D 上一致收敛的充要条件是:对任给正数ε,总存在正数N ,使得当,n m N >时,对一切x D ∈,都有)()(x f x f m n -ε<引理2[]1(函数列确界准则) 函数列｛n f ｝在区间D 上一致收敛于f 的充要条件是:)()(sup lim x f x f n Dx n -∈∞→=0引理3[]1(函数项级数一致收敛的柯西准则) 函数项级数∑)(x u n 在数集D 上一致收敛的充要条件为:对任给的正数ε,总存在某正整数N ,使得当n N >时,对一切x D ∈和一切正整数p ,都有)()(x S x S n p n -+ε<或)(u )()(21x x u x u p n n n ++++⋯++ε<引理4[]1(函数项级数余项准则) 函数项级数∑)(x u n 在数集D 上一致收敛于)(x S 的充要条件是)(sup lim x R n Dx n ∈∞→=)()(sup lim x S x S n Dx n -∈∞→=0.引理5[1](阿贝耳判别法) 设5(1)()n u x ∑在I 上一致收敛；(2)对于每一个x I ∈,{()n v x }是单调的；(3){()n v x }在I 上一致有界,即对一切x I ∈和正整数n ,存在正数M ,使得()n v x M ≤,则级数()()n n u x v x ∑在I 上一致收敛.引理6[1](狄利克雷判别法) 设 (1)()n u x ∑的部分和函数列1()()nn k k U x u x ==∑ (1,2,)n =…在I 上一致有界；(2)对于每一个x I ∈,{()n v x }是单调的； (3) 在I 上()n v x 一致收敛于0 (n →∞), 则级数()()n n u x v x ∑在I 上一致收敛.引理7[]1(含参量反常积分一致收敛的柯西准则) 含参量反常积分③在[,]a b 上一致收敛的充要条件是:对任给正数ε,总存在某一实数M c >,使得当1A ,2A M >时,对一切[,]x a b ∈,都有dy y x f A A ),(21⎰＜ε.引理8[]1 含参量反常积分③在[,]a b 上一致收敛的充要条件是:对任一趋于+∞的递增数列}{n A （其中1A =c ）,函数项级数∑∞=+⎰1),(1n A A dy y x f n n=∑∞=1)(n n x u在[,]a b 上一致收敛.引理9[1](狄利克雷判别法) 设 (1)对一切实数N c >,含参量正常积分6(,)N c f x y dy ⎰对参量x 在[,]a b 上一致有界,即存在正数M ,对一切N c >及一切x ∈[,]a b ,都有(,)N c f x y dy M ⎰≤；(2)对每一个x ∈[,]a b ,函数(,)g x y 关于y 是单调递减且当y →+∞时,对参量x ,(,)g x y 一致地收敛于0,则含参量反常积分(,)(,)c f x y g x y dy +∞⎰在[,]a b 上一致收敛.定理10[1](阿贝耳判别法) 设(1)(,)c f x y dy +∞⎰在[,]a b 上一致收敛；(2)对每一个x ∈[,]a b ,函数(,)g x y 为y 的单调函数,且对参量x ,(,)g x y 在[,]a b 上一致有界,则含参量反常积分(,)(,)c f x y g x y dy +∞⎰在[,]a b 上一致收敛.2 一致收敛的判别方法在这部分,将分别对判别函数列、函数项级数及含参量反常积分一致收敛的方法进行探讨.2.1函数列一致收敛的判别方法下面从常用方法、两边夹判别法、单调判别法、一致L 条件判别法、导数判别法、点列判别法这几方面来介绍函数列一致收敛的判别方法.2引理1[]1(函数列一致收敛的柯西准则) 函数列｛n f ｝在数集D 上一致收敛的充要条件是:对任给正数ε,总存在正数N ,使得当,n m N >时,对一切x D ∈,都有)()(x f x f m n -ε<引理2[]1(函数列确界准则) 函数列｛n f ｝在区间D 上一致收敛于f 的充要条件是:)()(sup lim x f x f n Dx n -∈∞→=0引理3[]1(函数项级数一致收敛的柯西准则) 函数项级数∑)(x u n 在数集D 上一致收敛的充要条件为:对任给的正数ε,总存在某正整数N ,使得当n N >时,对一切x D ∈和一切正整数p ,都有)()(x S x S n p n -+ε<或)(u )()(21x x u x u p n n n ++++⋯++ε<引理4[]1(函数项级数余项准则) 函数项级数∑)(x u n 在数集D 上一致收敛于)(x S 的充要条件是)(sup lim x R n Dx n ∈∞→=)()(sup lim x S x S n Dx n -∈∞→=0.引理5[1](阿贝耳判别法) 设 (1)()n u x ∑在I 上一致收敛；(2)对于每一个x I ∈,{()n v x }是单调的；(3){()n v x }在I 上一致有界,即对一切x I ∈和正整数n ,存在正数M ,使得()n v x M ≤,则级数()()n n u x v x ∑在I 上一致收敛.引理6[1](狄利克雷判别法) 设 (1)()n u x ∑的部分和函数列1()()nn k k U x u x ==∑ (1,2,)n =…在I 上一致有界；(2)对于每一个x I ∈,{()n v x }是单调的；(3) 在I 上()n v x 一致收敛于0 (n →∞), 则级数()()n n u x v x ∑在I 上一致收敛.2.2.7 点列判别法下面,把1()n n u x ∞=∑在点集X 归结到点列的情况下来确定函数项级数的一致收敛性.定理251()nn u x ∞=∑在点集X 上一致收敛于()S x 的充分必要条件是对任意点列{nx }X ⊂.都有1lim ()()0nk n n n k u x S x →∞=-=∑证 必要性,若1()n n u x ∞=∑在点集X 上一致收敛于()S x ,则11()()sup ()()0nnk k x Xk k u x S x u x S x ∈==-=-→∑∑()n →∞.于是对任意点列{n x } X ⊂,都有1()()nk n n k u x S x =-≤∑1()()nk k u x S x =-∑0→()n →∞.充分性,用反证法,假设1()n n u x ∞=∑在点集X 上不一致收敛于()S x ,则00ε∃>,N ∀,n N ∃>,及x X ∈,使得1()()nk k u x S x ε=-≥∑.