运筹学 排队论(新)精品PPT课件
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运筹学-第八章 排队论
3
前 言
排队的不一定是人，也可以是物： 例如，通讯卫星与地面若干待传递的 信息； 生产线上原料、半成品等待加工； 因故障停止运转的机器等待修理；码 头的船只等待装卸货物； 要降落的飞机因跑道不空而在空中盘 旋等等。
4
前 言
上述各种问题虽互不相同，但却都有 要求得到某种服务的人或物和提供服务 的人或机构。
排队论里把要求服务的对象统称为 “顾客”, 提供服务的人或机构称为“服务台” 或“服务员”。
5
前 言
不同的顾客与服务组成了各式各样的 服务系统。顾客为了得到某种服务而到 达系统、若不能立即获得服务而又允许 排队等待，则加入等待队伍，待获得服 务后离开系统，见图8-1至图8-5。
图1 单服务台排队系统
(3) 混合制．这是等待制与损失制相结合的一 种服务规则，一般是指允许排队，但又不允许队 列无限长下去。具体说来，大致有三种： ① 队长有限。当排队等待服务顾客人数超过 规定数量时，后来顾客就自动离去，另求服务。 如水库的库容、旅馆的床位等都是有限的。
17
2. 排队规则
② 等待时间有限。即顾客在系统中的 等待时间不超过某一给定的长度 T，当等待 时间超过T时，顾客自动离去，不再回来。 如易损坏的电子元器件的库存问题， 超过一定存储时间被自动认为失效。 又如顾客到饭馆就餐，等了一定时间后 不愿再等而自动离去另找饭店用餐。
盾。
如何做到既保证一定的服务质量指标，又
使服务设施费用经济合理，恰当地解决顾客
排队时间与服务设施费用大小这对矛盾。
这就是随机服务系统理论——排队论所要
研究解决的问题。
11
排队系统的基本概念
一、排队系统的组成与特征
排队系统一般有三个基本组成部分：1.输 入过程；2.排队规则；3.服务机构。
前 言
排队的不一定是人，也可以是物： 例如，通讯卫星与地面若干待传递的 信息； 生产线上原料、半成品等待加工； 因故障停止运转的机器等待修理；码 头的船只等待装卸货物； 要降落的飞机因跑道不空而在空中盘 旋等等。
4
前 言
上述各种问题虽互不相同，但却都有 要求得到某种服务的人或物和提供服务 的人或机构。
排队论里把要求服务的对象统称为 “顾客”, 提供服务的人或机构称为“服务台” 或“服务员”。
5
前 言
不同的顾客与服务组成了各式各样的 服务系统。顾客为了得到某种服务而到 达系统、若不能立即获得服务而又允许 排队等待，则加入等待队伍，待获得服 务后离开系统，见图8-1至图8-5。
图1 单服务台排队系统
(3) 混合制．这是等待制与损失制相结合的一 种服务规则，一般是指允许排队，但又不允许队 列无限长下去。具体说来，大致有三种： ① 队长有限。当排队等待服务顾客人数超过 规定数量时，后来顾客就自动离去，另求服务。 如水库的库容、旅馆的床位等都是有限的。
17
2. 排队规则
② 等待时间有限。即顾客在系统中的 等待时间不超过某一给定的长度 T，当等待 时间超过T时，顾客自动离去，不再回来。 如易损坏的电子元器件的库存问题， 超过一定存储时间被自动认为失效。 又如顾客到饭馆就餐，等了一定时间后 不愿再等而自动离去另找饭店用餐。
盾。
如何做到既保证一定的服务质量指标，又
使服务设施费用经济合理，恰当地解决顾客
排队时间与服务设施费用大小这对矛盾。
这就是随机服务系统理论——排队论所要
研究解决的问题。
11
排队系统的基本概念
一、排队系统的组成与特征
排队系统一般有三个基本组成部分：1.输 入过程；2.排队规则；3.服务机构。
《运筹学排队论》课件
资源分配
合理分配服务器资源，以提高系统的吞吐量 和响应时间。
最优服务策略问题
总结词
研究如何制定最优的服务策略，以最大化系 统的性能指标。
服务顺序策略
确定服务器的服务顺序，以最小化顾客的等 待时间和平均逗留时间。
服务中断策略
在服务器出现故障时，选择最优的服务中断 策略，以最小化对顾客的影响。
