向量与三角综合题选
三角函数与向量综合测试
三角函数与向量综合测试一、选择题：1、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=C C ．A CD ．A=B=C2．向量a ,b 的坐标分别为(1,-1),(2,3)，则a ﹒b = （ ）A.5B.4C.-2D.-13．已知sin A =21, 那么cos(A -23π)= （ ） A.-21 B. 21 C.-23 D. 23 4.已知角α的终边经过点（3，-4），则sin α+cos α的值为 （ ） A.-51 B. 51 C. ±51 D. ±51或±57 5、已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为 （ ） A ．－2 B ．2 C ．2316 D ．－23166、若(cos )cos2f x x =,则(sin15)f ︒等于 ( )A ．2B 2C ．12 D ． 12-7、要得到)42sin(3π+=x y 的图象只需将y=3sin2x 的图象 （ ）A ．向左平移4π个单位 B 向右平移4π个单位C ．向左平移8π个单位D ．向右平移8π个单位8 ( )A ．cos160︒B ．cos160-︒C ．cos160±︒D ．cos160±︒9、A 为三角形ABC 的一个内角,若12sin cos 25A A +=,则这个三角形的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 10、函数)32sin(2π+=x y 的图象（ ） A ．关于原点对称 B ．关于点（－6π，0）对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x=6π对称 11．若向量()1,1a = ，()1,1b =- ，()1,2c =- ，则c = ( ).A 1322a b -+ .B 1322a b - .C 3122a b - .D 3122a b -+ 12. 已知向量(1,2)a = ，2(2,)b m = ，若0=⋅→→b a ，则 m 的值为 ( )A. 2或-1B. -2或1C. ±2D. ±1二、填空题13.向量 a ,b 满足︱a ︱=3,︱b ︱=4,︱a +b ︱=5,则︱a -b ︱=_____14．cos 2x+cos 2(x+1200)+cos 2(x+2400)的值是________15. 已知｜a ｜＝4,｜b ｜＝5, a 与b 的夹角为60°，且(k a +b )⊥(a -2b ), 则k = ___16、已知,24,81cos sin παπαα<<=⋅且则=-ααsin cos . 三、解答题：17.求值22sin 120cos180tan 45cos (330)sin(210)︒+︒+︒--︒+-︒18.已知3tan 2απαπ=<<,求sin cos αα-的值.19.已知α是第三角限的角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+。
向量与三角函数专题
向量与三角函数一、解三角形例5．已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=，BC AC +=，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C = ，得13BC AC = ， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC+-=22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--== ，所以60C = ．例6. 如图，在ABC ∆中，2AC =，1BC =，43cos =C ．（1）求AB 的值；（2）求()C A +2sin 的值. 解答过程：（Ⅰ） 由余弦定理，得2222..cos AB AC BC AC BC C =+- 341221 2.4=+-⨯⨯⨯=那么，AB（Ⅱ）由3cos 4C =，且0,C π<<得sin C 由正弦定理，得,sin sin AB BC C A=解得sin sin BC C A AB==所以，cos A .由倍角公式sin 2sin 2cos A A A =⋅=， 且29cos 212sin 16A A =-=，故()sin 2sin 2cos cos 2sin A C A C A C +=+例7．在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若AB，求BC 边的长．解：（Ⅰ）π()C A B =-+ ，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=-- ．又0πC << ，3π4C ∴=．（Ⅱ）由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin A =sin sin AB BC C A =，sin sin A BC AB C ∴== 二．求三角函数的定义域、值域或最值 典型例题例8.已知函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--,则()f x 的值域是（ ）A.[]1,1-B.⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.⎡-⎢⎣⎦D.1,⎡-⎢⎣⎦)),,444, 1.,,,24f x x x x f x x f x A C D x f x πππππ+-∴==--=-=解法1:(当时(故选C.11解法2:当时()=知不可能.又由时(知选C.22例9． 设函数b a x f 、=)(.其中向量2)2π(R,),1,sin 1(),cos ,(=∈+==f x x b x m a 且. （Ⅰ）求实数m 的值;（Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.解：（Ⅰ）()(1sin )cos f x m x x ==++a b ，πππ1sin cos 2222f m ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π()sin cos 114f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴当πsin 14x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x的最小值为1例10.已知函数1)4()cos x f x xπ-=， （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设α是第四象限的角，且4tan 3α=-，求()f α的值.解答过程：（Ⅰ） 由cos 0x≠得()2x k k Z ππ≠+∈.故()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， （Ⅱ） 因为43tan ,cos ,55αα=-=且第四象限的角， 所以43sin ,cos ,55αα=-=故()()21)4cos 122)22cos 1sin 2cos 2cos 2cos 2sin cos cos 2cos sin 14.5f πααααααααααααααα-==-+=-==-=例11设)0(cos sin )(>+=ωωωx b x a x f 的周期π=T ，最大值4)12(=πf ， （1）求ω、a 、b 的值；（2）的值终边不共线，求、、的两根，为方程、、若)tan(0)(βαβαβα+=x f .解答过程：(1))x sin(b a )x (f 22ϕ+ω+=， π=∴T ， 2=ω∴， 又 )x (f 的最大值4)12(f =π ， 22b a 4+=∴ ① ， 且 122cos b 122sin a 4π+π= ②， 由 ①、②解出 a=2 , b=3.(2) )3x 2sin(4x 2cos 32x 2sin 2)x (f π+=+=， 0)(f )(f =β=α∴，)32sin(4)32sin(4π+β=π+α∴，32k 232π+β+π=π+α∴， 或)32(k 232π+β-π+π=π+α， 即 β+π=αk (βα、 共线，故舍去) ， 或 6k π+π=β+α，33)6k tan()tan(=π+π=β+α∴ )Z k (∈.例12.设函数2()sin cos f x x x x a ωωω=++（其中0,a R ω>∈），且()f x 的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π.（I ）求ω的值；（II ）如果()f x 在区间5,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦a 的值.解答过程：（Ⅰ）1()2sin 22f x x x a ωω=+sin(2)3x a πω=+, 依题意得 2632πππω⋅+=， 解得 12ω=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()sin()3f x x a π=+,又当5,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，70,36x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故11sin()123x -≤+≤，从而()f x 在5[,]36ππ-上取得最小值12a -.因此，由题设知12a -故a =例13.已知函数R x x x x f ∈++=),2sin(sin )(π（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 的最大值和最小值； （Ⅲ）若43)(=αf ，求α2sin 的值.命题目的：本题考查利用三角函数的性质, 诱导公式、同角三角函数的关系式、两角和的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力. 解答过程：)4sin(2cos sin )2sin(sin )(ππ+=+=++=x x x x x x f（Ⅰ）)(x f 的最小正周期为ππ212==T ;（Ⅱ）)(x f 的最大值为2和最小值2-；（Ⅲ）因为43)(=αf ，即37sin cos 2sin cos .416αααα+=⇒=-即 1672sin -=α. 三．三角函数的图象和性质 典型例题 例14.已知函数22()sin 2sin cos 3cos ,f x x x x x x R =++∈.求：（Ⅰ）求函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； （Ⅱ）函数()f x 的单调增区间. 解答过程：（I ）解法一： ()1cos 23(1cos 2)sin 222x f x x θ-+=++2sin 2cos 2x x =++2)4x π=+. ∴当2242x k πππ+=+，即()8x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最大值2因此，()f x 取得最大值的自变量x 的集合是,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 解法二：222()(sin cos )sin 22cos f x x x x x =+++ 1sin 21cos 2x x =+++2)4x π=+.∴当2242x k πππ+=+，即()8x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最大值2因此，()f x 取得最大值的自变量x 的集合是,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.（Ⅱ）解： ()2)4f x x π=+由题意得222()242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即3()88k x k k Z ππππ-≤≤+∈.因此， ()f x 的单调增区间是()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.例15．（本小题满分12分） 已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值． （II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间． 解：（I ）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++． 因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π26x +πk =， 即0 π2π6x k =-（k ∈Z ）． 所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-．当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭， 当k 为奇数时，01π15()1sin 12644g x =+=+=． （II ）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1π3113cos 2sin 2sin 2262222x x x x ⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 当πππ2π22π232k x k -++≤≤，即5ππππ1212k x k -+≤≤（k ∈Z ）时， 函数1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是增函数， 故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ） 例16.已知函数22()sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =+∈ （I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（II ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？解答过程：（I）1cos 2()2(1cos 2)22x f x x x -=+++132cos 2223sin(2).62x x x π=++=++ ()f x ∴的最小正周期2.2T ππ== 由题意得222,,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈即 ,.36k x k k Z ππππ-≤≤+∈()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（II ）方法一：先把s i n 2y x =图象上所有点向左平移12π个单位长度，得到sin(2)6y x π=+的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到3s i n (2)62y x π=++的图象.方法二： 把sin 2y x =图象上所有的点按向量3(,)122a π=- 平移，就得到3sin(2)62y x π=++的图象.例17.已知函数2())2sin ()().612f x x x x R ππ=-+-∈（I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）求使函数()f x 取得最大值的x 集合.解答过程：(Ⅰ) f(x)=3sin(2x －π6)+1－cos2(x －π12) = 2[32sin2(x －π12)－12 cos2(x －π12)]+1 =2sin[2(x －π12)－π6]+1 = 2sin(2x －π3) +1 .∴ T=2π2 =π．(Ⅱ)当f(x)取最大值时, sin(2x －π3)=1,有 2x －π3 =2k π+π2 ， 即x=k π+ 5π12 (k ∈Z) ∴所求x 的集合为{x ∈R|x= k π+ 5π12 , k ∈Z}. 四．平面向量、三角函数的图象和性质 典型例题例18.将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)3y x π=-解答过程：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262πππω+=，所以2ω=，因此选C.例19.已知向量(sin ,1),(1,cos ),.22a b ππθθθ==-<<（Ⅰ）若a b ⊥，求θ；（Ⅱ）求a b +的最大值.解：（Ⅰ）,sin cos 0a b θθ⊥若则＋＝，由此得 tan 1ππθθ=- (-<<),22所以 ;4πθ=-（Ⅱ） 由(sin ,1),(1,cos )(sin 1,1cos ),a b b b θθθθ== α+=++ α+= = =得当sin()1,,, 1.44a b a b ππθθ+=+=+时取得最大值即当时例20.已知,,A B C 是三角形ABC ∆三内角，向量((),cos ,sin m n A A =-=，且1m n ⋅=（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若221sin 23cos sin BB B+=--，求tan B .解答过程：（Ⅰ）∵1m n ⋅=,∴(()cos ,sin 1A A -⋅= ,cos 1A A -=.12sin cos 12A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ∵50,666A A ππππ<<-<-<, ∴66A ππ-= . ∴3A π=.（Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B B B B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --=. ∴tan 2B =或tan 1B =-.而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去. ∴tan 2B =.∴()tan tan C A B π=-+⎡⎤⎣⎦()tan A B =-+tan tan 1tan tan A B A B+=--=。
高考数学专题向量的综合复习
高中数学必修4向量的综合复习向量与三角综合题选1．将函数y=f (x )·cos x 的图象按向量a =（4π，1）平移，得到函数y=2sin 2x 的图象那么函数 f (x )可以是（ D ） A ．cos xB ．2cos xC ．sin xD ．2sin x2．已知=a )sin (cos αα，，=b )sin (cos ββ，（πβα<<<0），且|λa μ+b |=|μa λ-b |（0≠λμ），则=-αβ2π． 3．已知向量求且],2,0[),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos π∈-==x x x b x x a ①||b a b a +⋅及;②若3()2||,2f x a b a b λλ=⋅-+-的最小值是求的值. 解：（1）x xx x x b a 2cos 2sin 23sin 2cos23cos =⋅-⋅=⋅ x x xx x b a 222cos 22cos 22)2sin 23(sin )23cos 23(cos||=+=-++=+ x b a x x cos 2||,0cos ],2,0[=+∴>∴∈π（2）2221)(cos 2)(,cos 42cos )(λλλ---=-=x x f x x x f 即.1cos 0],2,0[≤≤∴∈x x π①当0<λ时，当县仅当0cos =x 时，)(x f 取得最小值－1，这与已知矛盾； ②当λλ=≤≤x cos ,10当且仅当时时，)(x f 取得最小值221λ--，由已知得21,23212=-=--λλ解得；③当1cos ,1=>x 当且仅当时λ时，)(x f 取得最小值λ41-，由已知得3142λ-=- 解得85=λ，这与1>λ相矛盾，综上所述，21=λ为所求。
4．平面直角坐标系内有点P ].4,4[),1,(cos ),cos ,1(ππ-∈x x Q x（Ⅰ）求向量OQ OP 和的夹角θ的余弦用x 表示的函数)(x f ； （Ⅱ）求)(x f 的最小值.解：（Ⅰ）)(cos 1cos 2||||cos ,cos 1||||,cos 222x f xxOQ OP x OQ OP x OQ OP =+=⋅=∴+==⋅θ （Ⅱ）.cos 1cos 2cos 1cos 2)(cos 2xx x x x f +=+==θ ]1,22[cos ],4,4[∈∴-∈x x ππ.322)(,1)(322,223cos 1cos 2min =≤≤≤+≤x f x f x x .5．设)sin ,cos 1(αα+=a ，)sin ,cos 1(ββ-=b ，),0()0,1(πα∈=c)2,(ππβ∈，a 与c 的夹角为1θ，b 与c 的夹角为2θ，且621πθθ=-，求4sinβα-的值．（本题12分）．解：)22cos(2sin 2sin 22sin 2||||cos 22cos 2cos 22cos 2||||cos 2sin 2||2cos2||),2(2),2,0(2)2,(),,0()2cos ,2(sin 2sin 2)2cos 2sin2,2sin 2()2sin ,2(cos 2cos 2)2cos 2sin 2,2cos 2(2212122πββββθαθαααθβαππβπαππβπαββββββαααααα-===⋅==∴==⋅===∈∈∴∈∈====c b c b c a c a b a b a 故21)6sin(4sin3262226222220212-=-=-∴-=-∴=+-⇒=--=∴<-<πβαπβαππβαπθθπβθππβ又6．已知函数a b x b x x a x f (sin 2cos sin 2)(2+⋅-⋅⋅=、b 为常数，且0<a ）的图象过点（3,0），且函数)(x f 的最大值为2.（1）求函数)(x f y =的解析式，并写出其单调递增区间；（2）若函数)(x f y =的图象按向量)0,(m p =作移动距离最小的平移后，使所得的图象关于y 轴对称，求出向量p 的坐标及平移后的图象对应的函数解析式解：（1）,2cos 2sin )(x b x a x f ⋅+=12,33)0(22-==+==a b a b f 解得又有得所以函数)(x f y =的解析式是)32sin(22cos 32sin )(π--=+-=x x x x f)(x f 的单调递增区间是)](1211,125[Z k k k ∈++ππππ （2）∵平移后的图象对应的函数解析式是]3)(2sin[2π---=m x y图象关于y 轴对称，即)322sin(2π---=m x y 为偶函数，)322sin(2)322sin(2ππ---=----∴m x m xR x m x m x ∈--=---对即)322sin()322sin(ππ恒成立 )(,2)322()322(Z k k m x m x ∈+=--+---∴ππππ πππππ1252,2324-⋅-=+=--∴k m k m ，,1212521min πππ=-=-=∴m k 时当故p )0,12(π=，图象对应的函数解析式为x x y 2cos )22sin(2=--=π7．已知二次函数)(x f 对任意R ∈x ，都有)1()1(x f x f +=-成立，设向量=a （sin x ，2），=b （2sin x ，21），=c （cos2x ，1），=d （1，2），当∈x [0，π]时，求不等式f （b a ⋅）＞f （d c ⋅）的解集． 解析：设f （x ）的二次项系数为m ，其图象上两点为（1-x ，1y ）、B （1＋x ，2y ）因为12)1()1(=++-x x ，)1()1(x f x f +=-，所以21y y =，由x 的任意性得f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，若m ＞0，则x ≥1时，f （x ）是增函数，若m ＜0，则x ≥1时，f （x ）是减函数．∵ x (sin =⋅b a ，x sin 2()2⋅，11sin 2)212≥+=x ，x 2(cos =⋅d c ，1()1⋅，)2122cos ≥+=x ，∴ 当0>m 时，)12(cos )1sin 2()()(2+>+⇔>⋅⋅x f x f f f d c b a 1sin 22+⇔x02cos 222cos 12cos 122cos <⇔+>+-⇔+>x x x x 02cos <⇔x 2ππ2+⇔k 23ππ22+<<k x ，Z ∈k ． ∵ π0≤≤x ， ∴ 4π34π<<x ． 当0<m 时，同理可得4π0<≤x 或π4π3≤<x ．综上：)()(d c b a ⋅⋅>f f 的解集是当0>m 时，为}4π34π|{<<x x ； 当0<m 时，为4π0|{<≤x x ，或}π4π3≤<x ． 8．平面直角坐标系有点]4,4[),1,(cos ),cos ,1(ππ-∈x x Q x P（1）求向量OQ OP 和的夹角θ的余弦用x 表示的函数f (x ); （2）求θ的最值.解：（1）θcos ||||OQ OP OQ OP ⋅=⋅]4,4[cos 1cos 2)(,cos 1cos 21cos cos 11cos cos 1|||||cos 2222ππθ-∈+=∴+=++⋅+⋅=⋅=∴x xx x f xxx x x x OQ OP（2）)(12)(],1,22[,cos 2t g t t x f t t x =+=∈=则则 0,0,322arccos ,40,322arccos ],,0[,1cos 322322)22()(,1)1()(]1,22[)(,122)(,0)(,)1,22()1()1)(1(2)(min max min max min max 22===±=∴==∈≤≤∴====∴∴==>'∈+-+-'θθπθθπθθ时当时当故又上是增函数在处连续及在又时显然又x x g t g g t g t g t t t g t g t t t t t g 9．如图：已知△OFQ 的面积为62，且m FQ OF =⋅，（1）若646<<m 时，求向量OF 与FQ 的夹角θ的取值范围；（2）设c OF =||，2)146(c m -=时，若以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q ，当||OQ 取得最小值时，求此双曲线的方程．（1） 由已知，得⎪⎩⎪⎨⎧==-⋅⋅，，m FQ OF FQ OF θθcos ||||62)πsin(||||21所以m 64tan =θ，因为646<<m ，所以4tan 1<<θ，则4arctan 4π<<θ． （2）以O 为原点，OF 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设所求的双曲线方程为12222=-b y a x ，（a ＞0，b ＞0），Q 点的坐标为（1x ，1y ），则FQ ＝（c x -1，1y ），因为△OFQ 的面积62||211=⋅y OF ，所以c y 641=，又由=⋅FQ OF （c ，0）（c x -1，1y ）21)146()(c c c x -=-=，所以c x 461=，128396||222121≥+=+=c c y x OQ ，当且仅当c ＝4时，||OQ 最小，此时Q 的坐标为（6，6），由此可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-，，161662222b a b a 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==，，12422b a 故所求的方程为112422=-y x 10． 已知向量33cos ,sin )22x x a =（，cos ,sin )22x x b =-（，且[,]2x ππ∈ (1) 求a b ⋅及||a b +；(2) 求函数()f x =a b ⋅＋||a b +的最大值，并求使 函数 取得最大值的x 的值。
