51号蓝美凤--方程的根与函数的零点

求零点的步骤：
• 1、确定函数y=f(x)在区间[a,b]上是连续的， • 2、若f(a)*f(b) ﹤0，则在 [a,b]内有零点， • 3、存在c属于(a,b)，使得f(c)=0，则C是零点。
课堂小结
• 一、零点的定义： • 二、三个等价关系： • 三、零点存在性定理： • 四、求零点的步骤：
后记
• 整节课下来，我主要以学生为主线，教师 为主导，大胆放手，把主动权交给学生的 教学过程。以师生互动和生生互动以及采 用了有效教学中的要素组合里面的想、动、 说和写等要素的教学活动。从而达到动静 结合的教学目的。整个教学过程的不足之 处就是花的时间与知识容量没有成正比， 花的时间多，而知识容量少。
让我们一起来 思考吧！
• 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与 • 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像有什
么关系？
一元二次方程 X2-2x-3=0 X2-2x-3=0
x2-2x+1=0
X2-2x+3=0
二次函数 函数图像
Y=x2-2x-3
f(x) = x2 2∙x 3
15
10
f(-2) ﹥0， f(1) ﹤0， f(-2)*f(1) ﹤0, 我们发现：函数f(x)= X2-2x-3在区间[-2,1] 上有零点。
函数f(x)=X2-2x-3在区间（-2，1）内有 零点 X=-1，它是方程X2-2x-3=0的一个根。
问题：
计算f(-2)与f(1)的乘积，你能发现乘积 有什么特点？在区间[2,4]是否也具有这种特点？
注意
1、存在零点：⑴连续，⑵f(a)*f(b) ﹤0； 2、只有一个零点： ⑴连续，⑵f(a)*f(b) ﹤0，
⑶单调
3、若零点存在性定理成立，则零点个数确定， 4、 f(a)*f(b) ﹥0，不一定有零点。
例1 求函数f(x)=㏑x+2x-6的零点的个数。
• 解：方法①：用计算器或者计算机作出X, f(x)的对应 值表（表3-1）和图像（3.1-3）
我们可以发现：
• 同样， f(2) ﹤ 0，f(4) ﹥ 0； • f(2)*f(4) ﹤ 0, • 函数f(x)=X2-2x-3在（2，4）内有零点为： • X=3 ， • 它是方程X2-2x-3=0的另一个根。
零点存在的性质定理：
• 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不 断的一条曲线，并且有f(a)*f(b) ﹤0，那么，函 数y=f(x)在区间[a,b]内有零点，即存在c属于 (a,b)，使得f(c)=0这个c也就是方程f(x)=0的根。
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x) -4
-1.3069
1.0986
3.3863
5.6094
7.7918
9.9459
12.0794
14.1972
方法②：
解：估算f(x)在各部分数处的取值的正负
x
1
2
3
4
f(x) _
_
+
+
你能给出这个函数是增函数 的证明吗？
• 证明：由表和图像可知，f(2)<0,f(3)>0, • 则f(2)xf(3)<0, • 即，函数f(x)在区间（2，3）内有零点。 • 因为，函数f(x)在定义域（0，∞）内是增函数， • 所以，它仅有一个零点。
总结整理 提高认识
• 一个关系：函数零点与方程根的关系。
函数
方程
数值
零点
存在性
根
个数
• 两种思想：函数方程思想，数形结合思想。 • 三种题型：求零点；确定零点个数；
作业：
• 课本第88页的练习：
• 1、利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
• ⑴-x2+3x+5=0（必做题）； ⑵2x(x-2)=-3;
• ⑶x2=4x-4;
⑷5x2+2x=3x2+5（必做题）。
• 2、利用信息技术作出函数的图象，并指出下列函数零 点所在的大致区间：
• ⑴ f(x)=-x2-3x+5; ⑵ f(x)=2x*㏑(x-2)-3;
• ⑶ f(x)=e(x-1)+4x-4;
• ⑷f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x.
授课人： 蓝美凤
班别：数本102班
学号：
51号
第三章 函数的应用
3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点
观察
x2-2x-3=0； y=2x+3 ； Y=x2-2x-3
知识回 顾：
• 1、函数的概念？有哪三个要素？ • f:A→B；定义域、对应关系、值域。 • 2、什么是方程？ • 含有未知数的等式叫做方程。 • 3、判断一个方程是否有根，应该怎样判断？ • 看方程的判别式与零的关系. • 4、求方程的根有多少种解法？ • 求根公式和因式分解。
一般地，对于不能用公式法求根的方程f(x)=0来说，我们可以 将它与函数y=f(x)联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出
方程的根。
如：方程x3+x2-2=0,令f(x)=x3+x2-2，其图像如 下：
10
f(x) = x3 + x2 2
8
6
4
2
15
10
5 2 4
5
10
15
探究
• 观察二次函数f(x)=X2-2x-3的图像（如图3.1-2），
注意：
零点不是一个点，也不是f(x)，不能写成坐标 的形式，而是一个实数x。
这样，函数的零点就是方程的根，也就是 函数的图像与X轴的交点的横坐标，所以：
• 方程f(x)=0有实数根
• 函数y=f(x)的图像与X轴有交点
•
函数y=f(x)有零点
练一练：
• 请写出下列函数的零点： • ⑴y=x2-2x-3 • ⑵Y=(x2-2)(x2-3x+2) • ⑶Y=x2-2x+1
图像与X轴 的交点 (-1,0)(3,0)
(1,0)
没有交点
• 结论：方程的实数根就是函数图像与X轴交点的横坐标
上述关系对一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 及其相应的二次函数y=ax2+bx+我们有：
• ⑴当△﹥0时，一元二次方程有两个不相等的实数根x1， x2，相应的二次函数的图像与X轴有两个交点（ x1 ， 0）（ x2 ，0）；
Y=x2-2x+1
f(x) = x2 2∙x + 1
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Y=x2-2x+3
f(x) = x2 2∙x + 3
15
10
8 6 4 2
5 2 4 6 8 8 6 4 2
5 2 4 6 8 8 6 4 2
5 2 4 6 8
方程的根 X1=-1,x2=3
5
10
15
X1=x2=1
5
10
15
无实数根
5
10
15
• ⑵当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根x1=x2， 相应的二次函数的图像与X轴有唯一的交点（ x1 ， 0）；
• ⑶当△﹤0时，一元二次方程没有实数根，相应的二次 函数的图像与X轴没有交点。
零点的定义
• 对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0 • 的实数x叫做函数y=f(x)的零点
（zero point）