比例线段常考题型
比例线段的练习题
比例线段的练习题在几何学中，比例线段是一种重要的概念，它常常出现在各种几何问题和计算中。
通过练习比例线段的计算和应用，我们可以更好地理解和运用这一概念。
本文将提供一些关于比例线段的练习题，帮助读者加深对比例线段的理解。
练习题一：已知线段AB长为12cm，线段CD长为8cm，且线段AB与线段CD成比例。
请计算线段EF的长度，使得线段EF与线段CD的比例与线段AB与线段CD的比例相同。
解答：设线段EF的长度为x，则根据线段比例的定义可得：AB/CD = EF/CD将已知条件代入上式，得到：12/8 = x/8通过求解方程，可得x = 12/2 = 6因此，线段EF的长度为6cm。
练习题二：已知线段PQ的长度为8cm，线段RS的长度为16cm，且线段PQ 与线段RS成比例。
如果线段ST的长度为12cm，且线段ST与线段RS 的比例与线段PQ与线段RS的比例相同，求线段UV的长度，并画出线段PQ、RS、ST、UV的关系示意图。
解答：设线段UV的长度为y。
根据线段比例的定义，可得到以下两个比例关系：PQ/RS = ST/RSRS/ST = UV/ST将已知条件代入上述比例关系，得到：8/16 = 12/1616/12 = y/12通过求解方程，可得y = 16/3因此，线段UV的长度为16/3 cm。
下面是线段PQ、RS、ST、UV的关系示意图（图中标注的长度并非按比例绘制）：[图示]通过上述练习题，我们可以加深对比例线段的理解和应用。
通过计算和推导，我们能够更好地掌握比例线段的概念和运用方法。
希望读者通过这些练习题能够提高对比例线段的认识，并在实际问题中能够灵活运用。
初三数学比例线段练习题
比例线段成比例线段 类型一：线段的比考点说明：陕西各大学校对于线段的比基本在月考或期中期考考试中会出一道选择题以此来检验学生的掌握情况，容易度为：比较容易，没有出现过难题，一般属于送分题。
【易】1．若a ：b=b ：c=c ：d=1：2，则a ：d=（ ） A.1：2 B. 1：4 C. 1：6 D. 1：8【易】2．已知y x =53，则(x+y)：(x −y)= . 【易】3．已知5x =3y =4z，则z y 3x z -y 2x +++= .【中】4．已知y 2-x 3y 5x +=21，则y x= ，y-x y x += .【中】5．如果b a =32，且a ≠2，b ≠3，那么5-b a 1b -a ++= .【中】6．若ba =43，cb =23，dc =54，则22db ac +等于多少？【难】7．已知a+b=x c ，b+c=x a ，a+c=xb，求x 的值类型二：成比例线段【易】1．已知mn=ab≠0，则下列各式中错误的是（ ） A.a m =nb B. b m =n a C. m a =b n D.n m =ba【易】2．已知线段a ，b ，c 满足c 2=ab ，a=4，b=9，则c=______【易】3．在一张比例尺为1：15000的平面图上，一块多边形地区的其中一边长为5cm ，那么这块地区实际上和这一边相对应的长度为（ ） A.750cm B.75000cm C.3000cm D.300cm【中】4.有同一三角形地块的甲，乙两地图，比例尺分别为1：100和1：500，那么甲地图与乙地图表示这一块的三角形面积比是（ ） A.25：1 B.5：1 C.251 D.51 【中】5.如图，四条线段的长分别为9，5，x 、1（其中x 为正实数），用它们拼成两个相似的直角三角形，且AB 与CD 是其中的两条线段，则x 可取值的个数为（ ）A.1个B.3个C.6个D.9个【难】6.已知a ，b ，c ，d 四条线段成比例，其中a=3cm ，b=（x-1）cm ，c=5cm ，d=（x+1）cm ，求x 的值比例线段的性质类型一：比例线段的性质考点说明：考试一般以选填形式出题，大题中则是把知识点与三角形的边长之间的关系结合在一起考查学生。
比例线段常考题型
平行线分线段成比例知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3.比例线段的性质 等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ， 那么ban f d b m e c a =++++++++合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．一、填空题1. 比例尺为1：50000的地图上，两城市间的图上距离为20cm ，则这两城市的实际距离 是 km.2. 图纸上画出的某个零件的长是32 mm ，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是 .3. 正方形的边长与对角线的比为： .4. 已知b 是a ，c 的比例中项，且a=3cm ，c=6cm ，则b= cm5. 如果线段a=3，b=12，那么线段a 、b 的比例中项x=___________.6. 线段a=2cm ，b=3cm ，c=1cm ， 那么a 、b 、c 的第四比例项d=____ .7. 在x ∶6= (5 +x )∶2 中的x = ；2∶3 = ( 5-x )∶x 中的x = .8. 若2:3:=y x ，2:3:=z y . 则=z y x :: .9. 若a ∶3 = b ∶4 = c ∶5 , 且a +b -c =6, 则a = ，b = ，c = .10. 已知x ∶y ∶z = 3∶4∶5 , 且x +y +z =12, 那么x = ，y = ，z = . 11. 已知x ∶4 = y ∶5 = z ∶6 , 则 ①x ∶y ∶z = , ② (x+y )∶(y+z )= .12. 若43===f e d c b a , 则______=++++f d b e c a .13. 若9810z y x ==, 则 ______=+++zy zy x . 14. 若322=-y y x , 则_____=yx.15. 如图，已知 AB ∶DB = AC ∶EC ，AD = 15 cm , AB = 40 cm , AC = 28 cm , 则 AE= . 16. 若P 为AB 的黄金分割点，且AP ＞PB ，若AB ＝8cm ，则AP ＝_______. PB ＝ . 二、选择题1. 已知一矩形的长a =1.35m ，宽b =60cm ，则a ∶b 的值为（ ） A. 9∶400 B. 9∶40 C. 9∶4 D. 90∶42. 下列线段能成比例线段的是（ ）A.1cm,2cm,3cm,4cm.B.1cm,2cm,22cm,2cm.C.2cm,5cm,3cm,1cm.D.2cm,5cm,3cm,4cm 3. 下面4条线段，不能成比例的是（ ）A ．4,2,6,3====d c b aB ．3,6,2,1====d c b aC ．10,5,6,4====d c b aD ．32,15,5,2====d c b a4. 如果线段a =4，b =16，c =8，那么a 、b 、c 的第四项是（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 325. 在比例尺为1：400000的地图上，量得AB 两地距离是24cm ，则A 、B 两地实际距离（ ）A 、960mB 、9600mC 、96000mD 、960000m6. 某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5米，影长是1米，旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是 （ ） A 、12米 B 、11米 C 、10米 D 、9米7. 两直角边为3和4的直角三角形的斜边和斜边上高线的比是 （ ） A. 5:3 B. 5:4 C. 5:12 D. 25:12 8. 已知32=b a ，则bb a +的值为 （ ） A. 23 B. 34C. 35D. 539. 已知x ∶y ∶z =1∶2∶3，且2x+y -3z = -15，则x 的值为 （ ）A C DB EA. -2B. 2C. 3D. -310. 如果 a:b=12:8，且b 是a 和c 的比例中项，那么b:c 等于（ ）A. 4：3B. 3：2C. 2：3D. 3：411. 在比例尺为1∶38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为7cm ，它的实际长度为（ ）A. 0.226kmB. 2.66kmC. 26.6kmD. 266km12. 已知点C 是AB 的黄金分割点(AC >BC)，若AB=4cm ，则AC 的长为（ ） A. (2 5 –2)cm B. (6-2 5 )cm C. ( 5 –1)cm D. (3- 5 )cm 三、解答题1. 若c b a 432==，求c b a ::的值.2. 已知10:5:3::=c b a ，且16=-+b c a ， 求c b a -+23的值.3. 已知743c b a ==，且0≠⋅⋅c b a ， 求cb ac b a 432234-+-+的值. 4. 若k cb a dd b a c d c a b d c b a =++=++=++=++, 求k 的值.专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
中考数学复习基本过关训练 18,比例线段,相似形(一)
卷18：比例线段、相似形（一）班级： 姓名： 分数：一、选择题(每小题3分，共24分)1. 在比例尺为1∶10000的地图上,相距5厘米的两地A 、B 的实际距离( ) (A) 500厘米 (B) 500分米 (C) 500米 (D) 500千米2.如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列式子中成立的是……………（ ） （A ） ECBF DB AD = （B ）AC DE BC AB = （C ） CEAC ABEF = （D ）FCBF DBAD =3.下列各组图形有可能不相似的是……………………( （A ）各有一个角是︒45的两个等腰三角形 （B ）各有一个角︒60是的两个等腰三角形 （C ）各有一个角是︒105的两个等腰三角形 （D ）两个等腰直角三角形4.在△ABC 中,直线DE 分别与AB 、AC 相交于D 、E,下列条件不能推出△ABC 与△ADE 相似的是…………………………………………………………………( )（A ）ECAE BDAD = （B ）∠ADE=∠ABC（C ）AE•A B=AC •AD (D) BCDE ABAD =5.△ABC 中,直线DE 交AB 于D,交AC 于点E,那么能推出DE ∥BC 的条件是………………………………………………………( )(A) ；，2123==AE EC AD AB(B)3232==BC DE AB AD，;(C) ；，3232==AE CE DB AD (D) ；，3434==EC AE AB AD 6.如图,在△ABC 中,D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，且AD ∶DB=2∶3，则ADE S ∆∶DECBS 四边形为………………………………………（ ）（A ）2∶5 （B ）2∶5 （C ）4∶25 （D ）4∶217．已知线段AB ，在线段BA 的延长线上取一点C ，使CA=3AB ，则线段CA 与线段CB 之比为…………………………………………………………………………（ ） （A ）3：4 （ B ）2：3 （C ）3：5 （D ）1：28．下列多边形一定相似的为……………………………………………………（ ） （A ）两个矩形 （B ）两个菱形 （C ）两个正方形 （D ）两个平行四边形 二、填空题（每小题4分，共64分)9.已知,a ∶b =3∶2,且b =4cm ,则a = cm .10.若ABC ∆和111C B A ∆是相似图形,且A 与A 1 ,B 与B 1 ,C 与C 1是对应点,已知∠A=︒55,∠B=︒60,则∠C 1= . 11.如图，已知AE ∥BC ，AC 、BE 交于点D ，若32=DCAD ，则BDDE = .12.在△ABC 中,D 、E 分别在AB 、AC 上,DE ∥BC ，则=BCDE =13.D 在△ABC 的边AB 上,且AC 2=AD•AB ，则△ABC ∽△ACD,理由是 .14.AD 是△ABC 的中线,G 是重心,且AG=6,则AD= .15.已知△ABC ∽△A 1B 1C 1,且相似比为2∶3 , AD 、A 1D 1,分别是BC 、B 1C 1上的高,则AD ∶A 1D 1 = .16. 已知AB =4 , P 是AB 黄金分割点, PA >PB , 则P A 的长为 .17.△ABC 的三边之比为3∶4∶6, △A 1B 1C 1∽△ABC, 若△A 1B 1C 1中最长的边为18厘米,则最短的边长为 厘米.18. ABC ∆中, DE ∥BC, DE 分别交AB 、AC 于点D 、E,已知则AC= . 19.如图,O是△ABC 的重心,29cm S ABC =∆,则BCO S ∆=cm 2.20. 如果D 、E 分别是⊿ABC 的边AB 、AC 的延长线上的点,且DE ∥BC ，AE =30，EC =20，AB =16则AD = .21.在△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 的反向延长线上,DE ∥BC ，若AD ∶AB=3∶4，EC=14厘米,则AC= 厘米.22.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为的BC 中点,F 是BE 的中点,AE 与DF 交于H ，则AH ∶HE=. 23.如图,四边形ABCD 中,AC 、BD 相交于O, 若BODO COAO =，AO=8，CO=12，BC=15，则AD= .24.△ABC 中,D 、F 为AB 上的点，E 、G 为AC 上的点，DE ∥FG ∥BC,AD ∶DF ∶FB =1∶1∶1,则ADE S ∆∶DEGF S 四边形∶FGCBS 四边形= .三、解答题(25～28每题8分,29～31每题10分,共62分) 25.如图ABC ∆中,DE ∥BC,31=BDAD ,求:(1)；ABAD (2)ACEC26.△ABC 中,DE ∥BC ，DBAD DFAF =,求证:EF ∥CD.27.如图，在△ABC 中,AB=AC,D 、E 分别是AC 及AC 延长线上的点,连接BD 、BE,已知AC 2=AD•AE ，求证:BC 平分∠DBE.28.如图,D 为△ABC 内一点,E 为△ABC 外一点,且满足AEAC DEBC ADAB ==,求证:①△ABD ∽△ACE ；②∠ABD=∠ACE.29.如图，AB ⊥BD,CD ⊥BD,AB=6,CD=16,BD=20,一动点P 从B 向D 运动,问当P 离B 多远时,△PAB 与△PCD 是相似三角形?试求出所有符合条件的P 点的位置.30. 已知矩形ABCD 中,CD=2,AD=3,P 是AD 上的一个动点,且和A 、D 不重合，过P 作PE ⊥CP ，交边AB 于E ，设PD=x ，AE=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围.31.在△ABC 中,BC=10,ABC S ∆=30,矩形DEFG 内接于△ABC,设DE=x ，矩形DEFG 的面积为y.求: ①y 与x 的函数关系式及定义域；②当x 为何值时,四边形DEFG 为正方形,并求正方形DEFG 的面积.卷18：比例线段、相似形（一）参考答案一、选择题(6×4’=24’)1、C2、D3、A4、D5、A 6. D 7. A 8. C二填空题16×4’=64’) 9、6cm 10、︒65 11、32 12、ACAE ABAD = 13、两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 14、9 15、2∶3 16、252- 17、9 18、10 19、23cm 20、48 21、8 22、4：1 23、10 24.1：3：5三、解答题(25～28每题8分,29～31每题10分,共62分) 25、（1）；41=AB AD ………..(4’)（2）43=AC EC ………..(4’)26、DE ∥BC………..(1’) ∴DB AD EC AE =………..(4’) ∵DB AD DF AF =………..(5’) ∴ECAE DFAF =………..(7’)∴EF ∥CD………..(9’) 27、∵AC 2=AD•AE ∴AE AC AC AD =∵AB=AC ∴AEAB ABAD =又∠A=∠A ∴⊿DAB~⊿BAE ∴∠ABD=∠E ∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB ∴∠DBC=∠EBC即BC 平分∠DBE 28. （1）∵AEAC DEBC ADAB ==………..(1’)∴△ABC ∽△AD E………..(2’) ∴∠BAC=∠DAE ………..(3’) ∴∠BAD=∠EAC ………..(4’) ∵AE AC AD AB =………..(5’) ∴AEAD ACAB =………..(7’)∴△ABD ∽△ACE………..(8’)（2）∵△ABD ∽△ACE………..(9’) ∴∠ABD=∠ACE………..(10’) 29、设BP 为x ，………..(1’)AB ⊥BD,CD ⊥BD 可知∠B=∠D ………..(2’)（ⅰ）若△ABP~△PDC 得AB ：PD=BP ：DC 得………..(3’) 6：（20-x ）=x ：16………..(4’) 解得x=8，12即BP 为8或12………..(5’)（ⅱ）若△ABP~△CDP………..(6’) AB ：CD=BP ：DP ………..(7’) 得6：16=x ：（20-x ）………..(8’) 解得x=1160即 BP 为1160………..(9’)综合（ⅰ）（ⅱ）得BP 为1160,8,12 时△PAB 与△PCD 相似.. (10)30、可证△CDP~△PAE ………..(5’) 得CD ：PA=DP ：AE ………..(6’) 得2：x=（3-x ）：y ∴y=x x 23212+-………..(8’)定义域为0<x<3 31、(1)x x y 10352+-= (O<x<6) ………..(7’)(2) 415,16225………..(10’)。