于是,取1N =,11n ∃>与1n x X ∈,使111101()()n n nk n n k ux S x ε=-≥∑；取2N =,21n n ∃>与2n x X ∈,使222201()()n n nk n n k ux S x ε=-≥∑；……取N m =,1m m n n -∃>与k n x X ∈,使111101()()n m m m n m nk n n k u x S x ε----=-≥∑；…….这样就得到一点列{}k n x X ⊂,使1lim ()()0nk n n n k u x S x →∞=-≠∑,与已知条件相矛盾.2.3含参量反常积分一致收敛的判别方法下面从常用方法、两边夹判别法、比较判别法、单调判别法、点列判别法这几方面来介绍含参量反常积分一致收敛的判别方法. 2.3.1 常用方法判别函数列一致收敛的常用方法有定义判别法,柯西准则判别法,上确界法,阿贝耳判别法,狄利克雷判别法.下面举例说明.例13 确定积分0ax xe dx +∞-⎰在区间0[,)α+∞（00α>）的一致收敛性.解 因为,0A ∀>,有210ax ax t AAAxe dx xe dx x tte dt ααα+∞+∞+∞---≤==⎰⎰⎰令=21[|]t t A Ate e dt ααα+∞-+∞--+⎰=00220AaAAaAAe Ae eeαααααα----+≤+而002lim()0AAA Ae eαααα--→∞+=,故0ε∀>,00()0A A ε∃=>,当0A A >时,0[,)αα∀∈+∞,有ax Axe dx ε+∞-<⎰,由定义知0ax xe dx +∞-⎰在0[,)α+∞上一致收敛.例14确定积分2x dx α-⎰当0α≤<+∞时的一致收敛性.解 取0ε=221102t e dt ->⎰,0N ∀>,取0212Nα=,A '=,A ''=,则A ',A ''N >,0[0,)α∈+∞,而22201A x x A dx e dx αε'--'=≥⎰⎰,因此2x d x α-⎰在0α≤<+∞时不一致收敛.例15 确定221ydx x y+∞+⎰关于y 在[,)c +∞（0c >）上和(0,)+∞内的一致收敛性. 解 显然221ydxx y +∞+⎰关于y 在(0,)+∞内收敛于2π. 220[,)lim sup12y c y dx x y ξξπ→+∞∈+∞-+⎰＝[,)lim sup (arc )2y c tg ξπξ→+∞∈+∞-＝lim (arc )2tg ξπξ→+∞-＝0, 220(0,)lim sup12y y dx x y ξξπ→+∞∈+∞-+⎰＝(0,)lim sup (arc )2y tg ξπξ→+∞∈+∞-＝lim2ξπ→+∞＝2π. 由上确界判别法知221ydx x y +∞+⎰关于y 在[,)c +∞（0c >）上一致收敛于2π,在(0,)+∞内的不一致收敛.例16 证明含参量反常积分2sin 1px dx x +∞+⎰关于[0,)p ∈+∞一致收敛. 证 由于20sin x dx +∞⎰收敛，又1(0)1pp x≥+在0x ≥对x 单调下降且一致有界，即101(0,0)1p p x x <≤≥≥+，由阿贝耳判别法知，20sin 1p x dx x+∞+⎰在0p ≥时一致收敛. 例17 证明含参变量反常积分1cos xy pe ydy y-+∞⎰(0)p >在[0,)x ∈+∞一致收敛. 证1cos sin sin12Aydy A =-≤⎰,当0x ≤<+∞时,函数xyp e y-在1y ≥时关于y 单调下降,且当y →+∞时关于(0)x x ≤<+∞一致趋于0，由狄利克雷判别法知1cos xy pe ydy y-+∞⎰在[0,)x ∈+∞一致收敛.由以上常用方法,可推出一下定理： 定理26 设(,)af x y dx +∞⎰与(,)ag x y dx +∞⎰关于y 在点集Y 上分别一致收敛于()y Φ与()y ψ,则[(,)(,)]af x yg x y dx +∞±⎰关于y 在Y 上一致收敛于()()y y Φ±ψ.证 由题设知,0ε∀>,1()N N ε∃∈,当1()N a ε>时,∀y Y ∈,有(,)()af x y dx y +∞⎰-Φ2ε<,∀同一0ε>,2()N N ε∃∈,当2()N a ε>时,∀y Y ∈,有(,)()a g x y dx y +∞⎰-ψ2ε<.于是,关于[(,)(,)]af x yg x y dx +∞+⎰,0ε∀>,取12()min{(),()}N N N εεε=N ∈,当()N a ε>时,∀y Y ∈,恒有{[(,)(,)]}{()()}a f x y g x y dx y y +∞+-Φ+ψ⎰={(,)()}{(,)()}aaf x y dx yg x y dx y +∞+∞-Φ+-ψ⎰⎰<(,)()(,)()aaf x y dx yg x y dx y +∞+∞-Φ+-ψ⎰⎰22εεε<+=.所以,[(,)(,)]af x yg x y dx +∞+⎰在Y 上一致收敛于()()y y Φ+ψ.类似可证,[(,)(,)]af x yg x y dx +∞-⎰在X 上一致收敛于()()y y Φ-ψ.定理27[2] 设(,)af x y dx +∞⎰关于y 在点集Y 上一致收敛于()y Φ,()g y 在Y 上有界,则(,)()af x yg y dx +∞⎰关于y 在Y 上一致收敛于()()y g y Φ.2.3.2 两边夹判别法下面介绍两边夹判别法.定理 28[2] 设当x a ≥和y Y ∈时,恒有(,)(,)(,)f x y g x y h x y ≤≤成立,且(,)af x y dx +∞⎰与(,)ah x y dx +∞⎰均关于y 在点集Y 上一致收敛于()y Φ,则(,)ag x y dx +∞⎰关于y 在Y 上一致收敛于()y Φ.2.3.3 比较判别法下面介绍比较判别法.定理29[1](魏尔斯特拉斯M 判别法) 设有函数()g y ,使得(,)()f x y g y ≤,a x b ≤≤,c y ≤<+∞.若()c g y dy +∞⎰收敛,则(,)c f x y dy +∞⎰在[,]a b 上一致收敛.现对魏尔斯特拉斯M 判别法的条件改变,来讨论含参量反常积分1(,)af x y dx +∞⎰的一致收敛性.可推出定理30.定理30[2](,)ag x y dx +∞⎰关于y 在点集Y 上一致收敛,又存在L 0>,使当x a ≥与y Y ∈时,恒有(,)(,)f x y Lg x y ≤成立,且当a ξ>时,对任意y Y ∈,(,)f x y 均关于x 在[,]a ξ上可积,则(,)af x y dx +∞⎰关于y 在点集Y 上一致收敛.再对定理30条件进行加强,可推出定理31. 