chapt14行波法
第七章 行波法(一)
第七章 行波法
利用初值条件确定函数 F，G
u( x,0) ( x)
ut ( x,0) ( x)
F ( x) G ( x) ( x)
a[ F ( x) G( x)] ( x)
x
a[F ( x) G( x)] C ( )d
x0
其中
x
x1
x2
内，因此该三角区域称为
决定区域。
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速 为a波的叠加，故称为行波法。
第七章 行波法
影响区域、依赖区间、决定区域
波动是以一定的速度 a 向两个方向传播的。
如果在初始时刻 t＝0，扰动仅仅在有限区间 [ x1 , x2 ] 上存在，则经过时间 t 后，扰动传到的范围为
x1 at x x2 at
第七章 行波法
无界弦振动的初值问题
2 2u 2 u x 2 a 2 x t u ( x, 0) ( x), u ( x, 0) ( x) t
第七章 行波法
2. 行波法的基本思想
这种方法是针对波动方程提出的。由于波动现象的普
1 过 x1 作斜率为 的直线 x x1 at a 1 过 x2 作斜率为 的直线 x x2 at a t 则 它们与区间 [ x1 , x2 ]
一起围成的三角形区域 中的任意一点 ( x, t ) 的 依赖区间都落在区间 [ x1 , x2 ]
x x1 at
x x2 at
遍性，对如何认识和解决波动问题，一直是物理学家和数 学家们长期探索的课题。 （1）波函数可写成位置和时间函数的分离形式，且波函数
是由无穷多个谐波分量叠加而成的，由此提出了分离变量
数学物理方法 行波法
利用初始条件u(x,0)=(x)和v(x,0)=(x)，得到
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d x at 2 2a
数学物理方法2015.02
第二节 特征线方法
举例
u u 2 0, x t u( x,0) e x2 , x R, t 0 xR
当 1/2a t 1/a
1 2 (1 x at ), 1 2 (1 x at ), u ( x, t ) 1 at , 1 (1 x at ), 2 1 2 (1 x at ), 1 at x at at x 1 at 1 at x 1 at 1 at x at at x 1 at
1 2
at x 1 at
当 3/4a t 1/a
x, 1 2 (1 x at ), u ( x, t ) 1 2 ( x at ), 1 ( x at ), 2 1 2 (1 x at ),
数学物理方法2015.02
2 x i i 1 n
2 n 2u u 2 a 2 2 t i 1 xi
方程变形为
2 2u u n 1 u 2 a 2 2 t r r r
当n=3时，可写为
2 2 ru ru 2 a 2 2 t r
数学物理方法2015.02
当 0t 1/2a
1 2 (1 x at ), 1 x, u ( x, t ) 1 at , 1 x, 1 2 (1 x at ), 1 at x 1 at 1 at x at at x at at x 1 at 1 at x 1 at
数学物理方法课件第七章-----行波法
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式
• 考虑如下定解问题（无界弦的自由振动问题）：
这里“无界”的理解： 如果考察的弦线长度很 长，而需要知道的 又仅仅是在较短的、离 开边界很远的一段范围 内的振动情况，则 远处的边界条件可以忽 略，可以那弦线的长度 视为无限或无界。
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式
两边再对积分，得
x at x at
u ( , ) f ( )d G ( ) F ( ) G ( ) 还原自变量，得到①的 通解为 u ( x, t ) F ( x at) G ( x at) ⑤ 其中，F ( )和G ( )为任意函数。
故 只 要 遇 到形 如 § 7.1中 的 定 解 问题 ( Ⅰ )的 问 题 ， 或 者 变 形 后 够 能化 为 这 类
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
四、关于达朗贝尔公式的应用
例2：使用行波法求解定解 问题 utt a 2u xx 0, - x , t 0 1 u | 0 , u | t t 0 t 0 1 x2 解：本例题为一维波动 方程的标准形式，可以 直接使用达朗贝尔 公式求解。 这里 ( x) 0, ( x) 1 , 故由达朗贝尔公式得 2 1 x
utt a u xx , ( Ⅰ )u |t 0 ( x) u | ( x) t t 0
2
- x
① ② ③
其中 ( x)和 ( x)为已知函数。
第七章-行波法
的物理意义
u2 f2 ( x)
u2 f 2 ( x a / 2)
a
a 2
u2
a
3a 2
u2
x
x
t 1
t 2
u2 f 2 ( x a)
u2 f 2 ( x 2a)
0
u2
2a
x
a
3a
x
随着时间 t 的推移，u2 f2 ( x at ) 的图形以速度 a 向 x 轴正方向移动，所以表示一
(t x / a) (t x / a)
(t x / a)
1 1 ( )d 2a x at 2a 1 2a
x at
x at
x at
0
1 1 ( )d ( )d 2a x at 2a
0 x at
0
x at
0
1 ( )d ( )d 2a x at
数学物理方程与特殊函数
第7章 - 行波法
2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次 二阶偏微分方程。 3 适用范围： 无界域内波动方程，等…
由一维波动方程建立通解公式，然后得到Cauchy问题解的表达式
数学物理方程与特殊函数
（一）波动方程的达朗贝尔公式
A. 变量代换
第7章 - 行波法
x
1 1 1 f1 ( x) ( x) ( )d [ f1 ( x0 ) f 2 ( x0 )] 2 a x0 2
1 1 1 f 2 ( x) ( x) ( )d [ f1 ( x0 ) f 2 ( x0 )] 2 a x0 2
x
数学物理方程与特殊函数
波动方程和行波法
f ( x0 , y0 , z0 , t )
其中 f ( x0 , y0 , z0 , t ) 为已知函数。
35
第二类边界条件（Neuman 边界条件）：
规定所研究物理量在边界外法线方向 n 上的
方向导数的数值.
