新课 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(第二课时)
高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第2课时 分类加法计(1)
类型 1 组数问题(自主研析) [典例 1] 用 0，1，2，3，4 五个数字， (1)可以排出多少个三位数字的密码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数？ 解：(1)三位数字的密码，首位可以是 0，数字也可以重 复，每个位置都有 5 种排法，共有 5×5×5＝53＝125(种)． (2)三位数的首位不能为 0，但可以有重复数字，首先考
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共有 60＋96＝156(个)． 其中比 2 000 小的有：千位是 1 的共有 3×4×3＝ 36(个)， 所以符合条件的四位偶数共有 156－36＝120(个)．
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类型 2 分配问题
[典例 2] (1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四
个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去
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2．应用分类加法计数原理的注意事项 分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行 计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． 3．应用分步乘法计数原理的注意事项 分步要做到步骤完整，步与步之间要相互独立，根 据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到 总数．
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1．从 3 名女同学和 2 名男同学中选出一人主持本班
答案：C
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5．如图所示，从点 A 沿圆或三角形的边运动到点 C， 若经过点 B，有________种不同的走法．若可经过点 B， 也可不经过点 B，有________种不同的走法．
解析：经过点 B，不同的走法有 2×2＝4(种)．若可 经过点 B，也可不经过点 B，不同的走法有 2×2＋2＝ 6(种)．
一次班会，则不同的选法种数为( )
A．6
B．5
C．3Leabharlann D．2解析：由分类加法计数原理，共有 3＋2＝5 种不同选
(完整版)分类加法计数原理与分步乘法计数原理第二课时优秀教学设计
§1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理【课题】：§1.1.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理【教学目标】：（1）知识与技能掌握分类计数原理和分步计数原理，并能够运用这两个原理解决简单的应用问题；（2）过程与方法通过实例，理解两个基本原理的运用，从而提高分析问题、解决问题的能力，提高学生综合、归纳的能力.（3）情感、态度与价值观通过了解基本原理在生产,生活实际中的应用,使得学生认识数学知识与现实生活的内在联系,增强在现实生活中面对复杂的事物和现象时作出正确分析和准确判断的能力. 【教学重点】两个基本原理的运用【教学难点】正确运用两个原理解决问题【教法、学法设计】启发引导式【课前准备】Powerpoint【教学过程设计】：练习与测试：1.有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有 种不同的投入方法.解：每一封信均有3种可能投入不同的信箱，所以根据分步乘法计数原理N=34=81.2.某班一天上午排语、数、英、体4门课，其中体育课不排第1、4节，则不同排法的种数是 .解：体育课可以排在第2、3节，可以考虑先分类.体育课在第2节课时，在语、数、英中选1个上第1节课，有3种取法；在剩下的2个中取1个上第3节课，有2种取法；剩下1个上第4节课，有1种取法.有分步乘法计数原理，N 1=3×2×1=6.同样，体育课在第3节课时，也有6种。
根据分类加法计数原理，N=123.已知{2,3,1}x ∈，{11,27,4}y ∈--，则x y g 可表示不同的值的个数是解：x 的取法有3种，y 的取法也有3种，而且xy 没有相同的值，所以由分步加法计数原理，可知3×3=9.4.在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有多少个？解：十位数字可以分为是1至9，当十位数字是9的时候，个位数字可以从0、1、2、3、4、5、6、7、8选出1个，有9种取法；当十位数字是8的时候，个位数字可以从0、1、2、3、4、5、6、7选出1个，有8种取法；…，当十位数字是1的时候，个位数字可以从0选出1个，有1种取法.根据分类加法计数原理，N=9+8+7+6+5+4+3+2+1=455.某演出队有8名歌舞演员，其中6人会表演舞蹈节目，有5人会表演歌唱节目，今从这8人中选出2人，一人表演舞蹈，一人表演歌唱，则选法一共有 种.解：6+5-8=3，有3人既会歌唱又会舞蹈，可以分成3类.第1类，从只会歌唱的选1人，有2种选法，从只会舞蹈的选1人，有3种选法.根据分步乘法计数原理，N 1=3×2=6.第2类，从只会歌唱和只会舞蹈的人中选1人，有5种选法，从既会歌唱又会舞蹈的人中选1人，有3种选法.根据分步乘法计数原理，N 2=5×3=15.第3类，从既会歌唱又会舞蹈的3人中先选1人当舞蹈演员，有3种选法；再从剩下的2人中选1人当歌唱演员，有2种选法.根据分步乘法计数原理，N 3=3×2=6根据分类加法计数原理，N=6+15+6=276.如图，将四棱锥S-ABCD 的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色.如果只有5种不同的颜色可供选择，那么不同的染色方法共有多少种？ 解：先让S 染色，有5种取法；再让D 从剩下的4种颜色染色，有4种取法；让A 有剩下的3种颜色染色，有3种取法；所以有5×4×3=60种不同的染色方法.设S 、D 、A 染了颜色1、2、3，则点B 可以染2、4、5，若点B 染2，则点C 有3种选法； 若点B 染4或5，则点C 有2种选法；所以N=60×（3+2+2）=60×7=420（种）SD C B。
