27.2.1相似三角形的判定(第2课时).ppt

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27.2.1 第2课时相似三角形的判定定理1,2

27.2.1 第2课时相似三角形的判定定理1,2在数学的奇妙世界中，相似三角形是一个非常重要的概念。

今天，咱们就来深入探讨一下 2721 第 2 课时中相似三角形的判定定理 1 和 2。

首先，咱们得明白啥是相似三角形。

简单说，就是形状相同但大小不一定一样的三角形。

那怎么判断两个三角形相似呢？这就用到咱们要讲的判定定理啦。

判定定理 1 说的是：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

为了更好地理解这个定理，咱们来举个例子。

比如说有三角形 ABC 和三角形 A'B'C'，AB 与 A'B'的比值等于 AC 与 A'C'的比值，而且角 A和角 A'相等。

这时候，咱们就可以断定三角形 ABC 和三角形 A'B'C'是相似的。

那这个定理有啥用呢？用处可大啦！在解决很多几何问题的时候，如果能发现两个三角形的边成比例并且夹角相等，就能很快得出它们相似的结论，进而可以利用相似三角形的性质来求解其他相关的问题。

比如说，已知一个三角形的边长和角度，又知道另一个三角形的两条边和它们的夹角，通过判定定理 1 确定它们相似，就能求出未知边的长度或者角度。

接下来，咱们再看看判定定理 2 。

它说的是：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

这个定理理解起来也不难。

比如说还是三角形 ABC 和三角形A'B'C'，AB 与 A'B'的比值、AC 与 A'C'的比值以及 BC 与 B'C'的比值都相等，那这两个三角形就是相似的。

