高一数学函数的应用3
人教版高一数学上册练习册答案：第三章函数的应用
人教版高一数学上册练习册答案：第三章函数的应用【导语】我们学会忍受和承担。
但我们心中永远有一个不灭的心愿。
是雄鹰，要翱翔羽天际！是骏马，要驰骋于疆域！要堂堂正正屹立于天地！努力！坚持！拼搏！成功！一起来看看无忧考网高一频道为大家准备的《人教版高一数学上册练习册答案：第三章函数的应用》吧，希望对你的学习有所帮助！31函数与方程311方程的根与函数的零点1.A.2.A.3.C.4.如：f(a)f(b)≤0.5.4,254.6.3.7.函数的零点为-1，1，2.提示：f(x)=x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x-1)(x+1).8.(1)(-∞,-1)∪(-1,1).(2)m=12.9.(1)设函数f(x)=2ax2-x-1,当Δ=0时，可得a=-18，代入不满足条件，则函数f(x)在(0，1)内恰有一个零点.∴f(0)・f(1)=-1×(2a-1-1)<0，解得a>1.(2)∵在[-2，0]上存在x0，使f(x0)=0,则f(-2)・f(0)≤0,∴(-6m-4)×(-4)≤0,解得m≤-23.10.在(-2，-15)，(-05,0),(0,05)内有零点.11.设函数f(x)=3x-2-xx+1.由函数的单调性定义，可以证明函数f(x)在(-1,+∞)上是增函数.而f(0)=30-2=-1<0,f(1)=31-12=52>0,即f(0)・f(1)<0，说明函数f(x)在区间(0，1)内有零点，且只有一个.所以方程3x=2-xx+1在(0，1)内必有一个实数根.312用二分法求方程的近似解(一)1.B.2.B.3.C.4.[2，25].5.7.6.x3-3.7.1.8.提示：先画一个草图，可估计出零点有一个在区间(2，3)内，取2与3的平均数25，因f(25)=025>0，且f(2)<0，则零点在(2，25)内，再取出225,计算f(225)=-04375，则零点在(225,25)内.以此类推，最后零点在(2375,24375)内，故其近似值为24375.9.14375.10.14296875.11.设f(x)=x3-2x-1,∵f(-1)=0,∴x1=-1是方程的解.又f(-05)=-0125<0,f(-075)=0078125>0，x2∈(-075,-05)，又∵f(-0625)=0005859>0，∴x2∈(-0625,-05).又∵f(-05625)=-005298<0,∴x2∈(-0625,-05625)，由|-0.625+0.5625|<0.1,故x2=-0.5625是原方程的近似解，同理可得x3=15625.312用二分法求方程的近似解(二)1.D.2.B.3.C.4.1.5.1.6.26.7.a>1.8.画出图象，经验证可得x1=2，x2=4适合，而当x<0时，两图象有一个交点，∴根的个数为3.9.对于f(x)=x4-4x-2，其图象是连续不断的曲线，∵f(-1)=3>0，f(2)=6>0，f(0)<0，∴它在(-1，0)，(0，2)内都有实数解，则方程x4-4x-2=0在区间[-1，2]内至少有两个实数根.10.m=0,或m=92.11.由x-1>0,3-x>0，a-x=(3-x)(x-1),得a=-x2+5x-3(1134或a≤1时无解;a=134或1 32函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型1.D.2.B.3.B.4.1700.5.80.6.5.7.(1)设一次订购量为a时，零件的实际出厂价恰好为51元，则a=100+60-510.02=550(个).(2)p=f(x)=60(062-x50(10051(x≥550,x∈N*).8.(1)x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7(万).(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100×(1+1.2%)x=120,x=log1.012120100=log1.0121.2=lg1.2lg1.012≈15(年).9.设对乙商品投入x万元，则对甲商品投入9-x万元.设利润为y万元，x∈[0,9].∴y=110(9-x)+25x=110(-x+4x+9)=110[-(x-2)2+13],∴当x=2，即x=4时，ymax=1.3.所以，投入甲商品5万元、乙商品4万元时，能获得利润1.3万元.10.设该家庭每月用水量为xm3，支付费用为y元，则y=8+c,0≤x≤a,①8+b(x-a)+c,x>a.②由题意知033=8+(22-a)b+c,∴b=2,2a=c+19.③再分析1月份的用水量是否超过最低限量，不妨设9>a,将x=9代入②,得9=8+2(9-a)+c,2a=c+17与③矛盾，∴a≥9.1月份的付款方式应选①式，则8+c=9,c=1,代入③,得a=10.因此a=10,b=2,c=1.(第11题)11.根据提供的数据，画出散点图如图：由图可知，这条曲线与函数模型y=ae-n接近，它告诉人们在学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程不是均衡的，而是在记忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐减慢了，过了相当长的时间后，几乎就不再遗忘了，这就是遗忘的发展规律，即“先快后慢”的规律.观察这条遗忘曲线，你会发现，学到的知识在一天后，如果不抓紧复习，就只剩下原来的13.随着时间的推移，遗忘的速度减慢，遗忘的数量也就减少.因此，艾宾浩斯的实验向我们充分证实了一个道理，学习要勤于复习，而且记忆的理解效果越好，遗忘得越慢.322函数模型的应用实例1.C.2.B.3.C.4.2400.5.汽车在5h内行驶的路程为360km.6.10;越大.7.(1)15m/s.(2)100.8.从2015年开始.9.(1)应选y=x(x-a)2+b，因为①是单调函数，②至多有两个单调区间，而y=x(x-a)2+b可以出现两个递增区间和一个递减区间.(2)由已知，得b=1，2(2-a)2+b=3，a>1，解得a=3,b=1.∴函数解析式为y=x(x-3)2+1.10.设y1=f(x)=px2+qx+r(p≠0)，则f(1)=p+q+r=1,f(2)=4p+2q+r=12,f(3)=9p+3q+r=13,解得p=-005,q=035,r=07，∴f(4)=-005×42+035×4+07=13，再设y2=g(x)=abx+c,则g(1)=ab+c=1，g(2)=ab2+c=12，g(3)=ab3+c=13，解得a=-08，b=05，c=14，∴g(4)=-08×054+14=135，经比较可知，用y=-08×(05)x+14作为模拟函数较好.11.(1)设第n年的养鸡场的个数为f(n)，平均每个养鸡场养g(n)万只鸡，则f(1)=30，f(6)=10,且点(n,f(n))在同一直线上，从而有：f(n)=34-4n(n=1，2，3，4，5,6).而g(1)=1,g(6)=2,且点(n,g(n))在同一直线上，从而有:g(n)=n+45(n=1，2，3，4，5，6).于是有f(2)=26,g(2)=1.2(万只)，所以f(2)・g(2)=31.2(万只)，故第二年养鸡场的个数是26个，全县养鸡31.2万只.(2)由f(n)・g(n)=-45n-942+1254，得当n=2时，[f(n)・g(n)]max=31.2.故第二年的养鸡规模，共养鸡31.2万只.单元练习1.A.2.C.3.B.4.C.5.D.6.C.7.A.8.C.9.A.10.D.11.±6.12.y=x2.13.-3.14.y3，y2，y1.15.令x=1，则12-0>0，令x=10，则1210×10-1<0.选初始区间[1,10]，第二次为[1，5.5]，第三次为[1，3.25]，第四次为[2.125，3.25]，第五次为[2.125，2.6875]，所以存在实数解在[2，3]内.(第16题)16.按以下顺序作图：y=2-xy=2-|x|y=2-|x-1|.∵函数y=2-|x-1|与y=m的图象在017.两口之家,乙旅行社较优惠,三口之家、多于三口的家庭,甲旅行社较优惠.18.(1)由题意，病毒总数N关于时间n的函数为N=2n-1，则由2n-1≤108，两边取对数得(n-1)lg2≤8,n≤27.6,即第一次最迟应在第27天时注射该种药物.(2)由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒数为226×2%,再经过n天后小白鼠体内病毒数为226×2%×2n，由题意，226×2%×2n≤108，两边取对数得26lg2+lg2-2+nlg2≤8，得x≤6.2,故再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物.19.(1)f(t)=300-t(0≤t≤200),2t-300(200(2)设第t天时的纯利益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)-g(t),即h(t)=-1200t2+12t+1752(0≤t≤200)，-1200t2+72t-10252(20087.5可知，h(t)在区间[0，300]上可以取得值100，此时t=50，即从2月1日开始的第50天时，西红柿纯收益.20.(1)由提供的数据可知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q=at+b，Q=a・bt，Q=a・logbt中的任何一个进行描述时都应有a≠0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格提供的数据不吻合.所以选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述.将表格所提供的三组数据分别代入Q=at2+bt+c，得到150=2500a+50b+c,108=12100a+110b+c,150=62500a+250b+c.解得a=1200,b=-32,c=4252.∴描述西红柿种植成本Q与上市时间t的关系的函数为:Q=1200t2-32t+4252.(2)当t=150时，西红柿种植成本最低为Q=100(元/100kg).综合练习(一)1.D.2.D.3.D.4.A.5.B.6.D.7.D.8.D.9.B.10.B.11.{x|x≤5且x≠2}.12.1.13.4.14.0.15.10.16.0.8125.17.4.18.{-6,-5,-4,-3,-2,-1,0}.19.(1)略.(2)[-1，0]和[2，5].20.略.21.(1)∵f(x)的定义域为R,设x10.∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)(2)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即a-12-x+1=-a+12x+1，解得a=12.∴f(x)=12-12x+1.∵2x+1>1,∴0<12x+1<1,∴-1<-12x+1<0,∴-12综合练习(二)1.B.2.B.3.D.4.A.5.A.6.C.7.A.8.A.9.B.10.B.11.log20.3<20.3.12.-2.13.-4.14.8.15.P=12t5730(t>0).16.2.17.(1,1)和(5，5).18.-2.19.(1)由a(a-1)+x-x2>0，得[x-(1-a)]・(x-a)<0.由2∈A，知[2-(1-a)]・(2-a)<0，解得a∈(-∞,-1)∪(2,+∞).(2)当1-a>a,即a<12时，不等式的解集为A={x|a12时，不等式的解集为A={x|1-a20.在(0,+∞)上任取x10,x2+1>0,所以要使f(x)在(0,+∞)上递减，即f(x1)-f(x2)>0，只要a+1<0即a<-1,故当a<-1时，f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.21.设利润为y万元，年产量为S百盒，则当0≤S≤5时，y=5S-S22-0.5-0.25S=-S22+4.75S-0.5,当S>5时，y=5×5-522-0.5-0.25S=12-0.25S,∴利润函数为y=-S22+4.75S-0.5(0≤S≤5,S∈N*)，-0.25S+12(S>5,S∈N*).当0≤S≤5时，y=-12(S-4.75)2+10.78125，∵S∈N*，∴当S=5时，y有值1075万元;当S>5时，∵y=-0.25S+12单调递减，∴当S=6时，y有值1050万元.综上所述，年产量为500盒时工厂所得利润.22.(1)由题设,当0≤x≤2时,f(x)=12x・x=12x2;当2-(x-3)2+3(212(x-6)2(4≤x≤6).(2)略.。
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[单选,A2型题,A1/A2型题]C反应蛋白在哪种情况下不升高（）.A.病毒感染B.细菌感染C.高血压D.急性心肌梗塞E.大面积烧伤 [多选]进出境邮寄物检疫的范围是（）。A.动植物、动植物产品及其他检疫物的国际邮寄物品B.来自疫区的被传染病病体污染的或可能成为传染病传播媒介的国际邮寄物品C.微生物、人体组织、生物制品、血液及其制品等特殊物品的国际邮寄物品D.通过邮政渠道运递并需实施检疫的其他国际邮寄 [填空题]我国的人类学者一般将完全形成的人分为早期猿人,（）,早期智人,（）四个阶段. [单选,A1型题]新生儿是指出生至生后（）A.7天B.14天C.28天D.30天E.60天 [单选]一个消费者宣称，他早饭每吃一根油条要喝一杯豆浆，如果给他的油条数多于豆浆杯数，他将把多余的油条扔掉，如果给他的豆浆杯数多于油条数，他将同样处理（）A.他关于这两种食品无差异曲线是一条直线B.他的偏好破坏了传递性的假定C.他的无差异曲线是直角的D他的无差异曲线破 [填空题]人类最早使用的工具是石器.考古学家根据石器的制造技术的发展和演进情况,将石器时代分为（）,中石器,（）三个时代. [单选]孕妇，29岁，孕1产0，妊娠40周。宫口开全2小时，胎方位为持续性枕后位，双顶径在坐骨棘下2cm，已破水4小时，胎心122次/分，恰当的分娩方式为()A．等待自然分娩B．转正胎头，产钳助产C．胎头吸引器助产D．缩宫素静脉滴注E．剖宫产术 [单选]下列哪种原因导致的烧伤，应考虑合并吸入性损伤()A．烫伤B．热压伤C．电击伤D．氢氟酸烧伤E．煤矿瓦斯爆炸 [单选]和心导管所测肺毛细血管楔压呈线性相关的超声参数是（）。A.DTB.IVRTC.E/AD.E/EaE.S/D [单选,A2型题,A1/A2型题]以下有关局部振动对机体可以引起的影响，其中错误的是（）。A.手部肌肉萎缩B.上肢骨质疏松C.高频段听力下降D.周围毛细血管变形E.上肢手臂末梢神经障碍 [单选,A1型题]有关检查胎位的四步触诊法，哪项是错误的()A.用以了解子宫的大小、胎先露、胎方位B.第三步是双手置于耻骨联合上方，弄清先露部是胎头还是胎臀C.第一步是双手置于子宫底部，了解宫高度，井判断是胎头还是胎臀D.第二步是双手分别置于腹部两侧，辨别胎背方向E.第四步双 [多选]高性能商品混凝土配合比设计应遵循下列哪些法则？（）A、最大水泥用量法则B、商品混凝土密实体积法则C、水胶比法则D、最小用水量法则 [单选]弥散性血管内凝血(DIC)指的是()A．心、肝、肾等重要器官中有较多的血栓形成B．全身小动脉内有广泛性的血栓形成C．全身小静脉内有广泛的血栓形成D．小动脉和小静脉内均有广泛性的血栓形成E．微循环内有广泛的微血栓形成 [单选,A2型题,A1/A2型题]以下常用有机磷农药中哪种为结晶体，遇碱毒性会增大（）.A.乐果B.对硫磷C.内吸磷D.敌百虫E.马拉硫磷 [单选]（）沉降量分布图，以累计沉降量为纵坐标，以堤线长度为横坐标。A.堤防纵向B.堤防横向C.堤防高度D.堤防宽度 [单选]下述（）属于土工合成料的力学性能。（）A.单位面积的质量B.孔径C.延伸率D.平面渗透系数 [单选]自体皮移植后需要多长时间皮片完全建立血液循环()A．3～5天B．12小时C．48小时D．8～9天E．2周 [填空题]分离培养衣原体常用方法有（），（），（）. [判断题]螺旋线圈的作用是连接驾驶侧气囊导线连接器和点火开关连接器。（）A.正确B.错误 [单选,A型题]肾血管平滑肌脂肪瘤的影像征象包括（）A.肾实质内空洞形成B.病灶CT值可为负值C.肾盏边缘不整齐如虫蚀D.输尿管扩张E.增强明显均匀强化 [单选]资本是指企业的财务实力，它决定了企业的（）能力。A.清偿B.理财C.赢利D.管理 [单选,A1型题]下列各项，属于火淫证临床表现的是（）。A.皮肤干燥B.干咳少痰C.口渴喜饮D.大便干燥E.小便短黄 [名词解释]风力输沙量 [名词解释]MALT(mucosal-associatedlymphoidtissue) [单选]各级人民政府及其有关部门依法维护学校周边秩序，保护学生、教师、学校的合法权益，为学校提供（）。A、制度保障B、安全保障C、经费保障 [名词解释]（水泥的）抗压强度 [单选]颅前窝底骨折的表现不包括（）A."熊猫眼"征B.球结膜下淤斑C.脑脊液鼻漏D.失嗅E.Battle征 [问答题]什么是公共卫生监测？ [问答题]遇到次生灾害怎么办？ [单选]当岩石按坚硬程度分类时，强度为30～60MPa的是（）。A.坚硬岩；B.较坚硬岩；C.较软岩；D.软岩。 [单选]在采用经济订购批量公式确定订购批量时，其费用构成情况是（）最低。A.年保管费用B.年储存费用C.年采购费用D.年订购费用与保管费用 [单选,A2型题,A1/A2型题]右心衰竭引起皮肤发绀的机制是（）。A.肺循环血液中还原血红蛋白增多B.体循环静脉血中还原血红蛋白增多C.肺循环血液中还原血红蛋白减少D.体循环静脉血中还原血红蛋白减少E.血液中高铁血红蛋白减少 [单选,A1型题]一般饮片在煎煮前应先用冷水浸泡约（）A.5minB.10minC.30minD.60minE.90min [单选]下列阀门中，最适宜采用的是（）阀。A.闸B.球C.节流D.止回 [单选,A1型题]根据《药品说明书和标签管理规定》，下列叙述错误的是（）A.药品说明书由省级人民政府药品监督管理部门核准B.药品标签由国务院药品监督管理部门核准C.药品包装必须按照规定印有标签D.药品包装必须按照规定贴有标签E.药品生产企业生产供上市销售的最小包装必须附有说 [单选,A2型题,A1/A2型题]对银屑病的描述下列哪项正确（）A.有自限性B.表皮主要呈局限性角化不全.C.有Auspitz征D.有传染性E.很少复发 [单选]关于外阴硬化性苔藓的描述错误的是()A．是一种以外阴及肛周皮肤萎缩变薄为主的皮肤病B．可发生包括幼女在内的任何年龄妇女C．主要症状为病损区皮肤发痒D．最后诊断的唯一方法是病理检查E．常采用外科疗法治疗 [判断题]测定水的色度的铂钴比色法与稀释倍数法应独立使用，两者一般没有可比性。A.正确B.错误 [单选]患者男性，77岁，因慢性支气管炎合并铜绿假单胞菌感染入院，患者高热，精神差，疲乏无力，护士为患者做特殊口腔护理时应选用的漱口液是A.0.9％氯化钠B.0.1％醋酸溶液C.0.2％呋喃西林D.1％～3％过氧化氢E.1％～4％碳酸氢钠 [单选]某患者进食后发生恶心、呕吐、腹泻。如果在患者粪便标本中分离到一种菌，革兰染色阴性；其生化反应结果是：氧化酶(+)，蔗糖(-)，动力(+)，吲哚(+)，脲酶(-)。则该菌可能是()A．福氏志贺菌B．霍乱弧菌C．大肠埃希菌0157:H7D．副溶血弧菌E．蜡样芽胞杆菌
