2020届东北师范大学附属中学高三上学期第二次模拟考试数学(文)试题(解析版)
2023届吉林省长春市东北师范大学附属中学高三第二次摸底考试数学试题
2023届吉林省长春市东北师范大学附属中学高三第二次摸底考试数学试题一、选择题：（本题8小题，每小题5分，共计40分，在每小题中给出四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（5分）若集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则集合A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|0＜x＜1} 2．（5分）“（kπ，0）（k∈Z）”是“函数f（x）＝tan x的对称中心”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知函数f（x）满足2f（x）+f（﹣x）＝3x2+2x+6，则（）A．f（x）的最小值为2B．∃x∈R，＜2C．f（x）的最大值为2D．∀x∈R，＞24．（5分）函数f（x）＝ln（x2﹣ax﹣3）在[2，+∞）单调递增，则实数a的取值范围是（）A．a≤4B．a＜4C．a≤D．a＜5．（5分）已知函数f（x）＝2sin（2x+），现将y＝f（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）在[0，]的值域为（）A．[﹣1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣1，] 6．（5分）若tan（α﹣）＝，则sin2α的值为（）A．﹣B．C．﹣D．7．（5分）已知a＝e0.1，b＝+1，c＝，则（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b8．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝﹣x2+2x（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程F（x）＝g（f（x））﹣m恰有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则3x1﹣x2+3x3的最大值为（）A．1+ln B．1+ln C．3﹣ln3D．3+ln3二.选择题：（本题4小题，每小题'5分，共计20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错得0分，部分选对的得2分）（多选）9．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期为π，且过点（0，），则下列正确的为（）A．f（x）在（0，）单调递减B．f（x）的一条对称轴为x＝C．f（|x|）的最小正周期为πD．把函数f（x）的图像向左平移个长度单位得到函数g（x）的解析式为g（x）＝cos （2x+）（多选）10．（5分）已知幂函数f（x）＝x a图像经过点（3，），则下列命题正确的有（）A．函数f（x）为增函数B．函数f（x）为偶函数C．若x＞1，则f（x）＞1D．若0＜x1＜x2，则＞f（）11．（5分）将函数的图象向左平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到h（x）的图象，若对于任意的实数，h（ωx）都单调递增，则正数ω的最大值为（）A．3B．C．D．（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝x2lnx若＜x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．若x f（x1）＜x f（x2）B．x1+＜x2+C．＜0D．当＜x1＜x2时，＞三.填空题：（（本题4小题，每小题5分，共计20分）13．（5分）求值＝．14．（5分）已知函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）的反函数f（x）过点（4，2），设g（x）＝f（x）+f﹣1（x），则不等式g（2x﹣1）﹣g（4﹣x）＜0的解集是．15．（5分）在△ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，且＝，＝；AB 点O是线段MN上异于端点的一点，且满足λ+3+4＝（λ≠0），则λ＝．16．（5分）已知函数f（x）＝sin|x|﹣cos x，若关于x的方程f（x）＝m在（﹣，2π]上有三个不同的实根，则实数m的取值范围是．四.解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知{a n}是公差为1的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．18．（12分）已知函数f（x）＝•（+），其中向量＝（sin x；﹣3cos x），＝（sin x，﹣cos x），＝（﹣cos x，sin x），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的解析式及对称中心和单调减区间．（Ⅱ）不等式|f（x）﹣m|＜3在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．19．（12分）已知f（x）＝x2﹣x+a sin x．（1）若在x＝π处的切线的斜率是π﹣2，求当λ≤f（x）在[0，+∞）恒成立时的λ的取值范围；（2）设g（x）＝f（x）﹣x2+2x﹣ln（x+1），当x∈（0，π）时g（x）有唯一零点，求a的取值范围．20．（12分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限x（单位年）与失效费y（单位：万元）的统计数据如表所示：使用年限x（单位：年）24568失效费y（单位：万元）34567（Ⅰ）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性的强弱；（已知：0.75≤|r|≤1，则认为y与x线性相关性很强；0.3≤|r|＜0.75，则认为y与x线性相关性一般；|r|＜0.3，则认为y与x线性相关性较弱）（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费．参考公式和数据：r＝＝，＝＝，＝﹣．21．（12分）已知f（x）＝．（1）求函数f（x）的值域；（2）若方程f（x）＝在[0，]上的所有实根按从小到大的顺序分别记为x1，x2，⋯，x n．求x1+2x2+2x3+⋯+2x n﹣1+x n的值．22．（12分）已知函数f（x）＝1+﹣ae x+，a≥．（1）当x+lnx＞0时，求证f（x）＜0；（2）求证：++⋯++＞ln（n∈N*）．2023届吉林省长春市东北师范大学附属中学高三第二次摸底考试数学试题参考答案与试题解析一、选择题：（本题8小题，每小题5分，共计40分，在每小题中给出四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（5分）若集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则集合A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|0＜x＜1}【分析】由于两个集合已知，故由交集的定义直接求出两个集合的交集即可．【解答】解：A∩B＝{x|﹣2＜x＜1}∩{x|0＜x＜2}＝{x|0＜x＜1}．故选D．【点评】常用数轴图、函数图、解析几何中的图或文恩图来解决集合的交、并、补运算．2．（5分）“（kπ，0）（k∈Z）”是“函数f（x）＝tan x的对称中心”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【解答】解：函数f（x）＝tan x的对称中心为（，0）（k∈Z），所以“（kπ，0）（k∈Z）”是“函数f（x）＝tan x的对称中心”的充分不必要条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．3．（5分）已知函数f（x）满足2f（x）+f（﹣x）＝3x2+2x+6，则（）A．f（x）的最小值为2B．∃x∈R，＜2C．f（x）的最大值为2D．∀x∈R，＞2【分析】先求得f（x），然后结合二次函数的性质确定正确选项．【解答】解：因为2f（x）+f（﹣x）＝3x2+2x+6，（i），所以用﹣x代换x得：2f（﹣x）+f（x）＝3x2﹣2x+6，（ii），（i）×2﹣（ii）得：3f（x）＝3x2+6x+6，即f（x）＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，从而f（x）只有最小值，没有最大值，且最小值为1，＝＝2﹣＜2，＝＝2+＞2，故选：D．【点评】本题主要考查根据函数解析式求最值，属于中档题．4．（5分）函数f（x）＝ln（x2﹣ax﹣3）在[2，+∞）单调递增，则实数a的取值范围是（）A．a≤4B．a＜4C．a≤D．a＜【分析】由复合函数的单调及对数函数的性质可得关于a的不等式组，即可求解．【解答】解：函数f（x）＝ln（x2﹣ax﹣3）在[2，+∞）单调递增，由复合函数的性质可得y＝x2﹣ax﹣3）在[2，+∞）单调递增，且函数值为正，所以，解得a＜．故选：D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．5．（5分）已知函数f（x）＝2sin（2x+），现将y＝f（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）在[0，]的值域为（）A．[﹣1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣1，]【分析】首先利用三角函数的关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式为g （x）＝2sin（4x﹣），进一步利用函数的定义域求出函数的值域．【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x+），现将y＝f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y＝2sin（2x﹣）的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）＝2sin（4x﹣）的图象；由于，故，故，故g（x）∈[﹣1，2]．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6．（5分）若tan（α﹣）＝，则sin2α的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】利用二倍角公式，即可解出．【解答】解：sin2α＝cos2（）＝＝＝﹣，故选：C．【点评】本题考查了三角函数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．7．（5分）已知a＝e0.1，b＝+1，c＝，则（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b【分析】直接利用构造函数的应用和函数的导数与函数的单调性的关系判断a、b、c的大小关系．【解答】解：设函数f（x）＝e x﹣x﹣1（x＞0），则f′（x）＝e x﹣1，当x＝0时，f′（0）＝0，故函数在（0，+∞）上单调递增，即f（x）＞f（0）＝0，即e x＞x+1，故e0.2＞1.2，进一步整理得，所以a＞c；设g（x）＝lnx﹣x+1，（x＞0），所以，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，故函数g（x）在（0，1）上单调递增，所以g（x）≤g（1）＝0；所以lnx≤x﹣1，故，即，故，即，故b≤c，综上所述：a＞c＞b．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：构造函数，函数的导数和函数的单调性的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．8．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝﹣x2+2x（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程F（x）＝g（f（x））﹣m恰有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则3x1﹣x2+3x3的最大值为（）A．1+ln B．1+ln C．3﹣ln3D．3+ln3【分析】作出f（x）的图象，然后对F（x）＝0中的f（x）换元，结合f（x）的图象以及题意，找到三个不同的零点x1，x2，x3之间的关系，最终将3x1﹣x2+3x3表示为x2的函数，利用导数求其最大值即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象：令f（x）＝t，则方程F（x）＝g（f（x））﹣m恰有三个不同的零点，只需g（t）＝﹣t2+2t ﹣m＝0有两个实数根t1，t2，且t1∈（0，1]，t2∈（1，+∞），t1+t2＝2，故结合f（x）图象可知，＝t1，3x3＝t2，所以3x1＝ln3x2，3x3＝2﹣3x2，所以3x1﹣x2+3x3＝ln3x2﹣x2+2﹣3x2＝ln3x2﹣4x2+2，x2＞1，令h（x）＝ln3x﹣4x+2，x＞1，则，显然该函数递减，令h′（x）＝0，得x＝是h（x）的极大值点，也是h（x）的最大值点，故h（x）max＝h（）＝，即3x1﹣x2+3x3的最大值为．故选：A．【点评】本题考查函数的零点与方程的根、函数图象间的关系，同时考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．二.选择题：（本题4小题，每小题'5分，共计20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错得0分，部分选对的得2分）（多选）9．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期为π，且过点（0，），则下列正确的为（）A．f（x）在（0，）单调递减B．f（x）的一条对称轴为x＝C．f（|x|）的最小正周期为πD．把函数f（x）的图像向左平移个长度单位得到函数g（x）的解析式为g（x）＝cos （2x+）【分析】首先利用关系式的变换和函数的最小正周期以及函数所经过的定点求出函数的解析式，进一步利用函数的性质和函数的图像的平移变换的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）＝，由于函数的最小正周期为π，所以ω＝2，故f（x）＝；由于函数的图象经过点（0，），且|φ|≤，所以：φ＝；故f（x）＝＝．对于A：函数在时，2x∈（0，π），故函数在该区间上单调递减，故A正确；对于B：当x＝时，f（）＝0，故B错误；对于C：f（|x|）＝＝cos2x，故函数的最小正周期为π，故C正确；对于D：函数的图像向左平移个长度单位得到函数g（x）的解析式为g（x）＝cos （2x+），故D错误．故选：AC．【点评】本题考查的知识要点：函数的解析式的确定，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．（多选）10．（5分）已知幂函数f（x）＝x a图像经过点（3，），则下列命题正确的有（）A．函数f（x）为增函数B．函数f（x）为偶函数C．若x＞1，则f（x）＞1D．若0＜x1＜x2，则＞f（）【分析】由已知求出幂函数的解析式，即可判断出函数的单调性以及奇偶性，由此即可判断选项A，B，C，画出图象，进而判断出D的正误．【解答】解：∵幂函数f（x）＝x a图像经过点（3，），∴＝3a，解得a＝﹣2，∴f（x）＝x﹣2＝，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），∴函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，为偶函数，x＜1时，f（x）＜f（1）＝1．可知：A不正确，B正确，C正确．画出图象，可知：0＜x1＜x2，则＞f（），因此D正确．故选：BCD．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）将函数的图象向左平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到h（x）的图象，若对于任意的实数，h（ωx）都单调递增，则正数ω的最大值为（）A．3B．C．D．【分析】首先利用三角函数关系式的变换，平移变换和伸缩变换的应用求出函数h（x）的关系式进一步利用整体思想的应用和余弦函数的性质求出结果．【解答】解：函数的图象向左平移个单位长度，得到y＝+，向下平移个单位长度后，得到h（x）＝的图象，所以h（ωx）＝ωx+），令2kπ﹣π≤4ωx+（k∈Z），解得（k∈Z），由于对于任意的实数，h（ωx）都单调递增，所以：（k∈Z），所以，解得，当k＝1时，ω．故ω的最大值为．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝x2lnx若＜x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．若x f（x1）＜x f（x2）B．x1+＜x2+C．＜0D．