在实际应用中，判定定理 2 能帮助我们在只知道三角形边长比例关系的情况下，迅速判断它们是否相似。

比如说，在一个复杂的图形中，给出了多个三角形的边长信息，通过计算边长的比例，就能利用判定定理 2 来找出相似的三角形，从而简化问题的解决过程。

27.2.1 第2课时三边成比例的两个三角形相似

27.2.1 相似三角形的判定第2课时三边成比例的两个三角形相似1．理解“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法；(重点)2．会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题．一、情境导入我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等，对应边是否成比例．那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？在如图所示的方格上任画一个三角形，再画第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？二、合作探究探究点：三边对应成比例的两个三角形相似【类型一】直接利用定理判定两个三角形相似在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，在Rt △EDF 中，∠F ＝90°，DF＝3，EF ＝4，则△ABC 和△EDF 相似吗？为什么？解析：已知△ABC 和△EDF 都是直角三角形，且已知两条边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边的长，看对应边是否对应成比例．解：△ABC ∽△EDF .在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝6，∠C ＝90°，由勾股定理得AC ＝AB 2－BC 2＝102－62＝8.在Rt △DEF 中，DF ＝3，EF ＝4，∠F ＝90°，由勾股定理得ED ＝DF 2＋EF 2＝32＋42＝5.在△ABC 和△EDF 中，BC DF ＝63＝2，AC EF ＝84＝2，AB ED ＝105＝2，所以BC DF ＝AC EF ＝AB ED，所以△ABC ∽△EDF . 方法总结：利用三边对应成比例判定两个三角形相似时，应说明三角形的三边对应成比例，而不是两边对应成比例．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题【类型二】网格中的相似三角形如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由．解析：首先由勾股定理，求得△ABC 和△DEF 的各边的长，即可得AB DE ＝AC DF ＝BC EF，然后由三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可判定△ABC 和△DEF 相似．解：△ABC 和△DEF 相似．由勾股定理，得AB ＝25，AC ＝5，BC ＝5，DE ＝4，DF＝2，EF ＝25，∵AB DE ＝AC DF ＝BC EF ＝254＝52，∴△ABC ∽△DEF . 方法总结：在网格中计算线段的长，运用勾股定理是常用的方法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第8题【类型三】利用相似三角形证明角相等如图，已知ABAD ＝BC DE ＝AC AE，找出图中相等的角，并说明你的理由．解析：由AB AD ＝BC DE ＝AC AE，证明△ABC ∽△ADE ，再利用相似三角形对应角相等求解．解：在△ABC 和△ADE 中，∵AB AD ＝BC DE ＝AC AE，∴△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∠B ＝∠D ，∠C ＝∠E .方法总结：在证明角相等时，可通过证明三角形相似得到．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题【类型四】利用相似三角形的判定证明线段的平行关系如图，某地四个乡镇A ，B ，C ，D 之间建有公路，已知AB ＝14千米，AD ＝28千米，BD ＝21千米，BC ＝42千米，DC ＝31.5千米，公路AB 与CD 平行吗？说出你的理由．解析：由图中已知线段的长度，可求两个三角形的对应线段的比，证明三角形相似，得出角相等，通过角相等证明线段的平行关系．解：公路AB 与CD 平行．∵AB BD ＝1421＝23，AD BC ＝2842＝23，BD DC ＝2131.5＝23，∴△ABD ∽△BDC ，∴∠ABD ＝∠BDC ，∴AB ∥DC .方法总结：如果在已知条件中边的数量关系较多时，可考虑使用“三边对应成比例，两三角形相似”的判定方法．【类型五】利用相似三角形的判定解决探究性问题要制作两个形状相同的三角形教具，其中一个三角形教具的三边长分别为50cm ，60cm ，80cm ，另一个三角形教具的一边长为20cm ，请问怎样选料可使这两个三角形教具相似？想想看，有几种解决方案．解析：要使两个三角形相似，已知一个三角形的三边和另一个三角形的一边，则我们可以采用三边分别对应成比例的两个三角形相似来判定．解：①当长为20cm 的边长的对应边为50cm 时，∵50∶20＝5∶2，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，∴另一个三角形对应的三边分别为：20cm ，24cm ，32cm ；②当长为20cm 的边长的对应边为60cm 时，∵60∶20＝3∶1，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，∴另一个三角形对应的三边分别为：503cm ，20cm ，803cm ；③当长为20cm 的边长的对应边为80cm 时，∵80∶20＝4∶1，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，∴另一个三角形对应的三边分别为：12.5cm ，15cm ，20cm.∴有三种解决方案．方法总结：解答此题的关键在于分类讨论，当对应比不确定时，采用分类讨论的方法可避免漏解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计1．三角形相似的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似；2．利用相似三角形的判定解决问题．因为本课时教学过程中主要是让学生采用类比的方法先猜想出命题，然后证明猜想的命题是否正确．课堂上教师主要还是以提问的形式，逐步引导学生去证明命题．从课后作业情况看出学生对这节课的知识总体掌握得较好.。

27.2.1相似三角形的判定(第二课时)PPT课件

-
36
C E
A DB
（2） ∵△ADE∽△ABC
∴ AE DE,即 50 DE. AC BC 5030 70 所以,DE 507043.75(cm). 5030
-
37
-
38
F
C
∴∠ADE＝∠B＝∠EFC （两直线平行，同位角相等）
∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）
∴ △ADE∽△EFC （两个角分别对应相等的两个三角形相似）
-
20
相似三角形对应高的比等于相似比 A1
A
B
D C B1
证明：∵△ ABC∽ △ A1B1C1
D1 C1
∴∠B = ∠B1
又∵∠ADB = ∠ A1D1B1 =900
根据前面的定理可得 A1DE∽ A1B1C1.
-
8
A1
A
D
E
B
C B1
C1
∴ A1D DE A1E
A1B1 B1C1 A1C1
又 A A 1B B1B B 1C C1A A 1C C1,A1DAB
∴ DEBC, A1EAC
B1C1 B1C1 A1C1 A1C1
∴ DE BC, A1E AC
-
25
课堂小结
1. 相似图形三角形的判定方法：
✓ 通过定义（三边对应成比例，三角相等） ✓ 平行于三角形一边的直线 ✓ 三边对应成比例（SSS） ✓ 两边对应成比例且夹角相等（SAS） ✓ 两角对应相等（AA） ✓ 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例
（HL）
-
26
2. 相似三角形的性质：
A
A1
即： AB BC k,
如果 A1B1 B1C1

人教版九年级数学下册优质课课件《27.2.1判定2》

O E
∵ DE∥BC ∴ △ ADE ∽ △ ABC
C
思考:有没有其他简单的办法判断两个三角形相似 ?

