三角恒等变换
三角恒等变换所有公式
三角恒等变换所有公式
三角恒等变换是一种重要的数学思想，它是一种重要的数学变换，它可以将函数或形式转换成另一种形式。
它具有良好的几何意义，包括积分，平方，幂和三角函数。
这种变换可以帮助我们理解数学概念，解决数学问题，更好地应用数学的思想。
三角恒等变换的公式有很多种，其中最受欢迎的是“反三角变换”，它的公式如下：
反三角变换：f(x) = sinx和 cosx反三角变换是
Acos(x)+Bsin(x)。
它的反三角变换表示式是：
Acos(x)+Bsin(x) = f(x)
利用反三角变换可以将函数 f(x)换成 Acos(x)+Bsin(x)，其中A和B是任意实数。
也可以把它看成是三角函数的线性组合。
反射恒等变换：反射恒等变换是另一种常用的三角变换，它的公式是：
Csin(x)+Scos(x) = f(x)
反射恒等变换表示上式函数 f(x)以用 Csin(x)+Scos(x)表示，其中C和S是任意实数。
反射恒等变换也可以看成是三角函数的线性组合。
另外，三角恒等变换还有其他公式，例如求导公式：
f(x)=Acosx + Bsinx
反三角变换也可以应用于求积分，其求积分公式为：
F(x) = Asin(x)+Bcos(x)
F(x) =f (x) dx
上述就是三角恒等变换的所有公式，它们是数学的重要变换，有着无限的应用空间，被广泛应用在科学中和工程中。
他可以帮助我们更快地理解数学概念，解决数学问题，更好地运用数学思想。
三角恒等变换公式
2
λ 等分点：
→
→
若 p1p→ = λp→p2，其中 p1(a1, a2, ⋯, an), p2(b1, b2, ⋯, bn)（n 维坐标，特殊情况是 n = 2 或 n = 3）
则
( ) a1 + λb1 a2 + λb2
an + λbn
p = 1 + λ , 1 + λ , ⋯, 1 + λ
辅助角公式：
θ+φ θ−φ sinθ + sinφ = 2sin 2 cos 2
θ+φ θ−φ sinθ − sinφ = 2cos 2 sin 2
θ+φ θ−φ cosθ + cosφ = 2cos 2 cos 2
θ+φ θ−φ cosθ − cosφ = − 2sin 2 sin 2
Processing math: 100%
cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ tanα ± tanβ
tan(α ± β) = 1 ∓ tanαtcosα
cos2α = cos2α − sin2α = 2cos2α − 1 = 1 − 2sin2α 2tanα
tan2α = 1 − tan2α
b 其中 tanφ = a
和差化积 & 积化和差 公式：
1 sinαcosβ = 2 (sin(α + β) + sin(α − β))
1 cosαsinβ = 2 (sin(α + β) − sin(α − β))
1 cosαcosβ = 2 (cos(α + β) + cos(α − β))
1 sinαsinβ = − 2 (cos(α + β) − cos(α − β))
三角恒等变换的公式
三角恒等变换的公式
三角恒等变换是指三角形的三条边和几何形状特性保持不变，但边上的相对边角距离发生变化的一种变换。
它是一种广泛使用的几何图形变换方法，经常用于存储和显示图像信息，也用在测量、定位和制图等方面。
三角恒等变换的公式是指三个变量的线性函数，这三个变量分别为三角形的三条边长度和相对角度，最常见的公式为：
A =
B * sin (C)
B = A * sin (C)
C = arcsin (A/B)
A，B，C分别表示三角形的三条边长度，arcsin表示反正弦函数，求取三角形的边长，只需用任意一条边的值和角度，即可计算出其它两条边的值。
同时，三角恒等变换还能够帮助绘制几何形状，可以很方便的求出多边形的中心，对图像的处理具有非常重要的作用。
三角恒等变换的公式可以用来提高图像的处理速度，减少存储空间，减少计算量，加快查找速度。
它是计算机图像处理领域非常典型的计算方式，可以用它把需要处理的图像拆分成多个三角形，并利用其特性进行编码，从而缩小处理时间，提高处理效率。
(完整版)三角恒等变换公式大全,推荐文档
三角函数cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβcos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβsin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβsin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβtan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）二倍角sin（2α）=2sinα·cosα=2tan（α）/[1-tan^2（α）]cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）=[1-tan^2（α）]/[1+tan^2（α）]tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）]三倍角sin3α=3sinα-4sin^3（α）cos3α=4cos^3（α）-3cosαtan3α=（3tanα-tan^3（α））÷（1-3tan^2（α））sin3α=4sinα×sin（60-α）sin（60+α）cos3α=4cosα×cos（60-α）cos（60+α)tan3α=tanα×tan（60-α）tan（60+α）半角公式sin^2（α/2）=（1-cosα）/2cos^2（α/2）=（1+cosα）/2tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα半角变形sin^2（α/2）=（1-cosα）/2sin(a/2）=√[（1-cosα）/2] a/2在一、二象限=-√[（1-cosα）/2] a/2在三、四象限cos^2（α/2）=（1+cosα）/2cos(a/2）=√[（1+cosα）/2] a/2在一、四象限=-√[（1+cosα）/2] a/2在二、三象限tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα=√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在一、三象限=-√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在二、四象限恒等变形tan(a+π/4）=(tana+1）/（1-tana)tan(a-π/4）=(tana-1）/（1+tana)asinx+b cosx=[√（a^2+b^2）]{[a/√（a^2+b^2）]sinx+[b/√（a^2+b^2）]cosx}=[√（a^2+b^2）]sin(x+y)（辅助角公式）tan y=b/a万能代换半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]cosα=[1-tan（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]积和化差sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]sinα·sinβ= -（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]（注：留意最前面是负号）和差化积sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]内角公式sinA+sinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）cosA+cosB+cosC=1+4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCcot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1证明方法首先，在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角，则在三角形ABC中，过C作AB边垂线交AB于D 由CD=asinB=bsinA（做另两边的垂线，同理）可证明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有：AD+BD=cAD=bcosA,BD=acosB AD+BD=c代入正弦定理，可得sinC=sin（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角的情况下，可证明正弦和的公式。
三角的恒等变换
三角恒等变换公式如下：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ。
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ。
sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ。
sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ。
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)。
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)。
定号法则将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的来象垍限头樤，取三角函数的符号。
也就是“象限定号，符号看象限”（或为“奇变偶不变，符号看象限”）。
在Kπ/2中如果K为偶数时函数名不变，若为奇数时函数名变为相反的函数名。
正负号看原函数中α所在象限的正负号。
关于正负号有个口诀；一全正，二正弦，三两切，四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角，正弦为正，第三象限，正切和余切为正，第四象限，余弦为正。
或简写为“ASTC”，即“all”“sin”“tan+cot”“cos”依次为正。
还可简记为：sin上cos右tan/cot对角，即sin的正值都在x轴上方，cos的正值都在y轴右方，tan/cot 的正值斜着。
比如：90°+α。
定名：90°是90°的奇数倍，所以应取余函数；定号：将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。
所以sin（90°+α）=cosα, cos（90°+α）=-sinα这个非常神奇，屡试不爽~还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如：sin（90°+α），90°的终边在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即cos，所以sin（90°+α）=cosα。