定理31[6]若12(,)(,)f x y f x y ≤,(,)x y ∈∆ 且2(,)af x y dx +∞⎰对于y D ∈是一致收敛的,则1(,)af x y dx +∞⎰对于y D ∈也是一致收敛的.证 对任给0ε>,由2(,)af x y dx +∞⎰一致收敛,所以存在A a ≥,使得只要12,A A A >时,对任意y D ∈有212(,)A A f x y dx ⎰ε<于是,当12,A A A >时,对任意y D ∈有221111(,)(,)A A A A f x y dx f x y dx ≤⎰⎰ 212(,)A A f x y dx ε≤<⎰这就表示1(,)af x y dx +∞⎰对于y D ∈是一致收敛的.证毕.2.3.4单调判别法在(,)af x y dx +∞⎰单调的条件下,加上若干条件,可推出含参量反常积分的Dini 定理.定理32[2](Dini 定理) 设(,)af x y dx +∞⎰关于y 在[,]c d 上收敛于()y Φ,()y Φ在[,]c d 上连续,又当x a ≥和c y d ≤≤时,恒有(,)()0f x y ≥≤或成立,且对任意a ξ>,(,)af x y dx ξ⎰均关于y 在[,]c d 上连续,则(,)af x y dx +∞⎰关于y 在[,]c d 上一致收敛于()y Φ.2.3.4点列判别法下面把(,)c f x y dy +∞⎰在点集X 归结到点列的情况下来确定含参量反常积分的一致收敛性.定理33[2] (,)c f x y d y +∞⎰关于x 在点集X 上一致收敛于()I x 的充分必要条件是对任意{n ξ}：lim n n ξ→∞=+∞,{n x }：n x ∈X （n =1,2…）,都有lim(,)()0nn n cn f x y dx I x ξ→∞-=⎰结束语一致收敛的概念及判定的掌握是学习数学分析的重点和难点,贯穿始终,而函数列、函数项级数及含参量反常积分的一致收敛性更是数学分析的重点、难点.本文从函数列、函数项级数及含参量反常积分三方面着手,对它们的一致收敛进行探讨和研究,得到一些判别方法.可根据函数列、函数项级数及含参量反常积分的具体结构,而选择恰当的判别一致收敛的方法,以达到简便、快速求解的目的.致谢值此论文完成之际,谨在此向多年来给予我关心和帮助的老师、同学和家人表示衷心地感谢.我能顺利完成学业,首先要感谢系领导及各科老师对我的关心和帮助.特别感谢梁教授给我的无私帮助,梁老师渊博的专业知识,严谨的治学态度,扎实的理论功底,精益求精的工作作风,诲人不倦的高尚师德,严于律己、宽以待人的高尚风范,都为我以后的治学态度和做人标准树立了楷模.在论文的选题、写作和修改过程中都得到了梁老师热情的指导和细致的审阅,再次表示深深的感谢！最后,感谢我的家人在各方面一直给予我的全力支持，我能完成学业与他们的无私奉献是分不开的.参考文献[1] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2006.[2] 吕通庆.一致连续与一致收敛[M].北京:人民教育出版社,1982.[3] 林荣斐.关于函数列一致收敛性的一点注记[J].台州学院报,2005,27(3):32-33.[4] 何琛.数学分析(第三册)(无穷级数和广义积分)[M].北京:高等教育出版社,1985.[5] 杨琼芬.函数级数一致收敛的判别法[J].科技资讯,2007(32) :49-50.[6] 朱正佑.数学分析(下册)[M].上海：上海大学出版社,2001.[7] 孙清华等.数学分析内容、方法与技巧(下)[M].武汉:华中科技大学出版社,2003.[8] 吴传生.数学分析(下册)习题精解[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2004.[9] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993.[10] 王莉萍,刘红运.函数列一致收敛的性质与判定[J].商丘职业技术学院学报,2007,6(5):7-9.S x在区间I非一致收敛性问题研究[J].广西民族[11] 钟建林，梁元星.函数列{()}n学院学报(自然科学版),2005,11(2):65-68.[12] 钱吉林.数学分析解题精粹[M].武汉:崇文书局,2003.[13] 王晓敏等.数学分析学习方法与解题指导[M].沈阳:东北大学出版社,2005.[14] 滕加俊.数学分析辅导与习题精解[M].大连:大连理工大学出版社,2006.[15] 赵显曾等.数学分析的方法与题解[M].西安:陕西师范大学出版社,2005.。
含参量反常积分的一致收敛性
现行 的数学 分析 教材 ［ ４ 及 文献 ［ ・ 仅给 出 了含 参 量无穷 限反 常积 分一 致 收敛 的判定 定 理 ， 而 对含 参 量 无界 函数 的反 常积分 及其 一致 收敛性 介绍 较少 ［ ． 然而 我们 可 以将 含参 量无 穷 限 反常 积分 转 化 为含参 量 无 穷 限反常 积分 ， 这是 判断某 些反 常 积分 的一致 收敛 性 时行 之有 效且 简洁 的方法 ． １ 定 义
设ｆ （ ， Ｙ ） 在 区域 Ｒ ＝ Ｉ×［ Ｃ ， ｄ ］ 上有 定义 （ 其中 ， 为 区间） ， 某些 点 （ ， ｄ ） ， ∈ ， 为
ｒｄ １
， Ｙ ） 的瑕点 ， 含
参量无界函 数反常积分Ｉ ， （ ， Ｙ ） ｄ ｙ 在， 上一致收敛的充要条件是： 通过变换 ｄ —Ｙ＝÷后所得含参量无穷
１ ． ４ 对任给正 数 ｅ ，总 存 在 某 正 数 ＜ ｄ — ｃ ，使 得 当 ０ ＜ 刀 ＜
ｌ Ｉ 广 Ｉ ｄ ， （ Ｙ ｛ １ Ｊ ｄ ） ｄ ｙ Ｉ ＜ｅ ， 则称含参量反常积分（ ３ ） 在［ ｎ ， ｂ ］ 上一致收敛． Ｉ
，
一
２ 定 理
ｒｄ
１ ． ３ 设ｆ （ ， Ｙ ） 在 区域 Ｒ ＝ ［ ｏ ， ｂ ］×［ ｃ ， ｄ ］ 上有 定义 ． 若对 的某 些值 ， Ｙ＝ ｄ为 函数ｆ （ ， Ｙ ）的瑕点 ， 则
称Ｉ
， Ｙ ）
（ ３ ） 为含参量的无界函数反常积分．
时 ，对 一 切 ∈ ［ ｏ， ｂ ］ ， 都 有
含参量反常积分的一致收敛性判别法
