激光原理第2章_1
激光原理 第2章 激光器的工作原理
式中同样采用了 A2 A21 的简化并且假设简并度 g1 g2 即 B21 B12 n 两式相加得到 ( R1 R2 ) n1 A1 1 n1 ( R1 R2 ) 1 n10
1
（第1章）
26
福建师范大学光电学院
低能级粒子数密度代入速率方程组，解得高能级上 粒子数密度为
③
dn0 dn1 dn2 0 dt dt dt
④
0 dn2 dn10 0 0 速率方程组： R2 n2 A2 0 R1 n2 A2 n10 A1 0 dt dt 23
（第1章）
福建
利用爱因斯坦系数和能激寿命之间关系，可以由小 信号工作时的简化速率方程组导出 0 n10 n2 0 0 R1 n2 A2 n10 A1 R2 n2 A2
（第1章）
16
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2. 半经典理论：用麦克斯韦方程组描述光频电磁场，应 用量子力学理论描述物质原子。１９６４年，兰姆应用该 理论建立了激光器理论，很好地揭示激光器中大部分的物 理现象，如：强度特性、增益饱和效应、多模耦合与竞争 效应，激光振荡的频率牵引与推斥效应等。其缺点是在于 不能反映与激光场的量子特性有关现象的规律性,数学处 理过于复杂。 ３.量子理论：应用量子电动力学的处理方法，对物质原 子系统和光频电磁场都作量子化处理，将两者作为统一的 物理体系加以研究。需严格地确定激光的相干性和噪声以 及线宽极限。
3
（第1章）
福建师范大学光电学院
（1）稳定腔的表达式
光学谐振腔的稳定与否是由谐振腔的几何形状决定的 共轴球面腔结构：两个反射镜的 球心连线为光轴，整个系统总是
R1
O1
O2
R2
激光原理第二章_华中科技大学课件
2.1光线的传播
• 双周期透镜波导的光线稳定条件 • 当θ 为实数时，光线与光轴的距离在rmax和-rmax之间振荡； 即光线传播被约束在透镜孔径形成的波导之中，不会发生 溢出。 • θ 为实数等价于|b|≤1，即：
d d d2 1 1 1 f1 f 2 2 f1 f 2
d d 0 (1 )(1 ) 1 2 f1 2 f2
2.1光线的传播
• 在腔内经过N次往返之后的光线参数为：
rn n r0 T n 0
其中Tn为光线矩阵，可以按照矩阵理论求出：
A Bn 1 A sin sin(n 1) T C D C sin sin 其中： arccos A D / 2
1
rt,rt' ro,ro' ri,ri'
d
ro rt ro' rt rt ' f
ro ri dri ' ro' ri ( d 1)ri ' f f
1
2f 3
1 A B 1 C D f
r 3, 3
r1, 1
1 0 1 L 1 0 1 L r1 r5 2 2 2d 0 1 0 1 1 1 1 A 1 5 R1 R2 R2
2
2
2
d dr ds ds
•该式为决定光线在双周期透镜波导内传播规律的差分方程， 等价于微分方程：
r" Ar 0
•该方程具有 r ( z ) r (0) exp( i A z ) 的解，用 rs 作为试探解对差分方程进行试探，可得到：
第2章陈鹤鸣激光原理
1
Ani
如果同时存在非辐射跃迁，则寿命也缩短。
2.2.2 受激吸收
E2
h
E1
吸收前
吸收后
h E2 E1
受激吸收跃迁几率：
W12
( dn12 dt
)st
1 n1
W12 B12
与原子本身性质和辐射场能量密度有关
B12 ：受激吸收跃迁爱因斯坦系数
只与原子本身性质有关
2.2.3 受激辐射
对激光工作物质的要求：尽可能在其工作粒子的特定能级 间实现较大程度的粒子数反转；使这种反转在整个激光发射 作用过程中尽可能有效地保持下去。
2.4.3 泵浦源
作用：对激光工作物质进行激励，将激活粒子 从基态抽
运到高能级，以实现粒子数反转。
泵浦方式：
气体激光器气体放电激励示意图
1. 光泵浦； 2. 气体放电激励 3. 化学激励 4. 电子注入
I 0 —— z 0 处的初始光强
②大信号增益系数：
g0 g(I)
I(z) 1
Is
I s ——饱和光强（决定于增益介质的性质）
I(z) Is
g(I) g0
进一步讨论可知，增益系数还与光的频率有关。
（2） 损耗系数
dI(z) 1
dz I(z)
损耗因素：衍射、散射、透射、吸 收等
激发态
非辐射跃迁
泵浦
E2
亚稳态 （激光上能级）
产生激光
E1
基态 （激光下能级）
红宝石中铬离子能级图
Energy
E3
Laser Radiation
E2 Fast transition
Abs. E1
N
激光原理第二章习题解答
《激光原理》习题解答 第二章习题解答1 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限次，而且两次往返即自行闭合.证明如下：（共焦腔的定义——两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔为共焦腔。