当＜x1＜x2时，＞【分析】对于A：令F（x）＝＝＝lnx，求导分析单调性，即可判断A是否正确；对于B：令G（x）＝x+＝x+xlnx，求导分析单调性，即可判断B是否正确；对于C：求导分析f（x）的单调性，即可判断C是否正确；对于D：由上可知x1f（x1）+x1f（x2）﹣2x2f（x1）＞x1f（x1）+x1f（x2）﹣x2f（x1）﹣x2f （x2）＝（x1﹣x2）（f（x1）+f（x2）），即可判断D是否正确．【解答】解：对于A：令F（x）＝＝＝lnx，所以F（x）在（0，+∞）上单调递增，因为＜x1＜x2，所以F（x1）＜F（x2），所以＜，所以x22f（x1）＜x12f（x2），故A正确；对于B：令G（x）＝x+＝x+xlnx，G′（x）＝1+x•+lnx＝2+lnx，令G′（x）＝0，得x＝，所以在（0，）上，G′（x）＜0，G（x）单调递减，在（，+∞）上，G′（x）＞0，G（x）单调递增，因为＜x1＜x2，所以G（x1）＜G（x2），所以x1+＜x2+，故B正确；对于C：f′（x）＝2xlnx+x2•＝2xlnx+x＝x（2lnx+1），令f′（x）＝0，得x＝，所以在（0，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，因为＜x1＜x2，所以f（x1）＜f（x2），所以＞0，故C正确；对于D：x1f（x1）+x1f（x2）﹣2x2f（x1）＝x1f（x1）+x1f（x2）﹣x2f（x1）﹣x2f（x1）＞x1f（x1）+x1f（x2）﹣x2f（x1）﹣x2f（x2）＝（x1﹣x2）f（x1）+（x1﹣x2）f（x2）＝（x1﹣x2）（f（x1）+f（x2）），由上可知当当＜x1＜x2时，﹣＜f（）＜f（x1）＜f（x2），所以f（x1）+f（x2）符号无法确定，故D错误，故选：ABC．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．三.填空题：（（本题4小题，每小题5分，共计20分）13．（5分）求值＝．【分析】将正切化成正弦与余弦的比，再利用二倍角公式，即可解出．【解答】解：原式＝＝＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）的反函数f（x）过点（4，2），设g（x）＝f（x）+f﹣1（x），则不等式g（2x﹣1）﹣g（4﹣x）＜0的解集是[]．【分析】根据反函数的定义得出f（x）的图象过点（2，4），由此即可求出a的值，再根据反函数的定义即可求出g（x）的解析式，由此得出函数的单调性，然后根据单调性建立不等式组，由此即可求解．【解答】解：因为函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）的反函数f（x）过点（4，2），所以函数f（x）的图象过点（2，4），即a2＝4，解得a＝2或﹣2（舍去），所以f（x）＝2x，则f﹣1（x）＝log2x，所以g（x）＝2x+log2x，且函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以不等式g（2x﹣1）﹣g（4﹣x）＜0转化为：，解得，所以不等式的解集为[]，故答案为：[]．【点评】本题考查了反函数的定义的应用，涉及到求解函数不等式，属于中档题．15．（5分）在△ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，且＝，＝；AB 点O是线段MN上异于端点的一点，且满足λ+3+4＝（λ≠0），则λ＝8．【分析】将等式中的向量都用，，来表示，最后利用M，O，N三点共线列出λ满足的方程求解．【解答】解：M，N分别是边AB，AC上的点，且＝，＝，＝﹣＝﹣，＝﹣＝3﹣，代入λ+3+4＝（λ≠0），得λ+3（3﹣）+4（﹣）＝，整理得＝+，因为M，O，N三点共线，故+＝1，解得λ＝8．故答案为：8．【点评】本题考查平面向量的线性运算以及三点共线的条件，属中档题．16．（5分）已知函数f（x）＝sin|x|﹣cos x，若关于x的方程f（x）＝m在（﹣，2π]上有三个不同的实根，则实数m的取值范围是[﹣，0]．【分析】易知该函数是偶函数，然后画出x＞0时，f（x）的图象，再结合对称性得到整个函数图象，将问题转化为y＝m与y＝f（x）的交点问题求解．【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|﹣cos（﹣x）＝sin|x|cos x＝f（x），故函数f（x）是偶函数，当x≥0时，＝，画出f（x）的图象如图：当y＝m与y＝f（x）产生三个不同交点时，f（x）＝m在（﹣，2π]上有三个不同实根，故只需即可．故答案为：[﹣，0]．【点评】本题考查了函数的零点与函数图象之间的关系，属于中档题．四.解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知{a n}是公差为1的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）利用等比中项和等差数列的通项公式，即可求解；（Ⅱ）利用裂项相消求和即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为{a n}是公差为1的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列，所以，即，解得a1＝1，所以{a n}的通项公式为a n＝n；（Ⅱ）∵＝＝﹣，∴T n＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝1﹣＝．【点评】本题考查了等差数列的通项公式和裂项相消求和，属于中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝•（+），其中向量＝（sin x；﹣3cos x），＝（sin x，﹣cos x），＝（﹣cos x，sin x），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的解析式及对称中心和单调减区间．（Ⅱ）不等式|f（x）﹣m|＜3在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）先根据向量的数量积的坐标运算，三角函数公式化简f（x）的解析式，再根据三角函数的性质即可求解；（Ⅱ）先求出f（x）在[，]上的值域，再将恒成立问题转化为最值，从而建立不等式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝•（+）＝（sin x，﹣cos x）•（sin x﹣cos x，sin x﹣3cos x）＝sin2x﹣sin x cos x﹣sin x cos x+3cos2x＝1﹣2sin x cos x+2cos2x＝cos2x﹣sin2x+2＝cos（2x+）+2，令2x+＝，可得x＝，k∈Z，∴f（x）的对称中心为（，2），k∈Z，令2kπ≤2x+≤2kπ+π，解得，k∈Z，∴f（x）的单调减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（Ⅱ）∵x∈[，]，，∴cos（2x+）∈[﹣1，0]，∴cos（2x+）∈[﹣，0]，∴f（x）∈[2﹣，2]，又根据题意可得：∀x∈[，]，﹣3＜f（x）﹣m＜3，∴∀x∈[，]，m﹣3＜f（x）＜m+3，∴，解得﹣，∴实数m的取值范围为（﹣1，）．【点评】本题考查向量的数量积的坐标运算，三角函数公式，三角函数的性质，恒成立问题，属中档题．19．（12分）已知f（x）＝x2﹣x+a sin x．（1）若在x＝π处的切线的斜率是π﹣2，求当λ≤f（x）在[0，+∞）恒成立时的λ的取值范围；（2）设g（x）＝f（x）﹣x2+2x﹣ln（x+1），当x∈（0，π）时g（x）有唯一零点，求a的取值范围．【分析】（1）求导得f′（x）＝x﹣1+a cos x，则k切＝f′（π）＝π﹣1﹣a，解得a，分析f（x）的单调性，进而只需λ≤f（x）min，即可得出答案．（2）根据题意可得g（x）＝x+a sin x﹣ln（x+1），求导得g′（x）＝1+a cos x﹣，分两种情况：当a≥0时，当a＜0时，分析g（x）的单调性，最值，即可得出答案．【解答】解：（1）f′（x）＝x﹣1+a cos x，所以k切＝f′（π）＝π﹣1+a cosπ＝π﹣1﹣a，因为在x＝π处的切线的斜率是π﹣2，所以π﹣1﹣a＝π﹣2，所以a＝1，所以f（x）＝x2﹣x+sin x，f′（x）＝x﹣1+cos x，令μ（x）＝x﹣1+cos x，μ′（x）＝1﹣sin x≥0，所以μ（x）在（0，+∞）上单调递增，当x＞0时，μ（x）＞μ（0）＝0，所以f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上的单调递增，所以f（x）＞f（0）＝0，若当λ≤f（x）在[0，+∞）恒成立，则λ≤f（x）min，所以λ≤0，所以λ的取值范围为（﹣∞，0]．（2）g（x）＝f（x）﹣x2+2x﹣ln（x+1）＝x2﹣x+a sin x﹣x2+2x﹣ln（x+1）＝x+a sin x ﹣ln（x+1），g′（x）＝1+a cos x﹣，当a≥0时，由x∈（0，π）得g（x）≥x﹣ln（x+1），令h（x）＝x﹣ln（x+1），h′（x）＝1﹣＝，所以当x∈（0，π）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）＞h（0）＝0，所以g（x）＞0在（0，π）上恒成立，所以g（x）在（0，π）上无零点，不满足题意，当a＜0时，g′（x）在（0，π）上单调递增，g′（0）＜0，g′（π）＝1﹣a﹣＞0，所以存在x0∈（0，π）使得g′（x0）＝0，所以在（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，在（x0，π）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，又g（0）＝0，g（π）＝π﹣ln（π+1）＞0，所以存在唯一的t∈（x0，π），使得g（t）＝0，满足题意，综上所述，a的取值范围为（﹣∞，0）．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．20．（12分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限x（单位年）与失效费y（单位：万元）的统计数据如表所示：使用年限x（单位：年）24568失效费y（单位：万元）34567（Ⅰ）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性的强弱；（已知：0.75≤|r|≤1，则认为y与x线性相关性很强；0.3≤|r|＜0.75，则认为y与x线性相关性一般；|r|＜0.3，则认为y与x线性相关性较弱）（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费．参考公式和数据：r＝＝，＝＝，＝﹣．【分析】（Ⅰ）根据相关系数公式，分别求出变量的均值及和值，代入公式求得相关系数，并判断相关性强弱即可；（Ⅱ）根据第一问求得的值，结合线性回归方程求解公式求得参数，写出回归方程，并预测10年的失效费即可．【解答】解：（Ⅰ）由表知，，，，，故0.75＜r＜1，认为y与x线性相关性很强；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，故y关于x的线性回归方程为y＝0.7x+1.5，当x＝10时，y＝0.7×10+1.5＝8.5，即10年的失效费用为8.5万元．【点评】本题利用相关性计算公式及回归方程参数求解公式求解参数及估算预测值，属于中档题．21．（12分）已知f（x）＝．（1）求函数f（x）的值域；（2）若方程f（x）＝在[0，]上的所有实根按从小到大的顺序分别记为x1，x2，⋯，x n．求x1+2x2+2x3+⋯+2x n﹣1+x n的值．【分析】（1）函数的解析式化简，换元，由均值不等式的性质可得函数的最小值；（2）利用sin（x+）对称性，周期性计算可求解．【解答】解：（1）f（x）＝＝＝，设t＝sin x+cos x，x∈R，t＝sin（x+），t∈[﹣，]，则g（t）＝＝＝（t+2）+﹣4≥2﹣4＝2，当且仅当t+2＝，即t＝1时等号成立，∴g（t）的最小值为2，又g（﹣）＝＝7+，g（）＝＝7﹣，故g（t）的值域是[2，7+]，即f（x）的值域是[2，7+]；（2）由（1）得g（t）＝，t∈[﹣，]，则f（x）＝，即＝，化简得3t2﹣8t﹣1＝0，解得t＝（4﹣）或t＝（4+）（不合题意，舍去）；∴sin x+cos x＝（4﹣），得sin（x+）＝（4﹣），解得sin（x+）＝，∵x∈[0，]，∴x+∈[，10π]由x+＝kπ+，得x＝kπ+（k∈Z），得函数y＝sin（x+）图象在[0，]区间且确保sin（x+）＝成立，对称轴为x＝kπ+，（k∈N*，k≤10），sin（x+）＝在区间[0，]内有10个根x1，x2⋯，x10，数列{x i+x i+1}（i∈N*，i≤10）构成以x1+x2＝为首项，2π为公差的等差数列，x1+2x2+2x3+⋯+2x9+x10＝（x i+x i+1）＝×10+×9×8•2π＝97π．【点评】本题考查利用换元法求函数的值域，合理利用对应函数的对称性是解决问题的关键，考查方程的解，属于难题．22．（12分）已知函数f（x）＝1+﹣ae x+，a≥．（1）当x+lnx＞0时，求证f（x）＜0；（2）求证：++⋯++＞ln（n∈N*）．【分析】（1）问题转化为证明恒成立，令t＝xe x，进一步转化为当t＞1时，，设，再利用导数即可得证；（2）由（1）可得当时，恒成立，再令，由此可得，再通过累加即可得证．【解答】证明：（1）函数的定义域为（0，+∞），要证f（x）＜0，即证x2+xlnx﹣ax2e x+ae﹣x＜0，即证，即证，令t＝xe x，由于x+lnx＝ln（xe x）＞0，则t＝xe x＞1，即证当t＞1时，，设，则，又，则方程﹣at2+t﹣a＝0中Δ＝1﹣4a2≤0，则h′（t）≤0在[1，+∞）上恒成立，所以h（t）在[1，+∞）上单调递减，则，即，即得证；（2）由（1）可知，当时，恒成立，令，则，所以，则，，……，以上各式相加可得，，所以，又，则，即得证．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于较难题目．。
吉林省东北师范大学附属中学2020届高三上学期第二次模拟考试文科数学答案
1
1
2b2 2b3
2b2 (2b − 3)
所以 S= |RE|yQ= (b+b)
2
2
= ，S′=
b −1 b −1
(b −1)2
，b∈(1,+∞)，
3
3
当 b∈(1, )时，函数单调递减；当 b∈( ,+∞)时，函数单调递增；
2
2
3
27
∴当 b= 时，S 最小值为 ．
2
2
21．解：(1)f(x)的定义域为( 0 , +∞ )．
∴四边形 ACC1A1 是菱形，∴A1C⊥AC1，
又 AC1∩B1C1=C1，AC1、B1C1⊂平面 AB1C1，
∴A1C⊥平面 AB1C1，
又 A1C⊂平面 A1B1C，∴平面 AB1C1⊥平面 A1B1C；
(2)四边形 ACC1A1 是菱形，∠A1AC=60∘，AC=2，
1
∴S△ACC1= ×2×2×sin60∘=
由 x2=4y，得 y= 1 x2 ，y′= 1 x ，切线 n 的斜率 k= 1 (−2b)=−b，
4
2
2
切线 n 的方程为：y−b2=−b(x+2b)，即 y=−bx−b2，
y =−bx − b2
2b2
由
y =−x + b
，得直线 l、n 交点 Q，纵坐标 yQ= b −1 ，
在直线 y=−x+b，y=−bx−b2 中分别令 y=0，得到与 x 轴的交点 R(b,0)，E(−b,0)，
3，
2
又 B1C1//BC，B1C1=BC，BC⊥平面 ACC1A1，BC=1，
∴VB1−ACC1= 1 ×S△ACC1×B1C1= 1 ×
吉林省东北师大附中2020届高三数学二模试卷 文(含解析)
【点睛】
本题主要考查同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.
5．C
【解析】
试题分析：由题意，求函数 的零点，即为求两个函数 的交点，可知 等号左侧为增函数，而右侧为减函数，故交点只有一个，当 时， ，当 时， ，因此函数 的零点在 内，故选C．
第三次输入 ， ；
第四次输入 ， ，输出 ，解得 .
故选B.
点睛：本题考查算法框图，解答本题的关键是根据所给的框图，得出函数关系，然后通过解方程求得输入的值，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答．
8．B
【解析】
【分析】
因为 是三角形的内角，所以有 即 再通过三角变换解得 ，最终得出结果。
故D（ ， ），
故 =（ ， ）， =（1，0）， =（0，1），
故t +（1﹣t） =（t，1﹣t），
故（ ， ）=（t，1﹣t），
故t= ，
故答案为：A
13．
【解析】
【分析】
先化简已知得 ，再利用平方关系求解.
【详解】
由题得 ，因为 ，所以
故答案为：
【点睛】
本题主要考查诱导公式和同角的平方关系，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
A． B． C． D．
12．在等腰直角 中， ， 在 边上且满足: ,若 ，则 的值为
A． B． C． D．
二、填空题
13．若 ，则 ___________．
14．已知向量 ，如果 与 的夹角为直角，则 _________.
15．已知函数 在 上单调递减，则 的取值范围是____________.
16．设 是定义在 上的偶函数，对任意 ，都有 ，且当 时， .在区间 内关于 的方程 恰有 个不同的实数根，则实数 的取值范围是_________.