服务时间分布策略
等待队长
指在某一时刻，正在等待服务的顾客总数。
逗留时间与等待时间
逗留时间
指顾客从到达系统到离开系统所经过的时间 。包括接受服务和等待的时间。
等待时间
指顾客到达系统后到开始接受服务所经过的 时间。
忙期与空闲期
要点一
忙期
指系统连续有顾客到达并接受服务的时间段。在这个时间 段内，系统内的顾客数可能会超过系统的容量。
03
02
交通运输
分析铁路、公路、航空等交通系统 的调度和运输效率。
计算机科学
研究计算机网络、云计算、分布式 系统的性能和优化。
04
排队论的基本概念
服务器
提供服务的设施或 人员。
等待时间
顾客到达后到开始 接受服务所需的时 间。
顾客
需要接受服务的对 象。
队列
顾客按到达顺序等 待服务的排列。
服务时间
顾客接受服务所需 的时间。
《运筹学排队论》ppt课件
目录
• 排队论简介 • 排队系统的组成 • 排队模型的分类 • 排队模型的性能指标 • 排队论的优化问题 • 排队论的发展趋势与展望
01
排队论简介
排队论的定义与背景
1
排队论（Queueing Theory）是运筹学的一个重 要分支，主要研究排队系统（Queueing Systems）的行为特性。
合理分配服务器资源，以提高系统的吞吐量 和响应时间。
最优服务策略问题
总结词
研究如何制定最优的服务策略，以最大化系 统的性能指标。
服务顺序策略
确定服务器的服务顺序，以最小化顾客的等 待时间和平均逗留时间。
服务中断策略
在服务器出现故障时，选择最优的服务中断 策略，以最小化对顾客的影响。
服务时间分布策略
等待队长
指在某一时刻，正在等待服务的顾客总数。
逗留时间与等待时间
逗留时间
指顾客从到达系统到离开系统所经过的时间 。包括接受服务和等待的时间。
等待时间
指顾客到达系统后到开始接受服务所经过的 时间。
忙期与空闲期
要点一
忙期
指系统连续有顾客到达并接受服务的时间段。在这个时间 段内，系统内的顾客数可能会超过系统的容量。
03
02
交通运输
分析铁路、公路、航空等交通系统 的调度和运输效率。
计算机科学
研究计算机网络、云计算、分布式 系统的性能和优化。
04
排队论的基本概念
服务器
提供服务的设施或 人员。
等待时间
顾客到达后到开始 接受服务所需的时 间。
顾客
需要接受服务的对 象。
队列
顾客按到达顺序等 待服务的排列。
服务时间
顾客接受服务所需 的时间。
《运筹学排队论》ppt课件
目录
• 排队论简介 • 排队系统的组成 • 排队模型的分类 • 排队模型的性能指标 • 排队论的优化问题 • 排队论的发展趋势与展望
01
排队论简介
排队论的定义与背景
1
排队论（Queueing Theory）是运筹学的一个重 要分支，主要研究排队系统（Queueing Systems）的行为特性。
运筹学课件第十章排队论
第十章 排队论
第一节 引言
一、排队系统的特征及排队论 排队论研究排队系统的数学理论和方法， 是运筹学的一个重要分支。 排队问题表现：
到达的顾客 1、不能运转机器 2、病人 3、打电话 4、等待降落飞机 5、河水进入水库
要求的服务 修理 就诊 通话 降落 放水，调整水 位
服务机构 修理工人 医生 交换台 跑道指挥机构 水闸管理员
四、排队系统的主要数量指标和记号 描述一个排队系统运行状况的主要指标： 1、队长、排队长 队长：系统中的顾客数量（排队顾客+接受服务顾客）。
排队长：系统中的正在排队等待服务的顾客数量。
2、等待时间和逗留时间 等待时间：从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间 为等待时间。 逗留时间：从顾客到达时刻起到他接受服务完成这段时间为 逗留时间。
(i)队长有限：系统等待空间有限。 有限系统的空间为K, 顾客到达时的队长为L。若 L<K，则顾客进入队列等待服务，若L=K，则 顾客离去。 (ii) 等待时间有限： 顾客对等待时间具有不耐烦 性的系统。设最长等待时间是T0，某个顾客从 进入队列后的等待时间为 T。若T<T0，顾客继 续等待；若T=T0，则顾客脱离队列而离去。 (iii)逗留时间有限：等待时间与服务时间之和。