共焦腔分为实共焦腔和虚共焦腔。
公共焦点在腔内的共焦腔是实共焦腔，反之是虚共焦腔。
两个反射镜曲率相等的共焦腔称为对称共焦腔，可以证明，对称共焦腔是实双凹腔。
） 根据以上一系列定义，我们取具对称共焦腔为例来证明。
设两个凹镜的曲率半径分别是1R 和2R ，腔长为L ，根据对称共焦腔特点可知：L R R R ===21因此，一次往返转换矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=211121222121221221221R L R L R L R L R R R L L R L D C B A T 把条件L R R R ===21带入到转换矩阵T ，得到：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001D C B A T 共轴球面腔的稳定判别式子()1211<+<-D A 如果()121-=+D A 或者()121=+D A ，则谐振腔是临界腔，是否是稳定腔要根据情况来定。
本题中 ，因此可以断定是介稳腔（临界腔），下面证明对称共焦腔在近轴光线条件下属于稳定腔。
经过两个往返的转换矩阵式2T ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10012T 坐标转换公式为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111112221001θθθθr r r T r 其中等式左边的坐标和角度为经过两次往返后的坐标，通过上边的式子可以看出，光线经过两次往返后回到光线的出发点，即形成了封闭，因此得到近轴光线经过两次往返形成闭合，对称共焦腔是稳定腔。
2 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面腔的稳定条件。
解答如下：共轴球面腔的()21221222121R R L R L R L D A +--≡+，如果满足()1211<+<-D A ，则腔是稳定腔，反之为非稳腔,两者之间存在临界腔，临界腔是否是稳定腔，要具体分析。
激光原理与技术--第二章 激光器的工作原理
0.3GHz
q
2L
q
2 5 101 m 6.328107 m
1.5803106
q 1.5 10 9 Hz 5 310 8 Hz
34
第三十四页，共60页。
激光的产生
激光振荡示意图
35
第三十五页，共60页。
❖ 三能级系统
粒子数反转激励条件
激光的产生有三个能级
E 下能级，基态能级： 1
上能级，亚稳态能级:
a) 三能级
E3
A30
S32
W03
E2
A21 B12 B21
E1
E0
b) 四能级
量子效率0
亚稳态发射的荧光光子数 工作物质从光泵吸收的光子数
1
2
三能级1
=
S32 S32 +A31
2
A21 A21 S21
四能级1
=
S32
S32 +A30
+A31
优质红宝石: 0.7
钕玻璃: 0.4
50
纵模的频率间隔：
q
q1
q
C
2L
18
第十八页，共60页。
腔的纵模在频率尺度上是等距离排列的
激光器谐振腔内可能存在的纵模示意图
19
第十九页，共60页。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
q 0.5109 Hz
❖ L=10厘米和L=30厘米的He-Ne气体激光器
L=10厘米的He-Ne气体激光器
q 1.5109 Hz
L=30厘米的He-Ne气体激光器
21 第二十一页，共60页。
激光谐振腔内低阶纵模分布示意图
22 第二十二页，共60页。
激光纵模分布示意图
激光原理第二章 激光器的工作原理
可以证明，在对称共焦腔内，任意傍轴光线可往返多次
而不横向逸出，而且经两次往返后即可自行闭合。
整个稳定球面腔的模式理论都可以建立在共焦腔振荡理 论的基础上，因此，对称共焦腔是最重要和最具有代表性的 一种稳定腔。
3.平行平面腔——由两个平面反射镜组成的共轴谐振腔
R1=R2=∞，g1=g2=1， g1 g2=1
图(2-2) 共轴球面腔的稳定图
➢凹凸稳定腔，由一个凹面镜和一个凸面镜组成，对应图中5区和6区。
➢ (g1>1,g2<1; g2>1,g1<1)
➢共焦腔，R1＝R2＝L，因而，g1=0，g2=0，对应图中的坐标原点。(特殊的稳定腔) ➢半共焦腔，由一个平面镜和一个R=2L的凹面镜组成的腔,对应图中E和F点g1=1，g2=1/2
1. 工作物质 2. 激励能源
受激辐射>受激吸收
3. 光学谐振腔
受激辐射>自发辐射
是否只要具备激励能源和工作物质就一定可以实 现粒子数反转？ 粒子数反转和什么因素有关？
速率方程方法: 量子理论的一种简化形式
——速率方程理论：把光频电磁场看成量子化的光子，把 物质体系描述成具有量子化能级的粒子体系。
(三)临界腔: g1 g2 = 0 , g1 g2= 1
临界腔属于一种极限情况,其稳定性视不同的腔而不同. 在谐振理论研究和实际应用中,临界腔具有非常重要的意义.
