solidangle 立体角计算

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立体角理解及应用

立体角在国家法定计量单位所采用的国际单位制(SI)中，除了7个基本单位外，还有两个辅助单位，一个是平面角(一般简称角度)，一般记为希腊小写字母α等，单位为弧度，记为rad，另一个是立体角，记为大写希腊字母Ω，单位为球面度，记为sr。

立体角涉及光度学、电磁辐射、球面天文学等许多领域的基本概念，如(热、光或其它电磁波、声音或其它机械波的)辐射通量、星座所占天球区域的“面积”(实际为立体角)大小等等，因此立体角概念本身的重要意义和实用价值不言而喻，可谓理解客观世界的空间形式和许多科学原理的一把钥匙。

通常的初等数学教育对平面角讲得很详尽，但对立体角的介绍则远不充足。

对三维空间、立体几何有兴趣者，不妨读读本文，希望您有所获益。

您斧正拙文之谬误、拓展和深化拙文所涵盖的内容，尤为笔者所企冀。

平面上，多边形内角和可表为(n-2)π，那么相应地，多面体内立体角之和如何？答曰：它在一定区间内变化，关于这一点，以后再展开叙述。

1、立体角定义与量度1.1立体角的概念当我们看到远处的两个物体，欲表达其相对方位时，用从这两个物体到眼睛的视线之间的夹角这个概念。

例如，可以选择月亮的上边缘顶点与下边缘顶点，由人眼到这两个点的视线之间的夹角较为稳定，可以称为月亮的“视直径”。

而当形容“挂在树梢上的月亮像月饼这么大”时，人们就一面犯了错误，一面已经在冥冥之中与立体角概念的幽灵相接近。

月亮、月饼当然不一样大，而且大小相差悬殊，但是当月饼与人眼之间为一定距离时，看起来它的确跟月亮“差不多一般大”。

月饼比月亮小得多，但当把月饼放在眼前时，它却能完全挡住月亮，这样就清楚了，随着距离变远，形象就变小。

这不仅是“视直径”的变化，其实也是另一个量，“立体角”的变化。

假设制作一个代表立体直角坐标系的三维“十字架”，使之穿过两个半径相差一倍的同心球面，球心在坐标系原点，自球心发出无数条射线，这些射线在球面上的投影点形成一条连续的闭合的曲线，那么这样的一条曲线在小球面上所限定的面积为在大球面上所限定面积的1/4。

多维空间的立体角

多维空间的立体角立体角的概念在几何学、电动力学、光学、天文学等领域应用十分广泛。

本文从二维空间的平面角开始对n 维空间的立体角进行探讨。

1. 平面角我们先来分析平面角的单位元，如图所示，单位元dφ可以表示为：dφ=CD ̂r其中，CD̂的长度近似为CD ̂，设C →D 的任意曲线微元（即为直线微元）为dl ，dl 与半径r 的夹角为θ，则：CD̂=dl ∙sin θ 对上述微元进行积分，则从A 到B 的曲线对应的角为：φ=∫dlrBAsin θ 设dl 的法线方向的单位向量为e 0，设e 0与r 的夹角为ψ则：ψ=π2−θφ=∫dl r B A cos ψ=∫e 0dl ∙rr B A2. 立体角对于三维空间的立体角，通常将某一曲面投影至球面，计算其与半径平方的商的曲面积分。

设曲面的面积微元为dS（其大小代表曲面大小，方向为外法线方向）；设r为观测点指向面积微元的向量，则dS在以r为半径的球上的投影面积为：dS⊥=dS∙r r立体角微元dΩ为：dΩ=dS∙r r3曲面对空间的立体角为：Ω=∫dS∙r r3S不难得到，全空间的立体角Ω=4π下面再给出几个特殊空间图形所张的立体角计算公式及值：顶角为2θ的圆锥：Ω=2π(1−cosθ)半球：2π球面三角形：A+B+C−π四面体：对于任意四面体OABC，设α=∠BOC，β=∠AOC，γ=∠AOB，θ=12(α+β+γ)，则：tan Ω4=√tanθ2tanθ−α2tanθ−β2tanθ−γ2正方体的一个顶角的立体角为π2，正四面体的一个顶角为arctan 10√223（或者arccos 2327）3. n 维空间的立体角设n 维立体角Ω的顶点位于n 维球的球心，设n 维球的表面积为S ，半径为R ，则：Ω(n )=S(n)R n−1则问题的关键在于求出n 维球体的表面积：由Gauss 公式：∫∇∙r dV V=∮r ∙dS ðV由于r 代表n 维球径向矢量，设：r =x 1i 1+x 2i 2+x 3i 3+⋯+x n i n则：∇∙r =nr ∙dS =x 12+x 22+⋯x n2R=R故：nV (n )=RS(n) S (n )=nRV(n) 通过换元易得：V (n )=R n β(n)其中，β(n)为单位球体的体积：β(n )=∫dx 1dx 2⋯dx n V n 0V n 0:x 12+x 22+⋯+x n 2≤1β(n )=∫dx n 1−1∫dx 1dx 2⋯dx n−1V n−1V n−1: x 12+x 22+⋯+x n−12≤1−x n 2故：V n−1=βn−1∙(1−x n 2)n−12βn =βn−1∫(1−x 2)n−12dx1−1=2βn−1∫(1−x 2)n−12dx 1换元，令x =cos tβn =2βn−1∫sin n t dt π2=√πβn−1Γ(n +12)Γ(n 2+1)由于β1=2，可得：βn =πn2Γ(n 2+1)最终可得：V (n )=R nπn 2Γ(n2+1) S (n )=nR n−1πn 2Γ(n2+1) Ω(n )=n nπn 2Γ(n2+1)列表如下：图像如下：附源代码：n=1:10;V=n.*pi.^(n/2)./gamma(1+n/2); plot(n,V,'black+');xlabel('n')ylabel('\Omega(n)')title('空间维数与立体角')。

