2011年高考一轮数学复习 9-4空间的角理 同步练习(名师解析)

第9章 第4节 知能训练·提升考点一：异面直线所成的角1．(2010·郑州第一次质检)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为棱DC 的中点，则D 1P 与BC 1所在直线所成角的余弦值等于( )A.45B.105C.12D.510解析：过C 1作D 1P 的平行线交DC 的延长线于点F ，连接BF ，则∠BC 1F 或其补角等于异面直线D 1P 与BC 1所成的角．设正方体的棱长为1，由P 为棱DC 的中点，则易得BC 1＝2，C 1F ＝12＋(12)2＝52，BF ＝12＋(12)2＝52.在△BC 1F 中，cos BC 1F ＝(2)2＋(52)2－(52)22×2×52＝105，选B.答案：B2．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝AA 1＝2，点D 是A 1C 1的中点，则异面直线AD 和BC 1所成角的大小为________．解析：如图所示，取AC 中点D 1，连结C 1D 1，易知AD ∥C 1D 1，则异面直线AD 与BC 1所成角的大小等于C 1D 1与BC 1所成角的大小．易得C 1D 1＝6，BC 1＝22，BD 1＝2，在△BC 1D 1中，由余弦定理得cos ∠BC 1D 1＝C 1D 21＋BC 21－BD 212C 1D 1·BC 1＝32.所以∠BC 1D 1＝30°. 答案：30°考点二：直线与平面所成的角3．在二面角为45°的一平面内有一条直线与二面角的棱成45°角，则此直线与二面角的另一个面所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析：解法一：由于45°的二面角的一平面内一条直线与二面角的棱成45°角，根据最小角定理，则此直线与二面角的另一个面所成的角小于45°.解法二：如图α－l －β成45°角，∠BAC ＝45°，∠BCO ＝45°为二面角的平面角．BO ⊥α，设OB ＝OC ＝1，则BC ＝2，AO ＝3，tan ∠BAO ＝BO AO ＝33，∠BAO ＝30°.答案：A 4．(2009·东北三校第一次联考)正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱长都为2，E 、F 、G 分别为AB 、AA 1、A 1C 1的中点，则B 1F 与面GEF 所成角的正弦值为( )A.35B.56C.3310D.3610解析：如图，取AC 的中点D ，连接GD 、DE ，设B 1到面GEF 的距离为h .B 1F ＝A 1F 2＋A 1B 21＝12＋22＝5，同理B 1E ＝5，FG ＝FE ＝12＋12＝2，GE ＝ED 2＋GD 2＝12＋22＝5， S △EFB 1＝S 四边形ABB 1A 1－S △EBB 1－S △FB 1A 1－S △AEF＝4－1－1－12＝32，G 到直线A 1B 1的距离即为点G 到平面EFB 1的距离，易求为32.S △EFG ＝154，VG －EFB 1＝VB 1－EFG ，∴13×32×32＝13×h ×154⇒h ＝35， 所求的正弦值为h B 1F ＝35，所以选A.答案：A5．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝AB ＝2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点．艳荡芦花湾/s2460/ 奀莒咾(1)求证：PB ⊥DM ；(2)求CD 与平面ADMN 所成的角．解：解法一：(1)证明：因为N 是PB 的中点，P A ＝AB ，所以AN ⊥PB . 因为AD ⊥平面P AB ，所以AD ⊥PB . 从而PB ⊥平面ADMN .因为DM ⊂平面ADMN ，所以PB ⊥DM .(2)取AD 的中点G ，连结BG 、NG ，则BG ∥CD .所以BG 与平面ADMN 所成的角和CD 与平面ADMN 所成的角相等． 因为PB ⊥平面 ADMN ，所以∠BGN 就是CD 与平面ADMN 所成的角．在Rt △BGN 中，sin ∠BGN ＝BN BG ＝105.故CD 与平面ADMN 所成的角是arcsin 105.解法二：如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A －xyz ，设BC ＝1，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，B (2,0,0)，C (2,1,0)，M (1，12，1)，D (0,2,0)．(1)证明：因为PB →·DM →＝(2,0，－2)·(1，－32，1)＝0，所以PB ⊥DM .(2)因为PB →·AD →＝(2,0，－2)·(0,2,0)＝0，所以PB ⊥AD .又因为PB ⊥DM ，所以PB ⊥平面ADMN .因为〈PB →，DC →〉的余角即是CD 与平面ADMN 所成的角．因为cos 〈PB →，DC →〉＝PB →·DC →|PB →||DC →|＝105，所以CD 与平面ADMN 所成的角为arcsin 105.考点三：二面角6．