两个计数原理2
开始
子模块1 18条执行路径
子模块2 45条执行路径 A
子模块3 28条执行路径
子模块4 38条执行路径
子模块5 43条执行路径
结束
例4.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增 长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌 照组成办法，每一个汽车牌照都必须有３个不重复的英文字母 和３个不重复的阿拉伯数字，并且３个字母相邻出现，那么这 种办法共能给多少辆汽车上牌照?
分类计数原理
与 分步计数原理(二)
安徽省会宫中学 良 2013.1.6 朱贤
1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法. 那么 完成这件事共有 N m1 m2 mn 种不同的 方法. 2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步 骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的 方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件 事共有 N m1 m2 mn 种不同的方法.
每一步得到的只是中间结果， 任何一步都不能独立完成这件 事，缺少任何一步也不能完成 这件事，只有各个步骤都完成 了，才能完成这件事。
相乘
即：类类独立，步步关联。
课前练习:
1.某商场销售某种配置的电脑，其中 国产品牌的有4种，外国品牌的有7种， 要买1台这种配置的电脑，有多少种 不同的选法？ 加法原理: N= 4 + 7 =11(种)
4 4 4＝4100 种不同的RNA分子. 4
100 个4
例3.计算机编程人员在编 写好程序以后要对程序进 行测试。程序员需要知道 到底有多少条执行路线 （即程序从开始到结束的 路线），以便知道需要提 供多少个测试数据。一般 的，一个程序模块又许多 子模块组成。如图，它是 一个具有许多执行路径的 程序模块。问：这个程序 模块有多少条执行路径？
1.1分类加法计数原理与分步计数乘法原理(2)
计数 1.分类 ──类类相加( 1.分类──类类相加(把做一件事的方法 分类 ──类类相加 N = m + m2 +L+ mn 分类) 分类) 1 2.分步 ──步步相乘 分步──步步相乘( 2.分步 ──步步相乘(把做一件事分几步 N = m × m2 ×L× mn 来进行) 来进行) 1 这是我们考虑计数问题的两种思想方法. 这是我们考虑计数问题的两种思想方法. 具体运用时,要弄清是分类,还是分步. 具体运用时 ,要弄清是分类,还是分步.
分析： 分析：整个模块的任 意一条路径都分两步 完成： 完成：第1步是从开 步是从开 始执行到A执行到结束。 而第步可由子模块1 而第步可由子模块 或子模块2或子模块 或子模块 或子模块3 或子模块 来完成； 来完成；第二步可由 子模块4或子模块 或子模块5来 子模块 或子模块 来 完成。因此， 完成。因此，分析一 条指令在整个模块的 执行路径需要用到两 个计数原理。 个计数原理。
随着人们生活水平的提高， 例9 随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥 有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。 有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部 门出台了一种汽车牌照组成办法， 门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都 必须有３个不重复的英文字母和３ 必须有３个不重复的英文字母和３个不重复的阿拉伯 数字，并且３个字母必须合成一组出现， 数字，并且３个字母必须合成一组出现，３个数字也 必须合成一组出现， 必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车 上牌照？ 上牌照？
4×4×…×4 ＝4100 ×
例7 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与 底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因 此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计 数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要 对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来 表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位， 每个字节由８个二进制位构成，问 （1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？ （2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字， 2×2×…×2 ＝28=256 × 一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个 汉字至少要用多少个字节表示？
1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1-2课时课件
N＝4 ×3×2＝24
练习 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5, 6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的 密码(各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的 密码数是多少?首位数字是0的密码数又是多少?