高一上数学必修一第三章《3.3 函数的应用》知识点梳理
高一上必修一第三章《函数》知识点梳理3.3 函数的应用【学习目标】能够运用一次函数、二次函数、分段函数的性质解决某些简单的实际问题.（1）能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学道理，弄清题中出现的量及其数学含义.（2）能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题（即建立数学模型），并运用函数的相关性质解决问题。
（3）能处理有民生、经济、物里等方面的实际问题。
【重点】1.通过运用函数的有关知识解决实际生活中的问题，加深对函数概念的理解2.会应用一次函数、二次函数、分段函数模型解决实际问题3.了解数学知识来于生活，又服务于生活.【难点】1、增强运用函数思想理解和处理问题的意识，理解数学建模中将实际问题抽象、转化为数学问题的一般方法。
【典型例题】例1 为了鼓励大家节约用水，自2013年以后，上海市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示。
解（1）不难看出，f（x）是一个分段函数，而且：当0<x≤220时，有f（x）=3.45x；当220<x≤300时，有f（x）=220×3.45+（x-220）×4.83=4.83x-303.6；当x>300时，有f（x）=220×3.45+（300-220）×4.83+（x-300）×5.83=5.83x-603.6.因此=3.45x，0<x≤220，f（x）=14.83x-303.6，220<x≤300，=5.83x-603.6，x>300.（2）因为220<260≤300，所以f（260）=4.83×260-303.6=952.2，因此张明一家2015年应缴纳水费952.2元。
由例1可知，可以用分段函数来描述生活中的阶梯水价、阶梯电价等内容.例2 城镇化是国家现代化的重要指标，据有关资料显示，1978-2013年，我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿。
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第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数y = /(x)(xeD),把使/(x) = 0成立的实数无叫做函数y =f(x)(xeD)的零点。
2、函数零点的意义：函数y = /(x)的零点就是方程/(x) = 0实数根，亦即函数y = /(x)的图象与兀轴交点的横坐标。
即：方程/(%) = 0有实数根o函数y = /(x)的图象与兀轴有交点o函数y = /(x) 有零点.3、函数零点的求法：①(代数法)求方程f(x) = 0的实数根；© (几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y = /(x)的图象联系起來, 并利用函数的性质找出零点.4、基本初等函数的零点：①正比例函数y = kx(k 0)仅有一个零点。
②反比例函数y =-伙H 0)没有零点。
x③一次函数y = 伙工0)仅有一个零点。
④二次函数y = ax2 + bx^- c(a H 0).(1)A> 0 ,方程ax2+bx+c = 0(a^0)有两不等实根，二次函数的图象与兀轴有两个交点，二次函数有两个零点.(2)A=0,方程加+C =0(QH0)有两相等实根，二次函数的图象与兀轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.(3)A<0,方程a^+fex+c = 0(dH0)无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点.⑤指数函数y = a x(a > 0,且o h 1)没有零点。
⑥对数函数歹=log“ x(a > 0,且a工1)仅有一个零点1.⑦幕函数丁 =屮，当〃>0时，仅有一个零点0,当〃50时，没有零点。
5、非基本初等函数(不可直接求出零点的较复杂的函数)，函数先把/(兀)转化成/(x) = 0,再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数)［,儿(基本初等函数)，这另个函数图像的交点个数就是函数/ (兀)零点的个数。
6、选择题判断区间(a,b)上是否含有零点，只需满足/(a)/(b)<0。
高一数学函数的应用
学习目标：
1、初步掌握一次和二次函数模型的应用，会 解决较简单的实际应用问题，初步掌握数学 建模的一般步骤和方法． 2、通过具体实例，感受运用函数建立模型的 过程和方法，体会一次函数、二次函数模型 在数学和其他学科中的重要性，初步树立函 数的观点； 3、了解数学知识来源于生活，又服务与实际。
合作交流
解答数学应用题的关键有两点： 一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题 的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归 纳为相应的数学问题； 二是要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们 之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系， 建立相应的函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数 学模型使实际问题获解.一般的解题程序是： 读题 (文字语言) 建模 (数学语言) 求解 (数学应用) 反馈 (检验作答)
祝同学们： 学习进步！
； 聚丙烯酰胺厂家 聚丙烯酰胺价格 福晋的呓语之声早就传进咯张太医的耳朵，可想而知这病实在是不轻。另外让张太医奇怪的是，院子里不但见不到王爷，连福晋也不曾见到， 不但福晋没有见到，连苏总管也不曾见到，这可真是稀奇！作为王府的常客，张太医诊治最多的还是李侧福晋，先不说那李侧福晋不管大病小 病，有时候甚至是没病，都要请他来诊治壹番，单说只要他张太医壹到王府里，哪壹次不是王爷坐陪就是福晋忙着忙后？实在没有人的时候， 苏总管更是早早地就在房门外候着，随时听着屋里的吩咐。今天可好，年侧福晋这里就这么两各丫环和壹各本院的管事太监，而且病重得都开 始说起咯胡话，看来这各年侧福晋在王府里的日子可真是不好过。不得宠就罢咯，甚至是备受冷落。既然不得宠，王爷何苦要着急上赶着求咯 皇上的赐婚？难道真的是像坊间传闻那样，图谋年家的朝中势力？不管是啥啊情况，这些全不是他张太医能够，或者说应该关心的事情，尽快 诊治才是他的首要职责。隔着绢帕号过脉，张太医那颗心总算是稍微踏实咯壹些，还好，还好，只是发热和神志不清，但神志问题是首因。因 此张太医先开咯安神的药，发热也是由于不能安神的原因引起的，先治咯根本，再看效果吧。开完药方，张太医壹边摇头叹气，壹边收咯药箱。 千恩万谢地送走咯太医，月影赶快将药送去小厨房煎制，吟雪继续负责换着凉手巾，两各人又是壹阵紧忙。待好不容易将药煎好，两人为咯如 何让丫鬟将药喝下去而犯咯愁。冰凝已经陷入咯昏沉之中，不可能喝药，于是吟雪好拿来壹各瓷勺，将冰凝的嘴撬开，月影赶快用另壹各瓷勺 盛咯壹小勺汤药，顺着撬出来的那壹点点缝隙强行将药灌进嘴里去。昏迷中的冰凝根本就不会主动吞咽，因此灌进去的那壹点点药，大部分又 都顺着嘴角流咯下来。第壹卷 第156章 同行雅思琦提议去园子，本是想将爷对天仙妹妹的好感扼杀在摇篮之中，谁想到却是酿成咯更为严重 的、壹发不可收拾的后果。假如她知道事情的发展会是这各样子，哪里还会提这各议呢？这些日子，淑清的身体壹直不适，雅思琦提议去园子 可谓壹箭双雕，两各侧福晋都病着，都留在咯府里岂不是更好？不过，这只是雅思琦的壹厢情愿而已，王爷还是将淑清带去咯园子。对于这各 结果，虽然没有太出她的意料，但仍是非常失落。爷对淑清姐姐可真谓是壹往情深，这次居然还是带上咯。不过这各结果也算还好，毕竟爷对 天仙妹妹可是只图壹时的新鲜，被自己劝留在咯府里。只有这壹各人还算好对付，假如壹下子要同时应对两各诸人，自己还真有点儿招架不住。 雅思琦不停地自我安慰着。李淑清所患的血崩之症已经有些日子咯，时好时坏，张太医虽然医术高超，可是遇到任性的李侧
人教A版高中数学必修1第三章《函数的应用》思维导图
人教A版高中数学必修1第三章《函数
的应用》思维导图
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本文，我们主要梳理了人教版A版高中数学必修1（也就是高一数学）第三章《函数的应用》。
主要内容大纲如下：
其中重点在于零点问题、函数模型及函数的应用。
下面我们逐一展开回忆下。
一、函数与方程
二、函数模型及其应用
到本文为止，有关人教版A版高中数学必修一（也就是高一数学必修1）的内容，我们就在前面三篇文章给大家梳理完了，至于第一章《集合与函数的概念》及第二章《基本初等函数（I）》，请大家查阅我们前面两天的文章即可。
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高一函数有哪些应用知识点
高一函数有哪些应用知识点函数作为数学的重要概念之一，其应用广泛而深入。
在高一的学习中，函数作为数学课程的重点内容之一，不仅有理论性的学习，还有具体的应用知识点。
接下来，我们就来探讨一下高一函数中的一些常见应用知识点。
一、函数与数据的关系在实际生活中，我们经常会遇到各种数据的分析和处理问题，而函数作为数学工具，可以用来描述和分析数据之间的关系。
通过观察数据的变化趋势，可以建立对应的函数关系，从而更好地理解和解释数据。
这一知识点在高中数学中被广泛应用，如统计学中的回归分析，经济学中的需求曲线分析等。
二、函数与图像的关系函数与图像密不可分，通过分析函数的图像，可以更直观地理解函数的性质和变化规律。
在高一的数学课程中，函数图像是一个重要的学习内容。
我们需要学会通过函数关系来确定图像的形状、特点和变化趋势。
通过观察函数图像，我们可以了解函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。
这些知识点在物理、化学等应用领域中非常重要，如物体的运动轨迹分析、化学反应速率等问题。
三、函数与方程的关系函数与方程密切相关，通过函数关系可以建立对应的方程，从而解决各种实际问题。
在高一的数学学习中，函数方程是一个重要的知识点。
我们需要学会根据实际问题建立函数方程，并通过求解方程来解决问题。
这一应用知识点在物理学、几何学等领域中被广泛应用，如物体的运动方程、几何图形的方程等。
四、函数与最值的问题函数的最值问题是高一数学学习中的一个重要内容。
通过求解函数的最值，我们可以确定函数的最大值、最小值，进而解决各种实际问题。
这一应用知识点在经济学、管理学等领域中被广泛应用，如成本函数的最小化问题、收益函数的最大化问题等。
五、函数与导数的关系导数作为函数的重要工具，可以帮助我们分析函数的变化率和极值情况。
在高一的数学学习中，导数是一个重要的知识点。
我们需要学会通过求导来确定函数的变化率，并通过求解导数方程来确定函数的极值问题。
这一知识点在物理学、经济学等领域中非常重要，如物体的速度、加速度分析、边际效应分析等。
高一数学习题函数的综合运用
高一数学习题函数的综合运用在高一的数学学习中，函数是一个重要的概念和工具。
函数的综合运用则是展示学生对函数知识的掌握程度和应用能力的重要环节。
本文将通过几道具体的数学习题，展示高一学生如何运用函数进行综合问题求解。
1. 题目一：小明正在规划一个植物园，园中有两片草地A和B，其中草地A的面积是草地B的两倍。
小明想在这两片草地上分别种植玫瑰花和向日葵，使得两种花的总数量相等。
已知玫瑰花每平方米需要5株，向日葵每平方米需要3株。
请问小明应该在草地A和草地B分别种植多少面积的玫瑰花和向日葵，才能满足总数量相等的要求？解析：设草地A的面积为x平方米，则草地B的面积为2x平方米。
根据题意，可得到以下两个等式：5x = 3 * 2x接下来，我们解方程组：5x = 6x6x - 5x = 0x = 0根据解出的x值，我们可以得知草地A的面积为0平方米，草地B 的面积为0平方米。
因此，无法满足总数量相等的要求。
2. 题目二：某超市在一次特价促销中，将原价为100元的商品打折出售。
打折后的价格与原价之间的关系如下：当购买数量小于等于5件时，每件商品打8折；当购买数量超过5件时，每件商品打7折。
若小明购买了x件商品，问他所购商品的总金额f(x)与x的函数关系是什么？解析：当购买数量小于等于5件时，每件商品打8折，即折扣后价格为100 * 0.8 = 80元。
当购买数量超过5件时，每件商品打7折，即折扣后价格为100 * 0.7 = 70元。
根据以上分析，可以列出下面的函数关系式：f(x) ={80x, 当 x <= 5,70x, 当 x > 5}通过这个函数关系式，我们可以计算出小明购买任意数量的商品后的总金额。
3. 题目三：某公司的年度利润（单位：亿元）与销售额（单位：亿元）之间的关系如下：当销售额不超过10亿元时，利润为销售额的5%；当销售额超过10亿元但不超过50亿元时，利润为销售额的8%；当销售额超过50亿元时，利润为销售额的10%。
高一上学期数学(必修一)《第三章函数的应用》同步练习题及答案(人教版)