排队可以是人，也可以是物。 为了一致：将要求得到服务的对象统称为“顾客”，将提 供服务的服务者称为“服务员”或“服务机构”。
排队系统的一般描述; 顾客为了得到服务而到达系统，如果不能 立刻得到服务而又允许排队等待，则加入 等待队伍，待获得服务后离开系统。
顾客到达 队列 服务台 单服务台服务系统 服务完后离开
n 0
n ,n C 1 , 2 , 3 ,...... n u n p p , n 1 , 2 , 3 ,...... n 0
第一节 引言
一、排队系统的特征及排队论 排队论研究排队系统的数学理论和方法， 是运筹学的一个重要分支。 排队问题表现：
到达的顾客 1、不能运转机器 2、病人 3、打电话 4、等待降落飞机 5、河水进入水库
要求的服务 修理 就诊 通话 降落 放水，调整水 位
服务机构 修理工人 医生 交换台 跑道指挥机构 水闸管理员
四、排队系统的主要数量指标和记号 描述一个排队系统运行状况的主要指标： 1、队长、排队长 队长：系统中的顾客数量（排队顾客+接受服务顾客）。
排队长：系统中的正在排队等待服务的顾客数量。
2、等待时间和逗留时间 等待时间：从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间 为等待时间。 逗留时间：从顾客到达时刻起到他接受服务完成这段时间为 逗留时间。
(i)队长有限：系统等待空间有限。 有限系统的空间为K, 顾客到达时的队长为L。若 L<K，则顾客进入队列等待服务，若L=K，则 顾客离去。 (ii) 等待时间有限： 顾客对等待时间具有不耐烦 性的系统。设最长等待时间是T0，某个顾客从 进入队列后的等待时间为 T。若T<T0，顾客继 续等待；若T=T0，则顾客脱离队列而离去。 (iii)逗留时间有限：等待时间与服务时间之和。
排队可以是人，也可以是物。 为了一致：将要求得到服务的对象统称为“顾客”，将提 供服务的服务者称为“服务员”或“服务机构”。
排队系统的一般描述; 顾客为了得到服务而到达系统，如果不能 立刻得到服务而又允许排队等待，则加入 等待队伍，待获得服务后离开系统。
顾客到达 队列 服务台 单服务台服务系统 服务完后离开
n 0
n ,n C 1 , 2 , 3 ,...... n u n p p , n 1 , 2 , 3 ,...... n 0
运筹学第五章排队论PPT课件
第五章 排队论(Queuing Theory)
排队论（queuing),也称随机服务系统理论，是 运筹学的一个主要分支。
1909年，丹麦哥本哈根电子公司电话工程师A. K. Erlang的开创性论文“概率论和电话通讯理论” 标志此理论的诞生。排队论的发展最早是与电话， 通信中的问题相联系的，并到现在是排队论的传统 的应用领域。近年来在计算机通讯网络系统、交通 运输、医疗卫生系统、库存管理、作战指挥等各领 域中均得到应用。
1.排队系统的统计推断:即通过对排队系统主 要参数的统计推断和对排队系统的结构分析，判 断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根 据排队理论进行研究。
2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率 规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙 期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。
3.最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，
• 顾客源有限模型[M/M/1][∞/M/ FCFS]
1
2
... n
单队多服务台（串列）
.