分析: 按密码位数,从左到右 依次设置第一位、第二位、第三 位, 需分为三步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置 N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码。
伯数字,以A1,A2,,B1,B2的方式给教室的 座位编号，有多少种不同的号码？
分析：解决这个问题可以分为几步？
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A
9种
B
9种
6 × 9 =54
思考：这两个问题有什么共同特征？
(2)分步计数原理 （乘法原理） 做一件事情，完成它需要分成两个 步骤，做第一步有m种不同的方法， 做第二步有n种不同的方法，那么完 成这件事有N=m×n种不同的方法。
分步计数原理推广 做一件事情，完成它需要分成n个 步骤，做第一步有m1种不同的方法， 做第二步有m2种不同的方法，……， 做第n步有mn种不同的方法，那么完 成这件事有N=m1×m2×…×mn种不 同的方法。
二、探究新知 （1）分类计数原理（加法原理）
做一件事情，完成它可以有两类 不同方案,在第一类方案中有m种不 同的方法,在第二类方案中有n种不 同的方法，那么完成这件事共有 N=m+n种不同的方法。Leabharlann 2、概念辨析（课后练习第3题）
(原创)1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (2课时)
做练习 P6：第1、2、3题
作业布置 P12：A组 第1—5题
1.1 分类加法计数原理 与分步乘法技术原理
（第二课时）
共同点：都是有关“完成一件事情”的所有不同方法的 种数问题。
主要不同点：
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
①的②③成各方每完 该类案一事成方； 类件一直达目的案方。件案相事互 都有相互独立能独n类直立不接；同完
解：首字符共有7+6＝13种不同的选法， 中间字符和末位字符各有9种不同的选法
根据分步计数原理，最多可以有13×9×9＝1053种不同的选法
答：最多可以给1053个程序命名。
例7.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子 是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称 为碱基的化学成分所占据，总共有４个不同的碱基，分别用A，C，G，U表 示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位 置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组 成，那么能有多少种不同的RNA分子？
字母 FBCDEA
树形图
数字
1 2 3 4 5 6 7 8 9
得到的号码
FABCDE1111 FABCDE2222 FABCDE3333 FABCDE4444 FABCDE5555 FABCDE6666 FABCDE7777 FABCDE8888 FABCDE9999
分析：完成给教室里的座位编号这件事需要 两个步骤， 第1步，确定一个英文字母，有6种不同方法； 第2步，确定一个阿拉伯数字，有9种不同方法；
N m1 m2 mn
种不同的方法。
两个计数原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
高中数学第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理
高中数学第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用练习（含解析）新人教A版选修23A级基础巩固一、选择题1．植树节那天，四位同学植树，现有3棵不同的树，若一棵树限1人完成，则不同的植树方法种数有( )A．1×2×3 B．2×3×4C．34D．43解析：完成这件事分三步．第一步，植第一棵树，有4种不同的方法；第二步，植第二棵树，有4种不同的方法；第三步，植第三棵树，也有4种不同的方法．由分步乘法计数原理得：N＝4×4×4＝43，故选D.答案：D2．从1，2，3，4，5五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为( ) A．2 B．4C．6 D．8解析：分两类：第一类，公差大于0，有以下4个等差数列：①1，2，3，②2，3，4，③3，4，5，④1，3，5；第二类，公差小于0，也有4个．根据分类加法计数原理可知，可组成的不同的等差数列共有4＋4＝8(个)．答案：D3．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有( )A．4种B．5种C．6种D．12种解析：若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法．答案：C4．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为( )A．18 B．16 C．14 D．10解析：分两类：一是以集合M中的元素为横坐标，以集合N中的元素为纵坐标有3×2＝6个不同的点，二是以集合N中的元素为横坐标，以集合M中的元素为纵坐标有4×2＝8个不同的点，故由分类加法计数原理得共有6＋8＝14个不同的点．答案：C5．有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有( )A．4 320种B．2 880种C．1 440种D．720种解析：第1个区域有6种不同的涂色方法，第2个区域有5种不同的涂色方法，第3个区域有4种不同的涂色方法，第4个区域有3种不同的涂色方法，第5个区域有4种不同的涂色方法，第6个区域有3种不同的涂色方法，根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×3×4×3＝4 320种不同的涂色方法．答案：A二、填空题6．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________．(用数字作答)解析：甲、乙、丙均有7中不同的站法，故不考虑限制的不同站法有7×7×7＝343种，其中三个人站在同一级台阶上有7种站法，故符合本题要求的不同站法有343－7＝336.