高一数学.东城班.第13讲.答案
2020年中考数学复习-第13讲-《方程类应用题专项》(含答案)
2020年中考数学复习-第13讲-《方程类应用题专项》(含答案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2020年数学中考复习每日一练第十三讲《方程类应用题专项》1．为实施乡村振兴战略，解决某山区老百娃出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路，其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工，甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两个工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米，已知甲工程队平均每天比乙工程队多掘进2米．（1）求甲、乙两个工程队平均每天分别掘进多少米？（2）若甲、乙两个工程队按此施工速度进行隧道贯穿工程，剩余工程由这两个工程队联合施工，求完成这项隧道贯穿工程一共需要多少天？2．某市居民使用自来水，每户每月水费按如下标准收费：月用水量不超过8立方米，按每立方米a元收取；月用水量超过8立方米但不超过14立方米的部分，按每立方米b元收取；月用水量超过14立方米的部分，按每立方米c 元收取．下表是某月部分居民的用水量及缴纳水费的数据．用水量（立方米） 2.51561210.3 4.791716水费（元）533.41225.621.529.418.439.436.4（1）①a＝，b＝，c＝；②若小明家七月份需缴水费31元，则小明家七月份用水米3；（2）该市某用户两个月共用水30立方米，设该用户在其中一个月用水x立方米，请列式表示这两个月该用户应缴纳的水费．3．七年级学生小聪和小明完成了数学实验《钟面上的数学》后，制作了一个模拟钟面，如图所示，点O为模拟钟面的圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON出发绕点O转动，OA顺时针转动，OB逆时针转动，OA 运动速度为每秒转动15°，OB运动速度为每秒转动5°，设转动的时间为t 秒（t＞0），请你试着解决他们提出的下列问题：（1）当t＝3秒时，求∠AOB的度数；（2）当OA与OB第三次重合时，求∠BOM的度数；（3）在OA与OB第四次重合前，当t＝时，直线MN平分∠AOB．4．为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A，B两种型号的一体机，经过市场调查发现，每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机．（1）列二元一次方程组解决问题：求每套A型和B型一体机的价格各是多少万元？（2）由于需要，决定再次采购A型和B型一体机共1100套，此时每套A型体机的价格比原来上涨25%，每套B型一体机的价格不变．设再次采购A型一体机m（m≤600）套，那么该市至少还需要投入多少万元？5．某水果店2400元购进一批葡萄，很快售完；又用5000元购进第二批葡萄，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元．（1）求第一批葡萄每件进价多少元？（2）若以每件150元的价格销售第二批葡萄，售出80%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批葡萄的销售利润不少于640元，剩余的葡萄每件售价至少打几折（利润＝售价﹣进价）6．数学课上，某班同学用天平和一些物品（如图）探究了等式的基本性质．该班科技创新小组的同学提出问题：仅用一架天平和一个10克的砝码能否测量出乒乓球和一次性纸杯的质量？科技创新小组的同学找来足够多的乒乓球和某种一次性纸杯（假设每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），经过多次试验得到以下记录：记录天平左边天平右边状态14个一次性纸杯平衡记录一6个乒乓球，1个10克的砝码平衡记录二8个乒乓球7个一次性纸杯，1个10克的砝码请算一算，一个乒乓球的质量是多少克一个这种一次性纸杯的质量是多少克解：（1）设一个乒乓球的质量是x克，则一个这种一次性纸杯的质量是克；（用含x的代数式表示）（2）列一元一次方程求一个乒乓球的质量，并求出一个这种一次性纸杯的质量．7．一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s的时间，隧道的项上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s，假设这列火车的长度为am．（1）设从车头经过灯下到车尾经过灯下火车所走的这段时间内火车的平均速度为Pm/s，从车头进入隧道到车尾离开隧道火车所走的这段时间内火车的平均速度为Qm/s，计算：5P﹣2Q（结果用含a的式子表示）．（2）求式子：8a﹣380的值．8．A，B两点在数轴上的位置如图，点A对应的数值为﹣5，点B对应的数值为11．（1）现有两动点M和N，点M从A点出发以2个单位长度秒的速度向左运动，点N从点B出发以6个单位长度/秒的速度同时向右运动，问：运动多长时间满足MN＝56？（2）现有两动点C和D，点C从A点出发以1个单位长度/秒的速度向右运动，点D从点B出发以5个单位长度/秒的速度同时向左运动，问：运动多长时间满足AC+BD＝3CD9．随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，同时也给自行车商家带来商机．某自行车行销售A型，B型两种自行车，经统计，2019年此车行销售这两种自行车情况如下：A自行车销售总额为8万元．每辆B型自行车的售价比每辆A型自行车的售价少200元，B型自行车销售数量是A自行车的1.25倍，B自行车销售总额比A型自行车销售总额多12.5%．（1）求每辆B型自行车的售价多少元．（2）若每辆A型自行车进价1400元，每辆B型自行车进价1300元，求此自行车行2019年销售A，B型自行车的总利润．10．某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚的T恤衫，其中甲种款型共用7800元，乙种款型共用6000元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少8元．（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？（2）若甲种款型T恤衫每件售价比乙种款型T恤衫的每件售价少10元，且这批T恤衫全部售出后，商店获利不少于6700元，则甲种T恤衫每件售价至少多少元？11．列一元一次方程解应用题目前节能灯在城市已基本普及，某商场计划购进甲、乙两种节能灯共1200只，甲型节灯进价25元/只，售价30元/只；乙型节能灯进价45元/只，售价60元/只．（1）如何进货，进货款恰好为46000元？（2）为确保乙型节能灯顺利畅销，在（1）的条件下，商家决定对乙型节能灯进行打折出售，且全部售完后，乙型节能灯的利润率为20%，请问乙型节能灯需打几折？12．在数轴上有三个点A，B，C，O为原点，点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c．且a、c满足|a+6|+（c﹣3）2＝0．（1）填空：a＝；c＝．（2）点O把线段AB分成两条线段，其中一条是另一条线段的3倍，则b的值为：．（3）若b为2，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度速度沿数轴负方向运动，同时，动点Q从点C出发，以每秒3个单位长度速度沿数轴正方向运动，求运动多少秒时，点B把线段PQ分成两条线段且其中一条是另一条线段的3倍？13．“十一”期间，小聪跟爸爸一起去A市旅游，出发前小聪从网上了解到A 市出租车收费标准如下：行程（千米）3千米以内满3千米但不超过8千米的部分8千米以上的部分收费标准（元）10元 2.4元/千米3元/千米（1）若甲、乙两地相距8千米，乘出租车从甲地到乙地需要付款多少元？（2）小聪和爸爸从火车站乘出租车到旅馆，下车时计费表显示17.2元，请你帮小聪算一算从火车站到旅馆的距离有多远？（3）小聪的妈妈乘飞机来到A市，小聪和爸爸从旅馆乘出租车到机场去接妈妈，到达机场时计费表显示70元，接完妈妈，立即沿原路返回旅馆（接人时间忽略不计），请帮小聪算一下乘原车返回和换乘另外的出租车，哪种更便宜？14．2019年度双十一在九龙坡区杨家坪的各大知名商场举行“国产家用电器惠民抢购日”优惠促销大行动，许多家用电器经销商都利用这个契机进行打折促销活动．商社电器某国产品牌经销商的某款超高清大屏幕Led液晶电视机每套成本为4000元，在标价6000元的基础上打9折销售．（1）现在该经销商欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于30%（2）据媒体爆料，有一些经销商先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为．重百电器另一个该品牌的经销商也销售相同的超高清大屏幕Led液晶电视机，其成本、标价与商社电器的经销商一致，以前每周可售出20台，现重百的经销商先将标价提高（2m﹣12）%，再大幅降价150m元，使得这款电视机在2019年11月11日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了m%，这样一天的利润达到22400元，求m的值．（利润＝售价﹣成本）15．某地区两类专车的打车方式：华夏专车神州专车里程费 1.8元/千米2元/千米时长费0.3元/分钟0.6元/分钟无远途费0.8元千米（超过7千米部分）起步价无10元华夏专车：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7千米以内（含7千米）不收远途费，超过7千米的，超出部分每千加收0.8元．神州专车：车费由里程费、时长费、起步价三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长按行车的实际时间计算；起步价与行车距离无关．解决问题：（假设行车过程没有停车等时，且平均车速为0.5千米/分钟）（1）小明在该地区出差，乘车距离为10千米，如果小明使用华夏专车，需要支付的打车费用为元；（2）小强在该地区从甲地采坐神州专车到乙地，一共花费42元，求甲乙两地距离是多少千米？（3）神州专车为了和华夏专车竞争客户，分别推出了优惠方式，华夏专车对于乘车路程在7千米以上（含7千米）的客户每次收费立减9元；神州打车车费5折优惠．对采用哪一种打车方式更合算提出你的建议．16．某校为美化校园，计划对面积为1100m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为200m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.35万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？17．某商场用25000元购进A、B两种新型护眼台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示：A型B型类型价格进价（元/盏）400650标价（元/盏）600m（1）A、B两种新型护眼台灯分别购进多少盏？（2）若A型护眼灯按标价的9折出售，B型护眼灯按标价的8折出售，那么这批台灯全部售完后，商场共获利7200元，请求出表格中m的值．18．随着经济水平的不断提高，越来越多的人选择到电影院去观看电影，体验视觉盛宴，并且更多人通过淘票票，猫眼等网上平台购票，快捷且享受更多优惠，电影票价格也越来越便宜．电影《我和我的祖国》从网上平台购买1张电影票的价格比在现场购买一张电影票的价格少10元，从网上平台购买4张电影票的价格和现场购买2张电影票的价格共为200元．（1）请问《我和我的祖国》的电影票在网上平台和现场购票单价各为多少元？（2）“国庆”当天，某电影院仍然以这两种方式销售电影票，它们的单价都不变，当天网上平台和现场售出电影票数为500张，经统计，当天售出电影票总票数中有a%通过网上平台售出，其余均由电影院现场售出，且当天票房总收益为17000元，求a的值．19．某工厂接受了20天内生产1200台GH型电子产品的总任务．已知每台GH 型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．工厂现有80名工人，每个工人每天能加工6个G型装置或3个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好组成GH型产品．（1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？（2）工厂补充40名新工人，这些新工人只能独立进行G型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置，则补充新工人后每天能配套生产多少产品补充新工人后20天内能完成总任务吗20．某糕点厂生产大小两种月饼，下表是A型、B型、C型三种月饼礼盒中装有大小两种月饼数量和需要消耗的面粉总重量的统计表面粉总重量（g）大月饼数量（个）小月饼数量（个）A型月饼礼盒58086B型月饼礼盒48066C型月饼礼盒420a b（1）直接写出制作1个大月饼要用g面粉，制作1个小月饼要用g面粉；（2）直接写出a＝，b＝．（3）经市场调研，该糕点厂要制作一批C型月饼礼盒，现共有面粉63000g，问制作大小两种月各用多少面粉，才能生产最多的C型月饼礼盒？参考答案1．解：（1）设乙工程队平均每天掘进x米，则甲工程队平均每天掘进（x+2）米，依题意有2（x+2）+（x+x+2）×1＝26解得：x＝5，x+2＝5+2＝7．故甲工程队平均每天掘进7米，乙工程队平均每天掘进5米；（2）设完成这项隧道贯穿工程一共需要y天，依题意有（7+5）y＝146﹣26，解得y＝10．答：完成这项隧道贯穿工程一共需要10天．2．解：（1）①根据表格可知：a＝＝2，b＝＝2.4，c＝＝3，②由表格可知小明家七月份用水超过14立方米，设七月份用水x立方米，3（x﹣14）+（14﹣8）×2.4+8×2＝31，解得：x＝14.2，（2）若0＜x≤8，则22≤30﹣x＜30，所缴纳的水费为：2x+30.4+3（30﹣x﹣14）＝（﹣x+78.4）元，若8＜x≤14，则16≤30﹣x＜22，所缴纳的水费为：16+2.4（x﹣8）+30.4+3（30﹣x﹣14）＝（﹣0.6x+75.2）元，若14＜x＜16，则14＜30﹣x＜16，所缴纳的水费为：30.4+3（x﹣14）+30.4+3（30﹣x﹣14）＝66.8元．若16≤x＜22，则8＜30﹣x＜14，所缴纳的水费为：30.4+3（x﹣14）+16+2.4（x﹣30﹣8）＝（0.6x+57.2）元，若22≤x＜30，则0＜30﹣x≤8，所缴纳的水费为：30.4+3（x﹣14）+2（30﹣x）＝（x+48.4）元，综上所述，若0＜x≤8，所缴纳的水费为（﹣x+78.4）元，若8＜x≤14，所缴纳的水费为（﹣0.6x+75.2）元，若14＜x＜16，所缴纳的水费为66.8元．若16≤x＜22，所缴纳的水费为（0.6x+57.2）元，若22≤x＜30，所缴纳的水费为（x+48.4）元，故答案为：（1）①2，2.4，3．②14.23．解：（1）当t＝3秒时，∴∠AOM＝15°×3＝45°，∠BON＝5°×3＝15°，∴∠AOB＝180°﹣45°﹣15°＝120°；（2）设t秒后第三次重合，由题意得15t+5t＝360×2+180，解得t＝45，5×45°﹣180°＝45°．答：∠BOM的度数为45°；（3）在OA与OB第一次重合前，直线MN不可能平分∠AOB；在OA与OB第一次重合后第二次重合前，∠BON＝5t，∠AON＝15t﹣180，依题意有5t＝15t﹣180，解得t＝18；在OA与OB第二次重合后第三次重合前，直线MN不可能平分∠AOB；在OA与OB第三次重合后第四次重合前，∠BON＝360﹣5t，∠AON＝15t﹣720，依题意有360﹣5t＝15t﹣720，解得t＝54．故当t＝18或54秒时，直线MN平分∠AOB．故答案为：18或54秒．4．解：（1）设每套A型一体机的价格为x万元，每套B型一体机的价格为y 万元．由题意可得：，解得：，答：每套A型一体机的价格是1.2万元，B型一体机的价格是1.8万元；（2）设该市还需要投入W万元，由题意得：W＝1.2×（1+25%）m+1.8×（1100﹣m）＝﹣0.3m+1980，∵﹣0.3＜0，∴W随m的增大而减小．∵m≤600，∴当m＝600时，W有最小值，W最小＝﹣0.3×600+1980＝1800，答：该市至少还需要投入1800万元．5．解：（1）设第一批葡萄每件进价x元，根据题意，得：×2＝，解得x＝120．经检验，x＝120是原方程的解且符合题意．答：第一批葡萄每件进价为120元．（2）设剩余的葡萄每件售价打y折．根据题意，得：×150×80%+×150×（1﹣80%）×0.1y﹣5000≥640，解得：y≥7．答：剩余的葡萄每件售价最少打7折．6．解：（1）根据题意知，这种一次性纸杯的质量是或．故答案是：或；（2）根据题意得，6x+10＝16x﹣206x﹣16x＝﹣20﹣10﹣10x＝﹣30x＝3．当x＝3时，（克）．答：一个乒乓球的质量是3克，一个这种一次性纸杯的质量是2克．7．解：（1）依题意，得：P＝，Q＝，∴5P﹣2Q＝﹣＝．（2）∵火车匀速行驶，∴P＝Q，即＝，∴a＝300，∴8a﹣380＝2020．8．解：（1）设运动时间为x秒时，MN＝56．依题意，得：（6x+11）﹣（﹣2x﹣5）＝56，解得：x＝5．答：运动时间为5秒时，MN＝56．（2）当运动时间为t秒时，点C对应的数为t﹣5，点D对应的数为﹣5t+11，∴AC＝t，BD＝5t，CD＝|t﹣5﹣（﹣5t+11）|＝|6t﹣16|．∵AC+BD＝3CD，∴t+5t＝3|6t﹣16|，即t+5t＝3（6t﹣16）或t+5t＝3（16﹣6t），解得：t＝4或t＝2．答：运动时间为2秒或4秒时，AC+BD＝3CD．9．解：（1）设每辆B型自行车的售价为x元，则每辆A型自行车的售价为（x+200）元．依题意，得方程两边乘x（x+200），得80000×1.25x＝80000×（1+12.5%）（x+200）解得x＝1800经检验，x＝1800是原分式方程的解，且符合实际意义．答：每辆B型自行车的售价为1800元．（2）每辆A型自行车的售价为1800+200＝2000元，销售数量为80000÷2000＝40辆；B型自行车的总销售额为80000×（1+12.5%）＝90000元，销售数量为40×1.25＝50辆．总利润为（80000+90000）﹣（1400×40+1300×50）＝49000元．答：此自行车行2019年销售A，B型自行车的总利润为.49000元10．解：（1）设购进乙x件，则购进甲1.5x件，，解得，x＝100，经检验x＝100是原方程的解，∴1.5x＝1.5×100＝150，答：甲购进150件，乙购进100件．（2）设甲每件售价m元，则150m+100（m+10）﹣7800﹣6000≥6700，解得：m≥78，答：甲每件售价至少78元．11．解：（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200﹣x）只，由题意，得25x+45（1200﹣x）＝46000解得：x＝400购进乙型节能灯1200﹣x＝1200﹣400＝800（只）．答：购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元．（2）设乙型节能灯需打a折，0.1×60a﹣45＝45×20%，解得a＝9，答：乙型节能灯需打9折．12．解：（1）∵|a+6|+（c﹣3）2＝0，∴a+6＝0，c﹣3＝0，解得：a＝﹣6，c＝3．故答案为：﹣6；3；（2）由a＝6可知OA＝6，∴b＝6×3＝18或b＝6÷3＝2；故b＝18或2；故答案为：18或2；（3）设运动t秒时，点B把线段PQ分成两条线段且其中一条是另一条线段的3倍，根据题意得2t+6+2＝3（3t+1），解得t＝．即运动秒时，点B把线段PQ分成两条线段且其中一条是另一条线段的3倍．13．解：（1）10+2.4×（8﹣3）＝22（元）；答：乘出租车从甲地到乙地需要付款22元；（2）设火车站到旅馆的距离为x千米．∵10＜17.2＜22，∴3≤x≤8．10+2.4（x﹣3）＝17.2∴x＝6．答：从火车站到旅馆的距离有6千米；（3）设旅馆到机场的距离为x千米，∵70＞22，∴x＞8．10+2.4（8﹣3）+3（x﹣8）＝70∴x＝24．所以乘原车返回的费用为：10+2.4×（8﹣3）+3×（24×2﹣8）＝142（元）；换乘另外车辆的费用为：70×2＝140（元）所以换乘另外出租车更便宜．14．解：（1）设降价x元，列不等式（6000×0.9﹣x）≥4000（1+30%）解得：x≤200答：最多降价200元，才能使得利润不低于30%；（2）根据题意得：整理得：3m2﹣8m﹣640＝0解得：m1＝16，m2＝﹣（舍去）∴m＝16答：m的值为16．15．解：（1）使用华夏专车，乘车距离为10千米，需要支付的打车费用为：1.8×10+0.8×（10﹣7）+10÷0.5×0.3＝18+2.4+6＝26.4（元）故答案为：26.4；（2）设甲乙两地距离是x千米，则10+2x+×0.6＝42整理得：3.2x＝32x＝10∴甲乙两地距离是10千米．（3）设行驶x千米，打车费用为W元当0＜x≤7时，华夏专车车费W1＝1.8x+×0.3＝2.4x当x＞7时，华夏专车车费W2＝1.8x+×0.3+0.8（x﹣7）﹣9＝3.2x﹣14.6神州专车车费W3＝（2x+×0.6+10）×0.5＝1.6x+5①W1＝W3时，2.4x＝1.6x+5，解得：x＝6.25；W＝W3时，3.2x﹣14.6＝1.6x+5，解得：x＝12.25．2②W1＞W3时，2.4x＞1.6x+5，解得：x＞6.25；W＞W3时，3.2x﹣14.6＞1.6x+5，解得：x＞12.25．2③W1＜W3时，2.4x＜1.6x+5，解得：x＜6.25；W＜W3时，3.2x﹣14.6＜1.6x+5，解得：x＜12.25．2综上所述，当x＝6.25或12.25时，两者都可选；当6.25＜x＜7或x＞12.25时，选神州专车；当0＜x＜6.25或7＜x＜12.25时，选华夏专车．16．解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据题意得：﹣＝4，解得：x＝25，经检验x＝25是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是25×2＝50（m2），答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是50m2、25m2；（2）设应安排甲队工作y天，根据题意得：0.35y+×0.25≤8，解得：y≥20，答：至少应安排甲队工作20天．17．解：（1）设A型台灯购进x盏，B型台灯购进（50﹣y）盏．根据题意得：400x+600（50﹣x）＝25000．解得：x＝25．则50﹣x＝25，答：A型台灯购进25盏，B型台灯购进25盏；（2）25×（600×90%﹣400）+25×（m×80%﹣650）＝7200．解得m＝997.5．18．解：（1）设在网上平台购票单价为x元，则在现场购票单价为（x+10）元．根据题意得：4x+2（x+10）＝200，解得：x＝30，∴x+10＝40．答：在网上平台购票单价为30元，在现场购票单价为40元．（2）根据题意得：500×a%×30+500×（1﹣a%）×40＝17000，解得：a＝60．答：a的值为60．19．解：（1）设安排x名工人生产G型装置，则安排（80﹣x）名工人生产H 型装置，依题意，得：，解得：x＝32，∴＝48．答：按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成48套GH型电子产品．（2）设安排y名工人生产H型装置，则安排（80﹣y）名工人及40名新工人生产G型装置，依题意，得：，解得：y＝72，∴＝y＝72．∵72×20＝1440＞1200，∴补充新工人后20天内能完成总任务．答：补充新工人后每天能配套生产72套产品，补充新工人后20天内能完成总任务．20．解：（1）制作1个大月饼要用的面粉数量为：（580﹣480）÷（8﹣6）＝50（g）；制作1个小月饼要用的面粉数量为：（480﹣50×6）÷6＝30（g），故答案为：50；30；（2）根据题意得50a+30b＝420，∵a，b为整数，∴a＝6，b＝4．故答案为：6；4（3）设用xg面粉制作大月饼，则利用（63000﹣x）g制作小月饼，根据题意得出，解得：x＝45000，则63000﹣4500＝18000（g）．答：用45000g面粉制作大月饼，18000g制作小月饼，才能生产最多的盒装月饼．。
