各年高数上试题

01—08级高等数学(上)期末试题集2001级高等数学（上）期末试卷一、填空题（每小题3分、共24分）1、01lim sinx x x→=; 2、2 dx dx =;3、设)(x f 在[,]a a -连续并且为偶函数,则⎰-=aadx x f )(;4、⎰= nxdx;5、过点)1,2,3(1-M 和)2,0,1(2-M 的直线方程是 ;*6、已知级数1n n u S ∞==∑,则级数11()n n n u u ∞+=+∑的和是 ;*7、.曲线x x y ln 2-=在1=x 点处的曲率是 ;8、函数, 0(), 0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩在点0=x 处的导数为 ;二、计算下列各题(每小题5分,共25分)1、240ln(13)lim ln(3)x x x →++ 2、)arcsin(ln x x y =求y '..3、求由方程sin ()0y x xcos x y -+=所确定的隐函数)(x y y =的导数y '.4、⎰++dx x x 1322 5、⎰三、计算下列各题(每小题5分,共25分) 1、dx x ⎰--)1(112、⎰-xedx1323、判别级数∑∞=+1311n n 的敛散性 4、求幂级数∑∞=+1212n nn n x 的收敛区间5、设点A,B,C 的坐标分别为A(2,3,-1),B(1,1,1)及C(0,4,-3)求23,,- 及C AB A ⋅.四、(7分)求幂级数∑∞=----112112)1(n n n n x 的收敛区间,并求和函数.五、(7分)求过点P(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742:z y x z y x L 垂直的平面方程.六、(6分)求由曲线b y x y ln ,ln ==及0(0)x b =>所围图形的面积.七、(6分)讨论x x x f ln )(=在其定义域上的最大值与最小值.2002级高等数学（上）期末试题一、填空题（3分×10=30分） 1、若s 2lim23x inax x →∞=,则a = .2、函数1,1,1x x y a x x -≥⎧=⎨-<⎩,当a = 时连续.3、设⎰=Φ,sin )(2dt t t x b x则=Φdxd . 4、曲线sint cos 2x y t=⎧⎨=⎩在4π=t 处的法线方程为 .5、当a 时,点(1, 3)为3232y x ax =-+的拐点. 6、设cosx 是)(x f 的一个原函数,则)('x f = .7、⎰=--dx xx221211arcsin .8、设+-=+-=2,53，则a b ⋅= .*9、级数∑∞=+1)1(1n pn 当p 时发散. 10、2332)(x x x f -=在[1-4]上的最小值为 . 二、试解下列各题（5分×3=15分）1、02sin limx x tdt x→⎰.2、设)()(x f x e e f y =，其中)(x f 可导，求dxdy. 3、设x x y cos =，（0x >），求dy . 三、求积分（5分×4=20分）1、⎰dx e e xx )sin( 2、3、⎰-221xxdx4、10arctan x xdx ⎰*四、[9分]设平面图由xy x y 1,2==及x=2所围成，求： 1）平面图形的面积A （要求作草图）; 2）平面图形绕x 轴旋转的体积x V .五、[9分]一直线过点（0，2，4）且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行，求直线方程.六、[5分]判断级数∑∞=12!n n n 的收敛性.七、[8分]设幂级数 ++++753753x x x x1）、写出它的一般项;2）、求收敛半径及收敛域.八、[4分]证明：当1>x 时ex e x>2003级高等数学（上）期末试卷一、填空题：（共10题，每题3分）1、数列6661,1010,10n n x n n ⎧ < ⎪=⎨⎪ ≥ ⎩，则lim n n x →∞=___________________________.2、()f x 在0x 的某去心邻域内无界是0lim ()x x f x →=∞的___________________条件.3、0x =是1()sinf x x xα=的可去间断点,则常数α的取值范围是____________________.4、()f x 可导, 0(1)(1)lim12x f f x x→--=-, 则曲线()y f x =在点[1,(1)]f 处的切线斜率是____________________.5、()(),(),y f x x f x dy f x x ∆=+∆-=∆′则y ∆与dy之间的关系是________________________.6、可导函数()f x 在点0x 处取得极值的必要条件是___________________________.7、使公式()()k f x dx k f x dx =⎰⎰成立的常数k 应满足的条件是 .8、设物体以速度()v t 做直线运动, 则[0,]T 上物体经过的路程是___________________.9、投影Pr 2,3,b j a b == 则a b⋅=______________________.10、a b +与a b -平行的充要条件是________________________. 二.计算题（共8题，每题5分）1、求 2arctan lim 1ln(1)x x x x→∞+ 2、求 02lim 1cos x x x e e x -→+--3、ln (),()y f x f x ''=存在, 求y ''4、求2ln xxedx+⎰5、求2t an x x dx ⎰ 6、求11(1s i n )1x-+⎰7、求1010x y x y z ++=⎧⎨-++=⎩的对称式方程.8、求到220x y z ++=的距离为1的动点轨迹.三、设2,0()(1),0ax e x f x b x x ⎧ < ⎪=⎨- ≥⎪⎩，在0x =处可导，求11()f x dx -⎰.