高考数学(理)一轮复习讲练测：专题12.3 几何概型(讲)答案解析
高考数学(理)一轮对点训练：12-1-3 几何概型 Word版含解析
1．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1答案 B解析 x ，y ∈[0,1]，事件“x ＋y ≥12”表示的区域如图(1)中阴影部分S 1，事件“|x －y |≤12”表示的区域如图(2)中阴影部分S 2，事件“xy ≤12”表示的区域如图(3)中阴影部分S 3.由图知，阴影部分的面积S 2<S 3<S 1，正方形的面积为1×1＝1.根据几何概型的概率计算公式，可得p 2<p 3<p 1.2.设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.14－12π C.12－1π D.12＋1π答案 B解析 ∵|z |≤1，∴(x －1)2＋y 2≤1，表示以M (1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，该圆的面积为π.易知直线y ＝x 与圆(x －1)2＋y 2＝1相交于O (0,0)，A (1,1)两点，作图如下：∵∠OMA ＝90°，∴S 阴影＝π4－12×1×1＝π4－12. 故所求的概率P ＝S 阴影S ⊙M ＝π4－12π＝14－12π.3．由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18 B.14 C.34 D.78答案 D解析 如图，由题意知平面区域Ω1的面积SΩ1＝S △AOM ＝12×2×2＝2.Ω1与Ω2的公共区域为阴影部分，面积S 阴＝SΩ1－S △ABC ＝2－12×1×12＝74.由几何概型得该点恰好落在Ω2内的概率P ＝S 阴SΩ1＝742＝78.故选D.4．设集合A ＝{(x ，y )||x |＋|y |≤2}，B ＝{(x ，y )∈A |y ≤x 2}，从集合A 中随机地取出一元素P (x ，y )，则P (x ，y )∈B 的概率是( )A.112 B.23 C.1724 D.56答案 C解析 集合A 表示顶点为(2,0)，(－2,0)，(0,2)，(0，－2)的正方形，作出集合A ，B ，如图所示：则S 正＝8，S B ＝8－2⎠⎛01(2－x －x 2)d x ＝8－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －12x 2－13x 3⎪⎪⎪10＝173，∴P ＝1738＝1724.故应选C .5．如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．答案 512解析 依题意知点D 的坐标为(1,4)，所以矩形ABCD 的面积S＝1×4＝4，阴影部分的面积S 阴影＝4－⎠⎛12x 2d x ＝4－13x 3⎪⎪⎪21＝4－73＝53，根据几何概型的概率计算公式得，所求的概率P ＝S 阴影S ＝534＝512.6.在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．答案 1－π12解析 如图，与点O 距离等于1的点的轨迹是一个半球面，其体积为V 1＝12×43π×13＝2π3.事件“点P 与点O 距离大于1的概率”对应的区域体积为23－2π3，根据几何概型概率公式得，点P 与点O 距离大于1的概率P ＝23－2π323＝1－π12.7．若在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，则满足|x|≤3的概率为________．答案 56解析 由|x|≤3，所以－3≤x ≤3.所以在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，满足|x|≤3的区间为[－2,3]，故所求概率为3－(－2)4－(－2)＝56.。
新高考苏教版数学理大一轮复习训练12.3几何概型(含答案解析)
12.3 几何概型有 5 根竹竿,度位:m)为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9, 若从中一次 随机抽取2 根竹竿度恰巧相差 0.3 m ________. 分析 从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的10,度恰巧相差 0.3 m 的事2,是:2.5 和 2.8,2.6 和 2.9, 所求0.2. 答案 0.2 2．一个靶子上有 10 个，半径1,2 ，⋯ ， 1中由内至外的地区 10,9 ，⋯ 要素一次，在的状况 下成绩为10环的概率为________． 2 π×1 分析 所2＝ π×10 1 100答案 1 100 3. 点等于 3周上的一个定点．圆周上随机取一点 劣弧 A 度小于 1 的_______． 答案 2 3 4.,豆子随机扔到所示桌面上 , 假定豆子不上影地区的_______．分析由几何概型知 : 3 1 P . 9 3答案 1 3 5．如下上挂a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是 a 以正方圆心，弧，某人向此，假定每次中2 木板中木板上每个点的可能性都同中暗影部分的概率是________． a 2－π 2a 2 π 分析 所求概率为P ＝ 2 ＝1－ . a 4π答案 1－ 4πx 16．在区间[ －1,1] 上随机取一个数 x ，则使得 cos 的值介于 0 到22之间的概率 为________． 分析πx 位于2 πx 1 cos 的值位于 0， 2 2，取数－1，－2 3∪ 2，1 内，根 3据几何概 1 2×3 1 ＝ . 3 2答案 1 37．A点，分π 2－2 π P ＝＝1－ . 24π答案 1－48．方程 x2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))根的________． 分析 方程 x2＋x ＋n ＝0，n ∈(0,1)根 ? Δ＝1－4n ≥ 0， 即 n ≤1 4 . 故所求概率为： 14. 答案 1 49．如下图，在直系内O T 落在30°边上，任作一条射线 O O A 落∠ y O T 内的________． 分析图，由O A 系内是等可能散布60 1 概率为＝ . 360 6 答案 1 6 10以方形 A B C D 的正方形内随机投一该点落在暗正2，暗影地区的一半等于正方形π－暗影地区为2π－4， 2π－4 π－2 因此所求P ＝ . 4 2 ＝答案π－2211．[,1] 上任取两个数a ，对于 x 的方程 x 2＋2a x ＋b2＝0数根的________． 分析 由题意得 Δ＝4a 2－4b 2≥ 0， 0≤ a ≤ 1， 0≤ b ≤ 1， ∵a ， b ∈ [0,1] ，∴a ≥ b. ∴ 画出该不等式组表示的可行域 ( 如a ≥b ， 图中暗影部分所示 ) ．故所求概率等于三角与正方之比，即所求概 1 率为 2. 答案 1 2 12．在水平搁为5 c m 的木杆上悬挂点与木杆两头距离都大于 2 cm 的概率是 ________． 分析意，得挂点段 CD 内， C 度 1 故所求P ＝ ＝ . A B 的长度 5 答案1513．已知平面地区 U ＝{( x ，y)| x ＋y ≤ 6，x ≥ 0，y ≥ 0}，A ＝{( x ，y)| x ≤ 4，y ≥ 0， x －2y ≥分析意可在S A 2 由图可知 S U ＝18，S A ＝4，则点 P 落入地区 A 的概率为P ＝ . ＝ S U 9答案29 二、解答题14．如下图O 的某向来径上随机的取一点 Q 点Q 直径 垂直长度不超出1 的概率． 分析 弦长不超出1，即 O Q ≥ 3 ，而 Q 点在直径 AB 上是随机的， 事件 A ＝{ 弦长 2 超出1} ．由几何概型的概率公式得 P ( A) ＝ 3 ×2 2 2 ＝3. 2 ∴弦长不超出1 的概率为1－P( A) ＝1－ 3 . 2 15．已知等腰 Rt △ABC 中，∠ C ＝90°. (1) 在线段 B C 上任取一点 M ，求使∠ CAM<30°的概率； (2) 在∠ CAB 内任作射线A M ，求使∠ CAM<30°的概率． 分析 (C M ＝0<x <a.(BC ＝a) ． 若∠ CAM<30°，则0＜x ＜ 3 a ， 3 故∠ CAM<30°的概率为 30，a度 3 P ＝＝ ，a33(∠ C A M ＝0°< θ<45°，若∠ CAM<30°，则0°< θ<30°， 故∠ CAM<30°的概率为 P ＝ ， 的长度 2 ＝ . ， 的长度 316．已知对于 x 的一次函数 y ＝mx ＋n.(会合 P＝{－2， 1,1,2,} 和 Q ＝{－2,3} 从会合 P 和 Q 中随机取一个m 和 n ，求函数 y ＝mx ＋n 是增函数的概率； m ＋n －1≤ 0， (数 m 条件 －1≤m ≤ 1， 求函数 y ＝m x ＋n 过一、 二、 －1≤ n ≤ 1， 三象限的概率． 分析 ()抽取的果的基本领件有： ( －2，－ 2)，( －2,3) ，( －1，－2) ，( －1,3) ，(1，－ 2)，(1,3) ，(2，－ 2)， (2,3) ，(3，－ 2)，(3,3，共则A 包括的基本领件有： (1，－2) ，(1,3) ，(2，－2)，(2,3) ，(3，－2) ，(3,3) ， 共 6 个基本领件，因此， P ( A) ＝ 6 3 ＝ .10 5 m ＋n －1≤ 0， －1≤ m ≤ 1， (2) m 条件 的地区如下图： －1≤ n ≤ 1要使函一、二、三象m ＞0，n ＞0，故使一、二、 1 2 1 三象限的 (m ，n ) 的第一象限的暗影部分，∴所求事件的P ＝ . ＝ 7 7 217．已知 | x | ≤ 2， | y | ≤ 2，点 P ( x y ) ，求当x ，y ， ( x －2) 2 ＋( y －2) 2≤ 4 的概率． 思路剖析意象可之比． 分析 2＋( y －2) 2≤ 4 的点的以 1 π×2 4 ∴所求的概率 P 1＝ 4×4 2π ＝ . 16【评论】 解决几何概型的题一般，目，找到区 可好地表现了思想的重要性 . 18．已知会合 A ＝{－2,0,2} ，B ＝{－1,1}合 M 内随机拿出一个元素 ( x ，y) ． (1) 求以 ( x ，的点x 2＋y 2＝1 上的概率； x －y ＋2≥ 0， (2) 求以 ( x ，的点位于地区 D ： x ＋y －2≤ 0， 内() 的概率．y ≥ － 1 分析 (“以 ( x，的点x 2＋y 2＝1 事件 基本领件 6. 因x 2＋y 2＝1 上的点有(2 1 因此 P( A ) ＝ ＝ . 6 3(“以 ( x ，的点位于地区事件 基本6，由图 知位于地区 D 内( ) 的点有： ( －2，－1) ，(2，－ 1)，(0，－1) ，(0,1) 共 4 24个，即 B 包括的基本领4，故 P( B ) ＝3.＝ 6。
2020版高考数学新增分大一轮新高考专用讲义：第十二章 12.2 几何概型含解析
§12.2 几何概型最新考纲 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行模拟)估计概率.2.初步体会几何概型的意义.3.通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程．1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．在几何概型中，事件A 的概率的计算公式P (A )＝.构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝作为所求概率的近似值．MN 概念方法微思考1．古典概型与几何概型有什么区别？提示 古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．2．几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？提示 几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √ )(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ )(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ )(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × )(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝.( × )19题组二 教材改编2．在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )A. B. C. D ．1121314答案 B解析 坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为.133．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案 A解析 ∵P (A )＝，P (B )＝，P (C )＝，P (D )＝，38282613∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．4.如图所示的正方形及其内部表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A. B.π4π－22C. D.π64－π4答案 D解析 如题干图所示，区域D 的面积为4，而阴影部分(不包括)表示的是区域D 内到坐 AC 标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是，4－π4故选D.题组三 易错自纠5．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为，则m ＝________.56答案 3解析 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当0<m ≤2时，由题意得＝，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．2m 656当2<m <4时，由题意得＝，解得m ＝3.故m ＝3.m －(－2)6566．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为________．答案 23解析 设AC ＝x cm(0<x <12)，则CB ＝(12－x )cm ，则矩形的面积S ＝x (12－x )＝12x －x 2(cm 2)．由12x －x 2<32，即(x －8)(x －4)>0，解得0<x <4或8<x <12.在数轴上表示，如图所示．由几何概型概率计算公式，得所求概率为＝.81223题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 在等腰Rt △ABC 中，直角顶点为C .(1)在斜边AB 上任取一点M ，求|AM |<|AC |的概率；(2)在∠ACB 的内部，以C 为端点任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求|AM |<|AC |的概率．解 (1)如图所示，在AB 上取一点C ′，使|AC ′|＝|AC |，连接CC ′.由题意，知|AB |＝|AC |.2由于点M 是在斜边AB 上任取的，所以点M 等可能分布在线段AB 上，因此基本事件的区域应是线段AB .所以P (|AM |<|AC |)＝＝＝.|AC ′||AB ||AC |2|AC |22(2)由于在∠ACB 内以C 为端点任作射线CM ，所以CM 等可能分布在∠ACB 内的任一位置(如图所示)，因此基本事件的区域应是∠ACB ，所以P (|AM |<|AC |)＝＝＝.∠ACC ′∠ACB π－π42π234思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的概率的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同，解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．跟踪训练1 (1)某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A. B. C. D.13122334答案 B解析 如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型的概率计算公式，得所求概率P ＝＝，故选B.10＋104012(2)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧3，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________． DE答案 13解析 因为在∠DAB 内任作射线AP ，所以它的所有等可能事件所在的区域是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，则区域为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为＝＝.