高中数学简单的三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换学习目标1.能用二倍角公式导出半角公式2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式，并能进行一些简单的应用．知识点一 半角公式 sin α2＝±1－cos α2， cos α2＝±1＋cos α2， tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.知识点二 辅助角公式 辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ).⎝⎛⎭⎫其中tan θ＝b a1．cos α2＝1＋cos α2.( × ) 2．对任意α∈R ，sin α2＝12cos α都不成立．( × )3．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则cos α2＝63.( √ )4．对任意α都有sin α＋3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3.( √ )一、三角恒等式的证明例1 求证：1＋sin θ－cos θ1＋sin θ＋cos θ＋1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝2sin θ.证明 方法一 左边＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2＋2sin θ2cosθ22sin 2θ2＋2sin θ2cosθ2＝sinθ2cos θ2＋cos θ2sin θ2＝1cos θ2sinθ2＝2sin θ＝右边．所以原式成立．方法二 左边＝(1＋sin θ－cos θ)2＋(1＋sin θ＋cos θ)2(1＋sin θ＋cos θ)(1＋sin θ－cos θ)＝2(1＋sin θ)2＋2cos 2θ(1＋sin θ)2－cos 2θ＝4＋4sin θ2sin θ＋2sin 2θ＝2sin θ＝右边． 所以原式成立．反思感悟 三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简； (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 跟踪训练1 求证：2sin x cos x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .证明 左边＝2sin x cos x⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2＝2sin x cos x 4sin 2x 2⎝⎛⎭⎫cos 2x 2－sin 2x 2＝sin x 2sin 2x 2＝cos x 2sin x 2＝2cos 2x 22sin x 2cos x 2＝1＋cos x sin x ＝右边．所以原等式成立．二、三角恒等变换的综合问题例2 已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋ 2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8，f (x )单调递增； 当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减． 反思感悟 研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y ＝a sin x ＋b cos x 转化为y ＝A sin(x ＋φ)或y ＝A cos(x ＋φ)的形式，以便研究函数的性质．跟踪训练2 已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 三、三角函数的实际应用例3 如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大，最大值是多少？解 连接OB (图略)，设∠AOB ＝θ，则AB ＝OB sin θ＝20sin θ，OA ＝OB cos θ＝20cos θ，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 因为A ，D 关于原点对称， 所以AD ＝2OA ＝40cos θ. 设矩形ABCD 的面积为S ，则 S ＝AD ·AB ＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ. 因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以当sin 2θ＝1， 即θ＝π4时，S max ＝400(m 2)．此时AO ＝DO ＝102(m)．故当A ，D 距离圆心O 为10 2 m 时，矩形ABCD 的面积最大，其最大面积是400 m 2. 反思感悟 (1)三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用三角恒等变换的方法解决实际的优化问题．(2)解决此类问题的关键是引进角为参数，列出三角函数式．跟踪训练3 如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？解 设∠AOB ＝α，则0<α<π2，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α， ∴l ＝OA ＋AB ＋OB ＝R ＋R sin α＋R cos α ＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋R . ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4.∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ， 此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB 的周长最大．1．已知cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A.105 B ．－105 C.265 D.255答案 A解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin α2＝1－cos α2＝105. 2．若函数f (x )＝－sin 2x ＋12(x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数 答案 D解析 f (x )＝－1－cos 2x 2＋12＝12cos 2x .故选D.3．下列各式与tan α相等的是( ) A.1－cos 2α1＋cos 2αB.sin α1＋cos αC.sin α1－cos 2αD.1－cos 2αsin 2α答案 D解析 1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝sin αcos α＝tan α.4．函数y ＝－3sin x ＋cos x 在⎣⎡⎦⎤－π6，π6上的值域是________． 答案 [0，3]解析 y ＝－3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－x . 又∵－π6≤x ≤π6，∴0≤π6－x ≤π3.∴0≤y ≤ 3.5．已知sin α2－cos α2＝－15，π2<α<π，则tan α2＝________.答案 2解析 ∵⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝15， ∴1－sin α＝15，∴sin α＝45.又∵π2<α<π，∴cos α＝－35.∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝⎛⎭⎫－3545＝2.1．知识清单： (1)半角公式； (2)辅助角公式；(3)三角恒等变换的综合问题； (4)三角函数在实际问题中的应用． 2．方法归纳：换元思想，化归思想．3．常见误区：半角公式符号的判断，实际问题中的定义域．1．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( )A.1＋a 2 B.1－a2C ．－1＋a2D ．－1－a2答案 D解析 ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2. 2．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a 答案 C解析 由题意可知，a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，而当0°<x <90°，y ＝sin x 为增函数，∴a <c <b ，故选C.3．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4 答案 B解析 易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4. 4．化简⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α2得( ) A ．2＋sin α B ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4 C ．2 D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 答案 C解析 原式＝1＋2sin α2cos α2＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α2 ＝2＋sin α－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2＋sin α－sin α＝2.5．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a (a 为实常数)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－4，那么a 的值等于( )A ．4B ．－6C ．－4D ．－3 答案 C解析 f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴f (x )min ＝2·⎝⎛⎭⎫－12＋a ＋1＝－4. ∴a ＝－4.6．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________. 答案 －π6解析 因为3sin x －3cos x ＝23⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－π6.7．若θ是第二象限角，且25sin 2θ＋sin θ－24＝0，则cos θ2＝________.答案 ±35解析 由25sin 2θ＋sin θ－24＝0， 又θ是第二象限角，得sin θ＝2425或sin θ＝－1(舍去)．故cos θ＝－1－sin 2θ＝－725，由cos 2 θ2＝1＋cos θ2得cos 2 θ2＝925.又θ2是第一、三象限角， 所以cos θ2＝±35.8．化简：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x ＝________.