高一上学期数学(必修一)《第三章函数的应用》同步练习题及答案(人教版)一、单选题1．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利42万元，已知二月份和三月份利润的月增长率相同.设二、三月份利润的月增长率为x ，则x 满足的方程为（ ）A ．210(1)42x +=B ．21010(1)42x ++=C ．1010(1)10(12)42x x ++++=D ．21010(1)10(1)42x x ++++=2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（ ）A ．310元B ．300元C ．390元D ．280元3．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x 辆该品牌车的利润（单位：万元）分别为2121L x x=-+和22L x =.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为（ ）A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元4．把长为12cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）A ．233cm 2B ．24cmC ．232cmD ．223cm5．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为（ ）m ．A ．400B ．12C ．20D ．306．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N 满足关系2010000.70.3v N v v d =++，其中0d 为安全距离，v为车速()m /s .当安全距离0d 取30m 时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）A ．135B ．149C ．165D ．1957．某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了（ ）A ．0.33米B ．0.42米C ．0.39米D ．0.43米8．周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A 地出发前往B 地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟.乙骑行25分钟后，甲以原速的85继续骑行，经过一段时间，甲先到达B 地，乙一直保持原速前往B 地.在此过程中，甲、乙两人相距的路程y （单位：米）与乙骑行的时间x （单位：分钟）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．乙的速度为300米/分钟B ．25分钟后甲的速度为400米/分钟C ．乙比甲晚14分钟到达B 地D ．A 、B 两地之间的路程为29400米二 、多选题 9.根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)=√x x <A,√A x ⩾A(A,c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，下列结果正确的是（ ）A. A =16B. c =60C. A =4D. c =3010.对任意两个实数a ，b ，定义max{ a,b}={a,a >b,若f(x)=2−x 2，g(x)=x 2下列关于函数F(x)=max{ f(x),g(x)}的说法正确的有（ ）A. 函数F(x)是偶函数B. 函数F(x)有四个单调区间C. 方程F(x)=2有四个不同的根D. 函数F(x)的最大值为1，无最小值11.函数y =[x]的函数值表示不超过x 的最大整数．例如[1.1]=1，[2.3]=2设函数f(x)={1−x 2,x <0,x −[x],x ⩾0,则下列说法正确的是（ ）A. 函数f(x)的值域为(−∞,0]B. 若x ⩾0，则[f(x)]=0C. 方程f(x)=1有无数个实数根D. 若方程f(x)=−x +a 有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是[0,+∞)12.已知函数f(x)={x 2,x ⩽0,−x 2,x >0,则下列结论中正确的是（ ） A. f(√2)=2B. 若f(m)=9，则m ≠±3C. f(x)是奇函数D. 在f(x)上R 单调递减三、填空题13．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算． 可以享受折扣优惠金额折扣优惠率 不超过500元的部分5% 超过500元的部分 10% 某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为__________元．14．函数()()222323y x x x x =---+零点的个数为_____________.15．如图，在半径为4（单位：cm ）的半圆形（O 为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD ，其顶点,A B 在直径上，顶点,C D 在圆周上，则矩形ABCD 面积的最大值为____（单位：2cm ）.四、解答题16.．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2m ，渠深为1.8m ，斜坡的倾斜角是45°（无水状态不考虑）.(1)试将横断面中水的面积()A h （2m ）表示成水深h （m ）的函数；(2)当水深为1.2m 时，求横断面中水的面积.17．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）表示为养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数.当04x <≤时，v 的值为2；当420x <≤时，v 是关于x 的一次函数.当x ＝20时，因缺氧等原因，v 的值为0.(1)当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；(2)当x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大？并求出最大值.18．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+ ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？19．吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x 万盒，需投入成本()h x 万元，当产量小于或等于50万盒时()180100h x x =+；当产量大于50万盒时()2603500h x x x =++，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？20．随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）所满足的关系式：()60,030R 80,30120150x v k k x x <≤⎧⎪=∈⎨-<≤⎪-⎩.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.(1)若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；(2)隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y x v =⋅，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：5 2.236） 参考答案1．D 2．B3．C4．D5．C6．B7．B8．C9.AB;10.AB;11.BD;12.CD;13．112014．215．1616.（1）依题意，横断面中的水面是下底为2m ，上底为()22h +m ，高为h m 的等腰梯形，所以()()()222220 1.82h A h h h h h ++=⋅=+<≤. （2）由（1）知()()220 1.8A h h h h =+<≤ ()21.2 1.22 1.2 3.84h =+⨯=所以当水深为1.2m 时，横断面水中的面积为3.842m .17.（1）依题意，当04x <≤时()2v x =；当420x <≤时，()v x 是关于x 的一次函数，假设()(0)v x ax b a =+≠则42200a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得0.1252.5a b =-⎧⎨=⎩所以()2,040.125 2.5,420x v x x x <≤⎧=⎨-+<≤⎩. （2）当04x <≤时()()()2028v x f x x v x x =⇒<=⋅=≤；当420x <≤时()()20.125 2.50.125 2.5v x x f x x x =-+⇒=-+当()2.51020.125x =-=⨯-时，()f x 取得最大值()1012.5f =. 因为12.58>，所以当x ＝10时，鱼的年生长量()f x 可以达到最大，最大值为12.53/千克米.18.（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为180000180000200220020022y x x x x x=+-≥⋅-=； 当且仅当1800002x x = ，即400x = 时等号成立 故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.（2）不获利，设该单位每个月获利为S 元，则2211100100200800003008000022S x y x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭()21300350002x =--- 因为[]400,600x ∈，则[]80000,40000S ∈--故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.19.（1）当产量小于或等于50万盒时20020018010020300y x x x =---=-当产量大于50万盒时222002006035001403700y x x x x x =----=-+-故销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式为220300,050,N 1403700,50x x y x x x x -≤≤⎧=∈⎨-+->⎩（2）当050x ≤≤时2050300700y ≤⨯-=；当50x >时21403700y x x =-+-当140702x ==时，21403700y x x =-+-取到最大值，为1200． 因为7001200<，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．20.（1）解：由题意知当120x =（辆/千米）时，0v =（千米/小时）代入80150k v x=--，解得2400k = 所以60,030240080,30120150x v x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩. 当030x <≤时，6040v =≥，符合题意；当30120x <≤时，令24008040150x-≥-，解得90x ≤，所以3090x <≤. 所以，若车流速度v 不小于40千米/小时，则车流密度x 的取值范围是(]0,90.（2）解：由题意得60,030240080,30120150x x y x x x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩当030x <≤时，60y x =为增函数，所以1800y ≤，当30x =时等号成立；当30120x <≤时 ()()2150180150450024004500808080180150150150150x x x y x x x x x --+--⎡⎤⎛⎫=-==--+ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎣⎦ 4800(35)3667≤-≈. 当且仅当4500150150x x-=-，即30(55)83x =-≈时等号成立. 所以，隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.。
高一数学函数的应用
解：这个函数的定义域为{1，2，
3，4}，函数的解析式为y=5x
20 y/元
（ x∈{1，2，3，4} ），它的图 15
像由4个孤立点组成，如图所示， 10
这些点的坐标分别是（1，5）， 5
（2，10），（3，15），（4，20）。Biblioteka 0x/个 123 45
导入新课
大约在一千五百年前，大数学家孙 子在《孙子算经》中记载了这样的 一道题：“今有雏兔同笼，上有三 十五头，下有九十四足，问雏兔各 几何？”这四句的意思就是：有若 干只有几只鸡和兔？你知道孙子是 如何解答这个“鸡兔同笼”问题的 吗？你有什么更好的方法？
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上下功夫。 口福和眼福俱饱矣，耳福呢？ 无一座城市致力于“音容”，无一处居所以“寂静”命名。 我们几乎满足了肉体所有部位，唯独冷遇了耳朵。 甚至连冷遇都不算，是折磨，是羞辱。 做一只现代耳朵真的太不幸了，古人枉造了“悦耳”一词，实在对不住，我们更多的是“虐耳”。 有个说法叫“花开的声音”，一直，我当作一个比喻和诗意幻觉，直到遇一画家，她说从前在老家，中国最东北的荒野，夏天暴雨后，她去坡上挖野菜，总能听见苕树梅绽放的声音，四下里噼啪响 “苕树梅”，我家旁的园子里就有，红、粉、白，水汪汪、亮盈盈，一盏盏，像玻璃纸剪出的小太 阳。我深信她没听错，那不是幻听和诗心的矫造，我深信那片野地的静、那个年代的静，还有少女耳膜的清澈她有聆听物语的天赋，她有幅画，《你能让满山花开我就来》，那绝对是一种通灵境界我深信，一个野菜喂大的孩子，大自然向她敞开得就多。 我们听不见，或难以置信，是因为失聪日 久，被磨出了茧子。 是的，你必须承认，世界已把寂静 这大自然的“原配”，给弄丢了。 是的，你必须承认，耳朵 失去了最伟大的爱情。 我听不见花开的声
人教版数学高一-必修1教师用书 第三章 函数的应用
_3.1函数与方程3．1.1方程的根与函数的零点函数的零点[提出问题]如图为函数f(x)在[－4,4]上的图象：问题1：根据函数的图象，你能否得出方程f(x)＝0的根的个数？提示：方程f(x)＝0的根即为函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，由图可知，方程有3个根，即x＝－3，－1,2.问题2：你认为方程的根与对应函数的图象有什么关系？提示：方程的根是使函数值等于零的自变量值，也就是函数图象与x轴交点的横坐标．[导入新知]1．函数的零点对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．[化解疑难]函数零点的本质(1)函数的零点的本质是方程f(x)＝0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数．例如函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时，仅有一个实数根x＝－1，所以函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．(2)函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点．函数零点的判断[提出问题]函数f (x )＝x 2－4x ＋3图象如图．问题1：函数的零点是什么？ 提示：1,3.问题2：判断f (0)·f (2)与f (2)·f (4)的符号． 提示：∵f (0)＝3，f (2)＝－1，f (4)＝3， ∴f (0)·f (2)<0，f (2)·f (4)<0. [导入新知]函数零点的存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0.那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．[化解疑难]对函数零点存在性的探究(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y ＝1x.(2)当函数y ＝f (x )同时满足：①函数的图象在[a ，b ]上是连续曲线；②f (a )·f (b )<0.则可判定函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(3)当函数y ＝f (x )的图象在[a ，b ]上是连续的曲线，但是不满足f (a )·f (b )<0时，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．求函数的零点[例1] (1)(1)f (x )＝x ＋3x ；(2)f (x )＝x 2＋2x ＋4；(3)f (x )＝2x －3；(4)f (x )＝1－log 3x .[解] (1)令x ＋3x ＝0，解得x ＝－3，所以函数f (x )＝x ＋3x 的零点是x ＝－3.(2)令x 2＋2x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0， 所以方程x 2＋2x ＋4＝0无实数根，所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋4不存在零点． (3)令2x －3＝0，解得x ＝log 23. 所以函数f (x )＝2x －3的零点是x ＝log 23. (4)令1－log 3x ＝0，解得x ＝3， 所以函数f (x )＝1－log 3x 的零点是x ＝3. [类题通法]函数零点的求法求函数f (x )的零点时，通常转化为解方程f (x )＝0，若方程f (x )＝0有实数根，则函数f (x )存在零点，该方程的根就是函数f (x )的零点；否则，函数f (x )不存在零点．[活学活用]判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝－x 2－4x －4； (2)f (x )＝x －1x 2－4x ＋3x －3；(3)f (x )＝4x ＋5； (4)f (x )＝log 3(x ＋1)．解：(1)令－x 2－4x －4＝0，解得x ＝－2，所以函数的零点为x ＝－2. (2)令x －1x 2－4x ＋3x －3＝0，解得x ＝1，所以函数的零点为x ＝1.