比例线段-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
比例线段【知识梳理】一．比例的性质（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．（2）常用的性质有：①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．②合比性质．若＝，则＝．③分比性质．若＝，则＝．④合分比性质．若＝，则＝．⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝．二．比例线段（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如ab ＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．三．黄金分割（1）黄金分割的定义：如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC ＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为．【考点剖析】一．比例的性质（共15小题）1．（2018秋•浦东新区期中）已知3x＝5y（y≠0），则下列比例式成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】直接利用比例的性质得出x，y之间关系进而得出答案．【解答】解：A、＝，可以化成：xy＝15，故此选项错误；B、＝，可以化成：3x＝5y，故此选项正确；C、＝，可以化成：5x＝3y，故此选项错误；D、＝，可以化成：5x＝3y，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确掌握比例的基本性质是解题关键．2．（2023•青浦区一模）已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（）A．6B．8C．10D．12【分析】根据比例的性质分别判断即可．【解答】解：1：3＝4：12，故选：D．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确把握比例的性质是解题关键．3．（2023•普陀区一模）已知，x+y＝10，那么x﹣y＝．【分析】直接利用已知代入求出y的值，即可得出x的值，进而得出答案．【解答】解：∵，x+y＝10，∴x＝y，则y+y＝10，解得：y＝4，那么x﹣y＝6﹣4＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将已知代入是解题关键．4．（2022秋•奉贤区期中）已知：＝＝，2x﹣3y+4z＝33，求代数式3x﹣2y+z的值．【分析】设比值为k，用k表示出x、y、z，然后代入等式求出k，从而得到x、y、z，再代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：设＝＝＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，∵2x﹣3y+4z＝33，∴4k﹣9k+16k＝33，解得k＝3，∴x＝6，y＝9，z＝12，∴3x﹣2y+z＝3×6﹣2×9+12＝18﹣18+12＝12．【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y、z求解更简便．5．（2022秋•金山区校级期末）根据4a＝5b，可以组成的比例有（）A．B．C．D．【分析】根据比例的性质，进行计算即可解答．【解答】解：A、∵＝，∴5a＝4b，故A不符合题意；B、∵＝，∴5a＝4b，故B不符合题意；C、∵＝，∴4a＝5b，故C符合题意；D、∵＝，故D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．6．（2022秋•浦东新区期中）已知＝，那么的值为（）A．B．C．D．﹣【分析】利用比例的性质，进行计算即可解答．【解答】解：∵＝，∴＝1﹣＝1﹣＝，故选：B．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．7．（2022秋•嘉定区校级期末）如果2a＝3b（a、b都不等于零），那么＝．【分析】直接利用已知把a，b用同一未知数表示，进而计算得出答案．【解答】解：∵2a＝3b（a、b都不等于零），∴设a＝3x，则b＝2x，那么＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，掌握正确表示出a，b的值是关键．8．（2022秋•奉贤区期中）已知，且2a﹣3b+c＝28，求代数式a+b﹣c的值．【分析】利用设k法，进行计算即可解答．【解答】解：设＝＝＝k，则a＝2k，b＝5k，c＝7k，∵2a﹣3b+c＝28，∴4k﹣15k+7k＝28，解得：k＝﹣7，∴a＝﹣14，b＝﹣35，c＝﹣49，∴a+b﹣c＝﹣14+（﹣35）﹣（﹣49）＝﹣49+49＝0，∴代数式a+b﹣c的值为0．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．9．（2022秋•上海月考）已知a、b、c分别是△ABC的三条边的边长，且a：b：c＝5：7：8，3a﹣2b+c＝9，求△ABC的周长．【分析】设a＝5k，b＝7k，c＝8k，再代入等式3a﹣2b+c＝9，求出k的值，从而得到a、b、c的值，然后根据三角形周长公式进行计算，即可得解．【解答】解：设a＝5k，b＝7k，c＝8k，代入3a﹣2b+c＝9得，15k﹣14k+8k＝9，解得：k＝1，则a＝5，b＝7，c＝8，所以△ABC的周长是：5+7+8＝20．【点评】本题考查了比例的性质以及代数式求值，解决此类题目时利用“设k法”求解更简便．10．（2022秋•虹口区期中）已知：＝＝≠0，且a+b+c＝36，求a、b、c的值．【分析】可设＝＝＝k（k≠0），可得a＝3k，b＝4k，c＝5k，再根据a+b+c＝36可得关于k的方程，解方程求出k，进一步求得a、b、c的值．【解答】解：设＝＝＝k≠0，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，∵a+b+c＝36，∴3k+4k+5k＝36，解得k＝3，则a＝3k＝9，b＝4k＝12，c＝5k＝15．【点评】此题考查了比例的性质，设k法得到关于k的方程是解题的关键．11．（2021秋•徐汇区校级月考）已知，求的值．【分析】先设＝＝＝k，可得x＝2k，y＝3k，z＝4k，再把x、y、z的值都代入所求式子计算即可．【解答】解：设＝＝＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，＝＝11．【点评】本题考查了比例的性质．解题的关键是先假设设＝＝＝k，可得x＝2k，y＝3k，z＝4k，降低计算难度．12．（2021秋•奉贤区校级期中）已知：a：b：c＝3：4：5．（1）求代数式的值；（2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值．【分析】设a＝3k，b＝4k，c＝5k，（1）把a＝3k，b＝4k，c＝5k代入代数式中进行分式的混合运算即可；（2）把a＝3k，b＝4k，c＝5k代入3a﹣b+c＝10得到关于k的方程，求出k，从而得到a、b、c的值．【解答】解：∵a：b：c＝3：4：5，∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k，（1）＝＝；（2）∵3a﹣b+c＝10，∴9k﹣4k+5k＝10，解得k＝1，∴a＝3，b＝4，c＝5．【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键．13．（2022秋•奉贤区期中）已知实数a、b、c满足，且a﹣3b+2c＝﹣8．求的值．【分析】设a＝3k，b＝5k，c＝4k，根据a﹣3b+2c＝﹣8，得k＝2，a＝6，b＝10，c＝8，即可求出答案．【解答】解：∵，∴设a＝3k，b＝5k，c＝4k，∵a﹣3b+2c＝﹣8，∴3k﹣15k+8k＝﹣8，∴k＝2，∴a＝6，b＝10，c＝8，∴＝＝1．【点评】本题考查了比例的基本性质，根据已知条件列方程是关键．14．（2021秋•奉贤区校级期中）已知实数x、y、z满足＝＝，且x﹣2y+3z＝﹣2．求：的值．【分析】设＝＝＝k（k≠0），得出x＝3k，y＝5k，z＝2k，再根据x﹣2y+3z＝﹣2，求出k的值，从而得出x、y、z的值，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．【解答】解：∵＝＝，设＝＝＝k（k≠0），∴x＝3k，y＝5k，z＝2k，∵x﹣2y+3z＝﹣2，∴3k﹣10k+6k＝﹣2，∴k＝2，∴x＝6，y＝10，z＝4，∴＝＝2．【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键．15．（2022秋•嘉定区期中）已知＝＝≠0，且5x+y﹣2z＝10，求x、y、z值【分析】首先设x＝2a，y＝3a，z＝4a，然后再代入5x+y﹣2z＝10，可得a的值，进而可得答案．【解答】解：设x＝2a，y＝3a，z＝4a，∵5x+y﹣2z＝10，∴10a+3a﹣8a＝10，5a＝10，a＝2，∴x＝4，y＝6，z＝8．【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握用同一未知数表示各未知数．二．比例线段（共10小题）16．（2021秋•徐汇区校级期中）下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（）A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4C．，b＝3，c＝2，D．a＝2，，，【分析】根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．【解答】解：A.4×10≠6×5，故不符合题意，B.1×4≠2×3，故不符合题意，C.≠2×3，故不符合题意，D.，故符合题意，故选：D．【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．17．（2023•长宁区一模）已知线段a、b、c、d是成比例线段，如果a＝1，b＝2，c＝3，那么d的值是（）A．8B．6C．4D．1【分析】根据成比例线段的概念可得a：c＝c：b，可求d的值．【解答】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，a＝1，b＝2，c＝3，∴a：b＝c：d，即1：2＝3：d，解得：d＝6．故选：B．【点评】此题考查了比例线段，掌握比例线段的定义是解题的关键．18．（2023•宝山区一模）已知线段a、b，如果a：b＝2：3，那么下列各式中一定正确的是（）A．2a＝3b B．a+b＝5C．D．【分析】根据比例的性质进行判断即可．【解答】解：A、由a：b＝2：3，得3a＝2b，故本选项错误，不符合题意；B、当a＝4，b＝6时，a：b＝2：3，但是a+b＝10，故本选项错误，不符合题意；C、由a：b＝2：3，得＝，故本选项正确，符合题意；D、当a＝4，b＝6时，a：b＝2：3，但是＝，故本选项错误，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两外项的积等于两内项的积，比较简单．19．（2022秋•嘉定区期中）如果mn＝pq，那么下列比例式正确的是（）A．B．C．D．【分析】从选项判断，把每一个比例式化成等积式即可解答．【解答】解：A、∵，∴mq＝pn，故不符合题意；B、∵，∴qm＝pn，故不符合题意；C、∵，∴mn＝pq，故符合题意；D、∵，∴pm＝qn，故不符合题意，故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，把比例式化成等积式是解题的关键．20．（2021秋•金山区期末）在比例尺是1：200000的地图上，两地的距离是6cm，那么这两地的实际距离为（）A．1.2km B．12km C．120km D．1200km【分析】设这两地的实际距离为xcm，根据比例尺的定义列出方程，然后求解即可得出答案．【解答】解：设这两地的实际距离为xcm．由题意得：＝，解得x＝1200000，经检验，x＝1200000是分式方程的解，1200000cm＝12km，故选：B．【点评】本题考查比例线段，比例尺的定义，解题的关键是熟练掌握比例尺性质，属于中考常考题型．21．（2020秋•静安区期末）已知线段x，y满足＝，求的值．【分析】先根据比例的基本性质得到y（2x+y）＝x（x﹣y），可得x2﹣3xy﹣y2＝0，再把y当作已知数，解关于x的方程即可求得的值．【解答】解：∵＝，∴y（2x+y）＝x（x﹣y），则x2﹣3xy﹣y2＝0，解得x1＝y，x2＝y（负值舍去）．故的值为．【点评】考查了比例线段，关键是熟练掌握比例的基本性质，得到x＝y是解题的难点．22．（2023•金山区一模）下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cmC．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【解答】解：A、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例，不符合题意；B、∵2×5≠3×4C、∵2×6＝3×4，∴四条线段成比例，符合题意；D、∵3×9≠4×6，∴四条线段成比例，不符合题意；故选：C．【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．23．（2021秋•黄浦区期末）4和9的比例中项是（）A．6B．±6C．D．【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积求解．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．设它们的比例中项是x，则x2＝4×9，解得x＝±6．故选：B．【点评】本题考查了比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．求比例中项根据比例的基本性质进行计算．24．（2021秋•奉贤区校级期中）已知：线段a、b、c，且．（1）求的值；（2）如线段a、b、c满足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．【分析】（1）设＝＝＝k，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，代入所求代数式即可；（2）把a＝3k，b＝4k，c＝5k代入3a﹣4b+5c＝54求出k，把k值代入所求代数式即可．