2020年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学二模试卷(文科)(有答案解析)
2020年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A、B均为集合2，3，4，5，的子集，且，，，则集合A. 2，B. 2，C. D. 2，3，4，2.若i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点所在的象限为A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.若实数x、y满足，则的最大值为A. 3B. 0C.D.4.已知，是两个不同的平面，直线，下列命题中正确的是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则5.课堂上数学老师和同学们做游戏，随机询问甲、乙、丙、丁4位同学的作业完成情况，甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；乙说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成作业了”；丁说：“我完成作业了”他们中恰有一个人说了谎话，请问：是谁说了谎话？A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6.已知正项等比数列，若向量，则A. 12B.C. 5D. 187.我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著九章算术中．九章算术将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图所示的阳马三视图，则它的体积为A. B. 1 C. 2 D. 38.已知两个不相等的非零向量，满足，且与的夹角为，则的取值范围是A. B. C. D.9.已知，则的值为A. B. C. D.10.设函数，则下列说法中正确的是A. 关于中心对称B. 的极小值为C. 的最小正周期为D. 图象的一条对称轴为11.已知双曲线上存在一点M，过点M向圆做两条切线MA、MB，若，则实数a的取值范围是A. B. C. D.12.已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为A. 81B.C.D. 9二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为______．14.已知实数a、c满足，关于x的不等式的解集为______．15.直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与直线交于点M，若，且，则抛物线的方程为______．16.设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则______；若边AC上的点D满足，则的面积______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列是公差不为0的等差数列，且，．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ若，求数列的前n项和．18.如图，在四棱锥中，平面平面PAD，，，．Ⅰ求证：；Ⅱ当时，求三棱锥的体积．19.2022年冬奥会将由北京和张家口联合举办，其中冰壶比赛将在改造一新的水立方进行．女子冰壶比赛将由来自全球的十支最优秀的队伍参加，中国女子冰壶队作为东道主，将对奥运冠军发起冲击．Ⅰ已知参赛球队包括来自亚洲的中国队、日本队和韩国队，来自美洲的加拿大对和美国队，以及来自欧洲的瑞士队、英国对、瑞典队、丹麦队和德国队．每支球队有四名参赛队员．若赛前安排球员代表合影，需要以分层抽样的方式从三个大洲的运动员中抽取10名运动员，则每个大洲各需要抽取多少运动员？Ⅱ此次参赛的夺冠热门队伍包括加拿大对、瑞士队、英国对、瑞典队和东道主中国队，若比赛的揭幕战随机的从这五支球队中选择两支球队出站，求中国队被选中的概率．20.已知函数．Ⅰ求的单调区间；Ⅱ当时，若函数与图象交于、两点，求实数a的取值范围21.已知椭圆，动直线l与椭圆E交于不同的两点，，且的面积为1，其中O为坐标原点．Ⅰ为定值；Ⅱ设线段AB的中点为M，求的最大值．22.在直角坐标系xOy中，直线l的方程是，曲线C的参数方程是为参数以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求直线l和曲线C的极坐标方程；Ⅱ若是曲线C上一点，是直线l上一点，求的最大值．23.已知a、b、，且．Ⅰ当时，求的最小值；Ⅱ证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：因为集合A、B均为集合2，3，4，5，的子集，且，，，所以：，，1，，4，，4，；故集合2，．故选：A．根据两个集合的交集，看出两个集合中都含有这两个元素，根据A的补集与B的交集的元素，看出B中不含有元素6，得到结果．本题考查子集与交集，并集的转换，是一个基础题，本题典型的解法是利用文恩图看出集合B中的元素．2.答案：D解析：解：因为，且；所以：，；复数在复平面内对应的点所在的象限为第四象限．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：B解析：解：画出的可行域如图：．令变形为作直线将其平移至时，直线的纵截距最大，最大为：0．故选：B．画出可行域，将目标函数变形画出相应的直线，将直线平移至B时纵截距最大，z最大．本题主要考查利用线性规划求函数的最值，关键是将目标函数赋予几何意义．4.答案：D解析：解：对于选项A：若，则也可能，故错误．对于选项B：若，则也可能，故错误．对于选项C：若，则也可能与相交，故错误．对于选项D，直线，，则是面面垂直的判定，故正确．故选：D．直接利用线面垂直和平行的判定和性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：线面垂直和平行的判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5.答案：D解析：解：由乙说：“丁未完成作业，与丁说：“我完成作业了”，则乙丁有一人说谎，则甲丙说的真话，可知丙完成作业了，丁未完成作业，进而可以判断丁说了假话．故选：D．根据题意判断其中两人说话矛盾，有人说话，其他人说真话，可推出．本题考查简单的合情推理，属于基础题．6.答案：D解析：解：由题意，向量，则，即，根据等比中项的知识，可得，，，．故选：D．本题先根据平行向量的坐标运算可得，再根据等比中项的知识，可计算出，在求和时根据对数的运算及等比中项的性质可得到正确选项．本题主要考查等比数列的性质应用，以及数列与向量的综合问题．考查了转化与化归思想，平行向量的运算，对数的计算，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．7.答案：C解析：解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，底面ABCD为矩形，，，侧棱底面ABCD，且．该几何体的体积．故选：C．由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥，底面ABCD为矩形，，，侧棱底面ABCD，且再由棱锥体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．8.答案：D解析：解：如图所示，设，，，由图可知，当时，的取值最小，此时，则，而没有最大值，故则的取值范围为，故选：D．如图所示，设，，，由图可知，当时，的取值最小，求出最小值，没有最大值，即可得到结果．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．9.答案：A解析：解：，则，．故选：A．由已知结合同角平方关系，诱导公式及二倍角公式进行化简即可求解．本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题．10.答案：D解析：解：对于A选项，关于中心对称，首先表达错误，应该说的图象关于某个点中心对称，其次不恒等于2，所以A错误；对于B选项，，令有或．当时，有，当时，两边平方可得，，此时，所以的极小值不可能为，所以B错误；对于C选项，，所以不是的最小正周期，所以C错误；对于D选项，，，所以图象的一条对称轴为，故D正确．故选：D．借助于三角函数的性质逐项进行判断，选出正确选项．本题考查三角函数的性质，属于中档题．11.答案：B解析：解：双曲线上存在一点M，过点M向圆做两条切线MA、MB，若，可知MAOB是正方形，，所以双曲线的实半轴长的最大值为，所以．故选：B．利用已知条件，推出a的关系式，即可求解结果．本题考查双曲线的简单性质，圆的切线性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12.答案：A解析：解：，令，则，，．设关于t的一元二次方程有两实根，，，可得或．，．又，当且仅当时等号成立，由于，，不妨设，，，．则可知，．．故选：A．把的零点转化为的零点，令，，可得方程有两实根，，由判别式大于0解得a的范围，再由根与系数的关系可得，，进一步得到，，结合，可得，，，则可知，，则．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，考查一元二次方程根的分布，属难题．13.答案：700解析：解：设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为，．由题意可得，．设我校高三年级的学生人数为N，再根据，求得，故答案为：700．设从高三年级抽取的学生人数为2x人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x的值，可得高三年级的学生人数．本题主要考查分层抽样，属于基础题．14.答案：或解析：解：由题意可得且，因为，所以或，故不等式的解集为或．故答案为：或．由已知可转化为二次不等式即可求解．本题主要考查了分式不等式的求解，体现了转化思想的应用．15.答案：解析：解：由题意如图所示，因为，F为AM的中点，所以，设，，所以，所以，代入抛物线的方程可得即所以，所以直线AB的方程为：，直线与抛物线的方程联立可得：，整理可得：，，由抛物线的性质可得，解得，所以抛物线的方程为：，故答案为：．由抛物线的方程可得焦点F的坐标，由向量的关系可得F为AM的中点，可得A的横坐标，代入抛物线的方程可得A的纵坐标，进而求出直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和，再由抛物线的性质可得AB的值，由题意可得p的值，进而求出抛物线的方程．本题考查向量与点的位置关系，以及抛物线的性质，属于中档题．16.答案：解析：解：根据题意，化简得，所以，，；做出图形如下：由题意不妨设，则，，所以，在中由正弦定理得，将，代入化简得，．，，易得．．故答案为：．利用余弦定理容易求出B的大小；引入角，根据得，再利用内角和定理将A用表示出来，最后在中利用正弦定理可求出，问题迎刃而解．本题考查三角形中的几何计算问题，涉及内角和定理、正余弦定理的应用，属于中档题．17.答案：解：Ⅰ由题意，可知，，，，，，即，整理，得，解得舍去，或．，，．Ⅱ由Ⅰ知，，．解析：本题第Ⅰ题先根据数列是公差不为0的等差数列可知，再列出、、关于d的表达式，根据有，代入表达式可得关于d的方程，解出d 的值，即可得到等差数列的通项公式，进一步可得数列的通项公式；第Ⅱ题先根据第Ⅰ题的结果计算出数列的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和．本题主要考查数列求通项公式的计算，以及运用裂项相消法计算前n项和．考查了转化与化归思想，方程思想，裂项相消法的运用，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18.答案：证明：Ⅰ，，平面平面PAD，交线为AD，平面PAD，从而，，，，平面PAB，平面PAB，；解：Ⅱ，取AD中点O，连接PO，则，由平面平面PAD，交线为AD，得平面ABCD．又，，得，．即三棱锥的体积为．解析：Ⅰ推导出，，，从而平面PAB，由此能证明；Ⅱ取AD中点O，连接PO，则，证明平面ABCD，再由棱锥体积公式求解．本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19.答案：解：Ⅰ利用分层抽样法从亚洲运动员中抽取人，从美洲运动员中抽取人，从欧洲运动员中抽取人；Ⅱ从“加拿大队、瑞士队、英国队、瑞典队和中国队”中任选两队，基本事件是加拿大队，瑞士队，加拿大队，英国队，加拿大队，瑞典队，加拿大队，中国队，瑞士队，英国队，瑞士队，瑞典队，瑞士队，中国队，英国队，瑞典队，英国队，中国队，瑞典队，中国队共有10种不同取法；其中中国队被选中的基本事件有4种，故所求的概率为．解析：Ⅰ利用分层抽样法求出从亚洲、美洲、欧洲运动员中抽取的人数；Ⅱ利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了分层抽样方法与列举法求古典概型的概率问题，是基础题．20.答案：解：，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故的单调递增区间，单调递减区间；由题意可得在上有2个不同的零点，即在上有2个不同的零点，令，，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，且，时，，，故．解析：先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调区间；由已知分离参数可得在上有2个不同的零点，构造函数，，然后结合导数及函数的性质可求．本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间及函数的零点个数的求解，体现了转化思想的应用．21.答案：解：Ⅰ当直线l的斜率不存在，设l：，代入椭圆方程可得，由的面积为1，可得，解得，则；当直线l的斜率存在，设，联立椭圆方程可得，设，，可得，，，由的面积为1，可得，化简可得，则，而，综上可得，为定值4；Ⅱ设，当直线的斜率不存在时，，，则；当直线的斜率存在时，由Ⅰ可得，，则，可得．，．可知．综上，的最大值为2．解析：Ⅰ当直线l的斜率不存在时，设l：，代入椭圆方程求解，结合的面积为1求得m值，可得为定值4，当直线l的斜率存在时，设，联立椭圆方程，可得A，B横坐标的和与积，利用弦长公式求弦长，再由点到直线的距离公式求得，结合的面积为1，可得，则的值可求，从而说明为定值；Ⅱ设，当直线的斜率不存在时，，，则；当直线的斜率存在时，由Ⅰ可得M的坐标，求得，写出，结合转化为关于的二次函数求最值．本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用二次函数求最值，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．22.答案：解：Ⅰ直线l的方程是，转换为极坐标方程为，曲线C的参数方程是为参数转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．Ⅱ点是曲线C上一点，所以：，所以，点是直线l上一点，所以，所以，，当时，最大值为．解析：Ⅰ直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：Ⅰ当时，，，又当且仅当时取等号，则，，即的最小值为9；Ⅱ证明：，由柯西不等式有，当且仅当时取等号，，又，，即当且仅当，，时取等号．解析：Ⅰ依题意，，将目标式化简可得，再利用基本不等式求最值即可；Ⅱ将不等式左边化简可得，运用柯西不等式即可得证．本题考查利用基本不等式求最值，以及柯西不等式的运用，考查不等式的证明，考查推理能力，属于基础题．。
2020年东北三省高三第二次联合模拟文科数学试题(解析
数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A、B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且（∁U A）∩B＝{3}，（∁U B）∩A＝{6}，A∩B＝{1，2}，则集合B＝（）A．{1，2，3}B．{1，2，6}C．{1，2}D．{1，2，3，4，5} 2．若a+2i＝（1﹣i）（1+bi）（a，b∈R，i为虚数单位），则复数a﹣bi在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若实数x、y满足，则y﹣x的最大值为（）A．3B．0C．﹣3D．﹣94．已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m∥βB．若α⊥β，则m⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若m⊥β，则α⊥β5．课堂上数学老师和同学们做游戏，随机询问甲、乙、丙、丁4位同学的作业完成情况，甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；乙说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成作业了”；丁说：“我完成作业了”．他们中恰有一个人说了谎话，请问：是谁说了谎话？（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．已知正项等比数列{a n}，若向量，则log2a1+log2a2+…+log2a9＝（）A．12B．8+log25C．5D．187．我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术》将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图所示的阳马三视图，则它的体积为（）A．B．1C．2D．38．已知两个不相等的非零向量，满足，且与的夹角为45°，则的取值范围是（）A．B．C．（0，2]D．9．已知，则sin（60°+α）的值为（）A．B．C．D．10．设函数f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1，则下列说法中正确的是（）A．f（x）关于（0，1）中心对称B．f（x）的极小值为C．f（x）的最小正周期为πD．f（x）图象的一条对称轴为11．已知双曲线上存在一点M，过点M向圆x2+y2＝1做两条切线MA、MB，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）•xlnx+3（3﹣a）x2有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜1＜x2＜x3，则的值为（）A．81B．﹣81C．﹣9D．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为．14．已知实数a、c满足c＜1＜a，关于x的不等式的解集为．15．直线l经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与直线交于点M，若，且，则抛物线的方程为．16．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，则B＝；若边AC上的点D满足BD＝CD＝2AD＝2，则△ABC的面积S＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分．17．已知数列是公差不为0的等差数列，且a1＝1，a2•a3＝a8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面P AD，AD∥BC，AB＝BC AD＝1，∠APD＝∠BAD＝90°．（Ⅰ）求证：PD⊥PB；（Ⅱ）当P A＝PD时，求三棱锥P﹣BCD的体积．19．2022年冬奥会将由北京和张家口联合举办，其中冰壶比赛将在改造一新的水立方进行．女子冰壶比赛将由来自全球的十支最优秀的队伍参加，中国女子冰壶队作为东道主，将对奥运冠军发起冲击．（Ⅰ）已知参赛球队包括来自亚洲的中国队、日本队和韩国队，来自美洲的加拿大对和美国队，以及来自欧洲的瑞士队、英国对、瑞典队、丹麦队和德国队．每支球队有四名参赛队员．若赛前安排球员代表合影，需要以分层抽样的方式从三个大洲的运动员中抽取10名运动员，则每个大洲各需要抽取多少运动员？（Ⅱ）此次参赛的夺冠热门队伍包括加拿大对、瑞士队、英国对、瑞典队和东道主中国队，若比赛的揭幕战随机的从这五支球队中选择两支球队出站，求中国队被选中的概率．20．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，若函数f（x）与g（x）图象交于P（x1，y1）、Q（x2，y2）（x2＞x1）两点，求实数a的取值范围21．已知椭圆，动直线l与椭圆E交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且△AOB的面积为1，其中O为坐标原点．（Ⅰ）为定值；（Ⅱ）设线段AB的中点为M，求|OM|•|AB|的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y＝2，曲线C的参数方程是（φ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若A（ρ1，α）是曲线C上一点，是直线l上一点，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a、b、c∈R+，且a+b+c＝6．（Ⅰ）当c＝5时，求的最小值；（Ⅱ）证明：a2+b2﹣2b+c2﹣4c≥﹣2．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A、B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且（∁U A）∩B＝{3}，（∁U B）∩A＝{6}，A∩B＝{1，2}，则集合B＝（）A．{1，2，3}B．{1，2，6}C．{1，2}D．{1，2，3，4，5}根据两个集合的交集，看出两个集合中都含有这两个元素，根据A的补集与B的交集的元素，看出B中不含有元素6，得到结果．