1.对称共焦腔——腔中心是两镜公共焦 点且：
R1=L
R2=L
R1= R2= R = L=2F F——二镜焦距
F
L
∵ g1 = g2 = 0 ∴ g1 g2 = 0
简化前提: 忽略量子化辐射场的位相特性及光子数的起伏特 性
优点: 形式特别简单, 且可给出激光的强度特性，并粗略描 述烧孔、兰姆凹陷、多模竞争等效应
激光原理第2章
初态： 初态：激发态原子
终态： 终态：基态原子
E2
外来光子 hν = E2 – E1
发射光子 hν = E2 – E1
E1 特点： 才能引起受激辐射； 特点：只有外来光子能量为 hv =E2-E1才能引起受激辐射； 受激辐射的光子与外来光子的特性完全相同， 受激辐射的光子与外来光子的特性完全相同，即具有相同的 频率、偏振方向、传播方向以及相同的位相；是相干光。 频率、偏振方向、传播方向以及相同的位相；是相干光。 受激辐射是激光器的物理基础
爱因斯坦A 5、 爱因斯坦A、B系数关系
在光和原子相互作用达到动平衡的条件下， (1) 在光和原子相互作用达到动平衡的条件下，
自发辐射、 自发辐射、受激辐射和受激吸收间关系
A21n2dt + B21ρ ν n2dt = B12 ρ ν n1dt
自发辐射光子数 受激辐射光子数 受激吸收光子数
n2 B12 ρ v = n1 A21 + B21ρ v
的光波， 的连续功率， 2、某激光器，输出波长500nm的光波，输出 某激光器，输出波长 的光波 输出1W的连续功率， 的连续功率 问每秒从激光上能级向下能级跃迁的粒子数是多少？ 问每秒从激光上能级向下能级跃迁的粒子数是多少？
2.3
光的受激辐射
1900年 1900年，普朗克利用辐射量子化假 设成功解释黑体辐射分布规律 1913年 1913年，波尔提出原子中电子运动状 态量子化假设
（2）自发辐射跃迁几率 设t 时刻 ，体系处于E2 的总粒子数密度为 n2(t)，从t ～t + dt 体系处于 正比于n ： 时间间隔内自发辐射粒子数密度 dn21 正比于 2(t)：
− dn2 = A21n2 (t )dt
激光原理周炳坤-第2章习题答案
第二章 开放式光腔与高斯光束习题（缺2.18 2.19 2.20）1． 题略证明：设入射光()11,r θ，出射光()22,r θ，由折射定理1122sin sin ηθηθ=,根据近轴传输条件，则1122sin ,sin θθθθ≈≈1122ηθηθ∴=，联立21r r =，则所以变换矩阵为 2． 题略证明：由题目１知，光线进入平面介质时的变换矩阵为:经过距离ｄ的传播矩阵为： 光线出射平面介质时： 故3. 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：其往返矩阵为：122212111210101122110101212(1) 222222[(1)][(1)(1)]A B L L T C D R R L L L R R L L L L R R R R R R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎪= ⎪-+----- ⎪⎝⎭212211100r r θηηθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21100T ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭121100T ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭2100d T ⎛⎫=⎪⎝⎭312100T ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭3113213112211101010000r r r d T T T θθηηηηθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123211221101011000000d d T T T T ηηηηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于是共焦腔，有 12R R L == 往返矩阵变为若光线在腔内往返两次，有可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。
于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
4. 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。