Solid_Angle 立体角计算

ω = ∫ d ω = ∫ (cos0/ R 2 )d A =(1/ R 2 ) ∫ d A
or simply
ω = A / R 2 … for an area on a sphere.
A
P
.
R
Figure 5.
Subtense of an area on a sphere at its center.
Now let's go to the three dimensional case. Consider a point P and a surface of area A somewhere in space. We want a measure of the subtense of the area at P. Taking our cue from the two dimensional case, construct a unit sphere, a sphere of radius 1, around P. The subtense of A is measured by the area it cuts out of the unit sphere, as illustrated in figure 2. This is the area which would be cut out by lines drawn from P to every point on the periphery of A . This area is the solid angle subtended by A . The unit of measurement of the solid angle is the steradian, abbreviated str, the three dimensional analog of the radian. For example, if the unit sphere has a one meter radius and A cuts out an area of 6 m2 on the unit sphere, A subtends a solid angle of 6 steradians. The usual symbol for solid angle is ω .

立体角Solid Angle

Solid AngleThe solid angle subtended by a surface is defined as the surface area of a unit sphere covered by the surface's projection onto the sphere. This can be written as(1)where is a unit vector from the origin,is the differential area of a surface patch, and isthe distance from the origin to the patch. Written in spherical coordinates with thecolatitude (polar angle) and for the longitude (azimuth), this becomes(2)Solid angle is measured in steradians , and the solid angle corresponding to all of space beingsubtended issteradians .To see how the solid angle of simple geometric shapes can be computed explicitly, considerthe solid anglesubtended by one face of a cube of side lengthcentered at theorigin. Since the cube is symmetrical and has six sides, one side obviously subtendssteradians. To compute this explicitly, rewrite (1) in Cartesian coordinatesusing(3)(4)and(5)(6)Considering the top face of the cube, which is located at and has sides parallel the -and -axes,(7)(8)as expected.Similarly, consider a tetrahedron with side lengths with origin at the centroid, base at(where is the centroid), and bottom vertices atand, where(9)(10)(11)Then runs from to , and for the half of the base in the positive half-plane, can betaken to run from 0 to , giving(12)(13)i.e., , as expected.。

立体角计算公式

立体角计算公式立体角，又称夹角、内角、拱角，是指在立体空间内三条曲线汇合成的一种特殊的角，它体现了空间几何学的概念。

它的计算通常使用三角函数和立体几何的相关参数。

立体角的计算都是围绕着一个拱角内三个平面之间的夹角来完成的。

基本计算公式二维平面立体角的计算公式如下：夹角=sin-1[(b x c)/(|b||c|)]其中，b和c是向量，|b|和|c|分别是b和c的模长，x表示叉乘。

三维平面立体角的计算公式如下：夹角=cos-1[(a x b)c/(|a||b||c|)]其中，a、b和c是向量，|a|、|b|和|c|分别是a、b和c的模长，x和表示叉乘和点乘。

立体几何计算公式立体几何的计算公式可以用来表示立体角的特性，以此来计算夹角的大小。

1.体积公式：V＝abc其中，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，V表示立体角的体积。

2.表面积公式：S＝ab+bc+ca其中，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，S表示立体角的表面积。

3.距离公式：D＝√(a+b+c)其中，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，D表示立体角的距离。

4.角平分公式：α/β/γ＝a/b/c其中，α、β和γ是各角的大小，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长。

5.体积中垂线公式：V＝abc sin其中，V表示立体角的体积，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，α表示立体角的内角大小。