2023年人教版数学一升二暑期衔接训练：第13讲 100以内数的不退位减法
2023年人教版数学一升二暑期衔接训练：第13讲100以内数的不退位减法一、单选题(共6题；共12分)1．（2分）妈妈今年38岁，明明今年12岁。
5年后，妈妈比明明大（）岁。
A．23B．26C．312．（2分）已知二（2）班男生有35人，女生有15人。
下面的问题中，不能解决的是（）A．二（1）班一共有多少人B．二（2）班的男生比女生多多少人C．二（2）班的男生和女生一共有多少人3．（2分）小马虎做计算题时，把加45错写成15，结果比正确结果小（）。
A．15B．30C．454．（2分）下图可以用哪个算式表示（）。
A．57+23B．57-23C．57-345．（2分）比最大的两位数少9的数是（）。
A．99B．9C．906．（2分）冬冬收集了36张画片，芳芳比青青多4张，比冬冬少12张。
芳芳收集了（）张。
A．40B．24C．28二、填空题(共10题；共33分)7．（5分）在计算时，相同数位对齐，从个位减起，个位上是8-5=，在得数的个位上写，十位上5-3=，在得数的十位上写，结果等于。
8．（3分）比27多7的数是；59比34多。
9．（3分）学校买一批运动器材，排球有58个，篮球比排球少，皮球比排球多。
篮球最多有个，皮球最少有个。
10．（3分）在下面的横线上填上合适的数。
85-=4256-=3642+=59+27=4873-=20+21=4411．（3分）学校舞蹈组有30人，美术组比舞蹈组少5人，美术组有人；书法组比舞蹈组多5人，书法组有人。
12．（3分）一辆玩具汽车45元，一把玩具水枪比一辆玩具汽车便宜18元，一把玩具水枪元，买这两样玩具一共需要元。
13．（3分）横线上最大能填几？89+<9446-＞4014．（3分）一根铁丝长78厘米，第一次剪去20厘米，第二次剪下18厘米，两次一共剪去厘米，还剩厘米。
15．（3分）小青有32枚邮票，小兰有22枚邮票，小青送给小兰枚后，两人的邮票数相等。
16．（4分）用4、1、8三个数字可以组成个不同的两位数，其中最大的数是，最小的数是，它们相差。
数学2020年春季100个考点教案 第13讲 行程问题
第13讲行程问题（选学内容）[教学内容]：《小升初思维训练教程》第13讲行程问题（选学内容）。
[教学目标]:知识技能：1. 培养学生善于发现生活中的数学的能力；2. 培养学生将实际生活问题转化为数学问题的能力；3. 培养学生应用数学知识解决生活问题的能力。
数学思考：1.使学生感受到生活中处处有数学，生活为我们数学提供可素材，用数学的眼光看世界，体会学好数学的必要性。
2.通过几个数学来培养学生、观察、分析、猜想的认知能力。
问题解决：通过数形结合的思想，培养学生自主探究意识，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。
情感态度：1．积极参加概率的数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。
2．使学生在学习过程中，体会到数学知识的内在联系，积累数学学习的经验。
3．初步认识概率的数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性和数学结论的确定性。
形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。
[教学重点和难点]:教学重点：如何从生活中发现数学，并且将生活实际问题转化为数学问题。
教学难点：生活是数学教育的中心，只有将所学的数学知识应用到生活中去，才能感受到知识的真正价值所在。
[教学准备]:动画多媒体语言课件第一课时教学过程：要多少分钟两人相遇。
也可以用两人行完全程一共用多少分钟，再减去已经行了的16 分钟，就可求出还要行多少分钟两人可以相遇。
讨论2：如图，A、B 是圆的直径的两端，小张在A 点，小王在B 点同时出发反向行走，他们在C 点第一次相遇，C 离A 点80 米；在D 点第二次相遇，D 点离B 点60 米，求这个圆的周长。
第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈。
从出发开始算，两个人合起来走了一周半。
因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3 倍，那么从A 经过C 到D 的距离，应该是从A 到C 距离的3 倍。
所以这个圆的周长是（80×3-60）×2＝360（米）。
第13讲.应用题综合(二).C版
2
六年级 第 13 讲 应用题综合（二） （C 版）
普通参考书的厚度是 45 毫米
甲乙两人去看电影，一张电影票的价格是甲所有钱数的 32%，是乙所有钱的 40%，当他们各自买了电影 票之后，甲剩下的钱比乙剩下的钱多 25 元，甲乙两人买电影票之前各有多少钱？
【答案】125,100
【分析】设电影票的单价为
【分析】方法一：两种书差不变，统一不变量，则有两种书原来数量比为 21: 9 ，现在的数
量比为 28 :16 ，现有英语参考书14 28 2128 56 本，
数学参考书14 28 2116 32 本.
方法二：设两种参考书现在的数量为 7x、4x ，根据题意有：
7x
14
1. 学校田径队有 35 人，其中女生人数是男生人数的 3 ，女生有________人. 4
【分析】
35
3 7
15
人.
2. 六年级一班的学生人数在 50 到 60 之间，这个班的男生人数和女生人数的比是 4:5，这个
班有女生_______人.
【答案】30
【分析】总数只能为 (5 4)6 54 人，其中女生人数为 56 30 人. 3. S 老师有一箱参考书，其中数学参考书占总数的 4 . 后来又放入 10 本数学参考书，这时
数量比为 48 : 32 ，1 份量的大小为13 48 35 1，两箱书原来各有 35 本、45 本.
方法二：设两箱书原来的数量为 7x、4x ，根据题意有：
7x
13 :
9x
13
3
:
2
x
5
97xx
35 45
两箱书原来各有 35 本、45 本.
部编版一年级数学上册第13讲.生活中的数学.基础—提高—尖子班.教师版
【答案】毛毛：12 张 豆豆：12 张 球球： 12 3 9 （张） 一共： 12 12 9 33 （张）
两根同样长的绳子，各用去一些后，第一根绳子还剩下 18 米，第二根绳子还剩下 6 米， 哪根绳子用去的多？多几米？
【答案】含量一样多．
例4 桌子上有桔子、香蕉和苹果．桔子有 8 个，香蕉有 5 个，苹果比桔子少 4 个．桌子上一共有多少 个水果？
【例题分析】桔子：8 个 香蕉：5 个 苹果：8－4＝4（个） 一共：8＋5＋4＝17（个）
第 1 级下·尖子班·教师版
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第十三讲
（尖子班）
有三根彩带，第一根长 3 米，第二根长 5 米，第三根的长度比前两根的总和还多 2 米，这三根彩带一 共长多少米？
【例题分析】 方法一：假设法，假设这根绳子有 20 米，则第一根用去 20 18 2 （米），第二根用去 20 6 14 （米），第二根用去的多，多 14 2 12 （米）．
方法二：同样的绳子，第一根比第二根剩的多，多 18 6 12（米），第二根就比第一 根多用 12 米．
第 1 级下·尖子班·教师版
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第十三讲
谁是动物世界中的“跳远冠军”？（ ）
A．跳蚤 B．袋鼠 C．蚱蜢
燕子低飞常常预示着天气会有怎样的变 １化？（ ）
A．刮风 B．下雨 C．晴天
河马喜欢把自己弄一身的泥，这是为什 么？（ ）
A．不讲卫生 B．防止蚊虫叮咬 C．暖和
有一种被称做“举重大力士”的动物，能举 起相当于自己体重 50 倍的东西，你知道它 是谁吗？（ ）
【2020精品中考数学提分卷】北京市-第13讲 几何压轴题+答案
ECAHFE DC B【2020·怀柔一模】1.如图，在△ABC 中，△A=90°，AB=AC ，点D 是BC 上任意一点，将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到线段AE ，连结EC. (1)依题意补全图形； (2)求△ECD 的度数；(3)若△CAE=7.5°，AD=1，将射线DA 绕点D 顺时针旋转60°交EC 的延长线于点F ，请写出求AF 长的思路．【答案】 (1) 如图(2) (2) △线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到线段AE. △△DAE=90°，AD=AE. △△DAC+△CAE =90°. △△BAC=90°, △△BAD+△DAC =90°. △△BAD=△CAE . 又△AB=AC, △△ABD△△ACE. △△B=△ACE.△△ABC 中，△A=90°，AB=AC, △△B=△ACB=△ACE=45°.第13讲 几何压轴题△△ECD=△ACB+△ACE=90°.(3) △.连接DE,由于△ADE 为等腰直角三角形，所以可求DE=；△.由△ADF=60°,△CAE=7.5°，可求△EDC 的度数和△CDF 的度数，从而可知DF 的长； △.过点A 作AH△DF 于点H ，在Rt△ADH 中, 由△ADF=60°，AD=1可求AH 、DH 的长； △. 由DF 、DH 的长可求HF 的长；△. 在Rt△AHF 中, 由AH 和HF,利用勾股定理可求AF 的长．【2020·平谷一模】2．在△ABC 中，AB=AC ，CD △BC 于点C ，交△ABC 的平分线于点D ，AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，过点E 作EF △BC 交AC 于点F ，连接DF ． （1）补全图1；（2）如图1，当△BAC =90°时，①求证：BE=DE ；②写出判断DF 与AB 的位置关系的思路（不用写出证明过程）； （3）如图2，当△BAC=α时，直接写出α，DF ，AE 的关系．【答案】解：（1）补全图1；（2）①延长AE ，交BC 于点H ． ∵AB=AC ， AE 平分∠BAC ，∴AH ⊥BC 于H ，BH=HC ．∵CD △BC 于点C ，2DFEABC图1DE BCEDBC图2GDFEBC∴EH ∥CD ． ∴BE=DE ．②延长FE ，交AB 于点G ．由AB=AC ，得△ABC =△ACB ． 由EF ∥BC ，得∠AGF =∠AFG ． 得AG=AF ．由等腰三角形三线合一得GE=E F ． 由∠GEB =∠FED ，可证△BEG ≌△DEF ．可得∠ABE =∠FDE ．从而可证得DF ∥AB ． （3）tan 2DF αAE ． 【2020·顺义一模】3 .如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，连接AE ，延长CB 至点F ，使BF=BE ，过点F 作FH △AE 于点H ，射线FH 分别交AB 、CD 于点M 、N ，交对角线AC 于点P ，连接AF ．（1）依题意补全图形； （2）求证：△F AC =△APF ；（3）判断线段FM 与PN 的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）补全图如图所示． （2）证明△正方形ABCD ，△△BAC =△BCA =45°，△ABC =90°， △△P AH =45°-△BAE ．EDCBAB△FH△AE．△△APF=45°+△BAE．△BF=BE，△AF=AE，△BAF=△BAE．△△F AC=45°+△BAF．（3）判断：FM=PN．证明：过B作BQ△MN交CD于点Q，△MN=BQ，BQ△AE．△正方形ABCD，△AB=BC，△ABC=△BCD=90°．△△BAE=△CBQ．△△ABE△△BCQ．△AE=BQ．△AE=MN．△△F AC=△APF，△AF=FP．△AF=AE，△AE=FP．△FP=MN．△FM=PN．【2020·大兴一模】4．如图，在等腰直角△ABC中，△CAB=90°，F是AB边上一点，作射线CF，过点B作BG△C F于点G，连接AG．（1）求证：△ABG=△ACF；（2）用等式表示线段C G，AG，BG之间的等量关系，并证明．【答案】（1）证明:△ △CAB=90°. △ BG △CF 于点G ， △ △BGF =△CAB =90°. △△GFB =△CF A . △ △ABG =△ACF .（2）CG =2AG +BG .证明：在CG 上截取CH =BG ，连接AH ， △ △ABC 是等腰直角三角形， △ △CAB =90°，AB =AC . △ △ABG =△ACH . △ △ABG △△ACH . △ AG =AH ,△GAB =△HAC . △ △GAH =90°.△ 222AG AH GH +=. △ GH =2AG .△ CG =CH +GH =2AG +BG .【2020·石景山一模】5．在正方形ABCD 中，M 是BC 边上一点，点P 在射线AM 上，将线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接BP ，DQ ． （1）依题意补全图1；（2）△连接DP ，若点P ，Q ，D 恰好在同一条直线上，求证：2222DP DQ AB +=； △若点P ，Q ，C 恰好在同一条直线上，则BP 与AB 的数量关系为： ．【答案】（1）补全图形如图1.（2）△证明：连接BD ，如图2，△线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ， △AQ AP =，90QAP ∠=°． △四边形ABCD 是正方形， △AD AB =，90DAB ∠=°． △12∠=∠．QB ADCMP图1图1备用图BA CDMBA D CMP321QB ACDMP图2△△ADQ △△ABP ． △DQ BP =，3Q ∠=∠．△在Rt QAP ∆中，90Q QPA ∠+∠=°， △390BPD QPA ∠=∠+∠=°． △在Rt BPD ∆中，222DP BP BD +=， 又△DQ BP =，222BD AB =，△2222DP DQ AB +=． △BP AB =．【2020·门头沟一模】6. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，2A α∠=，点D 是BC 的中点，DE AB E ⊥于点，DF AC F ⊥于点.（1）EDB ∠=_________°；（用含α的式子表示）（2）作射线DM 与边AB 交于点M ，射线DM 绕点D 顺时针旋转1802α︒-，与AC 边交于点N ． △根据条件补全图形；△写出DM 与DN 的数量关系并证明；△用等式表示线段BM CN 、与BC 之间的数量关系， （用含α的锐角三角函数表示）并写出解题思路. 【答案】（1） EDB α∠=（2）△补全图形正确 △数量关系：DM DN =QB ADCMP图1F E DCB△,AB AC BD DC == △DA 平分BAC ∠△DE AB E ⊥于点，DF AC F ⊥于点 △DE DF = ， MED NFD ∠=∠ △2A α∠=△1802EDF α∠=︒- △1802MDN α∠=︒- △MDE NDF ∠=∠△MDE NDF △≌△ △DM DN =△数量关系：sin BM CN BC α+=⋅ 证明思路：a.由MDE NDF △≌△可得EM FN =b. 由AB AC =可得B C ∠=∠,进而通过BDE CDF △≌△,可得BE CF = 进而得到2BE BM CN =+c.过BDE Rt △可得sin BEα=,最终得到sin BM CN BC α+=⋅ 【2020·房山一模】7. 如图，已知Rt△ABC 中，△C =90°，△BAC =30°，点D 为边BC 上的点，连接AD ，△BAD =α，点D 关于AB 的对称点为E ，点E 关于AC 的对称点为G ，线段EG 交AB 于点F ，连接AE ，DE ，DG ，AG . （1）依题意补全图形；（2）求△AGE 的度数（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段EG 与EF ，AF 之间的数量关系，并说明理由.【答案】 解（1）（2）由轴对称性可知，AB 为ED 的垂直平分线，AC 为EG 的垂直平分线.△AE =AG =AD .△△AEG =△AGE ，△BAE =△BAD =α △△EAC =△BAC +△BAE =30°+α △△EAG =2△EAC =60°+2α△△AGE =12(180°－△EAG ) =60°－α或：△AGE =△AEG =90°－△EAC =90°－（△BAC +△EAB ）=90°－（30°+α） =60°－α（3）EG =2EF +AF 法1：设AC 交EG 于点H △△BAC =30°，△AHF =90° △FH =12AFαD CB AαAB CEFGαNGFEAH△EH =EF +FH =EF +12AF又△点E ，G 关于AC 对称 △EG =2EH△EG =2(EF +12AF )=2EF +AF法2：在FG 上截取NG =EF ，连接AN. 又△AE =AG ， △△AEG =△AGE △△AEF △△AGN △AF =AN△△EAF =α，△AEG =60°－α △△AFN =60°△△AFN 为等边三角形△AF =FN△EG =EF +FN +NG =2EF +AF【2020·朝阳一模】8. 如图，在菱形ABCD 中，∠DAB =60°，点E 为AB 边上一动点（与点A ，B 不重合），连接CE ，将∠ACE 的两边所在射线CE ，CA 以点C 为中心，顺时针旋转120°，分别交射线AD 于点F ，G. （1）依题意补全图形；（2）若∠ACE=α，求∠AFC 的大小（用含α的式子表示）； （3）用等式表示线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）补全的图形如图所示.（2）解：由题意可知，∠ECF=∠ACG=120°.△∠FCG=∠ACE=α.△四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°， △∠DAC=∠BAC= 30°. △∠AGC=30°. △∠AFC =α+30°.（3）用等式表示线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系为CG AF AE 3=+.证明：作CH △AG 于点H.由（2）可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°. △CA=CG. △HG =21AG. △∠ACE =∠GCF ，∠CAE =∠CGF ， △△ACE ≌△GCF. △AE =FG .在Rt △HCG 中， .23cos CG CGH CG HG =∠⋅= △AG =3CG . 即AF+AE =3CG .【2020·东城一模】9. 已知△ABC中，AD是的平分线，且AD=AB，过点C作AD 的垂线，交AD 的延长线于点H．（1）如图1，若△直接写出B∠和ACB∠的度数；△若AB=2，求AC和AH的长；（2）如图2，用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明．【答案】（1）△75B∠=︒，45ACB∠=︒；△作DE△AC交AC于点E.Rt△ADE中，由30DAC∠=︒，AD=2可得DE=1，AE3=.Rt△CDE中，由45ACD∠=︒，DE=1，可得EC=1.△AC31=.Rt△ACH中，由30DAC∠=︒，可得AH33+=；（2）线段AH与AB+AC之间的数量关系：2AH=AB+ACBAC∠60BAC∠=︒证明： 延长AB 和CH 交于点F ，取BF 中点G ，连接GH .易证△ACH △△AFH .△AC AF =,HC HF =. △GH BC ∥. △AB AD =， △ ABD ADB ∠=∠. △ AGH AHG ∠=∠ . △ AG AH =.△()2222AB AC AB AF AB BF AB BG AG AH +=+=+=+==.【2020·西城一模】10．正方形ABCD 的边长为2，将射线AB 绕点A 顺时针旋转α，所得射线与线段BD 交于点M ，作CE AM ⊥于点E ，点N 与点M 关于直线CE 对称，连接CN ． （1）如图1，当045α︒<<︒时， △依题意补全图1．△用等式表示NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系：__________．（2）当4590α︒<<︒时，探究NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系并加以证明． （3）当090α︒<<︒时，若边AD 的中点为F ，直接写出线段EF 长的最大值．【答案】（1）△补全的图形如图7所示．△ △NCE =2△BAM ．（2）当45°<α<90°时，=1802NCE BAM ∠︒-∠．证明：如图8，连接CM ，设射线AM 与CD 的交点为H ．△ 四边形ABCD 为正方形，△ △BAD=△ADC=△BCD=90°，直线BD 为正方形ABCD 的对称轴，CDBA图1备用图C DBAM点A与点C关于直线BD对称．△ 射线AM与线段BD交于点M，△ △BAM=△BCM=α．△ △1=△2=90α︒-．△ CE△AM，△ △CEH=90°，△3+△5=90°．又△△1+△4=90°，△4=△5，△ △1=△3．△ △3=△2=90α︒-．△ 点N与点M关于直线CE对称，△ △NCE=△MCE=△2+△3=1802BAM︒-∠．（31．【2020·海淀一模】11．如图，已知60AOB∠=︒，点P为射线OA上的一个动点，过点P 作PE OB⊥，交OB于点E，点D在AOB∠内，且满足DPA OPE∠=∠，6DP PE+=.图7（（【答案】解：（1）作PF △DE 交DE 于F . △PE △BO ，60AOB ∠=，△30OPE ∠=.△30DPA OPE ∠=∠=.△120EPD ∠=. △DP PE =,6DP PE +=, △30PDE ∠=,3PD PE ==. △cos30DF PD =⋅︒=△2DE DF ==（2）当M 点在射线OA 上且满足OM =DMME的值不变，始终为1.理由如下： 当点P 与点M 不重合时，延长EP 到K 使得PK PD =.△,DPA OPE OPE KPA ∠=∠∠=∠, △KPA DPA ∠=∠. △KPM DPM ∠=∠. △PK PD =,PM 是公共边, △KPM △△DPM △. △MK MD =. 作ML △OE 于L ,MN △EK 于N .△60MO MOL =∠=， △sin 603ML MO =⋅=.△PE △BO ,ML △OE ,MN △EK ， △四边形MNEL 为矩形. △3EN ML ==.△6EK PE PK PE PD =+=+=, △EN NK =. △MN △EK , △MK ME =. △ME MK MD ==,即1DMME=. 当点P 与点M 重合时，由上过程可知结论成立.【2020·丰台一模】12．如图，Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，CA = CB ，过点C 在△ABC外作射线CE ，且∠BCE = α，点B 关于CE 的对称点为点D ，连接AD ，BD ，CD ，其中AD ，BD 分别交射线CE 于点M ，N .（1）依题意补全图形；（2）当α= 30°时，直接写出∠CMA 的度数；（3）当0°<α< 45°时，用等式表示线段AM ，CN 之间的数量关系，并证明．【答案】解：（1）如图；（2）45°； （3）结论：AM． 证明：作AG ⊥EC 的延长线于点G ．∵点B 与点D 关于CE 对称， ∴CE 是BD 的垂直平分线． ∴CB =CD ． ∴∠1=∠2=α．∵CA =CB ，∴CA =CD ．∴∠3=∠CAD ． ∵∠4=90°， ∴∠3=（180°∠ACD ）=（180°90°αα）=45°．∴∠5=∠2+∠3=α+45°-=45°． ∵∠4=90°，CE 是BD 的垂直平分线， ∴∠1+∠7=90°，∠1+∠6=90°． ∴∠6=∠7． ∵AG ⊥EC ，∴∠G =90°=∠8． ∴在△BCN 和△CAG 中， ∠8=∠G ，12-12----ααABCE∠7=∠6，BC=CA，∴△BCN≌△CAG．∴CN=AG．∵Rt△AMG中，∠G=90°，∠5=45°，∴AMAG．∴AMCN．（其他证法相应给分.）。