A
三边对应成比例
A’
B’
B
C
C’
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
是否有△ABC∽△A’B’C’？

已知:如图△ABC和△A`B`C`中A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC. 求证:△ABC∽△A`B`C` A`
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A`B`,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC ∵AD=A`B`∴AD:AB=A`B`:AB 又A`B`:AB=B`C`:BC=C`A`:CA ∴DE:BC=B`C`:BC,EA:CA=C`A`:CA.
相似三角形的判定方法
平行于三角形一边的直线与其他两边
(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似;
三边对应成比例的,两三角形相似.

• 不经历风雨，怎么见彩虹 • 没有人能随随便便成功!

简单地说:三边对应成比例,两三角形相似.

例1：在△ABC和△A′B′C′中，已知：
(1)AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm，
A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm．
试判定△ABC与A′B′C′是否相似，并说明理由．
(2) AB=12cm， BC=15cm， AC＝24cm A’B’＝16cm，B’C’＝20cm，A’C’＝30cm 提醒：大边与大边是对应边、小边与小边是对应边哦

27.2.1相似三角形的判定(第二课时)课件(共17张PPT)

谢谢观赏
You made my day!
A D
A'
B
C B'
C'
在△A'B'C'和△DBC中，
A'B＝ ' B'C'且C'＝C DB BC 但是△ A' B' C' 和△ DBC 显然不相似 .
两边对应成比例且其中一边的对角
对应相等的两个三角形不一定相似.
例1
根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：（1）AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm．
探究
请同学们在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与邻座交流一下，看看是否有同样的结论．
这两个三角形是相似的.
由此我们得到利用三边判定三角形相似的方法：
A
A'
AB BC CAk A'B' B'C' C'A'
2. 图中的两个三角形是否相似？为什么？
（1）
15
20
25
27
40
45
（2）
A
B
45
54
C 36 E 30
D
3.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别
为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两条边长应当是
多少？你有几种制作方案？
方案(1)
k1
2 4
1 2
解：设另外两条边长分
A'B'＝12cm，B'C'＝18cm，A'C'＝24cm

27.2.1 相似三角形的判定课件2(新人教版九年级下)

AB 8 1 A ' B ' 16 2
AC 15 1 A ' C ' 30 2
AB AC A' B ' A'C '
（ 2）
AB 10 5 0.625 A ' B ' 16 8
AC 16 0.625 A'C ' 25.6
BC 8 0.625 B ' C ' 12.8
过点D作DE∥BC交AC于点E.
△ADE∽△ABC ∴AD:AB=AE:AC=DE:BC, ∵AD=A`B`∴AD:AB=A`B`:AB 又A`B`:AB=B`C`:BC=C`A`:CA ∴DE:BC=B`C`:BC,EA:CA=C`A`:CA.
D
B` A
C`
E
因此DE=B`C`,EA=C`A`.
∴△ADE≌△A`B`C` ∴△A`B`C`∽△ABC
中， ∠ B'=30°，A'B'=10cm， A'C' =8cm。这两个三角形一定相似吗？试着画画看．
不一定相似
例1
根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：（1）∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，
要使两三角形相似，不改变AC的长， A'C'的长应当改为多少？
∠A=∠A' ∴△ABC∽△A'B'C'
AB BC AC 0.625 A' B ' B 'C ' A'C '
∴△ABC∽△A'B'C'

相似三角形的判定-完整版PPT课件

课程讲授
1 三边成比例的两个三角形相似
A′ A
B
C
B′
C′
AB A'B'
=
BC B'C'
= CA C'A'
△ABC∽△A'B'C'
课程讲授
1 三边成比例的两个三角形相似
问题2：运用所学知识，证明你的结论.
已知：如图，△ABC和△A'B'C'中，AB = BC = CA A'B' B'C' C'A'
BD BC DC 3 A
∴ △ABD∽△BDC， ∴∠ABD=∠BDC，
∴AB∥DC.
14 B
D
31.5 21
42
C
课堂小结
判定定理1
三边成比例的两个三角形相似．
相似三角形的判定
判定定理2
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
练一练：如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，
要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ C ）
A. AC AB
AD AE
B. AC BC
AD DE
C. AC AB
AD DE
D. AC BC
AD AE
随堂练习
1.已知△ABC的三边长分别为6 cm,7.5 cm,9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当另两边的长是下列哪一组时，这两个三角形
=
AB AD
=
BC DE
，
∴△ABC∽△ADE.
随堂练习
5.如图，已知AD·AC=AB·AE. （1）求证：△ADE∽△ABC;
证明：∵AD·AC=AB·AE，