因为集合A、B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且（∁U A）∩B＝{3}，（∁U B）∩A＝{6}，A∩B＝{1，2}，所以：3∈B，6∉B，1，2∈B，4，5∉B，4，5∉A；故集合B＝{1，2，3}．故选：A．本题考查子集与交集，并集的转换，是一个基础题，本题典型的解法是利用文恩图看出集合B中的元素．2．若a+2i＝（1﹣i）（1+bi）（a，b∈R，i为虚数单位），则复数a﹣bi在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．因为a+2i＝（1﹣i）（1+bi）＝（1+b）+（b﹣1）i，∴a＝1+b且2＝b﹣1；所以：a＝4，b＝3；∴复数a﹣bi在复平面内对应的点（4，﹣3）所在的象限为第四象限．故选：D．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．若实数x、y满足，则y﹣x的最大值为（）A．3B．0C．﹣3D．﹣9画出可行域，将目标函数变形画出相应的直线，将直线平移至B时纵截距最大，z最大．画出的可行域如图：⇒B（6，6）．令z＝y﹣x变形为y＝x+z作直线y＝x将其平移至B（6，6）时，直线的纵截距最大，最大为：0．故选：B．本题主要考查利用线性规划求函数的最值，关键是将目标函数赋予几何意义．4．已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m∥βB．若α⊥β，则m⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若m⊥β，则α⊥β直接利用线面垂直和平行的判定和性质的应用求出结果．对于选项A：若α⊥β，则m∥β也可能m⊥β，故错误．对于选项B：若α⊥β，则m⊥β也可能m∥β，故错误．对于选项C：若m∥β，则α∥β也可能α与β相交，故错误．对于选项D，直线m⊂α，m⊥β，则α⊥β是面面垂直的判定，故正确．故选：D．本题考查的知识要点：线面垂直和平行的判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5．课堂上数学老师和同学们做游戏，随机询问甲、乙、丙、丁4位同学的作业完成情况，甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；乙说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成作业了”；丁说：“我完成作业了”．他们中恰有一个人说了谎话，请问：是谁说了谎话？（）A．甲B．乙C．丙D．丁根据题意判断其中两人说话矛盾，有人说话，其他人说真话，可推出．由乙说：“丁未完成作业，与丁说：“我完成作业了”，则乙丁有一人说谎，则甲丙说的真话，可知丙完成作业了，丁未完成作业，进而可以判断丁说了假话．故选：D．本题考查简单的合情推理，属于基础题．6．已知正项等比数列{a n}，若向量，则log2a1+log2a2+…+log2a9＝（）A．12B．8+log25C．5D．18本题先根据平行向量的坐标运算可得a2•a8＝16，再根据等比中项的知识，可计算出a5＝4，在求和时根据对数的运算及等比中项的性质可得到正确选项．由题意，向量，则8•2﹣a2•a8＝0，即a2•a8＝16，根据等比中项的知识，可得a2•a816，∵a5＞0，∴a5＝4，∴log2a1+log2a2+…+log2a9＝log2（a1a2 (9)＝log2[（a1a9）•（a2a8）•（a3a7）•（a4a6）•a5]＝log2a59＝9log24＝18．故选：D．本题主要考查等比数列的性质应用，以及数列与向量的综合问题．考查了转化与化归思想，平行向量的运算，对数的计算，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．7．我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术》将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图所示的阳马三视图，则它的体积为（）A．B．1C．2D．3由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥，底面ABCD为矩形，AB＝2，AD＝3，侧棱P A⊥底面ABCD，且P A＝1．再由棱锥体积公式求解．由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，底面ABCD为矩形，AB＝2，AD＝3，侧棱P A⊥底面ABCD，且P A＝1．∴该几何体的体积V．故选：C．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．8．已知两个不相等的非零向量，满足，且与的夹角为45°，则的取值范围是（）A．B．C．（0，2]D．如图所示，设，，∠CAB＝45°，由图可知，当BC⊥AC时，||的取值最小，求出最小值，没有最大值，即可得到结果．如图所示，设，，∠CAB＝45°，由图可知，当BC⊥AC时，||的取值最小，此时，则||，而||没有最大值，故则的取值范围为[，+∞），故选：D．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．9．已知，则sin（60°+α）的值为（）A．B．C．D．由已知结合同角平方关系，诱导公式及二倍角公式进行化简即可求解．∵，则sin（60°+α）＝sin（90°﹣30°+α）＝cos（α﹣30°）＝cos（30°﹣α），＝1﹣2sin2（15°﹣α）＝1．故选：A．本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题．10．设函数f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1，则下列说法中正确的是（）A．f（x）关于（0，1）中心对称B．f（x）的极小值为C．f（x）的最小正周期为πD．f（x）图象的一条对称轴为借助于三角函数的性质逐项进行判断，选出正确选项．对于A选项，f（x）关于（0，1）中心对称，首先表达错误，应该说f（x）的图象关于某个点中心对称，其次f（x）+f（﹣x）＝2cos x+2不恒等于2，所以A错误；对于B选项，∵f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1∴f′（x）＝cos x﹣sin x+cos2x，令f′（x）＝0有sin x＝cos x或sin x+cos x＝﹣1．当sin x＝cos x＝±时，有f（x）＝±，当sin x+cos x＝﹣1时，两边平方可得1+2sin x cos x＝1，sin x cos x＝0，此时f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1＝0，所以f（x）的极小值不可能为，所以B错误；对于C选项，f（x+π）＝﹣sin x﹣cos x+sin x cos x+1≠f（x），所以π不是f（x）的最小正周期，所以C错误；对于D选项，∵f（）＝sin（）+cos（）+sin（）cos （）+1＝cos x+sin x+sin x cos x+1＝f（x），∴f（）＝f（x），所以f（x）图象的一条对称轴为x，故D正确．故选：D．本题考查三角函数的性质，属于中档题．11．已知双曲线上存在一点M，过点M向圆x2+y2＝1做两条切线MA、MB，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．利用已知条件，推出a的关系式，即可求解结果．双曲线上存在一点M，过点M向圆x2+y2＝1做两条切线MA、MB，若，可知MAOB是正方形，MO，所以双曲线的实半轴长的最大值为，所以a∈．故选：B．本题考查双曲线的简单性质，圆的切线性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12．已知函数f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）•xlnx+3（3﹣a）x2有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜1＜x2＜x3，则的值为（）A．81B．﹣81C．﹣9D．9把f（x）的零点转化为a﹣3的零点，令t＝3，t∈（0，+∞），可得方程9t2﹣（51+a）t+81＝0有两实根t1，t2，由判别式大于0解得a的范围，再由根与系数的关系可得6，t1t2＝9，进一步得到t1＞3，3，结合x1＜1＜x2＜x3，可得3，3，33，则可知t1，3t2，则．f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）•xlnx+3（3﹣a）x2＝0⇒（a﹣3）（xlnx﹣3x2）＝﹣9（lnx）2⇒a﹣3，令t＝3，则，t∈[3，+∞），⇒a﹣3⇒9t2﹣（51+a）t+81＝0．设关于t的一元二次方程有两实根t1，t2，∴△＝（51+a）2﹣4×9×81＞0，可得a＞3或a＜﹣105．∴6，t1t2＝9．又∵t1+t2，当且仅当t1＝t2＝3时等号成立，由于t1+t2≠6，∴t1＞3，3（不妨设t1＞t2）．∵x1＜1＜x2＜x3，∴3，3，33．则可知t1，3t2．∴．故选：A．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，考查一元二次方程根的分布，属难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为700．设从高三年级抽取的学生人数为2x人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x的值，可得高三年级的学生人数．设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x﹣2，2x﹣4．由题意可得2x+（2x﹣2）+（2x﹣4）＝36，∴x＝7．设我校高三年级的学生人数为N，再根据，求得N＝700，故答案为：700．本题主要考查分层抽样，属于基础题．14．已知实数a、c满足c＜1＜a，关于x的不等式的解集为{x|x≥a或x≤c}．由已知可转化为二次不等式即可求解．由题意可得（x﹣a）（x﹣c）≥0且x≠1，因为c＜1＜a，所以x≥a或x≤c，故不等式的解集为{x|x≥a或x≤c}．故答案为：{x|x≥a或x≤c}．本题主要考查了分式不等式的求解，体现了转化思想的应用．15．直线l经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与直线交于点M，若，且，则抛物线的方程为y2＝4x．由抛物线的方程可得焦点F的坐标，由向量的关系可得F为AM的中点，可得A的横坐标，代入抛物线的方程可得A的纵坐标，进而求出直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和，再由抛物线的性质可得AB的值，由题意可得p的值，进而求出抛物线的方程．由题意如图所示，因为，F为AM的中点，所以AF＝AA'＝NF＝2p，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以2p＝x1，所以x1，代入抛物线的方程可得y1p即A（，p）所以k AB，所以直线AB的方程为：y（x），直线与抛物线的方程联立可得：，整理可得：3x2﹣5px0，x1+x2，由抛物线的性质可得AB＝x1+x2+p p，解得p＝2，所以抛物线的方程为：y2＝4x，故答案为：y2＝4x．本题考查向量与点的位置关系，以及抛物线的性质，属于中档题．16．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，则B＝；若边AC上的点D满足BD＝CD＝2AD＝2，则△ABC的面积S＝．（l）利用余弦定理容易求出B的大小；（2）引入角α＝∠DBC，根据BD＝DC得α＝C，再利用内角和定理将A用α表示出来，最后在△ABD中利用正弦定理可求出α，问题迎刃而解．（1）根据题意（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，化简得a2+c2﹣b2＝ac，所以cos B，∵B∈（0，π），∴B；（2）做出图形如下：由题意不妨设∠DBC＝α，则∠ABDα，∠C＝α，所以Aα，在△ABD中由正弦定理得，将AD＝1，BD＝2代入化简得，∴．∴A，C，易得AB．∴．故答案为：．本题考查三角形中的几何计算问题，涉及内角和定理、正余弦定理的应用，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分．17．已知数列是公差不为0的等差数列，且a1＝1，a2•a3＝a8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．本题第（Ⅰ）题先根据数列是公差不为0的等差数列可知1，再列出、、关于d的表达式，根据a2•a3＝a8有•，代入表达式可得关于d的方程，解出d的值，即可得到等差数列的通项公式，进一步可得数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和S n．（Ⅰ）由题意，可知1，1+d，1+2d，1+7d，∵a2•a3＝a8，∴•，即（1+d）（1+2d）＝（1+7d），整理，得d2﹣2d＝0，解得d＝0（舍去），或d＝2．∴1+2（n﹣1）＝2n﹣1，∴a n＝（2n﹣1）2，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，[]，∴S n＝b1+b2+…+b n（1）（）[][1][1]．本题主要考查数列求通项公式的计算，以及运用裂项相消法计算前n项和．考查了转化与化归思想，方程思想，裂项相消法的运用，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面P AD，AD∥BC，AB＝BC AD＝1，∠APD＝∠BAD＝90°．（Ⅰ）求证：PD⊥PB；（Ⅱ）当P A＝PD时，求三棱锥P﹣BCD的体积．（Ⅰ）推导出BA⊥AD，BA⊥PD，AP⊥PD，从而PD⊥平面P AB，由此能证明PD⊥PB；（Ⅱ）取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD，证明PO⊥平面ABCD，再由棱锥体积公式求解．证明：（Ⅰ）∵∠BAD＝90°，∴BA⊥AD，∵平面ABCD⊥平面P AD，交线为AD，∴BA⊥平面P AD，从而BA⊥PD，∵∠APD＝90°，∴AP⊥PD，∵BA∩AP＝A，∴PD⊥平面P AB，∵PB⊂平面P AB，∴PD⊥PB；解：（Ⅱ）∵P A＝PD，取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD，由平面ABCD⊥平面P AD，交线为AD，得PO⊥平面ABCD．又∠APD＝90°，AD＝2，得PO＝1，∴．即三棱锥P﹣BCD的体积为．本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19．2022年冬奥会将由北京和张家口联合举办，其中冰壶比赛将在改造一新的水立方进行．女子冰壶比赛将由来自全球的十支最优秀的队伍参加，中国女子冰壶队作为东道主，将对奥运冠军发起冲击．（Ⅰ）已知参赛球队包括来自亚洲的中国队、日本队和韩国队，来自美洲的加拿大对和美国队，以及来自欧洲的瑞士队、英国对、瑞典队、丹麦队和德国队．每支球队有四名参赛队员．若赛前安排球员代表合影，需要以分层抽样的方式从三个大洲的运动员中抽取10名运动员，则每个大洲各需要抽取多少运动员？（Ⅱ）此次参赛的夺冠热门队伍包括加拿大对、瑞士队、英国对、瑞典队和东道主中国队，若比赛的揭幕战随机的从这五支球队中选择两支球队出站，求中国队被选中的概率．（Ⅰ）利用分层抽样法求出从亚洲、美洲、欧洲运动员中抽取的人数；（Ⅱ）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．（Ⅰ）利用分层抽样法从亚洲运动员中抽取103（人），从美洲运动员中抽取102（人），从欧洲运动员中抽取105（人）；（Ⅱ）从“加拿大队、瑞士队、英国队、瑞典队和中国队”中任选两队，基本事件是{加拿大队，瑞士队}，{加拿大队，英国队}，{加拿大队，瑞典队}，{加拿大队，中国队}，{瑞士队，英国队}，{瑞士队，瑞典队}，{瑞士队，中国队}，{英国队，瑞典队}，{英国队，中国队}，{瑞典队，中国队}共有10种不同取法；其中中国队被选中的基本事件有4种，故所求的概率为P．本题考查了分层抽样方法与列举法求古典概型的概率问题，是基础题．20．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，若函数f（x）与g（x）图象交于P（x1，y1）、Q（x2，y2）（x2＞x1）两点，求实数a的取值范围（1）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调区间；（2）由已知分离参数可得a在（0，+∞）上有2个不同的零点，构造函数h（x），x∈（0，+∞），然后结合导数及函数的性质可求．（I），当x＞1时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x＜1时，f′（x）＞0，函数单调递增，故f（x）的单调递增区间（﹣∞，1），单调递减区间（1，+∞）；（II）由题意可得在（0，+∞）上有2个不同的零点，即a在（0，+∞）上有2个不同的零点，令h（x），x∈（0，+∞），则，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，函数单调递增，当x＞1时，h′（x）＜0，函数单调递减，且h（0）＝﹣1，x→+∞时，h（x）＜0，h（x）max＝h（1），故﹣1．本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间及函数的零点个数的求解，体现了转化思想的应用．21．已知椭圆，动直线l与椭圆E交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且△AOB的面积为1，其中O为坐标原点．（Ⅰ）为定值；（Ⅱ）设线段AB的中点为M，求|OM|•|AB|的最大值．（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，设l：x＝m，代入椭圆方程求解|AB|，结合△AOB的面积为1求得m值，可得为定值4，当直线l的斜率存在时，设y＝kx+t，联立椭圆方程，可得A，B横坐标的和与积，利用弦长公式求弦长，再由点到直线的距离公式求得|OM|，结合△AOB的面积为1，可得1+4k2＝2t2，则的值可求，从而说明为定值；（Ⅱ）设M（x0，y0），当直线的斜率不存在时，|OM|，|AB|，则|OM|•|AB|＝2；当直线的斜率存在时，由（Ⅰ）可得M的坐标，求得|OM|，写出|OM|•|AB|，结合1+4k2＝2t2转化为关于的二次函数求最值．（Ⅰ）当直线l的斜率不存在，设l：x＝m，代入椭圆方程可得y2＝1，由△AOB的面积为1，可得|m|•21，解得m＝±，则；当直线l的斜率存在，设y＝kx+t，联立椭圆方程可得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2，x1x2，|AB|•••，由△AOB的面积为1，可得••|AB|＝1，化简可得1+4k2＝2t2，则（）2﹣2•4，而4，综上可得，为定值4；（Ⅱ）设M（x0，y0），当直线的斜率不存在时，|OM|，|AB|，则|OM|•|AB|＝2；当直线的斜率存在时，由（Ⅰ）可得x0，y0＝kx0+t，则|OM|，可得|OM|•|AB|•．∵，∴0．可知|OM|•|AB|＜2．综上，|OM|•|AB|的最大值为2．本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用二次函数求最值，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y＝2，曲线C的参数方程是（φ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若A（ρ1，α）是曲线C上一点，是直线l上一点，求的最大值．（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（Ⅰ）直线l的方程是y＝2，转换为极坐标方程为ρsinθ＝2，曲线C的参数方程是（φ为参数）．转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．（Ⅱ）点A（ρ1，α）是曲线C上一点，所以：，所以，点是直线l上一点，所以，所以，，当时，最大值为．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a、b、c∈R+，且a+b+c＝6．（Ⅰ）当c＝5时，求的最小值；（Ⅱ）证明：a2+b2﹣2b+c2﹣4c≥﹣2．（Ⅰ）依题意，a+b＝1，将目标式化简可得，再利用基本不等式求最值即可；（Ⅱ）将不等式左边化简可得a2+b2﹣2b+c2﹣4c＝a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2﹣5，运用柯西不等式即可得证．（Ⅰ）当c＝5时，a+b＝1，∴，又（当且仅当a＝b时取等号），则，∴，即的最小值为9；（Ⅱ）证明：a2+b2﹣2b+c2﹣4c＝a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2﹣5，由柯西不等式有，[a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2]•（1+1+1）≥（a+b﹣1+c﹣2）2（当且仅当a ＝b﹣1＝c﹣2时取等号），∴，又a+b+c＝6，∴a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2≥3，即a2+b2﹣2b+c2﹣4c≥﹣2（当且仅当a＝1，b＝2，c＝3时取等号）．本题考查利用基本不等式求最值，以及柯西不等式的运用，考查不等式的证明，考查推理能力，属于基础题．。
精品解析：2020届吉林省长春市东北师范大学附属中学等六校高三联合模拟考试文科数学试题(原卷版)
（2）若对任意 x1 R ，都存在 x2 R ，使得 g x2 f x1 成立，求实数 a 的取值范围.
5
6
）
D. 24 25
A. 3 8
B. 1
1
C.