考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值 答案 tan x2解析 原式＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x1＋cos x＝sin x 1＋cos x＝tan x2.9．已知cos θ＝－725，θ∈(π，2π)，求sin θ2＋cos θ2的值．解 因为θ∈(π，2π)， 所以θ2∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以sin θ2＝1－cos θ2＝45， cos θ2＝－1＋cos θ2＝－35， 所以sin θ2＋cos θ2＝15.10．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． 解 (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎩⎨⎧⎭⎬⎫32sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋5π12，k ∈Z .11．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最大值是( ) A ．1 B ．2 C.32 D ．3答案 C解析 f (x )＝1－cos 2x 2＋32sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤12，1， ∴f (x )max ＝1＋12＝32，故选C.12．化简：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)＝________. 答案 －1解析 原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1 ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·3sin 20°－cos 20°cos 20° ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·2sin (－10°)cos 20°＝－sin 70°cos 70°·sin 20°cos 20°＝－1.13．设0≤α≤π，不等式8x 2－8x sin α＋cos 2α≥0对任意x ∈R 恒成立，则α的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 解析 Δ＝(8sin α)2－4×8×cos 2α≤0， 即2sin 2α－cos 2α≤0，所以4sin 2α≤1， 所以－12≤sin α≤12.因为0≤α≤π，所以0≤α≤π6或5π6≤α≤π.14．函数y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是______，单调递增区间是________． 答案 π ⎝⎛⎭⎫k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z 解析 y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋sin 2x 2＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32.最小正周期T ＝2π2＝π. 令－π2＋2k π<2x －π4<π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π8＋k π<x <3π8＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．15．已知sin 2θ＝35，0<2θ<π2，则2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝________. 答案 12解析 2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝⎝⎛⎭⎫2cos 2θ2－1－sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θcos π4＋cos θsin π4 ＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－sin θcos θsin θcos θ＋1＝1－tan θtan θ＋1. 因为sin 2θ＝35，0<2θ<π2， 所以cos 2θ＝45，所以tan θ＝sin 2θ1＋cos 2θ＝351＋45＝13， 所以1－tan θtan θ＋1＝1－1313＋1＝12， 即2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12. 16.如图所示，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，B ，C 两点在圆弧上，OE 是∠POQ 的平分线，E 在PQ 上，连接OC ，记∠COE ＝α，则角α为何值时矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．解 如图所示，设OE 交AD 于M ，交BC 于N ，显然矩形ABCD 关于OE 对称，而M ，N 分别为AD ，BC的中点，在Rt △ONC 中，CN ＝sin α，ON ＝cos α，OM ＝DM tan π6＝3DM ＝3CN ＝3sin α， 所以MN ＝ON －OM ＝cos α－3sin α，即AB ＝cos α－3sin α，而BC ＝2CN ＝2sin α，故S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝()cos α－3sin α·2sin α＝2sin αcos α－23sin 2α＝sin 2α－3(1－cos 2α)＝sin 2α＋3cos 2α－ 3＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2α＋32cos 2α－ 3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－ 3. 因为0<α<π6，所以0<2α<π3，π3<2α＋π3<2π3. 故当2α＋π3＝π2，即α＝π12时，S 矩形ABCD 取得最大值， 此时S 矩形ABCD ＝2－ 3.。
三角恒等变换公式大全
三角函数之阳早格格创做cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβcos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβsin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβsin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβtan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）二倍角sin（2α）=2sinα·cosα=2tan（α）/[1-tan^2（α）]cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）=[1-tan^2（α）]/[1+tan^2（α）]tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）]三倍角sin3α=3sinα-4sin^3（α）cos3α=4cos^3（α）-3cosαtan3α=（3tanα-tan^3（α））÷（1-3tan^2（α））sin3α=4sinα×sin（60-α）sin（60+α）cos3α=4cosα×cos（60-α）cos（60+α)tan3α=tanα×tan（60-α）tan（60+α）半角公式sin^2（α/2）=（1-cosα）/2cos^2（α/2）=（1+cosα）/2tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα半角变形sin^2（α/2）=（1-cosα）/2sin(a/2）=√[（1-cosα）/2] a/2正在一、二象限=-√[（1-cosα）/2] a/2正在三、四象限cos^2（α/2）=（1+cosα）/2cos(a/2）=√[（1+cosα）/2] a/2正在一、四象限=-√[（1+cosα）/2] a/2正在二、三象限tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα=√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2正在一、三象限=-√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2正在二、四象限恒等变形tan(a+π/4）=(tana+1）/（1-tana)tan(a-π/4）=(tana-1）/（1+tana)asinx+bcosx=[√（a^2+b^2）]{[a/√（a^2+b^2）]sinx+[b/√（a^2+b^2）]cosx}=[√（a^2+b^2）]sin(x+y)（辅帮角公式）tan y=b/a万能代换半角的正弦、余弦战正切公式（落幂扩角公式）sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]cosα=[1-tan（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]积战化好sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]sinα·sinβ= -（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]（注：注意最前里是背号）战好化积sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]内角公式sinA+sinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）cosA+cosB+cosC=1+4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCcot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot （C/2）tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1 cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1说明要领最先，正在三角形ABC中，角A,B,C所对于边分别为a,b,c 若A,B均为钝角，则正在三角形ABC中，过C做AB边垂线接AB于D 由CD=asinB=bsinA（干另二边的垂线，共理）可说明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有：AD+BD=c AD=bcosA,BD=acosB AD+BD=c代进正弦定理，可得sinC=sin（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即正在A,B 均为钝角的情况下，可说明正弦战的公式.利用正弦战余弦的定义及周期性，可说明该公式对于任性角创造.于是有cos(A+B)=sin（90-A-B)=sin（90-A)cos(-B)+cos（90-A)sin（-B）=cosAcosB-sinAsinB由此易得以上局部公式。
