【数学】江苏省盐城市东台市安丰中学2016届高三5月月考试题

江苏省东台市安丰中学2016届高三5月月考试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应的位置上.1.设全集{2,1,0,1,2},{2,1,2}U A =--=-，则=A C U .2.复数z 满足1(1i)iz -=-，则复数z 的模z = .3.在区间[1,3]-上随机地取一个数x ，则1x ≤的概率为 .4.棱长均为2的正四棱锥的体积为 .5.一组数据,1,,3,2a b 的平均数是1，方差为2，则22a b += .6．如图所示的流程图，当输入n 的值为10时，则输出S 的值为 ．7．用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为 ．8．不等式组100y a x y x y x +⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤，，，≥≥表示的平面区域的面积为2，则实数a 的值为 ．9．已知函数)0)(6πsin(2)(>+=ωωx x f ，函数)(x f 的图象与x 轴两个相邻交点的距离为π，则)(x f 的单调递增区间是 ．10．如图，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，90ADC ∠=︒，AB = 3， AD =2，E 为BC 中点，若→AB ·→AC = 3，则→AE ·→BC = ． 11.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,)B b ，右焦点为F ，直线BF 与椭圆的另一交点为M ，且2BF FM =，则该椭圆的离心率为 .12．已知实数x ，y 满足ππ44x -≤≤，ππ44y -≤≤．若23s i n 20xx ⋅+-=，9sin cos 10y y y +-=，则cos(2)x y -的值为 ．13．若存在实数A 、B 使得直线1ax by +=与线段AB (其中(1,0)A ，(2,1)B )只有一个公共点， 且不等式2222120()sin cos p a b θθ++≥对于任意(0,)2θπ∈成立，则正实数P 的取值范围为 ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线2y x =+与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，点P 在圆22()2x a y -+=上运动．若MPN ∠恒为锐角，则实数a 的取值范围是 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a 、b 、c ，已知5sin 13B =，且12BA BC ⋅=．（1）求ABC ∆的面积；（2）若a ，b ，c 成等差数列，求b 的值．16．（本小题满分14分）如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧面DCC 1D 1是菱形，且平面DCC 1D 1⊥平面ABCD , ∠D 1DC=3π，E 是A 1D 的中点，F 是BD 1的中点.（1）求证：EF ∥平面ABCD ；（2）若M 是CD 的中点，求证：平面D 1AM ⊥平面ABCD ．17.（本题满分14分）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD ，其中BMN 是半径为1百米的扇形，π2=∠ABC ．管理部门欲在该地从M 到D 修建小路：在MN 上选一点P （异于M 、N 两点），过点P 修建与BC 平行的小路PQ ．问：点P 选择在何处时，才能使得修建的小路MP 与PQ 及QD 的总长最小？并说明理由．18.（本题满分16分）已知定点，圆C ：，（1）过点A 向圆C 引切线，求切线长；（2）过点作直线交圆C 于，且，求直线的斜率；（3）定点在直线上，对于圆C 上任意一点R 都满足，试求两点的坐标.19.（本小题满分16分）已知函数()321132f x x x kx =++,k ∈R ,函数)(x f '为)(x f 的导函数.（1）数列{}n a 满足kn f a n -'=)(1,求54321a a a a a ++++；（2）数列{}n b 满足)(1n n b f b '=+,(1,0)A-22230x y x +--+=A 1l ,P Q AP PQ =1l k ,M N 2:1l x=RN =,M N① 当41-=k 且11>b 时,证明：数列()1lg 2n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列；② 当0=k ,>=b b 10时,证明：bb b ni i i 111<∑=+.20．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝x ln x －k (x －1)，k ∈R ．（1）当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；（2）若函数y ＝f (x )在区间(1，＋∞)上有1个零点，求实数k 的取值范围；（3）是否存在正整数k ，使得f (x )＋x ＞0在x ∈(1，＋∞)上恒成立？若存在，求出k 的最大值；若不存在，说明理由．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（选修４－１：几何证明选讲） 如图，是半圆的直径，是延长线上一点，AB C AB CD切半圆于点，垂足为，且求的长．B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知矩阵1011,0201⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B .（1）求矩阵AB ； （2）求矩阵AB 的逆矩阵.C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 上两点,M N的极坐标分别为π(2,0),()32,圆C 的参数方程22cos 2sin x y θθ=+⎧⎪⎨⎪⎩(θ为参数). D 2,,CD DE AB =⊥E :4:1,AE EB =BC(1)设P 为线段MN 的中点,求直线OP 的直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系.D ．（选修４－５：不等式选讲） 设x y 、均为正实数，且312121=+++y x ，求xy 的最小值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，面，点在棱上，且，，， ，P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD Q PA 44PA PQ ==2AB =1CD=AD =π2CDA BAD ∠=∠=，分别是的中点． （1）求证：；（2）求截面与底面所成的锐二面角的大小.23．