【解答】解：设＝＝＝k，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，（1）＝＝＝；（2）∵3a﹣4b+5c＝54，∴9k﹣16k+25k＝54，解得：k＝3，∴a﹣2b+c＝3k﹣8k+5k＝0．【点评】本题主要考查了比例线段，设＝＝＝k得到a＝3k，b＝4k，c＝5k是解决问题的关键．25．（2021秋•宝山区校级月考）已知a、b、c是△ABC的三边长，且＝＝≠0，求：（1）的值．（2）若△ABC的周长为90，求各边的长．【分析】（1）设＝＝＝k，易得a＝5k，b＝4k，c＝6k，然后把它们分别代入中，再进行分式的运算即可；（2）根据三角形周长定义得到5k+4k+6k＝90，解关于k的方程求出k，然后计算5k、4k和6k即可．【解答】解：（1）设＝＝＝k，则a＝5k，b＝4k，c＝6k，所以＝＝；（2）5k+4k+6k＝90，解得k＝6，所以a＝30，b＝24，c＝36．【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．三．黄金分割（共7小题）26．（2023•长宁区一模）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么的值为（）A．B．C．D．【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴＝，∴＝＝，∴＝﹣1＝﹣1＝＝，故选：C．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．27．（2022秋•徐汇区期末）已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10，那么PQ的长为（）A．5（3﹣）B．10（﹣2）C．5（﹣1）D．5（+1）【分析】先由黄金分割的比值求出BP＝AQ＝5（﹣1），再由PQ＝AQ+BP﹣AB进行计算即可．【解答】解：如图，∵点P、Q是线段AB的黄金分割点，AB＝10，∴BP＝AQ＝AB＝5（﹣1），∴PQ＝AQ+BP﹣AB＝10（﹣1）﹣10＝10（﹣2），故选：B．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，熟记黄金比是解题的关键．28．（2021秋•金山区期末）如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么的值等于（）A．+1B．﹣1C．D．【分析】由黄金分割的定义得＝，即可得出答案．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），∴＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．29．（2022秋•嘉定区期中）已知点A、B、C在一条直线上，AB＝1，且AC2＝BC•AB，求AC的长．【分析】分三种情况：当点C在线段AB上，当点C在线段AB的延长线时，当点C在线段BA的延长线时，然后分别进行计算即可解答．【解答】解：分三种情况：当点C在线段AB上，如图：∵AC2＝BC•AB，∴点C是AB的黄金分割点，∴AC＝AB＝×1＝；当点C在线段AB的延长线时，如图：设AC＝x，则BC＝AC﹣AB＝x﹣1，∵AC2＝BC•AB，∴x2＝（x﹣1）•1，整理得：x2﹣x+1＝0，∴原方程没有实数根；当点C在线段BA的延长线时，如图：设AC＝x，则BC＝AC+AB＝x+1，∵AC2＝BC•AB，∴x2＝（x+1）•1，整理得：x2﹣x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（不符合题意，舍去），∴AC的长为；综上所述，AC的长为或．【点评】本题考查了黄金分割，分三种情况讨论是解题的关键．30．（2022秋•宝山区校级月考）已知点C在线段AB上，且满足AC2＝AB•BC．（1）若AB＝1，求AC的长；（2）若AC比BC大2，求AB的长．【分析】（1）根据已知可得点C是线段AB的黄金分割点，从而可得AC＝AB，然后进行计算即可解答；（2）根据已知可设AC＝x，则BC＝x﹣2，从而可得AB＝2x﹣2，然后根据AC2＝AB•BC，可得x2＝（2x﹣2）（x﹣2），从而进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵点C在线段AB上，且满足AC2＝AB•BC，∴点C是线段AB的黄金分割点，∴AC＝AB＝，∴AC的长为；（2）∵AC比BC大2，∴设AC＝x，则BC＝x﹣2，∴AB＝AC+BC＝2x﹣2，∵AC2＝AB•BC，∴x2＝（2x﹣2）（x﹣2），解得：x1＝3+，x2＝3﹣（舍去），∴AB＝2x﹣2＝2+4，∴AB的长为2+4．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．31．（2020秋•闵行区期末）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【分析】她下半身的长度为92cm，设鞋跟高为x厘米时，她身材显得更为优美，利用黄金分割的定义得到≈0.618，然后解方程即可．【解答】解：∵一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，∴她下半身的长度为92cm，设鞋跟高为x厘米时，她身材显得更为优美，根据题意得≈0.618，解得x≈8.3（cm）．经检验x＝8.3为原方程的解，所以选择鞋跟高为8厘米的高跟鞋最佳．故选：C．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考查了解分式方程．32．（2019秋•嘉定区校级月考）已知：如图，线段AB＝2，BD⊥AB于点B，且BD＝AB，在DA上截取DE＝DB．在AB上截取AC＝AE．求证：点C是线段AB的黄金分割点．【分析】在直角△ABD中根据勾股定理计算出AD＝，则AE＝AD﹣DE＝﹣1，再利用画法得到AC＝AE ＝﹣1，即AC ＝AB ，然后根据黄金分割的定义得到点C 就是线段AB 的黄金分割点．【解答】证明：∵AB ＝2，BD ＝AB ，∴BD ＝1．∵BD ⊥AB 于点B ，∴AD ＝＝， ∴AE ＝AD ﹣DE ＝﹣1， ∴AC ＝AE ＝﹣1，∴AC ＝AB ，∴点C 就是线段AB 的黄金分割点．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC ＝AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC ＝AB ≈0.618AB ，并且线段AB 的黄金分割点有两个．【过关检测】一、单选题【答案】C【分析】能否构成一个比例式，根据“两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段”判断即可．【详解】A ．21=，能组成一个比例式，不合题意；B ．12=⨯，能组成一个比例式，不合题意；C ．1，2 不能组成一个比例式，符合题意；D ．12=故选：C【点睛】本题考查了成比例的线段，熟知：两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段． 2．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）下列各组线段中，成比例线段的组是（ ）A ．0.2cm,0.3cm,4cm,6cmB ．1cm,3cm,4cm,8cmC ．3cm,4cm,5cm,8cmD ．1.5cm,2cm,4cm,6cm 【答案】A【分析】根据比例线段的定义可各选项分别进行判断即可．【详解】解：A 、0.260.34⨯=⨯，是成比例线段，故本选项符合题意；B 、1834⨯≠⨯，不是成比例线段，故本选项不符合题意；C 、3845⨯≠⨯，不是成比例线段，故本选项不符合题意；D 、1.5624⨯≠⨯，不是成比例线段，故本选项不符合题意．故选：A【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ::a b c d =（即ad bc =），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．【答案】B【分析】利用比例中项的平方等于两个外项的积，进行计算即可．【详解】解：由题意，得：24936b ac ==⨯=，∵0b >，∴6b =；故选B ．【点睛】本题考查比例选段．熟练掌握比例中项的平方等于两个外项的积，是解题的关键．【答案】B【分析】把各个选项的比例式转化为乘积式，可得结论．【详解】解：A 、由a b c d =推出ad bc =，本选项不符合题意； B 、由a b d c =推出ac bd =，本选项符合题意； C 、由a d cb =推出ab cd =，本选项不符合题意； D 、由a cb d =推出ad bc =，本选项不符合题意． 故选：B ．【点睛】本题考查比例线段，比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质．【答案】A【分析】设1AB =，BC x =，则1AC x =−，由比例中项得出2BC AC AB =，代入解一元二次方程即可解答．【详解】解：设1AB =，BC x =，则1AC x =−，∵BC 是AC 和AB 的比例中项，∴2BC AC AB =，即21x x =−，∴210x x +−=，解得：1x =2x ，即BC =，∴1AC ==，∴ BC AB=，故A 符合题意；BC AC ==，故B 不符合题意；AC AB =，故C 不符合题意；AC BC =，故D 不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查比例中项、线段的比、解一元二次方程，熟知比例中项的定义是解答的关键．【答案】C【分析】根据比例的性质进行判断即可．【详解】解：A 、由:2:3a b =，得32a b =，故本选项错误，不符合题意；B 、当4a =，6b =时，:2:3a b =，但是10a b +=，故本选项错误，不符合题意；C 、由:2:3a b =，得52a b a +=，故本选项正确，符合题意； D 、当4a =，6b =时，:2:3a b =，但是3728a b +=+，故本选项错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两外项的积等于两内项的积，比较简单．二、填空题【答案】3 【分析】由23x y =，设2,3(0)==≠x k y k k ，然后再代入求解即可； 【详解】解：∵23x y =，设2,3(0)==≠x k y k k ， ∴235=33x y k k y k ++=，故答案为：53．【点睛】本题考查比例的性质，设2,3(0)==≠x k y k k 是解题关键． 8．（2021秋·上海·九年级校考阶段练习）在比例尺为1:60000的地图上A 、B 两处的距离是4cm ，那么A 、B 两处实际距离是______km ．【答案】2.4【分析】设A 、B 两处的实际距离是cm x ，根据比例尺的定义列式计算即可得解，然后再化为千米即可．【详解】解：设A 、B 两处的实际距离是cm x ，根据题意得：4:1:60000x =解得：240000x =，240000cm 2.4km =，故答案为：2.4．【点睛】本题考查了比例，主要利用了比例尺的定义，计算时要注意单位之间的换算．9．（2021秋·上海·九年级校考阶段练习）已知():1:2x y y +=，则:x y 的值为______．【答案】12−/0.5− 【分析】根据比例的基本性质，求得2y x =−，即可得到答案．【详解】解：∵():1:2x y y +=， ∴()2x y y +=， 解得2y x =−，∴1:2x y =−， 故答案为：12−【点睛】此题考查了比例，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．【答案】52/2.5/22【分析】直接利用已知把a ，b 用同一未知数表示，进而计算得出答案；【详解】解：23a b =（a b 、都不等于零），∴设3a x =，则2b x =， 那么32522a b x x bx ++==； 故答案为：52．【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确表示出a ，b 的值是解题关键． 11．（2021秋·上海青浦·九年级校考期中）已知线段4a =厘米、9c =厘米，如果线段a 是线段c 和b 的比例中项，那么线段b =______厘米．【答案】169【分析】根据比例中项的定义得到::c a a b =，然后利用比例性质计算即可．【详解】解：∵线段a 是线段c 和b 的比例中项，∴::c a a b =， 即9:44:b =，∴169b =．故答案为： 169．【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如::a b c d =（即ad bc =），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．特别的是若::c a a b =，则a 是c 和b 12．（2023·上海金山·统考一模）如图，已知上海东方明珠电视塔塔尖A 到地面底部B 的距离是468米，第二球体点P 处恰好是整个塔高的一个黄金分割点（点A 、B 、P 在一直线），且BP AP >，那么底部B 到球体P 之间的距离是_________米（结果保留根号）【答案】234)【分析】根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值⎝⎭叫做黄金比． 【详解】解：∵点P 是线段AB 上的一个黄金分割点，且468AB =米，BP AP >，∴468234)BP ==米．故答案为：234)．【点睛】本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金分割的定义是解题的关键． 13．（2023·上海杨浦·统考一模）已知点P 是线段MN的黄金分割点()MP NP >，如果10MN =，那么线段MP =___________．【答案】5/5−+【分析】根据黄金分割点的概念列式求解即可．【详解】解：∵点P 是线段MN 的黄金分割点，>MP PN ，10MN =，∴105PM ===，故答案为：5．【点睛】此题考查了黄金分割点的概念，解题的关键是熟练掌握黄金分割点的概念．把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．14．（2023·上海崇明·统考一模）点P 是线段MN 的黄金分割点，如果10cm MN =，那么较长线段MP 的长是__________cm．【答案】()5【分析】根据黄金分割点的定义，得到MP MN=，求解即可．【详解】解：由题意，得：MP MN=，即：10MP =，∴()5cm MP =；故答案为：()5．【点睛】本题考查黄金分割点．熟练掌握黄金分割点的定义，是解题的关键．【答案】1：3【分析】根据32a b =设3,2a k b k ==，代入计算即可．【详解】解：∵32a b =∴设3,2a k b k ==，∴（a ﹣b ）：a ＝(32):31:3k k k −=故答案为：1：3【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键． 16．（2022秋·九年级单元测试）已知线段AB =2cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点，则线段AC 等于__________cm【答案】或【分析】分AC ＞BC 、AC ＜BC 两种情况，根据黄金比值计算即可．【详解】当AC ＞BC 时，AC=21当AC ＜BC 时，AC=AB-AB=23−=∴线段AC （cm ）或cm ）．（cm ）或cm ）．【点睛】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是解题的关键．【答案】【分析】根据折叠的性质以及矩形的性质可证四边形ABEF 是正方形，可得EF ＝BE ，进一步即可求出EF 与CE 的比值．