激光与原理习题解答第二章
激光原理第二章习题答案1．估算2C O 气体在室温(300K)下的多普勒线宽D ν∆和碰撞线宽系数α。
并讨论在什么气压范围内从非均匀加宽过渡到均匀加宽。
解：2C O 气体在室温(300K)下的多普勒线宽D ν∆为11822770693103007.16107.161010.61044 0.05310H zD T M νν---⨯⎛⎫⎛⎫∆=⨯=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭=⨯ 2C O 气体的碰撞线宽系数α为实验测得，其值为49K H z/Pa α≈2C O 气体的碰撞线宽与气压p 的关系近似为L p να∆=当L D νν∆=∆时，其气压为930.053101081.6Pa 4910Dp να∆⨯===⨯所以，当气压小于1081.6P a 的时候以多普勒加宽为主，当气压高于1081.6P a 的时候，变为以均匀加宽为主。
2．考虑某二能级工作物质，2E 能级自发辐射寿命为s τ，无辐射跃迁寿命为τ。
假定在t=0时刻能级2E 上的原子数密度为2(0)n ，工作物质的体积为V ，自发辐射光的频率为ν，求：(1)自发辐射光功率随时间t 的变化规律；(2)能级2E 上的原子在其衰减过程中发出的自发辐射光子数；(3)自发辐射光子数与初始时刻能级2E 上的粒子数之比2η，2η称为量子产额。
解：(1) 在现在的情况下有可以解得：11()22()(0)stn t n eττ-+=可以看出，t 时刻单位时间内由于自发辐射而减小的能级之上的粒子数密度为2/s n τ，这就是t 时刻自发辐射的光子数密度，所以t 时刻自发辐射的光功率为：222()()sdn t n n dtττ=-+(2) 在t dt →时间内自发辐射的光子数为：所以(3) 量子产额为：3．根据红宝石的跃迁几率数据：7151332312121310.510,310,0.310,S s A sA s S S ---=⨯=⨯=⨯=估算13W 等于多少时红宝石对694.3n m λ=的光是透明的。
激光原理(第2章)
三、光腔的损耗 损耗的大小是评价谐振腔的一个重要指标，也是腔模理论的重要研究 课题。光学的损耗大致包括如下几个方面： (1)几何偏折损耗。光线在腔内往返传播时，可能从腔的侧面偏折出 去，这种损耗为几何偏折损耗。其大小首先取决于腔的类型和几何尺寸。 例如，稳定腔内傍抽光线的几何损托应为各零，非稳腔则有较高的几何 损耗。以非稳腔而论，不同几何尺寸的非稳腔，其损耗大小亦各不相同。 其次，几何损耗的高低依模式的不同而异。比如同一平行平面腔内的高 阶横模由于其传播方向与轴的夹角较大，因而其几何损耗也比低阶横模 为大。 (2)衍射损耗。由于腔的反射镜片通常具有有限大小的孔径，因而当 光在镜面上发生衍射时，必将造成一部分能量损失。本节以及本书后面 几章的分析表明，衍射损耗的大小与腔的菲涅耳数 N＝a2/Ll有关，与 腔的几何参数g有关，而且不同横模的衍射损耗也将各不相同。
(3)腔镜反射不完全引起的损耗。它包括镜中的吸收、散射以及镜的 透射损耗，通常的光腔至少有一个反射镜是部分透射的，有时透射率还 可以很高(例如，某些固体激光器的轴输出透射率可以＞ 50％)，另一个 反射镜即使通常称为“全反射”镜，其反射率也不可能做到100％。 (4) 材料中的非激活吸收、散射，腔内插入物 ( 如布儒斯特窗、调 Q 元件、调制器等)所引起的损耗，等等。 上述 (1)(2) 两种损耗常常又称为选择损耗，因为不同模式的几何损 耗与衍射损耗各不相同。 (3)(4)两种损耗称为非选择损耗，在一般情况 下它们对各个模式都一样。 不论损耗的起源如何，我们都可以引进一个“平均单程损耗因子” d 来定量地加以描述。该因子的定义如下：如果初始出发时的光强为 I0， 在无源腔内往返一次后，光强衰减为I1，则
2.1 光腔理论的一般问题
一、光腔的构成和分类
在激活物质的两端恰当地放置两个反射镜片，就构成一个最简单的 光学谐振腔。
激光原理10第2章激光产生的基本原理(2010-10-13)
激光原理高福斌2010.9.29/652/65第2章激光产生的基本原理2.1 原子发光的机理2.1.1 原子的结构2204Zef r πε=原子序号为Z 的原子中，设电子沿以核为中心的圆形轨道运动，电子质量为m ，轨道半径为r ，绕轨道运动的速率为V ，则电子受到的库仑力为（2-1）由牛顿第二定律，电子受到库仑力等于电子绕核转动的向心力，即22204Ze V f m r r πε==（2-2）3/652h mVr n π=波尔引用量子理论，提出一个假设：电子的角动量m V r 只能等于h /2π的整数倍，即（2-3）式中，h 为普朗克常数，n （1，2，3，…）为主量子数波尔假设意味着电子运动的轨道只能是一些量子化的轨道。