答案：3367．甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有________种不同的推选方法．解析：分为三类：第一类，甲班选一名，乙班选一名，根据分步乘法计数原理，选法有3×5＝15(种)；第二类，甲班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理，选法有3×2＝6(种)；第三类，乙班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理，选法有5×2＝10(种)．综合以上三类，根据分类加法计数原理，不同选法共有15＋6＋10＝31(种)．答案：318．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)解析：若不考虑数字2，3至少都出现一次的限制，对个位，十位，百位，千位，每个“位置”都有两种选择，所以共有24＝16个四位数，然后再减去“2 222，3 333”这两个数，故共有16－2＝14个满足要求的四位数．答案：14三、解答题9．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理，不同的选法有28＋7＋9＋3＝47(种)．(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理，不同的选法有28×7×9×3＝5 292(种)．10．若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0，1，2，3，5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？解：按A或B能否为0分两类：第1类，当A或B为0时，表示的直线为y＝0或x＝0，共2条．第2类，当A，B不为0时，直线Ax＋By＝0被确定需分两步完成．第1步，确定A的值，有4种不同的方法；第2步，确定B的值，有3种不同的方法．由分步乘法计数原理知，共可确定4×3＝12条直线．由分类加法计数原理知，方程所表示的不同直线共有2＋12＝14条．B级能力提升1．我国足球超级联赛(中超)的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分，一球队打完15场，积分33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况有( ) A．3种B．4种C．5种D．6种解析：设该队胜、负、平的场数分别为x，y，z，则依题意有x＋y＋z＝15，3x＋y＝33，则y是3的倍数，列举为x＝9，y＝6，z＝0；x＝10，y＝3，z＝2，x＝11，y＝0，z＝4，故根据分类加法计数原理得，该队胜、负、平的情况有3种．答案：A2.用4种不同的颜色涂图中的矩形A，B，C，D，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有________种．解析：C处有4种涂色方案，D处有3种涂法，B处有3种涂法，A处有2种涂法．由分步乘法计数原理得共有4×3×3×2＝72种不同涂法．答案：723．某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)，要在如图所示的6个点A，B，C，A1，B1，C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有多少种？解：第一步，在点A1，B1，C1上安装灯泡，A1有4种方法，B1有3种方法，C1有2种方法，4×3×2＝24，即共有24种方法．第二步，从A，B，C中选一个点安装第4种颜色的灯泡，有3种方法．第三步，再给剩余的两个点安装灯泡，共有3种方法，由分步乘法计数原理可得，安装方法共有4×3×2×3×3＝216(种)．。
高中数学选修三计数原理
跟踪练习：某体育彩票规定：从 01 至 36 共 36 个号中抽出 7 个 号为一注，每注 2 元．某人想从 01 至 10 中选 3 个连续的号，从 11 至 20 中选 2 个连续的号，从 21 至 30 中选 1 个号，从 31 至 36 中选 1 个号组成一注，则这个人把这种特殊要求的号买全，需要________ 元．
从3幅不同的画中选出两幅，分别挂在左右两边
墙上。这件事可以分步完成。
解：从3幅不同的画中选出两幅，分别挂在左右两边
墙上，这件事可以分两步完成：
解：从3幅不同的画中选出两幅，分别挂在左右两边
墙上，这件事可以分两步完成：
第1步,从3幅画中选出1幅,挂在左边墙上，有3种不同
选法；
第2步,从剩下的2幅画中选出1幅,挂在右边墙上，有2
由分步计数原理，不同名称的个数是：
13×9×9=1053 即最多可以给1053个程序模块命名。 例6 为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编 码，每个字符可以用一个或多个字节表示，每个字节 由8个二进制位构成 (1) 一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符 ？
（2）计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字 为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少 要用多少字节表示？
=256
（2）由（1）知，一个字节可以表示字符的个数不够 6763个，我们考虑两个字节能够表示多少个字符。前 一个字节有256种不同的表示方法，后一个字节也有 256种不同的表示方法。用分步计数原理，两个字节 可以表示不同字符的个数是 256×256=6536.这已经大于汉字国标码包含的6763个 汉字，因此每个汉字至少要用2个字节表示。
6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理2课件(人教版)
因此，分析一条指令在整个模块的执行路径
需要用到两个计数原理
解：由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共为
18+45+28=91;子模块4、子模块5中的子路径条数共为38+43=81.又由分步乘法
计数原理，整个模块的执行路径条数共为91×81=7371.
1,2,…，9的九宫格中的9个小正方形（如图）,使得
任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不