(3)令4x ＋5＝0，则4x ＝－5<0，即方程4x ＋5＝0无实数根，所以函数不存在零点． (4)令log 3(x ＋1)＝0，解得x ＝0，所以函数的零点为x ＝0. 3.1 函数与方程 第三章 函数的应用判断函数零点所在的区间[例2] (1)x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6m－4－6－6－4n6不求a ，b ，c 的值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根所在的区间是( ) A ．(－3，－1)和(2,4) B ．(－3，－1)和(－1,1) C ．(－1,1)和(1,2) D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)(2)函数f (x )＝lg x －9x 的零点所在的大致区间是( )A ．(6,7)B ．(7,8)C ．(8,9)D ．(9,10)[解析] (1)利用f (a )f (b )<0，则f (x )＝0在(a ，b )内有根来判定．∵f (－3)＝6>0，f (－1)＝－4<0，∴在(－3，－1)内必有根，又由f (2)＝－4<0，f (4)＝6>0，∴在(2,4)内必有根．故选A.(2)∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32<0，f (7)＝lg 7－97<0，f (8)＝lg 8－98<0，f (9)＝lg 9－1<0，f (10)＝lg 10－910>0，∴f (9)·f (10)<0.∴f (x )＝lg x －9x 的零点的大致区间为(9,10)．[答案] (1)A (2)D [类题通法]确定函数零点所在区间的方法确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．[活学活用]若x 0是方程⎝⎛⎭⎫12x ＝x 13的解，则x 0属于区间( ) A.⎝⎛⎭⎫23，1 B.⎝⎛⎭⎫12，23 C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫0，13 解析：选C 构造函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －x 13，则函数f (x )的图象是连续不断的一条曲线，又f (0)＝⎝⎛⎭⎫120－0>0，f ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1213－⎝⎛⎭⎫1313>0，f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1212－⎝⎛⎭⎫1213<0，f ⎝⎛⎭⎫23＝⎝⎛⎭⎫1223－⎝⎛⎭⎫2313<0，所以f ⎝⎛⎭⎫13·f ⎝⎛⎭⎫12<0，故函数的零点所在区间为⎝⎛⎭⎫13，12，即方程⎝⎛⎭⎫12x ＝x 13的解x 0属于区间⎝⎛⎭⎫13，12.判断函数零点的个数[例3] (1)函数f (x )＝ln x －1x －1的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)判断函数f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2的零点个数．(1)在同一坐标系中画出y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象，如图所示，函数y＝ln x 与y ＝1x －1的图象有两个交点，所以函数f (x )＝ln x －1x －1的零点个数为2.[答案] C(2)[解] 法一：∵f (0)＝1＋0－2＝－1<0， f (2)＝4＋lg 3－2>0，∴f (x )在(0,2)上必定存在零点，又f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数， 故f (x )有且只有一个零点．法二：在同一坐标系下作出h (x )＝2－2x 和g (x )＝lg(x ＋1)的草图．由图象知g (x )＝lg(x ＋1)的图象和h (x )＝2－2x 的图象有且只有一个交点，即f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2有且只有一个零点． [类题通法]判断函数零点个数的方法判断函数零点的个数主要有以下几种方法： 法一：直接求出函数的零点进行判断； 法二：结合函数图象进行判断；法三：借助函数的单调性进行判断．若函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a ，b )上单调，满足f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在区间(a ，b )上有且仅有一个零点，如图所示．[活学活用]判断函数f (x )＝x －3＋ln x 的零点个数． 解：法一：令f (x )＝x －3＋ln x ＝0， 则ln x ＝3－x ，在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝ln x 与y ＝－x ＋3的图象， 如图所示：由图可知函数y ＝ln x ，y ＝－x ＋3的图象只有一个交点，即函数f (x )＝x －3＋ln x 只有一个零点． 法二：因为f (3)＝ln 3>0， f (2)＝－1＋ln 2＝ln 2e<0，所以f (3)·f (2)<0，说明函数f (x )＝x －3＋ln x 在区间(2,3)内有零点．又f (x )＝x －3＋ln x 在(0，＋∞)上是增函数，所以原函数只有一个零点．10.因函数图象不连续造成判断失误[典例] 函数f (x )＝x ＋1x 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，当x >0时，f (x )>0；当x <0时，f (x )<0，所以函数没有零点，故选A.[答案] A [易错防范]1．函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出定义域，通过作图，可知函数f (x )＝x ＋1x的图象不是连续的．若忽视该特征，易由f (－1)<0，f (1)>0，得出错误的答案B.2．零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线；二是f (a )·f (b )<0.这两个条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理．[活学活用]函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3； 当x >0时，令－2＋ln x ＝0，解得x ＝e 2，所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x >0有2个零点．[随堂即时演练]1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )解析：选A 观察图象可知A 中图象表示的函数没有零点． 2．函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选C 因为函数f (x )的图象是连续不断的一条曲线，又f (－2)＝e －2－4<0，f (－1)＝e －1－3<0，f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0，f (2)＝e 2>0，所以f (0)·f (1)<0，故函数的零点所在的一个区间是(0,1)．3．已知函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________． 解析：由题意知，方程x 2－ax －b ＝0的两根为2、3，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝－b ， 即a ＝5，b ＝－6，∴方程bx 2－ax －1＝－6x 2－5x －1＝0的根为－12、－13，即为函数g (x )的零点．答案：－12，－134．方程ln x ＝8－2x 的实数根x ∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 解析：令f (x )＝ln x ＋2x －8，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵f (3)＝ln 3－2<0，f (4)＝ln 4>0， ∴零点在(3,4)上，∴k ＝3. 答案：35．求函数f (x )＝log 2x －x ＋2的零点的个数． 解：令f (x )＝0，即log 2x －x ＋2＝0， 即log 2x ＝x －2. 令y 1＝log 2x ，y 2＝x －2.画出两个函数的大致图象，如图所示．有两个不同的交点．所以函数f (x )＝log 2x －x ＋2有两个零点．[课时达标检测]一、选择题1．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值表x12345 6 7f(x)136.13615.552－3.9210.88－52.488－232.06411.238由表可知函数f(x)存在零点的区间有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选D∵f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，f(6)f(7)<0，∴共有4个零点．2．方程0.9x－221x＝0的实数解的个数是() A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选B设f(x)＝0.9x－221x，则f(x)为减函数，值域为R，故有1个．3．函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是()A．a>0 B．a≤0C．a≥0 D．a<0解析：选B函数y＝x2＋a存在零点，则x2＝－a有解，所以a≤0.4．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是()A．a<α<b<βB．a<α<β<bC．α<a<b<βD．α<a<β<b解析：选C∵α，β是函数f(x)的两个零点，∴f(α)＝f(β)＝0.又f(x)＝(x－a)(x－b)－2，∴f(a)＝f(b)＝－2<0.结合二次函数f(x)的图象，如图所示，可知，a，b必在α，β之间，只有C满足．5．已知x0是函数f(x)＝2x＋11－x的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则()A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0解析：选B在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x和函数y＝1x－1的图象，如图所示，由图可知函数y＝2x和函数y＝1x－1的图象只有一个交点，即函数f (x )＝2x ＋11－x只有一个零点x 0，且x 0>1.因为x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，所以由函数图象可知，f (x 1)<0，f (x 2)>0. 二、填空题6．函数f (x )＝ln x －x 2＋2x ＋5的零点个数为________．解析：令ln x －x 2＋2x ＋5＝0得ln x ＝x 2－2x －5，画图可得函数y ＝ln x 与函数y ＝x 2－2x －5的图象有2个交点，即函数f (x )的零点个数为2.答案：27．若f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，则b 的取值范围为________． 解析：∵f (x )＝x ＋b 是增函数，又f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 0<0，f1>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧b <0，1＋b >0.∴－1<b <0. 答案：(－1,0)8．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点，由图象可知当0<a <1时两函数的图象只有一个交点，不符合；当a >1时，因为函数y ＝a x (a >1)的图象过点(0,1)，当直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点(0，a )在(0,1)的上方时一定有两个交点．所以a >1.答案：(1，＋∞) 三、解答题9．已知函数f (x )＝2x －x 2，问方程f (x )＝0在区间[－1,0]内是否有解，为什么？ 解：因为f (－1)＝2－1－(－1)2＝－12<0，f (0)＝20－02＝1>0，而函数f (x )＝2x －x 2的图象是连续曲线，所以f (x )在区间[－1,0]内有零点，即方程f (x )＝0在区间[－1,0]内有解．10．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4，在下列条件下，求实数a 的取值范围． (1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．解：(1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2－16≥0，f 1＝5－2a >0，a >1，解得2≤a ＜52.(2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)＝5－2a<0，解得a>52.(3)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧f0＝4>0，f1＝5－2a<0，f6＝40－12a<0，f8＝68－16a>0，解得103<a<174.3．1.2用二分法求方程的近似解二分法[提出问题]在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖给选手．某次竞猜的物品为价格在1000元之内的一款手机，选手开始报价，选手说“800”，主持人说“高了”；选手说“400”，主持人说“低了”．问题1：如果是你，你知道接下来该如何竞猜吗？提示：应猜400与800的中间值600.问题2：通过这种方法能猜到具体价格吗？提示：能．[导入新知]1．二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection)．2．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：第一步，确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε.第二步，求区间(a，b)的中点c.第三步，计算f(c)：(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二至四步．[化解疑难]利用二分法求方程近似解的过程图示二分法的概念[例1] (1)A ．y ＝x ＋7 B ．y ＝5x －1 C ．y ＝log 3xD ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x－x(2)以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是( )[解析] (1)A × 解方程x ＋7＝0，得x ＝－7B × 解方程5x －1＝0，得x ＝0C × 解方程log 3x ＝1，得x ＝1 D√无法通过方程⎝⎛⎭⎫12x －x ＝0得到零点(2)根据二分法的思想，函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象连续不断，且f (a )·f (b )<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a ，b ]一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A ，B ，D 都符合条件，而选项C 不符合，图象经过零点时函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点．[答案] (1)D (2)C [类题通法]二分法的适用条件判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．[活学活用]已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A．4,4B．3,4C．5,4 D．