联立（2-2）和（2-2）可解出波尔模型中电子量子化轨道半径为2202n h r n Z me επ=（2-4）E()3.非辐射跃迁: 既不发射又不吸收光子的跃迁(通过与其它粒子或气体容器壁的碰撞、或其它能量交换过程)4.激发态的平均寿命τ: 粒子在激发态停留时间的平均值。
τ的典型值: 10-7～10-9秒5.亚稳态:若某一激发能级与较低能级之间没有或只有微弱的辐射跃迁, 则该态的平均寿命会很长(≥10-3秒)，称亚稳能级，相应的态为亚稳态。
7/658/65一般，能级寿命10-8 ∼10-9 S如H 原子2p 态τ∼0.16×10-8S3p 态τ∼0.54×10-8S亚稳态：如He 原子的两个亚稳态能级(20.55eV)τ∼10-4 S(19.77eV)τ∼10-6 S2.2 自发辐射、受激辐射和受激吸收2.2.1 自发辐射的物理意义τ14/65由于原子以及离子、分子等内部结构的特殊性，各能级的平均寿命是不一样的。
例如：红宝石中的铬离子的能级E 3寿命很短，只有10-9s （ns ）；而能级E 2寿命却很长，为几个ms 。
这些寿命较长的能级称为亚稳态。
在氦原子、氖原子、氩原子、氪原子、铬离子、钕离子、二氧化碳分子，等等粒子中都具有这种亚稳态能级。
激光原理第二章习题
答：
12. 红宝石激光器是一个三能级系统，设Cr3＋的n0＝1019／ cm3，21=310-3s，今以波长λ＝0.5100m的光泵激励。试估算单位 体积的阈值抽运功率。
G0＝310－4/d(cm-1)，d为腔内毛细管内径(cm)。以非均匀增宽计算腔内 光强I＝50W／cm2的增益系数G(设饱和光强Is＝30W／cm2时，d＝ 1mm)，并问这时为保持振荡稳定，两反射镜的反射率(设r1＝r2，腔长 0.1m)最小为多少(除透射损耗外，腔内其它损耗的损耗率＝910－4cm-1)? 又设光斑面积A＝0.11mm2，透射系数＝0.008，镜面一端输出，求这时 输出功率为多少毫瓦。 答：（1） （2） （3）
答：
5. 试证非均匀增宽型介质中心频率处的小讯号增益系数的表达式
(2-28)。
证明：
即证。
6. 推导均匀增宽型介质，在光强I，频率为的光波作用下，增益系 数的表达式(2-19)。
证明： 而：依据上面两式可得：；即证。
7. 设均匀增宽型介质的小讯号增益曲线的宽度为，求证，I＝IS时 的稳定工作时讯号增益曲线的线宽为，并说明其物理意义。
能级数密度之比为4，求此介质的增益系数G值。
答：
3. (a)要制作一个腔长L＝60cm的对称稳定腔，反射镜的曲率半径取
值范围如何？(b)稳定腔的一块反射镜的曲率半径R1＝4L，求另
一面镜的率半径取值范围。
答：（a）；
（b）
4.
稳定谐振腔的两块反射镜，其曲率半径分别为R1＝40cm，R2＝
激光原理教案第二章
I m = I0 e
( )
−2δ
'
m
= I 0e
t
−2mδ '
t ,m = 2L '/ c
I (t ) = I 0 e
−
τR
,τ R
L' = δc
激光原理与技术
时间后， 的物理意义: 时间常数τR的物理意义 经过τR时间后， 腔内光强衰减为初始值的1／ 腔内光子数将 腔内光强衰减为初始值的 ／e,腔内光子数将 随时间依指数规律衰减， 随时间依指数规律衰减，到τR 时刻衰减为初 始值1／ 。 愈大， 愈小， 始值 ／e。δ愈大， τR愈小，说明腔的损耗 愈大，腔内光强衰减得愈快。 愈大，腔内光强衰减得愈快。 2．无源谐振腔的Q值 ．无源谐振腔的 值
c ∆ν q = ν q+1 −ν q = , (频率梳） 2L 例：L = 10cm,η = 1气体激光器, ∆ν q = 1.5 ×109 Hz L = 100cm,η = 1气体激光器, ∆ν q = 1.5 ×10 Hz
8
L = 10cm,η = 1.76的红宝石激光器∆ν q = 8.5 ×10 Hz
激光原理与技术
激光原理与技术
光 学 谐 振 腔
闭 腔 稳 定 腔 开 腔 非 稳 腔 临 界 腔 气 体 波 导 腔
激光原理与技术
谐振腔可以按不同的方法可分为： 谐振腔可以按不同的方法可分为： 端面反馈腔与分布反馈腔，球面腔与非球 端面反馈腔与分布反馈腔， 面腔，高损耗腔与低损耗腔， 面腔，高损耗腔与低损耗腔，驻波腔与行波 两镜腔与多镜腔， 腔，两镜腔与多镜腔，简单腔与复合腔 等．本章讨论两镜腔。 二、模的概念、腔与模的一般联系 模的概念、 腔的模式:光学谐振腔内可能存在的电磁场的 腔的模式 光学谐振腔内可能存在的电磁场的 本征态称。 本征态称。场的每一个本征态将具有一定的振 荡频率和一定的空间分布。 荡频率和一定的空间分布。