2023年中考数学一轮复习 第13讲 函数的应用(无答案)
第13讲 函数的应用【考查要求】（1）能用一次函数解决简单实际问题． （2）能用反比例函数解决简单实际问题． （3）能用二次函数解决简单实际问题．【基础过关】1．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x 元，则可卖出(350－10x )件商品，那么卖出商品所赚钱y 元与售价x 元之间的函数关系为( )A ．y ＝－10x 2－560x ＋7 350B ．y ＝－10x 2＋560x －7 350C ．y ＝－10x 2＋350xD ．y ＝－10x 2＋350x －7 3502．我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x 万元，可获得利润P ＝－1100(x －60)2＋41(万元)．每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是 .3．小明到文具店购买了1本笔记本用了8元，然后又购买了x 支铅笔，每支铅笔0.5元，小明买笔记本和铅笔一共用y 元.写出y 元与x 之间函数关系式_________________；4．从甲地向乙地打长途电话，按时间收费，3分钟内收费2.4元，每加1分钟加收1元，若时间t ≥3（分）时，电话费y （元）与t 之间的函数关系式是___________________．5．小红驾车从甲地到乙地，她出发第xh 时距离乙地y km ，已知小红驾车中途休息了1小时，图中的折线表示她在整个驾车过程中y 与x 之间的函数关系．B 点的坐标为（ ， ）；6．在如图所示的平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y ＝－13x 2，桥下的水面宽AB 为6 m ．当水位上涨1 m 时，水面宽CD 为 m （结果保留根号）．7．一辆货车从甲地出发以50km /h 的速度匀速驶往乙地，行驶1h 后，一辆轿车从乙地出发沿同一条路匀速驶往甲地．轿车行驶0.8h 后两车相遇．图中折线ABC 表示两车之间的距离y （km ）与货车行驶时间x （h ）的函数关系．（1）甲乙两地之间的距离是 km ，轿车的速度是 km/h ； （2）求线段BC 所表示的函数表达式；)（第6题）8．某水果店出售一种水果，每只定价20元时，每周可卖出300只．试销发现：每只 水果每涨价1元，那么每周将少卖出10只．如何定价，才能使一周销售收入最多？9．甲、乙两人骑车分别从A 、B 两地同时出发，沿同一路线匀速骑行，两人先相向而行，甲到达B 地后停留20 min 再以原速返回A 地，当两人到达A 地后停止骑行．设甲出发x min 后距离A 地的路程为y km ．图中的折线表示甲在整个骑行过程中y 与x 的函数关系． （1）A 、B 两地之间的路程是 km ； （2）求甲从B 地返回A 地时，y 与x 的函数表达式；【典型例题】例1 从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路．小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段时间．假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进．已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5 km ，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5 km ．设小明出发x h 后，到达离甲地y km 的地方，图中的折线OABCDE 表示y 与x 之间的函数关系．（2）求线段AB 、BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式；（3）如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15 h ，那么该地点离甲地多远？y/（第3题）例2小明、小丽先后从A地出发沿同一直道去B地.设小丽出发第x min时，小明、小丽离B地的距离分别为y1 m、y2 m．y1与x之间函数表达式是y1＝－10x²－100x＋2000，y2与x之间函数表达式是y2＝－180x＋2250．（1）小丽出发时，小明距A地的距离为_________m；（2）小丽出发至小明达到B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？例3某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表：若日销售量y是销售价x的一次函数．（1）求出日销售量y（件）与销售价x(元)的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应为多少元？此时每日销售利润是多少元？例4某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件．为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？（3）若该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？例5 甲、乙两公司同时销售一款进价为40元/千克的产品．图①中折线ABC表示甲公司销售价y1（元/千克）与销售量x（千克）之间的函数关系，图②中抛物线表示乙公司销售这款产品获得的利润y2（元）与销售量x（千克）之间的函数关系．（1）分别求出图①中线段AB、图②中抛物线所表示的函数表达式；（2）当该产品销售量为多少千克时，甲、乙两公司获得的利润的差最大？最大值为多少？例6某种洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如折线图所示．根据图像解答下列问题：（1）洗衣机的进水时间是分钟，清洗时洗衣机中的水量是升；（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19升．①求排水时y与x之间的表达式；②洗衣机中的水量到达某一水位后13.9分钟又到达该水位，求洗衣机在该水位时洗衣机中的水量为多少升？kg ）y （元【课后作业】1．甲车从A 地出发以60 km/h 的速度沿公路匀速行驶，0.5 h 后，乙车也从A 地出发，以80 km/h 的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶，求乙车出发后几小时追上甲车． 请建立一次函数关系．．．．．．解决上述问题．2．某水果店经营某种水果，顾客的批发量x （kg ）与批发单价y （元/kg ）之间的关系如图所示．图中线段AB 表示：批发量x 每增加1 kg ，批发单价y 降低0.1元/kg ． （1）求m 的值；（2）已知该水果进价为6元/kg ，设该水果店获利w 元． ①求w 与x 的函数表达式；① 当0＜x ≤m 时，求w 的最大值．3.某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为20元/件，为了调查这种新产品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量t （件）与每件销售价x （元/件）之间有如下关系：t ＝－3x ＋90．（1）请写出该超市销售这种产品每天的销售利润y （元）与x 之间的函数表达式． （2）当x 为多少元时，销售利润最大？最大利润是多少？4．某观光湖风景区，一观光轮与一巡逻艇同时从甲码头出发驶往乙码头，巡逻艇匀速往返于甲、乙两个码头之间，当观光轮到达乙码头时，巡逻艇也同时到达乙码头．设出发x h后，观光轮、巡逻艇离甲码头的距离分别为y1 km、y2 km．图中的线段OG、折线OABCDEFG 分别表示y1、y2 与x之间的函数关系．（1）观光轮的速度是km/h，巡逻艇的速度是km/h；（2）求整个过程中观光轮与巡逻艇的最大距离；（3）求整个过程中观光轮与巡逻艇相遇的最短时间间隔．5．换个角度看问题．【原题重现】【问题再研】若设慢车行驶的时间为x（h），慢车与甲地的距离为s1（km），第一列快车与甲地的距离为s2（km），第二列快车与甲地的距离为s3 （km），根据原题中所给信息解决下列问题：（1）在同一直角坐标系中，分别画出s1、s2与x之间的函数图像；（2）求s3与x之间的函数表达式；（3）求原题的答案．（图1）家学校超市h6．如图1所示，小明家与学校之间有一超市.早上小明由家匀速行驶去学校（不在超市停留），放学后小明回家的速度比上学的速度每小时少2千米． 设早上小明出发x 小时后，到达离家y 千米的地方，图2中的折线OABC 表示y 与x 之间的函数关系． （1）小明上学的速度为 km/h ；他在校时间为 h ； （2）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数表达式；（3）如果小明两次经过超市的时间间隔为8.48小时，那么超市离家多远？【挑战中考】1．（2022•南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m /s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间的函数关系是h ＝﹣5t 2+20t ，当飞行时间t 为 s 时，小球达到最高点．2．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y ＝﹣0.2x 2+x +2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为 3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离OH 是m ．3．（2022•苏州）一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为．4．（2022•南通）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．（1）写出图中点B表示的实际意义；（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为1500元，求a的值．5．（2022•盐城）小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发．两人离甲地的距离y（m）与出发时间x（min）之间的函数关系如图所示．（1）小丽步行的速度为m/min；（2）当两人相遇时，求他们到甲地的距离．6．（2022•苏州）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：（1）求甲、乙两种水果的进价；（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m 千克甲种水果和3m 千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m 的最大值．7．（2022•淮安）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A 、B 两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A 品牌粽子100袋和B 品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A 品牌粽子180袋和B 品牌粽子120袋，总费用为8100元． （1）求A 、B 两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；（2）当B 品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B 品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B 品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B 品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？8．（2022•无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？9．（2022•常州）已知二次函数y＝ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式；（2）将二次函数y＝ax2+bx+3的图象向右平移k（k＞0）个单位，得到二次函数y＝mx2+nx+q的图象，使得当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小．请写出一个符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式y＝，实数k的取值范围是；（3）A、B、C是二次函数y＝ax2+bx+3的图象上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图象的对称轴对称，求∠ACB的度数．10．（2022•泰州）如图，二次函数y1＝x2+mx+1的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点B（3，1）．（1）求这两个函数的表达式；（2）当y1随x的增大而增大且y1＜y2时，直接写出x的取值范围；（3）平行于x轴的直线l与函数y1的图象相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数y2的图象相交于点E．若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标．11．（2022•徐州）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E．（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．①求k、b的值；②若点P在y轴上，当|PE﹣PB|最大时，求点P的坐标．12．（2022•泰州）定义：对于一次函数y1＝ax+b、y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n （cx+d）（ma+nc≠0）为函数y1、y2的“组合函数”．（1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，并说明理由；（2）设函数y1＝x﹣p﹣2与y2＝﹣x+3p的图象相交于点P．①若m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P．是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．*13．（2022•无锡）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的对称轴与x轴交于点A（1，0），图象与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图象上的两个动点（点C在点D的左侧），且∠CAD＝90°．（1）求该二次函数的表达式；（2）若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；（3）点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．*14．（2022•宿迁）如图，二次函数y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于O （0，0），A （4，0）两点，顶点为C ，连接OC 、AC ，若点B 是线段OA 上一动点，连接BC ，将△ABC 沿BC 折叠后，点A 落在点A ′的位置，线段A ′C 与x 轴交于点D ，且点D 与O 、A 点不重合． （1）求二次函数的表达式；（2）①求证：△OCD ∽△A ′BD ；②求的最小值；（3）当S △OCD ＝8S △A 'BD 时，求直线A ′B 与二次函数的交点横坐标．*15．（2022•苏州）如图，二次函数y ＝﹣x 2+2mx +2m +1（m 是常数，且m ＞0）的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．其对称轴与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F ．连接AC ，BD ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标（用数字或含m 的式子表示），并求∠OBC 的度数； （2）若∠ACO ＝∠CBD ，求m 的值；（3）若在第四象限内二次函数y ＝﹣x 2+2mx +2m +1（m 是常数，且m ＞0）的图象上，始终存在一点P ，使得∠ACP ＝75°，请结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．*16．（2022•扬州）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x 轴上，且AB＝8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC＝8dm．现计划将此余料进行切割：（1）若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；（2）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；（3）若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．*17．（2022•淮安）如图（1），二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），直线l经过B、C两点．（1）求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；（2）点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PM＝MN时，求点P 的横坐标；（3）如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ＝3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，直接写出DQ的长．*18．（2022•镇江）一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，二次函数y＝ax2+bx+c（a ≠0）的图象经过点A、原点O和一次函数y＝x+1图象上的点B（m，）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）如图1，一次函数y＝x+n（n＞﹣，n≠1）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），过点C作直线l1⊥x轴于点E，过点D 作直线l2⊥x轴，过点B作BF⊥l2于点F．①x1＝，x2＝（分别用含n的代数式表示）；②证明：AE＝BF；（3）如图2，二次函数y＝a（x﹣t）2+2的图象是由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象平移后得到的，且与一次函数y＝x+1的图象交于点P、Q（点P在点Q的左侧），过点P作直线l3⊥x轴，过点Q作直线l4⊥x轴，设平移后点A、B的对应点分别为A′、B′，过点A′作A′M⊥l3于点M，过点B′作B′N⊥l4于点N．①A′M与B′N相等吗？请说明你的理由；②若A′M+3B′N＝2，求t的值．*19．（2022•盐城）【发现问题】小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．【提出问题】小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．【分析问题】小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为．【解决问题】请帮助小明验证他的猜想是否成立．【深度思考】小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．。
高中人教版数学a版高一必修1第13课时函数的奇偶性(含解析)
解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，
所以(a－1)＋2a＝0，所以a＝ .