立体角的应用立体角计算公式广泛应用于几何学、机械工程、电子学等领域，它可以用来计算空间坐标系的定位，构建复杂的几何体，也可用来测量空间距离、角度、体积等。

比如，在机械结构设计中，立体角的计算公式可以用来计算连接的螺栓的角度、位置和大小，为准备安装和维护机械设备提供依据。

在电子工程中，立体角的计算公式也可以用来计算电子元件之间的位置、距离和角度，这些参数对正确构建电子系统非常重要。

总结立体角是一种有三条曲线汇合而成的特殊角，它体现了空间几何学的概念。

光学单位sr-概述说明以及解释

光学单位sr-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下几个方面进行展开：光学单位sr（Steradian）是国际单位制中用于描述空间角的单位。

空间角是指立体角，用来衡量来自某个点源的辐射或光线在空间中的分布。

sr是国际单位制中的基本单位，它的定义基于二维球面部分。

当位于球心的点源发出的光线或辐射在距离球心1米处的球面上的投影面积为1平方米时，所对应的立体角为1sr。

换句话说，1sr的立体角涵盖了球面上的单位面积。

与平面角不同，立体角不仅考虑了光线或辐射的分布角度，还考虑了其在空间中的传播范围。

通过引入光学单位sr，我们可以更准确地描述和计算光线的辐射强度或光通量以及接收器的感知范围。

光学单位sr在许多领域中都有广泛的应用，特别是在光学、光电子学和辐射传输领域。

例如，在照明工程中，我们可以使用sr来描述灯具的光束角度，以确定其辐射范围和照明强度分布。

在摄影和摄像领域，sr可以被用来衡量镜头的视角和视野范围。

在激光工程中，sr可以用来描述激光束的扩散角度和光束发散性能。

总之，光学单位sr是国际单位制中用于描述空间角的重要单位。

通过使用sr，我们可以更准确地描述和计算光线的辐射强度和分布，从而在光学应用和相关领域中提供更精确和可靠的计量基础。

1.2 文章结构文章结构:本文旨在介绍光学单位sr的相关知识。

文章分为引言、正文和结论三个部分。

在引言部分，我们将对本文的主题进行概述，说明本文介绍的是什么，以及为什么选择这个主题进行研究。

同时，我们还将介绍文章的结构和目的，以便读者能够更好地理解和阅读本文。

在正文部分，我们将展开论述，分为两个要点进行介绍。

第一个要点中，我们将详细介绍光学单位sr的定义、起源和应用领域。

我们将从历史角度出发，追溯光学单位sr的提出和发展过程，以及在光学研究中的重要意义。

同时，我们也将介绍在不同领域中如何使用光学单位sr进行测量和计算，以及其在实际应用中的优势和局限性。

光强中什么是立体角及它的计算公式

立体角计算公式
摘要：本文应用数学工具，推导出灯具在两个相互垂直方向上的发光角同立体角之间的关系。关键词：立体角，发光角。 0 引言光强度是照明工程中的一个重要术语，其定义是“光源在给定方向的单位立体角中发射的光通量”，一般以 I 表示。若在某微小立体角 dΩ内的光通量为 dΦ（ψ，θ），则该方向上的光强为： I（ψ，θ）=dΦ（ψ，θ）/dΩ。式中，dΩ的单位为 sr（球面度），光强的单位为 cd（坎德拉，烛光）。 1 cd=1 lm/sr。但关于立体角的计算方法，照明教材及各类文献中却没有述及。这给从事照明工程的专业技术人员带来很大的困惑。
1
∂x ∂y
1− x2 − y2
（3）（4）（5）
代入（1）式得：
∫∫ A=
dxdy
D 1− x2 − y2
(6)
利用极坐标，得：
rdrdθ
∫∫ A=
D 1− r2
(7)
易知，积分区域在 xy 平面上的投影是由两条椭圆曲线围成，方程分别为：
x 2 +y2=1
(8)
sin 2 α
x2 + y2 =1
参考文献 ⑴周太明等，电气照明设计，复旦大学出版社，2001，11 ⑵同济大学数学教研室，高等数学，高等教育出版社，1998，12 ⑶陈大华等译，光源与照明（第四版），复旦大学出版社，2000，1
注：本文发表于《中国照明学会（2005）学术年会论文集》，2005.9·上海
150° 0.506 1.011 1.515 2.016 2.514 3.008 3.492 3.964 4.411 4.811
165° 0.519 1.038 1.557 2.075 2.592 3.108 3.621 4.130 4.632 5.115 5.544