1
1
2
3
2
混合形式
5
2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。 3)服务时间分为确定型和随机型。 4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
§1.2 排队系统的模型分类
上述特征中最主要的、影响最大的是： • 顾客相继到达的间隔时间分布 • 服务时间的分布 • 服务台数
最优运营（动态优化）。
.
8
§2.2 排队问题求解(主要指性态问题)
求解一般排队系统问题的目的主要是通过
研究排队系统运行的效率指标，估计服务质
量，确定系统的合理结构和系统参数的合理
值，以便实现对计等。
排队问题的一般步骤：
排队论（queuing),也称随机服务系统理论，是 运筹学的一个主要分支。
1909年，丹麦哥本哈根电子公司电话工程师A. K. Erlang的开创性论文“概率论和电话通讯理论” 标志此理论的诞生。排队论的发展最早是与电话， 通信中的问题相联系的，并到现在是排队论的传统 的应用领域。近年来在计算机通讯网络系统、交通 运输、医疗卫生系统、库存管理、作战指挥等各领 域中均得到应用。
1.排队系统的统计推断:即通过对排队系统主 要参数的统计推断和对排队系统的结构分析，判 断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根 据排队理论进行研究。
2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率 规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙 期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。
3.最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，
• 顾客源有限模型[M/M/1][∞/M/ FCFS]
1
2
... n
单队多服务台（串列）
.
1
1
2
3
2
混合形式
5
2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。 3)服务时间分为确定型和随机型。 4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
§1.2 排队系统的模型分类
上述特征中最主要的、影响最大的是： • 顾客相继到达的间隔时间分布 • 服务时间的分布 • 服务台数
最优运营（动态优化）。
.
8
§2.2 排队问题求解(主要指性态问题)
求解一般排队系统问题的目的主要是通过
研究排队系统运行的效率指标，估计服务质
量，确定系统的合理结构和系统参数的合理
值，以便实现对计等。
排队问题的一般步骤：
排队论 第2章PPT课件
出现次数fn
10 28 29 16 10 6 1 100
表9-4
为病人完成手术时 间v(小时)
0.0－0.2 0.2－0.4 0.4－0.6 0.6－0.8 0.8－1.0 1.0－1.2 1.2以上 合计
出现次 数fv
38 25 17 9 6 5 0 100
表9-5
26
1.参数的确定
nfn
算出每小时病人平均到达率＝ 1 0 0 ＝2.1(人/小时)
41
例 设船到码头，在港口停留单位时间损失cI元， 进港船只是最简单流，参数为 ，装卸时间服从参数为
的负指数分布，服务费用为
是一个正常数．
求使整个系统总费用损失最小的服务率
解 因为平均队长
的损失费为
服务费用为
所以船在港口停留 因此总费用为
42
求 使F达到最小，先求F的导数
让
解出
因为
最优服务率是
当
它说明服务机构(手术室)有84％的时间是繁忙(被利用)，有16 ％的时间是空闲的。
27
4.依次算出各指标： 在病房中病人数(期望值)
排队等待病人数(期望值)
Ls
2.1 5.25(人) 2.52.1
L q0 .8 4 5 .2 54 .4 1 (人 )
病人在病房中逗留时间(期望值) Ws 2.51 2.12.5(小 时 )
结
Ls Ws
Ws
Wq
1
Lq Wq
Ls Lq
平均服务 时间
平均在忙的服务 台数/正在接受 服务的顾客数
20
服
4. 系统的忙期与闲期
务
强
度
系统处于空闲状态的概率： P0 1