激光原理(陈钰清)第二章习题答案2
2.6 对 于 图 2.2 所 示 的 腔 ， 忽 略 像 散 对 稳 定 性 影 响 。 证 明 ： 当 R1 2 L1, R2 2 L2时，该腔是非稳定；仅当 R1 R2 时，该腔是临 界腔
知识点一：一些光学元件的传播矩阵 P48 图2.2
2.6 对 于 图 2.2 所 示 的 腔 ， 忽 略 像 散 对 稳 定 性 影 响 。 证 明 ： 当 R1 2 L1, R2 2 L2时，该腔是非稳定；仅当 R1 R2 时，该腔是临 界腔
1 （A+D） 1时，序列是稳定的 2
P49 （2-4-17）
2.14 腔内有其它元件的两镜腔中，除两个反射镜外的其余部分的变 换矩阵为 ,腔镜曲率半径为 R1 , R2 ,证明：稳定性条件为
0 g1 g 2 1
其中 = D B R1 ; g 2 A B R2
2A 2B 2 A B C（ ） AB B D （ ） x R2 R2 x2 1 2 A C - 2 A ）（D - 2 B ） C - 2 A ）B C - 2 A ）（D - 2 B ） D - 2 B ）1 （ （ （ （ R1 R1 R2 R1 R1 R2
R R （1） 1 2 L1 ，2 2 L2 时，
1 1 1 L L L2 L1 L2 ( A D) 1 L( ) (1 ) 1 2 2 L1 2 L2 L1 2 L2 2 L1 L 1 L ( 2 1 ) 1 2 L1 L2
所以该腔是非稳定腔
g1 g 2 1 R2 >0 g1 g 2 <1 （1）当L< （2）当L= （3）当L>
2 R2 n0 时，0<g1 g 2 <1,该腔稳定 n0 1 2 R2 n0 时，g1 g 2 =0,该腔为临界腔 n0 1 2 R2 n0 时，g1 g 2 0，该腔不稳定 n0 1
激光原理 第二章光学谐振腔理论
光学谐振腔一方面具有光学正反馈作用,另一方面 也存在各种损耗。损耗的大小是评价谐振腔质量 的一个重要指标,决定了激光振荡的阈值和激光的 输出能量。本节将分析无源开腔的损耗,并讨论表 征无源腔质量的品质因数Q值及线宽。
一、损耗及其描述 (1)几何偏折损耗: 光线在腔内往返传播时，可能从腔的侧面 偏折出去，我们称这种损耗为几何偏折损 耗。其大小首先取决于腔的类型和几何尺 寸。
概述
3.波动光学分析方法 从波动光学的菲涅耳-基尔霍夫衍射积分理论出发,可以建立 一个描述光学谐振腔模式特性的本征积分方程。 利用该方程原则上可以求得任意光腔的模式,从而得到场的 振幅、相位分布,谐振频率以及衍射损耗等腔模特性。 虽然数学上已严格证明了本征积分方程解的存在性,但只有在 腔镜几何尺寸趋于无穷大的情况下,该积分方程的解析求解 才是可能的。 对于腔镜几何尺寸有限的情况,迄今只对对称共焦腔求出了 解析解。 多数情况下,需要使用近似方法求数值解。虽然衍射积分方 程理论使用了标量场近似,也不涉及电磁波的偏振特性,但与 其他理论相比,仍可认为是一种比较普遍和严格的理论。
第一节 光学谐振腔的基本知识
本节主要讨论光学谐振腔的构成、分类、作用,以及 腔模的概念
光学谐振腔的构成和分类
根据结构、性能和机理等方面的不同,谐振腔有不同 的分类方式。
按能否忽略侧面边界,可将其分为
开腔、 闭腔 气体波导腔
第一节 光学谐振腔的基本知识
开腔而言： 1. 根据腔内傍轴光线几何逸出损耗的高低,又可分为 稳定腔、非稳腔及临界腔; 2. 按照腔镜的形状和结构,可分为球面腔和非球面腔; 3. 就腔内是否插入透镜之类的光学元件,或者是否考 虑腔镜以外的反射表面,可分为简单腔和复合腔; 4. 根据腔中辐射场的特点,可分为驻波腔和行波腔; 5. 从反馈机理的不同,可分为端面反馈腔和分布反馈 腔; 6. 根据构成谐振腔反射镜的个数,可分为两镜腔和多 镜腔等。
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因子φ 应为实数，且不等于kπ
激光原理与器件
共轴球面腔的稳定条件
讨论： φ = arccos 1 (A + D )
2
(1)
1 (A + D) < 1 ⇒ φ 实数
2
An, Bn, Cn, Dn 有限 ⇒ 稳定腔
(2)
1 (A+ D) >1⇒φ
2
虚数 n↑→An, Bn, Cn, Dn↑ ⇒非稳定腔
按谐振腔的几何逸出损耗分类：稳定腔，非稳定腔，临界腔
激光原理与器件
模式表示方法及模式特征参数
TEMmnq——Transverse Electromagnetic wave——横电磁波 m，n——横模指数 q——纵模指数
场分布
模式主要特征
