2-3随机变量的分布函数
高中数学选修2-3 第二章随机变量及其分布 2-1-1离散型随机变量
一区间内的一切值，无法一一列出，故不是离散型随机变
量．
答案： B
2．某人练习射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完 则停止射击，射击次数为X，则“X＝5”表示的试验结果为 ()
A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标 C．前4次均未击中目标 D．前5次均未击中目标 解析： 射击次数X是一随机变量，“X＝5”表示试验 结果“前4次均未击中目标”． 答案： C
(4)体积为64 cm3的正方体的棱长． [思路点拨] 要根据随机变量的定义考虑所有情况．
(1)接到咨询电话的个数可能是0,1,2，…出现 哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
(2)该运动员在某场比赛的上场时间在[0,48]内，是随机 的，故是随机变量．
(3)获得的奖次可能是1,2,3，出现哪一个结果都是随机 的，因此是随机变量．
人教版高中数学选修2-3 第二章 随机变量及其分布
第二章 随机变量及其分布
2．1 离散型随机变量及其分布列 2．1.1 离散型随机变量
课前预习
1．在一块地里种下10颗树苗，成活的树苗棵树为X. [问题1] X取什么数字？ [提示] X＝0,1,2…10.
2．掷一枚硬币，可能出现正面向上，反面向上两种结 果．
3．一个袋中装有5个白球和5个红球，从中任取3个．其 中所含白球的个数记为ξ，则随机变量ξ的值域为________．
解析： 依题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，故ξ的 值域为{0,1,2,3}．
答案： {0,1,2,3}
4．写出下列随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量ξ ＝4所表示的随机试验的结果．
[问题2] 这种试验的结果能用数字表示吗？ [提示] 可以，用数1和0分别表示正面向上和反面向 上． [问题3] 10件产品中有3件次品，从中任取2件，所含次 品个数为x，试写出x的值． [提示] x＝0,1,2.
2-3.连续型随机变量的概率密度函数ppt
f (x)
0
x
28
连续型随机变量
（2）分布函数
若 X ~ N ， 2 ，则其分布函数为
x
Fx f tdt
1
x (t )2
e 2 2 dt x
2
若 X ~ N 0， 1，则其分布函数为
该乘客候车时间不超过5分钟的概率．
解：设该乘客于7时X 分到达乘到此客7站:3到0,之达X间此服的站从均的匀区时随间间机是[变0,73量:000]
上的均匀分布．其 密 度 函 数 为
f
x
1 30
0 x 30
0 其 它
令：B={候车时间不超过5分钟 },则
PB P10 X 15 P25 X 30
0
x
25
连续型随机变量
密度函数的验证
xdx
只验证
f
x dx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
作变换：u x ， 则 du dx
1
x2
e 2 dx 1
2
则有
见高等 数学 （下） 二重积 分
1
x 2
e 2 2 dx
2
x2
( e 2 dx 2 )
1
1
15
1
30
dx
1
dx
1
10 30
25 30
3
20
连续型随机变量
例 6 设随机变量Y 服从区间 1， 3上的均匀分布，
试求方程 4x 2 4Y x (Y 2) 0 有实根的概率．
解
选修2-3离散型随机变量及其分布知识点
离散型随机变量及其分布知识点一：离散型随机变量的相关概念；随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为12i x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅、ξ取每一个值()1,2,i x i =⋅⋅⋅的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 知识点二：离散型随机变量分布列的两个性质；任何随机事件发生的概率都满足:0()1P A ≤≤，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：(1) 01,2,i p i ≥=⋅⋅⋅，；12(2) 1P P ++=特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即1()()()k k k P x P x P x ξξξ+≥==+=+知识点二：两点分布：若随机变量X 的分布列: 则称X 的分布列为两点分布列.特别提醒：(1)若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.(2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布(3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究.知识点三：超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则(),0,1,,min{,},,,.k n kM N MnNC C P X k k m m M n n N M N C --===⋅⋅⋅=≤≤其中称超几何分布列.