相同，且标号为“1,5,9”的小正方形涂相同的颜
色，则符合条件的所有涂法有 108 种.
解:分三步：第一步，先给标号1.5.9的正方形涂色，有3种涂法第二步，给标号2,3.6的小正方形涂色，又分两类：一是标号3
同方法数N2=3×4×6=72. .故这三人出游的不同方法数N= N1 +N2 =102
若选择①③④,则三人出游的不同方法数N=4×5×5=100
若选择②③④,则三人出游的不同方法数N=5×5×5=125.
巩固练习 排队问题:
汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎上的五个螺栓，记为A、B、
C、D、E(在正五边形的顶点上）,紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，
当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1,2步都是从24个字母中选1
个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第3~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有
10种选法，根据分步乘法计数原理，号牌张数为24×24×10×10×10=576000.同样，其余九个子类号
同的方法……做第n步有mn种不同的方法.
那么完成这件事共有N=m1× m2× …× mn种不同的方法.
导纲 9.1.2《分类加法计数原理和分步乘法计数原理》(第二课时)
9.1.2《分类加法计数原理和分步乘法计数原理》（第二课时）班级: 姓名: 小组: 评价: 【学习目标】知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；过程与方法：培养学生的归纳概括能力；情感、态度与价值观：引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式【重点难点】教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解一、回归教材 自主梳理分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 n m N ⨯= 种不同的方二、基础感知1．用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以1A ,2A ,…，1B ,2B ,…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？三、深入学习.典例分析例1.设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？一般归纳：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.3．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.例2．.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？总结反思1. 分类计数与分步计数原理是两个最基本，也是最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础.2.辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关键是“分类”还是“分步”，也就是说“分类”时，各类办法中的每一种方法都是独立的，都能直接完成这件事，而“分步”时，各步中的方法是相关的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时，才能完成这件事.四、迁移应用.能力提升例3．核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分一个 RNA 分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据．总共有 4 种不同的碱基，分别用A,C,G,U表示．在一个 RNA 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关．假设有一类 RNA 分子由 100 个碱基组成，那么能有多少种不同的 RNA 分子？五、【堂测堂练】1．将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有（ ）．A ．种B ． 种C ．18种D ．36种2. 如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为() A. 180 B. 160 C. 96 D. 60若变为图二,图三呢?① ③④ ②① ② ③ ④ ④ ③ ② ① 图一 图二 图三。
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(2)
4.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可
通电？
A
B
4.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可
通电？
4.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可
通电？
4.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可
通电？
4.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可
通电？
4.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可
解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。
例4 如图, 要给地图A、B、C、D四个区域分别涂 上3种不同颜色中的某一种, 允许同一种颜色使用 多次, 但相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色 方案有多少种？
思考 你能归纳一下用分类加法计数原理、分步乘 法计数原理解决计数问题的方法吗?