系统处于繁忙状态的概率： P (n0)1P 0
运筹08(第10章排队论)精品PPT课件
2020/11/30
7
排队系统类型3：
服务完成后离开
服务台1
顾客到达
服务完成后离开
服务台2
服务完成后离开
服务台s
S个服务台， S个队列的排队系统
2020/11/30
8
排队系统类型4：
顾客到达
服务台1
离开
服务台s
多服务台串联排队系统
2020/11/30
9
排队系统的描述 实际中的排队系统各不相同，但概括 起来都由三个基本部分组成： 1、输入过程; 2、排队及排队规则; 3、服务机构
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21
➢ 定长分布（D）：每个顾客接受的服 务时间是一个确定的常数。
➢ 负指数分布（M）：每个顾客接受的
服务时间相互独立，具有相同的负指
数分布： e- t t0
f(t)=
0
t<0
其中>0为一常数。
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22
➢ K阶爱尔朗分布（Ek）：
f(t)=
k(kt)k-1 · e- kt
2
无形排队现象：如几个旅客同时打电话 订车票；如果有一人正在通话，其他人只 得在各自的电话机前等待，他们分散在不 同的地方，形成一个无形的队列在等待通 电话。
排队的不一定是人，也可以是物。如生 产线上的原材料，半成品等待加工；因故 障而停止运行的机器设备在等待修理；码 头上的船只等待装货或卸货；要下降的飞 机因跑道不空而在空中盘旋等。
理；出价高的顾客应优先考虑。
2020/11/30
20
❖ 3、服务机制
包括：服务员的数量及其连接方式（串联还是并联） 顾客是单个还是成批接受服务； 服务时间的分布
记某服务台的服务时间为V，其分布函数 为B(t),密度函数为b(t),则常见的分布 有：定长分布（D）
第七章 运筹学课件排队论
时齐的马氏链：马氏链{X (n), n 0,1,2,...} 若满足：P{ X n m j X n i} Pij (m)
则称 { X (n), n 0,1,2,...} 为时齐马尔可夫链
P (m) — 系统由状态i经过m 个时间间隔 ij
（或m 步）转移到状态j 的转移概率
n1
n
n
n
n1
n+1
系统达到平稳状态时：
pn pn (t ) P{N (t ) n}, (n 0,1,2...)
0 p0 1 p1 0 平衡方程： n 1 pn 1 n 1 pn 1 (n n ) pn
当
Cn
e t t0 b(t ) 0 t0 其中 0 ，为一常数。
服务时间分布:
（3）k阶爱尔朗（Erlang）分布：每个顾客接受服务 时间服从k阶爱尔朗分布，其密度函数为：
k (kt ) b(t ) (k 1)!
k 1
e
kt
排队系统的分类
符号表示: X/Y/Z
设 T X1 X 2 X k ，则T的密度函数为
bk (t ) E (T )
k ( kt ) k 1
( k 1)! 1
e kt , 1 k 2
t 0
,
D (T )
如k个服务台串联（k个服务阶段）， 一个顾客接受k个服务共需的服务时间T， T爱尔朗分布。
n
定理1：设 N (t )为时间 0, t 内到达系统的顾客数 则{N (t ), t 0}为Poisson过程的充要条件是
充要条件是相继到达的时间间隔T服从相互 独立的参数为 的负指数分布。
第六章排队论 ppt课件
3) 普遍性：在 t 时间内到达一个顾客的概率为 t +o(t )，
到达两个或两个以上顾客的概率为 o(t )；即两个顾客不可 能同时到达 • 泊松过程具有可迭加性 – 即独立的泊松分布变量的和仍为泊松分布
21
6.3.2.2 负指数分布
（1）推导
• 泊松过程的到达间隔时间为负指数分布 – 令 h 代表间隔时间，则概率 P{h > t}代表时间区间 △t 内没有顾客来的概率；由泊松分布
第六章 随机服务系统理论
排队论
Queuing Theory
确定型只是随机现象的特例
1
6.1 随机服务系统基础
• 系统的输入与输出是随机变量 • A.k.Erlang 于1909~1920年发表了一系列根据话务量计
算电话机键配置的方法，为随机服务理论奠定了基础 • 又称为排队论(Queuing Theory)或拥塞理论(Congestion
PB3 (1 / 8)PA0 (1 / 8)
(16 1 / 8)3 3!