为超几何分布列，知识点四：离散型随机变量的二项分布；在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是kn k k n n q p C k P -==)(ξ，（0,1,2,3,k =…， p q -=1）于是得到随机变量ξ的概率分布如下：由于k k n knC p q -恰好是二项式展开式： 00111()n n n k k n kn n n n n n p q C p q C p q C p q C p q --+=+++++中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作(,)B n p ξ，其中n ，p 为参数，并记(,,)k k n kn C p q b k n p -=知识点五：离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，()k p A p =，(), (1)k p A q q p ==-，那么112311231()()()()()()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q p ξ---====(0,1,2,k =…，p q -=1)于是得到随机变量ξ的概率分布如下：称这样的随机变量ξ服从几何分布， 记作1(,),0,1,2,,1.k g k p q p k q p -===-其中知识点六：求离散型随机变量分布列的步骤；(1)要确定随机变量ξ的可能取值有哪些.明确取每个值所表示的意义；(2)分清概率类型，计算ξ取得每一个值时的概率（取球、抽取产品等问题还要注意是放回抽样还是不放回抽样；(3)列表对应，给出分布列，并用分布列的性质验证. 几种常见的分布列的求法：(1)取球、投骰子、抽取产品等问题的概率分布，关键是概率的计算.所用方法主要有划归法、数形结合法、对应法等对于取球、抽取产品等问题，还要注意是放回抽样还是不放回抽样.(2)射击问题：若是一人连续射击，且限制在n 次射击中发生k 次，则往往与二项分布联系起来；若是首次命中所需射击的次数，则它服从几何分布，若是多人射击问题，一般利用相互独立事件同时发生的概率进行计算.(3)对于有些问题，它的随机变量的选取与所问问题的关系不是很清楚，此时要仔细审题，明确题中的含义，恰当地选取随机变量，构造模型，进行求解. 知识点六：期望数学期望:则称=ξE +11p x 22p x n n 数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
2-3 随机变量的分布函数(xu)
F(x)
F ( x0
),
( x0 ).
即任一分布函数处处右连续.
反过来,如果一个函数具有上述性质，则一定是
某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(4)是鉴 别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.
3
重要公式
(1) P{a X b} F(b) F(a), (2) P{X a} 1 F(a).
X
1, 0,
出正面, 出反面.
求随机变量 X 的分布函数.
解 p{ X 1} p{X 0} 1 , 2
当x 0时,
0
F( x) P{X x 0} 0,
1
x
7
0
1
x
当0 x 1时,
F( x) P{X x} P{X 0} 1 ; 2
当x 1时,
F(x) P{X x}
P{X 0} P{X 1}
11 22
1.
0,
得
F
(
x
)
1
2
,
1,
x 0, 0 x 1, x 1.
8
请同学们思考
不同的随机变量,它们的分布函数一定也不相 同吗?
答 不一定.例如抛均匀硬币, 令
1, 出正面;
5
离散型随机变量的分布函数
F ( x) P{X x} pk P(X xk ).
xk x
xk x
离散型随机变量分布律与分布函数的关系
分布律
pk P{X xk }
分布函数 F ( x) P{X x} pk
概率论-5分布函数、连续型
dF ( x ) (2) 若x是f(x)的连续点 则 的连续点, 是 的连续点 = f ( x) dx
因为: 因为
(4) P ( a ≤ X ≤ b ) = P ( a < X ≤ b ) = P (a ≤ X < b)
= P ( a < X < b ) = F (b) F (a ) = ∫ f ( x )dx
并不反映X取 值的概率.但这个值 ★密度函数值f(a)并不反映 取a值的概率 但这个值 越大,X取 附近值的概率就越大.也可以说 也可以说,在某点密 越大 取a附近值的概率就越大 也可以说 在某点密 度曲线的高度,反映了概率集中在该点附近的程度. 度曲线的高度,反映了概率集中在该点附近的程度. 1 证明 f ( x ) = 1 / 2e 证
a
b p{a < X ≤ b} = ?
请看下节! 请看下节!
总结
一,定义 二,举例
若离散型随机变量X的分布律为
P ( X = x k ) = p k , k = 1, 2 ,
则其分布函数为
F ( x ) = P{ X ≤ x } =
xi ≤ x
∑p
i
作业: 作业:P33
10,11,12. , ,
P( X = C ) = 1
则称这个分布为单点分布或退化分布, 则称这个分布为单点分布或退化分布,它的 分布函数为 0 x < c F ( x) = 1 x ≥ c
向平面上半径为1的圆 内任意投掷一个质点, 的圆D内任意投掷一个质点 例2 向平面上半径为 的圆 内任意投掷一个质点 表示该质点到圆心的距离. 以X表示该质点到圆心的距离 设这个质点落在 中 表示该质点到圆心的距离 设这个质点落在D中 任意小区域内的概率与这个小区域的面积成正比, 任意小区域内的概率与这个小区域的面积成正比 试求X的分布函数 的分布函数. 试求 的分布函数 解 当 x<0时, {X ≤ x} = φ 时 当0≤x≤1, 可得
2.3 随机变量的分布函数-
x 1,
(2)
F(x)
P{ X
x}
P{ X P{ X
1}, 1}
P{ X
2},
1 x 2, 2 x 3,
1,
0, x 1,
即
F(x)
1 3
4, 4,
1 x 2, 2 x 3,
F(x) 1
x 3.