2
D. 2
5.设等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 a1 11 ， a2 a8 6 ，则 Sn 的最小值等于（ ）
A. -34Biblioteka B. -36C. -6
D. 6
6.已知 m ， n 是空间中两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列说法正确是（ ）
位：小时)的频率分布直方图.（活动时间均在0, 6 内）
活动时间
[0,1)
[1, 2)
[2，3)
[3, 4)
[4，5)
[5，6]
频数
8
10
7
9
4
2
（1）根据调查，试判断该校高三年级学生周日活动时间较长的是男生还是女生？并说明理由；
（2）在被抽取的 80 名高三学生中，从周日活动时间在 5, 6 内的学生中抽取 2 人，求恰巧抽到 1 男 1 女的
D. (4 4 ln 2, 4 2 ln 2)
二、填空题
13.已知
f
x
2x
f
x
x2, x 0
2, x
0
，则
f
5
__________．
14.正三棱柱 ABC A1B1C1 的所有棱长都相等，M 是棱 A1B1 的中点，则异面直线 AM 与 BC 所成角的余弦
D.
2 3
,
7 6
吉林省长春市东北师范大学附属中学2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试语文试题含答案
拼搏一年成就梦想东北师范大学附属中学2020级高三第二次模拟考试语文学科试卷满分：150分时长：150分钟命题：高三语文学科组审题：高三语文学科组一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读|（本题共5小题，17分）阅读下面的文字，完成1~5题。
材料一在以共同富裕为重要特征和本质要求的中国式现代化进程中，乡村振兴与农民共富是值得高度关注的重大现实议题，因为中国式现代化建设最艰巨最繁重的任务在农村，最难富起来的群体是农民。
没有乡村振兴，不可能完成中国式现代化建设任务；没有农民的富裕，全体人民共同富裕的美好前景亦不可能变成现实。
因此，乡村振兴是关乎中国式现代化建设全局和走向共同富裕大局的国家重大发展战略，乡村振兴的核心在于促使农民稳步走向共同富裕。
首先，应将乡村振兴全面融入国家与地方的经济、社会、政治、文化发展政策体系并全方位推进。
就像深度贫困地区与绝对贫困人口构成了全面建成小康社会的最大短板一样，在实现中国式现代化和走向共同富裕的新征程中，短板弱项仍集中在农民农村。
因此，乡村振兴应当基于中国式现代化的目标导向，在巩固脱贫攻坚基础上实现全方位跃升，应当按照城乡统筹、优先乡村的取向将乡村振兴融入所有政策，形成政府、市场主体与社会力量同时发力的大格局，并遵循系统集成、协同高效原则全面推进。
其次，应继续用精准扶贫的理念指导乡村振兴并精准施策。
乡村振兴是在圆满完成脱贫攻坚任务后实现农村发展全方位升华的国家战略行动。
脱贫攻坚成功实践的经验表明，乡村振兴也不能例外。
因为我国幅员辽阔，各地自然条件与乡土文化差异也很大，乡村振兴只有因地制宜才能行稳致远。
因此，在目标明确和宏观政策日益成熟的条件下，当前特别需要找到适合各地的实践路径，拿出更有效率的行动方案，以持续不断地缩小城乡差距，不断促进并实现城乡居民共享发展。
再次，要抓住三个方面重点发力：一是要从重硬件投入转向软硬件投入并重，在乡村人才队伍建设上下大功夫。
农村地区特别是落后地区普遍存在着缺教师、缺医生、缺农业技术人员、缺经营能手、缺乡村治理能人的现象。
2020年吉林省长春市东北师范大学附属中学高三数学文月考试卷含解析
2020年吉林省长春市东北师范大学附属中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知幂函数的图像经过（9，3），则=A.3B.C.D.1参考答案：C设幂函数为，则，即，所以，即，所以，选C.2. 命题：若，则是的充分不必要条件；命题：函数的定义域是，则 ( )A．“或”为真 B．“且”为真 C．真假 D．假假参考答案：A3. 则的值为参考答案：C4. 若的图象必不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限参考答案：B5. 若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A．60种B．63种C．65种D．66种参考答案：D考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，当取得4个奇数时，当取得2奇2偶时，分别用组合数表示出各种情况的结果，再根据分类加法原理得到不同的取法．解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，有=1种结果，当取得4个奇数时，有=5种结果，当取得2奇2偶时有=6×10=60∴共有1+5+60=66种结果，故选D点评：本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是根据题意把符合条件的取法分成三种情况，利用组合数表示出结果，本题是一个基础题．6. 右图是一个几何体的三视图，则该几体的侧面积是（）A．12 B．18 C．24 D．30参考答案：D略7. P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心参考答案：答案：D8. 若集合P=，，则集合Q不可能是（）＞参考答案：D9. 已知全集U={l，2，3，4，5，6}，集合A={l，2．4：6}，集合B={l，3，5}，则（）A．{l,2,3,4,5,6} B．{1，2,4,6} C．{2,4,6} D．{2,3,4,5,6}参考答案：10. 已知，则的值为 ( )A． B． C． D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 实数满足不等式组，则的取值范围是_______________.参考答案：略12. 已知的导函数为.若，且当时，，则不等式的解集是 .参考答案：令，则由，可得，故为偶函数，又当时，即，所以在上为增函数.不等式可化为，所以有，解得.13. 已知，，那么的值是_参考答案：14. 已知函数在区间内恰有9个零点，则实数的值为参考答案：由，得，即．设，令，则．考察的函数的零点个数，即如下图所示为，的图象，易知：（1）方程的一个根为1，另一个根为时，在内有三个零点，此时，解得；（1）方程的一个根为－1，另一个根为时，在内有三个零点，此时，解得．综上可知当时，在内有3个解．再由可知，．综上可知，．15. 若圆关于直线对称，由点向圆作切线，切点为，则线段的最小值为．参考答案：316. 在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为m，n，则使得函数f（x）=x3+mx2﹣（n2﹣π）x+1有极值点的概率为．参考答案：考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据f（x）有极值，得到f'（x）=0有两个不同的根，求出a、b的关系式，利用几何概型的概率公式即可的得到结论解答：解：在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为m，n，则使得函数f（x）=x3+mx2﹣（n2﹣π）x+1有极值点则f′（x）=x2+2mx﹣（n2﹣π）=0有两个不同的根，即判别式△=4m2+4（n2﹣π）＞0，即m2+n2＞π对应区域的面积为4π2﹣π2．如图∴由几何概型的概率公式可得对应的概率P=．故答案为：．点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，利用函数取得极值的条件求出对应a的取值范围是解决本题的关键17. 给定区域:,令点集是在上取得最大值或最小值的点,则中的点共确定______条不同的直线.参考答案：画出可行域如图所示,其中取得最小值时的整点为,取得最大值时的整点为,,,及共个整点.故可确定条不同的直线.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2020年高三第二次联合模拟文科数学解析版
＞x1）两点，求实数 a 的取值范围
21．已知椭圆 ： 䏐 䏐
，动直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A（x1，y1），B（x2，y2），
且△AOB 的面积为 1，其中 O 为坐标原点．
䏐 䏐䏐
（Ⅰ）
为定值；
䏐
（Ⅱ）设线段 AB 的中点为 M，求|OM|•|AB|的最大值．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的
19．2022 年冬奥会将由北京和张家口联合举办，其中冰壶比赛将在改造一新的水立方进 行．女子冰壶比赛将由来自全球的十支最优秀的队伍参加，中国女子冰壶队作为东道主， 将对奥运冠军发起冲击． （Ⅰ）已知参赛球队包括来自亚洲的中国队、日本队和韩国队，来自美洲的加拿大对和 美国队，以及来自欧洲的瑞士队、英国对、瑞典队、丹麦队和德国队．每支球队有四名 参赛队员．若赛前安排球员代表合影，需要以分层抽样的方式从三个大洲的运动员中抽 取 10 名运动员，则每个大洲各需要抽取多少运动员？
且 x1＜1＜x2＜x3，则䔐
ᳮ
ᳮ䏐 䏐
䔐
ᳮ
ᳮ䏐 䏐
䔐
ᳮ
ᳮ䏐 䏐
的值为（
）
A．81
B．﹣81
C．﹣9
D．9
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填写在答题纸相应位置上．[来源:学科
网 ZXXK]
13．我校高一、高二、高三共有学生 1800 名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计 划采用分层抽样的方法，从这 1800 名学生中抽取一个容量为 36 的样本．若从高一、高
A．3
B．0
C．﹣3
D．﹣9
4．已知α，β是两个不同的平面，直线 m⊂α，下列命题中正确的是（ ）
吉林省东北师范大学附属中学净月实验学校2022-2023学年高三上学期第二次校内摸底考试数学试题
吉林省东北师范大学附属中学净月实验学校2022-2023学年高三上学期第二次校内摸底考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，若集合M 满足{}1,4U M =ð，则（ ） A ．2M ∈ B ．4M ÎC ．3M ∉D ．5M ∉2．已知复数21iz =-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ） A ．1i +B ．1i -C ．2i +D ．2i -3．已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，410S =，945S =，则7a =（ ） A ．5B ．6C ．7D ．84．一种药在病人血液中的量不低于1800mg 时才有疗效，如果用药前，病人血液中该药的量为0mg ，用药后，药在血液中以每小时20%的比例衰减．现给某病人静脉注射了3600mg 的此药，为了持续保持疗效，则最长需要在多少小时后再次注射此药（lg 20.301≈，结果精确到0.1）（ ） A ．2.7B ．2.9C ．3.1D ．3.35．已知()3,2AB =u u u r ，(),3AC λ=u u u r ，且1BC =u u u r ，则AB BC ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．3-B ．2-C ．2D ．36．过点()0,1-且与双曲线22149x y -=有且只有一个公共点的直线有（ ）条．A ．0B ．2C ．3D ．47．已知ππ,22⎛⎫∈- ⎪⎝⎭α，且3cos28sin 50αα++=，则cos α的值为（ ）A B ．23 C ．13 D8．在ABC V 中，E 为AC 上一点，2AC AE=u u u r u u u r，P 为线段BE 上任一点，若AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r ，则21x y +的最小值是（ ）A ．3+B ．4+C ．6D ．8二、多选题9．已知函数()()π2cos 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．2ω=B ．π6ϕ=C ．()f x 的单调递增区间是()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D ．将()y f x =的图像向左平移π3个单位，可以得到2sin 2y x =-的图像10．若直线1y kx =+与圆()()22:44169C x y ++-=相交于A ，B 两点，则AB 的长度可能为（ ） A ．22B ．24C ．26D ．2811．设AB 是过抛物线24y x =的焦点F 的弦，若()11,A x y ，()22,B x y ，则下列结论正确的是（ ） A ．min 2AB =B ．124y y =-C ．以弦AB 为直径的圆与准线相切D ．AF BF AF BF +=12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x +-=，()()47g x f x --=．若()y g x =的图象关于直线2x =对称，(2)4g =，则下列结论正确的是（ ） A ．()36g = B ．()11f -=- C ．()11f =D ．()202112021k f k ==-∑三、填空题13．921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______（用数字作答）．14．已知数列{}n a 是递减的等比数列，149a a +=，238a a =，则数列{}n a 的前8项和等于______．15．若曲线()()sin 1f x x a x =++在点0x =处的切线方程是20x y b -+=，则a b +=______．16．已知P 是椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>和双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>的交点，1F ，2F 是1C ，2C 的公共焦点，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，若121cos 3F PF ∠=，则12e e ⋅的最小值为______．四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足：22n n S a =-，*N n ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c o s 2c o s c o s a C b A A =-．(1)求A ；(2)若a b c -的取值范围．19．新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病毒．对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情，习近平总书记亲自指挥、亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位．明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战．当前，新冠肺炎疫情防控形势依然复杂严峻．为普及传染病防治知识，增强学生的疾病防范意识，提高自身保护能力，市团委在全市学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛（满分100分），竞赛奖励规则如下：得分在[)70,80内的学生获三等奖，得分在[)80,90内的学生获二等奖，得分在[]90,100内的学生获一等奖，其它学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，获得了如下频数分布表．(1)从该样本中随机抽取2名学生，求这2名学生均获一等奖的概率；(2)若该市所有参赛学生的成绩X 近似地服从正态分布()264,15N ，若从所有参赛学生中（参赛学生人数特别多）随机抽取3名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生人数为Y ，求随机变量Y 的分布列和数学期望．20．如图，在三棱锥-P ABC 中，AB 是ABC V 外接圆的直径，PC 垂直于圆所在的平面，D 、E 分别是棱PB 、PC 的中点．(1)求证：DE ⊥平面PAC ； (2)若二面角A DE C --为π3，4AB PC ==，求AE 与平面ACD 所成角的正弦值．21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>过点()0,1B ，且离心率e =(1)求椭圆E 的方程；(2)若斜率为k 的直线l 交椭圆E 于C 、D 两点，交y 轴于点()()0,1≠T t t ，问是否存在实数t 使得以CD 为直径的圆恒过点B ？若存在，求t 的值，若不存在，说出理由． 22．已知函数()ln f x x x =-． (1)求函数()f x 单调区间；(2)设函数()()g x f x a =+，若(]12,0,e x x ∈是函数()g x 的两个零点，求证：121x x <．。
2020届吉林省东北师范大学附属中学高三上学期第二次模拟数学(文)试题(解析版)
故选：C．
【点睛】
本题主要考查扇形的弧长公式与扇形的面积公式，此题属于基础题型，只要认真计算并
且熟练的记忆公式即可解答正确．
4．已知
4
,
0
且 sin2
24 25
，则 sin
cos
（
A． 1 5
【答案】A
B． 1 5
C． 7 5
；函数为偶函数求出 ，求出解析式代入即可求解. 2
【详解】
根据已知的等腰直角三角形可知 A 1 KL 1 ，T 2 KL 2 ，
2
2
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所以T 2 2 ，即 .
所以 f x 1 sin( x ) ，又因为该函数为偶函数 0 ，
2
所以
2
y 6 1 20
，
x
1，
y
1
,故
x+y=2
故选 A
【点睛】
本题考查导数与函数的综合，导数与函数的最值问题，换元思想，将题目转化为两个函
数的最值问题是关键，是难题
二、填空题
13．已知 | a | 1 ， | b | 2 ， a 与 b 的夹角为 60 ，则 a b 在 a 上的投影为
．
【答案】 2
【解析】试题分析：因为 (a
5 故选： A
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【点睛】 本题考查同角三角函数关系式，常用公式
(sin x cos x)2 1 2sin x cos x 1 sin 2x ，属于基础题.