【详解】解：根据折叠，可知AB ＝AF ，BE ＝FE ，∠BAE ＝∠FAE ，在矩形ABCD 中，∠BAF ＝∠B ＝90°，∴∠BAE ＝∠FAE ＝45°，∴∠AEB ＝45°，∴BA ＝BE ，∴AB ＝BE ＝EF ＝FA ，又∵∠B ＝90°，∴四边形ABEF 是正方形，∴EF ＝BE ＝AB ，∵矩形ABCD 是黄金矩形，∴A BB C ＝，∴EF EC ，故答案为：．【点睛】本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的判定和性质，熟练掌握黄金分割是解题的关键．【答案】5【分析】根据CD 是∠ACB 的平分线，由三角形的面积可得出BD BC AD AC =，可得出AB BC AC DA AC +=①；由CE 是∠ACB 的外角平分线， 得出BE BC AE AC =，进而得出AB BC AC AE AC −=②，两式相加即可得出结论． 【详解】解：∵CD 是∠ACB 的平分线，∴BDC BDC ADC ADC S S BD BC S AD S AC ∆∆∆∆==， ∴BD BC AD AC =∴BD DA BC AC DA AC ++=，即AB BC AC AD AC +=①； ∵CE 是∠ACB 的外角平分线，∴BE BC AE AC = ∴BE AE BC AC AE AC −−=，即AB BC AC AE AC −=②； ①+②，得22 2.55AB AB BC AC BC AC BC AD AE AC AC AC +−+=+==⨯=．故答案为：5．【点睛】此题主要考查了比例的应用，熟练掌握比的性质是解答此题的关键．三、解答题19．（2020秋·九年级校考课时练习）已知线段AB=10cm ，点C 是AB 上的黄金分割点，求AC 的长是多少厘米？【答案】（5）cm 或（15−cm【分析】根据黄金分割点的定义，知AC 可能是较长线段，也可能是较短线段；则AC ＝105=或AC ＝10−（5）＝15−【详解】解：根据黄金分割点的概念，应有两种情况，当AC 是较长线段时，AC ＝105=；当AC 是较短线段时，则AC ＝10−（5）＝15−故答案为：（5）cm 或（15−cm ．【点睛】本题考查了黄金分割点的概念．注意这里的AC 可能是较长线段，也可能是较短线段；熟记黄金比的值是解题的关键．【答案】11【分析】通过设k 法，设234x y z k ===，则2x k =，3y k =，4z k =，再利用消元的思想代入分式求值．【详解】解：设234x y z k ===，则2x k =，3y k =，4z k =， 552341144234x y z k k k x y z k k k −+⨯−+==−−⨯−−．【点睛】本题主要考查求分式的值，熟练掌握消元的思想是解决本题的关键．【分析】设a=5k ，则b=7k ，c=8k ，代入3a-2b+c=9，即可求出k 的值，从而可求出a 、b 、c 的值，最后由三角形周长的计算公式求解即可．【详解】根据题意可设a=5k ，则b=7k ，c=8k ，代入3a-2b+c=9，得：352789k k k ⨯−⨯+=，解得：1k =，∴578a b c ===，，， ∴△ABC 的周长=a+b+c=5+7+8=20．【点睛】本题主要考查比例的性质．解决此类题目时一般利用“设k 法”更简便．【答案】4【分析】设345x y z k ===，则3,4,5x k y k z k ===，再根据232x y z −+=−求出k 的值，然后得出x ，y ，z 的值，从而得出x y z +−的值． 【详解】解：设345x y z k ===，则3,4,5x k y k z k ===，代入232x y z −+=−，得233452k k k ⋅−⋅+=−，解得2k =，6,8,10x y z ∴===，68104x+y -z ∴=+−=． 【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是设345x y z k ===，得出k 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）=AD BC． 【分析】（1）连接1BG 、2CG 并延长交AO 、OD 于点E 、F ，连接EF ．易得EF 为AOD △的中位线，故EF//AD ，根据重心的性质可得12121=2EG FG BG CG =，即EF //12G G ，即可得证； （2）根据点P 为黄金分割点，可得PC BC，再根据中位线的性质即可求解． 【详解】（1）连接1BG 、2CG 并延长交AO 、OD 于点E 、F ，连接EF ．因为1G 、2G 为三角形AOB 和三角形COD 的重心，所以点E 、F 为AO 、DO 的中点，所以EF 为AOD △的中位线，所以EF//AD ， 又因为12121=2EG FG BG CG =， 所以EF //12G G ，所以12G G //AD ．（2）因为点P 为黄金分割点，所以PC BC， 又因为RQ 是中位线，所以RQ//BC ，12RQ BC =，因为AD//PQ ，所以1=2PQ DQ RO BO AD OA OD DO ==，所以AD BC． 【点睛】本题考查重心的定义和性质、三角形中位线的性质、黄金分割，掌握重心的性质是解题的关键．【答案】（1）9y =；（2）3y =. 【分析】（1）由比例的性质对比例式进行变形，然后去括号、移项、合并同类项可得到x=9y ，即可解答；（2）由比例的性质对比例式进行变形从而得到3y 2+2xy-x 2=0，然后分解得（3y-x ）（y+x ）=0，即可解答． 【详解】解：(1)由332x y x y +=−，得2(3)3()x y x y +=−， 即2633x y x y +=−，解得9y x =，∴9x y =.(2)由3x y x x y y +=−，得(3)()y x y x x y +=−， 即22320y xy x +−=，解得3x y =或x y =−（不合题意，舍去），∴3x y =.【点睛】本题重点考查比例线段，解答本题的关键在于了解比例的性质并且对比例式进行变形. 25．（2020秋·上海宝山·九年级统考阶段练习）如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，DE BC ∥. （1）若2ADE S ∆=，7.5BCE S ∆=，求BDE S ∆；（2）若BDE S m ∆=，BCE S n ∆=，求ABC S ∆.（用m ，n 表示）【答案】（1）3BDE S ∆=；（2）2ABC n S n m ∆=−。
专题01 比例线段(六大类型)(题型专练)(原卷版)
专题01 比例线段（六大类型）【题型1 比例性质】【题型2 比例线段】【题型3 黄金分割比】【题型4 平行线分线段成比例定理及其推论基本应用】【题型5相似图形】【题型6相似多边形的性质】【题型1 比例性质】1．（2022秋•惠安县期末）若，则的值为（）A．B．C．D．2．（2023•拱墅区模拟）已知，则的值为（）A．B．C．D．3．（2023春•芝罘区期中）已知，则下列等式不成立的是（）A．B．3a＝2b C．D．4．（2022秋•石景山区期末）如果2x＝5y（y≠0），那么的值是（）A．B．C．D．【题型2 比例线段】5．（2023春•广饶县期末）下列各组中的四条线段成比例的是（）A．a＝，b＝3，c＝2，d＝B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 C．a＝1，b＝2，c＝，d＝2D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝16．（2023春•肇源县期末）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（）A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，4cm，5cm，8cmC．5cm，15cm，3cm，9cm D．8cm，4cm，1cm，3cm 7．（2023•长宁区一模）已知线段a、b、c、d是成比例线段，如果a＝1，b＝2，c＝3，那么d的值是（）A．8B．6C．4D．1 8．（2023•江都区模拟）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a ＝9cm，b＝4cm，则线段c＝cm．9．（2023•金华模拟）已知线段a＝2，b＝8，则线段a和b的比例中项为．【题型3 黄金分割比】10．（2022秋•阜平县期末）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则有（）A．AB2＝AP•PB B．AP2＝BP•ABC．BP2＝AP•AB D．AP•AB＝PB•AP11．（2023春•肇源县月考）在长度为1的线段AB上有一点P，满足AP2＝BP•AB，则BP长为（）A．B．C．D．12．（2023•武昌区模拟）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图（1），点C把线段AB分成两部分，如果BC：AC＝AC：AB，那么称点C是线段AB的黄金分割点．如图（2），点C、D、E分别是线段AB、AC、AD的黄金分割点，（AC＞BC，AD＞DC，AE＞ED），若AB ＝1，则AE的长是（）A．B．C．D．13．（2023•碑林区校级模拟）如图，点C为线段AB的黄金分割点，AC＞BC，若AB＝2，则AC的长为（）A．﹣1B．+1C．3﹣D．3+ 14．（2023•安阳模拟）已知C是线段AB的黄金分割点，AC＜BC，若AB＝2，则BC＝（）A．﹣1B．C．3﹣D．15．（2022秋•赵县期末）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP 的长度为（）cm．A．﹣1B．2﹣2C．5﹣5D．10﹣10【题型4 平行线分线段成比例定理及其推论基本应用】16．（2023•朝阳县三模）如图，AD∥BE∥CF，若AB＝2，BC＝4，EF＝5，则DE的长度是（）A．6B．C．D．17．（2023•长沙模拟）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DE∥BC交AC 于点E．若，AE＝6，则EC的长为（）A．9B．6C．15D．18 18．（2023•道外区一模）如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝19．（2022秋•兴县期末）如图，直线AE，BD被一组平行线所截，则下列比例式正确的是（）A．B．C．D．20．（2022秋•海口期末）如图，l1∥l2∥l3，若AB＝6，BC＝4，DF＝15，则EF 等于（）A．5B．6C．7D．9 21．（2023•嘉定区一模）如图，已知l1∥l2∥l3，它们依次交直线l4、l5于点A、B、C和点D、E、F，如果DE：DF＝3：5，AC＝12，那么BC的长等于（）A．2B．4C．D．【题型5相似图形】22．（2023•崇明区一模）下列各组图形，一定相似的是（）A．两个等腰梯形B．两个菱形C．两个正方形D．两个矩形23．（2023•石家庄模拟）如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（）A．135°B．90°C．60°D．45°24．（2022秋•道县期末）观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（）A．B．C．D．25．（2022秋•榕城区期末）下列图形一定相似的为（）A．两个等腰三角形B．两个等边三角形C．两个矩形D．两个平行四边形【题型6相似多边形的性质】26．（2022秋•代县期末）如图1是古希腊时期的巴台农神庙（ParthenomTemple），把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形ABCD，当以矩形ABCD的宽AB为边作正方形ABEF时，惊奇地发现矩形CDFE与矩形ABCD相似，则等于（）A．B．C．D．27．（2022秋•韩城市期末）已知四边形ABCD∽四边形EFGH，且AB＝3，EF ＝4，FG＝5．则四边形EFGH与四边形ABCD的相似比为（）A．3：4B．3：5C．4：3D．5：3 28．（2022秋•信都区校级期末）如图，有甲，乙、丙三个矩形，其中相似的是（）A．甲与丙B．甲与乙C．乙与丙D．三个矩形都不相似29．（2022秋•渠县校级期末）如图，矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F．若矩形AEFD与矩形DABC相似，则AB：BC的值为（）A．2B．C．D．30．（2022秋•安新县期末）如图，矩形ABCD∽矩形DEFC，且面积比为4：1，则AE：ED的值为（）A．4：1B．3：1C．2：1D．3：2 31．（2022秋•长安区校级期末）已知：矩形OABC∽矩形OA'B′C′，B′（10，5），AA'＝1，则CC′的长是（）A．1B．2C．3D．4 32．（2022秋•桥西区期中）如图，取一张长为a、宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A．B．a＝2b C．D．33．（2022秋•长清区期末）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，若∠B＝55°，∠C＝80°，∠A'＝110°，则∠D＝．34．（2022秋•梅县区校级期末）已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为100，则较小多边形的面积是．35．（2022秋•镇海区期末）如图，把一个大长方形ABCD划分成三个全等的小长方形，若每一个小长方形均与大长方形ABCD相似，则AD：CD的值为．。
专题27.2 比例的性质及成比例线段(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础
专题27.2 比例的性质及成比例线段（基础篇）（专项练习）一、单选题1．地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么乐山到峨眉的实际距离是（ ）A ．3800米B ．38000米C ．380000米D ．3800000米2．已知线段b 是线段a 和线段c 的比例中项，若3a =，4c =，则b 的值是（ ）A ．3.5B ．6C ．D ．3．某地图上1cm 2面积表示实际面积900m 2，则该地图的比例尺是（ ） A ．1:30B ．1:3000C ．1:900D ．1:900000004．已知线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a ＝2cm ，b ＝4cm ，c ＝5cm ，则d 等于（ ）A ．1cmB ．10cmC ．52cmD ．85cm5．下面的四个数中能组成比例的是（ ）A ．14、34、0.6和0.3B ．20、14、4和5C ．3、4、12和13D ．6、10、9和156．如果4a ＝5b (ab ≠0)，那么下列比例式变形正确的是（ ） A ．54a b = B ．45a b = C ．45a b = D ．45b a = 7．已知a cb d=，则下列各式成立的是（ ） A ．a d c b = B ．b a c d=C ．a ca d c b=++ D ．a b ac d c+=+ 8．下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A ．0.5，3，2，10 B ．3，4，6，2 C ．5，6，15，18D ．1.5，4，1.2，59．如果:12:8a b =，且b 是a ，c 的比例中项，那么:b c 等于（ ）A ．4:3B ．3:2C ．2:3D ．3:410．如图，P 是线段AB 的黄金分割点，且P A >PB ，S 1表示P A 为一边的正方形的面积，S 2表示长为AB 、宽为PB 的矩形面积，则S 1、S 2的大小关系是（ ）A ．S 1>S 2B ．S 1=S 2C ．S 1<S 2D ．无法确定二、填空题11．已知线段a ＝2厘米，c ＝8厘米，则线段a 和c 的比例中项b 是_______厘米． 12．已知点B 在线段AC 上，2AB BC =，那么:AC AB 的比值是_________． 13．若32a b =，则235a b a b +-＝_____．14．若234a b c ==，则63a bb c +=-___________．15．已知线段8a =，2b =，线段c 是线段a ，b 的比例中项，则c =_______． 16．已知52a b =，则():a b b +的值为_________．17．