高数数学极限总结归纳

函数极限总结

一．极限的产生

极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。

极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N 定义）。

从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。[1]

二．极限知识点总结

1. 极限定义

函数极限：设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x 满足不等式δ<<|x -x |00时，对应的函数值都满足不等式：ε

<-|)(|A x f

那么常数A 就叫做函数f(x)?当x →x 0时的极限，记作A x f x

x =→)(lim 0

。[2] 单侧极限：✍.左极限：A x f x

x =-

→)(lim 或)()(左→→x A x f ✍.右极限：A x f x

x =+

→)(lim 或)()(右→→x A x f 定理：A x f x f A x f x

x ==⇔=+

-→)()()(lim 0

函数)(x f 当0x x →时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相等即

)()()(lim 0

00x f x f x f x x →+

-==。

2. 极限概念

函数极限可以分成0,,,x x x x x →-∞→+∞→∞→以0x x →的极限为例，f(x)在点x 0以A 为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式

时，对应的函数值f(x)都满足不等式：|f(x)-A|<ε，那么常数A 就叫做函数f(x)

当x →x 。时的极限。

函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2] 3. 存在准则

有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。

准则Ⅰ.如果数列{}n x ，{}n y 及{}n z 满足以下条件： （1）从某项起，即+∈∃N n 0，当0n n >时，有n n n z x y ≤≤； （2）a y n x =∞

→lim ；a z n x =∞

→lim ，

那么数列{}n x 的极限存在，且a x n x =∞

→lim 准则Ⅰ＇如果（1）当),(0r x U x

∈（或M x >||）时，)()()(x h x f x g ≤≤

（2）A x g x x x =∞→→)(lim )

(0

，A x h x x x o =∞→→)(lim )

(，

那么)

(lim )

(0

x f x x x ∞→→存在，且等于A 。

夹逼定理：（1）当),(x 0r x U

∉时，有??成立

（2）

?,那么，()0x f 极限存在，且等于A

【准则Ⅰ，准则Ⅰ′合称夹逼定理】 准则Ⅱ：单调有界数列必有极限

准则Ⅱ＇：设函数)(x f 在点0x 的某个左(右)邻域内单调并且有界，则)(x f 在0x 的左(右)极限

)(-x f ()[]

+x f 必定存在[3]

单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。

柯西准则：数列收敛的充分必要条件是任给o >ε,存在)(εN ,使得当N >n ,N >m 时，有

ε<-||m n x x 成立。[2]

极限运算相关法则、定理及推论

计算极限方法总结 （1）直接带入求极限

例1.)138(2

1

lim +-→x x

x

【解】

()

6

1381

381

381

382

11

21

1

1

21

2

1lim lim lim lim lim lim lim =+-⎪⎭⎫

⎝⎛=+-=+-=+-→→→→→→→x x x x x x x

x x

x x x x x

（2）约零因子求极限

(5)应用两个重要极限求极限

(6)用等价无穷小两代换求极限

(7)用洛必达法则求极限

(8)用对数恒等式求)()(lim x g x f 极限

四．参考文献

[2]函数极限

[3]同济大数学系《高等数学第七版上册》北京高等教育出版社1987年

[4]来自QQ空间由大学生笔记墙整理