用两个计数 原理解决计 数问题时, 最 重要的是 在 开始 计算 之 前要进 行仔 细分析 需 要分类还 是 需要分步.
分类要做到"不重不漏". 分类后再分别
对每一类进行计数 最后用分类加法计 , 数原理求和, 得到总数.
课本P9例9
分析 按照新规定, 牌照可以分为 2 类,即字 母组合在左和字母组合在右.确定一个牌照 的字母和数字可以分6个步骤.
解 将汽车牌照分为2类, 一类字母组合在左, 另一 类的字母组合在右. 字母组合在左时分6个步骤确定一个汽车牌 , 照的 字母和数字: 第1步, 从26个字母中选 个, 放在首位 有26种选法 1 , ; 第 2 步, 从剩下的 个字母中选 个, 放在第2位,有 25 1 25种选法; 第3步, 从剩下的 个字母中选1 个, 放在第3位,有 24 24种选法;
分类加法计数原理与分步乘法计数原理优秀课件2
甲
丁
丙
作业
选修2-3P6 练习1，2做书上。 P12 习题 1，2做作业本上。
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主
【高中数学】分类加法计数原理与分步乘法计数原理(2) 课件 高二数学人教A版2019选择性必修第三册
3. 从1, 2, ‧‧‧, 19, 20中任选一个数作被减数，再从1, 2, ‧‧‧, 10中任选一个数
作减数，然后写成一个减法算式，共可得到多少个不同的算式?
解：20×10＝200 (个).
课本P7
4. 在1, 2, ‧‧‧, 500中，被5除余2的数共有多少个?
解1：被5除余2的正整数的个位是2或7.
数字的记数法，即二进制. 为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编
码，每个字符可以用1个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储
的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.
(1) 1个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符?
(2) 计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这
满足条件的k值有100个， 所以满足条件的数共有100个.
5. 由数字1, 2, 3, 4, 5可以组成多少个三位数(各位上的数字可以重复)?
解：满足条件的三位数有5×5×5＝ 125 个 .
课本P11
1. 乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4+c5) 展开后共有多少项?
也是最容易控制的两种状态. 因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种
数字的记数法，即二进制. 为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编
码，每个字符可以用1个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储
的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.
(1) 1个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符?
m
>， <
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计数原理(第二课时)
第一章《计数原理》 §1 分类加法计数原理
和分步乘法计数原理 （第二课时）
知识回顾
1.两个计数原理的内容是什么? 2.两个计数原理的作用是什么? 3.解决两个计数原理问题需要注意什么问题? 4.解决计数原理的思维过程是怎样的？
两个计数原理的综合应用：
应用两个计数原理应注意的问题 (1)分类要做到“_不__重__不__漏___”，分类后再对每一类 进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到 总数． (2)分步要做到“_步__骤__完__整___”完成了所有步骤，恰 好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步 后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计 数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总 数．
2、由数字0,1,2,3,4,5,6可以组成没有重复数字的两 位数的个数是( )
A．11 B．12 C．30 D．36
解析： 十位数字有6种选法，个位数字有6种选法， 由分步乘法计数原理知，可组成6×6＝36个无重复 数字的两位数．
答案： C
由分类加法计数原理，共有3+8+5=16(种)选法．
(2)分三步选人：第一步选老师，有3种方法；第二步选男 同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法．由分步 乘法计数原理，共有3×8×5=120(种)选法．
(3)可分两类，每一类又分两步．第一类，选一名老师再 选一名男同学，有3×8=24(种)选法；第二类，选一名老 师再选一名女同学，共有3×5=15(种)选法．
练习：有一项活动，需在3名老师，8名男同学和5 名女同学中选人参加．
(1)若只需一人参加，有多少种不同方法？ (2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多 少种不同选法？
(3)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同 选法？
【高中数学】分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用(第2课时)课件人教A版2019选择性必修第三册
两个计数原理的区别与联系
用两个计数原理解决问题时，要明确是需要分类还是需要分步，有时，可能既 要分类又要分步
相同点 不同点 注意点
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
用来计算完成一件事的方法种类
分类完成，类类相加
分步完成，步步相乘
每类方案中的每一种方法都能独 每步依次完成才算完成这件事(每步
立完成这件事
分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各 种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这 件事，关键词是“分类”；
分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步 骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做 完这件事，关键词是“分步”.