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感按此比例，如果雕像的高为3m ，那么它的下部应设计为多高？设它的下部设计高度为x m ，根据题意，可列方程为__________．18．两地的实际距离是1200千米，在地图上量得这两地的距离为2厘米，则这幅地图的比例尺是1∶___．19．已知三条线段a 、b 、c ，其中1a cm =，4b cm =，c 是a 、b 的比例中项，则c =_____cm ．20．如图1）一次又一次对开，按图2叠放，可以发现，这些叠放起来的矩形的右上顶点与左下顶点在同一直线上． 若以图2最大矩形的左下顶点为原点，以宽和长所在直线分别为x 轴和y 轴，则这组矩形的右上顶点所在直线的函数表达式为______．三、解答题21．（1）已知线段a ＝2，b ＝9，求线段a ，b 的比例中项． （2）已知x ：y ＝4：3，求y xy-的值．22．已知x ：y ：z ＝3：5：7，求234532x y zx y z-++-的值．23．线段a 、b 、c ,且234a b c ==． （1）求a bb+的值． （2）如线段a 、b 、c 满足27a b c ++=,求a b c -+的值．24．已知线段a 、b 、c 满足a ：b ：c ＝3：2：6，且a +2b +c ＝26． （1）求a 、b 、c 的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．参考答案1．B【分析】设乐山到峨眉的实际距离为x cm ，利用比例尺的定义得到3.8：x =1：1000000，然后利用比例的性质求出x ，再化单位化为米即可．解：设乐山到峨眉的实际距离为x 厘米，根据题意得3.8：x =1：1000000， 解得x =3800000，所以乐山到峨眉的实际距离是3800000厘米，即38000米． 故选：B ．【点拨】本题考查了比例线段，正确理解比例尺的定义是解决问题的关键． 2．C 【分析】根据题意列出比例式，计算即可求得答案 解：23412b ac ==⨯=∴b =故选C【点拨】本题考查了成比例线段，比例中项的概念，理解比例的性质是解题的关键．比例式为 ::a b b c =，则内项 b 称为外项 a 和c 的比例中项．3．B 【分析】先设该地图的比例尺是1：x ，根据面积比是比例尺的平方比，列出方程，求得x 的值即可．解：设该地图的比例尺是1：x ，根据题意得：1：x 2＝1：9000000，解得x 1＝3000，x 2＝−3000（舍去）． 则该地图的比例尺是1：3000； 故选：B ．【点拨】此题考查了线段的比，根据面积比是比例尺的平方比，列出方程是解题的关键． 4．B 【分析】根据第四比例项的概念，得a ：b ＝c ：d ，再根据比例的基本性质，求得第四比例项．解：∶线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，∶a ：b ＝c ：d ∶bc d a=∶a ＝2cm ，b ＝4cm ，c ＝5cm ， ∶45102bc da cm ∶线段a ，b ，c 的第四比例项d 是10cm ． 故选：B ．【点拨】本题考查的是比例的基本性质，熟悉第四比例项的概念，写比例式的时候一定要注意顺序．再根据比例的基本性质进行求解是关键．5．D 【分析】根据比例的性质依次判断四个选项即可．解：A 、因为14：0.3≠0.6：34，所以A 选项不符合题意；B 、因为4：5≠14：20，所以B 选项不符合题意；C 、因为13：12≠3：4，所以C 选项不符合题意；D 、因为6：9＝10：15，所以D 选项符合题意． 故选：D ．【点拨】本题考查比例的性质，熟练掌握该知识点是解题关键． 6．A 【分析】根据等式的性质：两边都除以同一个不为零的数（或整式），结果不变，可得答案． 解：两边都除以20，得54a b=，故A 正确； B 、两边都除以20，得54a b=，故B 错误； C 、两边都除以4b ，得54a b =，故C 错误； D 、两边都除以5a ，得45ba=，故D 错误． 故选：A ．【点拨】本题考查了比例的性质，利用两边都除以同一个不为零的数（或整式），结果不变是解题关键．7．D 【分析】根据比例的性质解答并判断． 解：∶a cb d=， ∶a b c d b d ++=，b ad c=， ∶a b bc d d+=+， ∶a b ac d c+=+， 故选：D ．【点拨】此题考查了比例的性质，熟记比例的性质是解题的关键． 8．C 【分析】根据各个选项中的数据可以判断哪个选项中的四条线段不成比例，本题得以解决． 解：∶052310≠.，故选项A 中的线段不成比例，不符合题意； ∶3642≠，故选项B 中的线段不成比例，不符合题意； ∶515=618，故选项C 中的线段成比例，符合题意； ∶151245≠..，故选项D 中的线段不成比例，不符合题意， 故选：C【点拨】本题考查比例线段，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 9．B 【分析】由b 是a 、c 的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得=b ac b，又由a ：b =12：8，即可求得答案．解：∶b 是a 、c 的比例中项，∶b 2=ac ，b ac b∴=∶a:b=12:8，∶12382ab==，:3:2b c∴=，故选：B．【点拨】此题主要考查了比例线段，正确把握比例中项的定义是解题关键．10．B【分析】根据黄金分割的定义得到P A2=PB•AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1=P A2，S2=PB•AB，即可得到S1=S2．解：∶P是线段AB的黄金分割点，且P A＞PB，∶P A2=PB•AB，又∶S1表示P A为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，∶S1=P A2，S2=PB•AB，∶S1=S2．故选B．【点拨】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．11．4【分析】根据线段比例中项的概念，可得a：b=b：c，可得b2=ac=16，故b的值可求．解：∶线段b是a、c的比例中项，∶b2＝ac＝2×8＝16，解得b＝±4，又∶线段是正数，∶b＝4．故答案为4．【点拨】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方．求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．12．32【分析】根据题意作出图形，进而即可求解． 解：如图，∶2AB BC = 设,BC a =则2AB a =23AC AB BC a a a ∴=+=+=∶:3:2AC AB = 故答案为：3:2【点拨】本题考查了比例线段，数形结合是解题的关键． 13．1213【分析】根据32a b =，设3,2a k b k ==，代入代数式求值即可． 解：∶32a b =，设3,2a k b k ==，∶235a b a b +-661215213k k k k +==-， 故答案为：1213【点拨】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 14．3 【分析】 设234a b ck ===，则2a k =，3b k =，4c k =，然后代入所求的代数式即可求解． 解：设234a b ck ===，则2a k =，3b k =，4c k =， ∶662315333345a b k k kb c k k k+⨯+===-⨯-， 故答案为：3【点拨】本题考查了比例的性质，根据题意设k 法是比较好的解题方法． 15．4【分析】利用比例中项的定义得到c 2=ab =16，然后求出16的算术平方根即可． 解：∶线段c 是线段a ，b 的比例中项，∶c 2=ab ，而线段a =8，b =2， ∶c 2=8×2=16， 而c ＞0， ∶c =4． 故答案为：4．【点拨】本题考查了成比例线段，掌握比例中项的定义是解决问题的关键． 16．75【分析】首先得到a =25b ，然后代入代数式求值．解：∶5a =2b ，∶a =25b ，∶277555b b ba b b b b ++===， 故答案为：75．【点拨】本题考查比例的性质和分式的化简求值，解题的关键是掌握分子和分母都除以同一个不为0的数．17．33x xx -=或()233x x =- 【分析】设雕像的下部高为x m ，则上部长为（2-x ）m ，然后根据题意列出方程即可． 解：设雕像的下部高为x m ，则上部长为（3-x ）m ，由题意得：33x xx -=， 即()233x x =-，故答案为：33x xx -=或()233x x =-．【点拨】本题考查了线段的比，解题的关键在于读懂题目信息并列出方程． 18．60000000【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离列式计算即可．解：1200千米＝120000000厘米，2：120000000＝1：60000000．故答案为：60000000．【点拨】本题考查了比例线段，掌握比例尺的定义是解题的关键，注意单位的换算问题．19．2【分析】由c 是a 、b 的比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段c 的长，注意线段的长度不能为负．解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段长度的乘积．∶c 是a 、b 的比例中项，∶2144c ab ==⨯=，解得：2c =±（线段的长度是正数，负值舍去），则2c cm =．故答案为：2【点拨】本题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段的长度不能是负数．20．y =【分析】设直线为y =kx +b .解：设直线为y =kx +b ，∶直线经过原点，∶b =0.由矩形的性质可知：矩形的右上顶点的坐标为该矩形的宽和长，∶长∶宽，∶y ∶x ∶1，∶y x ，故答案为y =；【点拨】本题考查了一次函数解析式，矩形的性质，比例的性质；掌握一次函数的性质是解题关键．21．（1）2）1 3 -【分析】（1）设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．（2）设x＝4k，y＝3k，代入计算，于是得到结论．解：（1）设线段x是线段a，b的比例中项，∶a＝3，b＝6，x2＝3×6＝18，x＝±∶线段a，b的比例中项是（2）设x＝4k，y＝3k，∶y xy-＝343k kk-＝13-．【点拨】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．22．19 16【分析】根据x：y：z＝3：5：7设x＝3k、y＝5k、z＝7k，然后代入234532x y zx y z-++-化简求解即可．解：∶x：y：z＝3：5：7，∶设x＝3k、y＝5k、z＝7k，∶234 532 x y z x y z-++-＝233547 533527k k kk k k ⨯-⨯+⨯⨯+⨯-⨯＝19 16【点拨】此题考查了比例的性质，解题的关键是根据比例的性质转化成含同一字母的式子．23．（1）53；（2）9【分析】(1) 根据比例的性质得出23a b =, 即可得出a b b +的值; (2) 首先设234a b c ===k, 则a=2k, b=3k, c=4k,利用a+b+c=27求出的值即可得出答案. 解：（1）23a b =，∴23a b = ∴53a b b +=； （2）设234a b c ===k, 则a=2k, b=3k, c=4k ， 由a+b+c=27，由2k+3k+4k=27，得：k=3，∴a=6，b=9，c=12故a b c -+ =6-9+12=9， 故答案：53；9. 【点拨】这是一道考查代数式求值的题目, 属于中等难度的题目, 只要同学们认真分析就可以求出答案.24．（1）a ＝6，b ＝4，c ＝12；（2）x 的值为【分析】（1）设比值为k ，然后用k 表示出a 、b 、c ，再代入等式求解得到k ，然后求解即可； （2）根据比例中项的定义列式求解即可．解：（1）∶a ：b ：c ＝3：2：6，∶设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝6k ，又∶a +2b +c ＝26，∶3k +2×2k +6k ＝26，解得k ＝2，∶a ＝6，b ＝4，c ＝12；（2）∶x 是a 、b 的比例中项，∶x 2＝ab ，∶x 2＝4×6，x =∶x =x =-（舍去），即x 的值为【点拨】本题考查比例与比例中项问题，掌握比例性质以及比例中项定义，如果a 、b 、c三个量成连比例即a:b=b:c，b叫做a和c的比例中项．。
专题01 比例线段及黄金分割点压轴题型全攻略(原卷版)
专题01 比例线段及黄金分割点压轴题型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一 比例线段的识别】 (1)【考点二 比例线段的计算】 (2)【考点三 黄金分割点的定义】 (2)【考点四 黄金分割点的应用】 (3)【考点五 黄金分割点的拓展提高】 (3)【过关检测】 (4)【典型例题】【考点一 比例线段的识别】【例题1】若a ：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ）A ．2a=3bB ．3a=2bC ．D ．【变式1】已知=，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）．A ．2a=5b B. a b 52= C. a+b=7 D.a b b 72+= 【变式2】由5a=6b （a≠0），可得比例式（ ）A ．B ．C ．D ．【考点二 比例线段的计算】【例题2】 设，求的值．432z y x ==2222232z xy x z yz x --+-【变式1】若=，则=（）.A. B. C. D. 无法确定【变式2】已知，（1）求的值；（2）如果，求x的值．【变式3【考点三黄金分割点的定义】【例题3】已知点P是线段AB的一个黄金分割点（AP＞PB），则PB：AB的值为（）.A. B. C. D.【变式1】已知线段AB=10cm，C是AB的一个黄金分割点，且AC＜BC，求AC长为__________cm；【变式2】已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（）A. B.C. 或D.以上都不对【考点四黄金分割点的应用】【例题4】美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）.A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm【变式1】如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB=10cm，则AC的长约为__________cm（结果精确到0.1cm）.【变式2△BDC 、△DEC 都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=__________．【考点五 黄金分割点的拓展提高】【例题5】是黄金矩形（即＝≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【变式1】如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x 与y 的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x 为（ ）.A. 144°B. 135°C. 136°D. 108°【变式2道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF 和一个矩形EFDC ，那么EFDC 这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．BC AB 215-【变式3】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【过关检测】一．选择题1.在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3cm 的两地，它们的实际距离为( ).A ．3 kmB ．30 kmC ．300 kmD ．3 000 km2.已知线段满足把它改写成比例式，其中错误的是（ ）.A. B. C.D. 3. （2014•牡丹江）若x ：y=1：3，2y=3z ，则的值是（）. 4.如图，已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB ，若S 1表示以PA 为边的正方形的面积，S 2表示a 、b 、c 、d =ab cd ::b c d a =::a b c d =::c b a d =::a c d b =长为AB 、宽为PB 的矩形的面积，那么S 1（ ）S 2．A.>B.=C.<D.无法确定6. 宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD 、BC 的中点E 、F ，连接EF ：以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH 二. 填空题8.线段AB 长10cm ，点P 在线段AB 上，且满足=，那么AP的长为 cm ． ，（填写一个即可）．10.已知若若5x -4y=0,则x:y=________. -3=,=____;4x y x y y则三．综合题13.如果，一次函数经过点（-1,2），求此一次函数解析式.14.如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，且DB=DC=AC ，已知∠ACE=108°，BC=2．（1）求∠B 的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边 长①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD 的长；③在直线AB 或BC 上是否存在点P （点A 、B 除外），使△PDC 是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P ，简要说明画出点P 的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．a b c d k b c d a c d a b d a b c====++++++++y kx m =+15. 如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）。