工程热力学与传热学第17章

4
C C0 AC0 为灰体的辐射系数
T 2 C W /m 100
任何物体的辐射力恒小于同温度下黑体的辐射力。
第三节物体间的辐射换热
一、黑体间的辐射换热
角系数(angle factor) ：表面1发射的辐射能落在表面2上的百分数，用X1,2表示， X1,2称为表面1对表面2的角系数。 X2,1称为表面2对表面1角系数。 1、2两表面间的辐射换热量Q1,2为
第十七章
辐射换热
本章要点：1。着重掌握热辐射的基本概念 2。着重掌握角系数的基本概念 2。着重掌握热辐射的基本定律 3。着重掌握辐射换热相关分析与基本计算本章难点：热辐射的基本概念和基本定律的理解和消化
本章主要内容：第一节热辐射的基本概念第二节热辐射的基本定律第三节物体间的辐射换热第四节太阳辐射
微波炉是利用远红外线来加热物体的。远红外线可以穿透塑料、玻璃及陶瓷制品，但却会被像水那样具有极性分子的物体吸收，在物体内部产生内热源，从而使物体比较均匀地得到加热。各类食品中的主要成分是水，因而远红外线加热是一种比较理想的加热手段。
二. 物体的吸收率、反射率和穿透率
当热辐射的能量投射到物体表面上时，和可见光一样，也发生吸收、反射和穿透现象。如图在外界投射到物体表 Q Q 面上的总能量Q中，一部分被物体吸收，另一部分被 Q 物体反射，其余部分穿透过物体。按照能量守恒定律有如图7-2所示。
dQ0,dA I 0 dA cosd
0
2
I 0 dA
2
0
d sin cosd
0
2
I 0 dA
E0
dQ0,dA dA
I 0
黑体辐射力等于其定向辐射强度I0的倍。

色度学介绍汇总

PD OPT
1
1 相关定义 2 颜色视觉 3 CIE标准色度学系统 4 色温及标准照明体的定义
2
色度学是研究人的颜色视觉规律、颜色测量的理论与技术的科学
色彩感知
光源（Light）物体（Object）观察者（Observer）
3
光通量—按照CIE规定的人眼的视觉特性来评价的辐通量。单位：流明（lm）
绿，蓝三原色的数量（三刺激值），颜色方程为
Ｃ* ≡R[R] +G[G] +B[B]
如果被匹配的颜色很饱和，用红，绿，蓝三原色实现不了匹配，这种情况下可把一种原色加到被匹配的颜色上，再用另外两原色进行匹配，这一颜色关系可用下式表示：
Ｃ* +R[R] ≡G[G] +B[B]
这一方程在色度学中写成：
和g两个坐标即可表示一个颜色
B (0,0,1)
(R,G,B)
某一颜色C*的一个单位
(C)≡ r(R)+g(G)+b(B)
(1,0,0)
(0,1,0) G
(r,g)
R
11
根据格拉斯曼颜色混合的代替律，可以得到颜色相加原
理为：R3 = R1 + R2， G3 = G1 + G2， B3 = B1 + B2
饱和度：表示彩色的纯洁性，可见光谱的各种单色光是最饱和的彩色。
7
孟塞尔标号： H V/C=色调明度值/彩度
8
把两个颜色调整成视觉上相同或相等的方法称之颜色匹配
以三原色R(700nm)；G(546.1nm)；B(435.8nm)匹配等能白光 (匹配相同能量各波长的光谱色)
9
Ｃ*代表被匹配的颜色，以[R]，[G]，[B]分别代表产生混合色的红，绿，蓝三原色，又以R，G，B 分别代表红，

立体角

立体角
数学术语
01 定义
03 常见
目录
02 应用
立体角（Solid Angle），常用字母Ω表示，是一个物体对特定点的三维空间的角度，是平面角在三维空间中的类比。它描述的是站在某一点的观察者测量到的物体大小的尺度。例如，对于一个特定的观察点，一个在该观察点附近的小物体有可能和一个远处的大物体有着相同的立体角。
对于任意一个四面体OABC,其中O,A,B,C分别为四面体的四个顶点。下面给出一个公式，计算从O点观察三角形ABC的立体角Ω的方便简单的公式。令α=∠BOC，β=∠AOC，γ=∠AOB(均为各自平面内两条直线的夹角，可以采用平面三角形的余弦公式计算求得)，。
谢谢观看
锥体的立体角大小定义为，以锥体的顶点为球心作球面，该锥体在球表面截取的面积与球半径平方之比，单位为球面度。
定义
公ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 任意定向曲面
单位封闭曲面
在球坐标系中，任意球面的极小面积为：因此，极小立体角（单位球面上的极小面积）为：所以，立体角是投影面积与球半径平方值的比，这和“平面角是圆的弧长与半径的比”类似。对极小立体角做曲面积分即可得立体角：
常见
圆锥球冠
任意四面体
顶角为2的圆锥的立体角为一个单位球的球冠。（上面结果由下式得到）应该注意阿基米德在2200年前不用微积分证明了球冠的表面积与半径为球冠边沿到球冠最低点的距离的圆的面积相等。球冠边沿到球冠最低点的距离为显然，在单位圆中球冠立体角为当θ=π，立体角涵盖整个球体，球冠变为有着立体角 4π的球，我们将4π称为全方位立体角。当θ=π/2，球冠变为有着立体角 2π的半球。
一个完整的球面对于球内任意一点的立体角为4πsr（对于球外任意一点的立体角为0sr）：这个定理对所有封闭曲面皆成立，它也是高斯定律的主要依据。