例5 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母 A~G或U~Z，后两个要求用数字1 ~9，最多可以给多少个程序命名？
引导探例究题讲解
例8 通常，我国民用汽车号牌的编码由两部分组成：第一部分为由汉字表示的 省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代码，第二部分为由阿 拉伯数字和英文字母组成的序号. 其中，序号的编码规则为： （1）由10个阿拉伯数字和除O、I之外的24个英文字母组成； （2）最多只能有2个英文字母. 如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张 汽车号牌？
当堂诊学
(3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步： 第一步，定个位，只能从 1，3 中任取一个，有 2 种方法，第二步，定首位， 1，2，3，4 中除去用过的一个，还有 3 个，可任取一个，有 3 种方法，第三、 四步把剩下的包括 0 在内的 3 个数字先排百位，有 3 种方法，再排十位，有 2 种 方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位奇数共有 2×3×3×2＝36(个)．
分类加法计数原理与分步乘法计数原理第二课时
应用场景
统计某班同学参加体育运动的情况：男生既 参加足球又参加篮球，女生只参加乒乓球。
例题演示
统计学校一年级有男生和女生两种班级类型， 男生班级有3个，女生班级有4个，求一年级 班级总数。
分步乘法计数原理
概念
将问题分解为多个步骤，逐步 进行计算，最后将各步骤的结 果相乘。适用于有多个步骤的 计算问题。
分类加法计数原理与分步 乘法计数原理第二课时
掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理的基本概念与应用场景，了解它 们在解决实际问题时的步骤和例题演示。
分类加法计数原理
概念
将问题分成多个情况进行计数，并将结果相 加。适用于有多个互不重叠的情况的计数问 题。
步骤
1. 分类：将情况分类并标记；2. 计数：对每 种情况分别进行计数；3. 相加：将各种情况 的计数结果相加。
应用场景
计算购买水果的总价：苹果每 斤2元，桃子每斤3元，独 立的步骤；2. 计算：对每个步 骤进行计算并得出结果；3. 相 乘：将各步骤的结果相乘。
1.1《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》课时2
2.用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的 1）银行存折的四位密码？2）四位数？3）四位奇数？
(3)解：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事， 可以分四个步骤：
第一步 确定个位数字：从1，3中选取一个数字做个位 数字, 有2种不同的选取方法； 第二步 确定千位数字：从1，2，3，4剩余的三个数字 中选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法； 第三步 确定百位数字：从1，2，3，4剩余的两个数字 和0共三个数字中，选取一个数字做百位数字，有3种不 同的选取方法； 第四步 确定十位数字：从剩余的两个数字中，选取一 个数字做十位数字，有2种不同的选取方法；
[例3] 将红、黄、绿、黑4种不同的颜色分别涂入下 图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相 同，则有多少种不同的涂色方法？
[思路探究] 五个区域，四种颜色，所以至少有两个 区域涂的是同一种颜色，结合图形，可以先选出涂同一 种颜色的区域，再进行涂色．
[课堂记录] 给出区域标记号A、B、C、D、E(如右图 所示)，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C 区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色依赖于B与D涂 的颜色，如果B与D颜色相同有2种涂色方法，不相同，则 只有一种．因此应先分类后分步．
1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理
第二课时 计数原理的综合应用
1．通过分类加法计数原理和分步乘法计数原理，解 决一些生活中的实际问题。
2．掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理，能 说明两个计数原理的不同之处，能根据具体问题的特 征、选择恰当的原理解决一些简单的实际问题，体现 数学实际应用和理论相结合的统一美，经历从特殊到 一般的思维过程；
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分步要做到“步骤完整”
点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完 成,所以, 第一类, m1 = 1×2 = 2 条
第二类, m2 = 1×2 = 2 条 第三类, m3 = 1×2 = 2 条 所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点C1最近 路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。
D1
C1
A1 D
B1 C
A
B
分步乘法计数原理与分步有关。
即：类类独立，步步关联。
例5.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字 符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1～9， 问最多可以给多少个程序命名？
分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步， 选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。
解：首字符共有7+6＝13种不同的选法， 中间字符和末位字符各有9种不同的选法
根据分步计数原理，最多可以有13×9×9＝1053种不同的选法
答：最多可以给1053个程序命名。
例6.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子 是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称 为碱基的化学成分所占据，总共有４个不同的碱基，分别用A，C，G，U表 示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位 置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组 成，那么能有多少种不同的RNA分子？
100个4