作 业 P57 19
思考与练习
0, x 1,
1、设离散性随机变量 X的分布函数为
F
(
x)
0.4, 0.8,
1 x 1, 1 x 3,
求X的分布律。
1, x 3.
2、可作为某一随机变量的分布函数的是（）
1 A: F(x) 1 x2
B : F ( x) 1 arctan x 1
x
x
（3）F( x)处处右连续.
即
lim
x x0
F
(
x)
F(
x0
),
( x0 ).
重要公式 ——用分布函数计算某些事件的概率
(1) P{a X b} F (b) F (a ),
(2) P{ X a} 1 F (a).
(3)P{X b} F(b) P{X b} (4)P{a X b} F(b) F(a) P{X b} (5)P{a X b} F (b) F (a) P{X a}
（3）P{ X a} 1 P{ X a} 1 F (a)
（4）P{ X b} P{ X b} P{ X b} F (b) P{ X b}
概率论与数理统计3.3 随机变量的分布函数
F() =P X P 1
3. 记{xn}是严格递减的数列且xn x,
F (x1) F (x)
P{ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X
x1}
P
xn1
X
xn
n1
P xn1 X xn [F (xn ) F (xn1)]
2.3、随机变量的分布函数
设X是一个随机变量, x 是任意实数, 函数
F( x) P{X x}
称为X的分布函数．
几何定义：将 X 看成是数轴上的随机点的坐标，分布
函数F ( x)在 x 处的函数值就表示 X 落在区间(, x]上 的概率。
X
0x
x
FX (x) P( X x), x
x
x
(3)
F(x)
右连续，即
lim
x x0
F(x)
F ( x0 )
分布函数性质的证明：
1. x1, x2 R且x1 x2.
则 F (x2 ) F (x1) P{x1 X x2} 0，
F (x1) F (x2 )
2. F (x) P{X x},
F(x) P(X x), （ x ）
分布函数的性质(充要条件）
(1) F x 在 , 上是一个不减函数 ,
即对 x1 , x2 , 且 x1 x2 ,都有 F x1 F x2 ;
(2) F() lim F x 0 F() lim F x 1
P{x1 X x2} F (x2 ) F (x1 )
概率2-3连续型随机变量及其概率密度-2
x
e
dt , x
概率论
( x)
( x )
概率论
7. 标准正态分布与一般正态分布的关系 定理1
X 若 X ~ N , , 则 Z ~ N 0 , 1 .
2
标准正态分布的重要性在于，任何一个一 般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准 正态分布.
概率论
例2 在一公共汽车站有甲、乙、丙 3人，分别等1、2、3路公交车，设 每人等车时间（分钟）都服从[0，5] 上的均匀分布，求3人中至少有2人 等车时间不超过2分钟的概率。
概率论
（II）指数分布 1. 含义：随机变量X描述对某一事件发生的 等待时间，各种不会变老的物品寿命。 2. 密度函数：若 r .v. X具有概率密度
x 2
2
Φ(x)
概率论
作业
58页，24，25，26，27，29，30
概率论
3σ准则
由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时， P{|X| ≤ 1}=2 Φ(1)-1=0.6826 P{|X| ≤ 2}=2 Φ(2)-1=0.9544 P{|X| ≤ 3}=2 Φ(3)-1=0.9974 这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间
内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.
概率论
(2) X ~ N ( , 2 ), 求区间概率
X 若 X ~ N ( , ), 则 Y ~N(0,1)
2
P{ a X
a b Y } b} P{
b a ( ) ( )
概率论
例3 若 r. v. X～N(10,4),求 P{10<X<13}, P{│X-10│<2}. 例4 若 r. v. X～N(μ,σ2), P{X ≤ -1.6}=0.036， P{X ≤ 5.9}=0.758，求 P{X> 0}
随机变量的分布函数
一、分布函数的概念 定义 设X是一随机变量，x是任意实数，则实值函数 F(x)＝P {Xx}， x∈(-∞，+∞) 称为随机变量X的分布函数。 有了分布函数定义，任意x1，x2∈R， x1＜x2，随 机变量X落在(x1,x2]里的概率可用分布函数来计算： P {x1<X x2}＝P{X x2}－P{Xx1}＝ F(x2)－F(x1).