三角恒等变换
专题三角恒等变换（一）一、诱导公式1、诱导公式（一~六）诱导公式一：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二：sin()sin παα+=-，cos()cos παα+=-，tan()tan παα+=，其中k Z ∈诱导公式三：sin()sin αα-=-，cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z ∈诱导公式四：sin()sin παα-=，cos()cos παα-=-，tan()tan παα-=-，其中k Z∈诱导公式五：sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈诱导公式六：sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，其中k Z∈2、诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α⋅±(k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号.3、用诱导公式进行化简时的注意点：（1）化简后项数尽可能的少；（2）函数的种类尽可能的少；（3）分母不含三角函数的符号；（4）能求值的一定要求值；（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．二、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤1、“负化正”：用公式一或三来转化．2、“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．3、“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．4、“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．三、利用诱导公式求值与求解解题策略1、条件求值问题的策略（1）条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．（2）将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．2、给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．3、观察互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．题型一利用诱导公式给角求值【例1】cos 210︒的值等于（）A ．12B 32C ．32D ．22-【变式1-1】35πsin 6=（）A ．12B ．12-C 32D ．32【变式1-2】计算：5π7ππ2sin2cos tan 663⎛⎫+--= ⎪⎝⎭______.题型二利用诱导公式给值求值【例2】若()4sin ,5πα+=-且α是第二象限角，则cos α=（）A ．45-B ．35-C ．35D ．45【变式2-1】设02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，若3sin ,5α=则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．35B ．45C ．35-D ．45-【变式2-2】若()4sin 5πα+=-，则3cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．45-B ．35-C ．45D ．35【变式2-3】设sin 25a ︒=，则sin 65cos115tan 205︒︒︒=（）A 221a -B ．221a -C ．2a -D ．2a题型三利用互余互补关系求值【例3】已知π3cos 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．45±B ．45C ．45-D ．35【变式3-1】已知π1sin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A ．13B．3C ．13-D．3-【变式3-2】若1sin ,63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭则2cos 3a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．13-C ．79D ．79-【变式3-3】已知cos 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a (|a |≤1)，则cos 56πθ⎛⎫+⎪⎝⎭＋sin 23πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是________.【变式3-4】已知函数()π5π10πcos 2cos 2tan 26334π4πtan 2sin 233x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）化简()f x ；（2）若()0310f x =，求00π2πsin 2cos 263x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.题型四利用诱导公式化简求值A ．sin 4cos4-B ．sin 4cos4--C ．cos 4sin 4-D ．sin 4cos 4+【变式4-1】（多选）已知角α满足sin cos 0αα⋅≠，则()()()sin πcos πsin cos k k k αααα+++∈Z 的取值可能为（）A ．2-B ．1-C ．2D ．0【变式4-2】已知α是第四象限角，且cos α=()()sin cos cos sin 22πααππαα++-=⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________.【变式4-3】（1）化简：222cos(4)cos ()sin (3)sin(4)sin(5)cos ()θπθπθπθππθθπ+++-+--（2）已知()sin 3n f n π=（n ∈Z ），求(1)f ＋(2)f ＋(3)f ＋…＋(2012)f 的值.【变式4-4】已知()()()()()3sin cos tan cos 222sin 2tan sin f πππααπαααπααππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=---+.（1）化简()f α；（2）若31cos 25πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求()f α的值.题型五三角恒等式的证明【例5】（1）求证：tan(2)sin(2)cos(6)tan 33sin()cos()22παπαπααππαα----=-++；（2）设8tan()7m πα+=，求证1513sin()3cos()37720221sin()cos()77m m ππααππαα++-+=+--+.【变式5-1】求证：232sin()cos()12212sin ()ππθθπθ-+--+＝tan(9)1tan()1πθπθ+++-．专题三角恒等变换（二）一、升（降）幂缩（扩）角公式利用余弦的二倍角公式变形可得：升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=二、半角公式（只要求推导，不要求记忆）sin2a ＝cos2a ＝sin 1cos tan.21cos sin ααααα-===+以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．sin 1cos tan ,tan 21cos 2sin αααααα-==+；2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222αααααααα-===以上两个公式称作半角正切的有理式表示．三、积化和差与和差化积公式1、积化和差1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=-++1cos sin )sin()]2αβαβαβ=+--1cos cos )cos()]2αβαβαβ=-++1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=--+2、和差化积sin sin 2sincos 22x y x yx y +-+=sin sin 2cossin 22x y x yx y +--=cos cos 2cos cos22x y x yx y +-+=cos cos 2sin 22x y x yx y +--=-四、辅助角公式对于形如sin cos a x b x +的式子，可变形如下：sin cos a x b x +sin cos x x ⎫⋅⋅的平方和为1，故令cos ϕϕ==则sin cos a x b x +)sin cos cos sin x x ϕϕ+)x ϕ+其中ϕ角所在象限由,a b 的符号确定，ϕ角的值由tan baϕ=确定，或由sin ϕ=和cos ϕ=五、万能公式22tan2sin 1tan 2ααα=+；221tan 2cos 1tan 2ααα-=+；22tan2tan 1tan 2ααα=-六、三角函数化简“三看”原则七、三角恒等变换综合应用的解题思路（1）将()f x 化为sin cos a x b x +的形式；（2）构造)cos sin ()(x ba b x ba ab a x f ⋅++⋅++=222222（3）和角公式逆用，得())f x x ϕ=+(其中φ为辅助角)；（4）利用())f x x ϕ=+研究三角函数的性质；（5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．题型一半角公式与万能公式的应用【例1】已知,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，3sin 5α=-，则tan 2α=（）A ．3B ．3-C ．13D ．13-【变式1-1】已知π3,π,sin 25αα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则cos π2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A．10B．10C．10-D．10【变式1-2】若3sin 5θ=，5π3π2θ<<，则tan cos 22θθ+=（）A．3B ．3C ．3D ．3-【变式1-3】已知()tan 3πα+=，则cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．35B ．310C ．34D 【变式1-4】若sin 11cos 2αα=+，则sin cos αα+的值为________.题型二积化和差与和差化积的应用【例2】利用和差化积公式，求下列各式的值：（1）sin15sin105︒+︒；（2）sin20sin40sin80︒+︒-︒；（3）cos40cos60cos80cos160︒+︒+︒+︒．