2018中考数学专题：最短距离问题分析[1]-精选学习文档

2019深圳中考数学专题复习：最短距离问题分析最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。

利用一次函数和二次函数的性质求最值。

一、“最值”问题大都归于两类基本模型：Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。

凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。

几何模型：条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA PB+的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于点P ，则PA PB A B'+=的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P，则PB PE+的最小值是___________；（2）如图2，O⊙的半径为2，点A B C、、在O⊙上，OA OB⊥，60AOC∠=°，P是OB上一动点，求PA PC+的最小值；（3）如图3，45AOB∠=°，P是AOB∠内一点，10PO=，Q R、分别是OA OB、上的动点，求PQR△周长的最小值．解：（1）PB PE+的最小值是5DE=（2）PA PC+的最小值是23（3）PQR∆周长的最小值是102【典型例题分析】1.如图所示，正方形ABCD的面积为12，ABE△是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC 上有一点P，使PD PE+的和最小，则这个最小值为（）A．23B．26C．3 D．62．如图，抛物线2124y x x=--+的顶点为A，与y 轴交于点B．(1)求点A、点B的坐标；(2)若点P是x轴上任意一点，求证：PA-PB≤AB；(3)当PA-PB最大时，求点P的坐标.解：(1)令x=0，得y=2，∴ B(0，2) , ∵22112(2)344y x x x=--+=-++, ∴ A(-2，3)(2)证明：ⅰ.当点P是AB的延长线与x轴交点时，PA-PB=AB；ⅱ.当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时，在点P、A、B构成的三角形中，PA-PB＜AB.BOA·xyA DEPB CABA'PlABPRQ图3ABp图1ABC图2 Py O x P D B(40)A ， (02)C ，Oxy BDAC P ∴ 综合上述：PA-PB≤AB.(3)作直线AB 交x 轴于点P 由(2)可知：当PA-PB 最大时，点P 是所求的点 作AH ⊥OP 于H ∵ BO ⊥OP∴ ∠BOP=∠AHP ，且∠BPO=∠APH∴ △BOP ∽△AHP ∴AH HPBO OP = 由(1)可知：AH=3、OH=2、OB=2 即322OPOP += ∴ OP=4，∴ P(4，0) 3.如图，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为(40)(02)A C ，、，，D 为OA 的中点．设点P 是AOC∠平分线上的一个动点（不与点O 重合）． （1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 总与PD 相等；（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确定过O P D 、、三点的抛物线的解析式；（3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，PDE△的周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE △的周长； （4）设点N 是矩形OABC 的对称中心，是否存在点P ，使90CPN ∠=°？若存在，请直接写出点P 的坐标．解：（1）∵点D 是OA 的中点，∴2OD =，∴OD OC =． 又∵OP 是COD ∠的角平分线，∴45POC POD ∠=∠=°，（2）过点B 作AOC ∠的平分线的垂线，垂足为P ，点P 即为所求．易知点F 的坐标为（2，2），故2BF =，作PM BF ⊥，∵PBF △是等腰直角三角形，∴112PM BF ==， ∴点P 的坐标为（3，3）． ∵抛物线经过原点， ∴设抛物线的解析式为2y ax bx =+．又∵抛物线经过点(33)P ，和点(20)D ，， ∴有933420a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得12a b =⎧⎨=-⎩∴抛物线的解析式为22y x x =-．（3）由等腰直角三角形的对称性知D 点关于AOC ∠的平分线的对称点即为C 点．连接EC ，它与AOC ∠的平分线的交点即为所求的P 点（因为PE PD EC +=，而两点之间线段最短），此时PED △的周长最小．∵抛物线22y x x =-的顶点E 的坐标(11)-，，C 点的坐标(02)，， 设CE 所在直线的解析式为y kx b =+，则有12k b b +=-⎧⎨=⎩，解得32k b =-⎧⎨=⎩．∴CE 所在直线的解析式为32y x =-+．