计算机视觉常用术语中英文对照

计算机视觉常用术语中英文对照（1）2011-06-08 21:26人工智能 Artificial Intelligence认知科学与神经科学Cognitive Science and Neuroscience 图像处理Image Processing计算机图形学Computer graphics模式识别Pattern Recognized图像表示Image Representation立体视觉与三维重建Stereo Vision and 3D Reconstruction 物体（目标）识别Object Recognition运动检测与跟踪Motion Detection and Tracking边缘edge边缘检测detection区域region图像分割segmentation轮廓与剪影contour and silhouette纹理texture纹理特征提取feature extraction颜色color局部特征local features or blob尺度scale摄像机标定Camera Calibration立体匹配stereo matching图像配准Image Registration特征匹配features matching物体识别Object Recognition人工标注Ground-truth自动标注Automatic Annotation运动检测与跟踪Motion Detection and Tracking 背景剪除Background Subtraction背景模型与更新background modeling and update运动跟踪Motion Tracking多目标跟踪multi-target tracking颜色空间color space色调Hue色饱和度Saturation明度Value颜色不变性Color Constancy（人类视觉具有颜色不变性）照明illumination反射模型Reflectance Model明暗分析Shading Analysis成像几何学与成像物理学Imaging Geometry and Physics全像摄像机Omnidirectional Camera激光扫描仪Laser Scanner透视投影Perspective projection正交投影Orthopedic projection表面方向半球Hemisphere of Directions立体角solid angle透视缩小效应foreshortening辐射度radiance辐照度irradiance亮度intensity漫反射表面、Lambertian（朗伯）表面diffuse surface 镜面Specular Surfaces漫反射率diffuse reflectance明暗模型Shading Models环境光照ambient illumination互反射interreflection反射图Reflectance Map纹理分析Texture Analysis元素elements基元primitives纹理分类texture classification从纹理中恢复图像shape from texture 纹理合成synthetic图形绘制graph rendering图像压缩image compression统计方法statistical methods结构方法structural methods基于模型的方法model based methods 分形fractal自相关性函数autocorrelation function 熵entropy能量energy对比度contrast均匀度homogeneity上下文约束contextual constraintsGibbs随机场吉布斯随机场边缘检测、跟踪、连接Detection、Tracking、LinkingLoG边缘检测算法（墨西哥草帽算子）LoG=Laplacian of Gaussian 霍夫变化Hough Transform链码chain codeB-样条B-spline有理B-样条Rational B-spline非均匀有理B-样条Non-Uniform Rational B-Spline控制点control points节点knot points基函数basis function控制点权值weights曲线拟合curve fitting逼近approximation回归Regression主动轮廓Active Contour Model or Snake 图像二值化Image thresholding连通成分connected component数学形态学mathematical morphology结构元structuring elements膨胀Dilation腐蚀Erosion开运算opening闭运算closing聚类clustering分裂合并方法split-and-merge区域邻接图region adjacency graphs四叉树quad tree区域生长Region Growing过分割over-segmentation分水岭watered金字塔pyramid亚采样sub-sampling尺度空间Scale Space局部特征Local Features背景混淆clutter遮挡occlusion角点corners强纹理区域strongly textured areas 二阶矩阵Second moment matrix 视觉词袋bag-of-visual-words类内差异intra-class variability类间相似性inter-class similarity生成学习Generative learning判别学习discriminative learning人脸检测Face detection弱分类器weak learners集成分类器ensemble classifier被动测距传感passive sensing多视点Multiple Views稠密深度图dense depth稀疏深度图sparse depth视差disparity外极epipolar外极几何Epipolor Geometry校正Rectification归一化相关NCC Normalized Cross Correlation平方差的和SSD Sum of Squared Differences绝对值差的和SAD Sum of Absolute Difference俯仰角pitch偏航角yaw扭转角twist高斯混合模型Gaussian Mixture Model运动场motion field光流optical flow贝叶斯跟踪Bayesian tracking粒子滤波Particle Filters颜色直方图color histogram尺度不变特征转换SIFT scale invariant feature transform 孔径问题Aperture problem/view/77fb81ddad51f01dc281f1a7.html/quotes/txt/2007-09/06/content_75057.htm /message/message1.html/90001/90776/90883/7342346.html。