(2010·衡阳第一次联考)矩形ABCD 的两边AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝435，则二面角A －BD －P 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：如图作AE ⊥BD 于E ，连接PE ，则∠PEA 为所求，AE ＝3×45＝125，tan ∠PEA ＝P A AE ＝33，∴∠PEA ＝30°.答案：A7．如图所示，在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后的BD ＝1，则二面角B －AC －D 的余弦值为()A.13B.12C.223D.32解析：在原图中连结AC 与BD 交于O 点，则AC ⊥BD ，在折起后的图中，由四边形ABCD 为菱形且边长为1，则DO ＝OB ＝32，由于DO ⊥AC ，因此∠DOB 就是二面角B －AC －D 的平面角，由BD ＝1，得cos ∠DOB ＝OD 2＋OB 2－DB 22OD ·OB ＝34＋34－12·32·32＝13，故选A.答案：A8．如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 是PB 的中点．(1)证明：面P AD ⊥面PCD ； (2)求AC 与PB 所成的角；(3)求AMC 与面BMC 所成二面角的大小．解：解法一：(1)证明：∵P A ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ， ∴由三垂线定理得CD ⊥PD .因而，CD 与面P AD 内两条相交直线AD 、PD 都垂直， ∴CD ⊥面P AD .又CD ⊂面PCD ，∴面P AD ⊥面PCD . (2)如图(1)，过点B 作BE ∥CA ，且BE ＝CA ， 则∠PBE 是AC 与PB 所成的角．连结AE ，可知AC ＝CB ＝BE ＝AE ＝2，又AB ＝2， ∴四边形ACBE 为正方形．，由P A ⊥面ABCD 得∠PEB ＝90°. 在Rt △PEB 中，BE ＝2，PB ＝5，∴cos ∠PBE ＝BE PB ＝105，∴AC 与PB 所成的角为arccos105. (3)作AN ⊥CM ，垂足为N ，连结BN .在Rt △P AB 中，AM ＝MB ，又AC ＝CB ＝2， ∴△AMC ≌△BMC .∴BN ⊥CM ，故∠ANB 为所求二面角的平面角． ∵CB ⊥AC ，∴可由三垂线定理，得CB ⊥PC ， 在Rt △PCB 中，∵CM ＝MB ，∴CM ＝AM ＝12PB ＝52.在等腰三角形AMC 中，∵AN ·MC ＝CM 2－(AC2)2·AC ，∴AN ＝32×252＝65.∵AB ＝2，∴cos ∠ANB ＝AN 2＋BN 2－AB 22×AN ×BN ＝－23.故所求的二面角为π－arccos 23.解法二：因为P A ⊥AD ，P A ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点，AD 的长为单位长度，建立空间直角坐标系，如图(2)，则相应各点的坐标为A (0,0,0)、B (0,2,0)、C (1,1,0)、D (1,0,0)、P (0,0,1)、M (0,1，12)．(1)证明：∵AP →＝(0,0,1)，DC →＝(0,1,0)， 故AP →·DC →＝0，∴AP ⊥DC . 又由题设知AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面P AD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面P AD . 又DC 在面PCD 内，故P AD ⊥面PCD .(2)∵AC →＝(1,1,0)，PB →＝(0,2，－1)， 故|AC →|＝2，PB →＝5，AC →·PB →＝2，∴cos 〈AC →，PB →〉＝AC →·PB →|AC →|·|PB →|＝105.由此得AC 与PB 所成的角为arccos 105.(3)在MC 上取一点N (x ，y ，z )，则存在λ∈R ，使NC →＝λMC →，NC →＝(1－x,1－y ，－z )，MC→＝(1,0，－12)，∴x ＝1－λ，y ＝1，z ＝12λ.要使AN ⊥MC ，只需AN →·MC →＝0，即x －12z ＝0，解得λ＝45.可知当λ＝45时，N 点坐标为(15，1，25)，能使AN →·MC →＝0.此时，AN →＝(15，1，25)，BN →＝(15，－1，25)，∴BN →·MC →＝0.由AN →·MC →＝0，BN →·MC →＝0得 AN ⊥MC ，BN ⊥MC .∴∠ANB 为所求二面角的平面角．∵|AN →|＝305，|BN →|＝305，AN →·BN →＝－45.∴cos 〈A N →，BN →〉＝AN →·BN →|AN →|·|BN →|＝－23.故所求的二面角为π－arccos 23.1.(2009·浙江)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析：过A 作AE ⊥BC 于点E ，则易知AE ⊥面BB 1C 1C ，则∠ADE 即为所求，又tan ∠ADE ＝AEDE＝3，故∠ADE ＝60°.故选C. 答案：C 2．