【变式2-1】利用积化和差公式，求下列各式的值：（1）cos15cos75︒︒；（2）sin20sin40sin80︒︒︒．【变式2-2】下列关系式中正确的是（）A ．sin 5sin 32sin 8cos 2θθθθ+=B ．cos3cos52sin 4sin θθθθ-=-C ．1sin3sin5cos4cos 2θθθθ-=-D ．()()1cos cos sin sin 2x y x y x y --+=⎡⎤⎣⎦【变式2-3】若1cos cos sin sin 2x y x y +=，2sin 2sin 23x y +=，则()sin +=x y （）A ．23B ．23-C ．13D ．13-【变式2-4】求值：cos 40cos80cos80cos160cos160cos 40︒︒︒︒︒++︒.【变式2-5】在ABC 中，若30B = ，则cos sin A C 的取值范围是（）A ．[]1,1-B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦题型三辅助角公式及其应用【例3】将下列各式化成()sin A x ϕ+的形式：（1cos x x -；（2）.444x x ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【变式3-1】求下列函数的最大值和最小值：（1）1cos 2y x x =；（2）sin cos y x x =-；（3）sin y x x =+；（4）sin 22y x x =.【变式3-2】（多选）若1sin cos()22x x x ϕ+=+，则ϕ的值可能为（）A ．6π-B ．6πC ．56πD ．116π【变式3-3】已知πcos(63x -=，则πcos cos()3x x +-等于（）A B ．±C ．－1D ．1【变式3-4】已知函数2()cos 2cos f x x x x =+.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）求函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值，以及此时x 的取值.题型四三角恒等变换的化简问题【例4】化简4sin 24cos 24tan12cos12︒︒︒︒+=（）A ．1B CD ．2【变式4-1】化简()()sin5cos51︒+︒︒=（）A ．2B ．C ．2D【变式4-2】若1cos sin 222αα=，则1sin cos 14ααπα++=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．1B ．12CD．【变式4-3】若2πθπ<<，tan 3θ=-=_________．题型五三角形中的三角恒等变换【例5】在ABC ∆中，若sin cos()1sin()cos 22A B A B ππ-=--，则这个三角形是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【变式5-1】已知ABC ，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且sin sin cos cos A B A B +=+，则ABC 是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形【变式5-2】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()()2sin sin sin B C B C A +⋅-=．则△ABC的形状为()A ．正三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形。
三角恒等变换课件
解答
根据三角函数的基本关系式，我们有 $cos^2theta = 1 - sin^2theta$，代入 $sintheta = -frac{2}{3}$， 得到 $cos^2theta = 1 - left(-frac{2}{3}right)^2 = 1 - frac{4}{9} = frac{5}{9}$，所以 $costheta = sqrt{frac{5}{9}} = frac{sqrt{5}}{3}$。再根据 $tantheta = frac{sintheta}{costheta}$，得到 $tantheta = frac{-frac{2}{3}}{frac{sqrt{5}}{3}} = sqrt{frac{2}{5}} = -frac{sqrt{10}}{5}$。
举例
利用诱导公式，将cos(π/2 - x) 转换为sin(x)，通过角度的变换
简化表达式。
函数名称的变换
总结词
通过改变函数名称来简化表达式。
详细描述
在三角恒等变换中，有时可以通过改变函数名称来简化表达式。例如，将cos(x)转换为sin(-x)，或将sin(x)转换为 cos(π/2 - x)等。这种变换通常基于三角函数的性质和恒等式。
三角恒等变换课件
目录
• 三角恒等变换概述 • 三角恒等变换的基本公式 • 三角恒等变换的技巧 • 三角恒等变换的实例解析 • 三角恒等变换的习题与解答
01
三角恒等变换概述
定义与性质
定义
三角恒等变换是数学中一种重要 的变换方法，通过代数运算将一 个三角函数式转换为另一个三角 函数式。
性质
三角恒等变换具有一些重要的性 质，如线性性质、乘积性质、幂 的性质等，这些性质在变换过程 中起着重要的作用。
三角恒等变换
三角恒等变换三角恒等变换是指一系列等效的三角函数表达式之间的变换关系。
这些变换关系对于解决三角函数的各种问题非常有用。
本文将介绍三角恒等变换的基本概念、常见的恒等变换公式以及应用案例。
一、三角恒等变换的基本概念三角恒等变换是指将一个三角函数的表达式通过等效变换转化为另一个等价的表达式的过程。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。
恒等变换意味着两个表达式在任何实数取值范围内都成立，即两个表达式所代表的函数图像完全一致。
二、常见的三角恒等变换公式1. 余弦函数的恒等变换：- 余弦函数的平方与正弦函数平方的关系：cos^2θ + sin^2θ = 1。
- 余弦函数的两倍角公式：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ。
- 余弦函数的和差公式：cos(α ± β) = cosαcosβ - sinαsinβ。
2. 正弦函数的恒等变换：- 正弦函数的平方与余弦函数平方的关系：sin^2θ + cos^2θ = 1。
- 正弦函数的两倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ。
- 正弦函数的和差公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ。
3. 正切函数的恒等变换：- 正切函数的平方与余切函数平方的关系：tan^2θ + 1 = sec^2θ。
- 正切函数的两倍角公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)。
- 正切函数的和差公式：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)。
4. 余切函数的恒等变换：- 余切函数的平方与正切函数平方的关系：cot^2θ + 1 = cosec^2θ。
- 余切函数的两倍角公式：c ot(2θ) = (cot^2θ - 1) / 2cotθ。
- 余切函数的和差公式：cot(α ± β) = (cotαcotβ ± 1) / (cotβ ± cotα)。
高中三角恒等变换公式
高中三角学习中不可避免的一个重点是恒等变换公式。
这些公式可以帮助我们在解决各种三角函数的问题时，简化计算过程，提高效率。
本文将详细介绍高中三角恒等变换公式。
一、正弦、余弦恒等变换公式正弦、余弦恒等变换公式是最基本的恒等变换公式之一，它们可以用来将三角函数的某一个角度表示为另一个角度的函数形式。
具体来说，正弦恒等变换公式为：$$\sin(\pi/2 - x) = \cos(x)$$而余弦恒等变换公式为：$$\cos(\pi/2 - x) = \sin(x)$$这些公式通常用于求正弦、余弦的补角。
二、正切、余切恒等变换公式与正弦、余弦恒等变换公式类似，正切、余切恒等变换公式也可以通过将三角函数的角度表示为其他角度的函数形式简化计算。
具体来说，正切恒等变换公式为：$$\tan(\pi/2 - x) = \cot(x)$$而余切恒等变换公式为：$$\cot(\pi/2 - x) = \tan(x)$$这些公式通常用于求正切、余切的补角。
三、和差公式和差公式常常被用来化简三角函数的和差，使得它们更容易计算。
对于正弦和余弦来说，和差公式为：$$\sin(x \pm y) = \sin(x)\cos(y) \pm \cos(x)\sin(y)$$$$\cos(x \pm y) = \cos(x)\cos(y) \mp \sin(x)\sin(y)$$对于正切和余切来说，它们的和差公式则为：$$\tan(x \pm y) = \frac{\tan(x) \pm \tan(y)}{1 \mp \tan(x) \tan(y)}$$$$\cot(x \pm y) = \frac{\cot(x)cot(y) \mp 1}{\cot(y) \pm \cot(x)}$$四、倍角公式倍角公式用来表示一个角度的两倍与它自身的关系，它们在三角函数的求解中也很常用。
对于正弦和余弦，倍角公式的形式如下：$$\sin(2x)= 2\sin(x)\cos(x)$$$$\cos(2x)= \cos^2(x) - \sin^2(x)$$对于正切和余切，则分别为：$$\tan(2x)= \frac{2\tan(x)}{1- \tan^2(x)}$$$$\cot(2x)= \frac{\cot^2(x)-1}{2\cot(x)}$$五、半角公式半角公式可以表示一个角度的一半与它自身的关系，也是三角函数的量角公式之一，它的形式如下：$$\sin^2(x/2) = \frac{1-\cos(x)}{2}$$$$\cos^2(x/2) = \frac{1+\cos(x)}{2}$$$$\tan(x/2) = \frac{1-\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}$$$$\cot(x/2) = \frac{\sin(x)}{1-\cos(x)} = \frac{1+\cos(x)}{\sin(x)}$$无论是在三角函数的理论研究还是在实际应用中，上述五类高中三角恒等变换公式都是不可或缺的工具。
三角恒等变换的概念与性质
三角恒等变换的概念与性质三角恒等变换是指在三角函数中，一些等式在特定条件下的变换规律。
本文将介绍三角恒等变换的概念和一些主要的性质。
一、三角恒等变换的概念三角恒等变换是指在三角函数中，一些等式在特定条件下的变换规律。
这些变换规律可以通过一些基本的三角函数关系推导得出，也可以通过一些几何图形的性质进行证明。
三角恒等变换有助于简化复杂的三角函数表达式，也可以方便地进行求解和计算。
二、三角恒等变换的主要性质1. 互补性：三角函数可以互相补充。
例如，sin(x) = cos(90° - x)，cos(x) = sin(90° - x)。
这个性质可以通过单位圆和直角三角形的性质进行证明。
2. 周期性：三角函数具有周期性。
例如，sin(x)的周期为2π，cos(x)的周期也为2π。