3. 含参量的反常积分一致收敛性判别法 Weierstrass 判别法 设函数(,)f x t 定义在{}(,):,D x t a x t T =≤<+∞∈⊂R中，若（a ） 对于每个A a >，(,)f x t 在[,]x a A ∈上为R-可积的；（b ） 存在()x ϕ，使得()ax dx ϕ+∞⎰收敛，且(,)(),[,)f x t x x a ϕ≤∈+∞；则反常积分(,)af x t dx +∞⎰关于t T ∈绝对一致收敛，亦即，反常积分(,)af x t dx +∞⎰关于t T ∈一致收敛.我们称定理中的()x ϕ为(,)f x t 的优函数.Abel 判别法 设函数(,)f x t 、(,)g x t 定义在{}(,):,D x t a x t T =≤<+∞∈⊂R中，若（a ） 若反常积分(,)af x t dx +∞⎰关于t T ∈一致收敛；（b ） (,)g x t 是x 的单调函数，且存在常数0L >（与[,)x a ∈+∞、t T ∈无关），使得(,)g x t L ≤；则反常积分(,)(,)af x tg x t dx +∞⎰关于t T ∈一致收敛.Dirichlet 判别法 设函数(,)f x t 、(,)g x t 定义在{}(,):,D x t a x t T =≤<+∞∈⊂R中，若（a ） 对于每个A a >，(,)f x t 在[,]x a A ∈上为R-可积的，且积分(,)Aaf x t dx ⎰关于t T ∈一致有界，亦即，0M∃>（与A 、t 无关），使得(,)Aaf x t dx M ≤⎰；（b ） (,)g x t 是x 的单调函数，且lim (,)0x g x t →+∞=关于t T ∈一致成立；则反常积分(,)(,)af x tg x t dx +∞⎰关于t T ∈一致收敛.补充例9 试证反常积分 ()20sin u xex dx α+∞-+⎰，0α>为常数，关于[)0,u ∈+∞一致收敛.证 0α>，由()2sin u xx ex e αα-+-≤， [),0,x u ∀∈+∞， （*）而11xxedx eαααα+∞+∞--=-=⎰收敛，故由Weierstrass 判别法知反常积分()20sin u xex dx α+∞-+⎰关于 [)0,u ∈+∞ 一致收敛；补充例10 试证反常积分 ()20sin u xex du α+∞-+⎰，0α≥为常数，关于[)0,x ∈+∞一致收敛.证 0α≥，由()22sin sin u xxu x AAex du ex e duαα+∞+∞-+--=⎰⎰，作变量代换t x u =，上式右边成为2sin x t xAe xe dt xα+∞--⎰. ？ （**）注意到00sin sin lim lim 0x x x x e x x e x x xαα--→+→+== 与222t txAedt e dt π+∞+∞--<=⎰⎰，积分22t e dt π+∞-=⎰是著名的欧拉积分，我们将在下面计算它.于是，对于（**），0ε∀>，0δ∃>，当()0,x δ∈时，有sin 2x e x x αεπ-<；进而，0A ∀>，()0,x δ∈，有()222sin sin 2u xuxxAAex du ex e du ααεπεπ+∞+∞-+--=<⋅=⎰⎰；显然，0x=上述不等式也成立，因此，对于0A ∀>、[)0,x δ∈时，()2sin u xAex du αε+∞-+<⎰.另一方面，[),x δ∀∈+∞，由()()222sin u xu uex ee ααδδ-+-+-≤≤与2u edu δ+∞-⎰收敛（欧拉型积分），故由Weierstrass 判别法，知反常积分()20sin u xex du α+∞-+⎰在[),x δ∀∈+∞中一致收敛. 联合关于[)0,x δ∈与[),x δ∈+∞的结果，补充例10得证.补充例11 试证反常积分sin x uxe dx x+∞-⎰ 关于[)0,u ∈+∞一致收敛. 证 由sin xdx x+∞⎰收敛，因此关于[)0,u ∈+∞一致收敛； 另一方面，(),x u g x u e -= 关于[)0,x ∈+∞单调递减，且在()[)[),0,0,x u ∈+∞⨯+∞中一致有界01x u e -≤≤，Abel 判别法便证明了例11.补充例12 试证反常积分sin 0sin 2x xe dx xλ+∞⎰ 关于()0,λ∈+∞一致收敛.证 由 ()1,gx x λλ=当x →+∞时单调递减且()1,0g x x λλ=→；另一方面， sin sin sin 0sin 22sin cos 2AAAxxt ex dx ex x dx t e dt ==⎰⎰⎰sin sin 2sin 16A A A e e e =⋅-+≤；Dirichlet 判别法证明了补充例12 .补充例13 设p -∞<<+∞，考虑反常积分 11sin px I dx x=⎰，试证 （1） 当 1p -∞<< 绝对收敛、当12p ≤<非绝对收敛、当2p ≤<+∞发散；（2） 当(]0,2p δ∈- 一致收敛，其中0δ>、 当 ()0,2p ∈ 非一致收敛.证 （1） 将有限区间[]0,1x ∈上的函数1sinpx x 的积分化为无限区间上的积分比较方便.① 当1p -∞<< 时，令 1t x =，21dx dt t=-，[](]0,1,1x t ∈→∈+∞，故1122011sin sin 1sin 1p p p t t x I dx dt dt x t t t+∞-+∞-===⎰⎰⎰. 于是，2211sin 1pptI dt dt t t+∞+∞--=≤⎰⎰，因此当1p <时，有21p ->，故积分211pdt t+∞-⎰的收敛性保证了反常积分I绝对收敛；因此，当 1p -∞<< 时，积分绝对收敛；② 当12p ≤<，则021p <-≤，积分21sin ptdt t+∞-⎰发散，这是因为 22sin sin 1cos 21cos 2222pt t t tt t t t t--≥==-， [)1,t ∈+∞， 112dt t+∞⎰发散，而1cos 22tdt t+∞⎰收敛；另一方面，由1sin cos1cos 2At dt A =-≤⎰，21pt-单调递减趋向于零，因此由Dirichlet 判别法知，积分I 当12p ≤<时积分I收敛；综合，当 12p ≤< 时，积分I非绝对收敛；③ 当2p ≤<+∞，对于2p =，积分211sin sin ptdt t dt t+∞+∞-=⎰⎰发散；对于2p >，积分21sin p I t t dt +∞-=⎰，故对于每个n ∈N ，有 23222211222sin sin n n p p n n tt dt t t dt πππππππππππ+∞+---⎧⎫=++++++⎨⎬⎩⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ，且()()2222222sin 2sin 22n n p p p nntt dt n t dt n ππππππππ++--->=⎰⎰()()22222sin 22sin 22n p p n tt dt n y n y dy πππππππππ---=-+-+⎰⎰ ()2222sin p n y y dy ππππ-=-+⎰()22sin p n u u du ππ-=--⎰，由()()()()2220002sin 2cos 22p p p n u u du n u n πππππ---<-<-=⎰得到()()22222sin 0p p n n u u du πππ---<--<⎰，故23222211222sin sin n n p p n n tt dt t t dt πππππππππππ+∞+---⎧⎫=++++++⎨⎬⎩⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()222221sin 22222222p p p p p t t dt n n πππππ----->-+--+-⎰()2111sin sin cos 1cos1p tt dt t dt t πππε-=>=-=->⎰⎰，？