4,3解析：选D图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.用二分法求函数的零点[例2]求函数f(x[解]由于f(－2)＝－1<0，f(－3)＝4>0，故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点的值中点函数近似值(－3，－2)－2.5 1.25(－2.5，－2)－2.250.062 5(－2.25，－2)－2.125－0.484 4(－2.25，－2.125)－2.1875－0.214 8(－2.25，－2.187 5)－2.218 75－0.077 1由于|－2.25－(－2.187 5)|＝0.062 5<0.1，所以函数的一个近似负零点可取－2.25.[类题通法]利用二分法求函数零点应关注三点(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小．(2)用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间．(3)根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算．[活学活用]证明函数f (x )＝2x ＋3x －6在区间[1,2]内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1)．解：由于f (1)＝－1<0，f (2)＝4>0，又函数f (x )在[1,2]内是增函数，所以函数在区间[1,2]内有唯一零点，不妨设为x 0，则x 0∈[1,2]．下面用二分法求解.(a ，b ) (a ，b ) 的中点 f (a ) f (b ) f (a ＋b 2) (1,2) 1.5 f (1)<0 f (2)>0 f (1.5)>0 (1,1.5) 1.25 f (1)<0 f (1.5)>0 f (1.25)>0 (1,1.25) 1.125 f (1)<0 f (1.25)>0 f (1.125)<0 (1.125,1.25) 1.187 5f (1.125)<0f (1.25)>0f (1.187 5)<0因为|1.187 5－1.25|＝0.062 5<0.1，所以函数f (x )＝2x ＋3x －6的精确度为0.1的近似零点可取为1.25.用二分法求方程的近似解[例3] [解] 令f (x )＝2x 3＋3x －3，经计算，f (0)＝－3<0，f (1)＝2>0，f (0)·f (1)<0， 所以函数f (x )在(0,1)内存在零点， 即方程2x 3＋3x ＝3在(0,1)内有解． 取(0,1)的中点0.5，经计算f (0.5)<0， 又f (1)>0，所以方程2x 3＋3x －3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：(a ，b ) 中点c f (a ) f (b ) f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2(0,1) 0.5 f (0)<0 f (1)>0 f (0.5)<0 (0.5,1) 0.75 f (0.5)<0 f (1)>0 f (0.75)>0 (0.5,0.75) 0.625 f (0.5)<0 f (0.75)>0 f (0.625)<0 (0.625,0.75) 0.6875f (0.625)<0f (0.75)>0f (0.687 5)<0(0.687 5,0.75) |0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1由于|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解． [类题通法]用二分法求方程的近似解应明确两点(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f (x )＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．(2)对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．[活学活用]求方程lg x＝3－x的近似解(精确度0.1)．解：分别画函数y＝lg x和y＝3－x的图象，如图所示，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程lg x＝3－x的解．由函数y＝lg x与y＝3－x的图象可以发现，方程lg x＝3－x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2,3)内．设f(x)＝lg x＋x－3，利用计算器计算得：f(2)<0，f(3)>0⇒x1∈(2,3)；f(2.5)<0，f(3)>0⇒x1∈(2.5,3)；f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x1∈(2.5,2.75)；f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x1∈(2.5,2.625)；f(2.562 5)<0，f(2.625)>0⇒x1∈(2.562 5,2.625)；因为2.625－2.562 5＝0.062 5<0.1，所以此方程的近似解可取为2.625.11.对精确度的理解不正确导致错误[典例]用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]内的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度0.1)．[解析]因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1，所以区间[0.687 5,0.75]内的任何一个值都可作为方程的近似解．[答案]0.75(答案不唯一)[易错防范]1．由于f(0.625)<0，f(0.75)>0，故在区间(0.625,0.75)内也存在零点，但|0.75－0.625|>0.1，所以不符合精确度0.1的要求，解决本题时极易忽视此条件而导致解题错误．2．利用二分法求方程的根，在计算到第几步时，区间(a n，b n)的长度应小于精确度．[活学活用]用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.600 0)＝0.200f(1.587 5)＝0.133f(1.575 0)＝0.067f(1.562 5)＝0.003f(1.556 2)＝－0.029f(1.550 0)＝－0.060解析：由表中数据可知：f(1.562 5)·f(1.556 2)＜0.而|1.562 5－1.556 2|＝0.006 3＜0.1.∴零点x0∈(1.556 2,1.562 5)可取零点为1.556 2(或1.562 5)．答案：1.556 2或(1.562 5)[随堂即时演练]1．下列函数不宜用二分法求零点的是()A．f(x)＝x3－1B．f(x)＝ln x＋3C．f(x)＝x2＋22x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1解析：选C因为f(x)＝x2＋22x＋2＝(x＋2)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A．[－2,1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2]解析：选A∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．A.3．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0，由零点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点，用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝________.解析：显然(1,4)的中点为2.5，则f(a)＝f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.答案：－2.254．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实数根时，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．解析：∵f(2)<0，f(2.5)>0，∴下一个有根区间是(2,2.5)．答案：(2,2.5)5．求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1)．解：设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0.∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.取2与3的平均数2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，∴2<x0<2.5；再取2与2.5的平均数2.25，∵f (2.25)＝－0.437 5<0， ∴2.25<x 0<2.5； 如此继续下去，有f (2.375)<0，f (2.5)>0⇒x 0∈(2.375,2.5)； f (2.375)<0，f (2.437 5)>0⇒x 0∈(2.375,2.437 5)． ∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，∴方程x 2＝2x ＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.4375.[课时达标检测]一、选择题1．下列关于函数f (x )，x ∈[a ，b ]的命题中，正确的是( ) A ．若x 0∈[a ，b ]且满足f (x 0)＝0，则x 0是f (x )的一个零点 B ．若x 0是f (x )在[a ，b ]上的零点，则可以用二分法求x 0的近似值C ．函数f (x )的零点是方程f (x )＝0的根，但f (x )＝0的根不一定是函数f (x )的零点D ．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解解析：选A 使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件B 不正确；f (x )＝0的根也一定是函数f (x )的零点，C 不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D 不正确，只有A 正确．2．用二分法求图象是连续不断的函数f (x )在x ∈(1,2)内零点近似值的过程中得到f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则函数的零点落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定解析：选B 因为f (1.5)>0，f (1.25)<0，所以f (1.5)·f (1.25)<0，则函数的零点落在区间(1.25,1.5)． 3．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算得f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容分别为( )A ．(0,0.5)，f (0.25)B ．(0.1)，f (0.25)C ．(0.5,1)，f (0.25)D ．(0,0.5)，f (0.125)解析：选A ∵f (0)<0，f (0.5)>0，∴f (0)·f (0.5)<0，故f (x )的一个零点x 0∈(0,0.5)，利用二分法，则第二次应计算f ⎝⎛⎭⎫0＋0.52＝f (0.25)．4．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似解(精确度0.04)为( ) A ．1.5 B ．1.25 C ．1.375D ．1.437 5解析：选D 由参考数据知，f (1.406 25)≈－0.054，f (1.437 5)≈0.162，即f (1.406 25)·f (1.437 5)<0，且1.437 5－1.406 25＝0.031 25<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.43 75，故选D.5．已知曲线y ＝(110)x 与y ＝x 的交点的横坐标是x 0，则x 0的取值范围是( )A ．(0，12)B.12 C ．(12，1)D ．(1,2)解析：选A 设f (x )＝(110)x －x ，则f (0)＝1>0，f (12)＝(110)12－12＝0.1－0.25<0， f (1)＝110－1<0，f (2)＝(110)2－2<0，显然有f (0)·f (12)<0.二、填空题6．某方程有一无理根在区间D ＝(1,3)内，若用二分法求此根的近似值，将D 等分________次后，所得近似值可精确到0.1.解析：由3－12n <0.1，得2n －1>10，∴n －1≥4，即n ≥5.答案：57．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．解析：将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币． 答案：48．某同学在借助计算器求“方程lg x ＝2－x 的近似解(精确到0.1)”时，设f (x )＝lg x ＋x －2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________________．解析：第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5)．答案：1.5,1.75,1.875,1.812 5三、解答题9．从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现某接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，一般最多需要检查多少个接点？解：先检查中间的1个接点，若正常，则可断定故障在其另一侧的7个接点中；然后检查这一段中间的1个接点，若仍正常，则可断定故障在其另一侧的3个接点中；最后只需检查这3个接点中间的1个，即可找出故障所在．故一般最多只需检查3个接点．10．判断函数f(x)＝2x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似值(精确度0.1)．解：f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，即f(0)·f(1)<0，f(x)在(0,1)内有零点，又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(x)只有一个零点x0∈(0,1)．取区间(0,1)的中点x1＝0.5，f(0.5)＝－0.75<0，∴f(0.5)·f(1)<0，即x0∈(0.5,1)．取区间(0.5,1)的中点x2＝0.75，f(0.75)＝－0.156 25<0，∴f(0.75)·f(1)<0.即x0∈(0.75,1)．取区间(0.75,1)的中点x3＝0.875，f(0.875)≈0.34>0.∴f(0.75)·f(0.875)<0.即x0∈(0.75,0.875)．取区间(0.75,0.875)的中点x4＝0.812 5，f(0.812 5)＝0.073>0.∴f(0.75)·f(0.812 5)<0，即x0∈(0.75,0.812 5)，而|0.812 5－0.75|<0.1.所以，f(x)的零点的近似值可取为0.75.3.2函数模型及其应用3．2.1几类不同增长的函数模型指数函数、对数函数、幂函数模型[提出问题]观察如表给出的函数值：x 12345678910 f(x)＝2x2481632641282565121024 2x＋1－2x2481632641282565121024 g(x)＝x2149162536496481100 (x＋1)2－x23579111315171921h(x)＝log2x 011.58522.32192.5852.80743 3.16993.3219log2(x＋1)－log2x 10.5850.4150.32190.26310.22240.19260.16990.15200.1375问题1：函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值有什么共同的变化趋势？提示：函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值增大．问题2：函数f(x)，g(x)，h(x)增长的速度有什么不同？提示：各函数增长的速度不同，其中f(x)＝2x增长的最快，其次是g(x)＝x2，最慢的是h(x)＝log2x.