谐振频率 往返相对功率损耗
激光束发散角
场分布
沿光轴方向的场分布 E(z) 纵模 垂直于光传播方向(即横向)场分布E(x,y) 横模
(3) 1 (A + D) = 1
2
g1g2 = 0
即
1 (A + D) = −1
2
g1g2 < 1 即 1 (A + D) = 1
2
临界腔
激光原理与器件
共轴球面腔的稳定条件
平行平面镜腔(R = ∞)——临界腔
Tn
=
⎜⎜⎝⎛
1 0
2Ln 1
⎟⎟⎠⎞
rn = r1 + 2Lnθ1 当 θ1 ≠ 0
θn = θ1
=
θi
−
2 R
ri
r0 = ri
⎜⎜⎝⎛θr00
⎟⎟⎠⎞
=
⎜⎜⎝⎛
−
1 2
R
0 1
⎟⎟⎠⎞⎜⎜rii
⎟⎟⎠⎞
激光原理与器件
薄凸透镜透射矩阵
TT
=
⎜⎜⎝⎛
1 −1
f
0 1
⎟⎟⎠⎞
f =R 2
f
透镜与球面反射镜等效
激光原理与器件
往返矩阵
球面镜腔中往返一周的光线矩阵，简称往返矩阵
量，v 表示腔内电磁场的振荡频率， ω = 2πv 为场的角频率。
Q值的一般表示式为
Q
=
ωτ
R
L'
δc
，可以看出，腔的损耗越
小，Q值越高。
同理，腔内同时存在几种损耗时，总的Q值满足：
∑ 1 =
1
Q
i Qi
其中Qi为由各种损耗因子 δi 所决定的品质因数。
激光原理与器件
§2 共轴球面腔的稳定性条件
传输矩阵 共轴球面腔的稳定性条件 共轴球面腔的分类 稳区图
rn = Anr1 + Bnθ1
θn = Cnr1 + Dnθ1
傍轴光线在共轴球面 腔内往返传播的结果
激光原理与器件
共轴球面腔的稳定条件
⎜⎜⎝⎛θrnn
⎟⎟⎠⎞
=
⎜⎜⎝⎛
An Cn
Bn Dn
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θr11
⎟⎟⎠⎞
rn = Anr1 + Bnθ1 θn = Cnr1 + Dnθ1
稳定 光线经过n次不逸出腔外 An, Bn, Cn, Dn 矩阵元有限
∑ 系
1 = δc = 1 τ R L' i τ i
。
该式说明：在存在着各种损耗因素的情况下，光子在腔内的
寿命的倒数等于由各个损耗过程所各自决定的寿命的倒数之和。
激光原理与器件
无源谐振腔的Q值
谐振腔的Q值，又叫品质因数，定义为
Q = ω ε = 2πv ε
P
P
，
其中，ε 表示储存在腔内的总能量，P 表示单位时间内损耗的能
u4 不仅幅度小于u1，而且分布可
u6
能与u1不同。以后u3又转化为 u4，u4再转化为u5...….反复进
激光原理与器件
腔的作用 1、提供光学正反馈 2、控制振荡光束的特性
（1）控制腔内的模式数目 （2）调节光腔的参量、模式的特征 （3）实现激光的最佳输出
激光原理与器件
开腔的损耗及其描述
1、开腔的损耗 开腔的损耗可以大致分为：
（1）几何偏折损耗 光线在腔内往返传播时，可能从腔的侧面偏折出去，这种损耗
激光原理与器件
第二章 开放式光腔与高斯光束
华南师范大学 信息光电子科技学院
§1 光腔理论的一般问题
光腔的构成和分类 模的概念 腔的作用
光腔的损耗
激光原理与器件
1.腔的构成与分类
腔的构成与分类
(a) 闭腔 (b) 开腔 (c)气体波导腔
另：折叠腔、环形腔、 复合腔——腔内加入其它光学元件，如透镜，F－P标准具等
• 只适用于简单的共轴球面镜腔(直腔)
• 稳定腔因腔损耗小，适用于中、小功率激光器；非稳腔可用 于大功率激光器中，其优点是模体积大，还可限制模式
激光原理与器件
§3 开腔模式的物理概念及分析方法
衍射对开腔场分布的影响 开腔模的一般物理概念 空阑传输线
菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式 自再现模应满足的积分方程
⎜⎜⎝⎛θr22
⎟⎟⎠⎞
=
⎜⎜⎝⎛
A C
B D
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θr11
⎟⎟⎠⎞
激光原理与器件
几种常用的变换矩阵
1. 距离为L的自由空间的光线矩阵
M1 r1θ1
M2 r2θ2
R1
R2 自
光线从M1面上出发，初始参数：r1，θ1，到达M2面上
由 空
时，上述两个参数变为r2，θ2。
r2 = r1 + Lθ1 θ2 = θ1
平均单程损耗因子定义为：如果初始光强为I0，在无源腔
内往返一次后，光强衰减为I1，则有 I1 = I0e−2δ ，于是得 到δ = 1 ln I0 。如果损耗是有多种因素引起的，每一种原因引起
2 I1
的损耗用相应的损耗因子 δi 描述，则总损耗因子为各个损耗因
子之和。
∑ δ = δ i = δ 1 + δ 2 + δ 3 + ....