u f n
u f ( x0 , y0 , z0 ) ， n ( x0 , y0 , z0 )
36
第三类边界条件（混合边界条件 也叫 Robin边界条件 ）：规定所研究物理量及其
外法向导数的线性组合在边界上的值
u Hun
( x0 , y0 , z0 )
f ( x0 , y0 , z0 , t )
u f H :常系数 u n
37
以上三类边界条件当 f 0 时，分别称为 第一、二、三类齐次边界条件。
22
应用微积分中值定理:
ux ( x dx, t ) T1ux ( x, t ) uxx dx
dy f ' ( x)dx
ux ( x dx, t ) T1ux ( x, t ) uxx dx
x Fdx dxutt
Tuxx dx Fdx dxutt
39
2 a u tt u xx 0 在这一点无意义.如果,将
l 分成 x x0 ，x x0 两段分别考虑，
在各段上,弦振动方程有意义，但它是一 根弦的两段，并不是各自振动的。从数学
上来讲，不可能在两端上分别列出定解问
题。两段可作为一个整体来研究，两段的 振动是相互关联的。
40
u
F（0,t）
15
即整根弦由相互牵连的质点组成，对每个
行波法求解偏微分方程
行波法求解偏微分方程引言偏微分方程是数学中重要的研究对象之一，它描述了自然界中许多现象的变化规律。
解决偏微分方程的问题在科学和工程领域具有广泛的应用。
行波法（也称为特征线法）是一种常用的方法，用于求解一阶和二阶偏微分方程。
本文将介绍行波法的基本原理、步骤以及应用示例。
行波法的基本原理行波法基于特征线理论，通过沿特定方向传播的特征线来求解偏微分方程。
对于一阶偏微分方程，其特征线可以直接得到；对于二阶偏微分方程，需要通过变换将其转化为一阶形式后再进行求解。
行波法的步骤1.对于一维偏微分方程，首先确定其特征线。
对于二维和三维情况，则需要确定多组特征线。
2.沿着特征线进行坐标变换，将原始偏微分方程转化为常微分方程。
3.解常微分方程得到参数函数。
4.将参数函数代入坐标变换公式，得到原始偏微分方程的解。
行波法的应用示例一阶偏微分方程考虑一维线性对流方程：∂u ∂t +a∂u∂x=0其中，a为常数。
根据行波法的步骤，我们可以得到特征线方程：dxdt=a解特征线方程可得特征线为直线x=at+C，其中C为常数。
将坐标变换x=at+C 代入原始偏微分方程，并进行求解，即可得到原始偏微分方程的解。
二阶偏微分方程考虑二维波动方程：∂2u ∂t2−c2(∂2u∂x2+∂2u∂y2)=0首先确定两组特征线：dx dt =c, dydt=c解特征线方程可得特征线为直线x=ct+C1和y=ct+C2，其中C1,C2为常数。
沿着特征线进行坐标变换：x′=x−ct−C1, y′=y−ct−C2将坐标变换后的偏微分方程进行求解，得到参数函数。
然后将参数函数代入坐标变换公式，即可得到原始偏微分方程的解。
总结行波法是一种求解偏微分方程的有效方法，通过确定特征线并进行坐标变换，可以将原始偏微分方程转化为常微分方程进行求解。
行波法在物理学、工程学等领域具有广泛的应用，可以用于描述波动、传热、扩散等现象。
掌握行波法的基本原理和步骤对于解决实际问题具有重要意义。
偏微分方程 行波法
偏微分方程行波法
偏微分方程的行波法是一种解决偏微分方程的数值方法，通过将偏微分方程转化为常微分方程进行求解。
行波法的基本思想是将偏微分方程的解表示为波函数的传播形式，即波的传播规律。
首先，行波法需要选择合适的波函数，通常选用一些已知的行波解，例如简谐波、脉冲波等。
然后，将这些波函数代入偏微分方程中，得到一系列常微分方程。
这些常微分方程可以用数值方法进行求解，例如欧拉法、龙格-库塔法等。
行波法的优点在于，通过将偏微分方程转化为常微分方程，可以大大简化计算过程，并且可以处理一些难以直接求解的偏微分方程。
此外，行波法还可以通过引入初始条件和边界条件，更好地模拟实际物理系统的运动规律。
但是，行波法也存在一些局限性。
首先，行波法只能求解一些具有特定形式的偏微分方程，对于一些复杂的偏微分方程可能无法得到满意的解。
其次，行波法的精度和稳定性也需要进一步研究和改进。
总的来说，偏微分方程的行波法是一种非常有用的数值方法，对于解决一些实际物理问题具有重要意义。
未来，随着科学技术的不断发展，相信行波法也会得到更多的改进和完善。
行波法
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例7、求下面柯西问题的解：
2u x 2
2
2u xy
2u 3 y 2
0
u
y0
3x 2 ,
u y
y0 0
解：特征方程为：
dy2 2dxdy 3dx2 0
特征线方程为：3x y C1, x y C2
引入阶跃函数：
H
(x)
0( x 0) 1(0 x )
则： H (x) (x)
所以定解问题的解可以进一步表达为：
u(x,t) I
2a
xx0 at ( )d
xx0 at
I
2a
H ( )
xx0 at xx0 at
I
2a
H
x
x0
at
H
x
x0
at
8
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(一)、无界域上波动方程定解问题求解