（8分）四、设0()(2)(),()0xF x t x f t dt f x =- >⎰′，试问点(0,0)是否是曲线()y F x =的拐点，为什么？（8分）*五、设抛物线20(01),y ax bx x =+≥ ≤≤ 试确定,a b 之值，使抛物线与直线1,0x y ==所围面积为13，并且绕x 轴旋转的体积最小.（8分）六、设()()()0xaF x f t dt F b =, ≠ , ⎰且()0F x ≠′，试证：方程()()x ba xf t dt f t dt =⎰⎰ 在(,)a b 内有且只有一根.（6分）2004级高等数学（上）期末试卷一、填空题（每题3分，共30分） 1、设x 1f (x)=,x 0,x 1,x-≠≠则1f[]f (x)= .2、若sin ax 3lim,x 0sin 5x 4=→则a = . 3、函数n x nf (x)=lim ()n 2n +=→∞- . 4、x 1=是函数1x-1f (x)=e的第 类间断点.5、函数32y 2x 3x 12x 1=+-+在(2,1)-内单调 .6、曲线2y ln(1x )=+在区间 上是凸的，在 上是凹的， 拐点是 .7、设函数f (x)在[a,a]-上连续，g(x)f (x)f (x)=--，则aa g(x)dx -⎰= . 8、当k 时，反常积分akdx x(ln x)⎰收敛.9、a (2,3,1),b (113)c (120)→→→-=-=-=，，，，，，则a b (b c )()→→→→=++ . 10、过点(3,0,-1)且与向量a 3i 7j 5k →→→→=-+垂直的平面方程为 .二、计算下列各题（每题6分，共48分）1、计算极限：x2limx (arctan t ⎰） 2、设x y x y e e =0-+，求dy3、设2x ln(1t y arctan t⎧=+⎨=⎩），求dy dx 和22d y dx 4、求 x1dx 1-e ⎰5、求 2dx x sin x⎰ 6、计算定积分20I x =⎰7、求过点(0,2,4) 且与两平面x 2z 1,y 3z 2+=-=平行直线方程.8、设x 220 F(x)tf(x t )dt -=⎰，求F (x)''三、（9分）设有位于曲线xy e =的下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形：（1）求切线方程；（2）求平面图形的面积；（3）求此平面图形围绕x 轴旋转的旋转体的体积.四、（8分）讨论a,b 为何值时，函数2f (x)ln(a+x ),x>1x b,x 1=⎧⎨+≤⎩在x 1=处可导.五、（5分）设f(x)在区间I 上可导，证明在f(x)的任意两个零点之间必有方程f (x)xf (x)0'+=的实根.2005级高等数学（上）期末试卷一、填空题(每题3分,共30分)1、3321lim 1x x x x →∞-++= .2、21lim()xx x x→∞+= . 3、0(),0,x e x f x a x x <=+≥⎧⎨⎩，若)(x f 在),(+∞-∞连续，则a = .4、曲线x y sin =在点)22,4(π的切线方程为___________________.5、函数()()820f x x x x =+>的单调增加区间为 .6、曲线3129223-+-x x x 的拐点为 .7、532425sin _________21x x dx x x -=++⎰. 8、⎰+∞+0211dx x = . 9、设()3,1,2a =--，()1,2,1b =-，则_______)(=⋅-b a32.*10、当_______a 时，级数11(0)1nn a a ∞=>+∑收敛. 二、计算下列各题（每题6分，共42分）1、计算极限()22220limxt xx t e dt te dt→⎰⎰. 2、21sin xy e-=，求y '.3、设函数)(x f y =由方程y x e xy +=确定，求dxdy .4、问函数()2540y x x x=-<在何处取得最小值.5、计算⎰-+dx e e x x 16、计算⎰1dx e x7、过点),,(420P 且与两平面2312=-=+z y z x ,垂直的平面方程.三、（8分）设 ⎩⎨⎧>+≤=11 ,2x b ax x x x f ,)(为了使()f x 在1x =连续可导函数，,a b 应取什么值？四、（8分）求幂级数2111(1)21n n n x n -∞-=--∑的收敛域,并求和函数.五、(8分)由直线y x =及抛物线2y x =围成一个平面图形1．求平面图形的面积A.2．求平面图形绕x 轴旋转的旋转体体积x V .六、(4分)设()0,(0)0f x f ''<=，证明：对于任意0021>>x x ,有 )()()(2121x f x f x x f +<+2006级高等数学（上）试卷一、填空题：（每小题3分，共30分） 1、使函数xxx f 32sin )(=在0=x 处连续，应补充定义 . 2、极限____________3lim 3=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→x x x x . 3、)('0x f 存在，则极限________)()(lim000=--+→hh x f h x f h .4、线xe y =在点（1，e ）处的切线方程为 .5、线x xe y -=的拐点是________________.6、用奇偶性计算定积分_______________11sin 11223=++⎰-dx x x x . 7、计算反常积分x xe dx +∞-⎰=__________________.8、向量(2,1,2),(1,,2),a b λ=-=且满足a b ⊥，则数____=λ. 9、过点（4，-1，3）且平行于直线51123+==-z y x 的直线方程是_____________. 10、级数⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++nn 1232的敛散性为______________.