5．条件 p : x 2 或 y 3，条件 q : x y 5 ，p 是 q（ ）条件
A．充分不必要
2020届东北师大附中等六校高三联合模拟考试数学(文)试题(解析版)
2020届东北师大附中等六校高三联合模拟考试数学（文）试题一、单选题1．集合{}2|60A x x x =--<，集合{}2|log 1B x x =<，则A B =I （ ）A ．()2,3-B ．(),3-∞C ．()2,2-D ．()0,2【答案】D【解析】先解不等式求出集合A ，B ，再根据交集的定义求解即可． 【详解】解：由260x x --<即()()320x x -+<解得23x -<<，则()2,3A =-， 由2log 1x <解得02x <<，则()0,2B =， ∴()0,2A B =I ， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，考查指数不等式的解法，属于基础题． 2．已知复数1iz i-=（i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．1 B ．-1C ．iD ．i -【答案】B【解析】先根据复数代数形式的运算性质化简求出复数z ，再根据虚部的定义即可求出答案． 【详解】 解：∵1i z i-=11i +=-1i =--， ∴复数z 的虚部是1-， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算性质以及虚部的定义，属于基础题． 3．已知()4cos 5πα-=，且α为第三象限角，则sin 2α的值等于（ ） A ．725B ．725-C ．2425D ．2425- 【答案】C【解析】先根据诱导公式得4cos 5α=-，再同角的平方关系得3sin 5α=-，再根据二倍角的正弦公式求解即可． 【详解】解：∵()4cos 5πα-=，∴4cos 5α=-， 又α为第三象限角，∴3sin 5α=-， ∴24sin 22sin cos 25ααα==， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、诱导公式以及同角的平方关系，属于基础题．4．已知向量()2,3a =v ，(),5b x =v ，若()a ab ⊥-vv v ，则x =（ ）A ．38B ．1-C ．12D ．2【答案】B【解析】先求出a b -r r的坐标，再根据平面向量垂直的坐标表示计算即可．【详解】解：∵()2,3a =r，(),5b x =r ， ∴()2,2a b x -=--r r，又()a ab ⊥-r r r ，∴()()22320x -+⨯-=，解得1x =-， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查平面向量垂直的坐标表示，属于基础题．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，286a a +=-，则n S 的最小值等于（ ） A ．-34 B ．-36C ．-6D ．6【答案】B【解析】由题意先求出数列{}n a 的公差，再根据前n 项和公式求出n S ，再计算最小值即可． 【详解】解：设数列{}n a 的公差为d ， ∵286a a +=-， ∴1286a d +=-， 又111a =-， ∴2d =， ∴n S ()112n n dna -=+()111n n n =-+-212n n =-()2636n =--，∴当6n =时，n S 有最小值636S =-， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和的最值的求法，属于基础题．6．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确是（ ）A ．若//m α，n αβ=I ，则//m nB ．若m α⊥，//m β，则αβ⊥C ．若n β⊥，αβ⊥，则//n αD ．若m α⊂，n β⊂，l αβ=I ，且m l ⊥，n l ⊥，则αβ⊥ 【答案】B【解析】以长方体为载体，结合平行与垂直的判定与性质求解． 【详解】解：作一个任意长方体，A 中，如图，取m AB =，α=面11CCD D ，β=面11BB C C ，1CC n αβ==I ，而1AB CC ⊥，即m n ⊥，故A 错；B 中，若//m β，则根据线面平行的性质，平面β内必存在直线//l m ，而m α⊥，则l α⊥，由面面垂直的判定定理可得αβ⊥，B 对；C 中，如图，取n AB =，α=面11ABB A ，β=面11BB C C ，则n β⊥，αβ⊥，而n ⊂α，故C 错；D 中，取α=面11AB C D ，β=面11BB C C ，11B C l αβ==I ，1m AB α=⊂，1n BB β=⊂则m l ⊥，n l ⊥，但,αβ不垂直，故D 错；故选：B ． 【点睛】本题主要考查平行于垂直的判定和性质，熟记八个定理并借助长方体为载体是解题关键，属于易错的基础题．7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”，该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得.”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n 是8的整数倍时，均可采用此方法求解，如图是解决这类问题的程序框图，若输入32n =，则输出的结果为（ ）A ．80B ．47C ．79D ．48【答案】C【解析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的n ，S 的值，当0n =时，满足条件退出循环，即可得到输出的S 值． 【详解】解：模拟程序的运行，可得32n =，32S =，执行循环体，24n =，56S =不满足条件0n =，执行循环体，16n =，72S =， 不满足条件0n =，执行循环体，8n =，80S =，满足条件0n =，可得79S =，退出循环，输出S 的值为79； 故选：C ． 【点睛】本题主要考查循环结构的程序框图的应用，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的方法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题．8．设变量x ，y 满足约束条件20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．-4C ．12D ．13【答案】C【解析】作出可行域，结合目标函数的几何意义即可求出答案． 【详解】解：变量x ，y 满足约束条件20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩的可行域如图，由240240x y x y -+=⎧⎨--=⎩得()4,4A ， 目标函数2z x y =+变形为2y x z =-+，平移直线经过点A 时，目标函数取得最大值，24412z =⨯+=，故选：C ． 【点睛】本题主要考查简单的线性规划，属于基础题．9．2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，看起来象个转动的风车，很有美感(图1)；弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(图2).如果直角三角形的较短直角边长和较长直角边长分别为1和2，则向大正方形内任投一质点，质点落在小正方形内的概率为（ ）A ．15B ．225C ．25D ．125【答案】A【解析】先求出大小正方形的面积，再根据几何概型的概率计算公式求出概率． 【详解】22125+=5， 小正方形的边长为1，其面积为1， 则质点落在小正方形内的概率15P =， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据题意选择合适的测度是解题关键，属于基础题．10．已知函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0>ω）在(0,2]上恰有一个最大值1和一个最小值-1，则ω的取值范围是（ ）A ．77,126ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．77,126ππ⎛⎤⎥⎝⎦ C ．27,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．27,36ππ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【解析】根据函数()f x 的解析式，利用x 的取值范围与三角函数图象与性质，列出不等式求出ω的取值范围． 【详解】解：∵02x <≤， ∴2666x πππωω<+≤+，又函数()f x 在(0,2]上恰有一个最大值1和一个最小值1-， ∴352262πππω≤+<， 解得2736ππω≤<， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查正弦型函数的图象与性质的应用问题，属于中档题．11．已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，若点1F 关于双曲线渐近线的对称点P 满足22OPF POF ∠=∠（O 为坐标原点），则E 的离心率为（ ） A．B ．2CD【答案】B【解析】先利用对称求出点P 的坐标，结合∠OPF 2＝∠POF 2可知2PF c =，利用两点间距离公式可求得离心率. 【详解】设00(,)P x y 是1F 关于渐近线b y x a =-的对称点，则有000022y a x c by x cb a ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=-⋅⎪⎩；解得222(,)b a abP c c-；因为∠OPF 2＝∠POF 2，所以2PF c =，222222()()b a ab c c c c--+=；化简可得2e =，故选B. 【点睛】本题主要考查双曲线的性质.离心率的求解一般是寻求,,a b c 之间的关系式. 12．已知函数()12a f x x x =+与函数()2ln 3x g x x=-的图象在区间[]1,4上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数a 取值范围是（ ） A ．5[,42ln 2)2- B ．5[44ln 2,]2- C ．[44ln 2,42ln 2)-- D ．(44ln 2,42ln 2)--【答案】A【解析】由题意可得()()f x g x =-在[]1,4上恰有两个解，分离变量得2132ln 2a x x x =--，令()2132ln 2h x x x x =--，利用导数求出函数()h x 在[]1,4上的函数值变化，由此可得答案． 【详解】解：由题意可得()()f x g x =-在[]1,4上恰有两个解，即12ln 32a x x x x+=-在[]1,4上恰有两个解， 即2132ln 2a x x x =--在[]1,4上恰有两个解，令()2132ln 2h x x x x =--，则()23h'x x x =--()()12x x x--=-， ∴函数()h x 在[]1,2上单调递增，在[]2,4上单调递减， 又()512h =，()242ln 2h =-，()5444ln 22h =-<， ∴542ln 22a ≤<-， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查利用导数讨论函数的单调性，考查转化思想，属于中档题．二、填空题13．已知()()22,02,0x x x f x f x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()5f -=__________．【答案】3【解析】利用分段函数的解析式，转化求解即可． 【详解】解：∵()()22,02,0x x x f x f x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩，∴()()53f f -=-()()11f f =-=213=+=， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查已知分段函数解析式求函数值，属于基础题．14．正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 是棱11A B 的中点，则异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为__________． 【答案】5 【解析】将正三棱柱补成如图所示的四棱柱，则MAD ∠为异面直线AM 与BC 所成角，解三角形即可． 【详解】解：将正三棱柱补成如图所示的四棱柱1111ABCD A B C D -，其中//AB CD ，//AD BC ，连接MD ，1MD ，因为//AD BC ，所以MAD ∠为异面直线AM 与BC 所成角（或其补角）， 设12AB BC AA x ===，则1A M x =，5AM x =， ∵111A B C ∆为正三角形，∴111=120B A D ∠︒， 由余弦定理得2221111D M A D A M =+1112cos120A D A M -⋅︒2214222x x x x =++⋅⋅⋅，∴1D M =，则DM =，∴222cos2AM AD DM MAD AM AD +-∠=⋅22210==，∴异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为10，【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，考查计算能力，属于基础题．15．已知各项都为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且1n a +=n a =__________．【答案】21n -【解析】由题意得()214n n a S +=，当1n =时，解得11a =；当2n ≥时，()21114n n a S --+=，从而推出()()1120n n n n a a a a --+--=，则12n n a a --=，再根据等差数列的通项公式求解即可．【详解】解：∵1n a +=0n a >， ∴()214n n a S +=，当1n =时，()2111144a S a +==，解得11a =； 当2n ≥时，()21114n n a S --+=，则()()221111444n n n n n a a S S a --+-+=-=， ∴()()1120n n n n a a a a --+--=，∴12n n a a --=，或10n n a a -+=（舍去）， ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴()12121n a n n =+-=-， 故答案为：21n -． 【点睛】本题主要考查数列的递推公式，考查定义法判断等差数列，考查等差数列的通项公式，考查计算能力，属于中档题．16．已知抛物线216y x =的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线和圆()2244x y -+=于A ，B ，C ，D 四个点，设()11,A x y ，()22,D x y ，则12x x =__________；4||9||AB CD +的最小值为_______．【答案】16 74【解析】求得抛物线的焦点和准线方程，圆的圆心和半径，由题意设直线l 的方程为4x my =+，联立抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义、结合基本不等式即可求得答案． 【详解】解：由题意得()4,0F ，准线方程为4x =-， 圆()2244x y -+=的圆心为()4,0F ，半径2r =，由题意设直线l 的方程为4x my =+，联立2164y x x my ⎧=⎨=+⎩消元得216640y my --=，∴1216y y m +=，1264y y =-，∴()()121244x x my my =++()21212416m y y m y y =+++16=，121244x x my my +=+++()128m y y =++2168m =+，由抛物线定义可得4||9||AB CD +()()4292AF DF =-+-4926AF DF =+-()()12449426x x =+++-124926x x =++1224926x x ≥⋅12122674x x ==，当且仅当1249x x =且1216x x =即16x =，283x =时等号成立， 故答案为：16，74． 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线定义的应用，考查计算能力，属于中档题．三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量()cos cos ,m A B a b =+v ，()sin sin ,n A B a b =-v ，若1(,)2m n a -=v v .（1）求角C 的弧度数；（2）若c =ABC ∆的面积.【答案】（1）23π；（2）【解析】（1）由题意可得1cos cos sin sin 2A B A B -=，2a b =，根据两角和的余弦公式及三角形内角和即可求出答案；（2）由余弦定理及2a b =可得8a =，4b =，再根据面积公式即可求解． 【详解】解：（1）由题意，()1cos cos sin sin ,2(,)2m n A B A B b a -=-=u r r ，∴2a b =，1cos cos sin sin 2A B A B -=，∴1cos()cos 2A B C +=-=，∵0C π<<，∴23C π=；（2）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，且2a b =， ∴222111244()2b b b =+-⨯-， ∴8a =，4b =，∴11sin 8422ABC S ab C ∆==⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查余弦定理和三角形的面积公式，考查向量相等，考查两角和的余弦公式，属于基础题．18．2019年10月1日我国隆重纪念了建国70周年，期间进行了一系列大型庆祝活动，极大地激发了全国人民的爱国热情.某校高三学生也投入到了这场爱国活动中，他(她)们利用周日休息时间到社区做义务宣讲员，学校为了调查高三男生和女生周日的活动时间情况，随机抽取了高三男生和女生各40人，对他(她)们的周日活动时间进行了统计，分别得到了高三男生的活动时间(单位：小时)的频数分布表和女生的活动时间(单位：小时)的频率分布直方图.（活动时间均在[]0,6内） 活动时间 [0,1)[1,2)[23)，[3,4)[45)，[56]，频数 8107942（1）根据调查，试判断该校高三年级学生周日活动时间较长的是男生还是女生？并说明理由；（2）在被抽取的80名高三学生中，从周日活动时间在[]5,6内的学生中抽取2人，求恰巧抽到1男1女的概率.【答案】（1）女生，理由见解析；（2）815【解析】（1）列出女生周日活动时间频数表，对比男生和女生活动时间频数表即可得出结论；（2）运用古典概型的概率计算公式求解即可． 【详解】解：（1）该校高三年级周日活动时间较长的是女生， 理由如下：列出女生周日活动时间频数表 活动时间 [1,2)[23)，[3,4)[45)，[56]，频数6712104对比男生和女生活动时间频数表，可以发现：活动时间在2小时及其以上的男生有22人，女生有34人； 活动时间在3小时及其以上的男生有15，女生有26人；都是女生人数多于男生人数，所以该校高三年级周日活动时间较长的是女生；（2）被抽到的80学生中周日活动时间在[56]，内的男生有2人，分别记为A ，B ，女生有4，分别记为a ，b ，c ，d ，从这6人中抽取2.共有以下15个基本事件，分别为：AB ，Ab ，Ac ，Ad ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ；其中恰为1男1女的共有8种情形， 所以所求概率815P =． 【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于基础题．19．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，M 在棱PD 上，且35PM PD =，在底面ABCD 中，10BA BC ==，5DA DC ==，2AC =，O 为对角线AC ，BD 的交点.（1）证明：OM P 平面PBC ；（2）若2PA =，求三棱锥M PBC -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）1【解析】（1）由题意BAC ∆，DAC ∆都为等腰三角形，故对角线AC BD ⊥，从而可证出23DM DO MP OB ==，借助线面平行的判定定理即可得出结论； （2）由（1）可知：点M 到平面PBC 的距离等于点O 到平面PBC 的距离，所以三棱锥M PBC -的体积等于三棱锥O PBC -的体积，由此即可求出答案． 【详解】（1）证：在底面ABCD 中，BAC ∆，DAC ∆都为等腰三角形，故对角线AC BD ⊥，所以3BO ==，2OD ==，由M 在棱PD 上，且35PM PD =知：23DM MP =， 所以在PBD ∆中有23DM DO MP OB ==，所以//OM PB ， 又OM ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以OM P 平面PBC ；（2）解：由（1）可知：点M 到平面PBC 的距离等于点O 到平面PBC 的距离， 所以三棱锥M PBC -的体积等于三棱锥O PBC -的体积， 而PA ⊥平面ABCD ，所以三棱锥O PBC -的高2h PA ==， 所以11321132M PBC P BOC V V --==⨯⨯⨯⨯=， 故三棱锥M PBC -的体积为1． 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，考查等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．20．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且AB OP P ，且POB ∆的面积是12，其中O 是坐标原点. （1）求椭圆C 的方程.（2）若过点F 的直线1l ，2l 互相垂直，且分别与椭圆C 交于点M ，N ，S ，T 四点，求四边形MSNT 的面积S 的最小值. 【答案】（1）2212x y +=；（2）169【解析】（1）依题意可设2(,)b P c a -，则有22221122OPAB POB b bk k ac a S bc b c a ∆⎧-===⎪-⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩，解出即可；（2）分类讨论，当1l x ⊥，2//l x 时，22122222MSNTb S a b a===g g g ； 当1l ，2l 斜率存在时，设1l ：1x ky =-，2l ：11x y k=-，分别联立椭圆方程，利用韦达定理求出MN ，ST ，再根据面积公式12S MN ST =g 以及基本不等式即可求出答案．【详解】解：（1）依题意画出下图可设2 (,)bP ca-，(,0)A a，(0,)B b，则有：22221122OP ABPOBb bk kac aS bcb c a∆⎧-===⎪-⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得211abc⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C的标准方程为2212xy+=；（2）①当1l x⊥，2//l x时，22122222MSNTbS a ba===g g g；②当1l，2l斜率存在时，设1l：1x ky=-，2l：11x yk=-，分别联立椭圆方程2212xy+=，联立22112x kyxy=-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210k y ky+--=，∴12222ky yk+=+，12212y yk-=+，∴()22121214MN k y y y y=++-222224122kkk k⎛⎫=++⎪++⎝⎭)222212kk+=+，同理)222212212211122kkSTkk⎫+⎪+⎝⎭==++，∴12S MN ST =g ()()()22228112221k k k +=++g ()()()222241221k k k +=++()2222241221()2k k k +≥+++()22224(1)169914k k +==+，当且仅当22221k k +=+即21k =即1k =±时等号成立， 故四边形MSNT 的面积S 的最小值min 169S =． 