有关比例尺的全部题型及解析
例11：下面四幅地图中。比例尺最大的一幅是（ ）
【解题思路】方法一：取1厘米线段，测量一下四幅图。在1厘米线段内 跨纬度多少(在同一条经线上1°纬度地上距离为111千米)少者为大比例 尺，多者为小比例尺。A图跨纬度和经度最少，所以比例尺最大。B、 C、D三幅图跨纬度都多，不能选。 方法二：取图上1°的经度和纬度，比较一下它们的图上距离，图上距离 大的比例尺大，图上距离小的比例尺小。通过比较发现A图的图上距离 最大，故A图的比例尺最大。 【答案】A 题型二 知比例尺，求其他 一、知比例尺，求地图上所表示的实际范围大小、表示的内容详略、精 确度高低。
【解题思路】根据例11的判断方法判断出，甲图的比例尺大于乙图的比 例尺，然后依据例12得出结果。 【答案】CD
高三地理考点：巧用数轴解地方时和区时试题 例1[04年全国文综卷] 我国沿海某省一个课外小组某日测得当地日出、日落时间为6：40和 16：40，回答： 1该地的经度为： A 1200E B 1250E C 1150E D 1100E
以两地的纬度差等于100。又因为在同一条经线上10纬度地上距离为111 千米，所以可以计算出甲乙两地的实际距离是111千米/10×100=1110千 米=111000000厘米。最后根据公式：比例尺=图上距离/实际距离，可以 求出该地图的比例尺是11.1厘米/111000000厘米=1/10000000。 【答案】D 例4.在北半球的一幅天气分析图上，A高气压1020HPa中心位于 （60°N，92°E），B高气压1030HPa中心位于（50°N，92°E），两地图 上距离为11.1厘米，则该天气分析图的比例尺是( ) A.1:500000 B.1:10000000 C.1:1500000 D.1:2000000 【解题思路】该题与上题有相同之处，都是直接给出了图上距离，间接
中考数学复习题由平行线截得的比例线段
由平行线截得的比例线段一、选择题1．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC 的长是（）A．4.5 B．8 C．10.5 D．142．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若=，DE=4，则EF的长是（）A．B．C．6 D．103．如图，在△ABC中，A D平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（）A．2 B．4 C．6 D．84．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（）A．B．2 C．D．5．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（）A．B．C．D．6．如图，A D∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长为（）A．4 B．5 C．6 D．87．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（）A．B．2 C．D．8．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：510．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD=2BD，则的值为（）A．B．C．D．11．如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.512．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（）A．B．C．D．二、填空题13．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC．若BD=4，DA=2，BE=3，则EC= ．14．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，=，DE=6，则EF= ．15．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB=4cm，则线段BC= cm．16．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为．参考答案一、选择题1．B；2．C；3．D；4．D；5．D；6．C；7．D；8．B；9．A；10．A；11．B；12．C；二、填空题13．；14．9；15．12；16．；。
线段的比例与相似综合练习题
线段的比例与相似综合练习题1. 建校100年的ABC中学每年都会举行一次校庆活动。
今年的校庆活动中，为了庆祝学校的百年华诞，学校特别准备了一条长20米的彩带。
校庆活动当天，教师和学生们手拉手，沿校园大道将彩带围成一个长方形闭合区域，行进了一段距离。
已知这段距离是整个校园大道的1/4，问这段距离是多少米？答案：20米的1/4 = 5米。
2. 在一个地图比例1:5000的城市规划图上，两条道路相交形成了一个三角地带。
已知地图上两条道路的实际长度分别是80米和120米，这两条道路在地图上的长度比是多少？答案：80米/120米 = 2/3。
3. 某建筑公司为了了解一座建筑物的规模，需要将它的实际尺寸缩小到模型中。
已知这座建筑物的实际高度是50米，而模型的高度是10厘米，那么这两者之间的比例是多少？答案：50米/10厘米 = 500:1。
4. 一条直线上两点A、B之间的距离是6米，另外一点C在A点一侧，且C到A点的距离是2米，求C到B点的距离。
解法：根据线段的比例可知：AC/AB = 2/6 = 1/3，设CB的长度为x，则有AC/AB = CB/AB，即1/3 = x/6，解得x = 2米。
所以C到B点的距离是2米。
5. 一条绳子上有两个挂钩，离绳子一端的挂钩为甲点，离绳子另一端的挂钩为乙点。
已知甲点距离绳子一端的距离是3米，乙点距离绳子一端的距离是9米，并且乙点是甲点的3倍。
如果甲点与绳子的另一端的距离是x米，求x的值。
解法：根据线段的比例可知：甲乙点的距离关系为3:9 = 1:3，设甲点到绳子另一端的距离为x，则有甲点到绳子一端的距离/x = 1/3，解得x = 9米。
所以甲点与绳子的另一端的距离是9米。
通过以上练习题，我们了解了线段比例与相似的概念，并学会了如何计算线段的比例关系。
掌握了这些知识，我们在实际问题中就能准确地计算出线段之间的比例关系，从而解决各种与线段相关的问题。
比例尺精选题型
比例尺1、在一幅比例尺是1 ：的地图上，甲乙两地的距离是7.5厘米，甲乙两地的实际距离是多少千米？2、英华小学有一块长120米、宽80米的长方形操场，画在比例尺为1 ：4000的平面图上，长和宽各应画多少厘米？3、一个机器零件长5毫米，画在图纸上是4厘米，求这幅图纸的比例尺。
4、某建筑工地挖一个长方形的地基，把它画在比例尺是1 ：2000的平面图上，长是6厘米，宽是4厘米，这块地基的面积是多少？6、一幅地图的线段比例尺是：0 40 80 120 160千米，甲乙两城在这幅地图上相距18厘米，两城间的实际距离是多少千米？丙丁两城相距660千米，在这幅地图上两城之间的距离是多少厘米？7、在比例尺是1:3000000的地图上，量得两地距离是10厘米，甲乙两车同时从两地相向而行，经过3小时两车在途中相遇。
已知甲乙两车的速度比是2:3，求甲乙两车的速度各是多少千米？8、在比例尺是1：的地图上，量得济南到青岛的距离是4厘米。
在比例尺是1：的地图上，济南到青岛的距离是多少厘米？9、在一幅比例尺为1:500的平面图上量得一间长方形教室的长是3厘米，宽是2厘米。
（1）求这间教室的图上面积和实际面积。
（2）写出图上面积和实际面积的比。
并和比例尺进行比较，你发现了什么？10、在一幅地图上，测得甲、乙两地的图上距离是13厘米，已知甲乙两地的实际距离是780千米。
（1）求这幅图的比例尺。
（2）在这幅地图上量得A、B两城的图上距离是5厘米，求A、B两城的实际距离。
11、在比例尺是1:3000000的地图上，量得两地距离是10厘米，甲乙两车同时从两地相向而行，3小时后两车相遇。
已知甲乙两车的速度比是2:3，求甲乙两车的速度各是多少千米？12、在一幅比例尺为1:500的平面图上量得一间长方形教室的长是3厘米，宽是2厘米。
（1）求这间教室的图上面积和实际面积。
（2）写出图上面积和实际面积的比。
并和比例尺进行比较，你发现了什么？13、甲乙丙三种商品总价值为5800元。
比例线段及黄金分割点压轴题型全攻略(解析版)
比例线段及黄金分割点压轴题型全攻略【考点导航】1.目录【典型例题】1【考点一比例线段的识别】【考点二比例线段的计算】【考点三黄金分割点的定义】【考点四黄金分割点的应用】【考点五黄金分割点的拓展提高】【过关检测】4【典型例题】【考点一比例线段的识别】1【若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是( )A.2a=3bB.3a=2bC.ba =23D.a-bb=13【分析】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．【答案】B．【详解】A、2a=3b⇒a：b=3：2，故选项错误；B、3a=2b⇒a：b=2：3，故选项正确；C、ba =23⇒b：a=2：3，故选项错误；D、a-bb =13⇒a：b=3：2，故选项错误．故选B．【点睛】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．1.已知ab=52，那么下列等式中，不一定正确的是( )．A.2a=5bB.a5=b2C.a+b=7D.a+bb=72【答案】C．2.由5a=6b(a≠0)，可得比例式()A.b6 =5aB.b5 =6aC.ab =56D.a-bb=15【答案】D .【解析】A 、b 6 =5a⇒ab =30，故选项错误；B 、b 5 =6a ⇒ab =30，故选项错误；C 、a b =56⇒6a =5b ，故选项错误；D 、a -b b=15⇒5(a -b )=b ，即5a =6b ，故选项正确．故选D ．【考点二比例线段的计算】1设x 2=y 3=z4，求2x 2-3yz +z 2x 2-2xy -z 2的值．【分析】由已知条件利用解方程的思想不能求出x ，y ，z 的值，因此用设参数法代入化简．【详解】设x 2=y 3=z4=k则x =2k ，y =3k ，z =4k 原式=2×2k 2-3×3k ×4k +4k 22k 2-2×2k ×3k -4k2=-12k 2-24k 2=12【点睛】解此类题学生容易误认为设k 后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去．1.若x -y 13=y 7，则x +yy=( ).A.137B .207C . 277D . 无法确定【答案】C .2.已知x 2=y 3=z4，(1)求x -2y z 的值；(2)如果x +3=y -z ，求x 的值．(1)令x 2=y 3=z4=k ，则x =2k ，y =3k ，z =4k ，再代入代数式进行计算即可；(2)把x =2k ，y =3k ，z =4k 代入x +3=y -z ，求出k 的值即可．【解析】解：(1)∵x 2=y 3=z4，∴令x 2=y 3=z4=k ，则x =2k ，y =3k ，z =4k ，∴x -2y z =2k -6k 4k =-4k 4k=-1；(2)∵x =2k ，y =3k ，z =4k ，x +3=y -z ，∴x +3=(y -z )2，即2k +3=(3k -4k )2，解得k =-1或k =3(舍去)，∴x =-2．【点睛】本题考查的是比例的性质，根据题意得出x =2k ，y =3k ，z =4k 是解答此题的关键．举一反三：3.已知：a b +c =b a +c =ca +b=k ．求k 值．【答案】可分a+b+c=0和a+b+c≠0两种情况代入求值和利用等比性质求解.【答案与解析】①当a+b+c=0时，b+c=-a，c+a=-b，a+b=-c，∴k为其中任何一个比值，即k=a-a=-1;②a+b+c≠0时，k=a+b+cb+c+c+a+a+b =a+b+c2(a+b+c)=12．∴k=-1或12.【点睛】考查比例性质的应用；分两种情况探讨此题是解决本题的易错点．【考点三黄金分割点的定义】1已知点P是线段AB的一个黄金分割点(AP>PB)，则PB：AB的值为( ).A.5-12B.3-52C.1+52D.3-54【答案】B.【详解】根据题意得AP=5-12AB，所以PB=AB-AP=3-52AB，所以PB：AB=3-5 2．1.已知线段AB=10cm，C是AB的一个黄金分割点，且AC<BC，求AC长为cm；【答案】根据黄金分割点的定义，知AC是较短线段，由黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3-5 2倍，可得AC=10×3-52，计算即可；【解析】∵线段AB=10cm，C是AB的一个黄金分割点，且AC<BC，∴AC=10×3-52=15-55(cm)；【点睛】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3-52倍，较长的线段=原线段的5-12倍．2.已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为()A.5-12B. 3-52C.5-12或3-52D. 以上都不对【答案】C.【解析】∵线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，当AC>BC，∴AC=5-12AB=5-12；当AC<BC，∴BC=5-12AB=5-12，∴AC=AB-BC=1-5-12=3-52．【考点四黄金分割点的应用】2美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( ).A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm【答案】C.