例2.15 离散型随机变量X的分布函数为
0 , x 1 a , 1 x 1 F (x) 且 P（ X 2 / 3 a ,1 x 2 a b, x 2
2） 1 / 2
求a,b及X的分布律。
解
因P(X=2)=a+b-(2/3-a)=1/2
1
F (x)
X
0
1
2
P 0.1 0.6 0.3
0
1
2
x
例2.14 设一汽车在开往目的地的道路上需经过3盏信号灯。每 盏信号灯以概率1/2允许汽车通过或禁止汽车通过。以X表示汽 车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数(各信号灯工作相互独 立)。求X的分布律、分布函数以及概率
P ( 2 X 3)
2.3 随机变量的分布函数
前一节介绍的离散型随机变量，我们可用分布律来完整地 描述。而对于非离散型随机变量，由于其取值不可能一个一个 列举出来，而且它们取某个值的概率可能是零。例如：在测试 灯泡的寿命时，可以认为寿命X的取值充满了区间[0,+∞)，事 件X=x0表示灯泡的寿命正好是x0,在实际中，即使测试数百万只 灯泡的寿命，可能也不会有一只的寿命正好是x0，也就是说， 事件(X=x0)发生的频率在零附近波动，自然可以认为 P(X=x0)=0。 由于许多随机变量的概率分布情况不能以其取某个值的概 率来表示，因此我们往往关心随机变量X取值落在某区间 (a,b] 上的概率(a≤b)。 由于{a<x≤b}={x≤b}-{x≤a},(a≤b)，因此对任意x∈R， 只要知道事件{X≤x}发生的概率，则X落在(a,b]的概率就立刻 可得。因此我们用P(X≤x)来讨论随机变量X的概率分布情况。 P(X≤x)：“随机变量X取值不超过x的概率”。
2.3随机变量的分布函数
2 3 5 5 F (0) F ( ) 0 2 6 6 P{0 X 1} P{X 1} P{X 0} P{X 0} 5 1 2 F (1) F (0) P{ X 0} 1 6 2 3
2
用分布函数表示概率
P(a X b) P( X b) P( X a) F (b) F (a)
0, x 1, 1 3 例 求 1 P{ X }; 2 P{ X 0}; 1 2 2 , 1 x 0, 3 3 P{0 X 1}. F ( x) 5 解:(2) , 0 x 1, 6 1 , x 1. 3 3 P{ X 0} P{x 0} P{x }
(3) P{ X b} F(b) P{X b} (4) P{a X b} F(b) F(a) P{ X b}
(5) P{a X b} F (b) F (a) P{X a}
例
设随机变量X分布函数为 F(x)=A+Barctanx(-∞<x<+∞), 确定A,B的值，并计算P{-1<X≤1}
xi x
即
F ( x ) pk ,
xk x
这里和式是对所有满足 xk x 的k 求和的. 分布函 数F ( x )在x xk (k 1,2,)处有跳跃, 其跳跃值为
pk P{ X xk }.
例 设离散型随机变量 X 的分布列为
X
1
1 3
0
1 2
1
1 6
求 X 的分布函数 F x
P(0 X 1 / 3) P( X 0) P(0 X 1 / 3)
概率论第二章随机变量以其分布第3节随机变量的分布函数
2 (a b) (2 a) 3 2a b 2 , 3
且 a b 1.
由此解得 a 1 , b 5 . 66
27
因此有
0,
1 ,
F
(
x
)
6 1
,
2
1,
从而 X 的分布律为
X 1
1
P
6
x 1, 1 x 1,
1 x 2, x 2.
分别观察离散型、连续型分布函数的图象，可以看 出，分布函数 F(x) 具有以下基本性质：
10 F (x) 是一个不减的函数．F(x)
即当x2 x1时， 1 F(x2 ) F(x1).
01 2 3
x
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证明 由 x1 x2 { X x1} { X x2 },
得 P{X x1} P{X x2}, 又 F ( x1) P{X x1}, F ( x2 ) P{X x2}, 故 F ( x1) F ( x2 ).