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．21．已知函数()222ln f x x kx x =-+（k R +∈）.（1）当k =()f x 单调性；（2）若()()11221()()4x H f x f x H x =-≥，（1x ，2x 为()'f x 的两个零点，且12x x <）求k 的取值范围.【答案】（1）()f x在1(0,)2<和)+∞上单调递增，在11)22，上单调递减；（2）5[,)2+∞ 【解析】（1）当k =（2）求导得()22222'22x kx f x x k x x -+=-+=，由题意知方程22220x kx -+=在(0,)+∞上有两个不等的实根1x ，2x （12x x <），由此可得2k >，根据韦达定理化简变形得12112122()2ln x x x xH x x x x =-+，令12(0,1)x t x =∈，则()12ln H t t t t=-+，求导后根据导数研究函数的单调性，从而得出104t <≤，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】解：（1）当k =时，()2222'2x f x x x x-+=-=，令()'0f x >，解得102x <<或12x >， 令()'0f x <x <<， 所以()f x在(0,<和)+∞上单调递增，在上单调递减；（2）()22222'22x kx f x x k x x-+=-+=，由题意知方程22220x kx -+=在(0,)+∞上有两个不等的实根1x ，2x （12x x <），所以2121240010k x x k x x ⎧∆=->⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得2k >，()()1122()x H f x f x x =-()()()2212121222ln ln x x k x x x x =---+- ()()()()221212121222ln ln x x x x x x x x =--+-+-()2221122ln ln x x x x =-+- 222111222ln x x x x x x -=+2111222ln x x x x x x =-+， 令12(0,1)x t x =∈，则()12ln H t t t t=-+， ()212'1H t t t =--+2221t t t -+=-()2210t t-=-<， 所以()H t 在(0,1)上单调递减，又()1()4H t H ≥，所以104t <≤，而221212()x x k x x +=12212x x x x =++12524t t =++≥，当且仅当14t =等号成立 即52k ≥， 综上：实数k 的取值范围为5[,)2+∞．【点睛】本题主要考查根据导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，属于难题． 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=.（1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求23πα=时直线l 的普通方程； （2）直线l 和曲线C 交于A 、B 两点，点P 的直角坐标为()1,2，求||||PA PB +的最大值.【答案】（1）C ：2220x y y +-=， l 20y +-=；（2）【解析】（1）把2sin ρθ=两边同时乘以ρ，然后结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程，由直线l 的参数方程可知直线过定点，并求得直线的斜率，即可写出直线的普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线C 的普通方程，化为关于t 的一元二次方程，利用判别式、根与系数的关系及此时t 的几何意义求解． 【详解】解：（1）∵2sin ρθ=，∴22sin ρρθ=， ∴曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，当23πα=时，直线l 20y +-=； （2）把直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入2220x y y +-=，得()22sin 2cos 10t t αα+++=，()122sin 2cos t t αα+=-+，121t t =，则1t 与2t 同号且小于0，由()22sin 2cos 40αα∆=+->得：2sin 2cos 2αα+<-或2sin 2cos 2αα+>，∴()12||||PA PB t t +=-+2sin 2cos αα=+)4πα=+，∴||||PA PB +的最大值为 【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，属于中档题． 23．已知函数()|1|||f x x x a =-++，()|2|1g x x =-+. （1）当2a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得()()21g x f x =成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(][),32,-∞-+∞U ；（2）(][),20,-∞-+∞U ． 【解析】（1）利用绝对值的几何意义解出即可；（2）由题意()1f x 的值域为[|1|,)a ++∞，()2g x 的值域为[1,)+∞，根据[|1|,)a ++∞[1,)⊆+∞解出即可．【详解】解：（1）当2a =时，|1||2|5x x -++≥， 由绝对值的几何意义得3x ≤-，或2x ≥， ∴()5f x ≥的解集为(][),32,-∞-+∞U ；（2）由题意可知：()1f x 的值域是()2g x 值域的子集，()1f x 的值域是：[|1|,)a ++∞，()2g x 的值域为：[1,)+∞，∴|1|1a +≥，解得：0a ≥或2a ≤-， ∴实数a 的取值范围是(][),20,-∞-+∞U ． 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查集合的包含关系，属于中档题．。
2020届吉林省长春市东北师范大学附属中学高三上学期一模数学(文)试题(解析版)
2020届吉林省长春市东北师范大学附属中学高三上学期一模数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，{}2,B y y x x A ==∈，则AB =（ ）A ．{}2,4B ．{}1,4C ．{}1,2,4D ．{}2,4,16【答案】B【解析】由2y x =，x A ∈求得集合B ，再求A B 即可【详解】由{}2,B y y x x A ==∈求得集合{}1,4,9,16,25,36B =，则{}1,4A B =故选：B 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题 2．已知i 是虚数单位，则21i=-（ ） A ．1i - B ．2iC ．1i +D ．i -【答案】C【解析】根据复数的除法运算化简即可 【详解】()()()2121111i i i i i +==+--+ 故选：C 【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题3．若0.21.5a =，0.41.5b =，50.9c =，则（ ） A ．c b a >> B ．a b c >> C ．b c a >> D ．b a c >>【答案】D【解析】可先判断1,1a b >>，()0,1c ∈，再根据指数函数性质进一步判断即可 【详解】由题可知0.211.5a =>，0.41.51b =>，()50.90,1c =∈，设 1.5xy =，则函数为增函数，则b a >，则b a c >> 故选：D 【点睛】本题考查根据指数函数的性质比大小，属于基础题4．给出下列三个命题：①“若0a b >>，则22a b >”的逆命题为假命题；②“21a ≥”是“函数()221f x x ax =++至少有一个零点”的充要条件；③命题“00,30x x R ∃∈≤”的否定是“,30xx R ∀∈>”.其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】对命题①，先求逆命题，再判断真假；对命题②，先将()221f x x ax =++至少有一个零点作等价转化，再结合充要条件判断；对命题③，结合命题的否定一般方法加以否定即可 【详解】对①，“若0a b >>时，则22a b >”的逆命题为：“若22a b >时，则0a b >>”，当3,2a b =-=时不成立，逆命题为假命题，说法正确；对②，若函数()221f x x ax =++至少有一个零点，等价于0∆≥，即224401a a -≥⇒≥，故②为真命题；对③，存在命题的否定：存在改全称，“≤”改成“>”，故③为真命题 故真命题的个数为3个 故选：D 【点睛】本题考查命题真假的判断，属于基础题 5．函数||x y x x=+的图象是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】利用函数图像上两个点()()1,2,1,2--，选出正确选项. 【详解】由于函数||x y x x=+经过点()()1,2,1,2--，只有C 选项符合. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，属于基础题. 6．已知函数()()11f x x x x R =-++∈，则()f x 的图像（ ）A ．关于原点对称，但不关于y 轴对称B ．关于y 轴对称，但不关于原点对称C ．关于原点对称，也关于y 轴对称D ．既不关于原点对称，也不关于y 轴对称 【答案】B【解析】先求()f x -，再结合奇偶函数判断方法进一步判断即可 【详解】()1111f x x x x x -=--+-+=++-，即()()f x f x =-，函数为偶函数；故选：B 【点睛】本题考查奇偶函数的判断方法，属于基础题 7．设6521m =+，452n =，则mn约等于（ ）（参考数据：l g 20.3≈）A ．2010B ．310C ．610D ．910【答案】C【解析】可采用两边同取对数的方式，结合对数运算性质求解即可 【详解】由题知6565212m =+≈，452n =，对,m n 同取对数，得65lg lg 265lg 2m ≈≈，45lg lg 245lg 2n ==，lg lg 65lg 245lg 220lg 2m n -≈-≈，即lg20lg 26mn≈≈，即610mn≈； 故选：C 【点睛】本题考查对数的运算性质，指数与对数的互化，同取lg 是解题关键，属于基础题 8．若函数()f x 的零点与函数()422x gx x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是（ ） A ．()41f x x =- B ．()()3log 2f x x =-C ．()31x f x =-D ．()23f x x =-【答案】A【解析】可先对四个选项的零点求值，再用二分法进一步判断()g x 的零点区间，即可求解 【详解】 对A ，()41f x x =-的零点为14x =； 对B ，()()3log 2f x x =-的零点为1x =； 对C ，()31x f x =-的零点为0x =；对D ，()23f x x =-的零点为32x =； ()004210g =-=-<，12114221022g ⎛⎫=+⨯-=> ⎪⎝⎭，()1002g g ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，故()gx 零点在10,2⎛⎫⎪⎝⎭之间，再用二分法，取14x =，141134220442g ⎛⎫=+⨯-=< ⎪⎝⎭，11024g g ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()g x 的零点11,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由题()(),f x g x 的零点之差的绝对值不超过0.25，则只有()41f x x =-的零点符合；故选：A 【点睛】本题考查函数零点的求法，二分法的应用，属于基础题9．若函数()(),03,02x a x f x aa x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩在(),-∞+∞上为增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(]1,2 B ．()1,2 C ．()1,3 D ．[)2,3【答案】A【解析】函数为分段函数，结合增函数性质可知，每一段函数图像都应是增函数，再结合临界点处取值建立不等关系求解即可 【详解】由题知，()f x 为增函数，则()0130302a a a a a ⎧⎪>⎪->⎨⎪⎪≥-⨯+⎩，即(]1,2a ∈；故选:A 【点睛】本题考查根据增函数性质求解参数范围，属于基础题 10．已知函数()f x kx =（02x <≤）的零点在区间31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内，则实数k 的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎭B．(C．⎫⎪⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】可将函数转化，令()0f x kx ==，结合构造函数法转化成直线与圆的位置关系进行求解即可 【详解】 由()0f x kx kx ==⇒=，令()[]0,2g x y x ==∈，()[]0,2h x kx x =∈，，要使()f x kx =，（02x <≤）的零点在区间31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内，即在31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内，()g x 与()h x 有交点，画出()g x 与()h x 图像，如图：当1x =时，()11g =，此时1k =；当32x =时，32g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时232k =故k ⎫⎪⎪⎭∈⎝ 故选：C 【点睛】本题考查根据函数零点区间求解参数问题，构造函数法求解参数，属于中档题11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()40x f x '-≤，且()4y f x =+为偶函数，当1244x x -<-时，有（ ） A ．()()1288f x f x -≤- B ．()()1288f x f x -<- C ．()()1288f x f x ->-D ．()()1288f x f x -≥-【答案】D【解析】分函数为常函数和不是常函数两种形式讨论，当函数不是常函数时，函数()4y f x =+为偶函数可知，对称轴为4x =，再结合()()40x f x '-≤判断函数的增减性，画出拟合图形，结合绝对值含义即可求解 【详解】若()f x c =，则()'0f x =，此时()()40x f x '-≤和()4y f x =+为偶函数都成立，函数值恒等于c ，当1244x x -<-时，恒有()()1288f x f x -=-，故等号成立；若()f x 不是常数，因为函数()4y f x =+为偶函数，所以()()44f x f x +=-，函数关于4x =对称，所以()()()()1122=8,=8f x f x f x f x --； 由()()40x f x '-≤，当4x >时，()'0f x <，函数()f x 单减；当4x <时，()0f 'x >，函数()f x 单增，可画出拟合图像，如图：1244x x -<-，从绝对值本身含义出发，即等价于x 轴上1x 到4的距离小于2x 到4的距离，由图可知，()()12f x f x >，即()()1288f x f x ->- 综上所述，则()()1288f x f x -≥-故选:D 【点睛】本题考查偶函数性质的延伸，根据偶函数性质比较函数值大小，数形结合思想，对思维转化能力要求高，属于难题12．将边长为1m 正三角形纸片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记()2y =梯形的周长梯形的面积，则y 的最小值为（ ）A．B．3C．9D．15【答案】B【解析】梯形周长和面积采用间接法结合图形即可快速求解，再结合导数求解最值即可 【详解】 如图：设ADE ∆的边长为x ，则梯形周长为：3x -，ADE ∆2，梯形面积为：)21x -，则()()2221y x =-3-x x-3，()()()()()()()2222222123231'11x x x x y x x -+---==--x-3x-3，当10,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，'0y <，当1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y >，故当13x =时，2min133119y ⎛⎫- ⎪⎝⎭==- 故选：B 【点睛】本题考查根据导数求解实际问题的最值，属于中档题二、填空题13．曲线()cos f x x =在6xπ=处的切线方程为______．【答案】6120x y π+-=【解析】根据导数的几何意义和点斜式求解即可 【详解】()'sin f x x =-，1'sin 662f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ππ，当6x π=时，cos =662f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππ，故函数过6π⎛⎝⎭，由点斜式可得126πy x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭即曲线()cos f x x =在6x π=处的切线方程为6120x y π+-=；故答案为：6120x y π+-=【点睛】本题考查过曲线上某点对应的切线方程的求法，属于基础题14．已知函数()24f x x x =-，则2log f ⎛= ⎝______．【答案】94【解析】先化简2log 【详解】12221log log 22-==-，则2119log =+2=244f f ⎛⎛⎫=- ⎪ ⎝⎭⎝故答案为：94【点睛】本题考查对数的化简函数值的求法，属于基础题 15．已知函数()f x 的定义域为R ，对于任意实数x ，都有()()1f x f x +=--，且()f x 共有五个零点，则()f x 的所有零点之和为 ______．【答案】52【解析】根据()()1f x f x +=--可得函数的对称中心为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，再由函数的对称性和零点个数求解即可 【详解】 由()()()()()()1111010+022f x f x f x f x f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫+=--⇒-++=⇒+-=⇒+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则函数的对称中心为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，因函数有五个零点，设两对对称的零点为：()()12,0,,0x x 和()()34,0,,0x x 则121x x =+，341x x +=，又函数过1,02⎛⎫⎪⎝⎭，故()5102f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以123455+2x x x x x +++=故答案为：52【点睛】本题考查函数对称中心的求法，根据函数零点个数求解零点之和，属于中档题16．已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足()22,22322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<≤⎩,下面四个关于函数()f x 的说法：①存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根；②当1211x x -<<<时，恒有()()12f x f x >；③若当(]0,x a ∈时，()f x 的最小值为1，则51,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；④若关于x 的方程()32f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =-．其中说法正确的有______．（将所有正确说法的标号填在横线上） 【答案】①③【解析】根据题意，画出函数图像，结合函数图像和函数性质逐一判断即可 【详解】结合函数为奇函数，则()0=0f ， 当2x <-时，2x ->，()()()222232323f x f x f x x x x --==⇒-=+=--+，当20x -≤<时，02x <-≤，()()()222222f f x x f x x x x x ++=⇒--=---=，作出函数图像，如图：对①，如图，存在实数k 使得函数有7个交点，故①对；对②，结合函数图像，明显函数不是严格的减函数，故②错；对③，可令1y =，如图，两函数相交时，可求得交点为()51,1,,12⎛⎫⎪⎝⎭，要使函数最小值为1，则51,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，③对；对④，若()32f x =，令32y =，则122x x +=，令332313=2326x x =⇒-，则123256x x x ++=， 若满足④的条件，则25232568236f ⎛⎫-==- ⎪⎛⎫⎝⎭⨯-+ ⎪⎝⎭，则38m =-，故④错；故答案为：①③ 【点睛】本题考查分段函数与奇函数的综合性质，函数的零点与方程的关系，数形结合的思想，属于难题三、解答题17．在ABC △中，角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，3B π=，4cos 5A =． （Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）若6a =，求c 的值. 【答案】（Ⅰ；（Ⅱ）3+【解析】（Ⅰ）利用诱导公式和三角形内角和进行代换即可求解； （Ⅱ）由正弦定理即可求解 【详解】 （Ⅰ）,,A B C 为ABC △的内角，且3B π=，4cos 5A =， 23C A π∴=-，3sin 5A ==， 2sin sin 3C A π⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭13cos sin 2210A A ++=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，3sin 5A =，3sin 10C +=， 在ABC △中，由正弦定理得36sin 103sin 5a Cc A+⨯==3=+． 【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式的使用，正弦定理解三角形，同角三角函数的基本求法，属于基础题 18．