几何形的平面角度和立体角度的度量

几何形的平面角度和立体角度的度量在几何学中，角度是一种度量平面中或空间中图形之间相对位置或转动程度的重要概念。

角度的度量有两种形式，分别是平面角度和立体角度。

本文将详细介绍这两种角度的度量方法和应用。

一、平面角度的度量平面角是指两条射线在同一平面内相交所形成的角。

为了度量平面角，我们需要引入一个度量单位——度。

一个完整的圆周被分成360个等分，称为度。

我们通常将一个角度大小以一个希腊字母“θ”表示，其单位为度。

在度量平面角时，我们需要使用一个基准射线，通常被称为始边。

然后，我们沿着始边顺时针或逆时针旋转，直到转到目标射线，此时形成的角度即为所求的平面角度。

以一个实例来说明平面角度的度量方法。

假设有两条射线AB和AC，其中AB作为始边，AC作为目标射线。

为了度量角BAC，我们需要找到一个合适的方向进行旋转，直到始边AB与目标射线AC重合。

我们记录下旋转过程中所经历的圆周等分数，即为平面角BAC的度量值。

需要注意的是，在度量平面角时，始边和目标射线的位置并不重要，旋转的方向和经过的圆周等分数才是决定角度大小的关键。

二、立体角度的度量立体角是指由空间中的三个或更多射线所包围的角。

我们可以将立体角度量化为体积的比值。

在度量立体角时，我们使用一个特殊的度量单位——球面度。

一个完整的球面被分成360个球面度，通常用符号“ω”表示。

与平面角度的度量类似，度量立体角时我们同样需要选择一个基准射线作为始边，并以顺时针或逆时针方向旋转，直到形成立体角所需的射线个数。

与平面角度不同的是，立体角的度量结果是一个比值，表示所包围立体角的体积与基准射线的长度之比。

以一个例子来说明立体角度的度量方法。

设立体角由射线OA、OB 和OC所包围，其中OA作为基准射线。

我们将OB和OC分别逆时针旋转，直到它们与基准射线OA重合。

此时，所包围立体角的体积与基准射线OA的长度之比即为立体角的度量值。

需要注意的是，在度量立体角时，射线的排列顺序也并不重要，旋转的方向决定了度量结果的正负。

luminance公式

luminance公式摘要：1.Luminance 公式的定义与含义2.Luminance 公式的计算方法3.Luminance 公式的应用领域4.Luminance 公式的优缺点分析正文：1.Luminance 公式的定义与含义Luminance 公式，即亮度公式，是用于计算图像或场景亮度的一种方法。

亮度是指光线在单位面积上的照射量，是描述光线强度的一个物理量。

在计算机图形学和计算机视觉领域，亮度是一个重要的参数，用于表示图像的明暗程度。

2.Luminance 公式的计算方法Luminance 公式的计算方法通常基于物理光学原理，通过对光线的照射和反射进行建模，得到图像的亮度值。

常用的计算方法包括：Luminance = Illumination ×Reflection 和Luminance = Intensity ×Solid Angle。

其中，Illumination 表示照射光线的强度，Reflection 表示物体表面的反射系数，Intensity 表示物体表面的辐射强度，Solid Angle 表示观察物体的立体角。

3.Luminance 公式的应用领域Luminance 公式在计算机图形学、计算机视觉、图像处理等领域有着广泛的应用。

例如，在渲染三维场景时，需要根据物体表面的材质、光照条件等因素，计算出物体的亮度值，以实现真实感的渲染效果。

在图像处理中，可以通过调整图像的亮度值，来改善图像的视觉效果，或者进行图像增强、对比度调整等操作。

4.Luminance 公式的优缺点分析Luminance 公式的优点在于，它可以根据光线的照射和反射原理，较为真实地计算出图像或场景的亮度值。

这使得计算机图形学和计算机视觉领域中的相关应用，可以获得更加逼真的效果。

然而，Luminance 公式也存在一定的局限性。

首先，它的计算过程较为复杂，需要考虑光线的照射、物体表面的反射等因素，计算量较大。

刚体在三维空间的旋转（关于旋转矩阵、DCM、旋转向量、四元数、欧拉角）

刚体在三维空间的旋转（关于旋转矩阵、DCM、旋转向量、四元数、欧拉角）最近学习了一些关于三维空间旋转相关的知识，借此梳理一下备忘。

三维空间的旋转(3D Rotation)是一个很神奇的东东：如果对某个刚体在三维空间进行任意次的旋转，只要旋转中心保持不变，无论多少次的旋转都可以用绕三维空间中某一个轴的一次旋转来表示。

表示三维空间的旋转有多种互相等价的方式，常见的有旋转矩阵、DCM、旋转向量、四元数、欧拉角等。

本篇文章主要梳理一下这些表示方式及相互转换的方法。

1. 欧拉角(Euler Angle)最直观的表示方式是绕刚体自身的X、Y、Z三个轴分别进行旋转某个角度，这就是所谓的欧拉角(Euler Angle)表示方式。

Euler Angle需要注意的是，欧拉角的表示方式里，yaw、pitch、roll的顺序对旋转的结果是有影响的。

给定一组欧拉角角度值，比如yaw=45度，pitch=30度，roll=60度，按照yaw-pitch-roll的顺序旋转和按照yaw-roll-pitch的顺序旋转，最终刚体的朝向是不同的！换言之，若刚体需要按照两种不同的旋转顺序旋转到相同的朝向，所需要的欧拉角角度值则是不同的！另外需要注意的是，在欧拉角的表示方式里，三个旋转轴一般是随着刚体在运动，即wikipedia中所谓的intrinsic rotation，见下图动画所示(图来自wikipedia)。