点P 满足32y x y x =-+⎧⎨=⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点P 的坐标为1122⎛⎫⎪⎝⎭，． PED △的周长即是102CE DE +=+． （4）存在点P ，使90CPN ∠=°．其坐标是1122⎛⎫⎪⎝⎭，或(22)，． 4.一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）．（1）求该函数的解析式；（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，BO A·xyPH y O x D B (40)A ， CP E(02)， F M求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．解：(1)将点A 、B 的坐标代入y ＝kx ＋b 并计算得k ＝－2，b ＝4．∴解析式为：y ＝－2x ＋4；(2)设点C 关于点O 的对称点为C ′，连结PC ′、DC ′，则PC ＝PC ′．∴PC ＋PD ＝PC ′＋PD ≥C ′D ，即C ′、P 、D 共线时，PC ＋PD 的最小值是C ′D ．连结CD ，在Rt △DCC ′中，C ′D ＝'22C C CD +＝22；易得点P 的坐标为(0，1)．(亦可作Rt △AOB 关于y 轴对称的△)5.已知：抛物线的对称轴为与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、()02C -，．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标． （3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 解：（1）此抛物线的解析式为224233y x x =+-（2）连结AC 、BC .因为BC 的长度一定，所以PBC△周长最小，就是使PC PB +最小.B 点关于对称轴的对称点是A 点，AC 与对称轴1x =-的交点即为所求的点P .设直线AC 的表达式为y kx b =+则302k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得232k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴此直线的表达式为223y x =--．把1x =-代入得43y =-∴P 点的坐标为413⎛⎫-- ⎪⎝⎭， （3）S 存在最大值 理由：∵DE PC ∥，即DE AC ∥．∴OED OAC △∽△． ∴OD OE OC OA =，即223m OE -=． ∴333322OE m AE OE m =-==，， 方法一：连结OP OED POE POD OED PDOE S S S S S S =-=+-△△△△四边形∵304-< ∴当1m =时，333424S =-+=最大方法二： =()22333314244m m m -+=--+∵304-< ∴当1m =时，34S =最大 6.如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点P 的坐标为4313⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，交x 轴于A 、 B 两点，交y 轴于点(03)C -，． （1）求抛物线的表达式． （2）把△ABC 绕AB 的中点E 旋转180°，得到四边形ADBC ．判断四边形ADBC 的形状，并说明理由．（3）试问在线段AC 上是否存在一点F ，使得△FBD 的周长最小，若存在，请写出点F 的坐标；若不存在，说明理由． 解：（1）由题意知（第24题图）O AC xy BE PDA C x yB O 5题图A C x yB O DO xyB E P A CxyO A F E M 'A 'M B 3 3解得33a =，233b =- ∴抛物线的解析式为2323333y x x =--（2）设点A （1x ，0），B （2x ，0），则23233033x x --=，解得1213x x =-=， ∴∣OA ∣＝1，∣OB ∣＝3．又∵tan ∠OCB ＝||3||OB OC = ∴∠OCB ＝60°，同理可求∠OCA ＝30°．∴∠ACB ＝90° 由旋转性质可知AC ＝BD ，BC ＝AD ∴四边形ADBC 是平行四边形 又∵∠ACB ＝90°．∴四边形ADBC 是矩形（3）延长BC 至N ，使CN CB =．假设存在一点F ，使△FBD 的周长最小．即FD FB DB ++最小． ∵DB 固定长．∴只要FD+FB 最小．又∵CA ⊥BN ∴FD+FB ＝FD+FN ．∴当N 、F 、D 在一条直线上时，FD+FB 最小 ． 又∵C 为BN 的中点， ∴12FC AC=（即F 为AC的中点）． 又∵A （－1，0），C （0，－3） ∴ 点F 的坐标为F （12-，32-）∴ 存在这样的点F （12-，32-），使得△FBD 的周长最小．7.如图（1），抛物线3518532+-=x x y 和y 轴的交点为M A ,为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长。