因为偶函数的图象关于y轴对称，
所以－ ＝0，所以b＝－3.
故2a＋3b＝－ .
8．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．
答案：(－2,0)∪(2,5]
当|x|≤1时，|－x|≤1，f(－x)＝0＝f(x)；
当x＞1时，－x＜－1，f(－x)＝(－x)＋2＝－x＋2＝f(x)．
所以对一切x∈R，都有f(－x)＝f(x)，即函数f(x)是偶函数．
11．(13分)若f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且满足f(x)＋g(x)＝ ，求f(x)和g(x)的解析式．
解：∵f(x)图象关于y轴对称，所以函数f(x)为偶函数
x≥0时，x2－2x＝3，x＝3或x＝－1(舍去)即f(3)＝3.
∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(|x|)结合图象f(x－1)<3，f(|x－1|)<f(3)
∴|x－1|<3，－2<x<4.
(2)f(x)＝ .
解：(1)函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称．
因为f(－x)＝|－x－1|－|－x＋1|＝|x＋1|－|x－1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(2)函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称．
当x＜－1时，－x＞1，f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)；
A．31 B．17
C．－31 D．24
答案：A
解析：令g(x)＝ax5＋bx3＋cx，则g(x)为奇函数．
∴f(－7)＝g(－7)＋7＝－17，得g(－7)＝－24.
安徽省庐江县陈埠中学中考数学一轮复习第三章函数及其图象第13讲二次函数的图象和性质课件
解：(1)由题意得，b2＝2，
解得 b＝4，c＝3，∴抛物线的解析式
为．y＝x2－4x＋3
(2)∵点 A 与点 C 关于 x＝2 对称，∴连接 BC 与 x＝2 交于 点 P，则点 P 即为所求，根据抛物线的对称性可知，点 C 的坐标为(3，0)，y＝x2－4x＋3 与 y 轴的交点为(0，3)，∴ 设直线 BC 的解析式为：y＝kx＋b，3bk＝＋3b，＝0，解得，k ＝－1，b＝3，∴直线 BC 的解析式为：y＝－x＋3，则直 线 BC 与 x＝2 的交点坐标为：(2，1)∴点 P 的交点坐标为： (2，1)
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．当x＜1时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴是直线x＝－1
4．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－4先向右平移2个单
位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式为( B )
A．y＝(x＋2)2＋2
B．y＝(x－2)2－2
C．y＝(x－2)2＋2
D．y＝(x＋2)2－2
考点三：二次函数的解析式的求法
【例1】 (2015·黑龙江)如图，抛物线y＝x2－bx＋c交x轴于点A(1，0)，交y轴 于点B，对称轴是x＝2. (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若 存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
1－b＋c＝0，
解：(1)∵y＝12x2＋x－52＝12(x2＋2x)－52＝12(x2＋2x＋1 －1)－52＝12(x2＋2x＋1)－12－52＝12(x＋1)2－3， ∴抛物线的顶点坐标为(－1，－3)；
(2)∵抛物线开口向上，对称轴为 x＝－1， ∴当 x＜－1 时，y 随 x 的增大而减小；
2024-2025年北师大版数学必修第一册1.1.3.2全集与补集(带答案)
第2课时全集与补集必备知识基础练知识点一补集的运算1．已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A＝________．2．已知全集U，集合A＝{1，3，5，7}，∁U A＝{2，4，6}，∁U B＝{1，4，6}，则集合B＝________．知识点二集合交、并、补的综合运算3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁R S)∪T＝( )A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4} C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}4．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，M＝{1，2}，N＝{2，5}，则如图所示，阴影部分表示的集合是( )A．{3，4，5} B．{1，3，4}C．{1，2，5} D．{3，4}5．设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝_________________，(∁R A)∩B＝________________．知识点三利用集合的运算求参数6．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<3}，(1)若A∪(∁R B)＝R，求实数a的取值范围；(2)若A(∁R B)，求实数a的取值范围．关键能力综合练1．设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<－2}，则∁U M＝( )A．{x|－2≤x≤2}B．{x|－2<x<2}C．{x|x<－2或x>2}D．{x|x≤－2或x≥2}2．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩(∁U A)＝( )A．{1，6} B．{1，7}C．{6，7} D．{1，6，7}3．已知全集U＝{－1，1，3}，集合A＝{a＋2，a2＋2}，且∁U A＝{－1}，则a的值是( ) A．－1 B．1 C．3 D．±14．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩(∁U B)等于( )A．{3} B．{4} C．{3，4} D．∅5．(多选题)已知全集U＝R，集合M，N的关系如图所示，则( )A．N∪M＝MB．(∁U M)∩N＝∅C．(∁U M)⊇(∁U N)D．(∁U M)∩(∁U N)＝∁U N6．(探究题)设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k<x<k＋1，k∈R}，且B∩(∁U A)≠∅，则( )A．k＜0或k＞3 B．2＜k＜3C．0＜k＜3 D．－1＜k＜37．设全集U＝R，A＝{x|x≤4}，B＝{x|x＜1}，则∁U B＝________，A∩(∁U B)＝________．8．(易错题)设U为实数集，集合M＝{x|0<x<2}，N＝{y|y＝x2}，则(∁U M)∩N＝________．9．(结构不良型)已知A＝{x|x2－6x＋5＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．(1)若a＝1，求A∩(∁Z B)；(2)从①A∪(∁R B)＝R；②A∩B＝B；③B∩(∁R A)＝∅这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答．问题：若________，求实数a的所有取值构成的集合C.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．核心素养升级练1．(新定义型)(多选题)我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁S A＝{x|x∈S且x∉A}，类似地，对于集合A、B我们把集合{x|x∈A且x∉B}，叫作集合A和B的差集，记作A－B，例如：A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}，下列说法正确的是( )A．已知A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，5，6，8，9}，则B－A＝{3，7，8}B.如果A－B＝∅，那么A⊆BC．已知全集、集合A、集合B关系如图所示，则B－A＝A∩∁U BD．已知A＝{x|x＜－1或x＞3}，B＝{x|－2≤x＜4}，则A－B＝{x|x＜－2或x≥4} 2．(学科素养—逻辑推理)对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1，2}，B＝{3，4}，则有A×B＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}，B×A＝{(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，A×A＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}，B×B＝{(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}，据此，试回答下列问题．(1)已知C＝{a}，D＝{1，2，3}，求C×D；(2)已知A×B＝{(1，2)，(2，2)}，求集合A，B；(3)A有3个元素，B有4个元素，试确定A×B有几个元素．第2课时全集与补集必备知识基础练1．答案：{x|x<－3，或x＝5}解析：将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得∁U A＝{x|x<－3，或x＝5}．2．答案：{2，3，5，7}解析：解法一A＝{1，3，5，7}，∁U A＝{2，4，6}，∴U＝{1，2，3，4，5，6，7}．又∁U B＝{1，4，6}，∴B＝{2，3，5，7}．解法二借助Venn图，如图所示．由图可知B＝{2，3，5，7}．3．答案：C解析：∵S＝{x|x>－2}，∴∁R S＝{x|x≤－2}．而T＝{x|－4≤x≤1}，∴(∁R S)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．4．答案：D解析：由图可知，阴影部分表示的集合是∁U(M∪N).∵M∪N＝{1，2，5}，又U＝{1，2，3，4，5}，∴∁U(M∪N)＝{3，4}．5．答案：{x|x≤2或x≥10}{x|2<x<3或7≤x<10}解析：由题意知，A∪B＝{x|2<x<10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．又∁R A＝{x|x<3或x≥7}．∴(∁R A)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．6．解析：(1)∵B＝{x|1<x<3}，∴∁R B＝{x|x≤1或x≥3}，因而要使A∪(∁R B)＝R，结合数轴分析(如图)，可得a≥3.∴a的取值范围为[3，＋∞).(2)∵A＝{x|x<a}，∁R B＝{x|x≤1或x≥3}．要使A(∁R B)，结合数轴分析(如图)，可得a≤1.∴a的取值范围为(－∞，1].关键能力综合练1．答案：A解析：如图，在数轴上表示出集合M，可知∁U M＝{x|－2≤x≤2}．2．答案：C解析：依题意得∁U A＝{1，6，7}，所以B∩(∁U A)＝{6，7}．故选C.3．答案：A解析：由A∪(∁U A)＝U，可知A＝{1，3}．又∵a2＋2≥2，∴a＋2＝1且a2＋2＝3.解得a＝－1，故选A.4．答案：A解析：∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1，2，3}．∵B＝{1，2}，∴A＝{3}或{2，3}或{1，3}或{1，2，3}，且∁U B＝{3，4}，∴A∩(∁U B)＝{3}．5．答案：AB解析：由图可知N∪M＝M，(∁U M)∩N＝∅，(∁U M)⊆(∁U N)，(∁U M)∩(∁U N)＝∁U M.故选AB.6．答案：C解析：∵A＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁U A＝{x|1＜x＜3}，若B∩(∁U A)＝∅，则k＋1≤1或k≥3，即k≤0或k≥3，所以若B∩(∁U A)≠∅，则0＜k＜3.7．答案：{x|x≥1}{x|1≤x≤4}解析：∁U B＝{x|x≥1}，A∩(∁U B)＝{x|x≤4}∩{x|x≥1}＝{x|1≤x≤4}．8．答案：{x|x≥2或x＝0}解析：N＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，∁U M＝{x|x≤0或x≥2}，则(∁U M)∩N＝{x|x≥2或x ＝0}．9．解析：(1)当a＝1时，B＝{x|x－1＝0}＝{1}，又因为A ＝{x |x 2－6x ＋5＝0}＝{1，5}，故A ∩(∁Z B )＝{5}． (2)若选①，当a ＝0时，B ＝∅，则∁R B ＝R ，满足A ∪(∁R B )＝R ，当a ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，若A ∪(∁R B )＝R ，则1a ＝1或5，解得a ＝1或15 .综上所述，C＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，15，1 ；若选②，∵A ∩B ＝B ，则B ⊆A . 当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，因为B ⊆A ，则1a ＝1或5，解得a ＝1或15 .综上所述，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，15，1 ；若选③，当a ＝0时，B ＝∅，满足B ∩(∁R A )＝∅；当a ≠0时，则B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，因为B ∩(∁R A )＝∅，则1a ＝1或5，解得a ＝1或15 .综上所述，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，15，1 .核心素养升级练1．答案：BD解析：A ：由B －A ＝{x |x ∈B 且x ∉A }，故B －A ＝{3，8}，错误； B ：由A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，则A －B ＝∅，故A ⊆B ，正确； C ：由韦恩图知：B －A 如图阴影部分，所以B －A ＝B ∩∁U A ，错误；D ：∁U B ＝{x |x ＜－2或x ≥4}，则A －B ＝A ∩∁U B ＝{x |x ＜－2或x ≥4}，正确．故选BD. 2．解析：(1)C ×D ＝{(a ，1)，(a ，2)，(a ，3)}． (2)∵A ×B ＝{(1，2)，(2，2)}， ∴A ＝{1，2}，B ＝{2}．(3)从以上解题过程中可以看出，A ×B 中元素的个数，与集合A 和B 中的元素个数有关，即集合A 中的任何一个元素与B 中的每一个元素对应后，得到A ×B 中的一个新元素．若A 中有m 个元素，B 中有n 个元素，则A ×B 中的元素应为(m ×n )个．因此若A 中有3个元素，B中有4个元素，则A×B中有3×4＝12(个)元素．。
2020年山东省聊城市东城中学高一数学理模拟试卷含解析
2020年山东省聊城市东城中学高一数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知等差数列的前n项和为18.若，，则n的值为( )A. 27B. 21C. 9D. 36参考答案：A【分析】根据等差数列的前项和为18, ，列出关于首项、公差以及项数的方程组，解方程组即可得结果.【详解】因为等差数列的前项和为18, ，，所以根据等差数列的前项和公式，和等差数列中第项，可得通过第一个方程，可以得到，代入第二个式子，得到，再将代入第三个式子，得到，因为，所以得到,故选A.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.2. 已知正数x、y、z满足x2+y2+z2=1，则S=的最小值为（）A．3 B．C．4 D．2（+1）参考答案：C【考点】7F：基本不等式；RA：二维形式的柯西不等式．【分析】由题意可得1﹣z2=x2+y2≥2xy，从而可得≥，由基本不等式和不等式的性质可得≥≥4【解答】解：由题意可得0＜z＜1，0＜1﹣z＜1，∴z（1﹣z）≤（）2=，当且仅当z=（1﹣z）即z=时取等号，又∵x2+y2+z2=1，∴1﹣z2=x2+y2≥2xy，当且仅当x=y时取等号，∴≥1，∴≥1，∴≥，∴≥≥4，当且仅当x=y=且z=时取等号，∴S=的最小值为4故选：C3. 执行下面的程序框图，如果输入的a =－1，则输出的S =( )A．2 B．3 C.4 D．5参考答案：A4. 若a=log3π，b=log76，c=log20.8，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a参考答案：A【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】根据π＞3，6＜7，2＞1，0.8＜1，可知log3π＞1，0＜log76＜1，log20.8＜0，进而比较出大小．【解答】解：∵log3π＞1，0＜log76＜1，log20.8＜0∴a＞b＞c故选A．【点评】本题主要考查对数函数的性质及图象．是高考的热点．5. 若定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，则有（）A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）C．f（﹣2）＜f（1）＜f （3）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）参考答案：A【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利用函数的单调性及奇偶性，即可得出结论．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，∴f（3）＜f（2）＜f（1），∵函数是偶函数，∴f（3）＜f（﹣2）＜f（1），故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．6. 函数的定义域是（）A．[﹣2，0] B．（﹣2，0）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）参考答案：B【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】直接由对数函数的真数大于0，然后求解一元二次不等式得答案．【解答】解：由函数，可得﹣x2﹣2x＞0，解得：﹣2＜x＜0．∴函数的定义域是：（﹣2，0）．故选：B．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了对数函数的性质，是基础题．7. 函数的零点必定落在区间( )A．B．C．D．参考答案：C略8. 若函数在上为增函数，则的取值范围是（）A． B． C．R D．参考答案：A略9. 运行下图所示框图的相应程序,若输入的值分别为和,则输出M的值是( )A．0 B．1 C．2 D．－1参考答案：C10. 从某高中随机选取5名高一男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程=0．56x+，据此模型预报身高为172cm的高一男生的体重为A．70．09 B．70．12 C 70．55 D．71．05参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. A(2,3), B(6,-3), 点P是线段AB靠近A的三等分点，P点的坐标为参考答案：（10/3，1）略12. 若实数x，y满足约束条件则目标函数的最大值为______．参考答案：113. 函数的定义域为．参考答案：{x|x≤4且x≠1}【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据分式有意义的条件，分母不能为0，偶次根式，被开方数大于等于0，可求出函数的f （x）的定义域．【解答】解：∵∴解得x≤4且x≠1即函数的定义域为{x|x≤4且x≠1}故答案为：{x|x≤4且x≠1}【点评】本题主要考查了函数的定义域及其求法，解题的关键是注意分母不能为0，偶次根式被开方数大于等于0，属于基础题．14. 已知某个数列的前4项分别为，写出该数列的一个通项公式为。