(2009·重庆)已知二面角α－l －β的大小为50°，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 解析：由α－l －β的大小为50°，可知两平面法向量夹角为130°，又直线与平面所成的角相等且为25°，即等价于直线与法向量的夹角相等且为65°.故题意等价于过空间一点P 与成50°的两异面直线的夹角都为65°的直线条数，有3条．故选B.答案：B 3．(2009·全国卷Ⅰ)如图，四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，AD ＝2，DC ＝SD ＝2.点M 在侧棱SC 上，∠ABM ＝60°.(1)证明：M 是侧棱SC 的中点；(2)求二面角S －AM －B 的大小．解：解法一：(1)证明：作ME ∥CD 交SD 于点E ，则ME ∥AB ，ME ⊥平面SAD . 连结AE ，则四边形ABME 为直角梯形．作MF ⊥AB ，垂足为F ，则四边形AFME 为矩形．设ME ＝x ，则SE ＝x ，AE ＝ED 2＋AD 2＝(2－x )2＋2，MF ＝AE ＝(2－x )2＋2，FB ＝2－x . 由MF ＝FB ·tan60°，得(2－x )2＋2＝3(2－x )，解得x ＝1，即ME ＝1，从而ME ＝12DC .所以M 为侧棱SC 的中点． (2)MB ＝BC 2＋MC 2＝2， 又∠ABM ＝60°，AB ＝2， ∴△ABM 为等边三角形． 又由(1)知M 为SC 中点，SM ＝2，SA ＝6，AM ＝2，故SA 2＝SM 2＋AM 2，∠SMA ＝90°.取AM 中点G ，连接BG ，取SA 中点H ，连接GH ，则BG ⊥AM ，GH ⊥AM . 由此知∠BGH 为二面角S －AM －B 的平面角． 连接BH .在△BGH 中，BG ＝32AM ＝3，GH ＝12SM ＝22，BH ＝AB 2＋AH 2＝222，∴cos ∠BGH ＝BG 2＋GH 2－BH 22·BG ·GH ＝－63.二面角S －AM －B 的大小为arccos(－63)．解法二：(1)证明：以D 为坐标原点，射线DA 、DC 、DS 分别为x 、y 、z 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D －xyz .设A (2，0,0)，则B (2，2,0)，C (0,2,0)，S (0,0,2)． 设SM →＝λMC →(λ＞0)，则M (0，2λ1＋λ，21＋λ)，MB →＝(2，21＋λ，－21＋λ)．又AB →＝(0,2,0)，〈MB →，AB →〉＝60°， 故MB →·AB →＝|MB →|·|AB →|cos60°，即41＋λ＝(2)2＋(－21＋λ)2＋(21＋λ)2， 解得λ＝1，即SM →＝MC →. 所以M 为侧棱SC 的中点．(2)由M (0,1,1)，A (2，0,0)，得AM 的中点G (22，12，12)． 又GB →＝(22，32，－12)，MS →＝(0，－1,1)，AM →＝(－2，1,1)，GB →·AM →＝0，MS →·AM →＝0，所以GB →⊥AM →，MS →⊥AM →.因此〈GB →，MS →〉等于二面角S －AM －B 的平面角．cos 〈GB →，MS →〉＝GB →·MS →|GB →||MS →|＝－63.所以二面角S －AM －B 的大小为arccos(－63)．4．(2009·全国卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1.(1)证明：AB ＝AC ；(2)设二面角A －BD －C 为60°，求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小．解：解法一：(1)证明：取BC 的中点F ，连结EF ，则EF 綊12B 1B ，从而EF 綊DA .连结AF ，则ADEF 为平行四边形，从而AF ∥DE . 又DE ⊥平面BCC 1，故AF ⊥平面BCC 1，从而AF ⊥BC ，即AF 为BC 的垂直平分线，所以AB ＝AC .(2)作AG ⊥BD ，垂足为G ，连结CG . 由三垂线定理知CG ⊥BD ，故∠AGC 为二面角A －BD －C 的平面角． 由题设知∠AGC ＝60°.设AC ＝2，则AG ＝23.又AB ＝2，BC ＝22，故AF ＝ 2.由AB ·AD ＝AG ·BD 得2AD ＝23·AD 2＋22，解得AD ＝2，故AD ＝AF .又AD ⊥AF ，所以四边形ADEF 为正方形． 因为BC ⊥AF ，BC ⊥AD ，AF ∩AD ＝A ，故BC ⊥平面DEF ，因此平面BCD ⊥平面DEF .连结AE 、DF ，设AE ∩DF ＝H ，则EH ⊥DF ，EH ⊥平面BCD . 连结CH ，则∠ECH 为B 1C 与平面BCD 所成的角． 因ADEF 为正方形，AD ＝2，故EH ＝1，又EC ＝12B 1C ＝2，所以∠ECH ＝30°，即B 1C 与平面BCD 所成的角为30°.解法二：(1)证明：以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A －xyz ，设B (1,0,0)，C (0，b,0)，D (0,0，c )，则B 1(1,0,2c )，E (12，b2，c )．于是DE →＝(12，b 2，0)，BC →＝(－1，b,0)．由DE ⊥平面BCC 1知DE ⊥BC ， DE →·BC →＝0，求得b ＝1， 所以AB ＝AC .