（3） 若 x 2 , 则 {X x} 是必然事件，于是
F(x) P{X x} 1.
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§3 随机变量的分布函数
0,
F ( x)
x2 4
,
1,
x 0, 0 x 2,
x 2.
F(x) 1
01 2 3
x
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§3 随机变量的分布函数
3. 分 布 函 数 的 性 质
x
x
o
x
同样,当 x 增大时 P{ X x}的值也不会减小,而
X (, x), 当 x 时, X 必然落在 (,)内.
o
x
16
§3 随机变量的分布函数
30 F(x 0) F(x), 即 F(x)是右连续的.
分布函数形式
分布函数形式分布函数是一个用于描述随机变量的概率分布的数学工具。
在概率论和统计学中，分布函数通常用于描述一个随机变量X小于或等于给定值x的概率。
在概率论中，随机变量X是指具有随机性质的变量，从而可以在一定范围内取值。
它的分布函数就是指这个随机变量X在各个取值点时的概率。
具体来说，分布函数F(x)是指随机变量X小于或等于给定值x的概率，即：F(x) = P(X ≤ x)其中P是概率，X是随机变量。
分布函数的取值范围通常是[0,1]。
也就是说，F(x)是指X的实现值小于或等于x时的概率。
分布函数的形式可以分为离散型和连续型两种：1.离散型分布函数（离散分布函数）其中P(X = xi)表示随机变量X取值为xi的概率。
对于离散型分布函数，它的取值范围就是随机变量取值的集合。
常见的离散型分布函数有伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
其中f(x)是X的概率密度函数。
对于连续型分布函数，它的取值范围是从0到1之间的实数。
F(x) = P(X ≤ x) = ∑ P(X = xi) +∫f(x)dx其中P(X = xi)表示离散型变量的概率，f(x)表示连续型变量的概率密度函数。
在实际应用中，混合型分布函数比较常见。
分布函数的形式不同，对应的随机变量也会有不同的特点和应用范围。
在实际研究中，需要根据具体问题选择相应的分布函数来描述随机变量的概率分布。
随机变量的分布函数在概率论和统计学中都有广泛的应用。
在概率论中，它可作为随机变量在不同取值点的概率描述方法，可以较好地描述随机事件发生的概率；在统计学中，它则是描述样本分布的一种方法，可以用来判断数据是否符合某种特定分布规律，从而推断出总体的特性。
下面以常见的正态分布为例，简要介绍分布函数的应用。
正态分布是概率论和统计学中最为常见的一种连续型分布函数，它是许多自然现象和社会现象的概率模型。
正态分布函数的形式为：f(x) = 1/（σ√ (2π)）exp[-(x-μ)^2/2σ^2]μ表示正态分布的均值，σ^2表示正态分布的方差。
选修2-3随机变量及其分布
高中数学讲座 随机变量及其分布2.1 离散型随机变量一、选择题1．一个袋中有5个白球和3个红球，从中任取3个，则下列叙述中是离散型随机变量的是（ ）A ．所取球的个数B ．其中所含白球的个数C ．所取白球和红球的总数D ．袋中球的总数 2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是 ( )A ．取到产品的件数B ．取到正品的概率C ．取到次品的件数D ．取到次品的概率 3．随机变量ξ的所有等可能值为1，2，…，n ，若4ξ<的概率为0.3，则n 的值为 （ ）A ．3B ．4C ．10D ．不能确定4．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完则停止射击，记射击次数为X ， 则{X=5}表示的试验结果为（ ）A ．第5次击中目标B ．第5次未击中目标C ．第4次击中目标D ．前4次均未击中目标 5．若离散型随机变量ξ的分布列如右表， 则c 的值为（ ） A ． 0 B ．12 C ．13D ．1 6．设随机变量X 的分布列如右表，则下列各式中正确的是（ ）A ．( 1.5)0P X ==B ．(1)1P X >-=C ．(3)1P X <=D ．(0)0P X <=7．一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽取2件，则出现次品的概率为 （ ）A ．949B ．2245C ．47245 D ．2498．已知随机变量X 的分布列为1()2k P X k ==，k =1，2，…，则(24)P X <≤=（ ） A ．316B ．14C ．116D ．516二、选择题9．已知2Y X =为离散型随机变量，Y 的值为1，2，3，…，10，则X 的值为 . 10.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则ξ的值可以是 。
11．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的分布列为 。
2-3连续型随机变量及其概率密度
f
(x)
b
1
a
,
a x b,
0,
其它,
就称 X 服从[a,b] 上的均匀分布，记为 X ~ U[a,b]．
【注】 X 的分布函数为
0, x a,
F ( x)
x
b
a a
,
a
x
b,
1, b x.