∠CAB ∠DAB 30°90°13题型二 与面积有关的几何概型命题点1 与面积有关的几何概型的计算例2 (2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A. B. C. D.14π812π4答案 B解析 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝S 圆＝，所以12π2由几何概型知，所求概率P ＝＝＝.S 黑S 正方形π24π8命题点2 随机模拟例3 (1)如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为( )A ．7.68B ．8.68C ．16.32D ．17.32答案 C解析 由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为＝0.68.由几何概型的概300－96300率计算公式，可得＝0.68，而S 矩形＝6×4＝24，则S 椭圆＝0.68×24＝16.32.S 椭圆S矩形(2)若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为________．答案 0.4解析 根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为7527 9857 8636 6947 4698 8045 9597 7424，共8个，所以该运动员射击4次至少击中3次的概率为＝0.4.820思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．跟踪训练2 (2016·全国Ⅱ)从区间[0,1]内随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.B. C. D.4n m 2n m 4m n 2m n答案 C解析 由题意得(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知＝，π41mn∴π＝，故选C.4mn题型三 与体积有关的几何概型例4 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M —ABCD 的体积小于的概率为________．16答案 12解析 过点M 作平面RS ∥平面AC ，则两平面间的距离是四棱锥M —ABCD 的高，显然点M 在平面RS 上任意位置时，四棱锥M —ABCD 的体积都相等．若此时四棱锥M —ABCD 的体积等于，只要M 在截面以下即可小于，当V M —ABCD ＝时，即×1×1×h ＝，解得h ＝，即161616131612点M 到底面ABCD 的距离，所以所求概率P ＝＝.1×1×121×1×112思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．跟踪训练3 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )A. B.π C. D.6π323π233π答案 D解析 由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V 1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R ＝，球的体积V 2＝π×3＝π，3243(32)32则此点落在正方体内部的概率P ＝＝.V 1V 2233π1．在区间[0，π]上随机地取一个数x ，则事件“sin x ≤”发生的概率为( )12A. B. C. D.34231213答案 D解析 在[0，π]上，当x ∈∪时，sin x ≤，故概率为＝.[0，π6][5π6，π]12π3π132．在区间[－1,3]上随机取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为，则实数m 为( )12A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析 区间[－1,3]的区间长度为4.不等式|x |≤m 的解集为[－m ，m ]，当1<m ≤3时，由题意得＝，解得m ＝1(舍)，m ＋1412当0<m ≤1时，由＝，则m ＝1.故m ＝1.2m 4123．(2018·益阳市、湘潭市调考)若正方形ABCD 的边长为4，E 为四边上任意一点，则AE 的长度大于5的概率等于( )A.B. C. D.132783818答案 D解析 设M ，N 分别为BC ，CD 靠近点C 的四等分点，则当E 在线段CM ，CN (不包括M ，N )上时，AE 的长度大于5，因为正方形的周长为16，CM ＋CN ＝2，所以AE 的长度大于5的概率为＝，故选D.216184．(2018·广东七校联考)在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )π3A ．2－B ．4－33π63πC ．－－D.1332π23答案 B解析 设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24＝4πr 2－6r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概(16πr 2－34r 2)3率为＝4－，故选B.S S ′63π5．(2018·石家庄模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随PB → PC → PA → 机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A. B. C. D.14132312答案 D解析 以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则＋＝，因为＋＋2＝0，PB → PC → PD → PB → PC → PA →所以＋＝－2，得＝－2，PB → PC → PA → PD → PA →由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于点A 到BC 的距离的，12所以S △PBC ＝S △ABC ，12所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为＝，故选D.S △PBC S △ABC 126．(2018·惠州模拟)我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图所示是赵爽的弦图．弦图是一个勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实＝弦2，化简得：勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在3黄色图形内的图钉数大约为( )A ．866B ．500C ．300D ．134答案 D解析 设勾为a ，则股为a ，所以弦为2a ，小正方形的边长为a －a ，所以题图中大正33方形的面积为4a 2，小正方形的面积为(－1)2a 2，所以小正方形与大正方形的面积比为3＝1－，所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为×1 000≈134.(3－1)2432(1－32)7．(2016·山东)在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为______．答案 34解析 由已知得，圆心(5,0)到直线y ＝kx 的距离小于半径，∴<3，解得－<k <，由几|5k |k 2＋13434何概型得P ＝＝.34－(－34)1－(－1)348．在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________．答案 33解析 因为点M 在直角边BC 上是等可能出现的，所以“区域”是长度．设BC ＝a ，则所求概率P ＝＝.33a a 339.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A —A 1BD 内的概率为______．答案 16解析 因为＝＝AA 1×S △ABD 1A A BD V -1A ABD V -13＝×AA 1×S 矩形ABCD ＝V 长方体，1616故所求概率为＝.V 长方体1610．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程＋＝1表示焦点在x 轴上x 2m 2y 2n2的椭圆的概率是________．答案 12解析 ∵方程＋＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .x 2m 2y 2n 2如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分(不包括m ＝n 这条直线)的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，∴所求的概率为.1211．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36，由a ·b ＝－1，得－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个．故满足a ·b ＝－1的概率为＝.336112(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}．满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}．画出图象如图所示，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－×2×4＝21，12故满足a ·b <0的概率为.212512．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24，0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A 为图中阴影部分，全部结果构成的集合Ω为边长是24的正方形及其内部．所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝(24－1)2×12＋(24－2)2×12242＝＝.506.5576 1 0131 15213．在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为________．12答案 34解析 设任取两点所表示的数分别为x ，y ，则0≤x ≤1，且0≤y ≤1，如图所示，则总事件所占的面积为1.记这两点之间的距离小于为事件A ，则A ＝Error!，如图中阴影部分所示，12空白部分所占的面积为2×××＝，所以所求两点之间的距离小于的概率P (A )＝＝.12121214121－1413414．向圆C ：(x －2)2＋(y －)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率为________．3答案 －1634π解析 如图所示，连接CA ，CB ，依题意，圆心C 到x 轴的距离为，所以弦AB 的长为2.又圆的半径为2，3所以∠ACB ＝60°，所以S 圆C ＝π×22＝4π，所以S 弓形ADB ＝－×2×＝－60°×π×22360°1232π3，所以向圆C 内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率P ＝＝－.32π3－34π1634π15．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥”的概率，p 2为事件“|x －y |≤”1313的概率，p 3为事件“xy ≤”的概率，则( )13A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1答案 B解析 因为x ，y ∈[0,1]，所以事件“x ＋y ≥”表示的平面区域如图(1)阴影部分(含边界)S 1，13事件“|x －y |≤”表示的平面区域如图(2)阴影部分(含边界)S 2，事件“xy ≤”表示的平面区1313域如图(3)阴影部分(含边界)S 3，由图知，阴影部分的面积满足S 2<S 3<S 1，正方形的面积为1×1＝1，根据几何概型概率计算公式可得p 2<p 3<p 1.16.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，求此点取自空白部分的概率．解 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC .不妨令OA ＝OB ＝2，则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝＋×1×1－＝1，π412(π4－12×1×1)所以整个图形中空白部分面积S 2＝2.又因为S 扇形OAB ＝×π×22＝π，14所以P ＝.2π。
高考数学(理)(人教)大一轮复习文档讲义：第十二章12.3几何概型
1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型中，事件A的概率的计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).3．几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率f n(A)＝MN作为所求概率的近似值．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．(√)(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(√)(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(√)(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(√)(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(×)(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( ×)1．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) A.12B.13C.14D ．1 答案 B解析 坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，故所求概率为13.2．(2015·山东)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤121()2log x +≤1”发生的概率为( ) A.34B.23C.13D.14 答案 A解析 由－1≤121()2log x +≤1，得12≤x ＋12≤2，∴0≤x ≤32.∴由几何概型的概率计算公式得所求概率 P ＝32－02－0＝34.3．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()答案 A解析 ∵P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．4．(2017·南昌月考)一个边长为3πcm 的正方形薄木板的正中央有一个直径为2cm 的圆孔，一只小虫在木板的一个面内随机地爬行，则小虫恰在离四个顶点的距离都大于2cm 的区域内的概率等于________． 答案 12解析 如图所示，分别以正方形的四个顶点为圆心，2cm 为半径作圆，与正方形相交截得四个圆心角为直角的扇形，当小虫落在图中的黑色区域时，它离四个顶点的距离都大于2cm ，其中黑色区域面积为S 1＝S 正方形－4S 扇形－S 小圆＝(3π)2－π×22－π×12＝9π－5π＝4π，所以小虫离四个顶点的距离都大于2cm 的概率为P ＝S 19π－π＝4π8π＝12.5．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________．答案 π4解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ， 则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 (1)(2016·全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A.710B.58C.38D.310(2)(2017·太原调研)在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________． 答案 (1)B (2)13解析 (1)至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B.(2)当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为13.(3)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率．解 因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°. 