(2)设平面BCD 的法向量AN →＝(x ，y ，z )，则AN →·BC →＝0，AN →·BD →＝0. 又BC →＝(－1,1,0)，BD →＝(－1,0，c )． 故⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋cz ＝0.令x ＝1，则y ＝1，z ＝1c ，AN →＝(1,1，1c )．又平面ABD 的法向量AC →＝(0,1,0)．由二面角A －BD －C 为60°知，〈AN →，AC →〉＝60°，故AN →·AC →＝|AN →|·|AC →|·cos60°，求得c ＝12.于是AN →＝(1,1，2)，CB 1→＝(1，－1，2)，cos 〈AN →，CB 1→〉＝AN →·CB 1→|AN →|·|CB 1→|＝12，〈AN →，CB 1→〉＝60°，所以B 1C 与平面BCD 所成的角为30°.1.如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12.(1)求平面SCD 与平面SBA 所成的二面角的大小； (2)求SC 与平面ABCD 所成的角．解：解法一：(1)延长CD ，使之交BA 的延长线于M 点． 连结SM ，则平面SCD ∩平面SAB ＝SM ， ∵SA ⊥面ABC ，SA ＝AB ， ∴∠SBA ＝45°.又∵AD ＝12BC ＝12，∴AD 为三角形MBC 的中位线，∴AM ＝AB ＝1， ∴∠SMA ＝45°，∴∠BSM ＝90°， 即SB ⊥SM .又BC ⊥AB ，BC ⊥SA ，∴BC ⊥平面SMB ，∴SC ⊥SM .∴∠CSB 为平面SCD 与平面SAB 的平面角． ∵SB ＝AB 2＋SA 2＝2，∴tan ∠CSB ＝12，∴∠CSB ＝arctan 22.∴平面SCD 与平面SAB 所成的角为arctan22. (2)连结AC ，则∠ACS 为SC 与平面ABCD 所成的角， ∴cos ∠SCB ＝cos ∠SCA ·cos ∠ACB ， ∵Rt △CBS 中，SC ＝3，∴cos ∠SCB ＝BC SC ＝13，cos ∠ACB ＝cos45°＝22，∴cos ∠SCA ＝cos ∠SCB cos ∠ACB ＝1322＝63.∴SC 与平面ABCD 所成的角为arccos 63.解法二：(1)∵AD 、AB 、AS 是三条两两互相垂直的线段，故以A 为原点，以AD →、AB →、AS →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系，则A (0,0,0)，D (12，0,0)，C (1,1,0)，S (0,0,1)．AD →＝(12，0,0)是平面SAB 的法向量，设平面SCD 的法向量n ＝(1，λ，u )，则n ·DC →＝(1，λ，u )·(12，1,0)＝12＋λ＝0，∴λ＝－12，n ·DS →＝(1，λ，u )·(－12，0,1)＝－12＋u ＝0，∴u ＝12，∴n ＝(1，－12，12)．若以θ表示欲求二面角的值，则cos θ＝cos 〈AD →，n 〉，AD →·n ＝12·|AD →|＝12，|n |＝1＋(－12)2＋(12)2＝32，∴cos θ＝AD →·n |AD →|·|n |＝121232＝23，sin θ＝13，∴tan θ＝sin θcos θ＝12＝22，∴θ＝arctan 22.即所求二面角为arctan 22.(2)∵AS →是平面ABCD 的法向量，先求CS →与AS →之间的夹角φ. ∵CS →＝CB →＋BA →＋AS →，∴AS →·CS →＝AS →·(CB →＋BA →＋AS →)＝AS →·AS →＝1， |AS →|＝1， |CS →|＝|CB →|2＋|BA →|2＋|AS →|2 ＝1＋1＋1＝3，∴cos φ＝AS →·CS →|AS →||CS →|＝13＝33，∴φ＝arccos 33.从而CS 与平面ABCD 所成的角为π2－arccos 33.专题三 数列、推理与证明(时间∶120分钟 满分∶160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝18，S 20＝24，则S 40等于________． 2．在等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于________．3．已知等比数列{}a n 中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8的值为________．4．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若{a n }的前n 项和为24，则n 为________．5．(2010·江苏)函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．6．数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若S n ＝2a n －1，则a n ＝________.7．