e 161 / 8
e 81 / 8
0.0664
(2) 3 个顾客全是购买 B 类商品的概率为
Pn ( t ) 0
n2
26
例-2
某铁路与公路相交的平面交叉口，当火车通过 交叉口时，横木护栏挡住汽车通行。每次火车 通过时，平均封锁公路3min，公路上平均每分 钟有4辆汽车到达交叉口。求火车通过交叉口 时，汽车排队长度超过100m的概率（即排队 汽车超过12辆的概率）。
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
6.1.1 基本要素
排队系统的三个基本组成部分. •输入过程 (顾客按照怎样的规律到达); •排队规则 (顾客按照一定规则排队等待服务); •服务机构 (服务机构的设置,服务台的数量,服务的 方式,服务时间分布等)
到达两个或两个以上顾客的概率为 o(t )；即两个顾客不可 能同时到达 • 泊松过程具有可迭加性 – 即独立的泊松分布变量的和仍为泊松分布
21
6.3.2.2 负指数分布
（1）推导
• 泊松过程的到达间隔时间为负指数分布 – 令 h 代表间隔时间，则概率 P{h > t}代表时间区间 △t 内没有顾客来的概率；由泊松分布
第六章 随机服务系统理论
排队论
Queuing Theory
确定型只是随机现象的特例
1
6.1 随机服务系统基础
• 系统的输入与输出是随机变量 • A.k.Erlang 于1909~1920年发表了一系列根据话务量计
算电话机键配置的方法，为随机服务理论奠定了基础 • 又称为排队论(Queuing Theory)或拥塞理论(Congestion
PB3 (1 / 8)PA0 (1 / 8)
(16 1 / 8)3 3!
e 161 / 8
e 81 / 8
0.0664
(2) 3 个顾客全是购买 B 类商品的概率为
Pn ( t ) 0
n2
26
例-2
某铁路与公路相交的平面交叉口，当火车通过 交叉口时，横木护栏挡住汽车通行。每次火车 通过时，平均封锁公路3min，公路上平均每分 钟有4辆汽车到达交叉口。求火车通过交叉口 时，汽车排队长度超过100m的概率（即排队 汽车超过12辆的概率）。
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
6.1.1 基本要素
排队系统的三个基本组成部分. •输入过程 (顾客按照怎样的规律到达); •排队规则 (顾客按照一定规则排队等待服务); •服务机构 (服务机构的设置,服务台的数量,服务的 方式,服务时间分布等)
第5章 排队论ppt课件
❖ 1、队长——系统中的顾客数量
m
L S Pi i i0
队长
m
m
i P0 i P0 i i 1
i0
i1
P0
m i1
d d
(
i)
P0
d d
m
(
i1
i)
P0
d d
1 m 1
(
)
1
1
P0
1
(m
1) m (1 ) 2
m
m 1
1
LS
m 2
❖ 2、排队长——系统中等待的顾客数量
i-1个细菌
一、生灭过程定义
❖ 研讨系统内部形状变化的过程 形状i+1
一个事件
系统形状i
一个事件
形状i-1
在Δt时辰内发生两个或两个以上 事件的概率为O(Δt)
Δt→0， O(Δt)→0
系统具有0,1,2,……个形状。在任何时辰，假设 系统处于形状i，并且系统形状随时间变化的过 程满足以下条件，称为一个生灭过程：
M/M/1/∞/∞排队系统
系统容量无限、顾客源无限 最根本的排队系统 排队过程为生灭过程过程
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
S0
S1
S2
…
Si-1
Si
Si+1
…