这个性质可以通过单位圆和三角函数的定义进行证明。
3. 奇偶性：三角函数可以是奇函数或偶函数。
例如，sin(x)是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，cos(x)是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。
这个性质可以通过单位圆和三角函数的定义进行证明。
4. 三角函数的平方和恒等式：对于任意角度x，sin^2(x) + cos^2(x)= 1。
这个恒等式也被称为三角恒等式，其可以通过单位圆和三角函数的定义进行证明。
5. 三角函数的和差公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)，cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)。
这些和差公式可以通过单位圆和三角函数的定义进行证明。
三、三角恒等变换的应用三角恒等变换在数学和物理学中有着广泛的应用。
它们可以用于简化复杂的三角函数表达式，化简三角方程的求解过程，以及在求解物理问题中的应用。
例如，在几何学中，我们可以利用三角恒等变换将复杂的三角函数表达式转化为简单的形式，从而方便地计算不同角度下的三角函数值。
三角恒等变换万能公式
三角恒等变换万能公式
三角恒等变换（Trigonometric Identities）是指由三角函数相互组合而成的等式。
其中，最为常用的三角恒等变换是万能公式（Universal Formula），也称作Euler公式。
该公式如下：
cos²x + sin²x = 1
这个公式表明，在任何角度下，正弦（sin）和余弦（cos）的平方和等于1。
这个公式可以用来化简和证明许多其他的三角函数等式，例如：
tan x = sin x / cos x，代入万能公式可得：
sin²x / cos²x + 1 = 1 / cos²x
整理后得到：
sin²x = 1 - cos²x
这个等式被称为余弦的补充公式。
sin(-x) = -sin x，代入万能公式可得：
cos²(-x) + sin²(-x) = 1
由于cos函数是偶函数，即cos(-x) = cos x，所以上式可以改写为：
cos²x + sin²(-x) = 1
同时，由于sin函数是奇函数，即sin(-x) = -sin x，所以上式可以进一步改写为：
cos²x - sin²x = 1
这个等式被称为正弦和余弦的差公式。
通过这些等式，我们可以将三角函数的复杂计算转化为更为简单的形式，从而更加便捷地进行求解和证明。
三角恒等变换
综合练习题
● 题目：求证 sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ 解析：利用三角函数的加法公式，将左边展开，与右边进行比 较，得出结论。
● 解析：利用三角函数的加法公式，将左边展开，与右边进行比较，得出结论。
● 题目：已知 cos(α + β) = 1/3，cos(α - β) = 2/3，求 tanαtanβ 的值 解析：利用三角函数的加法公式和减法 公式，将已知条件代入，解出 tanαtanβ 的值。
公式形式：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny 公式证明：利用三角函数的和差化积公式证明 应用场景：在三角函数图像变换、求解三角函数方程等问题中广泛应用 注意事项：使用时需要注意x、y的取值范围，避免出现错误的结果
三角恒等变换的 技巧和方法
代数恒等变换方法
代数恒等变换的定义和性质
交流电分析：在交流电 的分析中，三角恒等变 换用于计算交流电的相 位和幅度，以及进行电 路分析。
振动分析：三角恒等变 换用于描述简谐振动的 合成与分解，以及分析 复杂振动的模式。
光学应用：在光学中， 三角恒等变换用于描述 光的干涉和衍射现象， 以及分析光学仪器的性 能。
三角恒等变换在实际问题中的应用
三角函数在解析几何中的应用，例如求解极坐标方程、圆和椭圆的参数方程等。
三角函数在求解微分方程中的应用，例如求解振动问题、波动问题等。 三角恒等变换在信号处理中的应用，例如傅里叶变换、拉普拉斯变换等。 三角恒等变换在复数运算中的应用，例如求解复数方程、进行复数运算等。
三角恒等变换的 注意事项和易错 点
● 解析：利用三角函数的加法公式和减法公式，将已知条件代入，解出 tanαtanβ 的值。
三角恒等变换和解三角形公式
三角恒等变换和解三角形公式三角恒等变换是指一类等式或恒等式，可以通过它们来简化或转换三角函数表达式。
这些变换可以帮助我们解决三角函数问题，并简化复杂的三角表达式。
解三角形公式是用来计算三角形各个角度和边长的公式。
下面将详细介绍三角恒等变换和解三角形公式。
一、三角恒等变换1.正弦、余弦和正切的基本恒等变换：(1) $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$，这个等式被称为三角恒等式的基本等式，它适用于所有角度。
(2) $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$，也是三角函数的基本恒等变换。
2.余弦、正切和余切的基本恒等变换：(1) $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$，也是三角函数的基本恒等变换。
3.正弦和余弦的互补恒等变换：(1) $\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta$(2) $\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta$这两个恒等变换表明，两个角度的正弦和余弦互为相反数。
4.正切和余切的互补恒等变换：(1) $\tan(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cot \theta$(2) $\cot(\frac{\pi}{2} - \theta) = \tan \theta$这两个恒等变换表明，两个角度的正切和余切互为倒数。
5.其他常用的三角恒等变换：(1) $\sin(-\theta) = -\sin \theta$(2) $\cos(-\theta) = \cos \theta$(3) $\tan(-\theta) = -\tan \theta$这些变换表明，正弦、余弦和正切函数在角度取相反数时会发生改变。
1.解直角三角形：(1)已知两个直角三角形的边长求第三边：- 斜边长：$c = \sqrt{a^2 + b^2}$- 一边长和斜边长：$b = \sqrt{c^2 - a^2}$或$a = \sqrt{c^2 -b^2}$(2)已知一个直角三角形的边长和一个角度，求其他边长和角度：- 正弦定理：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C}$- 余弦定理：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$2.解一般三角形：(1)已知三个角度的和为180度- 内角和公式：$A + B + C = 180^\circ$(2)已知一个三角形的边长和一个角度，求其他边长和角度：- 正弦定理：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C}$- 余弦定理：$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$总结：三角恒等变换是一类等式或恒等式，可以用来简化或转换三角函数表达式，包括正弦、余弦和正切的基本恒等变换、余弦、正切和余切的基本恒等变换、正弦和余弦的互补恒等变换、正切和余切的互补恒等变换，以及其他常用的变换。
三角恒等变换所有公式
三角恒等变换所有公式三角恒等变换是指三角函数之间相互转化的一系列公式，利用这些公式可以简化三角函数的计算与证明。
下面是一些常用的三角恒等变换公式（完整版）：1.倍角公式：- $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$- $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta =2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$- $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$2.半角公式：- $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}$- $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) =\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$- $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}$3.和差公式：- $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm\cos\alpha\sin\beta$- $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp\sin\alpha\sin\beta$- $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm\tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$4.二倍角公式：- $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$- $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$- $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$5.和差化积公式：- $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta))$- $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta))$- $\sin\alpha\cos\beta =\frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta))$6.积化和差公式：- $\sin\alpha+\sin\beta =2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\sin\alpha-\sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha+\cos\beta =2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$7.和差化积与积化和差的关系：- $\sin\alpha\pm\sin\beta =2\sin\left(\frac{\alpha\pm\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha \mp\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha+\cos\beta =2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$8.和差化积的平方形式：- $\sin^2\alpha+\sin^2\beta = 1 -\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$- $\cos^2\alpha+\cos^2\beta = 1 +\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$这些公式在解三角方程、化简三角函数表达式、证明三角恒等式等方面有重要应用。