相对应的另一种表示方式是，三个旋转轴是固定的，不随刚体旋转而旋转，即extrinsic rotation，这种表示方式在计算机视觉中不是很常用。

欧拉角的表示方式比较直观，但是有几个缺点：(1) 欧拉角的表示方式不唯一。

给定某个起始朝向和目标朝向，即使给定yaw、pitch、roll的顺序，也可以通过不同的yaw/pitch/roll的角度组合来表示所需的旋转。

比如，同样的yaw-pitch-roll顺序，(0,90,0)和(90,90,90)会将刚体转到相同的位置。

立体角计算公式1

立体角是三维空间中的角度概念，其定义是将弧度表平方的比值。为了计算立体角，需要确定灯具在两个相互垂直方向上的发光角，并求出这两个发光角所夹的球面面积。文档通过数学推导，得出了立体角的计算公式，并给出了具体的数值结果。这些结果可以帮助照明工程的专业技术人员更好地理解和应用立体角的概念，从而提高照明设计的准确性和效率。此外，文档还介绍了与立体角计算相关的数学概念，如球面度、光强等，为读者提供了全面的知识储备。

立体角计算公式

立体角计算公式初醒悟摘要：本文应用数学工具，推导出灯具在两个相互垂直方向上的发光角同立体角之间的关系。

关键词：立体角，发光角。

0引言光强度是照明工程中的一个重要术语，其定义是“光源在给定方向的单位立体角中发射的光通量”，一般以I 表示。

若在某微小立体角d Ω内的光通量为d Φ（ψ，θ），则该方向上的光强为：I （ψ，θ）=d Φ（ψ，θ）/d Ω。

式中，d Ω的单位为sr （球面度），光强的单位为cd （坎德拉，烛光）。

1 cd=1 lm/sr 。

但关于立体角的计算方法，照明教材及各类文献中却没有述及。

这给从事照明工程的专业技术人员带来很大的困惑。

1立体角的定义将弧度表示平面角度大小的定义（弧长除以半径）推广到三维空间中，定义“立体角”为：球面面积与半径平方的比值。

即：Ω=2rA图1平面角（单位：弧度rad ）图2立体角（单位：球面度sr ）2立体角的计算设灯具在两个相互垂直方向上的发光角为2α和2β，求其所对应的立体角的大小。

设0<2α<π，0<2β<π不失一般性，设球体半径为单位长度1，坐标原点在球心，坐标轴方向如图。

根据定义，只须求出两角所夹球面的面积，即是立体角的大小。

由于对称性，只需求出第一卦限内的面积再乘以4即可。

图3 计算示意图曲面面积计算公式为： A=⎰⎰∂∂+∂∂+Dyz x z 22)()(1dxdy （1）上半球球面方程为：Z=221y x -- （2）由 x z ∂∂=221yx x --- （3）221yx y y z ---=∂∂ （4）得 222211)()(1yx y z x z --=∂∂+∂∂+ （5）代入（1）式得： A=⎰⎰--Dyx dxdy 221 (6)利用极坐标，得： A=⎰⎰-Drrdrd 21θ (7)易知，积分区域在xy 平面上的投影是由两条椭圆曲线围成，方程分别为：α22sin x +y 2=1 (8) x 2+β22sin y =1 (9) 交点坐标（βαβα22sin sin 1cos sin -,βααβ22sin sin 1cos sin -)φ1=arctg αβtg tg (10)φ2=arctg βαtg tg (11)将x=rcos Φ，y=rsin Φ带入（8）、（9）式，得极坐标表示的边界方程为： α222sin cos sin 11Φ+Φ=r (12)β222sin sincos 12Φ+Φ=r(13)图4 xy 面投影根据对称性，有：A=4(A1+A2) (14) A1=⎰⎰-ΦΦ10211r r rdr d A2=⎰⎰Φ-Φ2221r rrdrd于是， A1=101021(r r d ⎰Φ--Φ=⎰ΦΦ+Φ--1222sin cos sin 111(α）d Φ=Φ1-⎰ΦΦ+Φ-12222cos sin sin sin 1ααd Φ =Φ1-⎰ΦΦ+Φ-ΦΦ1222sin sin sin 1cos cos ααd设t=sin Φ，则cos Φd Φ=dt A1=Φ1-⎰Φ-1sin 022cos 1cos t dt αα=Φ1-⎰Φ-1sin 022cos /1tdtα =Φ1-arcsin(cos α·t)1sin 0Φ=Φ1-arcsin(cos αsin Φ1) (15)同理，A2=Φ2-arcsin(cos βsin Φ2) (16)带入（14）式,得出最终结果：A=4(arctgαβtg tg -arcsin(cos αsin(arctg αβtg tg )) +arctg βαtg tg -arcsin(cos βsin(arctg βαtg tg ))) (17)特别地，当α=β时，Φ1=Φ2=π/4， A1=A2=π/4-arcsin(cos α/2)3数值结果参考文献⑴周太明等，电气照明设计，复旦大学出版社，2001，11⑵同济大学数学教研室，高等数学，高等教育出版社，1998，12⑶陈大华等译，光源与照明（第四版），复旦大学出版社，2000，1注：本文发表于《中国照明学会（2005）学术年会论文集》，2005.9·上海。