均匀分布与第一章中介绍的几何概型原理相通，适用于一维
的几何概型试验．此时， X 落入某区间 I 内（上）的概率为 P{X I} P{X I I [a,b]} I I [a,b]的长度 ． ba
(b ) (a ) ．
特别地， P{X b} (b ), P{X a} 1 ( a ) 。
其中 (a ) 和 (b ) 可查表得．
•22
例 3.5 设随机变量 X ~ N(1, 4) ，分别计算
P{X 3}， P{1 X 5} ．
解 由题意知， 1, 2 ．
y (x)
y
y (x) 1
1 2
O
x
O
x
•20
由于(x) 为偶函数，利用本节例 3.2 的结论，有
F(x()x)
F((x)x)
1；1；F(0()0)
1
1；；P{PX{ X
x}x}
2F(Fx)(x)1．1．
22
当 x 0 时， (x) 可以通过直接查标准正态分布表求得．
当 x 0 时， (x) 1 (x) ，再查标准正态分布表可得．
【注 7】如果 X ~ N(0,1) ，则对于任意的实数 a,b (a b) ， P{a X b} (b) (a) ，
其中 (a), (b) 可查标准正态分布表计算．
•21
2-3 随机变量的分布函数
P{3 X 5} F(5) F(3) 1 ,
2
2 2 22
P{2 X 3} F(3) F(2) P{X 2} 3 .
4
请同学们思考
不同的随机变量,它们的分布函数一定也不相同吗?
答 不一定. 例如抛均匀硬币, 令
1, 出正面;
1, 出正面;
X1 1, 出反面. X2 1, 出反面.
离散型随机变量的分布函数的图形是阶梯曲
线。它在X的一切有概率（指正概率）的点 xk 都 有一个跳跃，其跃度为 X 取值 xk 的概率 pk 。
例2 一个靶子是半径为2m的圆盘,设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量 X 的分布函数.
当 x 1时,
F(x) P{X x}
P{X 0} P{X 1}
11 22
1.
0,
得
F
(
x)
1
2
,
1,
x 0, 0 x 1, x 1.
二、分布函数的性质
(1) 0 F ( x) 1, x (,);
(2) F ( x1) F ( x2 ), ( x1 x2 ); 证明 由 x1 x2 { X x1} { X x2 }, 得 P{X x1} P{X x2},
?
F ( x2 )
F ( x1 ) 分布函数
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ).
2.分布函数的定义
定义 设 X 是一个随机变量, x是任意实数,函数
F(x) P{X x} x
称为X的分布函数. 说明 (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值
的概率情况. (2)分布函数 F ( x) 是 x 的一个普通实函数.
2-3 随机变量的分布函数(xu)
( x )
为 X 的分布函数. 记作 X ～ F(x) 或 FX(x).
如果将X看作数轴上随机点的坐标,则分布 函数F(x)的值就表示X落在区间[-, x]的概率.
——X —x |——> x
2
2.分布函数的性质
(1) 0 F ( x) 1, x (,);
(2) F ( x1) F ( x2 ), ( x1 x2 ); (单调不减性)
1
x
7
0
1
x
当0 x 1时,
F( x) P{X x} P{X 0} 1 ; 2
当x 1时,
F(x) P{X x}
P{X 0} P{X 1}
11 22
1.
0,得F(来自x)1
2
,
1,
x 0, 0 x 1, x 1.
解 由分布函数的性质知
F () A 1. 由分布函数的右连续性
F (0) A B 0 于是有A 1, B 1.
5
离散型随机变量的分布函数
F ( x) P{X x} pk P(X xk ).
xk x
xk x
离散型随机变量分布律与分布函数的关系
求常数为常数其中函数为其分布在整个实轴上取值已知随机变量于是有由分布函数的右连续性由分布函数的性质知分布函数分布律离散型随机变量的分布函数离散型随机变量分布律与分布函数的关系出反面出正面求随机变量x的分布函数
第2.3节 随机变量的分布函数
1
1.分布函数的定义 设 X 是一个 r.v，称
F(x) P(X x)
8
请同学们思考
2.随机变量的分布函数、连续型
4 2 4 0, x 0,
故X的分布函数为
1 , 0 x 1,
F(x)
4 3 ,
1 x 2,
4
F(x)
1, 2 x.