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三角恒等变换一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2019·四川高三月考（文））已知sin cos 3αα+=，则sin 2α=（ ） A ．79-B ．29-C ．29D ．792．（2019·云南高三月考（理））已知51sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ） A ．79-B ．13-C ．13D ．793．（2019·云南高三月考（文））在平面直角坐标系中，角α的终边在直线12y x =-上，则2cos sin 2αα-的值为（ ）A ．2425 B ．85C ．65 D ．45 4．（2019·全国高考真题（理））已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ）A ．15 B5．若532παπ<<等于（ ） A ．cos4αB ．cos4α-C ．sin4αD ．sin4α-6．（2019·山东高三期中）已知1sin 23α=，则2πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭( ) A ．16B ．13C ．12 D ．237．（2019·黑龙江高三期中（理））22cos 51sin 40cos 40︒-︒︒的值为（ ）A ．-1B ．-2C ．1D ．28．（2018·上海市七宝中学高三月考）“2sin cos 1x x =+”是“1tan 22x =”的（ ） A ．必要非充分条件 B ．充分非必要条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件9．（2019·江西高三期中（理））已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan2α=（ ） A ．43- B ．32-C ．43D ．3210．（2019·重庆高三（理））被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比512m -=的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18︒，则2242cos 271m m -=︒-（ ） A ．4 B ．51+C ．2D ．51-二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分） 11．（2019·全国高考真题（文））函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 12．（2017·北京高一期中）函数2sin 223sin y x x =+的最小正周期T 为__________最大值为__________． 13．（2018·浙江高二月考）已知，则______；______．14．（2019·浙江高二期末）若2sin 3cos 6παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α=________；cos2=α________. 15．（2019·江西高三期中（文））若223cos 4θπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则3sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．16．（2019·上海市向明中学高一期中）已知1cos 1sin 2θθ+=，则tan 2θ=______.17．（2019·浙江高一期末）已知02πα<<，且3sin 5α=，则5tan()4απ+=______，22sin sin 2cos cos 2αααα+=+______.三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．（2019·上海高三）已知函数()(1tan )sin 2f x x x =+⋅.（1）求()f x 的定义域；（2）求函数()()2F x f x =-在区间(0,)π内的零点.19．（2019·上海市复兴高级中学高一月考）已知()()1cos cos sin sin 3αββαββ+++=322παπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，求值：（1）cos2α； （2）cot 42πα⎛⎫- ⎪⎝⎭.20．如图，以Ox 为始边作角α与(0)ββαπ<<<，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，已知点P 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求sin 2cos 211tan ααα+++的值；（2）若cos cos sin sin 0αβαβ+=，求()sin αβ+的值．21．（2019·广东高三月考（文））已知向量(cos ,sin ),(cos ,3cos )m x x n x x ==，函数1()2f x m n =⋅-.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若3,()625f ππαα∈=（，），求cos2α的值；22．（2019·安徽高三月考（理））已知函数()()2sin cos 02f x x x x ωωωω=+>图象两条相邻的对称轴间的距离为π4. （1）求ω的值；（2）将函数()f x 的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求()2019πg 的值.简单的三角恒等变换一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2019·四川高三月考（文））已知sin cos 3αα+=，则sin 2α=（ A ） A ．79-B ．29-C ．29D ．79【解析】因为sin cos 3αα+=，所以2227(sin cos )()12sin cos 399sin 2ααααα+=⇒+=-=⇒. 2．（2019·云南高三月考（理））已知51sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ D ） A ．79-B ．13-C ．13D ．79【解析】∵51sin sin 663ππαα⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴252cos 2cos 22cos 1333πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭272sin 169πα⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭，3．（2019·云南高三月考（文））在平面直角坐标系中，角α的终边在直线12y x =-上，则2cos sin 2αα-的值为（ B ）A ．2425B ．85C ．65D ．45【解析】∵在平面直角坐标系中，角α的终边在直线12y x =-上，∴1tan 2α=-，则2cos sin 2αα-=2222cos 2sin cos 12tan 8sin cos tan 15ααααααα--==++， 4．（2019·全国高考真题（理））已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ B ）A ．15 B 【解析】2sin2cos21α=α+，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin 5α∴=，5．若532παπ<<等于（ C ） A ．cos4αB ．cos4α-C ．sin4αD ．sin4α-==又532παπ<<，所以53242παπ<<所以cos 02α<，所以上式===53844παπ<<，sin 04α>，所以上式sin 4α=.6．（2019·山东高三期中）已知1sin 23α=，则2πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭( D )A ．16B ．13C ．12D ．23【解析】2π1π1π1cos cos 21cos 2424222ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1π1111112cos 2sin 2==.222222323αα⎛⎫=-+=+⨯+ ⎪⎝⎭7．（2019·黑龙江高三期中（理））22cos 51sin 40cos 40︒-︒︒的值为（ D ）A ．-1B ．-2C ．1D ．2【解析】2251102104040404024040cos cos cos sin cos sin cos sin cos ︒-︒︒==︒︒︒︒︒︒21021028010cos cos sin cos ︒︒===︒︒．8．（2018·上海市七宝中学高三月考）“2sin cos 1x x =+”是“1tan 22x =”的（ A ） A ．必要非充分条件 B ．充分非必要条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【解析】由1tan 22x =，得2sin2sin cos1sin 222tan 221cos cos 222x x xx xx x x cos ====+即2sin 1cos x x =+成立，即必要性成立，当x π=时，满足2sin cos 1x x =+但tan 2x无意义，即充分性不成立， 则“2sin cos 1x x =+”是“1tan22x =”的必要不充分条件， 9．（2019·江西高三期中（理））已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan2α=（ A ） A．- B． C．D【解析】由有sin coscos sin3(cos cossin sin )3366ππππαααα-=-+,故13sin sin 22αααα=-,合并同类型有2sin αα=, 显然cos 0α≠,所以tan 2α=-,故22tan tan 21tan 14ααα===---10．（2019·重庆高三（理））被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比12m =的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18︒=（ C ） A ．4B1C ．