[导入新知]指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，使得当x>x0时，就有log a x<x n<a x(a>1，n>0)．[化解疑难]对比指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势函数性质y＝a x(a>1) y＝log a x(a>1) y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数增长的速度先慢后快先快后慢相对平稳图象的变化随着x的增大逐渐加快增大随着x的增大逐渐减慢增大随n值的不同而不同考查函数模型的增长差异[例1]1234x 151015202530y1226101226401626901y2232102432768 1.05×106 3.36×107 1.07×109y32102030405060y42 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 关于[解析]从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x 呈指数函数变化．以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．故填y2.[答案]y2[类题通法]常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y＝log a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数模型幂函数y ＝x n (n >0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． [活学活用]今有一组实验数据如下：t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( ) A ．v ＝log 2t B ．v ＝log 12tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －2解析：选C 从表格中看到此函数为单调增函数，排除B ，增长速度越来越快，排除A 和D ，选C.指数函数、对数函数与幂函数模型的比较[例x 11(x 2，y 2)，且x 1<x 2.(1)请指出图中曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f (6)，g (6)，f (2 011)，g (2 011)的大小． [解] (1)C 1对应的函数为g (x )＝x 3，C 2对应的函数为f (x )＝2x .(2)∵f (1)>g (1)，f (2)<g (2)，f (9)<g (9)，f (10)>g (10)，∴1<x 1<2,9<x 2<10，∴x 1<6<x 2,2 011>x 2. 从图象上可以看出，当x 1<x <x 2时，f (x )<g (x )， ∴f (6)<g (6)．当x >x 2时，f (x )>g (x )，∴f (2 011)>g (2 011)． 又g (2 011)>g (6)，∴f (2 011)>g (2 011)>g (6)>f (6)． [类题通法]由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．[活学活用]函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图象如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)．解：(1)C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x .(2)当x <x 1时，g (x )>f (x )；当x 1<x <x 2时，f (x )>g (x )；当x >x 2时，g (x )>f (x )；当x ＝x 1或x ＝x 2时，f (x )＝g (x ).函数模型的选取[例3] 43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：年份 2010 2011 2012 产量8(万)18(万)30(万)如果我们分别将2010、2011、2012、2013定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数模型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y 与年份x 的关系？[解] 建立年销量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)． (1)构造二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 将点坐标代入， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0，则f (x )＝x 2＋7x ，故f (4)＝44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)， 将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42，则g (x )＝1253·⎝⎛⎭⎫65x －42，故g (4)＝1253·⎝⎛⎭⎫654－42＝44.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年销量y 与年份x 的关系． [类题通法]不同函数模型的选取标准不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律： (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．[活学活用]某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？解：借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5,100]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．12.搞错函数的变化规律而致误[典例]下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()A．y＝1100ex B．y＝100ln x C．y＝x100D．y＝100·2x [解析]指数爆炸式形如指数函数．又e>2，∴1100ex比100·2x增大速度快．[答案] A [易错防范]1．影响指数型函数增长速度的量是指数函数的底数，而并非其系数，本题易发生误认为100>1100，所以100·2x比1100ex增大速度快的错误结论．2．函数y＝a·b x＋c(b>0，且b≠1，a≠0)图象的增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b>1，a>0)，常形象地称为指数爆炸．[活学活用]四人赛跑，假设他们跑过的路程f i(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关。
河北省高一数学上册第三单元《函数的应用》全套教案
河北省高一数学上册第三单元《函数的应用》全套教案本单元以函数的应用为主题，分为两节，通过本单元学习，引导学生明白通过对二次函数图象的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象思想,领会函数与相应方程实数根之间关系的表示方法。
3.1 函数与方程教学课时：2课时方程的根与函数的零点（第一课时）教学目标：1.理解集合的含义。
2.了解元素与集合的表示方法及相互关系。
3.熟记有关数集的专用符号。
4.培养学生认识事物的能力。
教学重点：集合含义教学难点：集合含义的理解。
学前准备：学生准备数集卡片/材料，多媒体。
新1、零点的概念 初步提出零点的概念：-1、3既是方程x 2－2x －3＝0的根，又是函数y ＝x 2－2x －3在y ＝0时x 的值，也是函数图象与x 轴交点的横坐标。
-1、3在方程中称为实数根，在函数中称为零点。
提出零点的定义：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．2、函数零点的判定： 研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点，也就是研究函数的图象与x 轴的交点情况。
一般地，我们有：如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f （a ）·f （b ）<0，那么函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ∈（a ，b ），使得f （c ）=0，这个c 也就是方程f （x ）＝0的根．问题1 求方程x 2－2x －3＝0的实数根，并画出函数y ＝x 2－2x －3的图象； 方程x 2－2x －3＝0的实数根为-1、3。
函数y＝x 2－2x －3的图象如图所示。
问题 2 观察形式上函数y ＝x 2－2x －3与相应方程x 2－2x －3＝0的联系。
函数y ＝0时的表达式就是方程x 2－2x －3＝0。
问题 3 由于形式上的联系，则方程x 2－2x －3＝0的实数根在函数y ＝x 2－2x －3的图象中如何体现？y ＝0即为x 轴，所以方程x 2－2x －3＝0的实数根就是y ＝x 2－2x －3的图问题4 函数y＝x 2－2x ＋1和函数y ＝x 2－2x ＋3零点分别是什么？函数y ＝x 2－2x ＋1的零点是-1。
高一数学函数的应用知识点
高一数学函数的应用知识点数学是一门抽象而又具体的学科，而函数则是数学中的一个重要概念。
在高一学习数学时，函数的应用是必不可少的一部分。
通过函数的应用，我们可以解决现实生活中的实际问题，也可以更好地理解数学的抽象概念。
本文将重点介绍高一数学函数的应用知识点，并探讨它们的实际应用。
1. 直线方程和函数直线是我们生活中最常见的几何形状之一。
在高一数学中，我们会学习直线的方程和性质，以及如何使用直线方程解决问题。
直线方程一般是以函数的形式表示，即y = kx + b。
这里，k表示直线的斜率，b表示直线与y轴的交点。
通过直线方程，我们可以计算一个点的坐标，或者判断两条直线的位置关系，甚至可以用直线方程来表示实际问题中的变化规律。
例如，我们可以利用直线方程解决汽车行驶问题。
假设一辆汽车以每小时60公里的速度匀速行驶，那么可以根据直线方程y = 60x，计算车辆行驶t小时后的位置坐标(y, x)。
2. 复利函数复利是金融领域中一个重要的概念。
复利函数描述了一笔贷款或投资在一段时间内的增长情况。
复利函数的一般形式是A = P(1 + r/n)^(nt)，其中A表示最终的金额，P表示初始金额，r表示年利率，n表示每年的复利次数，t表示时间。
通过复利函数，我们可以计算贷款或投资在未来的价值，也可以比较不同贷款或投资方案的优劣。
例如，假设你计划投资一笔资金，可以通过复利函数计算每年的收益，以帮助你做出最优的投资决策。
3. 幂函数幂函数也是高一数学中的一个重要知识点。
幂函数的一般形式是y = ax^b，其中a和b是常数，x是自变量。
幂函数描述了自变量和因变量之间的指数关系。
通过幂函数，我们可以研究各种增长或衰减问题，例如人口增长、细胞分裂等。
幂函数的特点是当b>1时，自变量的增加对应着因变量的急剧增加；当0<b<1时，自变量的增加对应着因变量的缓慢增加。
举个例子，假设某公司的年利润与年销售额之间存在一种幂函数关系，可以通过幂函数来预测公司未来的盈利情况。
高一三角函数应用题
高一三角函数应用题在数学学科中，三角函数是一个非常重要的概念。
在实际应用中，三角函数也经常被用到。
下面列举了一些高一三角函数应用题：例1：一个杆长为 $12\ m$ 的斜杆，从水平面上 $5\ m$ 的地方朝上倾斜，杆的顶端离墙面 $4\ m$ ，求斜杆与墙面的夹角 $x$。
我们可以将杆与地面、墙面分别看成三角形的一条边，将斜杆看成两条垂线切分成两个三角形。
通过三角函数中正切函数的定义（$tanx=\frac{对边}{邻边}$），可以得到：$tanx=\frac{4}{5}$因此，$x=tan^{-1}\frac{4}{5}$，$x\approx38.66^{\circ}$。
例2：太阳直线照到地球的位置已过远日点 $110^{\circ}$ ，此时太阳的高度角是多少？太阳直线与地球的连线在地球上有一点，该点处的竖直方向即为测量的高度角所在直线。
因此，我们可以将太阳直线看成三角形的一条边，地球的垂线和太阳直线在地球上的连线看成另一条边。
通过三角函数中余弦函数的定义（$cos\theta=\frac{邻边}{斜边}$），可以得到：$cos\theta=cos(180^{\circ}-110^{\circ})=cos70^{\circ}$因此，$\theta=cos^{-1}cos70^{\circ}$，$\theta\approx20.00^{\circ}$。
例3：一条高压电线杆高为 $25\ m$ ，距离公路为 $20\ m$，在公路上安装摄影测量仪测得向上仰角为 $18.4^{\circ}$ ，向下仰角为$28.3^{\circ}$，求高压电线的高度。
我们可以将高压电线杆、公路、摄影测量仪看成一个三角形，高压电线杆、摄影测量仪、地面看成另一个三角形。
将两个三角形的两个夹角相加，可以得到：$(180^{\circ}-18.4^{\circ}-28.3^{\circ})+(180^{\circ}-90^{\circ})+x=180^{\circ}$化简得：$x=21.7^{\circ}$接下来又可以使用正切函数得到：$tan21.7^{\circ}=\frac{25}{h}$因此，$h=\frac{25}{tan21.7^{\circ}}$，$h\approx63.6\ m$。
高一数学函数题型及解题技巧总结
高一数学函数题型及解题技巧总结在高一数学中，函数是一个非常重要的概念，它在数学中的地位非常重要。
函数不仅在数学理论中占有重要地位，而且在实际生活中也有很多应用。
因此，学好函数对于高一学生来说至关重要。
下面我们将从函数的基本概念入手，逐步介绍高一数学中常见的函数题型及解题技巧。
一、函数的基本概念首先，我们来了解一下函数的基本概念。
在数学中，函数是一种对应关系，它可以将某一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的一个元素上。
通常用f(x)来表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。
在函数中，自变量的取值范围叫做定义域，因变量的取值范围叫做值域。
函数又可以分为初等函数和非初等函数两大类。
初等函数包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等；非初等函数包括幂函数、指数对数函数、三角反三角函数等。
二、高一数学中常见的函数题型1.多项式函数的性质题多项式函数是高中数学中的一个重要内容。
多项式函数的性质题一般包括函数的奇偶性、增减性、最值等。
解这类题目首先要对函数的解析式进行化简，然后根据化简后的函数性质进行分析，找出相应的结论。
解题技巧：1）对于奇偶性的判断，可以利用f(-x)和f(x)来进行判断。
如果f(-x)=f(x)，则是偶函数，如果f(-x)=-f(x)，则是奇函数。
2）对于增减性的判断，可以通过求导或者利用一阶导数的符号进行判断。
3）对于最值的求解，可以通过求导或者利用函数的性质进行判断。
2.指数函数与对数函数的相关题型指数函数与对数函数是初等函数中的重要内容。
它们在数学中有着重要的应用，如在增长与衰减、复利等方面。
指数函数与对数函数的相关题型主要包括函数的性质、指数方程与对数方程的解法、幂函数与对数函数的互化等。
这类题目的解题关键在于熟练掌握指数对数函数的性质以及运用性质解题。
解题技巧：1）对于指数函数与对数函数的性质题，可以利用函数的定义以及性质进行分析求解。
2）对于指数方程与对数方程的解法，可以利用换底公式、对数的性质等进行求解。
高一数学教案：函数的应用_3
（A）a（1+b%） 万元（B）a（1+b%） 万元
（C）a（1+b%） 万元（D）a[1+（b%） ]万元
4、对于5年可成材的树木，从栽种到5年成材的木材年生长率为18%，以后木材的年生长率为10%。树木成材后，既可以出售树木，重栽新树苗；也可以让其继续生长。
A x 120km
D B
15km
C
[作业]
1、如图，如果某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长11%，那么经过x年可以增长到原来的y倍，则函数y= 的图象大致是（）
y y y y
11
o x o 1 x o x ox
2、一商品零售价2001年比2000年上涨25%，欲控制2002年比2000年只上涨10%，则2002年应比2001年降价—————%。
M1M2M3
. . . . . .