1
O
0O
1
O
它是一条阶梯形曲线，
2
x
设离散型随机变量X 的分布律为
P( X xi ) pi , i 1,2, ,
则离散型随机变量X的分布函数
F( x) P( X x) P( X xi )
a, 2
得a 2
于是X的密度函数为 2e2 x ,
f (x) 0,
x0 x0
P( X 1) 2e2xdx e2 . 1
3、正态分布 如果连续型随机变量X的密度函数为
f (x)
1
( x )2
e
2 2
,xR
2
那么称随机变量X服从参数为， 2的正态分布，
～ 记为X N（， 2）, R, 0.
本节我们来研究一维随机变量取值的统计规律性。 为此先考虑下面的例子。
例1 设随机变量X在区间[0，1]上取值，当0 a 1
时，概率P（0 X a）与a2成正比例。
试求X的分布函数F（x）
解：X的分布函数为：
y
0
F
(
x)
x2
1
x0 0 x1
1 x
1 o1x
由此例我们看到，F ( x)处处连续，并且其
2
2
x, (3)
x 1 1 x F (xx).1
1
（3） 当x 1时, F( x)
x
f (t)dt
x
0dt 0
当 1 x 1时, F( x)
x f (t )dt
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( npn ) n n 1 n k 1 1 1 [[(1 )] k k! n n n 1 pn (1 pn )
k
k个
1 pn
] npn
k! [注] 定理1的条件意味着当 n很大时，pn 必定
很小. 因此，泊松定理表明，当 n 很大，p 很 小时有以下近似式：
1
0.7
解:
F(x) = P(X x)
x0 0 x1 1 x 2 x2
0 0.2 F ( x) 0.7 1
0.3
O
0.5
0.2
O O
0
1
2
x
一般地随机变量X概率分布为 X
P
x1
p1
x 2 x 3 …… p2 p3 ……
则它的分布函数为：
0 p 1 p1 p2 F ( x) i 1 pk k 1 x x1 x1 x x 2 x2 x x3 x i 1 x x i
解:
设该商品每月的销售数为X, 已知X服从参数λ =5的泊松分布. 设商店在月底应进某种商品m件, 求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的m .
进货数
销售数
求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的m.
也即
P(X>m) ≤ 0.05
e 5 0.05 或 k m 1 k!
查泊松分布表得（P 254）
3. 泊松分布 设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为：
P ( X k ) e
k
k!
, k 0,1,2,,
其中 λ >0 是常数,则称 X 服从参数为 的 λ 泊松分布,记作X~P( ). λ k k P ( X k ) e e e e 1 [注] 1） 1 k! k k 1 k 1 k ! 2）泊松分布可以用来描述一些在大量试验 中偶然出现的事件的概率分布模型。
例如
一放射性源放射出的 粒子数； 某电话交换台收到的电话呼叫数； 到某机场降落的飞机数; 一个售货员接待的顾客数; 一台纺纱机的断头数; …
都服从泊松分布.
例1 一家商店采用科学管理，由该商店过去 的销售记录知道，某种商品每月的销售数可 以用参数λ =5的泊松分布来描述，为了以 95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底 至少应进某种商品多少件？
二、分布函数的性质
性质1 0 F ( x ) 1 ( x )
性质2 分布函数关于 x是单调增函数; 性质3 xlim F ( x ) 1, xlim F ( x ) 0 性质4 F ( x ) 至多有可列个间断点，且 F ( x ) 在间断点上 F ( x )右连续。即
F ( x 0) F ( x )
。
如果一个函数具有上述性质，则一定是某 个R.V X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(4) 是鉴别一个函数是否是某R.V的分布函数的充 分必要条件. 例1 设随机变量X的概率分布为
X 0 1 2 p 0.2 0.5 0.3
求X的分布函数。
F (x )
4 4 4 4
P (2 X 3) F (3) F (2) 1 1 0
1 k ，故 4
0 1 2 x P( X x) 4 1
x0 0 x2 x2
F ( x)
1
o
2
x
1 1 1 2 1 P( X ) ( ) 2 4 2 16 1 2 1 2 1 3 P (1 X 2) F (2) F (1) 2 1 1