(2010·浙江)设n ≥2，n ∈N ，(2x ＋12)n －(3x ＋13)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，将|a k |(0≤k ≤n )的最小值记为T n ，则T 2＝0，T 3＝123－133，T 4＝0，T 5＝125－135，…，T n ，…，其中T n ＝_____________.8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于________．9．若数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n ＋13(n ∈N *)，则a n ＝_____________.10.设数列{a n }满足a 1+2a 2=3，点P n （n,a n ）对任意的n ∈N *，都有1+n n P P =（1，2），则数列{a n }的前n 项和S n = .11．已知数列{a n }满足a 1＝1，且对于任意的正整数n 都有a n ＋1＝2a n2＋a n，请写出它的一个通项公式为_____________．12．已知{a n }是递增数列，且对任意n ∈N *都有a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是____________________．13．对正整数n ，设曲线y ＝x n(1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和的公式是S n ＝________.14．(2010·天津)设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．记T n ＝17S n －S 2na n ＋1，n ∈N *.设0n T 为数列{T n }的最大项，则n 0＝________.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求a n 的表达式．16．(14分)在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50.(1)求数列{a n }的通项a n ； (2)令b n ＝102n a -，证明：数列{b n }为等比数列；(3)求数列{nb n }的前n 项和T n . 17．(14分)在数列{a n }中，a n ＝4n －1＋n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)求证：不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N *皆成立． 18.(16分)设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≤b n ＋1(n ∈N *)；②b n ≤M (n ∈N *，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界”数列．(1)若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 3＝4，S 3＝18，求S n ； (2)判断(1)中的数列{S n }是否为“特界”数列，并说明理由． 19．(16分)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n＋1(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n －2n}为等差数列；(2)设数列{b n }满足b n ＝log 2(a n ＋1－n )，若(1＋1b 2)(1＋1b 3)(1＋1b 4) (1)1b n)>k n ＋1对一切n ∈N *且n ≥2恒成立，求实数k 的取值范围．20．(16分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n n )在直线y ＝12x ＋112上．数列{b n }满足b n＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)，b 3＝11，且其前9项和为153. (1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设c n ＝3 2a n －11 2b n －1 ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n >k57对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值． 答案1.8032.323.3＋2 24.6245.216.2n －17.⎩⎪⎨⎪⎧0 n 为偶数 12n －13n n 为奇数 8.19.⎩⎪⎨⎪⎧23， n ＝1.13n， n ≥2，n ∈N *.10.n (n －43) 11.a n ＝2n ＋112.(－3，＋∞)13．2n ＋1－2 14.415．(1)证明 ∵a n ＝－2S n S n －1，∴S n －S n －1＝－2S n S n －1(n ≥2)，S n ≠0(n ＝1,2,3，…)， ∴1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列．