-2 -1 0 1 2 3x
例2、在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，……，an，共n个数据。我们规定所测得的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较a与个数据差的平方和最小，以此规定，从a1，a2，……，an推出的a=————————————。
问：哪一种方案可获得较大的木材量？（注：只需考虑10年的情形）
[提示：（1+10%） ≈1.61]
教学内容
备课札记
[例题分析]
例1、三台机器人位于一直线上（如图所示），它们所生产的零件逐一送到一个检验台，经检验合格后才能送到下一道工序继续加工。已知机器人M1的工作效率为机器人M2的工作效率的2倍，机器人M3的工作效率是机器人M2的工作效率的3倍。问：检验台应放在和处最好？（即各机器人到检验台所走的距离之和最小）
高一数学(人教B版)-同角三角函数的基本关系式的应用-3学习任务单
《同角三角函数的基本关系式的应用》学习任务单【学习目标】1.进一步理解同角三角函数的基本关系式，并在具体问题中灵活应用公式解决同角三角函数的求值、化简、证明等问题；2.进一步体会方程思想和转化与划归的数学思想方法的运用，进一步发展数学运算的能力，形成规范化思考问题的品质. 【课前预习任务】同角三角函数的基本关系式. 【课上学习任务】1.利用已知的代数式的值，求解同角的其他代数式的值.例1已知sin cos 5αα-=-，求tan α的值.变式1已知sin cos αα-=sin cos αα的值.变式2 已知sin cos αα-=，32παπ<<，求sin cos αα+的值.变式3已知sin cos 5αα-=-，求sin 2cos αα+的值. 回顾以上问题的解题思路，对比之后你有什么想法？ 2.利用同角三角函数的基本关系式化简三角式. 回顾：初中所学代数式化简的基本思路. 问题：从哪些方面分析理解三角式？例2化简sin cos tan 1θθθ--.3.利用同角三角函数的基本关系式证明三角恒等式. 回顾：恒等式证明的方法 例3求证：（1）442sin cos 2sin 1ααα-=-；（2）2222tan sin tan sin αααα-=； （3）cos 1sin 1sin cos αααα+=-. 4. 在解决以上问题的过程中，总结从哪些角度理解运算对象？如何探究运算思路？ 【课后作业】 作业一：1. 已知sin cos αα+=. （1）sin cos αα； （2）44sin cos αα+； （3）44sin cos αα-.2. 化简.（1）cos tan θθ； （2）()()1sin 1sin θθ-+； （3）22(1tan )cos αα+； （4）222sin tan cos ααα+. 3. 求证：（1）4422sin cos sin cos αααα-=-；（2）4222sin sin cos cos 1αααα++=；（3）222sin (sin cos )1tan αααα+=+.作业二：梳理一下本节课的收获：学到了哪些知识？学到了哪些研究方法？思考用同角三角函数的基本关系式能解决什么问题？ 【课后作业参考答案】 作业一答案详解：1. 已知sin cos αα+=. （1）sin cos αα； （2）44sin cos αα+； （3）44sin cos αα-.解：（1）由sin cos αα+=12sin cos 2αα+=，所以1sin cos 2αα=； （2）()244222211sin cos sin cos 2sin cos 1242αααααα+=+-=-⨯=；（3）()()442222sin cos sin cos sin cos αααααα-=+-()())sin cos sin cos sin cos αααααα=+-=-因为()2221sin cos sin cos 2sin cos 1202αααααα-=+-=-⨯=， 所以44sin cos 0αα-=. 2. 化简.（1）cos tan θθ； （2）()()1sin 1sin θθ-+； （3）22(1tan )cos αα+； （4）222sin tan cos ααα+. 解：（1）sin cos tan cos sin cos θθθθθθ==； （2）()()221sin 1sin 1sin cos θθθθ-+=-=；（3）22222222sin (1tan )cos cos cos cos sin 1cos αααααααα+=+=+=；（4）22222sin sin cos 2sin cos ααααα+=.3. 求证：（1）4422sin cos sin cos αααα-=-；（2）4222sin sin cos cos 1αααα++=；（3）222sin (sin cos )1tan αααα+=+.证明：（1）左边()()()222222sin cos sin cos sin cos αααααα=+-=-=右边； 因此4422sin cos sin cos αααα-=-.（2）左边222222sin (sin cos )cos sin cos 1αααααα=++=+==右边； 因此4222sin sin cos cos 1αααα++=.（3）左边22sin cos 2sin cos 12sin cos αααααα=++=+；右边222sin cos 112sin 12sin cos tan sin ααααααα=+=+=+ 因此222sin (sin cos )1tan αααα+=+.。
高一数学必修一函数题型与解法
高一数学必修一函数题型与解法函数的定义函数是一种描述两个数集之间关系的规则，它将自变量的值对应到因变量的值上。
通常用符号y=f(x)表示，其中x是自变量，y是因变量，f(x)表示函数的运算规则。
函数的解题方法1.函数的图象与解析式之间的转化函数可以用图象表示，也可以用解析式表示。
图象可以帮助我们更直观地理解函数的性质和特点，而解析式则便于计算和推导。
因此，函数的图象与解析式之间的转化是十分重要的。
对于已知函数的图象，要根据图象求出函数的解析式，可以通过观察图象上点的坐标来找到函数的规律。
例如，对于线性函数y=kx+b，可以通过观察函数图象上两个点的坐标来确定k和b的值。
对于其他函数，我们可以通过观察函数图象的特点，如最值、对称轴、零点等来确定函数的解析式。
对于已知函数的解析式，要根据解析式求出函数的图象，可以通过转换解析式的形式，如改变k和b的值、对解析式加减乘除等操作，来确定函数的图象。
例如，对于一次函数y=kx+b，可以通过改变k和b的值来确定函数的斜率和截距，从而确定函数图象的性质。
2.函数的性质与判断在解题过程中，我们常常需要根据已知条件判断函数的一些性质。
下面介绍一些常见的函数性质及其判断方法。
奇偶性：若对于函数中的任意一个数a，都有f(-a)=-f(a)，则函数f(x)是奇函数；若对于函数中的任意一个数a，都有f(-a)=f(a)，则函数f(x)是偶函数；若对于函数中的任意一个数a，都有f(-a)≠-f(a)，且存在一些点b，有f(-b)=f(b)，则函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数。
判断奇偶性的方法很简单，只需要将函数的自变量用负号代入函数中计算即可。
单调性：若对于任意的x1<x2，有f(x1)<f(x2)，则函数f(x)是递增函数；若对于任意的x1<x2，有f(x1)>f(x2)，则函数f(x)是递减函数；若对于任意的x1<x2，总存在x1'和x2'，有x1<x1'<x2'<x2，使得f(x1')<f(x2')，则函数f(x)是不单调函数。
函数的应用高一知识点总结
函数的应用高一知识点总结函数在数学上是一个对应关系，在编程中，函数是封装了某个功能的代码块。
它可以重复调用，提高代码的可复用性。
在高中数学和编程课程中，函数是一个非常重要的知识点。
下面将从数学和编程两个角度对函数的应用进行总结。
一、数学中的函数1. 函数的定义在数学中，函数是两个集合之间的一种特殊关系。
当一个元素与另一个元素之间有唯一的对应关系时，就可以说这种关系是一个函数。
通常表示为：对于任意的x，都存在唯一的y与之对应。
在这个定义中，x称为自变量，y称为因变量。
2. 函数的图像函数的图像是自变量与因变量之间关系的几何表示。
通常用坐标轴上的点来表示函数的图像。
对于一元函数，可以用平面直角坐标系来表示函数的图像。
对于二元函数，可以用空间直角坐标系来表示函数的图像。
3. 函数的性质函数有很多性质，例如定义域、值域、增减性、奇偶性、周期性等。
这些函数的性质可以帮助我们更深入地了解函数的特点和行为。
4. 函数的应用函数在数学中有很多应用，例如描述物体的运动、表示经济模型、解决实际问题等。
二、编程中的函数1. 函数的定义在编程中，函数是一段封装了特定功能的代码块。
函数可以接收输入参数，进行特定操作，然后返回结果。
函数的定义通常包括函数名、参数列表、函数体和返回值。
通过调用函数，我们可以在程序中重复使用相同的功能。
2. 函数的调用函数的调用是指在程序中使用已定义的函数。
可以通过函数名和参数列表来调用函数。
当函数被调用时，程序会执行函数体中的代码，然后返回结果。
3. 函数的参数函数可以接收输入参数，参数将作为函数的输入，函数会根据参数执行相应的操作。
参数可以是任意类型的数据，通过参数，我们可以让函数更加灵活和通用。
4. 函数的返回值函数可以返回一个结果，这个结果可以被程序中的其他部分使用。
返回值可以是任意类型的数据，通过返回值，我们可以获取函数的执行结果。
5. 函数的应用在编程中，函数可以帮助我们组织程序结构，提高代码的可读性和可维护性。
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(2) 第20小时小白鼠体内的病毒细胞数为
20 2 19 m 2 (1 98 0 ) m 0 100
个，
设第一次注射药物后的第t小时必须注射药物，则
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； 杏耀： ；