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
P0
P1
P2
Pi
列形状转移方程组求各形状概率
P1 P0
P1
P0
P0
Pi ii1Pi1Pi1iP0
Pi 1
i0
( 1 23 i )P 0 1
第10章 排队论 《运筹学》PPT课件全
WL
Wq
Lq
W
1
M/M/s 混 合 制 排 队 模 型
一、 单服务台混合制模型
M/M/1/K： 顾客的相继到达时间服从参数 为λ的负指数分布(即顾客的到达过程为 Poisson流)，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为μ的负指数分布，系统的空间 为K。
单
平稳状态下队长N的分布pn=P{N=n},n=0,1,2,…。
服
由于所考虑的排队系统中最多只能容纳K个顾 客(等待位置只有K-1个)，因而有
务 台
n
0
n
n=0,1,2,...,K-1 n≥K n=1,2,...K
混 合
有
Cn
(
)n
n
n=0,1,2,...,K
0
n>K
制
故 pn n p0 n=1,2,…,K
模 型
1
其中，p0
1
1
K
n
1
K
1
1
n1
统
其分布函数为B(t)，密度函数为b(t)，则
的
常见的分布有： (1) 定长分布(D)
描
(2) 负指数分布(M)
述
(3) k阶爱尔朗分布(Ek)：
排
排队系统的符号表示
队
“Kendall记号”，其一般形式为：X/Y/Z/A/B/C，其中 XX：顾客到达时间间隔的分布
系
YY：服务时间的分布
统
Z Z：服务台个数
的
A ：系统容量 B B：顾客源数量
符
C C：服务规则
号
例 （M / M / 1 /
FCFS）表示：
表
到达间隔为负指数分布，服务时间也为负指数分 布，1个服务台，顾客源无限，系统容量也无限，
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(1) 顾客总体数组成(又称顾客源)是有限的， 也可以是无限的。例如，到售票处购票的顾 客总数可以认为是无限的，而某个工厂因故 障待修的机床则是有限的。
(2)顾客到达方式。描述顾客是怎样来到系统 的，他们是单个到达，还是成批到达。病人 到医院看病是顾客单个到达的例子。在库存 问题中如将生产器材进货或产品入库看作是 顾客，那么这种顾客则是成批到达的。
顾客
服务台
人
理发师
人
出纳
人
ATM机
人
收银员
阻塞的管道 管道工
人
售票员
人
航空公司代理人
人
股票经纪人
运输服务系统
系统类型 公路收费站 卡车装货地 港口卸货区 等待起飞的飞机 航班服务 出租车服务 电梯服务 消防部门 停车场 急救车服务
顾客 汽车 卡车 轮船 飞机ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ人 人 人 火灾 汽车 人
服务台 收费员 装货工人 卸货工人 跑道 飞机 出租车 电梯 消防车 停车空间 急救车
(2) 服务方式。这是指在某一时刻 接受服务的顾客数，它有单个服务和 成批服务两种。
(3) 服务时间的分布。在多数情况 下，对每一个顾客的服务时间是一随 机变量，其概率分布有定长分布、负 指数分布、K级爱尔朗分布、一般分 布(所有顾客的服务时间都是独立同分 布的)等等。
（二）排队模型的分类
为了区别各种排队系统，根据输入过程、 排队规则和服务机制的不同，对排队模型进 行分类。D．G．Kendall在1953年提出了模 型分类方法，1971年在排队论符号标准化会 议上，将Kendall符号扩充为如下固定格式：
（三）排队系统的主要数量指标
1. 队长和排队长 队长是指系统中的顾客数(排队等待的顾
Where the Time Goes ?