np 90 0.1 9 P ( X 5) 1 P (0 X 5) 1 P ( X 0) P ( X 1) P ( X 2) P ( X 3) P ( X 4) 查泊松分布表
1 0.000123 0.001111 0.004998 0.14994 0.033737 0.5065
] （ （
a
]
b
P( X a ) 1 P( X a ) 1 F ( a )
例2 向一半径为2米的圆盘射击，设击中盘上任 一同心圆的概率与该圆的面积成正比，并设射 击都能击中圆盘，以X表示弹着点与圆心的距 离，求：(1)随机变量X的分布函数； 1 （2）P ( X ), P (1 X 2), P (2 X 3) 2 解：由题意 P ( X x ) k x 2 0 x2 x 而 P（0 X 2） 1 ，因而有
5 k
e 5 k! 0.032, k 10
于是得 m+1=10,
5
k
e 5 k! 0.068 k 9
m=9件
5
k
定理1（ 泊松定理） 在 n 重贝努里试验里，事件A发生的次数X 服从二项分布，假设每次试验发生的概率为 p n (0 p n 1)并且 lim np n ，则对任一整数 k 0
4. 超几何分布 离散型随机变量X的概率分布为：
k n C M C NkM P( X k ) n CN
( k 0,1, , n)
则称X服从参数为N，M，n的超几何分布。 [注]（1）当 n M 或 n N M 时，随机变量X 取值另论； n k n n C M C NkM C N (2)组合的性质
[注] 对于超几何分布，当N较大，而 n 相对于 N较小时，常用二项分布来逼近超几何分布。
例3 一大批种子的发芽率为90%，从中任取 10粒，求播种后恰好有8粒种子发芽的概率。 解：设X表示发芽的种子数， 则X服从超几何分布。 由于大批种子N相对抽取的种子数n较大，则
X 近似服从二项分布B（10，0.9），
n
有
lim C p (1 pn )
n
k n k n
k n
k n
n k
e
k
k!
, k0,1,2,
C 证明： p (1 pn )
n k
n! k pn (1 pn ) n k k! ( n k )!
( npn ) k n( n 1)( n k 1) (1 pn ) n k! nnn n(1 pn ) k
P ( X 8) C 0.9 0.1
8 10 8
2
0.1937
§2.3 随机变量的分布函数
一、基本概念 定义1 设 X 是一个 随机变量，如果对于 x R 有 F ( x) P( X x) 称F (x)为 X 的分布函数. 记作 X ～ F (x)。 [注] 1.若将 X 看作数轴上随机点的坐标，那 么分布函数 F (x) 的值就表示 X落在区间 ( , x ] 的概率； Xx
可见,离散型随机变量的分布函数的图形是 阶梯曲线.它在 X 的一切有概率的点 x k处都有 一个跳跃,其跃度为 X 取值 x k的概率 pk .而在 分布函数F(x)的任何一个连续点 x 上, X 取值 x 的概率都是零,这一点对连续型随机变量也是成 立的.
利用分布函数可以计算
P ( a X b) P ( X b) P ( X a ) F (b) F (a)
n
k
eLeabharlann C p (1 p)
k n k
n k
e
k
其中 np
k!
例2 海滨市保险公司发现索赔要求中有10%是因被 盗而提出的，现知道某年中，该公司共收到90 个索赔要求,试求其中包含5个或5个以上被盗索 赔的概率。 解：设X表示被盗索赔的人数，则X～B（90，0.1） 由于p 相对n 较小，用泊松定理计算
k 0
k n n C M C N kM CN n 1 （3） P ( X k ) n CN CN k 0 k 0 n n
定理2 超几何分布以二项分布为极限。 即，固定 n ，当 N , M p 时，有
N
k n C M C NkM N k C n p k (1 p)nk n CN
|
R
x
2）分布函数的定义域为 ( ,) ，分布函数的 值域为[0，1]； 3）在
F ( x) P( X x), x 中，
X是随机变量, x是参变量， F(x) 是随机变量 X取值不大于 x 的概率； 4）对任意实数 x1<x2，随机点落在区间( x1 , x2 ] 的概率为： P(x1<X x2 ) = P(X x2 ) – P( X x1 ) = F(x2)-F(x1)
F ( x ) P ( X x ), x
分布函数是一个普通的函数,正是通过它,我 们可以用数学分析的工具来研究 随机变量. 若已知 X 的分布函数 F(x) ,就能知道 X 在任 何一个区间上取值的概率.从这个意义上说,分布 函数完整地描述了随机变量的变化情况.它具有 下面几个性质.