北京东城综合中学高一数学理联考试题含解析
北京东城综合中学高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量，则( )A. B. C. D．参考答案：D略2. sin390°的值为（）A. B. C. - D. -参考答案：A3. 若函数，若,则实数的取值范围是( )A. B.C. D.参考答案：A4.A． B． C． D．参考答案：C5. 若函数的图象向右平移个单位以后关于y轴对称，则的值可以是（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据相位变换原则可求得平移后的解析式，根据图象对称性可知，，从而求得；依次对应各个选项可知为一个可能的取值.【详解】向右平移得：此时图象关于轴对称，，当时，本题正确选项：A【点睛】本题考查三角函数的左右平移变换、根据三角函数性质求解函数解析式的问题，关键是能够通过对称关系构造出方程.6. 下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则参考答案：D【分析】利用特殊值法和不等式的性质来判断各选项的正误。
【详解】对于A选项，当时，，A选项错误；对于B选项，取，，，，则，，不成立，B 选项错误；对于C选项，取，，，，则，，不成立，C 选项错误；对于D选项，当时，则，由于，所以，，D选项正确.故选：D。
【点睛】本题考查不等式有关命题的判断，常用不等式的基本性质以及特殊值法去检验，考查逻辑推理能力，属于基础题。
7. 执行如图所示的程序框图，如果输入，那么输出的a值为（）A.B.C.D.参考答案：C略8. 等差数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋1，其前n项的和为S n，则数列的前10项的和为( )．A．120 B．70 C．75 D．100参考答案：C略9. 已知实数依次成等比数列，则实数x的值为( ) A. 3或－3 B. 3 C. －3 D. 不确定参考答案：C【分析】根据等比中项的性质可以得到一个方程，解方程，结合等比数列的性质，可以求出实数的值.【详解】因为实数依次成等比数列，所以有当时，，显然不存在这样的实数，故，因此本题选C.【点睛】本题考查了等比中项的性质，本题易出现选A的错误结果，就是没有对等比数列各项的正负性的性质有个清晰的认识.10. 已知是方程的两个不等实根，函数的定义域为，，若对任意，恒有成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. . D.参考答案：A【详解】试题分析：是方程的两个不等实根，结合图象可知，当时，，所以恒成立，故，在恒成立，故函数在定义域内是增函数，所以.①，又因为是方程的两个不等实根，则，代入①化简得：，由对任意的，成立，得：，结合，得，故实数a的取值范围是；考点：1.函数的单调性；2.求函数最大值；3.分离参数解决恒成立问题；二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知点为的外心，外接圆半径为1，且满足，则的面积为．参考答案：12.（5分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x 的最大整数，若函数f （x ）=（x ＞0），则给出以下四个结论：①函数f （x ）的值域为[0，1]； ②函数f （x ）的图象是一条曲线；③函数f （x ）是（0，+∞）上的减函数；④函数g （x ）=f （x ）﹣a 有且仅有3个零点时．其中正确的序号为 ．参考答案：④考点： 根的存在性及根的个数判断；函数单调性的判断与证明． 专题： 函数的性质及应用．分析： 通过举特例，可得①、②、③错误；数形结合可得④正确，从而得出结论．解答： 由于符号[x]表示不超过x 的最大整数，函数f （x ）=（x ＞0），取x=﹣1.1，则[x]=﹣2，∴f（x ）=＞1，故①不正确．由于当0＜x ＜1，[x]=0，此时f （x ）=0；当1≤x＜2，[x]=1，此时f （x ）=；当2≤x＜3，[x]=2，此时f （x ）=，此时＜f （x ）≤1，当3≤x＜4，[x]=3，此时f （x ）=，此时＜g （x ）≤1，当4≤x＜5，[x]=4，此时f （x ）=，此时＜g （x ）≤1，故f （x ）的图象不会是一条曲线，且 f （x ）不会是（0，+∞）上的减函数，故排除②、③． 函数g （x ）=f （x ）﹣a 有且仅有3个零点时，函数f （x ）的图象和直线y=a 有且仅有3个交点，此时，，故④正确，故答案为：④．点评： 本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．13. 按如图所示的程序框图运算。
2022年小升初数学总复习第13讲：流水行船问题(附答案解析)
2022年小升初数学总复习第13讲：流水行船问题一．选择题（共11小题）1．有一艘轮船所带的燃料最多可用12小时，驶出时速度是30千米/每小时，返回时逆水，速度是顺水速度的80%，这艘轮船最多驶出（）千米就应返航．A．160B．200C．180D．3202．有一艘渡轮在静水中的船速是35公里/时，在流速2公里/时的河流上顺流而下5小时，渡轮共行驶几公里？（）A．155公里B．165公里C．175公里D．185公里3．一轮船从甲地到乙地顺水匀速行驶需要4小时，从乙地到甲地逆水匀速行驶需要6小时，有一木筏由甲地漂流到乙地需要（）小时．A．18B．24C．16D．124．轮船往返于一条河的两个码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将（）A．增多B．减少C．不变D．增多、减少都有可能5．甲乙两地相距1500千米．飞机从甲地到乙地是顺风，需2小时；从乙地返回甲地是逆风，需2.5小时，则飞机往返的平均速度是（）千米∕时．A．700B．66623C．675D．6506．一艘轮船往返于甲乙两个码头之间，如果船速不变，当水流速度增加时，轮船往返一次所用时间（）A．不变B．增多C．减少D．增多、减少都有可能7．一轮船往返A，B两港之间，逆水水航行需要3h，顺水航行需2h，水速是3km/h，则轮船在静水中的速度是（）A．18km/h B．15km/h C．12km/h D．20km/h8．轮船顺水航行2小时，行了120千米，返回原地又用了4小时，则轮船每小时在静水中行驶（）千米．A．45B．40C．50D．479．两地相距280千米，一艘轮船从甲地到乙地是顺水航行．船在静水中的速度是每小时行17千米，水速是每小时3千米．这艘轮船在甲、乙两地往返一次，共需（）小时．A．以下都错B．33C．36D．3410．轮船从A城到B城匀速行驶需行3天，而从B城到A城匀速行驶需行4天，从A城放一个无动力的木筏，它漂到B城需（）天．A．24B．25C．26D．2711．商场自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了30级到达楼上，男孩走了90级到达楼下．如果男孩单位时间内走的楼梯级数是女孩的3倍．问当时扶梯静止时，扶梯可看到的梯级共有（）级．A．30B．45C．60D．75二．填空题（共20小题）12．轮船顺流航行135千米，再逆流航行70千米，共用12.5小时，而顺流75千米，再逆流110千米，也用12.5小时，水流速度是千米/时。
北京东城综合中学高一数学理上学期期末试题含解析
北京东城综合中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知正方形ABCD的对角线AC与BD相交于E点，将△ACD沿对角线折起，使得平面ABC⊥平面ADC （如图），则下列命题中正确的是（）A．直线AB⊥直线CD，且直线AC⊥直线BDB．直线AB⊥平面BCD，且直线AC⊥平面BDEC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥BDED．平面ABD⊥平面BCD，且平面ACD⊥平面BDE参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由直线AB⊥直线CD不成立，知A错误；由直线AB⊥平面BCD不成立，知B错误；由平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE，知C正确；由平面ABD⊥平面BCD不成立，知D错误．【解答】解：由题意知DC⊥BE，AB∩BE=E，∴直线AB⊥直线CD不成立，故A错误；∵AC⊥AB，∴AB与BC不垂直，∴直线AB⊥平面BCD不成立，故B错误；∵BE⊥DE，BE⊥AC，∴AC⊥平面BDE，∴平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE，故C正确；∵平面ABD⊥平面BCD不成立，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，是中档题．2. 已知函数，则的解集为（）A． B．C． D．参考答案：B3. 已知满足，且，，那么等于（）A． B． C． D．参考答案：B4. 已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：A．（﹣∞，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【分析】利用函数零点的存在定理进行函数零点所在区间的判断，关键要判断函数在相应区间端点函数值的符号，如果端点函数值异号，则函数在该区间有零点．【解答】解：由于f （2）＞0，f （3）＜0，根据函数零点的存在定理可知故函数f （x ）在区间（2，3）内一定有零点，其他区间不好判断．故选c．5. 设，，，若x>1,则a,b,c的大小关系是（）A、a<b<c B 、 b<c <a C、 c<a<b D、 c<b< a参考答案：C6. 函数的图象是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】指数型复合函数的性质及应用．【分析】先利用函数图象过点（0，1），排除选项CD，再利用当x=1时，函数值小于1的特点，排除A，从而选B【解答】解：令x=0，则=1，即图象过（0，1）点，排除 C、D；令x=1，则=＜1，故排除A故选 B7. 下列四个命题：（1）函数的最小值是2；（2）函数的最小值是2；（3）函数的最小值是2；（4）函数的最大值是.其中错误的命题个数是（）....参考答案：（1）的值域为，无最小值，故错误；（2）的值域为，最小值为2，正确;（3）；当且仅当，即，不成立，故错误；（4），故正确.答案选.8. 已知，，则等于（）A. B. 或 C. 或 D.参考答案：A【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，求得所给式子的值．【详解】解：∵，，∴平方可得，即，∴，，∵可得：，解得：，或（舍去），∴，可得：．故选：A．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，熟记公式即可，属于基础题．9. 已知，，，则，，的大小关系为（）A B C D参考答案：B 略10. 设m ,n 是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则； ②若则；③若，则； ④若,则，其中正确命题的序号是（ ）A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ①和④参考答案：B 【分析】①利用线面平行的性质可得：若m ∥α，n ∥α，则m ∥n 、相交或为异面直线；②利用平面平行的传递性和平行平面的性质可得：若α∥β，β∥γ，则α∥γ，又m ⊥α，则m ⊥γ；③利用线面垂直的性质可得：若，则；；④利用面面垂直的性质可得：若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或相交．【详解】①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n 、相交或为异面直线，不正确； ②若α∥β，β∥γ，则α∥γ，又m ⊥α，则m ⊥γ；正确； ③若，则；正确；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或相交，不正确． 综上可知：②和③正确． 故选：B ．【点睛】本题综合考查了空间中线面的位置关系及其判定性质，属于基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 正项数列满足,又数列是以为公比的等比数列,则使得不等式成立的最大整数为 .参考答案：912. 解关于的不等式.参考答案：解：原不等式当时，解集为当时，解集为当时，解集为当时，解集为略13. 函数的值域为 ．参考答案：（-∞，1]14. 若半径为2的球O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积为8π时，圆柱的体积为 ．参考答案：15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则角B 最大值为______.参考答案：【分析】根据余弦定理列式，再根据基本不等式求最值【详解】因为所以角最大值为【点睛】本题考查余弦定理以及利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题 16. 已知等比数列{a n }的公比为q ，若，，则a 1=_____；q =____．参考答案：3【分析】用通项公式代入解方程组.【详解】因为，，所以，，解得.【点睛】本题考查等比数列的通项公式.17. 在中，B=3A,则的范围是.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2023-2024学年北京十三中高一(上)期中数学试卷和答案
2023北京十三中高一（上）期中数学2023年11月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页；第Ⅱ卷第3页至第5页，答题纸第1页至第3页．共150分，考试时间120分钟．请在答题纸规定处书写班级、姓名、准考证号．考试结束后，将本试卷的答题纸按页码顺序一并交回．一、选择题1.设U =R ，{}|0A x x =>，{}|1B x x =≤，则()U A B = ð（）A.{}|01x x ≤<B.{}|01x x <≤C.{}|0x x <D.{}|1x x >2.若a b >，则一定有（）A.11a b< B.|a |>|b |C.> D.33a b >3.函数()23f x x x=-零点所在的一个区间是（）A.()2,1-- B.()0,1 C.()1,2 D.()2,+∞4.已知0x >，则12x x+的最小值为（）A.2B.C.1D.25.下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.()2f x x =+B.()x f x -=3C.()f x =D.()21f x x =-+6.命题1:11p x >-，:213q x -<，则p 是q 的______条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要7.已知命题“R x ∃∈，使得2230ax ax -+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（）A.03a ≤≤B.0<<3aC.03a <≤ D.03a ≤<8.设集合{}1A x x a =-=，{}1,3,B b =-，若A ⊆B ，则对应的实数对(,)a b 有A.1对B.2对C.3对D.4对9.设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（）A.（﹣∞，2）B.（﹣∞，2]C.（2，+∞）D.[2，+∞）10.如图为某商铺A 、B 两种商品在2022年前3个月的销售情况统计图，已知A 商品卖出一件盈利20元，B 商品卖出一件盈利10元.图中点1A 、2A 、3A 的纵坐标分别表示A 商品2022年前3个月的销售量，点1B 、2B 、3B 的纵坐标分别表示B 商品2022年前3个月的销售量.根据图中信息，下列四个结论中正确的是（）①2月A 、B 两种商品的总销售量最多；②3月A 、B 两种商品的总销售量最多；③1月A 、B 两种商品的总利润最多；④2月A 、B 两种商品的总利润最多.A.①③B.①④C.②③D.②④二、填空题11.函数()f x =的定义域是______．12.方程组202x y x x +=⎧⎨+=⎩的解集是______．13.已知2(1)f x x +=，则(3)f =_______．14.已知不等式250ax x b -+>的解集为{}32x x -<<，则不等式250bx x a -+>的解集为___________．15.已知奇函数()f x 在(),0∞-上是减函数，若()20f -=，则()0f x <的解集为______．16.设关于x 的不等式220ax x a -+≤的解集为S .（1）若S 中有且只有一个元素，则a 的值为___________；（2）若0S ∈且1S -∉，则a 的取值范围是___________.17.已知函数()2,2,{ 1,3.x x x c f x c x x +-≤≤=<≤若0c =，则()f x 的值域是____；若()f x 的值域是1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数c 的取值范围是____．18.某厂商为推销自己品牌的可乐，承诺在促销期内，可以用3个该品牌的可乐空罐换1罐可乐.对于此促销活动，有以下三个说法：①如果购买10罐可乐，那么实际最多可以饮13罐可乐;②欲饮用100罐可乐，至少需要购买67罐可乐：③如果购买*()n n ∈N 罐可乐，那么实际最多可饮用可乐的罐数1()2n f n n -⎡⎤=+⎢⎣⎦.（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）则所有正确说法的序号是__________.三、解答题19.已知a ，R b ∈，试比较33a b -与22ab a b -的大小，并证明．20.已知函数2()1xf x x =-.（Ⅰ）证明：()f x 是奇函数；（Ⅱ）判断函数()f x 在区间()1,1-上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.21.已知函数()2f x ax x =+定义在区间[]0,2上，其中[]2,0a ∈-.（1）若1a =-，求()f x 的最小值；（2）求()f x 的最大值.22.已知函数()223f x ax ax =--．（1）若1a =，求不等式()0f x ≥的解集；（2）己知0a >，且()0f x ≥在[)3,+∞上恒成立，求a 的取值范围；（3）若关于x 的方程()0f x =有两个不相等的正实数根1x ，2x ，求2212x x +的取值范围．23.经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1吨该产品获利润500元，未售出的产品，每1吨亏损300元.经销商为下一个销售季度购进了130吨该农产品.以x （单位：吨，100150x ≤≤）表示下一个销售季度内的市场需求量，y （单位：元）表示下一个销售季度内销售该农产品的利润.（I ）将y 表示为x 的函数：（II ）求出下一个销售季度利润y 不少于57000元时，市场需求量x 的范围.24.已知集合P 的元素个数为()3n n N*∈且元素均为正整数，若能够将集合P 分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C ，即P A B C =⋃⋃，A B ⋂=∅，A C ⋂=∅，B C =∅ ，其中{}12,,,n A a a a = ，{}12,,,n B b b b = ，{}12,,,n C c c c =L ，且满足12n c c c <<< ，k k k a b c +=，1k =、2、L 、n ，则称集合P 为“完美集合”.（1）若集合{}1,2,3P =，{}1,2,3,4,5,6Q =，判断集合P 和集合Q 是否为“完美集合”？并说明理由；（2）已知集合{}1,,3,4,5,6P x =为“完美集合”，求正整数x 的值；（3）设集合{}13,P x x n n N*=≤≤∈，证明：集合P 为“完美集合”的一个必要条件是4n k =或()41n k k N *=+∈.参考答案一、选择题1.【答案】D【分析】根据题意结合集合间的运算求解.【详解】因为{}|1B x x =≤，则{}|1U B x x =>ð，所以(){}|1UA B x x =>I ð．