当2p ≤<+∞时，积分发散.（2） ① 对于0δ>，在(],2p δ∈-∞-中，由22p p δδ≤-⇒-≥，得2110pt t δ-<≤与 1tδ 单调递减趋于零；而积分1sin cos1cos 2At dt A =-≤⎰一致有界，故据Dirichlet 判别法，得到积分 11sin px Idx x=⎰在 (],2p δ∈-∞-上一致收敛；② 最后，积分 12011sinsin p p t x I dx dt x t +∞-==⎰⎰ 在 (),2p ∈-∞ 非一致收敛.我们用反证法，设积分在区间(),2-∞上一致收敛，则对01ε=，()001A A a ε∃=>=，s.t. 0'''A A A ∀>> 时，有''02'sin 1A p A tdt t ε-<=⎰， (),2p ∀∈-∞. 但这不可能，因为若取'2A k π=、()''21A k π=+，则当k 充分大时，有()()()()2121022222sin 121sin 2121k k ppp kkt dt t dt t k k ππππεππ++---=>≥=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰，当2p -→时，上式右边()22221pk π-→+⎡⎤⎣⎦，得到012ε=>的矛盾.补充习题1、讨论积分0sin ln xI xdx xλ+∞=⎰的收敛性，其中λ为实数. 2、讨论积分sin 0sin 2x xI e dx xλ+∞=⎰ 的收敛性，其中0λ>. 3、讨论积分0x I x e dx α+∞-=⎰在[)0,αα∈+∞上的一致收敛性，其中00α>. 4、讨论积分0sin cos xI x dx xα+∞=⎰在[)0,αα∈+∞上的一致收敛性，其中01α>. 5、讨论积分110p I x dx -=⎰ 在[)0,p p ∈+∞上的一致收敛性，其中00p >.6、讨论积分110ln p I x x dx -=⎰ 在[)0,p p ∈+∞上的一致收敛性，其中00p >.。
含参量反常积分
[a, b]上收敛， f x ( x, y)dy 在[a, b]上一致收敛， 则I ( x)在[a, b]上可微，且 I ( x)
c
f x ( x, y )dy
定理19.10 （可积性）设f ( x, y )在区域[a, b] [c,)上连续， 若I ( x )
cos xy dx在R上一致收敛。 2 1 x e
xy
例2 证明含参量反常积分 例3 证明含参量反常积分
0
0
sin x dx在0, d 上一致收敛。 x
二、 含参量反常积分的性质
定理19.9（连续性）
f ( x, y) R a, b [c,)
如果函数
c
在矩形
c
f ( x, y )dy 在[a, b]上一致收敛，则 I ( x)在
[a, b]上可积，且
dx
a
b
c
f x ( x, y )dy dy f x ( x, y )d x
c a
b
例4 计算 I e
0
px
sin bx sin ax dx ( p 0, b a) x
例5 计算 I
0
sin ax dx x
例6 计算 I e cos rxdx ( p 0, b a)
x 2
0
An
f ( x, y )dy un ( x)
n 1
在a, b上一致收敛 . |
魏尔斯特拉斯M判别法 设有函数g ( y ), 使得 f ( x, y ) g ( y ), x a, b, y [c,). g ( y )dy收敛， 则
含参量反常积分的一致收敛性的判别方法
含参量反常积分的一致收敛性的判别方法一、定义首先，我们来回顾一下含参量反常积分的定义。
设函数$f(x,t)$定义在区间$[a,b]$上的一个闭区间$[c,d]$，则含参量反常积分可以表示为：$$\int_a^b f(x,t)dx$$其中，函数$f(x,t)$称为被积函数，参数$t$称为参数。
参数$t$取值在闭区间$[c,d]$上。
1.依据一致收敛的定义如果对任意给定的$\epsilon>0$，存在正数$\delta$，当$，x-a，<\delta$且$t\in[c,d]$时，$，f(x,t)-f(a,t)，<\epsilon$，则函数$f(x,t)$在区间$[a,b]$上关于$x$一致收敛。
这是最常用的判别方法之一2.莱布尼茨定理对于含参量反常积分，如果被积函数$f(x,t)$在闭区间$[c,d]$上关于$t$是逐点收敛的，并且对所有$x\in[a,b]$，极限$\lim_{t\to\infty}f(x,t)$存在，则函数$f(x,t)$在区间$[a,b]$上一致收敛。
3.狄利克雷判别法狄利克雷判别法主要用于判别含参变量正交级数的一致收敛性，但同样适用于含参量反常积分。
如果被积函数$f(x,t)$和其导数$f'(x,t)$在$[a,b]$上对于$t$关于$x$一致有界，并且在区间$[c,d]$上关于$x$一致收敛，则函数$f(x,t)$在区间$[a,b]$上一致收敛。
4.魏尔斯特拉斯判别法魏尔斯特拉斯判别法是判别含参量反常积分收敛性的重要方法之一、如果被积函数$f(x,t)$在闭区间$[c,d]$上对于$t$关于$x$一致有界，并且对于任意给定的$x\in[a,b]$，被积函数$f(x,t)$对于参数$t$在闭区间$[c,d]$上关于$x$一致收敛，则函数$f(x,t)$在区间$[a,b]$上一致收敛。
5.独立变量法独立变量法是一种常用的判别方法。
对于含参量反常积分$\int_a^bf(x,t)dx$，将被积函数$f(x,t)$视为关于$x$的函数，并对其进行研究。
一致收敛性及其判别法含参量反常积分的性质
sinu du |
A
y
Ax u
所以 sin xy dy 在[， ） 一致收敛.