二、 计算下列各题：（每小题6分，共42分）1、求极限2arctan limx dt t t xx ⎰+∞→.2、求由参数方程⎩⎨⎧+==)1ln(arctan 2t y t x 确定的函数)(x y y =的导数22,dx yd dx dy .3、设函数)(x y y =由方程0333=-+axy y x 确定，求dy .4、7186223+--=x x x y 的极值.5、计算不定积分xdx x cos 2⎰. 6、计算定积分21e ⎰.7、证明：当1>x 时，不等式ex e x>成立.8、写出直线241312-=-=-z y x 的参数方程并求此直线与平面062=-++z y x 的交点.三、（8分）求幂级数∑∞=--11)1(n nn nx 的收敛半径、收敛区间与收敛域，并求其和函数.四、（8分）由曲线xy 1=与直线2,==x x y 及x 轴围成一个平面图形， 1、求此平面图形的面积A ；2、求此平面图形绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积x V .五、（4分）设函数)(x f 在区间[0，1]上连续，且1)(<x f ，证明1)(20=-⎰dt t f x x在区间（0，1）内仅有唯一实根.2007级高等数学（上）试卷一、填空题：（每小题3分，共30分）1、22lim()kxx x e x→∞-=,则 k = 2、点1x =是函数1,13,1x x y x x - ≤⎧=⎨- >⎩的第一类间断点中的 间断点3、设(sin )y f x =，f 可导，则dy = 4、定积分=⎰5、曲线y =的拐点坐标是6、设sin x 是()f x 的一个原函数，则()xf x dx '=⎰7、设22,410,,a i j k b i j k c b a c a λ=++ =-+ =- ⊥，则λ= 8、xoz 面上的曲线：2z x =绕z 轴旋转一周所得旋转曲面的方程为9、正项级数211n n n ∞=+∑的敛散性为 10、幂级数nn ∞=的收敛区间为二、计算下列各题：（每小题6分，共48分）1、计算极限3113lim()11x x x →---.2、设3ln x tx y e dt =⎰，求dy dx.3、设函数()y f x =由方程0x y xy e e -+=确定，求dy .4、求32()23f x x x =-的极值.5、计算不定积分11cos dx x+⎰. 6、计算41⎰. 7、计算21(1)x x dx -+⎰.8、求过点(1,2,4)P 且与两平面23x y +=，42y z -=平行的直线方程.三 (9分)、(1)、求曲线3y x =在点(2,8) 处的切线方程；(*2)、求曲线3y x = 与直线2,0x y = =所围成平面图形A 的面积； (*3)、求（2）中的平面图形A 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.四 (9分)、利用x e 幂级数的展开式：(2)、写出e 的无穷级数展开式；(3)、再利用数e 的无穷级数的展开式，求数项级数21!n n n ∞=∑的和.五（4分）、设()f x 可导，(0)0f =，10()(),xn n n F x t f x t dt -=-⎰n 为正整数，证明：20()1lim(0)2n x F x f x n→'=.2008级高等数学（上）试卷一、填空题（每题3分，共30分） 1.2.(1)(23)lim6n kn n n →∞+-=则k = .２. 10lim(1-sin2)xx x →= .３. 曲线3y x =上经过点0-2（，）的切线方程为 .４.arctan cot x arc x += . ５. 已知()f x的一个原函数为ln(x ，则'()xf x dx =⎰ .６.-((0aa x dx a >⎰为常数）= .7.设()y x 由方程2201y t e dt x y +=⎰所确定，则'y = .8. 设向量,(3,5,),(2,1,4)a x b ==且2a b+与z 轴垂直，则x = .9.经过点(0,3,0)且与平面0y =垂直的直线方程是 .*10. 设22ln y x u +=，则du = .二、计算下列各题（每题7分，共14分）1. 设221x t y t ⎧⎪⎨⎪⎩==-求22,dx y d dx dy . 2.已知()f x 连续，求lim ().xx a a x f t dt x a →-⎰三、计算下列各题（每题7分，共28分）1.求函数2y x =-. 2.x ⎰.3.12arcsin xdx ⎰. 4设23222.,,xz u v u e v x y ===+求2.,z zx x y∂∂∂∂∂四、计算下列各题（每题9分，共18分）1．（1）求过点(0,1,1)M -且与直线20,:270y L x z ⎧⎪⎨⎪⎩+=+-=垂直的平面方程， （2）求点M 到直线L 的距离.2.将已知正数a 分解为三个正数之和，并使它们的倒数之和为最小.五、（6分）已知()f x 连续，1.()()(),lim x f x x f xt dt A xϕ→==⎰（A 为常数） 求（1）(0),(0)f ϕ;（2）'()x ϕ;（3）讨论'()x ϕ在0x =处的连续性.六、（4分）设()f x 在0,1⎡⎤⎣⎦上可微，且120(1)2().f xf x dx =⎰证明：存在(0,1)ξ∈，使得'()()0.f f ξξξ+=2009级高等数学（上）期末试题答案一、填空题（每题3分，共30分）1、向量(2,1,2),(1,,2)a b λ=-=满足a b ⊥，则数λ= .2、过点(1,2,3且与两平面1x y z -+=和3232x y z ++=平行的直线方程为 . 3、极限11lim sin 3sin 2x x x x x →∞⎛⎫+=⎪⎝⎭ . 4、已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,sin 2x A x xx xx f 在0=x 处连续，则=A . 5、已知()32='f ，则极限()()01lim 22x f x f x x →++-=⎡⎤⎣⎦ . 6、曲线x e y =过点()0,0的切线方程为 .7、当a = 时,点1x =为2y x ax =-+的极值点. 8、积分0=⎰.9、积分21212sin 1x xdx x -+=+⎰ . 