1、达朗贝尔公式
无限长细弦的自由横振动的齐次定解问题为：
utt a2uxx (x R,t 0)
u t0 (x) ut t0 (x)
(1) 由第2章第4节的方法，求出泛定方程通解为：
u(x,t) f1(x at) f2 (x at)
t 0
xa(t ) xa(t )
f
(, )d d
15
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
14 波动方程的行波解
解：将初始条件代入达朗贝尔公式
u ( x)
( x at ) 1 [ e 2
2
2
e
( x at ) 2
]
1 2a
( x at ) 1 [ e 2
e
( x at ) 2
]
1 2
x at x at
x at
2ase
s 2
ds
( x at ) 1 [ e 2
右行波解：
u( x, t ) ( x at)
左行波方程
左行单波方程初值问题（其中常数 a 0 ）
u u 0 t 0, x R a x t u t 0 ( x)
练习
求左行波解？
左行波方程
左行单波方程初值问题（其中常数 a 0 ）
u u 0 t 0, x R a x t u t 0 ( x)
练习 答案：
求左行波解？
u ( x, t ) ( x at)
左行波解
左行单波方程初值问题（其中常数 a 0 ）
u u 0 t 0, x R a x t u t 0 ( x)
2
2
e
( x at ) 2
] 1 [ e 2
x at x at s 2
e
s 2
ds2
e ( xat )
x at
例 特征边值问题（Goursat问题） 2 2u u 2 t 2 a x 2 , t x t , t 0 u ( x), x 0 x at 0 其中 (0)＝ (0) u x at 0 ( x), x 0 解：将定解条件代入通解 u( x, t ) f ( x at ) g ( x at ),
行波法与积分变换法-3-0
（一）达朗贝尔公式（一维波动方程的解） 达朗贝尔公式（一维波动方程的解） 但事情往往并不是绝对的， 但事情往往并不是绝对的，在少数情况下不仅可以求出偏微分方程的 通解(指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解。 通解 指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解。 指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解 本节我们就一维波动方程，来建立它的通解公式， 本节我们就一维波动方程，来建立它的通解公式，然后由它得到初值 问题解得表达式。 问题解得表达式。
下面， 条件： 下面，我们将利用初始 条件：
( 3.7 )
u( x ,0) = ϕ ( x ) , ut ( x ,0) = ψ ( x )
来确定（ 从而得到它的解。 来确定（3.6）式中的任意函数 f 1 、f 2 , 从而得到它的解。
由 u( x , t )
t =0
= ϕ ( x ) ，得
f1 ( x) + f2 ( x) = ϕ ( x)
方程
2 ∂ 2u 2 ∂ u =a 2 ∂t ∂ x2
，在条件 u( x ,0) = ϕ
和 ut ( x ,0) = ψ
下的解
u( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] +
1 2
1 2a
∫
x + at
x − at
ψ (ξ )dξ
( 3.11)
为什么这里的积分限会是如此？ 为什么这里的积分限会是如此？
然后，利用初始条件，确定通解中的任意常数， 然后，利用初始条件，确定通解中的任意常数，
从而得到特解。 从而得到特解。
对于偏微分方程， 一般说来是不行的， 对于偏微分方程，能否采用类似的方法呢 ？一般说来是不行的， 原因之一：在偏微分方程中，相对而言较难定义通解的概念。 原因之一：在偏微分方程中，相对而言较难定义通解的概念。 原因之二：即使对某些方程能够定义并求出通解， 原因之二：即使对某些方程能够定义并求出通解，但此通解中包含有任意 函数，要由定解条件确定出这些任意函数， 函数，要由定解条件确定出这些任意函数，往往会遇到很大的 困难。 困难。
第三章 行波法
,那么在 之间呢？我们不能回答这个问题，事实上，当 时， ，取极限就是把不等的部分补上了。不过，要严格证 明这个问题， 需要用到 函数， ， 它相当于(3.1.14)的极限形式。 直接的推导见[23]p206-210，那里也称之为冲量法。
6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
，
另一推导见[24] P58-60，[1]p54-57
在唯一解 证明 注意到 Dalembert 公式知道 Cauchy 问题(3.1.13)的解。 初始条件：显然 是
1. 一维波动方程的 Cauchy 问题
1.1 一维齐次波动方程的 Cauchy 问题
1.1.1 DAlembert 公式 考察齐次弦振动方程的 Cauchy 问题 (3.1.1) 为求此问题的解，注意到弦振动方程有两簇特征线 为新的坐标轴，则可将弦振动方程化为第一标准型，为此引进坐标变换 由链式法则可将(3.1.1)的泛定方程化为 (3.1.3) 两边对 积分再对 积分得 (3.1.4) 代回到原变量 可得原方程的一般解 (3.1.5) 其中 与 是两个任意连续可微函数。 为了求 Cauchy 问题(3.1.1)的解，还须适当地选取 使得初始条件成立，但我们实际 做的却是用初值去定出这两个任意可微函数。将初值代入通解(3.1.5)得 (3.1.6) (3.1.7) 对(3.1.7)积分得 ，若以特征线 (3.1.2)
，则
必是半无界问题(3.2.3)的解。
我们将
表为更明确的形式。
(3.2.5) 这样我们求得了半无界问题(3.2.3)的形式解。为了保证形式解(3.2.5)的确是问题(3.2.3) 的解，还须对右端函数加上一定的条件，例如，我们可以证明： 定理 3.5 如果 ， 且适 合如下的相容性条件， ，则半无界问题(3.2.3)的解 ，该解由公式(3.2.5)表出且在有限时间内按最大模一致稳定。 证明 我们只证相容性条件，其余留着习题。 注意到初始条件 ，边界条件 ， 。而 。由 的 ，由 所以 。/// 2.2 再看 的情形 ，则原问题(3.2.1)化为在 ，从而 ，从而 得
行波——精选推荐
一、其他测距的方法？（听诊法，短距长距分别用什么）二、故障测距各方法的优缺点？为什么选择行波法？三、行波法需要解决哪些问题？目的，定位精度等。
四、行波法各种方法的原理？确定使用哪一种？五、行波法市面上使用的产品（程度、问题、技术发展现状）四、行波法各方法原理：A型装置利用故障点产生的行波在测量点到故障点间来回往返的时间与行波波速之积来确定故障位置；B型装置利用故障点产生的行波到达两端的时间差与波速之积来确定故障位置；C型装置是在故障发生时于线路的一端施加高压高频或直流脉冲信号，根据脉冲往返时间来确定故障位置；D型装置是在 B型装置的基础上建立了基于全球定位系统（Global Positioning System，GPS）精确对时的双端行波法，使得行波故障测距的实现既简单又精确稳定，并且有良好的适应性；E型装置出现时间稍晚，它采用单端方式，原理是捕捉线路发生故障后的断路器重合闸产生的电流行波进行定位，它同样可以测量永久短路故障、开路故障以及在健全线路中测量线路全长；F型装置原理（单端测距原理）则利用故障线路在断路器分闸时产生的暂态行波在行波的测量点与产生故障的地点之间往返一次的传播所用的时间与行波的速度积计算发生故障点的距离。
（1）A型行波法原理A型法是一种单端行波测距法，其利用线路故障时自身产生的暂态行波信号实现故障定位。
在牵引网输电线发生故障时，故障产生的行波浪涌在故障点及母线之间来回反射，利用故障线路在测量端感受到的第一个正向行波浪涌与其在故障点反射回的行波信号之间的时间差，计算测量点到故障点之间的距离。
单端A型测距原理示意图设S端为测量端,波速为v，故障初始行波与故障点反射波到达本端母线的时间分别为Ts1,Ts2,则故障距离原理可用公式表示为：当故障点在线路中点以内时,来自故障线路方向的第二个同极性行波波头是故障点反射波,根据它与故障初始行波的时间差△t,利用上式来实现测距。
当故障点在线路中点以外时,来自线路方向的第二个行波波头是来自故障线路对端的反射波,虽然电流行波在对端一般产生正反射以及故障点透射系数为正数,由于向对端运动的故障初始行波与向本侧运动的初始行波反极性,故对端反射波在本侧记录下的行波波形上与故障初始行波反极性。
行波法
依赖区间
x at
x at
x
相关概念
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) xat ( )d 2 2a
t
x x1 at
x x2 at
x at C
决定区域
特征线
x1
x x1 at
于是有
1 t x a ( t ) u ( x, t ) 0 x a (t ) f ( , )dd 2a 1 f ( , )dd 2a G
50
( x, t )
x
a( t )
G
2013-9-27
附：齐次化原理的数学证明
利用参变量积分的求导
31
2013-9-27
2u 2u a2 2 0 例3： t 2 x u ( x ), u x at 0 ( x ) x at 0 (0) (0)
解：令 u( x, t ) F ( x at) G( x at)
x2
x
x at
x x2 at
t
影响区域
x at
特征变换
x1
29
x2
x 行波法又叫
特征线法
下午7时21分
2u 2u 2 a2 2 0 例1： t x u t 0 cos x, ut t 0 x
解：由达朗贝尔公式
( x at) ( x at) 1 x at u ( x, t ) ( )d 2 2a xat
的解，则 u( x, t ) w( x, t; )d 是
第9章 行波法
第九章 行波法§34行波法行波法只适用于波动方程，它本身具有明确的物理意义 。
§34.1达朗伯公式.行波讨论一线密度为ρ，张力为T 的无限长均匀轻弦，并设初始位移为()x ϕ，初始速度为()x ψ，则定解问题为()()2000tt xx t tt u a u ux u x x ϕψ==⎧-=⎪⎨==-∞<<∞⎪⎩由22121122a a a a -=知该微分方程为双曲型，由特征方程： 211122220dy dy a a a dx dx ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 得2210dt a dx ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ 即22dx a dt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则特征线为1x at c -=和2x at c += 作变换,x at x at ςη=-=+， 于是有0u ςη= 即()()12u f f ςη=+，其中1f 和2f 为任意函数，代入原自变函数形式为()()()12,u x t f x at f x at =++-。
讨论：1、函数叠加；2、函数传播；3、对于有限区间，两独立函数乘积由初始条件有：()()()()()()()()()()()012121210201xx f x f x x af x af x x f x f x d f x f x a ϕψψςς⎧+=⎪⎨''-=⇒-=+-⎪⎩⎰ ()()()()()()()()()()001102021020111222111222x x x x f x x d f x f x a f x x d f x f x a ϕψςςϕψςς⎧=++-⎡⎤⎣⎦⎪⎪⎨⎪=---⎡⎤⎣⎦⎪⎩⎰⎰ 则()()()()11,22x atx at u x t x at x at d aϕϕψςς+-=++-+⎡⎤⎣⎦⎰物理意义：对于无限长弦的自由振动，任意扰动是以行波的形式向两方传播出去，波速为a 。
讨论： ①()()()00,0x x u x t ϕψ==⇒=②()()()()()()()()1,021,2t u x x x x t u x t x at x at ϕϕψϕϕ==+=>=++-⎡⎤⎣⎦③01212(,0)0(,)(,0)0(,)x x x x x x x x ϕψψ=⎧⎪∈⎧⎨=⎨⎪∉⎩⎩11012210211(,)()()22()()011()()()221()2x at x atx u x t d d a a x at x at x x x d x x x x x a a x x x x aψξξψξξψξξψψ+--∞-∞-∞=-≡Φ+-Φ-⎧⎪≤⎪⎪Φ==-≤≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩⎰⎰⎰P172-174§34.2 端点的反射研究半无限长弦的自由振动，其定解问题为：①()()220000000ttxx t t t x T u a u a x u x u x x u ρϕψ===⎧-==<<∞⎪⎪⎪==≤<∞⎨⎪=⎪⎪⎩由边界条件00x u==知，若其将半无限长弦看做无限长弦的0x ≥部分，则(),u x t 应为奇函数，相应的()x ϕ和()x ψ也应作奇拓展。
第二章 行波法
dx/dt=a
dx/dt=-a
x
x-at
x+at
下面考虑区间[x1, x2]上的初始条件，所能影响区域和所能 决定区域。 t t
dx/dt=-a
dx/dt=a
影响区域 a dx/dt=a x1 x2 x x1
dx/dt=-a
决定区域
x2
x
在影响区域内任意一点的位移值都要受该区间上初始条件的 影响，影响区域内包含一个决定区域，该区域内任意一点的 位移值都由[x1, x2]上的初始条件决定。
x at x at 2 2
于是在特征线，得表达式
ux, t 0 x ux, t x o x at 0 x at 0
椭圆型方程的初值稳定性
讨论阿达玛 (Hadamard) 问题
(B)
2u 2u a2 2 , 2 x t u x,0 x , ut x,0 x , u x,0 x , u x,0 x , t
x ,t 0 0 x x 0
达朗贝尔公式 举例 2
试求一维齐次波动方程初值问题
2u 2u 2 , x ,t 0 2 a t x 2 u x,0 x x , u x,0 a x x t 2 2 2 2 2
-0.5 O
0.5
x
at = 1
左行波
1 x at 2
u
-1 u
O
x
右行波
1 x at 2
O
1
x
chap134导波场分析2分类导波特性收集资料
3.变量分离
E&z (u, v, z) E&z (u, v)Z&(z)
场分布，有横向分布，纵向分布
4.由场纵向分量求 场横向分量的关系式
E&x (u,
图(b)给出的传输线叫做同轴线。它是封闭式双导体导波系统即 同轴线。同轴线是由内、外导体构成的，它对电磁波能量具有屏蔽、 约束的作用，因此可以避免辐射损耗。 其间填充介质系数为εμ的无 耗介质。
但是，随着电磁波频率的继续升高，趋肤效应加重，流经导体 的电流越来越“挤向”导体表面，这相当于导体的横截面变小。
8.854 1012
(F/m)
0 4 107 1.2566106 (H/m)
1.2 导波的场分析 (附录II)
r0
r 0
电流连续性方程，由式(Ⅱ.1b)和(Ⅱ.1c)可得电流连续
性方程
r
• J j 0
(Ⅱ.5 )
1.2 导波的场分析 (附录II)
矢量波动方程或矢量r亥姆霍兹r方程
1.2 导波的场分析 (附录II)
边界条件
(一) 一般介质的边界条件
介质1 11 和介质2 22 分界面r上有表面自由电荷ρs和
表面传导电流Js的边界条件，设 为n分界面法向(指向介质
1)单位矢量，则边界条nr 件 为Er1
r E2
0
nr
rr H1 H2
r Js
nr •
rr D1 D2
麦克斯韦方程组
一 在均匀、线性、各向同性媒质中正弦电磁场的麦克斯
韦方程组
r
r
E jH
(Ⅱ.1a )
rr
rr
r
r
H J j E E j E j&E (Ⅱ.1b )
数学物理方法之行波法与达朗贝尔公式
数学物理方法泰山医学院于承斌cbyu@第十四章行波法与达朗贝尔公式14.1 二阶线性偏微分方程的通解对于给定的偏微分方程，一般不能简单的确定通解，但对简单的标准形式的方程或一个标准形式进一步化简后，有的可以得到通解。
例14.1.1 求偏微分方程的通解为:板书讲解P280例14.1.2 求偏微分方程的通解为:板书讲解P28114.2 二阶线性偏微分方程的行波解通解法中有一种特殊的解法――行波法, 即以自变量的线性组合作变量代换，进行求解的一种方法，它对波动方程类型的求解十分有效.1.简单的含实系数的二阶线性偏微分方程为了方便起见，我们首先讨论如下的含实常系数的简单二阶线性偏微分方程xx xy yy au bu cu ++=(14.2.1)方程中的系数,,a b c 为实常数．,,a b c (,)x y （说明：这里我们用了小写字母表示它是实常数，而不是的函数）假设方程的行波解具有下列形式(,)()u x y F y x λ=+代入方程即得2()()()0a F y x b F y x cF y x λλλλλ′′′′′′+++++=需要求方程的非零解，故20a b c λλ++=(14.2.2)''()0F y x λ+≠上述方程变为(i) 240b ac ∆=−>12(,)()()u x y F y x G y x λλ=+++(14.2.3)240b ac ∆=−=(ii) 122b aλλ==−对应于抛物型方程，式(14.2.2)有相等的实根11(,)()()u x y F y x xG y x λλ=+++(14.2.4)对应于双曲型方程，式(14.2.2)有两个不同的实根12,λλ240b ac ∆=−<12i ,i λαβλαβ=+=−(iii) ，对应于椭圆型方程，式（14.2.4），则有两个虚根12(,)()()[()i ][()i ]u x y F y x G y x F y x x G y x x λλαβαβ=+++=++++−(14.2.5)2. 更为一般的含实常系数的偏微分方程如果方程具有更一般的形式222220u u u u u a b c d e fu x x y y x y ∂∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂∂∂(14.2.6)其中,,,,,a b c d e f 均为实常数．我们可以令(14.2.7)代入方程（14.2.6）得(14.2.8)(,)mx ny u x y e+=220am bmn cn dm en f +++++=12()()12(,)mx n m y mx n m y u x y c ec e ++=+14.2.92(i) 40,b ac −>双曲型，上述方程有两个不同的实根，则1(),n m 2()n m 2(ii) 40,b ac −=抛物型，上述方程有相等的实根，则12()()n m n m =(14.2.11)2(iii) 40,b ac −<椭圆型，上述方程有两个共轭虚根，则12()(),()()n m i m n m i m αβαβ=+=−[()()][()()]12(,)mx m i m y mx m i m yu x y c e c e αβαβ+++−=+(14.2.10)（注明：上式中的第二项乘以x 是为了保证两根线性独立）12()()12(,)mx n m y mx n m yu x y c e c xe ++=+例题14.2.1 14.2.2 14.2.3 14.2.4 讲解本节以行波解法为依据，介绍求解定解问题的达朗贝尔公式.14.3.1 达朗贝尔公式设有一维无界弦自由振动（即无强迫力）定解问题为14．3 达朗贝尔公式2,0(14.3.1)0(,0)()(.0)()tt xx t x t u a u u x x u x x ϕψ−∞<<+∞>−===容易得知偏微分方程的判别式240a ∆=>，该方程为双曲型．由22a λ−=12 , a aλλ==−泛定方程（14.3.1）的通解为12(,)()()u x t F x at F x at =++−(14.3.2)其中12,F F 是任意两个连续二次可微函数．我们使用初始条件可确定12,F F 函数．注：本问题由于涉及无界弦问题，故没有边界条件，只有初始条件。
数理方程：第7讲行波法
在 x t平面上斜率为
1 a
的两族直线 x at 常数
对一维波动方程的研究起到重要作用,
称这两族直线为一维波动方程的特征线, 变换
x at
称为特征变换, 行波法也叫特征线法.
x at
一维波动方程
utt a2uxx
的两族特征线 x at 常数 恰好是常微分方程
dx2 a 2 dt2 0
的积分曲线, 这个常微分方程称为它的特征方程 .
一般的二阶线性偏微分方程
Au xx 2Bu xy Cu yy Du x Eu y Fu G, (*)
它的特征方程为 Ady2 2Bdxdy C dx2 0
这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程(*)的
特征曲线.
2u 2 2u 2u
2 2
代入方程化简得:
2u 0
它的通解为
u( ,) f1( ) f2 ()
于是，原方程的通解为
u(x, y) f1(3x y) f2 (x y)
代入初条件始得
f1(3x) f2 (x) 3x2
f1(3x)
f
2
(
x)
0
第二式的两端得关于x 积分得
2u x2
(3 u
u )
x
(3 u
u
)
x
9
2u
2
6
2u
2u
2
2u (3 u u ) (3 u u ) xy y y
3
2u
2
2 2u
2u
2
u u u u u y y y
3x y x y
2u ( u u ) ( u u ) y2 y y
1 3
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定义 14.4.1 电像法
考虑一个具体的物理模型：设在一接地导体球内的 M 0 点 放置一个单位正电荷，求在体内的电势分布，并满足边界条件为零
对于第一类边值问题，其格林函数可定义为下列定解问题的解
G(r , r0 ) (r - r0 ) G(r , r0 ) | 0
（14.4.1）
G
S
r
r 2 sin d d
(14.3.6)
故有
G
S
r
r 2 sin d d G(r ,0)dV 1
T
使上式恒成立，有
4πr
2
G(r ,0) r
1
1
G(r ,0)
4πr
c
r ， G 0 因此 c 0 ,故得到
对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为
及其边界
上具有连续一阶导数,
T
中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理
A S AdV = d
T
T
divAdV
(14.1.1)
单位时间内流体流过边界闭曲面S的流量
单位时间内V内各源头产生的流体的总量
将对曲面
的积分化为体积分 (14.1.2)
uv S uv )dV uvdV u vdV d (
]dS0
(14.2.22) (14.2.23)
第三边值问题的解为 u (r )
1
(r0 )G(r , r0 )dS0
14.3 无界空间的格林函数
基本解
无界区域这种情形公式（14.2.10）中的面积分应为零，故有
u (r ) G (r , r0 ) f (r0 )dV0
（14.2.18）
相应的格林函数 G(r , r0 ) 是下列问题的解：
G (r , r0 ) (r - r0 ) [ G G (r , r0 ) n ] 0
（14.2.19）
（14.2.18）的边值条件，两边同乘以格林函数 G
G[ u
（14.3.9）
将（14.3.9）代入式（14.3.1）得到二维无界区域的解为
u (r ) 2π 1 f (r0 )ln 1 | r r0 | dS0
S0
14.4 用电像法确定格林函数
用格林函数法求解的主要困难还在于如何确定格林函数本身 一个具体的定解问题，需要寻找一个合适的格林函数 为了求解的方便，对一些具体问题我们给出构建格林函数的方法
考虑到格林函数的齐次边界条件，由公式（14.2.9） 可得第一类边值问题的解
u (r0 ) G (r , r0 ) f (r )dV ( r )
T
G (r , r0 ) n
dS
（14.2.13）
另一形式的第一类边值问题的解
u (r ) G (r , r0 ) f (r0 )dV0 (r0 )
]dS
(.9)
称式(14.2.9)为泊松方程的基本积分公式．
格林函数满足互易定理 并利用格林函数的对称性则得到
u (r ) G (r , r0 ) f (r0 )dV0 [G (r , r0 )
T
u (r0 ) n0
u (r0 )
G (r , r0 ) n 0
(u (r )
G n
G
u (r ) n
) dS (u (r )G Gu ( r ))dV
T
（14.2.6）
即为 [G u u (r ) G ] dS (Gu (r ) u(r )G)dV n T n
[G ( f (r )) u (r ) (r r0 )]dV
[ u u n ] (r )
(14.2.1) （14.2.2）
(r )
是区域边界
上给定的函数.
是第一、第二、第三类边界条件的统一描述
典型的泊松方程（三维稳定分布）边值问题
u (r ) f (r ) u [ u n ] ( r )
格林函数互易定理：因为格林函数 处的脉冲（或点源）在
G(r , r0 ) 代表
r0
r
处所产生的影响（或所产生的场）,
所以它只能是距离| r r0 | 的函数, 故它应该遵守如下的互易定理：
G(r , r0 ) G(r0 , r )
（14.2.5）
根据格林公式（14.1.4） 令 v G(r , r0 ) 得到
T
进一步改写为
(u
v n
v
u n
)dS (uv vu )dV
T
（14.1.4）
n
表示沿边界 的外法向偏导数．
称式（14.1.4）为第二格林公式．
14.2
泊松方程的格林函数法
讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题．
泊松方程 边值条件
u (r ) f (r )
T
(14.2.7)
根据 函数性质有：
u(r ) (r r )]dV u(r )
T 0 0
(14.2.8)
故有
u (r0 ) G (r , r0 ) f (r )dV [G(r , r0 )
T
u (r) n
u(r )
G (r , r0 ) n
因为
T
G(r ,0)dV (r )dV
T
T
T
(r )dV 1
G(r ,0)dV G(r ,0)dV
T
S
G(r ,0) S d
由于
G
G r
er , G
只是垂直于轴，且向外的分量，所以上式在
圆柱体上、下底的面积分为零，只剩下沿侧面的积分，即
r
r
点产生的场的总和. 第二个积分则代表边界上的状况对
点场的影响的总和．两项积分中的格林函数相同．这说明 泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的 场．
对于拉普拉斯方程
第一边值问题的解为
f (r0 ) 0
u (r ) (r0 )
G (r , r0 ) n 0
T T T
以上用到公式 (uv) u v uv 称上式为第一格林公式．同理有
vu S vu)dV vudV v udV (14.1.3) d (
T T T
上述两式相减得到
(uv vu) S (uv vu)dV d
u n
] G (rp )
（14.2.19）的边值条件的两边同乘以函数
u
得
u[ G
相减得到
[G
u n u
G n
G n
] 0
] G
代入（14.2.9）得到第三类边值问题的解
u (r0 ) G(r , r0 ) f (r )dV
T
n
(14.2.3)
表示边界面
上沿界面外法线方向的偏导数
1.格林函数的引入及其物理意义
引入：为了求解定解问题（14.2.3），我们必须定义 一个与此定解问题相应的格林函数 G(r , r0 ) 它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类 条件：
G (r , r0 ) (r r0 ) G [ G n ] 0
（14.2.4）
(r r0 ) 代表三维空间变量的 函数，在直角坐标系中其形式为
(r r0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
（14.2.4）式中
函数前取负号是为了以后构建格林函数方便
格林函数的物理意义【2】：在物体内部（T 内） r0 处放置一个单位点电荷，而该物体的界面保持电位为零, 那么 该点电荷在物体内产生的电势分布，就是定解问题(14.2.4)的解 ――格林函数．由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函 数为点源函数．
第十四章
格林函数法
格林（Green）函数，又称为点源影响函数，是数学物理中
的一个重要概念．格林函数代表一个点源在一定的边界条件下和 初始条件下所产生的场．知道了点源的场，就可以用叠加的方法 计算出任意源所产生的场． 格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一．
14.1 格林公式
u (r )和v (r ) 在区域 T
（14.3.4） （14.3.5）
G(r , 0)dV (r )dV
T T
(r )dV 1
T
利用高斯定理（14.1.1）得到
T
G(r ,0)dV G(r ,0)dV G(r ,0) dS
T S
G(r , r0 ) 1 4π | r r0 |
（14.3.7）
代入 （14.3.1）得到三维无界区域问题的解为
u (r ) 4π 1 f (r0 ) | r r0 | dV0
T0
（14.3.8）
上式正是我们所熟知的静电场的电位表达式
14.3.2 二维轴对称情形
用单位长的圆柱体来代替球．积分在单位长的圆柱体内进行，即
（14.2.16）
由公式（14.2.9）可得第二类边值问题解
u(r0 ) G(r , r0 ) f (r )dV (r )G(r , r0 )dS
T
（14.2.17）
3.第三类边值问题
u (r ) f ( r ) [ u u n ] (rp )