0
y
定 理19.8 设 含 参量 反 常 积 分 f ( x, y)dy c
在[a, b]一 致 收敛
对 任一 趋 于 的 递增 数 列{ An } (其 中A1 c)，
函数项级数
n1
An1 An
f ( x, y)dy
I( x) c f ( x, y)dy
都收敛，由反常积分收敛的定义，即
0, N( , x) c, 使得 M N ,
M
| c f ( x, y)dy I( x) |
其中 N 与 x 有关. 如果存在一个与 x [a, b]
无关的 N ( ) 使得该不等式成立，就称
反常积分在区间 [ a, b ]上一致收敛
在 (, ) 上 一 致 收 敛.
证
因为，有
cos xy 1 | 1 x2 | 1 x2
y
并且反常积分
1 0 1 x2 dx
收敛
所以
cos xy 0 1 x2 dx 在 (, ) 上 一 致 收 敛.
例3: 证明含参量反常积分 eux2 dx
在 [a,) 上一致收敛 (a 0). 0
证
因为 I( x)
f ( x, y)dy
在[a, b]上
c
一致收敛，由定理19.8，对任一递增且趋于
的数列 { An } ( A1 c), 函数项级数
I(x)
n1
An1 An
f (x,
y)dy
证 : u [a,), 有 eux2 eax2 .
而无穷积分 eax2 dx收敛 0
故有魏尔斯特拉斯M判别法知
含参量反常积分的一致收敛性的判别方法
含参量反常积分的一致收敛性的判别方法摘 要: 本文从含参量反常积分的定义及含参量反常积分的一致收敛的定义出发,叙述了含参量反常积分的一致收敛性的四种判别法,并且给出了一些例子.关键词: 区域;收敛;一致收敛前言含参量反常积分是微积分学中一类重要的积分,研究含参量反常积分及其一致收敛性,可以为分析讨论函数的性质打下坚实的基础.本文归纳了判别含参量反常积分的一致收敛性的五种方法:一致收敛定义、魏尔斯特拉斯M 判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法,并且给出了典型例子以说明每种判别法的特点.1.定义定义1 设函数()y x f ,定义在无界区域{}(,),R x y a x b c y =≤≤≤<+∞上，若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分(),c f x y dy +∞⎰ (1)都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有()(),c I x f x y dy +∞=⎰，[],x a b ∈, (2)称式(1)为定义在[],a b 上的含参量x 的无穷反常积分,或简称含参量反常积分.2.含参量反常积分一致收敛性的判别法定义2 若含参量反常积分(1)与函数()I x 对任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得当M N >时,对一切[],x a b ∈,都有()(),M c f x y dy I x ε-<⎰,即 (),M f x y dy ε+∞<⎰,则称含参量反常积分(1)在[],a b 上一致收敛于()I x .或简单的说含参量积分(1)在[],a b 上一致收敛.定义3 设函数()y x f ,在区域[][),,R a b c d =⨯上有定义，若对x 的某些值, y d =为函数()y x f ,的瑕点，则称(),dc f x y dy ⎰ (3) 为含参量x 的无界函数反常积分，或简称含参量反常积分。
若对每一个x ∈[],a b ，积分(3)都收敛，其积分值x 在[],a b 上一致收敛的定义是定义4 对任给正数ε,总存在某正数d c δ<-,使得当0ηδ<<时,对一切[],x a b ∈,都有(),dd f x y dy ηε-<⎰,则称含参量反常积分()1在[],a b 上一致收敛.定理1（一致收敛的柯西准则） 含参量反常积分(1)在[],a b 一致收敛的充要条件是：对任给正数ε,总存在某一实数M c >,使得当12,A A M >时,对一切[],x a b ∈,都有()21,A A f x y dy ε<⎰.例1 证明含参量反常积分 0sin xy dy y+∞⎰ (4) 在[,)δ+∞上一致收敛(其中0δ>),但在(0,)+∞内不一致收敛.证 做变量代换u xy =,得sin sin A Ax xy u dy du y u +∞+∞=⎰⎰, (5) 其中0A >.由于0sin u du u+∞⎰收敛,故对任给正数ε,总存在正数M ,使当A M >时,就有'sin A u du uε+∞<⎰. 取A M δ>,则当M A δ>时,对一切0x δ≥>,由(5)式有sin A xy dy yε+∞<⎰, 所以(4)在0x δ≥>上一致收敛. 现在证明(4)在(0,)+∞内不一致收敛.由一致收敛定义,只要证明存在某一正数0ε,使对任何实数()M c >,总相应地存在某个A M >及某个[],x a b ∈,使得0sin A xy dy y ε+∞≥⎰. 由于非正常积分0sin u du u+∞⎰收敛,故对任何正数0ε与M ,总存在某个(0)x >,使得 00sin sin Mx u u du du u u ε+∞+∞-<⎰⎰. 即0000sin sin sin Mx u u u du du du u u u εε+∞+∞+∞-<<+⎰⎰⎰. (6) 现令001sin 2u du uε+∞=⎰,由(5)及不等式(6)的左端就有 000sin sin 2M Mx xy u dy du y uεεε+∞+∞=>-=⎰⎰. 所以(4)在(0,)+∞内不一致收敛.定理2 含参量反常积分()1在[],a b 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{}n A （其中1A c =）,函数项级数在[],a b 上一致收敛.例2 证明：若(,)f x y 在[,][,)a b c ⨯+∞上连续,又在[,)a b 上收敛,但在x b =处发散,则在[,)a b 上不一致收敛.证 用反证法,假如积分在[,)a b 上一致收敛,则对于任给0ε>,总存在M c >,当',A A M >时对一切[,)x a b ∈恒有'(,)A A f x y dy ε<⎰. 由假设(,)f x y 在'[,][,]a b A A ⨯上连续,所以'(,)A Af x y dy ⎰是x 的连续含数.在上面不等式中令x b →,得到当'A A M >>时,'(,)A A f b y dy ε≤⎰. 而ε是任给的,因此(,)c f x y dy +∞⎰在x b =处收敛,这与假设矛盾,所以积分(,)c f x y dy +∞⎰在[,)a b 上不一致收敛.魏尔斯特拉斯M 判别法 设有函数()g y ,使得(),()f x y g y ≤,,a x b c y ≤≤≤<+∞.