在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝AD tan60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.引申探究1．本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？解 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤32，得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为23.2．本例(3)中，若将“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，求BM <1的概率．解 依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3， P (BM <1)＝11＋3＝3－12.思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．(1)(2016·全国乙卷)某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34(2)已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －23－x >0，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈(A ∩B )”的概率是________． 答案 (1)B (2)16解析 (1)如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P ＝10＋1040＝12，故选B.(2)由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{}x | 2<x <3，故A ∩B ＝{x |2<x <3}．由几何概型知，在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈(A ∩B )的概率为P ＝16.题型二 与面积有关的几何概型 命题点1 与平面图形面积有关的问题例2 (2016·全国甲卷)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4n m B.2n m C.4m n D.2m n 答案 C 解析 由题意得(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41＝mn ，∴π＝4mn，故选C.命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题例3 (2016·武汉模拟)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________． 答案 78解析 如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C (－12，32)，故由几何概型的概率公式，得所求概率P ＝S 四边形OACDS △OAB＝2－142＝78.命题点3 与定积分交汇命题的问题例4 (2015·福建)如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．答案512解析 由题意知，阴影部分的面积S ＝ʃ21(4－x 2)d x ＝(4x －13x 3)|21＝53，所以所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512.思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．(1)(2016·昌平模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ≤4，y ≥－2表示的平面区域为D .在区域D内随机取一个点，则此点到直线y ＋2＝0的距离大于2的概率是( ) A.413B.513C.825D.925(2)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．答案 (1)D (2)2e2解析 (1)作出平面区域D ，可知平面区域D 是以A (4,3)，B (4，－2)，C (－6，－2)为顶点的三角形区域．当点在△AEF 区域内时，点到直线y ＋2＝0的距离大于2. ∴P ＝S △AEF S △ABC ＝12×6×312×10×5＝925.(2)由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S ＝2ʃ10(e －e x )d x ＝2(e x －e x )|1＝2[e －e －(0－1)]＝2.又该正方形面积为e 2， 故由几何概型的概率公式可得所求概率为2e 2.题型三 与体积有关的几何概型例5 (1)(2016·贵州黔东南州凯里一中期末)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) A.18B.16C.127D.38(2)已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P —ABC <12V S —ABC 的概率是( ) A.78B.34C.12D.14 答案 (1)C (2)A解析 (1)由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为1的小正方体内．这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为P ＝127.(2)当P 在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－18＝78.思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求．(2016·哈尔滨模拟)在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V3的概率是________．答案 23解析 如图，三棱锥S －ABC 与三棱锥S －APC 的高相同，要使三棱锥S －APC 的体积大于V3，只需△APC 的面积大于△ABC 的面积的13.假设点P ′是线段AB 靠近点A 的三等分点，记事件M 为“三棱锥S －APC 的体积大于V3”，则事件M 发生的区域是线段P ′B . 从而P (M )＝P ′B AB ＝23.16．几何概型中的“测度”典例 (1)在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________．(2)在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为( )A.14B.12C.34D.78 错解展示解析 (1)∵∠C ＝90°，∠CAM ＝30°， ∴所求概率为3090＝13.(2)两点之间线段长为12时，占长为1的线段的一半，故所求概率为12.答案 (1)13 (2)B现场纠错解析 (1)因为点M 在直角边BC 上是等可能出现的，所以“测度”是长度．设直角边长为a ，则所求概率为33a a ＝33.(2)设任取两点所表示的数分别为x ，y ， 则0≤x ≤1，且0≤y ≤1.由题意知|x －y |<12，所以所求概率为P ＝1－2×12×12×121＝34.答案 (1)33(2)C 纠错心得 (1)在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分布等可能．(2)两个变量在某个范围内取值，对应的“测度”是面积.1．(2016·佛山模拟)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )A ．16.32B ．15.32C ．8.68D ．7.68 答案 A解析 设椭圆的面积为S ，则S4×6＝300－96300，故S ＝16.32.2．(2016·昆明三中、玉溪一中统考)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( ) A.14B.13C.23D.12 答案 D解析 以PB 、PC 为邻边作平行四边形PBDC ， 则PB →＋PC →＝PD →， 因为PB →＋PC →＋2P A →＝0，所以PB →＋PC →＝－2P A →，得PD →＝－2P A →，由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于A 到BC 距离的12，所以S △PBC ＝12S △ABC ，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为S △PBC S △ABC ＝12，故选D.3.(2016·菏泽一模)已知函数f (x )的部分图象如图所示，向图中的矩形区域内随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数．通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为39，由此可估计ʃ10f (x )d x 的值约为( )A.61100 B.39100 C.10100 D.117100答案 D解析 ʃ10f (x )d x 表示阴影部分的面积S .因为S 3＝39100，所以S ＝117100.4．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( ) A.16B.13C.12D.23 答案 C解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C 、F 点)上时，△ABD 为钝角三角形，所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.5．(2017·武昌质检)如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A (0，－1)，B (π，－1)，C (π，1)，D (0，1)，正弦曲线f (x )＝sin x 和余弦曲线g (x )＝cos x 在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )A.1＋2πB.1＋22πC.1D.1 答案 B解析 根据题意，可得曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的区域的面积为ππππ44(s i n c o s )d (c o s s i n )|x x x x x -=--⎰＝1－⎝⎛⎭⎫－22－22＝1＋ 2.又矩形ABCD 的面积为2π，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是1＋22π.故选B.6.欧阳修的《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm 的圆，中间有边长为1cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则正好落入孔中的概率是________．答案49π解析 依题意，所求概率为P ＝12π·(32)2＝49π.7．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 23解析 V 圆柱＝2π，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 圆柱＝13， 故点P 到O 的距离大于1的概率为23.8．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________． 答案 12解析 ∵方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分， ∴所求的概率为P ＝12.9．随机地向半圆0<y <2ax －x 2(a 为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4的概率为______．答案 12＋1π解析 半圆区域如图所示．设A 表示事件“原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4”，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝A 的面积半圆的面积＝14πa 2＋12a 212πa 2＝12＋1π. 10．(2017·大连月考)正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1,1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．答案 23解析 正方形内空白部分面积为ʃ1－1[x 2－(－x 2)]d x＝ʃ1－12x 2d x ＝23·x 3|1－1＝23－(－23)＝43， 阴影部分面积为2×2－43＝83，所以所求概率为834＝23.11．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次，第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36， 由a ·b ＝－1得－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个， 故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}， 满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}． 画出图形如图，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125.12．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的一点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解 ∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为直线x ＝2ba ，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数， 当且仅当a >0且2ba≤1，即2b ≤a .依条件可知事件的全部结果所构成的区域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫(a ，b )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8≤0，a >0，b >0，构成所求事件的区域为三角形部分． 所求概率区间应满足2b ≤a .由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为(163，83)，故所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.*13.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1h ，乙船停泊时间为2h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24,0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1h 以上或乙比甲早到达2h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部． 所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝(24－1)2×12＋(24－2)2×12242＝506.5576＝10131152.。
2015高考数学一轮课件：12-3几何概型
通关训练2 如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若 在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率 等于( )
1
1
A.4
B.3
1
2
C.2
D.3
第二十八页，编辑于星期五：十三点 十一分。
解析：S△ABE＝
1 2
|AB|·|AD|，S矩形ABCD＝|AB||AD|，故所求概率P
第三十一页，编辑于星期五：十三点 十一分。
点评：几何概型的关键是“测度”，如本题条件若改成“在 线段BC上找一点M”，则相应的测度变成线段的长度．
第三十二页，编辑于星期五：十三点 十一分。
通关训练3 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O 为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P， 则点P到点O的距离大于1的概率为__________．
错解：在线段 AB 上取一点 E，使 AE＝AC，在线段 AE 上取
一点
D，此时
AD<AC，求得概率为AAEB＝AACB＝
2 2.