例7.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种 状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采 用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制，为了使计 算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一 个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计 量单位，每个字节由８个二进制位构成，问 （1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？ （2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字，一个 汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用 多少个字节表示？
变: 若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢?
答:它们的涂色方案种 数分别是 0, 4×3×2×2 = 48, 5×4×3×3 = 180 种。
探索
探索
练习1如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从一个顶点 爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条?
D1
A1 D
A
C1
B1 C
B
解:如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶
分析:用100个位置表示由100个碱基组成的长链，每个位置都可以从A、
C、G、U中任选一个来占据。
第1位 第2位 第3位
第100位
……
4种
4种
4种
4种
解：100个碱基组成的长链共有100个位置，在每个位置中，从A、C、G、U
中任选一个来填入，每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理，共有
444 4＝4100 种不同的RNA分子.
方式的不同
不 分类完成
分步完成
同 任何一类办法中的 这些方法需要分步,
任何一个方法都能 各个步骤顺次相依,
点 完成这件事
且每一步都完成了,
才能完成这件事情
何时用加法原理、乘法原理呢?
加法原理 完成一件事情有n类方法,若每一类方 法中的任何一种方法均能将这件事情 从头至尾完成.
分类要做到“不重不漏”
例11 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别 涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使
用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂
色方案有多少种? 解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四 步完成,
第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种 数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。
例11 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别 涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使 用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂 色方案有多少种?
例11 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别 涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使 用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂 色方案有多少种?
例10 五名学生报名参加四项体育比赛，每 人限报一项，报名方法的种数为多少？
解：5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学 生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成这一
4 事件故报名方法种数为4×4×4×4×4= 5 种 .
例11 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别 涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使 用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂 色方案有多少种?
如00000000，10000000， 11111111.
第1位
第2位
第3位
第8位
……
2种
2种
2种
2种
例8.
例9.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增 长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌 照组成办法，每一个汽车牌照都必须有３个不重复的英文字母 和３个不重复的阿拉伯数字，并且３个字母必须合成一组出现， ３个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽 车上牌照?
人教A版 选修2-3
第一章 计数原理
1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理（二）
1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法. 那么 完成这件事共有 N m1 m2 种L不同m的n 方法.
练习2
课堂练习
3、乘积 (a1 a2 a3)(b1 b2 b3)(c1 c2 c3 c4 c5 )
展开后共有几项？ 3 3 5 45
4、某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个 门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多 少种不同的进出商场的方式？
6 5 30
5.将3个不同的小球放入4个不同的盒子内,有
__6_4___种不同的方法.
6.(2007.全国)5位同学报名参加两个课外活 动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不
同的报名方法公有( D)
A.10种 B.20种 C.25种 D.32种
小结
加法原理和乘法原理的共同点是什么？不同点 什么？
加法原理
乘法原理
相同点
它们都是研究完成一件事情, 共有多少种 不同的方法
2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步 骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同 的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这
件事共有N m1 m2 L种不m同n 的方法.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的 共同点：回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点：分类加法计数原理与分类有关，