10、已知级数∑∞=+111n na 收敛，则a 的取值范围为 . 二、计算下列各题（每题6分，共12分） 1、已知直线421321:1-=-=-z y x L 和112432:2--=+=+z y x L ，求经过1L 且与2L 平行的平面方程. 2、2(arctan )lim x x t dt .三、计算下列各题（每题6分，共18分）1、ln 1x x →-.2、设方程arctan y x=)(x y y =,求dy .3、已知 2ln cot tan x ty t=⎧⎨=⎩ , 求622π=t dx y d .四、计算下列各题（每题6分，共12分）1、设()2ln 1,0()11,101x x x f x x x-+≥⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩ , 求（1）()x f 的单调区间；（2）求()x f 的极值.2、设()f x 的一个原函数是()21ln x x ++, 求()xf x dx '⎰.五、计算下列各题（每题6分，共18分） 1、1⎰、41⎰. 3、0x xdxe e +∞-+⎰.六、计算下列各题（共10分）1、 求幂级数12nnn x n ∞=⋅∑的收敛域及其和函数(6分).2、设()()()0xa Fx f td t Fb =, ≠, ⎰且'()0F x >，试证：方程()()x baxf t dt f t dt =⎰⎰ 在(,)a b 内有且只有一根.（4分）试题参考解答2001级高等数学（上）期末试卷解答一、填空题（每小题3分、共24分） 1.0; 2.2x ; 3. 02()af x dx ⎰; 4.11n nn x n --； 5.12421x y z +-==--； 6.2S ；7.略； 8.不存在.二. 计算下列各题(每小题5分,共25分)1、[解]：240ln(13)0lim 0ln(3)ln 3x x x →+==+.2、[解]：1arcsin(ln )arcsin(ln )y x x x x '=+= . 3、[解]：sin cos ()sin()(1)0y x y x cos x y x x y y ''+-++++=()sin()cos sin()sin cos x y x x y y xy x x y x+-+-'=++.4、[解]：2232arctan 1x dx x x c x +=+++⎰. 5、 [解]t =，2sin 2cos 2(cos cos )t tdt td t t t tdt ==-=--⎰⎰⎰⎰2(cos sin )t t t c =--=-+.三.计算下列各题(每小题5分,共25分) 1、[解]：111(1)221x dx xdx --=-=⎰⎰.2、[解]：23332232(1)1ln(1)ln 111x xx x dx d e e e e e e -------=-=--=---⎰⎰. 3、[解]：3321,1n n+故∑∞=+1311n n 收敛.4、[解]：12221(1)1lim 2,221n n n n R n ρ+→∞++==∴=+，收敛区间为11(,)22-. 5、[解]{1,2,2},{2,1,2},32{1,8,10}AB AC AB AC =--=---=-，4AB AC ⋅=-四、解：令2111222111()(1),()(1)211n n n n n n x S x S x x n x -∞∞---=='=-=-=-+∑∑， 21()arctan 1xS x dx x x ∴==+⎰，收敛区间为（-1，1）. 五、解：平面,0742:1=-+-z y x π法向量{}4,2,11-=n ，平面,01253:2=+-+z y x π法向量{}2,5,32-=n..取所求平面的法向量 {}1212424,14,11352ij kn s n n ==⨯=-=--....由点法式方程可得所求平面方程为 24(2)14(0)11(3)x y z --+-++=,即241411810x y z ---=.六、解：曲线b y x y ln ,ln ==及0(0)x b =>所围图形为无界区域，其面积为(ln ln )ln ln bbS b x dx b b x x b b +=-=-+=⎰.七、解：x x x f ln )(=的定义域为0x >，令()l n 10,f x x '=+=得驻点1x e =，当1x e< 时，()ln 10,f x x '=+<当1x e>时，()ln 10,f x x '=+>故x x x f ln )(=在其定义域上的最小值为111()ln f x e e e==-，无最大值.2002级高等数学（上）期末试卷解答一、填空题（每小题3分、共24分） 1．34 ；2．1；3．2sin x x -；4．)22(221-=x y ；5．29；6．x cos -；7．0；8．12；9．≤1；10．(1)5f -=-二、试解下列各题(每小题5分,共15分)1．解：原式0sin lim 2x x x →=21=.2．解：()()[()]'()[]x f x x f x dyf e e f e e dx'=+ )()()()(')('x f x x f xxe ef x f ee f e +=.3．解：取对数 cos ln lny x x =，两边关于x 求导得1cos .sin dy xxlnx y dx x=-+， 故 cos cos (sin )xxdy x xlnx dx x=-+. 三、求积分(每小题5分,共20分)1、解：原式⎰=xx de e )sin(c e x +-=)cos(.2、解：原式=⎰2)(arcsin )(arcsin x x d c x+-=arcsin 1. 3、解：令sin x t =,cos dx tdt =,原式2cos c sin cos tdttgt c t t ==-+⎰c xx +--=21. 4、解：原式21arctan ()2x xd =⎰21122001[c tan ]221x dxar x x x=-+⎰. 120111.(1)2421dx x π=--+⎰101[c tan ]82x ar x π=-- 2148218-=+-=πππ.