第三十四页，编辑于星期五：十三点 十一分。
错因分析：错解中是常见的错误解法，原因是不能准确找出 事件的几何度量．
正确解答：射线CD在∠ACB内是均匀分布的，故∠ACB＝ 90°可看成试验的所有结果构成的区域，在线段AB上取一点E，使 AE＝AC，则∠ACE＝67.5°可看成事件构成的区域，所以满足条 件的概率为6970.5＝34.
第九页，编辑于星期五：十三点 十一分。
●两种类型 (1)线型几何概型：基本事件只受一个连续的变量控制的概 型． (2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一 般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事 件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．
高三数学几何概型试题答案及解析
高三数学几何概型试题答案及解析1.已知直线与曲线恰有两个不同的交点，记k的所有可能取值构成集合A；P(x，y)是椭圆上一动点，与点P关于直线y＝x＋1对称，记的所有可能取值构成集合B，若随机的从集合A，B中分别抽出一个元素，则的概率是___________【答案】【解析】由，当x≥0时，显然k＞0，两边平方得，即由题意，该方程有两个不相等的正实数根即即结合k＞0解得k∈(0，1)，即A＝(0，1)对于椭圆，由于原点关于y＝x＋1的对称点为(－1，1)所以，椭圆关于y＝x＋1的对称椭圆为，－1∈[－4，4]在改椭圆上，可知y1于是∈[－1，1]，即B＝[－1，1]【方法一】由，分别以为横坐标和纵坐标，可知点()构成一个面积为2的矩形其中满足的是图中阴影部分，面积为所以，满足的概率是【方法二】当时，此事件发生的概率为，此时必有当时，此事件发生的概率为，此时与概率相等，各占，于是此时满足的概率为.以上两事件互斥，且[－1，0]与(0，1]的区间长度相等，故满足的概率为.【考点】直线与曲线的交点，轴对称图形，坐标的取值范围，几何概型.2.分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为()A．B．C．D．【答案】B＝2π－4．∴＝，故选B项．【解析】设AB＝2，则S阴影3.若从区间(0,2)内随机取两个数，则这两个数的比不小于4的概率为()A．B．C．D．【答案】C【解析】设这两个数分别为x，y，则由条件知0<x<2,0<y<2，y≥4x或x≥4y，则所求概率P＝＝．4.已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0．(1)若a，b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率；(2)若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求一元二次方程没有实数根的概率．【答案】（1）（2）【解析】(1)基本事件(a，b)共有36个，且a，b∈{1,2,3,4,5,6}，方程有两个正实数根等价于a－2>0,16－b2>0，Δ≥0，即a>2，－4<b<4，(a－2)2＋b2≥16．设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A，则事件A所包含的基本事件数为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P(A)＝＝．(2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4}，其面积为S(Ω)＝16．设“一元二次方程无实数根”为事件B，则构成事件B的区域为B＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4，(a－2)2＋b2<16}，其面积为S(B)＝×π×42＝4π，故所求的概率为P(B)＝＝．5.已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面上对应的点为M．(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率．【答案】（1）（2）【解析】(1)记“复数z为纯虚数”为事件A．∵组成复数z的所有情况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，∴所求事件的概率为P(A)＝＝．(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域{(x，y)| }内，属于几何概型，该平面区域的图形为右图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12．而所求事件构成的平面区域为{(x，y)| }，其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)．又直线x＋2y－3＝0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)、D(0，)，∴三角形OAD的面积为S＝×3×＝．1∴所求事件的概率为P＝＝＝．6.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将一个质点随机投入长方形ABCD中，基本事件总数有无限多个，故可考虑几何概型求概率．由已知得，以AB为直径的半圆的面积为．又长方形ABCD的面积为，故质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，选B．【考点】几何概型．7. [2012·北京高考]设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A．B．C．D．【答案】D【解析】平面区域D的面积为4，到原点距离大于2的点位于图中阴影部分，其面积为4－π，所以所求概率为.8.在区间上随机取两个实数，,则事件“”的概率为_________．【答案】【解析】符合题意的区域范围如图所示，所以概率为.【考点】几何概型.9.在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好满足的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，此题为几何概型，,故选C.【考点】几何概型10. (2014·荆州模拟)如图,矩形ABCD中,点E为边CD上的任意一点,若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自△ABE内部的概率等于________.【答案】【解析】由几何概型的计算方法,可以得出所求事件的概率P===.11.已知复数z=x+yi(x,y∈R)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P={-4,-3,-2,0},Q={0,1,2},从集合P中随机取一个数作为x,从集合Q中随机取一个数作为y,求复数z为纯虚数的概率.(2)设x∈[0,3],y∈[0,4],求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率.【答案】（1）（2）【解析】(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.因为组成复数z的所有情况共有12个：-4,-4+i,-4+2i,-3,-3+i,-3+2i,-2,-2+i,-2+2i,0,i,2i,且每种情况出现的可能性相等,属于古典概型,其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i,所以所求事件的概率为P(A)==.(2)依条件可知,点M均匀地分布在平面区域{(x,y)|0≤x≤3,0≤y≤4}内,属于几何概型.该平面区域的图形为图中矩形OABC围成的区域,面积为S=3×4=12.而所求事件构成的平面区域为{(x,y)|x+2y-3≤0,x≥0,y≥0},其图形如图中的三角形OAD(阴影部分). 又直线x+2y-3=0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0),D,所以三角形OAD的面积为S1=×3×=.所以所求事件的概率为P===.12.向边长为2米的正方形木框ABCD内随机投掷一粒绿豆，记绿豆落在P点，则P点到A点的距离大于1米，同时∠DPC∈(0，)的概率为()A．1－B．1－C．D．【答案】A【解析】由题意，易知：(1)点P在以A点为圆心，1为半径的圆外；(2)若点P在以DC为直径的圆上，则∠DPC＝，若点P在以DC为直径的圆内，则∠DPC>，故只有点P在以DC为直径的圆外时满足∠DPC为锐角．因此，点P落入图中的阴影部分，故所求概率1－，故选A．13.在区间[ 6，6]，内任取一个元素xO ，若抛物线y=x2在x=xo处的切线的倾角为，则的概率为．【答案】【解析】，，∵，∴，而，∴或，∴．【考点】几何概型、利用导数求曲线的切线的斜率．14.若在区间中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设所选取的两个数分别为、，且，事件“这两个数中较小的数大于”所表示的集合为，所表示的平面区域如下图中的阴影部分所表示，其面积等于一个腰长为的等腰直角三角形减去一个腰长为的等腰直角三角形的面积而得到，其中阴影部分的面积为，因此事件“这两个数中较小的数大于”的概率为，故选C.【考点】几何概型15.利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为_________．【答案】【解析】3a﹣1＞0即a＞，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为P==．16.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为A．B．C．D．【答案】C【解析】根据定积分的几何意义可知阴影部分的面积，而正方形的面积为1，所以点Ｐ恰好取自阴影部分的概率为．17.如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知，有信号的区域的面积为×2=，而矩形的面积为2，所以无信号区域的概率．18.有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】设点P到点O的距离小于1的概率为P1，由几何概型，则P1＝＝＝，故点P到点O的距离大于1的概率P＝1－＝．19.小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示．（1）根据图中的数据信息，求出众数和中位数（精确到整数分钟）；（2）小明的父亲上班离家的时间在上午之间，而送报人每天在时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等），求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件）的概率．【答案】（1），；（2）【解析】（1）在频率分步直方图中，最高矩形的中点横坐标代表数据的众数；各个矩形的面积和为1，中位数是面积等分为的轴线和横轴的交点；平均数是各矩形的面积乘以相应矩形中点横坐标的累加值；（2）基本事件总数有无限多个，故可以考虑几何概型．可以看成平面中的点，试验的全部结果构成平面区域，而事件A发生的前提是，利用面积的比表示事件A发生的概率．试题解析：（1） 2分由频率分布直方图可知即， 3分∴解得分即 6分（2）设报纸送达时间为 7分则小明父亲上班前能取到报纸等价于， 10分如图可知，所求概率为 13分【考点】1、频率分布直方图；2、众数和中位数；3、几何概型.20.从中任取一个数，从中任取一个数，则使的概率为 .【答案】.【解析】当，时，，即，当，时，，即，当，时，，即，当，时，，即，记事件：，则事件表示的平面区域如下图的阴影部分所表示，即图中的六边形，易知、、、、、，则与都是腰长为的等腰直角三角形，且，四边形是底边长为，高为的矩形，，因此六边形的面积，因此，事件发生的概率为.【考点】1.含绝对值的不等式；2.几何概型21. 如图，∠AOB ＝60°，OA ＝2，OB ＝5，在线段OB 上任取一点C ，试求：(1)△AOC 为钝角三角形的概率； (2)△AOC 为锐角三角形的概率． 【答案】（1）0.4.（2）0.6. 【解析】如图，由平面几何知识：当AD ⊥OB 时，OD ＝1；当OA ⊥AE 时，OE ＝4，BE ＝1.(1)当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时，△AOC 为钝角三角形，记“△AOC 为钝角三角形”为事件M ，则P(M)＝＝0.4，即△AOC 为钝角三角形的概率为0.4.(2)当且仅当点C 在线段DE 上时，△AOC 为锐角三角，记“△AOC 为锐角三角”为事件N ，则P(N)＝＝0.6，即△AOC 为锐角三角形的概率为0.6.22. 正四面体ABCD 的体积为V ，P 是正四面体ABCD 的内部的一个点． (1)设“V PABC ≥V”的事件为X ，求概率P(X)；(2)设“V PABC ≥V”且“V PBCD ≥V”的事件为Y ，求概率P(Y)． 【答案】（1）（2）【解析】首先确定点P 的区域，即区域D ；然后确定所求的事件中的点所在区域d ；分别计算区域D 和d 的体积；最后计算所求概率为.（1)如图，分别取DA 、DB 、DC 上的点E 、F 、G ，并使DE ＝3EA ，DF ＝3FB ，DG ＝3GC ，并连结EF 、FG 、GE ， 则平面EFG ∥平面ABC.当P 在正四面体DEFG 内部运动 时，满足V PABC ≥V ，故P(X)＝.(2)在AB 上取点H ，使AH ＝3HB ，在AC 上取点I ， 使AI ＝3IC ，在AD 上取点J ，使AJ ＝3JD ， 则P 在正四面体AHIJ 内部运动时，满足V PBCD ≥V.设JH 交EF 于M ，JI 交EG 于N ，则面MIN ∥面BCD.结合(1)，当P 在正四面体DFEG 的内部及正四面体AHIJ 的内部运动，也即P 在正四面体EMNJ 内部运动时，同时满足V PABC ≥V 且V PBCD ≥V ，于是P(Y)＝.23. 有5个数成公差不为零的等差数列，这5个数的和为15，若从这5个数中随机抽取一个数，则它小于3的概率是________． 【答案】【解析】设成等差数列的五个数为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，则五数和为(a －2d)＋(a －d)＋a＋(a＋d)＋(a＋2d)＝5a，由题意，5a＝15，a＝3，又公差d≠0，所以其中有两个数小于3，故随机抽取一个数小于3的概率是.24.利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a,则事件“3a-1<0”发生的概率为.【答案】【解析】由题意得0<a<,根据几何概型概率公式得事件“3a-1<0”发生的概率为.25.在区间[0,π]上随机取一个数x,则事件“sin x+cos x≥”发生的概率为.【答案】【解析】sinx+cosx=sin≥,∴sin≥.2kπ+≤x+≤2kπ+π,∴2kπ+≤x≤2kπ+π.∵0≤x≤π,∴≤x≤π.∴P==.26.已知集合M＝{x|－2≤x≤8}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，在集合M中任取一个元素x，则“x∈M∩N”的概率是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝[1,2]，所以M∩N＝[1,2]，所以所求的概率为＝.27.在边长为2的正三角形ABC内任取一点P,则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是.【答案】【解析】以A,B,C为圆心,以1为半径作圆,与△ABC交出三个扇形,当P落在其内时符合要求,∴P==.28.如图所示是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图,P表示估计结果,则图中空白框内应填入 .【答案】P=【解析】∵x i ,y i 为0～1之间的随机数,构成以1为边长的正方形面.当+≤1时,点(x i ,y i )均落在以原点为圆心,以1为半径且在第一象限的圆内(如图阴影所示).由程序框图知,落在阴影区域内的点共M 个. 又S 正方形=1,S 阴影=π. 根据几何概型==π,∴π=,因此估计结果P=.29. 一个袋中装有大小相同,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,从中有放回地每次取一个球,共取2次,则取得两个球的编号和小于15的概率为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】两球编号之和不小于15的情况有三种,分别为(7,8),(8,7),(8,8),则两球编号之和不小于15的概率为.因此,两个球的编号和小于15的概率为1-=.30. 欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．己知铜钱是直径为4cm 的圆面，中间有边长为lcm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴整体落在铜钱内），则油滴整体（油滴是直径为0．2cm 的球）正好落入孔中的概率是 ．（不作近似计算）． 【答案】【解析】随机向铜钱上滴一滴油，且油滴整体落在铜钱内，则油滴在以圆面圆心为圆心，半径为的圆内，即，若油滴整体正好落入孔中，则油滴在与正方形孔距离为正方形内，即，所求概率是.【考点】几何概型概率31. 函数,则任取一点,使得的概率为【答案】 【解析】因为函数，当即.又因为所以符合的概率为.【考点】1.二次不等式的解法.2几何概型的问题.32.从等腰直角的底边上任取一点，则为锐角三角形的概率为 .【答案】【解析】在等腰直角中，设腰长为，则长为，在上取中点，则若点在线段上，能使为锐角三角形．∵，=，∴为锐角三角形的概率为．故答案为.【考点】几何概型33.如图所示，在一个边长为1的正方形内，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），向正方形内随机投一点（该点落在正方形内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是 .【答案】【解析】可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：，所以．【考点】几何概型；定积分．34.在区间[0,1]上任取三个数a、b、c，若点M在空间直角坐标系O－xyz中的坐标为(a，b，c)，则|OM|≤1的概率是()．A．B．C．D．【答案】D【解析】点M的轨迹构成区域的体积恰好等于以O为球心，以1为半径球体积的，因此|m|≤1的概率等于＝.35.记圆O：x2＋y2＝π2内的正弦曲线y＝sin x与x轴围成的区域为D，随机地往圆O内投一个点A，则点A落在区域D内的概率是()．A．B．C．D．【答案】B【解析】结合图形可得，D区域面积＝2 ＝2 ＝4，由几何概型可得概率为＝.36.若实数a，b满足a2＋b2≤1，则关于x的方程x2－2x＋a＋b＝0有实数根的概率是()．A．B．C．D．【答案】C【解析】要使方程有实根，则判别式Δ＝4－4(a＋b)>0，即a＋b－1<0，如图，阴影部分．所以△OAB的面积为，所以阴影部分的面积为×π×12＋＝＋，所以由几何概率公式可得所求概率为＝.37.在区间[0,4]内随机取两个数a、b，则使得函数f(x)＝x2＋ax＋b2有零点的概率为________．【答案】【解析】依题意知Δ＝a2－4b2≥0，即(a－2b)(a＋2b)≥0，又作出对应的平面区域如图，当a＝4时，b＝2，即△OBC的面积为×4×2＝4，故所求概率为＝38.如图，长方形的四个顶点为O(0，0)，A(2,0)，B(2,4)，C(0,4)，曲线经过点B，现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是；【答案】【解析】根据题意，由于长方形的四个顶点为O(0，0)，A(2,0)，B(2,4)，C(0,4)，曲线经过点B，可知4=4a,a=1,故可知，那么可知质点落在图中阴影区域的面积8-，而矩形的面积为8，那么可知质点落在图中阴影区域的概率是1-，故答案为点随机投入长方形OABC中，【考点】几何概型概率点评：主要是考查了概率的运用，属于基础题。
高三数学一轮复习精品学案4：§12.3 几何概型
§12.3 几何概型高考解读知识梳理1．几何概型如果事件发生的概率只与构成该事件区域的成比例，而与A的形状和位置无关则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个特点一是，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是_________，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”，即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的”与“试验的基本事件所占的”之比来表示．3．在几何概型中，事件A的概率的计算公式P(A)＝.4．几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关．(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．对点检测1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．()(2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的．()(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．()(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．()2．在区间(15,25』内的所有实数中随机抽取一个实数a，则这个实数满足17＜a＜20的概率是( ) A ．13B ．12C ．310D ．7103．有一杯2 L 的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从水中取0.1 L 水，则小杯水中含有这个细菌的概率为( ) A ．0.01 B ．0.02 C ．0.05D ．0.14．已知x 是『－4,4』上的一个随机数，则使x 满足x 2＋x －2＜0的概率为( ) A ．12B ．38C ．58D ．05．某路公共汽车每5 min 发车一次，某乘客到乘车点时刻是随机的，则他候车时间不超过3 min 的概率是( ) A ．35B ．45C ．25D ．15板块二 考法拓展·题型解码 考法精讲考法一 与长度、角度有关的几何概型 归纳总结(1)设线段l 是线段L 的一部分，向线段L 上任投一点，点落在线段l 的概率为P ＝l 的长度L 的长度.(2)当涉及射线的转动，如扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．例1 (1)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间『－4,5』上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________.(2)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A ．13B ．12C ．23D ．34考法二 与面积有关的几何概型 归纳总结与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A 构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合．例2 (1)在区间『－1,1』内随机取两个实数x ，y ，则满足y ≥x 2－1的概率是( ) A ．29B ．79C ．16D ．56(2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A ．14B ．π8C ．12D ．π4考法三 与体积有关的几何概型,, 归纳总结对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．例3 (1)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为_________. (2)在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V 3的概率是_________. 递进题组1．把半径为2的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为( )A ．4π－1B ．2πC ．4π－12D ．122．在区间『－1,1』上随机取一个数x ，使cos πx 2的值介于0到12之间的概率为( ) A ．13B ．2πC ．12D ．233．在区间『－2,2』上随机取一个数x ，使||x ＋1－||x －1≤1成立的概率为 .4．如图，在边长为1的正方形OABC 中任取一点，则该点落在阴影部分的概率为 .板块三 考卷送检·易错警示 易错点 几何概型概念不清,错因分析：对事件中的几何元素认识不清晰，导致解题错误．例 (1)在等腰Rt △ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，则AM ＜AC 的概率为________． (2)在等腰Rt △ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM ＜AC 的概率为________．跟踪训练 在『－1,1』上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为 .——★ 参 考 答 案 ★——板块一 考点清单·课前查漏 知识梳理1．长度(面积或体积)2．无限性 等可能性 图形面积(体积、长度) 总面积(总体积、总长度) 3．构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) 对点检测1．『答案』(1)√ (2)× (3)√ (4)√『解析』 (1)正确．由随机模拟方法及几何概型可知，该说法正确．(2)错误．虽然环境相同，但是因为随机模拟得到的是某一次的频率，所以结果不一定相等． (3)正确．由几何概型的定义知，该说法正确． (4)正确．由几何概型的定义知，该说法正确． 2．『答案』C『解析』 ∵a ∈(15,25』，∴P (17＜a ＜20)＝20－1725－15＝310.3．『答案』C『解析』 因为取水是随机的，而细菌在2 L 水中的任何位置是等可能的，则小杯水中含有这个细菌的概率为P ＝0.12＝0.05.4．『答案』B『解析』 x 2＋x －2＜0⇒－2＜x ＜1，则P ＝1－(－2)4－(－4)＝38.5．『答案』A『解析』 此题可以看成向区间『0,5』内均匀投点，求点落入『2,5』内的概率．设A ＝{某乘客候车时间不超过3 min}．则P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果构成的区域长度＝35.板块二 考法拓展·题型解码 例1 『答案』(1) 59(2) B『解析』(1)由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝『－2,3』，则所求概率为3－(－2)5－(－4)＝59.(2)由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为12.考法二 与面积有关的几何概型 例2 『答案』(1)D (2) B『解析』 (1)如图满足y ≥x 2－1的概率为阴影部分面积与正方形面积的比，∵⎠⎛－11 『1－(x 2－1)』d x ＝⎠⎛－11 (2－x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x －13x 3|1－1＝103，,∴P ＝1034＝1012＝56. (2)不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由于正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，所以黑色部分的面积为π2，故此点取自黑色部分的概率为π24＝π8，故选B ．,考法三 与体积有关的几何概型,, 例3 『答案』(1) 1－π12 (2) 23『解析』 (1)正方体的体积为2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为12×43πr 3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12.(2)由题意知V S －APC V S －ABC ＞13，三棱锥S －ABC 的高与三棱锥S －APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM ，BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S －APC V S －ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN >13，,又PMBN ＝AP AB ，所以AP AB ＞13，故所求的概率为23(即为长度之比)． 递进题组 1．『答案』A『解析』 这是一道几何概型概率计算问题．星形弧半径为2，所以点落在星形内的概率为P ＝π·22－⎝⎛⎭⎫π·224－12×2×2×2×4π·22＝4π－1，故选A ．2．『答案』A『解析』 在区间『－1,1』上随机取一个数x ，试验的全部结果构成的区域长度为2. ∵－1≤x ≤1，∴－π2≤π2x ≤π2.由0≤cos π2x ≤12，得π3≤π2x ≤π2或－π2≤π2x ≤－π3，∴23≤x ≤1或－1≤x ≤－23.设事件A 为“cos π2x 的值介于0到12之间”，则事件A 发生对应的区域长度为23.∴P (A )＝232＝13.3．『答案』58『解析』 在区间『－2,2』上随机取一个数x ，则－2≤x ≤2， 而不等式|x ＋1|－|x －1|≤1的解集为x ≤12.又因为－2≤x ≤2，故－2≤x ≤12，所以使不等式成立的概率为P ＝12－(－2)2－(－2)＝58.4．『答案』 13『解析』 根据题意，可以求得阴影部分的面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－13x 3|10＝13，,故该点落在阴影部分的概率为P ＝131＝13. 板块三 考卷送检·易错警示 例 『答案』(1)22 (2)34『解析』 (1)这是一个与长度有关的几何概型问题，在AB 上截取AC ′＝AC ，于是P (AM ＜AC )＝P (AM ＜AC ′)＝AC ′AB ＝AC AB ＝22. (2)这是一个与角度有关的几何概型问题，在AB 上截取AC ′＝AC ，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°，而∠ACB ＝90°，于是P (AM ＜AC )＝P (AM ＜AC ′)＝67.590＝34. 跟踪训练 『答案』34『解析』 直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交的充要条件为|5k －0|1＋k 2＜3，解之得－34＜k ＜34，,故所求概率为P ＝34－⎝⎛⎭⎫－341－(－1)＝34.。
高三数学几何概型试题答案及解析
高三数学几何概型试题答案及解析1.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A．B．C．D．【答案】Ｂ【解析】由题知，以AB为直径的圆的半径为1，故质点落在以AB为直径的半圆内的概率为=，故选B.考点:几何概型2.在区间上随机取两个数其中满足的概率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在区间[0，2]上随机取两个数x，y，对应区域的面积为4，满足y≥2x，对应区域的面积为×1×2=1，∴所求的概率为，故选B．考点:几何概型3.张先生订了一份《南昌晚报》，送报人在早上6：30－7：30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7：00－8：00之间，则张先生在离开家之前能拿到报纸的概率是________．【答案】【解析】以横坐标x表示报纸送到时间，以纵坐标y表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，如图．因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意只要点落在阴影部分，就表示张先生在离开家之前能拿到报纸，即所求事件A发生，所以P(A)＝＝．4.已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面上对应的点为M．(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率．【答案】（1）（2）【解析】(1)记“复数z为纯虚数”为事件A．∵组成复数z的所有情况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，∴所求事件的概率为P(A)＝＝．(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域{(x，y)| }内，属于几何概型，该平面区域的图形为右图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12．而所求事件构成的平面区域为{(x，y)| }，其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)．又直线x＋2y－3＝0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)、D(0，)，∴三角形OAD的面积为S1＝×3×＝．∴所求事件的概率为P＝＝＝．5.在区间[－6,6]内任取一个元素x0，抛物线x2＝4y在x＝x处的切线的倾斜角为α，则α∈[，]的概率为________．【答案】【解析】当切线的倾斜角α∈[，]时，切线斜率的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，抛物线x2＝4y在x＝x0处的切线斜率是x，故只要x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)即可，若在区间[－6,6]内取值，则只能取区间[－6，－2]∪[2,6)内的值，这个区间的长度是8，区间[－6,6]的长度是12，故所求的概率是＝．6.在可行域内任取一点，规则如流程图所示，求输出数对(x，y)的概率．【答案】【解析】可行域为中心在原点，顶点在坐标轴上的正方形(边长为)，x2＋y2≤表示半径为的圆及其内部，所以所求概率为＝．7.在长为的线段上任取一点，并且以线段为边作正三角形，则这个正三角形的面积介于与之间的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：边长为的正三角形的面积为，由得:在长为的线段上任取一点,有无限个可能的结果，所有可能结果对应一个长度为20的线段，设“以线段为边的正三角形面积介于与之间”为事件M，则包含M的全部基本事对应的是长度为6的线段，所以故选D.【考点】几何概型.8.在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好满足的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，此题为几何概型，,故选C.【考点】几何概型9.一只昆虫在边长分别为、、的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于的地方的概率为 .【答案】.【解析】如下图所示，易知三角形为直角三角形，昆虫爬行的区域是在三角形区域内到以各顶点为圆心，半径为的圆在三角形区域内的部分，实际上就是三个扇形，将这三个扇形拼接起来就是一个半圆，其半径长为，面积为，三角形的面积为，因此昆虫爬行时到三角形顶点的距离小于的地方的概率为.【考点】几何概型10.如图，一半径为的圆形靶内有一个半径为的同心圆，将大圆分成两部分，小圆内部区域记为环，圆环区域记为环，某同学向该靶投掷枚飞镖，每次枚. 假设他每次必定会中靶，且投中靶内各点是随机的.（1）求该同学在一次投掷中获得环的概率；（2）设表示该同学在次投掷中获得的环数，求的分布列及数学期望.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）先根据题中条件确定相应的事件为几何概型，然后利用几何概型的概率计算公式（对应区域面积之比）求出相应事情的概率即可；（2）（1）由题意可得是几何概型，设，该同学一次投掷投中环的概率为；（2）由题意可知可能的值为、、、，，，，，的分布列为环，答：的数学期望为环.【考点】1.几何概型；2.离散型随机变量分布列与数学期望11.已知正方体的棱长为2，在四边形内随机取一点,则的概率为_______ ，的概率为_______.【答案】；【解析】四边形为矩形且。
【创新设计】高考数学(山东理)一轮复习练习：12.3几何概型(含答案解析)
基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1.在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为( )A.13B.2πC.12D.23解析 若cos x ∈⎣⎡⎦⎤0，12，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，利用三角函数性质解得x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π3∪⎣⎡⎦⎤π3，π2，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数是等可能的，结合几何概型的概率公式可得所求概率为P ＝2×⎝⎛⎭⎫π2－π3π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝13.答案 A2.(2016·东北三省三校联考)实数m 是[0，6]上的随机数，则关于x 的方程x 2－mx ＋4＝0有实根的概率为( ) A.14B.13C.12D.23解析 方程x 2－mx ＋4＝0有实根，则Δ＝m 2－4×4≥0，∴m ≥4或m≤－4，又m ∈[0，6]，∴4≤m ≤6，∴关于x 的方程x 2－mx ＋4＝0有实根的概率为6－46－0＝13.故选B.答案 B3.在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( ) A.16B.13C.23D.45解析 设AC ＝x cm ，0＜x ＜12，则CB ＝(12－x)cm ，要使矩形面积大于20 cm 2，只要x(12－x)＞20，则x 2－12x ＋20＜0，解得2＜x ＜10，所求概率为P ＝10－212＝23.答案 C4. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( ) A.π2B.π4C.π6D.π8解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P(A)＝阴影面积长方形面积＝12π×121×2＝π4.答案 B5.(2016·武汉部分学校质检)如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为( ) A.117 B.217 C.317D.417解析 ∵大正方形的面积是34，∴大正方形的边长是34，由直角三角形的较短边长为3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4，∴小花朵落在小正方形内的概率为P ＝434＝217.故选B.答案 B 二、填空题6.如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________.解析 设阴影部分的面积为S ，由题意知S S 正方形＝1801 000，解得S ＝0.18.答案 0.187.在区间[－2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为56，则m ＝________.解析 由|x|≤m ，得－m≤x≤m.当m≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去.当2＜m ＜4时，由题意得m －（－2）6＝56，解得m ＝3.即m 的值为3. 答案 38.在区间[1，5]和[2，4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________.解析 ∵方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m>n.如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q(m ，n)，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，∴所求的概率为P ＝12.答案 129.如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________.解析 ∵y ＝e x 与y ＝ln x 互为反函数，故直线y ＝x 两侧的阴影部分面积相等，只需计算其中一部分即可.如图，S 1＝⎠⎛01e x dx ＝e x |10＝e 1－e 0＝e －1.∴S 总阴影＝2S 阴影＝2(e ×1－S 1)＝2[e －(e －1)]＝2， 故所求概率为P ＝2e 2.答案2e 2三、解答题10.设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从区间[0，3]任取的一个数，b 是从区间[0，2]任取的一个数，求方程有实根的概率.解 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”.当a≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b.试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a≤3，0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a≤3，0≤b ≤2，a ≥b}，根据条件画出构成的区域(略)，可得所求的概率为P(A)＝3×2－12×223×2＝23.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2016·辽宁五校联考)设k 是一个正整数，已知⎝⎛⎭⎫1＋xk k的展开式中第四项的系数为116，函数y ＝x 2与y ＝kx 的图象所围成的区域如图中阴影部分所示，任取x ∈[0，4]，y ∈[0，16]，则点(x ，y)恰好落在阴影部分内的概率为( ) A.1796B.532C.16D.748解析 由题意得C 3k 1k 3＝116，解得k ＝4. 阴影部分的面积S 1＝⎠⎛04(4x －x 2)dx ＝⎝⎛⎪⎪2x 2－⎭⎫13x 340＝323，∵任取x ∈[0，4]，y ∈[0，16]，∴以x 、y 为横、纵坐标的所有可能的点构成的区域面积S 2＝4×16＝64，所以所求概率P ＝S 1S 2＝16，故选C. 答案 C12. 如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( ) A.12－1πB.1πC.1－2πD.2π解析 如图，设OA ＝2，S 扇形AOB ＝π，S △OCD ＝12×1×1＝12，S 扇形OCD ＝π4，∴在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π2－2⎝⎛⎭⎫π4－12＝1，所有阴影面积为π－2.故所求概率 P ＝π－2π＝1－2π.答案 C13.张先生订了一份报纸，送报人在早上6：30～7：30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7：00～8：00之间，则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是________.解析 以横坐标x 表示报纸送到时间，以纵坐标y 表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，因为随机试验落在正方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件.根据题意只要点落到阴影部分，就表示张先生在离开家前能得到报纸，即所求事件A 发生，所以P(A)＝1×1－12×12×121×1＝78.答案 7814.已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(x ，y).(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1，6]上取值，求满足a·b<0的概率.解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)；由a·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a·b ＝－1的基本事件为(1，1)，(2，3)，(3，5)，共3个；故满足a·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1，6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x≤6，1≤y ≤6}；满足a·b<0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x≤6，1≤y ≤6且－2x ＋y<0}；画出图形如图，正方形的面积为S 正方形＝25， 阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a·b<0的概率为2125.。
【步步高】同步届高考数学大一轮复习 12.3 几何概型(含解析)新人教A版
几何概型一、选择题1．已知地铁列车每10 min 含在车站停车时间一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是解析 试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ， 故⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x 4π22π-6π44π-12cm20cm x ，则线段CB 的长为12x -cm,那么矩形的面积为(12)x x -cm 2，由(12)20x x ->，解得210x <<。
又012x <<，所以该矩形面积小于32cm 2的概率为23，故选C 答案2311．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则关于的方程2＋2a ＋b 2＝0有实数根的概率为________． 解析 由题意得Δ＝4a 2－4b 2≥0， ∵a ，b ∈ [0,1]，∴a ≥b ∴错误!画出该不 等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．故所求概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为错误! 答案 错误!12．如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠OT 内的概率为________．解析 如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠OT 内的概率为错误!＝错误!答案错误!三、解答题13．如图所示，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．解析弦长不超过1，即|OQ|≥错误!，而Q点在直径AB上是随机的，事件A＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得＝{，|∈A，∈B}，在集合M内随机取出一个元素，．1求以，为坐标的点落在圆2＋2＝1上的概率；2求以，为坐标的点位于区域D：错误!内含边界的概率．解析1记“以，为坐标的点落在圆2＋2＝1上”为事件A，2＋2＝1上的点有0，－1，0,12个，即A包含的基本事件数为2，所以PA＝错误!＝错误!2记“以，为坐标的点位于区域内”为事件B，则基本事件总数为6，由图知位于区域D内含边界的点有：－2，－1，2，－1，0，－1，0,1，共4个，即B包含的基本事件数为4，故PB＝错误!＝错误!。
【志鸿优化设计】高考数学一轮总复习 12.3 几何概型课件(含高考真题)文 新人教版
2
= .
1 2
1 2
关闭
解析 考点一 考点二 考点三 思想方法
答案
第十二章
12.3
几何概型 13 -13-
考点二
【例 2】
与面积有关的几何概型
如图所示,向圆内投镖,如果每次都投入圆内,那么投中正方形区域的概率为
(
)
2 1 此试验属几何概型 ,设圆的半径为 A. B. 1, π π 则圆的面积为 π,正方形的面积为 2,
0.4
10-3-3 10
=
4 =0.4. 10
关闭
解析 考点一 考点二 考点三 思想方法
答案
第十二章
12.3
几何概型 11 -11-
方法提炼 从该题可以看出,我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随 机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样.而一个随机事件的发生 则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这样的概率模型就 可以用几何概型来求解.
关闭
S 矩形 ABCD=1×2=2,S 扇形 ADE=S 扇形 CBF= .由几何概型可知该地点无信号的概率为
π A.14
P=
������矩形������������������������-������扇形������������������-������扇形������������������ ������矩形������������������������
考点一
考点二
考点三
思想方法
第十二章
12.3
几何概型 12 -12-
举一反三 1 在半径为 1 的圆内一条直径上任取一点,
关闭 过这个点作垂直于直径的弦,则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是
专题12-3 几何概型测-2018年高考数学理一轮复习讲练测
2018年高考数学讲练测【新课标版理 】【测】第十二章 概率与统计第03节 古典概型班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。
）第03节 几何概型班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。
） 1. 在棱长为a 的正方体中随机地取一点P ，则点P 与正方体各表面的距离都大于3a的概率为 ( ) A.127 B. 116 C. 19 D. 13【答案】A2. 【2018湖南益阳市、湘潭市调研】若正方形ABCD 边长为4,E 为四边上任意一点，则AE 的长度大于5的概率等于（ ） A.132 B. 78 C. 38 D. 18【答案】D【解析】设M N ，分别为BC 或CD 靠近点C 的四等分点，则当E 在线段,CM CN 上时， AE 的长度大于5， E 所能取到点的长度为2， 正方形的周长为16， AE 的长度大于5，的概率等于21=168，故选D.3. 【2018贵州贵阳市第一中学模拟】已知事件“在正方形的边上随机了一点，使为三角形中最大角”发生的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为所对应边长始终大于正方形边长，所以最大角可能是，或，只需要>即可．当P 点为CD 中点时，，当P 点在靠近C 的一半时，是最大角．故选为A.4. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( ) A.π2B.π4C.π6D.π8【答案】B【解析】设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π×121×2＝π4.5. 【2018安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟】《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A.910 B. 1213 C. 1314 D. 1415【答案】B【解析】设水深为x 尺，则()22215x x +=+，解得12x =，即水深12尺.又葭长13尺，则所求概率1213P =,故选B.6. 在平面直角坐标系中，记抛物线2y x x =-与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y kx =（0k >）所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P 落在区域A 内的概率为827，则k 的值为（ ） A.13 B. 23 C. 12 D. 34【答案】A7. 利用计算机在区间()0,1上产生随机数a ，则不等式()ln 310a -<成立的概率是（ ） A.13 B. 12 C. 23 D. 14【答案】A【解析】 由()ln 310a -<，得12031133a a <-<⇒<<， 则用计算机在区间()0,1上产生随机数a ，不等式()ln 310a -<成立的概率为13P =， 故选A ．8. 在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中任取一点M ，则满足90AMB ∠>︒的概率为（ ） A.24π B. 12π C. 8π D. 6π【答案】A【解析】以AB 为直径作球，球在正方体内部的区域体积为14ππ433V =⨯=，正方体的体积为8，所以由几何概型得， π24P =，故选A ． 9. 设点(),a b 为区域40,{0, 0x y x y +-≤>>内任意一点，则使函数()223f x ax bx =-+在区间1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上是增函数的概率为 A.13 B. 23 C. 12 D. 14【答案】A【解析】作出不等式组对应的平面区域：若函数()223f x ax bx =-+在区间12∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，上是增函数，则0{ 2122a b b a a >--=≤，即0{ 20a a b >-≥，则A (0，4) ，B (4，0)，由40{ 20a b a b +-=-=得83{43a b ==，即C 8433⎛⎫ ⎪⎝⎭，,则Δ1484233OBC S =⨯⨯=， Δ14482OAB S =⨯⨯=，则使函数()223f x ax bx =-+在区间12∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，上是增函数的概率ΔΔ81383OBC OABS P S ===，故选A. 10. 【2018黑龙江海林模拟】已知P 是ABC ∆所在平面内一点，且20PB PC PA ++=，现将一粒黄豆随机撒在ABC ∆内，则黄豆落在PBC ∆内的概率是（ ） A.14 B. 13 C. 12 D. 23【答案】C【解析】以PB 、PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则 PBPcPD→+→=→, ∵2PCPBPA→+→+→=0→,∴2PBPCPA→+→=-→，得PD→=﹣2PA→由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点， 点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12． ∴S △PBC =12S △ABC ． 将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为P=PBC abc S S =12故选C11.如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数1(0)y x x=>图象下方的区域（阴影部分），从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为（ ）A ．ln 22 B ．1ln 22- C ．1ln 22+ D ．2ln 22- 【答案】C12. 【2018福建福州市第一中学模拟】圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线叫做“等宽曲线”。