故选：D.2.【答案】D 【分析】利用不等式的性质或反例逐项检验后可得正确的选项.【详解】取1,1a b ==-，则11a b>，||||a b ==A 、B 、C 均错误，由不等式的性质可得33a b >，故D 正确.故选：D.3.【答案】C【分析】利用零点存在性定理判断零点所在区间即可.【详解】由解析式知：()f x 在(,0)-∞上恒负，故不存在零点，在(0,)+∞上递减，而()2312011f =-=>，()23520222f =-=-<，()0,1内x 趋向于0时，()f x 趋向正无穷，而x 趋向于正无穷时，()f x 趋向负无穷.综上，零点所在的一个区间是()1,2.故选：C 4.【答案】B【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】因为0x >，20x >，由基本不等式，12x x +≥=，当且仅当12x x =，即22x =时，等号成立．故选:B.5.【答案】A【分析】由偶函数、增函数的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，()2f x x =+的定义域为R ，关于原点对称，()()22f x x x f x -=-+=+=，所以()f x 为偶函数，当0x >时，()2f x x =+，所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增，故A 正确；对于B ，()xf x -=3的定义域为R ，关于原点对称，()()3x f x f x -=≠，所以()f x 不是偶函数，故B 错误；对于C ，()f x ={}0x x ≥，不关于原点对称，所以()f x 不是偶函数，故C 错误；对于D ，()21f x x =-+的定义域为R ，关于原点对称，()()21f x x f x -=-+=，所以()f x 为偶函数，又()f x 在区间()0,∞+上单调递减，故D 错误.故选：A .6.【答案】A【分析】解分式不等式和绝对值不等式，进而求出p 是q 的充分不必要条件.【详解】1121100111x x x x ->⇒->⇒>---，解得12x <<，213x -<，即3213x -<-<，解得12x -<<，因为1212x x <<⇒-<<，但12x -<<⇒12x <<，故p 是q 的充分不必要条件.故选：A 7.【答案】D【分析】由题设R x ∀∈，使得2230ax ax -+>为真，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求参数范围，注意讨论0a =的情况.【详解】由题设，R x ∀∈，使得2230ax ax -+>为真，所以203Δ4120a a a a >⎧⇒<<⎨=-<⎩.又0a =时22330ax ax -+=>恒成立，综上，03a ≤<.故选：D 8.【答案】D 【分析】先解出A ，再讨论包含关系（注意集合元素互异性），解出数对．【详解】解：因为集合{|||1}A x x a =-=，所以{1A a =-，1}a +，因为{1B =，3-，}b ，A B ⊆，所以11a -=，或13a -=-，或1a b -=，①当11a -=时，即2a =，{1A =，3}，此时可知{1B =，3-，3}，成立，即2a =，3b =；②当13a -=-时，即2a =-，{3A =-，1}-，此时可知{1B =，3-，1}-，成立，即2a =-，1b =-；③当1a b -=时，则11a +=或3:-当11a +=时，即0a =，{1A =-，1}，此时可知{1B =，3-，1}-，成立，即0a =，1b =-；当13a +=-时，即4a =-，{5A =-，3}-，此时可知{1B =，3-，5}-，成立，即4a =-，=5b -；综上所述：2a =，3b =，或2a =-，1b =-，或0a =，1b =-，或4a =-，=5b -，共4对．故选：D ．【点睛】本题考查集合关系，综合集合元素互异性，属于基础题．9.【答案】B【详解】试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.考点：集合的关系10.【答案】C【分析】对①②，根据统计图的相关点纵坐标高低判断即可；对③④，根据A 利润是B 的两倍，根据卖得更多的商品判断利润高低即可【详解】对①②，根据统计图可得，3B ，3A 的纵坐标之和显然最大，故3月A 、B 两种商品的总销售量最多；故②正确；对③④，因为A 商品卖出一件盈利20元，B 商品卖出一件盈利10元，根据统计图，若用对应的点表示对应点的纵坐标，则易得131232210100201020A B B B A A +>+>+，故③正确综上②③正确故选：C.二、填空题11.【答案】(],0-∞【分析】根据二次根式的意义和指数函数的性质即可求解.【详解】由题意知，0120212x x -≥⇒≤=，又函数2x y =在R 上单调递增，所以0x ≤，即函数()f x 的定义域为(],0-∞.故答案为：(],0-∞.12.【答案】{(2,2),(1,1)}--【分析】解方程求方程组的解，进而写出解集.【详解】由22(2)(1)0x x x x +-=+-=，可得2x =-或1x =，当2x =-时，20x y y +=-+=，即2y =；当1x =时，10x y y +=+=，即1y =-；所以原方程的解集为{(2,2),(1,1)}--.故答案为：{(2,2),(1,1)}--13.【答案】4【分析】应用换元法求()f x 的解析式，再求(3)f 即可.【详解】令1t x =+，则1x t =-，∴2()(1)f t t =-，即2()(1)f x x =-.∴2(3)(31)4f =-=.故答案为：414.【答案】121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】由题意可知，3-和2是方程250ax x b -+=的两根，再结合韦达定理以及十字相乘法，即可得解．【详解】解：由题意可知，3-和2是方程250ax x b -+=的两根，且a<0，532a ∴-+=，(3)2ba-⨯=，5a ∴=-，30b =，∴不等式250bx x a -+>为230550x x -->，即5(31)(21)0x x +->，解得12x >或13x <-．即不等式的解集为121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．15.【答案】{20x x -<<或2}x >【分析】根据函数的奇偶性和单调性，结合图形，即可求解.【详解】由题意知，奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，(2)0f -=，所以函数()f x 在(0,)+∞单调递减，且(2)0f =，如图，由图可知，()0f x <的解集为{20x x -<<或2}x >.故答案为：{20x x -<<或2}x >.16.【答案】①.1②.10a -<≤【分析】（1）由题意，不等式220ax x a -+≤的解集只有一个元素，利用开口方向和判别式控制，列出不等关系，即得解；（2）由0S ∈且1S -∉，列出不等关系20,(1)2(1)0a a a ≤⨯--⨯-+>，求解即可【详解】（1）由题意，不等式220ax x a -+≤的解集只有一个元素故220,(2)40a a >∆=--=，解得1a =（2）由题意，0S ∈且1S-∉故20,(1)2(1)0a a a ≤⨯--⨯-+>，解得10a -<≤故答案为：1，10a -<≤17.【答案】①.1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭②.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】若0c =，由二次函数的性质，可得2111,2,,43x x x ⎡⎤⎡⎫+∈-∈+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，()f x \的值域为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，若()f x 值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，2x =- 时，22x x +=且12x =-时，214x x +=-，要使()f x 的值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则20{2 12c c c c>+≤≤，得122c ≤≤，实数c 的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18.【答案】②③.【分析】①10罐可乐有10个可乐空罐，第一次可换3罐可乐还剩1个空罐，第二次可换1罐可乐还剩2个空罐，由此算出最多可饮用的可乐罐数；②：先分析购买66罐可乐的情况，再分析购买67罐可乐的情况，由此确定出至少需要购买的可乐罐数；③：先分析购买1到9罐可乐分别可饮用多少罐可乐以及剩余空罐数，然后得到规律，再分奇偶罐数对所得到的规律进行整理，由此计算出()f n 的结果.【详解】①：购买10罐可乐时，第一次可换3罐还剩1个空罐，第二次可换1罐还剩2个空罐，所以最多可饮用103114++=罐可乐，故错误；②：购买66罐时，第一次可换22罐可乐，第二次可换7罐可乐还剩1个空罐，第三次可换2罐可乐还剩2个空罐，第四次可换1罐可乐还剩2个空罐，所以一共可饮用662272198++++=罐；购买67罐时，第一次可换22罐可乐还剩1个空罐，第二次可换7瓶可乐还剩2个空罐，第三次可换3罐可乐，第四次可换1罐可乐还剩1个空罐，所以一共可饮用6722731100++++=罐；所以至少需要购买67罐可乐，故正确；③：购买1到9罐可乐分别可饮用可乐罐数以及剩余空罐数如下表所示：购买数饮用数剩余空罐数111222341452571682710181129131由表可知如下规律：（1）当购买的可乐罐数为奇数时，此时剩余空罐数为1，当购买的可乐罐数为偶数时，此时剩余的空罐数为2；（2）实际饮用数不是3的倍数；（3）每多买2罐可乐，可多饮用3罐可乐，（4）实际饮用的可乐罐数要比购买的可乐罐数的1.5倍少0.5或1；设购买了n 罐可乐，实际可饮用的可乐罐数为()f n ，所以()()()**3221,312,m n m m N f n m n m m N⎧-=-∈⎪=⎨-=∈⎪⎩，即()()()**3121,2322,2n n m m N f n n n m m N -⎧=-∈⎪⎪=⎨-⎪=∈⎪⎩，即()()()**121,222,2n n n m m N f n n n n m m N -⎧+=-∈⎪⎪=⎨-⎪+=∈⎪⎩，又因为12,22n n --可看作12n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即不大于12n -的最大整数，所以1()2n f n n -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦成立，故正确；故答案为：②③.【点睛】关键点点睛：解答本题时，一方面需要通过具体购买的可乐罐数去分析实际饮用的可乐罐数，另一方面需要对实际的购买情况进行归纳，由此得到购买的可乐罐数与实际饮用的可乐罐数的关系，从而解决问题.三、解答题19.【答案】答案及证明见解析【分析】利用作差法比较代数式的大小，注意分类讨论.【详解】当a b ≥时3322a b ab a b -≥-；当a b <时3322a b ab a b -≤-，证明如下：3322332222()()()a b ab a b a b ab a b a a b b a b ---=--+=+-+222()()()()a b a b a b a b =-+=-+，当a b ≥时，0a b -≥，2()0a b +≥，故3322a b ab a b -≥-；当a b <时，0a b -<，2()0a b +≥，故3322a b ab a b -≤-；20.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）函数2()1xf x x =-在区间()1,1-上是减函数，证明见解析.【分析】（Ⅰ）先求定义域，再用奇函数的定义()()f x f x -=-，证明()f x 为奇函数；（Ⅱ）按照①取值，②作差，③变形，④判号，⑤下结论，这5个步骤证明.【详解】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}1D x x =≠±，对于任意x D ∈，因为2()()()1xf x f x x --==---，所以()f x 是奇函数.（Ⅱ）函数2()1xf x x =-在区间()1,1-上是减函数.证明：在()1,1-上任取1x ，2x ，且12x x <，则()()()()()()122112122222121211111x x x x x x f x f x x x x x +--=-=----.由1211x x -<<<，得1210x x +>，210x x ->，2110x -<，2210x -<，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >.所以函数2()1xf x x =-在区间()1,1-上是减函数.21.【答案】（1）2-；（2）详见解析【分析】（1）()2f x x x =-+，首先判断函数在定义域上的单调性，再判断函数的最小值；（2）当0a =时，()f x x =，单调递增求函数的最大值，当20a -≤<时，分情况讨论函数的对称轴和定义域的关系，求函数的最大值.【详解】（1）当1a =-时，()221124f x x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭.所以()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上()f x 单调递减.因为()00f =，()22f =-，所以()f x 的最小值为2-.（2）①当0a =时，()f x x =.所以()f x 在区间[]0,2上单调递增，所以()f x 的最大值为()22f =.当20a -≤<时，函数()2f x ax x =+图象的对称轴方程是12x a =-.②当1022a <-≤，即124a -≤≤-时，()f x 的最大值为1124f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，③当104a -<<时，()f x 在区间[]0,2上单调递增，所以()f x 的最大值为()242f a =+.综上，当124a -≤≤-时，()f x 的最大值为1124f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；当104a -<≤时，()f x 的最大值为42a +.【点睛】本题考查二次函数求最值，意在考查分类讨论的思想和计算能力，属于基础题型.22.【答案】（1）{1x x ≤-或3}x ≥（2）[)1,+∞（3）()2,4【分析】（1）由题意得2230x x --≥，求解即可得出答案；（2）函数22()23(1)3(0)f x ax ax a x a a =--=--->，可得二次函数()f x 图象的开口向上，且对称轴为1x =，题意转化为min ()0f x ≥，利用二次函数的图象与性质，即可得出答案；（3）利用一元二次方程的根的判别式和韦达定理，即可得出答案．【小问1详解】当1a =时，2()23f x x x =--，()0f x ≥，即2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥，∴不等式的解集为{1x x ≤-或3}x ≥；【小问2详解】22()23(1)3(0)f x ax ax a x a a =--=--->，[3,)x ∈+∞则二次函数()f x 图象的开口向上，且对称轴为1x =，∴()f x 在[3,)+∞上单调递增，min ()(3)33f x f a ∴==-，()0f x ≥在[3,)+∞上恒成立，转化为min ()0f x ≥，∴330a -≥，解得1a ≥，故实数a 的取值范围为[1,)+∞；【小问3详解】关于x 的方程()0f x =有两个不相等的正实数根12,x x ，∵2()23f x ax ax =--，120x x +>，120x x >，∴0a ≠且21212Δ41202030a a x x x x a ⎧⎪=+>⎪+=>⎨⎪⎪⋅=->⎩，解得3a <-，()222121212624x x x x x x a∴+=+-=+，令6()4g a a=+（3a <-），()g a 在(,3)-∞-上单调递减，6(2,0)a∴∈-，()(2,4)g a ∴∈，故2212x x +的取值范围为(2,4)．23.【答案】（I ）80039000,10013065000,130150x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩；（II ）[]120150,.【分析】（I ）分情况考虑：100130,130150x x ≤<≤≤，分别求解出每一种情况下y 的表示，由此可得到y 关于x 的分段函数；（II ）根据条件分段列出不等式，求解出每一个不等式的解集，由此求解出市场需求量x 的范围.【详解】（I ）当100130x ≤<时，此时130吨的该农产品售出x 吨，未售出()130x -吨，所以()500300130y x x =--，即80039000y x =-；当130150x ≤≤时，此时130吨的该农产品全部售出，所以500130y =⨯，即65000y =，综上可知：80039000,10013065000,130150x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩；（II ）当100130x ≤<时，令8003900057000x -≥，解得120130x ≤<，当130150x ≤≤，此时6500057000>符合，所以市场需求量x 的范围是[]120150,.24.【答案】（1）P 是完美集合，Q 不是完美集合；（2）可能值为：7、9、11中任一个；（3）证明见解析.【分析】（1）根据完美集合的定义，将P 分为集合{}1、{}2、{}3符合条件，将Q 分成3个，每个中有两个元素，根据完美集合的定义进一步判断即可；（2）根据完美集合的概念直接求出集合C ，从而得到x 的值；（3）P 中所有元素之和为()()12133122n n n n c c c c -+=++++ ，根据()121914n n n c c c --=+++ ，等号右边为正整数，可得等式左边()91-n n 可以被4整除，从而证明结论.【详解】（1）将P 分为{}1、{}2、{}3满足条件，则P 是完美集合.将Q 分成3个，每个中有两个元素，则111a b c +=，222+=a b c ，Q 中所有元素之和为21，1221210.5c c ÷==+，而12c c +为整数，不符合要求，故Q 不是“完美集合”；（2）若集合{}1,4A =，{}3,5B =，根据完美集合的概念知集合{}6,7C =；若集合{}1,5A =，{}3,6B =，根据完美集合的概念知集合{}4,11C =；若集合{}1,3A =，{}4,6B =，根据完美集合的概念知集合{}5,9C =.故x 的可能值为7、9、11中任一个；（3）证明：P 中所有元素之和为()3311232n n n ++++= ()1112221111212n n n n n n n n a b c a b c a b c a b c c c c c ----=++++++++++++=++++ ，因为3=n c n ，所以，()12133134n n n c c c n -+=++++ ，所以，()()12133191344n n n n n c c c n -+-+++=-= ，因为121n c c c -+++ 为正整数，则()91-n n 可以被4整除，所以，4n k =或()14n k k N *-=∈，即4n k =或()41n k k N *=+∈.故集合P 为“完美集合”的一个必要条件是4n k =或()41n k k N *=+∈.【点睛】关键点点睛：解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算，解本题的关键在于理解“完美集合”的定义，弄清集合A 、B 中的元素与集合C 中元素之间的关系，采取逻辑推证、列举法等方法求解.。
2024-2025年北师大版数学必修第一册1.3.1不等式的性质(带答案)