四、解：1）2211()dx A x x =-⎰2311[ln ]3x x =-7ln 23=-. 2）24211()dx x V x x π=-⎰521157[]5100x x ππ=+=.五、解：设求直线的方向向量为,由于{}2,0,1⊥且{}3,1,0-⊥，则j 1 0 2 2 i 3 j k 0 1 -3i ks ==-++,故直线方程为 143220-=-=--z y x . 六、解:用比值法 10)1()1(lim lim 221<=++=∞→+∞→n n n U U n nn n ,故原级数收敛.七、解：1）一般项为121n a n =-. 2）121limlim 12(1)1n n n na n a n ρ+→∞→∞-===+-，收敛半径11==ρR ,当1x =时，幂级数为1121n n ∞=-∑发散,1x =-时，幂级数为1121n n ∞=--∑发散,故收敛域为（-1，1）.八、证明：设ex e x f x -=)(，e e x f x -=)('，故当1>x 时0)('>x f ，即1>x 时)(x f单增，故当1>x 时，0)1()(=>f x f ，从而1>x ，ex e x>.2003级高等数学（上）期末试卷解答一、填空题（每小题3分、共30分）1、610 ； 2、必要； 3、0a >； 4、2- ； 5、()y dy x ο∆=+∆6、0()0f x '= ；7、0k ≠；8、0()Tt dt ν⎰； 9、6； 10、//a b .二、计算题（共8题，每题5分） 1、因为arctan 2x π<,11ln(1)~x x+（2分） 故原式=arctan lim0x xx→∞= （5分） 2、原式=0lim sin x xx e e x -→- （2分）= 0lim2cos x xx e e x-→+= （5分） 3、()()f x y f x ''=（2分） 22()()()()f x f x f x y f x '''-''= （5分） 4、原式 = 2xe xdx ⎰ （2分）= 212x ec + （5分）5、原式 = 2sec x xdx xdx -⎰⎰（2分）= 2tan ln cos 2x x x x c +-+ （5分）6、因为11sin 0x -=⎰（2分） 12-=⎰⎰sin x t =2202cos 2tdt ππ=⎰ （4分）故原式022ππ=+=（5分）7、直线过点(1,0,0)- （2分）其方向向量 1{1,1,2}1i j k s= 1 0=-- -1 1（4分）故所求的对称式方程为 112x y +=-=-（5分） 8、解法一：由于动点平行于平面220x y z ++=，故可设所求的 动点轨迹方程为220x y z D +++= （2分）又220x y z ++=过点(0,0,0)，故有 （3分）13D =⇒=±⇒动点轨迹方程为2230x y z ++±= （5分）解法二：动点(,,)x y z 到平面220x y z ++=，即1= （3分）故动点轨迹方程为 2230x y z ++±= （5分） 三、解：0lim ()lim ()1x x f x f x b +-→→=⇒= （2分）(0)(0)2f f a +-''=⇒=-，22,0()(1),0x e x f x x x -⎧ < ⎪=⎨- ≥⎪⎩ （4分） 1012211()(1)x f x dx e dx x dx ---=+-⎰⎰⎰ （6分）21126e =- （8分） 四、解：0()2()()xxF x tf t dt x f t dt =-⎰⎰ （2分）()()()x F x xf x f t dt '=-⎰ （4分）()()F x xf x '''= （6分） 0()0()x F x F x ''>⇒>⇒凹，0()0(x F x F x ''<⇒<⇒凸，故(0,0)是()y F x =的拐点. (8分)五、解：1201a b 2(ax +bx)dx b (1a)3323==+⇒=-⎰ （4分） 122220111V (ax +bx)dx (a ab b )523ππ==++⎰ （6分）25(2a 5a 20),V 0a 1354π'=+-=⇒=-令,5V ()04''>,所以5V()4最小.故 53,42a b =-=. （8分）六、证明：存在性：令xb axG(x)f (t)dt-f (t)dt =⎰⎰，则baG(a)f (t)dt=-F(b)=-⎰，baG(b)f (t)dt=F(b)=⎰，2G(a)G(b)F (b)0⋅=-<，由零点存在定理，G(x)在(a,b)内有存在零点; （3分）唯一性：如若G(x)在(a,b)内必有两个零点12,ξξ，由罗尔定理，存在12(,)ξξξ∈,使得()2()2()0G f F ξξξ''===,此与题设矛盾.因此G(x)在(a,b)内仅有一零点. （3分）2004级高等数学（上）期末试卷解答一、填空题（每小题3分、共30分）1.1x ;2.154; 3.x 2e +; 4. 二; 5.减少;6.11111ln2∞∞±（-，-）（，+），（-，+），（,）;7. 0 ;8.>19.30;10.3x 7y 5z-40-+=.二、计算下列各题（每题6分，共48分）1．原式=222lim x (arctan ()24x ππ→∞==）. 2.xyydx xdy e dx e dy 0+-+=，所以x ye ydy dx e x-=+. 3.221dy 11t 2t dx 2t 1t +==+； 222223d y 11t 1t dx 2t 2t 4t ++=-=- 4.原式=x x x x x x1e e d(1-e )dx x x ln 1e c 1e 1e-+=-=--+--⎰⎰5.原式=ln sin xdctgx xctgx ctgxdx xctgx x c =-=-+=-++⎰⎰6令x=2sint .dx=2costdt,当x 0,t 0;x 2,t=2π===，22222200I=4sin t 4cos tdt=16sin t(1sin t)dt ππ⋅-⎰⎰2420131=16(sin t sin t)dt=16()2422πππ⨯--⋅=⎰⨯.7.