上海交通大学附属中学2009-2010学年度第一学期高二数学期终试卷

上海交通大学附属中学2009-2010学年度第一学期
高二数学期终试卷
本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟。

请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题卷上
命题：刘亚丽 审核： 杨逸峰
一、填空题(3分×12=36分 )
1、已知12
lim(
)13n an n n
→∞
-+=，则____________a = 2、一个等差数列的前4项是1,,,2x a x ，则x 等于________ 3、行列式
1023
的值为__________
4、关于x 、y 的二元线性方程组25,
32
x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过
变换，最后得到的矩阵为⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛110301，则x y += 5、若111
1111111
234
56
a b c a A b B c C =++，则1B 化简后的最后结果等于_________
6、在四边形ABCD 中，0AB BC ⋅=，AB DC =，则四边形ABCD 的形状是_______
7、5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有________种（用数字作答）。

8、设数列{}n a 的首项11a =且前n 项和为n S .已知向量(1,)n a a =，11
(,)2
n b a +=满足
a b ⊥，则lim n n S →∞
=________
9、右上图给出的是计算
20
1
614121++++ 的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是 ．
10、如图，在ABC ∆中，点D 在BC 上，且2CD BD =；点E 在AC 上，且3AE EC =。

AD 与BE 的交点为F 。

若设
AB a =，AC b =，AF AD λ=，于是可得出：
3
4
BE a b =-+，BF AF AB =-
（第9题）
()AD AB AB BD AB λλ=-=+-=
，于是由//BE BF ，可求出λ=_________
11、在共有2009项的等差数列{}n a
中，有等式
1320092420081005()()a a a a a a a ++鬃?-++鬃?=成立,类比上述性质，相应的，在共有
2011项的等比数列{}n b 中，有等式 成立。

12、在n 个红球及n 个白球，总计2n 个球中取出m （m n ≤）个球的方法数是2m n C ，该方
法数我们还可以用如下方法得到：只取m 个红球；取1m -个红球，1个白球；取2m -个红球，2
个白球；……。

于是可得到组合数公式：
011
02()m m m r m r
m
n n n n n n n n n C C C C C C C C C m n --=+++++≤，按如上方法化简下式得到的结
果是：0011r r m m
n m n m n m n m C C C C C C C C ++
++
+=____________（其中m n ≤）
二、选择题(3分×4=12分)
13、已知数列{}n a 中11a =，22a =，112n n n a a a +-=+，（k ∈N +），用数学归纳法证明4n a 能被4整除时，假设4k a 能被4整除，应证………………………………………（ ） （A ）44k a +能被4整除 （B ）43k a +能被4整除 （C ）42k a +能被4整除 （D ）41k a +能被4整除
14、若矩阵726967656259817468645952857976726964228219211204195183A ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
是表示我校2011届学生高二上学期的期中成绩矩阵，A 中元素(1,2,3,4;1,2,3,4,5,6)ij a i j ==的含义如下：1i =表示语文成绩，
2i =表示数学成绩，3i =表示英语成绩，4i =表示语数外三门总分成绩*,j k k N =∈表
示第50k 名分数。

若经过一定量的努力，各科能前进的名次是一样的。

现小明的各科排名均在250左右，他想尽量提高三门总分分数，那么他应把努力方向主要放在哪一门学科上…………………………………………………………………（ ） （A ）语文 （B ）数学 （C ）外语 （D ）都一样
15、若等边ABC ∆的边长
为，平面内一点M 满足12
63
CM CB CA =
+，则M A M B ⋅=………………………………………………………………………………（ ）
（A ） 2 （B ）3 （C ）2- （D ）3-
16、关于123,,x x x 的齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
00321
3213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵记为A ，且该方程组
存在非零解，若存在三阶矩阵O B ≠，使得O AB =，（O 表示零矩阵，即所有元素均为0的矩阵；||B 表示行列式B 的值，该行列式中元素与矩阵B 完全相同）则……（ ） （A ）2-=λ，且0=B （B ）2-=λ，且0≠B （C ）1=λ，且0=B （D ）1=λ，且0≠B
三、解答题(9分+9分+10分+10分+14分=52分)
17、已知向量，的夹角为60°，且2||,1||==，设-=3，t 2+= （1）求a b ⋅； （2）试用t 来表示m n ⋅的值；（3）若m 与n 的夹角为钝角，试求实数t 的取值范围；
18、用行列式讨论关于x ，y 的二元一次方程组⎩
⎨⎧=++=+m my x m y mx 21
解的情况并求解。

19、用1，2，3，4，5，6这六个数字组成的四位数中，试回答下面问题 （1）一共有多少个没重复数字的四位数？
（2）若把（1）中这些没重复数字按从小到大的顺序排成一列，则3241是第几个数？ （3）（2）中的第100个数字是多少？
20、把公差为2的等差数列}{n a 的各项依次插入等比数列}{n b 的第1项、第2项、……第n 项后，得到数列}{n c ：11223344,,,,,,,b a b a b a b a ，……，记数列}
{n c 的前n 项和为n S ，已知11=c ，22=c ，=3S 4
13．
（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； （2）求数列}{n c 的第2010项2010c ；
（3）设2010n n n T b a =⋅+ ，阅读框图写出输出项，并说明理由．
21、若数列{},{}n n a b 中，11,a a b b ==， 11
11
2457n n n n n n a a b b a b ----=-+⎧⎨
=-+⎩，(,2)n N n ∈≥。

请按照
要求完成下列各题，并将答案填在答题纸的指定位置上。

（1）可考虑利用算法来求,m m a b 的值，其中m 为给定的数据(2,)m m N ≥∈。

右图算法中，虚线框中所缺的流程，可以为下面A 、B 、C 、D 中的_______________
（请填出全部答案）
(A)
（2）我们可证明当,54
a b a b
≠≠时，{}
n n
a b
-及{54}
n n
a b
-均为等比数列，请按答纸题要求，完成一个问题证明，并填空。

证明：{}
n n
a b
-是等比数列，过程如下：
n n
a b
-=
所以{}
n n
a b
-是以
11
a b a b
-=-≠为首项，以_________为公比的等比数列；
同理{}
54
n n
a b
-是以
11
54540
a b a b
-=-≠为首项，以_________为公比的等比数列
（3）若将,
n n
a b写成列向量形式，则存在矩阵A，使
122121
1221()n n n n n n n n n a a a a a A A A A A
b b b b b -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，请回答下面问题： ①写出矩阵A=__________ ； ②若矩阵23n n B A A A A =+++
+，矩阵n n C PB Q =，
其中矩阵n C 只有一个元素，且该元素为n B 中所有元素的和，请写出满足要求的一组,P Q ：_______________； ③ 矩阵n C 中的唯一元素是_______________。

计算过程如下：。