27.2.1 相似三角形的判定

l l
l
l
A
l1
E
D l1
D
E
l2
A

l2
B
C l3
B
C l3
1.在三角形中只要具备平行条件就可以直接得到对应线段成比例． AD AE AD AE DE DB EC AD DB AB
如果 DE∥BC，那么DB＝EC，AB＝AC＝BC，AB＝AC，AE＝EC＝AC.
2.由平行线获得相似常见的有两种基本图形：“A”字型和“X”字型．我们只要从复杂图形中找出这些基本图形，就可以找出图中的相似三角形．
l1
A
l2
D l3
A（D）
B C
E l4 F l5
BE
C
F
图2（1）
图1
思考
如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
l1
A
B
l2
D l3
E l4
E
D
A
B
C
C
F
l5
图1
图2（2）
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两
边的延长线)所得的对应线段成比例.
相似比
AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 时，
则△ABC 与△A1B1C1 的相似比为 k .
或△A1B1C1 与△ABC 的相似比为
1.
k
A1
A
想一想:如果k=1，这
两个三角形有怎样的关
系？
B
C B1
C1
请分别度量l3 , l4, l5.在l1 上截得的两条线段AB, BC和

九年级下册人教版数学习题课件27.2.1相似三角形的判定第2课时由三边或两边和夹角判定三

6．(3分)如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外任取一点C，连接AC， BC，并分别取其三等分点M，N(M，N两点均靠近点C)，量得MN＝5 m，则AB的长是( B ) A．10 m B．15 m C．20 m D．25 m
7．(4分)如图，已知∠DAB＝∠EAC，添加一个条件：________ ___AA_DB___＝__AA_CE___(答__案__不__唯__一__)_______________，使△ ADE∽△ABC.
12．(易错题)如图，在△ABC中，D为边AC上的一点，若AB＝12，AC＝8，AD＝6，P为边AB上的一动点，则当AP的长为
_5_c_m_/_s_，__分2_c_m_别_/s_的时以速，度△1沿.A5D射Pc线和mO△N/As，B，OCM相2的似c方．m向运/s动的，速连接度EF，沿A射E，E线F与OOAN交，于点OCM，且的当点方E到向达运点B动时，，点F连也随接之停E止F运，动，设运
8．(4分)如图，用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)量零件的内孔直径AB，若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10 cm，则零件的内孔直径AB的长为__2_0_ cm.
9．(8分)如图，在△ ABC中，∠ACB＝90°，点 D，E分别是边BC，AB上的点，且BBAE ＝BBDC ＝
BC 13．如图，点P为∠MON的平分线OC上的一点，以点P为顶点的∠APB两边分别与射线OM，ON相交于点A，B，如果∠APB在绕点P旋 B′C′ ，∴△ABC∽△A′C′B′ 转时始终满足OA·OB＝OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的“关联角”．如果∠MON＝50°，∠APB是∠MON的“关联角”，那么
其对应角∠B的度数相比(
)D
A．增加了10% B．减少了10%

27.2.1相似三角形的判定(2)