取12ij ks n n 122i 3j k 013→→→→→→→→→=⨯==-++-,所求直线方程为x y 2z 4231--==-. 8.令221u x t .du 2tdt.dt du 2t=-=-∴=-,当2t 0u x =⇒=,当t=x u=0⇒,220x x 011F(x)t f(u)()du f(u)du 2t 2∴=⋅-=⎰⎰,221F (x)f (x )2x xf (x )2'∴=⋅=.三、解：.(1)、x y e '=,设00p(x ,y )为切点,切线方程为:00x x 0y e =e (x x )--,切线过原点(0,0)得:00x 1,y e ==, ∴切线方程为: y e=e(x 1)--,即y ex =. (2)、面积1111x x 200e e A e dx exdx=e x 22-∞-∞⎡⎤⎡⎤=--=⎣⎦⎣⎦⎰⎰. (3)、体积221111x2x 232x 00V (e )dx (ex)dx=e e x e 236πππππ-∞-∞⎡⎤⎡⎤=--=⎣⎦⎣⎦⎰⎰. 四、解：由连续性+f (1)1b=f (1)ln(1a),b ln(1a)-1=+=+∴=+，又'x 1x 1f (x)f (1)x b 1b(1)lim lim 1x 1x 1f ---→→-+--===--,+22'x 1x 1x 12xf (x)f (1)ln(a+x )-(1+b)2a x (1)lim lim lim x 1x 11a 1f +++→→→-+====--+ 由''2(1)(1)1,a 1,b ln 21a 1f f -+=⇒=∴==-+. 五、证明：令F(x)xf (x)=，设12x ,x 为f (x)的任意两个零点.即12f (x )0,f (x )0,==则F(x) 在[]12x ,x 上连续，在()12x ,x 内可导，且12F(x )F(x )0,==由Rolle 定理可知至少存在一点12(x ,x )ξ∈使得F ()0ξ'=，即F ()F ()0ξξξ''+=，因此，在()f x 的任意两个零点之间必须有方程f (x)xf (x)0'+=的实根.2005级高等数学（上）期末试卷解答一、填空题（每小题3分、共30分）1．2; 2. 2e 3. 1; 4. )4y x π=-, 5．2x >; 6.32;7.0; 8. 2π;9. 18-; 10.1a >.二、计算下列各题（每题6分，共42分）1.解：原式()222222022limlimxxt xt x x x x e dt e e dxxexe→→==⎰⎰222202lim2xx xx e e x e →=+=202lim212x x →=+.2.解：21sin 2111(2sin )(cos )()xy ex x x-'=⋅-⋅⋅- 21sin 212sin x ex x -= 3.解：两边对x 求导得 (1)x yy xy ey +''+=+ ,解得xe e y y yx yx --=++' 4.解：232272542xx x x y )('+=+=，令0y '= 得驻点3x =-,当3x <-时0<'y ，当30x -<<时0>'y ，故3x =-为极小点,极小值为(3)27y -=.5.解：⎰-+dx e e x x 1=⎰+dx e e x x 12=⎰+21)(x x e de =arctan x e c + 6.解：令tdt dx t x 2,==原式：=⎰12dt te t=)(21010dt e tett ⎰-=1220t e e -=2.7.解：所求直线的方向向量s垂直于两已知平面的法向量21n n, ,故取21n n s⨯=310201-=kj i =k j i132++-所求直线方程为：14322-=-=-z y x . 三．（8分）解：11=)(f ，1(10)lim x f ax b a b +→+=+=+, 故当 1=+b a 时，)(x f 在 1=x处连续.又2'1111(0)lim lim 211x x x x f x ---→→-+===-'11(0)lim 1x ax b f x ++→+-==-1(1)1lim 1x ax a a x +→+--=- 故当2=a 时，)()()('''111f f f ⇒=+-存在,即当 12-==b a , 时，)(x f 在 1=x 处连续可导.四．（8分）解：221n n 12(1)1 lim lim x 121n nu n x u n ρ+→+∞→+∞+-===- 当12<x ,即11<<-x 时原级数收敛，当12>x ,即11>-<x x 或时原级数发散,故收敛半径1R =，当1±=x 原级数为收敛的交错级数，收敛域为],[11-.设2111()(1)21n n n x s x n -∞-==--∑ ∑∞=---'-='1121121n n n n x x s )()()(=∑∞=---12211n n n x )( 246221111()1x x x x x=-+-==--+ 故 dx x s x s x⎰'=0)()(=dx x x⎰+0211=arctan x . 五．(8分)解：求交点得),(),,(11001．A=⎰-102dx x x )(=61321032=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x x . 2．1525310105342πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰x x dx x x V x )(. 六．(4分)证明：不妨设210x x ≤<，分别在区间1112[0,],[,]x x x x +上使用拉格朗日中值定理存在),(110x ∈ξ,2112(,)x x x ξ∈+使：=11x x f )()(')()(11100ξf x f x f =-- )(')()()()(22221221221ξf x x f x x f x x x x f x x f =-+=-+-+因为12ξξ<,又"()0f x <,故'()f x 单调减，所以)(')('21ξξf f >,故)()()()()()(2211122111x f x x f x f x x f x x f x x f -+>⇒-+> 即 1212()()()f x f x f x x +>+.2006级高等数学（上）期末试题答案及评分细则一、填空题：（每小题3分，共30分）1. 