3．1 不等式的性质必备知识基础练知识点一 用不等式(组)表示不等关系1．完成一项装修工程，请木工需支付工资每人400元，请瓦工需支付工资每人500元，要求工人工资预算不超过20 000元．设木工x 人，瓦工y 人，则下列关系式正确的是( )A ．4x ＋5y ≤200 B．4x ＋5y <200 C ．5x ＋4y ≤200 D．5x ＋4y <2002．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y ≥380，z >45B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z ≥45C ．⎩⎪⎨⎪⎧x >95，y >380，z >45D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z >45知识点二 实数(式)的比较大小3．(1)已知a ＞0，试比较a 与1a的大小．(2)已知a ＞b ＞0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2 与a －ba ＋b的大小．知识点三 不等式的性质4．若1a ＜1b＜0，有下面四个不等式：①|a |＞|b |，②a ＜b ，③a ＋b ＜ab ，④a 3＞b 3，则不正确的不等式的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．35．(多选题)已知a ，b 为非零实数，且a ＜b ，则下列不等式不成立的是( ) A ．a 2＜b 2B ．a 2b ＜ab 2C ．1ab2＜1a 2b D ．b a ＜ab6．给出下列命题： ①若ab >0，a >b ，则1a <1b；②若a >b ，c >d ，则a －c >b －d ； ③对于正数a ，b ，m ，若a <b ，则a b <a ＋mb ＋m.其中真命题的序号是________． 知识点四 利用不等式的性质证明不等式 7．已知a >b >0，c <d <0，e <0，求证：ea －c >eb －d.8．若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .关键能力综合练1．按照神州十一号飞船环境控制与生命保障系统的设计指标，要求神州六号飞船返回舱的温度在(21±4) ℃之间(包含端点)，则该返回舱中温度t (单位：℃)的取值范围是( )A ．t ≤25 B．t ≥17 C ．17≤t ≤25 D．17<t <25 2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－aB ．a >－b >－a >bC ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b3．设a ，b 为非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2b C ．1ab2<1a 2b D ．b a <ab4．下列命题中正确的个数是( ) ①若a >b ，b ≠0，则ab>1； ②若a >b ，且a ＋c >b ＋d ，则c >d ； ③若a >b ，且ac >bd ，则c >d . A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．(易错题)已知a ，b ∈(0，1)，记M ＝ab ，N ＝a ＋b －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ＜N B ．M ＞N C ．M ＝N D ．不确定6．(探究题)若x ∈R ，则x 1＋x 2 与12的大小关系为________.7．给出下列命题：①a >b ⇒ac 2>bc 2；②a >|b |⇒a 2>b 2；③a >b ⇒a 3>b 3；④|a |>b ⇒a 2>b 2.其中正确的命题序号是________．8．(易错题)已知函数f (x )＝ax 2－c ，－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围．9．甲、乙两车从A 地沿同一路线到达B 地，甲车一半时间的速度为a ，另一半时间的速度为b ；乙车一半路程的速度为a ，另一半路程的速度为b .若a ≠b ，试判断哪辆车先到达B 地．核心素养升级练1.(学科素养—数学运算)古希腊时期，人们把宽与长之比为5－12的矩形称为黄金矩形，把这个比值5－12称为黄金分割比例．上图为希腊的一古建筑．其中部分廊、檐、顶的连接点为图中所示相关对应点，图中的矩形ABCD ，EBCF ，FGHC ，FGJI ，LGJK ，MNJK 均近似为黄金矩形．若A 与D 间的距离大于18.7 m ，C 与F 间的距离小于12 m ．则该古建筑中A 与B 间的距离可能是( )(参考数据：5－12≈0.618，0.6182≈0.38，0.6183≈0.236) A ．29 m B ．29.8 m C ．30.8 m D ．32.8 m 2．(学科素养—逻辑推理) (1)若bc －ad ≥0，bd >0.求证：a ＋b b ≤c ＋dd. (2)已知m >0，a ，b ∈R ，求证：(a ＋mb 1＋m )2≤a 2＋mb 21＋m.3．1 不等式的性质必备知识基础练1．答案：A解析：请木工共需支付400x 元，请瓦工共需支付500y 元，可得共需支付工资(400x ＋500y )元．又工人工资预算不超过20 000元，故400x ＋500y ≤20 000，化简可得4x ＋5y ≤200. 2．答案：D解析：“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x ≥95，y >380，z >45.3．解析：(1)因为a －1a ＝a 2－1a ＝（a －1）（a ＋1）a，a ＞0，所以当a ＞1时，（a －1）（a ＋1）a ＞0，有a ＞1a；当a ＝1时，（a －1）（a ＋1）a ＝0，有a ＝1a；当0＜a ＜1时，（a －1）（a ＋1）a ＜0，有a ＜1a.综上，当a ＞1时，a ＞1a；当a ＝1时，a ＝1a ；当0＜a ＜1时，a ＜1a.(2)∵a ＞b ＞0，∴a 2－b 2a 2＋b 2 ＞0，a －ba ＋b＞0.作商得a 2－b 2a 2＋b 2 ·a ＋b a －b ＝（a ＋b ）2a 2＋b 2 ＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2aba 2＋b2 ＞1.∴a 2－b 2a 2＋b 2 ＞a －b a ＋b. 4．答案：C解析：由1a ＜1b＜0可得b ＜a ＜0，从而|a |＜|b |，①②均不正确；a ＋b ＜0，ab ＞0，则a ＋b ＜ab 成立，③正确；a 3＞b 3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.5．答案：ABD解析：对于A ，当a ＝－2，b ＝－1，a 2＜b 2不成立；对于B ，当a ＝－1，b ＝1时，a 2b ＝1，ab 2＝－1，a 2b ＜ab 2不成立；对于C ，∵a ＜b ，1a 2b2＞0，∴a a 2b 2 ＜b a 2b 2 ，即1ab 2 ＜1a 2b成立；对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝a b＝－1.6．答案：①③解析：对于①，若ab >0，则1ab>0，又a >b ，所以a ab >b ab，所以1a <1b，所以①正确；对于②，若a ＝7，b ＝6，c ＝0，d ＝－10， 则7－0<6－(－10)，②错误； 对于③，对于正数a ，b ，m ， 若a <b ，则am <bm ， 所以am ＋ab <bm ＋ab ， 所以0<a (b ＋m )<b (a ＋m )， 又1b （b ＋m ） >0，所以a b <a ＋mb ＋m，③正确．综上，真命题的序号是①③.7．证明：证法一(性质法)：∵c <d <0，∴－c >－d >0. ∵a >b >0，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )>0， 即a －c >b －d >0，∴0<1a －c <1b －d. 又e <0，∴ea －c >eb －d. 证法二(作差法)：ea －c －eb －d ＝（b －d ）e （a －c ）（b －d ） －（a －c ）e （a －c ）（b －d ） ＝（b －d －a ＋c ）e （a －c ）（b －d ） ＝[（b ＋c ）－（a ＋d ）]e（a －c ）（b －d ）.∵a >b >0，c <d <0，e <0，∴a ＋d >b ＋c ，a －c >0，b －d >0，∴[(b ＋c )－(a ＋d )]e >0，(a －c )(b －d )>0. ∴ea －c －eb －d >0，∴e a －c >e b －d. 证法三(作商法)：∵a >b >0，c <d <0，e <0， ∴a －c >0，b －d >0，∴ea －c <0，eb －d<0. ∵c <d <0，∴－c >－d >0.∵a >b >0，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )>0， 即a －c >b －d >0，∴ea －c eb －d ＝e a －c ·b －de ＝b －da －c <1， ∴ea －c eb －d<1，∴e a －c >eb －d . 8．证明：∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )(a b －b a )＝（a －b ）2（a ＋b ）ab.∵(a －b )2≥0恒成立，且a >0，b >0，∴a ＋b >0，ab >0. ∴（a －b ）2（a ＋b ）ab≥0.∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b .关键能力综合练1．答案：C解析：由题意知21－4≤t ≤21＋4，即17≤t ≤25. 2．答案：C解析：解法一 ∵a ＋b >0，∴a >－b ， 又b <0，∴a >0，且|a |>|b |， ∴a >－b >b >－a .解法二 设a ＝3，b ＝－2，则a >－b >b >－a . 3．答案：C解析：用a ＝－1，b ＝1，试之，易排除A ，D.再取a ＝1，b ＝2，易排除B. 4．答案：A解析：①若a ＝2，b ＝－1，则不符合；②取a ＝10，b ＝2，c ＝1，d ＝3，虽然满足a >b且a ＋c >b ＋d ，但不满足c >d ，故错；③当a ＝－2，b ＝－3，取c ＝－1，d ＝2，则不成立．5．答案：B解析：M －N ＝ab －(a ＋b －1)＝ab －a －b ＋1＝(a －1)(b －1). ∵a ，b ∈(0，1)，∴a －1<0，b －1<0， ∴M －N >0，∴M >N .6．答案：x 1＋x 2 ≤12解析：∵x1＋x 2 －12 ＝2x －1－x 22（1＋x 2） ＝－（x －1）22（1＋x 2） ≤0. ∴x1＋x2≤12.7．答案：②③解析：①当c 2＝0时不成立． ②一定成立．③当a >b 时，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a ＋b 2）2＋34b 2 ＞0成立．④当b <0时，不一定成立．如：|2|>－3，但22<(－3)2.8．解析：因为f (x )＝ax 2－c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a －c ，f （2）＝4a －c ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝f （1），4a －c ＝f （2），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13[f （2）－f （1）]，c ＝13f （2）－43f （1），所以f (3)＝9a －c ＝83 f (2)－53 f (1).又因为－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5， 所以53 ≤－53 f (1)≤203 ，－83 ≤83 f (2)≤403 ，所以－1≤83 f (2)－53 f (1)≤20，即－1≤f (3)≤20.9．解析：设A ，B 两地间的路程为s ，甲、乙两辆车所用的时间分别为t 1，t 2，则 t 1＝2s a ＋b ，t 2＝s 2a ＋s2b.因为t 1－t 2＝2s a ＋b －(s 2a ＋s 2b )＝s [4ab －（a ＋b ）2]2ab （a ＋b ） ＝－s （a －b ）22ab （a ＋b ） ＜0，所以t 1＜t 2，所以甲先到达B 地．核心素养升级练1．答案：C解析：由黄金矩形的定义可知，AD AB ≈0.618，BC AB ×CF BC ＝CFAB≈0.6182≈0.38， 所以AB ≈AD 0.618 ＞18.70.618 ≈30.26(m)，AB ≈CF 0.38 ＜120.38≈31.58(m)，即AB ∈(30.26，31.58)，对照各选项知C 项符合． 2．证明：(1)∵bc －ad ≥0，∴ad ≤bc ，bd >0， ∴ab ≤cd ，∴a b ＋1≤c d ＋1，∴a ＋b b ≤c ＋dd. (2)(a ＋mb 1＋m )2－a 2＋mb 21＋m ＝－m （a －b ）2（1＋m ）2 .因为m >0，a ，b ∈R ，所以－m (a －b )2≤0，所以(a ＋mb 1＋m )2≤a 2＋mb 21＋m.。
新高考数学数列经典题型专题提升-第13讲 数列性质：单调性(解析版)
第13讲 数列性质:单调性参考答案与试题解析一．填空题（共6小题）1．（2021•南通模拟）已知为递减数列，且对于任意正整数，恒成立，恒成立，则的取值范围是 ．【解答】解：恒成立又由恒成立即又由故答案为：2．（2021秋•秀屿区校级月考）已知数列满足：，是与无关的常数且，若数列是单调递减数列，则的取值范围为 ．【解答】解：是与无关的常数且，，数列是等差数列，首项为，公差为，，．数列是单调递减数列，对于都成立．对于都成立．令，则是关于的单调递增数列，．．的取值范围为．{}n a n 1n n a a +<2n a n n λ=-+λ3λ<1n n a a +< 2n a n nλ=-+22(1)(1)n n n n λλ∴-+++<-+21n λ<+n N ∈+3λ∴<3λ<{}n a 11a =122(n n n a a k k +=+n 0)k ≠{}n a k 1(,)2-∞- 122(n n n a a k k +=+n 0)k ≠∴11222n n n n a a k ++=+∴{}2n n a 11122a =2k ∴1(1)222n n a k n =+-g ∴12[1(1)]n n a n k -=+- {}n a 1112(1)2[1(1)]2[1(1)]0n n n n n a a nk n k n k --+∴-=+-+-=++<*n N ∀∈∴11k n -<+*n N ∀∈1(1min k n -⇔<+1()1f n n =-+()f n n ∴1()2min f n =-12k ∴<-k ∴1(,)2-∞-故答案为．3．（2021•衡水模拟）若数列满足，则称数列为“差递减”数列，若数列是“差递减”数列，且其通项与其前项和满足，则实数的取值范围是 ．【解答】解：，时，，解得．时，，化为．同理可得：，，．，，，，，解得：．则实数的取值范围是．故答案为：．4．（2021•东湖区校级模拟）若数列满足，且，若使不等式成立的有且只有三项，则的取值范围为 ．【解答】解：当时，，于是有：，所以，显然也适合，因此数列的通项公式为：．当为奇数时，，此时数列的奇数项数列是单调递增函数；当为偶数时，，此时数列的偶数项数列是单调递增函数，要想使不等式成立的有且只有三项，1(,2-∞-{}n a 2132431n n a a a a a a a a +->->->⋯>->⋯{}n a {}n a n a n *()n S n N ∈*2321()n n S a n N λ=+-∈λ12λ>*2321()n n S a n N λ=+-∈ 1n ∴=112321a a λ=+-112a λ=-2n …1233n n n a a a -=-13n n a a -=23(12)a λ=-39(12)a λ=-427(12)a λ=-212(12)a a λ∴-=-326(12)a a λ-=-4318(12)a a λ-=-213243a a a a a a ->->->⋯ 2(12)6(12)18(12)λλλ∴->->-12λ>λ12λ>12λ>{}n a 113a =-1(2)(2)n n n a a n -=+-…||n a λ…n a λ1335[,)332n …11223211()()()()n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-+⋯+-+211221(2)[1(2)]1(2)(2)(2)(2)(31(2)3n n n n n a ------=-+-+-+⋯+-+-=---111(2)3n n a +=--113a =-{}n a 111(2)3n n a +=--n 111111|||1(2)||12|21333n n n n a +++=--=-=-g {}n a n 111111|||1(2)||12|21333n n n n a +++=--=+=+g g {}n a ||n a λ…n a只需有：．故答案为：．5．（2021•辽宁模拟）已知数列满足：，，若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是 ．【解答】解：因为，即，所以数列是首项为，公比为2的等比数列，则有，即，所以，则，，因为数列是单调递增数列，所以对恒成立，即对恒成立，所以，又，即，解得，所以实数的取值范围是．故答案为：．6．（2021秋•渝中区校级月考）设数列满足．（1）若，则 ；（2）若数列是正项单调递增数列，则的取值范围是 ．1234||||||||a a a a λλλλ⎧⎪⎪⎨⎪⎪>⎩………⇒23451213121312131213λλλλ⎧-⎪⎪⎪+⎪⎨⎪-⎪⎪⎪+>⎩………⇒131********λλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪<⎩………⇒133533λ<…1335[,)33{}n a 11a =121n n a a +=+1(2)(1)n n b n t a +=-+1b t =-{}n b t 2(,)3-∞121n n a a +=+112(1)n n a a ++=+{1}n a +112a +=1122n n a -+=⋅21n n a =-1(2)(1)(2)2n n n b n t a n t +=-+=-⋅1(12)2n n b n t -=--⋅2n ...{}n b 1(2)2(12)2n n n t n t --⋅>--⋅2n ...21n t >-2n (32)t <21b b >2(12)t t ->-23t <t 2(,)3-∞2(,)3-∞{}n a 2*121()n na a n N +=-∈112a =-2020a =12-{}n a 1a【解答】解：（1）若，则，故数列为常数列，故．（2）解法一：若数列是正项单调递增数列，则（舍去）或，当时，则，故若，则数列是单调递增数列，综上所述，的取值范围是．解法二：若数列是正项单调递增数列，则对于任意，，且，又此时，故或（舍去），综上所述，的取值范围是．二．解答题（共7小题）7．（2021秋•洛阳期中）已知数列的前项和为，且，．（1）证明：数列是等差数列；（2）若对任意整数恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1）证明：，可得，即有，则数列是1为首项，4为公差的等差数列；（2）由（1）可得，即有，由可得，112a =-211212n n a a +=-=-12n a =-202012a =-{}n a 21121(21)(1)02n n n n n n n a a a a a a a +-=--=+->⇒<-1n a >1n a >21211n na a +=->11a >{}n a 1a (1,)+∞{}n a 2n …221111(21)(21)2()()0n n n n n n n n a a a a a a a a +----=---=+->10n n a a -->10n n a a -+>22111102101a a a a a ->⇒-->⇒>112a <-1a (1,)+∞{}n a n n S 11a =*1114(2,)n n n n n a a S S a n n N ---+=+∈…1{}na 111nn a a λλ++…(2)n n …λ*1114(2,)n n n n n a a S S a n n N ---+=+∈…1140n n n n a a a a --+-=1114(2)n n n a a --=…1{}na 114(1)43n n n a =+-=-143n a n =-111n n a a λλ++…1444143n n n λ-+-g …即，令，则，即有数列为递增数列，当时，取得最小值，且为，可得，解得或．即实数的取值范围为，．8．（2021•内江四模）已知函数的图象在处的切线方程为．