【详解】根据已知条件得下半身长是165×0.60=99cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：99+y165+y=0.618，解得：y≈8cm．故选C．1.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB=10cm，则AC的长约为cm(结果精确到0.1cm).【答案】6.2或3.8【解析】由题意知AC：AB=BC：AC，∴AC：AB≈0.618，∴AC=0.618×10cm≈6.2(结果精确到0.1cm)或AC=10-6.2=3.8．故答案为：6.2或3.8．2.如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形(底与腰的比为5-12的三角形是黄金三角形)，若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=．【答案】6-25．【解析】根据题意可知，BC=5-12AB，∵△ABC顶角是36°的等腰三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠C=72°，又∵△BDC也是黄金三角形，∴∠CBD=36°，BC=BD，∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=36°=∠A，∴BD=AD，同理可证DE=DC，∴DE=DC=AC-AD=AB-BC=AB-5-12AB=6-25．故答案为：6-25．【考点五黄金分割点的拓展提高】3是黄金矩形(即ABBC=5-12≈0.618)，如果在其内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE，试问矩形ABFE是否也是黄金矩形？【分析】(1)矩形的宽与长之比值为5-12，则这种矩形叫做黄金矩形．(2)要说明ABFE是不是黄金矩形只要证明AEAB =5-12即可．【答案与详解】矩形ABFE是黄金矩形．理由如下：因为AEAB=AD-EDAB=ADAB-EDAB=25-1-1=25+15-15+1-1=5+12-1=5-12所以矩形ABFE也是黄金矩形．【点睛】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法.1.如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x为( ).A.144°B. 135°C. 136°D. 108°【答案】B.【解析】由扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，黄金比为0.6，根据题意得：x：y=0.6=3：5，又∵x+y=360，则x=360×38=135【总结升华】此题考查了黄金分割，以及比例的性质，解题的关键是根据题意列出x与y的关系式.2.图1是一张宽与长之比为5-12：1的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．矩形EFDC是黄金矩形，【解析】证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF，又∵ABAD=5-12，∴AF AD =5-12，即点F是线段AD的黄金分割点．∴FD AF =AFAD=5-12，∴FD DC =5-12，3.以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示，(1)求AM，DM的长，(2)试说明AM2=AD·DM(3)根据(2)的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【答案】(1)∵正方形ABCD的边长是2，P是AB中点，∴AD=AB=2，AP=1，∠BAD=90°，∴PD=AP2+AD2=5。
平行线分线段成比例八大题型
【变式】如图，已知点 F 在 AB 上，且 AF：BF＝1：2，点 D 是 BC 延长线上一点，BC：CD ＝2：1，连接 FD 与 AC 交于点 M，则 FN：ND＝ ．
解：过点 F 作 FE∥BD，交 AC 于点 E，
∴=，
∵AF：BF＝1：2，
∴ = 1，
3
∴ = 1，
3
即 FE= 13BC， ∵BC：CD＝2：1，
C l3
【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如 AB ）称为上，位置靠下的称为下，两条线段
上上 上上 下下
合成的线段称为全，则可以形象的表示为 下 下 ， 全 全 ， 全 全 ．
【题型1 “井”字型】
【例 1】如图，直线 l1∥l2∥l3，直线 AC 和 DF 被 l1，l2，l3 所截，如果 AB＝2，BC＝3，EF ＝2，那么 DE 的长是（ ）
A．2
B
．4
3
C．1
D．34
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【解答】解：∵直线 l1∥l2∥l3， ∴=，
∵AB＝2，BC＝3，EF＝2，
∴2 = ，
32
∴DE=
4，
3
故选：B．
【变式】如图，a∥b∥c，两条直线与这三条平行线分别交于点 A，B，C 和 D，E，F．已知 AB＝3，BC＝2，DE＝6，则 DF 等于（ ）
∵ = = 1，
2
∴BG＝2DG， ∵BE＝4DG， ∴ = 1，
4
故 D 错误，符合题意； 故选：D．
【变式】已知，在△ABC 中，点 D 为 AB 上一点，过点 D 作 DE∥BC，DH∥AC 分别交 AC、 BC 于点 E、H，点 F 是 BC 延长线上一点，连接 FD 交 AC 于点 G，则下列结论中错误的 是（ ）
专题22.1 成比例线段【七大题型】(举一反三)(沪科版)(原卷版)
专题22.1 成比例线段【七大题型】【沪科版】【题型1 成比例线段的概念】 (1)【题型2 成比例线段的应用】 (2)【题型3 比例的证明】 (3)【题型4 利用比例的性质求比值】 (3)【题型5 利用比例的性质求参】 (4)【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】 (4)【题型7 黄金分割】 (6)【题型1 成比例线段的概念】【例1】（2022秋•南岗区校级月考）不能与2，4，6组成比例式的数是（）A．4B．3C．8D．123【变式1-1】（2022秋•义乌市月考）已知线段a＝2，b＝6，则它们的比例中项线段为2√3．【变式1-2】（2022秋•道里区期末）如图，用图中的数据不能组成的比例是（）A．2：4＝1.5：3B．3：1.5＝4：2C．2：3＝1.5：4D．1.5：2＝3：4【变式1-3】（2022秋•八步区期中）如图所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm．则线段A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段吗？【题型2 成比例线段的应用】【例2】（2022秋•渭滨区期末）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，试判断△ABC的形状．【变式2-1】（2022秋•青羊区校级月考）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（）A．0.8cm B．8cm C．80cm D．800cm．【变式2-2】（2022秋•杜尔伯特县期末）一个班有30名学生，男、女生人数的比可能是（）A．3：2B．1：3C．4：5D．3：1【变式2-3】（2022•台湾）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（）舞蹈社溜冰社魔术社上学期345下学期432A．舞蹈社不变，溜冰社减少B．舞蹈社不变，溜冰社不变C．舞蹈社增加，溜冰社减少D．舞蹈社增加，溜冰社不变)n+≠0【题型3 比例的证明】【例3】（2022秋•汝州市校级月考）已知线段a，b，c，d（b≠d≠0），如果ab=cd=k，求证：a−cb−d=a+cb+d．【变式3-1】（2022春•江阴市期中）如图，点B，C在线段AD上，且AB：BC＝AD：CD，求证：1AB+1AD=2AC．【变式3-2】（2022秋•秦都区校级期中）已知：如图，点O为三角形ABC内部的任意一点，连接AO并延长交BC于点D．证明：（1）S△ABOS△BOD=S△ACOS△COD；（2）S△ABOS△ACO=BDCD．【变式3-3】（2022秋•岳阳县期中）若a，b，c，d是非零实数且ab=cd，求证a2+c2ab+cd=ab+cdb2+d2．【题型4 利用比例的性质求比值】【例4】（2022秋•炎陵县期末）已知2b3a−b=34，则ab=．【变式4-1】（2022春•霍邱县期末）若a−ba=34，那么ba的值等于（）A．25B．14C．−25D．−14【变式4-2】（2022春•沙坪坝区校级期末）若ab =cd=ef=13且b﹣2d+3f≠0，则a−2c+3eb−2d+3f的值为（）A．16B．13C．12D．56【变式4-3】（2022春•栖霞市期末）下列结论中，错误的是（）A．若a4=c5，则ac=45B．若a−bb =16，则ab=76C．若ab =cd=23（b﹣d≠0），则a−cb−d=23D．若ab =34，则a＝3，b＝4【题型5 利用比例的性质求参】【例5】（2022秋•蜀山区校级期中）已知：y+zx =x+zy=x+yz=k，则k＝．【变式5-1】（2022秋•灌云县期末）已知x3=y5，且x+y＝24．则x的值是（）A．15B．9C．5D．3【变式5-2】（2022秋•高州市期中）已知x3=y5=z6，且3y＝2z+6，求x，y的值．【变式5-3】（2022•雨城区校级开学）我们知道：若ab =cd，且b+d≠0，那么ab=cd=a+cb+d．（1）若b+d＝0，那么a、c满足什么关系？（2）若b+ca =a+cb=a+bc=t，求t2﹣t﹣2的值．【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】【例6】（2022秋•渝中区期末）阅读理解：已知：a，b，c，d都是不为0的数，且ab =cd，求证：a+bb=c+dd．证明：∵ab =cd，∴ab +1=cd+1．∴a+bb =c+dd．根据以上方法，解答下列问题：（1）若ab =35，求a+bb的值；（2）若ab =cd，且a≠b，c≠d，证明a−ba+b=c−dc+d．【变式6-1】阅读材料：已知x3=y4=z6≠0，求x+y−zx−y+z的值．解：设x3=y4=z6=k（k≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝6k．（第一步）∴x+y−zx−y+z =3k+4k−6k3k−4k+6k=k5k=15．（第二步）（1）回答下列问题：①第一步运用了的基本性质，②第二步的解题过程运用了的方法，由k5k 得15利用了的基本性质．（2）模仿材料解题：已知x：y：z＝2：3：4，求x+y+zx−2y+3z的值．【变式6-2】（2022秋•椒江区校级月考）阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知xa−b =yb−c=zc−a（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．解：设xa−b =yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．依照上述方法解答下列问题：a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，当a+b−cc =a−b+cb=−a+b+ca时，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值．【变式6-3】（2022春•鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：题目：已知xa−b =yb−c=zc−a（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．解：设xa−b =yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx =z+xy=x+yz（x+y+z≠0），求x−y−zx+y+z的值．.AC AB =≈0618，BC AB =.AB ≈0382，AC 与AB 的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB 而言，黄金分割点有两个．） 【题型7 黄金分割】【例7】（2022•青羊区校级模拟）如图，点R 是正方形ABCD 的AB 边上线段AB 的黄金分割点，且AR ＞RB ，S 1表示以AR 为边长的正方形面积；S 2表示以BC 为长，BR 为宽的矩形的面积，S 3表示正方形除去S 1，S 2剩余的面积，则S 1：S 2的值为 ．【变式7-1】（2022秋•杨浦区期末）已知点P 是线段AB 上的一点，线段AP 是PB 和AB 的比例中项，下列结论中，正确的是（ ） A ．PB AP=√5+12B ．PB AB=√5+12C ．APAB=√5−12D ．AP PB=√5−12【变式7-2】（2022秋•江都区校级月考）已知，点D 是线段AB 的黄金分割点，若AD ＞BD ． （1）若AB ＝10cm ，则AD ＝ ；（2）如图，请用尺规作出以AB 为腰的黄金三角形ABC ； （3）证明你画出的三角形是黄金三角形．【变式7-3】（2022春•兖州区期末）再读教材： 宽与长的比是√5−12（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN ＝2）第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线AB ，并把AB 折到图③中所示的AD 处．第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．问题解决：（1）图③中AB＝（保留根号）；（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．。
专题10成比例线段(4个知识点3种题型2个易错点2种中考考法)(原卷版)-九年级数学上册(北师大版)
专题10成比例线段（4个知识点3种题型2个易错点2种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.形状相同的图形知识点2.两条线段的比（重点）知识点3.成比例线段（重点）知识点4.比例的性质（难点）（重点）【方法二】实例探索法题型1.比例线段的有关计算题型2.利用比例的性质求值题型3.关于写比例式的开放性问题【方法三】差异对比法易错点1在求两条线段的比时忽略了要统一单位易错点2判断线段是否成比例时，局限于字母的顺序而出错【方法四】仿真实战法考法1.比例的性质考法2.成比例线段【方法五】成果评定法【学习目标】1.认识形状相同的图形，结合实例能识别生活中形状相同的图形。
2.了解线段的比和成比例线段的概念，掌握两条线段的比的求法。
3.理解并掌握比例的性质，能利用比例式变形解决一些简单的实际问题。
【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.形状相同的图形形状相同，大小、位置不一定不同的图形叫做形状相同的图形。
一般而言形状相同的图形就是相似图形。
全等图形是一种特殊的形状相同图形。
重点剖析：（1）相似图形不仅有平面图形，还有立体图形，在初中阶段主要研究平面图形的相似。
（2）在两个大小不相等的相似图形中，我们可以认为大的图形是由小的图形经过放大而成的，也可以认为小的图形是由大的图形经过缩小而成的。
学法指导：两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置、大小无关。
知识点2.两条线段的比（重点）1.两条线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD 的长度分别是m、n，那么这两条线段的比就是它们的长度之比。
即AB:CD=m:n，或写成.AB mCD n=其中，线段AB，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项，如果把m n 表示成比值k，那么AB k CD=，或AB k CD = .2.比例尺：在地图或工程图纸上，图上长度与它所表示的实际长度的比值通常叫比例尺，比例尺是两条线段的比的一种.注意！！！（1）在计算两条线段的比时，这两条线段的长度单位必须要统一。