(2)解 由(1)得1S n ＝2＋2(n －1)＝2n ，∴S n ＝12n ，∴n ≥2时，a n ＝－2S n S n －1＝－12n n －1 .又当n ＝1时，S 1＝a 1＝12，∴a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12n ＝1 ，－12n n －1 n ≥2 .16．(1)解 由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30a 1＋19d ＝50，解得a 1＝12，d ＝2.∴a n ＝12＋(n －1)·2＝2n ＋10. (2)证明 由(1)得b n ＝102n a -＝22n ＋10－10＝22n ＝4n，∴b n ＋1b n ＝4n ＋14n ＝4， ∴{b n }是首项是4，公比为4的等比数列．(3)解 由nb n ＝n ×4n 得：T n ＝1×4＋2×42＋…＋n ×4n， 4T n ＝1×42＋…＋(n －1)×4n ＋n ×4n ＋1，相减可得：－3T n ＝4＋42＋ (4)－n ×4n ＋1＝4 1－4n－3－n ×4n ＋1，化简得T n ＝3n －1 ×4n ＋1＋49.所以数列{nb n }的前n 项和T n ＝3n －1 ×4n ＋1＋49.17．(1)解 因为数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1＋n ，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝1× 1－4n 1－4＋n n ＋12＝4n－13＋n n ＋1 2(n ∈N *)．(2)证明 对于任意n ∈N *，S n ＋1－4S n ＝4n ＋1－13＋ n ＋1 n ＋2 2－4[4n－13＋n n ＋12]＝－12(3n 2＋n －4)＝－12(3n ＋4)(n －1)．因n ≥1且n ∈N *时，3n ＋4>0，n －1≥0， 所以－12(3n ＋4)(n －1)≤0，即S n ＋1≤4S n .即不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N *均成立．18．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝4,3a 1＋3d ＝18，解得a 1＝8，d ＝－2，∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝－n 2＋9n .(2)由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝ S n ＋2－S n ＋1 － S n ＋1－S n2＝a n ＋2－a n ＋12＝d2＝－1<0， 得S n ＋S n ＋22<S n ＋1，故数列{S n }适合条件①.而S n ＝－n 2＋9n ＝－(n －92)2＋814(n ∈N *)，则当n ＝4或5时，S n 有最大值20，即S n ≤20，故数列{S n }适合条件②. 综上，数列{S n }是“特界”数列．19．(1)证明 由a n ＋1＝a n ＋2n＋1，变形得：a n ＋1－2n ＋1＝(a n ＋2n －2n ＋1)＋1，即a n ＋1－2n ＋1＝[a n －2n(2－1)]＋1，所以(a n ＋1－2n ＋1)－(a n －2n)＝1，故数列{a n －2n}是以a 1－2＝0为首项，1为公差的等差数列．(2)解 由(1)得a n －2n＝n －1， 所以b n ＝log 2(a n ＋1－n )＝n .设f (n )＝(1＋1b 2)(1＋1b 3)(1＋1b 4)·…·(1＋1b n)×1n ＋1(n ≥2，n ∈N *)， 则f (n ＋1)＝(1＋1b 2)(1＋1b 3)(1＋1b 4)·…·(1＋1b n )(1＋1b n ＋1)×1n ＋2，两式相除得f n ＋1 f n ＝(1＋1b n ＋1)×n ＋1n ＋2＝n ＋2n ＋1×n ＋1n ＋2＝n ＋2n ＋1>1.所以f (n )是关于n 的单调递增函数，则f (n )min ＝f (2)＝32×13＝32.所以k 的取值范围为(－∞，32)． 20．解 (1)由已知，得S n n ＝12n ＋112，∴S n ＝12n 2＋112n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋112n －12(n －1)2－112(n －1)＝n ＋5；当n ＝1时，a 1＝S 1＝6也符合上式．∴a n ＝n ＋5. 由b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)知，{b n }是等差数列， 由{b n }的前9项和为153，可得9 b 1＋b 92＝153，求得b 5＝17，又b 3＝11， ∴{b n }的公差d ＝b 5－b 32＝3.∴b n ＝3n ＋2.(2)c n ＝3 2n －1 6n ＋3 ＝12(12n －1－12n ＋1)．∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)． ∵n 增大，T n 增大，∴{T n }是递增数列． ∴T n ≥T 1＝13.T n >k 57对一切n ∈N *都成立，只要T 1＝13>k57，∴k <19.则k max ＝18.。