（1）求，的值；（2）若，求函数的单调区间；（3）若正项数列满足，，证明：数列是递减数列．【解答】解：（1）由题意得，，则 ，解得，；（2）由（1）可得，由题意得，，①当时，令，解得或，所以在和上单调递增；令，解得，所以在上单调递减；②当时，，则在上单调递增；③当时，令，解得或，所以在和上单调递增；1(43)(41)(2)44n n n n λ-+-……(43)(41)(2)44n n n n n -+=-…ð1(41)(45)04(1)n n n n c n n ++--=>-ð{}n ð2n =4541454λ…0λ<445λ…λ4(,0)[45-∞ )+∞()x f x s ke -=-0x =y x =s k 21()(1)1(0)2x g x mlnx e x m x m -=-+-++>()()()h x g x f x =-{}n a 112a =1()n a n n a e f a +={}n a (0)0f =(0)1f '=01s k k -=⎧⎨=⎩1s =1k =()1x f x e -=-21()(1)(0)2h x mlnx x m x x =+-+>∴()(1)()(1)m x m x h x x m x x--'=+-+=01m <<()0h x '>0x m <<1x <()h x (0,)m (1,)+∞()0h x '<1m x <<()h x (,1)m 1m =()0h x '…()h x (0,)+∞1m >()0h x '>01x <<m x <()h x (0,1)(,)m +∞令，解得，所以在上单调递减；综上：当时，的单调递增区间和，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是；当时，的单调递增区间和，单调递减区间是．（3）证明：正项数列满足，，，数列是递减数列，等价为，即为，即为即，令，是上的增函数，，即，故，是递减数列．9．（2021春•安徽期末）已知数列中，，且．（1）证明：数列是等比数列；（2）若数列的前项和为①当时，求；②若单调递增，求的取值范围．【解答】解：（1）证明：设，则，，()0h x '<1x m <<()h x (1,)m 01m <<()h x (0,)m (1,)+∞(,1)m 1m =()h x (0,)+∞1m >()h x (0,1)(,)m +∞(1,)m {}n a 112a =1()n a n n a e f a +=∴1()1n na n n a n a a e f a e +-==-{}n a 1n n a a +<1n n a a e e +<1nn a n a a e e-<-1n a n e a >+()1(0)x t x e x x =-->()10(0)x t x e x '=->> ()t x ∴(0,)+∞()(0)0t x t ∴>=1x e x >+1n a n e a >+{}n a ∴{}n a 1(1)a t t =≠-12,1,2n n n a n n a a n n ++⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数2{1}n a +{}n a 2n 2:n S 1t =2n S 2{}n S t 21n n b a =+121b a =+212121a a t =+=+，（1分），（3分）数列是公比为2的等比数列，故数列是等比数列，（4分），，（6分）（2）由（1）得，，，（7分），（8分），，（10分）①当时，；（11分）②单调递增，对且恒成立，（12分）即，设，则，在且单调递减，（14分）12(1)0b t ∴=+≠⋯ 2(1)1212222221(221)1[2()21]12(1)21111n n n n n n n n n n a b a n a n n a b a a a a +++++++-++++=====++++⋯∴{}n b 2{1}n a +⋯∴11122(1)2(1)2n n n n b b t t --==+=+g g g ∴2(1)21n n a t =+-g ⋯221(1)21221n n n a t a n -=+-=+-g ∴121(1)2n n a t n --=+-g ⋯∴12123(1)21n n n a a t n --+=+--g ⋯21234212()()()n n n S a a a a a a -∴=++++⋯++1(3)3(1)(122)(12)3(1)(21)2n n n n t n n t -+=+++⋯+-++⋯+-=+--g g ⋯1t =∴12(3)(3)6(21)32622n n n n n n n S +++=--=⨯--⋯2{}n S ∴12223(1)210n n n S S t n ---=+-->g 2n …*n N ∈⋯113(1)2n n t -++>11,22n n n P n -+=…11210222n n n n n n n n P P +-++--=-=<{}n P ∴2n …*n N ∈⋯，，即，故的取值范围为．（16分）10．（2021春•南昌期末）已知首项为正的数列中，相邻两项不为相反数，且前项和（1）求证：数列为等差数列；（2）设数列的前项和为，对一切正整数都有成立，求的最大值．【解答】（本小题12分）解：（1）证明：，，，或．又相邻两项不为相反数，，数列为公差为2的等差数列．（2）由或，数列的首项为正，，由（1）得，数列在，上是递增数列．又当时， 232P =∴33(1)2t +>12t >-t 1(,)2-+∞⋯{}n a n 1(5)(7)4n n n S a a =-+{}n a 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T n n T M …M 1(5)(7)4n n n S a a =-+ 11n n na S S ++∴=-1111(5)(7)(5)(7)44n n n n a a a a ++=-+--+11(2)()0n n n n a a a a ++∴--+=12n n a a +∴-=10n n a a ++=12n n a a +∴-=∴{}n a 11111(5)(7)74S a a a =-+⇒=15a =- {}n a 17a ∴=25n a n =+∴111111()(25)(27)22527n n a a n n n n +==-++++∴1111111111[()()()](27991125272727n T n n n =-+-+⋯+-=-+++∴*{}()n T n N ∈[1)+∞1n =1163T =要使得对于一切正整数都有成立，只要，所以的最大值为．11．（2021•天津一模）已知数列的前项和为，且对一切正整数都有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）是否存在实数，使不等式对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：，，，即．在中，令，得，代入得．，，两式相减，得：，数列的偶数项，，，，，依次构成一个等差数列，且公差为，当为偶数时，，当为奇数时，为偶数，由上式及知：，数列的通项公式是．，∴n n T M …163M …M 163{}n a n n S n 212n n S n a =+142n n a a n ++=+{}n a a 12111(1)(1(1)n a a a --⋯-<n a 2*1()()2n n I S n a n N =+∈ ∴2211111[(1)][]22n n n n n a S S n a n a +++=-=++-+1112122n n a a n +=-++∴11()212n n a a n ++=+*142,n n a a n n N ++=+∈()II 2*1()2n n S n a n N =+∈1n =12a =()I 24a =142n n a a n ++=+ 2146n n a a n ++∴+=+24n n a a +-=∴{}n a 2a 4a 6a ⋯26a ⋯4d =∴n2(1)24(1)222n n n a a d n =+-=+-=n 1n +()I 142422(1)2n n a n a n n n +=+-=+-+=∴{}n a 2n a n =12111()(1)(1(1n III a a a --⋯-<，令，则由知，．，即的值随的增大而减小，时，的最大值为，若存在实数，符合题意，则必有：，它等价于，解得，或因此，存在实数，符合题意，其取值范围为．12．已知数列的前项和为，且对一切正整数都有．（1）证明：；（2）求数列的通项公式；（3）设，求证：对一切都成立．21211123)(1)(12n a a a a a---⋯-<12111())(1)nf n a a a =--⋯-()II ()0f n >∴12(1)()nf n f n +====1=<(1)()f n f n ∴+<()f n n *n N ∴∈()f n (1)f =a 2232a a ->0>(0a a a +>0a <<a >a ()+∞ {}n a n n S n 212n n S n a =+142n n a a n ++=+{}n a 12111()(1)(1)(1n f n a a a =--⋯-(1)()f n f n +<n N ⨯∈【解答】解：（1）．①．②②①得：；（2）；；又（3）对一切都成立．13．（2017秋•海安市校级月考）首项为正数的数列满足．（1）证明：若为奇数，则对，都是奇数；（2）若对，都有，求的取值范围．【解答】（1）证明：利用数学归纳法证明：已知是奇数，时成立．假设是奇数，其中为正整数，则由递推关系得是奇数．即时也成立．根据数学归纳法，对任何，都是奇数．（2）解：由，得，于是或．，因为，，所以所有的均大于0，因此与同号．因此，对一切都有的充要条件是或．212n n S n a =+ 2111(1)2n n S n a ++∴=++∴-142n n a a n ++=+142n n a a n ++=+ 112(1)(2)(1)(2)n n n a n a n a +∴-+=--=⋯=--12a =2n a n∴=1111()(1)(1)(1(12462f n n=---⋯-∴(1)1()f n f n +=<(1)()f n f n ∴+<n N ⨯∈{}n a 2*11(3),4n n a a n N +=+∈1a *n N ∀∈n a *n N ∀∈1n n a a +>1a 1︒1a 1n =2︒21k a m =-m 211(3)(1)14k k a a m m +=+=-+1n k =+2n …n a 212134a a a +=>211430a a -+>101a <<13a >22111133()()444n n n n n n n n a a a a a a a a ---+++-+-=-=10a >2*11(3),4n n a a n N +=+∈n a 1n n a a +-1n n a a --n N +∈1n n a a +>101a <<13a >。
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《数列与不等式的应用》目标班．答案习题 1. 【解析】 答案：C法一：令2p q ==，则412a =-，824a =-，∴102830a a a =+=-法二：10282262530a a a a a a a =+=++==-习题 2. 【解析】 答案：B2(1)1i a x -<，解得：111i a x -<-<，解得： 20ix a <<，原问题转化为2i x a <的最小值∵123a a a >>0>，∴123222a a a <<，∴120x a <<习题 3. 【解析】 答案：3由已知得32x zy +=，∴22(3)1933442y x z x z xz xz z x +⎛⎫==++ ⎪⎝⎭≥，当且仅当3x z =时，得最小值为3习题 4.【解析】 法一：设{}n a 的公比为q ，由题设知10a >，0q >⑴当1q =时，1n S a n =，从而222221111(2)(1)0n n n a S S S a n n a a n a ++-=+-+=-<⑵当1q ≠时，1(1)11n n a q S -=-，从而()()()()()22221112212211111n n n n n n a q q a q S S S q q ++++----=---210n a q =-<．由⑴、⑵知，221n n n S S S ++<． 根据对数函数单调性，得20.520.51log ()log n n n S S S ++>．即 0.50.520.51log log log 2n n n S S S +++>．法二：设{}n a 的公比为q ，由题设知10a >，0q >，因为11n n S a qS +=+，211n n S a qS ++=+所以2211111()()n n n n n n n S S S S a qS a qS S ++++-=+-+11()n n a S S +=-110n a a +=-<即221n n n S S S ++<习题 5.【解析】 由题意得25117a a a =，即2111(4)(16)a d a a d +=+，又0d ≠，由此得12a d =． ∴51143a a d a =+=，在等比数列123n k k k k a a a a ，，，，，中，公比513aq a ==． 要求n k ，有两种方法： 法一：∵n k a 是等比数列{}n k a 的第n 项，∴113n n k a a -=⋅． 又n k a 是等差数列{}n a 的第n k 项，∴111(1)2n n k n k a a k d a +=+-=． 从而有113n a -⋅112n k a +=，解得()1+231n n k n -=⋅-∈N ． 法二：∵n k a 是等差数列{}n a 的第n k 项，∴111(1)2n n k n k a a k d a +=+-=， 又()()111111113221n n n n n k k n k a k a k a a q k ++++++====+∶∶，∴{1}n k +是首项为2，公比为3的等比数列，()11+123231n n n n k k n --+=⋅⇒=⋅-∈N ． ∴()112(211)(231)231n n k k k -+++=⋅-+⋅-++⋅- 1323113nn n n -=⋅-=---．习题 6.【解析】 由已知条件知：0n a >，且对N k +∈，有221212222212k k kkk k a a a a a a -+++⎧⋅=⎪⎨+=⎪⎩由①得：2k a ③由②③212k a +，， ∴数列是等差数列．当1n =时，121,2a a ==，2132a a a =，∴34a =，1=． ∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列．设新数列为{}n b ，则()21m m b a m -+=∈N ，1(1)1m m =+-⋅=，∴2m b m =，即新数列的通项公式为2m b m =．《数列与不等式的应用》精英班．答案习题 1. 【解析】 答案：D习题 2. 【解析】 答案：C法一：令2p q ==，则412a =-，824a =-，∴102830a a a =+=-法二：10282262530a a a a a a a =+=++==-习题 3. 【解析】 答案：A作差比较选项A 与选项B ，有21122121211()()(1)0a b a b a a b b a b +-+=+->，①②∴11221212a b a b a a b b +>+， 比较选项A 与选项C ，有1122122111()()(21)(21)a b a b a b a b b a +-+=--，由2112a a >>，2112b b >>， 有11221221a b a b a b a b +>+， 因此比较选项A 与选项D ，有111122(21)(21)1022b a a b a b --+-=>，∴112212a b a b +> 故选答案A另，本题可采用特殊值法比较，也可根据排序不等式的结论比较大小习题 4. 【解析】 法一：设{}n a 的公比为q ，由题设知10a >，0q >⑴当1q =时，1n S a n =，从而222221111(2)(1)0n n n a S S S a n n a a n a ++-=+-+=-<⑵当1q ≠时，1(1)11n n a q S -=-，从而()()()()()222211122111111n n n n n n a q q a q S S S q q ++++----=---210n a q =-<。
由⑴、⑵知，221n n n S S S ++<。
根据对数函数单调性，得20.520.51log ()log n n n S S S ++>。
即 0.50.520.51log log log 2n n n S S S +++>。
法二：设{}n a 的公比为q ，由题设知10a >，0q >，因为11n n S a qS +=+，211n n S a qS ++=+所以2211111()()n n n n n n n S S S S a qS a qS S ++++-=+-+11()n n a S S +=-110n a a +=-<即221n n n S S S ++<习题 5.【解析】 依题设得1(1)n a a n d =+-，2214a a a =，∴2111()(3)a d a a d +=+，整理得21d a d =，∵0d ≠，∴1d a =，得n a nd =．由已知得123n d d k d k d k d ，，，，，，是等比数列． ∵0d ≠，∴数列1213n k k k ，，，，，，也是等比数列， 它的首项为1，公比为331q ==，由此得19k =，等比数列{}n k 的首项19k =，公比3q =，∴()111+3n n n k k q n -+==∈N ，即得到数列{}n k 的通项公式为13n n k +=．习题 6. 【解析】 ⑴设等差数列(){}2log 31n a +的公差为d ，由13121a a ==，得()()221log 631log 3122d =+-+=⎡⎤⎣⎦，21log (31)2a +=，即等差数列(){}2log 31n a +的首项与公差都为2，∴2log (31)2(1)22n a n n +=+-⨯=，即413n n a -=．⑵∵11131444n n nn n a a ++==--，∴123213*********4444n n n a a a a a a ++++=++++--- 111111441134314n n⎛⎫-⎪⎛⎫⎝⎭==-<⎪⎝⎭-．《数列与不等式的综合》提高班．答案习题 1.【解析】 答案：3由已知得32x zy +=，∴22(3)1933442y x z x z xz xz z x +⎛⎫==++ ⎪⎝⎭≥，当且仅当3x z =时，得最小值为3习题 2. 【解析】 答案：C法一：令2p q ==，则412a =-，824a =-，∴102830a a a =+=-法二：10282262530a a a a a a a =+=++==-习题 3. 【解析】 答案：B2(1)1i a x -<，解得：111i a x -<-<，解得： 20ix a <<，原问题转化为2i x a <的最小值∵123a a a >>0>，∴123222a a a <<，∴120x a <<习题 4.【解析】 依题设得1(1)n a a n d =+-，2214a a a =，∴2111()(3)a d a a d +=+，整理得21d a d =，∵0d ≠，∴1d a =，得n a nd =．由已知得123n d d k d k d k d ，，，，，，是等比数列． ∵0d ≠，∴数列1213n k k k ，，，，，，也是等比数列， 它的首项为1，公比为331q ==，由此得19k =，等比数列{}n k 的首项19k =，公比3q =，∴()111+3n n n k k q n -+==∈N ，即得到数列{}n k 的通项公式为13n n k +=．【解析】 ⑴设等差数列2{log (1)}n a -的公差为d ，由1339a a ==，得2222(log 2)log 2log 8d +=+，即1d =． 所以2log (1)1(1)1n a n n -=+-⨯=，即2 1.n n a =+⑵∵11111222n n n n n a a ++==--，∴123213*********2222n n n a a a a a a ++++=++++--- 1111222111212n n-⨯==-<-．习题 6. 【解析】 法一：设{}n a 的公比为q ，由题设知10a >，0q >⑴当1q =时，1n S a n =，从而222221111(2)(1)0n n n a S S S a n n a a n a ++-=+-+=-<⑵当1q ≠时，1(1)11n n a q S -=-，从而()()()()()22221112212211111n n n n n n a q q a q S S S q q ++++----=---210n a q =-<。