2/3;2. e ;3. )('20x f ;4. y ex =;5. )2,2(2e; 6.2π; 7. 1; 8. 2; 9. 531124-=+=-z y x ; 10. 发散. 二、计算下列各题：（每小题6分，共48分） 1、解:原式=)'2......(42arctan lim )'4........(2arctan limπ==+∞→+∞→x x x x x x2、解: )'2)....(1(2112);.....'4.......(21112222222t tdx y d t t t tdx dy +=+==++= 3、解:在方程两端求微分得:)'4......(0)(33322=+-+xdy ydx a dy y dx x ，)'2......(22dx axy x ay dy --=.4、解:令0)3)(1(6)32(6'2=-+=--=x x x x y 得)'2......(3,1=-=x x , )'2......(0)3('',0)1(''),1(12''><--=y y x y , 极大值,17)1(=-y 极小值)'2......(47)3(-=y . 5、解:原式22sin sin 2sin .......(3')x d x x x x xdx ==-⎰⎰22sin 2cos sin 2cos 2cos x x xd x x x x x xdx =+=+-⎰⎰2sin 2cos 2sin .......(3')x x x x x c =+-+6、解:原式=[])'3).......(13(2ln 12)'3.........(ln 1)ln 1(2211-=+=++⎰e e xxx d7.证明：令)1(0)(',)(>>-=-=x e e x f ex e x f xx……(4’))(x f 单调增加, 当1>x 时, 0)1()(=>f x f 成立 …..(2’)即当1>x 时，不等式ex e x>成立.8、解：直线的参数方程为2342x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩........(4')代入平面方程解出 )'2......(1-=t ， 所求交点为（1，2，2） (2’). 三、解: 11lim lim1=+=∞→+∞→n na a n nn n ,收敛半径1R =,收敛区间为(-1,1) (3’)；1-=x 时,原级数为∑∞=-11n n,发散, 1=x 时,原级数为111(1)!n n n ∞-=-∑收敛,故收敛域为(]1,1-….. (2’)；由级数xx n n n +=-∑∞=--11)1(111两端积分得:)1ln(11)1(101x dx x n x n x n n +=+=-∑⎰∞=-为所求的和函数 (3’). 四、解:(1) )'4......(2ln 2111021+=+=⎰⎰dx x xdx A ； (2) 12220115()......(4')6x V x dx dx x πππ=+=⎰⎰. 五、证明：令1)(2)(0--=⎰dt t f x x F x，则)(x F 在区间[0，1]上连续，0)(11)(2)1(,01)0(10>-=--=<-=⎰ξf dt t f F F ，由零点定理知存在),1,0(0∈x 使0)(0=x F ……. (2’) 又0)(2)('>-=x f x F ，)(x F 在区间[0，1]上是严格单调增加的，从而零点唯一.(2’).2007级高等数学（上）期末试题答案二、填空题：（每小题3分，共30分）1． 1- ； 2． 跳跃 ； 3．(sin )cos f x xdx '； 4． π； 5．(0,0) ；6．cos sin x x x C -+； 7． 3 ； 8．22z x y =+； 9． 收敛 ；10．(0,2) ；二、计算下列各题：（每小题6分，共48分）1、[解]：原式=2321113(2)limlim 111x x x x x x x x →→++--+==--++ 2、[解]：33321()()31x lnx x dy e x e x e dx x'=⋅-=- 3、[解]：两边对x 求导得0x x xyyy e y e yy xy e e y y dy dx e x e x--'''+-+= ⇒ = ∴=++ 4、[解]：2()666(1)f x x x x x '=-=-，()1266(21)f x x x ''=-=-由(0)0f '=得驻点0,1x = ，(0)60f ''=-<，(1)60f ''=>，所以 极大值：(0)0f =，极小值(1)1f =- 5、[解]：法一：2211sec tan 1cos 222cos2x x dx dx dx C x x ===++⎰⎰⎰ 法二：原积分2221cos 1cos 1cot 1cos sin sin sin x x dx dx dx x C x x x x-==-=-++-⎰⎰⎰ 6、[解]：原式=4141113ln 4ln 21222x x x dx x -=-⎰7、[解]：原式=323202221002()()()()103232x x x x x x dx x x dx --+++=-+++-⎰⎰629456== 8、[解]:所求直线的方向向量s 垂直于已知平面的法向量12,n n ，所以：1224//{2,4,1}0i j s n n i j κ=⨯ = 1 0=- +8 + 2κ - 1 -4所求直线的方程为：124241x y z ---==- 三、（9分）[解]:（1）23y x '=，12k =，则切线方程为：812(2)y x -=-即：12160y x -+=； （2）42302404x S x dx ===⎰；（3）258233083642832055y V y dy y πππππ=⋅⋅-=-=⎰四、（9分）[解]: （1）0!nxn x e n ∞==∑，所以：01!n e n ∞==∑；（2）2012101111122!(1)!(2)!