0 L
⎟⎟⎠⎞
A =1− 2L R2
C
=
⎡ −⎢
⎣
2 R1
+
2 R2
⎜⎜⎝⎛1 −
2L R1
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤
B
=
2L⎜⎜⎝⎛1
−
L R2
⎟⎟⎠⎞
D
=
⎡ −⎢
⎣
2L R1
−
⎜⎜⎝⎛1 −
2L R1
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛1
−
2L R2
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤
激光原理与器件
往返n次的光线矩阵
⎜⎜⎝⎛
r
θ
n n
⎟⎟⎠⎞
=
T
⎜⎜⎝⎛θr55
⎟⎟⎠⎞
=
TR1TLTR2 TL
⎜⎜⎝⎛θr11
⎟⎟⎠⎞
=
T
⎜⎜⎝⎛θr11
⎟⎟⎠⎞
=
⎜⎜⎝⎛
A C
B D
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θr11
⎟⎟⎠⎞
T
=
⎜⎜⎝⎛
A C
B D
⎟⎟⎠⎞
=
⎜⎛ ⎜⎝ −
1 2
R1
0 1
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
1 0
0 L
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
−
1 2
R2
0 1
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
1 0
当 θ1 = 0
rn ↑ 非稳腔 rn = r1 稳定腔
激光原理与器件
共轴球面腔的稳定条件
共心腔 R1+R2=L
临界腔
g1g2 = 1
激光原理与器件
共轴球面腔的稳定条件
对称共焦腔 R1=R2=L
Tn
=
⎜⎜⎝⎛
1 0
0 1
⎟⎟⎠⎞
g1 = 0，g2 = 0，g1g2 = 0
闭合回路——稳定腔
激光原理与器件
两种不同腔的理论处理方法, 设计方法不同。先利用几何光学中光
线矩阵方法来分析腔中的几何偏折损耗
激光原理与器件
腔内光线往返传播的矩阵表示
1.表示光线的参数
腔内任一榜轴光线在某一给定的横截面内都可以由两个坐标参
数来表征：一个光线离轴线的距离r，另一个是光线与轴线的夹
角θ。
P
θ
r——光线离光轴的距离
r
θ——光线与光轴的夹角
激光原理与器件
什么是共轴球面腔
共轴球面镜腔：两反射镜为球面镜, 有共同光轴
凹面镜 R > 0 凸面镜 R < 0 平面镜 R＝∞
稳定腔：任何傍轴光线可以在腔内往返无限多次不会逸出腔外
⇔几何偏折损耗小 (低损耗腔) 衍射理论
非稳定腔：傍轴光线有限次反射后便逸出腔外
⇔几何偏折损耗大(高损耗腔) 几何光学方法
复常数γ的意义 分离变量法
激光原理与器件
衍射对开腔光场分布的影响
在决定开腔中激光振荡能量的空间分布方面，衍射将起主 要作用，衍射效应是决定开腔模式形成的主要因素。
激光原理与器件
开腔模的一般物理概念
腔镜反射不完全 介质吸收
横截面内各点的 场等比例衰减
衍射
u1 u3 u5
场的空间分布
u2 经过一次往返后所获得的场u3
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅T
⎜⎜⎝⎛
r1
θ1
⎟⎟⎠⎞
=
T
n
⎜⎜⎝⎛
r1
θ1
⎟⎟⎠⎞
n个T
T n = ⎜⎜⎝⎛CA
B D
⎟⎟⎠⎞
n
=
1
sin φ
⎜⎜⎝⎛
Asin
nφ
C