CE CE CA
(三边对应边成比例的两个三角形相似.)
A
G
H
D
B
E
F
C
AE 2 , CE 2
EF 1 2 , EA 2 2 ∵∠ AEF = ∠CEA=135°.
∴△ AEF ∽ △CEA.
(两条对应边成比例且它们的夹角对应相等的两个三角形相似.)
独立作业
D
A
1.如图, 若AD· AB=AE· AC, 则△ ∽△_______ ∠B= ？
• 下面两个三角形是否相似?为什么?
A
D
4cm B 7cm 5cm C 2cm 2.5cm 3.5cm
E
F
• 解:在△ABC和△DEF中.
AC 5 BC 7 AB 4 2. 2. 2. DF 2.5 EF 3.5 AD 2
∴△ ABC ∽ △ ADE.(三边对应边成比例的两个三角形相似.)
AB AC BC 2 2. AB AC BC 1
∴△ ABC∽△ A′B′C′
如图在正方形网格上有A1 B1C1和A2 B2C2，它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果不相似，请说明理由。
A
两条对应边的比相等，且对应夹角相等呢？
A’ C’
B’
B C
例1:如图,D,E,F分别是△ABC三边的中点, 求证:△EFD∽△ABC
证明:∵D是AB的中点,F是AC的中点, ∴BC=2DF DF 1 D BC 2
同理 DE 1 EF 1 , , AC 2 AB 2
A
F
FD ED EF BC AC AB
B
E
C
∴△EFD∽△ABC (三边对应成比例，两三角形相似。)

27.2.1相似三角形的判定(第2课时)课件(17张PPT)

讨论
2B
F
C
改变点D在AB上的
AD AE DE 1 位置，继续观察图形，
AB AC BC
ADE_∽___ABC
2
∆ADE和△ABC还相似吗？
三、探究新知
知识点一：判定三角形相似的定理
结论：由以上分析过程可知，平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
形不一定是全等三角形。
二、学习目标
会运用“三组对应边的比相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似.
三、探究新知
认真阅读课本第30至31页的内容，完
成下面练习并体验知识点的形成过程. 判
知定识三点角一形
相似的定
思考如图27.2-3在∆ABC中，
点（D1是）边提A问B的：中在点∆A，DED与E∥∆ABBCC，中，
(2)如图，过E作EF∥AB,EF 交BC于点F，
在平行四边形DEFB中，DE=BF, DB=EF
AD DB 1 AB _A_E__ _C__E_
2 又A CEF,AED C
A
D
1E
ADE_≌__ECF.AE EC 1 AC
2
DE FC BF 1 BC 2
1．下列各组三角形一定相似的是（ D ）
A．两个直角三角形 B．两个钝角三角形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形
2、下列判断，不正确的是（C ）
A．两条直角边分别是3、4和6、8的两个直角三角形相似. B．斜边长和一条直角边长分别是2 5 、 4 和 5 、2的两个直角三角形相似. C．两条边长分别是7、4和14、8的两个直角三角形相似. D．斜边长和一条直角边长分别是5、3和 2.5、1.5的两个直角三角形相似.

《相似三角形的判定》PPT赏析(第2课时)

④量出∠B与∠B′的度数，∠B′=∠B吗？由此可推出
∠C′=∠C吗？为什么？
⑤由上面的画图，你能发现△A′B′C′与△ABC有何关系？
与你周围的同学交流.
我发现这两个三角形是
相似的
验证猜想
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， AB AC . A'B' A'C '
求证：△A′B′C′∽△ABC.
A
几何语言：
D
∵ AB AC , ∠A=∠D.
DE DF
E
F ∴△ABC∽已知：在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝60°， AB＝4 cm， AC＝8 cm，A′B′＝11 cm，A′C′＝22 cm. 求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：∵
AB 4 ，AC 8 4 ， AB 11 AC 22 11
A
P D
P C
B
5. 如图，在四边形ABCD中，已知 ∠B =∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，
CD= ，求AD的长．
解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，
∴ AB BC 4 .
CD AC 5
A D
又∵∠B=∠ACD， ∴ △ABC ∽ △DCA，
B
C
∴ AC BC 4，
C)
A．5
B．6
C．7
D．8
11．(6 分)如图所示，∠1＝∠2＝∠3，
则图中相似三角形共有____4____对．
12．(10 分)如图，D 是△ABC 的边 AB 上一点，连接 CD，若 AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B，求 AC 的长．
12.在△ABC 和△ACD 中，∵∠ACD＝∠B，∠A ＝∠A，∴△ABC∽△ACD，∴AACB＝AADC，即 AC2 ＝AD×AB＝AD×(AD＋BD)＝2×6＝12，∴AC ＝2 3