若()c g y dy +∞⎰收敛,则(,)c f x y dy +∞⎰在[],a b 上一致收敛.例3 证明含参量反常积分20cos 1xy dx x +∞+⎰ (7) 在(,)-∞+∞上一致收敛.证 由于对任何实数y 都有及反常积分收敛,故由魏尔斯特拉斯M 判别法,含参量反常积分(7)在(,)-∞+∞上一致收敛.狄利克雷判别法 设(i) 对一切实数N c >,含参量正常积分对参量x 在[],a b 上一致有界,即存在正数M ,对一切N c >及一切[],x a b ∈,都有(,)N c f x y dy M ≤⎰; (ii) 对每一个[],x a b ∈,函数(,)g x y 关于y 是单调递减且当y →+∞时,对参量,(,)x g x y 一致地收敛于0,则含参量反常积分在[],a b 上一致收敛.阿贝尔判别法 设(i)(,)c f x y dy +∞⎰在[],a b 上一致收敛;(ii) 对每一个[],x a b ∈,函数(,)g x y 关于y 是单调的单调函数,对参量,(,)x g x y 在[],a b 上一致有界.则含参量反常积分在[],a b 上一致收敛.例4 证明含参量反常积分0sin xy x e dx x+∞-⎰ (8) 在[]0,d 上一致收敛.证 由于反常积分收敛(当然对于参量y ,它在[]0,d 上一致收敛),函数(,)xy g x y e -=对每一个[]0,y d ∈关于x 单调,且对任何0y d ≤≤,0x ≥,都有 (,)1xy g x y e -=≤.故由阿贝尔判别法即得含参量反常积分(8)在[]0,d 上一致收敛.例5 证明0xy xe dy +∞-⎰(i)在[,]a b (0)a >上一致收敛;(ii)在[0,]b 上不一致收敛.证 (i) (,),[0)x a b y ∀∈∈+∞,有0xy ay xe be --≤≤,而0ay be dy +∞-⎰收敛(0)a >.故xy xe dy+∞-⎰在[,]a b(0)a>上一致收敛.(ii) 因在0x=处不连续,而xyxe-在0,0x b y≤≤≤<+∞内连续,由连续性定理知,xy xe dy+∞-⎰在0x b≤≤上不一致收敛.结束语本文介绍了含参量反常积分的定义、定理和一致收敛性的判别方法，对我们今后的学习将会有很大的帮助.参考文献:[1] 华东师范大学数学系编,数学分析(下册)．北京:高等教育出版社,2001．[2] 钱吉林,数学分析题解精粹[M],武汉：崇文书局,2003．[3] 武汉大学数学系编,数学分析[M], 武汉大学数学系,1999．[4] 吉林师范大学数分教研室编,数学分析讲义[M],吉林师大数学系，2003．。
含参量无穷限反常积分的一致收敛性
e- t d t =
2
2 ,
.
对任意 > 0, 取 M > 0, 使得 e
- t2
dt <
2 b
此时令 t =
xy , 则有
4
+ M 2
高等数学研究
+
2011 年 1 月
x e- xy dy = 时,
2
x
xM
e- t d t.
2
但是对于不同的 x
[ 0, 3] , 反常积分 ( 2) 的 [ 0, 3] 时的
希望有助于读者加深理解与认识 . 关键词 中图分类号
一致收敛性是数学分析课程中一个非常重要的 概念 , 很多重要的结论要有一致收敛的性质作为前 提条件. 例如, 函数项级数的逐项求导、 逐项求积、 交 换求导与积分运算顺序等等都要求函数项级数为一 致收敛. 含参量的反常积分对于参数的连续性、 可微 性都需要有含参量反常积分的 一致收敛性作 为前 提. 一般而言, 在非数学专业工科的各项课程 , 特别 是 高等数学 则回避对一致收敛性的具体讨论 [ 1] . 本文针对两个具体的含参量反常积分的一致收 敛性问题 , 分析一致收敛性的一些直观特征, 以帮 助读者加深对这一抽象概念的理解与认识. 定义 1[ 2] 设函数 f ( x , y ) 定义在无界区域 E = {(x , y) | a x b, c y < + }. 若对每个固定的 x [ a, b] , 无穷限反常积分
含参量无穷限反常积分的一致收敛性
黄 慧1 , 陈 辉2
( 1 . 江西工业贸易职业技术学院 , 江西 南昌 330038 ; 摘 要 2 . 安徽商贸职业技术学院 , 安徽 芜湖 241002 )
反常积分的一致收敛(1)
含参量反常积分的一致收敛性王金花1 ，赵志平2（1．沧州师范学院 数学系，河北 沧州061001；2．泊头职业学院，河北 泊头062150）摘 要：通过对积分变量作变量变换将两种含参量反常积分的一致收敛性建立联系，给出了借助含参量无穷限反常积分的一致收敛性判断含参量无界函数反常积分一致收敛性的一种方法，从而在一定程度上将二者统一，加深读者的理解与认识.关键词：含参量无穷限反常积分；含参量无界函数反常积分；一致收敛现行的数学分析教材[1-4]及文献[5-6]仅给出了含参量无穷限反常积分一致收敛的判定定理，而对含参量无界函数的反常积分及其一致收敛性介绍较少[7]. 然而我们可以将含参量无穷限反常积分转化为含参量无穷限反常积分，这是判断某些反常积分的一致收敛性时行之有效且简洁的方法.1 定义1.1 设函数),(y x f 定义在无界区域}∞+<≤,≤≤),{(=y c b x a y x R 上，若对每一个固定的],[b a x ∈，反常积分)1(),(⎰+∞cdy y x f 都收敛，则它的值是x 在],[b a 上取值的函数，当记这个函数为)(x I 时，则有)2(],[,),()(b a x dy y x f x I c∈=⎰+∞，称)1(式为定义在],[b a 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分.1.2 若含参量反常积分)1(与函数)(x I 对任给的正数ε，总存在某一实数c N >，使得当N M >时，对一切],[b a x ∈，都有ε<-⎰M cx I dy y x f )(),(，即ε<⎰+∞Mdy y x f ),(，则称含参量反常积分)1(在],[b a 上一致收敛于)(x I ，或简单地说含参量积分)1(在],[b a 上一致收敛.1.3 设),(y x f 在区域],[],[d c b a R ⨯=上有定义.若对x 的某些值，d y =为函数),(y x f 的瑕点，则称)3(),(⎰dcdy y x f 为含参量的无界函数反常积分.1.4 对任给正数ε，总存在某正数c d -<δ，使得当δη<<0时，对一切],[b a x ∈，都有εη<⎰-dd dy y x f ),(，则称含参量反常积分)3(在],[b a 上一致收敛.2 定理设),(y x f 在区域],[d c I R ⨯=上有定义（其中I 为区间），某些点I x d x ∈),,(为),(y x f 的瑕点，含参量无界函数反常积分⎰dcdy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：通过变换u y d 1=-后所得含参量无穷限反常积分du u u d x f cd 211)1,(⎰+∞--在I 上一致收敛.