美国人一生中平均要花费--
6个月 停在红灯前 8个月 打开邮寄广告 1年 寻找放置不当的物品 2年 回电话不成功 4年 做家务 5年 排队等待 6年 饮食
商业服务系统
系统类型 理发店 银行出纳服务 ATM机服务 商店收银台 管道服务 电影院售票窗口 机场检票处 经纪人服务
(3)顾客流的概率分布，或称顾客相继到 达时间间隔的分布。这是求解排队系统 有关运行指标问题时，首先需要确定的 指标。
顾客流的概率分布一般有定长分布、 二项分布、泊松流(最简单流)、爱尔朗分 布等若干种。
2、排队规则 这是指服务台从队列中选取 顾客进行服务的顺序。
等待制
先到先服务 后到先服务 随机服务 优先权服务
X/Y/Z/A/B/C 各符号的意义为：
X/Y/Z/A/B/C
X—表示顾客相继到达间隔时间分布，常用下 列符号：
M—表示到达过程为泊松过程或负指数分布； D—表示定长输入； Ek—表示k阶爱尔朗分布； GI——表示一般相互独立的时间间隔分布； G——表示一般服务时间的分布。
X/Y/Z/A/B/C
决胜千里之外 运筹帷幄之中
排队论
Queuing Theory
第十二章 排队论 本章内容
➢基本概念 ➢到达间隔的分布和服务时间的分布 ➢单服务台负指数分布排队系统的分析 ➢多服务台负指数分布排队系统的分析 ➢一般服务时间M/G/1模型
排队论(Queuing Theory)，又称随机服务 系统理论(Random Service System Theory)。 1909年由丹麦工程师爱尔朗(A.K．Erlang)在 研究电话系统时创立的。具体地说，它是在研 究各种排队系统概率规律性的基础上，解决相 应排队系统的最优设计和最优控制问题。特别 是自二十世纪60年代以来，由于计算机的飞速 发展，使排队论的应用有了更广阔的前景。
排队规则
损失制
混合制
队长有限 等待时间有限 逗留时间有限
3．服务台情况。服务台可以从3方面来描述： (1) 服务台数量及构成形式
图12-2 单队列-单服务台排队系统
图12-3 单队列——S个服务台并联的排队系统 图12-4 S个队列——S个服务台的并联排队系统
图12-5 单队——多个服务台的串联排队系统 图12-6 多队——多服务台混联、网络系统
则表示顾客到达间隔时间为负指数分 布(泊松流)；
服务时间为负指数分布； 有s(s＞1)个服务台； 系统等待空间容量无限(等待制)； 顾客源无限，采用先到先服务规则。 可简记为： M/M/s
某些情况下，排队问题仅用 上述表达形式中的前3个、4个、5 个符号。如不特别说明均理解为 系统等待空间容量无限；顾客源 无限，先到先服务，单个服务的 等待制系统。
Y—表示服务时间分布，常用下列符号：
M—表示服务过程为泊松过程或负指数分布； D—表示定长分布； Ek—表示k阶爱尔朗分布； G—表示一般相互独立的随机分布。
X/Y/Z/A/B/C
Z—表示服务台(员)个数： “1”则表示单个服务台，“s”(s＞1) 表
示多个服务台。
A—表示系统中顾客容量限额，或称等待空 间容量：
∞ 时为等待制系统，此时∞一般省略不 写；若为有限整数时，为混合制系统。
X/Y/Z/A/B/C
B—表示顾客源限额。 分有限与无限两种，∞表示顾客源无限，
此时一般∞也可省略不写。
C—表示服务规则，常用下列符号： FCFS：表示先到先服务； LCFS：表示后到先服务； PR：表示优先权服务。
例如：某排队问题为 M／M／S／∞／∞／FCFS
面对拥挤现象，如何做到既保证一定的 服务质量指标，又使服务设施费用经济合 理，恰当地解决顾客排队时间与服务设施 费用大小这对矛盾，这就是排队论所要研 究解决的问题之一。
第一节 基本概念
（一）排队系统的特征及组成
➢ 排队系统的共同特征: ① 有要求得到某种服务的人或物。排队 论里把要求服务的对象统称为“顾客” ② 有提供服务的人或机构。把提供服务 的人或机构称为“服务台”或“服务员” ③ 顾客的到达、服务的时间至少有一个 是随机的，服从某种分布。
一般的排队系统，都可由图12-1加以描述。
服务机构
顾客源 顾客到来 排队结构 服务规则 排队规则
排队系统
图12-1
离去
➢排队系统的组成
排队系统都有输入过程、排队规则和 服务台等3个组成部分：
1、输入过程 这是指要求服务的顾客是按怎 样的规律到达排队系统的过程，有时也把 它称为顾客流．一般可以从3个方面来描述 输入过程。