【推荐】专题12.3 几何概型(讲)-2018年高考数学(理)一轮复习讲练测
2018年高考数学讲练测【新课标版理】【讲】第十二章概率与统计第03节几何概型【考纲解读】【知识清单】1.几何概型(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．(2)特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．对点练习1．下列关于几何概型的说法中，错误的是( )A. 几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性B. 几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关C. 几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D. 几何概型中每个结果的发生都具有等可能性【答案】A【解析】几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，所以A错。
几何概型和古典概型相同点都是每个结果等可能出现，区别是几何概型的结果是无限，古典概型的结果是有限的。
选A.2.几何概型的计算公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成区域长度(面积或体积).【2018陕西西安西北工业大学附属中学模拟】已知平面区域(){,|0,01}x y x y πΩ=≤≤≤≤，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线2sin y x =下方的概率是（ ）A.B.C.D. 【答案】A选A.【考点深度剖析】预测2016年高考，仍将以几何概型的概率计算为载体，在知识交汇处命题，体现对学生双基的考查，难度不大.【重点难点突破】 考点:几何概型【1-1】【2017课标1，理】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A1B πCD 【答案】B【1-2】【2017江苏，7】 的定义域为D .在区间[4,5]-上随机取一个数x ,则x D ∈的概率是 ▲ .【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的【1-3】【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】如图，四边形ABCD 为正方形， G 为线段BC 的中点，四边形AEFG 与四边形DGHI 也为正方形，连接EB ， CI ，则向多边形AEFGHID 中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为（ ）A.1 B.2 C.3 D. 1【答案】A【解析】设正方形ABCD 的边长为1，3S =总，A 。
高考数学大一轮复习 12.3几何概型配套课件 理 新人教A版
思维(sīwéi) 启迪
解析 (jiě
探究提高
∠B＝60°，∠C＝45°，高 AD＝ 几何概型的关键x是ī)“测度”，如本
3，在∠BAC 内作射线 AM 交 题条件若改成“在线段 BC 上找一
BC 于点 M，求 BM<1 的概率． 点 M”，则相应的测度变成线段的
长度．
第二十六页，共73页。
题型分类·深度(shēndù)剖 析
难点正本 疑点清源
3．几何概型的两种类型 (1)线型几何概型：当基本事 件只受一个连续的变量控 制时． (2)面型几何概型：当基本事 件受两个连续的变量控制 时，一般是把两个变量分别 作为一个点的横坐标和纵 坐标，这样基本事件就构成 了平面上的一个区域，即可 借助平面区域解决．
第四页，共73页。
基础知识·自主(zìzhǔ)学习
探究提高
记事件 N 为“在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，使 BM<1”，
则可得∠BAM<∠BAD 时事件 N 发生．
由几何概型的概率公式，得 P(N)＝3705°°＝25.
第二十五页，共73页。
题型分类(fēn lèi)·深度剖
析题型三
与角度、体积有关的几何概型
【例 3】 如图所示，在△ABC 中，
根}中随机地取一元素 m，恰使 将问题转化成几何概型．
式子 lg m 有意义的概率为___．
第十二页，共73页。
题型分类(fēn lèi)·深度剖析
题型一
与长度有关的几何概型
【例 1】 在集合 A＝{m|关于 x 的 方程 x2＋mx＋34m＋1＝0 无实
思维
解析 答案 探究提高
(sīwéi) (jiě
第二十页，共73页。
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【课前小测摸底细】1.【人教A 版教材习题改编】在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )． A.12 B.13 C.14 D ．1 【答案】B【解析】点坐标小于1的区间长度为1，故所求其概率为13.2. （2016全国乙理4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）.A.13B.12C.23D. 34【答案】B3. （吉林省实验中学2016届高三上学期第一次模拟、理、7）如图，设区域{}()|0101D x y x y =，，≤≤≤≤，向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落到阴影区域{}3()|010≤≤≤≤M x y x y x =，，内的概率是（ ） （A ）14 （B ）13 （C ）25 （D ）27【答案】A4.【基础经典试题】从[0,2]中任取一个数x ，从[0,3]中任取一个数y ，则使224x y +≤的概率为（ ） A ．12B ．9πC ．3πD ．6π【答案】D【解析】如图画出满足条件[][]0,2,0,3x y ∈∈的(),x y 区域和满足不等式224x y +≤的区域:x根据几何概型关于面积的概率计算公式可得21242366S P ππ===⨯阴影,故选D.5.【改编自2014高考福建卷】如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有820粒未落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________.【答案】0.18【解析】有820粒未落到阴影部分，故有180粒落到阴影部分，由随机数的概念及几何概型得，180=11000S 阴影，所以估计阴影部分的面积为0.18. 【考点深度剖析】预测2016年高考，仍将以几何概型的概率计算为载体，在知识交汇处命题，体现对学生双基的考查，难度不大. 二、课中考点全掌握 考点：几何概型 【题组全面展示】【1-1】（2016山东理14）在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为_____．【答案】34【1-2】（2016全国甲理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ，2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）. A.4n m B.2n m C.4m n D.2mn【答案】C【解析】解析由题意得：()()12i i x y i n =⋅⋅⋅，，，，在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41m n=，所以4πmn=.故选C ．【1-3】【2016河南模拟】已知在数轴上0和3之间任取一实数x ，则使“2log 1x <”的概率为（ ） A ．14 B ．18 C ．23 D ．112【答案】C【1-4】【2017河北邯郸模拟】已知实数[0,1]m ∈，[0,2]n ∈，则关于x 的一元二次方程224420x mx n n +-+=有实数根的概率是（ ）A ．14π-B ．4πC ．32π- D ．12π-【答案】A【解析】因为关于x 的一元二次方程224420x mx n n +-+=有实数根，所以0)2(161622≥+--=∆n n m ，即1)1(22≥-+n m ，所以其表示的区域的面积为π41，由几何概型的计算公式即可得出关于x 的一元二次方程224420x mx n n +-+=有实数根的概率是14π-，故应选A .【1-5】【2015高考湖南，理7】在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） A.2386 B.2718 C.3413 D.4772 附：若2(,)XN μσ，则6826.0)(=+≤<-σμσμX P ，9544.0)22(=+≤<-σμσμX P【答案】C.【课本回眸】1．（1）随机数的概念：随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。
（2）随机数的产生方法①利用函数计算器可以得到0~1之间的随机数；②在Scilab语言中，应用不同的函数可产生0~1或a~b之间的随机数。
2.几何概型（1）定义：如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积等）成比例，则称这样的概率模型为为几何概率模型，简称几何概型．（2）特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．（3）几何概型的解题步骤：首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件A构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式()p A=构成事件A的区域长度面积或体积；如果是二维、三维的问题，先试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件A分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式。
（4）求几何概型时，注意首先寻找到一些重要的临界位置，再解答。
一般与线性规划知识有联系。
3．几种常见的几何概型（1）设线段l是线段L的一部分,向线段L上任投一点.若落在线段l上的点数与线段L的长度成正比,而与线段l在线段l上的相对位置无关,则点落在线段l上的概率为：P=l的长度/L的长度（2）设平面区域g是平面区域G的一部分,向区域G上任投一点,若落在区域g上的点数与区域g的面积成正比,而与区域g在区域G上的相对位置无关,则点落在区域g上概率为：P=g的面积/G的面积（3）设空间区域上v是空间区域V的一部分,向区域V上任投一点.若落在区域v上的点数与区域v的体积成正比,而与区域v在区域v上的相对位置无关,则点落在区域V上的概率为：P=v的体积/V的体积【方法规律技巧】1.几何概型的常见类型的判断方法(1)与长度(角度)有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)．(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．(3)与体积有关的几何概型．对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．2.几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决。
将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，利用公式可求． 【新题变式探究】【变式一】（2017山东实验中学模拟）在区间()0,4上任取一数x ，则1224x -<<的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．34【答案】C【变式二】【2016山西模拟】任取实数a 、[]1,1b ∈-，则a 、b 满足22a b -≤的概率为（ ） A.18 B.14 C.34D.78如图，圆C 内切于扇形AOB ，∠AOBAOB 内任取一点，则该点在圆C 内的概率为（ ）ABCD【答案】C【解析】设圆C 的半径为2223(3)36r r OA r p r π⇒=⇒==π，故选C ．三、易错试题常警惕易错典例：已知△ABC 中，∠ABC=600，AB=2，BC=6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为______________.易错分析：基本事件对应的区域测度把握不准导致错误，本题学生易看成角度比出错． 【答案】21.温馨提醒：利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本事件的发生是等可能的，不同之处是几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的．易错点(1)不能正确判断事件是几何概型还是古典概型导致错误．(2) 基本事件对应的区域测度把握不准导致错误. (3)利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能的导致错误．。