证 如果⎰dcdy y x f ),(在I 上一致收敛，则对于0>∀ε，),0(c d -∈∃δ，使得当δη<<0时，对于任何I x ∈，有εη<⎰-dd dy y x f ),(，取δ1=N ，则cd N ->1，当NM >时，δ<<M10，从而对于任何Ix ∈，有ε<=-⎰⎰-∞+d M d Mdy y x f du uu d x f 12),(1)1,(，即du u u d x f cd 211)1,(⎰+∞--在I 上一致收敛.反之，当du uu d x f cd 211)1,(⎰+∞--在I 上一致收敛时，完全类似地又可证明⎰d c dy y x f ),(在I上一致收敛.3 应用举例讨论含参量反常积分dx x x1sin 11⎰α的一致收敛区间. 分析 根据教材[1]第十一章第三节习题3(7)知道：反常积分dx x x 1sin 11⎰α在1<α时绝对收敛，在2<≤1α时条件收敛，在2≥α时发散.这是一个含参量的无界函数反常积分，它可以用相应的一致收敛判别法去讨论，也可以通过转化为含参量的无穷限反常积分去讨论.解 作变换x t 1=，得tdt tdx x x sin 11sin 11210⎰⎰+∞-=αα. （1）任取0>δ，先证它在]2,(δ--∞上一致收敛. 这是因为： （ⅰ）对任何]2,(δα--∞∈及1>N ，有2≤sin ∫1Ntdt ； (ⅱ)对于每一个]2,(δα--∞∈，α-21t关于t 在),1[+∞上单调递减. 又因为δαt t 1≤1-2，所以当+∞→t 时，α-21t在]2,(δ--∞上一致收敛于0. 根据狄利克雷判别法，证得tdt t sin 112⎰+∞-α在]2,(δ--∞上一致收敛. 因此dx x x1sin 11⎰α在]2,(δ--∞上一致收敛.（2）任取2<b ，再证它在)2,[b 上不一致收敛. 为此令10=ε. 对于1>∀M ，取自然数k使得Mk >π2，并取ππ)12(,221+==k A k A . 因为2))12((2lim 22=+-→-ααπk ，所以存在)2,(0b ∈α使得1))12((22>+-απk ，从而得到0-2-22-2-21))12((2sin 1≥sin sin 021210210∫∫∫επαααα=>+==k tdt A dt t t dt t t A A A A A A . 故tdt t sin 112⎰+∞-α在)2,[b 上不一致收敛，亦即dx x x1sin 110⎰α在)2,[b 上不一致收敛. 除此之外根据定义我们还有：含参量反常积分⎰+∞cdy y x f ),(在区间I 上一致收敛的充要条件是0),(suplim =⎰+∞∈+∞→MIx M dy y x f .参考文献：[1]华东师范大学数学系. 数学分析（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2010. [2]陈传璋，金福临. 数学分析[M]. 北京：高等教育出版社，1983.[3]陈纪修，於崇华，金路. 数学分析[M]. 北京：高等教育出版社，2000. [4]刘玉琏，傅沛仁. 数学分析（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，1992. [5]黄慧，陈辉. 含参量反常积分的一致收敛性[J]. 高等数学研究，2011,14(1):3-4.[6]苏婷，周静. 含参量反常积分一致收敛法探讨[J]. 周口师范学院学报，2011,28(2):42-45. [7]宋泽成. 含参量瑕积分的一致收敛性[J]. 唐山师范学院学报，2008,30(5):12-15.The Uniform Convergence of Parameter Improper IntegralsWANG Chong(Department of Mathematics, Cangzhou Normal University, Cangzhou, Hebei 061001,China) Abstract: The paper combined the parameter improper integrals by the method of the variable transformation. Gave a method of judging the uniform convergence of parameter improper integral of unbounded function and unified the two in a certain extent in order to give the reader a deeper understanding of the knowledge point.Key words: parameter improper integral which has infinite limit; parameter improper integral of unbounded function; uniform convergence 作者简介： 王冲（1981-），女，保定清苑人，沧州师范学院数学系助教，理学硕士，主要研究方向：代数拓扑与微分拓扑。
含参变量无穷积分的一致收敛性
成立，且当 时，对任意 均关于 在 上可积，试证 在区间 上一致收敛且绝对收敛.
证明只需注意此时 收敛即可.
关于含参量无穷积分一致收敛性与函数项级数一致收敛之间的联系有下述定理：
定理5 含参量无穷积分 在区间 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于 的递增数列 （其中 ），函数项级数 在区间 上一致收敛.
在 （其中 ）一致收敛.
此题中，我们还可以计算出 在 上的收敛值.事实上，对任意 ，都有 ，
所以, ，
即 在（0，+ ）收敛于1.
定理1 （柯西一致收敛准则）无穷积分 在区间 一致收敛
与
.
定理2 （魏尔斯特拉斯M判别法）若 ，有
,
且无穷积分 收敛，则无穷积分 在区间 一致收敛.
该定理是判别某些无穷积分一致收敛性的很简便的判别法，但这种方法有一定的局限性：凡能用定理2判别无穷积分是一致收敛，此无穷积分必然是绝对收敛；如果无穷积分时候一致收敛，同时又是条件收敛，那么就不能用定理2来判别。对于这种情况，我介绍如下定理：
.
定理13、14分别表明：在一致收敛的条件下，极限运算、求导运算和积分运算可以交换；定理15表明在一致收敛的条件下，积分顺序可以交换。这三个定理在计算含参变量无穷积分上有极其广泛的应用.
例9计算
解法一 设 ， ，
因为 ，有
,
所以，函数 在 可连续开拓。使 与 在区域 连续， 与 ，使 ，无穷积分
在 一致收敛.
定理3 若函数 在区间 连续，且 在 有界，即
有 ,则当 时，无穷积分 .
在区间 一致收敛.
例2证明：无穷积分 在区间[ 一致收敛。
证明只需注意：令 ,
有 .