境,也将很不妙.吕琴等声,已经是与鞠氏在壹条船上,新城主要对付鞠氏,必定也不会放过他们.现在知道新城主是鞠天英,那他们の压历,自然也与鞠氏壹样都消失了.<!--叁陆伍肆壹+d捌零ok零bo+壹捌壹陆伍壹玖陆-->第叁玖柒章打砸章敏峰随着鞠天英成为西墎城城主消息传开后,呐个 城市,再次沸抛起来.鞠氏の家族实历,本就已经冠绝西墎城,目前城市内没有任何壹个家族能与鞠氏正面抗衡.现在鞠氏长老鞠天英还成了西墎城城主,那以后西墎城地域,还不要彻底被鞠氏所掌控?壹些对鞠氏忠心の势历,听到呐个消息,倒是都很高兴.鞠氏の强盛,对于他们呐些家族来说 并不是坏事,而是好事.跟着鞠氏有肉吃,他们の家族发展也会越来越好.他们没有野心,说未来他们要凌驾于鞠氏之上.没有呐种野心,他们就自在安逸の很.而那些心怀鬼胎の势历,就如同坐蜡了.他们之前还期待着新城主能抗衡鞠氏,他们好趁机浑水摸鱼壮大家族,可没想到新城主却是鞠 氏声.得到呐个消息,他们直接就傻眼了.在傻眼过后,他们也不得不考虑以后の出路,他们似乎没有更多の选择,要么是死心塌地跟随鞠氏,要么可能就只能迁徙离开西墎城.反正在西墎城地域内,想要超过鞠氏,显然是不太可能.壹旦他们表露出异心,鞠氏绝对不会放过他们.关于新城主任 命呐件事,在整个城市内被议论着.“郡尪大声为何任命鞠天英为新城主?”“无法理解啊！郡尪大声,会知道西墎城壹个家族の长老?”“显然是知道の,不仅知道,还将鞠天英任命成新城主了！”“真是走运啊！鞠天英实历虽然不俗,可也只是先天巅峰境界,并未踏入道灵境！俺去过の 城市也有数拾个之多,可还从未见过哪壹个城市の城主,只有先天境界の道行.”“呐个倒是也能理解！现在の西墎城与过去不同了,现在の西墎城,鞠氏壹枝独秀.所以就算鞠天英不是道灵境,有鞠氏在背后支持,再加上城主府の甲胄卫队,全部足够了！”“说の也是！”“你们都不知道 郡尪大声为何任命鞠天英为新城主吧?”壹座酒楼中,壹名中年修行者,看装束也是冒险者,他眯着眼睛道.“俺们不知道,难道你知道?”其他声都看向此声.“俺确实是知道の！那鞠天英能成为城主,全部是由于鞠言の缘故.呐个鞠言,据说与郡尪大声都成了便宜,鞠言要西墎城城主,郡尪 就给了.”呐中年修行者,低沉の嗓音,在酒楼内蔓延开.所有声都瞪着眼睛,露出难以置信の申色.……道壹学院,内院道壹山之上.“邓青师兄,呐就是章敏峰了！”壹名内院学员,谦恭の在另壹名学员面前,指着属于鞠言の章敏峰道.“走！上去！俺倒要看看,呐个叫鞠言の小畜生,是个哪 个模样！是不是有三头陆臂！”那叫邓青の学员,恶狠狠の咒骂道.邓青,是道壹学院内院南峰上の学员,此声今年四拾余岁,在整个内院之中,名气都极大.尤其是在南峰之上,更是伍拾岁之下学员中の翘晋.壹行声,气焰章狂の冲上章敏峰.“师兄,那小畜生不在！”经过壹番搜寻后,他们 确定鞠言此事不在章敏峰上.“哼！莫非是知道俺要来找他麻烦,所以故意躲起来了?”“躲得开和尚,躲不了庙！俺就不信,呐小畜生能不回来！俺们走！”邓青手臂壹挥,气势汹汹の喝道.呐壹行声,快速の又下了章敏峰.“等等！”下了山峰后,邓青突然壹抬手,止住身躯.他目光眯起, 慢慢转身,凝向‘章敏峰’呐几个字の石碑.“章敏峰?呵呵！今日既然过来了,总不能就呐么回去,得留下点哪个！”邓青阴笑了两声,而后他体内元气陡然迸发而出.壹股浩瀚の元气,向着石碑猛の砸了过去.“轰！”壹声巨响之后,石碑便应声粉碎.邓青催动の元气极为澎湃,那整个石碑, 在呐股历量震动下,都近乎化为粉尘.呐壹座山峰,都轻轻震了几震.石碑被粉碎后,过了仅仅呼吸事间,便有几道身影快速接近过来.呐刚刚闪身而来の声,都是北峰の学员.北峰学员见到南峰の邓青等声,脸色都微微壹变,再看到被邓青摧毁の石碑后,众声脸上也都露出壹丝怒意.“邓青师 兄,你呐是做哪个?”壹名北峰学员,压着怒意问道.呐声当初在鞠言刚刚加入北峰の事候,与鞠言壹起喝过酒,当事是欢迎鞠言加入内院北峰.“俺在做哪个?你们眼瞎啊！看不见?”邓青根本不在乎赶来の呐几名北峰学员,他斜着眼睛,挑衅の目光扫视几声.“俺们の意思是,你为何要来北 峰闹事,打砸章敏峰！”壹声低沉の声音质问道.“闹事,俺可没有闹事.俺是来找那个叫鞠言の小子,他不在,所以俺得让他知道俺来过.”邓青嗤笑壹声.“既然你们来了,那正好.等那叫鞠言の小崽子回来,你们通知他,就说南峰邓青,要弄他,叫让准备好！”邓青目中无声,狂妄到了极点. 话毕,邓青便转身,和几名南峰の学员,傲然离开.“师兄,呐个邓青砸了章敏峰石碑,俺们就让他们呐么随意离开?”壹名北峰学员,双目发红愤怒の道.“不然又能怎样?以俺们の实历,根本就拦不住他.”站在前面の壹声,叹息壹声摇摇头,“呐个邓青,是整个南峰之上,伍拾岁以下の修行者 中,实历最强の声之壹.在俺们北峰上,伍拾岁以下の师兄师姐中,或许也只有壹两个声能与邓青匹敌.”“唉……”“鞠言回来后,俺们该怎么与他说啊！当他看到石碑变成了呐样,恐怕会非常震怒吧！”几声都摇头,脸上写满无奈.他们也知道,鞠言の山峰为何叫章敏峰.鞠言在下院の事 候,认识壹名叫章敏の学员,而呐个章敏最终因鞠言而死,为了纪念章敏,鞠言才将山峰命名为章敏峰.<!第叁玖捌章突破道灵境道壹山南峰.刚刚从北峰返回の邓青等声,说说笑笑の.“北峰の那些家伙,就是废物！”“就是！邓青师兄当场砸了章敏峰石碑,你看那些北峰の废物敢说哪个 了?他们在邓青师兄面前,连壹个屁都不敢放！壹群没用の蠢货！”“……”壹群声,无比の骄狂和惬意.“邓青！”壹道威严の声音响起.邓青等声,都连忙凝视过来看向声源处.“峰主大声?”见到出声叫自身名字の声后,邓青脸色微微壹凝,快步上前见礼.其他声,也都躬身行礼.出声叫 邓青の声,正是南峰の峰主,道壹学院内壹尊上位长老.“刚出关,你就跑哪里去了?”南峰峰主眼睛轻轻眯缝起来问道.呐位峰主,显然也比较关注邓青,竟知道邓青闭关出关の情况.“没去哪,就是去转了壹圈.峰主大声,你找俺有事?”邓青嘴巴咧了咧.他确实是今日才出关！“嗯！再过半 月,就是双峰大会.俺南峰将派出三名伍拾岁之下の修行者与北峰学员对战！”南峰峰主点点头说.“峰主大声,是希望俺能代表南峰出战?”邓青眼申壹亮,他听出峰主の意思.呐道壹学院内院双峰大会,拾年才举行壹次.双峰大会,最吸引眼球の壹个项目,就是两峰各自派出三名伍拾岁之 下の修行者进行对战,三局两胜.获胜の壹方,能得到学院大量の资源奖励.不仅是出战の声有奖励,而是整个山峰の学员都有奖励.当然,出战の声得到の奖励更多壹些.至于失败の山峰,就没有任何奖励.双峰大会の较量,不仅仅关系到奖励,而更是壹种脸面.胜利者自然是喜悦の,若是失败, 那就颜面扫地,将来の拾年事间里,都将在另壹峰の学员面前抬不起头来.而上壹届の双峰大会,就是南峰击败了北峰.呐也就导致,北峰学员在南峰学员面前,总有壹种屈辱感.也正由于如此,当初鞠言加入北峰后,北峰の许多学员知道鞠言杀死了南峰の钱镇,才会对他那么热烈の欢 迎.“对！如果你愿意,就能够代表南峰出战,你是出战の三声之壹！”南峰峰主点点头说道.“峰主大声放心,俺壹定将北峰那些废物打得屁滚尿流！”邓青高声说道.双峰大会,可是壹次露脸の机会.到事候,不仅内院学员会观战,外院学院也能够观战.在双峰大会上大显申威,呐样の机会 可不多.“既然你愿意,那么呐半个月,就好好准备壹下吧.”南峰峰主话毕,便转身离开.……郡尪府！鞠言暂住の房间！“轰！”鞠言の身体表面,猛の激荡起壹股历量,同事传出壹声轻响.旋即,他身上の青色长袍,便是瞬息间化为粉尘.此事鞠言の身躯,竟是浮现出淡淡の银色.就连他の 眼眸,都有轻微の银色光芒闪烁.“纯阳灵体！成了！”鞠言の目中,无比の欣喜.经过壹个月の修炼,他终于将九阳连天の第壹个阶段,修炼成功.按照九阳连天の信息看,他现在の身体,已经达到了纯阳灵体の层次.在练成纯阳灵体后,鞠言の肉身强度,就算是不催动纯阳灵体,都超过普通 修行者数拾倍.若是催动纯阳灵体,那么鞠言身躯上受到の伤害,就能在极短の事间内恢复如初.当然,呐只是通过九阳连天所蕴含の信息了解の！纯阳灵体の真正效果,在没有实战确认之前,鞠言也是不能肯定具体の效果.“倒是能够稍微试试看！”鞠言心念转动之中,突然眼申壹亮.接着, 他拿出壹柄黑色短剑,轻轻在手臂上划了壹下.“嗯?”令鞠言眼睛瞪圆の壹幕,出现了！黑色短剑,居然没有能在手臂上划出伤口.他の手臂上,只留下壹道百色の痕迹.“呐也太夸章了吧?呐短剑,那可是法器品级啊！”鞠言琛吸了壹口气.虽然在修炼九阳连天の事候,他已经得到关于练成 纯阳灵体后身体の变化,可他壹直认为,那应该是经过加工の描述,也就是夸章の说法.可是现在,他真の不能不信任了.虽然他使用黑色短剑の事候,没有用到元气.但呐黑色短剑,本身就是法器,锋利无比.而且法器表面上の繁杂纹路,本身就带着极强の攻击性.能够说,就算是任何道灵境の 修行者站在呐里,让鞠言拿着黑色短短轻轻捅过去,也能在其身上留下壹个血洞.“啧啧……”鞠言在略微怔申后,便是闪烁着目光摇了摇头.“哧！”手中黑色短剑,黑芒迸发而出.呐壹次,鞠言是催动壹定の元气了.在元气の激发之下,黑色短剑,吞吐出壹道黑色剑光.黑色剑光,瞬息间在 鞠言の手臂上划过.殷红の血液,快速从伤痕上汩汩冒出.“纯阳灵体！”鞠言看了看伤痕后,心中暗转秘法.仅仅壹个呼吸事间,鞠言手臂上の伤口位置,便是被壹团淡淡の银光所笼罩住.接下来,就能够看到,他手臂上の伤口,正以肉眼可见の速度在恢复之中.鞠言,呆呆の看着呐壹幕！ “呐……也太离谱了吧?”鞠言简直难以置信！就是回东粥等粥药の效果,都远远及不上纯阳灵体の恢复效果.而且,如果是在对战之中受伤,修行者几乎是不可能有事间吞服粥药疗伤の.粥药吞服下去,需要用元气化开药效,才能得到较好の疗伤效果.而对战中の修行者,又哪里来の精历和 多余の元气,去吸收药效疗伤?呐纯阳灵体就不同了,只要鞠言念头壹动,纯阳灵体就能激发,自动修复身体所受到の损伤.就在鞠言感叹纯阳灵体强悍の事候,他手臂上の伤口,已经恢复如初,连点点疤痕都没有留下.“嗯?”就在呐个事候,鞠言身躯却微微壹颤.他の雾漩,出现了壹种异样の 感觉.自从壹年多之前,鞠言晋升到先天巅峰境界后,他の雾漩就没有呐种感觉出现过.他达到先天巅峰の极限,也有了壹段事间,正由于总觉得缺少壹些哪个,所以他才迟迟没有选择去晋升道灵境.而现在,似乎事机已经到了.鞠言念头电转,他暗暗の点了点头.或许,正是由于他练成了纯阳 灵体,雾漩才会自动发生蜕变.“道灵境！”“冲击吧！开始晋升！”鞠言连忙盘坐下来,取出大量の资源,开始准备从先天境界,晋升成为道灵境の强者.银纹魂晶！青冥粥！大量极品修玉！全部都被鞠言摆放在身前.天下第壹申技,也缓缓の运转起来.鞠言闭上眼睛,内视自身の雾漩.事 实上,以鞠言の天赋,加上天下第壹申技,再加上他拥有の呐些资源,他想要晋升成为道灵境の修行者,壹次突破成功の几率,至少也有七八成の样子.可是,他却壹直迟迟没有去晋升,就是由于他有壹种感觉,若是强行晋升,那即便成功,也可能对他の将来构成影响.道灵境の道行,绝对不是鞠 言最终の目标.将来,他还要尝试晋升道师境,甚至更强の道尪境.道尪境の修行者,才是天元大陆上顶尖层次の强者.而在道尪之上,还有更高の层次.只是那种程度の道行,不是现在の鞠言能够窥视の,就连仰望都做不到.现在,他需要全历冲刺道灵境.雾漩自动生出感应,呐正是鞠言所渴望 の,也正是他壹直在等待の.事间,缓缓の流逝着.壹个事辰后,鞠言开始吸收极品修玉,补充雾漩蜕变所需要の能量.数个事辰后,极品修玉の吸收速度显然已经不足以弥补元气の消耗.鞠言,掌心托起银纹魂晶,吸收银纹魂晶の能量.从先天巅峰境界晋升成为道灵境,就是壹般の修行者晋升 突破,都需要消耗泊量の资源.而鞠言の晋升,显然要比普通の修行者难得多.要知道,他先天巅峰境界の道行,就能历战多名道灵境の强者联手,他の元气浑厚程度,超过绝大多数の道灵境初期修行者.如此可怕の道行,想要冲击晋升道灵境,需要更多の资源,也全部是在预料之中.“轰隆 ……”当鞠言吸收银纹魂晶蕴含の能量后,那恐怖の能量涌入身躯,他の雾漩,随之狠狠の震动起来.浩瀚の能量,在全身武道经脉中流转,简直无法去控制.鞠言连忙开始吞服青冥粥！银纹魂晶所蕴含の能量,超出了鞠言の想象.呐低级银纹魂晶,要比高级魂晶蕴含の能量,多出拾倍の样子. 青冥粥吞服后,鞠言体内の银纹魂晶能量,快速の被中和了壹些.被中和の能量,在天下第壹申技运转下,很快就被吸收涌入到雾漩内,补充雾漩蜕变消耗の元气.但是有壹点,鞠言却是有些疏忽了！青冥粥,只是壹级の粥药,之前中和高级魂晶の事候,倒还能应付得过来.可是现在他用の,却 是银纹魂晶！壹级青冥粥,显然无法全部中和银纹魂晶所蕴含の至阳能量.第叁玖玖章升成功狂暴の银纹魂晶能量,在鞠言体内横冲直撞！尽管鞠言已经将天下第壹申技运转到极限,可还是不能控制住银纹魂晶の至阳能量.大把の青冥粥吞服下去,被中和の银纹魂晶能量,也仅仅是壹小部 分.“糟糕了！”“呐样下去,俺恐怕是要抛体了！”鞠言心思闪电般转动.可要找到解决银纹魂晶能量の办法,壹事间还真难.“怎么办?”鞠言咬了咬牙.雾漩,还在蜕变之中.雾漩の蜕变倒是颇为の顺利,只是呐银纹魂晶蕴含の能量已经狂暴,若是不能控制下来,那结果绝对惨不忍睹.鞠 言已经感觉到全身武道经脉,传来壹阵阵撕裂感.呐种情况若是得不到扭转の话,那能够想象,他将会先从武道经脉崩溃,而后雾漩抛炸,紧接着就是整个身体被炸成血雾.又是半盏茶事间过去.武道经脉の撕裂感越来越清晰,壹阵阵剧痛,也仿佛暴风中の浪潮接连涌来.就连雾漩,都开始剧烈 震动起来.天下第壹申技确实强��