2D1【解析】由题意得m ＝2sin18°，∴4﹣m 2＝4﹣4sin 218°＝4（1﹣sin 218°）＝4cos 218°，4sin18cos182sin 36︒︒︒==．二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2019·全国高考真题（文））函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___4-________． 【解析】23()sin(2)3cos cos23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x π=+-=--=--+23172(cos )48x =-++，1cos 1x -≤≤，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，12．（2017·北京高一期中）函数2sin 223sin y x x =+的最小正周期T 为___π___，最大值为______23+____．【解析】∵21cos 2sin 223sin sin 223sin 23cos 232xy x x x x x -=+=+⨯=-+ π2sin 233x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴函数2sin 223sin y x x =+的最小正周期T 为π，最大值为23+，13．（2018·浙江高二月考）已知，则______；______．【解析】已知，则．，14．（2019·浙江高二期末）若2sin 3cos 6παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α=233；cos2=α___17-_____.【解析】2sin 3cos 2sin cos cos sin )3cos 666πππααααα⎛⎫+=∴+= ⎪⎝⎭，（，又2224sin cos 1,sin ,7ααα+=∴= 241cos 212sin 1277αα∴=-=-⨯=-15．（2019·江西高三期中（文））若223cos 4θπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则3sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭6． ()()222cos sin 2sin cos 32cos sin 2θθθθθθ-=+=-3sin cos 2θθ+=. 所以3sin 4πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭)2236sin cos θθ+==.16．（2019·上海市向明中学高一期中）已知1cos 1sin 2θθ+=，则tan 2θ=__2____.【解析】21cos 2cos 11sin 22sin cos tan 222θθθθθθ+===，所以tan 22θ=. 17．（2019·浙江高一期末）已知02πα<<，且3sin 5α=，则5tan()4απ+=___7___，22sin sin 2cos cos 2αααα+=+___3323___. 【解析】∵α为锐角，且sin 35α=∴cos 45α=，tan 34α=， ∴tan（54πα+）＝tan （4πα+）=311473114tan tan αα++==--， ∴222293422233255516231233125sin sin sin sin cos cos cos cos αααααααα+⨯⨯++===+-⨯-.. 三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．（2019·上海高三）已知函数()(1tan )sin 2f x x x =+⋅.（1）求()f x 的定义域；（2）求函数()()2F x f x =-在区间(0,)π内的零点. 【解析】（1）由正切函数的性质可求f （x ）的定义域为：{|}2x x R x k k Z ππ∈≠+∈，，；（2）∵f （x ）＝（1sinx cosx +）•2sin x cos x ＝sin2x +2sin 2x ＝sin2x ﹣cos2x+1=（2x 4π-）+1， ∴F （x ）＝f （x ）﹣2=（2x 4π-）﹣1＝0， 解得：2x 4π-=2k π4π+，或2x 4π-=2k π34π+，k ∈Z，即：x ＝k π4π+，或x ＝k π2π+，k ∈Z，又x ∈（0，π），∴k ＝0时，x 4π=或x 2π=，又f （x ）的定义域为：{|}2x x R x k k Z ππ∈≠+∈，，故F （x ）在（0，π）内的零点为4x π=．19．（2019·上海市复兴高级中学高一月考）已知()()1cos cos sin sin 3αββαββ+++=322παπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，求值：（1）cos2α；（2）cot 42πα⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】（1）因为()()1cos cos sin sin 3αββαββ+++=， 所以()1cos 3αβα+-=，即1cos 3α=，所以27cos 22cos 19αα=-=-，（2）因为322παπ<<，1cos 3α=所以可得222sin 1cos 3αα=--=-， 所以cos 2cot sin 4ααα==-，所以2tan cot 24παα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭得：22tan 242tan 241tan 42παπαπα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-==- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭， 22tan 8tan 204242παπα⎛⎫⎛⎫----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以可得tan 22342πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，或tan 22342πα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭因为322παπ<<，所以34422ππαπ-<-<- 故tan 042πα⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以tan 22342πα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭， 所以1cot 32242tan 42παπα⎛⎫-==- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭. 20．如图，以Ox 为始边作角α与(0)ββαπ<<<，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，已知点P 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求sin 2cos 211tan ααα+++的值； （2）若cos cos sin sin 0αβαβ+=，求()sin αβ+的值．【解析】（1）由三角函数定义得3cos 5α=-，4sin 5α，∴原式2222sin cos 2cos 2cos (sin cos )3182cos 2sin sin cos 5251cos cos αααααααααααα++⎛⎫====⨯-= ⎪+⎝⎭+． （2）∵cos cos sin sin cos()0αβαβαβ+=-=，且0βαπ<<<，∴2παβ-=，2πβα=-，∴3sin sin cos 25πβαα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，4cos cos sin 25πβαα⎛⎫=-== ⎪⎝⎭．∴44337sin()sin cos cos sin 555525αβαβαβ⎛⎫+=+=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭．21．（2019·广东高三月考（文））已知向量(cos ,sin ),(cos ,3cos )m x x n x x ==，函数1()2f x m n =⋅-. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若3,()625f ππαα∈=（，），求cos2α的值；【解析】（1）21()cos cos 2f x x x x =+-，1cos 212222x x +=+-12cos 22x x =+sin(2)6x π=+∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==. （2）3()sin(2)65f παα=+=，,62ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，72,626ππαπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭ 4cos(2)65πα+=-∴，cos2cos 266ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=cos(2)cos sin(2)sin 6666ππππαα+++431=552-⨯22．（2019·安徽高三月考（理））已知函数())2sin cos 0f x x x x ωωωω=-+>图象两条相邻的对称轴间的距离为π4. （1）求ω的值；（2）将函数()f x 的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求()2019πg 的值.【解析】（1）()2sin cos f x x x x ωωω=-+1sin 22x ω=-+1sin 222x x ωω=+πsin 23x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 又函数()f x 图象两条相邻的对称轴间的距离为π4，0>ω，所以π2π242ω⨯=，即2ω=. （2）由(1)可知，()πsin 43f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.将函数()f x 的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度后，得到函数πsin[4()]sin(4)cos 483323y x x x ππππ⎛⎫=++=++=+ ⎪⎝⎭的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标变为到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()πcos 23g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，所以()π2019πcos 22019π3g ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭πcos 3=12=.。