立体几何线面垂直的证明

立体几何证明

【知识梳理】

1 •直线与平面平行

判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行•（•'线线平行三线面平行”）

性质定理:如果一条直线和一个五f平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行・（“线面平行=线线平行”）

2••直线与平面垂直

判定定理一如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直三线面垂直”）

判定定理二:如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.

性质1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。

（线面垂直三线线垂直）

性质2:如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.

三。平面与平面

空间两个平面的位置关系：相交、平行.

1.平面与平面平行

判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行亠面面平行”）

2两个平面垂直

判定定理：如果一条直线与一个平面垂直,那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直三面面垂直”）

忤质疋理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.（面面垂直=＞线面垂直）

知识点一

【例题精讲】

1.在棱长为2的正方体ABCD-A/CD中,E、F分别为DD{. DB的中点。

(1)求证：EF//平面ABC}D{； (2)求证：平面BDG丄B】C EF丄§C;

(3)求三棱锥B\—EFC的体积V.

2•如图所示，四棱锥P-ABCD底面是直角梯形,

84 丄AD, CD 丄AD, CD = 2 AB. P4 丄底面AB CD、E 为PC

的中点，PA=AD=AB=1.

(1)证明：EB//平面PAD ;

(2) 证明：BE丄平面PDC ■,

(3) 求三棱锥B-PDC的体积K

3、如图所示，在四棱锥BCD中，PA丄底面 A BCD, AB丄AD, AC 丄CD,Z ABC=60。，PA=AB= B C , E 是PC 的中点，证明：

(1) AE丄CD ( 2 ) PD丄平面ABE・

4、・如图，三棱柱 ABC-AiBiCi 中，CA=CB, A B =A A h ZBA A 1= 6 0 °( I )证明:

1、如图，菱形ABCD 与等边APAD 所在的平面相互垂直,AD=2,ZDAB=6 0°. (I )证明:AD 丄PB; ( II )求三棱锥C ・PAB 的高.

2•如图1-4所示,呂^和厶BCD 所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2y ZA BC=ZDBC= 1 2 0°, E,F,G 分别为AC,DC, AD 的中点.求证:EF 丄平面 BCG ；

3 •如图1・1所示三棱柱ABC^AiBiCi 中，点4i 在平面ABC 内的射影D 在AC 上, ZACB= 9 0 ° , BC= 1 , AC=CCj=2.

(1)证明：ACi± A }B-

4、如图，在三棱台 ABC - DEF 中，平而 BCFE 丄平而 ABC,ZACB=90°.BE=EF= F C=h

BC=2,AC=3・(【)求证：BF 丄平面ACFD ： (1【)求直线BD 与平而ACFD 所成角的余弦值

.

5、三棱锥P-ABC 中，ZBAC= 9 0°, PA=PB=PC= BC=2 A B=2, (1 )求证：而PBC丄而ABC

6・已知四棱锥P—ABCD中，底面四边形为正方形,侧面PDC为正三角形，且平面

PDC丄底面ABCD, E为PC的中点.(1 )求证:PA〃平面EDB ；

(2)求证:平面EDB丄平面PB C ；

7、如图，在四棱锥P-ABC D中，底面ABCD为矩形，平面PAB丄平面ABCD, PA丄PB,B P=BC,E为PC的中点.(1)求证：AP〃平面BDE；

2•求证BE 垂直平面PAC

8、将如图一的矩形ABMD沿CD翻折后构成一四棱锥M - ABCD(如图二)，若

在四棱锥M・ABCD中WMA=V3・(1)求证：AC丄MD： (2)求四棱锥M - AB

CD的体积.

作业 1、如图1,菱形ABCD 的边长为12,ZBA D=6 0°,AC 交BD 于点O ・将菱形AB CD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ・ACD,点M, N 分别是棱BC, AD 的中 点，且DM=6V2・

(I )求证：OD 丄平面ABC ；

2、如图，在斜三棱柱ABC ・Ai B ] C 冲，O 是A C 的中点AO 丄平面ABC,ZBCA=90°,

3、如图所示，四棱锥P - A BCD 的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面

ABCD 是ZA BC = 60°的菱形,M 为PC 的中点,PC=V6・(I )求证:PC 丄AD;

E — 图

二

AA l=AC=BC. ( I )求证：AjB 丄AC M

4、如图，四棱锥 P —ABCD 中,API 平面PCD, AD 〃BC, AB=BC=1A D,E,

2

F 分别为线段AD, PC 的中点.

5、如图，四棱锥s-ABCD 中,AB 〃CD, BC 丄CD,侧而SAB 为等边三角形・AB=B C=2, CD=LSD=^7.(1)证明：CD 丄 SD ；

6 •如图，四棱锥S - ABC D 中，ZiABI)是正三角形,CB=CD, SC 丄BD ・

(【)求证：SB=SD ： ( II )若ZBCD=1 2 0。，M 为棱SA 的中点，求证：DM 〃平而SBC. 7、如图,在矩形A3CD 中，点E 为边AD 上的点，点F 为边CD 的中点， 7

AB = AE = -AD = 4,现将AABE 沿BE 边折至APBE 位置，且平面丄平面 3 BCDE. (1 )求证：

(II)求证：BE 丄平面

PAC.