空间角的求法方法归纳

空间角的求法方法归纳
空间角的求法方法归纳
在数学和物理学中，空间角是一种非常重要的概念。

物体在空间中的角度关系经常被用到各种计算和分析中。

因此，求解空间角的方法也变得尤为重要。

本文将按类划分，总结空间角的求法方法。

立体角的求法
立体角是三维空间中用来描述四面体的角度大小的量，并且与其各个顶点相对应。

求解四面体的立体角可以通过以下公式进行计算：
V5 = 1/3(arccos(A1) + arccos(A2) + arccos(A3) - π )
其中V5指四面体的立体角，A1、A2、A3为三个向量的夹角余弦，pi 为圆周率。

平面角的求法
平面角是在二维平面中两个射线之间的角度大小，于是端点重合，两条射线叫做角的顶点，并记为O。

平面角的计算公式如下：
cosθ = a·b / |a||b|
其中，a和b分别表示两个向量，|a|和|b|表示向量的模，lala和lblb都为0，则cosθ没有定义。

球面角的求法
球面角是指在球面上相互靠近的两条弧（或线）之间的角度大小。

求解球面角需要先计算其对应的球面扇形的面积，然后进行换算即可，具体公式如下：
S = R²θ
其中R表示球体半径，θ表示对应的球面角。

总结
空间角的求法方法主要包括立体角、平面角和球面角三种。

其中立体角的求解需要根据四面体的三个向量夹角余弦值计算，平面角的计算需要先计算两个向量的点积并除以其模，而球面角的求解则需要先计算出对应的球面扇形面积。

这些空间角的求法方法可以帮助我们更准确地分析并解决各类问题。

平面对一点立体角的计算方式

平面对一点立体角的计算方式
平面对一点立体角的计算方式是通过求解平面内一条线段与该点所张成的角来得到。

假设该线段端点为A，点为O，且点O不在线段AB 所在直线上。

首先，通过计算线段OA和线段OB的长度，得到两个向量OA和OB。

然后，计算向量OA和向量OB的内积，再除以向量OA和向量OB的模的乘积，即可得到平面对点O立体角的计算结果。

也可以使用坐标表示的方法，给线段AB确定一个坐标系，然后通过计算点O 与坐标原点和线段的两个端点所形成的三个向量之间的积来求解立体角。

透镜的收集立体角计算

透镜的收集立体角计算
在光辐射测量中常用的几何量就是立体角，立体角涉及的是空间问题，任意光源辐射的能量都是辐射在它周围的一定空间内，因此在进行有关辐射的讨论和计算时也将是一个立体空间问题，与平面角相似，我们把整个空间以某一点为中心，划分成若干立体角。

立体角的单位：假定以锥顶为球心，以r为半径作一圆球，如果锥面在圆球上所截出的面积等于r2，则该立体角为一个'球面度'（sr）。

整个球面的面积为4πr2。

提出了一个逐次逼近的计算方法，扩展了对LED自由曲面透镜的计算能力。

首先用光通量线方法计算来自LED的n条光线的角度，使它们携带着相同的能量；再由照度分布要求求得像面上n个目标落点的位置。

设定一个尝试平面为透镜的最后一面，并任意给定此平面上的n个尝试折射点位置，从而得到n个总的光线偏折角。

按给定的透镜各面偏折光线能力的权重把总偏折角分配到各面，得到每个表面前后的光线角度，再用折射定律求得构成各面的n个连续的小面。

同时可得到光线的修正方向，用于下一次循环计算。

这样逐次逼近计算，直至误差满足预先给定的任意小量的要求。

新方法可以用于多种计算，包括像面照度分布事先给定、一个或多个透镜的形状的同步计算、远场或近场照明、照明面是平面或曲面，或者
以上这些情况的结合。

该方法有很强的计算能力，简单易行，且以一个很快的收敛速度达到相应的精度。