七年级数学上成比例线段练习题
七年级数学上成比例线段练习题
题目1
已知线段AB = 3cm，CD = 4cm，且AB与CD成比例，求线段AB的比例系数。
解题思路1
由题可知，线段AB与CD成比例，设比例系数为k，则有AB = k * CD，代入AB和CD的长度，得到3 = k * 4，解得k = 0.75，所以线段AB的比例系数为0.75。
题目2
在平面直角坐标系中，已知A(-3,4)、B(x,2)，若线段AB与x 轴正半轴成比例，求x的值。
解题思路2
由题可知，线段AB与x轴正半轴成比例，所以线段AB的比例系数等于x轴正半轴上的点到点B的距离与点A到点B的距离之比。
设线段AB的比例系数为k，则有AB = kx，AE = kx，DE = 2 - kx，由勾股定理可得：$AB^2$ = $AE^2$ + $DE^2$，即
($kx$)$^2$ = ($kx$)$^2$ + (2 - $kx$)$^2$，简化得到3$kx^2$ - 4kx + 4 = 0，解得x = 2/3或2，由于点B在第二象限，所以x = 2/3。
题目3
已知线段AB = 6cm，DE = 15cm，且线段AB与DE成比例，求线段DE的长度。
解题思路3
由题可知，线段AB与DE成比例，设比例系数为k，则有AB = k * DE，代入AB和DE的长度，得到6 = k * 15，解得k = 0.4，所以线段DE的长度为15 * 0.4 = 6cm。
线段比的练习题
线段比的练习题题目一：已知线段AB与线段CD的比为2:3，线段DE与线段EF的比为4:5，求线段AB与线段EF的比。
解答：首先，我们需要先计算出线段AB与线段CD的实际长度，以及线段DE与线段EF的实际长度。
假设线段AB的长度为2x，线段CD的长度为3x，线段DE的长度为4y，线段EF的长度为5y。
由已知条件可得：2x/3x = 2/34y/5y = 4/5根据比例的性质，我们可以得出以下等式：2x/3x = 4y/5y通过交叉相乘法则，我们可以得出：2x * 5y = 3x * 4y化简后得到：10xy = 12xy由此可知，线段AB与线段EF的比为10:12，即5:6。
题目二：已知线段AB与线段CD的比为3:4，线段EF与线段GH的比为2:5，求线段AB与线段GH的比。
解答：与题目一类似，我们先计算线段AB与线段CD的实际长度，以及线段EF与线段GH的实际长度。
假设线段AB的长度为3x，线段CD的长度为4x，线段EF的长度为2y，线段GH的长度为5y。
由已知条件可得：3x/4x = 3/42y/5y = 2/5根据比例的性质，我们可以得出以下等式：3x/4x = 2y/5y通过交叉相乘法则，我们可以得出：3x * 5y = 4x * 2y化简后得到：15xy = 8xy由此可知，线段AB与线段GH的比为15:8。
题目三：线段AB与线段CD的比为2:7，线段EF与线段GH的比为1:5，求线段AB与线段GH的比。
解答：与前两题类似，我们先计算线段AB与线段CD的实际长度，以及线段EF与线段GH的实际长度。
假设线段AB的长度为2x，线段CD的长度为7x，线段EF的长度为y，线段GH的长度为5y。
由已知条件可得：2x/7x = 2/7y/5y = 1/5根据比例的性质，我们可以得出以下等式：2x/7x = y/5y通过交叉相乘法则，我们可以得出：2x * 5y = 7x * y化简后得到：10xy = 7xy由此可知，线段AB与线段GH的比为10:7。
比例线段习题及参考答案
比例线段姓名__________一．选择题（共12小题）1．若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（）A．2a=3b B．3a=2b C ．D ．2．已知=，那么的值为（）A ．B ．C ．D ．3．已知，则的值是（）A ．B ．C ．D ．4．（2016•闵行区一模）在比例尺为1：10000的地图上，一块面积为2cm2的区域表示的实际面积是（）A．2000000cm2 B．20000m2 C．4000000m2 D．40000m2 5．（2016•黄浦区一模）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a=9cm，b=4cm，则线段c长（）A．18cm B．5cm C．6cm D．±6cm 6．（2015春•成都校级期末）下列长度的各组线段中，能构成比例线段的是（）A．2，5，6，8 B．3，6，9，18 C．1，2，3，4 D．3，6，7，97．（2015秋•龙海市校级期末）下列各组中的四条线段成比例的是（）A．6cm、2cm、1cm、4cmB．4cm、5cm、6cm、7cmC．3cm、4cm、5cm、6cmD．6cm、3cm、8cm、4cm8．已知，则的值是（）A．3B．4C．﹣4D．﹣39．（2015秋•莘县期末）若==，且3a ﹣2b+c=3，则2a+4b﹣3c的值是（）A．14 B．42 C．7 D ．10．（2015春•苏州校级期末）已知线段a=l，c=5，线段b是线段a、c的比例中项，线段b的值为（）A．2.5 B ．C．±2.5 D．±11．（2004•遂宁）如图所示，一张矩形纸片ABCD的长AB=acm，宽BC=bcm，E、F分别为AB、CD的中点，这张纸片沿直线EF 对折后，矩形AEFD的长和宽之比等于矩形ABCD的长和宽之比，则a：b等于（）A ．：1B．1：C ．：1D．1：12．（2014•牡丹江）若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（）A．﹣5B．﹣C．D．5二．填空题（共5小题）13．已知≠0，则的值为．14．（2015•兰州）如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= ．15．（2015•大庆）已知=，则的值为．16．（2000•天津）已知，则a：b= ．17．（2002•福州）已知线段a=4 cm，b=9 cm，则线段a，b的比例中项为cm．三．解答题（共1小题）18．（2015秋•浦东新区月考）已知a、b、c是△ABC的三边长，且==≠0，求：（1）的值．（2）若△ABC的周长为90，求各边的长．参考答案一．选择题（共12小题）1．B；2．B；3．D；4．B；5．C；6．B；7．D；8．A；9．D；10．B；11．A；12．A；二．填空题（共5小题）13．；14．3；15．-；16．19：13；17．6；三．解答题（共1小题）18．；。
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平行线分线段成比例知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 等比： 合比：一、填空题1. 比例尺为1：50000的地图上，两城市间的图上距离为20cm ，则这两城市的实际距离是km.2. 图纸上画出的某个零件的长是32 mm ，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是 .3. 正方形的边长与对角线的比为： .4. 已知b 是a ，c 的比例中项，且a=3cm ，c=6cm ，则b= cm5. 如果线段a=3，b=12，那么线段a 、b 的比例中项x=___________.6. 线段a=2cm ，b=3cm ，c=1cm ， 那么a 、b 、c 的第四比例项d=____ .7. 在x ∶6= (5 +x )∶2 中的x = ；2∶3 = ( 5-x )∶x 中的x = .8. 若2:3:=y x ，2:3:=z y . 则=z y x :: .9. 若a ∶3 = b ∶4 = c ∶5 , 且a +b -c =6, 则a = ，b = ，c = .10. 已知x ∶y ∶z = 3∶4∶5 , 且x +y +z =12, 那么x = ，y = ，z = . 11. 已知x ∶4 = y ∶5 = z ∶6 , 则 ①x ∶y ∶z = , ② (x+y )∶(y+z )= .12. 若43===f e d c b a , 则______=++++f d b e c a .13. 若9810zy x ==, 则 ______=+++z y z y x . 14. 若322=-y y x , 则_____=yx . 15. 如图，已知 AB ∶DB = AC ∶EC ，AD = 15 cm , AB = 40 cm , AC = 28 cm , 则 AE= . 16. 若P 为AB 的黄金分割点，且AP ＞PB ，若AB ＝8cm ，则AP ＝_______. PB ＝ . 二、选择题1. 已知一矩形的长a =1.35m ，宽b =60cm ，则a ∶b 的值为（ ） A. 9∶400 B. 9∶40 C. 9∶4 D. 90∶42. 下列线段能成比例线段的是（ ）A.1cm,2cm,3cm,4cm.B.1cm,2cm,22cm,2cm.C.2cm,5cm,3cm,1cm.D.2cm,5cm,3cm,4cm 3. 下面4条线段，不能成比例的是（ ）A ．4,2,6,3====d c b aB ．3,6,2,1====d c b aC ．10,5,6,4====d c b aD ．32,15,5,2====d c b a4. 如果线段a =4，b =16，c =8，那么a 、b 、c 的第四项是（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 325. 在比例尺为1：400000的地图上，量得AB 两地距离是24cm ，则A 、B 两地实际距离（ ）A 、960mB 、9600mC 、96000mD 、960000m6. 某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5米，影长是1米，旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是 （ ） A 、12米 B 、11米 C 、10米 D 、9米A C DB E7. 两直角边为3和4的直角三角形的斜边和斜边上高线的比是 （ ） A. 5:3 B. 5:4 C. 5:12 D. 25:12 8. 已知32=b a ，则b ba +的值为 （ ） A. 23 B. 34 C. 35 D. 539. 已知x ∶y ∶z =1∶2∶3，且2x+y -3z = -15，则x 的值为 （ ） A. -2 B. 2 C. 3 D. -310. 如果 a:b=12:8，且b 是a 和c 的比例中项，那么b:c 等于（ ）A. 4：3B. 3：2C. 2：3D. 3：411. 在比例尺为1∶38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为7cm ，它的实际长度为（ ）A. 0.226kmB. 2.66kmC. 26.6kmD. 266km12. 已知点C 是AB 的黄金分割点(AC >BC)，若AB=4cm ，则AC 的长为（ ） A. (2 5 –2)cm B. (6-2 5 )cm C. ( 5 –1)cm D. (3- 5 )cm 三、解答题1. 若c b a 432==，求c b a ::的值.2. 已知10:5:3::=c b a ，且16=-+b c a ， 求c b a -+23的值.3. 已知743c b a ==，且0≠⋅⋅c b a ， 求cb a cb a 432234-+-+的值. 4. 若k cb a dd b a c d c a b d c b a =++=++=++=++, 求k 的值.专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
EDCBA【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=. FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.FE DCBA【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形A B C D 中，A D B C ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2007年北师大附中期末试题） （1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+ 的值为（ ） A.52 B.1 C.32D.2 (1)MEDC BA(2)F ED CBA【例5】 （2001年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .E D CB A O（1）当1A 2AE C =时，求AOAD 的值；（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想.【例6】 （2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F是BE 延长线与AC 的交点. （1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DCBA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
求证：AF EF =。
FEDCBA【例7】 （宁德市中考题）如图，ABC ∆中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ，延长AB 交CE 的延长线于P 。
若2AD DE =，求证:3AP AB =。
PEDCBA【巩固】（济南市中考题；安徽省中考题）如图， ABC ∆中，BC a =，若11D E ，分别是AB AC ，的中点，则1112D E a =；若22D E 、分别是11D B E C 、的中点，则2213224a D E a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭； 若33D E 、分别是22D B E C 、的中点，则33137248D E a a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；…………若n n D E 、分别是-1-1n n D B E C 、的中点，则n n D E =_________.专题三、利用平行线转化比例【例8】如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P . 求证：PM PN PR PS ⋅=⋅lSR PNMO DC BA【巩固】已知，如图，四边形ABCD ，两组对边延长后交于E 、F ，对角线BD EF ∥，AC 的延长线交EF 于G ．求证：EG GF =．E n D n E 3D 3E 2D 2E 1D 1C BAG FECDBA【例9】 已知：P 为ABC ∆的中位线MN 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交对边AC 、AB 于D 、E ，求证：1AD AEDC EB+= PNME D CBA【例10】 在ABC ∆中，底边BC 上的两点E 、F 把BC 三等分，BM 是AC 上的中 线，AE 、AF 分别交BM 于G 、H 两点，求证：::5:3:2BG GH HM =MH G FECBA【例11】 如图，M 、N 为ABC ∆边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条 平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F . 求证：3EF DE =.F NMED CBA【例12】 已知：如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，M 是AB 的中点，分别连 接AC 、BD 、MD 、MC ，且AC 与MD 交于点E ，DB 与MC 交于F .（1）求证：//EF CD（2）若AB a =,CD b =，求EF 的长.FEMDCBA【巩固】（山东省初中数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，396AD BC AB ===，，,4CD =，若E F B C ∥，且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，求EF 的长。