（本小题满分10分）在数列012n a a a a ，，，，，中，已知0121231,3,32(3)n n n n a a a a a a a n ---====--≥.（1）求34a a ，；（2）证明：12(2)n n a n ->≥.参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应的位置上.1. 2．3. 4. 5. 1 6． 54 M N ，PD PB 、//MQ PCB 面MCN ABCD {1,0}-1278．5 9．2ππ2π2π33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，， 10. -3 11.12． 1 13． P ≥1 14． 4a <-或1a > 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）由12BA BC ⋅=，则cos 12ac B =．…………………………………………… 2分故cos B >0．又5sin 13B =，所以cos B 1213=．……………………………… 4分故13ac =．所以ABC ∆的面积S 12=AC sin B 155132132=⨯⨯=．………………………… 7分（2）因为a ，b ，c 成等差数列，所以2B =A +C ． 在ABC ∆中，2222cos b a c ac B =+-，即()2222cos b a c ac ac B =+--．………… 10分 所以()22222cos b b ac ac B =--．（*） 由（1）得，13ac =，cos B 1213=， 代入（*）得()2212221321313b b =-⨯-⨯⨯，………………………………… 12分 故B 2503=，B =．……………………………………………………14分16．证明：（1）连接AD 1，因为在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 四边形ADD 1A 1是平行四边形，又因为E 是A 1D 的中点，所以E 是AD 1的中点，…………………2分 因为F 是BD 1的中点，所以EF ∥AB , …………………………4分 又因为AB ⊂平面ABCD ,EF ⊄平面ABCD ，所以EF ∥平面ABCD . …………………………………………………………7分 （2） 连接D 1C ,在菱形DCC 1D 1中，因为∠D 1DC=60°， 所以△D 1DC 是等边三角形，因为M 是DC 的中点，所以D 1M ⊥DC ，……………………………9分 又因为平面DCC 1D 1⊥平面ABCD , D 1M ⊂平面DCC 1D 1, 平面DCC 1D 1⋂平面ABCD =DC ，所以D 1M ⊥平面ABCD …………………………………………………………12分又因为D 1M ⊂平面D 1AM ，所以平面D 1AM ⊥平面ABCD. …………………………………………………………14分 17.（本题满分14分）解：连接BP , 过P 作1PP BC ⊥垂足为1P , 过Q 作1QQ BC ⊥垂足为1Q设1PBP θ∠=()2π03θ<<， 2πMP θ=- …………………………………………………………2分若π02θ<<，在1Rt PBP ∆中，11sin cos PP BP θθ==， ； 若π,2θ=则11sin cos PP BP θθ==， 若π2π23θ<<，则11sin ,cos(π)cos ,PP BP θθθ==-=-2cos PQ θθ∴=- …………………………………………………………4分在1Rt QBQ ∆中，111sin QQ PP CQ CQ θθθ===，，2DQ θ= …………………………………………………………6分所以总路径长2π2π()4cos (0)33f θθθθθ=-+--<<， ……………………………8分'π()sin 12sin()13f θθθθ=-=-- ……………………………………10分令()'0f θ=，π2θ=；当π02θ<< 时，()'0f θ<；当π2π23θ<< 时，()'0f θ>…………………………………………………………12分所以当π2θ=时，总路径最短. 答：当BP BC ⊥时，总路径最短. …………………………………14分18.解：（1）设切线长为，由题意，的标准方程为，d AC =C 22(1)(1x y -+=半径，所以，过点向圆C..........................4分 （2）设，由知点P 是AQ 的中点，所以点Q 的坐标为. 由于两点P ,Q 均在圆C 上，故 ， ①221111(21)(2)2(21))30x y x y ++-+-+=又，即，② ②—①得，③由③得代入②整理得 ，所以 再由③得或，. …………………….10分（2）设，则④又，即 ， ⑤由④、⑤得， 化简得 ， ⑥由于关于的方程⑥有无数组解，所以， 解得或所以满足条件的定点有两组或. ................16分 19.解： (1) 因为 2()f x x x k'=++，所以2()f n n n k '=++. ………………2分故21111(1)1n a n n n n n n ===-+++， 因此12515166a a a +++=-= .……………6分 1r =d A 11(,)P x y AP PQ =11(21,2)x y +221111230x y x +--+=22111102x y ++=115202x -=1154x y =21128330y -+=1y =1112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩11114x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩k ∴=(1,),(1,b),M a N 11(,)R x y 2211(1)(1x y -+=222222111113(1)()[(1)()]3RM RN x y a x y b =⇒-+-=-+-2221112(1)()3()x y b y a -=---2221112[1(]()3()y y b y a -=---221(62(34)0a b y b a --+-+=1y 22620340a b b a ⎧--⎪⎨-+=⎪⎩a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩0a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩(1,M N (1,0)M N。