(1)!!n n n n k n n e n n n n k ∞∞∞∞∞=====-+==+==---∑∑∑∑∑五、（4分）[证明]: 记0011,()()()nn x nnx x t u F x f u du f u du n n -= ⇒ =-=⎰⎰，12212100001()()()11()lim lim lim lim 222n n n n n n n x x x x f x nxF x F x f x n x nx n x n x ---→→→→'=== 01()(0)1lim (0)202n t f t f x t f n t n→-'==-2008级高等数学（上）期末试题答案一、填空题(每题3分)1.k =3；2.-2e ；3..320y x -+=；4.2π；ln(x c +；6.22a π；7.2'22y xyy e x -=+；8. 2x =-；9. 00x z ⎧⎪⎨⎪⎩==；10.22xdx ydy du x y +=+ 二、1解：1,dy dx t=- 4分 222311dy d y dt t dx t dx t dt'=== 7分 2.解：原式=lim(()())xx aaf t dt xf x →+⎰ 5分()af a = 7分三、1. 解： 1'322yx -=- 3分得驻点1x =及0x =为不可导点 5分(0)0y =(极大值) 1=-1y （）（极小值） 7分2. 解：令2sin x t =原式2sin 2=4tdt ⎰2分2=4sin 2(1cos4)2tdt t dt =-⎰⎰ 5分12sin42t t c =-+ 6分12arcsin sin4arcsin 222x xc =-+ 7分3.解：原式11220[arcsin ]x x =-⎰4分120]11212ππ=+= 7分4. 解：4223222(4()6())xz e x y x x y x∂=+++∂ 4分 422222422222(24()24())24()()x x e y x y xy x y ye x y x y x z x y=+++=+++∂∂∂ 7分 四、 1. 解：（1）直线L 的方向向量010102ij ks = 2分(2,0,1)=- 4分过点(0,1,1)M -且与直线L 垂直的平面方程为：2(0)0(1)1(1)0210x y z x z -++-+=⇔-+= 5分（2）联立20,270210y x z x z ⎧⎪⎨⎪⎩+=+-=-+=得垂足(1,2,3)N - 7分所以，d MN =分2.解：设,(,,0)x y z a x y z ++=> 111(,,)f x y z x y z=++ (,,)(,,)()F x y z f x y z x y z a λ=+++- 4分222000xy z F x F y F z x y z aλλλ---⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩=-==-==-=++= 7分 得3ax y z ===9分 五、解：由已知及0()lim x f x A x→=得(0)0,f =(0)0ϕ= 2分10()(0)()()xf u du x xx f xt dt ϕ≠==⎰⎰ 4分'02'020()()()(0)lim 2(0)()xxx xf x f u duxf u du A x x x ϕϕ→-==≠=⎰⎰ 5分又'0lim ()2x Ax ϕ→=故()x ϕ连续 6分 六、证明：设()()x xf x ϕ= 1分 则11111(1)(1)()()(0,)2f f ϕξξϕξξ===∈ 3分故在1[,1]ξ上由罗尔定理得至少有一点ξ使'1()0(,1)(0,1)ϕξξξ=∈⊂ 即存在(0,1)ξ∈使得'()()0.f f ξξξ+= 4分昆明理工大学2009级高等数学A(1)参考解答及评分标准一1.=2λ; 2.23101y z x ---==-; 3.12; 4.1; 5.6; 6.ex ; 7.2; 8.π; 9.π; 101a >. 二1.111(9,14,1)323ij kn =-=-9(1)14(3x y --+-+）(z-2)=091435x y z -++=2.原式22(arctan )lim 16x x x π→+∞==三1.原式01x →==-2. 解:等式两端对x 求导得：2''22222x y x y xy y x y x x y++⋅=++''y x y x yy -=+ '()x yy x y x y+=≠- x ydy dx x y+=-3.22sec 1tan 2tan csc 2dy t t dx t t ==-- 22221sec 12tan 2tan csc 4td y t dx t t -==-2612t d y dx π==四1.'2101()110(1)x x x f x x x -⎧>⎪+⎪=⎨-⎪-<<+⎪⎩,'(0)1f =-令'()0f x =得1x =单增区间[1,)+∞,单减区间(1,1]-; 极小值(1)12ln 2f =-.2.'()()xf x dx xdf x =⎰⎰()()xf x f x dx =-⎰()ln(xf x x c =-+(又'()(ln(f x x ==)ln(x c ==+五1.原式211(1)12+-=21(1x =-+= 2.原式41arctan1xx d x=-+⎰4arctan 2arctan 4π=--+5arctan 212π=--3. 原式201xx de e +∞=+⎰arctan 4xe π+∞==六1.112lim 1(122n nn n n x x n n x ++→∞⋅=<+）2R =,2x =发散,2x =-收敛, 收敛域为[2,2)-令1()2n nn x s x n ∞==∑1'1112()2212n n n x s x x -∞====--∑ 001()ln(2)ln 2ln(2)2xxs x dx x x x==--=---⎰2.设()()-()xbaxx f t dt f t dt ϕ=⎰⎰2()()(())0baa b f t dt ϕϕ=-<⎰ 故由零点定理至少有一ξ使()0ϕξ=而''()2()2()0x f x F x ϕ==>,()x ϕ单调, 故仅有一根.。