高中数学 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 习题课—三角恒等变换素养练(含解析)新人教B版必修第三
习题课——三角恒等变换课后篇巩固提升基础巩固1.(多选)函数f (x )=sin x cos x+√32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是() A .πB .2C .1D .2πf (x )=sin x cos x+√32cos2x=12sin2x+√32cos2x=sin (2x +π3), 得最小正周期为π,振幅为1.2.已知A (1,sinαsin (α+2β)),B (sinαsin (α-2β)-2,1),且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,sin β≠0,sin α-k cos β=0,则k=()A .√2B .-√2C .√2或-√2D .以上都不对 由题意sinαsin (α-2β)-2+sinαsin (α+2β)=0,化简得sin α=±√2cos β,易知k=±√2,所以选C .3.若函数f (x )=sin x 3cos φ3+cos x 3sin φ3(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ的值为()A .π2B .2π3C .3π2D .5π3(x )=sin x3cos φ3+cos x3sin φ3=sin (x3+φ3).由题意,知函数f (x )=sin (x3+φ3)(φ∈[0,2π])为偶函数,所以φ3=π2+k π,k ∈Z ,所以φ=3π2+3k π,k ∈Z .又φ∈[0,2π],故当k=0时,φ=3π2,选C .4.定义行列式运算|a 1 a 2a 3 a 4|=a 1a 4-a 2a 3.将函数f (x )=|√3 sinx 1 cosx|的图像向左平移n (n>0)个单位,所得图像对应的函数g (x )为奇函数,则n 的最小值为() A .π6B .π3C .5π6D .2π3 解析∵f (x )=√3cos x-sin x=2√32cos x-12sin x =2cos (x +π6),又平移后图像对应函数g (x )=2cos (x +n +π6)为奇函数,∴n+π6=k π+π2(k ∈Z ),即n=k π+π3(k ∈Z ),又n>0,∴n 的最小值为π3,故选B .5.(多选)已知函数f (x )=(sin x+cos x )cos x ,则下列说法错误的为() A .函数f (x )的最小正周期为2π B .f (x )的最大值为√2C .f (x )的图像关于直线x=-π8对称D .将f (x )的图像向右平移π8个单位,再向下平移12个单位后会得到一个奇函数的图像f (x )=(sin x+cos x )cos x ,得f (x )=√22sin (2x +π4)+12, 所以f (x )最小正周期为π,A 错; 所以f (x )的最大值为√22+12,B 错; f (x )的对称轴为x=π8+kπ2,k ∈Z ,所以x=-π8不是f (x )的对称轴,C 错;将f (x )的图像向右平移π8个单位得y=√22sin2x+12,再向下平移12个单位后会得到y=√22sin2x 为奇函数.6.若cos α=-45,α是第三象限的角,则1+tanα21-tanα2=.α是第三象限的角,∴k π+π2<α2<k π+3π4,k ∈Z , ∴tan α2<0. ∵cos α=-45,∴cos α=cos 2α2-sin 2α2=cos 2α2-sin 2α2cos 2α2+sin 2α2=1-tan 2α21+tan 2α2=-45,解得tan α2=-3,∴tan (α2+π4)=tan α2+tanπ41-tan α2tanπ4=-3+11+3=-12. -127.函数f (x )=√3sin 23x-2sin 213x (π2≤x ≤3π4)的最小值是.f (x )=√3sin 23x-2sin 213x=√3sin 23x+cos 23x-1=2sin (23x +π6)-1,又π2≤x ≤3π4,所以23x+π6∈[π2,2π3].所以当2x+π6=2π3时,f (x )取得最小值√3-1.√3-18.已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,-sin β),α,β均为锐角,且|a -b |=√105, (1)求cos(α+β)的值; (2)若cos α=1213,求cos β的值.由题意可得a -b =(cos α-cos β,sin α+sin β),∵|a -b |=√105= √(cosα-cosβ)2+(sinα+sinβ)2=√2-2cos (α+β),∴cos(α+β)=45.(2)∵cos(α+β)=45,α,β均为锐角,∴α+β仍为锐角,sin(α+β)=√1-cos 2(α+β)=35.∵cos α=1213,∴sin α=√1-cos 2α=513,∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=45×1213+35×513=6365.9.已知函数f (x )=sin 2ωx+√3sin ωx ·sin (ωx +π2)(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值;(2)求函数f (x )在区间[0,2π3]上的取值X 围.f (x )=1-cos2ωx2+√32sin2ωx=√32sin2ωx-12cos2ωx+12=sin (2ωx -π6)+12. 因为函数f (x )的最小正周期为π,且ω>0, 所以2π2ω=π,解得ω=1.(2)由(1)得f (x )=sin (2x -π6)+12, 因为0≤x ≤2π3,所以-π6≤2x-π6≤7π6,所以-12≤sin (2x -π6)≤1.因此0≤sin (2x -π6)+12≤32,所以f (x )的取值X 围是[0,32].能力提升1.设当x=θ时,函数f (x )=2sin x-cos x 取得最大值,则cos θ=() A .2√55B .-2√55C .√55D .-√55(x )=2sin x-cos x=√5sin(x-φ)=√5sin x ·cos φ-√5cos x sin φ;其中cos φ=√5,sin φ=√5;由题意得θ-φ=2k π+π2(k ∈Z ), 即θ=φ+2k π+π2(k ∈Z );所以cos θ=cos (φ+2kπ+π2)=cos (φ+π2)=-sin φ=-√5=-√55.2.若函数f (x )=sin ωx+√3cos ωx (x ∈R ),又f (α)=-2,f (β)=0,且|α-β|的最小值为3π4,则正数ω的值是() A .13B .32C .43D .23(x )=sin ωx+√3cos ωx=2sin (ωx +π3),又f (α)=-2,f (β)=0,从而当x=α时函数有最小值,x=β为平衡点,|α-β|的最小值是14T ,因此14×2πω=3π4,解得ω=23.3.已知函数f (x )=√3cos (π2+2x)+2sin 2(π2+x),x ∈[0,π2],则f (x )的最小值为() A .-1B .2C .3D .1-√3(x )=-√3sin2x+2cos 2x=-√3sin2x+1+cos2x=2cos (2x +π3)+1,因为0≤x ≤π2,所以π3≤2x+π3≤4π3,所以当2x+π3=π,即cos (2x +π3)=-1时,函数f (x )取最小值为-1.4.已知函数f (x )=cos x (sin x-√3cos x ),则() A .f (x )的周期为2π B .f (x )在区间[-π6,π6]上单调C .f (x )的图像关于直线x=-π12对称D .f (x )的图像关于点(π6,0)对称(x )=cos x sin x-√3cos 2x=12sin2x-√32·cos2x-√32=sin (2x -π3)−√32,所以T=2π2=π,排除A;令2k π-π2≤2x-π3≤2k π+π2(k ∈Z ),解得k π-π12≤x ≤k π+5π12(k ∈Z ),所以f (x )在区间[-π12,5π12]上单调,排除B;sin (-2π12-π3)=-1,所以f (x )的图像关于直线x=-π12对称,C 正确;f (π6)=sin (π3-π3)−√32≠0,所以f (x )的图像关于点(π6,0)不对称,排除D .5.已知向量a =(cos 2α,sin α),b =(1,2sin α-1),α∈(π2,π),若a ·b =25,则tan (α+π4)=() A .13B .27C .17D .23a ·b =25,得cos2α+sin α(2sin α-1)=25,求得sin α=35,又α∈(π2,π),则cos α=-45,所以tan α=-34,于是tan (α+π4)=tanα+tanπ41-tanαtanπ4=17.6.已知ω>0,a>0,f (x )=a sin ωx+√3a cos ωx ,g (x )=2cos (x +π6),h (x )=f (x )g (x ),这三个函数在同一直角坐标系中的部分图像如图所示,则函数g (x )+h (x )的图像的一条对称轴方程可以为()A .x=π6B .x=13π6C .x=-23π12D .x=-29π12f (x )=a sin ωx+√3a cos ωx=2a sin (ωx +π3),由题图可得2a=2,即a=1,f (x )=2sin (ωx +π3);而g (π3)=2cos (π3+π6)=0,h (x )=f (x )g (x )中,x ≠π3,所以{f (π3)=2sin (π3ω+π3)=0,f (0)=g (0);而ω>0,解得ω=2,即f (x )=2sin (2x +π3),所以F (x )=g (x )+h (x )=g (x )+f (x )g (x )=2cos (x +π6)+2sin(2x+π3)2cos(x+π6)=2cos (x +π6)+2sin (x +π6)=2√2sin (x +π6+π4)=2√2sin (x +5π12),而F (π6)≠±2√2,排除A;F (13π6)≠±2√2,排除B;F (-23π12)=2√2,即x=-23π12,即g (x )+h (x )的一条对称轴.7.(双空)已知向量a =(cos θ,sin θ),向量b =(√3,-1),则|2a -b |的最大值为,最小值为.2a -b =(2cos θ-3,2sin θ-1),则|2a -b |=√(2cosθ-√3)2+(2sinθ-1)2=√8-4√3cosθ-4sinθ=√8-8sin (θ+π3),当sin (θ+π3)=-1时,上式取最大值4,当sin (θ+π3)=1时,上式取最小值0.8.设f (x )=√3sin 3x+cos 3x ,若对任意实数x 都有m ≤f (x ),则实数m 的取值X 围是.(x )=√3sin3x+cos3x=2(√32sin3x +12cos3x)=2sin (3x +π6),所以f (x )min =-2,于是若对任意实数x 都有m ≤f (x ),则m ≤-2.-∞,-2]9.已知函数f (x )=sin (x -π6)+cos (x -π3),g (x )=2sin 2x2. (1)若α是第一象限角,且f (α)=3√35,求g (α)的值;(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合.(x )=sin (x -π6)+cos (x -π3)=√32sin x-12cos x+12cos x+√32sin x=√3sin x , g (x )=2sin 2x2=1-cos x , (1)由f (α)=3√35,得sin α=35,又α是第一象限角, 所以cos α>0.从而g (α)=1-cos α=1-√1-sin 2α=1-45=15. (2)f (x )≥g (x )等价于√3sin x ≥1-cos x , 即√3sin x+cos x ≥1.于是sin (x +π6)≥12. 从而2k π+π6≤x+π6≤2k π+5π6,k ∈Z ,即2k π≤x ≤2k π+2π3,k ∈Z ,故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2kπ≤x ≤2kπ+2π3,k ∈Z}.10.若函数f (x )=sin x+√3cos x+a 在(0,2π)内有两个不同的零点α,β. (1)某某数a 的取值X 围; (2)求tan(α+β)的值.由题意得sin x+√3cos x=212sin x+√32cos x =2sin (x +π3), ∵函数f (x )=sin x+√3cos x+a 在(0,2π)内有两个不同的零点, ∴关于x 的方程sin x+√3cos x+a=0在(0,2π)内有相异二解, ∴方程sin (x +π3)=-a2在(0,2π)内有相异二解. ∵0<x<2π,∴π3<x+π3<7π3.结合正弦函数的图像可得若方程有两个相异解, 则满足-1<-a2<1,且-a2≠√32, 解得-2<a<2,且a ≠-√3.∴实数a 的取值X 围是(-2,-√3)∪(-√3,2).(2)∵α,β是方程的相异解,∴sin α+√3cos α+a=0,① sin β+√3cos β+a=0,②①-②,得(sin α-sin β)+√3(cos α-cos β)=0, ∴2sinα-β2cosα+β2-2√3sinα+β2sinα-β2=0.又sinα+β2≠0, ∴tanα+β2=√33,α+β21-tan2α+β2=√3.∴tan(α+β)=2tan。
专题四：三角形中的三角问题含向量
高三数学微专题四三角形中的三角向量问题（含向量）一、基础回顾1．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC→＝__2．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE→＝_______.3．在△ABC 中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(1，3)与n ＝(cos A ，sin A )平行，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝________.4．在△ABC 中，C ＝π2，AC ＝1，BC ＝2，则f (λ)＝|2λCA →＋(1－λ)CB →|的最小值是________．二、典型例题例1．如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，OP →＝x ·OA →＋y ·OB →.(1)若BP →＝P A →，求x ，y 的值；(2)若BP →＝3P A →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°时，求OP →·AB →的值．例2．如图所示，已知△ABC 的面积为14 cm 2，D ，E 分别是AB ，BC 上的点，且AD DB ＝BE EC ＝2，AE CD P =I , 求△APC 的面积．例3．.ABC ∆的三个内角A B C ，，依次成等差数列．（Ⅰ）若C A B sin sin sin 2=，试判断ABC ∆的形状；（Ⅱ）若ABC ∆为钝角三角形，且c a >，试求代数式2132222C A A sinsin cos +-的取值范围．例4．已知点A ，B ，C 是直线l 上不同的三点，点O 是l 外一点，向量OA →，OB →，OC →满足OA →－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1OB →－(ln x －y )·OC →＝0，记y ＝f (x )． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)若对任意的x ∈[1,2]，不等式|a －ln x |－ln(f ′(x ))>0恒成立，求实数a 的取值范围．三、同步练习1．设O 是△ABC 内部的一点，P 是平面内任意一点，且OA →＋2OB →＋2PC →＝2PO →，则△ABC 和△BOC 的面积之比为2．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，则四边形ABCD 的面积为________．3．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积，若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S )满足p ∥q ，则C ＝________.4．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2 α)和b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2＋sin α，其中λ，m ，α为实数．若a＝2b ，则λm 的取值范围是________．5． 在△ABC 中，M 是BC 的中点，|AM →|＝1，AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)＝________..6．△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →＝________. 7．在△ABC 中，已知BC ＝2，AB →·AC →＝1，则△ABC 的面积S △ABC 最大值是____． 8. 给出下列三个命题（1）若0<tan A tan B <1，则△ABC 一定是钝角三角形；（2）若lgcosA=lgsin C －lgsinB =－12lg2, 则ΔABC 是等腰直角三角形；（3）若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )＝1，则△ABC 一定是等边三角形以上正确命题的序号是：9．已知△ABC 所在平面上的动点M 满足2AM →·BC →＝AC →2－AB →2，则M 点的轨迹过△ABC 的__ ______心．10．已知ABC ∆中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则ACBC AB AC BC BC AC ⋅++2的最大值为11．△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且0543=++OC OB OA ． （1）求数量积OA OC OC OB OB OA ⋅⋅⋅,,；（2）求△ABC 的面积．12．设函数f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x. （1）求函数f(x)的最大值和最小正周期. （2）设A,B,C 为∆ABC 的三个内角，若cosB=31，f(3C)=－41，且C 为锐角，求sinA.13．在△ABC 中，A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(1,2sin A )，n ＝(sin A,1＋cos A )，且满足m ∥n ，b ＋c ＝3a . (1)求A 的大小；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6的值．.14．已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)·(PC→－12PQ →)＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE →·PF →的最值．专题四：三角形中的三角向量问题（含向量）一、基础回顾1．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝__－16解析 因为AM →＝12(AB →＋AC →)，所以AB →＋AC →＝2AM →，又AC →－AB →＝BC →，所以(AB →＋AC →)2－(AC →－AB →)2＝4AB →·AC →＝4AM →2－BC →2＝－64，所以AB →·AC→＝－16. 2．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝____－14____.解析 由题意画出图形如图所示，取一组基底{AB →，AC →}，结合图形可得AD→＝12(AB →＋AC →)，BE →＝AE →－AB →＝23AC →－AB →，∴AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →－AB →＝13AC →2－12AB →2－16AB →·AC →＝13－12－16cos 60°＝－14.3．在△ABC 中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(1，3)与n ＝(cos A ，sin A )平行，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝________.解析 由m 与n 平行，得 3cos A －sin A ＝0，所以tan A ＝3，A ＝π3.又由a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，得sin C ＝1，C ＝π2，所以B ＝π6.4．在△ABC 中，C ＝π2，AC ＝1，BC ＝2，则f (λ)＝|2λCA →＋(1－λ)CB →|的最小值是__2______．解析 如图，以C 为原点，CA ，CB 所在直线为y 轴，x 轴建立直角坐标系，所以CA →＝(0,1)，CB →＝(2,0)，故2λCA →＋(1－λ)CB →＝(0,2λ)＋(2－2λ，0)＝(2－2λ，2λ)，所以f (λ)＝22λ2－2λ＋1＝22⎝⎛⎭⎫λ－122＋12，故最小值为2，在λ＝12时取得．二、典型例题例1．如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，OP →＝x ·OA →＋y ·OB →. (1)若BP →＝P A →，求x ，y 的值；(2)若BP →＝3P A →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°时，求OP →·AB→的值． 解析 (1)因为BP →＝P A →，所以BO→＋OP →＝PO →＋OA →，即2OP →＝OB →＋OA →，所以OP →＝12OA →＋12OB →，所以x ＝12，y ＝12.(2)因为BP →＝3P A →，所以BO →＋OP →＝3PO →＋3OA →， 即OP →＝34OA →＋14OB →，所以x ＝34，y ＝14.故OP →·AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34OA →＋14OB →·(OB →－OA →)＝14OB →·OB →－34OA →·OA →＋12OA →·OB →＝14×22－34×42＋12×4×2×12＝－9.例2．如图所示，已知△ABC 的面积为14 cm 2，D ，E 分别是AB ，BC 上的点，且AD DB ＝BE EC ＝2，求△APC 的面积．解析 设AB→＝a ，BC →＝b ，则AE →＝a ＋23b ，DC →＝13a ＋b .因为点A ，P ，E 和点D ，P ，C 均三点共线，所以存在λ和μ，使得AP →＝λAE →＝λa ＋23λb ，DP →＝μDC →＝13μa ＋μb .又因为AP →＝AD →＋DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋13μa ＋μb ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23＋13μ，23λ＝μ，解得λ＝67，μ＝47，所以S △P AB ＝47S △ABC ＝47×14＝8 (cm 2)，S △PBC ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－67＝2 (cm 2)，故S△APC＝14－8－2＝4(cm 2).例3．.ABC ∆的三个内角A B C ，，依次成等差数列． （Ⅰ）若C A B sin sin sin 2=，试判断ABC ∆的形状； （Ⅱ）若ABC ∆为钝角三角形，且c a >，试求代数式212222C A A sin cos -的取值范围．答案 解：（Ⅰ）∴ABC ∆为正三角形.（Ⅱ）212cos 2sin 32sin 2-+A A C ==1223A cos A π⎛⎫-- ⎪⎝⎭ =A A A sin 43cos 41sin 23-+ =A A cos 41sin 43+ =)6sin(21π+A ∵223A ππ<<,∴25366A πππ<+<， ∴126sin A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，114264sin A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭.∴代数式232cos 2sin 32sin 2++A A C 的取值范围是144⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，. 例4．已知点A ，B ，C 是直线l 上不同的三点，点O 是l 外一点，向量OA →，OB →，OC →满足OA →－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1OB →－(ln x －y )·OC →＝0，记y ＝f (x )．(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)若对任意的x ∈[1,2]，不等式|a －ln x |－ln(f ′(x ))>0恒成立，求实数a 的取值范围． 解析 (1)由题意，得OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1·OB →＋(ln x －y )·OC →，且A ，B ，C 三点共线，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1＋(ln x －y )＝1，所以y ＝f (x )＝ln x ＋12x 2(x >0)．(2)因为f ′(x )＝1x ＋x ，所以|a －ln x |>ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，即a <ln x －ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 或a >ln x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 恒成立．因为ln x －ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝ln x 2x 2＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2＋1在[1,2]上取最小值－ln 2，ln x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝ln(x 2＋1)在[1,2]上取最大值ln 5，所以a 的取值范围是(－∞，－ln 2)∪(ln 5，＋∞)．三、同步练习1．设O 是△ABC 内部的一点，P 是平面内任意一点，且OA →＋2OB →＋2PC →＝2PO →，则△ABC 和△BOC 的面积之比为 5∶12．在四边形ABCD 中，AB→＝DC →＝(1,1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD→|BD →，则四边形ABCD的面积为____3____．3．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积，若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S )满足p ∥q ，则C ＝__π4______. 4．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2 α)和b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2＋sin α，其中λ，m ，α为实数．若a＝2b ，则λm 的取值范围是___[－6,1]_____．解析 由a ＝2b ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝2m ，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α.由λ2－m ＝cos 2α＋2sin α＝2－(sin α－1)2，得－2≤λ2－m ≤2，又λ＝2m －2，则－2≤4(m －1)2－m ≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m 2－9m ＋2≤0，4m 2－9m ＋6≥0.解得14≤m ≤2，而λm ＝2m －2m ＝2－2m ，故－6≤λm ≤1.5．在△ABC 中，M 是BC 的中点，|AM →|＝1，AP →＝2PM →，则P A →·(PB→＋PC →)＝_－49_______.解析 因为M 是BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PM →，又AP →＝2PM →，|AM →|＝1，所以P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·2PM →＝－4|PM →|2＝－49|AM →|2＝－49..6．△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →＝__52______. 7．在△ABC 中，已知BC ＝2，AB →·AC →＝1，则△ABC 的面积S △ABC 最大值是____2． 解析 以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)．设A (x ，y )则AB →＝(－1－x ，－y )，AC →＝(1－x ，－y )，于是AB →·AC →＝(－1－x )(1－x )＋(－y )(－y )＝x 2－1＋y 2.由条件AB →·AC →＝1知x 2＋y 2＝2，这表明点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上．当OA ⊥BC 时，△ABC 面积最大，即S △ABC ＝12×2× 2 8． 给出下列三个命题（1）若0<tan A tan B <1，则△ABC 一定是钝角三角形；（2）若lgcosA=lgsin C－lgsinB =－12lg2, 则ΔABC 是等腰直角三角形；（3）若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )＝1，则△ABC一定是等边三角形以上正确命题的序号是： ⑴⑵⑶9．已知△ABC 所在平面上的动点M 满足2AM →·BC →＝AC →2－AB →2，则M 点的轨迹过△ABC的__外______心．解析 如图，设N 是BC 的中点，则由2AM →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →＋AB →)＝BC →·2AN →，得(AM →－AN →)·BC →＝0，即NM →·BC →＝0， 所以NM→⊥BC →，所以M 点的轨迹过△ABC 的外心． 10．已知ABC ∆中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则ACBC AB AC BC BC AC ⋅++2的最大值为 22 11．△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且0543=++OC OB OA ． （1）求数量积OA OC OC OB OB OA ⋅⋅⋅,,； （2）求△ABC 的面积．解析（1）OC OB OA 543-=+．两边平方，得222||25||1624||9OC OB OB OA OA =+⋅+，0=⋅∴OB OA ．同理可得，54-=⋅OCOB ，54-=⋅OC OB ．（2）由0=⋅OB OA ，可得，21||||21,=⋅=∴⊥∆OB OA S OB OA AOB ． 由54-=⋅OCOB ，得53sin ,54cos =∠∴-=∠BOC BOC ，103sin ||||21=∠⋅=∴∆BOC OC OB S BOC 同理求得其他三角形面积， 所以565210321=++=++=∆∆∆∆AOC BOC AOB ABC S S S S ． 12．设函数f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x. （1）求函数f(x)的最大值和最小正周期.（2）设A,B,C 为∆ABC 的三个内角，若cosB=31，f(3C)=－41，且C 为锐角，求sinA. 解析（1）f(x)=1cos 213cos 2cos sin 2sin sin 23322x x x x ππ--+=- ∴函数f(x)的最大值为13+,最小正周期π. （2）f(3C )=132sin 23C -=－41，∴23sin 3C =，∵C 为锐角， ∴233C π=，∴2C π=,∴sinA =cosB=31.13．在△ABC 中，A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(1,2sin A )，n ＝(sin A,1＋cos A )，且满足m ∥n ，b ＋c ＝3a .(1)求A 的大小；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6的值．解析 (1) A ＝π3.(2)b ＋c ＝3a ，由正弦定理，得sin B ＋sin C ＝3sin A ＝32.因为B ＋C ＝2π3，所以sin B ＋sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32.所以32cos B ＋32sin B ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝32.14．已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)·(PC→－12PQ →)＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE →·PF→的最值．解析 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．由(PC →＋12PQ →)·(PC→－12PQ →)＝0，得|PC |2－14|PQ |2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y 212＝1.所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1.(2)因PE →·PF →＝(NE →－NP →)·(NF →－NP →)＝(－NF →－NP →)·(NF →－NP →)＝(－NP →)2－NF →2＝NP →2－1，是设P (x 0，y 0)，则有x 2016＋y 2012＝1，即x 20＝16－4y 203，又N (0,1)，所以NP →2＝x 20＋(y 0－1)2＝－13y 20－2y 0＋17＝－13(y 0＋3)2＋20.因y 0∈[－23，23]，所以当y 0＝－3时，NP →2取得最大值20，故PE →·PF →的最大值为19；当y 0＝23时，NP →2取得最小值13－43，(此时x 0＝0)，故PE →·PF →的最小值为12－4 3.。
三角函数与平面向量综合测试题
约稿：三角函数与平面向量综合测试题广东省珠海市斗门区第一中学 于发智 519100 jianghua20011628@一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，恰有．．一项．．是符合题目要求的。
1．下列函数中，周期为2π的是（ ） A ．sin2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4xy = D ．cos 4y x = 2．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >3. 条件甲a =+θsin 1，条件乙a =+2cos2sin θθ，那么 （ ）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的充要条件C ．甲是乙的必要不充分条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件4．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ）Ａ．AO OD =Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =5. 若函数f (x )=3sin21x , x ∈[0, 3π], 则函数f (x )的最大值是 ( ) A.21 B.32 C.22 D.23 6. (1+tan25°)(1+tan20°)的值是 ( ) A.-2 B.2 C.1 D.-1 7.α、β为锐角a =sin(βα+)，b =ααcos sin +，则a 、b 之间关系为 （ ）A ．a ＞bB ．b ＞aC ．a =bD ．不确定8. 下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π,2|.B ACD③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 3632sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+= ⑤函数.0)2sin(〕上是减函数，在〔ππ-=x y 其中真命题的序号是 ① ④ （（写出所有真命题的编号））9. )sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x =1处取最大值，则 （ ） A ．)1(-x f 一定是奇函数 B ．)1(-x f 一定是偶函数 C ．)1(+x f 一定是奇函数D ．)1(+x f 一定是偶函数10. 使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为（ ） A ．π25B ．π45 C ．πD ．π2311、在直角坐标系xOy 中，,i j分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，2AB i j =+ ，3AC i k j =+，则k 的可能值有 ( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个12. 如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1， l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是 （ ）（A ）32 （B ）364（C ）4173 （D ）3212二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2023北京重点校高一(上)期末数学汇编：向量的数量积与三角恒等变换章节综合
2023北京重点校高一（上）期末汇编 向量的数量积与三角恒等变换章节综合|2|AB AD +=（ D ．①④（秋北京高一北京师大附中校考期末）已知平面向量a ，b 是非零向量，2a =，()2a a b ⊥+，则向量b 在向量a 方向上的投影为（1−BD ．22023秋·北京·高一北京师大附中校考期末）已知2a b ==，2a b ⋅=，则a b −=（ ） 1B D ．3或2二、填空题 2023秋·北京昌平·高一统考期末）已知向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形43a b −=__________.6．（2023秋·北京房山·高一统考期末）已知向量()1,1a =，非零向量b 满足a b a b +=−，请写出b 的一个坐标________．7．（2023秋·北京通州·高一统考期末）计算：2log sinlog 12π+=______．三、解答题 8．（2023秋·北京·高一北京师大附中校考期末）在ABC 中，D E ､为边BC AC ､上的点，且满足,BD CE m n BCEA==.(1)若ABC 为边长为，求AD BE ⋅；(2)若11,,32m n DE xAB yAC ===+，求x (3)若π,2,1,3A AB AC m n ∠====，求AD BE ⋅的最大值； 若将“D E ､为边BC AC ､上的点”改为“D E ､在ABC 的内部（包含边界），则AD BE ⋅是否为定值？若是，则写出该定值；若不是，则写出取值范围高一北京师大附中校考期末）已知函数(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向右平移()()()F x f x g x =+.当130,24x ⎡∈⎢⎣tan15tan15；πtan 5m(1)若矩形ABCD 为正方形，求正方形(2)求矩形ABCD 面积的最大值．15．（2023秋·北京通州17．（2023秋·北京东城·高一统考期末）如图，单位圆被点1212,,,A A A 分为12等份，其中1(1,0)A .角α的始,,A中选择，写出所有满足要求的点）2122222|2|(2)441AB AD AB AD AB AB AD AD +=+=+⋅+=+25AB AD ∴+=故选：D. 2．D【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数性质判断命题①，结合平方关系，正弦函数性质化简不等式求方程的解，判断命题②，根据奇函数的定义及正弦函数和余弦函数性质判断命题③，根据三角恒等变换及余弦型函数的周期公式判断命题④，由此可得正确选项【分析】首先通过条件()2a a b ⊥+求得·2a b =−，然后根据数量积的运算公式求出·b cos θ，进而求解b 在a 方向上投影【详解】平面向量ab 、是非零向量，()22a a a b =⊥+，，()2·2?2?||2?42?a a b a a a b a a b a b ∴+=+=+=+0=，则·2a b =−.设a 与b 夹角为θ，···2a b a b cos θ==−，则2·1b cos aθ−==−， b ∴在a 方向上投影为1−.故选：A ．C【分析】根据数量积的运算律，即可求出. 【详解】因为()22222a b a b a b a b −=−=+−⋅2222=+2a b −=. C.【分析】由图知||1,||2,,45a b a b ==<>=︒，应用向量数量积的运算律求得24310a b −=，即可得结果【详解】由图知：||1,||2,,45a b a b ==<>=︒，则12cos45a b ⋅=⨯⨯︒222431624916241810a b b b a a ⋅−=−=−++=，则4310a b −=. 故答案为：10 1,1(答案不唯一)【分析】设出向量b 的坐标，根据题意可得0a b ⋅=，进而即得. 【详解】设向量(),b x y =，220x y +≠，a b a b +=−，可得222222a a b b a a b b +⋅+=−⋅+，0a b ∴⋅=，又()1,1a =，所以0x y +=，1x =，可得()1,1b =−， 所以向量b 的坐标可为1,1. 故答案为：1,1. 【分析】根据给定条件利用对数运算法则，二倍角的正弦公式、特殊角的三角函数值计算作答2log sin log 12π+的中点，､AB AC 的夹角为60，()12AD AB AC =+，()122=−+BE AB AC ，计算AD BE ⋅即可；（2）若11,32m n ==，则距离是B 近的三等分点，E 近的AC 三等分点，则由2133=+=+DE DC CE BC AC 可得,x ，从而求出x +）11+==+CE AC n EAEA，()1=−+AD m AB mAC ，11=−++BE AB AC n ，且m ，由AD BE ⋅)1171++−+m m ，[]11,2+∈m ，令()[]13,1,2=+∈f x x x x ，由函数的单调性定义可得)13x x x=+在]1,2上单调递增，可求出AD BE ⋅的最大值；）以CB 的中点F 为原点，CB 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，，设)(),E m n D 在以B 为圆心，半径为，点E 在三角形ABC 特殊位置可得答案.）若ABC 为边长为BC AC 、的中点，､AB AC 的夹角为60，()12AD AB AC =+，()()()1112222=+=−+−=−+BE BA BC AB AC AB AB AC ， 所以()()124⋅=+⋅−+AD BE AB AC AB AC ()221113282244422⎛⎫=−−⋅+=⨯−−⨯⨯+=− ⎪⎝⎭AB AB AC AC ；,DE xAB yAC =+，则()212112333333=+=−=−−=−DE DC CE BC AC AC AB AC AC AB ， 所以12,33==−x y ，121333+=−=−x y ；3）=CE n EA，所以11++===+CE CE EA AC n EAEAEA()()1=+=+=+−=−+AD AB BD AB mBC AB m AC AB m AB mAC ，11=+=−++BE BA AE AB AC n ， 因为m n =，所以11=−++BE AB AC m ，且[]0,1m ∈， 所以()()111⎛⎫⋅=−+⋅−+⎪+⎝⎭AD BE m AB mAC AB AC m ()221113111−⎛⎫=−+−⋅+=+ ⎪+++⎝⎭m m m AB m AB AC AC m m m m )1171++−+m m ，[]11,2+∈m ， ()[]13,1,2=+∈x x x x，设1212x x ≤<≤，)()()31133⎛⎫−=+−+=− ⎪x f x x x x x时AD BE ⋅有最大值为)1,12==BDCE BC EA，()223+−=+n n 310+=n ，为圆心，半径为1的三角形ABC 都为所在边的中点，点E 在三角形点重合时，12⎛==− ⎝AD AH ，0=BE ， 所以0⋅=AD BE ，,112m n ==时，由（）32⋅=−AD BE ，故AD BE ⋅不是定值.210,30，，，⎡==∈∠=⎣AB BD BE ABE ，所以向量AB 与BE 的夹角为150，设DBE θ∠=，则030，θ⎡⎤∈⎣⎦，3cos 12，θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()⋅=+⋅=⋅+⋅AD BE AB BD BE AB BE BD BE3cos 2θ=−⋅+⋅AB BE BD BE ()3cos 3cos θθ−+=−+BE BE BE ，所以()33cos ,132θ⎡⎤−+∈−−⎢⎥⎣⎦，而0,3⎡⎤∈⎣⎦BE ()33cos ,02θ⎡⎤−+∈−⎢⎥⎣⎦BE ，所以32⎡⎤⋅∈−⎢⎣AD BE9．(1)()π3sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2)61,612⎡⎤−++⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）由图象可得()f xtan153tan15=25α=tan15tan45+tan15tan151tan45tan15=−⋅，根据两角和的正切公式逆用，即可得出；，根据两角差的正余弦公式以及诱导公式可得tan15tan45+tan15tan151tan45tan15=−⋅()tan 45+15tan 603===； cos 0α≠.π2，所以3ππcos sin 105=，3ππsin cos 105=.()()0x f x ，cos 2)cos()ln(1x x θ−+++2ln(1cos 2)cos cos x x θ−+−化简得，ln(1cos 2)cos x x −+ππ42x ≤<时，π22x ≤AD BC =，QOP ∠=OA AD ∴=AB OB ∴=矩形ABCD 为正方形，AB ∴即cos θ−，2sin θ∴2sin cos θ+，2sin θ∴+04πθ<<∴正方形ABCD （2）设矩形sin cos θ=15．(1)75；(2)72 cos410πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，【详解】2ππ126=，所以终边经过π1112,Z 6i i i α的始边与x 轴的非负半轴重合，若的终边经过点5A ，则2π3α=， 2πcos 3α=ππsin sin cos sin 33ααα⎛=+⋅ ⎝，即1sin sin 2αα=⋅+4π3α=即ππ1112,Z 336i i i i 或4ππ1112,Z 936i i i i 经过点39,A A故答案为：12−；39,A A。
最新【成才之路】高中数学-第二、三章--平面向量-三角恒等变换综合测试题-新人教B版必修4资料
【成才之路】2014-2015学年高中数学 第二、三章 平面向量 三角恒等变换综合测试题 新人教B 版必修4本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．有下列四个命题：①存在x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12；②存在x 、y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ； ③x ∈[0，π]，1－cos2x2＝sin x ； ④若sin x ＝cos y ，则x ＋y ＝π2. 其中不正确的是( ) A ．①④ B ．②④ C ．①③ D ．②③[答案] A[解析] ∵对任意x ∈R ，均有sin 2x2＋cos 2x2＝1，故①不正确，排除B 、D ；又x ∈[0，π]，1－cos2x 2＝sin 2x ＝sin x ，故③正确，排除C ，故选A.2．(2014·山东潍坊重点中学高一期末测试)若向量a ＝(2cos α，－1)，b ＝(2，tan α)，且a ∥b ，则sin α＝( )A ．22 B ．－22C ．±22D ．－12[答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴2cos α·tan α＝－2，即sin α＝－22. 3．(2014·陕西咸阳市三原县北城中学高一月考)函数y ＝2cos 2x －1是( ) A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数[答案] C[解析] y ＝2cos 2x －1＝cos2x ，故函数y ＝2cos2x 是最小正周期为π的偶函数． 4．在△ABC 中，若4sin A ＋2cos B ＝1,2sin B ＋4cos A ＝33，则sin C 的大小是( ) A ．－12B ．32C ．12或32D ．12[答案] D[解析] 由条件，得(4sin A ＋2cos B )2＝1，(2sin B ＋4cos A )2＝27， ∴20＋16sin A cos B ＋16sin B cos A ＝28. ∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝12.即sin(A ＋B )＝12.∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝12.5．函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋1的最小正周期是( ) A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π[答案] B[解析] y ＝(sin x ＋cos x )2＋1 ＝1＋2sin x cos x ＋1＝2＋sin2x . ∴最小正周期T ＝π.6．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4的值等于( )A ．－1＋a2 B ．－1－a2 C ．－1＋a2D ．－1－a2[答案] D[解析] ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2， ∴sin θ4<0，∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2.7．(2014·山东济宁梁山一中高一月考)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A ． 5B ．10C ．2 5D ．10[答案] B[解析] ∵a ⊥c ，∴a ·c ＝2x －4＝0，∴x ＝2. 又∵b ∥c ，∴－4＝2y ，∴y ＝－2. ∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)， ∴|a ＋b |＝32＋－2＝10.8．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝( ) A ． 3 B ．2 3 C ．4 D ．12[答案] B[解析] ∵a ＝(2,0)，∴|a |＝2，|a ＋2b |＝a ＋2b2＝a 2＋4a·b ＋4b 2，∵a·b ＝|a|·|b |cos60°＝1， ∴|a ＋2b |＝4＋4＋4＝2 3.9．cos 275°＋cos 215°＋cos75°cos15°的值为( ) A ．62B ．32C ．54D ．1＋34[答案] C[解析] 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15° ＝1＋12sin30°＝54.10．设△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[答案] C[解析] ∵m·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，∴3sin(A ＋B )－cos(A ＋B )＝1，∴3sin C ＋cos C ＝1，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝12，∴C ＋π6＝5π6，∴C ＝2π3.11．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝2，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形[答案] C[解析] 由已知，得1－cos2A 2＋1－cos2B 2＋sin 2C ＝2，∴1－12(cos2A ＋cos2B )＋sin 2C ＝2，∴cos2A ＋cos2B ＋2cos 2C ＝0， ∴cos(A ＋B )·cos(A －B )＋cos 2C ＝0， ∴cos C [－cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝0， ∴cos A ·cos B ·cos C ＝0， ∴cos A ＝0或cos B ＝0或cos C ＝0. ∴△ABC 为直角三角形．12．若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( ) A ．3－cos2x B ．3－sin2x C ．3＋cos2x D ．3＋sin2x[答案] C[解析] f (sin x )＝3－cos2x ＝3－(1－2sin 2x )＝2＋2sin 2x ， ∴f (x )＝2＋2x 2 ∴f (cos x )＝2＋2cos 2x ＝2＋1＋cos2x ＝3＋cos2x .第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13.2tan150°1－tan 2150°的值为________． [答案] － 3[解析] 原式＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－331－⎝⎛⎭⎪⎫－332＝－233·32＝－ 3.14．已知向量a 、b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. [答案] 3 2[解析] ∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝45°，|2a －b |＝10，∴4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝10，∴4－4×1×|b |cos45°＋|b |2＝10，∴|b |2－22|b |－6＝0，∴|b |＝3 2.15．若1＋tan α1－tan α＝2 014，则1cos2α＋tan2α＝________.[答案] 2 014[解析] 1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝1＋sin2αcos2α＝α＋sin α2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 014.16．在△ABC 中，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝513，则cos2A 的值为________．[答案]120169[解析] 在△ABC 中，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝513>0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝1213.∴cos2A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2A ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2×1213×513＝120169.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)求值(tan5°－cot5°)·cos70°1＋sin70°.[解析] 解法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan5°－1tan5°·cos70°1＋sin70° ＝tan 25°－1tan5°·sin20°1＋cos20°＝－2·1－tan 25°2tan5°·sin20°1＋cos20°＝－2cot10°·tan10°＝－2. 解法二：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin5°cos5°－cos5°sin5°·sin20°1＋cos20°＝sin 25°－cos 25°sin5°·cos5°·sin20°1＋cos20° ＝－cos10°12sin10°·2sin10°·cos10°2cos 210°＝－2. 解法三：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－cos10°sin10°－1sin10°1＋cos10°·sin20°1＋cos20°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos10°sin10°－1＋cos10°sin10°·sin20°1＋cos20°＝－2cos10°sin10°·2sin10°·cos10°2cos 210°＝－2. 18．(本小题满分12分)(2014·山东烟台高一期末测试)已知向量a 、b 满足|a |＝2，|b |＝1，且a 与b 的夹角为2π3，求：(1)a 在b 方向上的投影； (2)(a －2b )·b .[解析] (1)a 在b 方向上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉＝2×cos 2π3＝2×(－12)＝－1.(2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝2×1×cos 2π3－2×1＝－1－2＝－3.19．(本小题满分12分)(2014·山东济宁梁山一中高一月考)已知α为锐角，且tan(π4＋α)＝2.(1)求tan α的值；(2)求2α＋π4α－sin αcos2α的值．[解析] (1)tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α＝2，∴tan α＝13.(2)∵α为锐角，tan α＝13，∴sin α＝1010，cos α＝31010. ∴sin2α＝2sin αcos α＝2×1010×31010＝35， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×110＝45.∴2α＋π4α－sin αcos2α＝n2α＋cos2αα－sin αcos2α＝35＋4531010－101045＝2105. 20．(本小题满分12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求tan α＋β2的值．[解析] ∵π2<α<π，0<β<π2，∴π4<α－β2<π.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝459. 又∵π4<α2<π2，∴－π4<α2－β<π2.∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53.故sin α＋β2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝459×53－⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×23＝2227， cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527，∴tan α＋β2＝sinα＋β2cosα＋β2＝22277527＝22535.21．(本小题满分12分)设平面内两向量a⊥b ，且|a |＝2，|b |＝1，k 、t 是两个不同时为零的实数．(1)若x ＝a ＋(t －3)b 与y ＝－ka ＋tb 垂直，求k 关于t 的函数关系式k ＝f (t )； (2)求函数k ＝f (x )的最小值． [解析] (1)∵x⊥y ，∴x·y ＝0， 即[a ＋(t －3)b ]·(－ka ＋tb )＝0，∴－ka 2＋t (t －3)b 2－k (t －3)a·b ＋ta·b ＝0.由|a |＝2，|b |＝1，a·b ＝0，可得－4k ＋t (t －3)＝0.∵k 、t 不同时为0，则t ≠0，∴k ＝t t －4，即f (t )＝t t －4(t ≠0)．(2)f (t )＝t 2－3t 4＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫t －322－94.故当t ＝32时，f (t )min ＝－916.22．(本小题满分14分)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．[解析] (1)∵a ∥b ，∴2sin θ＝cos θ－2sin θ， ∴4sin θ＝cos θ，∴tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |，得sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，∴1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5. ∴－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4， 即sin2θ＋cos2θ＝－1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22.又∵0<θ<π，∴π4<2θ＋π4<9π4，∴2θ＋π4＝5π4或7π4.∴θ＝π2或θ＝3π4.。
提优专题(2.2)——平面向量和解三角形(解答题)(含答案)
平面向量与解三角形（解答题）1. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且8a =，.3A π=(1)若2B π≠，求2cos c bB−的值； (2)求||AB AC AB AC +−⋅的最小值．2.ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1sin cos .1cos 2sin 2A AB B+=+(1)求证：2;2A B π+=(2)若2223a c b ac +−，试求sin a cB b+⋅的取值范围.3.如图，某公园改建一个三角形池塘，90C ︒∠=，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.(1)若在ABC 内部取一点P ，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且23CPB π∠=，求连廊AP PC PB ++的长(单位为百米)； (2)若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，并建造连廊，使得DEF 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得DEF 为正三角形，设2S 为图②中DEF 的面积，求2S 的最小值；方案三如图③，使得EF 平行于AB ，且EF 垂直于DE ，设3S 为图③中DEF 的面积，求3S 的取值范围.4.在ABC 中，点P 为ABC 内一点．(1)若点P 为ABC 的重心，用AB ，AC 表示AP ；(2)记PBC ，PAC ，PAB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0A B C S PA S PB S PC ++=； (3)若点P 为ABC 的垂心，且230PA PB PC ++=，求cos .APB ∠5．已知向量(),u a b =，(),v c d =，其中(),,,0,.a b c d ∈+∞(1)若u v u v ⋅=，写出a ，b ，c ，d 之间应满足的关系式；(2)求证：()()()22222a b c d ac bd +++；(3)+的最大值，并求其取得最大值时x 的值．6. 平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD 的顶点在同一平面上，已知2,AB BC CD AD ====(1)当BD cos A C −是否为一个定值？若是，求出这个定值；否则，说明理由．(2)记ABD 与BCD 的面积分别为1S 和2S ，请求出2212S S +的最大值．7. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在ABC ∆中，试解决以下问题：(1)G 是三角形的重心(三条中线的交点)，过点G 作一条直线分别交,AB AC 于点,.M N()i 记a,b AB AC ==，请用a,b 表示AG ；(),ii AM mAB AN nAC ==，求4m n +的最小值.(2)已知点O 是ABC ∆的外心，且1143AO AB AC =+，求cos .BAC ∠8. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3.cos cos cos cos cos b c a aB C A B C+=+ (1)求tan tan B C ；(2)若3bc =，求ABC 面积S 的最小值.9. 已知梯形ABCD 中，2AB DC =，AB BC 2,60ABC ︒==∠=，E 为BC 的中点，连接.AE(1)若4AF FE =，求证：B ，F ，D 三点共线； (2)求AE 与BD 所成角的余弦值；(3)若P 为以B 为圆心、BA 为半径的圆弧AC(包含A ，)C 上的任意一点，当点P 在圆弧AC(包含A ，)C 上运动时，求PA PC ⋅的的最小值．10.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且223.222()C B bc bsincsin b c a +=++ (1)求角A 的大小；(2)若c a >，求a bm c+=的取值范围．11.对于给定的正整数n ，记集合123j {|(,,,,),,1,2,3,,}nn R x x x x x R j n αα==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，其中元素α称为一个n 维向量．特别地，0(0,0,,0)=⋅⋅⋅称为零向量．设k R ∈，12(,,,)n n a a a R α=⋅⋅⋅∈，12(,,,)n n b b b R β=⋅⋅⋅∈，定义加法和数乘：1122(,,,)n n a b a b a b αβ+=++⋅⋅⋅+，12(,,,).n k ka ka ka α=⋅⋅⋅对一组向量1α，2α，…，(,2)s s N s α+∈，若存在一组不全为零的实数1k ，2k ，…，s k ，使得11220s s k k k ααα++⋅⋅⋅+=，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关． (Ⅰ)对3n =，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由． ①(1,1,1)α=，(2,2,2)β=；②(1,1,1)α=，(2,2,2)β=，(5,1,4)γ=；③(1,1,0)α=，(1,0,1)β=，(0,1,1)γ=，(1,1,1).δ=(Ⅱ)已知向量α，β，γ线性无关，判断向量αβ+，βγ+，αγ+是线性相关还是线性无关，并说明理由．(Ⅲ)已知(2)m m 个向量1α，2α，…，m α线性相关，但其中任意1m −个都线性无关，证明下列结论：(ⅰ)如果存在等式11220(,1,2,3,,)m m i k k k k R i m ααα++⋅⋅⋅+=∈=⋅⋅⋅，则这些系数1k ，2k ，…，m k 或者全为零，或者全不为零；(ⅱ)如果两个等式11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=，11220(,,1,2,3,,)m m i i l l l k R l R i m ααα++⋅⋅⋅+=∈∈=⋅⋅⋅同时成立，其中10l ≠，则1212.m m k k k l l l ==⋅⋅⋅=12.已知OAB ，OA a =，OB b =，||2a =，||3b =，1a b ⋅=，边AB 上一点1P ，这里1P 异于,.A B 由1P 引边OB 的垂线111,PQ Q 是垂足，再由1Q 引边OA 的垂线111,Q R R 是垂足，又由1R 引边AB 的垂线122,R P P 是垂足．同样的操作连续进行，得到点n P ，n Q ，()*.n R n N ∈设()(01)n n n AP t b a t =−<<，如图所示.(1)某同学对上述已知条件的研究发现如下结论：112(1)3BQ t b =−−⋅，问该同学这个结论是否正确并说明理由； (2)用n t 表示1.n t +13.射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，O 为透视中心，平面内四个点E ，F ，G ，H 经过中心投影之后的投影点分别为A ，B ，C ，.D 对于四个有序点A ，B ，C ，D ，定义比值CA CB x DADB=叫做这四个有序点的交比，记作().ABCD (1)证明：()()EFGH ABCD =；(2)已知3()2EFGH =，点B 为线段AD的中点，3AC =，sin 3sin 2ACO AOB ∠=∠，求cos .A14.如图1所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，满足2BD DC =，G 是线段AB 上的点，且满足32AG GB =，线段CG 与线段AD 交于点.O (1)若AO t AD =，求实数t ；(2)如图2所示，过点O 的直线与边AB ，AC 分别交于点E ，F ，设EB AE λ=，(0,0)FC AF μλμ=>>；()i 求λμ的最大值；()ii 设AEF 的面积为1S ，四边形BEFC 的面积为2S ，求21S S的取值范围．15.如图：在斜坐标系xOy 中，x 轴、y 轴相交成60︒角，1e 、2e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+，则称有序实数对⟨,x y ⟩为向量OP 的坐标，记作OP =⟨,x y ⟩.在此斜坐标系xOy 中，已知ABC 满足：OA =⟨0,2⟩、OB =⟨2,1−⟩.(1)求OA OB ⋅的值；(2)若坐标原点O 为ABC 的重心(注：在斜坐标系下，若G 为ABC 的重心，依然有0GA GB GC ++=成立).①求ABC 的面积；②求满足方程11tan tan tan mA B C+=的实数m 的值．16.法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3.O(1)证明：123O O O 为等边三角形； (2)若123O O O ABCSmS= ，求m 的最小值．平面向量与解三角形1. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且8a =，.3A π=(1)若2B π≠，求2cos c bB−的值； (2)求||AB AC AB AC +−⋅的最小值．【答案】(1)因为8a =，3A π=，所以sin sin sin b c a B C A ===所以b B =，)8cos c C A B B B =+=，则216.cos c b B −== (2)由222222cos a b c bc A b c bc =+−=+−， 得2264.b c bc +=+因为222b c bc +，所以22642b c bc bc +=+， 所以64bc ，当且仅当8b c ==时，取等号， 2||()AB AC AB AC +=+222AB AC AB AC ++⋅22b c bc =++=，12AB AC bc ⋅=，令t 883t <，则21322bc t =−，则2211||16(2)1744AB AC AB AC t tt +−⋅=−+=−−+，因为883t <，所以2132(2)1784t −−−+<，所以||AB AC AB AC +−⋅的最小值为32.【解析】本题考查利用正弦定理解三角形，利用余弦定理解决范围问题.(1)先利用正弦定理分别求出b ，c ，再根据三角形内角和定理将C 用B 表示，再将所求化简即可得解;(2)利用余弦定理结合可得2264b c bc +=+，结合基本不等式求出bc的范围，计算可得1||64.2AB AC AB AC bc +−⋅=令t =.2.ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1sin cos .1cos 2sin 2A AB B+=+(1)求证：2;2A B π+=(2)若2223a c b ac +−，试求sin a cB b+⋅的取值范围. 【答案】证明：(1)原式化简得：21sin cos sin sin sin cos cos 2cos 2sin cos A AB A B A B B B B+=⇔+=，即sin cos()B A B =+，cos()cos()2B A B π∴−=+，(0,)2A B π+∈，(0,)22B ππ−∈， 2B A B π∴−=+，即2.2A B π+=(2)由22222A B A B A B C C B ππππ⎧=−⎧⎪+=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪++==+⎩⎪⎩且04B π<<，由余弦定理，2223a c b ac +−变为223cos 22a cb B ac+−=， 62B ππ∴<， 又04B π<<，;64B ππ∴<由正弦定理，sin sin sin sin sin a c A CB B b B++⋅=⋅ 2219sin sin cos 2cos 2cos cos 12(cos )48A C B B B B B =+=+==+−=+−，cos (2B ∈∴由二次函数值域，可得sina c B b+⋅的范围为【解析】本题考查利用正余弦定理解三角形，三角恒等变换的应用，余弦型函数的值域，二次函数的性质等知识点，属于较难题.3.如图，某公园改建一个三角形池塘，90C ︒∠=，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.(1)若在ABC 内部取一点P ，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P 是等腰三角形PBC的顶点，且23CPB π∠=，求连廊AP PC PB ++的长(单位为百米)；(2)若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，并建造连廊，使得DEF 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得DEF 为正三角形，设2S 为图②中DEF 的面积，求2S 的最小值；方案三如图③，使得EF 平行于AB ，且EF 垂直于DE，设3S 为图③中DEF 的面积，求3S 的取值范围.【答案】(1)解：因为点 P 是等腰三角形 PBC 的顶点，且 23CPB π∠= ， 1BC = ， 所以 6PCB π∠=，PC PB =，由余弦定理可得， 222cos C 2PB PC BC PB PB PC +−∠=⋅ ，解得PC = ， 又因为 2ACB π∠=，故 3ACP π∠=， 在 Rt ACB 中， 2AB = ， 1BC = ，所以AC == ，在 ACP 中，由余弦定理可得， 2222cos3AP AC PC AC PC π=+−⋅⋅ ，解得3AP =， 故AP PC PB ++=+=， 所以连廊 AP PC PB ++ 的长为百米． (2)解：设图②中的正 DEF 的边长为 a ， (0)2CEF παα∠=<< ，则 sin CF a α= ，sin AF a α=− ， 设 1EDB ∠=∠ ， 则 213B DEB DEB ππ∠=−∠−∠=−∠ ， 233DEB DEB ππαπ=−−∠=−∠ ，所以 2133ADF πππα∠=−−∠=− ， 在 ADF 中，由正弦定理可得，sin sin DF AFA ADF=∠∠ ，即sin 2sinsin()63aa αππα−=− ， 即21sin()sin 32a a παα−=−， 即32177a ===(其中 θ 为锐角，且tan θ= ，所以 222133sin 60247Sa =︒⨯=， 即 ()2min S = ； 图③中，设 BE x = ， (0,1)x ∈ ， 因为 //EF AB ，且 EF DE ⊥ ，所以 3FEC π∠= ， 6DEB π∠= ， 2EDB π∠= ，所以 cos 62DE x x π== ，222cos3CE EF CE xπ===− ，所以22111(22)))222DEFSEF DE x x x x =⋅⋅=⋅−=−+=−+， 所以当 12x = 时， DEF S 取得最大值8 ，无最小值，即DEF S ⎛∈ ⎝⎦， 故3.S ⎛∈ ⎝⎦【解析】本题考查利用正弦定理、余弦定理解决距离问题、利用正弦定理解决范围与最值问题，属于较难题.(1)先由 PBC 中的余弦定理求出 PC ，再由 APC 中的余弦定理求出 AP ，即可得到答案；(2)设图②中的正 DEF 的边长为 a ， (0)2CEF παα∠=<<，图③中，设 BE x = ， (0,1)x ∈ ，分别表示出方案②和方案③中的面积，利用三角函数的性质以及二次函数的性质求解最值即可．4.在ABC 中，点P 为ABC 内一点．(1)若点P 为ABC 的重心，用AB ，AC 表示AP ；(2)记PBC ，PAC ，PAB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0A B C S PA S PB S PC ++=； (3)若点P 为ABC 的垂心，且230PA PB PC ++=，求cos .APB ∠【答案】解：(1)由题意，不妨设BC 边上的中点为点D ，所以23AP AD =，又1()2AD AB AC =+，所以，11.33AP AB AC =+(2)证明：令A B C S S S S =++，则B CS S AP AD S +=||||||||C B B C B C S S DC DB AD AB AC AB AC S S S S BC BC =+=+++()()C B S SAP AP PB AP PC S S=+++，则0B C A S PB S PC S AP +−=，所以0A B C S PA S PB S PC ++=；(3)因为P 是ABC 的垂心，230PA PB PC ++=， 所以由(2)易知，::1:2:3.A B C S S S =记ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，则1tan 2:1tan 2A B FC PC BFBF A AF S S FC AF B PC AF BF⋅====⋅，同理:tan :tan B C S S B C =，所以，tan :tan :tan 1:2:3A B C =，又tan tan tan tan()1tan tan A B C A B A B −−=−+=−，所以，2tan 2tan 3tan 12tan A AA A−−=−， 即tan 1A =或1−，又tan A ，tan B ，tan C 同号，所以tan 1A =，所以tan 3C = 又四边形CDPE 中，因为P 是ABC 的垂心，所以90CDP CEP ∠=∠=︒， 所以，180DPE C ∠+∠=︒，又DPE APB ∠=∠，所以，180APB C ∠+∠=︒，所以，tan tan 3APB C ∠=−=−，即cos 10APB ∠=−【解析】本题考查向量的线性运算，向量的几何应用，属于难题. (1)根据向量的线性运算化简即可；(2)利用面积与边长的比例关系化简整理即可；(3)利用(2)的结论得出A ，B ，C 的关系，结合正切的和差角公式计算即可. 5．已知向量(),u a b =，(),v c d =，其中(),,,0,.a b c d ∈+∞(1)若uv u v ⋅=，写出a ，b ，c ，d 之间应满足的关系式； (2)求证：()()()22222a b c d ac bd +++；(3)23x −的最大值，并求其取得最大值时x 的值． 【答案】解：(1)由向量(),u a b =，(),v c d =，得2222,,u v ac bd u a b v c d ⋅=+=+=+， 因为u v u v ⋅=，所以()()()22222ac bd a b c d +=++，即2222222222222a c abcd b d a c a d b c b d ++=+++，所以22222abcd a d b c =+，即()20ad bc −=， 所以0ad bc −=；(2)因为cos ,u v ac bd u v u v ⋅=+=， 而cos ,1u v，所以()222222,ac bd u v cos u vu v +=，当且仅当cos ,1u v =，即//u v 时取等号，所以()()()22222a b c d ac bd +++；(3)由413030x x +⎧⎨−⎩可得1334x −，当3x =5==，当134x =−5+==， 当1334x −<<时，由(2)可得，()11x=+=⎡⎣，，即18x =−时，取等号，+的最大值为1.8x =−【解析】本题考查向量数量积的坐标运算，向量模的坐标表示，利用向量的数量积证明等式. (1)根据数量积得坐标运算及平面向量的模的坐标公式计算即可得出结论； (2)根据cos ,u v ac bd u v u v ⋅=+=，结合余弦函数的值域即可得证；(3)利用(2)中的结论即可得出答案.6. 平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD 的顶点在同一平面上，已知2,AB BC CD AD ====(1)当BD cos A C −是否为一个定值？若是，求出这个定值；否则，说明理由．(2)记ABD 与BCD 的面积分别为1S 和2S ，请求出2212S S +的最大值．【答案】解：(1)法一：在ABD 中，由余弦定理得222cos 2AD AB BD A AD AB+−=⋅，即222cosA =2168BD A −=①，同理，在BCD 中，22222cos 222BD C +−=⨯⨯，即28cos 8BD C −=②，①-cos 1A C −=，所以当BD cos A C −为定值，定值为1；法二：在ABD 中，由余弦定理得2222cos BD AD AB AD AB A =+−⋅即222222cos BD A =+−⨯⨯，即216BD A =−， 同理，在BCD 中，2222cos 88cos BD CD CB CD CB C C =+−⋅=−，所以1688cos A C −=−，1cos A C −=，即cos 1A C −=，所以当BD cos A C −为定值，定值为1；222222221211(2)44S S AB AD sin A BC CD sin C +=⋅⋅+⋅⋅ 22221241244sin A sin C sin A cos C =+=+−221241)sin A A =+−−22412cos A A =−++， 令)cos ,1,1A t t =∈−，所以2224122414y t t ⎛=−++=−+ ⎝⎭，所以6t =，即cos A =时，2212S S +有最大值为14.【解析】本题考查余弦定理，考查三角形面积公式，属于较难题.(1)法一：在ABD 2168BD A −=，在BCD 中由余弦定理得28cos 8BD C −=，两式相减可得答案；法二：在ABD 中由余弦定理得216BD A =−，在BCD 中由余弦定理得288cos BD C =−，两式相减可得答案；(2)由三角形面积公式可得222122412S S cos A A +=−++，令()cos ,1,1A t t =∈−转化为二次函数配方求最值即可．7. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在ABC ∆中，试解决以下问题：(1)G 是三角形的重心(三条中线的交点)，过点G 作一条直线分别交,AB AC 于点,.M N()i 记a,b AB AC ==，请用a,b 表示AG ； (),ii AM mAB AN nAC ==，求4m n +的最小值.(2)已知点O 是ABC ∆的外心，且1143AO AB AC =+，求cos .BAC ∠ 【答案】解：(1)()i 设D 是BC 中点，则1()2AD a b =+，重心是中线靠近边的三等分点，21()33AG AD a b ∴==+；1111()3333ii AG AB AC AM AN m n=+=+，M ，G ，N 三点共线，G 在线段MN 上，则111(0,0)33m n m n+=>>， 1111414(4)()(5)(523333m n m n m n m n n m ∴+=++=+++=，当且仅当21n m ==时取等号，4m n ∴+的最小值为3； (2)由1143AO AB AC =+可知点O 在ABC 的内部，如图所示，取AB 的中点P ，AC 的中点Q ，由外心性质可知OP AB ⊥，OQ AC ⊥，从而212AO AB AP AB c ⋅=⋅=，即2111()432AB AC AB c +⋅=，所以22111cos 432c bc BAC c +⋅∠=，故11cos 34b BACc ⋅∠=， 同理，由212AO AC AQ AC b ⋅=⋅=可得11cos 46c BAC b ⋅∠=，联立11cos ,3411cos ,46b BAC c c BAC b ⎧⋅∠=⎪⎪⎨⎪⋅∠=⎪⎩得cos 2BAC ∠=【解析】本题考查了平面向量基本定理，余弦定理，基本不等式的应用，属于综合题． (1)()i 根据重心的定义以及平面向量基本定理可表示AG ；()ii 平面向量基本定理结合基本不等式可得结果；(2)由外心性质可得关于cos BAC ∠的方程，解方程可得cos .BAC ∠8. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3.cos cos cos cos cos b c a aB C A B C+=+ (1)求tan tan B C ；(2)若3bc =，求ABC 面积S 的最小值.【答案】解：3(1)cos cos cos cos cos b c a aB C A B C+=+， ()()cos cos cos cos cos 3cos .b C c B A a B C A ∴+=+由正弦定理得(sin cos cos sin )cos sin (cos cos 3cos ).B C B C A A B C A +=+ ()()sin cos sin cos cos 3cos .B C A A B C A ∴+=+ 因为0A π<<，则sin 0A >，A B C π++=，()sin sin B C A ∴+=，则()cos cos sin sin cos cos A B C B C B C =−+=−，所以，cos cos cos 3cos A B C A =+，即2cos cos cos 0A B C +=， 所以，()2sin sin cos cos cos cos 0B C B C B C −+=，2sin sin cos cos B C B C ∴=，即1tan tan .2B C =(2)由(1)得1tan tan .2B C =若tan 0tan 0B C <⎧⎨<⎩，则B 、C 均为钝角，则B C π+>，矛盾， 所以，tan 0B >，tan 0C >，此时B 、C 均为锐角，合乎题意，tan tan tan tan ()2(tan tan )4tan tan tan1B CA B C B C B C +∴=−+==−+−−=−当且仅当tan tan 2B C ==时，等号成立，且A 为钝角. tan 22A −，则()tan 22A π−，且A π−为锐角，由()()()()()()()22sin tan 22cos 1cos 0sin 0A A A sin A cos A A A πππππππ−⎧−=⎪−⎪⎪−+−=⎨⎪−>⎪⎪−>⎩，解得()22sin 3A π−，即22sin 3A ，当且仅当tan tan 2B C ==时，等号成立， 3bc =，13322sin sin 2223S bc A A ∴==⨯=因此，ABC【解析】本题主要考查正弦定理，两角和与差的三角函数公式，三角形面积公式，属于较难题. (1)利用正弦定理结合两角和的余弦公式化简可得出2sin sin cos cos B C B C =，即可求得tan tan B C 的值；(2)分析可知B 、C 均为锐角，利用两角和的正切公式结合基本不等式可得出tan 22A −，求出sin A 的最小值，即可求得S 的最小值.9. 已知梯形ABCD 中，2AB DC =，AB BC 2,60ABC ︒==∠=，E 为BC 的中点，连接.AE(1)若4AF FE =，求证：B ，F ，D 三点共线； (2)求AE 与BD 所成角的余弦值；(3)若P 为以B 为圆心、BA 为半径的圆弧AC(包含A ，)C 上的任意一点，当点P 在圆弧AC(包含A ，)C 上运动时，求PA PC ⋅的的最小值．【答案】解：(1)如图1，12BD BC CD BC BA =+=+1111111()()2525252BF BE EF BC EA BC EB BA BC BC BA =+=+=++=+−+2155BC BA =+25BF BD ∴=又点B 是公共点，B ∴，F ，D 三点共线.(2)如图1，2222211||()422cos601724BD BD BC BA BC BC BA BA ︒==+=+⋅+=+⨯⨯+= ||7BD ∴=12AE AB BE BC BA =+=− 2222211||()122cos604324AE AE BC BA BC BC BA BA ︒∴==−=−⋅+=−⨯⨯+=||3AE ∴=2211113()()22224AE BD BC BA BC BA BC BA BC BA ⋅=−⋅+=−−⋅11334422cos602242︒=⨯−⨯−⨯⨯⨯=− cos AE ∴<，3||||37AE BD BD AE BD −⋅>===⋅⨯(3)如图2，PA BA BP =−，PC BC BP =−2()()()PA PC BA BP BC BP BA BC BP BA BP BC BP ∴⋅=−⋅−=⋅+−⋅+⋅ 设ABP θ∠=，[0,]3πθ∈，则3CBPπθ∠=−，22cos 422cos 22cos()33PA PC ππθθ⋅=⨯⨯+−⨯⨯−⨯⨯− 64cos 4(coscos sinsin )6)333πππθθθθ=−−+=−+[0,]3πθ∈，∴当6πθ=时，min ()6PA PC ⋅=−【解析】本题考查平面向量和三角函数的综合应用，属于拔高题.(1)利用平面向量的线性运算求得25BF BD =，即可求证三点共线；(2)求出||BD 、||AE 和AE BD ⋅，由夹角公式即可求解;(3)设ABP θ∠=，[0,]3πθ∈，求出6)3PA PC πθ⋅=−+，利用三角函数的性质即可求解.10.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且223.222()C B bc bsincsin b c a +=++ (1)求角A 的大小；(2)若c a >，求a bm c+=的取值范围． 【答案】解：(1)由22(1cos )(1cos )cos cos 222222C B b C c B b c b C c B bsincsin −−+++=+=− 22222212222222b c a b c a c b b c a b c aa a⎛⎫++−+−++−=−+=−= ⎪⎝⎭， 所以322()b c a bcb c a +−=++，可得22()3b c a bc +−=， 则222b c a bc +−=，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +−===，又(0,)A π∈，解得3A π=；(2)由正弦定理得21sin ()cos sin sin sin 23222sin sin sin C C C A B m C C Cπ+−+++===2cos )1111222sin 22222sin cos 2sin2tan 2222C C C C C C C C +=+=+=+=+，因为c a >，所以3C π>，又23B C π+=，所以233C ππ<<，所以623C ππ<<tan 2C<<1tan2C<<， 所以12m <<，则a bm c+=的取值范围为(1,2).【解析】本题，考查利用余弦定理解三角形，利用正弦定理解决范围问题，三角恒等变换，考查了运算能力，属于中档题.(1)利用降幂公式化简，再根据余弦定理即可求解；(2)根据正弦定理及三角恒等变换将a b m c +=可化为122tan 2m C =+，结合233C ππ<<即可求出m 的取值范围. 11.(本小题12分)对于给定的正整数n ，记集合123j {|(,,,,),,1,2,3,,}nn R x x x x x R j n αα==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，其中元素α称为一个n维向量．特别地，0(0,0,,0)=⋅⋅⋅称为零向量．设k R ∈，12(,,,)n n a a a R α=⋅⋅⋅∈，12(,,,)n n b b b R β=⋅⋅⋅∈，定义加法和数乘：1122(,,,)n n a b a b a b αβ+=++⋅⋅⋅+，12(,,,).n k ka ka ka α=⋅⋅⋅对一组向量1α，2α，…，(,2)s s N s α+∈，若存在一组不全为零的实数1k ，2k ，…，s k ，使得11220s s k k k ααα++⋅⋅⋅+=，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关． (Ⅰ)对3n =，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由． ①(1,1,1)α=，(2,2,2)β=；②(1,1,1)α=，(2,2,2)β=，(5,1,4)γ=；③(1,1,0)α=，(1,0,1)β=，(0,1,1)γ=，(1,1,1).δ=(Ⅱ)已知向量α，β，γ线性无关，判断向量αβ+，βγ+，αγ+是线性相关还是线性无关，并说明理由．(Ⅲ)已知(2)m m 个向量1α，2α，…，m α线性相关，但其中任意1m −个都线性无关，证明下列结论：(ⅰ)如果存在等式11220(,1,2,3,,)m m i k k k k R i m ααα++⋅⋅⋅+=∈=⋅⋅⋅，则这些系数1k ，2k ，…，m k 或者全为零，或者全不为零；(ⅱ)如果两个等式11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=，11220(,,1,2,3,,)m m i i l l l k R l R i m ααα++⋅⋅⋅+=∈∈=⋅⋅⋅同时成立，其中10l ≠，则1212.m m k k k l l l ==⋅⋅⋅= 【答案】(Ⅰ)解：对于①，设120k k αβ+=，则可得1220k k +=，所以,αβ线性相关； 对于②，设1230k k k αβγ++=，则可得{12312312325020240k k k k k k k k k ++=++=++=，所以1220k k +=，30k =，所以,,αβγ线性相关；对于③，设12340k k k k αβγδ+++=，则可得{124134234000k k k k k k k k k ++=++=++=，解得123412k k k k ===−，所以,,,αβγδ线性相关；(Ⅱ)解：设123()()()0k k k αββγαγ+++++=，则131223()()()0k k k k k k αβγ+++++=，因为向量α，β，γ线性无关，所以{131223000k k k k k k +=+=+=，解得1230k k k ===， 所以向量αβ+，βγ+，αγ+线性无关，(Ⅲ)证明：(ⅰ1122)0m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=，如果某个0i k =，1i =，2，⋯，m ，则112211110i i i i m m k k k k k ααααα−−+++++++⋅⋅⋅+=，因为任意1m −个都线性无关，所以1k ，2k ，⋯1i k −，1i k +，⋅⋅⋅，m k 都等于0， 所以这些系数1k ，2k ，⋅⋅⋅，m k 或者全为零，或者全不为零，(ⅱ)因为10l ≠，所以1l ，2l ，⋅⋅⋅，m l 全不为零，所以由11220m m l l l ααα++⋅⋅⋅+=可得21211m m l l l l ααα=−−⋅⋅⋅−，代入11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=可得2122211()0m m m m l l k k k l l αααα−−⋅⋅⋅−++⋅⋅⋅+=，所以2122111()()0m m m l l k k k k l l αα−++⋅⋅⋅+−+=， 所以21210l k k l −+=，⋯，110m m l k k l −+=，所以1212.m mk k k l l l ==⋅⋅⋅= 【解析】本题主要考查平面向量的综合运用，新定义概念的理解与应用等知识，属于较难题． (Ⅰ)根据定义逐一判断即可；(Ⅱ)设123()()()0k k k αββγαγ+++++=，则131223()()()0k k k k k k αβγ+++++=，然后由条件得到1230k k k ===即可；(Ⅲ)(ⅰ)如果某个0i k =，1i =，2，⋯，m ，然后证明1k ，2k ，⋯1i k −，1i k +，⋅⋅⋅，m k 都等于0即可；(ⅱ)由11220m m l l l ααα++⋅⋅⋅+=可得21211m m l ll l ααα=−−⋅⋅⋅−，然后代入11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=证明即可．12.(本小题12分)已知OAB ，OA a =，OB b =，||2a =，||3b =，1a b ⋅=，边AB 上一点1P ，这里1P 异于,.A B 由1P 引边OB 的垂线111,PQQ 是垂足，再由1Q 引边OA 的垂线111,Q R R 是垂足，又由1R 引边AB 的垂线122,R P P 是垂足．同样的操作连续进行，得到点n P ，n Q ，()*.n R n N ∈设()(01)n n n AP t b a t =−<<，如图所示.(1)某同学对上述已知条件的研究发现如下结论：112(1)3BQ t b =−−⋅，问该同学这个结论是否正确并说明理由；(2)用n t 表示1.n t +【答案】解：(1)该同学的结论正确，证明如下：由已知，得||3AB =，||3OB =，||2OA =，由余弦定理知222||||||2cos 32||||2OB AB OA ABO OB AB+−∠===， 又111||||3AP t b a t =−=，则111||||||33BP AB AP t =−=−，11112||||cos )(1)||3BQ BP ABO t t b ∴=⋅∠=−=−， 即112(1)3BQ tb =−−⋅；(2)由已知1cos ||||2a b AOB a b ⋅∠===⋅⨯，||||3OB AB ==，cos BAO ∴∠=1||||cos (2||)n n nAP AR BAO OR +∴=⋅∠=−|cosn OQ AOB =⋅∠1||)6n BQ =−⋅1||cos 66n BP ABO =+⋅∠1||)69n AP =+⋅ 1||9n AP =⋅， 即151||3||189n n t b at b a +−=−−1n +=， 115.918n n t t +∴=−+【解析】本题考查了向量的数量积、向量的夹角，涉及余弦定理及数列的递推关系，属于较难题. (1)由余弦定理结合向量条件求出cos ABO ∠即可证得．(2)由向量的夹角先求出cos AOB ∠，再求出151||3||189n n AP AP +=−⋅，即可解答.13.(本小题12分)射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，O 为透视中心，平面内四个点E ，F ，G ，H 经过中心投影之后的投影点分别为A ，B ，C ，.D 对于四个有序点A ，B ，C ，D ，定义比值CACB x DA DB=叫做这四个有序点的交比，记作().ABCD(1)证明：()()EFGH ABCD =；(2)已知3()2EFGH =，点B 为线段AD 的中点，3AC =，sin 3sin 2ACO AOB ∠=∠，求cos .A【答案】解：(1)由题意，在AOC ，AOD ，BOC ，BOD 中，1sin sin 21sin sin 2AOC BOC OA OC AOCS CA OA AOCCB S OB BOCOB OC BOC ⋅⋅⋅∠⋅∠===⋅∠⋅⋅⋅∠， 1sin sin 21sin sin 2AOD BOD OA OD AODS DA OA AODDB S OB BODOB OD BOD ⋅⋅⋅∠⋅∠===⋅∠⋅⋅⋅∠，则sin sin sin sin ()sin sin sin sin OA AOC OB BOD AOC BODCB ABCD DA OB BOC OA AOD BOC AOD DB⋅∠⋅∠∠⋅∠==⋅=⋅∠⋅∠∠⋅∠①又，在EOG ，EOH ，FOG ，FOH 中，1sin sin 21sin sin 2EOG FOG OE OG EOGS GE OE EOGGF S OF FOGOF OG FOG ⋅⋅⋅∠⋅∠===⋅∠⋅⋅⋅∠， 1sin sin 21sin sin 2EOH FOH OE OH EOHS HE OE EOHHF S OF FOHOF OH FOH ⋅⋅⋅∠⋅∠===⋅∠⋅⋅⋅∠， 则sin sin sin sin ()sin sin sin sin GEOE EOG OF FOH EOG FOHGF EFGH HE OF FOG OE EOH FOG EOH HF⋅∠⋅∠∠⋅∠==⋅=⋅∠⋅∠∠⋅∠②，又EOG AOC ∠=∠，FOH BOD ∠=∠，FOG BOC ∠=∠，EOH AOD ∠=∠，由①②可得，sin sin sin sin sin sin sin sin AOC BOD EOG FOHBOC AOD FOG EOH∠⋅∠∠⋅∠=∠⋅∠∠⋅∠，即()()EFGH ABCD =(2)由题意3()2EFGH =，由(1)可知，3()2ABCD =，则32CACB DA DB =，即3.2CA DB CB DA =，又点B 为线段AD 的中点，即12DB DA =， 故3CACB=，又3AC =，则2AB =，1BC =， 设OA x =，OC y =，且OB =，由ABO CBO π∠=−∠可知，coscos 0ABO CBO ∠+∠=， 2222220=，解得22215x y +=③，又在AOB 中，利用正弦定理可知，sin sin AB xAOB ABO =∠∠④，在BOC 中，利用正弦定理可知，sin sin OByBCO CBO=∠∠⑤，且sin sin ABO CBO ∠=∠，则④⑤可得，sin 3sin 2x AB BCOy AOB OB ∠=⋅==∠，即x =⑥， 由③⑥解得，3x=，y =，即3OA =，OC =，则222222325cos .22326OA AB OB A OA AB +−+−===⋅⨯⨯【解析】本题考查新定义问题，正，余弦定理的综合应用，三角形面积公式，属于较难题.(1)由题意，结合新定义可得sin sin ()sin sin CAAOC BODCB ABCD DA BOC AOD DB∠⋅∠==∠⋅∠①，同理sin sin ()sin sin EOG FOHGF EFGH HE FOG EOH HF∠⋅∠==∠⋅∠②，再利用角相等，即可证明；(2)结合(1)中的结论，利用正余弦定理，逐步分析求解即可. 14.(本小题12分)如图1所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，满足2BD DC =，G 是线段AB 上的点，且满足32AG GB =，线段CG 与线段AD 交于点.O(1)若AO t AD =，求实数t ；(2)如图2所示，过点O 的直线与边AB ，AC 分别交于点E ，F ，设EB AE λ=，(0,0)FC AF μλμ=>>；()i 求λμ的最大值；()ii 设AEF 的面积为1S ，四边形BEFC 的面积为2S ，求21S S 的取值范围． 【答案】解：(1)依题意，因为2BD DC =，所以1121()3333AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+，因为G 、O 、C 三点共线所以存在实数m 使得GO mOC =，所以111m AO AC AG m m=+++， 因为32AG GB =，所以11211115m m AO AC AG AC AB m m m m =+=+⨯++++， 又因为AO t AD =，所以22135(1)31mt t m m ⎧==⎨++⎩，解得：12t =，15m =综上所述，1.2t =(2)证明：()i 根据题意(1)AB AE EB AE AE AE λλ=+=+=+，同理可得：(1)AC AF μ=+，由(1)可知，111236AO AD AB AC ==+，所以1136AO AE AF λμ++=+， 因为E ，O ，F 三点共线，所以存在实数n ，使得EO nEF =所以(1)AO n AE nAF =−+ 所以11136n n λμ++⎧−==⎨⎩， 化简得23λμ+=， 又因为0λ>，0μ>所以21129(2)()2228λμλμλμ+==，当且仅当322λμ==，即34λ=，32μ=时等号成立. ()ii 根据题意，11||||sin 2S AE AF BAC =∠，211(1)||(1)||sin ||||sin 22S AE AF BAC AE AF BAC λμ=++∠−∠，所以2111(1)||(1)||sin ||||sin 22(1)(1)11||||sin 2AE AF BAC AE AF BAC S S AE AF BAC λμλμ++∠−∠==++−∠， 由()i 可知23λμ+=，则320μλ=−>，所以302λ<<，所以2221172232()22S S λλλ=−++=−−+，易知，当12λ=时，21S S 有最大值7.2则2137(,].22S S ∈ 【解析】本题主要考查平面向量的基本定理，考查三角形的面积，考查二次函数的最值，利用基本不等式求最值，属于较难题.(1)由题知2133AD AB AC =+，12115m AO AC AB m m =+⨯++，根据AO t AD =，化简即可；(2)()i 根据题意(1)AB AE λ=+，(1)AC AF μ=+，根据E ，O ，F 三点共线，存在实数n ，使得EO nEF =，有(1)AO n AE nAF =−+，化简可得23λμ+=，利用基本不等式即可得解；()ii 根据题意，11||||sin 2S AE AF BAC =∠，211(1)||(1)||sin ||||sin 22S AE AF BAC AE AF BAC λμ=++∠−∠，所以221172()22S S λ=−−+，利用二次函数的最值即可得解. 15.(本小题12分)如图：在斜坐标系xOy 中，x 轴、y 轴相交成60︒角，1e 、2e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+，则称有序实数对⟨,x y ⟩为向量OP 的坐标，记作OP =⟨,x y ⟩.在此斜坐标系xOy中，已知ABC 满足：OA =⟨0,2⟩、OB =⟨2,1−⟩.(1)求OA OB ⋅的值；(2)若坐标原点O 为ABC 的重心(注：在斜坐标系下，若G 为ABC 的重心，依然有0GA GB GC ++=成立).①求ABC 的面积；②求满足方程11tan tan tan mA B C+=的实数m 的值． 【答案】解：(1)由题知，22OA e =，122OB e e =−，则22121222(2)424cos6020;OAOB e e e e e e ︒⋅=⋅−=⋅−=−=(2)①由题知，O 为ABC 的重心，则OAB 的面积为ABC 面积的13，由(1)知OA OB ⊥，又||2OA =，212||(2)4OB e e =−==则ABC 面积为1322ABCS=⨯⨯=②由①知，2,1OC OA OB =−−=<−−>，则2,3BA OA OB =−=<−>，4,0BC OC OB =−=<−>，2,3AC OC OA =−=<−−>，则212||(23)4BA e e =−+==||4BC =，212||(23)4AC e e =−−=设AB c =，AC b =，BC a =， 则由11tan tan tan mA B C+=，结合正弦、余弦定理化简得： 11sin cos cos tan ()()tan tan cos sin sin C A Bm C A B C A B=+=+ sin cos sin cos sin sin sin()cos sin sin cos sin sin C A B B A C A B C A B C A B ++=⋅=⋅ 22222sin 12sin sin cos C c ab A B C ab a b c =⋅=⋅+− 22222271161972c a b c ⨯===+−+−， 故1.2m =【解析】本题考查了余弦定理、三角形面积公式和向量的数量积，属于较难题.(1)先得出OA =⟨0,2⟩22e =，OB =⟨2,1−⟩122e e =−，由向量的数量积计算可得结果；(2)①OA =⟨0,2⟩，OB =⟨2,1−⟩，O 为ABC 的重心，则OAB 的面积为ABC 面积的13，计算面积即可；②易得11()tan tan tan m C A B=+⋅，由三角恒等变换和余弦定理化简可得结果. 16.(本小题12分)法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3.O(1)证明：123O O O 为等边三角形；(2)若123O O O ABCSmS= ，求m 的最小值．【答案】解：(1)如图，连接 1AO ， 3AO ，则13AO =，33AO =， 133O AO A π∠=+在 13O AO 中，由余弦定理得： 222131313132cos O O AO AO AO AO O AO =+−⋅⋅∠ ， 即22222132cos 32cos 33333b c bc A b c bc O O A ππ⎛⎫+−+ ⎪⎛⎫⎝⎭=+−⋅⋅+= ⎪⎝⎭2212cos 23b c bc A A ⎛⎫+−⨯ ⎪ ⎪⎝⎭==22222222sin 2sin 363b c a b c Aa b c A+−+−+++==+ 同理可得222212sin 6a b c O O B ++= ，sin sin a bA B= ， sin sin a B b A ∴= ， 1213O O O O ∴= .同理： 1223O O O O = ，即 123O O O为等边三角形.12322213cos sin (2)sin 4432O O O b c bc A A m SO O bc A +−+=⨯=⨯=)()21sin cos sin b c m A A A c bϕ∴+−+=+，(其中sin ϕ=，cos ϕ=，22b c b c c b cb+⨯= ， )max21sin cos m A A ⎤−+=⎦， 12 ，解得： 1m当且仅当 3A π=， b c = 时 m 取到最小值1.【解析】本题考查利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，考查三角形的面积公式，属于难题.(1)连接 1AO ， 3AO ，在 13O AO 中，由余弦定理可求出 13O O，同理可得 12O O ，再结合正弦定理即可证明 1213O O O O = ，同理可得 1223OO O O = ；(2)由 123O O O ABCSmS= 化简可得 ()sin b c A c b ϕ+=+ ，再由基本不等式求出 b c c b+ 的最小值，即可求出m 的最小值.。
高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换模块素养检测含解析B版第三册
模块素养检测(二)（120分钟150分）一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.在四边形ABCD中，++= ()A。
B. C.D。
【解析】选D.在四边形ABCD中，++=++=+=。
2.（2019·全国卷Ⅰ）已知非零向量a,b满足｜a｜=2｜b｜,且(a-b）⊥b，则a与b的夹角为（）A. B. C. D.【解析】选B.设夹角为θ,因为(a-b)⊥b，所以（a—b)·b=a·b —b2=0,所以a·b=b2，所以cos θ===,又θ∈［0，π］,所以a与b的夹角为。
【补偿训练】若=1，=，且a⊥,则向量a，b的夹角为（）A.45°B。
60°C。
120°D。
135°【解析】选A。
由=1,=,且a⊥,得a·=0⇒a2=a·b=1，则cos <a,b〉==，又0°≤<a,b〉≤180°，得<a，b〉=45°,所以向量a，b的夹角为45°。
3.已知α∈（0,π），2sin α—cos α=1,则sin= （)A。
B. C。
D.【解析】选B。
由题得2sin α-1=cos α，所以4sin2α—4sin α+1=cos2α，所以4sin2α—4sin α+1=1—sin2α，所以5sin2α—4sin α=0,所以sin α=0(舍）或sin α=,所以cos α=，所以1-2sin2=，所以sin=.【补偿训练】已知sin =,则cos = （)A。
- B.— C. D.【解题指南】观察已知角与待求的角之间的特殊关系,运用余弦的二倍角公式和诱导公式求解。
【解析】选A。
令—α=θ,则—2α=2θ,+2α=π—2θ，所以cos 2θ=1—2sin 2θ=1—2×=，所以cos =cos =—cos 2θ=—。
6 向量与三角的综合应用
6向量与三角函数的综合应用1.若ΔABC 的三个内角C B A 、、所对边的长分别为c b a 、、，向量()a b c a m -+=,，),(b c a n -=，若n m ⊥，则∠C 等于 .2.在ABC ∆中，已知,,a b c 分别,,A B C ∠∠∠所对的边，S 为ABC ∆的面积，若向量222(4,)p a b c =+- ，(1,)q S = 满足//p q ，则C ∠= .3.已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos )444x x x m n == .（1）若1m n ⋅= ,求2cos()3x π-的值；（2）记()f x m n =⋅，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ，且满足C b B c a cos cos )2(=-，求函数f (A )的取值范围.4. 在ABC ∆中,B ∠，C ∠的对边分别为c b ,。
已知向量),(a b c a m -+=，),(b c a n -=，且n m ⊥。
(1)求C ∠的大小；(2)若26sin sin =+B A ，求角A 的值。
5. 设已知(2c o s s i n )22a αβαβ+-= ，，(cos 3sin )22b αβαβ+-= ，，其中(0,)αβπ∈、． (1)若32πβα=+，且2a b = ，求βα、的值；(2)若52a b ⋅= ，求βαtan tan 的值．6. 设ABC ∆的三个内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，且满足0)()2(=⋅+⋅+CB CA c BA BC c a。
（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若32=b ，试求CB AB ⋅的最小值．7. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若().CA AB CB BA k k R ⋅=⋅=∈（1）判断△ABC 的形状；（2）若k c 求,2=的值．8. 已知点A (3，0)，B (0，3)，C (cos α，sin α)，α∈322ππ⎛⎫⎪⎝⎭，．（1）若AC ＝BC ，求角α的值；（2）若AC BC ⋅ ＝－1，求22sin sin 21tan ααα++的值．9. 已知ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,6AC AB =⋅,向量)sin ,(cos A A s =与向量)3,4(-=t 相互垂直。
考点练习(必修五)：正、余弦定理与向量的综合(附答案)
正、余弦定理与向量的综合 1. 在ABC △中，已知tan AB AC A ⋅=uu u r uuu r，当π6A =时，ABC △的面积为 .2. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，AB ―→·BC ―→>0，a ＝32，则b ＋c 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，32 B.⎝⎛⎭⎫32，32C.⎝⎛⎭⎫12，32D.⎝⎛⎦⎤12，323. 在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边C B 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DF E⋅= ．4. ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()m a =与(cos ,sin )n A B =平行. (I)求A ；(II)若2a b ==求ABC ∆的面积.5. 在平面直角坐标系xoy 中，已知向量222m ⎛=- ⎝⎭，()sin ,cos n x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）若m n ⊥，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值．6. 已知向量(,cos2)a m x =，(sin 2,)b x n =，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π-. （Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间.7. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值.8. 设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．9. 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期．(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．10. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 且2cos 2A －B 2·cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量B A →在B C →方向上的投影．11. 已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos 2x )(A >0)，函数f (x )＝m·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在[0，5π24]上的值域．12. 已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点(π4，0)，求函数f (x )在区间[0，3π5]上的取值范围．参考答案正、余弦定理与向量的综合1. 由已知及平面向量数量积的定义可得cos tan AB AC AB AC AA ⋅==，326cos 6tancos tan ===ππA A ， 所以616sin 3221=⨯⨯==∆πA S ABC 答案：162. 解析：选B 在△ABC 中，b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∵A 是△ABC 的内角，∴A ＝60°. ∵a ＝32， ∴由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C＝c －B＝1，∴b ＋c ＝sin B ＋sin(120°－B )＝32sin B ＋32cos B ＝3sin(B ＋30°)．∵AB ―→·BC ―→＝|AB ―→|·|BC ―→|·cos(π－B )>0，∴cos B <0，B 为钝角， ∴90°<B <120°，120°<B ＋30°<150°，故sin(B ＋30°)∈⎝⎛⎭⎫12，32，∴b ＋c ＝3sin(B ＋30°)∈⎝⎛⎭⎫32，32.3.【答案】1615-4. 【解析】试题解析：(I)因为//m n ，所以sin cos0a B A =由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A-=， 又sin 0B ≠，从而tan A =0A π<<，所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，而2a b ==，3A π=，得2742c c =+-，即2230c c --=，因为0c >，所以3c =， 故ABC ∆面积为1sin 2bc A =.解法二：由正弦定理，得2sin sin3B π=，从而sin 7B = 又由a b >知A B >，所以cos B =， 故sin sin()sin()3C A B B π=+=+sin coscos sin3314B B ππ=+=， 所以ABC ∆面积为1sin 22ab C =. 5. 【解析】（1）∵222m ⎛=-⎝⎭，()sin ,cos n x x =且m n ⊥， ∴()2sin ,cos sin 04m n x x x x x π⎛⎛⎫⋅=⋅==-=⎪⎝⎭⎝⎭， 又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ ,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴ 04x π-=即4x π=，∴ tan tan 14x π==； （2）由（1）依题知 sin cossin 34x m n x m nπππ⎛⎫- ⎪⋅⎛⎫===- ⎪⎝⎭⋅⎛，∴ 1sin 42x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ∴ 46x ππ-=即512x π=．6. 【解析】（Ⅰ）已知x n x m x f 2cos 2sin )(+=⋅=，因为()f x 过点)2,32(),3,12(-ππ， 36cos 6sin )12(=+=πππn m f 所以，234cos 34sin )32(-=+=πππn m f ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+2212332321n m 所以解得⎩⎨⎧==13n m（Ⅱ）)62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f ，)(x f 左移ϕ后得到)622sin(2)(πϕ++=x x g ，设)(x g 的对称轴为0x x =，1120=+=x d 因为解得00=x ，2)0(=g 所以， 解得6πϕ=，x x x x g 2cos 2)22sin(2)632sin(2)(=+=++=πππ所以，z k k x k ∈≤≤+-,222πππ所以，z k k x k ∈≤≤+-,2πππ，)(x f 所以的单调增区间为z k k k ∈+-],,2[πππ7. 【解析】（1）由2BA BC ⋅=，1cos 3B =得cos 2BA BC ca B ⋅==，所以6ac =； 又由3b =及余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2213a c += 结合a c >，解得3,2a c ==（Ⅱ）由3,3,2a b c ===得2227cos 29a b c C ab +-==，sin C ==由1cos 3B =得sin B ==;所以1723cos()cos cos sin sin 393927B C B C B C -=+=⨯+=8. 解：本题考查向量与三角函数的综合应用，侧重考查三角函数的性质． (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32.9. 解：本题主要考查向量的数量积和三角恒等变换的方法以及三角函数的有界性，意在考查考生应用向量和三角工具解决问题的能力．f (x )＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·( 3 sin x ，cos 2x )＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.由正弦函数的性质，知当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取得的最小值－12.因此，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12.10. 解：本题主要考查两角和的余弦公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化等数学思想． (1)由2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35，0＜A ＜π，得sin A ＝45，由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ，所以，sin B ＝b sin A a ＝22.由题知a ＞b ，则A ＞B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)． 故向量BA →在B C →方向上的投影为|B A →|cos B ＝22.11. 解：(1)f (x )＝m·n ＝3A sin x cos x ＋A 2cos 2x ＝A (32sin 2x ＋12cos 2x )＝A sin(2x ＋π6)．因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)f (x )＝6sin(2x ＋π6)．将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位后得到y ＝6sin[2(x ＋π12)＋π6]＝6sin(2x ＋π3)的图像；再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin(4x ＋π3)的图像．因此g (x )＝6sin(4x ＋π3)．因为x ∈[0，5π24]，所以4x ＋π3∈[π3，7π6]，故g (x )在[0，5π24]上的值域为[－3,6]．12. 解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ.由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π6)＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z)，即ω＝k 2＋13(k ∈Z)．又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点(π4，0)，得f (π4)＝0，即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2. 故f (x )＝2sin(53x －π6)－2，由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6，所以－12≤sin(53x －π6)≤1，得－1－2≤2sin(53x －π6)－2≤2－2，故函数f (x )在[0，3π5]上的取值范围为[－1－2，2－ 2 ]．。
向量与三角函数结合综合试题-适合复习课
平面向量与三角函数综合习题1．已知→a ＝(cos40︒，sin40︒)，→b ＝(sin20︒，cos20︒)，则→a ·→b ＝（ ）A ．1B ．32C ．12D ．22 2．已知△ABC 中，AB →＝a →，AC →＝b →，若a →·b →＜0，则△ABC 是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．任意三角形3．若向量→a ＝(cos α,sin α)，→b ＝(cos β,sin β)，则→a 与→b 一定满足（ ）A ．→a 与→b 的夹角等于α－βB ．→a ⊥→bC ．→a ∥→bD ．(→a ＋→b )⊥(→a －→b )4．设→a ＝(32,sin α)，→b ＝(cos α,13)，且→a ∥→b ，则锐角α为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒5．已知→a ＝(sin θ，1＋cosθ)，→b ＝(1，1－cosθ)，其中θ∈(π，3π2)，则一定有 （ ）A ．→a ∥→bB ．→a ⊥→bC ．→a 与→b 夹角为45°D ．|→a |＝|→b |6．已知向量a →＝(6，－4)，b →＝(0，2),c →＝a →＋λb →，若C 点在函数y ＝sin π12x 的图象上,实数λ＝（ ）A ．52 B ．32C ．－52D ．－327．设0≤θ≤2π时，已知两个向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→长度的最大值是（ ） A ． 2 B ． 3C ．3 2D ．2 38．已知向量→a ＝(cos25︒,sin25︒)，→b ＝(sin20︒,cos20︒)，若t 是实数，且→u ＝→a ＋t →b ，则|→u |的最小值为 （ ） A ． 2 B ．1C ．22D ．129．已知非零向量,22||||,0||||(,=⋅=⋅+BC AC BC AC BC AC AC AB AB BC AC AB 满足和则△ABC 为（ ）A ．等边三角形B ．等腰非直角三角形C ．非等腰三角形D ．等腰直角三角形10．已知向量→m ＝(1，1)，向量→n 与向量→m 夹角为3π4，且→m ·→n ＝－1.则向量→n ＝__________．11、已知向量→a ＝(3sin α,cos α)，→b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈(3π2，2π)，且→a ⊥→b ．（Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求cos(α2＋π3)的值．12、已知向量→a ＝(cos α,sin α)，→b ＝(cos β,sin β)，|→a －→b |＝25 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－π2＜β＜0＜α＜π2，且sin β＝－513，求sin α的值.13．已知A 、B 、C 的坐标分别为A （4，0），B （0，4），C （3cosα，3sinα）.（Ⅰ）若α∈(－π，0)，且|→AC|＝|→BC|，求角α的大小； （Ⅱ）若→AC ⊥→BC ，求2sin 2α＋sin2α1＋tanα的值．14、已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(sinA －cosA ，1＋sinA)是共线向量.（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B2的最大值.15．已知向量→m ＝(sinA,cosA)，→n ＝(3,－1)，→m·→n ＝1，且A 为锐角.(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x ∈R)的值域．16、设函数f(x)＝→a ·→b.其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f( 2)＝2.（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.17．已知→a ＝(cosx ＋sinx ，sinx)，→b ＝(cosx －sinx ，2cosx)，（Ⅰ）求证：向量→a 与向量→b 不可能平行；（Ⅱ）若f(x)＝→a ·→b ，且x ∈[－π4,π4]时，求函数f(x)的最大值及最小值．19、如图，函数2sin(),y x x R πϕ=+∈（其中02πϕ≤≤）的图像与y 轴交于点（0，1）。
专题三角函数与向量(学生版).docx
专题：三角函数与向量的交汇题型分析及解题策略主要考点如下：1.考查三角式化简、求值、证明及求角问题.2.考查三角函数的性质与图像，特别是y=Asin(cox+(p)的性质和图像及其图像变换.3.考查平面向量的基本概念，向量的加减运算及几何意义，此类题一般难度不大，主要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等.4.考查向量的坐标表示，向量的线性运算，并能正确地进行运算.5.考查平面向量的数量积及运算律(包括坐标形式及非坐标形式)，两向量平行与垂直的充要条件等问题.6.考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题.题型一解斜三角形与向量的综合【例1】已知角A、B、C为^ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c,京=(—cos成，sin*^"), / = (cos*^", sin*^"), a = 2^3? J E L= 2^*(I )若ZiABC的面积S=,,求b + c的值.(II )求b+c的取值范围.题型二三角函数与平面向量平行(共线)的综合【例2】已知A、B、C为三个锐角，且A+B +C=TI.若向量8 = (2sinA — 2, cosA + sinA)与向量2 =C — 3B(cosA—sinA, 1+sinA)是共线向量.(I )求角A； (II )求函数y=2sin2B+cos—-—的最大值.题型三三角函数与平面向量垂直的综合【例3】已知向量甘= (3sina,cosa), 3 = (2sina, 5sina—4cosa), aG(宇,2n),且甘_L言.Ct jr(I )求tana 的值； (II)求cos(y+~)的值.题型四三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质ltl2=t2,如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：(1)先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；(2)先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解.【例4】已知向量盲= (cosa,sina),言= (cosB,sir)B), |2 —言|=|>姑.TT TT 5(I )求cos(a—P)的值；(II )^—^<P<O<a<p 且sinP = ——,求sina 的值.题型五三角函数与平面向量数量积的综合此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；⑵利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解.【例5】1.设函数f(x) = 4.含.其中向量冷= (m, cosx),言= (l+sinx, 1), x《R,且f(亨) = 2.(I )求实数m的值；(II)求函数f(x)的最小值.(3)求f(x)的对称中心和对称轴2.(山东)已知向量扁= (smx,l)〃(品cosx*s2W>0),函数/'(x) = M的最大值为6.JT(I)求刀；(II)将函数y = /(x)的图象向左平移g个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的5倍，纵坐标不变，得到函数V = g(x)的图象.(1)求g(x)在［0,芸］上的值域.(2)五点法做出g(x)在一个周期上的图像。
三角函数与向量结合的题型
三角函数与向量结合的题型【引言】在高中数学课程中，三角函数和向量是两个重要的概念。
它们分别代表了数学的几何和代数两个方面。
三角函数帮助我们研究角度、三角形的性质，而向量则使得我们能够进行矢量运算和分析。
这两个概念的结合可以带来更加复杂和有趣的数学题型。
在本文中，我们将探讨三角函数与向量结合的题型，从简单到复杂，逐步深入地理解这个主题。
【1. 什么是三角函数】三角函数是描述角度和角度相关的性质的一组函数。
其中最常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
我们通常用sin、cos和tan来表示它们。
三角函数的定义涉及到一个直角三角形的三个边长或角度，使得我们能够通过角度来研究三角形的性质。
三角函数在解决几何问题、物理问题和工程问题中起着重要的作用。
【2. 什么是向量】向量是用来表示大小和方向的量。
在数学中，向量通常用有序数对或有序数组来表示。
有向线段也可以看作是向量的几何表示。
向量在几何和代数中都有广泛的应用。
我们可以通过向量进行矢量运算，如向量加法、向量减法和数量乘法。
向量还可以用于描述力、速度和位移等物理量。
【3. 三角函数与向量的关系】三角函数和向量之间有许多密切相关的关系。
我们可以通过三角函数来表达向量的方向。
给定一个向量，我们可以计算出它与横轴的夹角，并通过三角函数来表示这个夹角的大小。
我们可以使用三角函数来计算两个向量之间的夹角。
夹角的正弦、余弦和正切值可以帮助我们理解向量之间的关系和性质。
在解决几何问题时，我们常常会遇到涉及角度和向量的复杂题目，这些题目需要我们结合三角函数和向量来求解。
【4. 三角函数与向量结合的题型举例】下面我们来看一些常见的三角函数与向量结合的题型。
4.1 题型一：求两个向量的夹角已知两个向量a和b，求它们的夹角。
解决这个问题时，我们可以使用向量的数量积和三角函数来求解。
具体步骤如下：计算向量a和b的数量积，即a·b。
计算a和b的模长，即|a|和|b|。
高三重点：解三角形与三角函数综合问题(含向量)
三角函数与解三角形结合相关综合问题(适用于理科数学)三角函数与解三角形相结合的问题，因其考察范围非常广泛、涉及知识点众多，在各省各套卷中，都是重中之重的问题，熟练掌握三角函数的基本公式、解三角形的基本方法思路是问题解决的关键。
注意以下细节问题：1、 不知道什么时候使用“边化成角，角化成边”的思路，以及不能正确进行边角互化，是必须要解决的问题，判断下面的算式进行的边角互化是否正确。
22223232cos cos ;sin cos sin cos ;sin sin sin ;sin sin sin sin ;;sin sin sin ;;sin sin sin sin sin sin ;cos ;sin sin sin cos ;cos a B b A A B B A a A b A c C A B A C a c b A C B a bc ac b A B C A C B a b c A A B C A ab A =→=+=→+=+=→+=+-=→+-=++=++=+（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、2cos sin sin cos sin sin cos sin ;b ac B a A B A A C B A +=→+=上述进行的边角互化，只有第一个和第二个是正确的，其余均是错误的；2、 在三角形中常用一些与三角形内角和有关的诱导公式，这些公式往往能够起到减少未知角数量的作用，特别是在三角形中已知一个内角求相关范围的时候一般将问题转化为三角函数中“一角一函数”的问题加以解决。
现对这些公式进行举例，希望考生务必要记住，记准，记熟。
sin()sin ;cos()cos ;sin()cos ;22cos()sin ;22A B C A B C A B C A B C +=+=-+=+=3、三角形内角角度范围：题中常说到锐角三角形或钝角三角形，这其实就是在给我们有关于内角范围的隐含条件，比如本专项第一道题，粗略认为每个内角都是(0,)2π的范围肯定是不对的，应结合题意仔细分析，考生一定要注意这一点。
2024全国高考真题数学汇编：向量的数量积与三角恒等变换章节综合
2024全国高考真题数学汇编向量的数量积与三角恒等变换章节综合一、单选题1．（2024全国高考真题）已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A ．3m-B ．3m-C ．3m D ．3m2．（2024全国高考真题）已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （）A ．12B ．2C D ．13．（2024全国高考真题）已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．1CD ．14．（2024全国高考真题）已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．（2024上海高考真题）下列函数的最小正周期是2π的是（）A ．sin cos x x +B ．sin cos x xC ．22sin cos x x+D ．22sin cos x x-6．（2024全国高考真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A ．“3x =-”是“a b ⊥ ”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D ．“1x =-”是“//a b ”的充分条件7．（2024北京高考真题）设a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +-=”是“a b =- 或a b = ”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题8．（2024全国高考真题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ=，则sin()αβ+=.9．（2024全国高考真题）函数()sin f x x x =-在[]0,π上的最大值是．10．（2024天津高考真题）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ，则λμ+=；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为．参考答案1．A【分析】根据两角和的余弦可求cos cos ,sin sin αβαβ的关系，结合tan tan αβ的值可求前者，故可求()cos αβ-的值.【详解】因为()cos m αβ+=，所以cos cos sin sin m αβαβ-=，而tan tan 2αβ=，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-，从而sin sin 2m αβ=-，故()cos 3m αβ-=-，故选：A.2．B【分析】由()2b a b -⊥ 得22b a b =⋅ ，结合1,22a a b =+= ，得22144164a b b b +⋅+=+= ，由此即可得解.【详解】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅ ，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，从而2=b .故选：B.3．B 【分析】先将cos cos sin αα-α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin ααα=-所以11tan =-αtan 13⇒α=-，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==-α+ ⎪-α⎝⎭，故选：B.4．D【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.5．A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.【详解】对A ，πsin cos 4x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，周期2πT =，故A 正确；对B ，1sin cos sin22x x x =，周期2ππ2T ==，故B 错误；对于选项C ，22sin cos 1x x +=，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，22sin cos cos2x x x -=-，周期2ππ2T ==，故D 错误，故选：A ．6．C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对A ，当a b ⊥ 时，则0a b ⋅=，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅= ，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得1x =，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当1x =-时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.7．B【分析】根据向量数量积分析可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b =，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为()()220a b a b a +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b =，若a b = 或a b =- ，可得a b = ，即()()0a b a b +⋅-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：B.8．【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得()tan αβ+=-，再缩小αβ+的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得()tan tan tan 21tan tan αβαβαβ++==--因为π3π2π,2π,2ππ,2π22k k m m αβ⎛⎫⎛⎫∈+∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,Z k m ∈，则()()()22ππ,22π2πm k m k αβ+∈++++，,Z k m ∈，又因为()tan 0αβ+=-，则()()3π22π,22π2π2m k m k αβ⎛⎫+∈++++ ⎪⎝⎭，,Z k m ∈，则()sin 0αβ+<，则()()sin cos αβαβ+=-+()()22sin cos 1αβαβ+++=，解得()sin 3αβ+=-.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos 0,cos 0αβ><,cos α，cos β==则sin()sin cos cos sin cos cos (tan tan )αβαβαβαβαβ+=+=+24cos cos 3αβ==-故答案为：3-.9．2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，当[]0,πx ∈时，ππ2π,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当ππ32x -=时，即5π6x =时，()max 2f x =.故答案为：210．43518-【分析】解法一：以{},BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得λμ+，设BF BE k =uu u r uur ，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的运算律求AF DG ⋅ 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE，即可得λμ+，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的坐标运算求AF DG ⋅ 的最小值.【详解】解法一：因为12CE DE =，即13CE BA = ，则13BE BC CE BA BC =+=+uu u r uur u uu ur r uu u r ，可得1,13λμ==，所以43λμ+=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅=，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈ ，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅ 取到最小值518-；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，因为(),BE BA BC λμλμ=+=- ，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且G 为AF 中点，则13,22a G a -⎛⎫-⎪⎝⎭，可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭，则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅ 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.。
讲完向量和解三角形讲这篇题向量与解三角形结合问题
向量与三角结合练习1.已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内的一点，若0OA OB OC ++=，则O 是△ABC2.若不重合的四点C B A P ,,,，满足0PA PB PC ++=，AB AC mAP +=，则实数m 的 值为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 53.在ABC ∆中，90C ∠=，4AB =，若G 为ABC ∆的三条中线的交点，则()GC GA GB ⋅+=__________.169-4.设G 为ABC ∆的重心，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若 352115aGA bGB cGC ++=0，则sin C =___________.5．已知点G 是ABC ∆的重心，点P 是GBC ∆内一点，若,AP AB AC λμλμ=++则的 取值范围是A ．1(,1)2 B ．2(,1)3 C ．3(1,)2 D ．（1，2）6.O 是平面上的一个定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ()ABACOP OA AB AC λ=++，[)0,λ∈+∞，则P 点所在的直线是△ABC 的A ．边B ．中线C ．高 D.角平分线7.已知点O 为ABC ∆所在平面内的一定点，其中点A 、B 、C 不共线，动点P 满足cos ||cos ||(C AC ACB AB ABOA OP ++=λ，其中),0(+∞∈λ.则点P 一定经过ABC ∆________（填空内心、 外心、垂心、重心之一）8.已知Ｏ是△ABC 所在平面内一点，a,b,c 为角A ，B ，C 的对边，且有：22c b c c a c OA OB OA OC OA OB OC OB b b a a--⋅=⋅+=⋅+，则O 为△ABC 的 A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 9.已知点,,O N P 在ABC ∆所在平面内，且OA OB OC ==，0NA NB NC ++=， PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点,,O N P 依次是ABC ∆的A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心10.△ABC 中有一点O ，使222222OA BC OB CA OC AB +=+=+则Ｏ是△ABC 的A.内心B.外心C.重心D.垂心11.ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，则实数m =________________.12．已知Ｏ，G ，H 分别是△ABC 的外心，重心，垂心，则下列结论中准确的个数为（1）GA GB CG +=；（2）3HA HB HC HG ++=；（3）3OH OG =；（4）cos cos 2sin sin sin sin B C AB AC AO A C A B+= A.1 B. 2 C.3 D.413. 已知圆O 的半径为3，圆周上两点,A B 与原点O 恰构成正三角形，则向量OA 与OB 的数量积是A. 12B. 32C.32D.332 14. 在△ABC 中，已知4AB =，1AC =，3ABC S ∆=，则AB AC ⋅的值为A ．－2B ．2C ．±4D ．±215. 如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是（A ）1213PP PP ⋅ （B ）1214PP PP ⋅（C ）1215PP PP ⋅ （D ）1216PP PP ⋅16. 设O 是ABC ∆内部的一点,且022=++OC OB OA ,则BOC ∆和ABC ∆的面积之比为 ．17. 点O 在ABC ∆内部且满足220OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与凹四边形ABOC 的面积之比为________.18.点P 是ABC ∆所在平面上任意一点，若存有非零实数m 1、m 2、m 3使m 1PA +m 2PB +m 3PC =O ，则ΔPAB 、ΔPBC 、ΔPAC 的面积比为19.在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（A ）2AC AC AB =⋅ （B ）2BC BA BC =⋅ （C ）2AB AC CD =⋅ （D ）22()()AC AB BA BC CD AB ⋅⨯⋅=20.如图，在四边形ABCD 中，4AB BD DC ++=，4AB BD BD DC ⋅+⋅=，0AB BD BD DC ⋅=⋅=，则()AB DC AC +⋅的值为Ａ．2 Ｂ． 22 Ｃ．4 Ｄ．4221.已知ABC ∆，60C ∠=，2AC =，1BC =，点M 是ABC ∆内部或边界上一动点，N 是边BC 的中点，则AN AM ⋅的最大值为_____________.22. 在OAB ∆中，OA a =，OB b =，OD 是AB 边上的高，若AD AB λ=，则实数λ等 于A ．2()a b a a b ⋅-- B ．2()a ab a b ⋅-- C ．()a b a a b ⋅-- D ．()a ab a b ⋅--23.已知1G ,2G 分别是111A B C ∆和222A B C ∆的重心，且121A A e =，122B B e =，122C C e =，12GG 等于A.1231()2e e e ++B. 1231()3e e e ++C. 1232()3e e e ++D. 1231()2e e e -++ 24.已知C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点2PA PB -=，25PA PB -=PA PC PB PC PA PB ⋅⋅=，I 为PC 上一点，且 ()(0)ACAPBI BA AC AP λλ=++>，则BI BABA ⋅为A.252-B.52-C.51-D. 525.设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=,若OP AB PA PB ⋅≥⋅,则实数λ的取值范围是(A)112λ≤≤ (B)112λ-≤≤ (C) 1122λ≤≤+ (D)1122λ-≤≤+ 26．已知A ，B ，C 为半径为2的圆O 上三点，120AOB ︒∠=，且OC xOA yOB =+，则2x y -的范围是__________27.已知2a =，1b =且a 与b 夹角为45°，若m a b λ=+，n a b λ=+且m 与n 夹角θ为锐角，则θ的范围是。
2020考前必刷题6解三角形与平面向量综合测试(理)
满足sin A：sin B：sin C＝2：3：7，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为________．16．[2019·山东德州模拟]在△ABC中，D为BC边上一点，AD＝2，∠DAC＝60°.若AC ＝4－CD且△ABC的面积为43，则sin∠ABC＝________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)[2017·全国卷Ⅱ，17]△ABC的内角，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2B 2.(1)求cos B；(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.18．(本小题满分12分)[2019·衡水模拟]如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a cos A＝b cos C＋c cos B.(1)求角A的大小；(2)若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB＝2，BC＝4，求AD的长．19．(本小题满分12分)[2019·河南南阳一中考试]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin B(a cos B＋b cos A)＝3c cos B.(1)求B；(2)若b＝23，△ABC的面积为23，求△ABC的周长．20.(本小题满分12分)如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB→＝b .试用a 和b 表示向量OM →.21．(本小题满分12分)[2019·湖南师大附中月考]已知锐角三角形ABC 的三个内角A ，B ，C 满足sin B sin C ＝(sin 2B ＋sin 2C －sin 2A )tan A .(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的外接圆的圆心是O ，半径是1，求OA →·(AB →＋AC →)的取值范围．22．(本小题满分12分)＝32，∴AB ＝32＝4 2. 故选A. 7．答案：B解析：∵sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝2， ∴B ＋π4＝π2，B ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B 得，sin A ＝2sinπ42＝12.∵a <b ，∴A ＝π6.8．答案：B解析：解法一 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，代入数据，得a ＝3，又cos B ＝34，B ∈(0，π)，所以sin B ＝74，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝372，故选B. 解法二 由cos B ＝34，B ∈(0，π)，得sin B ＝74，由正弦定理b sin B ＝csin C 及b ＝7，c ＝4，可得sin C ＝1，所以C ＝π2，所以sin A ＝cos B ＝34，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝372，故选B.9．答案：B 解析：在△ABC 中，G ，O 分别为△ABC 的重心和外心，取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，OG ，如图所示，则OD ⊥BC ，GD ＝13AD ，因为OG →＝OD →＋DG →，AD →＝12(AB →＋AC →)，OG →·BC →＝5，所以(OD →＋DG → )·BC →＝DG → ·BC →＝－16 (AB →＋AC → )·BC →＝5，即－16 (AB →＋AC → )·(AC →－AB → )＝5，所以AC →2－AB →2＝－30.又BC ＝5，则|AB →|2＝|AC →|2＋65|BC →|2>|AC →|2＋|BC →|2，由余弦定理得cos C <0，所以π2<C <π，所以△ABC 是钝角三角形．10．答案：A解析：由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB →＝λBD →.又AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，所以BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2)＝(3－k )e 1－(2k＋1)e 2，所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ(3－k )，2＝－λ(2k ＋1)，解得k ＝－94.11．答案：D解析：设OP 3→＝(x ，y )，则由OP 3→∥a 知x ＋y ＝0，于是OP 3→＝(x ，－x )．若OP 3→＝λOP 1→＋(1－λ)OP 2→，则有(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即⎩⎪⎨⎪⎧4λ－1＝x ，3－2λ＝－x ，所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选D.12．答案：D 解析：如图，由AB ＝1，BC ＝2，可得AC ＝3，以AB 所在直线为x 轴，以AC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (1,0)，C (0，3)，直线BC 方程为x ＋y3＝1，则直线AM 方程为y ＝33x ，联立解得M ⎝⎛⎭⎫34，34.由图可知，当P 在线段BC 上时，AM →·BP →有最大值为0，当P 在线段AC 上时，AM →·BP →有最小值，设P (0，y )(0≤y ≤3)，∴AM →·BP →＝⎝⎛⎭⎫34，34·(－1，y )＝－34＋34y ≥－34，∴AM →·BP →的取值范围是⎣⎡⎦⎤－34，0.故选D. 13．答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝⎛⎭⎫12λ＋μAB →＋⎝⎛⎭⎫λ＋12μAD →，于是得⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.14．答案：3π4解析：根据题意，由a ∥b ，得3x ＝2×(－4)，解得x ＝－83，由a ⊥c ，得3×2＋(－4)×y＝0，解得y ＝32，则b ＝⎝⎛⎭⎫2，－83，c ＝⎝⎛⎭⎫2，32.设a －3b 与a ＋2c 的夹角为θ，∵a －3b ＝(－3,4)，a ＋2c ＝(7，－1)，∴cos θ＝(a －3b )·(a ＋2c )|a －3b |·|a ＋2c |＝－3×7＋4×(－1)5×52＝－22.又∵0<θ<π，∴θ＝3π4，即a －3b 与a ＋2c 的夹角为3π4. 15．答案：63解析：由正弦定理及sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：7可知，a ：b ：c ＝2：3：7，由a ＋b ＋c ＝10＋27，得a ＝4，b ＝6，c ＝27，代入公式S ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222可得△ABC 的面积为6 3. 16．答案：3926解析：在△ACD 中，由余弦定理得CD 2＝4＋(4－CD )2－4(4－CD )·cos60°， 解得CD ＝2，故CD ＝AC ＝AD ，所以△ACD 为正三角形，∠C ＝60°. 所以S △ABC ＝12BC ·AC ·sin C ＝12×BC ×2×32＝43，故BC ＝8.在△ABC 中，由余弦定理得 AB ＝64＋4－2×8×2×12＝213，由三角形的面积公式，得12×213×8sin ∠ABC ＝43，所以sin ∠ABC ＝43813＝3926.17．解析：本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用． (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.。
专题6：2021年高考数学真题分类汇编《向量与解三角形》(学生版)
《向量与解三角形》一、单选题1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）在ABC 中，已知120B =︒，AC =2AB =，则BC =（ ）A ．1B C D ．3二、多选题2．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ） A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 三、填空题3．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60B =︒，223a c ac +=，则b =________．4．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量()()2,5,,4a b λ==，若//a b ，则λ=_________．5．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．6．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）若向量,a b 满足3,5,1a a b a b =-=⋅=，则b =_________.7．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．四、解答题8．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.。
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1．将函数y=f (x )·cos x 的图象按向量a =（4
π
，1）平移，得到函数y=2sin 2x 的图象那么函数
f (x )可以是
（ D ） A ．cos x B ．2cos x
C ．sin x
D ．2sin x
2．已知=a )sin (cos αα，，=b )sin (cos ββ，（πβα<<<0），且|λa μ+b |=|μa λ-b |
（0≠λμ），则=-αβ 2
π
．
3．已知向量求且],2
,0[),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos π
∈-==x x x x x ①||+⋅及;
②若3
()2||,2
f x a b a b λλ=⋅-+-
的最小值是求的值.
4．平面直角坐标系内有点P ].4
,4[),1,(cos ),cos ,1(π
π-
∈x x Q x （Ⅰ）求向量和的夹角θ的余弦用x 表示的函数)(x f ； （Ⅱ）求)(x f 的最小值.
5．设)sin ,cos 1(αα+=，)sin ,cos 1(ββ-=，),0()
0,1(πα∈=
)2,(ππβ∈，与的夹角为1θ，与的夹角为2θ，且6
21πθθ=-，求4
s i n
β
α-的值．
6．已知函数a b x b x x a x f (sin 2cos sin 2)(2+⋅-⋅⋅=、b 为常数，且0<a ）的图象过点（3,0），且函数)(x f 的最大值为2.
（1）求函数)(x f y =的解析式，并写出其单调递增区间；
（2）若函数)(x f y =的图象按向量)0,(m =作移动距离最小的平移后，使所得的图象关 于y 轴对称，求出向量的坐标及平移后的图象对应的函数解析式
7．已知二次函数)(x f 对任意R ∈x ，都有)1()1(x f x f +=-成立，设向量=a （sin x ，2），
=b （2sin x ，
2
1），=c （cos2x ，1），=d （1，2），当∈x [0，π]时，求不等式f （b a ⋅）＞f （d c ⋅）的解集．
8．平面直角坐标系有点]4
,4[),1,(cos ),cos ,1(π
π-
∈x x Q x P （1）求向量和的夹角θ的余弦用x 表示的函数f (x ); （2）求θ的最值.
1．如图：已知△OFQ 的面积为62，且m =⋅，
（1）若646<<m 时，求向量与的夹角θ的取值范围；
（2）设c OF =||，2)14
6
(
c m -=时，若以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q ， 当||取得最小值时，求此双曲线的方程．
2． 已知向量33cos ,sin )22x x a =
（，cos ,sin )22x x b =-（，且[,]2
x π
π∈ (1) 求a b ⋅及||a b +；
(2) 求函数()f x =a b ⋅＋||a b +的最大值，并求使 函数 取得最大值的x 的值。
3．已知向量θ(cos =a
，)sin θ，β(cos =b ，)sin β，且a 与b 之间有关系式：
||3||b k a b a k
-=+，其中k ＞0．
（1）试用k 表示b a
⋅；
（2）求b a
⋅的最小值，并求此时a
与b
的夹角α的值．
4．已知向量1(sin ,2),(2sin ,)2
a x
b x ==，(cos2,1),(1,2)
c x
d ==，又二次函数()f x 的
开口向上，其对称轴为1x =，当[0,]x π
∈时，求使不等式()()f a b f c d ⋅>⋅成立的x 的范围。
5．已知a →=（sinA,cosA), b →=(cosC,sinC),若3a →·b →=sin2B, a →,b →
的夹角为θ，且A 、B 、C 为三角形ABC 的内角。
求（1）∠B （2）cos θ2
6． 已知平面向量(3,1)a =-，13
(,
2b =，若存在非零实数k 和角α，(,)22ππα∈-，
使得3(tan 3)c a b α=+-，tan d ka b α=-+，且c d ⊥。
⑴若4
π
α=
时，求k 的值；
⑵若α在(,)22
ππ
-上变化时，求k 的极大值。
7. 已知向量]2
,0[),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos
π
∈-==x x x x x 且，求 ①||+*及；
②若||2)(b a b a x f +-⋅=λ的最小值是2
3
-，求实数λ的值；
8. 已知向量(sin ,1),(1,cos ),2
2
a b π
π
θθθ==-<<
．（Ⅰ）若a b ⊥，求θ； （Ⅱ）求a b
+的最大值．。