设函数()22ln f x x x a x =-+．（Ⅰ）当4a =-时，求()f x 的极值； （Ⅱ）当12a >时，判断()f x 的单调性. 【答案】（Ⅰ）极小值为()24ln2f =-，无极大值；（Ⅱ）函数()f x 在()0,∞+上单调递增．【解析】（Ⅰ）先求()f x 的导数，将4a =-时，代入()'f x ，结合导数正负求解原函数的极值即可； （Ⅱ）结合12a >和二次函数性质判断导数正负，再判断()f x 单调区间即可 【详解】（Ⅰ）由已知，()f x 的定义域为()0,+∞，()22a f x x x '=-+=222x x ax-+，当4a =-时，令()0f x '=，得22240x x --=．又0x >，所以2x =， 当02x <<时，()0f x '<； 当2x >时，()0f x '>．因此，当2x =时，()f x 有极小值，极小值为()24ln2f =-，()f x 无极大值；（Ⅱ）由已知，()f x 的定义域为()0,+∞，()22a f x x x '=-+222x x ax-+=，令()()2220gx x x a x =-+>，则()g x 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，因此，()g x 有最小值1122g a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 当12a >时，102a ->，则()0f x '>，此时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增． 【点睛】本题考查根据导数求解函数极值，求解含参函数的单调性，属于中档题19．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，PAD △为正三角形，平面PAD ⊥底面ABCD ，2AD =．（Ⅰ）求证：AD PB ⊥； （Ⅱ）求点C 到平面PBD 的距离．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）h =【解析】（Ⅰ）要证AD PB ⊥，即证AD 与PB 所在平面垂直，可取取AD 的中点O ，连结PO BO 、，证明AD ⊥平面POB ；（Ⅱ）采用等体积法进行转化，由P BCD C PBD V V --=求解，先求P BCD V -的体积，再求PBDS，即可求得C 到平面PBD 的距离【详解】证明：（Ⅰ）取AD 的中点O ，连结PO BO 、，则PO AD ⊥，因为底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒， 所以ABD △是正三角形，所以BO AD ⊥， 又因为POBO O =，所以AD ⊥平面POB ，而PB ⊂平面POB ，所以AD PB ⊥．（Ⅱ）因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且PO AD ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，PO BO ==12BCD ABD S S AD BO ==⨯⨯△△122=⨯=，所以13P BCDABD V S PO -=⨯⨯△113==，在PBD △中，2PD BD ==，PB ==取PB 的中点E ，连结DE ，则DE PB ⊥，12PBDS PB DE =⨯⨯=△12PB ⨯1222==， 因为P BCD C PBD V V --=，设点C 到平面PBD 的距离为h ，则13C PBD PBD V S h -=⨯⨯△1132h =⨯=，所以h =【点睛】本题考查线线垂直的证明，由等体积法求点到直线距离，属于中档题20．在直角坐标系xOy 中，动点(),P x y （其中2x ≥）到点()3,0F 的距离的4倍与点P 到直线2x =的距离的3倍之和记为d ，且18d x =+.（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与轨迹C 交于,M N 两点，求MN 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2213627x y +=（26x ≤≤）；（Ⅱ）100911MN ≤≤．【解析】（Ⅰ）根据题意列出方程()3218x x +-=+，化简即可求得；（Ⅱ）分析可知，曲线只包括部分图像，分两种具体情况讨论：当斜率不存在时和斜率存在时，先确定弦长MN 对应斜率k 的范围，联立直线与椭圆的方程结合韦达定理表示出根与系数关系，利用焦半径公式表示出1162MF x =-，2162NF x =-，结合前式韦达定理表示出关于k 的表达式，利用不等式性质即可求解 【详解】（Ⅰ）依题意，()3218x x -=+，162x =-化简得2213627x y +=，∴点P 的轨迹C 的方程为2213627x y +=（26x ≤≤）．（Ⅱ）将2x =代入曲线方程，解得y =±，设点(2,A ，(2,B -．由（Ⅰ）知，轨迹C 是椭圆2213627x y +=在直线2x =的右侧的部分（包括点AB 、）．可求出直线AF 的斜率为-BF 的斜率为（1）当直线l 的斜率不存在时，设93,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，93,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 此时，9MN =.（2）当直线l 的斜率k 存在时，直线l 的方程为()3y k x =-. 由已知，直线l 与轨迹C 交于,M N 两点，则k ≥k ≤-. 设()11,M x y ，()22,N x y ，由（Ⅰ）知，1162MF x =-，2162NF x =-， 所以MN MF NF =+=()121122x x -+由()22313627y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22223424361080k x k x k +-+-=.则21222434k x x k+=+， 所以()212221121212121232344k MN x x k k =-+=-=-++因为k ≥k ≤-， 所以224k ≥，所以211024k <≤， 所以2121009123114k <-≤+，即100911MN <≤. 综上可知，100911MN ≤≤．【点睛】本题考查曲线的轨迹方程求解，直线与椭圆相交弦长的求法，属于中档题 21．己知函数()2ln f x ax bx x =+-．（Ⅰ）当2a =-时，函数()f x 在()0,∞+上是减函数，求b 的取值范围；（Ⅱ）若方程()0f x =的两个根分别为()1212,x x x x <，求证：1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭. 【答案】（Ⅰ）4b ≤；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）由题，可将条件进行转化，依题意，()22ln f x x bx x =-+-在()0,+∞上是减函数等价于()140f x x b x'=-+-≤对()0,x ∈+∞恒成立，再采用分离参数法解不等式即可；（Ⅱ）由于方程()0f x =的两个根分别为()1212,x x x x <，故有()()2111122222ln 0ln 0f x ax bx x f x ax bx x ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩，可解得()()112122ln x x x a x x b x =-++⎡⎤⎣⎦，化简()12f x ax b x '=+-并联立前式可得()12111222211ln 1x x x f x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥'=-⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，再设12x t x =，则12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-+整体可代换为()()21ln 1t g t t t -=-+，求()g t '，根据()g t '的正负即可得证 【详解】 （Ⅰ）()f x 在()0,+∞上递减，()140f x x b x'∴=-+-≤对()0,x ∈+∞恒成立. 即14b x x ≤+对()0,x ∈+∞恒成立，所以只需min 14b x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭.0x >，144x x∴+≥， 当且仅当12x =时取“=”，4b ∴≤. （Ⅱ）由已知，得()()2111122222ln 0ln 0f x ax bx x f x ax bx x ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩， 21112222ln ln x ax bx x ax bx ⎧=+∴⎨=+⎩两式相减， 得()()()11212122lnx a x x x x b x x x =+-+-()()1212x x a x x b =-++⎡⎤⎣⎦. 由()12f x ax b x '=+-知()12122x x f a x x +⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭122b x x -+ 11221212ln x x x x x x =-=-+()1211221221ln x x x x x x x x -⎡⎤-=⎢⎥-+⎣⎦12111222211ln 1x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥-⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，设()120,1x t x =∈，则12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=+()()21ln 1t g t t t -=-+.()()2141g t t t '∴=-=+()()22101t t t ->+. ()g t ∴在()0,1上递增，()()10g t g ∴<=. 120x x -<Q ，12111222211ln 1x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥∴-⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦()1210g t x x =>-. 即1202x x f +⎛⎫'>⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查根据函数增减性利用导数求解参数问题，已知函数零点利用导数求证不等式恒成立问题，运算能力，属于难题22．已知在直角坐标系xOy 内，直线l 的参数方程为3cos ,21sin .2x t y t θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数，θ为倾斜角）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程及直线l 经过的定点P 的坐标；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于两点A B 、，求点P 到A B 、两点的距离之和的最大值． 【答案】（Ⅰ）()()22112x y -++=，31,22P ⎛⎫-⎪⎝⎭；（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）将曲线的极坐标化简成直角坐标即可求解曲线C 的直角坐标方程，直线过的定点由参数方程即可求得；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的标准方程，联立可得关于t 的一元二次方程，由韦达定理可得根与系数关系，由参数t 的几何意义结合三角函数即可求得最值 【详解】（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为()()22112x y -++=， 直线l 过定点31,22P ⎛⎫-⎪⎝⎭．（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入()()22112x y -++=， 得()23cos sin 02t t θθ++-= 设点A B 、对应的参数分别为12t t 、， 则()12cos sin t t θθ+=-+，1232t t =-因为120t t <，所以，1212PA PB t t t t +=+=-===因此，当4πθ=时，PAPB +有最大值【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，由直线参数的几何意义求解弦长问题，属于中档题23．已知函数()22f x x x a =---，a R ∈. （1）当1a =时，解不等式()0f x >；（2）当(),2x ∈-∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|11}x x -<<（2）4a ≥【解析】（1）利用零点分段法确定分类标准，然后去绝对值号进行不等式求解. （2）根据x 的范围将()0f x <转化为22x a x ->-或22x a x -<-，再分离参数求出a 的范围. 【详解】（1）当1a =时，()0f x >即1210x x ⎧≤⎪⎨⎪+>⎩等价于：122330x x ⎧<<⎪⎨⎪-+>⎩，或210x x ≥⎧⎨-->⎩，或()22f x x x a =---解得112x -<≤或112x <<或x φ∈ 所以原不等式的解集为：{|11}x x -<<.（2）22x a x ->-所以()0f x <可化为22x a x ->-即22x a x -<-或()min 32x a ->①式恒成立等价于()max 2x a +<或()max 2x a +< ∵(),2x ∈-∞，∴a φ∈或4a ≥， ∴4a ≥. 【点睛】主要考查绝对值不等式的求解以及恒成立问题，属于中档题.绝对值不等式常用零点分段法进行求解，而恒成立问题常用分离参数法或者构造函数法进行求解.。
2020届吉林省东北师范大学附属中学高三上学期第二次模拟数学(文)试题
2019—2020学年高三年级上学期第二次摸底考试（数学）学科试卷（文）考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知31i z i -=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为( ) A. i -B. 1-C. 1D. 22.若A={{y|y B x|y ===，，则（ ） A. A=B B. A B ∅⋂= C. A B ⊆ D. B A ⊆ 3.已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( )A. 21cmB. 22cmC. 24cmD. 24cm π 4.已知,04πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭且24sin225α=-，则sin cos αα+=（ ） A. 15 B. 15- C. 75- D. 755.条件:2p x ≠或3y ≠，条件:5q x y +≠，p 是q （ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 6.若角A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，则下列等式中一定成立的是（ ）A. ()cos cos A B C +=B. ()sin sin A B C +=-C. cos sin 2A C B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭D. sin cos 22B C A += 7.设0.52a =，0.5log 0.6b =，4tan5c π=，则（ ） A. a b c <<B. c b a <<C. b c a <<D. c a b <<8.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（ ）A. B.C. D.9.如图是偶函数()()sin()0,0,0f x A x A ωφωφπ=+>><<的部分图像，KML ∆为等腰直角三角形，90KML ∠=o ，1KL =，则16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A. B. 14- C. 12- D. 10.已知ABC ∆，6AB =，3AC =，N 是边BC 上的点，且2BN NC =u u u r u u u r ，O 为ABC ∆的外心，AN AOu u u r u u u r g 的值为（ ）A. 8B. 10C. 18D. 9 11.已知函数()32log f x x =+的定义域为[]1,3，()()()22g x f x f x m =++， 若存在实数(){}123,,a a a y y g x ∈=，使得123a a a +<，则实数m 的取值范围是 A. 114m <- B. 134m <- C. 1m < D. 2m < 12.已知实数x ，y 满足()2ln 436326x y x y ex y +-+--≥+-，则x y +的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 1-二、填空题：本小题共4小题，每题5分，共20分.13.已知||1a =r ，||2b =r ，a r 与b r 夹角为60︒，则a b +r r 在a r 上的投影为 ．14.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求60ACB ︒∠=，BC 的长度大于1米，且AC 比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为____________米15.已知函数22()21f x x ax a =-+-，若关于x 不等式(())0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ．16.已知()()()2log 44,13,1a ax x x f x a xb x ⎧-+≥⎪=⎨-+≤⎪⎩对任意的实数1x ，2x 满足()()21210f x f x x x ->-，则b 的取值范围为______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知函数()222sin cos 122cos sin 22x x f x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-，函数()1y f x =-在()0,∞+上的零点按从小到大的顺序构成数列{}()N x n a n ∈．（1）求数列{}n a 通项公式；（2）设24(456)n n a b n n n π=+-，求数列{}n b 的前n 项和n S 18.已知向量,cos()a x x ωω=r ,(sin ,cos ),0b x x ωωω=->r 且函数()f x a b=⋅r r 两个对称中心之间的最小距离为2π． （I ）求()f x 解析式及π()3f 的值； （Ⅱ）若函数()1()2xg x a =+在[]0,x π∈上恰有两个零点,求实数a 的取值范围．的的19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，1AA AC =，90ACB ∠=︒.（1）求证：平面11AB C ⊥平面11A B C ；（2）若160A AC ∠=︒，22AC CB ==，求四棱锥11A BCC B -的体积.20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(2,1)M 在抛物线C ：2x ay =上，直线l ：(0)y kx b b =+≠与抛物线C 交于A ，B 两点，且直线OA ，OB 的斜率之和为-1.（1）求a 和k 的值；（2）若1b >，设直线l 与y 轴交于D 点，延长MD 与抛物线C 交于点N ，抛物线C 在点N 处的切线为n ，记直线n ，l 与x 轴围成的三角形面积为S ，求S 的最小值.21.设函数()2a 2x f x x alnx (a 0)x-=-+>． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()g a 1<．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos 4sin 4ρθρθ-=（1）若4πα=，求直线l 的极坐标方程以及曲线C 的直角坐标方程：（2）若直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，且12MN =，求直线l 的斜率．23.选修4—5：不等式选讲已知关于x 的不等式32x x m m +++≥的解集为R ．(1)求m 的最大值；(2)已知0a >，0b >，0c >，且1a b c ++=，求222234a b c ++的最小值及此时a ，b ，c 的值．。
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东北师范大学附属中学
2020届高三年级上学期第二次模拟考试
数学(文)试题
(解析版)
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知31i z i -=
-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为( ) A. i -
B. 1-
C. 1
D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数,化简复数z ,进而可得结果. 【详解】因为3(3)(1)4221(1)(1)2i i i i z i i i i --++====+--+, 所以2z i =-,故z 的虚部为1-,故选B.
【点睛】复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分.
2.若A={{y|y B x|y ===，,则（ ） A. A=B
B. A B ∅⋂=
C. A B ⊆
D. B A ⊆
【答案】C
【解析】
【分析】
先化简集合A,B,再判断集合之间的关系.
【详解】y =[-2,2],易知u=24x -的值域为[0,4]
故y =[0,2]
即A=[0,2] ,B=[-2,2] ,易得A B ⊆,故选C.
【点睛】本题考查了用描述法表示集合,考查了集合的化简与集合间的关系；集合常用的表示方法有列举法,描述法,图示法. 集合{()x y f x =}表示函数()y f x =的定义域,集合{()y y f x =}表示函数()y f x =的值域.
3.已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( )
A. 21cm
B. 22cm
C. 24cm
D. 24cm π 【答案】C
【解析】
【分析】
根据弧长公式|α|l R =
可得：圆的半径R ＝2,然后结合扇形的面积公式S 12lR =可得答案．
【详解】因为扇形的圆心角α＝2弧度,它所对的弧长l ＝4cm ,
所以根据弧长公式|α|l R
=
可得：圆的半径R ＝2, 所以扇形的面积为：S 114222lR ==⨯⨯=4cm 2； 故选C ．
【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式与扇形的面积公式,此题属于基础题型,只要认真计算并且熟练的记忆公式即可解答正确．
4.已知,04πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且24sin225α=-,则sin cos αα+=（ ） A. 15
B. 15-
C. 75-
D. 75
【答案】A。